Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Luvut ja lukujonot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Yhtälöpari ja verrannollisuus

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset yhtälöparin ratkaisemisen ja pystyt soveltamaan suoraan ja kääntäen verrannollisuutta arkielämän ongelmien ratkaisemiseen. Osaat

  • ratkaista yhtälöparin graafisesti piirtämällä sopivan kuvan
  • tarkistaa sijoittamalla, että löydetty ratkaisu on oikea
  • päätellä kuvan avulla, onko yhtälöparilla ratkaisuja ja kuinka monta niitä on
  • ratkaista yhtälöparin käsin laskemalla
  • ratkaista yhtälöparin teknisellä apuvälineellä
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia yhtälöparin avulla
  • tunnistaa, ovatko suureet suoraan tai kääntäen verrannollisia
  • jäsentää ongelman tiedot taulukon muotoon
  • muodostaa ja ratkaista verrannon tai muun sopivan yhtälön

Edellisessä luvussa tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita. Kun tutkittiin, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädyttiin ensimmäisen asteen yhtälöön. Kun tutkitaan, missä kohdassa kaksi ensimmäisen asteen polynomifunktiota saavat saman arvon, päädytään lineaariseen yhtälöpariin.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden $f(x) = x-1$ ja $g(x) = -2x + 11$ kuvaajat.

  1. Päättele kuvan avulla, missä kohdassa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon. Toisin sanottuna etsi sellainen muuttujan $x$ arvo, jolla $f(x) = g(x)$.
  2. Mikä on se arvo, jonka funktiot saavat samassa kohdassa?

  1. Funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4$.
  2. Funktiot saavat kohdassa $x = 4$ arvon $3$. Toisin sanottuna $f(4) = 3$ ja $g(4) = 3$.

Edellisessä tehtävässä ratkaistiin graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-1 \\ y & = -2x + 11 \end{aligned}\right. $$ Sen ratkaisu on lukupari $x = 4$ ja $y = 3$, sillä suorien leikkauspiste $(4,3)$ toteuttaa kummankin suoran yhtälön.

Graafisen ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla kuten seuraavassa tehtävässä tehdään.

Tarkista sijoittamalla, että lukupari $x = 4$ ja $y = 3$ toteuttaa yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-1 \\ y & = -2x + 11 \end{aligned}\right. $$ molemmat yhtälöt.

Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3$.
Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $4-1 = 3$.
Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria, joten yhtälö toteutuu.

Toisen yhtälön vasen puoli: $3$.
Toisen yhtälön oikea puoli: $-2 \cdot 4 + 11 = -8 + 11 = 3$.
Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria, joten yhtälö toteutuu.

Opiskelija sai tehtäväkseen ratkaista yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y & = 5 \\ 2x - 3y & = 3. \end{aligned}\right. $$ Hän piirsi Geogebralla kuvan, joka on näkyvissä alla. Päättele, mikä on yhtälöparin ratkaisu. Tarkista vastaus sijoittamalla.

Yhtälöparin ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$.

Tarkistus:
Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$.
Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $5$.
Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
Toisen yhtälön vasen puoli: $2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3$.
Toisen yhtälön oikea puoli: $3$.
Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Ensimmäisen asteen yhtälöparilla ei välttämättä ole lainkaan ratkaisuja. Seuraava tehtävä havainnollistaa asiaa.

  1. Opiskelija A ratkaisi graafisesti yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} y & = 2x - 3 \\ 10x & = 5y + 5 \end{aligned}\right. $$ ja päätteli alla näkyvästä piirroksesta, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Onko opiskelijan päättely oikein? Jos opiskelijan päättely ei ole oikein, anna hänelle ohje, mitä hänen kannattaa tehdä oikeaan johtopäätökseen pääsemiseksi.
  2. Opiskelija B ratkaisi graafisesti yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} 6x + 5y & = 3 \\ 4x & = 10 - 5y \end{aligned}\right. $$ ja päätteli alla näkyvästä piirroksesta, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Onko opiskelijan päättely oikein? Jos opiskelijan päättely ei ole oikein, anna hänelle ohje, mitä hänen kannattaa tehdä oikeaan johtopäätökseen pääsemiseksi.

  1. Opiskelijan johtopäätös on oikein. Kuvasta voi nimittäin nähdä, että suorat ovat yhdensuuntaiset. Sen vuoksi ne eivät leikkaa myöskään kuvan ulkopuolella. Yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua.
  2. Opiskelijan johtopäätös on väärin. Kuvasta voi nimittäin päätellä, että suorat leikkaavat toisensa jossain pisteessä kuvan ulkopuolella. Yhtälöparilla siis on ratkaisu, mutta sen löytämiseksi pitäisi piirtää isompi koordinaatisto.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että lineaarisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Kolmas mahdollinen tilanne on, että lineaarisella yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua. Tällainen tilanne syntyy, jos yhtälöparin molemmat yhtälöt kuvaavat samaa suoraa. Silloin yhtälöparin ratkaisuja ovat kaikki suoran pisteet. Yhteenveto:

  • Jos suorat leikkaavat toisensa, ratkaisuja on täsmälleen yksi (suorien leikkauspiste):
  • Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ratkaisuja ei ole:
  • Jos yhtälöt kuvaavat samaa suoraa, ratkaisuja ovat kaikki suoran pisteet:

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x - 3y & = 9 \\ 2x + 4y & = 5. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä sopiva kuva esimerkiksi Geogebralla ja päättele yhtälöparin ratkaisu sen avulla.
  2. Tarkista sijoittamalla, onko löytämäsi ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. Yhtälöparin ratkaisu näyttää pelkän kuvan perusteella olevan likimain $x \approx 5{,}1$ ja $y \approx - 1{,}3$.
  2. Tarkistus:
    Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: \begin{align*} 5{,}1 - 3 \cdot (-1{,}3) &= 5{,}1 + 3{,}9 \\ &= 9. \end{align*} Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $9$. Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Toisen yhtälön vasen puoli: \begin{align*} 2 \cdot 5{,}1 + 4\cdot (-1{,}3) &= 10{,}2 - 5{,}2 \\ &= 5$ \end{align*} Toisen yhtälön oikea puoli: $5$.
    Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Kuvan avulla onnistuttiin löytämään tarkka ratkaisu.

Joissain tilanteissa yhtälöparin tarkan ratkaisun löytäminen piirroksen avulla ei ole mahdollista. Silloin tarvitaan muita ratkaisumenetelmiä. Seuraavassa kappaleessa opitaan ratkaisemaan yhtälöpari laskemalla eli algebrallisesti.

Tässä kappaleessa opetellaan ratkaisemaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. Tämän menetelmän avulla yhtälöparin tarkka ratkaisu löydetään silloinkin, kun se ei pelkän kuvan avulla onnistu. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspisteen koordinaateille saadaan vain likimääräiset arvot $x \approx 1{,}7$ ja $y \approx -0{,}3$.

