Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB3 - Geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Avaruusgeometriaa

Tämän luvun tavoitteena on, että opit ratkaisemaan erilaisia avaruusgeometrian ongelmia. Osaat

  • laskea monitahokkaiden, lieriöiden ja kartioiden tilavuuksia ja pinta-aloja
  • määrittää erilaisia avaruuden suorien ja tasojen välisiä kulmia
  • selvittää kappaleen tilavuuden yhdenmuotoisuussuhdetta käyttäen
  • laskea pallon ja pallosegmentin tilavuuden sekä pallon ja kalotin pinta-alan
  • määrittää etäisyyksiä pallon pinnalla.

MÄÄRITELMÄ: MONITAHOKAS

Monitahokas on kappale, jonka pinta koostuu monikulmioista. Nämä monikulmiot ovat monitahokkaan tahkoja. Monikulmioiden sivut ovat monitahokkaan särmiä ja kärjet monitahokkaan kärkiä.

Monitahokkaita ovat esimerkiksi kuutio, neliöpohjainen pyramidi ja suorakulmainen särmiö.
Sovitaan seuraavaksi vielä tarkemmin, mitä tarkoitetaan suorakulmaisella särmiöllä.

MÄÄRITELMÄ: SUORAKULMAINEN SÄRMIÖ

Suorakulmainen särmiö on monitahokas, jonka kaikki kuusi tahkoa ovat suorakulmioita ja jonka kaikki särmät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kappaleiden tilavuuksien laskemiseksi tarvitaan sopimus siitä, mitä tilavuudella tarkoitetaan. Lähtökohdaksi voidaan ottaa suorakulmaisen särmiön tilavuus. Sovitaan siis ensin, mitä suorakulmaisen särmiön tilavuudella tarkoitetaan. Asetetaan seuraava määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: SUORAKULMAISEN SÄRMIÖN TILAVUUS

Suorakulmaisen särmiön tilavuus on samasta kärjestä alkavien särmien pituuksien tulo eli alla olevan kuvion merkinnöillä $abc$.

Hotelliin suunnitellaan uima-allasta, joka on suorakulmaisen särmiön muotoinen. Altaan pituus on 8 m, leveys 2,5 m ja syvyys 1,7 m.

  1. Mikä on altaan tilavuus?
  2. Kuinka paljon altaan täyttäminen vedellä maksaa, jos veden hinta on 3,67 euroa kuutiometriltä?
  3. Kuinka monta neliömetriä laattoja tarvitaan altaan sisäpuolen laatoittamiseen? Laattoja varataan 5 % enemmän kuin laatoitettava pinta-ala.
  4. Harjoittele suorakulmaisen särmiön piirtämistä Geogebralla piirtämällä tässä tehtävässä tarkasteltu suorakulmainen särmiö. Katso tarvittaessa mallia tästä videosta.

  1. $34 \text{ m}^3$
  2. 124,78 euroa
  3. Noin $58{,}5 \text{ m}^2$

Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon pituuden, leveyden ja korkeuden suhde on $3:2:1$. Laatikon vetoisuus on 15,0 litraa. Määritä laatikon mitat millimetrin tarkkuudella.
Vihje: Merkitse yhden osan pituutta kirjaimella $x$.

Pituus 407 mm, leveys 271 mm, korkeus 136 mm.

Suorakulmaisen särmiön vastakkaisia kärkiä yhdistävä jana on särmiön avaruuslävistäjä. Alla on näkyvissä yksi suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjistä.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituus riippuu särmien pituuksista.

Suorakulmaisen särmiön pituus on 80 cm, leveys 50 cm ja korkeus 40 cm.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva niin sanotussa kavaljeeriperspektiivissä: Piirrä kuvassa edessä ja takana olevat sivutahkot suorakulmioina oikeissa mittasuhteissa. Piirrä syvyyssuunnassa kulkevat särmät 45 asteen kulmassa ja pienennä niiden pituus puoleen.
  2. Laske särmiön pohjan lävistäjän pituus.
  3. Laske särmiön avaruuslävistäjän pituus.
  4. Muodosta lauseke suorakulmaisen särmiön pohjan lävistäjän pituudelle tilanteessa, jossa särmiön pituus on $a$ ja leveys on $b$.
    Vinkki: b-kohta.
  5. Muodosta lauseke suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituudelle tilanteessa, jossa särmiön pituus on $a$, leveys on $b$ ja korkeus on $c$.
    Vinkki: c- ja d-kohdat.

  2. $\sqrt{8900} \text{ cm} \approx 94 \text{ cm}$.
  3. $\sqrt{10500} \text{ cm} \approx 102 \text{ cm}$.

Edellisen tehtävän tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituuden neliö on särmien pituuksien neliöiden summa. Alla olevan kuvion merkinnöillä $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Perustelu: tehtävässä 3.2.

Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon pohjasärmien pituudet ovat 40 cm ja 20 cm, ja laatikon korkeus on 15 cm. Tehtävänä on selvittää, mahtuuko ohut 46 cm pituinen suora sauva laatikkoon.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Laske pisimmän laatikkoon mahtuvan sauvan pituus. Mahtuuko 46 cm pituinen suora sauva laatikkoon?

  2. Pisin laatikkoon mahtuva sauva on noin 47 cm pitkä.

Tasogeometriassa tutustuttiin säännöllisiin monikulmioihin, joiden kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kulmat yhtä suuria.

Joistakin säännöllisistä monikulmioista voidaan muodostaa niin sanottuja säännöllisiä monitahokkaita:

MÄÄRITELMÄ: SÄÄNNÖLLINEN MONITAHOKAS

Monitahokas, jonka kaikki tahkot ovat yhteneviä (samanlaisia) säännöllisiä monikulmioita ja jonka jokaisessa kärjessä kohtaa yhtä monta tahkoa, on säännöllinen monitahokas.

Monitahokas on kupera, jos se toteuttaa seuraavan ehdon: jos monitahokkaan pinnan mitkä tahansa kaksi pistettä yhdistetään janalla, tämä jana ei käy monitahokkaan ulkopuolella.

