Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Funktiot ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Funktiot ja yhtälöt

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet funktion käsitteen ja osaat piirtää ja tulkita funktioiden kuvaajia. Osaat

  • tunnistaa, onko sääntö funktio
  • määrittää funktion arvon tietyssä kohdassa kuvaajasta päättelemällä, käsin laskemalla ja teknisen apuvälineen avulla
  • lukea kuvaajasta funktion nollakohdat
  • piirtää teknisellä apuvälineellä funktion kuvaajan
  • tunnistaa ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ominaisuuksia funktion lausekkeesta
  • ratkaista yksinkertaisia ensimmäisen asteen yhtälöitä
  • tunnistaa toisen ja kolmannen asteen potenssifunktioiden kuvaajat
  • ratkaista toisen ja kolmannen asteen potenssiyhtälöitä.

Tässä luvussa tutustutaan funktion käsitteeseen. Sen avulla voidaan mallintaa ja tutkia erilaisten mitattavissa olevien asioiden välisiä riippuvuuksia, kuten esimerkiksi pyöräilijän tiettynä aikana kulkeman matkan riippuvuutta pyöräilijän vauhdista tai työntekijän maksamien verojen määrän riippuvuutta työntekijän tuloista.

Funktio on siis jonkinlainen sääntö, joka kertoo, miten jokin asia liittyy toiseen. Ennen kuin sovimme tarkemmin, mitä funktion käsitteellä tarkoitetaan, tutkitaan seuraavissa tehtävissä muutamien erilaisten sääntöjen ominaisuuksia.

Tutkitaan sääntöä $f$, joka liittää jokaiseen luonnolliseen lukuun sen numeroiden summan. Siis esimerkiksi lukuun $156$ sääntö $f$ liittää luvun $1 + 5 + 6 = 12$. Tämä voidaan merkitä $$f(156) = 1 + 5 + 6 = 12.$$

  1. Minkä luvun sääntö $f$ liittää lukuun $389$? Toisin sanottuna, mikä on $f(389)$?
  2. Minkä luvun sääntö $f$ liittää lukuun $106\,437$? Toisin sanottuna, mikä on $f(106\,437)$?
  3. Onko olemassa jokin luonnollinen luku, jonka tapauksessa säännön $f$ antamaa tulosta ei voida laskea? Selitä omin sanoin.
  4. Onko olemassa jokin luonnollinen luku, johon sääntö $f$ liittää useita eri lukuja? Selitä omin sanoin.

  1. $f(389) = 3 + 8 + 9 = 20$
  2. $f(106\,437) = 21$
  3. Tällaista lukua ei ole olemassa, sillä luvun numeroiden summa voidaan aina laskea.
  4. Tällaista lukua ei ole olemassa, sillä olipa alkuperäinen luku mikä tahansa, sen numeroiden summasta tulee aina yksi tulos.

Edellisessä tehtävässä tutkittiin sääntöä, joka liitti tietyn joukon lukuihin toisia lukuja. Sellaista sääntöä, joka liittää tietyn joukon jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion, sanotaan funktioksi.

MÄÄRITELMÄ: FUNKTIO

Funktio joukosta $X$ joukkoon $Y$ tarkoittaa sääntöä, joka liittää joukon $X$ jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta $Y$.
Tässä esiintyvä joukko $X$ on funktion määrittelyjoukko eli lähtöjoukko ja joukko $Y$ on funktion maalijoukko.

Tarkastele alla olevia kuvia, joissa on kuvattu säännöt $\alpha$, $f$, $g$, $\beta$ ja $h$. Mitkä näistä säännöistä ovat funktioita joukosta $X$ joukkoon $Y$? Perustele omin sanoin.

Säännöt $f$, $g$ ja $h$ ovat funktioita joukosta $X$ joukkoon $Y$, sillä ne liittävät jokaiseen joukon $X$ alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta $Y$.

Sääntö $\alpha$ ei ole funktio joukosta $X$ joukkoon $Y$, sillä joukossa $X$ on alkio, johon sääntö $\alpha$ ei liitä yhtään joukon $Y$ alkiota.

Sääntö $\beta$ ei ole funktio joukosta $X$ joukkoon $Y$, sillä joukossa $X$ on alkio, johon sääntö $\beta$ liittää useamman kuin yhden joukon $Y$ alkion.

