Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Luvut ja laskutoimitukset

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Luvut ja laskutoimitukset

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset reaalilukujen peruslaskutoimitukset ja laskujärjestyksen. Osaat

  • antaa esimerkkejä eri lukualueisiin kuuluvista luvuista
  • päätellä lopputuloksen etumerkin yhteen- ja vähennyslaskussa sekä kerto- ja jakolaskussa
  • laskea murtolukujen summia, erotuksia, tuloja ja osamääriä
  • muodostaa annetun luvun vastaluvun ja käänteisluvun
  • määrittää luvun itseisarvon
  • muuttaa sekaluvun tai desimaalimuodossa esitetyn rationaaliluvun murtolukumuotoon
  • hyödyntää reaalilukujen laskulakeja päässälaskujen helpottamisessa.

Lisäksi tiedät, että määritelmä on matematiikassa sopimus siitä, mitä jollakin käsitteellä tarkoitetaan.

Aloitamme tämän kappaleen tekemällä sopimuksen siitä, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan luonnollisista luvuista. Tällaista sopimusta siitä, mitä jokin nimitys tarkoittaa, sanotaan matematiikassa määritelmäksi. Luonnollisten lukujen määritelmä siis kertoo, mitä luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan.

MÄÄRITELMÄ: LUONNOLLISET LUVUT

Lukumäärien ilmaisemiseen käytettäviä lukuja $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi. Luonnollisten lukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\N$. Siis $$\N = \{0,1,2,3,4, \ldots\}.$$

Luonnollisten lukujen määritelmästä on kaksi erilaista versiota. Tällä kurssilla käytetään edellä esitettyä määritelmää, jonka mukaan myös luku $0$ on luonnollinen luku. Joissakin kirjoissa käytössä on määritelmä, jossa luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan lukuja $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$. Siitä, kumpi määritelmä on parempi, ei ole päästy yksimielisyyteen.

  1. Laske $2\cdot 3$.
  2. Laske $3 \cdot 2$.
  3. Mitä eroa a- ja b-kohtien laskuilla on? Havainnollista esimerkiksi kuvalla. Entä mitä yhteistä niillä on?

Luonnollisia lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, ja tulos on aina luonnollinen luku. Vähennyslaskun ja jakolaskun tulokset sen sijaan eivät välttämättä ole luonnollisia lukuja. Jotta kaikki vähennyslaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä luonnollisten lukujen joukosta kokonaislukujen joukkoon.

  1. Keksi esimerkki luonnollisista luvuista, joiden erotus on luonnollinen luku.
  2. Keksi esimerkki luonnollisista luvuista, joiden erotus ei ole luonnollinen luku.
  3. Mikä ehto luonnollisten lukujen $m$ ja $n$ pitää toteuttaa, jotta erotus $m-n$ on luonnollinen luku? Selitä omin sanoin.

  1. Luvun $m$ pitää olla suurempi tai yhtä suuri kuin $n$ eli $m \geq n$. Silloin $m - n \geq 0$.

Sovitaan seuraavaksi, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan kokonaisluvuista:

MÄÄRITELMÄ: KOKONAISLUVUT

Kokonaislukuja ovat luvut $0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$, $4$, $-4$, $\ldots$ Kokonaislukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\Z$. Siis $$\Z = \{0,1,-1, 2, -2, 3, -3, \ldots\}.$$

Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Positiivisen luvun lisääminen tarkoittaa, että lukusuoralla liikutaan oikealle:

Positiivisen luvun vähentäminen tarkoittaa, että lukusuoralla liikutaan vasemmalle:

Havainnollista lukusuoralla samaan tapaan kuin edellä

  1. summaa $-2+5$
  2. erotusta $-2-5$.

Entä mitä tarkoittaa negatiivisen luvun lisääminen? Laskuista $3+4$ ja $3+(-4)$ täytyy arkijärjenkin mukaan tulla eri tulos. Kun lisätään positiivinen luku, liikutaan lukusuoralla oikealle:

Kun lisätään negatiivinen luku, on siis loogista liikkua lukusuoralla vasemmalle:

Kun vähennetään negatiivinen luku, liikutaan taas päinvastaiseen suuntaan eli oikealle:

Havainnollista lukusuoralla samaan tapaan kuin edellä

  1. summaa $-2+(-5)$
  2. erotusta $-2-(-5)$.

Kaikilla kokonaisluvuilla on olemassa niin sanottu vastaluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä vastaluku tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: VASTALUKU

Luvun $a$ vastaluku $-a$ tarkoittaa lukua, joka lisättynä lukuun $a$ antaa tuloksen $0$: $$a + (-a) = 0$$

  1. Mikä on luvun $3$ vastaluku?
  2. Mikä on luvun $-6$ vastaluku? Kirjoita vastaus kahdella erilaisella tavalla.
  3. Merkitse kaikki a- ja b-kohtien luvut lukusuoralle. Vertaa luvun ja sen vastaluvun etäisyyttä nollaan. Mitä voit sanoa siitä? Selitä omin sanoin.

  1. Luvun $3$ vastaluku on $-3$.
  2. Luvun $-6$ vastaluku on $-(-6)$ eli $6$.
  3. Luku ja sen vastaluku ovat aina yhtä kaukana nollasta. Etäisyys on aina positiivinen ja yhtä suuri kuin luvun ns. itseisarvo. Esimerkiksi luvun $-6$ etäisyys nollasta on $6$.

Edellisessä tehtävässä huomattiin, että luku ja sen vastaluku ovat aina yhtä kaukana nollasta. Luvun etäisyyttä nollasta sanotaan luvun itseisarvoksi.

MÄÄRITELMÄ: ITSEISARVO

Luvun $a$ itseisarvo tarkoittaa lukusuoralla luvun $a$ etäisyyttä nollasta. Luvun $a$ itseisarvoa merkitään $|a|$.

