Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Luvut ja lukujonot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Prosenttilaskenta

Tämän luvun tavoitteena on, että osaat ratkaista prosenttilaskentaan liittyviä ongelmia. Osaat

  • laskea, kuinka monta prosenttia luku $a$ on luvusta $b$
  • laskea, kuinka paljon on $p$ prosenttia luvusta $b$
  • laskea, mistä luvusta luku $a$ on $p$ prosenttia
  • laskea, kuinka monta prosenttia luku $a$ on suurempi tai pienempi kuin luku $b$
  • laskea muutosprosentin
  • laskea, mikä on uusi arvo, jos muutosprosentti ja alkuperäinen arvo tunnetaan
  • käyttää kirjainlausekkeita prosenttilaskentaan liittyvissä tehtävissä
  • käyttää prosenttiyksikköä prosentteina ilmoitettujen lukujen vertaamiseen.

Suhteellisten osuuksien ilmaisemiseen käytetään usein prosentteja (kuvankaappauksia Yle Uutisten sivuilta):

Aloitetaan määrittelemällä, mitä prosentilla tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: PROSENTTI

Prosentti on yksi sadasosa: $$1 \ \% = \frac{1}{100} = 0{,}01.$$

Esimerkiksi $0{,}04 = 4 \ \%$, koska kumpikin merkintä tarkoittaa neljää sadasosaa eri tavoilla kirjoitettuna. Samaan tapaan $0{,}597 = 59{,}7 \ \%$.

Ilmoita seuraavat luvut prosenttimerkkiä ($\%$) käyttäen:

  1. $\displaystyle\frac{35}{100}$
  2. $\displaystyle\frac{1}{5}$
  3. $0{,}56$
  4. $1{,}28$.

  1. 35 %
  2. 20 %
  3. 56 %
  4. 128 %

Ilmoita seuraavat prosentit desimaalilukumuodossa ilman prosenttimerkkiä:

  1. $50\ \%$
  2. $8{,}3\ \%$
  3. $24\ \%$
  4. $160\ \%$
  5. $230\ \%$.

  1. $0{,}5$
  2. $0{,}083$
  3. $0{,}24$
  4. $1{,}6$
  5. $2{,}3$

Kun halutaan tietää, kuinka monta prosenttia luku $a$ on luvusta $b$, muodostetaan suhde $$\frac{a}{b}$$ ja ilmaistaan se sadasosina eli prosentteina. Esimerkiksi suhteesta $$\frac{7}{13} = 0{,}5384615\ldots$$ nähdään, että luku $7$ on noin $53{,}8\ \%$ luvusta 13.

Kuinka monta prosenttia

  1. luku 35 on luvusta 118?
  2. luku 2 on luvusta 360?
  3. luku 20 on luvusta 18?
  4. luku 45 on luvusta 13?

Ilmoita vastaukset kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Milloin vastaus on yli $100 \ \%$? Selitä omin sanoin.

  1. Noin $29{,}7 \ \%$.
  2. Noin $0{,}556 \ \%$.
  3. Noin $111 \ \%$.
  4. Noin $346 \ \%$.

Antin bruttopalkka oli 936,25 euroa. Tästä pidätettiin veroa ja muita maksuja yhteensä 232,67 euroa. Tehtävänä on laskea, kuinka monta prosenttia Antin bruttopalkasta meni veroihin ja muihin maksuihin.

  1. Arvioi tuloksen suuruusluokkaa päässäsi. Onko se yli vai alle 50 %? Entä yli vai alle 10 %? Entä yli vai alle 20 %?
  2. Laske, kuinka monta prosenttia bruttopalkasta meni veroihin ja muihin maksuihin.
  3. Havainnollista tilannetta piirroksella, josta näkyvät bruttopalkka sekä verot ja muut maksut.

  1. Arvointi:
    • Koska 50 % palkasta on puolet eli noin 465 €, verojen osuus on alle 50 %.
    • Koska 10 % palkasta on noin 94 € ja 20 % palkasta on tuplasti eli noin 188 €, on verojen osuus yli 20 %.
  2. Noin 24,9 %.

Yksiön vuokra oli 480 euroa. Vuoden lopussa sitä korotettiin 20 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta prosenttia alkuperäisestä vuokrasta vuokrankorotus oli.

  1. Arvioi tuloksen suuruusluokkaa päässäsi. Onko se yli vai alle 10 %? Entä yli vai alle 5 %? Entä yli vai alle 1 %?
  2. Kuinka monta prosenttia alkuperäisestä vuokrasta vuokrankorotus oli?
  3. Havainnollista tilannetta piirroksella, josta näkyvät alkuperäinen vuokra ja vuokrankorotus.

  1. Arviointi:
    • Koska 10 % vuokrasta on 48 €, vuokrankorotus oli alle 10 %.
    • Koska 1 % vuokrasta on 4,8 €, vuokrankorotus oli yli 1 %.
    • Koska 5 % vuokrasta on noin $5\cdot 4{,}8 \approx 25$ €, oli korotus alle 5 %.
  2. Noin 4,2 %.