On mahdollista osoittaa, että kuperia säännöllisiä monitahokkaita on yhteensä viisi. Nämä ovat niin sanotut Platonin kappaleet: säännöllinen tetraedri (nelitahokas), kuutio ja säännöllinen oktaedri (kahdeksantahokas)

sekä säännöllinen dodekaedri (kaksitoistatahokas) ja säännöllinen ikosaedri (kaksikymmentahokas).
(Yllä olevat punaiset kuvat Robert Webb, Stella software.)

Kuution tahkojen keskipisteet yhdistetään viereisten tahkojen keskipisteisiin.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Mikä Platonin kappale muodostuu kuution sisälle?
  2. Jos kuution särmän pituus on 2, mikä on sen sisälle muodostuvan Platonin kappaleen särmän pituus?
    Vinkki: halkaise kuutio sen keskipisteen kautta kulkevalla sivutahkon suuntaisella tasolla ja piirrä poikkileikkauksesta kuva.

  1. Kuution sisälle muodostuu säännöllinen oktaedri.
  2. Särmän pituus on $\sqrt{2}$.

Tasogeometriaa käsittelevässä luvussa määriteltiin, mitä tarkoitetaan yhdenmuotoisuudella tasokuvioiden tapauksessa. Yhdenmuotoisuuden käsite voidaan laajentaa myös kolmiulotteisiin kappaleisiin. Kappaleet, jotka saadaan toisistaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla, suurentamalla tai pienentämällä, ovat yhdenmuotoiset.

MÄÄRITELMÄ: KAPPALEIDEN YHDENMUOTOISUUS JA MITTAKAAVA

Kappaleet ovat yhdenmuotoiset, jos ne toteuttavat seuraavat ehdot:

  • kulma ja sen vastinkulma ovat aina yhtä suuret
  • suhde $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$ on sama riippumatta siitä, mitä kappaleen janaa tarkastellaan.

Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava määritellään samoin kuin tasokuvioiden tapauksessa eli suhteena $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$

Tutkitaan seuraavaksi, miten yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuudet liittyvät toisiinsa.


Kuvan suuremman särmiön mitat ovat 10x8x6 ja pienemmän 5x4x3. Särmiöt ovat yhdenmuotoiset. Tehtävänä on määrittää niiden tilavuuksien suhde ja huomata yhteys yhdenmuotoisuussuhteeseen.

  1. Määritä yhdenmuotoisuussuhde, eli minkä tahansa vastinosien pituuksien suhde.
  2. Lasku kummankin suorakulmaisen särmiön tilavuus ja niiden suhde.
  3. Miten tilavuuksien suhde liittyy yhdenmuotoisuussuhteeseen? Selitä omin sanoin.

  1. Suhde on 2:1 (tai 1:2).
  2. Tilavuksien suhde on 8:1 (tai 1:8).
  3. Tilavuuksien suhde on yhdenmuotoisuusuhteen kolmas potenssi, eli $(2:1)^3=8:1.$

Edellisen tehtävän havainnot voidaan yleistää kaikille kappaleille. Yleistys perustuu siihen, että jokainen kappale, jolla on tilavuus, voidaan täyttää miten tahansa tarkasti suorakulmaisilla särmiöillä ottamalla käyttöön aina vain pienempiä särmiöitä. Tämän osoittaminen täsmällisesti on kuitenkin niin työlästä, että seuraava teoreema otetaan käyttöön ilman tarkempaa perustelua.

TEOREEMA

Jos kappaleet ovat yhdenmuotoiset suhteessa $m : n$, niin kappaleiden tilavuuksien suhde on $$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{m}{n}\right)^3$$

Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on siis yhdenmuotoisuussuhteen eli mittakaavan kuutio.

Jalkapallon ympärysmitta on 70 cm ja tennispallon 20 cm. Tehtävänä on selvittää, kuinka moninkertainen jalkapallon tilavuus on tennispallon tilavuuteen verrattuna. Pallon tilavuuden kaavaa ei saa käyttää.

  1. Määritä jalkapallon ja tennispallon yhdenmuotoisuussuhde.
  2. Mikä on jalkapallon tilavuus, jos tennispallon tilavuus on $135 \text{ cm}^3?$
  3. Mikä on jalkapallon tilavuus, jos tennispallon tilavuus on $V$?

  1. Yhdenmuotoisuussuhde on $7 : 2$.
  2. Jalkapallon tilavuus on noin $5790 \text{ cm}^3 = 5{,}79 \text{ dm}^3$.
  3. Jalkapallon tilavuus on $\frac{343}{8}V$.

Kaksi juomapulloa ovat keskenään yhdenmuotoisia. Pienemmän tilavuus on 3 dl ja suuremman 5 dl. Mikä on pienemmän pullon korkeus, kun suurempi pullo on 19 cm korkea?

16 cm. Jos h on pienemmän pullon korkeus, niin saadaan verranto $\frac{3}{5}=\left( \frac{h}{19} \right)^3$, josta $h=\sqrt[3]{\frac{20577}{5}}\approx 16$.

Tässä kappaleessa tutkitaan pallon geometrisia ominaisuuksia. Aloitetaan määrittelemällä, mitä tarkoitetaan pallolla ja joillakin siihen liittyvillä käsitteillä.

MÄÄRITELMÄ: PALLO

Avaruuden pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat pallon eli pallopinnan. Kiinteä piste on pallon keskipiste ja vakioetäisyys sen säde.

Nimitystä pallo käytetään toisinaan myös pallopinnan rajoittamasta avaruuden osasta.

Niin sanotun integraalilaskennan avulla saadaan johdettua pallon tilavuudelle ja pinta-alalle kaavat, jotka on koottu seuraavaan teoreemaan. Integraalilaskentaan tutustutaan kurssissa MAA9.

TEOREEMA

Pallon tilavuus $V$ ja pinta-ala $A$ riippuvat pallon säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} V &= \frac{4\pi r^3}{3} \\ A &= 4\pi r^2 \end{align*}

Koripallon pinta-ala on noin 17,9 dm$^2$. Tehtävänä on ratkaista koripallon tilavuus. Anna vastaus litroissa.

