Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB4 - Matemaattisia malleja

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Lineaarinen malli

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet lineaarisen mallin ominaisuudet ja osaat käyttää sitä erilaisten ilmiöiden kuvaamiseen ja ennusteiden tekemiseen. Osaat

  • kuvata lineaarista riippuvuutta ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
  • määrittää suoran kulmakertoimen ja suoran yhtälön
  • määrittää annetun suoran kanssa yhdensuuntaisen ja sitä vastaa kohtisuoran suoran
  • määrittää suoran ja koordinaattiakselien leikkauspisteet sekä kahden suoran leikkauspisteen
  • tunnistaa aritmeettisen lukujonon ja määrittää lausekkeen sen yleiselle jäsenelle
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Tässä luvussa tutustutaan niin sanottuun lineaariseen malliin. Kielitoimiston sanakirjan mukaan sana lineaarinen tarkoittaa samaa kuin suoraviivainen tai viivan kaltainen. Matematiikassa lineaarisella mallilla kuvataan ilmiöitä, joissa muutos on tasaista, suoraviivaista, tai joissa kahden suureen riippuvuutta voidaan kuvata koordinaatiston suoralla (kurssista MAB2 tuttu lineaarinen riippuvuus). Lineaarisena mallina voi olla ensimmäisen asteen polynomifunktio, koordinaatiston suora tai aritmeettinen lukujono. Näihin liittyviä asioita opiskellaan ja kerrataan seuraavissa kappaleissa.

Alla on mallinnettu koordinaatistossa kolmea erilaista ilmiötä.

  1. Yhdistä ilmiö sopivaan kuvaan:
    Ilmiö Kuva
    Benjihyppääjän nopeus
    Jäljellä oleva lainapääoma
    Omenoiden hinta
  2. Yhdistä lineaarinen malli sopivaan kuvaan:
    Malli Kuva
    Ensimmäisen asteen polynomifunktio
    Suora
    Aritmeettinen lukujono

  1. Ilmiö Kuva
    Benjihyppääjän nopeus 3
    Jäljellä oleva lainapääoma 1
    Omenoiden hinta 2
  2. Yhdistä lineaarinen malli sopivaan kuvaan:
    Malli Kuva
    Ensimmäisen asteen polynomifunktio 2
    Suora 2
    Aritmeettinen lukujono 1

Kurssissa MAY1 tutustuttiin funktioihin, joiden avulla voidaan mallintaa ja tutkia erilaisten mitattavissa olevien asioiden välisiä riippuvuuksia. Funktioita voidaan luokitella niiden ominaisuuksien perusteella, ja erityisen tärkeän funktioiden luokan muodostavat niin sanotut ensimmäisen asteen polynomifunktiot. Niitä tutkittiin tarkemmin jo kurssissa MAB2.

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax+b$, missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 3x - 4$.

  1. Vertaa funktion $f$ lauseketta ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä mikä on vakio $b$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 0$ eli laske, mitä on $f(0)$.
  3. Laske $f(3)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = 3$ ja $b = -4$, huomaa miinusmerkki.
  2. $f(0) = -4$
  3. $f(3) = 5$
  4. Pisteet ovat $(0,-4)$ ja $(3,5)$.

Ensimmäisen asteen polynomifunktiot ovat hyvin käyttökelpoisia, koska niiden avulla voidaan mallintaa tilanteita, joissa kaksi mitattavaa ominaisuutta eli suuretta riippuu toisistaan lineaarisesti. Lineaarisen riippuvuuden käsitteeseen tutustuttiin kurssissa MAB2.

Erään lentokonemallin polttoainesäiliöiden tilavuus on 97 000 litraa ja kone kuluttaa polttoainetta keskimäärin 9,8 l/km. Koneeseen tankataan ennen lähtöä 80 % polttoaineen maksimimäärästä.

  1. Kuinka paljon polttoainetta on koneen säiliöissä matkan alussa? Entä 2100 km matkan jälkeen?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee säiliöissä jäljellä olevan polttoaineen määrän, jos lennetty matka on $x$ kilometriä.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.
  4. Muuta $x$- ja $y$-akselien asteikkojen suhde sopivaksi (esim. 1:10), jotta voit tutkia graafisesti, kuinka pitkän matkan kone pystyy enintään lentämään ennen polttoaineen loppumista. Anna vastaus 10 kilometrin tarkkuudella.

  1. Matkan alussa polttoainetta on $0{,}8 \cdot 97000 = 77600$ litraa. Kun on lennetty 2100 km, polttoainetta on jäljellä $77600 - 2100 \cdot 9{,}8 = 57020$ litraa.
  2. $f(x) = 77600 - 9{,}8x$
  3. Kuvaaja:
  4. Kuva, jossa $x$- ja $y$-akselien suhde on 1:10, ja kuvaa on zoomattu:

    Kuvaajasta voidaan lukea, että polttoainemäärällä voi lentää enintään noin 7910 km.

Eräässä autovuokraamossa on seuraava käytäntö: jos asiakas palauttaa vuokraamansa pakettiauton myöhässä, joutuu hän maksamaan lisämaksua, joka riippuu myöhästymisen kestosta alla olevan kuvaajan mukaisesti.

  1. Päättele kuvaajasta, mikä on lisämaksu, jos palautus myöhästyy yhdellä tunnilla. Entä mikä on lisämaksu, jos palautus myöhästyy kahdella tunnilla?
  2. Kuinka paljon lisämaksu nousee tunnissa? Kasvaako se aina yhtä paljon?
  3. Lisämaksu muodostuu kiinteästä myöhästymismaksusta ja tuntihinnasta. Päättele kuvaajasta, kuinka suuri on kiinteä myöhästymismaksu.
  4. Muodosta ensimmäisen asteen polynomifunktio $f(x)$, joka ilmaisee lisämaksun suuruuden, jos palautus myöhästyy $x$ tuntia.

  1. Yhden tunnin myöhästymisellä lisämaksu on 170 euroa. Kahden tunnin myöhästymisellä lisämaksu on 190 euroa.
  2. Lisämaksu nousee 20 euroa tunnissa.
  3. Kiinteä myöhästymismaksu on kuvaajan mukaan 150 euroa. Tämä nähdään siitä, että kun $x = 0$, niin kuvaajan piste on korkeudella 150 €.
  4. Funktio on $f(x) = 150 + 20x$.

Kurssissa MAB2 opittiin, että ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax + b,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $$y = ax + b.$$ Suoran yhtälö ilmaisee, miten suoran pisteiden $y$-koordinaatit riippuvat $x$-koordinaateista. Sen avulla voidaan löytää pisteitä, joiden kautta suora kulkee. Seuraava tehtävä valaisee asiaa tarkemmin.

Suoran yhtälö on $y = -x + 3$.

  1. Suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = 1$. Laske suoran yhtälön avulla tämän pisteen $y$-koordinaatti. Merkitse piste koordinaatistoon.
  2. Suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = 4$. Laske tämän pisteen $y$-koordinaatti ja merkitse piste koordinaatistoon. Piirrä näiden kahden pisteen kautta kulkeva suora.
  3. Valitse $x$-koordinaatille jokin kolmas arvo (esimerkiksi lukujen $-1$ ja $7$ väliltä) ja laske sitä vastaavan suoran pisteen $y$-koordinaatti. Osuuko tämä piste b-kohdassa piirtämällesi suoralle?

  1. $y = -1 + 3 = 2$, joten piste on $(1,2)$.
  2. $y = -4 + 3 = -1$, joten piste on $(4,-1)$.
  3. Esimerkiksi jos $x = 2$, niin $y = -2 + 3 = 1$. Piste $(2,1)$ on suoran $y = -x+3$ piste.

Suoran yhtälö siis kertoo, miten suoran pisteen $y$-koordinaatti riippuu pisteen $x$-koordinaatista. Esimerkiksi suoran $y = -x + 3$ kaikki pisteet ovat muotoa $(x, -x+3)$.

Tehtävänä on selvittää, ovatko pisteet $A = (2116, 894)$ ja $B = (15668, 4273)$ suoralla, jonka yhtälö on $y = 0{,}25x + 365$.

  1. Selvitä suoran yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 2116$. Onko piste $A$ suoralla?
  2. Selvitä suoran yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 15668$. Onko piste $B$ suoralla?

  1. $y = 0{,}25 \cdot 2116 + 365 = 894$, joten piste $A = (2116, 894)$ on suoralla.
  2. $y = 0{,}25 \cdot 15668 + 365 = 4282$, joten piste $B = (15668, 4273)$ ei ole suoralla.

Suoran yhtälössä $$ y = kx + b $$ vakio $b$ ilmaisee, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Kerroin $k$ puolestaan on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Suoran yhtälössä $y = kx + b$ esiintyvä kerroin $k$ on suoran kulmakerroin.

Alla on näkyvissä suora, jonka kulmakerroin on $k = 2$. Tämä näkyy kuvassa siten, että kun siirrytään yksi ruutu oikealle, suora nousee aina kaksi ruutua ylöspäin.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan tunnistamaan, miten suoran kulmakerroin $k$ ja vakio $b$ vaikuttavat suoran suuntaan ja sijaintiin koordinaatistossa.

Yllä on näkyvissä erilaisia suoria. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Suora Kulmakerroin Korkeus, jolla leikkaa $y$-akselin Kuva
$\ y = 3x \phantom{ {} + 11} \ $
$\ y = -2x-1 \ $
$\ y = 0{,}5x+1 \ $
$\ y = -x+2\phantom{1} \ $

Miten yhtälöstä $y = kx + b$ voi päätellä,

  1. onko kysymyksessä nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua suora nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = kx + b$ on

  • nouseva, jos $k > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen
  • laskeva, jos $k < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen.

Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Tässä tehtävässä selvitetään missä pisteessä suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin.