Säilykepurkin sisältö painaa 730 g ja siitä kurkkua on 380 g. Tehtävänä on laskea, kuinka monta prosenttia sisällöstä on kurkkua.

  1. Arvioi tuloksen suuruusluokkaa päässäsi. Onko se yli vai alle 10 %? Entä yli vai alle 50 %? Entä yli vai alle 60 %?
  2. Kuinka monta prosenttia sisällöstä on kurkkua?
  3. Havainnollista tilannetta piirroksella, josta näkyvät purkin sisällön ja kurkun määrät.

  1. Arviointi:
    • Koska 10 % purkin sisällöstä on 73 g, niin kurkkua on yli 10 %.
    • Koska 50 % purkin sisällöstä on $5 \cdot 73 = 365$ g, niin kurkkua on yli 50 %.
    • Koska 60 % purkin sisällöstä on $365 + 73 = 438$ g, niin kurkkua on alle 60 %.
  2. Noin 52 %.

Joissakin tilanteissa tiedetään prosenttiosuus ja halutaan laskea sitä vastaava määrä. Toisin sanottuna halutaan laskea, kuinka paljon on $p$ prosenttia luvusta $b$. Tällöin prosenttiosuus ilmaistaan desimaalimuodossa ilman prosenttimerkkiä. Sitä vastaava osuus saadaan kertolaskulla. Esimerkiksi jos halutaan tietää, kuinka paljon on $32 \ \%$ luvusta 478, lasketaan $$0{,}32 \cdot 478 = 152{,}96.$$ Siis $32 \ \%$ luvusta $478$ on $152{,}96$.

Tehtävänä on laskea, kuinka paljon on 30 prosenttia luvusta 8.

  1. Arvioi vastauksen suuruusluokkaa. Onko se pienempi vai suurempi kuin 8? Entä onko se pienempi vai suurempi kuin 4? Entä pienempi vai suurempi kuin 2?
  2. Ilmaise prosentit desimaalilukumuodossa ilman prosenttimerkkiä ja kerro saadulla desimaaliluvulla luku $8$.
  3. Tarkista tuloksesi laskemalla, kuinka monta prosenttia se on luvusta 8.

  1. Pienempi kuin 4, sillä 4 on puolet eli 50 % luvusta 8. Suurempi kuin 2, koska 2 on neljäsosa eli 25 % luvusta 8.
  2. $0{,}30 \cdot 8 = 2{,}4$
  3. $\dfrac{2{,}4}{8} = 0{,}3 = 30 \ \%.$

Arvioi tuloksen suuruusluokkaa esimerkiksi pyöristämällä lukuja sopivasti. Kirjaa arviosi muistiin. Laske sen jälkeen tulos ja anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Missä kohdassa arviosi osui lähimmäs oikeaa tulosta?

  1. Kuinka paljon on $25\ \%$ luvusta $12$?
  2. Kuinka paljon on $13\ \%$ luvusta $67$?
  3. Kuinka paljon on $75\ \%$ luvusta $\pi$?
  4. Kuinka paljon on $150\ \%$ luvusta $20$?

  1. 3
  2. Noin 8,7
  3. Noin 2,4
  4. 30

Prosenttiosuutta vastaavan määrän laskemista voi ajatella myös seuraavasti: Jos halutaan tietää, kuinka paljon on $32 \ \%$ luvusta 478, voidaan muodostaa yhtälö $$\frac{a}{478} = 0{,}32.$$ Tässä siis kokonaismäärä $b = 478$ ja prosenttiosuus $r = 0{,}32$. Prosenttiosuutta vastaava määrä $a$ saadaan tästä kertolaskulla kuten jo edellä todettiin: $$a = 0{,}32 \cdot 478 = 152{,}96.$$

Antin bruttopalkka oli 936,25 euroa. Tästä pidätettiin veroa $18 \ \%$.

  1. Kuinka paljon Antti maksoi veroa palkastaan?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella, josta näkyvät bruttopalkka ja veron osuus.

  1. 168,53 €

Yksiön vuokra oli 480 euroa. Vesimaksun osuus oli siitä $3{,}75 \ \%$.

  1. Mikä oli vesimaksun suuruus?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella, josta näkyvät vuokra ja vesimaksu.

  1. 18 €

Säilykepurkin sisältö painaa 730 g ja siitä hiilihydraattia on $22\ \%$.

  1. Kuinka paljon hiilihydraattia yhdessä säilykepurkissa on?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella, josta näkyvät purkin sisältö ja hiilihydraatin määrä.

  1. 160,6 g.

Joskus tiedetään prosenttiosuus ja sitä vastaava määrä, mutta ei kokonaismäärää, johon verrataan. Tällöin kysymys on, mistä luvusta luku $a$ on $p$ prosenttia. Esimerkiksi halutaan selvittää, mistä luvusta luku 264 on $32$ prosenttia. Tätä tilannetta vastaa yhtälö $$\frac{264}{b} = 0{,}32.$$ Tässä siis prosenttiosuutta vastaava määrä $a = 264$ ja prosenttiosuus $r = 0{,}32$. Jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla $b$, se voidaan kirjoittaa muodossa $$0{,}32b = 264.$$ Kokonaismäärä $b$ saadaan tästä jakolaskulla: $$b = \frac{264}{0{,}32}= 825.$$ Siis luku 264 on $32 \ \%$ luvusta 825.