  1. Mikä on luvun $3$ itseisarvo, eli $|3|$?
  2. Määritä $|-6|$.
  3. Määritä $|0|.$

  1. Luku $3$ on positiivinen, joten sen itseisarvo on luku itse, eli $|3|=3$.
  2. Luku $-6$ on negatiivinen, joten sen itseisarvo on sen vastaluku, eli $|-6|=-(-6)=6$.
  3. Luvun $0$ etäisyys nollasta on nolla, eli $|0|=0.$

Palataan takaisin laskutoimituksiin. Huomataan, että erotus voidaan muuttaa summaksi, sillä vähennyslasku on sama kuin vastaluvun lisääminen: $$3-4 = 3+(-4).$$ Summa voidaan muuttaa erotukseksi, sillä yhteenlasku on sama kuin vastaluvun vähentäminen: $$3+4 = 3-(-4).$$

  1. Kirjoita erotukset $15-(-8)$ ja $-23-4$ summina. Tarkista laskemalla kummankin lausekkeen tulokset esimerkiksi syöttämällä ne laskimeen.
  2. Kirjoita summat $75+(-32)$ ja $843+59$ erotuksina. Tarkista laskemalla tulokset.

  1. Erotukset summina: \begin{align*} 15-(-8) &= 15 + 8 \\[1mm] -23-4 &= -23 + (-4) \end{align*}
  2. Summat erotuksina: \begin{align*} 75+(-32) &= 75 - 32 \\[1mm] 843+59 &= 843 - (-59) \end{align*}

Myös kokonaislukujen kertolaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Esimerkiksi tuloa $2\cdot 3$ on havainnollistettu alla:

Tulo $-2 \cdot 3$ voidaan ajatella sen vastalukuna. Koska $2 \cdot 3 = 6$, niin $$-2 \cdot 3 = -6.$$ Tuloa $2\cdot (-3)$ voidaan havainnollistaa vastaavasti:

Tulo $-2 \cdot (-3)$ saadaan sen vastalukuna. Koska $2 \cdot (-3) = -6$, niin $$-2\cdot (-3) = -(-6) = 6.$$

  1. Keksi kaksi erilaista tilannetta, joissa kertolaskun tulos on positiivinen.
  2. Keksi kaksi erilaista tilannetta, joissa kertolaskun tulos on negatiivinen.
  3. Selitä omin sanoin, milloin kertolaskun $ab$ tulos on positiivinen ja milloin negatiivinen.
  4. Millaisissa tilanteissa kertolaskun $ab$ tulos on nolla?

  1. Tulo $ab$ on positiivinen siinä tapauksessa, että tulon tekijät $a$ ja $b$ ovat kumpikin positiivisia tai kumpikin negatiivisia, siis samanmerkkisiä. Tulo $ab$ on negatiivinen siinä tapauksessa, että tulon tekijöistä toinen on positiivinen ja toinen negatiivinen eli tulon tekijät ovat erimerkkisiä.
  2. Tulo on nolla täsmälleen niissä tapauksissa, joissa jompi kumpi tai molemmat tulon tekijöistä ovat nollia.

Laske seuraavat tulot päässä tai kynän ja paperin avulla:

  1. $7 \cdot 4$
  2. $-8 \cdot (-7)$
  3. $-5 \cdot 4$
  4. $9 \cdot (-3)$

Voit tarkistaa tulokset laskimella.

Kokonaislukujen summat, erotukset ja tulot ovat aina kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun osamäärä sen sijaan ei välttämättä ole kokonaisluku. Jotta kaikki jakolaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä kokonaislukujen joukosta rationaalilukujen joukkoon.

Keksi esimerkki kokonaisluvuista, joiden osamäärä

  1. on kokonaisluku
  2. ei ole kokonaisluku.
  3. Mikä ehto kokonaislukujen $m$ ja $n$ pitää toteuttaa, jotta osamäärä $\dfrac{m}{n}$ on kokonaisluku? Selitä omin sanoin.

  1. Luvun $m$ pitää olla luvun $n$ monikerta. Se tarkoittaa, että luku $m$ voidaan kirjoittaa tulona $m = kn$, missä $k$ on jokin kokonaisluku. Silloin jakolasku menee tasan: $$ \dfrac{m}{n} = \dfrac{kn}{n} = k. $$

MÄÄRITELMÄ: RATIONAALILUVUT

Rationaalilukuja ovat luvut, jotka voidaan kirjoittaa murtolukumuodossa $$\frac{m}{n},$$ missä osoittaja $m$ ja nimittäjä $n$ ovat kokonaislukuja ja nimittäjä $n \neq 0$. Rationaalilukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\Q$.

Ovatko seuraavat luvut rationaalilukuja? Esitä ne murtolukumuodossa, jos mahdollista.

  1. $3$
  2. $0{,}5$
  3. $-0{,}1$
  4. $0{,}75$.

  1. Kyllä: $\ 3 = \dfrac{3}{1}$.
  2. Kyllä: $\ 0{,}5 = \dfrac{1}{2}$.
  3. Kyllä: $\ -0{,}1 = -\dfrac{1}{10}$
  4. Kyllä: $\ 0{,}75 = \dfrac{3}{4}$.

Huom. luvut voidaan esittää murtolukumuodossa myös muilla tavoilla, jotka saadaan näistä muodoista laventamalla.

Jos murtolukumuodossa esitettyjä rationaalilukuja lasketaan yhteen, pitää luvut ensin laventaa samannimisiksi. Tarkastellaan esimerkiksi summaa $$\dfrac{3}{8} + \frac{5}{6}$$ Sitä voidaan havainnollistaa piirroksella:

Jotta väritetyn alueen kokonaismäärä voidaan laskea, jaetaan kumpikin suorakulmio samanlaisiin osiin seuraavasti:

  • Jaetaan ensimmäinen suorakulmio pystysuunnassa kuuteen osaan samalla tavalla kuin toinen suorakulmio.
  • Jaetaan toinen suorakulmio vaakasuunnassa kahdeksaan osaan samalla tavalla kuin ensimmäinen suorakulmio.

