Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA3 - Geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Tasogeometriaa

Tämän luvun tavoitteena on, että harjaannut ratkaisemaan erilaisia tasogeometrian ongelmia. Sovellat edellisessä luvussa oppimaasi kolmioiden geometriaa muiden monikulmioiden tutkimiseen ja perehdyt ympyrän geometrisiin ominaisuuksiin. Osaat

  • laskea suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-alan sekä monikulmion kulmien summan
  • piirtää säännöllisiä monikulmioita ja selvittää niihin liittyviä kulmia, sivujen pituuksia ja pinta-aloja
  • päätellä etäisyyksiä ja pituuksia mittakaavan avulla
  • määrittää kuvion pinta-alan yhdenmuotoisuussuhdetta käyttäen
  • laskea ympyrän pinta-alan ja kehän pituuden
  • määrittää ympyrän sektorin ja segmentin pinta-alan sekä kaaren pituuden
  • käyttää ympyrän keskuskulmaa, kehäkulmaa ja tangettikulmaa geometristen ongelmien ratkaisemiseen.

Edellisessä luvussa perehdyttiin kolmioiden geometriaan. Tässä kappaleessa hyödynnetään kolmioista opittuja asioita, kun tutkitaan muiden monikulmioiden ominaisuuksia. Aloitetaan sopimalla, mitä tarkoitetaan suunnikkaalla ja puolisuunnikkaalla.

MÄÄRITELMÄ: SUUNNIKAS JA PUOLISUUNNIKAS

Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.
Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa on kaksi keskenään yhdensuuntaista sivua.

Tehtävänä on johtaa lauseke suunnikkaan pinta-alalle.

  1. Piirrä vihkoosi suunnikas samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa. Jaa suunnikas kahdeksi kolmioksi piirtämällä sille lävistäjä.
  2. Muodosta lauseke kummankin kolmion pinta-alalle ja laske suunnikkaan pinta-ala niiden avulla.

Tehtävänä on johtaa lauseke puolisuunnikkaan pinta-alalle.

  1. Piirrä vihkoosi puolisuunnikas samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa. Jaa suunnikas kahdeksi kolmioksi piirtämällä sille lävistäjä.
  2. Muodosta lauseke kummankin kolmion pinta-alalle ja laske puolisuunnikkaan pinta-ala niiden avulla.

Edellisten tehtävien tulokset voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Suunnikkaan pinta-ala on sivun pituuden ja sivulle tai sivun jatkeelle piirretyn korkeuden tulo. Se saadaan myös kertomalla suunnikkaan sivujen pituuksien tulo niiden välisen kulman sinillä. Alla olevan kuvan merkinnöillä suunnikkaan pinta-ala on siis $$ah = ac\sin\beta$$
Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhdensuuntaisten sivujen pituuksien keskiarvon ja korkeuden tulo eli alla olevan kuvan merkinnöillä $$\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Perustelu: Teoreema on perusteltu tehtävissä 2.1 ja 2.2. Huomaa, että suunnikas ja puolisuunnikas voidaan aina jakaa kahdeksi kolmioksi, joiden korkeus on $h$. Esimerkiksi

Puolisuunnikkaan muotoisen tontin yhdensuuntaiset sivut rajautuvat tiehen ja puistoon. Tien puoleisen sivun pituus on 30 m ja puiston puoleisen sivun pituus on 54 m. Tien ja puiston välinen etäisyys on 35 m. Tehtävänä on laskea tontin pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Laske tontin pinta-ala. Ilmoita tulos sekä neliömetreinä että aareina. Kertaa tarvittaessa pinta-alayksiköt esimerkiksi netistä.

  2. Tontin pinta-ala on $1470 \text{ m}^2 = 14{,}70 \text{ a}.$

Edellä johdettiin suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-ala kolmion pinta-alan avulla. Kolmioiden avulla voidaan laskea muidenkin monikulmioiden pinta-aloja. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.


Tehtävänä on laskea yllä kuvatun pellon pinta-ala.

  1. Jaa pelto kahdeksi kolmioksi. Mitä sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia sinun pitää selvittää, jotta pystyt laskemaan näiden kolmioiden pinta-alan?
    Vinkki: kolmion pinta-alaa koskevat teoreemat 1 & 6.
  2. Laske pellon pinta-ala ja anna vastaus hehtaareina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Pellon pinta-ala on noin $12 \text{ ha}$.

Edellisessä luvussa osoitettiin, että kolmion kulmien summa on aina $180^\circ$. Kolmioiden avulla voidaan laskea myös muiden monikulmioiden kulmien summia.

Tässä tehtävässä jaetaan monikulmioita kolmioiksi lävistäjien avulla. Monikulmion lävistäjä tarkoittaa janaa, joka yhdistää monikulmion kaksi sellaista kärkeä, jotka eivät ole vierekkäisiä.

  1. Piirrä vihkoosi jokin mahdollisimman omituisen muotoinen nelikulmio. Voit katsoa ideoita alla olevista nelikulmioista.
  2. Jaa piirtämäsi nelikulmio kahdeksi kolmioksi piirtämällä sille lävistäjä, joka on kokonaan nelikulmion sisällä. Päättele, mikä on nelikulmion kulmien summa.
  3. Piirrä vihkoosi jokin mahdollisimman omituisen muotoinen viisikulmio.
  4. Jaa piirtämäsi viisikulmio kolmioiksi piirtämällä sille samasta kärjestä lähteviä lävistäjiä, jotka ovat kokonaan viisikulmion sisällä. Päättele, mikä on viisikulmion kulmien summa.
  5. Keksi sääntö, miten $n$-kulmion kulmien summa saadaan kulmasta $180^\circ$.

  1. Tutki, onko alla oleva kuusikulmio mahdollista jakaa kolmioiksi piirtämällä sille samasta kärjestä lähteviä lävistäjiä, jotka ovat kokonaan kuusikulmion sisällä.
  2. Piirrä yllä oleva kuusikulmio vihkoosi ja jaa se kolmioiksi jollakin muulla tavalla. Päättele, mikä on sen kulmien summa.
  3. Edellisessä tehtävässä keksit säännön $n$-kulmion kulmien summalle. Toimiiko keksimäsi sääntö tässä tapauksessa?

Voidaan osoittaa, että edellisten tehtävien havainnot pitävät paikkansa yleisesti. Perustelu on kuitenkin sen verran monimutkainen, ettei siihen perehdytä tässä. Yksi versio seuraavan teoreeman perustelusta löytyy täältä (esimerkki 4.1.6).

TEOREEMA

Jos monikulmiossa on $n$ kärkeä eli kysymyksessä on $n$-kulmio, sen kulmien summa on $(n-2)\cdot 180^\circ$.

Monikulmioita voidaan luokitella niiden eri ominaisuuksien mukaan. Edellä on tarkasteltu esimerkiksi kolmioita, nelikulmioita ja viisikulmioita, eli on luokittelu on tehty monikulmion kulmien lukumäärän mukaan. Seuraavaksi tutustutaan toisenlaiseen monikulmioiden luokkaan: säännöllisiin monikulmioihin.

MÄÄRITELMÄ: SÄÄNNÖLLINEN MONIKULMIO

Monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret, on säännöllinen monikulmio.

Yksinkertaisin säännöllinen monikulmio on niin sanottu tasasivuinen kolmio. Sitä tutkitaan seuraavissa tehtävissä.