Suorien leikkauspisteen tarkat koordinaatit saadaan ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-2 \\ y & = -2x+3. \end{aligned}\right. $$ Ylemmässä yhtälössä $y$ on yksinään vasemmalla puolella. Yhtälö siis kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoitetaan tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Näin saadaan uusi yhtälö, jossa on ainoana tuntemattomana $x$: $$ x - 2 = -2x + 3. $$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista normaaliin tapaan: \begin{align*} x - 2 &= -2x + 3 \quad \mid {} + 2 \\[1mm] x &= -2x + 5 \quad \mid {} + 2x \\[1mm] 3x &= 5 \quad \mid \, : 3 \\[1mm] x &= \dfrac{5}{3} \end{align*} Kun $x$ on ratkaistu, otetaan ylempi yhtälö uudestaan käyttöön. Sen avulla saadaan laskettua muuttujan $y$ arvo: \begin{align*} y &= x-2 = \dfrac{5}{3} - 2 = \dfrac{5}{3} - \dfrac{3 \cdot 2}{3} \\[1mm] &= \dfrac{5-6}{3} = \dfrac{-1}{3} \end{align*} Yhtälöparin ratkaisu on siis $$ x = \dfrac{5}{3} \ \text{ ja } \ y = -\dfrac{1}{3}. $$ Nämä ovat suorien leikkauspisteen koordinaatit.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = 6x-5 \\ y & = -3x + 25. \end{aligned}\right. $$

  1. Ylempi yhtälö kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoita tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Millaisen yhtälön saat?
  2. Ratkaise a-kohdan yhtälöstä $x$.
  3. Ota ylempi yhtälö uudelleen käyttöön ja laske sen avulla muuttujan $y$ arvo. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  4. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Yhtälö on $6x - 5 = -3x+25$.
  2. $x = \dfrac{10}{3}$
  3. $y = 6x - 5 = 6 \cdot \dfrac{10}{3} - 5 = 20 - 5 = 15$. Yhtälöparin ratkaisu on $$ x = \dfrac{10}{3} \ \text{ ja } \ y = 15. $$
  4. Huomaa, että alla olevaan kuvaan on sovitettu näkyviin juuri suorien leikkauspiste eivätkä koordinaattiakselit näy kokonaan:

Yhtälöparin yhtälöt eivät välttämättä ole valmiiksi sopivassa muodossa sijoittamista varten. Siinä tapauksessa pitää ensin valita toinen yhtälöistä ja muokata sitä niin, että toinen muuttuja on yksin yhtälön vasemmalla puolella. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y + 2x & = 5 \\ 3y - 4x & = 7. \end{aligned}\right. $$

  1. Muokkaa ylempää yhtälöä niin, että sen vasemmalla puolella on pelkkä $y$. Millaisen yhtälön saat?
  2. Saamasi yhtälö kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoita tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Millaisen yhtälön saat?
  3. Ratkaise b-kohdan yhtälöstä $x$.
  4. Ota a-kohdan yhtälö uudelleen käyttöön ja laske sen avulla muuttujan $y$ arvo. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  5. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Yhtälö on $y = 5-2x$.
  2. Yhtälö on $3(5-2x) - 4x = 7$.
  3. $x = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.$
  4. Sijoitetaan: \begin{align*} y &= 5 - 2x = 5 - 2 \cdot 0{,}8 \\ &= 5 - 1{,}6 = 3{,}4. \end{align*} Yhtälöparin ratkaisu on $$ x = 0{,}8 \ \text{ ja } \ y = 3{,}4. $$
  5. Kuva:

Kannattaa aina ensimmäiseksi katsoa, kumpi yhtälö on helpompi muokata muotoon, jossa toinen muuttuja on yksinään vasemmalla puolella. Joskus on helpompi muokata yhtälöä niin, että vasemmalle puolelle jää pelkkä $x$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 3y + 2x & = 2 \\ 2y + x & = -1. \end{aligned}\right. $$

  1. Onko yhtälöparissa yhtälö, jossa toinen muuttujista esiintyy ilman kerrointa (eli kertoimella 1)? Valitse tämä yhtälö ja muokkaa sitä niin, että vasemmalle puolelle jää toinen muuttujista yksinään. Millaisen yhtälön saat?
  2. Jatka yhtälöparin ratkaisua normaaliin tapaan sijoittamalla. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  3. Tarkista yhtälöparin ratkaisu teknisellä apuvälineellä esimerkiksi TI Nspirellä. Ohje yhtälöparin ratkaisuun on tässä.

  1. Alemmassa yhtälössä esiintyy pelkkä $x$. Yhtälö voidaan muokata muotoon $x = -1 - 2y$.
  2. Ylempi yhtälö saadaan sijoittamalla muotoon $$3y + 2(-1-2y) = 2.$$ Siitä saadaan ratkaistua välivaiheiden jälkeen $y = -4$. Muuttujan $x$ arvoksi saadaan \begin{align*} x &= -1 - 2y \\ &= -1 - 2 \cdot (-4) \\ &= -1 + 8 = 7. \end{align*}
  3. Kuva:

Jotkin käytännön ongelmat voidaan mallintaa ja ratkaista yhtälöparin avulla. Mallintamisen voi aloittaa kokoamalla kaikki tiedot esimerkiksi taulukkoon. Sen jälkeen pitää miettiä, mitä tietoja puuttuu. Tuntemattomia mutta tarpeellisia tietoja kannattaa merkitä muuttujakirjaimilla.

Kahvila valmistaa omaa kahvisekoitustaan, johon käytetään kahvipapuja Etelä-Amerikasta ja Afrikasta. Etelä-Amerikassa tuotettu papulaatu EA maksaa 26,80 €/kg ja Afrikassa tuotettu papulaatu A maksaa 50,80 €/kg. Kahvila haluaa valmistaa yhden kilogramman sekoitusta, jonka hinnaksi tulee 34,00 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon kumpaakin papulaatua pitää sekoitukseen käyttää.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA
    A
    Sekoitus
  2. Täydennä taulukkoon eri papulaatujen kilohinnat. Merkitse papulaadun EA määrää kirjaimella $x$ ja papulaadun A määrää kirjaimella $y$. Ilmaise sekoituksen määrä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
  3. Laske taulukkoon papulaatujen EA ja A hinnat. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat hinnan, kun tunnet määrän ja kilohinnan. Ilmaise sekoituksen hinta papulaatujen EA ja A hintojen avulla.
  4. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla sekoituksen määrää ja hintaa:
    • Mikä on sekoituksen määrä taulukon mukaan? Miten paljon sekoitusta pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on sekoituksen hinta taulukon mukaan? Mikä sekoituksen hinnan pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri papulaatuja tarvitaan?

  2. Taulukko:
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA $x$ $26{,}80$
    A $y$ $50{,}80$
    Sekoitus $x + y$ $34{,}00$
  3. Taulukko:
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA $x$ $26{,}80$ $x \cdot 26{,}80$
    A $y$ $50{,}80$ $y \cdot 50{,}80$
    Sek. $x + y$ $34{,}00$ $x \cdot 26{,}80 + y \cdot 50{,}80$
  4. Sekoituksen määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 1. $$ Sekoituksen hinnasta saadaan yhtälö $$ 26{,}8x + 50{,}8y = 34. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 1 \\ 26{,}8x + 50{,}8y & = 34. \end{aligned}\right. $$
  5. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 \ \text{ ja } \ y = \dfrac{3}{10} = 0{,}3. $$ Papulaatua EA tarvitaan siis 0,7 kg ja papulaatua A tarvitaan 0,3 kg.

Iiris valmistaa puutarhansa omenista hilloa lahjaksi ystävilleen. Hän säilöö hillon 3 dl ja 5 dl purkkeihin. Hän valmistaa hilloa 14 litraa ja jakaa sen yhteensä 30 purkkiin. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta pientä ja kuinka monta isoa purkkia hänen pitää käyttää. Jääkö jokin purkki vajaaksi?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Merkitse pienten purkkien määrää kirjaimella $x$ ja isompien purkkien määrää kirjaimella $y$. Ilmaise purkkien kokonaismäärä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl
    5 dl
    Yht.
  2. Laske taulukkoon purkeissa olevan hillon kokonaismäärät. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat hillon määrän, kun tunnet yhden purkin tilavuuden ja purkkien määrän. Ilmaise hillon kokonaismäärä eri kokoisten purkkien hillomäärien avulla.
  3. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla purkkien määrää ja hillon määrää:
    • Mikä on purkkien määrä taulukon mukaan? Miten monta purkkia Iiris haluaa tehdä? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on hillon määrä taulukon mukaan? Miten paljon hilloa Iiris valmisti? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri kokoisia purkkeja tarvitaan?