Näin saadaan molempiin samankokoiset ruudut:

Tämä vastaa yhteenlaskettavien laventamista samannimisiksi: \begin{align*} \dfrac{3}{\textcolor{blue}{8} } + \frac{5}{\textcolor{red}{6} } &= \dfrac{\textcolor{red}{6} \cdot 3}{\textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{8} } + \frac{\textcolor{blue}{8} \cdot 5}{\textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{6} } \\[2mm] &= \dfrac{18}{48} + \frac{40}{48} \end{align*} Kumpikin suorakulmio tulee jaetuksi $48$ osaan, mutta väritetyn osan pinta-ala pysyy samana. Nähdään, että sinisellä on väritetty yhteensä 58 pientä ruutua eli $\frac{58}{48}$ suorakulmion pinta-alasta.

Järjestetään palat uudelleen siirtämällä mahdollisimman monta väritettyä palaa ensimmäiseen suorakulmioon. Havaitaan, että joka toinen vaakasuuntainen jakoviiva voidaan jättää pois:
Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} + \frac{5}{6} &= \dfrac{58}{48} \\[2mm] &=\dfrac{2\cdot 29}{2 \cdot 24} \\[2mm] &=\dfrac{29}{24} \end{align*} Luku $29$ ei ole jaollinen millään ykköstä suuremmalla luvulla paitsi itsellään, joten supistamista ei voi jatkaa tämän pidemmälle.

Laske kynän ja paperin avulla. Kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{6}$
  2. $\dfrac{9}{4} + \dfrac{8}{9}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Kun murtolukua supistetaan, pitää löytää sellainen luku, joka jakaa sekä osoittajan että nimittäjän. Aikaisemmassa esimerkissä päädyttiin aluksi tulokseen $$ \dfrac{58}{48} $$ Sekä osoittaja että nimittäjä ovat parillisia, joten ne voidaan jakaa kahdella ja jako menee tasan: $$ \dfrac{58}{2} = 29 \quad \text{ ja } \quad \dfrac{48}{2} = 24. $$ Murtoluku voidaan siis supistaa kahdella: $$ \dfrac{58^{(2}}{48} = \dfrac{29}{24} $$ Tämän jälkeen pitää muistaa tutkia, voiko supistamista jatkaa. Osoittajan ja nimittäjän yhteisiä tekijöitä voi löytää seuraavien tietojen avulla:

  • Jos luku päättyy numeroon 0, se on jaollinen kymmenellä.
  • Jos luku päättyy numeroon 5 tai 0, niin se on jaollinen viidellä.
  • Jos luku on parillinen eli päättyy numeroon 2, 4, 6, 8 tai 0, niin se on jaollinen kahdella.
  • Jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin myös luku on jaollinen kolmella. Esimerkiksi luvun $234$ numeroiden summa on $2 + 3 + 4 = 9$. Koska $9$ on jaollinen kolmella, myös luku $234$ on jaollinen kolmella. On mahdollista perustella, että kysymys ei ole sattumasta.

Supista seuraavat luvut mahdollisimman pitkälle:

  1. $\dfrac{2}{4}$
  2. $\dfrac{8}{12}$
  3. $\dfrac{15}{35}$
  4. $\dfrac{20}{100}$.

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Murtolukujen vähennyslasku noudattaa samoja periaatteita kuin yhteenlasku: vähennettävä ja vähentäjä lavennetaan aina samannimisiksi ennen erotuksen laskemista. Yleispätevä tapa on valita laventajaksi aina toisen murtoluvun nimittäjä. Esimerkiksi erotuksessa $$ \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{15} $$ voidaan ensimmäinen murtoluku laventaa luvulla 15 ja toinen luvulla 6: \begin{align*} \dfrac{1}{\textcolor{blue}{6} } - \dfrac{2}{\textcolor{red}{15} } &= \dfrac{\textcolor{red}{15} \cdot 1}{\textcolor{red}{15} \cdot \textcolor{blue}{6}} - \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot 2}{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{15} } \\[2mm] &= \dfrac{15}{90} - \dfrac{12}{90} = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30} \end{align*} Joskus on mahdollista käyttää lavennuksessa pienempiä lukuja. Esimerkiksi tässä tapauksessa kumpikin nimittäjä on luvun 30 tekijä: $$ 5 \cdot 6 = 30 \quad \text{ ja } \quad 2 \cdot 15 = 30. $$ Lavennus voidaan tehdä niin, että molempien murtolukujen nimittäjäksi tulee luku 30: \begin{align*} \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{15} &= \dfrac{\textcolor{red}{5} \cdot 1}{\textcolor{red}{5} \cdot 6} - \dfrac{\textcolor{blue}{2} \cdot 2}{\textcolor{blue}{2} \cdot 15 } \\[2mm] &= \dfrac{5}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{1}{30} \end{align*} Tärkeintä on kuitenkin hallita laventamisen yleispätevä tapa, koska se toimii kaikissa tilanteissa.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$
  2. $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$
  3. $\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{4}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, voidaan tilanne palauttaa yhteenlaskuun. Esimerkiksi \begin{align*} 3 \cdot \frac{2}{7} &= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \\[2mm] &= \frac{2+2+2}{7} \\[2mm] &= \frac{3\cdot 2}{7} \\[2mm] &= \frac{6}{7}. \end{align*}

  1. Laske $\ 5\cdot \dfrac{2}{13}$
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulo $$a \cdot \dfrac{b}{c}$$

  1. $\dfrac{10}{13}$
  2. $a \cdot \dfrac{b}{c} = \dfrac{ab}{c}$

Tarkastellaan seuraavaksi tuloa $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6}$$ Tämä kertolasku voidaan tulkita niin, että otetaan kolme kahdeksasosaa luvusta $\frac{5}{6}$:

  • Vasemmalla on suorakulmio, josta viisi kuudesosaa on väritetty vihreäksi.
  • Oikealla suorakulmio on jaettu kahdeksaan osaan vaakasuunnassa ja vihreästä alueesta on otettu kolme kahdeksasosaa.