  1. Piirrä vihkoosi tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on 5 cm, seuraavan ohjeen mukaan:
    • piirrä viivottimen avulla jana, jonka pituus on 5 cm
    • piirrä harpin avulla ympyrä, jonka keskipiste on janan jompi kumpi pää ja jonka säde on 5 cm
    • piirrä vastaava ympyrä kuin edellisessä kohdassa, mutta vaihda keskipisteeksi janan toinen pää
    • valitse toinen ympyröiden leikkauspisteistä kolmion kolmanneksi kärjeksi.
  2. Päättele, miten suuria ovat tasasivuisen kolmion kulmat.
    Vinkki: säännöllisen monikulmion määritelmä ja teoreema 2.

Alla on näkyvissä tasasivuinen kolmio $ABC$, jonka korkeusjana jakaa sen kahdeksi pienemmäksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Tunnista suorakulmaisista kolmioista $ADC$ ja $BDC$ kaksi kulmaa, jotka ovat niissä varmasti yhtä suuria. Perustele omin sanoin. Miksi tästä seuraa, että myös kolmannet kulmat ovat keskenään yhtä suuria?
  2. Tunnista suorakulmaisista kolmioista $ADC$ ja $BDC$ kaksi sivua, jotka ovat niissä varmasti yhtä pitkiä. Perustele omin sanoin. Voiko kolmas sivu olla eri pituinen kolmioissa $ADC$ ja $BDC$?
    Vinkki: Pythagoraan lause.

Alla on näkyvissä tasasivuinen kolmio, jonka sivujen pituus on 2. Korkeusjana jakaa sen kahdeksi pienemmäksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Päättele kulman $\alpha$ suuruus.
    Vinkki: tehtävä 2.7.
  2. Päättele kulman $\beta$ suuruus.
  3. Päättele suorakulmaisen kolmion kateetin pituus $x$ edellisen tehtävän b-kohdan havaintojen avulla.
  4. Ratkaise korkeus $h$.
  5. Piirrä yllä oleva kolmio vihkoosi, mutta merkitse kirjainsymbolien tilalle edelllisissä kohdissa päättelemäsi arvot. Määritä seuraavien trigonometristen suhteiden tarkat arvot piirtämäsi kolmion avulla (täydennä symbolien $\alpha$ ja $\beta$ paikalle kulmien todelliset suuruudet):
    • $\sin \alpha$
    • $\cos \alpha$
    • $\cos \beta $
    • $\tan \beta $

Säännöllinen monikulmio, jossa on neljä kulmaa, on nimeltään neliö.

Alla on näkyvissä neliö, jonka sivujen pituus on 1. Lävistäjä jakaa sen kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Ratkaise lävistäjän pituus $x$.
  2. Ratkaise kulman $\alpha$ suuruus esimerkiksi sopivan trigonometrisen suhteen avulla.
  3. Piirrä yllä oleva neliö vihkoosi, mutta merkitse kirjainsymbolien tilalle edelllisissä kohdissa päättelemäsi arvot. Määritä seuraavien trigonometristen suhteiden tarkat arvot piirroksessa näkyvän kolmion avulla (täydennä symbolin $\alpha$ paikalle kulman todellinen suuruus):
    • $\sin \alpha$
    • $\cos \alpha$
    • $\tan \alpha$

Tehtävissä 2.9 ja 2.10 tasasivuisen kolmion ja neliön avulla muodostetut suorakulmaiset kolmiot ovat niin sanottuja muistikolmioita, joita voidaan käyttää apuna, kun määritetään trigonometristen suhteiden tarkkoja arvoja tai niitä vastaavia kulmia.

Tasasivuisen kolmion ja neliön lisäksi muita säännöllisiä monikulmioita ovat säännöllinen viisikulmio, säännöllinen kuusikulmio, säännöllinen seitsemänkulmio ja niin edelleen.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan piirtämään säännöllinen viisikulmio. Sitä ennen sovitaan vielä, mitä tarkoitetaan täydellä kulmalla eli täyskulmalla.

MÄÄRITELMÄ: TÄYSI KULMA

Täysi kulma tarkoittaa kulmaa, jonka suuruus on $360^\circ$.

Tässä tehtävässä piirretään säännöllinen viisikulmio.

  1. Piirrä harpin avulla ympyrä ja valitse sen kehältä yksi piste. Yhdistä ympyrän keskipiste janalla valitsemaasi pisteeseen.
  2. Jaa täysi kulma eli $360^\circ$ viiteen osaan (koska piirretään viisikulmiota). Piirrä kolmioviivaimen avulla tämän suuruinen kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä ja toinen kylki on äsken piirtämäsi jana. Merkitse toisen kyljen ja ympyrän kehän leikkauspiste näkyviin.
  3. Piirrä lisää samanlaisia kulmia, kunnes olet saanut ympyrän kehälle viisi pistettä.
  4. Muodosta viisikulmio yhdistämällä ympyrän kehällä olevat pisteet janoilla.
  5. Kuinka suuria ovat syntyneen viisikulmion kulmat? Voit päätellä kulmien suuruuden kuvion tasakylkisten kolmioiden avulla tai hyödyntää teoreemaa 11.
  6. Jos ympyrän säde on 3, mikä on yllä kuvatulla tavalla piirretyn viisikulmion sivun pituus?
    Vinkki: kosinilause.

  5. $108^\circ$
  6. Sivun pituus on $3\sqrt{2(1-\cos 72^\circ)} \approx 3{,}53$.

Myös muut säännölliset monikulmiot voidaan piirtää edellisen tehtävän ideaa soveltaen.

Kolmioita käsittelevässä luvussa määriteltiin, mitä tarkoitetaan yhdenmuotoisilla kolmioilla. Yhdenmuotoisuuden käsite voidaan laajentaa muihinkin tasokuvioihin. Kuviot, jotka saadaan toisistaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla, suurentamalla tai pienentämällä, ovat yhdenmuotoiset.

MÄÄRITELMÄ: KUVIOIDEN YHDENMUOTOISUUS JA MITTAKAAVA

Kuviot ovat yhdenmuotoiset, jos ne toteuttavat seuraavat ehdot:

  • kulma ja sen vastinkulma ovat aina yhtä suuret
  • suhde $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$ on sama riippumatta siitä, mitä kuvion janaa tarkastellaan.

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset, yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava tarkoittaa edellä mainittua suhdetta $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$

  1. Alla on näkyvissä tähti ja sen pienennös. Määritä kuvioiden yhdenmuotoisuussuhde.
  2. Taiteilija maalasi samasta aiheesta sekä seinämaalauksen (freskon) että taulun. Molemmat olivat suorakulmion muotoisia. Seinämaalauksen leveys oli 6,87 m ja korkeus 3,55 m. Taulun leveys oli 128 cm ja korkeus 89 cm. Olivatko seinämaalaus ja taulu yhdenmuotoiset?

  1. Yhdenmuotoisuussuhde on $\dfrac{0{,}5 \text{ cm}}{2 \text{ cm}} = \dfrac{1}{4}$ eli $1 : 4$.
  2. Eivät olleet.

Mitkä seuraavista tasokuvioista ovat aina yhdenmuotoisia? Tarkista kuvioiden nimitysten merkitys tarvittaessa esimerkiksi netistä.

  1. suunnikas
  2. neliö
  3. tasakylkinen kolmio
  4. tasasivuinen kolmio
  5. ympyrä

Jos kuviot ovat aina yhdenmuotoisia, piirrä kuvio ja sen suurennos mittakaavassa $2:1$. Jos kuviot eivät ole aina yhdenmuotoisia, piirrä esimerkki kahdesta kuviosta, jotka eivät ole yhdenmuotoisia.

Kaikki neliöt ovat keskenään yhdenmuotoisia, samoin kaikki tasasivuiset kolmiot ja kaikki ympyrät. Suunnikkaista ja tasakylkisistä kolmioista on mahdollista keksiä esimerkkejä, jotka eivät ole keskenään yhdenmuotoisia.

