Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA3 - Geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Tällä sivulla näkyy kaikki kurssin Geometria kurssisivut yhtenä pötkönä. Sivua voi käyttää sellaisenaan tai kurssimateriaalin tulostamiseen. Tulostettaessa sivu näyttää erilaiselta kuin verkkoselaimessa, esimerkiksi avaamista vaativat sisältöelementit ovat auki.

MAA3 - Geometria

Kurssin tavoitteena on, että

  • harjaannut hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
  • harjaannut muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
  • osaat ratkaista geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa ja geometriaan liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

  • kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
  • sini- ja kosinilause
  • ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
  • kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Kurssimateriaali on jaettu kolmeen lukuun: Kolmio, Tasogeometriaa ja Avaruusgeometriaa.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Kolmio

Tämän luvun tavoitteena on, että osaat ratkaista erilaisia geometrisia ongelmia kolmioiden avulla. Osaat

  • laskea kolmion pinta-alan
  • tunnistaa vierus- ja ristikulmat sekä samankohtaiset kulmat ja päätellä niiden suuruuden
  • perustella kolmioiden yhdenmuotoisuuden ja hyödyntää sitä geometristen ongelmien ratkaisussa
  • määrittää kolmioiden sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia Pythagoraan lauseen, trigonometristen suhteiden sekä sini- ja kosinilauseiden avulla
  • päätellä suplementtikulman sinin ja kosinin arvot.

Kolmioita voidaan käyttää apuna monien geometristen ongelmien ratkaisemisessa. Aloitammekin tämän kurssin palauttamalla mieleen kolmioiden geometrisia ominaisuuksia.

Kolmioiden ja muiden tasokuvioiden pinta-alan laskemiseksi tarvitaan sopimus siitä, mitä pinta-alalla tarkoitetaan. Lähtökohdaksi voidaan ottaa suorakulmion pinta-ala. Sovitaan siis ensin, mitä suorakulmion pinta-alalla tarkoitetaan. Asetetaan seuraava määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: SUORAKULMION PINTA-ALA

Suorakulmion pinta-ala on samasta kärjestä alkavien sivujen pituuksien tulo eli alla olevan kuvion merkinnöillä $ab$.

Kansainvälisissä aikuisten jalkapallo-otteluissa kentän leveyden on oltava vähintään 64 m ja enintään 75 m. Kentän pituuden on oltava vähintään 100 m ja enintään 110 m.

  1. Laske suurimman ja pienimmän mahdollisen jalkapallokentän pinta-alojen erotus.
  2. Kuinka monta prosenttia suurin mahdollinen kenttä on isompi kuin pienin mahdollinen kenttä?

  1. $1\,850 \text{ m}^2$
  2. Noin 29 %.

Suorakulmion pinta-alan avulla saadaan johdettua lauseke kolmion pinta-alalle.

  1. Piirrä yllä olevan kuvan kolmio vihkoosi ja täydennä se suorakulmioksi.
  2. Muodosta suorakulmion pinta-alan lauseke.
  3. Päättele kolmion pinta-ala.

  1. Piirrä yllä olevan kuvan kolmio vihkoosi ja täydennä se suorakulmioksi.
    Vinkki: voit esimerkiksi soveltaa edellisen tehtävän ideaa kumpaankin kuvassa näkyvään suorakulmaiseen kolmioon.
  2. Muodosta suorakulmion pinta-alan lauseke.
  3. Päättele kolmion pinta-ala.

Edellisten tehtävien tulokset ovat osa seuraavaa teoreemaa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kolmion pinta-ala on puolet sen kannan ja korkeuden tulosta eli alla olevan kuvion merkinnöillä $$\dfrac{ah}{2}$$

Perustelu: Kolmion korkeusjanan toinen päätepiste voi sijaita kolmion sivun päätepisteessä, kolmion sivulla tai sivun jatkeella. Tarkastellaan jokainen näistä tapauksista erikseen.

  1. Tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivun päätepisteessä, on käsitelty tehtävässä 1.2.
  2. Tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivulla, on käsitelty tehtävässä 1.3.
  3. Jos kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivun jatkeella, voidaan kolmio täydentää suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka pinta-ala on tehtävän 1.2 nojalla $$\frac{(a+x)h}{2}.$$
    Alkuperäisen kolmion pinta-ala saadaan tästä vähentämällä pienemmän suorakulmaisen kolmion pinta-ala: \begin{align*} \frac{(a+x)h}{2} - \frac{xh}{2} &= \frac{ah + xh - xh}{2} \\[1mm] &= \frac{ah}{2} \end{align*}

Harjakattoisen omakotitalon pituus on 10 m ja leveys 6 m. Ensimmäisen kerroksen korkeus on 3 m ja toisen kerroksen päätykolmioiden korkeus 2,5 m. Talo aiotaan maalata. Maalin menekiksi arvioidaan yksi litra 6,5 neliömetriä kohti. Tehtävänä on laskea, kuinka paljon maalia tarvitaan, jos talo maalataan kaksi kertaa (pohjamaalaus ja pintamaalaus). Ikkunoita ei laskelmassa oteta huomioon.

  1. Laske seinien kokonaispinta-ala.
  2. Kuinka paljon maalia kannattaa ostaa talon maalaamista varten?

  1. Seinien kokonaispinta-ala on $111 \text{ m}^2$.
  2. Maalia kannattaa ostaa noin 34-35 litraa (ikkunoita ei huomioitu laskelmassa, joten tulosta ei välttämättä tarvitse pyöristää ylöspäin).

Ryhdytään seuraavaksi tutkimaan kolmion kulmia. Palautetaan aluksi mieleen joidenkin kulmien nimityksiä.

MÄÄRITELMÄ: SUORA KULMA JA OIKOKULMA

Suora kulma tarkoittaa kulmaa, jonka suuruus on $90^\circ$.

Oikokulma tarkoittaa kulmaa, jonka suuruus on $180^\circ$.

Kulmat, joiden toinen kylki on yhteinen ja toiset kyljet muodostavat suoran, ovat vieruskulmia.

  1. Päättele kulman $\alpha$ suuruus alla olevassa kuvassa.
  2. Päättele kulman $\beta$ suuruus alla olevassa kuvassa.
  3. Mitä voit päätellä vieruskulmien summasta yleisesti?

Kun kaksi suoraa leikkaa toisensa, muodostuvat vastakkaiset kulmat ovat ristikulmia.

  1. Päättele kulman $\gamma$ suuruus alla olevassa kuvassa.
  2. Päättele kulman $\beta$ suuruus alla olevassa kuvassa.
  3. Mitä voit päätellä ristikulmista yleisesti?

Jos suora leikkaa kahta muuta suoraa, syntyy niin sanottuja samankohtaisia kulmia. Samankohtaisuus tarkoittaa sitä, että kulmien samanniminen kylki (siis molemmilla oikea kylki tai molemmilla vasen kylki), on samalla suoralla.

Jos kaksi muuta suoraa ovat keskenään yhdensuuntaisia, kuten yllä olevassa kuvassa, syntyvät samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuria. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kulmat $\alpha$ ja $\alpha'$ ovat samankohtaisia, sillä niiden $\textcolor{red}{\textbf{vasen}}$ kylki on samalla suoralla. Koska niiden $\textcolor{blue}{\textbf{oikeat}}$ kyljet ovat yhdensuuntaiset, ovat kulmat $\alpha$ ja $\alpha'$ yhtä suuret.

  1. Piirrä yllä oleva kuva vihkoosi ja merkitse siihen kulman $\alpha$ ristikulma.
  2. Etsi kuvasta mahdollisimman monta kulmaa, jotka ovat samankohtaisia kulman $\alpha$ kanssa.
    Vinkki: etsi kulmia, joiden oikea kylki on sinisellä suoralla.
  3. Ovatko kulmat $\alpha$ ja $\beta$ samankohtaisia? Entä kulmat $\alpha$ ja $\gamma$?
  4. Tiedetään, että $\alpha = 133^\circ$. Päättele kulmien $\beta$ ja $\gamma$ suuruus.

Ristikulmien ja samankohtaisten kulmien avulla voidaan näyttää, että kolmion kulmien summa on aina $180^\circ$. Tämä tehdään seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kolmion kulmien summa on $180^\circ$.

Perustelu: Merkitään kolmion kulmia $\alpha$, $\beta$ ja $\gamma$.

Jatketaan kolmion kahta sivua kuten alla olevassa kuvassa. Muodostuva kulma $\beta'$ on yhtä suuri kuin kulma $\beta$. Ne ovat toistensa ristikulmia.

Piirretään kulman $\beta$ kärjen kautta jana, joka on yhdensuuntainen kolmion kannan kanssa samaan tapaan kuin alla olevassa kuvassa. Kulmien $\alpha'$ ja $\alpha$ vasempana kylkenä on sama suora, joten ne ovat samankohtaiset kulmat. Lisäksi niiden oikeat kyljet ovat keskenään yhdensuuntaiset, joten kulmat ovat yhtä suuret.

Vastaavasti kulmien $\gamma'$ ja $\gamma$ oikeana kylkenä on sama suora, joten ne ovat samankohtaiset kulmat. Lisäksi niiden vasemmat kyljet ovat keskenään yhdensuuntaiset, joten kulmat ovat yhtä suuret.

Kulmat $\alpha'$, $\beta'$ ja $\gamma'$ muodostavat yhdessä oikokulman $180^\circ$:

Koska $\alpha = \alpha'$, $\beta = \beta'$ ja $\gamma = \gamma'$, voidaan päätellä, että myös $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.$$

Kolmioita voidaan luokitella niiden muodon mukaan. Esimerkiksi alla olevan kuvan kolmiot ovat eri kokoisia ja eri asennossa, mutta kuitenkin saman muotoisia. Tällaisia kolmioita sanotaan yhdenmuotoisiksi.

Tarkemmin kolmioiden yhdenmuotoisuus määritellään niin sanottujen vastinkulmien ja vastinsivujen avulla. Esimerkiksi yllä kulman $\sphericalangle BAC$ vastinkulma on $\sphericalangle KJL$ (nämä molemmat kulmat ovat kolmioiden lyhimpien sivujen vastaisia kulmia ja ne on merkitty kuvaan kahdella pienellä kaarella). Isomman kolmion pisimmän sivun $AB$ vastinsivu on puolestaan $JK$, joka on pienemmän kolmion pisin sivu.