Joskus funktion sääntö voidaan ilmaista lausekkeen avulla. Esimerkiksi merkintä $$f(x) = 2x + 1$$ ilmaisee sen, että funktio $f$ liittää lukuun $x$ luvun $2x + 1$. Funktio $f$ siis kertoo luvun $x$ kahdella ja lisää tulokseen luvun $1$.

Tarkastellaan funktiota $h(x) = -3x+2$.

  1. Laske funktion $h$ arvo kohdassa $x = 2$. Toisin sanottuna laske, mitä on $h(2)$.
  2. Laske funktion $h$ arvo kohdassa $x = -\frac{1}{2}$.

  1. $h(2) = -4$
  2. $h\left (-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{2}=3\dfrac{1}{2}$

Koordinaattiakselien leikkauspistettä eli origoa on yllä olevassa kuvassa merkitty kirjaimella $O$.

  1. Tavoitteena on päästä origosta $O$ pisteeseen $A$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta ylöspäin? Mitkä ovat pisteen $A$ koordinaatit?
  2. Tavoitteena on päästä origosta pisteeseen $B$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta alaspäin? Mitkä ovat pisteen $B$ koordinaatit? Miten ilmaistaan se, että pisteeseen $B$ päästäkseen pitää liikkua pystysuunnassa alaspäin eikä ylöspäin?
  3. Mitkä ovat pisteen $C$ koordinaatit?
  4. Mitkä ovat pisteen $D$ koordinaatit?

  1. Pitää kulkea 2 askelta oikealle ja 3 askelta ylöspäin. Pisteen $A$ koordinaatit ovat siten $(2,3)$.
  2. Pitää kulkea 3 askelta oikealle ja 1 askel alaspäin. Pisteen $B$ koordinaatit ovat siten $(3,-1)$. Miinusmerkillä ilmaistaan, että pystysuunnassa liikutaan alaspäin eikä ylöspäin.
  3. $C = (4,2)$
  4. $D = (-3,1)$

Tutkitaan vielä funktiota $f$, jolla $$f(x) = 2x + 1.$$

  1. Täydennä alla oleva taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = 2x + 1$
    $1$ $f(1) = $
    $7$
    $0$
    $-6$
    $a$
    $b$
  2. Mikä seuraavista on funktion $f$ kuvaaja? Käytä päättelyssä apuna taulukkoa, jonka täydensit a-kohdassa.

  3. Päättele kuvaajan avulla, millä muuttujan $x$ arvolla funktio $f$ saa arvon $0$. Toisin sanottuna etsi sellaiset luvut $x$, joilla $f(x) = 0$.

  2. Kuvaaja on vaihtoehto C.
  3. $f(x) = 0$, jos ja vain jos $x = -0{,}5$.

Edellä tarkasteltu funktio $f$ on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Se tarkoittaa, että funktion $f$ arvo voidaan laskea, olipa muuttujan $x$ arvo mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi jos $x = 135{,}8642$, on funktion $f$ arvo \begin{align*} f(135{,}8642) &= 2\cdot 135{,}8642 + 1 \\ &= 272{,}7284. \end{align*} On olemassa myös sellaisia funktiota, joiden arvo ei joidenkin muuttujan arvojen tapauksessa ole määritelty. Esimerkiksi funktion $$g(x) = \frac{1}{x-2}$$ arvo ei ole määritelty, jos $x = 2$, sillä nimittäjä on tällöin nolla. Tässä tilanteessa sanotaan, että funktio $g$ ei ole määritelty kohdassa $x = 2$. Funktion yhteyteen on hyvä liittää tieto siitä, millä muuttujan arvoilla funktio on määritelty: $$g(x) = \frac{1}{x-2}, \quad \text{ missä } x \neq 2.$$

Funktion kuvaajan avulla voidaan tehdä päätelmiä sellaisissakin tilanteissa, joissa funktion esittäminen lausekkeen avulla on hankalaa. Esimerkiksi alla olevasta kuvassa on näkyvissä lämpötila ajan funktiona Ilmatieteen laitoksen Kumpulan havaintoasemalla Helsingissä (kuvankaappaus Ilmatieteenlaitoksen sivuilta).

Tarkastele yllä olevaa kuvaajaa, joka esittää lämpötilaa ajan funktiona.

  1. Mikä on ollut vuorokauden korkein lämpötila? Milloin se on saavutettu?
  2. Mikä on ollut vuorokauden matalin lämpötila? Milloin se on saavutettu?
  3. Millä aikavälillä lämpötila on ollut yli 20 astetta?
  4. Millä aikavälillä lämpötila on ollut alle 16 astetta?