Erityisesti karttojen ja rakennuspiirrustusten tapauksessa yhdenmuotoisuussuhdetta kutsutaan mittakaavaksi. Yhdenmuotoisuuden määritelmässä esiintyvä suhde $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$ tulkitaan näissä tapauksissa niin, että vastinjanan pituus tarkoittaa pituutta kuvassa ja janan pituus vastaavaa pituutta luonnossa. Kartan tai rakennuspiirustuksen mittakaava on siis $$\frac{\text{ pituus kuvassa }}{\text{ pituus luonnossa }}$$

Jyväskylän ja Pieksämäen välinen etäisyys on linnuntietä noin 73 km. Kuinka pitkä tämä matka on kartalla, jonka mittakaava on

  1. $1 : 200\,000$ (maantiekartta)
  2. $1 : 500\,000$ (ilmailukartta)?

Vinkki: aloita muodostamalla verrantoyhtälö.

  1. 36,5 cm
  2. 14,6 cm.

Mitä etäisyyttä luonnossa vastaa 4,5 cm kartalla, jonka mittakaava on

  1. $1 : 10\,000$ (suunnistuskartta)
  2. $1 : 25\,000$ (peruskartta)?

  1. 450 m
  2. 1125 m.

Tutkitaan seuraavaksi, miten yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alat liittyvät toisiinsa.


Tarkastellaan yllä olevia yhdenmuotoisia suorakulmioita.

  1. Määritä suorakulmioiden yhdenmuotoisuussuhde.
  2. Laske isomman suorakulmion toinen sivu ja kummankin suorakulmion pinta-ala.
  3. Laske suorakulmioiden pinta-alojen suhde. Vertaa sitä yhdenmuotoisuussuhteeseen. Miten ne liittyvät toisiinsa?

  1. Suhde on $1:3$.
  2. Isomman suorakulmion toinen sivu 7,5 cm. Pinta-alat $22{,}5 \text{ cm}^2$ ja $2{,}5 \text{ cm}^2$.
  3. Pinta-alojen suhde on $$\frac{2{,}5 \text{ cm}^2}{22{,}5 \text{ cm}^2} = \frac{1}{9}$$


Kuvan suorakulmiot ovat yhdenmuotoiset suhteessa $5:3$. Tehtävänä on määrittää niiden pinta-alojen suhde.

  1. Merkitään pienemmän suorakulmion sivuja $3a$ ja $3b$ kuten alla olevassa kuvassa. Mitkä tällöin ovat isomman suorakulmion sivujen pituudet? Piirrä vastaava kuva isommasta suorakulmiosta omaan vihkoosi.
  2. Laske kummankin suorakulmion pinta-ala ja niiden suhde. Miten pinta-alojen suhde näkyy a-kohdan piirroksista? Entä miten pinta-alojen suhde liittyy yhdenmuotoisuussuhteeseen? Selitä omin sanoin.

  1. $5a$ ja $5b$.
  2. Pinta-alojen suhde on $\dfrac{25}{9}$.

Edellisten tehtävien havainnot voidaan yleistää kaikille tasokuvioille. Yleistys perustuu siihen, että jokainen tasokuvio, jolla on pinta-ala, voidaan täyttää miten tahansa tarkasti suorakulmioilla ottamalla käyttöön aina vain pienempiä suorakulmioita. Tämän osoittaminen täsmällisesti on kuitenkin niin työlästä, että seuraava teoreema otetaan käyttöön ilman tarkempaa perustelua.

TEOREEMA

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset suhteessa $m : n$, niin kuvioiden pinta-alojen suhde on $$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{m}{n}\right)^2$$

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on siis yhdenmuotoisuussuhteen eli mittakaavan neliö.

  1. Huoneiston pohjapiirroksen mittakaava oli $1 : 50$. Huoneiston pinta-alan laskettiin olevan pohjapiirroksessa $298{,}4 \text{ cm}^2$. Mikä oli huoneiston pinta-ala? Anna vastaus neliömetreinä.
  2. Lemmenjoen kansallispuiston pinta-ala on $2\,850 \text{ km}^2$. Kuinka suurta pinta-alaa tämä vastaa kartalla, jonka mittakaava on $1: 400\,000$? Anna vastaus neliösenttimetreinä.

  1. Pinta-ala oli $74{,}6 \text{ m}^2$.
  2. Pinta-ala on noin $178 \text{ cm}^2$.

Tässä kappaleessa tutkitaan ympyrän geometrisia ominaisuuksia. Aloitetaan määrittelemällä, mitä tarkoitetaan ympyrällä ja joillakin siihen liittyvillä käsitteillä.

MÄÄRITELMÄ: YMPYRÄ

Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen säde.

Jänne on ympyrän kahden pisteen välinen jana. Halkaisija on ympyrän keskipisteen kautta kulkeva jänne.

Nimitystä ympyrä käytetään toisinaan myös ympyräviivan sisään jäävästä tasoalueesta. Ympyräviivaa itseään kutsutaan tällöin usein ympyrän kehäksi.

Ympyrän kehän pituutta voidaan arvioida säännöllisten monikulmioiden avulla piirtämällä monikulmiot sekä ympyrän sisä- että ulkopuolelle alla olevien kuvien mukaisesti. Mitä enemmän kulmia monikulmioissa on, sitä tarkemmin niiden piirit arvioivat ympyrän kehän pituutta.

Tällä tavalla voidaan arvioida myös ympyrän kehän pituuden suhdetta ympyrän halkaisijaan. Tämä suhde ei riipu ympyrän koosta vaan on sama kaikilla ympyröillä. Kysymyksessä onkin yksi kuuluisimmista matemaattisista vakioista. Sitä merkitään kirjaimella $\pi$ (pii).

MÄÄRITELMÄ: LUKU $\pi$

Luku $\pi$ on ympyrän kehän pituuden $p$ suhde halkaisijan pituuteen $d$: $$\pi = \frac{p}{d}$$

Luku $\pi$ on irrationaaliluku, eli sitä ei voi kirjoittaa murtolukumuodossa. Tästä seuraa, että ympyrän kehän pituus $p$ ja halkaisija $d$ eivät voi olla yhtä aikaa rationaalilukuja, vaan ainakin toinen niistä on aina irrationaalinen.

Luvun $\pi$ viisidesimaalinen likiarvo on $3{,}14159$. Vuonna 2013 Alexander Yee ja Shigeru Kondo selvittivät tietokoneen avulla likiarvon yli 12,1 biljoonan desimaalin tarkkuudella (12 100 000 000 050 ensimmäistä desimaalia).

Tässä tehtävässä käytetään luvun $\pi$ määritelmää ympyrän kehän pituuden selvittämiseen.

  1. Ympyrän halkaisija on 15,0 cm. Laske sen kehän pituus ja anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Muodosta yhtälö, jonka avulla saat laskettua ympyrän kehän pituuden $p$, jos tiedät ympyrän säteen $r$.

  1. Kehän pituus on noin 47,1 cm.
  2. $p = 2\pi r$

Ympyrän pinta-alaa voidaan arvioida monin tavoin. Yksi mahdollisuus on piirtää säännölliset monikulmiot sekä ympyrän sisä- että ulkopuolelle samaan tapaan kuin kehän pituutta arvoidessa. Seuraavassa tehtävässä tutustutaan toisenlaiseen tapaan järkeillä ympyrän pinta-ala.


Yllä olevassa kuvassa ympyrä on jaettu ohuisiin ympyrärenkaan muotoisiin osiin. Kun ympyrä leikataan punaista viivaa pitkin ja jokainen ohut ympyrärengas taivutetaan auki, muodostuu kuvassa näkyvä kolmion muotoinen kuvio.