Jatka yllä olevan kuvan tarkastelua.

  1. Mikä on sivun $BC$ vastinsivu?
  2. Mikä on kulman $\sphericalangle JLK$ vastinkulma?

MÄÄRITELMÄ: KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUS

Kolmiot ovat yhdenmuotoiset, jos ne toteuttavat seuraavat ehdot:

  • kulma ja sen vastinkulma ovat aina yhtä suuret
  • suhde $$\frac{\text{ vastinsivun pituus }}{\text{ sivun pituus }}$$ on vakio (eli sama riippumatta siitä, mitä kolmion sivua tarkastellaan).

Yllä olevan kuvan vasemmanpuoleisessa kolmiossa on kaksi kulmaa, jotka ovat yhtä suuria kuin niiden vastinkulmat oikeanpuoleisessa kolmiossa. Näitä kulmia on merkitty kirjaimilla $\alpha$ ja $\beta$.

  1. Päättele kulman $\gamma$ suuruus teoreeman 2 avulla.
  2. Päättele kulman $\delta$ suuruus teoreeman 2 avulla.
  3. Vertaa edellisten kohtien tuloksia. Mitä voit päätellä kulmista $\gamma$ ja $\delta$?

On mahdollista osoittaa, että jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset:

TEOREEMA

Jos kolmiossa on kaksi kulmaa, jotka ovat yhtä suuria kuin niitä vastaavat kulmat toisessa kolmiossa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

Perustelu: Merkitään niitä kulmia, jotka ovat molemmissa kolmioissa yhtä suuria, kirjaimilla $\alpha$ ja $\beta$ kuten alla olevassa kuvassa. Edellisessä tehtävässä pääteltiin, että tällöin myös kolmas kulma on molemmissa kolmioissa yhtä suuri.

Lisäksi pitäisi perustella, että vastinsivun pituuden suhde sivun pituuteen on aina sama eli yllä olevan kuvan mukaan $$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}.$$ Tämä perustelu on sen verran hankala, että se sivuutetaan. (Perustelu löytyy esimerkiksi täältä, lause 2.2.1.)

Yllä olevassa kuvassa janat $AB$ ja $CD$ ovat yhdensuuntaisia eli $AB \parallel CD$. Tämän tiedon ja KK-lauseen (teoreema 3) avulla voidaan päätellä, että kolmiot $OAB$ ja $OCD$ ovat yhdenmuotoisia:

  • Kolmioilla $OAB$ ja $OCD$ on yhteinen kulma $\sphericalangle O$ (merkitty kuvaan punaisella kaarella).
  • Kulmat $\sphericalangle OAB$ ja $\sphericalangle OCD$ ovat samankohtaisia, koska niiden $\textcolor{magenta}{\textbf{vasen}}$ kylki on samalla suoralla. Lisäksi niiden $\textcolor{blue}{\textbf{oikeat}}$ kyljet $AB$ ja $CD$ ovat yhdensuuntaisia, joten kulmat $\sphericalangle OAB$ ja $\sphericalangle OCD$ ovat yhtä suuria.
  • Koska kolmiossa $OAB$ on kaksi kulmaa, jotka ovat yhtä suuria kuin niitä vastaavat kulmat kolmiossa $OCD$, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset KK-lauseen nojalla.

Kolmioiden yhdenmuotoisuuden avulla voidaan nyt päätellä pienemmän kolmion $OAB$ sivujen pituuksia. Esimerkiksi pienemmän kolmion pisimmän sivun $OB$ pituus voidaan selvittää verrantoyhtälön avulla seuraavasti:

Merkitään sivun $OB$ pituutta kirjaimella $x$. Muodostetaan sen suhde vastinsivun $OD$ pituuteen $x + 4$: $$\frac{x}{x+4}.$$ Valitaan jokin toinen kolmion $OAB$ sivu, jonka pituus tunnetaan. Sopiva sivu on $OA$, jonka pituus on $5$. Muodostetaan sen pituuden suhde vastinsivun $OC$ pituuteen: $$\frac{5}{5+3}.$$ Koska kolmiot ovat yhdenmuotoisia, sivun pituuden suhde vastinsivun pituuteen on sama riippumatta siitä, mitä sivua tarkastellaan. Saadaan siis yhtälö $$\frac{x}{x+4} = \frac{5}{8}.$$ Ratkaistaan tämä yhtälö normaaliin tapaan: \begin{align*} \frac{x}{x+4} &= \frac{5}{8} &\quad &\mid \cdot \, (x+4) \\[1mm] x &= \frac{5}{8}(x+4) &\quad &\mid \cdot \, 8 \\[1mm] 8x &= 5(x+4) & & \\ 8x &= 5x + 20 &\quad &\mid -5x \\ 3x &= 20 &\quad &\mid \, : 3 \\[1mm] x &= \frac{20}{3} \end{align*} Sivun $OB$ pituus on siis $\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$.

Tarkastellaan edelleen yllä olevaa kuvaa, jossa kolmiot $OAB$ ja $OCD$ ovat yhdenmuotoisia. Selvitä sivun $AB$ pituus verrantoyhtälön avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin.

Sivun $AB$ pituus on $\frac{15}{4} = 3{,}75$.

Yllä olevassa kuvassa janat $AB$ ja $CD$ ovat yhdensuuntaisia eli $AB \parallel CD$.

  1. Palauta mieleesi, mitä tarkoitetaan ristikulmilla ja samankohtaisilla kulmilla (tehtävät 1.6 & 1.7 sekä niiden välinen teksti).
  2. Selitä omin sanoin, mistä syystä kolmiot $OAB$ ja $OCD$ ovat yhdenmuotoisia.
    Vinkki: KK-lause (teoreema 3) sekä edellinen kohta.
  3. Selvitä janan $CD$ pituus sopivan verrantoyhtälön avulla. Arvioi kuvan avulla, onko tuloksesi järkevä.
  4. Selvitä janan $OA$ pituus sopivan verrantoyhtälön avulla. Arvioi kuvan avulla, onko tuloksesi järkevä.

  3. Janan $CD$ pituus on $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.
  4. Janan $OA$ pituus on $\frac{12}{5} = 2{,}4$.

Suorakulmainen kolmio tarkoittaa kolmiota, jonka yksi kulma on suora kulma eli $90^\circ$. Esimerkiksi alla oleva kolmio on suorakulmainen kolmio.

Suorakulmaisen kolmion pisintä sivua sanotaan hypotenuusaksi ja lyhyempiä sivuja kateeteiksi. Esimerkiksi yllä olevan kolmion hypotenuusan pituus on 5 ja kateettien pituudet ovat 3 ja 4.

Tutkitaan seuraavaksi, miten suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus ja kateettien pituudet liittyvät toisiinsa.

  1. Neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota asetellaan neliön muotoon kuten alla olevassa kuvassa. Miten voidaan päätellä, että keskelle jäävän valkoisen nelikulmion kaikki kulmat ovat suoria kulmia?
    Vihje: teoreema 2.
  2. Muodosta lauseke ylläolevan valkoisen neliön pinta-alalle.
  3. Samat suorakulmaiset kolmiot järjestetään uudelleen kuten alla olevassa kuvassa. Muodosta lauseke valkoisen alueen pinta-alalle.
  4. Vertaa b- ja c-kohtien tuloksia. Millaisen yhtälön saat suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien ja hypotenuusan pituuden välille?

Tehtävän 1.12 tuloksena saadaan seuraava Pythagoraan lauseena tunnettu teoreema:

TEOREEMA

Suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, eli alla olevan kuvan merkinnöillä $$a^2 + b^2 = c^2$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan Pythagoraan lauseen soveltamista.

Tehtävänä on selvittää yllä olevan kolmion kolmannen sivun pituus.

  1. Muodosta kolmion sivujen pituuksien välille Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö. Ratkaise tästä yhtälöstä tuntemattoman sivun pituuden neliö eli $x^2$.
  2. Edellisessä kohdassa olet päätynyt niin sanottuun toisen asteen potenssiyhtälöön $x^2 = s$, joita ratkaistiin edellisessä kurssissa. Jos vakio $s$ on positiivinen eli $s > 0$, tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Mitkä nämä ratkaisut ovat a-kohdan yhtälön tapauksessa? Selitä omin sanoin, miksi vain toinen niistä voi olla kysytty kolmion sivun pituus.
  3. Mikä on yllä olevan kolmion kolmannen sivun pituus? Anna vastauksen tarkka arvo ja likiarvo kahden merkisevän numeron tarkkuudella.

  3. $x = \sqrt{74} \approx 8{,}6$.

Tehtävänä on selvittää yllä olevan kolmion kolmannen sivun pituus.

  1. Merkitse tuntemattoman sivun pituutta jollakin kirjaimella. Muodosta kolmion sivujen pituuksien välille Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö. Ratkaise tästä yhtälöstä tuntemattoman sivun pituuden neliö.
  2. Edellisessä kohdassa olet jälleen päätynyt niin sanottuun toisen asteen potenssiyhtälöön. Ratkaise tästä yhtälöstä tuntemattoman sivun pituus. Anna vastaus kahden merkisevän numeron tarkkuudella.

  2. Noin 14 cm.

Hissin oviaukon korkeus on 2,00 metriä ja leveys 0,60 metriä. Hissikorin pituus oviaukosta peräseinään on 1,40 metriä. Tehtävänä on selvittää, mahtuuko 2,05 m pitkä ja 1,00 m leveä pöytälevy ovesta hissiin sopivasti kallistettuna.

  1. Piirrä kuva hissin oviaukosta edestäpäin katsottuna. Merkitse piirrokseen oviaukon mitat.
  2. Missä asennossa pöytälevy kannattaa siirtää hissiin? Täydennä piirrosta ja merkitse pöytälevyn suurinta mahdollista pituutta jollakin kirjaimella.
  3. Muodosta sopiva yhtälö ja ratkaise pöytälevyn suurin mahdollinen pituus.
  4. Mahtuuko 2,05 m pitkä ja 1,00 m leveä pöytälevy ovesta hissiin?