  1. Jos piste on $y$-akselilla, mitä voit päätellä sen $x$-koordinaatin arvosta? Voit tutkia asiaa valitsemalla pisteitä $y$-akselilla ja päättelemällä niiden $x$-koordinaattien arvot.
  2. Jos pisteen $x$-koordinaatti on $x = 0$ ja piste on suoralla $y = 3x + 5$, mikä on sen $y$-koordinaatti?
  3. Jos pisteen $x$-koordinaatti on $x = 0$ ja piste on suoralla $y = kx + b$, mikä on sen $y$-koordinaatti?
  4. Päättele edellisten kohtien avulla, missä pisteessä suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin.

  1. $x = 0$
  2. $y = 3 \cdot 0 + 5 = 5$
  3. $y = k \cdot 0 + b = b$
  4. Suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,b)$.

Edellisen tehtävän tulos voidaan muotoilla seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,b)$.

Jos suoran yhtälö tunnetaan, voi suoran piirtää koordinaatistoon monella menetelmällä.

  1. Piirrä suora $y = -2x+5$ kuvaaja seuraavasti: Määritä suoran yhtälön avulla jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee. Piirrä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä suora $y = x+3$ kuvaaja seuraavasti: Päättele funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin. Piirrä suora näiden tietojen avulla.
  3. Tarkista piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Kuvaaja kulkee esimerkiksi pisteiden $(0,5)$ ja $(1,3)$ kautta. (Voit keksiä $x$-koordinaatin itse ja laskea sitä vastaavan $y$-koordinaation suoran yhtälön avulla.)
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella 3 eli pisteessä $(0,3)$. Kuvaajan kulmakerroin on $1$. Kuvaaja siis nousee aina yhden ruudun, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Edellä havaittiin, että suoran kulmakerroin kuvaa suoran jyrkkyyttä. Jos tunnetaan suoran kahden pisteen koordinaatit, voidaan kulmakerroin määrittää laskemalla $y$-koordinaattien erotus, $x$-koordinaattien erotus ja näiden erotusten osamäärä:

Yllä näkyvän suoran kulmakertoimeksi saadaan näin \begin{align} k &= \frac{\text{$y$:n muutos} }{\text{$x$:n muutos} } = \dfrac{\textcolor{red}{2}-(\textcolor{blue}{-1})}{\textcolor{red}{3} - (\textcolor{blue}{-3})} \\[2mm] &= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5. \end{align} Silmämääräisesti arvioituna tulos on järkevä, sillä kun siirrytään yksi ruutu oikealle, suora näyttää nousevan aina puoli ruutua ylöspäin.

Ilmaistaan suoran kulmakertoimen määrittäminen vielä yleisenä sääntönä:

TEOREEMA

Oletetaan, että $\textcolor{blue}{x_1} \neq \textcolor{red}{x_2}$. Pisteiden $\textcolor{blue}{(x_1,y_1)}$ ja $\textcolor{red}{(x_2,y_2)}$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $$k = \frac{\text{$y$:n muutos} }{\text{$x$:n muutos} } = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}}$$

Määritä suorien kulmakertoimet alla olevan kuvan avulla.

Vinkki: Valitse pisteet, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja. Silloin saat tarkan tuloksen.

  1. $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$
  2. $k = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75$

Määritä kulmakerroin pisteiden $A$ ja $B$ kautta kulkevalle suoralle ja päättele, onko suora nouseva vai laskeva.

  1. $A = (1,-2)\ $ ja $\ B = (3,4)$
  2. $A = (-2,6)\ $ ja $\ B = (3,2)$
  3. $A = (-21,-12)\ $ ja $\ B = (-53,4)$

Vinkki: kuvan tai mallikuvan hahmotteleminen yleensä helpottaa oikeiden johtopäätösten tekemistä.

  1. Nouseva. Kulmakerroin $k = \dfrac{6}{2} = 3$.
  2. Laskeva. Kulmakerroin $k = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8$.
  3. Laskeva. Kulmakerroin $k = -\dfrac{16}{32} = -0{,}5$.
    Tässä voi hahmotella pisteiden $A$ ja $B$ keskinäisen sijainnin mallikuvan avulla: piste $B$ on enemmän vasemmalla ja ylempänä kuin piste $A$.

Suoran kulmakertoimesta voidaan päätellä muutoksen nopeus. Seuraavat tehtävät valaisevat asiaa.

Erään sääaseman mittauspisteessä lämpötila laski kesäyönä tasaisesti niin, että yön viilein hetki oli klo 3 aamuyöllä. Kello 20.00 lämpötilaksi mitattiin 20,7 astetta. Alla oleva kuvaaja esittää lämpötilaa ajan funktiona (vaaka-akselilla aika tunteina klo 20.00 alkaen, pystyakselilla lämpötila celsiusasteina).

  1. Mikä oli kuvaajan mukaan lämpötila yöllä klo 0.00?
  2. Mikä on suoran kulmakerroin?
  3. Mikä on lämpötilan muutosnopeus (astetta/tunti)?

Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella.


  1. Lämpötila oli noin 18,0 astetta.
    Kun kello on 0.00, on kulunut 4 tuntia siitä, kun kello oli 20.00. Kuvaaja kulkee pisteen $(4; 18{,}0)$ kautta, joten klo 0.00 lämpötila on noin 18,0 astetta.
  2. Kulmakerroin on $k \approx -0{,}7$. Sen voi laskea esimerkiksi käyttäen pisteitä $(0;20{,}7)$ ja $(4;18{,}0)$.
  3. Kuvaajasta nähdään, että lämpötila laskee neljässä tunnissa noin 2,7 astetta. Siis lämpötila laskee noin $2{,}7/4 \approx 0{,}7$ astetta/tunti. Lämpötilan muutosnopeus on sama kuin lämpötilaa esittävän suoran kulmakerroin.

Kuvaaja ilmaisee 1500 metrin juoksukisan voittajan juokseman matkan ajan funktiona. Voittoaika oli 3:52,5.

  1. Kuinka kauan aikaa voittaja käytti kilpailun ensimmäiseen 600 metriin?
  2. Kuinka monta metriä sekunnissa oli voittajan juoksunopeus kilpailun ensimmäisen 3,5 minuutin aikana? Miten tämä liittyy suoran kulmakertoimeen?
  3. Mitä tapahtui, kun oli juostu 1200 m?
  4. Mikä oli voittajan juoksunopeus viimeisten 22,5 sekunnin aikana?

  1. Voittaja käytti ensimmäiseen 600 metriin 105 sekuntia eli yhden minuutin ja 45 sekuntia; siis 1:45. Tämä nähdään siitä, että kuvaaja kulkee pisteen $(105, 600)$ kautta.
  2. Juoksunopeus oli $$ k = \dfrac{1200 \text{ m}}{210 \text{ s}} \approx 5{,}7 \text{ m/s}. $$ Tämä on sama kuin kuvaajan loivemman osan kulmakerroin.
  3. Juoksuvauhti kasvoi eli alkoi loppukiri.
  4. Juoksunopeus oli $$ k = \dfrac{300 \text{ m}}{22{,}5 \text{ s}} \approx 13{,}3 \text{ m/s}. $$

Suoran yhtälön muodostamista varten tarvitaan suoran kulmakerroin $k$ ja tieto siitä, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Tämä korkeus on sama kuin suoran yhtälössä $y = kx + b$ esiintyvä vakio $b$.

Tehtävänä on määrittää yhtälö alla näkyvälle suoralle.

  1. Määritä suoran kulmakerroin $k$.
  2. Millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin eli mikä on vakio $b$?
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. $k = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$
  2. $b = 2$
  3. $y = \dfrac{3}{5}x + 2$

Suoran ja $y$-akselin tarkkaa leikkauspistettä ei välttämättä pysty lukemaan kuvasta. Tällaisessa tilanteessa riittää, että kulmakertoimen lisäksi tunnetaan jokin piste, jonka kautta suora kulkee. Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa tiedetään, että suora kulkee pisteen $(2,4)$ kautta ja sen kulmakerroin on $$ k = \dfrac{5}{3}. $$ Tällöin tiedetään, että suoran yhtälö on muotoa $$ y = \dfrac{5}{3}x + b. $$ Koska suora kulkee pisteen $(2,4)$ kautta, sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Saadaan siis yhtälö $$ 4 = \dfrac{5}{3} \cdot 2 + b, $$ jossa ainoa tuntematon on $b$. Yhtälöä voidaan ensin sieventää laskemalla kertolasku, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$ 4 = \dfrac{10}{3} + b. $$ Vakio $b$ saadaan selville, kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $10/3$. Tällöin oikealle puolelle jää pelkkä $b$: $$ 4 - \dfrac{10}{3} = b. $$ Vakion $b$ arvo voidaan nyt sieventää laskimella tai käsin: \begin{align*} b &= 4 - \dfrac{10}{3} \\[2mm] &= \dfrac{4 \cdot 3}{3} - \dfrac{10}{3} \\[2mm] &= \dfrac{12}{3} - \dfrac{10}{3} = \dfrac{2}{3}. \end{align*} Suoran yhtälö on siis $$ y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{2}{3}. $$ Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu tapaa, jolla suora voidaan piirtää koordinaatistoon, jos tunnetaan suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste. Tunnetusta pisteestä $(2,4)$ lähtien voidaan löytää muita suoran pisteitä, kun muistetaan, että kulmakerroin $5/3$ tarkoittaa, että aina kun siirrytään 3 ruutua oikealle, suora nousee 5 ruutua ylöspäin.