  1. Taulukko:
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl $x$
    5 dl $y$
    Yht. $x+y$
  2. Taulukko:
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl $x$ $x \cdot 0{,}3$
    5 dl $y$ $y \cdot 0{,}5$
    Yht. $x+y$ $x \cdot 0{,}3 + y \cdot 0{,}5$
  3. Purkkien määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 30. $$ Hillon määrästä saadaan yhtälö $$ 0{,}3x + 0{,}5y = 14. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 30 \\ 0{,}3x + 0{,}5y & = 14. \end{aligned}\right. $$
  4. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = 5 \ \text{ ja } \ y = 25. $$ Pieniä 3 dl purkkeja tarvitaan siis 5 kpl ja isompia 5 dl purkkeja tarvitaan 25 kpl. Mikään purkki ei jää vajaaksi.

Tässä luvussa tutustutaan matematiikkaan, jota suuri osa ihmisistä käyttää arkipäiväisessä elämässään kiinnittämättä asiaan kovin paljon huomioita. Seuraavassa tehtävässä on yksi tällainen tilanne. Voit ratkaista tehtävän esimerkiksi arkijärjellä päättelemällä tai jollakin muulla sinulle luontevalla tavalla.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon maksaa 285 g kuivattuja päärynöitä?

4,25 €.

Tutkitaan seuraavaksi, millaista matematiikkaa edelliseen tehtävään liittyy. Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja massaa. Suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: päärynöiden massa on 285 g.

Jos suureilla on sama yksikkö, niitä voidaan verrata muodostamalla niiden suhde eli osamäärä. Esimerkiksi voidaan verrata päärynöiden massoja: $$ \dfrac{285 \text{ g}}{100 \text{ g}} = 2{,}85. $$ Päärynöiden hinta on ilmaistu sanomalla, että 100 grammaa maksaa 1,49 €. Yllä olevan suhteen mukaan massa 285 g on siihen verrattuna 2,85-kertainen, joten hintakin on 2,85-kertainen. Siis 285 g päärynöitä maksaa $$ 2{,}85 \cdot 1{,}49 \ \euro = 4{,}2465 \ \euro \approx 4{,}25 \ \euro. $$

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi aiemmassa tehtävässä. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon kuivattuja päärynöitä saa viidellä eurolla?

Noin 335 grammaa.

Usein tehtävän ratkaisu helpottuu, jos kokoaa kaikki tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon. Kysyttä asiaa voi merkitä kirjaimella $x$. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Määrä (g) Hinta (€)
Asiakkaalla $x$ 5,00
Hintalapussa 100 1,49

Taulukosta saadaan muodostettua kaksi suhdetta: päärynöiden määrän suhde ja päärynöiden hinnan suhde. Jos päärynöiden määrä esimerkiksi kaksinkertaistuu, myös hinta kaksinkertaistuu. Vaikka suureet muuttuvat, niiden suhteet pysyvät samana. Saadaan yhtälö $$ \dfrac{x}{100} = \dfrac{5{,}00}{1{,}49}. $$ Tällainen yhtälö, jossa kaksi suhdetta on merkitty yhtä suuriksi, on nimeltään verranto. Kysytty päärynöiden määrä saadaan selville, kun verrannon molemmat puolet kerrotaan sadalla: \begin{align*} \dfrac{x}{100} &= \dfrac{5{,}00}{1{,}49} \quad \mid \ \cdot 100\\[1mm] x &= \dfrac{100 \cdot 5{,}00}{1{,}49} \approx 335{,}57 \end{align*} Viidellä eurolla saadaan siis noin 336 grammaa kuivattuja päärynöitä. Tarkasti ottaen tässä pyöristyksen voi tehdä alaspäin: jos käytettävissä on enintään 5,00 euroa, riittää se 335 grammaan päärynöitä, mutta 336 grammaa maksaa jo hiukan liikaa.

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi aiemmassa tehtävässä. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata ja tutkia myös graafisesti. Tähän perehdytään seuraavassa tehtävässä.

Tässä tehtävässä tutkitaan päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta graafisesti eli kuvan avulla.

  1. Tiedetään, että 100 g kuivattuja päärynöitä maksaa 1,49 €. Täytä tämän tiedon avulla seuraava taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0
    100 1,49
    200
    300
    400
    500
    600
    700
    800
  2. Jokainen taulukon rivi vastaa koordinaatiston pistettä. Esimerkiksi yksi piste on $(100; 1{,}49)$. Piirrä samanlainen koordinaatisto kuin alla ja merkitse kaikki muutkin pisteet siihen. Millainen kuvio pisteistä muodostuu?
  3. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon maksaa 650 g kuivattuja päärynöitä? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
  4. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon kuvattuja päärynöitä saa 7 eurolla? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

  1. Taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0 0
    100 1,49
    200 2,98
    300 4,47
    400 5,96
    500 7,45
    600 8,94
    700 10,43
    800 11,92
  2. Pisteet asettuvat suoralle:
  3. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, mikä suoran pisteen $y$-koordinaatti on kohdassa $x = 650$. Havaitaan, että 650 g päärynöitä maksaa noin 9,7 euroa:
  4. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, missä kohdassa suoran pisteen $y$-koordinaatti on $y = 7$. Havaitaan, 7 eurolla saa noin 470 grammaa päärynöitä:

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata origon kautta kulkevalla suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan suoraan verrannollisilla suureilla.

MÄÄRITELMÄ: SUORAAN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = kx.$$ Vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin suoraan verrannollisuutta kuvaa nouseva suora:

Kuvasta nähdään, että suoraan verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat samaan suuntaan: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), myös suureen $y$ arvo kasvaa (eli liikutaan $y$-akselia ylöspäin). Suureiden välinen suhde on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = kx$$ seuraa, että $$ \dfrac{y}{x} = k. $$ Suoraan verrannolliset suureet muuttuvat siis samassa suhteessa: Jos toinen vaikkapa kolminkertaistuu, myös toinen kolminkertaistuu. Suureiden suhde pysyy samana.

Päättele kuvaajista, ovatko suureet $x$ ja $y$ suoraan verrannolliset. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset. Koska suora kulkee pisteen $(0,1)$ kautta, sen yhtälö on muotoa $y = kx + 1$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora $y = kx$.
  3. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset, sillä niiden välistä riippuvuutta ei kuvaa minkäänlainen suora.

Jos suureet ovat suoraan verrannolliset, voidaan tuntemattomia arvoja selvittää verrannon avulla kuten jo aiemmin tehtiin. Käytännössä suoraan verrannolliset suureet tunnistetaan, kun mietitään arkijärjellä, kasvavatko suureet samassa suhteessa. Tämän voi tehdä esimerkiksi miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa myös toinen suure kaksinkertaistuu, ovat suureet suoraan verrannolliset.

Leirille osallistuu 26 henkeä. Aamupalalla tarjoillaan kaurapuuroa. Kaurahiutalepaketin ohjeen mukaan neljän hengen annokseen laitetaan 5 dl kaurahiutaleita ja 1,25 litraa vettä. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta 500 g kaurahiutalepakettia leiriä varten pitää ostaa, kun leiri kestää kolme vuorokautta. Kaurahiutalepaketin kyljestä nähdään, että 1 dl kaurahiutaleita painaa n. 35 grammaa.

  1. Tunnista tehtävästä kaksi suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia. Keksitkö vielä kaksi muuta suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia? Selitä omin sanoin, miten päättelit niiden olevan suoraan verrannollisia.
  2. Selvitä, kuinka paljon kaurahiutaleita tarvitaan, kun puuroa keitetään 26 hengelle. Muodosta sopiva verranto ja ratkaise se. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa.
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä
    Paketin reseptissä
  3. Ilmaise b-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella
    Paketin kyljessä
  4. Kuinka paljon kaurahiutaleita kuluu koko leirin aikana? Kuinka monta 500 gramman pakettia kannattaa ostaa?