  3. Hissiin mahtuvan pöytälevyn suurin mahdollinen pituus on $\sqrt{4{,}36} \text{ cm} \approx 2{,}09 \text{ cm}$.
  4. Teoriassa pitäisi mahtua.

Hissin oviaukon korkeus on 2,00 metriä ja hissikorin pituus oviaukosta peräseinään on 1,40 metriä. Tehtävänä on selvitää, mikä hissin oven leveyden pitäisi vähintään olla, jotta 2,30 m pitkä ja 1,20 metriä leveä kipsilevy mahtuisi hissiin.

  1. Piirrä kuva hissin oviaukosta edestäpäin katsottuna. Merkitse piirrokseen oviaukon mitat. Merkitse oviaukon leveyttä jollakin kirjaimella.
  2. Missä asennossa kipsilevy kannattaa siirtää hissiin? Täydennä piirrosta ja merkitse siihen kipsilevyn mitta.
  3. Muodosta sopiva yhtälö ja ratkaise hissin oven leveys. Mikä on järkevä tarkkuus vastaukselle?

  3. Oven vähimmäisleveys on $\sqrt{1{,}29} \text{ m} \approx 1{,}14 \text{ m}$.

Pythagoraan lauseen avulla saadaan aina ratkaistua suorakulmaisen kolmion kolmas sivu, jos kahden sivun pituus tunnetaan. Tutkitaan seuraavaksi, miten voidaan selvittää suorakulmaisen kolmion terävien kulmien suuruus, jos sivujen pituudet tunnetaan.

Tarkastellaan kahta suorakulmaista kolmiota, joissa on yhtä suuri terävä kulma $\alpha$.

Nämä kolmiot ovat yhdenmuotoiset KK-lauseen (teoreema 3) nojalla, koska niissä on kaksi yhtä suurta kulmaa: suora kulma sekä kulma $\alpha$.

Koska kolmiot ovat yhdenmuotoiset, on suhde $$\frac{\text{ vastinsivun pituus }}{\text{ sivun pituus }}$$ sama riippumatta siitä, mitä kolmion sivua tarkastellaan. Esimerkiksi $$\frac{AB}{\textcolor{blue}{DE}} = \frac{6}{2} = 3$$ ja $$\frac{AC}{\textcolor{blue}{DF}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3.$$ Verrantoyhtälön $$\frac{AB}{\textcolor{blue}{DE}} = \frac{AC}{\textcolor{blue}{DF}}$$ molemmat puolet voidaan kertoa nimittäjien tulolla $\textcolor{blue}{DE} \cdot \textcolor{blue}{DF}$, jolloin saadaan yhtälö $$AB \cdot \textcolor{blue}{DF} = AC \cdot \textcolor{blue}{DE}.$$ Kun tämän yhtälön molemmat puolet jaetaan tulolla $AC \cdot \textcolor{blue}{DF}$, saadaan yhtälö $$\frac{AB}{AC} = \frac{\textcolor{blue}{DE}}{\textcolor{blue}{DF}}.$$ Havaitaan, että kolmion $ABC$ sivujen suhde on sama kuin niiden vastinsivujen suhde kolmiossa $DEF$.

Esimerkiksi edellä tarkasteltu kulman $\alpha$ viereisen kateetin suhde hypotenuusaan on molemmissa kolmioissa sama $$\frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{5}.$$

Suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteille onkin annettu omat nimensä seuraavan määritelmän mukaisesti:

MÄÄRITELMÄ: SINI, KOSINI JA TANGENTTI

Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman $\alpha$ sini, kosini ja tangetti tarkoittavat kolmion sivujen pituuksien suhteita: \begin{align*} \sin \alpha &= \dfrac{\text{ kulman vastainen kateetti }}{\text{ hypotenuusa }} \\[2mm] \cos \alpha &= \dfrac{\text{ kulman viereinen kateetti }}{\text{ hypotenuusa }} \\[2mm] \tan \alpha &= \dfrac{\text{ kulman vastainen kateetti }}{\text{ kulman viereinen kateetti }} \end{align*}

Yllä olevan kuvion merkinnöillä \begin{align*} \sin \alpha &= \dfrac{a}{c} \\[1mm] \cos \alpha &= \dfrac{b}{c} \\[1mm] \tan \alpha &= \dfrac{a}{b} \end{align*}

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 10 ja kateettien pituudet ovat 6 ja 8 yllä olevan kuvan mukaisesti. Määritä seuraavat sivujen suhteet:

  1. $\sin \alpha$
  2. $\cos \alpha$
  3. $\tan \alpha$
  4. $\sin \beta$
  5. $\cos \beta$
  6. $\tan \beta$

  4. $\sin \beta = \dfrac{4}{5}$
  5. $\cos \beta = \dfrac{3}{5}$
  6. $\tan \beta = \dfrac{4}{3}$

Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman $\alpha$ tangetti on $5:12$ eli $$\tan \alpha = \frac{5}{12}$$

  1. Keksi esimerkki suorakulmaisesta kolmiosta, jossa on tällainen terävä kulma. Mitkä ovat keksimäsi suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet?
  2. Laske keksimäsi suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus.
  3. Keksi esimerkki toisesta suorakulmaisesta kolmiosta, jossa on samanlainen kulma $\alpha$. Selitä omin sanoin, miten ajattelit.

Tarkastele alla olevaa neliötä, joka on jaettu lävistäjällä kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Laske suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus.
  2. Päättele kulman $\alpha$ suuruus kolmion symmetrian avulla.
    Vihje: teoreema 2.
  3. Määritä kolmion sivujen pituuksien avulla $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ ja $\tan \alpha$.

Edellisen tehtävän perusteella voidaan laatia seuraava taulukko:

Kulma $\alpha$ $\sin \alpha$ $\cos \alpha$ $\tan \alpha$
$45^\circ$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $1$

Jokaista terävää kulmaa vastaa yksi sinin, kosinin ja tangentin arvo. Esimerkiksi yllä olevasta taulukosta nähdään, että $$\cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$$

Toisaalta jokaista (suorakulmaisessa kolmiossa mahdollista) trigonometristä suhdetta vastaa yksi terävä kulma. Esimerkiksi yllä olevan taulukon avulla voidaan päätellä, että jos $\tan \beta = 1$, niin $\beta = 45^\circ$.

Laskinten ja tietokoneiden avulla tämä siirtyminen kulman ja trigonometristen suhteiden välillä voidaan tehdä ilman taulukoiden käyttöä. Annettua kulmaa vastaava trigonometrinen suhde sini, kosini tai tangentti saadaan laskimella käyttämällä nappulaa $\bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{sin}\phantom{i}}\ $, $\ \bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{cos}\phantom{i}}\ $ tai $\ \bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{tan}\phantom{i}}\ $. Trigonometrista suhdetta vastaava kulma saadaan nappuloilla $\bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{sin}^{-1}}\ $, $\ \bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{cos}^{-1}}\ $ ja $\ \bbox[3px,border:2px solid black]{\texttt{tan}^{-1}}\ $.

Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä siihen puuttuvat tiedot laskimen avulla tarkkoina arvoina tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella:

Kulma $\alpha$ $\sin \alpha$ $\cos \alpha$ $\tan \alpha$
$10^\circ$ $\phantom{\dfrac{1}{2}}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\phantom{\dfrac{1}{2}}$ $\sqrt{3}$
$80^\circ$ $\phantom{\dfrac{1}{2}}$

Tarkastele alla olevaa suorakulmaista kolmiota.

  1. Selvitä toisen kateetin pituus (tarkka arvo).
  2. Selvitä kulman $\alpha$ suuruus jonkin trigonometrisen suhteen avulla. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  3. Selvitä kulman $\beta$ suuruus.

  1. $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
  2. $\alpha \approx 25{,}4^\circ$
  3. $\beta \approx 64{,}6^\circ$

Tarkastele alla olevaa suorakulmaista kolmiota.

  1. Ilmaise $\sin 42^\circ$ kolmion sivujen suhteena. Ratkaise tästä yhtälöstä kateetin $a$ pituus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Ilmaise $\cos 42^\circ$ kolmion sivujen suhteena. Ratkaise tästä yhtälöstä kateetin $b$ pituus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  3. Selvitä kulman $\beta$ suuruus.

  1. $a \approx 10{,}0$
  2. $b \approx 11{,}1$
  3. $\beta = 48^\circ$

Laskettelurinteen pituus on 1300 metriä ja korkeusero 262 metriä. Tehtävänä on laskea mäen rinteen keskimääräinen kaltevuuskulma (vaakatasoon verrattuna).

  1. Piirrä mallikuva, jossa rinteen poikkileikkaus sivusta katsottuna on suorakulmainen kolmio. Merkitse kuvaan rinteen mitat.
  2. Ratkaise rinteen kaltevuuskulma sopivan trigonometrisen suhteen avulla. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Rinteen kaltevuuskulma on noin 12 astetta.

Edellisessä kappaleessa määriteltiin terävän kulman kosini ja sini suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteina. Tässä kappaleessa otetaan käyttöön määritelmä, joka sopii kaikille kulmille nollakulmasta oikokulmaan.

Tarkastellaan kulmaa $\alpha$, joka on välillä $[0^\circ, 180^\circ]$. Merkitään tämä kulma koordinaatistoon kuten alla olevassa kuvassa: piirretään origosta lähtevä jana, joka muodostaa positiivisen $x$-akselin kanssa kulman $\alpha$ ja jonka pituus on $1$.

Kulman $\alpha$ kosini ja sini saadaan määriteltyä näin piirretyn janan toisen päätepisteen avulla.

MÄÄRITELMÄ: KOSINI JA SINI

Oletetaan, että $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$. Piirretään origosta lähtevä jana, joka muodostaa positiivisen $x$-akselin kanssa kulman $\alpha$ ja jonka pituus on $1$.

  • Kulman $\alpha$ kosini on tämän janan toisen päätepisteen $x$-koordinaatti.
  • Kulman $\alpha$ sini on tämän janan toisen päätepisteen $y$-koordinaatti.

Seuraavassa tehtävässä tarkistetaan, ettei yllä oleva uusi määritelmä ole terävien kulmien tapauksessa ristiriidassa vanhan määritelmän kanssa.