Tiedetään, että suora kulkee pisteen $(1,2)$ kautta ja sen kulmakerroin on $$ k = -\dfrac{3}{2}. $$

  1. Piirrä suora koordinaatistoon.
  2. Sijoita tunnetun pisteen koordinaatit ja kulmakertoimen arvo suoran yhtälöön $$ y = kx + b $$ ja ratkaise vakion $b$ arvo.
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. Kulmakerroin on negatiivinen, joten suora on laskeva. Suoran piirtäminen:
  2. $b = \dfrac{7}{2}$
    Vakio $b$ saadaan ratkaistua yhtälöstä $$ 2 = -\dfrac{3}{2} \cdot 1 + b. $$
  3. $y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{7}{2}$

Suoran yhtälö voidaan määrittää myös tilanteessa, jossa tunnetaan kaksi suoran pistettä. Niiden avulla saadaan selville suoran kulmakerroin $k$ ja sen jälkeen vakion $b$ arvo voidaan selvittää kuten edellä tehtiin.

Suora kulkee pisteiden $(-2,3)$ ja $(3,1)$ kautta. Tehtävänä on määritää suoran yhtälö.

  1. Merkitse suoran pisteet koordinaatistoon ja laske suoran kulmakerroin. Varmista piirroksesi avulla, että tulos on järkevä.
  2. Sijoita jomman kumman tunnetun pisteen koordinaatit ja kulmakertoimen arvo suoran yhtälöön $$ y = kx + b $$ ja ratkaise vakion $b$ arvo.
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. Kulmakerroin on $$ k = -\dfrac{2}{5} = -0{,}4. $$
  2. $b = \dfrac{11}{5} = 2{,}2$
  3. $y = -\dfrac{2}{5}x + \dfrac{11}{5}$

Koordinaatiston minkä tahansa kahden pisteen kautta voidaan piirtää suora. Joskus voi käydä niin, että valituilla pisteillä on sama $y$-koordinaatti tai sama $x$-koordinaatti. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, millainen yhtälö on suoralla, jonka pisteillä on sama $y$-koordinaatti.

Suora kulkee pisteiden $(-3,2)$ ja $(4,2)$ kautta. Tehtävänä on määritää suoran yhtälö.

  1. Merkitse suoran pisteet koordinaatistoon ja laske suoran kulmakerroin. Varmista piirroksesi avulla, että tulos on järkevä.
  2. Sijoita jomman kumman tunnetun pisteen koordinaatit ja kulmakertoimen arvo suoran yhtälöön $$ y = kx + b $$ ja ratkaise vakion $b$ arvo.
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. Kulmakerroin on $$ k = \dfrac{2-2}{4-(-3)} = \dfrac{0}{7} = 0. $$
  2. $b = 2$
  3. $y = 2$

Edellisestä tehtävästä havaitaan, että jos suoran pisteillä on sama $y$-koordinaatti, suoran kulmakerroin on nolla ja suoran yhtälö on muotoa $y = b$. Suora on $x$-akselin suuntainen ja leikkaa $y$-akselin korkeudella $b$. Tällainen suora on vakiofunktion $f(x) = b$ kuvaaja.

Jos suoran pisteillä on sama $x$-koordinaatti, suoran kulmakerrointa ei voi määrittää, koska kulmakertoimen lausekkeessa jakajaan tulisi nolla. Suora on tässä tapauksessa $y$-akselin suuntainen ja sen yhtälö on muotoa $x = a$. Esimerkiksi pisteiden $(4,-1)$ ja $(4,5)$ kautta kulkevan suoran yhtälö on $x = 4$:

Nämä havainnot voidaan osoittaa yleispäteviksi, joten kootaan ne seuraavaan teoreemaan:

TEOREEMA

Jos suora on $x$-akselin suuntainen, sen kulmakerroin on nolla ja suoran yhtälö on muotoa $$ y = b, $$ missä $b$ on jokin luku.
Jos suora on $y$-akselin suuntainen, sen yhtälö on muotoa $$ x = a, $$ missä $a$ on jokin luku.

Kolmion kärjet ovat pisteissä $(1,-1)$; $(5,-1)$ ja $(5,3)$. Jos kolmion sivuja jatketaan, muodostuu kolme suoraa.

  1. Piirrä tilanteesta kuva.
  2. Mitkä ovat syntyvien kolmen suoran yhtälöt?

Kuva ja suorien yhtälöt:

Suorat, jotka ovat $y$-akselin suuntaisia, ovat kaikki keskenään yhdensuuntaisia ja $x$-akselin suuntaisia suoria vastaan kohtisuorassa. Muiden suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta voidaan tutkia kulmakertoimien avulla. Kulmakerroin kuvaa suoran suuntaa ja jyrkkyyttä, ja voidaankin osoittaa, että keskenään yhdensuuntaisia ovat ne suorat, joilla on sama kulmakerroin.

Tehtävänä on tutkia, onko pisteiden $(10,8)$ ja $(6,-2)$ kautta kulkeva suora yhdensuuntainen suoran $5x - 2y = -3$ kanssa.

  1. Määritä pisteiden $(10,8)$ ja $(6,-2)$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin.
  2. Muokkaa suoran $5x - 2y = -3$ yhtälö muotoon $y = kx + b$.
  3. Vertaa suorien kulmakertoimia. Ovatko suorat yhdensuuntaiset?

  1. $k = \dfrac{8-(-2)}{10-6} = \dfrac{5}{2}$
  2. $y = \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{2}$
  3. Suorat ovat yhdensuuntaiset, sillä niillä on sama kulmakerroin $k = \dfrac{5}{2}$.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten suorien kulmakertoimet liittyvät toisiinsa, jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Tarkastellaan alla näkyviä suoria.

  1. Määritä suorien kulmakertoimet ja laske niiden tulo.
  2. Kuvaan on piirretty kaksi suorakulmaista kolmiota. Vertaa niiden sivujen pituuksia ja teräviä kulmia. Mitä voit päätellä alemman suorakulmion toisesta terävästä kulmasta?
  3. Kuinka suuri on terävien kulmien summa $\alpha + \beta$?
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAB3-kurssin teoreema 2.
  4. Kuinka suuri on suorien välinen kulma $\gamma$?
  5. Päättele a- ja d-kohtien avulla, miten suorien kulmakertoimet liittyvät toisiinsa, jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

  1. Nousevan suoran kulmakerroin on $\dfrac{4}{3}$ ja laskevan suoran kulmakerroin on $-\dfrac{3}{4}$. Kulmakertoimien tulo on $$ \dfrac{4}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -1. $$
  2. Alemman suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on $\alpha$, sillä suorakulmaiset kolmiot ovat yhtenevät (samanlaiset). Niiden vastinsivut ovat yhtä pitkiä ja vastinkulmat yhtä suuria.
  3. Kolmion kulmien summa on $180^\circ$, joten suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa $\alpha + \beta = 90^\circ$.
  4. Suorien välinen kulma on $$ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ. $$ Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.
  5. Toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien suorien kulmakertoimien tulo on $-1$.

Edellä tehdyt havainnot voidaan osoittaa yleispäteviksi, joten muotoillaan ne teoreemaksi:

TEOREEMA

Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos suorilla on sama kulmakerroin tai ne molemmat ovat $y$-akselin suuntaisia.

Suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos suorien kulmakertoimien $k_1$ ja $k_2$ tulo on $k_1\cdot k_2 = -1$ tai toinen suorista on $y$-akselin ja toinen $x$-akselin suuntainen.

Määritä yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen $(-4,7)$ kautta ja on

  1. yhdensuuntainen suoran $y = -2x+5$ kanssa
  2. kohtisuorassa suoraa $y = -2x+5$ vastaan.

  1. Yhtälö on $y = -2x - 1$.
    Suorilla on sama kulmakerroin $k = -2$. Vakion $b$ arvo saadaan selville, kun ratkaistaan yhtälö $7 = -2\cdot (-4) + b$.
  2. Yhtälö on $y = \dfrac{1}{2}x + 9$.
    Suoran kulmakerroin $k$ saadaan selville, kun ratkaistaan yhtälö $-2k = -1$. Vakion $b$ arvo saadaan selville, kun ratkaistaan yhtälö $7 = \dfrac{1}{2} \cdot (-4) + b$.

Kurssissa MAB2 tutkittiin suorien leikkauspisteitä yhtälöparin ratkaisujen näkökulmasta. Jos kaksi suoraa eivät ole yhdensuuntaisia, niillä on tasan yksi leikkauspiste. Leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat kummankin suoran yhtälön. Tämän tiedon avulla saadaan muodostettua yhtälö, josta voidaan selvittää leikkauspisteen $x$-koordinaatti.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspiste toteuttaa yhtä aikaa yhtälöt $y = 2x-1$ ja $y = -0{,}4x + 1{,}8$.

Leikkauspisteen $y$-koordinaatista saadaan yhtälö $$ 2x - 1 = -0{,}4x + 1{,}8. $$ Tämä voidaan ratkaista kurssissa MAB2 opitulla menetelmällä eli käyttämällä seuraavia operaatioita sopivassa järjestyksessä:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella.

Tässä tapauksessa voidaan toimia esimerkiksi seuraavasti: \begin{align*} 2x - 1 &= -0{,}4x + 1{,}8 \hspace{5mm} || {} + 1 \\[1mm] 2x &= -0{,}4x + 2{,}8 \hspace{5mm}|| {} + 0{,}4x \\[1mm] 2{,}4x &= 2{,}8 \hspace{24mm}|| {} : 2{,}4 \\[2mm] x &= \dfrac{2{,}8}{2{,}4} = \dfrac{28}{24} \end{align*} Leikkauspisteen $x$-koordinaatti on siis $$ x = \dfrac{28}{24} = \frac{7}{6}. $$ Leikkauspisteen $y$-koordinaatti voidaan laskea kumman tahansa suoran yhtälön avulla. Esimerkiksi yhtälön $y = 2x - 1$ avulla saadaan $$ y = 2 \cdot \dfrac{7}{6} - 1 = \dfrac{14}{6} - \dfrac{6}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}. $$

Tehtävänä on määrittää suorien $y = -3x+4$ ja $y = 0{,}25x + 2{,}75$ leikkauspiste.