  1. Mikä on ympyrän kehän pituus, jos ympyrän säde on $r$?
    Vinkki: tehtävä 2.19.
  2. Ilmaise yllä olevan kolmion kanta ja korkeus alkuperäisen ympyrän säteen $r$ avulla.
  3. Muodosta lauseke kolmion pinta-alalle. Miten se liittyy alkuperäisen ympyrän pinta-alaan? Selitä omin sanoin.

Tehtävien 2.19 ja 2.20 tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Ympyrän pinta-ala $A$ ja kehän pituus $p$ riippuvat ympyrän säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} A &= \pi r^2 \\ p &= 2\pi r \end{align*}

Perustelu: tehtävissä 2.19 ja 2.20.

Käytettävissä on rakennustarvikkeet 80 metrin aitaa varten. Tehtävänä on selvittää, kannattaako aitauksesta rakentaa ympyrän vai neliön muotoinen, jos aitauksen pinta-alan halutaan olevan mahdollisimman suuri. Lisäksi pitää selvittää, kuinka iso ero näillä kahdella vaihtoehdolla on.

  1. Piirrä kummastakin vaihtoehdosta mallikuva ja merkitse siihen tunnetut tai helposti pääteltävissä olevat mitat.
  2. Kuinka suuri on 80 metriä pitkällä aidalla aidatun neliön muotoisen alueen pinta-ala?
  3. Kuinka suuri on 80 metriä pitkällä aidalla aidatun ympyrän muotoisen alueen pinta-ala?
  4. Kuinka monta prosenttia isomman alueen pinta-ala on suurempi kuin pienemmän alueen pinta-ala?

  2. $400 \text{ m}^2$
  3. Noin $509 \text{ m}^2$.
  4. Noin 27,3 %.

Siirrytään nyt tutkimaan erilaisia ympyrän osia. Aloitetaan määrittelemällä, mitä tarkoitetaan ympryrän keskuskulmalla.

MÄÄRITELMÄ: KESKUSKULMA

Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on keskuskulma.

Keskuskulman suuruus voi olla mitä tahansa nollakulman ja täyden kulman väliltä.

Keskuskulman avulla määritellään kaaren ja sektorin käsitteet:

MÄÄRITELMÄ: KAARI, SEKTORI JA SEGMENTTI

Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän kehältä kaaren ja ympyrän sisältä sektorin.

Kaari ja sen päätepisteitä yhdistävä jänne rajaavat ympyrän sisältä segmentin.


Alla olevassa taulukossa on lueteltu joitakin ympyrän keskuskulmia $\alpha$. Piirrä vastaava taulukko vihkoosi ja täydennä siihen puuttuvat tiedot: keskuskulman suhde täyteen kulmaan (supistetussa murtolukumuodossa) sekä keskuskulmaa vastaava kaaren osuus ympyrän kehästä ja keskuskulmaa vastaavan sektorin osuus ympyrän pinta-alasta. Voit käyttää päättelyssä apuna esimerkiksi yllä olevaa kuvaa.

$\alpha$ $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ Kaaren osuus ympyrän kehästä Sektorin osuus ympyrän pinta-alasta
$180^\circ$
$120^\circ$
$\phantom{1}90^\circ$
$\phantom{1}60^\circ$
$\phantom{1}45^\circ$
$\phantom{1}36^\circ$
$\phantom{1}30^\circ$

Tehtävässä 2.22 havaittiin, että ympyrän kaaren pituus ja sektorin pinta-ala voidaan päätellä laskemalla niitä vastaavan keskuskulman $\alpha$ suhde täyskulmaan eli $$\frac{\alpha}{360^\circ}$$ ja ottamalla tämän suhteen mukainen osuus ympyrän kehän pituudesta ja ympyrän pinta-alasta. Tämä havainto johtaa seuraavaan teoreemaan, jonka yksityiskohtaisempi perustelu sivuutetaan.

TEOREEMA

Kaaren pituus $b$ ja sektorin pinta-ala $A_S$ riippuvat keskuskulmasta $\alpha$ ja ympyrän säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} b &= \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \\[1mm] A_S &= \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \end{align*}

Alla on kuvattu yleisurheilukentän juoksuratojen sisäpuolinen alue. Päädyt ovat puoliympyrän muotoiset. Kaarteen pituus on 115,61 metriä.

Tehtävänä on selvittää, miten suuri osuus tästä alueesta on varattava keihäänheiton alastuloalueelle. Suositusten mukaan keihäänheiton alastuloalueen pituus on kansainvälisissä kilpailuissa 105 metriä. Heittosektorin keskuskulman suuruus on $29^\circ$.

  1. Laske juoksuratojen sisäpuolisen alueen pinta-ala.
    Vinkki: Aloita selvittämällä päädyn puoliympyrän säde.
  2. Laske keihäänheiton heittosektorin pinta-ala. Kuinka monta prosenttia se on juoksuratojen sisäpuolisen alueen pinta-alasta?

  1. Pinta-ala on noin $10\,465 \text{ m}^2$. (Päädyn puoliympyrän säde on noin 36,80 m.)
  2. Heittosektorin pinta-ala on noin $2\,790 \text{ m}^2$. Se on noin 26,7 % juoksuratojen sisäpuolisen alueen pinta-alasta.

Segmentin pinta-ala saadaan laskettua sektorin pinta-alan sekä säteiden ja jänteen rajaaman niin sanotun keskuskolmion pinta-alan avulla:

Ympyrän säde on 6. Tehtävänä on määrittää $70^\circ$ keskuskulmaa vastaavan segmentin pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva harpin ja kolmioviivaimen avulla.
  2. Laske $70^\circ$ keskuskulmaa vastaavan sektorin pinta-ala.
  3. Merkitse mallikuvaan kaikki keskuskolmion sivujen pituudet ja kulmat, jotka tiedät tai pystyt päättelemään vähällä vaivalla. Palauta mieleesi, millä eri tavoilla kolmion pinta-alan voi laskea.
    Vinkki: teoreemat 1 & 6.
  4. Laske keskuskolmion pinta-ala.
  5. Laske segmentin pinta-ala.

  2. Sektorin pinta-ala on $7\pi \approx 21{,}99$.
  4. Keskuskolmion pinta-ala on noin 16,91.
  5. Segmentin pinta-ala on noin 5,08.

New Yorkin ja Los Angelesin välinen etäisyys on linnuntietä noin 3 900 km. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon lyhyempi matka olisi, jos kaupungit yhdistettäisiin suoralla tunnelilla. Maapallon säde on noin 6 370 km.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva (maapallon poikkileikkaus) harpin ja kolmioviivaimen avulla. Merkitse kuvaan kaikki tunnetut mitat.
  2. Laske maapallon ympärysmitta. Selvitä, mikä on New Yorkin ja Los Angelesin välistä etäisyyttä vastaavan keskuskulman suuruus.
  3. Laske suoran tunnelin pituus. Kuinka paljon matka lyhenisi linnuntiehen verrattuna?
    Vinkki: teoreema 8.
  4. Kuinka syvällä maan pinnan alla tunneli kulkisi syvimmässä kohdassaan?
    Vinkki: pääset alkuun jakamalla keskuskolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi ja hyödyntämällä sopivaa trigonometrista suhdetta.
  5. Mitä sanoisit ihmiselle, joka ehdottaa tällaisen tunnelin rakentamista?

  2. Maapallon ympärysmitta on noin 40 000 km ja kysytty keskuskulma noin $35{,}1^\circ$.
  3. Tunnelin pituus olisi noin 3 840 km, joten matka lyhenisi noin 1,5 %.
  4. Tunneli kulkisi syvimmillään noin 296 km maanpinnan alapuolella.