Yllä olevassa kuvassa terävä kulma $\alpha$ on merkitty koordinaatistoon.

  1. Ilmaise $\cos \alpha$ ja $\sin \alpha$ kuvassa näkyvän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena.
  2. Ilmaise pisteen $A$ koordinaatit kuvan merkintöjen avulla.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Ovatko kosinin ja sinin vanha ja uusi määritelmä keskenään sopusoinnussa?

Kun erilaisia kulmia nollakulman ja oikokulman väliltä merkitään koordinaatistoon, muodostavat niiden kylkien päätepisteet koordinaatistoon origokeskisen puoliympyrän, jonka säde on yksi:

Tämä puoliympyrä on usein tapana piirtää näkyviin, kun tutkitaan erilaisten kulmien kosinin ja sinin ominaisuuksia.

Tutki tämän Geogebra-sovelluksen avulla erilaisten kulmien kosinin ja sinin arvoja ja päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mitä on $\cos 160^\circ$? Entä $\sin 160^\circ$? Sovelluksesta näet vastaukset kahden desimaalin tarkkuudella.
  2. Jos kulma $\alpha$ on välillä $[0^\circ, 180^\circ]$, mitä arvoja $\cos \alpha$ voi saada?
  3. Jos kulma $\alpha$ on välillä $[0^\circ, 180^\circ]$, mitä arvoja $\sin \alpha$ voi saada?
  4. Mikä ehto kulman $\alpha$ pitää toteuttaa, jotta sen kosini on negatiivinen?

Seuraavissa tehtävissä jatketaan kosinin ja sinin ominaisuuksien tutkimista.

Tässä tehtävässä tutkitaan kosinin ominaisuuksia piirrosten avulla.


  1. Yllä olevassa kuvassa eräs terävä kulma $\alpha$ on merkitty koordinaatistoon. Ilmaise $\cos \alpha$ kuvan merkinnöillä.
  2. Jos kulman $\alpha$ vasen kylki peilataan $y$-akselin suhteen, syntyy seuraava kuvio:

    Sinisellä merkitty jana määrää kulman $\beta$:
    Ilmaise kulma $\beta$ kulman $\alpha$ avulla. Toisin sanottuna, miten saat laskettua kulman $\beta$ suuruuden, jos tiedät kulman $\alpha$?
  3. Ilmaise $\cos \beta$ yllä olevan kuvan merkinnöillä.
  4. Vertaa a- ja c-kohtien tuloksia ja selitä omin sanoin, miten vieruskulmien $\alpha$ ja $\beta$ kosinien arvot liittyvät toisiinsa.

Tässä tehtävässä tutkitaan sinin ominaisuuksia piirrosten avulla.


  1. Yllä olevassa kuvassa eräs terävä kulma $\alpha$ on merkitty koordinaatistoon. Ilmaise $\sin \alpha$ kuvan merkinnöillä.
  2. Jos kulman $\alpha$ vasen kylki peilataan $y$-akselin suhteen, syntyy seuraava kuvio:

    Sinisellä merkitty jana määrää kulman $\beta$:
    Ilmaise kulma $\beta$ kulman $\alpha$ avulla. Toisin sanottuna, miten saat laskettua kulman $\beta$ suuruuden, jos tiedät kulman $\alpha$?
  3. Ilmaise $\sin \beta$ yllä olevan kuvan merkinnöillä.
  4. Vertaa a- ja c-kohtien tuloksia ja selitä omin sanoin, miten vieruskulmien $\alpha$ ja $\beta$ sinien arvot liittyvät toisiinsa.

Edellisissä tehtävissä 1.23 ja 1.24 tarkasteltiin kulmaa $\alpha$ ja sen niin sanottua suplementtikulmaa $180^\circ - \alpha$. Näiden tehtävien tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Kulman ja sen suplementtikulman kosinit ovat toistensa vastalukuja: $$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha.$$ Kulman ja sen suplementtikulman sinit ovat yhtä suuret: $$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha.$$

  1. Tiedetään, että $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ ja $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$$ Merkitse 30 ja 150 asteen kulmat koordinaatistoon. Päättele piirroksen ja annettujen tietojen avulla ilman laskinta, mitä ovat $\cos 150^\circ$ ja $\sin 150^\circ$.
  2. Tiedetään, että $$\sin 75^\circ = \frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right).$$ Merkitse 75 asteen kulma koordinaatistoon ja päättele, millä toisella kulmalla on sama sinin arvo.

  1. Piirrä koordinaatistoon samanlainen origokeskinen puoliympyrä kuin tehtävässä 1.27 ja merkitse siihen kaikki ne puoliympyrän kehän pisteet, joiden $y$-koordinaatti on 0,75.
  2. Selvitä laskimen avulla, minkä terävän kulman $\alpha$ sinille pätee $\sin \alpha = 0{,}75$. Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  3. Määritä a- ja b-kohtien avulla kaikki ne välin $[0^\circ, 180^\circ]$ kulmat, joiden sinin arvo on 0,75.

  3. $48{,}6^\circ$ ja $131{,}4^\circ$

  1. Piirrä koordinaatistoon samanlainen origokeskinen puoliympyrä kuin edellisessä tehtävässä ja merkitse siihen kaikki ne puoliympyrän kehän pisteet, joiden $x$-koordinaatti on $-0{,}25$.
  2. Selvitä laskimen avulla, minkä kulman $\alpha$ kosinille pätee $\cos \alpha = -0{,}25$. Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  3. Määritä a- ja b-kohtien avulla kaikki ne välin $[0^\circ, 180^\circ]$ kulmat, joiden kosinin arvo on $-0{,}25$.

  3. $104{,}5^\circ$

Tässä kappaleessa opitaan selvittämään niin sanottujen vinokulmaisten kolmioiden kulmia ja sivujen pituuksia. Vinokulmaisella kolmiolla tarkoitetaan kolmiota, jossa ei ole yhtään suoraa kulmaa.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten kolmion pinta-ala riippuu kolmion sivuista ja niiden välisestä kulmasta.

Tehtävänä on näyttää, että yllä olevan kolmion pinta-ala on $$\frac{1}{2}ab\sin \gamma.$$

  1. Ilmaise $\sin \gamma$ kolmion sivujen suhteena. Ratkaise muodostamastasi yhtälöstä kolmion korkeus $h$.
  2. Tiedetään, että kolmion pinta-ala on puolet kannan ja korkeuden tulosta eli $$\frac{1}{2}ah.$$ Sijoita tähän a-kohdassa ratkaisemasi korkeuden $h$ lauseke.

Tehtävänä on tutkia, miten yllä olevan kolmion pinta-ala riippuu kolmion sivuista ja niiden välisestä kulmasta.

  1. Ilmaise kolmion korkeus $h$ sivun $b$ ja kulman $\gamma$ avulla.
  2. Yhdistä a-kohdan tulos ja tieto, että kolmion pinta-ala on puolet kannan ja korkeuden tulosta. Millaiseen pinta-alan lausekkeeseen päädyt?

Edellisten tehtävien tulosten avulla saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Kolmion pinta-ala on puolet kolmion kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin tulosta: $$\frac{1}{2}ab\sin \gamma$$

Perustelu: Tiedetään, että kolmion pinta-ala on puolet kannan ja korkeuden tulosta. Kolmion korkeusjanan toinen päätepiste voi sijaita kolmion sivun päätepisteessä, kolmion sivulla tai sivun jatkeella. Tarkastellaan jokainen näistä tapauksista erikseen.

  1. Tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivun päätepisteessä, on käsitelty tehtävässä 1.31.
  2. Tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivulla, on käsitelty tehtävässä 1.32.
  3. Tarkastellaan vielä tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivun jatkeella.

    Kolmion korkeus voidaan ratkaista kuvaan piirretystä suorakulmaisesta kolmiosta: $$\frac{h}{b} = \sin(\textcolor{blue}{180^\circ - \gamma}),$$ joten $$h = b\sin(\textcolor{blue}{180^\circ - \gamma}).$$ Edellisessä kappaleessa havaittiin, että kulman ja sen suplementtikulman sini ovat yhtä suuret (teoreema 5), joten $\sin \gamma = \sin(\textcolor{blue}{180^\circ - \gamma})$. Edellinen yhtälö voidaan siten kirjoittaa muodossa $$h = b\sin \gamma.$$ Sijoittamalla tämä kolmion pinta-alan lausekkeeseen saadaan kolmion pinta-alaksi $$\frac{1}{2}ab \sin \gamma.$$

Tehtävänä on laskea yllä olevan suunnikkaan pinta-ala.

  1. Jaa suunnikas kahdeksi kolmioksi niin, että voit hyödyntää kolmion pinta-alan trigonometristä kaavaa (teoreema 6).
  2. Laske suunnikkaan pinta-ala. Ilmoita vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Suunnikkaan pinta-ala on noin 18,4.

Halutaan piirtää kolmio, jonka pinta-ala on 12 cm$^2$ ja jossa on 6 cm ja 8 cm pitkät sivut. Tehtävänä on selvittää, kuinka suuri näiden sivujen välisen kulman $\gamma$ pitää olla.

  1. Muodosta kolmion pinta-alan trigonometrisen kaavan avulla yhtälö, josta saat ratkaistua, mitä on $\sin \gamma$.
  2. Selvitä laskimen avulla kulman $\gamma$ suuruus.
  3. Hahmottele kulma $\gamma$ koordinaatistoon. Päättele piirroksesi avulla, millä tylpällä kulmalla on sama sinin arvo kuin laskimen antamalla terävällä kulmalla.
  4. Kulma $\gamma$ voidaan siis valita kahdella tavalla. Piirrä näitä vaihtoehtoja vastaavat kolmiot mahdollisimman huolellisesti geokolmion avulla.