  1. Korkein lämpötila on ollut noin 23 astetta ja se on saavutettu noin klo 16.
  2. Matalin lämpötila on ollut noin 12 astetta ja se on saavutettu noin klo 4.
  3. Noin klo 10-21.
  4. Noin klo 23-8.30.

Funktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti ilmaisee aina funktion arvon kyseisessä kohdassa. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa funktion $f$ kuvaaja kulkee pisteen $(1,3)$ kautta. Tästä voidaan päätellä, että funktion $f$ arvo kohdassa $x = 1$ on $f(1) = 3$.

Alla on funktion $f$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Minkä arvon funktio saa kohdassa $x = -1$?
  2. Mitä on $f(0)$?
  3. Mitä on $f(2)$? Saako funktio $f$ tämän arvon jossain muussakin kohdassa kuin kohdassa $x = 2$?

  1. Kohdassa $x = -1$ funktio saa arvon $0$.
  2. $f(0) = -1$
  3. $f(2) = 3$ ja funktio saa saman arvon myös kohdassa $x = -2$.

Edellisen tehtävän funktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin kohdassa $x = -1$ ja kohdassa $x = 1$. Näissä kohdissa kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on siis $0$. Nämä kohdat, joissa funktion arvo on $0$, on nimetty funktion nollakohdiksi:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Alla on näkyvissä funktioiden $f$, $g$ ja $h$ kuvaajat. Millä näistä funktioista

  1. on tasan yksi nollakohta?
  2. on useita nollakohtia?
  3. ei ole yhtään nollakohtaa?

  1. Funktiolla $g$ on tasan yksi nollakohta.
  2. Funktiolla $f$ on useita nollakohtia, tarkemmin sanottuna kaksi nollakohtaa.
  3. Funktiolla $h$ ei ole yhtään nollakohtaa.

Alla on funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Millä muuttujan $x$ arvolla funktio saa arvon $-2$?
  2. Onko funktiolla yksi tai useampia nollakohtia? Mitä ne ovat?
  3. Millä muuttujan $x$ arvolla $g(x) = 6$?
  4. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $g$ saa arvon $g(4)$?

  1. Arvolla $x = 3$.
  2. Kaksi nollakohtaa: $x_1 = 1$ ja $x_2 = 5$.
  3. $g(x) = 6$, jos ja vain jos $x = -1$ tai $x = 7$.
  4. Jos ja vain jos $x = 4$ tai $x = 2$.

Funktioiden arvoja voi vertailla piirtämällä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon kuten alla olevassa kuvassa. Siitä nähdään esimerkiksi, että funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon kohdassa $a \approx 3{,}4$ ja tämä arvo on $f(a) = g(a) \approx 5$.

Tarkastele edelleen yllä olevaa kuvaa, jossa näkyvät funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat.

  1. Saavatko funktiot $f$ ja $g$ saman arvon jossain muussakin kohdassa kuin kohdassa $x = a$? Missä?
  2. Kumpi funktioista saa suuremman arvon kohdassa $x = 0$?
  3. Kumpi funktioista saa suuremman arvon kohdassa $x = 1$?

  1. Funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon myös kohdissa $x \approx -1{,}1$ ja $x \approx 0{,}5$.
  2. Funktio $g$.
  3. Funktio $f$.

Seuraavan tehtävän avulla harjoitellaan funktion kuvaajan piirtämistä teknisellä apuvälineellä.

Varmista, että osaat piirtää funktion kuvaajia jollakin teknisellä apuvälineellä, esimerkiksi TI Nspirellä tai Geogebralla. Tässä on video Geogebralla piirtämiseen.

  1. Piirrä funktion $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{7}{3}x+2$ kuvaaja.
  2. Määritä kuvaajan perusteella $f(0)$.
  3. Määritä kuvaajan perusteella funktion nollakohdat.

  1. $f(0)=2$
  2. Nollakohdat ovat $x=-2$, $x=-1$ ja $x=3$.

Funktioita voidaan luokitella eri tavoin. Voidaan esimerkiksi puhua polynomifunktioista, juurifunktioista, murtofunktioista, trigonometrisistä funktioista, eksponentti- ja logaritmifunktioista ja niin edelleen. Tiettyyn luokkaan kuuluvien funktioiden lausekkeet muistuttavat yleensä toisiaan ja niiden kuvaajissa on samoja piirteitä. Tässä kappaleessa tutkitaan ensimmäisen asteen polynomifunktioita ja ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälöitä.