  1. Hahmottele suorat koordinaatistoon, jotta saat suurpiirteisen käsityksen leikkauspisteen koordinaateista.
  2. Selvitä suorien leikkauspiste muodostamalla sopiva yhtälö ja ratkaisemalla se. Anna vastauksena leikkauspisteen tarkat koordinaatit.

  2. Leikkauspiste on $\left(\dfrac{5}{13}, \dfrac{37}{13}\right)$.
    Leikkauspisteen $x$-koordinaatti saadaan selville ratkaisemalla yhtälö $$ -3x + 4 = 0{,}25x + 2{,}75 $$

Kurssissa MAB2 tutkittiin myös ensimmäisen asteen polynomifunktion nollakohtia. Funktion nollakohta tarkoittaa $x$-akselin kohtaa, jossa funktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin ja funktio saa arvon nolla. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora, joten tällaisen funktion nollakohta on suoran ja $x$-akselin leikkauspiste. Se on erikoistapaus kahden suoran leikkauspisteistä.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on näkyvissä suoran $y = -0{,}4x + 1{,}8$ ja $x$-akselin leikkauspiste. Se toteuttaa yhtä aikaa yhtälöt $y = -0{,}4x + 1{,}8$ ja $y = 0$.

Leikkauspisteen $y$-koordinaatista saadaan yhtälö $$ -0{,}4x + 1{,}8 = 0. $$ Se voidaan ratkaista sallittujen operaatioiden avulla: \begin{align*} -0{,}4x + 1{,}8 &= 0 \hspace{12mm} || {} -1 {,}8 \\[1mm] -0{,}4x &= -1{,}8 \hspace{4mm} || {} : -0{,}4 \\[2mm] x &= \dfrac{-1{,}8}{-1{,}4} = \dfrac{18}{14} = \dfrac{9}{7} \end{align*} Suoran $y = -0{,}4x + 1{,}8$ ja $x$-akselin leikkauspiste on siis $$ \left(\dfrac{9}{7}, 0\right). $$ Funktion $f(x) = -0{,}4x + 1{,}8$ nollakohta on $x = \dfrac{9}{7}$.

Missä pisteessä suora $y = 1{,}5x - 4$ leikkaa

  1. $y$-akselin
  2. $x$-akselin?

Onko funktiolla $f(x) = 1{,}5x - 4$ nollakohtia? Jos on, mitkä ne ovat?

  1. Suora leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-4)$. Tämä nähdään suoran yhtälöstä vakion $b$ arvosta tai sijoittamalla suoran yhtälöön $x = 0$.
  2. Leikkauspiste on $\left(\dfrac{8}{3}, 0\right)$.
    Leikkauspisteen $x$-koordinaatti saadaan selville ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}5x - 4 = 0. $$

Funktiolla on yksi nollakohta $x = \dfrac{8}{3}$. Siinä funktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin eli funktio saa arvon nolla.

Kurssissa MAB02 tutustuttiin lukujonoihin, jotka ovat nimensä mukaisesti lukujen muodostamia jonoja. Monet lukujonot noudattavat jotain sääntöä, jonka mukaan lukujonon luvut muodostuvat. Lukujonoja voidaan luokitella niiden ominaisuuksien perusteella kuten funktioitakin. Ensimmäisen asteen polynomifunktioita vastaavan tärkeän lukujonojen luokan muodostavat aritmeettiset lukujonot. Niitä tutkittiin jo kurssissa MAB02. Aritmeettista lukujonoa voi käyttää lineaarisena mallina silloin, kun ilmiötä kuvaa suoralle asettuvat irralliset pisteet jatkuvan suoran sijaan, esimerkiksi jos muuttujana on auditorion rivien lukumäärä eikä esimerkiksi ihmisen pituus.

MÄÄRITELMÄ: ARITMEETTINEN LUKUJONO

Lukujono $(a_n)$ on aritmeettinen, jos ja vain jos sen kahden peräkkäisen jäsenen erotus on aina sama eli jos on olemassa sellainen luku $d$, että $$a_{n+1}-a_n = d$$ kaikilla $n = 1$, $2$, $3$, $\ldots$
Erotus $d$ on nimeltään jonon differenssi.

Se, että lukujono on aritmeettinen, voidaan siis osoittaa tutkimalla peräkkäisten jäsenten $a_{n+1}$ ja $a_n$ erotusta. Tarkastellaan esimerkiksi jonoa $(a_n)$, jolla $a_n = 5-2n$. Sen peräkkäisten jäsenten erotus on $$ \begin{align*} \textcolor{red}{a_{n+1}}-\textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{red}{5-2(n+1)}-\textcolor{blue}{(5-2n)} \\ &= \textcolor{red}{5-2n-2}\textcolor{blue}{-5+2n} \\ &= -2. \end{align*}$$ Huomataan, että peräkkäisten jäsenten erotus on aina $-2$, joten jono $(a_n)$ on aritmeettinen.

Tutki, voiko lukujono olla aritmeettinen. Jos kysymyksessä on aritmeettisen lukujonon alku, mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä?

  1. $11$, $14$, $17$, $\ldots$
  2. $50$, $15$, $-10$, $\ldots$

  1. Jonon peräkkäisten jäsenten erotus on vakio 3, joten jono voi olla aritmeettinen. Siinä tapauksessa seuraavat jäsenet ovat 20, 23 ja 26.
  2. $a_2-a_1 = -35$ ja $a_3-a_2 = -25$, joten lukujono ei ole aritmeettinen.

Jos aritmeettisesta jonosta tunnetaan jonon ensimmäinen jäsen ja differenssi, niin jonon muut jäsenet voidaan laskea niiden avulla. Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen laskemiselle perusteltiin kurssissa MAB02 teoreema, joka kerrataan nyt.

TEOREEMA

Aritmeettisen jonon $(a_n)$ jäsenet saadaan laskettua, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ ja jonon differenssi $d$, sillä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

Teoreeman avulla saadaan lauseke aritmeettisen jonon niin sanotulle yleiselle jäsenelle $a_n$. Esimerkiksi aritmeettisen jonon $1$, $5$, $9$, $\ldots$ yleinen jäsen on $a_n = 1 + (n-1) \cdot 4$ eli sievennettynä $a_n = -3+4n$.

Aritmeettisen lukujonon $(a_n)$ kaksi ensimmäistä jäsentä ovat $a_1 = 12$ ja $a_2 = 7$.

  1. Muodosta lauseke jonon yleiselle jäsenelle $a_n$ yllä olevan teoreeman avulla.
  2. Määritä jonon 42. jäsen $a_{42}$.

  1. $a_n = 12 + (n-1) \cdot (-5)$ tai sievennettynä $a_n = 17 - 5n$
  2. $a_{42} = -193$

Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 8 ja kolmas jäsen on 22.

  1. Päättele, mikä on jonon differenssi.
  2. Muodosta lauseke jonon yleiselle jäsenelle $a_n$.
  3. Onko luku 71 lukujonon jäsen? Entä luku 91?
  4. Kuinka moni lukujonon jäsen on pienempi kuin 1000?

  1. Differenssi $d = 7$. Tämän voi päätellä esimerkiksi seuraavasti: erotus $a_3 - a_1 = 14$ muodostuu kahdesta differenssistä (välissä on jäsen $a_2$), joten $d = 14/2 = 7$.
  2. $a_n = 8 + (n-1) \cdot 7$ tai sievennettynä $a_n = 1 + 7n$
  3. Luku 71 on lukujonon 10. jäsen. Tämän voi selvittää esimerkiksi ratkaisemalla yhtälön $a_n = 71$ eli yhtälön $8 + (n-1) \cdot 7 = 71$. Sen ratkaisu on $n = 10$.
    Luku 91 ei ole lukujonon jäsen. Yhtälön $8 + (n-1) \cdot 7 = 91$ ratkaisuksi ei saada kokonaislukua vaan $n \approx 12{,}9$. Lasketaan, että $a_{12} = 85$ ja $a_{13} = 92$.
  4. Lukujonon jäsenistä 142 on pienempiä kuin 1000. Yhtälön $a_n = 1000$ eli yhtälön $8 + (n-1) \cdot 7 = 1000$ ratkaisuksi saadaan $n \approx 142{,}7$. Lasketaan, että $a_{142} = 995$ ja $a_{143} = 1002$.

Tässä kappaleessa harjoitellaan edellä opiskeltujen erilaisten lineaaristen mallien soveltamista.

Poikavauvojen keskipituus 6 kk iässä on noin 69,0 cm ja kahden vuoden iässä noin 89,0 cm. Kasvu tällä aikavälillä on likimain suoraviivaista. Tytöillä vastaavat luvut ovat noin 67,5 cm ja 87,5 cm.

  1. Kuinka paljon poikavauvat keskimäärin kasvavat pituutta kuukaudessa?
  2. Muodosta ensimmäisen asteen polynomifunktio, jolla voit laskea keskimääräisen poikavauvan pituuden $x$ kuukauden kuluttua syntymästä, missä $6 \leq x \leq 24$.
  3. Mikä on poikavauvojen keskimääräinen pituus yhden vuoden iässä?
  4. Mikä olisi tämän mallin mukainen 10-vuotiaiden poikien keskimääräinen pituus? Entä vastasyntyneiden?
  5. Mitä voit sanoa mallin soveltuvuudesta 0-6 kuukauden ikäisille vauvoille tai yli 2-vuotiaille lapsille?