Tehtävänä on laskea, mistä luvusta 15 prosenttia on 10.

  1. Arvioi vastauksen suuruusluokkaa. Onko se pienempi vai suurempi kuin 10? Entä onko se pienempi vai suurempi kuin 20? Entä pienempi vai suurempi kuin 100?
  2. Merkitse kokonaismäärää jollakin kirjaimella ja muodosta yhtälö, joka yhdistää toisiinsa kokonaismäärän, prosenttiosuuden ja sitä vastaavan määrän.
  3. Laske kysytty kokonaismäärä. Anna tulos yhden desimaalin tarkkuudella.
  4. Tarkista tuloksesi laskemalla, kuinka monta prosenttia 10 on saamastasi tuloksesta.

  1. Arviointi:
    • Suurempi kuin 10, sillä $\dfrac{10}{10} = 1 = 100 \ \%.$
    • Suurempi kuin 20, sillä $\dfrac{10}{20} = 0{,}5 = 50 \ \%.$
    • Pienempi kuin 100, sillä $\dfrac{10}{100} = 0{,}1 = 10 \ \%.$
  2. Kokonaismäärä $x$. Yhtälö $0{,}15x = 10$.
  3. Kokonaismäärä on $66{,}7$.
  4. $\dfrac{10}{66{,}7} \approx 15 \ \%.$

Arvioi tuloksen suuruusluokkaa esimerkiksi pyöristämällä lukuja sopivasti. Kirjaa arviosi muistiin. Laske sen jälkeen tulos ja anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Missä kohdassa arviosi osui lähimmäs oikeaa tulosta?

  1. Mistä luvusta $25\ \%$ on $100$?
  2. Mistä luvusta $10\ \%$ on $7$?
  3. Mistä luvusta $51\ \%$ on $64$?
  4. Mistä luvusta $150\ \%$ on $35$?

  1. 400
  2. 70
  3. Noin 125,5.
  4. Noin 23,3.

Annan veroprosentti oli $21$ ja hän maksoi veroa $465{,}36$ euroa.

  1. Mikä oli Annan bruttopalkka?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. 2216 euroa.

Emil sai ilmoituksen, että hänen vuokraansa korotetaan seuraavan kuun alussa $1{,}5 \ \%$ ja laski, että korotus on $9{,}75$ euroa.

  1. Mikä oli Emilin vuokra ennen korotusta?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. 650 euroa.

Eräälle kurssille ilmoittautuneista keskimäärin noin 47 % suorittaa kurssin loppuun asti. Tänä vuonna kurssin suoritti 99 henkeä.

  1. Kuinka monta ilmoittautunutta oli alunperin?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. Noin 211 ilmoittautunutta.

Prosentteja voidaan käyttää määrien vertailuun. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, kuinka monta prosenttia luku 365 on suurempi kuin luku 310, voidaan laskea näiden lukujen suhde: $$\frac{365}{310} = 1{,}177419\ldots $$ Tästä nähdään, että luku 365 on noin $117{,}7 \ \%$ luvusta 310, joten luku 365 on noin $17{,}7 \ \%$ suurempi kuin luku 310.

Toinen tapa saman tuloksen saamiseen on laskea ensin vertailtavien lukujen erotus: $$365- 310 = 55.$$ Sen jälkeen lasketaan, kuinka monta prosenttia erotus on siitä luvusta, johon verrataan: $$\frac{55}{310} = 0{,}177419\ldots$$ Tästä voidaan päätellä, että luku 365 on noin $17{,}7 \ \%$ suurempi kuin luku 310.

Huomaa, että vertailussa jakajana on aina se luku, johon verrataan. Esimerkiksi edellä kysymys oli, kuinka monta prosenttia luku 365 on suurempi kuin luku 310, minkä vuoksi jakajana käytettiin lukua 310.

Emmi sai kesätöistään palkkaa 1 150 euroa ja Iida sai 1 225 euroa.

  1. Kuinka monta prosenttia enemmän palkkaa Iida sai Emmiin verrattuna? Valitse edellä havainnollistetuista ratkaisutavoista se, joka tuntuu sinusta selkeämmältä ja ratkaise tehtävä sitä käyttäen.
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. Iida sain noin 6,5 % enemmän palkkaa kuin Emmi.

Henrik juoksi kesäloman aikana 325 km ja Leo juoksi 303 km.

  1. Kuinka monta prosenttia pidemmän matkan Henrik juoksi kuin Leo?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. Henrik juoksi noin 7,3 % pidemmän matkan kuin Leo.

Jos halutaan tietää, kuinka monta prosenttia jokin luku on pienempi kuin jokin toinen luku, voidaan laskea samaan tapaan kuin edellä. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, kuinka monta prosenttia luku 310 on pienempi kuin luku 365, voidaan laskea näiden lukujen suhde: $$\frac{310}{365} = 0{,}849315\ldots $$ Tästä nähdään, että luku 310 on noin $84{,}9 \ \%$ luvusta 365, joten luku 310 on noin $100 - 84{,}9 \ \% = 15{,}1 \ \%$ pienempi kuin luku 365. Huomaa, että jälleen jakana on se luku, johon verrataan.