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax+b$, missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

  1. Piirrä teknisellä apuvälineellä samaan kuvaan funktioiden $f(x)=0{,}5x + 1$, $g(x) = 2x+1$ ja $h(x) = -2x+1$ kuvaajat.
  2. Mitä yhteistä funktioiden $f(x)$ ja $g(x)$ kuvaajilla on? Miten ne eroavat?
  3. Mitä yhteistä funktioiden $g(x)$ ja $h(x)$ kuvaajilla on? Miten ne eroavat?
  4. Kaikki tämän tehtävän funktiot ovat muotoa $x \mapsto ax +1$ eli ne kertovat muuttujaa $x$ jollakin luvulla $a$ ja lisäävät tulokseen luvun $1$. Miten luku $1$ näkyy funktioiden kuvaajissa?
  5. Pystytkö päättelemään kuvaajaa piirtämättä, millä korkeudella funktio $k(x) = x+4$ leikkaa $y$-akselin?

Selitä omin sanoin, miten voit päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = ax+b$ lausekkeesta,

  1. onko funktion kuvaaja nouseva vai laskeva suora
  2. miten jyrkästi kuvaaja nousee tai laskee
  3. missä kohdassa kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Voit tutkia edellisten tehtävien tuloksia tai piirtää vielä lisää ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia laskimellasi.

  1. Funktion $f(x)=ax+b$ kuvaaja on nouseva suora, jos $a>0$ ja laskeva suora, jos $a<0$. Lukua $a$ sanotaan kulmakertoimeksi.
  2. Mitä suurempi kulmakertoimen $a$ itseisarvo on, sitä jyrkempi suora.
  3. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin kohdassa $b$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 2x + 1$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$2x + 1 = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 2x + 1$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 kohdassa $x = 1{,}5$. Yhtälön ratkaisu on siis $x = 1{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-3x - 1 = 5$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä teknisellä apuvälineellä funktion $f(x) = -3x-1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan piste on korkeudella 5.
  2. Mikä on yhtälön ratkaisu?
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $5$?

  2. Yhtälön ratkaisu on $x = -2$.
  3. Kyllä, sillä $-3 \cdot (-2) -1 = 6 - 1 = 5$.

Ensimmäisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ ax + b = 0, $$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ nollakohdat.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} $$ kuvaaja.

  1. Päättele kuvaajan avulla, mikä on yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu.
  2. Tarkista ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle.

  1. Yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu on funktion $f$ nollakohta $x = 4$.
  2. Jos $x = 4$, yhtälön vasen puoli on $$ -\dfrac{2}{3} \cdot 4 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = 0. $$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat siis yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että $x = 4$ on todellakin yhtälön ratkaisu.

Seuraavan määritelmän avulla voi aina tarkistaa, onko jokin luku yhtälön ratkaisu. Tarkistus on tehty näin myös edellisissä tehtävissä.

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$x^2 + 6x = 8x+3$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemman puolen arvo ja oikean puolen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $3$
  2. $1$
  3. $-1$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $27$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $7$ ja oikea arvon $11$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-5$. Huomaa, että yhtälön vasen puoli on $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) = 1 - 6 = -5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Lauseke $x + 2$ on summa ja lauseke $2x$ on tulo.
  2. $x = 8$. Ainakin operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku 2).
  3. $x = 5$. Ainakin operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla 2).

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

  1. Lauseke $4(x+8)$ on lausekkeiden $4$ ja $x+8$ tulo.
    Lauseke $4x + 8$ on lausekkeiden $4x$ ja $8$ summa.
  2. $x = 20$. Operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku $8$).
  3. $x = 14$. Operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla $4$).

Tämän kappaleen alussa ratkaistiin graafisesti funktion kuvaajan avulla yhtälö $$2x+1 = 4.$$ Jos sama yhtälö ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, vähennetään aluksi yhtälön molemmilta puolilta luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$2x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla 2. Näin päädytään yhtälöön $$x = \dfrac{3}{2}.$$ Koska käytettiin vain sallittuja operaatioita, löydettiin yhtälön ratkaisu. Ratkaisun voi lisäksi aina tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$ 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4. $$ Yhtälön vasemmasta puolesta saatiin yhtä suuri kuin yhtälön oikeasta puolesta, joten $$ x = \dfrac{3}{2} $$ on yhtälön ratkaisu.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3+(2x+1)$.
  3. $3(2-x)=x+6$
  4. Tarkista a-c -kohtien ratkaisut teknisellä apuvälineellä. Esimerkiksi TI Nspiressä kirjoita a-kohdassa komento solve(3x+4=2x-1, x).