Ympyrällä ja suoralla voi olla kaksi yhteistä pistettä, yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä. Jos yhteisiä pisteitä on kaksi, jakaa suora ympyrän kahteen segmenttiin. Jos yhteisiä pisteitä on vain yksi, suoraa kutsutaan ympyrän tangentiksi.

MÄÄRITELMÄ: YMPYRÄN TANGENTTI

Suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä, on ympyrän tangentti.

Seuraavassa teoreemassa osoitetaan, että ympyrän tangentti muodostaa aina suoran kulman sivuamispisteeseen piirretyn säteen kanssa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.

Perustelu: Käytetään niin sanottua epäsuoraa päättelyä: Tutkitaan, mitä seuraa, jos teoreema ei pidäkään paikkaansa. Siis mitä seuraa siitä, jos ympyrän tangentti ei olekaan kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan?

Olkoon ympyrän keskipiste $O$ ja tangentin sivuamispiste $P$. Piirretään ympyrän keskipisteen kautta suora, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan:

Merkitään tämän suoran ja tangentin leikkauspistettä kirjaimella $Q$. Koska nyt tutkitaan tilannetta, jossa tangentti ja säde $OP$ eivät ole toisiaan vastaan kohtisuorassa, voidaan olla varmoja, että $Q \neq P$.

Tutkitaan tarkemmin kolmiota $OPQ$. Suorat on piirretty niin, että kulma $Q$ on suora kulma. Silloin jana $OP$ on suorakulmaisen kolmion $OPQ$ hypotenuusa. Siten jana $OQ$ on lyhyempi kuin jana $OP$.

Toisaalta piste $Q$ on ympyrän ulkopuolella (vrt. ylempi kuva), joten janan $OQ$ pituus on suurempi kuin ympyrän säde. Janan $OP$ pituus taas on sama kuin ympyrän säde. Siten jana $OQ$ on pitempi kuin jana $OP$.

Näin on päädytty ristiriitaan: jana $OQ$ on yhtä aikaa lyhyempi ja pitempi kuin jana $OP$. Tähän päädyttiin tilanteessa, jossa teoreema ei pitänyt paikkaansa. Voidaan päätellä, että tällainen tilanne on mahdoton. Siis teoreeman täytyy olla tosi.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan soveltamaan teoreeman 15 tulosta.

Maapallon kaarevan muodon vuoksi kirkkaallakaan säällä ei ole mahdollista nähdä miten tahansa kaukana olevia kohteita, sillä ne jäävät horisontin alapuolelle. Tässä tehtävässä arvioidaan, miten kauas Tallinnan televisiotornista on mahdollista nähdä kirkkaalla säällä.

Tallinnan tv-tornin näköalatasanne ulottuu noin 194 metrin korkeudelle merenpinnasta. Maapallon säde on noin 6 370 km.

  1. Yllä on näkyvissä osa maapallon poikkileikkauksesta. Piirrä vihkoosi vastaava mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Selvitä keskuskulman suuruus sopivan trigonometrisen suhteen avulla.
  3. Laske keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus (horisontin etäisyys maanpintaa pitkin). Miten kauas Tallinnan televisiotornista on mahdollista nähdä kirkkaalla säällä?
  4. Selitä omin sanoin, miten ympyrän tangetti liittyy tähän tehtävään.

  2. Keskuskulma on noin $0{,}447^\circ$.
  3. Noin 50 km päähän.

Kansainvälinen avaruusasema ISS kiertää maapalloa noin 400 km korkeudessa. Tehtävänä on selvittää, missä kulmassa maapallo näkyy avaruusasemalta. Pitää siis määrittää sen kulman suuruus, jonka kärki on avaruusasemalla ja jonka kyljet ovat maapallon poikkileikkausympyrän tangetteja:

  1. Piirrä vihkoosi tilanteesta mallikuva kuten yllä. Täydennä kuvaa seuraavasti:
    • piirrä jana avaruusasemasta maapallon keskipisteeseen
    • piirrä janat maapallon keskipisteestä kummankin tangentin sivuamispisteeseen.
  2. Merkitse mallikuvaan kaikki tunnetut tai pääteltävissä olevat etäisyydet ja kulmat. Maapallon säde on noin 6370 km.
    Vinkki: teoreema 15.
  3. Missä kulmassa maapallo näkyy avaruusasemalta?
    Vinkki: selvitä ensin kysytyn kulman puolikas sopivan trigonometrisen suhteen avulla.

  3. Noin $140^\circ$ kulmassa.

Jatkoa edelliseen tehtävään. Kansainvälinen avaruusasema ISS kiertää maapalloa noin 400 km korkeudessa. Edellisessä tehtävässä selvitit, missä kulmassa maapallo näkyy avaruusasemalta. Nyt tehtävänä on selvittää, miten kaukana toisistaan kaksi kohdetta maan pinnalla voivat olla, jos ne on mahdollista nähdä avaruusasemalta yhtä aikaa. Pitää siis määrittää tangenttien sivuamispisteiden määräämän kaaren pituus:

  1. Hyödynnä edellisessä tehtävässä piirtämääsi mallikuvaa ja päättele kaarta vastaavan keskuskulman suuruus.
  2. Miten kaukana toisistaan kaksi kohdetta maan pinnalla voivat olla, jos ne on mahdollista nähdä avaruusasemalta yhtä aikaa?
    Onko avaruusasemalta mahdollista nähdä koko Afrikka yhdessä silmänräpäyksessä? Afrikan läntisimmästä kohdasta Senegalissa on noin 7400 km sen itäisimpään kohtaan Somaliassa.

  1. Keskuskulma on noin $40^\circ$.
  2. Avaruusasemalta on mahdollista nähdä yhtä aikaa kohteet, joiden etäisyys on enintään noin 4 400 km. Koko Afrikkaa ei siis ole mahdollista nähdä yhdessä silmänräpäyksessä.

Edellisissä tehtävissä tutkittiin ympyrän ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä ympyrälle piirrettyjen tangenttien välistä kulmaa. Tätä kulmaa on tapana kutsua tangenttikulmaksi.

Tangettikulman tarkasssa määritelmässä käytetään kulman aukeaman käsitettä. Kulman aukeama tarkoittaa kulman rajaamaa tason osaa, josta alla olevassa kuvassa on näkyvissä pieni pala:

MÄÄRITELMÄ: TANGENTTIKULMA

Ympyrän kahden tangentin leikkauspisteeseen muodostuva kulma, jonka aukeamaan ympyrä sisältyy, on tangenttikulma.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma liittyvät toisiinsa.

Alla on näkyvissä tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma. Mitä voit päätellä niiden summasta $\alpha + \beta$?

Vinkki: teoreemat 11 & 15.

Tehtävän 2.29 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on oikokulma.

Perustelu: tehtävässä 2.29.

Aiemmin on sovittu, että keskuskulma tarkoittaa kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Vastaavasti kehäkulma tarkoittaa kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä. Määritelmässä vaaditaan lisäksi, että kulma on kovera eli suurempi kuin nollakulma ja pienempi kuin oikokulma.

MÄÄRITELMÄ: KEHÄKULMA

Kovera kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kyljet ovat ympyrän jänteitä, on kehäkulma.

Tehtävänä on lausua alla olevan kuvan keskuskulma $\alpha$ kehäkulman $\beta$ avulla. Kulmien $\alpha$ ja $\beta$ toinen kylki on ympyrän halkaisija.