  1. Noin $\dfrac{20 \text{ cm} }{18 \text{ kk} } = \dfrac{10 \text{ cm} }{9 \text{ kk} }\approx 1{,}1 \text{ cm/kk}$.
  2. Funktio on $$ f(x) = \dfrac{10}{9}x + \dfrac{187}{3} $$
  3. $f(12) = \dfrac{227}{3} \approx 75{,}7$ senttimetriä.
  4. Mallin mukaan 10-vuotiaiden poikien keskimääräinen pituus olisi noin 196 cm ja vastasyntyneiden keskimääräinen pituus noin 62 cm.
  5. Malli soveltuu huonosti 0-6 kuukauden ikäisille vauvoille ja yli 2-vuotiaille lapsille. Pienien vauvojen kasvu on todellisuudessa nopeampaa ja yli 2-vuotiaiden lasten kasvu on hitaampaa kuin mallin mukainen kasvu.

Alla on näkyvissä kahden joukkueen eteneminen seikkailukisan pyöräilyosuudella. Päättele tai laske kuvaajien avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin.

  1. Selitä omin sanoin, mitä tapahtuu hetkellä $x = 0$. Entä hetkellä $x = 20$?
  2. Selitä omin sanoin, mitä tapahtuu hetkellä $x = 60$. Kuinka pitkän matkan joukkueet ovat silloin pyöräilleet?
  3. Kuinka pitkä seikkailukisan pyöräilyosuus oli? Kumpi joukkue tuli sen maaliin ensimmäisenä? Kuinka suuri oli tämän joukkueen etumatka seuraavalle osuudelle (minuutteina ilmaistuna)?
  4. Mikä oli joukkueen A pyöräilynopeus? Entä joukkueen B?

  1. Kun $x = 0$, joukkue A lähtee pyöräilyosuudelle. Kun $x = 20$, joukkue B lähtee pyöräilyosuudelle 20 minuuttia joukkuetta A jäljessä. Joukkue A on tässä vaiheessa pyöräillyt noin 5 km.
  2. Kun $x = 60$, joukkue B saa joukkueen A kiinni ja ohittaa sen. Kumpikin joukkue on pyöräillyt 16 km.
  3. Pyöräilyosuus oli 25 km. Joukkue B tuli maaliin ensimmäisenä. Joukkueen B etumatka seuraavalle osuudelle oli noin $94-82 = 12$ minuuttia.
  4. Joukkueen A nopeus oli 16 km/h. Joukkueen B nopeus oli 24 km/h.

Auton nopeusmittari näyttää 90 km/h, kun todellinen nopeus on 80 km/h. Nopeudella 30 km/h ajettaessa mittari näyttää oikeaa lukemaa eli todellista nopeutta. Ajatellaan, että mittarilukema riippuu lineaarisesti todellisesta nopeudesta.

  1. Muodosta yhtälö suoralle, joka ilmaisee mittarilukeman $y$ riippuvuuden todellisesta nopeudesta $x$.
  2. Mitä pitää mittarin näyttää, että 60 km/h nopeusrajoituksen alueella voi huoletta ohittaa poliisin nopeusvalvontakameran?
  3. Mikä on tämän mallin mukaan auton todellinen nopeus, jos mittarin mukaan auto on paikallaan?
  4. Piirrä a-kohdassa määrittämäsi suoran koordinaatistoon ja arvioi sen avulla mallin pätevyysaluetta.

  1. $y = \dfrac{6}{5}x - 6$ eli $y = 1{,}2x - 6$
  2. Mittarin pitää näyttää enintään 66 km/h.
    Vastaus saadaan sijoittamalla suoran yhtälöön todellinen nopeus 60 km/h.
  3. Todellinen nopeus on 5 km/h.
    Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö $$ \dfrac{6}{5}x - 6 = 0. $$
  4. Suora ei kulje origon kautta, joten auton liikkuessa hitaasti tai ollessa paikallaan malli ei sovellu todellisen nopeuden ja mittarilukeman välisen yhteyden kuvaamiseen. Mallin mukaan mittarilukeman ja todellisen nopeuden välinen ero kasvaa suurilla nopeuksilla. Sitä, onko todellisuudessa näin, on vaikea sanoa ilman tarkempia mittauksia.

Kaupunkisuunnitteluvirastossa kaavoitetaan uutta asuinaluetta. Alueen pääviemäri kulkee kartan koordinaatistossa pitkin suoraa $y = 3x-2$. Pisteessä $(0,5)$ sijaitsevasta talosta halutaan rakentaa siihen liittyvä mahdollisimman lyhyt yhdysviemäri. Tehtävänä on selvittää, missä pisteessä sen tulee liittyä pääviemäriin.

  1. Piirrä koordinaatistoon pääviemäriä kuvaava suora ja taloa kuvaava piste.
  2. Miten voit selvittää kulmakertoimen suoralle, joka kulkee pisteen $(0,5)$ kautta ja näyttää lyhyimmän reitin suoralle $y = 3x-2$? Määritä tämän suoran kulmakerroin.
  3. Määritä b-kohdan suoran yhtälö.
  4. Miten löydät suoralta $y = 3x-2$ sen pisteen, joka on lähinnä pistettä $(0,5)$? Määritä tämä piste.
  5. Tarkista vastauksesi esimerkiksi Geogebran avulla.

  2. Kyseinen suora on kohtisuorassa suoraa $y = 3x-2$ vastaan, joten niiden kulmakertoimien tulo on $-1$. Kulmakerroin on siten $$ k = -\dfrac{1}{3} $$
  3. Suoran yhtälö on $$ y = -\dfrac{1}{3}x + 5 $$
  4. Piste löytyy, kun etsitään suorien leikkauspiste. Sen $x$-koordinaatti saadaan yhtälöstä $$ 3x - 2 = -\dfrac{1}{3}x + 5. $$ Pisteen $y$-koordinaatti löydetään sijoittamalla $x$-koordinaatti kumpaan tahansa suoran yhtälöön.
    Piste on $$ \left(\dfrac{21}{10}, \dfrac{43}{10}\right) $$ eli $(2{,}1; 4{,}3)$.

Henkilö tekee uudenvuodenlupauksen vuodelle 2020. Hän lupaa ryhtyä säästämään rahaa niin, että vuoden ensimmäisenä päivänä hän pudottaa säästölippaaseen 5 senttiä, toisena päivänä 10 senttiä, kolmantena 15 senttiä ja niin edelleen.

Vuosiluku 2020 on jaollinen neljällä mutta ei sadalla, joten se on karkausvuosi. Vuodessa 2020 on siis 366 päivää ja helmikuussa 2020 on 29 päivää.

Selvitä aritmeettisen lukujonon avulla, kuinka suuri summa hänen täytyy tämän lupauksen pitämiseksi laittaa säästöön

  1. vuoden viimeisenä päivänä 31.12.2020?
  2. Piin päivänä 14.3.2020?

Milloin päivässä säästettävä summa on 10 euroa?

  1. $a_{366} = a_1 + 365d = 0{,}05 + 365 \cdot 0{,}05 = 18{,}30$ euroa.
  2. Kysymyksessä on vuoden 74. päivä, joten säästöön tulee laittaa $a_{74} = a_1 + 73d = 0{,}05 + 73 \cdot 0{,}05 = 3{,}70$ euroa.

Päivässä säästettävä summa on 10 euroa 18.7.2020.
Yhtälön $0{,}05 + (n-1) \cdot 0{,}05 = 10$ ratkaisuksi saadaan $n = 200$ ja vuoden 200. päivä on 18.7. Jos lasketaan kuukausien päivät yhteen, summa vuonna 2020 on tammi-kesäkuulta $31 + 29 + 31 + 30 + 31 + 30 = 182$.

Kunta haluaa pystyttää valaisinpylväät 10 km tieosuudelle 50 metrin välein ja järjestää tarjouskilpailun. Urakoitsija laskee, että pystytystiimi voi pystyttää päivässä kolme pylvästä. Aamulla tiimi ottaa pylväät mukaansa valaisintyömaan tukikohdasta, joka sijaitsee valaistavan tien varressa 1 km ennen valaistavan osuuden alkua. Tiimi kuljettaa pylväät oikeille paikoille, pystyttää ne ja ajaa päivän päätteeksi takaisin tukikohtaan.

Urakkatarjouksen jättämistä varten on arvioitava pylväiden siirtotyöhön vaadittavaa ajomatkaa.

  1. Kuinka pitkän matkan pystytystiimi ajaa urakan ensimmäisen päivän aikana? Entä toisen?
  2. Muodosta päivittäisen ajomatkan pituutta kuvaavan aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen. Voit hahmotella tilannetta mallikuvan avulla ja taulukoimalla.
  3. Kuinka monta päivää työ kestää?
  4. Laske b-kohdan lukujonon avulla, kuinka pitkän matkan tiimi ajaa urakan viimeisenä päivänä.

  1. Ensimmäisenä päivänä tiimi ajaa yhteensä $2 \cdot 1{,}1 \text{ km} = 2{,}2 \text{ km}$ ja toisena yhteensä $2 \cdot 1{,}25 \text{ km} = 2{,}5 \text{ km}$.
  2. $a_n = 2{,}2 + (n-1)\cdot 0{,}3$ eli $a_n = 0{,}3n + 1{,}9$
  3. Työ kestää 67 päivää.
    Valaistava tieosuus 10 km voidaan jakaa kahteensataan 50 metrin pätkään, joiden jokaisen loppuun tulee valaisinpylväs. Lisäksi ensimmäisen pätkän alkuun tulee yksi pylväs. Pylväitä tarvitaan siis kaikkiaan $200 + 1 = 201$. Päivässä voidaan pystyttää kolme pylvästä, joten päiviä tarvitaan $201/3 = 67$.
  4. $a_{67} = 2{,}2 + 66 \cdot 0{,}3 = 22$ kilometriä.

Suoran yhtälö

Määritä kuvassa olevan suoran kulmakerroin ja yhtälö. Onko suora nouseva vai laskeva?