Ohje: b-kohdassa aloita poistamalla sulut yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Muista, että miinusmerkki sulkujen edessä vaikuttaa kaikkiin sulkujen sisällä oleviin termeihin. c-kohdassa muista, että sulkuja auki kerrottaessa jokainen sulkujen sisällä oleva termi kerrotaan.

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.
  3. $x=0$

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun toisen asteen potenssifunktioon ja palautetaan mieleen, mitä luvun neliöjuuri tarkoittaa. Lisäksi ratkaistaan toisen asteen potenssiyhtälöitä.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POTENSSIFUNKTIO

Funktiota $f(x) = x^2$ sanotaan toisen asteen potenssifunktioiksi.

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on piirretty alla olevaan kuvaan. Se on muodoltaan paraabeli.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 6$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

  1. $f(-1) = 1$
  2. Kohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 2$.
  3. Pienin arvo on $0$.
  4. Kaksi ratkaisua.
  5. Ei yhtään ratkaisua.

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

  1. $\sqrt{4} = 2$
  2. $\sqrt{1} = 1$
  3. $\sqrt{0} = 0$
  4. $\sqrt{9} = 3$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat?

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

  1. Yksi ratkaisu: $x = 0$
  2. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$
  3. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{5}$
  4. Ei ratkaisua.

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $x^2 = a$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

  1. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5}$
  2. Kaksi ratkaisua: $x = \dfrac{2}{3}$ tai $x = -\dfrac{2}{3}$
  3. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{3}$ tai $x = -\sqrt{3}$
  4. Ei ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli aina suurempi tai yhtä suuri kuin 27.

Tässä kappaleessa tutustutaan kolmannen asteen potenssifunktioon ja ratkaistaan kolmannen asteen potenssiyhtälöitä.

Alla on kolmannen asteen potenssifunktion $f(x)=x^3$ kuvaaja. Siitä voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 = a$ on yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on merkitty yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua kirjaimella $b$:

Yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua sanotaan luvun $-2$ kuutiojuureksi. Luvun $-2$ kuutiojuuri on siis se luku, jonka kolmas potenssi on $-2$. Vastaavasti määritellään muidenkin lukujen kuutiojuuret.

MÄÄRITELMÄ: KUUTIOJUURI

Luvun $a$ kuutiojuuri tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^3 = a.$$ Luvun $a$ kuutiojuurelle käytetään merkintää $\sqrt[3]{a}.$

Luvun $a$ kuutiojuurelle pätee siis määritelmän mukaan $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$. Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on toiselta nimeltään luvun $a$ kolmas juuri.

Kuutiojuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien kuutiojuurten arvo ja tarkista tulos korottamalla se kolmanteen potenssiin.

  1. $\sqrt[3]{8}$
  2. $\sqrt[3]{-1}$
  3. $\sqrt[3]{27}$
  4. $\sqrt[3]{-125}$

  1. $\sqrt[3]{8} = 2$
  2. $\sqrt[3]{-1} = -1$
  3. $\sqrt[3]{27} = 3$
  4. $\sqrt[3]{-125} = -5$

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt graafisesti, eli piirrä teknisellä apuvälineellä samaan kuvaan vasemman ja oikean puolen funktioiden kuvaajat. Graafisissa ratkaisuissa vastaukset annetaan aina likiarvoina.

  1. $x^3 = 2$
  2. $x^3 = -7$
  3. $x^3=10$

  1. $x \approx 1{,}2$ (tai $x\approx 1{,}3$)
  2. $x\approx -1{,}9$
  3. $x \approx 2{,}1$ (tai $x\approx 2{,}2$)

Kolmannen asteen potenssiyhtälöiden ratkaisut saadaan ilmaistua juuren avulla samalla tavalla kuin toisen asteen potenssiyhtälöissä. Koska kolmannen asteen potenssifunktio saa jokaisen arvonsa ainoastaan kerran, on yhtälön ratkaisuja olemassa aina tasan yksi.

