Tässä kappaleessa tutkitaan vakiofunktioita sekä ensimmäisen asteen polynomifunktioita, joihin tutustuttiin jo MAY1-kurssilla. Palautetaan aluksi mieleen MAY1-kurssilta tuttu funktion nollakohdan määritelmä:

Funktiota, joka saa joka kohdassa saman arvon, sanotaan vakiofunktioksi:

Palautetaan seuraavaksi mieleen MAY1-kurssista tuttu ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmä:

Funktion $f$ kuvaaja muodostuu pisteistä, joiden $y$-koordinaatti on funktion arvo eli $y = f(x)$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$$ kuvaaja. Sen kuvaajan pisteet ovat muotoa $$\left(x, -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right).$$

Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on kyseisen suoran kulmakerroin.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen, ja laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen. Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten niin sanotuilla polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on niin sanottu kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Matkan viimeisenä päivänä reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa, 25 puntaa ja 150 Japanin jeniä. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa, 7 puntaa ja 95 jeniä. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£ + 150 \,¥) + (15 \,€ + 7 \,£ + 95 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥. \end{align*} Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa, 27 puntaa ja 195 jeniä. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£ + 195 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£ \textcolor{red}{-} 195 \,¥ \\ &= 10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu samaan tapaan kuin edellisessä laskussa.

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{3} \end{align*} voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-2}{3} &= \frac{1}{3}\left(x-2\right) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \end{align*} Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia laskettaessa lausekkeet on lavennettava samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-2}{3} &= \frac{3(x^2+5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-2)}{6} \\ &= \frac{3x^2+15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}4}{6} \\ &= \frac{3x^2+13x-17}{6} \end{align*}

Kun polynomia kerrotaan monomilla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥) &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£ + \frac{50}{5} \,¥ \\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ + 10 \,¥ \end{align*} Huomaa, että jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Edellisessä tehtävässä laskettiin monomin ja polynomin tuloja kertomalla sulut auki. Joissakin tilanteissa on tarpeen tehdä sama asia päinvastaiseen suuntaan ja kirjoittaa polynomi tulomuodossa. Tämä onnistuu, jos polynomin jokaisessa termissä on sama tulon tekijä. Esimerkiksi polynomin $$12x^4-16x^2 + 8x$$ kaikki kertoimet ovat luvun 4 monikertoja ja kaikissa kirjainosissa on mukana $x$. Tämä polynomi voidaankin kirjoittaa muodossa $$\textcolor{red}{4x} \cdot 3x^3 - \textcolor{red}{4x} \cdot 4x + \textcolor{red}{4x} \cdot 2,$$ josta nähdään, että yhteiseksi tekijäksi voidaan erottaa $\textcolor{red}{4x}$. Siis $$12x^4-16x^2 + 8x = \textcolor{red}{4x}(3x^3-4x+2).$$

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain niin, että ensimmäisen tulon tekijän jokaisella termillä kerrotaan jälkimmäinen tulon tekijä samaan tapaan kuin monimin ja polynomin tuloa laskettaessa. Esimerkiksi tulon $$(2x-3)(-4x^2+x-5)$$ tapauksessa kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-3$: \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-3})(-4x^2+x-5) \\ &= \textcolor{blue}{-8x^3+2x^2-10x}\textcolor{red}{+12x^2-3x+15} \end{align*}

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ saa arvon $2$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 2$$ eli yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat eli funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4{,}5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

Tämän kappaleen alussa tarkasteltiin yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Kun se ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, lisätään aluksi yhtälön molemmille puolille luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$\dfrac{2}{3}x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan esimerkiksi kertoa kertoimen $\frac{2}{3}$ käänteisluvulla $\frac{3}{2}$. Näin päädytään yhtälöön $$x = \frac{3}{2} \cdot 3$$ eli yhtälöön $$x = \frac{9}{2}.$$ Näitä yhtälöitä on havainnollistettu alla olevissa kuvissa. Niistä nähdään, että kaikilla kolmella yhtälöllä on sama ratkaisu, kuten pitääkin olla.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Tutkitaan vielä yhtälöä $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

Kun tutkitaan ensimmäisen asteen polynomifunktion arvoja, voidaan päätyä myös niin sanottuun ensimmäisen asteen epäyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, joudutaan tutkimaan epäyhtälöä $$f(x) < 2$$ eli epäyhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 < 2.$$ Tätä epäyhtälöä voidaan havainnollistaa samaan tapaan kuin vastaavaa yhtälöä eli piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että funktion $f$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, jos ja vain jos $x < 4{,}5$.

Epäyhtälön ratkaisuna saadaan yleensä yksittäisen luvun sijaan suuri määrä lukuja. Esimerkiksi luvun alussa tarkastellun epäyhtälön toteuttivat kaikki lukua $4{,}5$ pienemmät reaaliluvut. Nämä luvut muodostavat tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöä voidaan muokata samaan tapaan kuin ensimmäisen asteen yhtälöä. Erona on, että negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa täytyy epäyhtälömerkin suunta vaihtaa, jotta saadaan oikeita tuloksia. Sallitut operaatiot ovat siis seuraavat:

1. Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
2. Epäyhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
3. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla.
4. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, jos samalla vaihdetaan epäyhtälömerkin suunta.

Edellisessä luvussa kohdattiin tilanteita, joissa tarkastellulla yhtälölllä ei ollut yhtään ratkaisua. Näin voi käydä myös epäyhtälön tapauksessa. Esimerkiksi epäyhtälö $$x-3(x+1) > 2(1-x)$$ saadaan sieventämällä muotoon $$x-3x-3 > 2-2x$$ ja edelleen muotoon $$-2x-3 > 2 -2x.$$ Kun tämän epäyhtälön molemmille puolille lisätään $2x$, päädytään epäyhtälöön $$-3 > 2.$$ Se on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten tarkastellulla epäyhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja.

Joidenkin epäyhtälöiden ratkaisujoukko muodostuu kaikista reaaliluvuista. Esimerkiksi kun epäyhtälön $$-\frac{x}{2} + 3 \geq 1 - \frac{1}{2}x$$ molemmat puolet kerrotaan positiivisella luvulla $2$, päädytään epäyhtälöön $$-x+6 \geq 2-x.$$ Kun tämän molemmille puolille lisätään $x$, saadaan epäyhtälö $$6 \geq 2.$$ Tämä epäyhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta, joten tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon muodostavat kaikki reaaliluvut.