  1. Kulmakerroin on 3. Suoran yhtälö on $y = 3x-5$. Suora on nouseva. Se nähdään kuvasta ja voidaan päätellä myös siitä, että kulmakerroin on positiivinen.
  2. Kulmakerroin on $-\frac{1}{4}$. Suoran yhtälö on $$y = -\dfrac{1}{4}x+7.$$ Suora on laskeva. Se nähdään kuvasta ja voidaan päätellä myös siitä, että kulmakerroin on negatiivinen.

Suoran kulmakerroin

Määritä suoran kulmakerroin, jos mahdollista, tai selitä, miksi kulmakerrointa ei voi määrittää. Mitä voit kulmakertoimen avulla päätellä suoran asennosta koordinaatistossa?

  1. pisteiden $(-2,7)$ ja $(4,-5)$ kautta
  2. pisteiden $(-3,1)$ ja $(6,4)$ kautta
  3. pisteiden $(4,3)$ ja $(9,3)$ kautta
  4. pisteiden $(5,2)$ ja $(5,-1)$ kautta.

Voit varmistaa päättelysi piirtämällä suorasta kuvan.

  1. Kulmakerroin $k = -2$. Koska kulmakerroin on negatiivinen, suora on laskeva.
  2. Kulmakerroin $k = \frac{1}{3}$. Koska kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva.
  3. Kulmakerroin $k = 0$. Koska kulmakerroin on nolla, suora on $x$-akselin suuntainen eli vaakasuora.
  4. Kulmakerrointa ei voi määrittää, koska kulmakertoimen lausekkeessa jakajaan tulisi nolla. Suora on $y$-akselin suuntainen eli pystysuora.

Lineaarinen malli

Alla olevassa taulukossa on esitetty Onnin avauslyönnin keskimääräinen pituus, kun golf-harrastuksen aloittamisesta on kulunut tietty aika.

Aika (vuotta) 2 4 6 8 10
Pituus (metriä) 120 140 150 170 200
  1. Havainnollista dataa merkitsemällä pisteet koordinaatistoon, jossa $x$-akselilla on aika ja $y$-akselilla pituus. Käytä sopivaa teknistä apuvälinettä eli tietokonetta tai laskinta. Jos käytät Geogebraa, voit syöttää pisteet muodossa $(2,120)$ jne.
  2. Sovita suora pistejoukkoon. Geogebrassa tämä onnistuu komennolla SovitaSuora. Mikä on suoran yhtälö? Näyttääkö avauslyönnin pituus riippuvan lineaarisesti ajasta?
  3. Ennusta b-kohdassa määrittämäsi suoran yhtälön avulla Onnin avauslyönnin keskimääräinen pituus, kun on kulunut 20 vuotta harrastuksen aloittamisesta.
  4. Arvioi, kuinka hyvin lineaarinen malli soveltuu tähän tilanteeseen. Miten luotettavia ennusteita se antaa esimerkiksi tilanteisiin, joissa on kulunut 15 vuotta tai 30 vuotta tai 45 vuotta harrastuksen aloittamisesta?

  2. Suoran yhtälö on $y = 9{,}5x + 99$. Avauslyönnin pituus näyttää riippuvan ajasta melko lineaarisesti, koska pisteet sijoittuvat lähelle niihin sovitettua suoraa.
  3. Avauslyönnin pituus on mallin mukaan 289 m.
  4. Ensimmäisen 10 vuoden aikana lineaarinen malli näyttää sopivan tilanteen kuvaamiseen hyvin, koska pisteet sijoittuvat lähelle niihin sovitettua suoraa. Kun Onni vanhenee, lyönnin pituus ei välttämättä kasva enää samaa tahtia vaan saattaa jossain vaiheessa iän myötä myös lyhentyä. Siihen, kuinka pitkään malli ennustaa oikein, vaikuttaa siis myös se, minkä ikäisenä Onni on aloittanut golf-harrastuksen.

Lineaarinen malli

Mansikanpoimintarobotilta kuluu yhden mansikan poimimiseen keskimäärin kymmenen sekuntia. Yhteen litraan mahtuu mansikoita keskimäärin 26 kappaletta.

  1. Kuinka monta mansikkaa robotti poimii minuutissa? Entä tunnissa?
  2. Muodosta lauseke funktiolle $f(t)$, joka kuvaa robotin poimimaa mansikkamäärää litroissa, kun aikaa on kulunut $t$ tuntia.
  3. Ratkaise b-kohdan funktion avulla, kuinka kauan robotilta kuluu aikaa sadan litran keräämiseen. Anna vastaus minuutin tarkkuudella.
  4. Arvioi, robotin nopeutta marjanpoiminnassa. Pärjääkö se ihmiselle?

  1. Robotti poimii 6 marjaa/min eli 360 marjaa/h.
  2. $f(t) = \dfrac{180}{13}t$
  3. Aikaa kuluu 7 tuntia ja 13 minuuttia.
    Vastaukseen päästään ratkaisemalla yhtälö $$ \dfrac{180}{13}t = 100 $$ ja muuttamalla ratkaisu $$ t = \dfrac{65}{9} = 7{,}222\ldots $$ tunneksi ja minuuteksi. Aikaa kuluu siis 7 tuntia ja noin $$ 0{,}222222 \cdot 60 \text{ min} \approx 13 \text{ min}. $$
  4. Litra mansikoita painaa noin 0,55 kg, joten 100 litraa painaa noin 55 kg. (Lähde: kotikokki.net)
    Kahdeksan tunnin aikana parhaat poimijat voivat poimia jopa 135 kg mansikoita. (Lähde: yle.fi.) Tästä voidaan päätellä, että robotti ei pärjää ammattitaitoisimmille mansikanpoimijoille.

Suoran yhtälö

Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen $(-5,7)$ kautta ja on

  1. yhdensuuntainen suoran $y = x - 3$ kanssa
  2. kohtisuorassa suoraa $6x + 2y - 4 = 0$ vastaan
  3. $y$-akselin suuntainen.

  1. $y = x + 12$
  2. $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{26}{3}$
  3. $x = -5$

Suoran yhtälö

MAOLin taulukkokirjassa on esitetty suoran yhtälö muodossa $$ y - y_0 = k(x - x_0). $$ Tässä kaavassa $k$ on kulmakerroin ja $(x_0,y_0)$ on suoran jokin piste, jonka koordinaatit tiedetään.

Jos esimerkiksi suoran kulmakerroin on 2 ja tiedetään, että suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta, niin suoran yhtälöksi saadaan $$ (y-3) = 2(x-1). $$ Tätä yhtälöä voidaan sieventää, jolloin se saadaan lopulta muotoon $y = 2x + 1$.

Määritä suoran yhtälö edellä esitetyn MAOLin kaavan avulla ja sievennä yhtälö lopuksi muotoon $y = kx + b$ (sievennetty muoto on niin sanottu suoran yhtälön ratkaistu muoto).

  1. Suoran kulmakerroin on $-\dfrac{1}{3}$ ja suora kulkee pisteen $\left(\dfrac{1}{2}, -6\right)$ kautta.
  2. Suora kulkee pisteiden $(-2,4)$ ja $(2,16)$ kautta.

  1. Suoran yhtälö on $$ y - (-6) = -\dfrac{1}{3}\left(x - \dfrac{1}{2}\right) $$ eli $$ y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{35}{36}. $$
  2. Suoran yhtälö on esimerkiksi $y - 16 = 3(x-2)$ eli $$ y = 3x + 10. $$

Suorien ominaisuuksia

Suoran kulkee pisteiden $(-2,5)$ ja $(3,2a)$ kautta. Määritä vakion $a$ arvo, jos suora on

  1. yhdensuuntainen suoran $y = -3x + 7$ kanssa
  2. suoran $y = -\dfrac{1}{2}x + 7$ normaali eli kohtisuorassa sitä vastaan.

  1. $a = -5$
  2. $a = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$

Suorien ominaisuuksia

Suoran $s$ yhtälö on $y = 2x-4$ ja suoran $t$ yhtälö on $y = -2x+6$. Selvitä vastaukset alla oleviin kysymyksiin ensin kynän ja paperin avulla. Tarkista sen jälkeen tietokoneen tai laskimen avulla. Keksitkö useamman kuin yhden tavan tarkistaa?

  1. Missä pisteessä suora $s$ leikkaa $y$-akselin?
  2. Missä pisteessä suora $t$ leikkaa $x$-akselin?
  3. Missä pisteessä suorat leikkaavat toisensa?

  1. Suora $s$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-4)$. Leikkauspiste on $y$-akselilla, joten sen vaakasuuntaista sijaintia kuvaava $x$-koordinaatti on nolla.
  2. Suora $t$ leikkaa $x$-akselin pisteessä $(3,0)$. Leikkauspiste on $x$-akselilla, joten sen pystysuuntaista sijaintia kuvaava $y$-koordinaatti on nolla.
  3. Suorien leikkauspiste on $$ \left(\dfrac{5}{2}, 1\right) $$ eli toisella tavalla ilmaistuna $(2{,}5; 1)$. Leikkauspiste toteuttaa kummankin suoran yhtälön. Pisteen koordinaatit saadaan selville, kun ratkaistaan ensin yhtälö $$ 2x-4 = -2x+6 $$ ja sijoitetaan löydetty $x$-koordinaatti jompaan kumpaan suoran yhtälöön.

Vastauksien järkevyyttä kannattaa arvioida piirtämällä kuva suorista tietokoneella tai laskimella. Lisäksi tietokonetta tai laskinta voi käyttää yhtälön tai yhtälöparin ratkaisemiseen.

Suorien ominaisuuksia

Suorat $3x + y - 8 = 0$, $x + 2y + 4 = 0$ ja $y = 2x + 3$ muodostavat kolmion.

