Aloitamme tämän kappaleen tekemällä sopimuksen siitä, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan luonnollisista luvuista. Tällaista sopimusta siitä, mitä jokin nimitys tarkoittaa, sanotaan matematiikassa määritelmäksi. Luonnollisten lukujen määritelmä siis kertoo, mitä luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan.

Luonnollisten lukujen määritelmästä on kaksi erilaista versiota. Tällä kurssilla käytetään edellä esitettyä määritelmää, jonka mukaan myös luku $0$ on luonnollinen luku. Joissakin kirjoissa käytössä on määritelmä, jossa luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan lukuja $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$. Siitä, kumpi määritelmä on parempi, ei ole päästy yksimielisyyteen.

Luonnollisia lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, ja tulos on aina luonnollinen luku. Vähennyslaskun ja jakolaskun tulokset sen sijaan eivät välttämättä ole luonnollisia lukuja. Jotta kaikki vähennyslaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä luonnollisten lukujen joukosta kokonaislukujen joukkoon.

Sovitaan seuraavaksi, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan kokonaisluvuista:

Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Positiivisen luvun lisääminen tarkoittaa, että lukusuoralla liikutaan oikealle:

Positiivisen luvun vähentäminen tarkoittaa, että lukusuoralla liikutaan vasemmalle:

Entä mitä tarkoittaa negatiivisen luvun lisääminen? Laskuista $3+4$ ja $3+(-4)$ täytyy arkijärjenkin mukaan tulla eri tulos. Kun lisätään positiivinen luku, liikutaan lukusuoralla oikealle:

Kun lisätään negatiivinen luku, on siis loogista liikkua lukusuoralla vasemmalle:

Kun vähennetään negatiivinen luku, liikutaan taas päinvastaiseen suuntaan eli oikealle:

Kaikilla kokonaisluvuilla on olemassa niin sanottu vastaluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä vastaluku tarkoittaa.

Edellisessä tehtävässä huomattiin, että luku ja sen vastaluku ovat aina yhtä kaukana nollasta. Luvun etäisyyttä nollasta sanotaan luvun itseisarvoksi.

Palataan takaisin laskutoimituksiin. Huomataan, että erotus voidaan muuttaa summaksi, sillä vähennyslasku on sama kuin vastaluvun lisääminen: $$3-4 = 3+(-4).$$ Summa voidaan muuttaa erotukseksi, sillä yhteenlasku on sama kuin vastaluvun vähentäminen: $$3+4 = 3-(-4).$$

Myös kokonaislukujen kertolaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Esimerkiksi tuloa $2\cdot 3$ on havainnollistettu alla:

Tulo $-2 \cdot 3$ voidaan ajatella sen vastalukuna. Koska $2 \cdot 3 = 6$, niin $$-2 \cdot 3 = -6.$$ Tuloa $2\cdot (-3)$ voidaan havainnollistaa vastaavasti:

Tulo $-2 \cdot (-3)$ saadaan sen vastalukuna. Koska $2 \cdot (-3) = -6$, niin $$-2\cdot (-3) = -(-6) = 6.$$

Kokonaislukujen summat, erotukset ja tulot ovat aina kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun osamäärä sen sijaan ei välttämättä ole kokonaisluku. Jotta kaikki jakolaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä kokonaislukujen joukosta rationaalilukujen joukkoon.

Jos murtolukumuodossa esitettyjä rationaalilukuja lasketaan yhteen, pitää luvut ensin laventaa samannimisiksi. Tarkastellaan esimerkiksi summaa $$\dfrac{3}{8} + \frac{5}{6}$$ Sitä voidaan havainnollistaa piirroksella:

Jotta väritetyn alueen kokonaismäärä voidaan laskea, jaetaan kumpikin suorakulmio samanlaisiin osiin seuraavasti:

• Jaetaan ensimmäinen suorakulmio pystysuunnassa kuuteen osaan samalla tavalla kuin toinen suorakulmio.
• Jaetaan toinen suorakulmio vaakasuunnassa kahdeksaan osaan samalla tavalla kuin ensimmäinen suorakulmio.