Nyt vihreän alueen suuruus on 15 ruutua kaikista 48 ruudusta. Siis $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48}$$ Väritetyt palat voidaan järjestää uudelleen, jolloin huomataan, että pystysuuntaisia jakoviivoja voidaan vähentää:

Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} &= \frac{15}{48} \\[2mm] &=\frac{3\cdot 5}{3\cdot 16} \\[2mm] &=\frac{5}{16} \end{align*}

Edellä pääteltiin, että $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48}.$$

  1. Selitä omin sanoin, mitä murtolukujen osoittajille ja nimittäjille pitää tehdä, että päätyy tällaiseen tulokseen.
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulo $$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}.$$

  1. Osoittajat pitää kertoa keskenään ja nimittäjät pitää kertoa keskenään.
  2. $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

Murtolukujen kertolaskussa supistuksia voi tehdä jo ennen kertolaskun laskemista, jolloin luvut pysyvät pienempinä ja päässälaskut ovat helpompia. Esimerkissä tutkittiin tuloa $$ \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} $$ Kumpaakaan murtolukua ei voi supistaa pidemmälle, mutta toisen murtoluvun osoittaja ja toisen nimittäjä ovat kumpikin kolmella jaollisia: $$ \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3} }{8} \cdot \frac{5}{2 \cdot \textcolor{red}{3} } $$ Koska osoittajat ja nimittäjät kuitenkin kerrotaan keskenään, voidaan supistaminen tehdä jo ennen kertolaskua: $$ \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3} }{8} \cdot \frac{5}{2 \cdot \textcolor{red}{3} } = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{16} $$

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin. Kannattaa miettiä jo hyvissä ajoin, onko supistaminen mahdollista.

  1. $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{10}$
  2. $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{7}$

Voit tarkistaa vastauksesi laskimella.

Kaikilla rationaaliluvuilla nollaa lukuunottamatta on olemassa niin sanottu käänteisluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä käänteisluku tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTEISLUKU

Oletetaan, että $a \neq 0$. Luvun $a$ käänteisluku $$\frac{1}{a}$$ tarkoittaa lukua, joka luvulla $a$ kerrottuna antaa tuloksen yksi: $$a \cdot \frac{1}{a} = 1$$

  1. Mikä on luvun $4$ käänteisluku? Anna vastaus murtolukumuodossa ja desimaalilukumuodossa.
  2. Mikä on luvun $\frac{2}{3}$ käänteisluku? Anna vastaus murtolukumuodossa ja desimaalilukumuodossa.

  1. $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$
  2. $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$

Edellisen tehtävän b-kohta antaa yhden selityksen nimitykselle käänteisluku. Murtoluvun käänteisluku saadaan siinä kääntämällä osoittaja ja nimittäjä toisikseen. Kysymyksessä ei ole sattuma, kuten seuraava teoreema osoittaa.

Teoreemat (toiselta nimeltään lauseet) ovat matemaattisia tosiasioita, jotka voidaan perustella todeksi määritelmien pohjalta. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $m \neq 0$ ja $n \neq 0$. Tällöin luvut $$ \dfrac{m}{n} \quad \text{ ja } \quad \dfrac{n}{m} $$ ovat toistensa käänteislukuja.

Perustelu: Kumpikin osamäärä on määritelty ja nollasta poikkeava, koska $m \neq 0$ ja $n \neq 0$. Lisäksi $$ \dfrac{m}{n} \cdot \dfrac{n}{m} = \dfrac{mn}{mn} = 1, $$ joten luvut ovat toistensa käänteislukuja.

Tutkitaan vielä rationaalilukujen jakolaskua. Aloitetaan tutkimalla, miten voidaan havainnollistaa jakolaskua $5:2$.

Alla on kuvattu luku $5$ viitenä värillisenä neliönä. Laskutoimitusta $5 : 2$ voidaan havainnollistaa kahdella tavalla:

  • Viisi neliötä jaetaan kahdelle henkilölle niin, että kumpikin saa kaksi kokonaista ja yhden puolikkaan:
  • Viidestä neliöstä muodostetaan kahden neliön kokoista suorakulmiota:

Molemmilla tavoilla päästään samaan lopputulokseen: $$\frac{5}{2} = 2{,}5.$$ Jos jakajana on murtoluku, jakolaskua on helpompi havainnollistaa näistä tavoista jälkimmäisellä. Esimerkiksi jakolaskua $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6}$$ voi havainnollistaa seuraavasti:

  • Vasemmalla on suorakulmio, josta kolme kahdeksasosaa on väritetty keltaiseksi.
  • Oikealla suorakulmio on jaettu pystysuunnassa vielä kuuteen osaan ja viisi kuudesosaa on rajattu paksuilla viivoilla.

Tehtävänä on siirtää kaikki värilliset ruudut tämän alueen sisään ja katsoa, kuinka iso osuus täyttyy. Katsotaan siis, kuinka monta viittä kuudesosaa voidaan muodostaa kolmesta kahdeksasosasta:

Havaitaan, että värillisiä ruutuja on 18 kpl ja ruutuja kaikkiaan 40 kpl. Kun ruudut järjestetään sopivasti, voidaan joka toinen vaakaviiva jättää pois ja tulos voidaan ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} : \frac{5}{6} &= \frac{18}{40} \\[2mm] &=\frac{2\cdot 9}{2\cdot 20} \\[2mm] &= \frac{9}{20}. \end{align*}

Edellä pääteltiin, että $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6} = \frac{18}{40}.$$

  1. Päättele esimerkiksi kokeilemalla, millä luvulla luku $$\dfrac{3}{8}$$ pitäisi kertoa, että tuloksena olisi $$\dfrac{18}{40}$$
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan jakolasku $$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$$ muutetaan kertolaskuksi.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin. Käytä edellisessä tehtävässä kehittämääsi sääntöä, jolla jakolasku muutetaan kertolaskuksi. Mieti ennen kertolaskun laskemista, onko supistaminen mahdollista.