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Anna ratkaisujen tarkat arvot juurimerkintää käyttäen ja määritä laskimen avulla likiarvot kahden desimaalin tarkkuudella.

  1. $x^3 = 2$
  2. $x^3=-8$
  3. $2x^3-1=7$

  1. $x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$
  2. $x = \sqrt[3]{8}=-2{,}00$
  3. $x = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}59$

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Anna ratkaisujen tarkat arvot juurimerkintää käyttäen ja määritä laskimen avulla likiarvot kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Merkitsevät numerot ovat desimaaliluvuissa kaikki muut, paitsi luvun alussa olevat nollat. Huoomaa, että toisen asteen potenssiyhtälöissä ratkaisuja on nolla, yksi tai kaksi kappaletta, kun taas kolmannen asteen potenssiyhtälössä ratkaisuja on aina yksi.

  1. $3x^2-5=1$
  2. $-x^2 = 4$
  3. $-5x^3+9=10$

Tehtävässä esiintyvät ominaisuudet ratkaisujen lukumääristä ja ratkaisutavasta yleistyvät kaikkiin potenssiyhtälöihin. Esimerkiksi yhtälön $x^4=16$ ratkaisu on $x=\sqrt[4]{16}=2$ tai $x=-\sqrt[4]{16}=-2$.

  1. $x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}4$
  2. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska $\sqrt{-4}$ ei ole määritelty.
  3. $x = \sqrt[3]{-\dfrac{1}{5}} \approx -0{,}58$

Funktion määritelmä

Palauta mieleesi funktion käsitteen määritelmä ja päättele sen avulla, mitkä alla olevista kuvista voivat esittää jonkin funktion kuvaajaa välillä $-2 \leq x \leq 2$. Perustele jokaisen kuvan kohdalla omin sanoin, onko kysymyksessä funktion kuvaaja vai ei.

Funktion kuvaajaa välillä $-2 \leq x \leq 2$ voivat esittää vaihtoehdot B, D ja E. Vaihtoehdot A, C, ja F eivät esitä välillä $-2 \leq x \leq 2$ määriteltyä funktiota.

Funktion kuvaajan tulkinta

Alla on erään funktion $f$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f$ arvo kohdassa $x=5$?
  2. Mitä on $f(0)$?
  3. Onko funktiolla $f$ nollakohta tai nollakohtia? Jos on, mitä ne ovat?

  1. $4$
  2. $f(0) = 3$
  3. Nollakohdat ovat $x = -2$, $x = 2$ ja $x = 4$.

Funktion arvot ja funktion kuvaaja

Piirrä funktion $$g(x) = -\dfrac{1}{2}x^2+2x+2$$ kuvaaja laskimella välillä $-3 \leq x \leq 7$. Päättele kuvaajan avulla, missä kohdassa funktio $g$ saa arvon

  1. $2$
  2. $4$
  3. $6$.
  4. Mikä on funktion $g$ suurin arvo? Millä muuttujan $x$ arvolla funktio saa tämän arvon?

  1. $x = 0$ ja $x = 4$
  2. $x = 2$
  3. Ei millään
  4. Suurin arvo on $4$, kohdassa $x = 2$.

Funktion arvot ja funktion kuvaaja

Tutkitaan funktiota $f$, jolle $f(x) = -x^2-3x+4$.

  1. Laske funktion $f$ arvo kohdassa $x = -2$.
  2. Päättele edellisen kohdan tuloksen avulla, onko piste $(-2,5)$ funktion $f$ kuvaajalla, sen yläpuolella vai sen alapuolella.
  3. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista sen avulla, päädyitkö edellisessä kohdassa oikeaan johtopäätökseen.

  1. $f(-2) = 6$
  2. Kuvaajan alapuolella.

Funktion kuvaajan tulkinta

Oheisessa kuviossa on erään funktion $f(x)$ kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla ne muuttujan $x$ arvot, joille $-2 \leq x \leq 4$ ja

  1. $f(x)=1$
  2. $f(x) \leq 0$.
[Lyhyt S2015/3ab]

  1. Kaksi kohtaa: $x = -1$ ja $x = 3$
  2. $0 \leq x \leq 2$

Funktion kuvaajan tulkinta

Alla olevaan kuvaan on piirretty funktioiden $f(x) = 0{,}5x$ ja $g = -0{,}25x^2 + 2$ kuvaajat. Päättele niiden avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Missä kohdissa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon?
  2. Mitkä ovat yhtälön $0{,}5x = -0{,}25x^2+2$ ratkaisut?