  1. Suoraan verrannollisia ovat esimerkiksi ihmisten lukumäärä ja tarvittavien kaurahiutaleiden määrä. Nimittäin jos ihmisten määrä kaksinkertaistuu, tarvitaan myös kaurahiutaleita kaksinkertainen määrä.

    Suoraan verrannollisia ovat myös esimerkiksi puuroon käytettävä kaurahiutaleiden määrä ja veden määrä. Jos toinen kaksinkertaistetaan, pitää toinenkin kaksinkertaistaa, jotta puuro onnistuu.

  2. Taulukko:
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä $x$ 26
    Paketin reseptissä 5 4
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{26}{4}. $$ Ratkaisu on $x = 32{,}5$ dl.
  3. Ilmaise a-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella 32,5 $y$
    Paketin kyljessä 1 35
    Saadaan verranto $$ \dfrac{y}{35} = \dfrac{32{,}5}{1}. $$ Ratkaisu on $y = 1137{,}5$ g. Kun otetaan huomioon, että lähtötiedoissa on 2-3 merkitsevää numeroa, on tulos järkevää pyöristää samaan tarkkuuteen: yhtenä aamuna kuluu noin 1140 grammaa kaurahiutaleita.
  4. Edellisen kohdan avulla voidaan arvioida, että koko leirin aikana kuluu noin $3 \cdot 1140 \text{ g} = 3420 \text{ g}$ kaurahiutaleita. Koska $$ \dfrac{3420 \text{ g}}{500 \text{ g}} = 6{,}84, $$ tarvitaan seitsemän 500 gramman pakettia. Tarkistus: $7 \cdot 500 \text{ g} = 3500 \text{ g}$ eli riittävästi.

Edellisessä tehtävässä selvitettiin kaurahiutaleiden määrä verrannon avulla, kun tiedetiin, että kaurahiutaleiden määrä ja ihmisten määrä ovat suoraan verrannollisia. Oikeanlaisen verrannon muodostamisessa kannattaa käyttää apuna taulukkoa:

Suure A Suure B
Tilanne 1
Tilanne 2

Taulukossa oleellista on, että kumpikin suure on omassa sarakkeessaan ja niiden arvot eri tilanteissa ovat johdonmukaisesti omilla riveillään. Tällöin taulukosta saadaan suoraan muodostettua sopiva verranto. Verrannon ratkaiseminen on helpointa, jos taulukon laatii niin, että kysytty asia on taulukon ylimmällä rivillä.

Laura pyöräilee 5,9 kilometrin matkan kirjastoon 22 minuutissa.

  1. Uimahalli on 8,2 km päässä. Kuinka kauan Lauran pyörämatka uimahallille kestää? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  2. Viikonloppuna Laura päättää pyöräillä kaverinsa luo. Matkan pituus on reittioppaan mukaan 13,3 km. Kuinka paljon aikaa Lauran kannattaa varata matkaan? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  3. Kumpi a- ja b-kohdan tuloksista mielestäsi paremmin ennustaa pyörämatkan todellista kestoa? Selitä omin sanoin, miten ja miksi matkan todellinen kesto voi poiketa lasketusta.

  1. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Uimahalli $x$ 8,2
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{8{,}2}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{8{,}2}{5{,}9} \approx 31$$ eli noin 31 minuuttia.
  2. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Kaveri $x$ 13,3
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{13{,}3}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{13{,}3}{5{,}9} \approx 50$$ eli noin 50 minuuttia.
  3. Voi ajatella, että a-kohdan tulos saattaa olla luotettavampi, koska lyhyemmällä matkalla jaksaa paremmin pitää saman nopeuden kuin kirjastoon ajaessa. Sääolosuhteet ja esimerkiksi liikennevalot voivat vaikuttaa molempien matkojen kestoon.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen auton nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin. Märällä tiellä mitattiin auton jarrutusmatkaksi 10 metriä, kun jarrutus aloitettiin 40 km/h nopeudesta.

  1. Selvitä, mikä olisi jarrutusmatka vastaavissa olosuhteissa, jos nopeus jarrutuksen alkaessa olisi 60 km/h. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio
    Mittaus
  2. Tutki, miten jarrutusmatka pitenee, jos nopeus kaksinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan nopeuden ja selvittää sitä vastaavan jarrutusmatkan samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $60^2 = 3600$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{3600}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{36}{16} = 22{,}5$$ eli noin 23 metriä.
  2. Voidaan käyttää nopeutta $$2 \cdot 40 \text{ km/h} = 80 \text{ km/h}.$$ Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $80^2 = 6400$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{6400}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{64}{16} = 40.$$ Nopeuden kaksinkertaistuessa jarrutusmatka muuttuu 10 metristä 40 metriin eli nelinkertaistuu.

Tässä kappaleessa tutustutaan toiseen yleiseen verrannollisuuden lajiin: kääntäen verrannollisuuteen. Sekin esiintyy useissa arkisissa tilanteissa, joista yksi esimerkki on seuraavassa tehtävässä. Voit ratkaista tehtävän jollakin sinulle sopivalla tavalla päättelemällä.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Kuinka paljon vettä jokaiselle juoksijalle riitti, jos osallistujia oli lopulta vain 239?

Noin 4,0 dl.

Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: juoksijoiden määrää ja juomaveden määrää. Ratkaisun kannalta oleellinen tieto on näiden tulo eli juomaveden kokonaismäärä: $$ 274 \cdot 3{,}5 \text{ dl} = 959 \text{ dl.} $$ Juomaveden kokonaismäärä ei muutu, vaikka osallistujia tulisi odotettua vähemmän. Osallistujaa kohti käytettävissä olevan veden määrä saadaan jakolaskulla: $$ \dfrac{959 \text{ dl}}{239} \approx 4{,}0 \text{ dl.} $$

Urheilutapahtumatehtävässä suureiden tulo (juomaveden kokonaismäärä) pysyi vakiona tilanteesta toiseen. Tätä voidaan kuvata yhtälöllä $$yx = k,$$ missä $k$ on vakio. Jos $x \neq 0$, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon $$ y = \dfrac{k}{x}. $$ Tätä muotoa käytetään, kun sovitaan, mitä kääntäen verrannollisuus tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTÄEN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = \dfrac{k}{x}.$$ Tässä vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin kääntäen verrannollisuutta kuvaa koordinaatiston I ja III neljänneksiin sijoittuva hyperbeli:

Kuvasta nähdään, että kääntäen verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat päinvastaisiin suuntiin: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), niin suureen $y$ arvo pienenee (eli liikutaan $y$-akselia alaspäin). Suureiden tulo on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = \dfrac{k}{x}$$ seuraa, että $$ yx = k. $$

Kaisa arvioi, että mökille rakennettavan uuden aidan maalaamiseen kuluu kahdelta henkilöltä 28 tuntia.

  1. Kuinka kauan urakka kestää, jos maalareita on vain yksi?
  2. Kuinka nopeasti aita saadaan maalattua, jos talkoisiin osallistuu yhteensä neljä yhtä tehokasta ihmistä?
  3. Kuinka monta henkilötyötuntia aidan maalaamiseen kuluu? Vaihteleeko se tilanteesta toiseen?
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, mitä tapahtuu maalaamiseen kuluvalle ajalle?

  1. Urakka kestää 56 tuntia.
  2. Aita saadaan maalattua 14 tunnissa.
  3. Aidan maalaamiseen kuluu 56 henkilötyötuntia. Se pysyy vakiona, mutta maalaamiseen kuluva todellinen aika vaihtelee sen mukaan, kuinka monta maalaria on maalaamassa aitaa samaan aikaan.
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, maalaamiseen kuluva aika pienenee puoleen.