  2. $30^\circ$
  3. $150^\circ$

Kolmion pinta-alan trigonometrisen kaavan avulla saadaan perusteltua seuraava teoreema eli niin sanottu sinilause. Sitä voidaan käyttää vinokulmaisen kolmion kulmien ja sivujen pituuksien ratkaisemiseen. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Jos kolmiosta valitaan mitkä tahansa kaksi sivua ja lasketaan niille suhde $$\dfrac{\text{ sivun pituus }}{\text{ vastaisen kulman sini }}$$ tulokset ovat yhtä suuria. Alla olevan kuvan merkinnöillä siis $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \quad \text{ ja } \quad \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$

Perustelu: Kolmion pinta-ala on puolet kolmion kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin tulosta. Yllä olevan kolmion pinta-ala on siis $$\frac{1}{2}bc\sin\alpha$$ tai yhtä hyvin $$\frac{1}{2}ac\sin\beta.$$ Koska kumpikin lauseke kuvaa samaa pinta-alaa, saadaan yhtälö $$\frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2}ac\sin\beta.$$ Kun tämän yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla 2 ja jaetaan sivun pituudella $c \neq 0$, yhtälö saa muodon $$b\sin \alpha = a \sin \beta.$$ Kun tämän yhtälön molemmat puolet jaetaan tulolla $\sin \alpha \sin \beta$, saadaan yhtälö $$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}.$$ Muut vastaavat yhtälöt saadaan johdettua samaan tapaan.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan sinilauseen soveltamista.

Kolmion yhden sivun pituus on 2,83 m. Tämän sivun viereisten kulmien suuruudet ovat $49{,}5^\circ$ ja $71{,}6^\circ$. Tehtävänä on selvitää kolmion kolmannen kulman suuruus, muiden sivujen pituus sekä kolmion pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Merkitse siihen tiedossa olevat kolmion mitat. Laske kolmion kolmannen kulman suuruus.
  2. Muodosta sinilauseen avulla yhtälö, jossa esiintyy yksi tuntematon (kolmion jomman kumman tuntemattoman sivun pituus). Ratkaise tämä yhtälö ja anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  3. Selvitä kolmion kolmannen sivun pituus sinilauseen avulla samaan tapaan kuin edellisessä kohdassa.
  4. Laske kolmion pinta-ala ja anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Kolmas kulma on $58{,}9^\circ$
  3. Kolmion muut sivut ovat pituudeltaan noin 3,14 metriä ja noin 2,51 metriä.
  4. Kolmion pinta-ala on noin $3{,}37 \text{ m}^2$.

Laiva kulkee suoraviivaista reittiä nopeudella 22,5 km/h. Auringon laskiessa majakka näkyy kulkusuunnasta $42{,}8^\circ$ oikealle. Tasan 20 minuuttia myöhemmin kulma on $63{,}2^\circ$. Tehtävänä on selvittää, mikä laivan etäisyys majakasta on silloin.

  1. Laske, miten pitkän matkan laiva kulkee 20 minuutin aikana.
  2. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tiedossa olevat mitat.
  3. Muodosta sinilauseen avulla yhtälö, josta saat ratkaistua kysytyn etäisyyden. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. 7,5 km
  3. Noin 14,6 km.

Seuraava tehtävä osoittaa, että kolmiot, joilla on kaksi yhtä pitkää sivua ja yksi yhtä suuri kulma, voivat kuitenkin olla muuten erilaisia ja sen vuoksi erimuotoisia.

Kolmion $ABC$ sivun $AC$ pituus on 6 cm ja sivun $BC$ pituus on 5 cm. Sivun $BC$ vastainen kulma eli kulma $\sphericalangle A$ on suuruudeltaan $52^\circ$. Tehtävänä on selvitää kolmion muiden kulmien suuruus.

  1. Piirrä tilanteesta kuva seuraavien ohjeiden mukaan:
    • Merkitse paperille piste $A$ ja piirrä sen kautta vaakasuora suora.
    • Piirrä geokolmion avulla 6 cm pituinen jana, jonka toinen päätepiste on $A$ ja joka muodostaa 52 asteen kulman äsken piirtämäsi vaakasuoran suoran kanssa. Anna tämän janan toiselle päätepisteelle nimeksi $C$.
    • Piirrä harpin avulla ympyrä, jonka säde on 5 cm ja jonka keskipiste on $C$. Kuinka monessa pisteessä tämä ympyrä leikkaa pisteen $A$ kautta kulkevan vaakasuoran suoran?
    • Ympyrän ja suoran leikkauspisteet sopivat kolmion $ABC$ kulmaksi $B$, sillä niiden etäisyys pisteestä $C$ on 5 cm ja niiden tapauksessa $\sphericalangle A = 52^\circ$. Piirrä näkyviin nämä mahdolliset kolmiot $ABC$.
  2. Merkitään $\beta = \sphericalangle B$. Muodosta sinilauseen avulla yhtälö, josta saat ratkaistua, mitä on $\sin \beta$. Selvitä sen jälkeen kulman $\beta$ suuruus laskimen avulla. Mikä piirroksesi kulma vastaa laskimen antamaa kulmaa?
  3. Hahmottele kulma $\beta$ koordinaatistoon ja päättele, millä tylpällä kulmalla on sama sinin arvo kuin laskimen antamalla terävällä kulmalla.
  4. Laske kolmion kolmannen kulman suuruus molemmissa mahdollisissa tapauksissa.

  2. Noin $71^\circ$
  3. Noin $109^\circ$
  4. Kolmas kulma on noin $57^\circ$ tai noin $19^\circ$.

Edellisestä tehtävästä huomataan, että jos kolmion kulmia selvitetään sinilauseen avulla, täytyy olla erityisen tarkkana. Koska kulmalla ja sen suplementtikulmalla on aina sama sinin arvo, on mahdollista, että ratkaisuja on kaksi. Se ovatko molemmat ratkaisut todellisuudessa mahdollisia, saadaan selville tarkistamalla, onko kolmion kulmien summa $180^\circ$.

Tiedetään, että jos kolmion sivujen $a$ ja $b$ välinen kulma $\gamma$ on suora kulma, niin Pythagoraan lauseen mukaan $$c^2 = a^2 + b^2.$$
Seuraavaksi tutkitaan, onko kolmion sivujen pituuksilla jokin samantyyppinen yhteys myös vinokulmaisten kolmioiden tapauksessa.

Tässä tehtävässä tutkitaan yllä olevaa kolmiota. Tehtävänä on muodostaa yhteys kolmion sivujen $a$, $b$ ja $c$ sekä kulman $\gamma$ välille.

  1. Kun kolmiolle piirretään korkeusjana, kolmion kanta jakautuu kahteen osaan. Merkitään niistä vasemmanpuoleisen pituutta kirjaimella $x$, kuten alla olevassa kuvassa. Tällöin oikeanpuoleisen osan pituus on $a-x$.

    Ilmaise korkeuden neliö $h^2$ kahdella erilaisella tavalla soveltamalla Pythagoraan lausetta kumpaankin kuvassa näkyvään suorakulmaiseen kolmioon.
  2. Yhdistä a-kohdan tulokset yhtälöksi ja muokkaa tämä yhtälö muotoon $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ax.$$
  3. Ilmaise osan $x$ pituus sivun $b$ ja kulman $\gamma$ avulla sopivaa trigonometristä suhdetta käyttäen. Sijoita tämä lauseke c-kohdan yhtälöön. Millaiseen yhtälöön päädyt?

Edellisessä tehtävässä perusteltiin niin sanottu kosinilause terävän kulman tapauksessa. Seuraavassa tehtävässä tarkistetaan, onko kosinilause voimassa myös suorakulmaisessa kolmiossa.

Tässä tehtävässä tutkitaan, päteekö yhtälö $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$$ myös yllä olevan suorakulmaisen kolmion tapauksessa.

  1. Piirrä 90 asteen kulma koordinaatistoon ja päättele, mitä on $\cos 90^\circ$. Tarkista laskimella.
  2. Sijoita a-kohdan tulos yhtälöön $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma.$$ Millaiseen yhtälöön päädyt? Mistä tiedät, että tämä yhtälö toteutuu yllä olevan suorakulmaisen kolmion tapauksessa?

Edellisten tehtävien tulosten avulla saadaan seuraava teoreema eli niin sanottu kosinilause. Sitä voidaan käyttää vinokulmaisen kolmion kulmien ja sivujen pituuksien ratkaisemiseen niissä tapauksissa, joissa sinilauseesta ei ole hyötyä. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Jos $a$ ja $b$ ovat kolmion kaksi sivua, $\gamma$ niiden välinen kulma sekä $c$ kolmion kolmas (kulman $\gamma$ vastainen) sivu, niin $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma.$$

Perustelu: Tarkasteltavan kolmion korkeusjanan toinen päätepiste voi sijaita kolmion sivulla, sivun päätepisteessä tai sivun jatkeella. Tarkastellaan jokainen näistä tapauksista erikseen.

  1. Tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivulla, on käsitelty tehtävässä 1.38.
  2. Tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivun päätepisteessä, on käsitelty tehtävässä 1.39.
  3. Tarkastellaan vielä tapaus, jossa kolmion korkeusjanan toinen päätepiste sijaitsee kolmion sivun jatkeella.

    Korkeuden neliö $h^2$ voidaan ratkaista pienestä suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella: $$h^2 = b^2-x^2.$$ Se voidaan ratkaista myös isommasta suorakulmaisesta kolmiosta samaan tapaan: $$h^2 = c^2 - (a+x)^2.$$ Yhdistämällä nämä tulokset saadaan yhtälö $$c^2 - (a+x)^2 = b^2-x^2.$$ Kun käytetään summan neliön kaavaa tai kerrotaan sulut auki lausekkeesta $(a+x)^2$, saadaan yhtälö muotoon $$c^2-(a^2+2ax + x^2) = b^2 - x^2.$$ Kun huomioidaan miinusmerkin vaikutus, saadaan yhtälö muotoon $$c^2 - a^2 - 2ax - x^2 = b^2 - x^2.$$ Kun lisätään tämän yhtälön molemmille puolille $a^2 + 2ax + x^2$, saadaan yhtälö $$c^2 = a^2 + b^2 + 2ax.$$
    Pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta voidaan nyt ratkaista $x$: $$\frac{x}{b} = \cos(\textcolor{blue}{180^\circ - \gamma}),$$ joten $$x = b\cos(\textcolor{blue}{180^\circ - \gamma}).$$ Edellisessä kappaleessa havaittiin, että kulman ja sen suplementtikulman kosini ovat toistensa vastaluvut (teoreema 5), joten $\cos(\textcolor{blue}{180^\circ - \gamma}) = -\cos \gamma$. Siten $$x = -b\cos\gamma.$$ Kun tämä sijoitetaan edellä johdettuun yhtälöön, saadaan yhtälö $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma.$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan kosinilauseen soveltamista.