  1. Mitä voit päätellä janojen $AB$ ja $AC$ pituudesta alla olevassa kuvassa? Mitä voit silloin päätellä kulmista $\beta$ ja $\gamma$?
  2. Ilmaise kulma $\delta$ kulmien $\beta$ ja $\gamma$ avulla.
  3. Miten voit ilmaista keskuskulman $\alpha$ kehäkulman $\beta$ avulla?

Edellisessä tehtävässä osoitettiin, että tietyssä tilanteessa keskuskulma on kaksi kertaa niin suuri kuin samaa kaarta vastaava kehäkulma. Toisin sanottuna kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta. Seuraavassa teoreemassa osoitetaan, että tämä on aina totta. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kehäkulman suuruus on puolet samaa kaarta vastaavan keskuskulman suuruudesta.

Perustelu: Tapaus, jossa kehäkulman toinen kylki on ympyrän halkaisija, on käsitelty tehtävässä 2.30. Muita tapauksia on kaksi: ympyrän keskipiste voi sijaita kehäkulman aukeamassa tai sen ulkopuolella.

Molemmissa tapauksissa perustelussa voidaan hyödyntää tehtävän 2.29 tulosta, kun kuvioon lisätään apupiirrokseksi kehäkulman kärjen kautta kulkeva ympyrän halkaisija.

Esimerkiksi jälkimmäisessä tapauksessa tehtävän 2.29 nojalla $\alpha_1 = 2\beta_1$ ja $\alpha_2 = 2\beta_2$:


Tällöin \begin{align*} \alpha &= \textcolor{blue}{\alpha_1} - \textcolor{red}{\alpha_2} \\ &= 2\textcolor{blue}{\beta_1} - 2\textcolor{red}{\beta_2} \\ &= 2(\textcolor{blue}{\beta_1} - \textcolor{red}{\beta_2}) \\ &= 2\beta \end{align*} Tästä seuraa, että $$\beta = \frac{\alpha}{2}.$$ Toinen tapaus käsitellään samaan tapaan.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan kehäkulmalauseen soveltamista.

Päättele kulman $\gamma$ suuruus kehäkulmalauseen avulla.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia kehäkulmia kehäkulmalauseen avulla.

Tässä tehtävässä tutkitaan, mikä on puoliympyrään sisältyvän kehäkulman suuruus.

  1. Piirrä vihkoosi harpin avulla ympyrä. Piirrä ympyrälle halkaisija, jolloin syntyy kaksi puoliympyrää. Valitse toinen puoliympyröistä ja piirrä jokin sitä vastaava kehäkulma.
  2. Päättele puoliympyrän kaarta vastaavan keskuskulman suuruus. Mikä on sitä vastaavan kehäkulman suuruus?
    Vinkki: Kehäkulmalause.

Tässä tehtävässä tutkitaan samaa kaarta vastaavien kehäkulmien suuruutta.

  1. Piirrä vihkoosi harpin avulla ympyrä. Valitse ympyrän kehältä pisteet $A$ ja $B$ ja niiden välisistä kaarista toinen. Piirrä jokin tätä kaarta vastaava kehäkulma. Anna sille nimeksi $\beta$.
  2. Piirrä jokin toinen samaa kaarta vastaava kehäkulma samaan kuvaan. Anna sille nimeksi $\gamma$.
  3. Piirrä vielä samaa kaarta vastaava keskuskulma. Anna sillekin nimi.
  4. Ilmaise kehäkulmat $\beta$ ja $\gamma$ keskuskulman avulla. Mitä havaitset?
    Vinkki: Kehäkulmalause.

Tehtävien 2.32 ja 2.33 tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma.

Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.

Perustelu: tehtävissä 2.32 & 2.33.

MONIKULMIOT

Laske alla olevan monikulmion piiri.

Vinkki: Mieti, miten voit muokata monikulmiota yksinkertaisemmaksi niin, että sen piiri kuitenkin säilyy samana.

Piiri on 52,0 cm.

MONIKULMIOT

Laske alla olevan monikulmion pinta-ala.

Pinta-ala on 150.

MONIKULMIOT

Janat $BC$, $FE$ ja $AD$ ovat kaikki keskenään yhdensuuntaisia eli $BC \parallel FE \parallel AD$. Laske monikulmion pinta-ala.

Pinta-ala on 576.

MONIKULMIOT

Uuteen lounaskahvilaan suunnitellaan sisustusta. Aikomuksena on hankkia neliönmuotoisia pöytiä, joihin kuhunkin mahtuu neljä henkilöä syömään. Lounaskahvilan tarjottimet ovat muodoltaan suorakulmioita, joiden sivut ovat 30 cm ja 40 cm. Pöydät halutaan mitoittaa niin, että niille mahtuu neljä tarjotinta kokonaisuudessaan.

  1. Kuinka pieniä pöydät voivat pienimmillään olla? Anna vastauksena pöytäneliön sivun pituus senttimetrin tarkkuudella.
  2. Kuinka monta prosenttia tällaisen pöydän pinta-alasta jää tyhjäksi, jos pöydän ääressä ruokailee neljä henkeä, joilla jokaisella on oma tarjotin?

  1. 70 cm
  2. Noin 2,0 %.

MONIKULMIOT

Puolisuunnikkaan pinta-ala on 30 ja sen yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 6 ja 9. Lisäksi tiedetään, että toisen erisuuntaisen sivun pituus on 5. Tehtävänä on selvittää puolisuunnikkaan neljännen sivun pituus.

  1. Selvitä puolisuunnikkaan korkeus.
  2. Piirrä tilanteesta mallikuva. Mieti, millainen suunnikkaan 5 ja 6 mittaisten sivujen välinen kulma voi olla. Piirrä kaikista oleellisesti erilaisista vaihtoehdoista oma mallikuvansa.
  3. Ratkaise puolisuunnikkaan neljännen sivun pituus eri vaihtoehdoissa.

  1. Puolisuunnikkaan korkeus on 4.
  3. Jos sivujen 5 ja 6 välinen kulma on terävä, neljännen sivun pituus on $2\sqrt{13}$.
    Jos sivujen 5 ja 6 välinen kulma on tylppä, neljännen sivun pituus on $4$.

MONIKULMIOT

Suunnitteilla olevan harjakattoisen pihavaraston leveys on 2,0 m ja pituus 2,5 m. Sen pääty muodostuu suorakulmiosta, jonka leveys on 2,0 m ja korkeus 2,1 m, sekä tasakylkisestä kolmiosta, jonka korkeus on 0,7 m. Pihavaraston katon lappeiden tulee ulottua kauttaaltaan 20 cm seinien yli. Kuinka paljon peltiä täytyy varata katon rakentamiseen?

Vähintään $8{,}24 \text{ m}^2$.

MONIKULMIOT

Kuvassa näkyvä nelikulmio $ABCD$ on neliö, ja kolmio $ABE$ on tasasivuinen. Tehtävänä on selvittää kulman $\alpha$ suuruus.

  1. Tunnista kuvasta kaikki janat, jotka ovat yhtä pitkiä kuin neliön sivu. Minkä kulmien suuruudet saat pääteltyä tämän tiedon avulla?
  2. Päättele kulman $\alpha$ suuruus.

  2. $\alpha = 150^\circ$

MONIKULMIOT

Piirrä säännöllinen kuusikulmio. Voit katsoa apua tehtävästä 2.11.

MONIKULMIOT

Jatkoa edelliseen tehtävään. Tiedetään, että säännöllisen kuusikulmion piiri on 24. Selvitä

  1. kuusikulmion kulman suuruus
  2. kuusikulmion keskipisteen etäisyys kuusikulmion kärjestä
  3. kuusikulmion pinta-ala.
Voit hyödyntää edellisessä tehtävässä piirtämääsi kuusikulmiota mallikuvana.