  1. $\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10}$
  2. $\dfrac{2}{5} : \dfrac{1}{4}$

Voit tarkistaa vastauksesi laskimella tai tietokoneella.

Kootaan vielä tässä kappaleessa opitut murtolukujen laskusäännöt yhteen:

YHTEENVETO

  • Yhteenlaskussa ja vähennyslaskussa murtoluvut lavennetaan samannimisiksi. Sen jälkeen osoittajilla tehdään yhteen- tai vähennyslasku: \begin{align*} \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} &= \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad + bc}{bd} \\[3mm] \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} &= \dfrac{ad}{bd} - \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad - bc}{bd} \end{align*}
  • Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, kerrotaan vain osoittaja: $$ a \cdot \dfrac{b}{c} = \dfrac{ab}{c} $$
  • Murtolukujen kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään: $$ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} $$
  • Murtolukujen jakolasku muutetaan kertolaskuksi. Kerrotaan jakajan eli jälkimmäisen luvun käänteisluvulla: $$ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc} $$

Etsi MAOL-taulukkokirjasta rationaalilukujen laskusäännöt. Varmista, että ymmärrät merkinnät, joita siellä käytetään.

Kolme opiskelijaa treenasi murtoluvuilla laskemista. Opiskelija A laski oman tehtävänsä seuraavasti: $$\frac{6+9}{3} = \frac{6}{3}+9=2 + 9 = 11.$$ Opiskelija B laski saman tehtävän kuin A, mutta sai tulokseksi $$\frac{6+9}{3}=\frac{6}{3}+\frac{9}{3}=2+3=5.$$ Opiskelija C puolestaan laski oman tehtävänsä näin $$\frac{6\cdot 9}{3} = \frac{6}{3}\cdot 9=2\cdot 9 = 18.$$ Opiskelija D laski saman tehtävän kuin C, mutta sai tulokseksi $$\frac{6\cdot 9}{3} = \frac{6}{3}\cdot \dfrac{9}{3}=2\cdot 3 = 6.$$

  1. Mitä eroa opiskelijoiden A ja B ratkaisuilla oli? Selitä omin sanoin.
  2. Mitä eroa opiskelijoiden C ja D ratkaisuilla oli? Selitä omin sanoin.
  3. Kuka opiskelijoista päätyi oikeaan lopputulokseen omassa laskussaan? Missä muut tekivät virheen?
  4. Kirjoita ohje, jonka avulla tällaisilta virheiltä vältytään jatkossa. Voit varmistaa päättelysi oikeellisuuden tarkistamalla laskut laskimella.

  1. Jos supistat osamäärässä summaa, laske ensin yhteenlasku. Jos supistat osamäärässä tuloa, supista vain yhtä tulon tekijää.

Joskus murtolukujen yhteydessä esiintyy niin sanottuja sekalukuja. Esimerkiksi luku $\frac{7}{3}$ saatetaan ilmoittaa muodossa $$2\frac{1}{3}.$$ Tästä merkinnästä näkyy suoraan luvun kokonaisosa, joka on $2$. Sekaluku on oikeastaan lyhennysmerkintä summalle: $$2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$ Sekalukumuodossa annetut luvut kannattaakin aina muuttaa tavalliseen murtolukumuotoon ennen laskutoimituksia. Huomaa, että negatiivisen sekaluvun etumerkki vaikuttaa myös murtolukuosaan: \begin{align*} -7\frac{9}{10} &= -\left(7 + \frac{9}{10}\right) \\[2mm] &= -7 - \frac{9}{10} \\[2mm] &= -\frac{70}{10} - \frac{9}{10} \\[2mm] &= -\frac{79}{10}. \end{align*}

  1. Muuta luvut $4\dfrac{1}{2}\, $ ja $-2\dfrac{1}{3}$ murtolukumuotoon.
  2. Muuta luvut $\dfrac{12}{5}\, $ ja $\, -\dfrac{8}{3}$ sekalukumuotoon.

  1. $4\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\ $ ja $\ -2\dfrac{2}{3} = -\dfrac{7}{3}$
  2. $\dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5}\ $ ja $\ -\dfrac{8}{3} = -2\dfrac{2}{3}$

Rationaaliluvut voidaan murtolukumuodon lisäksi esittää desimaalimuodossa. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{3365}{673} &= 5 \\[2mm] \frac{45}{8} &= 5{,}625 \\[2mm] \frac{3}{22} &= 0{,}1363636363636\ldots \\ \end{align*} Rationaaliluvun desimaalimuoto voi siis olla päättyvä, tai päättymätön ja jaksollinen. Joillakin rationaaliluvuilla jakso on niin pitkä, että laskimen antama likiarvo näyttää jaksottomalta: esimerkiksi $$\frac{18}{295} = 0{,}061016949153\ldots$$ Voidaan kuitenkin osoittaa, että kaikki rationaalilukujen päättymättömät desimaalikehitelmät ovat jaksollisia.

Muuta murtolukumuotoon ja supista mahdollisimman pitkälle:

  1. $0{,}1$
  2. $0{,}64$
  3. $0{,}285$
  4. $2{,}376$.

Vinkki: Mieti, mitä murto-osia desimaaliluku ilmaisee. Esimerkiksi $0{,}7$ on seitsemän kymmenesosaa. Siis $$ 0{,}7 = \dfrac{7}{10} $$

  1. $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$
  2. $0{,}64 = \dfrac{64}{100} = \dfrac{16}{25}$
  3. $0{,}285 = \dfrac{285}{1000} = \dfrac{57}{200}$
  4. $2{,}376 = \dfrac{2376}{1000} = \dfrac{297}{125}$.