Toinen tapa saman tuloksen saamiseen on laskea ensin vertailtavien lukujen erotus: $$365- 310 = 55.$$ Sen jälkeen lasketaan, kuinka monta prosenttia erotus on siitä luvusta, johon verrataan: $$\frac{55}{365} = 0{,}15068\ldots$$ Tästä voidaan päätellä, että luku 310 on noin $15{,}1 \ \%$ pienempi kuin luku 365.

Emmi sai kesätöistään palkkaa 1 150 euroa ja Iida sai 1 225 euroa.

  1. Kuinka monta prosenttia vähemmän palkkaa Emmi sai Iidaan verrattuna? Valitse edellä havainnollistetuista ratkaisutavoista se, joka tuntuu sinusta selkeämmältä ja ratkaise tehtävä sitä käyttäen.
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella. Vertaa tehtävään 17. Mitä eroa näillä kahdella tehtävällä on? Miten se näkyyy ratkaisussa? Selitä omin sanoin.

  1. Emmi sai noin 6,1 % vähemmän palkkaa kuin Iida.

Henrik juoksi kesäloman aikana 325 km ja Leo juoksi 303 km.

  1. Kuinka monta prosenttia lyhyemmän matkan Leo juoksi kuin Henrik?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella. Vertaa tehtävään 18. Mitä eroa näillä kahdella tehtävällä on? Miten se näkyyy ratkaisussa? Selitä omin sanoin.

  1. Leo juoksi noin 6,8 % lyhyemmän matkan kuin Henrik.

Joskus halutaan vertailla prosentteina ilmoitettuja lukuja keskenään. Tällöin vertailu voidaan tehdä joko tutkimalla lukujen suhdetta tai erotusta. Jos lukuja verrataan laskemalla niiden erotus, ilmoitetaan tulos prosenttiyksikköinä. Esimerkiksi, jos säästötilin korko on $2{,}5 \ \%$ ja käyttötilin korko $1 \ \%$, on korkojen erotus $2{,}5 - 1 = 1{,}5$ prosenttiyksikköä. Voidaan sanoa, että säästötilin korko on $1{,}5$ prosenttiyksikköä korkeampi kuin käyttötilin korko, tai että käyttötilin korko on $1{,}5$ prosenttiyksikköä matalampi kuin säästötilin korko.

Vertaaminen voidaan tehdä myös suhteen avulla: $$\frac{1}{2{,}5} = 0{,}4,$$ joten käyttötilin korko on $40 \ \%$ säästötilin korosta. Käyttötilin korko on siis $100 \ \% - 40 \ \% = 60 \ \%$ pienempi kuin käyttötilin korko. Toisesta näkökulmasta $$\frac{2{,}5}{1} = 2{,}5,$$ joten säästötilin korko on $250\ \%$ käyttötilin korosta. Säästötilin korko on siten $250 \ \% - 100 \ \% = 150 \ \%$ suurempi kuin käyttötilin korko.

Kuluttajahinnat nousivat vuonna 2000 keskimäärin $3{,}4 \ \%$ ja vuonna 2010 keskimäärin $1{,}2 \ \%$.

  1. Kuinka monta prosenttiyksikköä vähemmän hinnat nousivat vuonna 2010 kuin vuonna 2000?
  2. Kuinka monta prosenttia vähemmän hinnat nousivat vuonna 2010 kuin vuonna 2000?
  3. Kuinka monta prosenttia enemmän hinnat nousivat vuonna 2000 kuin vuonna 2010?
  4. Miksi b- ja c-kohtien vastaukset eroavat toisistaan? Selitä omin sanoin.

  1. Hinnat nousivat vuonna 2010 keskimäärin 2,2 prosenttiyksikköä vähemmän kuin vuonna 2000.
  2. Hinnat nousivat vuonna 2010 keskimäärin 64,7 % vähemmän kuin vuonna 2000.
  3. Hinnat nousivat vuonna 2000 keskimäärin 183,3 % enemmän kuin vuonna 2010.

Prosentteja käytetään myös muutoksen suuruuden ilmaisemiseen. Laskutapa on samanlainen kuin vertailtaessa. Erityistä huomiota pitää kiinnittää siihen, että jakajana käytetään alkuperäistä, muutosta edeltävää arvoa. Esimerkiksi jos kunnan väkiluku nousi 5 617 asukkaasta 6 221 asukkaaseen, saadaan väkiluvun muutos pääteltyä suhteesta $$\frac{6221}{5617} = 1{,}1075307\ldots$$ Tästä nähdään, että uusi väkiluku oli noin $110{,}8 \ \%$ vanhasta väkiluvusta eli väkiluku kasvoi noin $10{,}8 \ \%$. Jakajana käytettiin siis alkuperäistä väkilukua 5 617.

Lauri oli kahtena kesänä samassa paikassa työharjoittelijana. Ensimmäisenä kesänä hän sai palkkaa 1 320 euroa ja toisena kesänä 1 410 euroa.