  1. $120^\circ$
  2. $4$
  3. $24\sqrt{3}$

MONIKULMIOT

Monikulmion sisään piirretty ympyrä tarkoittaa ympyrää, joka sivuaa monikulmion jokaista sivua. Monikulmion ympäri piirretty ympyrä tarkoittaa ympyrää, joka kulkee monikulmion jokaisen kärjen kautta.

Neliön sivun pituus on 8. Tehtävänä on selvittää sen sisään ja ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Mikä on neliön sisään piirretyn ympyrän säde?
  3. Mikä on neliön ympäri piirretyn ympyrän säde?

  2. Neliön sisään piirretyn ympyrän säde on $4$.
  3. Neliön ympäri piirretyn ympyrän säde on $4\sqrt{2}$.

MONIKULMIOT

Tasasivuisen kolmion pinta-ala on $\sqrt{3}$. Kuusi tällaista kolmiota muodostaa säännöllisen kuusikulmion. Laske sen pisimmän lävistäjän pituus.

Pisimmän lävistäjän pituus on 4.

YHDENMUOTOISUUS

Kaikkien A-sarjan paperiarkkien A0, A1, A2, A3, A4 jne. muoto on valittu niin, että se toteuttaa seuraavan ehdon: Jos valittu arkki (esimerkiksi A3) puolitetaan keskeltä lyhyemmän sivun suuntaisesti, niin näin saatu pienempi arkki (esimerkin tapauksessa A4) on yhdenmuotoinen alkuperäisen arkin kanssa.

  1. A3-arkin lyhyemmän sivun pituus on 297 mm. Kuinka pitkä arkin pitempi sivu on?
  2. A3-arkki pienennetään kopiokoneella A4-kokoon. Kuinka monta prosenttia arkille kirjoitetun tekstin kirjainten korkeus pienenee?

  1. 420 mm
  2. Noin 29 %.

YHDENMUOTOISUUS

Suorakulmion muotoisen puisen levyn sivut ovat 12 cm ja 40 cm. Levy halutaan sahata lyhyemmän sivun suuntaisesti kahteen keskenään yhdenmuotoiseen osaan. Tehtävänä on selvittää, miten sahaaminen pitää tehdä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Mieti, millä eri tavoin yhdenmuotoiset osat voivat sijaita levyssä. Piirrä kaikista oleellisesti erilaisista vaihtoehdoista oma mallikuvansa.
  2. Millä tavalla sahaaminen pitää suorittaa? Anna vastauksena syntyvien yhdenmuotoisten palojen mitat.

  2. Vaihtoehto 1: molempien palojen sivujen pituudet 12 cm ja 20 cm.
    Vaihtoehto 2: isomman palan sivujen pituudet 36 cm ja 12 cm, pienemmän palan sivujen pituudet 12 cm ja 4 cm.

YHDENMUOTOISUUS

Miten kuvion pinta-ala muuttuu, jos kuvion mitat

  1. suurennetaan viisinkertaiseksi
  2. pienennetään puoleen?

  1. Kasvaa 25-kertaiseksi.
  2. Pienenee neljäsosaan.

YHDENMUOTOISUUS

Miten kuvion mittoja tulee muuttaa, jotta sen pinta-ala

  1. kasvaisi kaksinkertaiseksi
  2. pienenisi sadasosaan?

  1. Kasvattaa kertoimella $\sqrt{2}$.
  2. Pienentää kymmenesosaan alkuperäisestä.

YHDENMUOTOISUUS

  1. Mikä on pienten valkoisten ympyröiden yhteenlasketun pinta-alan suhde ison ympyrän pinta-alaan?
  2. Miten voit ratkaista tehtävän käyttämättä ympyrän pinta-alan kaavaa?

  1. Suhde on $\frac{7}{9}$.
  2. Selvitä pienen ja ison ympyrän yhdenmuotoisuussuhde esimerkiksi niiden säteitä tai halkaisijoita vertaamalla. Laske yhdenmuotoisuuden avulla pienen ja ison ympyrän pinta-alojen suhde. Muodosta kysytty suhde tämän avulla.

YHDENMUOTOISUUS

Kolmion muotoisen metsäpalstan $ABC$ pinta-ala on 231 hehtaaria. Perinnönjaon yhteydessä palsta päätetään jakaa kahdella sivun $BC$ suuntaisella linjalla kolmeen osaan niin, että linjojen väliin jäävän puolisuunnikkaan muotoisen osan pinta-ala on $\frac{3}{7}$ alkuperäisen metsäpalstan pinta-alasta ja kaksi muuta osaa ovat keskenään yhtä suuria. Määritä linjojen aloituskohdat palstan sivulla $AB$, jonka pituus on 1,45 km.

Ensimmäisen linjan aloituspiste sivulla $AB$ noin 775 metriä pisteestä $A$. Toisen linjan aloituspiste sivulla $AB$ noin 1225 metriä pisteestä $A$.

YHDENMUOTOISUUS

Jo antiikin ajan kreikkalaiset pitivät esteettisesti miellyttävänä suorakulmiota, jonka muoto toteuttaa seuraavan ehdon: Jos suorakulmion päädystä erotetaan neliö, jonka sivu on yhtä pitkä kuin suorakulmion lyhyempi sivu, niin jäljelle jäävä suorakulmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen suorakulmion kanssa. Tällaista suorakulmiota sanotaan kultaiseksi suorakulmioksi. Yksi esimerkki on näkyvissä alla.

Tehtävänä on selvittää kultaisen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus, jos sen pitemmän sivun pituus on 1.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen tunnetut mitat. Piirrä kuvaan näkyviin myös neliö, josta ehdossa puhutaan. Merkitse sen sivun pituutta jollakin kirjaimella.
  2. Muodosta lauseke kuvassa näkyvän pienen suorakulmion lyhyemmän sivun pituudelle.
  3. Muodosta yhdenmuotoisuuden avulla verrantoyhtälö. Mikä on alkuperäisen kultaisen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus?

  2. Jos neliön sivun pituus on esimerkiksi $x$, niin pienen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus on $1-x$.
  3. $\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

YMPYRÄ

Kahden euron kolikon halkaisija on 25,75 mm. Neljä tällaista kahden euron kolikkoa on asetettu pöydälle. Ne sivuavat toisiaan niin, että kolikkojen keskipisteet muodostavat neliön. Kuinka suuri tyhjä tila jää kolikkojen keskelle?
Vinkki: Piirrä tilanteesta mallikuva ja yhdistä kolikkojen keskipisteet toisiinsa niin, että muodostuu neliö. Tarkastele tätä neliötä.

Noin $142{,}3 \text{ mm}^2$ eli noin $1{,}423 \text{ cm}^2$.

YMPYRÄ

Alla olevien kuvien kaaret on piirretty neliön kärki keskipisteenä ja neliön sivu $a$ säteenä. Ilmaise väritetyn alueen pinta-ala neliön sivun $a$ lausekkeena ja määritä pinta-alan suhde neliön pinta-alaan.

  1. Suhde on $1 - \dfrac{\pi}{4}$.
  2. Suhde on $\dfrac{\pi}{2} - 1$.

YMPYRÄ

Koira kytketään pihatalkoiden ajaksi 5 metrin pituisella juoksunarulla vajan seinään metrin etäisyydelle vajan nurkasta (kuvassa pisteellä merkittyyn kohtaan). Tehtävänä on selvittää, miten suurella alueella koira voi talkoiden aikana jaloitella.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Hahmottele, millaisista erilaisista ympyrän osista koiran mahdollinen jaloittelualue muodostuu.
  2. Miten suurella alueella koira voi talkoiden aikana jaloitella?