  1. Katso pallon tilavuuden kaavaa. Mitä tietoja pallosta tarvitset, jotta voit laskea tilavuuden?
  2. Käytä pallon pinta-alaa ja ratkaise siitä muodostuva yhtälö.
  3. Laske pallon tilavuus. Ilmoita vastaus litroina. Muista tarkistaa yksikkömuunnokset TI Nspirellä.

  1. Tarvitaan säde.
  2. $r=\sqrt{\frac{17{,}9}{4\pi}}=1{,}19334\ldots$
  3. Koripallon tilavuus on 7,12 litraa.

Vesimelonin ympärysmitaksi mitattiin 78 cm. Kuoren paksuudeksi arvioitiin 1,5 cm. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon tässä vesimelonissa on vettä. Tiedetään, että vesimelonin syötävästä osasta vettä on noin 90 %.

  1. Piirrä mallikuva vesimelonin poikkileikkauksesta ja merkitse siihen tunnetut mitat. Selvitä vesimelonin säde.
  2. Mikä on vesimelonin syötävän osan tilavuus?
  3. Kuinka paljon vettä tulee nauttineeksi, jos syö koko vesimelonin?

  1. Säde on noin 12,4 cm.
  2. Syötävän osan tilavuus on noin $5400 \text{ cm}^3 = 5{,}4 \text{ dm}^3 = 5{,}4 \text{ l}$.
  3. Noin 4,9 litraa.

Myymälän kattoon kiinnitetään puolipallon muotoinen valvontapeili, jonka halkaisija on 900 mm ja paino 2,3 kg.

  1. Mikä on peilin pinta-ala?
  2. Saman valmistajan pienimmän valvotapeilin halkaisija on 600 mm ja paino 1,5 kg. Kuinka monta prosenttia tämän peilin pinta-ala on pienempi kuin myymälään asennettavan mallin?
  3. Keksi vielä toinen tapa b-kohdan ratkaisemiseen.
    Vinkki: teoreemat 21 & 12.

  1. Peilin pinta-ala on noin $1{,}27 \text{ m}^2$.
  2. Pienen peilin pinta-ala on noin 56 % pienempi kuin myymälään asennettavan mallin.

Jos palloa leikataan tasolla, leikkauskuvio on ympyrä. Tämän ympyrän koko riippuu siitä, miten kaukana pallon keskipisteestä leikkaava taso on. Eri tapauksissa syntyville ympyröille on omat nimityksensä:

MÄÄRITELMÄ: ISOYMPYRÄ JA PIKKUYMPYRÄ

Isoympyrä syntyy, jos pallo leikataan sen keskipisteen kautta kulkevalla tasolla.

Pikkuympyrä syntyy, jos pallo leikataan tasolla, joka ei kulje pallon keskipisteen kautta.

Yksi pisimmistä matkustajakoneiden lentoreiteistä oli Singapore Airlinesin lento Singaporesta Newarkin kentälle New Yorkiin maapallon isoympyrää pitkin. Tätä reittiä lennettiin vuosina 2003-2014 ja sen pituus oli noin 15 300 km.

Tehtävänä on arvioida tämän tiedon pohjalta, olisiko mahdollista lentää maapallon ympäri 10 kilometrin korkeudessa pitkin 53 asteen leveyspiiriä, jolla Berliini sijaitsee. Berliinin sijaintia ($53^\circ$ pohjoista leveyttä) on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

  1. Piirrä yllä olevan kuvan avulla mallikuva maapallon sopivasta poikkileikkauksesta. Merkitse siihen kaikkien kulmien suuruudet, jotka tiedät tai pystyt päättelemään.
  2. Selvitä lentoreittiä vastaavan pikkuympyrän säde sopivan trigonometrisen suhteen avulla. Maapallon säde on noin 6370 km.
  3. Kuinka pitkä 53 asteen leveyspiiriä pitkin kulkeva lentoreitti olisi?
  4. Utsjoen sijainti on $69{,}9^\circ$ pohjoista leveyttä. Onnistuisiko lento maapallon ympäri pitkin tätä leveyspiiriä?

  2. Lentoreittiä vastaavan pikkuympyrän säde on noin 3840 km.
  3. Lentoreitin pituus olisi noin 24 100 km, joten sen lentäminen matkustajakoneella ilman välilaskuja ei olisi mahdollista.
  4. Lentoreitin pituus Utsjoen leveyspiirillä olisi noin 13 800 km, joten tämä lentoreitti olisi teoriassa mahdollinen.

Helsinki ja Botswanan pääkaupunki Gaborone sijaitsevat lähes samalla pituuspiirillä. Helsingin sijainti on $60{,}2^\circ$ pohjoista leveyttä ja Gaboronen $24{,}7^\circ$ eteläistä leveyttä. Helsingin sijaintia on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Tehtävänä on selvittää Helsingin ja Gaboronen välinen etäisyys. Tiedetään, että maapallon säde on noin 6370 km.

  1. Piirrä mallikuva maapallon poikkileikkauksesta ja merkitse siihen tunnetut kulmat. Saadaanko kysytty etäisyys maapallon isoympyrän kaaren pituutena vai pikkuympyrän kaaren pituutena?
  2. Laske Helsingin ja Gaboronen välinen etäisyys kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  3. Vertaa saamaasi tulosta esimerkiksi tämän palvelun antamaan tulokseen. Mitä syitä keksit sille, että tuloksissa on eroa?

  2. Etäisyys on noin 9440 km.

Aiemmin tässä luvussa tutustuit erilaisiin monitahokkaisiin. Ne ovat kappaleita, joiden pinta koostuu monikulmioista. Yksi esimerkki monitahokkaasta on suorakulmainen särmiö. Voidaan ajatella, että se muodostuu, kun suora liikkuu pitkin suorakulmiota koko ajan kohtisuorassa suorakulmion tasoa vastaan ja syntynyt pinta leikataan kahdella yhdensuuntaisella tasolla:

Kappaleita, jotka muodostuvat tähän tapaan, sanotaan lieriöiksi.