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa: jos maalarien määrä esimerkiksi kymmenkertaistuu, pienenee maalaamiseen kuluva aika yhteen kymmenesosaan. Ilmiö on selitys nimitykselle kääntäen verannollisuus.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna, jos halutaan varmistaa, että juomavettä on vähintään 3,0 dl jokaista osallistujaa kohti.

  1. Mieti arkijärjellä, onko osallistujien maksimimäärä suurempi vai pienempi kuin etukäteen ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Selvitä osallistujien maksimimäärä. Voit käyttää apuna esimerkiksi juomaveden kokonaismäärää.
  3. Kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna?

  1. Osallistujamäärä kasvaa, koska veden määrä osallistujaa kohti pienenee. Osallistujamäärä on suurempi kuin ennakkoon ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Osallistujien maksimimäärä on 319.
  3. Jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa $319 - 274 = 45$.

Myös kääntäen verrannollisten suureiden tutkimisessa voi käyttää apuna taulukkoa. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Taulukon kummaltakin riviltä saadaan lauseke juomaveden kokonaismäärälle, joka ei muutu. Saadaan siis yhtälö $$ x \cdot 3{,}0 = 274 \cdot 3{,}5. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista tapahtuman osallistujien määrä: $$ x = \dfrac{274 \cdot 3{,}5}{3{,}0}. $$ Jos tämän yhtälön molemmat puolet jaetaan luvulla 274, saadaan verranto: $$ \dfrac{x}{274} = \dfrac{3{,}5}{3{,}0}. $$ Verrannossa esiintyvät osallistujamäärien suhde ja vastaava juomavesimäärien suhde käänteisenä, kuten alta näkyy: $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{274} } = \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}5} }{3{,}0}. $$

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Kääntäen verrannollisten suureiden suhteet ovat siis toistensa käänteislukuja. Jos toinen suure vaikkapa kolminkertaistuu, pienenee toinen suure yhteen kolmasosaan. Kääntäen verrannolliset suureet voikin tunnistaa miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen suure esimerkiksi kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa toinen suure pienenee puoleen, ovat suureet kääntäen verrannolliset.

Ovatko seuraavat suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin.

  1. Datayhteyden nopeus ja tiedoston lataamiseen kuluva aika.
  2. Polttoaineen litrahinta ja automaatista 20 euron setelillä saatavan polttoaineen määrä.
  3. Jauhojen ja kananmunien määrät kakkureseptissä.
  4. Kiireapulaisen työtuntien määrä ja bruttopalkka.

  1. Kääntäen verrannollisia, sillä jos datayhteyden nopeus kaksinkertaistuu, pienenee tiedoston lataamiseen kuluva aika puoleen.
  2. Kääntäen verrannollisia, sillä jos litrahinta kaksinkertaistuu, pienenee automaatista 20 euron setelillä saatava polttoaineen määrä puoleen.
  3. Suoraan verrannollisia, sillä jos jauhojen määrä kaksinkertaistuu, pitää kaksinkertaistaa myös kananmunien määrä.
  4. Suoraan verrannollisia, sillä jos työtuntien määrä kaksinkertaistuu, kaksinkertaistuu myös bruttopalkka.

Kääntäen verrannollisuudenkin tapauksessa verrantoyhtälön voi muodostaa suoraan taulukosta. Täytyy vain muistaa, että suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Esimerkiksi taulukosta

Aallonpituus (cm) Taajuus (Hz)
Sävel c3 $x$ $1047$
Sävel a1 $\textcolor{blue}{128}$ $\textcolor{blue}{440}$

saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{128} } = \dfrac{\textcolor{blue}{440} }{1047}. $$ Yhtälön ratkaisu helpottuu, jos taulukon ja verrantoyhtälön laatii niin, että tuntematon suure on osoittajassa kuten tässä.

Airbus A321 -lentokoneen matkalentonopeus on 840 km/h. Matka Lontoon Heathrown kentältä Helsinki-Vantaalle kestää keskimäärin 2 tuntia 28 minuuttia. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan matka kestäisi Airbus A350 -koneella, jonka matkalentonopeus on 900 km/h.

  1. Ovatko tehtävässä esiintyvät suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin. Voit miettiä, mitä toiselle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu.
  2. Täydennä tehtävässä annetut tiedot alla olevaan taulukkoon. Huomaa, että aika kannattaa ilmoittaa minuutteina.
    Nopeus (km/h) Aika (min)
    A350
    A321
  3. Muodosta taulukon avulla verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä on A350-koneelta matkaan kuluva aika minuutteina? Entä tunteina ja minuutteina?

  1. Nopeus ja matkaan kuluva aika ovat kääntäen verrannollisia. Jos nopeus kaksinkertaistuu, matkaan kuluva aika pienenee puoleen.
  2. Taulukko:
    Nopeus (km/h) Aika (h)
    A350 900 $x$
    A321 840 148
  3. Suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Taulukon sarakkeista saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{148} = \dfrac{840}{900}. $$ Ratkaisuna saadaan $x \approx 138$. A350-koneelta matkaan kuluu siis noin 138 minuuttia eli 2 tuntia ja 18 minuuttia.
    Huom. yhtälön voi muodostaa myös toisella tavalla: Nopeuden ja ajan tulo ilmaisee matkan pituuden, joka on vakio. Taulukon riveiltä saadaan yhtälö $$ 900x = 840 \cdot 148. $$

Valaistusvoimakkuus on kääntäen verrannollinen valaisimesta mitatun etäisyyden neliöön. Keittiön ruokapöydän yläpuolelle asennetaan pallomainen valaisin, jonka valmistaja lupaa 1,0 metrin etäisyydelle valaistusvoimakkuuden 500 luksia (lx).

  1. Selvitä, mikä on valaistusvoimakkuus keittiön pöydän pinnalla 1,3 metrin päässä valaisimesta. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla
    Valmistajan tiedoissa
    Onko valaistusvoimakkuus riittävä, kun suositus keittiön työtasoille on vähintään 300 luksia?
  2. Tutki, miten valaistusvoimakkuus muuttuu, jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan etäisyyden ja selvittää sitä vastaavan valaistusvoimakkuuden samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Valaistusvoimakkuus on noin 296 luksia. Se on keittiön työtasojen suosituksen alarajalla, joten valaisimen valintaa kannattaa vielä harkita uudelleen.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla $x$ 1,69
    Valmistajan tiedoissa 500 1,00
  2. Jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu, niin valaistusvoimakkuus pienenee yhteen kuudestoistaosaan. Etäisyyden kerrointa 4 vastaa siis valaistusvoimakkuuden kerroin $$ \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}. $$

Yhtälöpari

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 2x + y & = 12 \\ y & = x - 3. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä yhtälöitä vastaavat suorat Geogebralla ja päättele yhtälön ratkaisu kuvan avulla.
  2. Tarkista sijoittamalla, onko ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. Ratkaisu on $x = 5$ ja $y = 2$.
  2. Sijoitetaan ensimmäisen yhtälön vasemmalle puolelle ja lasketaan: $$ 2x + y = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 2 = 12. $$ Tuloksena yhtälön oikea puoli, joten yhtälö toteutuu.
    Sijoitetaan toisen yhtälön oikealle puolelle ja lasketaan: $$ x - 3 = 5 - 3 = 2. $$ Tuloksena yhtälön oikea puoli, joten yhtälö toteutuu. Luvut $x = 5$ ja $y = 2$ toteuttavat molemmat yhtälöt, joten ratkaisu on tarkka.