  1. Miten voit tämän luvun käsitteiden avulla tutkia, onko kolmio suorakulmainen? Selitä omin sanoin ja tutki sen jälkeen, onko kolmio suorakulmainen. Käytä vain kynää ja paperia.
  2. Miten voit selvittää kolmion kärkipisteet? Selitä omin sanoin ja selvitä kärkipisteet sen jälkeen.
  3. Piirrä kolmiosta kuva tietokoneella tai laskimella ja tarkista, että b-kohdan tuloksesi ovat järkevät. Keksitkö tavan tarkistaa a-kohdan vastauksen?

  1. Voit tutkia, ovatko jotkin suorista kohtisuorassa tosiaan vastaan eli onko niiden kulmakertoimien tulo $-1$. Suorien yhtälöiden ratkaistut muodot ovat \begin{align*} y &= -3x + 8 \\[2mm] y &= -\dfrac{1}{2}x - 4 \\[2mm] y &= 2x + 3 \end{align*} Kaksi jälkimmäistä suoraa on siis kohtisuorassa toisiaan vasten, sillä niiden kulmakertoimien tulo on $$ -\dfrac{1}{2} \cdot 2 = -1. $$
  2. Kolmion kärkipisteet ovat suorien leikkauspisteet $(-2,-1)$; $(4,-4)$ ja $(1,5)$. Ne löydetään ratkaisemalla aina kahden suoran yhtälön muodostama yhtälöpari. Yhtälöpari saadaan muutettua yhdeksi yhtälöksi: esimerkiksi yhtälöparista $$ \left\{\begin{aligned} y &= -3x + 8 \\[2mm] y &= -\dfrac{1}{2}x - 4 \end{aligned} \right. $$ saadaan yhtälö $$ -3x + 8 = -\dfrac{1}{2}x - 4. $$ Tästä saadaan ratkaistua leikkauspisteen $x$-koordinaatti. Vastaava $y$-koordinaatti saadaan sijoittamalla $x$-koordinaatti kumpaan tahansa tarkasteltavaan suoran yhtälöön.
  3. Kuva:

    Alla olevaan kuvaan piirretyt kolme apukolmiota ovat suorakulmaisia, joten Pythagoraan lauseella voidaan selvittää niiden hypotenuusojen pituudet. Nämä muodostavat tutkittavan kolmion sivut. Kun pituudet ovat tiedossa, voidaan tutkia, toteuttavatko ne Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön. Jos näin on, kolmio on suorakulmainen.

Suorien ominaisuuksia

Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan löytää tiettyä pistettä lähinnä oleva annetun suoran piste.

  1. Alla on näkyvissä piste $P$ ja suora $y = -3x+8$. Suoralta on valittu pisteet $A$, $B$ ja $C$. Mikä niistä on silmämääräisesti lähimpänä pistettä $P$? Mitä voit sanoa suorasta, joka kulkee tämän lähimmän pisteen ja pisteen $P$ kautta, verrattuna suoraan $y = -3x+8$?
  2. Muodosta a-kohdan havaintojen perusteella ohje, miten voit löytää pistettä $P$ lähinnä olevan suoran pisteen alla olevan kuvan tilanteessa. Kuvassa näkyvän suoran kulmakerroin on $k = 4$.

    Huom. pelkän ohjeen laatiminen riittää, lähintä pistettä ei tarvitse selvittää.
  3. Selvitä b-kohdan ohjeen avulla, mikä suoran $y = 3x+1$ piste on lähinnä pistettä $(2,-3)$. Tarkista tuloksesti järkevyys laskinohjelman tai Geogebran avulla.

  1. Suoran $y = -3x+8$ pisteistä pistettä $P$ lähimpänä on piste $B$. Se on lähimpänä, koska pisteiden $P$ ja $B$ kautta kulkeva suora on kohtisuorassa suoraa $y = -3x+8$ vastaan.
  2. Ohje:
    1. Määritä annetun suoran kulmakerroin (tässä tapauksessa $k_1 = 4$).
    2. Päättele, mikä on tätä suoraa vastaan kohtisuorassa olevan suoran kulmakerroin (kulmakertoimien tulon pitää olla $-1$, joten tässä tapauksessa $k_2 = -\frac{1}{4}$).
    3. Muodosta yhtälö suoralle, jonka kulmakerroin on sama kuin kohdassa 2. ja joka kulkee pisteen $P$ kautta.
    4. Selvitä suorien leikkauspiste.
  3. Lähin piste on $(-1,-2)$. Se löydetään, kun selvitetään suorien $y = 3x+1$ ja $$ y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{7}{3} $$ leikkauspiste.

Lineaarinen malli

Erään sähköyhtiön hinnasto on seuraava: sähkön myynnin perusmaksu on 2,22 €/kk ja sähköenergian hinta on 7,98 c/kWh.

  1. Kuinka suuri on kuukauden sähkölasku, jos sähkönkulutus on 410 kilowattituntia kuukaudessa?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee sähkölaskun suuruuden, jos sähkönkulutus on $x$ kWh kuukaudessa.
  3. Kilpailevan sähköyhtiön perusmaksu on 3,79 €/kk ja sähköenergian hinta on 6,60 c/kWh. Millä sähkönkulutuksella kummankin yhtiön lähettämä sähkölasku olisi yhtä suuri? Anna vastaus kilowattitunnin tarkkuudella.

  1. Sähkölasku on 34,94 euroa.
  2. $f(x) = 0{,}0798x + 2{,}22$
  3. Kulutuksen pitäisi olla noin 114 kWh kuukaudessa.

Lineaarinen malli

Kun seurattiin paistilämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että 10 minuutissa lämpötila kohosi $5 {}^\circ\text{C}$. Kello 14 lämpömittarin lukema oli $20 {}^\circ\text{C}$.

  1. Mikä on paistin lämpötila puolen tunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee paistin lämpötilan, kun kello kahdesta on kulunut $x$ minuuttia.
  3. Mihin aikaan paisti on kypsä? Ohjeen mukaan se on kypsä, kun sisälämpötila on $80 {}^\circ\text{C}$.

  1. Lämpötila on $35 {}^\circ\text{C}$.
  2. $f(x) = 20 + \dfrac{5}{10}x$ eli $f(x) = 20 + 0{,}5x$
  3. Paisti on kypsä klo 16 eli 120 minuutin kuluttua.

Lineaarinen malli

Eräässä matematiikan kokeessa arvosanan 5 sai 20 pisteellä ja korkeimman arvosanan 10 sai 62 pisteellä.

  1. Muodosta yhtälö suoralle, joka kuvaa arvosanan riippuvuutta pistemäärästä.
  2. Ratkaise suoran yhtälön avulla, millä pistemäärällä arvosanaksi tulee seiska puoli.

  1. Suoran yhtälö on $$ y = \dfrac{5}{42}x + \dfrac{110}{42}. $$ Saat muodostettua sen, kun selvität ensin suoran kulmakertoimen ja sen jälkeen vakion $b$ arvon.
  2. Kysytty pistemäärä on 41. Se löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \dfrac{5}{42}x + \dfrac{110}{42} = 7{,}5. $$

Lineaarinen malli

Olkoon $C$ lämpötila Celsius-asteikolla ilmaistuna ja olkoon $F$ lämpötila Fahrenheit-asteikolla ilmaistuna. Nämä riippuvat toisistaan yhtälön $$ C = \dfrac{5}{9}(F-32) $$ mukaisesti.

  1. Ratkaise ilman laskinohjelman apua lämpötilan tarkka arvo Fahrenheit-asteikolla, kun lämpötila celsiusasteina on tasan 32.
  2. Piirrä laskimella tai tietokoneella suora, joka kuvaa lämpötilan $F$ riippuvuutta lämpötilasta $C$.
    Vinkki: ole tarkkana, kumman lämpötilan valitset $x$-akselille, jotta riippuvuus tulee oikein päin.
  3. Arvioi b-kohdan kuvaajasta, mikä on lämpötila fahrenheitasteina, kun lämpötila on 32 celsiusastetta. Onko tuloksesi sopusoinnussa a-kohdan kanssa?

  1. $F = \dfrac{9}{5} \cdot 32 + 32 = \dfrac{448}{5} = 89{,}6$
  2. Kuva:

    Voit piirtää suoran esimerkiksi Geogebralla syöttämällä sen joko alkuperäisessä muodossa $$ x = \dfrac{5}{9}(y - 32) $$ tai ratkaistussa muodossa $$ y = \dfrac{9}{5}x + 32. $$ Koska kysytään lämpötilan $F$ riippuvuutta lämpötilasta $C$, valitaan $x$-akselille $C$ ja $y$-akselille $F$.
  3. Tulos on sopusoinnussa a-kohdan kanssa, sillä kuvan mukaan kun $x = 32$, niin $y \approx 90$.

Lineaarinen malli

Taksi-Tapsalla taksimatkan hinnan riippuvuutta kuljetusta matkasta kuvaa funktio $t(x) = 1{,}84x + 5{,}30$. Auto-Ainolla vastaava funktio on $a(x) = 2x + 3{,}90$. Molemmissa funktioissa matkan yksikkönä on kilometri ja hinnan yksikkönä euro.

  1. Ratkaise laskennallisesti, mikä matkan pituuden tulee olla, jotta matkan hinta on kummallakin firmalla yhtä suuri.
  2. Piirrä funktioiden kuvaajat tietokoneella tai laskimella.
  3. Vertaile taksifirmojen hinnoittelua. Millainen on lähtömaksu? Entä matkataksa (euroa/km)? Milloin asiakkaan kannattaa valita Taksi-Tapsa? Entä milloin Auto-Aino?

  1. 8,75 km
  3. Taksi-Tapsan lähtömaksu on 5,30 euroa ja Auto-Ainon 3,90 euroa. Lyhyillä korkeintaan 8,75 km matkoilla asiakkaan kannattaa siten valita Auto-Aino. Taksi-Tapsan matkataksa on 1,84 euroa/km ja Auto-Ainon 2,00 euroa/km. Asiakkaan kannattaa valita Taksi-Tapsa, jos matkan pituus on vähintään 8,75 km.