MÄÄRITELMÄ: LIERIÖ

Jos suora liikkuu pitkin umpinaista viivaa, joka ei leikkaa itseään, ja jos suora säilyttää koko ajan suuntansa, muodostuu lieriöpinta.

Jos lieriöpinta leikataan kahdella yhdensuuntaisella tasolla, syntyy lieriö.

Lieriöllä on vaippa sekä kaksi keskenään yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa.

Ympyrälieriön pohja on ympyrä. Särmiö eli prisma on lieriö, jonka pohja on monikulmio.

Suora lieriö tarkoittaa lieriötä, jonka vaippa on kohtisuorassa pohjaa vastaan.

  1. Keksi esimerkki kappaleesta, joka on monitahokas mutta ei lieriö.
  2. Keksi esimerkki kappaleesta, joka on lieriö mutta ei monitahokas.
  3. Keksi esimerkki kappaleesta, joka on sekä lieriö että monitahokas.
  4. Keksi esimerkki kappaleesta, joka ei ole lieriö eikä monitahokas.

Voidaan osoittaa, että jos kahden yhtä korkean kappaleen tasoleikkausten pinta-alat ovat keskenään yhtä suuret riippumatta siitä, miltä korkeudelta ne leikataan, on kappaleilla sama tilavuus. Tätä sanotaan Cavalierin periaatteeksi.

Suorakulmaisen särmiön tilavuus on määritelmän mukaan samasta kärjestä alkavien särmien pituuksien tulo. Suorakulmaisen särmiön tilavuus voidaan ilmaista myös särmiön pohjan pinta-alan ja korkeuden tulona. Alla olevan kuvan merkinnöillä $$V = abh = A_p \cdot h$$

Cavallierin periaatteesta seuraa, että minkä tahansa lieriön tilavuus saadaan laskemalla sellaisen suorakulmaisen särmiön tilavuus, jolla on sama korkeus ja pohjan pinta-ala kuin tarkasteltavalla lieriöllä. Minkä tahansa lieriön tilavuus saadaan siis sen pohjan pinta-alan ja korkeuden tulona.

TEOREEMA

Lieriön tilavuus $V$ on lieriön pohjan pinta-alan $A_p$ ja lieriön korkeuden $h$ tulo: $$V = A_p \cdot h$$

Tasakattoisen omakotitalon katon pinta-ala on $105 \text{ m}^2$. Ukkoskuuron aikana vettä satoi 5 mm. Tehtävänä on laskea, kuinka monta litraa vettä talon katolle satoi.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen tehtävässä annetut mitat. Selitä omin sanoin, miksi talon muodolla ei ole merkitystä tehtävän ratkaisussa.
  2. Muuta annetut mitat yhteensopiviin yksikköihin ja laske katolle sataneen veden määrä.
  3. Ilmaise katolle sataneen veden määrä litroina. Kertaa tarvittaessa tilavuusyksiköiden muunnokset esimerkiksi täältä.

  2. Katolle satoi vettä $0{,}525 \text{ m}^3$.
  3. Katolle satoi vettä 525 litraa.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia suoria lieriöitä.

Tutkitaan suoraa ympyrälieriötä, jonka korkeus on 5 ja pohjan halkaisija 8.

  1. Piirrä Geogebralla mallikuva tilanteesta. Aloita piirtämällä oikeankokoinen pohjaympyrä piirtoalueelle ja tämän jälkeen valitse Näytä 3D-piirtoalue. Tämän jälkeen valitse pyramidi-työkalun alta komento Laajenna särmiöksi/lieriöksi ja syötä korkeus.
  2. Laske pohjan pinta-alan tarkka arvo ilman laskinohjelmistoa. Laske myös tilavuuden tarkka arvo.
  3. Tarkista, onko tilavuutesi likiarvo sama kuin Geogebran antama vastaus.

  2. Pohjan pinta-ala on $16\pi$. Tilavuus on $80\pi$.
  3. Tilavuuden likiarvo on 251 ja tämä on sama kuin Geogebran antama vastaus.

Yksi suoran lieriön erikoistapaus on suora ympyrälieriö. Ennen kuin siirryt tekemään seuraavaa tehtävää, kokeile levittää suoran ympyrälieriön vaippa tasoon tämän Geogebra-sovelluksen avulla.

Tässä tehtävässä päätellään lauseke suoran lieriön vaipan pinta-alalle. Kun suoran lieriön vaippa leikataan auki pohjaa vastaan kohtisuoraan, vaippa avatuu suorakulmioksi kuten alla olevassa kuvassa.

  1. Piirrä vastaava mallikuva omaan vihkoosi. Merkitse lieriön pohjan piiriä jollakin kirjaimella. Merkitse lieriön korkeutta jollakin toisella kirjaimella.
  2. Tunnista alla olevasta kuvasta lieriön pohjan piiri ja lieriön korkeus. Ilmaise vaipan pinta-ala $A_v$ niiden avulla.

Tehtävän 3.20 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Suoran lieriön vaipan pinta-ala $A_v$ on lieriön pohjan piirin $p$ ja lieriön korkeuden $h$ tulo: $$A_v = ph$$

Perustelu: tehtävässä 3.20.

Suoran lieriön muotoisen maljakon korkeus on 120 mm. Maljakko täytettiin vedellä aivan täyteen ja veden määräksi mitattiin 1,80 litraa. Mittanauhan avulla maljakon pohjan piiriksi mitattiin 38,7 cm.

  1. Selvitä maljakon pohjan pinta-ala. Anna vastaus neliösenttimetreinä kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Selvitä maljakon vaipan pinta-ala. Anna vastaus neliösenttimetreinä kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Maljakon pohjan pinta-ala on $1{,}50 \text{ dm}^2 = 150 \text{ cm}^2$.
  2. Maljakon vaipan pinta-ala on noin $464 \text{ cm}^2$.

Neliöpohjainen pyramidi on yksi esimerkki monitahokkaasta, joka ei ole lieriö. Voidaan ajatella, että se muodostuu, kun kiinteän pisteen kautta kulkeva suora liikkuu pitkin neliötä ja syntynyt pinta leikataan tasolla:

Kappaleita, jotka muodostuvat tähän tapaan, sanotaan kartioiksi.