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari graafisesti ja tarkista sijoittamalla, onko ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. $$ \left\{\begin{aligned} 11x + 39y & = 152 \\ -20x + 11y & = 135 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 4x + 3y & = -2 \\ 5x + 2y & = 1 \end{aligned}\right. $$

  1. Ratkaisu on $x = -4$ ja $y = 5$ kuvasta luettuna.

    Sijoittamalla huomataan, että ratkaisu on likimääräinen: $$ \left\{\begin{aligned} 11 \cdot (-4) + 39 \cdot 5 & = 151 \approx 152 \\ -20 \cdot (-4) + 11 \cdot 5 & = 135 \end{aligned}\right. $$ Siis yhtälöparin ratkaisu on $x \approx -4$ ja $y \approx 5$.
  2. Ratkaisu on $x = 1$ ja $y = -2$ kuvasta luettuna.

    Sijoittamalla huomataan, että ratkaisu on tarkka.

Yhtälöpari

Taina ja Riina osallistuvat pyöräilyhaasteeseen, jossa parin pitää pyöräillä yhteensä 250 km. Riina lupaa pyöräillä 70 km enemmän kuin Taina. Kuinka pitkä matka kummankin pitää pyöräillä, jotta vaadittu matka täyttyy mutta ei ylity?

  1. Merkitse Tainan pyöräilymatkaa kirjaimella $x$ ja Riinan pyöräilymatkaa kirjaimella $y$. Millaisen yhtälön saat matkojen kokonaismäärästä?
  2. Millaisen yhtälön saat Riinan lupauksesta?
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka pitkät matkat Taina ja Riina pyöräilevät?

  1. $x + y = 250$
  2. $y = x + 70$
  3. Yhtälöparin ratkaisu on $x = 90$ ja $y = 160$. Siis Taina pyöräilee 90 km ja Riina 160 km.

Yhtälöpari

Iltarastien tulosluettelosta nähtiin, että osallistujia oli ollut yhteensä 162. Järjestäjät laskivat, että karttojen myynti oli tuottanut rahaa 944 euroa. Aikuisten karttamaksu oli 7 € ja lasten 2 €. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta lasta iltarasteille osallistui.

  1. Merkitse lasten määrää kirjaimella $x$ ja aikuisten määrää kirjaimella $y$. Millaisen yhtälön saat osallistujien kokonaismäärästä?
  2. Millaisen yhtälön saat tapahtuman kokonaistuotosta?
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka monta lasta iltarasteille osallistui?

  1. $x + y = 162$
  2. $2x + 7y = 944$
  3. Yhtälöparin ratkaisu on $x = 38$ ja $y = 124$. Iltarasteille osallistui siis 38 lasta.

Yhtälöpari

Salibandyseura on tilaamassa mailoja. Käytettävissä on 500 euroa. Halvempi maila maksaa 26 € ja kalliimpi 30 €. Tarkoituksena on hankkia 18 mailaa. Kuinka monta kappaletta halvempaa ja kuinka monta kappaletta kalliimpaa mallia pitää tilata?

Halvempia mailoja 10 kpl ja kalliimpia 8 kpl.
Yhtälöpari on $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 18 \\ 26x + 30y & = 500. \end{aligned}\right. $$

Yhtälöpari

Radiojuontaja kertoo, että hänen isoisänsä on neljä kertaa niin vanha kuin hänen serkkunsa. Lisäksi juontaja paljastaa, että serkun ja isoisän yhteenlaskettu ikä on 80 vuotta. Kysymys on, minkä ikäinen serkku on. Nopeimmin oikean vastauksen keksinyt voittaa liput festareille. Vastata saa vain kerran. Mitä vastaisit?

Serkku on 16-vuotias.
Yhtälöpari on $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 80 \\ y & = 4x. \end{aligned}\right. $$

Yhtälöpari

Leikkaavatko seuraavien funktioiden kuvaajat toisensa? Jos leikkaavat, mitkä ovat leikkauspisteen koordinaatit? \begin{align*} f(x) &= 2x-7 \\[1mm] g(x) &= 5x - 58 \end{align*}

Kuvaajat leikkaavat pisteessä $(17,27)$.

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari

  1. $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y & = -4 \\ 2x - y & = -3 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 2x + y & = 4 \\ -x + 2y & = 1. \end{aligned}\right. $$

[Lyhyt S2012/1c & S2013/2b]

  1. $x = -2$ ja $y = -1$
  2. $x = \dfrac{7}{5} \ \text{ ja } \ y = \dfrac{6}{5}$

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari

  1. $$ \left\{\begin{aligned} x - 2y & = 0 \\ x - 3y & = 1 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 2x - y & = 1 \\ x + y & = 8. \end{aligned}\right. $$

[Lyhyt K2011/1c & K2012/1c]

  1. $x = -2$ ja $y = -1$
  2. $x = 3$ ja $y = 5$

Yhtälöpari

  1. Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y - x + 1 & = 0, \\ 4y & = 12 - x. \end{aligned}\right. $$
  2. Missä pisteessä suorat $x + 5y = 1$ ja $x - 5y = 5$ leikkaavat toisensa?

[Lyhyt S2017/1b & S2014/1]

  1. Ratkaisu on $x = \dfrac{16}{5} \ \text{ ja } \ y = \dfrac{11}{5}$.
  2. Leikkauspisteen koordinaatit ovat $x = 3$ ja $y = -\dfrac{2}{5}$.

Suoraan verrannollisuus

Aleksi, Milla ja Venla jakoivat yrityksensä tuotot sijoitustensa suhteessa. Aleksin ja Millan sijoitusten suhde oli $5:6$. Millan ja Venlan sijoitusten suhde oli $4:5$. Kuinka paljon yrityksen koko tuotto oli, jos Venlan osuus oli 6450 euroa?

Koko tuotto oli 15 910 euroa. Millan osuus 5160 euroa ja Aleksin 4300 euroa.

Suoraan verrannollisuus

Mökin piirustukset on tehty mittakaavassa $1:50$. Tämä tarkoittaa, että 1 cm piirustuksessa on 50 cm luonnossa.

  1. Kuinka pitkä on mökki, jonka pituus rakennuspiirustuksissa on 16 cm?
  2. Mökille rakennetaan terassi, jonka mitat ovat $4 \text{ m} \times 2 \text{ m}$. Mitkä ovat terassin mitat rakennuspiirustuksessa?

  1. Mökin pituus on 8 metriä (eli 800 cm).
  2. Terassin mitat ovat $8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$.

Suoraan verrannollisuus

  1. Lapsella on korvatulehdus, johon lääkäri määrää antibioottikuurin. Lääkepullon etiketissä vaikuttavan aineen pitoisuudeksi on merkitty 40 mg/ml. Kuinka monta millilitraa kyseistä lääkemikstuuraa pitää antaa lapselle, jos määrätty lääkeannos on 280 mg?
  2. Siiderissä on energiaa noin 50 kcal/dl. Yhdessä sokeripalassa energiaa on puolestaan noin 10 kcal. Kuinka suurta sokerimäärää vastaa kolmen 0,33 litran siiderin nauttiminen? Yksi sokeripala painaa n. 3,5 grammaa.

  1. Lääkettä pitää antaa 7 ml.
  2. Noin 49,5 sokeripalaa eli noin 173 grammaa sokeria.

Suoraan verrannollisuus

Olouoneen lattian maalaamiseen on tarvittiin 1 kg maalia. Keittiön pituus on $\frac{5}{6}$ olohuoneen pituudesta ja leveys on $\frac{4}{5}$ olohuoneen leveydestä. Riittääkö 700 g maalia keittiön lattian maalaamiseen?

Kyllä, 700 g maalia riittää.