Näin saadaan molempiin samankokoiset ruudut:

Tämä vastaa yhteenlaskettavien laventamista samannimisiksi: \begin{align*} \dfrac{3}{\textcolor{blue}{8} } + \frac{5}{\textcolor{red}{6} } &= \dfrac{\textcolor{red}{6} \cdot 3}{\textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{8} } + \frac{\textcolor{blue}{8} \cdot 5}{\textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{6} } \\[2mm] &= \dfrac{18}{48} + \frac{40}{48} \end{align*} Kumpikin suorakulmio tulee jaetuksi $48$ osaan, mutta väritetyn osan pinta-ala pysyy samana. Nähdään, että sinisellä on väritetty yhteensä 58 pientä ruutua eli $\frac{58}{48}$ suorakulmion pinta-alasta.

Järjestetään palat uudelleen siirtämällä mahdollisimman monta väritettyä palaa ensimmäiseen suorakulmioon. Havaitaan, että joka toinen vaakasuuntainen jakoviiva voidaan jättää pois:
Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} + \frac{5}{6} &= \dfrac{58}{48} \\[2mm] &=\dfrac{2\cdot 29}{2 \cdot 24} \\[2mm] &=\dfrac{29}{24} \end{align*} Luku $29$ ei ole jaollinen millään ykköstä suuremmalla luvulla paitsi itsellään, joten supistamista ei voi jatkaa tämän pidemmälle.

Kun murtolukua supistetaan, pitää löytää sellainen luku, joka jakaa sekä osoittajan että nimittäjän. Aikaisemmassa esimerkissä päädyttiin aluksi tulokseen $$ \dfrac{58}{48} $$ Sekä osoittaja että nimittäjä ovat parillisia, joten ne voidaan jakaa kahdella ja jako menee tasan: $$ \dfrac{58}{2} = 29 \quad \text{ ja } \quad \dfrac{48}{2} = 24. $$ Murtoluku voidaan siis supistaa kahdella: $$ \dfrac{58^{(2}}{48} = \dfrac{29}{24} $$ Tämän jälkeen pitää muistaa tutkia, voiko supistamista jatkaa. Osoittajan ja nimittäjän yhteisiä tekijöitä voi löytää seuraavien tietojen avulla:

• Jos luku päättyy numeroon 0, se on jaollinen kymmenellä.
• Jos luku päättyy numeroon 5 tai 0, niin se on jaollinen viidellä.
• Jos luku on parillinen eli päättyy numeroon 2, 4, 6, 8 tai 0, niin se on jaollinen kahdella.
• Jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin myös luku on jaollinen kolmella. Esimerkiksi luvun $234$ numeroiden summa on $2 + 3 + 4 = 9$. Koska $9$ on jaollinen kolmella, myös luku $234$ on jaollinen kolmella. On mahdollista perustella, että kysymys ei ole sattumasta.

Murtolukujen vähennyslasku noudattaa samoja periaatteita kuin yhteenlasku: vähennettävä ja vähentäjä lavennetaan aina samannimisiksi ennen erotuksen laskemista. Yleispätevä tapa on valita laventajaksi aina toisen murtoluvun nimittäjä. Esimerkiksi erotuksessa $$ \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{15} $$ voidaan ensimmäinen murtoluku laventaa luvulla 15 ja toinen luvulla 6: \begin{align*} \dfrac{1}{\textcolor{blue}{6} } - \dfrac{2}{\textcolor{red}{15} } &= \dfrac{\textcolor{red}{15} \cdot 1}{\textcolor{red}{15} \cdot \textcolor{blue}{6}} - \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot 2}{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{15} } \\[2mm] &= \dfrac{15}{90} - \dfrac{12}{90} = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30} \end{align*} Joskus on mahdollista käyttää lavennuksessa pienempiä lukuja. Esimerkiksi tässä tapauksessa kumpikin nimittäjä on luvun 30 tekijä: $$ 5 \cdot 6 = 30 \quad \text{ ja } \quad 2 \cdot 15 = 30. $$ Lavennus voidaan tehdä niin, että molempien murtolukujen nimittäjäksi tulee luku 30: \begin{align*} \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{15} &= \dfrac{\textcolor{red}{5} \cdot 1}{\textcolor{red}{5} \cdot 6} - \dfrac{\textcolor{blue}{2} \cdot 2}{\textcolor{blue}{2} \cdot 15 } \\[2mm] &= \dfrac{5}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{1}{30} \end{align*} Tärkeintä on kuitenkin hallita laventamisen yleispätevä tapa, koska se toimii kaikissa tilanteissa.

Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, voidaan tilanne palauttaa yhteenlaskuun. Esimerkiksi \begin{align*} 3 \cdot \frac{2}{7} &= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \\[2mm] &= \frac{2+2+2}{7} \\[2mm] &= \frac{3\cdot 2}{7} \\[2mm] &= \frac{6}{7}. \end{align*}

Edes rationaaliluvut eivät riitä kaikkien asioiden mittaamiseen. Esimerkiksi alla on neliö, jonka sivun pituus on $1$. Tämän neliön halkaisijan pituus $x$ on luku, jota ei voi esittää murtolukumuodossa.

Pythagoraan lauseen mukaan halkaisijan pituus saadaan yhtälöstä $$1^2 + 1^2 = x^2$$ eli $$x^2 = 2.$$ On kuitenkin mahdollista näyttää, että minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole $2$. Tästä voidaan päätellä, että halkaisijan pituus $x$ ei ole rationaaliluku.

Sitä positiivista lukua, jonka toinen potenssi on $2$, kutsutaan luvun 2 neliöjuureksi ja merkitään $\sqrt{2}$. Halkaisijan pituus on siis $x = \sqrt{2}$. Sille voidaan laskea likiarvo: $x = \sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

Luku $\sqrt{2}$ on yksi esimerkki irrationaaliluvusta eli lukusuoran luvusta, jota ei voi esittää murtolukumuodossa. Muita irrationaalilukuja ovat esimerkiksi $\sqrt{3}$ ja $\pi$.

Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon. Reaalilukujen joukkoa havainnollistetaan usein lukusuoralla, jossa jokaista reaalilukua vastaa täsmälleen yksi piste.

Jokainen reaaliluku voidaan esittää desimaalimuodossa ainakin yhdellä tavalla. Kuten aikaisemmin todettiin, rationaalilukujen desimaalikehitelmät ovat päättyviä, tai päättymättömiä ja jaksollisia. Irrationaalilukujen desimaalikehitelmät puolestaan ovat päättymättömiä ja jaksottomia.

Jotta laskutoimituksia yhdistettäessä ei tarvittaisi valtavaa määrää sulkuja laskujärjestyksen osoittamiseksi, on sovittu peruslaskutoimitusten laskujärjestys, jota kaikki reaaliluvut noudattavat. Miten sen mukaan lasketaan esimerkiksi seuraavan lausekkeen arvo? $$7-6^2:4 \cdot 2 + (3-8)^2 \cdot 9 +1$$ Laskujärjestys on seuraava:

1. Ensimmäisenä lasketaan sulkulausekkeet. Jos lausekkeessa on useita sulkeita, laskeminen aloitetaan sisimmistä sulkeista ja edetään ulospäin. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-6^2:4 \cdot 2 + (-5)^2 \cdot 9 +1.$$
2. Seuraavaksi lasketaan potenssit. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-36:4 \cdot 2 + 25 \cdot 9 +1.$$
3. Tämän jälkeen lasketaan kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-18 + 225 +1.$$
4. Viimeisenä lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Vastaukseksi saamme siis $$215.$$

Reaalilukujen yhteenlaskun tutut ominaisuudet on nimetty seuraavasti:

• Vaihdannaisuus tarkoittaa, että yhteenlaskettavien järjestyksen voi vaihtaa: $$a + b = b + a.$$
• Liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset yhteenlaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(a + b)+c = a + (b + c).$$ Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.
• Osittelulain mukaan sulut voidaan kertoa auki tai voidaan erottaa yhteinen tekijä: $$a(b+c) = ab + ac.$$