MÄÄRITELMÄ: KARTIO

Jos suora liikkuu pitkin umpinaista viivaa, joka ei leikkaa itseään, ja jos suora kulkee koko ajan saman pisteen kautta, muodostuu kartiopinta.

Jos kartiopinta leikataan tasolla, syntyy kartio.

Kartiolla on vaippa sekä pohja ja huippu.

Ympyräkartion pohja on ympyrä. Pyramidi on kartio, jonka pohja on monikulmio.

Suoran kartion huipusta piirretty korkeusjanan toinen päätepiste on pohjan keskipisteessä.

Kuutio on mahdollista leikata kolmeksi samanlaiseksi pyramidiksi, joiden pohjana on kuution tahko ja joiden korkeus on sama kuin kuution korkeus:

Tästä voidaan päätellä, että tällaisen pyramidin tilavuus on kolmasosa sellaisen suorakulmaisen särmiön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja korkeus kuin pyramidilla.

Voit kokeilla kuution jakamista kolmeksi yhteneväksi pyramidiksi tällä Geogebra-sovelluksella.

Integraalilaskennan avulla voidaan osoittaa, että kysymyksessä ei ole sattuma vaan yleispätevä tosiasia: on aina kolmasosa sellaisen lieriön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja sama korkeus kuin kartiolla.

TEOREEMA

Kartion tilavuus on kolmasosa sellaisen lieriön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja sama korkeus kuin kyseisellä kartiolla. Kartion tilavuus $V$ on siis kolmasosa kartion pohjan pinta-alan $A_p$ ja kartion korkeuden $h$ tulosta: $$V = \frac{A_p \cdot h}{3}$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan kartion tilavuuden laskemista. Sopivan poikkileikkauskuvan piirtäminen helpottaa tarvittavien mittojen selvittämistä.

Tehtävänä on selvittää kuvassa olevan suoran ympyräkartion tilavuus.

  1. Tarkista yllä olevasta teoreemasta, mitä asioita kartiosta täytyy tietää, jotta sen tilavuuden voi laskea. Onko kaikki tiedot annettu tehtävässä jo valmiiksi? Jos ei, niin mieti luvun 1 avulla, miten saat tarvittavat tiedot selville.
    Vihje: Tee poikkileikkaus kartion kärjen kautta kohtisuoraa pohjaa vastaan.
  2. Laske nyt kartion tilavuus. Anna vastaus desilitroina.

  1. Poikkileikkauskuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa on kateetteina kartion korkeus $h$ ja pohjaympyrän säde $2{,}9$ sekä hypotenuusana sivujana $14{,}5$. Pythagoraan lauseesta saadaan $h=\sqrt{14{,}5^2-2{,}9^2}=14{,}207\ldots$
  2. 1,3 dl. Kartion tilavuus on $\frac{\pi\cdot 2{,}9^2\cdot 14{,}207\ldots}{3}\approx 130$ (cm$^3$).

Alla on piirretty kuva katkaistusta ympyräkartiosta.

  1. Piirrä kuva vihkoosi ja täydennä se kokonaiseksi kartioksi.
  2. Tee kartiosta poikkileikkaus kartion kärjen ja pohjan keskipisteen kautta. Kuvaan muodostuu kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Miten voit perustella ne yhdenmuotoisiksi? Katso tarvittaessa luvusta 1 vihjettä.
  3. Nimeä lisäämäsi pikkukartion korkeus kirjaimella $x$. Muodosta yhdenmuotoisuuden avulla verranto ja ratkaise siitä $x.$
  4. Laske koko kartion tilavuus ja pienen yläkartion tilavuus. Laske näiden avulla alkuperäisen katkaistun kartion tilavuus.
  5. Keksitkö toisen tavan ratkaista katkaistun kartion tilavuuden?

  2. kk-lauseella: yhteinen kulma ja molemmissa suora kulma.
  3. $\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}$, josta $x=3$.
  4. Koko kartion tilavuus on $8\pi$ ja pikkukartion tilavuus on $\pi$. Näin ollen katkaistun kartion tilavuus on näiden erotus, eli $7\pi$.
  5. Katkaistulle kartiolle löytyy MAOLista oma kaava, jonka joku saattoi löytää. Lisäksi olisi voinut hyödyntää yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhdetta, eli $\frac{V_{pikku}}{V_{iso}}=\left( \frac{1}{2} \right)^3$, josta olisi saanut tiedon, että $V_{pikku}=\frac{1}{8}V_{iso}.$

Kheopsin pyramidin pohja on neliö, jonka sivun pituudeksi mitattiin 230,4 metriä. Pyramidin korkeus on 146,7 metriä. Tehtävänä on selvittää pyramidin tilavuus ja kokonaispinta-ala näiden mittausten pohjalta.

  1. Laske pyramidin tilavuus.
  2. Mistä osista pyramidin kokonaispinta-ala koostuu?
  3. Mitä tietoja tarvitset, jotta voit laskea sivukolmion pinta-alan?
  4. Laske pyramidin kokonaispinta-ala.
  5. Valitse sopiva asteikko Geogebrassa ja ratkaise tehtävä Geogebralla. Tarvittavat asiat on harjoiteltu jo aiemmissa Geogebra-tehtävissä.

  1. Pyramidin tilavuus on noin $2\,600\,000 \text{ m}^3$.
  2. Pyramidin kokonaispinta-ala on noin $139\,000 \text{ m}^2$.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan suoraa ympyräkartiota.

Suoran ympyräkartion sisälle on laitettu mahdollisimman suuri pallo. Pallo sivuaa kartion pohjaa pohjan keskipisteessä ja kartion vaippaa kuten alla olevassa kuvassa. Kartion korkeus on 15 ja pohjaympyrän säde on 8. Tehtävänä on määrittää pallon säde.