Tehtävänä on laskea yllä olevan suunnikkaan lävistäjien pituudet.

  1. Merkitse alla olevassa kuvassa näkyvää lävistäjää jollakin kirjaimella ja ratkaise sen pituus kosinilauseen avulla. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Päättele alla olevaan kuvaan merkityn kulman $\gamma$ suuruus.

    Vinkki: vieruskulmat ja samankohtaiset kulmat.
  3. Ratkaise suunnikkaan toisen lävistäjän pituus.

  1. Lävistäjän pituus on noin 6,57.
  2. $125^\circ$
  3. Toisen lävistäjän pituus on noin 11,6.

Kolmion sivujen pituudet ovat 3 cm, 5 cm ja 7 cm. Tehtävänä on laskea kolmion suurimman kulman suuruus.

  1. Päättele, mikä kolmion suurimman kulman vastaisen sivun pituus. Selitä omin sanoin, miten ajattelit.
  2. Piirrä kolmiosta mahdollisimman tarkka kuva seuraavien ohjeiden mukaan:
    • Piirrä 7 cm pitkä vaakasuora jana.
    • Piirrä harpilla ympyrä, jonka keskipiste on janan vasen päätepiste ja säde 3 cm.
    • Piirrä harpilla ympyrä, jonka keskipiste on janan oikea päätepiste ja säde 5 cm.
    • Ympyröiden leikkauspisteet sopivat kolmion kolmanneksi kärjeksi, sillä niiden etäisyys janan kummastakin päätepisteestä on sopiva. Valitse toinen leikkauspisteistä ja piirrä kolmio näkyviin.
    Tarkista kuvasta, oliko a-kohdan johtopäätöksesi oikea.
  3. Ratkaise kolmion suurimman kulman suuruus kosinilauseen avulla.
    Vinkki: Ratkaise ensin kulman kosinin arvo. Määritä sen jälkeen kulman suuruus laskimen avulla.

  3. Kolmion suurin kulma on $120^\circ$.

Riian satamasta lähtenyt laiva on purjehtinut ensin 133 km luoteeseen ja sen jälkeen 80 km länteen. Tehtävänä on laskea, miten kaukana laiva on satamasta.

  1. Tarkista tarvittaessa ilmansuuntien nimitysten merkitys esimerkiksi netistä.
  2. Piirrä tilanteesta mallikuva. Merkitse siihen kaikki tunnetut etäisyydet ja kulmat, jotka voidaan päätellä ilmansuuntien avulla.
  3. Miten kaukana laiva on satamasta? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  3. Laivan etäisyys satamasta on noin 200 km.

Kolmion sivujen pituudet ovat $4$, $3$ ja $\sqrt{7}$.

  1. Piirrä kolmio harpin ja viivottimen avulla. Katso tarvittaessa ohjeita tehtävästä 1.41.
  2. Kokeile, toteuttaako tämä kolmio Pythagoraan lauseen yhtälön $c^2 = a^2 + b^2$.
  3. Selvitä kolmion suurimman kulman suuruus kosinilauseen avulla.

  3. Suurin kulma on $90^\circ$.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan yleistää: Jos kolmion kahden sivun neliöiden summa on sama kuin kolmannen sivun neliö, niin kolmio on suorakulmainen. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Jos kolmion sivut $a$, $b$ ja $c$ toteuttavat yhtälön $c^2 = a^2 + b^2$, niin sivujen $a$ ja $b$ välinen kulma on suora kulma.

Perustelu: Kosinilauseen mukaan $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma,$$ missä $\gamma$ on sivujen $a$ ja $b$ välinen kulma. Koska oletuksen mukaan $c^2 = a^2 + b^2$, voidaan päätellä, että $$2ab\cos\gamma = 0.$$ Sivujen pituudet $a$ ja $b$ ovat positiivisia, joten tulon nollasäännöstä seuraa, että $\cos \gamma = 0$. Ainoa välin $[0^\circ, 180^\circ]$ kulma, jonka kosini on nolla, on suora kulma. Siis $\gamma = 90^\circ$.

Kolmion sivujen pituudet ovat $2\sqrt{2}$, $6$ ja $2\sqrt{7}$.

  1. Miten voit päätellä ilman laskinta, mikä on kolmion pisin sivu?
  2. Osoita, että kolmio on suorakulmainen.

  1. Tutki sivujen pituuksien neliöitä eli toisia potensseja.
  2. Teoreema 9.

Kolmion pinta-ala

Halutaan piirtää kolmio, jonka korkeus on kolminkertainen kantaan verrattuna ja jonka pinta-ala on 24 cm$^2$.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Merkitse kolmion kannan pituutta jollakin kirjaimella. Miten saat ilmaistua kolmion korkeuden samaa kirjainta käyttäen?
  2. Muodosta sopiva yhtälö ja määritä kolmion kannan pituus. Laske sitä vastaava kolmion korkeus.
  3. Piirrä kaksi erilaista kolmiota, jotka täyttävät tehtävän vaatimukset.

  1. Olkoon kanta esimerkiksi $a$, jolloin korkeus on $3a$.
  2. Korkeus 12 cm.

Kolmion pinta-ala

Tasakylkinen kolmio tarkoittaa kolmiota, jossa on kaksi yhtä pitkää sivua. Symmetrian vuoksi tasakylkisen kolmion korkeusjana jakaa kannan kahteen yhtä pitkään osaan ja kantakulmat ovat yhtä suuret.

Tiedetään, että tasakylkisen kolmion kanta on puolet kolmion korkeudesta ja että kolmion pinta-ala on 27,0 cm$^2$. Tehtävänä on määrittää kolmion kaikkien sivujen pituudet.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Merkitse kolmion korkeutta jollakin kirjaimella. Miten saat ilmaistua kannan pituuden samaa kirjainta käyttäen?
  2. Määritä kolmion korkeus ja kannan pituus.
  3. Määritä kolmion kylkien pituus.

  1. Olkoon korkeus esimerkiksi $h$, jolloin kanta on $\frac{1}{2}h$.
  2. Korkeus noin $10{,}4 \text{ cm}$ ja kanta noin $5{,}20 \text{ cm}$.
  3. Kumpikin kylki noin $10{,}7 \text{ cm}$.

Kulmat

Päättele kulmien $\alpha$ ja $\beta$ suuruudet ja perustele vastauksesi.

  2. Suorat $L_1$ ja $L_2$ ovat yhdensuuntaiset.

  1. $\alpha = 43^\circ$ (vieruskulma) ja $\beta = 137^\circ$ (ristikulma)
  2. $\alpha = 37^\circ$ (samankohtaiset kulmat) ja $\beta = 143^\circ$ (vieruskulma)

Kulmat

  1. Päättele kulman $\alpha$ suuruus.
  2. Päättele kulmien $\beta$, $\gamma$ ja $\delta$ suuruudet

  1. $\alpha = 119^\circ$ ($\alpha + 27^\circ = 146^\circ$, ristikulmat)
  2. $\beta = 51{,}1^\circ$ (kolmion kulmien summa), $\delta = 60^\circ$ (samankohtaiset kulmat), $\gamma = 68{,}9^\circ$

Kolmioiden yhdenmuotoisuus

Tasaiselle kentälle pystytetyn lipputangon varjon pituudeksi mitattiin 9,6 metriä. Lipputangon korkeuden määrittämiseksi sen viereen pystytettiin 1,50 metrin pituinen keppi, jonka varjon pituudeksi mitattiin 1,25 metriä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Määritä lipputangon korkeus.

  2. Noin 11,5 metriä.

Kolmioiden yhdenmuotoisuus

Juhlasalin valaisimen etäisyyttä lattiasta arvioitiin pitelemällä sen alla vaakasuorassa 25 cm pituista viivotinta 20 cm etäisyydellä lattiasta. Viivottimen varjoksi mitattiin 27 cm.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Mikä oli valaisimen etäisyys lattiasta?

  2. Noin 2,7 metriä.

KOLMIOIDEN YHDENMUOTOISUUS

Suorakulmaisen kolmion kateettien pituus on 6 cm ja 8 cm. Kolmion sisään on piirretty neliö, jonka kaksi sivua on kateeteilla ja yksi kärki hypotenuusalla. Tehtävänä on laskea neliön sivun pituus.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat. Merkitse neliön sivun pituutta jollakin kirjaimella.
  2. Piirroksessa on näkyvissä kaksi pienempää suorakulmaista kolmiota. Valitse niistä toinen ja ilmaise sen kateettien pituudet ison kolmion kateettien ja neliön sivun pituuden avulla.
  3. Muodosta sopiva verrantoyhtälö ja ratkaise neliön sivun pituus. Anna tarkka arvo ja likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella.

  3. $\frac{24}{7} \text{ cm} \approx 3{,}4 \text{ cm}$.

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Henkilö oli unohtanut avaimet kotiin, mutta muisti jättäneensä yläkerran ikkunan auki. Kun 3,8 m pitkät tikapuut asetettiin ikkunan alareunaa vasten, tikkaiden alapään etäisyydeksi talon seinästä mitattiin 1,4 metriä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Kuinka korkealla ikkunan alareuna oli?
  3. Työterveyslaitos antaa seuraavia ohjeita tikkaiden käyttöön: "Tikkaat, jotka sijoitetaan jyrkempään kuin 70° kulmaan tulee varustaa kaatumisenestolaitteilla. Kaatuminen voidaan estää tikkaan päähän asennettavilla koukuilla tai sitomalla tikkaat rakenteisiin. Tikkaita ei saa myöskään käyttää loivemmassa kuin 60° kulmassa ilman erikoistoimia. Tikkaiden asianmukainen kiinnitys yläpäästä rakenteisiin estää tehokkaasti myös liukumista." Laske tikkaiden kaltevuuskulma tehtävän tilanteessa. Olisiko tässä tilanteessa ollut syytä varautua tikkaiden kaatumiseen tai luisumiseen?