  2. Noin 58 neliömetrin alueella.

YMPYRÄ

Ympyrän säde on 6,3 cm. Ympyrään on piirretty segmentti, jonka rajaavat ympyrän 15,2 cm pitkä kaari ja kaaren päätepisteitä yhdistävä jänne. Tehtävänä on laskea segmentin pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Mikä on ympyrän kehän pituus?
  3. Mitä tietoja tarvitset segmentin pinta-alan laskemiseen? Mitä tietoja pystyt päättelemään tuntemiesi mittojen avulla?
  4. Mikä on segmentin pinta-ala? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Ympyrän kehän pituus on noin 39,6 cm.
  4. Segmentin pinta-ala on noin $35 \text{ cm}^2$.

YMPYRÄ

Suunnilleen ympyränmuotoisen lammen halkaisija on noin 50 metriä. Tehtävänä on selvittää, kuinka pitkä matka pisteestä $A$ on pisteeseen $B$ lyhintä mahdollista reittiä pitkin.

  1. Keksi ainakin kaksi mahdollista reittiä ja piirrä niistä mallikuvat. Kumpi reiteistä on lyhyempi? Miksi?
  2. Piirrä mallikuva lyhyimmästä mahdollisesta reitistä ja täydennä kuvaa niin, että voit hyödyntää kolmioiden geometriaa.
  3. Kuinka pitkä matka pisteestä $A$ on pisteeseen $B$ lyhintä mahdollista reittiä pitkin?

  3. Noin 109 metriä (60 m + 49 m).

YMPYRÄ

Pyöreään torniin, jonka halkaisija on 6,5 metriä, on maalattu 8,5 metriä leveä taideteos. Tehtävänä on selvittää, miltä etäisyydeltä teoksen voi nähdä koko leveydeltään.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ylhäältäpäin katsottuna. Merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Täydennä kuvaa niin, että voit hyödyntää ratkaisussa kolmioiden geometriaa.
  3. Miltä etäisyydeltä teoksen voi nähdä koko leveydeltään?

  3. Noin 18,5 metrin etäisyydeltä.

YMPYRÄ

Lentokone on Kajaanin yläpuolella 1,9 km korkeudella. Voidaanko lentokoneesta kirkkaalla ilmalla nähdä Pohjanlahti? Pohjanlahden lyhin etäisyys Kajaanista on noin 130 km. (Maapallon säde on noin 6370 km.)

Tämän yksinkertaistetun mallin mukaan lentokoneesta voidaan nähdä noin 160 km päähän (kahden merkitsevän numeron tarkkuudella). Pohjanlahti on siis mahdollista nähdä.

YMPYRÄ

Saat kaveriltasi valkoisen paperin, johon on piirretty yksi ympyrä eikä mitään muuta. Selitä, miten voit pelkän kolmioviivaimen, kynän ja matematiikan avulla määrittää ympyrän

  1. halkaisijan
  2. keskipisteen.

  1. Teoreema 18.

YMPYRÄ

On mahdollista osoittaa, että jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä (siis ympyrä, joka kulkee kolmion jokaisen kärjen kautta). Alla olevassa kuvassa janan $AB$ pituus on 2,8 cm. Kuinka pitkä kolmion $ABC$ ympäri piirretyn ympyrän säde on? Vinkki: teoreemat 17 sekä 4 tai 8.

Säde on noin 2,3 cm.

YMPYRÄ

Ympyrän säde on 7,8 cm. Laske kuvassa näkyvän kolmion

  1. sivujen pituudet
  2. pinta-ala.

  1. Sivut noin 12 cm, 13 cm ja 15 cm.
  2. Pinta-ala noin $74 \text{ cm}^2$.

YMPYRÄ

Jalkapallossa rangaistuspotku potkaistaan ns. pilkulta, maalin keskikohdan kohdalta 11,0 metrin etäisyydeltä maalista. Tehtävänä on määrittää jalkapallokentältä kaikki ne kohdat, joista maali näkyy yhtä suuressa kulmassa kuin pilkulta. Maalin leveys on 7,32 m.

  1. Selvitä, miten suuressa kulmassa maali näkyy pilkulta.
  2. Hahmottele ympyrä, jonka yksi jänne on maali ja jonka kehällä pilkku sijaitsee. Missä sijaitsevat muut jalkapallokentän kohdat, joista maali näkyy yhtä suuressa kulmassa kuin pilkulta?
  3. Selvitä b-kohdassa kuvatun ympyrän keskipisteen etäisyys maalista ja ympyrän säteen pituus.

  1. Noin 36,8 asteen kulmassa.
  3. Ympyrän keskipisteen etäisyys maalista noin 4,89 m, ympyrän säde noin 6,11 m.

Maapallon säde on 6 371 km, ja sen pohjoisen napapiirin leveysaste on 66,5. Pohjoiselta napapiiriltä valitaan pisteet $A$ ja $B$, joiden pituusasteiden erotus on 90 astetta.

  1. Määritä pisteiden $A$ ja $B$ välisen viivasuoran tunnelin pituus.
  2. Määritä pisteiden A ja B välisen lyhyemmän napapiirin kaaren pituus.

[Pitkä K2016/6]

  1. 3 593 km
  2. 3 990 km

Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat $A$, $B$ ja $C$ ja niiden säteet samassa järjestyksessä 3, 3 ja 2. Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen? Anna vastauksena tämän ympyrän säteen tarkka arvo.

[Pitkä K2016/7]

$r = \frac{2}{5}$

Suorakulmaisen kolmion $ABC$ kateettien pituudet ovat $AB = 3$ ja $BC = 4$. Ympyrän keskipiste sijaitsee pidemmällä kateetilla. Lisäksi ympyrä kulkee pisteen $B$ kautta ja sivuaa kolmion hypotenuusaa. Määritä ympyrän säde.

[Lyhyt S2015/12]

$\frac{3}{2}$

  1. Suunnikkaan sisälle piirretään pienempi suunnikas, jonka kärjet ovat alkuperäisen suunnikkaan sivujen keskipisteissä. Laske pienen suunnikkaan pinta‐ala käyttämällä kuvioon merkittyjä pituuksia.
    [Lyhyt S2015/2]
  2. Harjoittele Geogebran tai TI-Nspiren käyttöä piirtämällä tehtävässä tarkastellut suunnikkaat. Samalla saat tarkistettua, saitko a-kohdasta oikean tuloksen. Katso tarvittaessa mallia Geogebran käyttöön tästä videosta ja TI-Nspiren käyttöön tästä videosta.

  1. $4 \text{ cm}^2$

Kolmio $ABC$ on suorakulmainen ja kylki $AC$ on sen hypotenuusa. Oletetaan, että $AB = 3$ ja $BC = 4$. Tarkastellaan ympyrää, josta tiedetään seuraavat asiat:

  • Ympyrän keskipiste on janalla $BC$.
  • Piste $B$ on ympyrän kehällä.
  • Ympyrä sivuaa kolmion $ABC$ hypotenuusaa $AC$.
Määritä ympyrän säde.

Ympyrän säde on $\frac{3}{2}$.

Oletetaan, etta pisteet $A$, $B$ ja $C$ ovat ympyrän kehällä, ja että suora $\ell$ on pisteen $A$ kautta kulkeva ympyrän tangentti. Oletetaan, että kulma $\sphericalangle ACB$ on terävä. Osoita, etta kulma $\sphericalangle ACB$ on yhtä suuri kuin suoran $\ell$ ja janan $AB$ välinen terävä kulma.

Voidaan päätellä, että alla olevassa kuvassa $\beta + \gamma = 90^\circ$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.