Merkitään olohuoneen pituutta kirjaimella $x$ ja leveyttä kirjaimella $y$. Olohuoneen pinta-ala on $xy$. Keittiön pinta-ala on $$ \frac{5}{6}x \cdot \frac{4}{5}y = \frac{4}{6}xy = \frac{2}{3}xy $$ eli kaksi kolmasosaa olohuoneen pinta-alasta. Siten maalia tarvitaan $$ \dfrac{2}{3} \cdot 1 \text{ kg } \approx 0{,}667 \text{ kg}. $$

Suoraan verrannollisuus

Brittiläisessä yksikköjärjestelmässä pituus voidaan ilmaista esimerkiksi yksiköiden tuuma, jalka, jaardi ja maili avulla. Tiedetään, että yksi jalka on 12 tuumaa, kolme jalkaa on yksi jaardi ja yksi tuuma on 2,54 cm. Mikä on mailin pituus metreinä, kun yksi maili on 1760 jaardia?

Yksi maili on 1609,344 metriä.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Mökin makuuhuoneen seinän panelointiin laskettiin tarvittavan 36 kappaletta 120 mm leveitä lautoja, joiden peittävä leveys on 110 mm. Puutavaraliike ei voinut toimittaa kyseisä lautoja, vaan laudat olivat 95 mm leveitä ja niiden peittävä leveys oli 85 mm. Kuinka monta kapeampaa lautaa tarvittiin?
  2. Kun 100 W työmaavalo (vanhempi halogeenilamppu) palaa 150 tuntia, kuluu sähköä noin yhden euron verran. Kuinka kauan valoteholtaan vastaava 21 W työmaavalo palaa samalla hinnalla?

  1. Lautoja tarvittiin 47 kpl.
  2. Pyöristettynä noin 710 tuntia.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Pienelle rahtialukselle palkataan seitsemän merimiestä urakkapalkalla. Jokainen saa palkkaa 1750 euroa. Kuinka paljon jokainen saisi palkkaa, jos työntekijöitä olisikin 10?
  2. Laiva, jossa on 18 henkeä ja ruokaa 30 päiväksi, pelastaa haaksirikkoutuneesta aluksesta 10 henkeä. Kuinka pitkän aikaa ruokatavarat tällöin riittävät?

  1. Jos työntekijöitä olisi 10, jokaisen palkka olisi 1225 euroa.
  2. Ruokatavarat riittävät noin 19 päivää.

Kääntäen verrannollisuus

Rakennusfirma jätti remontista seuraavanlaisen urakkatarjouksen:

  • Hinta on 65 000 euroa, jos työ on valmis 60 päivässä.
  • Jos työ valmistuu nopeammin tai myöhästyy, on remontin hinta kääntäen verrannollinen kuluneeseen aikaan.

Mikä olisi remontin hinta, jos remontin valmistumiseen kuluisi

  1. 46 päivää
  2. 74 päivää?

  1. Hinta olisi 84 782,61 euroa.
  2. Hinta olisi 52 702,70 euroa.

Kääntäen verrannollisuus

Patikkaretkeä suunnitellessaan lomalaiset laskivat, että kulkevat päivässä 15 km. Huonon sään takia he kulkivatkin päivässä 3 km suunniteltua vähemmän. Kuinka moninkertainen aika retkeen kului suunniteltuun aikaan verrattuna?

Retkeen kului 1,25-kertainen aika eli aikaa kului 25 % enemmän kuin alkuperäisen suunnitelman mukaan.

Kääntäen verrannollisuus

Talkoisiin osallistuu viisi henkeä ja urakkaan arvioidaan kuluvan neljä tuntia.

  1. Jos yksi talkoolaisista sairastuu, kuinka paljon urakkaan kuluva aika pitenee?
  2. Missä ajassa urakka olisi saatu valmiiksi, jos mukana olisikin ollut kahdeksan yhtä tehokasta ihmistä?

  1. Urakka vie neljältä ihmiseltä viisi tuntia, joten urakkaan kuluva aika pitenee tunnilla.
  2. Urakka olisi saatu valmiiksi 2,5 tunnissa.

Kiinalainen arvoitus 5 000 vuoden takaa: Häkissä on fasaaneja ja kaniineja. Niillä on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta fasaania ja kuinka monta kaniinia häkissä on?
[Lyhyt K2014/6]

Kaniineja on 12 ja fasaaneja 23.

Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta 2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä 2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja 629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.

  1. Ennusteen mukaan asukasluku $y$ toteuttaa yhtälön $$ y = a(x-2014) + b, $$ kun $x$ on vuosiluku. Määritä vakioiden $a$ ja $b$ tarkat arvot käyttämällä yllä mainittuja tietoja.
  2. Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014-2030? Anna vastaus 1000 asukkaan tarkkuudella.
  3. Piirrä asukasluvun $y$ kuvaaja välillä $2014 \leq x \leq 2030$.

[Lyhyt K2014/14]

  1. $a = 5619{,}25$ ja $b = 607417$.
  2. Asukasluku kasvaa noin 90 000 ihmisellä.
  3. Kuva:

Millä vakion $a$ arvolla yhtälöparilla $$ \left\{\begin{aligned} 2x + (a+1)y & = 5 \\ 3x + (a-2)y & = a \end{aligned}\right. $$ ei ole ratkaisua?
[Lyhyt S2010/13]

$a = -7$

Kupari-nikkeliseoksessa on 75 % kuparia ja 25 % nikkeliä. Toisessa kupari-nikkeliseoksessa on kuparia 80 % ja nikkeliä 20 %. Näistä valmistetaan sulattamalla 300 g kupari-nikkeliseosta, jonka nikkelipitoisuus on 22 %. Kuinka paljon kumpaakin seosta tähän tarvitaan?
[Lyhyt S2008/6]

Ensimmäistä seosta tarvitaan 120 g ja toista seosta tarvitaan 180 g.

Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg?
[Lyhyt S2007/8]

Maalia A valmistettiin 22 litraa ja maalia B valmistettiin 12 litraa.

Lauralta kului koulumatkaan 15 minuuttia. Tavallisesti hän saapui kouluun kellon soidessa. Eräänä aamuna hän lähti kotoa 6 minuuttia tavallista myöhempään, ja vaikka hän kulki nopeammin, hän myöhästyi. Koulun kellon soidessa hänellä oli vielä 5 % matkasta jäljellä. Kuinka monta prosenttia tavallista nopeammin hän oli tällöin kulkenut?
[Lyhyt S2006/7]

Laura oli kulkenut noin 58 % tavallista nopeammin.

Lämpömittaria tutkittiin tarkkuusmittarin avulla. Kun lämpömittari näytti $−9{,}9 {}^\circ\text{C}$, oikea lämpötila oli $−9{,}2 {}^\circ\text{C}$. Kun lämpömittari näytti $18{,}5 {}^\circ\text{C}$, oikea lämpötila oli $18{,}1 {}^\circ\text{C}$. Oletetaan, että oikean lämpötilan ja lämpömittarin lukeman välinen riippuvuus on lineaarinen.

  1. Johda lauseke, jolla oikea lämpötila $y$ voidaan laskea, kun lämpömittarin lukema $x$ tunnetaan. Ilmoita esiintyvät kertoimet neljän desimaalin tarkkuudella.
  2. Missä lämpötilassa lämpömittari näyttää aivan oikein?

[Lyhyt K2005/12]

  1. $y = 0{,}9613x + 0{,}3165$
  2. Noin lämpötilassa $8{,}2 {}^\circ\text{C}$.

Lukion juhlasalissa, johon mahtuu 260 henkilöä, järjestetään esitelmätilaisuus. Rehtori kutsuu tilaisuuteen asiasta kiinnostuneita oppilaiden vanhempia sekä muita henkilöitä. Kokemuksesta hän tietää, että vanhemmista saapuu paikalle 65 % ja muista henkilöistä 45 %. Rehtori haluaa, että tulijoita olisi juuri salin kapasiteetin verran ja että kolme neljäsosaa läsnäolijoista olisi oppilaiden vanhempia. Kuinka monelle vanhemmalle ja kuinka monelle muulle henkilölle kutsu on lähetettävä?
[Lyhyt S2004/4]

Vanhempia on kutsuttava 300 ja muita henkilöitä 144.