  2. Noin 3,5 metrin korkeudessa.
  3. Kaltevuuskulma on noin $68^\circ$, joten erillisiä varotoimenpiteitä ei tarvita.

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Seikkailijan pitää vuolaasti virtaava joki liu'ulla, joka on kiinnitetty 30 metriä pitkään vaakasuoraan vaijeriin. Seikkailijan paino venyttää vaijeria, jolloin hän laskeutuu lähemmäs vedenpintaa, alimmilleen vaijerin keskikohdassa. Jos seikkailijan vauhti ei riitä vastarannalle asti, hinaa siellä odottava henkilö hänet perille apuköyden avulla. Vaijerin venymäksi on ilmoitettu enintään 200 kilogramman kuormilla 0,125 %. Tehtävänä on laskea, miten paljon vaijerin keskikohta lasketuu vaakatasosta.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat. Laske myös vaijerin pituus venytettynä.
  2. Miten paljon vaijerin keskikohta lasketutuu vaakatasoon verrattuna?
  3. Kuinka korkealle vaakasuora vaijeri pitäisi kiinnittää, jotta seikkailija pääsisi vastarannalle kuivana? Liuku, jolla seikkailija istuu, roikkuu 120 cm vaijerin alapuolella.

  1. Vaijerin pituus venytettynä 30,0375 metriä.
  2. Vaijerin keskikohta laskeutuu noin 75 cm.
  3. Vähintään 1,95 cm korkeudelle veden pinnasta (olettaen, että seikkailija nostaa jalkansa ylös liu'ulla istuessaan).

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Kun 2700 mm pitkän ja 50 mm paksun lattialistan toinen pää oli nurkassa samaan tapaan kuin alla olevassa kuvassa, jäi toinen pää vastapäiselle seinälle 35,0 cm korkeudelle. Tehtävänä on selvittää, miten paljon listaa pitää lyhentää.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Tunnista kuvasta kaksi suorakulmaista kolmiota, joista on apua tehtävän ratkaisemisessa. Ovatko nämä kolmiot yhdenmuotoisia?
  3. Kuinka paljon listaa pitää lyhentää, jotta se on sopivan mittainen? Anna vastaus millimetrin tarkkuudella.

  3. Noin 16 mm.

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Ranskassa Atlantin rannikolla Saint Malossa vedenpinnan korkeus voi vaihdella nousu- ja laskuveden välillä jopa yli yhdeksän metriä.

  1. Vesirajan mitattiin siirtyneen rannalla 62 metriä nousu- ja laskuveden välillä, kun ilmoitettu vedenkorkeuden muutos oli 4,31 metriä. Mikä oli rannan keskimääräinen kaltevuuskulma?
  2. Kuinka paljon vesiraja siirtyy, jos vedenkorkeus muuttuu 9,85 metriä? Oletetaan, että ranta viettää tasaisesti niin, että kaltevuuskulma on likimain vakio.

  1. Noin $4{,}0^\circ$.
  2. Kahden merkitsevän numeron tarkkuudella noin 140 metriä.

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Sienestäjä kävi tarkastamassa kolme salaista sieniapajaansa kävelemällä metsäautotien päästä ensin 400 m etelään, sitten 950 m itään ja vielä 1 200 m etelään. Tehtävänä on selvittää, mihin kompassisuuntaan hänen pitää kulkea viimeisestä sienipaikasta, jos hän haluaa päästä suoraan takaisin lähtöpaikkaansa mahdollisimman lyhyttä reittiä. Kompassisuunta ilmaistaan asteina pohjoisesta myötäpäivään lukien.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat. Täydennä piirros sopivaksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
  2. Mihin kompassisuuntaan sienestäjän pitää kulkea, jotta hän pääsisi suoraan takaisin lähtöpaikkaansa?

  2. Kompassisuunta on noin $329^\circ$ eli luoteen ja pohjoisen väliin.

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Bengtskärin majakan huipulla seisova henkilö havaitsee suoraan etelässä purjeveneen ja hylkeen. Purjevene näkyy $5^\circ$ ja hylje $25^\circ$ vaakatason alapuolella. Henkilön pää on suunnilleen majakan valon korkeudella eli noin 51 metriä merenpinnan yläpuolella. Tehtävänä on selvittää purjeveneen etäisyys hylkeestä.

  1. Piirrä mallikuva sekä purjeveneen että hylkeen sijainnista majakkaan verrattuna eli yhteensä kaksi mallikuvaa.
  2. Mikä on purjeveneen etäisyys majakasta?
  3. Mikä on purjeveneen etäisyys hylkeestä?

  1. Purjeveneen etäisyys majakasta on noin 580 metriä.
  2. Purjeveneen etäisyys hylkeestä on noin 470 metriä.

SUORAKULMAINEN KOLMIO

Autoilijoita saatetaan varoittaa jyrkästä mäestä liikennemerkillä. Merkissä ilmoitetaan mäen kaltevuus suhteena $$\frac{\text{ korkeuden muutos }}{\text{ vaakasuora siirtymä }}$$

  1. Selvitä mäen kaltevuuskulma asteina yllä olevan liikennemerkin tapauksessa. Muista piirtää mallikuva.
  2. Lenkkeilijä juoksee mäen rinteen tietä pitkin ja mittaa matkaksi gps-kellonsa avulla 500 metriä. Kuinka korkea mäki tämän perusteella on? Oletetaan, että mäelle nouseva tie ei mutkittele.

  1. Mäen kaltevuuskulma on noin $4^\circ$.
  2. Mäen korkeus on noin 35 metriä.

TYLPÄN KULMAN KOSINI JA SINI

Ilmaise pisteen $A$ koordinaatit 152 asteen kulman kosinin ja sinin avulla. Mitkä ovat koordinaattien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella?

$A = (\cos 152^\circ, \sin 152^\circ) \approx (-0{,}883;\, 0{,}469)$

TYLPÄN KULMAN KOSINI JA SINI

  1. Merkitse kulma $118^\circ$ koordinaatistoon ja määritä $\cos 118^\circ$ laskimella kolmen desimaalin tarkkuudella. Onko välillä $[0^\circ, 180^\circ]$ olemassa toinen kulma $\alpha$, jonka kosini on yhtä suuri? Jos on, niin mikä?
  2. Merkitse kulma $165^\circ$ koordinaatistoon ja määritä $\sin 165^\circ$ laskimella kolmen desimaalin tarkkuudella. Onko välillä $[0^\circ, 180^\circ]$ olemassa toinen kulma $\alpha$, jonka sini on yhtä suuri? Jos on, niin mikä?
  3. Merkitse kulma $78^\circ$ koordinaatistoon ja määritä $\sin 78^\circ$ laskimella kolmen desimaalin tarkkuudella. Onko välillä $[0^\circ, 180^\circ]$ olemassa toinen kulma $\alpha$, jonka sini on yhtä suuri? Jos on, niin mikä?

  1. $\cos 118^\circ \approx -0{,}469$. Välillä $[0^\circ, 180^\circ]$ ei ole olemassa toista kulmaa, jonka kosini olisi yhtä suuri.
  2. $\sin 165^\circ \approx 0{,}259$. Myös $\sin 15^\circ = \sin 165^\circ$.
  3. $\sin 78^\circ \approx 0{,}978$. Myös $\sin 102^\circ = \sin 78^\circ$.

TYLPÄN KULMAN KOSINI JA SINI

Merkitse koordinaatistoon jokin kulma $\alpha$, joka on välillä $[0^\circ, 180^\circ]$, ja sen suplementtikulma $180^\circ - \alpha$. Päättele piirroksesi avulla ilman laskinta kulman $180^\circ - \alpha$ sini ja kosini, jos

  1. $\sin \alpha = 0{,}8$ ja $\cos \alpha = 0{,}6$
  2. $\sin \alpha = 0{,}352$ ja $\cos \alpha = -0{,}936$.

  1. $\sin (180^\circ - \alpha) = 0{,}8$ ja $\cos (180^\circ - \alpha) = -0{,}6$
  2. $\sin (180^\circ - \alpha) = 0{,}352$ ja $\cos (180^\circ - \alpha) = 0{,}936$.

TYLPÄN KULMAN KOSINI JA SINI

Luonnostele koordinaatistoon kaikki sellaiset kulmat $\alpha$, jotka ovat välillä $[0^\circ, 180^\circ]$ ja joilla

  1. $\cos \alpha = 0{,}87$
  2. $\sin \alpha = 0{,}45$
  3. $\cos \alpha = -0{,}13$
  4. $\sin \alpha = -0{,}62$.

Määritä kulmien suuruus laskimella asteen kymmenesosan tarkkuudella.

  1. $\alpha \approx 29{,}5^\circ$
  2. $\alpha \approx 26{,}7^\circ$ tai $\alpha \approx 153{,}3^\circ$
  3. $\alpha \approx 97{,}5^\circ$
  4. Mikään välin $[0^\circ, 180^\circ]$ kulma ei toteuta tätä yhtälöä. Jos kulma on välillä $[0^\circ, 180^\circ]$, sen sinin arvo on aina vähintään nolla.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Joen leveyttä arvioitiin mittaamalla kahden havaintopisteen välinen etäisyys ja kulmat, joissa vastarannalla oleva kiintopiste näkyi niistä katsottuna.

  1. Ratkaise kolmion jomman kumman tuntemattoman sivun pituus.
  2. Ratkaise joen leveys.
  3. Keksi toinen tapa, jolla voisit ratkaista joen leveyden (a-kohdan tulosta saa käyttää). Ratkaise joen leveys tällä tavalla.
    Vinkki: teoreemat 1 & 6 tai trigonometriset suhteet.

  1. Lyhyempi sivu noin 123 m, pitempi sivu noin 392 m.
  2. Joen leveys kahden merkitsevän numeron tarkkuudella noin 100 metriä.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Rotkon leveyttä arvioitiin tutkimalla, missä kulmassa rotkon toisella puolella kasvavan männyn latva näkyi. Rotkon reunalta katsottaessa männyn latva näkyi 15 asteen kulmassa vaakatason yläpuolella ja 50 metrin päässä rotkon reunasta kulma oli 9 astetta.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut pituudet ja kulmat. Merkitse rotkon leveyttä jollakin kirjaimella.
  2. Mitkä piirroksen neljästä tuntemattomasta kulmasta ovat sellaisia, että pystyt päättelemään niiden suuruuden, vaikka sitä ei ole tehtävänannossa kerrottu? Selvitä kaikkien tällaisten kulmien suuruudet.
  3. Mieti, mitkä kolmioiden sivuista ovat sellaisia, joiden pituus sinun pitää ratkaista, jotta pystyt selvittämään rotkon leveyden. Ratkaise tarvittavien sivujen pituudet. Kuinka leveä rotko on?
    Vinkki: teoreema 7 ja sopiva trigonometrinen suhde.