  1. Kuinka monta prosenttia Laurin palkka nousi?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. Laurin palkka nousi noin 6,8 %.

Kaisa juoksi kesäkuussa 105 km ja heinäkuussa 77 km.

  1. Kuinka monta prosenttia Kaisan juoksumatka lyheni kesäkuusta heinäkuuhun?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. Juoksumatka lyheni noin 26,7 %.

Joissakin tilanteissa tiedetään alkuperäinen arvo ja muutoksen suhteellinen suuruus prosentteina. Tällöin uusi, muuttunut arvo saadaan laskettua kertolaskun avulla. Ensin täytyy kuitenkin päätellä, mikä on muutosprosenttia vastaava kerroin. Esimerkiksi, jos palkka on aluksi 1 450 euroa ja sitä korotetaan $2{,}5 \ \%$, on uusi palkka $102{,}5 \ \%$ vanhaan palkkaan verrattuna. Uusi palkka saadaan siten kertomalla luvulla $1{,}025$: $$1{,}025 \cdot 1 450 \, \unicode{0x20AC} = 1 486{,}25 \, \unicode{0x20AC}.$$ Jos taas pyörän hinta on aluksi 390 euroa ja sitä alennetaan $15 \ \%$, on uusi hinta $100 - 15 = 85$ prosenttia vanhasta hinnasta. Uusi hinta saadaan siten kertomalla luvulla $0{,}85$: $$0{,}85 \cdot 390 \, \unicode{0x20AC} = 331{,}50 \, \unicode{0x20AC}.$$

Millä desimaaliluvulla alkuperäinen hinta pitää kertoa, jos sitä

  1. korotetaan $10 \ \%$?
  2. korotetaan $13{,}7 \ \%?$
  3. korotetaan $75 \ \%?$
  4. korotetaan $124{,}5 \ \%?$

  1. 1,1
  2. 1,137
  3. 1,75
  4. 2,245

Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita $16{,}5 \ \%$. Kuinka suuri oli $76{,}5$ neliömetrin kokoisen asunnon uusi yhtiövastike, jos vastikkeen suuruus oli ennen korotusta $2{,}10$ euroa neliömetriltä?

Korotettu yhtiövastike oli 187,16 euroa.

Millä desimaaliluvulla alkuperäinen hinta pitää kertoa, jos sitä

  1. alennetaan $10 \ \%$?
  2. alennetaan $13{,}7 \ \%?$
  3. alennetaan $75 \ \%?$
  4. alennetaan $1{,}25 \ \%?$

  1. 0,9
  2. 0,863
  3. 0,25
  4. 0,9875

Työntekijän palkka oli 2745 euroa. Kun hän siirtyi osa-aikaiseksi, aleni hänen palkkansa $18 \ \%$. Mikä oli työntekijän uusi palkka?

Uusi palkka oli 2250,90 euroa.

Kuinka monta prosenttia hinta $x$ on noussut tai laskenut, jos uusi hinta on

  1. $0{,}65x$
  2. $1{,}07x$
  3. $0{,}05x$
  4. $1{,}34x$

  1. Laskenut 35 %.
  2. Noussut 7 %.
  3. Laskenut 95 %.
  4. Noussut 34 %.

Alennusmyyntien alkaessa 150 euron hintaisen takin hintaa alennettiin $15 \ \%$. Kolmen viikon kuluttua kaikista jo alennetuista hinnoista sai vielä $30 \ \%$ lisäalennuksen.

  1. Mikä oli takin hinta tällöin?
  2. Kuinka monta prosenttia hinta oli pudonnut alkuperäisestä?
  3. Pystyisitkö selvittämään vastauksen b-kohtaan, jos et tietäisi takin alkuperäistä hintaa? Selitä omin sanoin.

  1. Takin hinta oli 89,25 euroa.
  2. Hinta oli pudonnut 40,5 %.

Maailmanmarkkinahintojen heilahtelun vuoksi polttoaineen hinta nousi ensin $4 \ \%$ ja laski kuukauden kuluttua äkillisesti $10 \ \%$.

  1. Merkitse polttoaineen alkuperäistä hintaa kirjaimella $a$. Millä desimaaliluvuilla alkuperäistä hintaa $a$ pitäisi kertoa, että saisi laskettua muuttuneen hinnan? Ilmaise muuttunut hinta kirjaimen $a$ avulla.
  2. Päättele edellisen kohdan avulla, kuinka monta prosenttia hinta oli muuttunut alkuperäiseen hintaan verrattuna. Oliko se noussut vai laskenut?
  3. Tarkista laskusi kokeilemalla, saatko saman lopputuloksen, jos alkuperäinen hinta oli esimerkiksi $a = 1$ euroa / litra.

  1. Muuttunut hinta on $0{,}9 \cdot 1{,}04a = 0{,}936a$.
  2. Hinta oli laskenut 6,4 %.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan ratkaisemaan prosenttilaskentaan liittyviä ongelmia, joiden yleinen ratkaisu vaatii kirjainlausekkeiden käyttämistä. Ratkaisu kuitenkin helpottuu usein, jos ongelman ratkaisee ensin yhdessä erityistapauksessa joillakin itse valitsemillaan luvuilla. Varsinainen ratkaisu on tällöin helpompi muodostaa. Lisäksi tuloksen järkevyyttä voi arvioida vertaamalla eri tavoilla saamiaan tuloksia.