Potilas ostaa apteekista kahta lääkettä, joista toinen kuuluu peruskorvattaviin ja toinen erityiskorvattaviin lääkkeisiin. KELA maksaa peruskorvattavista lääkekuluista puolet 8,41 € ylittävästä osasta ja erityiskorvattavista lääkekuluista 75 % osasta, joka ylittää 4,20 €. Mitkä olivat lääkkeiden hinnat, kun ne yhteensä maksoivat 51,01 € ja potilaan maksettavaksi jäi yhteensä 23,16 €?
[Lyhyt K2003/4]

Peruskorvattavan lääkkeen hinta oli 12,21 euroa ja erityiskorvattavan 38,80 euroa.

Lentokone lähtee aikataulun mukaan paikasta A klo 14.10 ja saapuu paikkaan B klo 17.00. Paluumatkalle lentokone lähtee B:stä klo 18.55, ja se on perillä A:ssa seuraavana päivänä klo 8.45. Paluumatka kestää tunnin enemmän kuin menomatka. Paljonko kello on paikassa B lentokoneen saapuessa A:han? Kaikki ilmoitetut ajat ovat paikallisia aikoja.
[Lyhyt S2002/9]

Kun lentokone saapuu paikkaan A, kello on 3.45 paikassa B.

  1. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Kun $x = 2$, on $y = 5$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 7$?
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset. Jos $x = 2$, niin $y = 3$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 5$?

[Lyhyt K2009/2a & S2008/3b]

  1. $y = \dfrac{35}{2}$
  2. $y = \dfrac{6}{5}$

Alla on viisi väittämää sekä kuusi kuviota. Yhdistä jokaiseen kuvioon se väittämä, joka pätee kyseisen kuvion tapauksessa. Yksi väittämä liittyy kahteen eri kuvioon. Vastauksia ei tarvitse perustella.

  1. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujaan $x$.
  2. $y$ on kääntäen verrannollinen muuttujaan $x$.
  3. $y$ kaksinkertaistuu aina, kun muuttuja $x$ kasvaa yhdellä.
  4. $y$ puolittuu aina, kun $x$ kasvaa yhdellä.
  5. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujan $x$ neliöön.

[Lyhyt K2017/3]

  1. D
  2. A
  3. B
  4. D
  5. C
  6. E

Eräällä tieosuudella käytetään kesällä ja talvella erilaisia nopeusrajoituksia. Talvinopeudella matkaan kuluu 15 minuuttia ja kesänopeudella 3 minuuttia vähemmän, kun ajetaan maksiminopeuksilla. Mikä talvinopeusrajoitus on silloin, kun kesänopeus on 20 km/h korkeampi kuin talvinopeus?
[Lyhyt K2015/7]

Talvinopeusrajoitus on 80 km/h.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Mittauksissa havaittiin, että jarrutusmatka nopeudesta 40 km/h on 11,0 metriä.

  1. Mikä on auton jarrutusmatka nopeudesta 80 km/h?
  2. Auton jarrutusmatkaksi mitattiin 21,3 metriä. Mikä oli auton nopeus jarrutuksen alkaessa? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

[Lyhyt S2013/7]

  1. Jarrutusmatka on 44,0 m.
  2. Nopeus oli noin 56 km/h.

Äänilähteen tuottaman äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Festareilla Miisa istui aluksi 50 metrin päässä orkesterista, mutta siirtyi sitten 15 metrin päähän orkesterista. Kuinka monta prosenttia kasvoi äänen intensiteetti?
[Lyhyt K2008/6]

Intensiteetti noin 11,11-kertaistui eli kasvoi noin 1011 prosenttia.
Huom. jos intensiteetti kaksinkertaistuu, tarkoittaa se 100 prosentin kasvua. Vastaavasti 3-kertaistuminen tarkoittaa 200 prosentin kasvua.

Talon lämmityskustannukset pakkasella ovat suoraan verrannolliset sisä- ja ulkolämpötilojen väliseen erotukseen. Ulkolämpötilan ollessa $−2{,}0 {}^\circ\text{C}$ ja sisälämpötilan $22{,}0 {}^\circ\text{C}$ sisälämpötila pudotetaan $21{,}0 {}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka monella prosentilla talon lämmityskustannukset tällöin pienenevät?
[Lyhyt S2006/6]

Lämmityskustannukset pienenevät noin 4,2 %.

Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokone painaa maan pinnalla 56,0 tonnia. Kuinka paljon se painaa kymmenen kilometrin korkeudessa? Maan pinnan etäisyys keskipisteestä on 6370 kilometriä.
[Lyhyt K2006/4]

Lentokone painaa noin 55,8 tonnia.

Autoilija havaitsi keskelle tietä pysähtyneen toisen auton 100 metrin etäisyydellä. Autoilijan reaktioaika (havainnon teosta jarrutuksen aloittamiseen kulunut aika) oli 1,0 s ja auton nopeus oli 100 km/h. Jarrutusmatka olisi ollut 50 m, jos nopeus olisi ollut 80 km/h. Jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Pysähtyikö auto ennen yhteentörmäystä?
[Lyhyt K1985/10]

Reaktioajan ja jarrutuksen aikana auto kulkee yhteensä matkan $27{,}8 \text{ m } + 78{,}1 \text{ m } = 105{,}9 \text{ m}$, joten auto ei pysähtynyt ennen yhteentörmäystä.

Erään tuotteen tarjonta kasvoi 25 %. Kuinka monta prosenttia hinta tällöin laski, jos tuotteen hinta on kääntäen verrannollinen tarjontaan?
[Lyhyt K1992/3a]

Hinta laski 20 %.

Laivan polttoainekulut tunnissa ovat suoraan verrannolliset nopeuden kuutioon eli kolmanteen potenssiin. Nopeudella 40 km/h polttoainekulut ovat noin 480 euroa tunnissa.

  1. Minkä suuruiset polttoainekulut ovat, jos laivan nopeus on vain 30 km/h?
  2. Kuinka monta prosenttia matka-aika muuttuu, jos nopeutta pienennetään nopeudesta 40 km/h nopeuteen 30 km/h?

  1. Polttoainekulut ovat noin 200 euroa tunnissa (202,5 euroa tunnissa).
  2. Matka-aika pitenee noin 33 %.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja tästä, ja pisteytä omat ratkaisusi.

1.
a) Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{ \begin{aligned} 2x+y&=1\\ 3x+2y&=2 \end{aligned}\right. $$ graafisesti piirtämällä sopiva kuva teknisellä apuvälineellä.
b) Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{ \begin{aligned} y&=x+1\\ y&=-3x+5 \end{aligned}\right. $$ algebrallisesti eli laskemalla ilman teknisiä apuvälineitä.
c) Tarkista b)-kohdan ratkaisun oikeellisuus sijoittamalla saamasi ratkaisut yhtälöihin sekä teknisen apuvälineen solve-komennon avulla.

2.
a) Kun $x=1$, niin $y=5$. Kun $x=3$, niin $y=2$. Ovatko suureet x ja y suoraan tai kääntäen verrannollisia? Perustele.
b) Kolme kilogrammaa omenoita maksaa neljä euroa. Kuinka monta kilogrammaa omenoita saa kymmenellä eurolla?
c) Valaistusvoimakkuus on kääntäen verrannollinen valonlähteen etäisyyden neliöön. Valaistus on 1,3 metrin etäisyydellä Pipsan työpöydästä 52 luksia. Kuinka suuri valaistusvoimakkuus on 2,0 metrin päässä?