  1. Piirrä kuva poikkileikkauksesta, joka kulkee kartion huipun ja pohjaympyrän halkaisijan kautta. Merkitse kuvaan kaikki tunnetut mitat. Merkitse pallon sädettä jollakin kirjaimella.
  2. Tunnista kuvasta kaksi erikokoista suorakulmaista kolmiota. Perustele, että ne ovat yhdenmuotoiset.
    Vinkki: teoreema 3.
  3. Ratkaise isomman kolmion hypotenuusan pituus. Muodosta pienemmän kolmion hypoteenuusalle lauseke, jossa esiintyy pallon säde.
  4. Muodosta kolmioiden yhdenmuotoisuuden avulla verrantoyhtälö ja ratkaise pallon säde.

  3. Isomman suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 17. Pienemmän suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $15-r$.
  4. Pallon säde on $\dfrac{24}{5} = 4{,}8$.

Suoran ympyräkartion sivujana tarkoittaa janaa, joka yhdistää suoran ympyräkartion huipun johonkin pohjaympyrän kehän pisteeseen. Alla olevassa kuvassa yksi sivujana on piirretty punaisella.

Tässä tehtävässä päätellään lauseke suoran ympyräkartion vaipan pinta-alalle. Kun suoran ympyräkartion vaippa leikataan auki pitkin sivujanaa, vaippa avatuu ympyräsektoriksi kuten alla olevassa kuvassa.

  1. Piirrä vastaava mallikuva omaan vihkoosi. Merkitse kartion pohjaympyrän sädettä jollakin kirjaimella. Merkitse kartion sivujanan pituutta jollakin toisella kirjaimella.
  2. Ilmaise ympyräsektorin kaaren pituus $b$ kartion pohjaympyrän säteen avulla.
  3. Tunnista alla olevasta kuvasta kartion sivujana. Mikä on koko ympyrän kehän pituus? Entä pinta-ala? Ilmaise ne kartion sivujanan pituuden avulla.
  4. Tehtävässä 2.22 havaittiin, että ympyräsektorin pinta-alan $A_v$ suhde koko ympyrän pinta-alaan on sama kuin ympyräsektorin kaaren pituuden $b$ suhde ympyrän kehän pituuteen.
    Muodosta tämän tiedon avulla verrantoyhtälö ja ratkaise siitä ympyräsektorin pinta-ala $A_v$.

Tehtävän 3.24 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Suoran ympyräkartion vaipan pinta-ala $A_v$ on $$A_v = \pi rs,$$ missä $r$ on kartion pohjaympyrän säde ja $s$ on kartion sivujana.

Perustelu: tehtävässä 3.24.

Ulkoilualueelle suunnitellaan suoran ympyräkartion muotoista kotaa, joka on 2,8 m korkea ja 4,8 m leveä. Tehtävänä on laskea kodan seinään tarvittavan kankaan määrä ja kodan tilavuus.

  1. Piirrä mallikuva kodasta tai sen poikkileikkauksesta. Merkitse kuvaan kaikki tunnetut mitat.
  2. Mitä tietoja tarvitset kankaan määrän selvittämiseen? Ratkaise tarvittavat tiedot suorakulmaisen kolmion geometrian avulla.
  3. Kuinka paljon kangasta tarvitaan kodan seinään? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  4. Mikä on suunnitellun kodan tilavuus?

  2. Kotaa vastaavan suoran ympyräkartion sivujanan pituus on noin 3,7 m.
  3. Kangasta tarvitaan noin $28 \text{ m}^2$.
  4. Kodan tilavuus on noin $17 \text{ m}^3$.

MONITAHOKKAITA

Kannellinen laatikko, jonka ulkomitat ovat 80 cm, 60 cm ja 40 cm, on valmistettu 30 mm paksuisesta styrokslevystä.

  1. Laske laatikon vetoisuus litroina.
  2. Kuinka paljon laatikko painaa? Yksi kuutiodesimetri styroksia painaa 21 grammaa.

  1. Noin 136 litraa.
  2. Noin 1,18 kilogrammaa.

MONITAHOKKAITA

Kissa kulki 8 metriä suoraan, kääntyi 90 astetta, kulki 5 metriä suoraan ja kiipesi puuhun 3 metrin korkeuteen. Mikä on kissan etäisyys lähtöpaikasta? Anna vastaus yhden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Kissan etäisyys lähtöpaikasta on noin 10 metriä.

MONITAHOKKAITA

Jotkin lentoyhtiöt noudattavat käsimatkatavaran suhteen niin sanottua 115 senttimetrin sääntöä: käsimatkatavarana voi kuljettaa suorakulmaisen särmiön muotoisen esineen, jonka pituuden, leveyden ja korkeuden summa ei ylitä 115 senttimetriä.
Laukun pohja on suorakulmio, jonka pituuden ja leveyden suhde on $3:2$, ja laukun korkeus on 55 cm.

  1. Määritä käsimatkatavaraksi kelpaavan mahdollisimman tilavan laukun muut mitat.
  2. Mahtuuko laukkuun 63 senttimetrin pituinen suorakahvainen sateenvarjo?

  1. Pohjan mitat 36 cm ja 24 cm.
  2. Kyllä.

MONITAHOKKAITA

Jään läpi halutaan nostaa kuution muotoinen kotelo, jonka särmien pituus on 40 cm. Kuinka suuri pyöreä reikä jäähän tulee kairata, jos köysi on kiinnitetty

  1. tahkon keskipisteeseen
  2. särmän keskipisteeseen?

  1. Reiän halkaisijan pitää olla vähintään noin 57 cm.
  2. Reiän halkaisijan pitää olla vähintään noin 70 cm (n. 69,3 cm).

Yhdenmuotoisuus

Kappaleen kokoa muutetaan niin, että kappale säilyy yhdenmuotoisena. Miten kappaleen mittoja tulee muuttaa, jotta kappaleen tilavuus

  1. kasvaisi kymmenkertaiseksi?
  2. pienenisi puoleen?

  1. Kasvattaa kertoimella $\sqrt[3]{10} \approx 2{,}15$.
  2. Pienentää kertoimalla $\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}\approx 0{,}794$.

Yhdenmuotoisuus

Pallon muotoisessa ilmapallossa on 8,2 litraa ilmaa. Kuinka monta litraa ilmaa siihen pitää puhaltaa, jotta pallon läpimitta 1,4-kertaistuisi?