Päättyvässä desimaalimuodossa oleva luku voidaan aina muuttaa murtolukumuotoon samalla periaatteella kuin edellisessä tehtävässä. Jakajaksi otetaan jokin luvuista 10, 100, 1000, 10000, ... riippuen siitä, mikä on pienin desimaaliluvussa näkyvä murto-osa. Esimerkiksi luvussa $3{,}142$ viimeinen numero 2 ilmaisee tuhannesosia, joten jakajaksi valitaan luku 1000. Siis $$ 3{,}142 = \dfrac{3142}{1000} = \dfrac{1571}{500}. $$ Päättymättömien jaksollisten desimaalilukujen muuttamista murtolukumuotoon harjoitellaan tehtäväsarjan II tehtävissä 1.44 ja 1.45.

Edes rationaaliluvut eivät riitä kaikkien asioiden mittaamiseen. Esimerkiksi alla on neliö, jonka sivun pituus on $1$. Tämän neliön halkaisijan pituus $x$ on luku, jota ei voi esittää murtolukumuodossa.

Pythagoraan lauseen mukaan halkaisijan pituus saadaan yhtälöstä $$1^2 + 1^2 = x^2$$ eli $$x^2 = 2.$$ On kuitenkin mahdollista näyttää, että minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole $2$. Tästä voidaan päätellä, että halkaisijan pituus $x$ ei ole rationaaliluku.

Sitä positiivista lukua, jonka toinen potenssi on $2$, kutsutaan luvun 2 neliöjuureksi ja merkitään $\sqrt{2}$. Halkaisijan pituus on siis $x = \sqrt{2}$. Sille voidaan laskea likiarvo: $x = \sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

Luku $\sqrt{2}$ on yksi esimerkki irrationaaliluvusta eli lukusuoran luvusta, jota ei voi esittää murtolukumuodossa. Muita irrationaalilukuja ovat esimerkiksi $\sqrt{3}$ ja $\pi$.

Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon. Reaalilukujen joukkoa havainnollistetaan usein lukusuoralla, jossa jokaista reaalilukua vastaa täsmälleen yksi piste.

Jokainen reaaliluku voidaan esittää desimaalimuodossa ainakin yhdellä tavalla. Kuten aikaisemmin todettiin, rationaalilukujen desimaalikehitelmät ovat päättyviä, tai päättymättömiä ja jaksollisia. Irrationaalilukujen desimaalikehitelmät puolestaan ovat päättymättömiä ja jaksottomia.

  1. Mitkä ovat luvun $\pi$ desimaalikehitelmän kymmenen ensimmäistä numeroa?
  2. Tutki esimerkiksi googlaamalla, kuinka monta numeroa luvun $\pi$ desimaalikehitelmästä on saatu laskettua.
  3. Minkä geometrisen suhteen luku $\pi$ ilmaisee?

Jotta laskutoimituksia yhdistettäessä ei tarvittaisi valtavaa määrää sulkuja laskujärjestyksen osoittamiseksi, on sovittu peruslaskutoimitusten laskujärjestys, jota kaikki reaaliluvut noudattavat. Miten sen mukaan lasketaan esimerkiksi seuraavan lausekkeen arvo? $$7-6^2:4 \cdot 2 + (3-8)^2 \cdot 9 +1$$ Laskujärjestys on seuraava:

  1. Ensimmäisenä lasketaan sulkulausekkeet. Jos lausekkeessa on useita sulkeita, laskeminen aloitetaan sisimmistä sulkeista ja edetään ulospäin. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-6^2:4 \cdot 2 + (-5)^2 \cdot 9 +1.$$
  2. Seuraavaksi lasketaan potenssit. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-36:4 \cdot 2 + 25 \cdot 9 +1.$$
  3. Tämän jälkeen lasketaan kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-18 + 225 +1.$$
  4. Viimeisenä lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Vastaukseksi saamme siis $$215.$$

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $8 \cdot 7 -48 :8 +4$
  2. $8 \cdot 7 -48 : (8+4)$
  3. $8 \cdot (7 -48 : 8 +4)$
  4. $8 \cdot 7 - (48 :8 +4)$

  1. $8 \cdot 7 -48 :8 +4 = 54$
  2. $8 \cdot 7 -48 : (8+4) = 52$
  3. $8 \cdot (7 -48 : 8 +4) = 40$
  4. $8 \cdot 7 - (48 :8 +4) = 46$

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $2 + 3 \cdot \dfrac{5}{6}$
  2. $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5}$

  1. $\dfrac{9}{2} = 4{,}5$
  2. $\dfrac{7}{15}$

Reaalilukujen yhteenlaskun tutut ominaisuudet on nimetty seuraavasti:

  • Vaihdannaisuus tarkoittaa, että yhteenlaskettavien järjestyksen voi vaihtaa: $$a + b = b + a.$$
  • Liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset yhteenlaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(a + b)+c = a + (b + c).$$ Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.
  • Osittelulain mukaan sulut voidaan kertoa auki tai voidaan erottaa yhteinen tekijä: $$a(b+c) = ab + ac.$$

Edellä tarkasteltiin reaalilukujen yhteenlaskua. Toinen tärkeä laskutoimitus on kertolasku. Selitä omin sanoin, mitä tarkoittaa reaalilukujen kertolaskun

  1. vaihdannaisuus
  2. liitännäisyys.

Keksi lisäksi esimerkit, jotka havainnollistavat näitä ominaisuuksia.

  1. Kertolaskun vaihdannaisuus tarkoittaa, että tulon tekijöiden järjestyksen voi vaihtaa: $$ab = ba.$$ Esimerkiksi $3 \cdot 4 = 12$ ja $4 \cdot 3 = 12$. Sama tulos riippumatta tulon tekijöiden järjestyksestä.
  2. Kertolaskun liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset kertolaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(ab)c = a(bc).$$ Esimerkiksi $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ ja $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$. Sama tulos riippumatta siitä, kumpi tulo lasketaan ensin. Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.