Kun tuotteen hintaa nostettiin 7 %, laski sen menekki 5 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka muuttui tuotteen myynnistä saatu rahamäärä.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta
    Korotuksen jälkeen
  2. Keksi tuotteelle jokin hinta (euroa/kpl) ja jokin menekki eli myyntimäärä (kappaletta). Laske uusi hinta ja menekki hinnankorotuksen jälkeen. Täydennä nämä tiedot taulukkoon.
  3. Laske tuotteen myynnistä saatu rahamäärä ennen hinnankorotusta ja hinnankorotuksen jälkeen. Mitä laskutoimitusta käytit?
  4. Laske, kuinka monta prosenttia tuotteen myynnistä saatu rahamäärä muuttui. Kasvoiko vai pienenikö se?

  2. Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta 50 100 5000
    Korotuksen jälkeen 53,5 95 5082,5
  3. Myynnin arvo kasvoi 1,65 %.

Kun tuotteen hintaa nostettiin 7 %, laski sen menekki 5 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka muuttui tuotteen myynnistä saatu rahamäärä.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta
    Korotuksen jälkeen
  2. Merkitse tuotteen alkuperäistä hintaa kirjaimella $a$ (euroa) ja menekkiä kirjaimella $b$ (kappaletta). Laske uusi hinta ja menekki hinnankorotuksen jälkeen.
  3. Laske tuotteen myynnistä saatu rahamäärä ennen hinnankorotusta ja hinnankorotuksen jälkeen. Tarvittaessa katso mallia lausekkeiden muodostamiseen edellisen tehtävän ratkaisusta.
  4. Laske, miten tuotteen myynnistä saatu rahamäärä muuttui.

  2. Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta $a$ $b$ $ab$
    Korotuksen jälkeen $1{,}07a$ $0{,}95b$ $1{,}0165ab$
  3. Hinnankorotuksen jälkeisen myynnin arvon suhde aiempaan myynnin arvoon on $$ \frac{1{,}0165ab}{ab} = 1{,}0165, $$ joten myynnin arvo nousi 1,65 %.

Tuotteen hintaa alennettiin 25 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta prosenttia alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
     
  2. Keksi tuotteelle jokin alkuperäinen hinta (euroa). Laske, mikä oli tuotteen hinta hinnanalennuksen jälkeen.
  3. Laske, kuinka paljon alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan. Täydennä tämä tieto taulukkoon. Mitä laskutoimitusta käytit?
  4. Selvitä, kuinka monta prosenttia korotus on alennettuun hintaan verrattuna.

  2. Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
    200 150 50
  3. Hintaa pitää korottaa noin 33,3 %.

Tuotteen hintaa alennettiin 25 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta prosenttia alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
     
  2. Merkitse tuotteen alkuperäistä hintaa kirjamella $a$ (euroa). Laske, mikä oli tuotteen hinta hinnanalennuksen jälkeen.
  3. Laske, kuinka paljon alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan. Täydennä tämä tieto taulukkoon. Tarvittaessa katso mallia lausekkeen muodostamiseen edellisen tehtävän ratkaisusta.
  4. Selvitä, kuinka monta prosenttia korotus on alennettuun hintaan verrattuna.
  5. Keksitkö tavan, jolla tehtävän voi ratkaista pelkästään alkuperäisen hinnan ja alennetun hinnan avulla (ilman korotuksen lausekkeen muodostamista)?

  2. Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
    $a$ $0{,}75a$ $0{,}25a$
  3. Korotuksen suhde alennettuun hintaan: $$ \frac{0{,}25a}{0{,}75a} = \frac{0{,}25}{0{,}75} \approx 0{,}333, $$ joten hintaa pitää korottaa noin 33,3 %.
  4. Alkuperäisen hinnan suhde alennettuun hintaan on $$ \frac{a}{0{,}75a} = \frac{1}{0{,}75} \approx 1{,}333, $$ joten alkuperäinen hinta on noin 33,3 % suurempi kuin alennettu hinta. Alennettua hintaa pitää siis korottaa noin 33,3 %.

Prosenttiosuus

Henkilön kuukausipalkka on 3800 euroa ja hän maksaa veroja 900 euroa. Mikä on henkilön veroprosentti eli kuinka monta prosenttia hän maksaa veroja?

Noin 23,7 %.

Prosenttiosuus

Henkilö haluaa lisätä ravintokuituja ruokavalioonsa. Hänellä on valittavanaan kaksi leipävaihtoa. Leivän A 20 gramman palassa on 3 grammaa ravintokuitua ja leivän B kuitupitoisuus on 13 %. Kumpi leivistä henkilön kannattaa ostaa?

Leipä A, koska sen kuitupitoisuus on 15 %.

Prosenttiosuutta vastaava määrä

Jääkiekkomaalivahdin torjuntaprosentti on 85,70. Kuinka monta maalia hän keskimäärin torjuu 30 laukauksesta?