Lineaarinen malli

Laiva kulkee avomerellä suoraviivaisesti suuntaansa muuttamatta. Koordinaatistoon on kuvattu laivsn etäisyys tarkkailumajakasta kahdeksan tunnin tarkkailujakson kuluessa.

  1. Mikä on laivan etäisyys tarkkailumajakasta, kun tarkkailu alkaa?
  2. Mitä tapahtuu tilanteessa, jota kuvaa koordinaatistosa piste (2,10)?
  3. Millä nopeudella laiva loittonee majakasta, kun tarkkailua on kestänyt kuusi tuntia? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.
  4. Miten laivan nopeus majakan suhteen muuttuu tarkkailun aikana?
  5. Miten pitkän matkan laiva kulkee tarkkailun aikana? Anna vastaus kilometrin tarkkuudella.
    Vinkki: piirrä kartta laivan reitistä ja sovella MAB3-kurssin tietoja.

  1. Laivan etäisyys majakasta on 50 km.
  2. Laiva on silloin lähinnä tarkkailumajakkaa 10 km päässä majakasta. Tämän jälkeen laivan ja majakan välinen etäisyys kasvaa jälleen.
  3. Laivan loittonemisnopeus on kulmakertoimen mukainen $$ \dfrac{70 \text{ km} }{6 \text{ h} } \approx 11{,}7 \text{ km/h} $$
  4. Laivan nopeus majakan suhteen pienenee, kun se ohittaa tarkkailumajakan. Ensimmäisen kahden tunnin aikana laiva nimittäin lähestyy majakkaa nopeudella $$ \dfrac{40 \text{ km} }{2 \text{ h} } = 20 \text{ km/h} $$
  5. Laiva kulkee noin 128 km.
    Laivan reitti ja etäisyydet majakkaan eri vaiheissa:

    Suorakulmaisiin kolmioihin liittyvän Pythagoraan lauseen (MAB3) avulla voidaan selvittää, että laiva kulkee tarkkailun aikana ennen ohitusta noin 48,99 km ja ohituksen jälkeen noin 79,37 km.

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt ilman laskinohjelman apua:

  1. $2x-4(3x-5) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-4}{2} = 1$

  1. $x = 2$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = -\dfrac{2}{5}$

Aritmeettinen lukujono

Piirrä tietokoneella tai laskimella

  1. lukujonon $a_n = 2n-5$
  2. suoran $y = 2x - 5$

kuvaaja. Mitä eroa kuvaajissa on? Entä mitä yhteistä?

  1. Lukujono $a_n = 2n-5$:
  2. Suora $y = 2x - 5$:

Lukujonossa lausekkeessa muuttuja $n$ on jäsenen järjestysnumero eli positiivinen kokonaisluku. Lukujonon kuvaaja muodostuu sen vuoksi erillisistä pisteistä. Suoran yhtälössä muuttuja $x$ voi olla mikä tahansa reaaliluku, joten suoran on yhtenäinen viiva.
Sekä lukujonossa että suorassa vaaka-akselin muuttuja ($n$ tai $x$) kerrotaan kahdella ja tuloksesta vähennetään 5, joten myös lukujonon pisteet asettuvat suoralle $y = 2x - 5$.

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettisen lukujonon kahdeksas jäsen on $-23$ ja kahdeskymmenes jäsen on $-59$.

  1. Mikä on lukujonon sadas jäsen?
  2. Kuinka moni lukujonon jäsenistä on suurempia kuin $-2000$?
  3. Onko luku $-2697$ lukujonon jäsen?

  1. $a_{100} = -299$
    Jäsenten $a_8$ ja $a_{20}$ väliin mahtuu 12 differenssiä eli $12d = -59-(-23) = -36$, joten $d = -3$. Jäsenten $a_1$ ja $a_8$ väliin mahtuu 7 differenssiä, joten $a_8 = a_1 + 7d$. Tästä saadaan ratkaistua $a_1 = a_8-7d = -23-7 \cdot (-3) = -2$. Lukujonon yleinen jäsen on siis $a_n = -2 + (n-1)\cdot (-3) = -3n+1$.
  2. Lukujonon jäsenistä 666 kpl on suurempia kuin $-2000$.
    Yhtälön $a_n = -2000$ eli yhtälön $$ -3n + 1 = -2000 $$ ratkaisuksi saadaan $n = 667$. Tämä tarkoittaa, että $a_{667} = -2000$. Tästä voidaan päätellä, että edeltävät 666 jäsentä ovat suurempia kuin $-2000$.
  3. Luku $-2697$ ei ole lukujonon jäsen.
    Yhtälön $a_n = -2697$ eli yhtälön $$ -3n + 1 = -2697 $$ ratkaisuksi saadaan $n = 899{,}3333\ldots$. Tästä voidaan päätellä, että luku $-2697$ ei ole lukujonon jäsen, koska ratkaisuna saatu $n$ ei ole positiivinen kokonaisluku.

Aritmeettinen lukujono

Amanda lainasi kummitädiltään 7400 euroa uuden kilpasoutuveneen hankintaa varten. Täti myönsi lainan ilman korkoa. Lyhennyksen suuruudeksi sovitiin 250 euroa kuukaudessa ja lyhennykset aloitettiin huhtikuussa 2019.

  1. Muodosta sellaisen lukujonon yleinen jäsen, joka ilmaisee jäljellä olevan lainan määrän, kun on tehty $n$ lyhennystä.
  2. Kuinka monta maksuerää Amandan lainassa on ja mikä on viimeisen lyhennyksen suuruus?
  3. Milloin laina on maksettu takaisin?

  1. $a_n = 7400 - 250n$
  2. Maksueriä on $30$ ja viimeisen lyhennyksen suuruus on 150 euroa.
    Yhtälön $a_n = 0$ eli yhtälön $$ 7400-250n = 0 $$ ratkaisuksi saadaan $n = 29{,}6$. Tämä tarkoittaa, että 29 erää ei vielä riitä lainan maksamiseen vaan eri tarvitaan 30 kpl. Kuitenkin viimeinen erä on pienempi kuin muut. Ensimmäisten 29 erän aikana lainaa maksetaan $29 \cdot 250 = 7250$ euroa, joten viimeinen erä on $7400 - 7250 = 150$ euroa.
  3. Viimeinen lyhennys maksetaan syyskuussa 2021.
    Vuoden 2019 aikana ehtitään maksaa 9 lyhennystä, vuonna 2020 maksetaan 12 lyhennystä ja vuodelle 2021 jää siten 9 lyhennystä.

[Lyhyt K18, teht. 5]

Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.

[Lyhyt S15, teht. 6]

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99
  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2 000 kWh vuodessa?

[Lyhyt S15, teht. 10]

Suora $y= 3 - 3 x$ rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen $k$ arvolla suora $y= kx$ jakaa tämän kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan?

[Lyhyt K15, teht. 5]

Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden $h$ suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla $h = 0$ keskilämpötila on +15 celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella -56 celsiusastetta.

  1. Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?
  2. Määritä ilman lämpötilan lauseke $T= T(h)$ korkeuden $h$ avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja $(h T)$-koordinaatistoon, kun $0 \le h \le 11$ km.

[Lyhyt K14, teht. 14]

Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta 2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä 2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja 629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.

  1. Ennusteen mukaan asukasluku $y$ toteuttaa yhtälön $$y=a(x-2014)+b$$ kun $x$ on vuosiluku. Määritä vakioiden $a$ ja $b$ tarkat arvot käyttämällä yllä mainittuja tietoja.
  2. Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014−2030? Anna vastaus 1 000 asukkaan tarkkuudella.
  3. Piirrä asukasluvun $y$ kuvaaja välillä $2014 \le x \le 2030$.

[Lyhyt S12, teht. 11 (kuvituskuva jätetty pois)]

Aikuisen ihmisen sääriluun pituus $y$ riippuu henkilön pituudesta $x$ kaavojen $$y=0,43x -27 \ (\textrm{nainen})$$ $$y=0,45x -31 \ (\textrm{mies})$$ mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri.

  1. Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli?
  2. Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu?

[Lyhyt S98, teht. 4a]

Helsinki, Salo ja Turku ovat likipitäen samalla suoralla. Helsingin ja Turun välimatka on noin 165 km sekä Salon ja Turun välimatka noin 55 km. Helsingissä oli eräänä päivänä lämpötila 17,1 °C ja Turussa 22,3 °C. Lämpötila muuttui tasaisesti Helsingin ja Turun välillä. Mikä oli tällöin lämpötila Salossa?

[Lyhyt S94, teht. 8b]

Kartalla, jonka yksikkönä on kilometri, erästä päätietä esittää suora $2x - 3y+4 = 0$ ja siitä erkanevaa paikallistietä suora $x + 2y - 6 = 0$. Missä pisteessä tiet eroavat? Kuinka kaukana tienhaarasta on paikassa $(4,1)$ oleva talo?

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä seuraavat tehtävät.

1. Ratkaise A-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu Abitin editorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi.
Suora kulkee pisteiden $(3,1)$ ja $(5,-3)$ kautta.

  1. Laske suoran kulmakerroin.
  2. Muodosta suoran yhtälö.
  3. Tutki, onko piste $(-8,23)$ suoralla.

2. Ratkaise B-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu TI Nspiren Muistiinpanot -sovelluksella.
Yritys A tarjoaa ikkunanpesua seuraavasti: työn hinta on 45 €/h ja tilausvahvistusmaksu on 50 euroa. Yrityksessä B tilausvahvistusmaksua ei ole, mutta työn hinta on 53 €/h.

  1. Muodosta mallit, jotka kuvaavat ikkunanpesun kokonaishintaa työtuntien funktiona.
  2. Selvitä, milloin kannattaa valita yritys A. Perustele.