Tehtävänä on muokata seuraavat laskut vaihdannaisuuden, liitännäisyyden ja osittelulain avulla sellaiseen muotoon, että ne on mahdollisimman helppo laskea päässä.

  1. Laske liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta hyödyntäen $993 + (856 + 7)$.
  2. Laske liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta hyödyntäen $(4\cdot 76) \cdot 25$.
  3. Laske osittelulakia hyödyntäen $769 \cdot 7 + 769 \cdot 3$.
  4. Laske osittelulakia hyödyntäen $25 \cdot 42$.

Välivaiheet:

  1. $1000 + 856$
  2. $100 \cdot 76$
  3. $769 \cdot 10$
  4. $25 \cdot 40 + 25\cdot 2 = 1000 + 50$

Murtoluvuilla laskeminen

Jos sinulla on aikaa, niin harjoittele murtoluvuilla laskemista tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Pelissä käytetään jakoviivana merkkiä /. Esimerkiksi yksi kolmasosa merkitään 1/3. Anna vastaukset mahdollisimman supistetussa muodossa.

Laskujärjestys

Harjoittele oikeaa laskujärjestystä tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Summa ja erotus

Ilmaise luku $-5$ mahdollisimman monella tavalla summana tai erotuksena lukujen $4$ ja $9$ sekä niiden vastalukujen avulla. Keksitkö neljä erilaista tapaa?

Laskujärjestys

Laske päässä

  1. $20 - 3\cdot 4 + 5$
  2. $20 - (3\cdot 4 + 5)$
  3. $(20 - 3)\cdot 4 + 5$

Onko a-kohdan lausekkeeseen mahdollista lisätä sulkuja vielä jollakin tavalla niin, että tulos ei ole mikään edellisistä? Saat käyttää niin paljon sulkuja kuin haluat.

  1. 13
  2. 3
  3. 73

Vastaluku ja käänteisluku

Laske lukujen $3$ ja $-12$

  1. summan vastaluku
  2. vastalukujen erotus
  3. käänteislukujen tulo
  4. osamäärän käänteisluku.

  1. $9$
  2. $-15$
  3. $-\dfrac{1}{36}$
  4. $-4$.

Vastaluku

Keksi esimerkki luvusta $a$, jolla pätee

  1. $-a < a$
  2. $-a > a$
  3. $-a = a$.

Jakolasku ja kertolasku

Jakolasku ja kertolasku liittyvät toisiinsa seuraavasti: $$\frac{a}{b} = c,$$ jos ja vain jos $a = bc$. Tarkista kertolaskun avulla, ovatko seuraavat jakolaskut oikein:

  1. $\dfrac{56}{7} = 8$
  2. $\dfrac{682}{16} = 42$
  3. $\dfrac{3}{0} = 1$

Onko c-kohdan jakolasku mahdollista korjata oikeaksi vaihtamalla luvun $1$ paikalle jokin toinen luku? Selitä omin sanoin.

  1. oikein
  2. väärin
  3. väärin

Rationaaliluvut

Järjestä seuraavat luvut pienimmästä suurimpaan: $$\frac{2}{3},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{7}{10}, \,\frac{4}{15}.$$

$$\frac{4}{15},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{2}{3},\, \frac{7}{10}.$$

Lukualueet

  1. Keksi jokin kokonaisluku, joka ei ole luonnollinen luku.
  2. Keksi jokin rationaaliluku, joka on myös luonnollinen luku.
  3. Keksi jokin rationaaliluku, joka ei ole kokonaisluku.
  4. Onko mahdollista keksiä sellainen kokonaisluku, joka ei ole rationaaliluku?

Kertolasku ja supistaminen

Laske seuraavat tulot. Supista ennen kertolaskujen laskemista, niin selviät helpommalla.

  1. $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{7}$
  2. $\dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{3}{16}$
  3. $\dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{6}{25}$.

  1. $\frac{2}{7}$
  2. $\frac{1}{40}$
  3. $\frac{4}{15}$

Murtolukujen kertolasku

Laske, kuinka paljon on

  1. kaksi viidesosaa luvusta $\dfrac{3}{4}$
  2. kolmasosa luvusta $\dfrac{5}{7}$
  3. neljä viidestoistaosaa luvusta $\dfrac{5}{12}$.

  1. $\frac{3}{10}$
  2. $\frac{5}{21}$
  3. $\frac{1}{9}$

Tulot ja osamäärät

Merkitse "viidesosa luvusta $a$"

  1. osamääränä
  2. tulona.

  1. $\dfrac{a}{5}$
  2. $\dfrac{1}{5}a$

Murtolukujen jakolasku

Laske

  1. $\dfrac{2}{5} : \dfrac{3}{7}$
  2. $\dfrac{3}{10} : \dfrac{3}{4}$
  3. $\dfrac{5}{8} : \dfrac{1}{6}$.

  1. $\frac{14}{15}$
  2. $\frac{2}{5}$
  3. $\frac{15}{4}$

Murtolukujen jakolasku

Muuta kokonaisluku murtolukumuotoon ja laske

  1. $\dfrac{2}{3} : 10$
  2. $4 : \dfrac{3}{8}$
  3. $\dfrac{2}{7} : (-6)$.

  1. $\frac{1}{15}$
  2. $\frac{32}{3}$
  3. $-\frac{1}{21}$

Rationaaliluvun desimaalimuoto

Kirjoita seuraavat luvut desimaalimuodossa. Jos desimaalikehitelmä on päättymätön, kirjoita lisäksi näkyviin, mikä sen jakso on.

  1. $\dfrac{9}{10}$
  2. $\dfrac{5}{11}$
  3. $\dfrac{7}{12}$
  4. $\dfrac{2}{7}$.