Noin 26.

Prosenttiosuutta vastaava määrä

Tilastokeskuksen mukaan vuoden 2015 lopussa suomea äidinkielenään puhuvia oli 88,7 % ja ruotsia 5,3 %. Kuinka moni puhui äidinkielenään jotain muuta kieltä, kun suomalaisia oli tuolloin 5 487 000?

329 220

Kokonaismäärä

Farkut olivat 30 prosentin alennuksessa ja euroina alennus oli 25 euroa. Kuinka paljon farkut maksoivat alun perin?

83,30 euroa.

Kokonaismäärä

Kevään 2016 ylioppilaskokeisiin ilmoittautuneista 25,7 % ilmoittautui pitkän matematiikan kokeeseen. Pitkän matematiikan kokeeseen ilmoittautuneita oli 10 536. Kuinka monta henkilöä ilmoittautui kevään 2016 ylioppilaskokeisiin? Anna vastaus 100 henkilön tarkkuudella.

41 000

Vertailuprosentti

Suomen väkiluku maaliskuussa 2016 oli 5 488 265 ja Ruotsin 9 875 378.

  1. Kuinka monta prosenttia vähemmän asukkaita on Suomessa kuin Ruotsissa?
  2. Kuinka monta prosenttia enemmän asukkaita on Ruotsissa Suomeen verrattuna?

  1. Noin 44,4 % vähemmän.
  2. Noin 79,9 % enemmän.

Vertailuprosentti

Kevään 2016 ylioppilaskokeiden lyhyen matematiikan kokeeseen ilmoittautui 11 663 ja pitkän matematiikan kokeeseen 10 536 kokelasta. Kuinka monta prosenttia enemmän lyhyen matematiikan kokeseen ilmoittautuneita oli pitkän matematiikan kokeeseen ilmoittautuneihin verrattuna?

10,7 %

Prosenttien vertailu

Asuntolainan korkoprosentti laski 3,4 prosentista 2,6 prosenttiin.

  1. Kuinka monta prosenttiyksikköä asuntolainan korko laski?
  2. Kuinka monta prosenttia asuntolainan korko laski?

  1. 0,8 prosenttiyksikköä.
  2. Noin 23,5 %.

Prosenttien vertailu

Vuoden 2015 vaaleissa perussuomalaisten kannatus oli 17,7 % ja heinäkuussa 2016 Taloustutkimuksen teettämän gallupin mukaan 8,6 %.

  1. Kuinka monta prosenttiyksikköä perussuomalaisten kannatus laski tarkasteluaikavälillä?
  2. Kuinka monta prosenttia perussuomalaisten kannatus laski tarkasteluaikavälillä?

  1. 9,1 prosenttiyksikköä
  2. 51,4 %

Muutosprosentti

Asunto maksoi 120 000 euroa vuonna 2005. Vuonna 2016 asunto myytiin 180 000 eurolla. Kuinka monta prosenttia asunnon arvo oli noussut?

50 %.

Muutosprosentti

Vuonna 2007 matematiikan ylioppilaskokeeseen ilmoittautui 13 348 kokelasta, kun vuonna 2015 ilmoittautumisia oli vain 11 956. Kuinka monta prosenttia pitkän matematiikan ylioppilaskokeeseen ilmoittautuneiden määrä on vähentynyt?

10,4 %

Muuttunut arvo

Television hinta oli 459 euroa. Aluksi sen hintaa laskettiin 20 %, mutta koska sen kysyntä kasvoi alennuksen myötä voimakkaasti, myyjä päätti korottaa hintaa 20 %.

  1. Kuinka paljon televisio maksoi halvimmillaan?
  2. Mikä oli television hinta kaikkien hinnanmuutosten jälkeen?
  3. Päteekö yleisesti, että jos hintaa ensin lasketaan $p$ % ja sen jälkeen nostetaan $p$ %, niin päädytään alkuperäiseen hintaan? Perustele omin sanoin.

  1. 367,20 euroa.
  2. 440,64 euroa.

Peräkkäiset muutokset

Paita maksoi ennen alennusmyyntejä 60 €. Hintaa alennettiin ensin 40 prosenttia ja alen loppurysäyksessä vielä 20 prosenttia. Kuinka paljon paita lopuksi maksoi?

28,80€ (tai 29 €)

Peräkkäiset muutokset

Osakkeen arvo laski 46 prosenttia ja nousi sitten ensiksi 15 prosenttia ja tämän jälkeen vielä 34 prosenttia.

  1. Oliko osakkeen arvo näiden muutosten jälkeen suurempi vai pienempi kuin ennen muutoksia?
  2. Kuinka monta prosenttia jälkimmäisen nousun olisi pitänyt olla, jotta olisi palattu alkuperäiseen arvoon? [Lyhyt S2001/5]

  1. Pienempi.
  2. 61 %

Prosenttilaskennan strategioita

Viisi kilogrammaa 2-prosenttista suolaliuosta sisältää ainoastaan vettä ja suolaa. Tätä suolaliuosta haihdutetaan niin, että sen massasta poistuu 20 %.