  1. Kaksi kohtaa: $x = -4$ ja $x = 2$
  2. $x = -4$ tai $x = 2$

Funktio

Mittausten perusteella erään bussilinjan matka-ajan riippuvuutta ruuhkasta kuvaa funktio $f(x) = 0{,}0005x^2+0{,}01x+18$, missä $x$ on reitin vilkkaimpaan risteykseen saapuvien ajoneuvojen määrä yhden minuutin aikana. (Funktion arvo ilmaisee matka-ajan minuutteina.)

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $0 \leq x \leq 200$ teknisellä apuvälineellä.
  2. Päättele kuvaajasta, kuinka monta autoa risteykseen saa enintään saapua, jotta matka-aika olisi alle 30 minuuttia. Tarkenna kuvaa tarvittaessa pienentämällä tarkasteluväliä.
  3. Määritä laskemalla, miten paljon matka-aika pitenee, jos risteykseen minuutin aikana saapuvien autojen määrä kasvaa viidestäkymmenestä sataan.

  2. Noin 145 autoa.
  3. 4 min 15 s.

Funktio

Kun seurattiin paistolämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että neljässä minuutissa lämpötila kohosi 2 ${}^\circ$C. Kun paisti laitettiin uuniin, lämpömittarin lukema oli 35 ${}^\circ$C.

  1. Muodosta lauseke funktiolle $f(t)$, joka kuvaa paistin sisälämpötilaa ajan $t$ funktiona.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $0 \leq t \leq 80$ teknisellä apuvälineellä.
  3. Keittokirjan mukaan paisti on kypsä, kun sen sisälämpötilan on 60 ${}^\circ$C. Päättele piirtämäsi kuvaajan avulla, kuinka kauan paistin kypsennys kestää. (Pienennä väliä $0 \leq t \leq 80$ tarvittaessa saadaksesi tarkemman tuloksen.)
  4. Jos paisti laitettiin uuniin klo 16, mihin aikaan se on valmis?

  1. $f(t) = 35 + 0{,}5t$
  3. 50 min
  4. 16:50

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Yllä olevassa kuvassa on joidenkin ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko liittämällä kuhunkin funktioon sen kuvaaja.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x-0{,}5 \ $
$g(x) = 1{,}5x+0{,}5$
$h(x) = -2x+2$
$k(x) = -x+1$

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x-0{,}5 \ $ B
$g(x) = 1{,}5x+0{,}5$ A
$h(x) = -2x+2$ D
$k(x) = -x+1$ C

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Yllä olevassa kuvassa on joidenkin ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko liittämällä kuhunkin funktioon sen kuvaaja.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = -x+0{,}5 \ $
$g(x) = -2x+0{,}5$
$\ h(x) = 0{,}5x+0{,}5 \ $
$k(x) = 1{,}5x+0{,}5$

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x-0{,}5 \ $ C
$g(x) = 1{,}5x+0{,}5$ D
$h(x) = -2x+2$ B
$k(x) = -x+1$ A

Ensimmäinen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt kahdella eri tavalla.

  1. $3(x-2)=6$
  2. $7(x+1)+3(x+1)=20$

  1. $x=4$. Yhtälön voi ratkaista joko kertomalla ensin sulut auki tai jakamalla aluksi molemmat puolet luvulla 3.
  2. $x=1$. Yhtälön voi ratkaista joko kertomalla ensin sulut auki tai yhdistämällä aluksi vasemman puolen lausekkeet $10(x+1)$, jonka jälkeen voi jakaa molemmat puolet luvulla 10.

Potenssiyhtälöitä

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna vastaukset tarkkoina arvoina sekä kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $3x^2-2=x^2+4$
  2. $-x^2+5=0$
  3. $-2x^3+1=6x^3+10$

  1. $x=\pm \sqrt{3}\pprox \pm1{,}73$
  2. $x=\pm \sqrt{5} \approx \pm 2{,}24$
  3. $x=-\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}}\approx -1{,}04$.