  1. $0{,}9$
  2. $0{,}454545454545\ldots$, jakso $45$
  3. $0{,}583333333333\ldots$, jakso $3$
  4. $0{,}285714285714\ldots$, jakso $285714$

Desimaalimuodosta murtolukumuotoon

Tehtävänä on muuttaa luku $q = 0{,}618181818\ldots$ murtolukumuotoon.

  1. Kerro luku $q$ luvulla $100$.
  2. Laske erotus $100q-q$. Onko sen desimaalimuoto päättyvä vai päättymätön?
  3. Mitä on $99q$? Ratkaise saamastasi yhtälöstä luvun $q$ murtolukumuoto. Tarvittaessa lavenna niin, että sekä osoittaja että nimittäjä ovat kokonaislukuja. Supista lopuksi, jos mahdollista.

Desimaalimuodosta murtolukumuotoon

Sovella edellisen tehtävän menetelmää ja muuta luku $q = 0{,}9999999\ldots$ murtolukumuotoon.

Laskujärjestys

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{4}{3}$
  2. $\left(\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2}\right) \cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{4}{3}$
  3. $\left(\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\right) : \dfrac{4}{3}$

  1. $\dfrac{23}{30}$
  2. $\dfrac{1}{10}$
  3. $\dfrac{7}{20}$

Laskulait

Keksi esimerkki, joka osoittaa, että reaalilukujen vähennyslasku ei ole

  1. vaihdannainen
  2. liitännäinen.

Reaalilukujen desimaalikehitelmät

Keksi jokin reaaliluku, jolla on kaksi erilaista desimaalikehitelmää. Millaiset ne ovat?
Vinkki: tehtävä 1.45.

Jussi laskee päässä kertolaskun seuraavasti: \begin{align*} 27 \cdot 31 &= 20 \cdot 30 + 7 \cdot 30 + 20 \cdot 1+7 \cdot 1 \\ &= 600 + 210 + 20 + 7 \\ &= 837. \end{align*} Onko Jussin päättely oikein? Perustele.
[Lyhyt K2016/2c]

Jussi on käyttänyt sääntöä $(10a + b)(10c + d) = 10c\cdot 10a + 10cb + 10ad + bd$, joka on pätevä.

Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää 21,90 €, Sannan jäädessä 28,20 € ja matkan loppusumma on 33,50 €. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan?
[Lyhyt K2013/4]

Alpo maksaa 7,30 €; Sanna maksaa 10,45 € ja Pauli maksaa 15,75 €.

Muuta sekaluvut murtolukumuotoon ja laske sen jälkeen:

  1. $2\dfrac{1}{2}- 1\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{3}{4}$
  2. $\left(1\dfrac{1}{2}- 3\dfrac{1}{4}\right)\cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{14}{15}$
  3. $\left(4\dfrac{3}{5}- 2\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{5}{4}\right) : \dfrac{2}{7}$.

  1. $\frac{13}{18}$
  2. $-\frac{3}{2}$
  3. $\frac{61}{10}$

Laske

  1. luvun $-1$ vastaluvun ja luvun $5$ käänteisluvun keskiarvo. [Lyhyt S2015/1a]
  2. lukujen $\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{6}{5}$ käänteislukujen keskiarvo. [Lyhyt K2013/1b]

  1. $\frac{3}{5}$
  2. $\frac{13}{12}$

Osoita, että luvut $$\frac{\sqrt{6}}{3} \text{ ja } \frac{\sqrt{6}}{2}$$ ovat toistensa käänteislukuja.
[Pitkä K2016/2b]

Laske tutkittavien lukujen tulo. Saatko tulokseksi luvun 1?

Tarkastellaan muotoa $\dfrac{m}{n}$ olevia lukuja, kun $m \in \left\{-1,0,1,2\right\}$ ja $n \in \left\{2,3,4\right\}$. Määritä näistä luvuista suurin ja pienin.
[Pitkä S2015/1c]

Suurin on $1$, pienin on $-\frac{1}{2}$.

Mikä seuraavista on luvun $-a+b$ vastaluku?

  1. $b-a$
  2. $a-b$
  3. $-a-b$
[Pitkä K2016/1d; Lyhyt K2016/3d]

$a-b$

Kolme kaverusta lähtee kisamatkalle Tallinnaan ja varaa seitsemäksi yöksi majoituksen, jonka kokonaishinta on 435 euroa. Kuinka paljon kunkin heistä pitää maksaa, jos henkilö A majoittuu kaksi yötä, henkilö B kuusi yötä ja henkilö C kaikki seitsemän yötä?

A maksaa 58 €, B maksaa 174 € ja C maksaa 203 €.

Laske lausekkeen $a(b-2) + (a-b)^2 -b(1-a)$ arvo, kun $a = 2$ ja $b = -2$. [Lyhyt S2013/1c]

6

Tehtävänä on täydentää alla olevat yhtälöt niin, että ne pitävät paikkansa. Saat käyttää peruslaskutoimituksia eli merkkejä $+$, $-$, $\cdot$ ja $:$ sekä sulkuja.

  1. $2 \quad 2 \quad 2 = 6$
  2. $3 \quad 3 \quad 3 = 6$
  3. $5 \quad 5 \quad 5 = 6$
  4. $6 \quad 6 \quad 6 = 6$
  5. $7 \quad 7 \quad 7 = 6$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, avaa testin pisteytysohje tästä ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. a)-d) Mikä on suppein lukualue, johon alla olevat luvut kuuluvat?
a) $-2$
b) $\frac{1}{2}$
c) $\pi$
d) $0{,}12345$
e) Määritä a)-kohdan luvun käänteisluku. Perustele.
f) Määritä b)-kohdan luvun vastaluku. Perustele.

2. Laske seuraavat laskutoimitukset ilman teknisiä apuvälineitä. Supista vastaus, jos mahdollista.
a) $\frac{1}{2}+\frac{4}{5}$
b) $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}$
c) $4:\frac{2}{3}$