  1. Kuinka paljon suolaa on alkuperäisessä suolaliuoksessa?
  2. Mikä on haihdutetun liuoksen massa?
  3. Kuinka paljon suolaa on haihdutetussa suolaliuoksessa?
  4. Mikä on haihdutetun suolaliuoksen suolapitoisuus?
  5. Mieti, miten alkuperäinen suolaliuoksen määrä vaikutti uuteen suolapitoisuuteen. Selitä omin sanoin.

  1. 0,1 kg tai 100 g
  2. 4 kg
  3. 0,1 kg tai 100 g
  4. 2,5 %
  5. Ei mitenkään.

Prosenttilaskennan strategioita

Kuinka paljon 2-prosenttista desinfektioliuosta tarvitaan, jotta siitä laimennettuna saadaan 500 ml 0,35-prosenttista desinfektioliuosta? [Lyhyt S2006/3]

87,5 ml

Prosenttilaskennan strategioita

Perheen vuokramenot olivat 25 % tuloista. Vuokramenot nousivat 15 %. Kuinka monta prosenttia vähemmän rahaa riitti muuhun käyttöön korotuksen jälkeen? [Pitkä K2004/3]

Vihje: Hahmottele ensin tehtävän tietoja taulukkoon lukuarvoilla kuten tehtävässä 31.

5 %

Boolimaljassa on 4,0 litraa sekoitusta, jonka tilavuudesta 70 % on kuohuviiniä ja 30 % mansikkamehua. Kuinka paljon siihen täytyy lisätä kuohuviiniä, jotta mehun osuus on 20 %? [Lyhyt K2014/5]

2,0 litraa

Erään mehun täysmehupitoisuus on 35 %. Litraan mehua lisätään 0,5 litraa vettä. Mikä on laimennetun mehun täysmehupitoisuus?

Noin 23 %.

Hotellihuoneiden hintaa nostettiin 15 %, jolloin kävijämäärä laski 10 %. Miten hotellihuoneista saatavat tulot muuttuivat?

Tulot kasvoivat 3,5 %.

Vuonna 2007 alennettiin parturimaksujen arvonlisäveroa 22 prosentista 8 prosenttiin. Jos alennus olisi siirtynyt täysimääräisenä parturimaksuihin, kuinka monta prosenttia ne olisivat alentuneet? Arvonlisävero ilmoitetaan prosentteina verottomasta hinnasta ja se on osa tuotteen tai palvelun hintaa. [Pitkä K2008/4]

11,5 %

2-prosenttista suolaliuosta haihdutetaan, jotta siitä saadaan 5-prosenttista suolaliuosta.

  1. Kuinka monta prosenttia suolaliuoksen massasta pitää haihduttaa pois?
  2. Kuinka monta prosenttia suolaliuoksen vedestä pitää haihduttaa pois?
  3. Miksi edellisten kohtien vastaukset eivät ole samat? Selitä omin sanoin.

  1. 60 %
  2. Noin 61,2 %

Tuoreissa omenissa on vettä 80 % ja sokeria 4 %. Kuinka monta prosenttia sokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, että kosteusprosentti on 20? [Pitkä K2000/4]

16 %

Kesämokin rakentaminen tuli 25 % arvioitua kalliimmaksi. Rakennustarvikkeet olivat 19 % ja muut kustannukset 28 % arvioitua kalliimpia. Mikä oli rakennustarvikkeiden arvioitu osuus ja mikä lopullinen osuus kokonaisukustannuksista? [Pitkä K2006/4]

Arvioitu osuus 33 % ja lopullinen osuus 32 %.

Vuonna 2001 erään liikeyrityksen ulkomaille suuntautuvan myynnin arvo kasvoi 10 % vuoteen 2000 verrattuna. Samaan aikaan myynnin arvo kotimaassa väheni 5 %. Tällöin koko myynnin arvo kasvoi 6 %. Laske, kuinka monta prosenttia myynnistä meni vuonna 2000 ulkomaille. [Pitkä K2002/3]

73 %

  1. Annika sai 58 000 € perintönä. Kuinka monta euroa Annika maksaa perinnöstä veroa? Mikä on hänen perintöveroprosenttinsa?
  2. Piirrä kuvaaja, josta käy ilmi perintöveron suuruus prosentteina perinnön arvon funktiona, kun perinnön suuruus on välillä 0 € ja 60 000 €.
[Lyhyt K2016/10]

  1. Noin 6,3 %.

Abiturientti saa lahjoituksen, jonka suuruus on verojen jälkeen 12 000 €. Hän sijoittaa sen vuodeksi kahteen rahastoon, joiden vuotuiset korot ovat verojen jälkeen 3,5 % ja 5,5 %.

  1. Lahjoituksesta $x$ euroa sijoitetaan 3,5 % tuoton tarjoavaan rahastoon ja loput toiseen rahastoon. Esitä koko sijoituksen arvo $y$ muuttujan $x$ avulla lausuttuna, kun $0 \leq x \leq 12\,000$.
  2. Piirrä a‐kohdan funktion kuvaaja välillä $0 \leq x \leq 12\,000$.
[Lyhyt S2013/14]

  1. $y = -0{,}02x + 12660$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.