Noin 14 litraa.

Yhdenmuotoisuus

Kuohuviinilasi on suoran ympyräkartion muotoinen. Lasiin mahtuu 16 senttilitraa viiniä.

  1. Lasi täytetään puoliväliin. Kuinka paljon lasissa on viiniä?
  2. Lasiin kaadetaan 12 senttilitraa viiniä. Kuinka monta prosenttia nestekerroksen korkeus on koko lasin korkeudesta?

  1. Tasan 2 cl.
  2. Noin 91 %.

Yhdenmuotoisuus

Suoran ympyräkartion muotoisen pikarin vetoisuus on 10 senttilitraa ja sen sivujanan pituus on 11 cm. Pikariin on kaiverrettava viivat 4 cl ja 8 cl kohdalle. Määritä viivojen paikat.

Noin 8,1 cm ja 10 cm pikarin pohjasta sivua pitkin mitattuna.

Pallo

Puolipallo on mahdutettu mahdollisimman pieneen suorakulmaiseen särmiöön.

  1. Laske puolipallon tilavuuden suhde särmiön tilavuuteen.
  2. Kuinka monta prosenttia särmiön tilavuudesta jää tyhjäksi?

  1. Suhde on $\dfrac{\pi}{6}$.
  2. Noin 48 %.

Pallo

Kuution sisään asetettu pallo tarkoittaa palloa, joka sivuaa kuution kaikkia tahkoja. Kuution ympäri asetettu pallo tarkoittaa palloa, joka kulkee kuution kaikkien kärkien kautta.
Kuution sivun pituus on $a$. Määritä kuution sisään ja ympäri asetettujen pallojen säteet.

Sisään asetetun pallon säde $\dfrac{1}{2}a$.
Ympäri asetetun pallon säde $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.

Pallo

Jatkoa edelliseen tehtävään. Määritä kuution sisään ja ympäri asetettujen pallojen

  1. säteiden suhde
  2. pinta-alojen suhde
  3. tilavuuksien suhde.

  1. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
  2. $\dfrac{1}{3}$
  3. $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$

Pallo

Sääsatelliitti ylittää pohjoisnavan 850 km korkeudella. Mille leveyspiirille satelliitin näkyvyys ulottuu, kun se on pohjoisnavan yläpuolella?
Maapallon ympärysmitta on kolmen numeron tarkkuudella 40 000 km.

Noin leveyspiirille $62^\circ$ pohjoista leveyttä.

Pallo

Hanoi, Cancun ja Honolulu sijaitsevat kaikki suunnilleen samalla leveyspiirillä $21^\circ$ pohjoista leveyttä. Hanoi sijaitsee pituuspiirillä $106^\circ$ itäistä pituutta, Cancun $87^\circ$ läntistä pituutta ja Honolulu $158^\circ$ läntistä pituutta. Tehtävänä on laskea, miten pitkä matka on kaupungista toiseen, jos matka tehdään kompassin avulla kulkemalla koko ajan itään tai länteen.
Maapallon ympärysmitta on kolmen numeron tarkkuudella 40 000 km.

Hanoi-Cancun 17 300 km
Hanoi-Honolulu 9 960 km
Cancun-Honolulu 7 360 km.

Lieriö

Salin ympärysmitta on 44 m ja korkeus 3,5 m. Ikkunoiden ja ovien yhteenlaskettu pinta-ala on $43 \text{ m}^2$. Mikä on maalattavan seinäpinnan ala?

Seinäpinnan ala on $111 \text{ m}^2.$

Lieriö

Suoran ympyrälieriön muotoisen mittalasin pohjan halkaisija on 3 cm. Lasiin on tehtävä merkit 10 millilitran kohdalle ja siitä 10 millilitran välein aina 50 millilitraan asti. Mille korkeudelle merkit pitää tehdä?

Merkkien korkeudet pohjasta lukien 14 mm, 28 mm, 42 mm, 57 mm ja 71 mm.

Lieriö

Ilmastointiputken poikkileikkaus on ympyrä, jonka halkaisija on 125 mm. Ilma virtaa putkessa nopeudella 0,5 m/s. Kuinka monta kuutiometriä ilmaa virtaa huoneeseen kymmenessä minuutissa?

Noin $3{,}7 \text{ m}^3.$

Lieriö

Suoran ympyrälieriön muotoiseen mittalasiin, jonka halkaisija on 3,0 cm, kerääntyy sadevesi suppilosta, jonka ympyrän muotoisen suuaukon halkaisija on 14 cm. Vuorokauden aikana mittalasiin kertyi 62 mm korkea vesikerros. Kuinka monta millimetriä vuorokauden aikana satoi?

Vuorokauden aikana satoi noin 2,8 mm.

Lieriö

Kun lieriön muotoiseen astiaan kaadettiin 1,0 litraa vettä, vedenpinta astiassa nousi 13,5 cm. Kun astiaan upotettiin metallipallo, vedenpinta nousi vielä 2,5 cm. Mikä oli pallon säde?

Pallon säde oli noin 3,5 cm.

Lieriö

Suorakulmaisen särmiön muotoisen huoneen pituus on 4,0 m, leveys 3,0 m ja korkeus 2,5 m. Huoneen kattonurkassa on muurahainen, joka haluaa kulkea vastakkaiseen lattianurkkaan. Muurahainen voi kävellä kattoa ja seiniä pitkin miten vain haluaa. Tehtävänä on selvittää, mikä on lyhin mahdollinen reitti ja kuinka pitkä se on.

  1. Piirrä mallikuva suorakulmaisesta särmiöstä, joka on leikattu auki särmiä pitkin ja levitetty tasoon.
  2. Millainen on lyhin reitti kattonurkasta lattianurkkaan, jos särmiö on leikattu auki ja levitetty tasoon?
  3. Laske lyhimmän mahdollisen reitin pituus.
  4. Olisiko särmiön voinut leikata auki jollakin toisella tavalla ja levittää tasoon niin, että reitti kattonurkasta lattianurkkaan olisi ollut vielä lyhyempi?