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99

  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2 000 kWh vuodessa?
[Lyhyt S2015/6]

  1. $a(x) = 0{,}0662x + 4{,}02$ ja $b(x) = 0{,}0799x + 3{,}75$
  3. 50 min
  4. 16:50

Erästä tuotetta myydään päivittäin 55 kappaletta, kun sen hinta on 35 euroa. Hinnan laskemisen on todettu vaikuttavan päivämyyntiin niin, että yhden euron alennus lisää aina menekkiä viidellä kappaleella.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun yhden tuotteen hinta on 35 euroa?
  2. Jos hintaa lasketaan $x$ euroa, kuinka monta kappaletta tuotetta myydään?
  3. Muodosta lauseke funktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa hintaa on laskettu $x$ euroa.
  4. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $f$ on määritelty?
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $5 \leq x \leq 20$ laskimellasi tai esimerkiksi Wolfram|Alphalla. Wolfram|Alphalla piirtäminen onnistuu esimerkiksi komennolla plot $f(x) = x+1$, $x$ from 5 to 20 (muuta funktion lauseke oikeaksi).
  6. Päättele kuvaajan avulla, kuinka paljon hintaa pitää alentaa, jotta päivittäisen myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri.
  7. Mikä tuotteen hinnaksi kannattaa valita, jos haluaa mahdollisimman suuren myynnin kokonaisarvon? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 1925 euroa
  2. $55 + 5x$
  3. $f(x) = (55 + 5x)(35-x)$
  4. $0 \leq x \leq 35$
  6. 12 euroa
  7. 23 euroa, 2645 euroa.

Joen rannalla oleva suorakulmion muotoinen alue aidataan kolmelta sivulta 100 m pitkällä köydellä.

  1. Jos rannan suuntaisen sivun pituus on $x$, mikä on kahden muun sivun pituus?
  2. Muodosta lauseke funktiolle $A(x)$, joka ilmaisee aidatun alueen pinta-alan rannan suuntaisen sivun pituuden $x$ funktiona.
  3. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $A(x)$ on määritelty?
  4. Piirrä funktion $A$ kuvaaja laskimellasi tai esimerkiksi Wolfram|Alphalla.
  5. Päättele kuvaajan avulla, kuinka pitkäksi rannan suuntainen sivu pitää valita, jotta aidatun alueen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri.
  6. Mikä on aidatun alueen suurin mahdollinen pinta-ala?

  1. $\frac{100-x}{2}$
  2. $A(x) = \frac{100x-x^2}{2}$
  3. $0 < x < 100$
  5. 50 m
  6. 1250 m$^2$

Neliön muotoisen levyn sivun pituus on 300 mm. Levystä leikataa kuvion mukaisesti nurkat pois ja levy taitetaan laatikoksi, jossa ei ole kantta.

  1. Askartele paperista malli laatikolle.
  2. Esitä syntyneen laatikon tilavuus $V$ pois leikatun nurkkapalan sivun pituuden $h$ funktiona eli määritä $V(h)$.
  3. Millä muuttujan $h$ arvoilla funktio $V(h)$ on määritelty?
  4. Piirrä funktion $V(h)$ kuvaaja laskimella tai esimerkiksi Wolfram|Alphalla.
  5. Päättele kuvaajan avulla, kuinka suuri pituuden $h$ on oltava, jotta saadaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri laatikko.
  6. Laske funktion $V(h)$ avulla, mikä suurin mahdollinen tilavuus on. Anna vastaus kuutiodesimetreinä (dm$^3$) eli litroina (l). Selvitä tarvittaessa netistä, miten tilavuuden yksiköt mm$^3$, cm$^3$ ja dm$^3$ liittyvät toisiinsa.

  2. $V(h) = h\cdot (300-h)^2$
  3. $0 < h < 150$
  5. 100 mm
  6. 4 dm$^3$ eli 4 litraa.

Funktion määrittelyehto

Keksi esimerkki funktiosta, jonka määrittelyehto on

  1. $x \neq 1$
  2. $x \neq -9$
  3. $x \neq 2$ ja $x \neq 5$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. Ohessa on erään funktion $f(x)$ kuvaaja. Vastaa kuvaajan avulla seuraaviin kysymyksiin. Muista perustella vastauksesi.
a) Määritä $f(−1)$ ja $f(0).$
b) Määritä funktion $f(x)$ nollakohdat.
c) Millä muuttujan $x$ arvoilla on $f(x)=1$? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.


2. Ratkaise seuraavat yhtälöt ilman teknistä apuvälinettä.
a) $2-(x+1)=3x$
b) $x^3=-64$
c) $3x^2-27=0$