  2. Reitti on suora ja kulkee pitkin kattoa ja pitempää seinää.
  3. Lyhin mahdollinen reitti on noin 6,8 metriä.
  4. Reitti, joka kulkee pitkin kattoa ja lyhyempää seinää, on noin 7,2 metriä. Reitti, joka kulkee pitkin kumpaakin seinää, on noin 7,4 metriä.

Kartio

Pahvisesta ympyrästä, jonka säde on 18,0 cm leikataan $225^\circ$ sektori. Sektori kiedotaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Laske kartion

  1. pohjan säde
  2. tilavuus.

  1. Noin 11,3 cm.
  2. Noin $1860 \text{ cm}^3 = 1{,}86 \text{ dm}^3 = 1{,}86 \text{ l}$.

Kartio

Suoran ympyräkartion korkeus on 18 ja pohjan säde 6. Kartion sisällä on suora ympyrälieriö, jonka toinen pohjaympyrä on kartion pohjalla ja toinen kartion vaipalla. Lieriön korkeus on 12. Mikä on lieriön pohjaympyrän säde?

Lieriön pohjaympyrän säde on 2.

Kartio

Kolmisivuisen pyramidin pohja on tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituus on 8,6 cm. Pyramidin korkeus on 10,7 cm.

  1. Hahmottele kuva pyramidista.
  2. Laske pyramidin tilavuus.

  2. Pyramidin tilavuus on noin $130 \text{ cm}^3 = 0{,}13 \text{ dm}^3 = 0{,}13 \text{ l}$.

Kartio

Suora ympyräkartio ympäröidään pallolla niin, että ympyräkartion huippu ja pohjaympyrä ovat pallon pinnalla. Ympyräkartion korkeus on kolme viidesosaa pallon halkaisijasta. Tehtävänä on laskea ympyräkartion tilavuuden suhde pallon tilavuuteen.

  1. Piirrä mallikuva poikkileikkauksesta, joka kulkee kartion huipun ja pohjaympyrän keskipisteen kautta.
  2. Merkitse pallon sädettä jollakin kirjaimella. Ilmaise ympyräkartion korkeus pallon säteen avulla.
  3. Ilmaise kartion pohjaympyrän säde pallon säteen avulla.
    Vinkki: täydennä kuvaa niin, että voit käyttää Pythagoraan lausetta.
  4. Muodosta lausekkeet ympyräkartion ja pallon tilavuudelle. Määritä niiden suhde.

  2. $h = \dfrac{6}{5}r$
  3. $\dfrac{\sqrt{24}}{5}r$
  4. Suhde on $\dfrac{36}{125}$.

Kartio

Ympyräsektori kiedotaan suoran ympyräkartion vaipaksi.

  1. Ympyräsektorin keskuskulma on $200^\circ$. Kuinka suuri on tällöin kartion huippukulma eli kahden vastakkaisen sivujanan välinen kulma? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  2. Kuinka suuri ympyräsektorin keskuskulman tulee olla, jotta kartion huippukulma olisi $90^\circ$?

  1. Noin $67{,}5^\circ$.
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot 360^\circ \approx 254{,}6^\circ$

Kartio

Pöydälle neliönmuotoisen kehikon sisään on asetettu neljä tennispalloa, jotka sivuavat toisiaan niin, että niiden keskipisteet muodostavat neliön. Pallojen keskelle asetetaan viides tennispallo. Tehtävänä on laskea muodostuvan keon korkeus. Tennispallojen halkaisija on noin 6,7 cm.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva, jossa näkyvät tennispallojen keskipisteet. Yhdistä kaikki nämä keskipisteet toisiinsa janoilla. Millainen kappale muodostuu?
  2. Päättele, miten pitkiä mallikuvan kappaleen särmät ovat.
  3. Laske kappaleen korkeus ja päättele, mikä on tennispalloista muodostuvan keon korkeus.

  1. Neliöpohjainen pyramidi.
  2. Kaikkien särmien pituus on 6,7 cm.
  3. Pyramidin korkeus on noin 4,7 cm. Koko keon korkeus on noin 11,4 cm.

  1. Kuntopolun pituus kartalla on 17,5 cm. Mikä on polun pituus maastossa, kun kartan mittakaava on $1 : 20\ 000$? Anna vastaus 100 metrin tarkkuudella.
  2. Laske kuution yhden sivutahkon pinta‐ala neliösenttimetrin tarkkuudella, kun kuution tilavuus on 7,0 litraa.
[Pitkä S2015/3]

  1. $3\ 500$ m
  2. Noin $366 \text{ cm}^2$.

Neliöpohjaiseen suorakulmaiseen särmiöön on mahdutettu mahdollisimman suuri samankokoinen suora ympyrälieriö. Määritä ympyrälieriön tilavuuden suhde särmiön tilavuuteen (tarkka arvo ja likiarvo prosentteina prosentin tarkkuudella).

Suhde on $\dfrac{\pi}{4}$ eli prosentteina noin 79 %.

Pahvi taitetaan merkityistä kohdista suoran kolmisivuisen särmiön vaipaksi. Kuinka suuri särmiön tilavuus on?

Noin $58 \text{ cm}^3.$

Tehtävä 1:
Ratkaise tehtävä A-osan tapaan ja kirjoita ratkaisut kaavaeditorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi. Suorakulmaisen särmiön mitat ovat suhteessa 1:2:3 (leveys, pituus, korkeus) ja särmiön tilavuus on 384 m³. Laske avaruuslävistäjän pituus kymmenen senttimetrin tarkkuudella.

Tehtävä 2:
Ratkaise tehtävä B-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu TI Nspiren Muistiinpanot -sovelluksella ja GeoGebralla. Neliöpohjaisen suoran pyramidin pohjan pinta-ala on 64 ja korkeus 6.

  1. Laske pyramidin tilavuus. (2 p.)
  2. Laske pyramidin kokonaispinta-ala kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. (4 p.)
  3. Tarkista Geogebran avulla kaikki edellä saamasi tulokset. Määritä lisäksi pohjatahkon ja sivusärmän välinen kulma asteen tarkkuudella. Muista, että ohjelman käyttötavan tulee käydä ilmi ratkaisusta. (6 p.)