  3. Noin 72 metriä leveä.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Kaksi retkeilevää ryhmää havaitsi matalalla lentävän lentokoneen noin klo 15.05. Ensimmäinen ryhmä näki koneen ohittavan heidät lännen puolella noin 30 asteen korkeudessa. Toinen ryhmä huomasi koneen lentävän idässä noin 15 asteen korkeudessa. Kartan mukaan retkikuntien välimatka oli havaintohetkellä noin 8 km.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut pituudet ja kulmat.
  2. Miten korkealla lentokone lensi havaintohetkellä?

Vinkki: teoreemat 1, 2, 6 & 7.

  2. Kone lensi noin 1,5 km korkeudessa.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Kolmion muotoisen metsäpalstan sivujen pituuksiksi mitattiin 1,8 km, 2,1 km ja 3,0 km. Tehtävänä on selvittää palstan pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Ratkaise kolmion jonkin kulman suuruus. Talleta saamasi tulos laskimen muistiin pyöristämättä sitä.
  3. Laske metsäpalstan pinta-ala. Käytä laskuissa edellisessä kohdassa laskimen muistiin tallettamaasi kulman tarkkaa arvoa.

  3. Noin $1{,}9 \text{ km}^2$.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Pikainen nettihaku kertoo, että Pariisin suurin lentokenttä CDG sijaitsee 20 km Pariisista koilliseen ja noin 67 000 asukkaan kaupunki Bourges sijaitsee 197 km Pariisista etelään linnuntietä mitattuna. Tehtävänä on arvioida näiden tietojen pohjalta, mikä on Bourgesin ja Charles de Gaulle -lentokentän välinen etäisyys linnuntietä pitkin.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut etäisyydet ja pääteltävissä olevat kulmat.
  2. Arvaa, mikä on Bourgesin ja Charles de Gaulle -lentokentän välinen etäisyys linnuntietä pitkin. Vertaa arvaustasi kaverisi arvaukseen.
  3. Laske Bourgesin ja Charles de Gaulle -lentokentän välinen etäisyys. Kuinka lähelle arvauksesi osui?

  3. Noin 212 km.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Yleisurheilussa esimerkiksi kuulantyönnön tai kiekonheiton pituus voidaan mitata optisesti niin sanotun takymetrin avulla. Paikassa $A$ sijaitseva laite mittaa etäisyyden kuulantyöntö- tai kiekonheittoringin keskipisteeseen $B$ ja putoamispaikkaan $C$ sekä kulman $CAB$. Näistä tiedoista voidaan tietokoneella laskea urheilijan tulos.

  1. Keikonheittoringin halkaisija on 2,50 m. Laske heiton pituus tilanteessa, jossa $AB = 35{,}53 \text{ m}$, $AC = 54{,}31 \text{ m}$ ja $\sphericalangle CAB = 97{,}2^\circ$.
  2. Tietokoneeseen syötetään heittoringin halkaisija $d$, etäisyydet $AB= b$ ja $AC = c$ sekä kulma $\sphericalangle CAB = \alpha$. Ohjelmoijan tehtävä on muodostaa näistä lauseke, joka antaa tuloksena heiton pituuden. Auta ohjelmoijaa ja muodosta lauseke heiton pituudelle.

  1. 67,27 m
  2. $\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos \alpha} - \frac{d}{2}$

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Mökkien $A$ ja $B$ välinen etäisyys on 1150 m. Mökkien yhteinen laituri rakennetaan paikkaan, jonka etäisyys mökistä $A$ on 800 metriä ja mökistä $B$ 1050 metriä. Mökkejä yhdistävältä suoralta metsätieltä aiotaan rakentaa helppokulkuinen polku laiturille. Tehtävänä on laskea, mikä on tämän polun lyhin mahdollinen pituus eli kuinka etäällä laituri on mökkejä yhdistävästä tiestä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut etäisyydet.
  2. Ratkaise laiturin etäisyys metsätiestä.
  3. Kuinka pitkä matka mökistä $B$ on laiturille, jos kuljetaan ensin metsätietä ja sitten polkua pitkin?

  2. Noin 707 m.
  3. Noin 1480 m.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Kolmiossa $ABC$ kulman $A$ suuruus on $77^\circ$, sivun $AB$ pituus 5,8 cm ja sivun $BC$ pituus 8,3 cm.

  1. Piirrä kolmio. Kuinka monta erilaista ehdot täyttävää kolmiota voi piirtää?
  2. Laske kulmien $B$ ja $C$ suuruudet sekä sivun $AC$ pituus. Tarkista tulosten järkevyys vertaamalla piirrokseesi.

  1. Tällaisia kolmioita on mahdollista piirtää vain yksi.
  2. Kulma $B$ noin $43^\circ$, kulma $C$ noin $60^\circ$. Sivun $AC$ pituus noin 7,4 cm.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Kolmion sivujen pituudet ovat 3,6 cm, 5,4 cm ja 7,8 cm.

  1. Piirrä kolmio. Kuinka monta erilaista ehdot täyttävää kolmiota voi piirtää?
  2. Kuinka suuri on kolmion suurin kulma? Entä pienin?

  1. Tällaisia kolmioita on mahdollista piirtää vain yksi.
  2. Suurin kulma noin $118^\circ$, pienin noin $24^\circ$.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Kolmion kahden sivun pituudet ovat 8,2 cm ja 6,2 cm. Jälkimmäisen sivun vastainen kulma on 45 astetta.

  1. Piirrä kolmio. Kuinka monta erilaista ehdot täyttävää kolmiota voi piirtää?
  2. Laske kolmion muiden kulmien suuruudet ja kolmannen sivun pituus.

  1. Tällaisia kolmioita on mahdollista piirtää kaksi erilaista.
  2. Vaihtoehto 1: noin $69^\circ$ ja $66^\circ$ sekä noin 8,0 cm.
    Vaihtoehto 2: noin $111^\circ$ ja $24^\circ$ sekä noin 3,6 cm.

SINILAUSE JA KOSINILAUSE

Kolmion sivut ovat $10$, $4\sqrt{2}$ ja $2\sqrt{17}$.

  1. Osoita, että kolmio on suorakulmainen.
  2. Minkä kahden sivun välinen kulma on suora kulma?

  1. Vinkki: teoreema 9.
  2. Lyhyimpien sivujen eli sivujen $4\sqrt{2}$ ja $2\sqrt{17}$ välinen kulma.

  1. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 5 ja toisen kateetin pituus 2. Laske toisen kateetin pituus.
  2. Laske neliön piiri, kun sen lävistäjän pituus on 6.
[Pitkä S2011/1b & S2015/1b]

  1. $\sqrt{21}$
  2. $12\sqrt{2}$

  1. Kolmion kulmat muodostavat aritmeettisen jonon, ja yhden kulman suuruus on $103^\circ$. Määritä kulmien suuruudet asteina.
  2. Kolmion kulmat muodostavat geometrisen jonon, ja yhden kulman suuruus on $\frac{\pi}{7}$ radiaania. Määritä kulmien suuruudet radiaaneina.
[Pitkä S2016/5]

  1. Kulmien suuruudet $17^\circ$, $60^\circ$ ja $103^\circ$.
  2. Kulmien suuruudet $\frac{(3-2\sqrt{2})\pi}{7}$, $\frac{\pi}{7}$ ja $\frac{(3+2\sqrt{2})\pi}{7}$

  1. Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet $a < b < c$ muodostavat geometrisen jonon. Määritä jonon suhdeluku $q$.
  2. Suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituudet $a < b < c$ muodostavat aritmeettisen jonon. Määritä suhde $a : b : c$.
[Pitkä S2015/10]

  1. $q = \sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
  2. $a:b:c = 3:4:5$

Laske oheisen kuvan suorakulmaisen kolmion $ABC$ pinta‐alan tarkka arvo.

[Pitkä K2013/4]

$5\sqrt{21}$

Suorakulmaisessa kolmiossa $ABC$ kateetin $AB$ pituus on 4,4 cm ja hypotenuusan $AC$ pituus 8,1 cm. 

  1. Laske kateetin $BC$ pituus.
  2. Laske kolmion terävien kulmien suuruudet 0,1 asteen tarkkuudella.
  3. Laske kolmion pinta-ala 0,1 neliösenttimetrin tarkkuudella.

[Lyhyt K2015/4]

  1. 6,8 cm
  2. $57{,}1^\circ$
  3. $15{,}0 \text{ cm}^2$

Liito-oravan vaakasuora siirtymä suoraviivaisessa liidossa on parhaimmillaan 3,3-kertainen korkeuden vähenemiseen verrattuna.  

  1. Huippukuntoinen liito-orava aikoo liitää 60 metriä leveän aukion yli. Kuinka korkealta puusta sen täytyy ponnistaa, jotta se laskeutuisi aukion toisella puolella olevaan puuhun yhden metrin korkeudelle? Anna vastaus metrin tarkkuudella.
  2. Kuinka suuressa kulmassa vaakatasoon nähden a-kohdan liito-orava liitää? Anna vastaus asteen tarkkuudella.
[Lyhyt S2014/6]

  1. 19 m
  2. $17^\circ$ alaviistoon

Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin pituus on $a$. Kolmion sisälle asetetaan kuvion mukaisesti pienempi tasakylkinen kolmio, jonka yksi kärki sijaitsee alkuperäisen kolmion hypotenuusalla. Lisäksi jana $AB$ on hypotenuusan suuntainen. Määritä pienemmän kolmion suurin mahdollinen pinta‐ala.

[Pitkä S2015/7]

$\frac{1}{8}a^2$

Tehtävänä on todistaa niin sanottu kolmion kulmanpuolittajalause: Kolmion kulman puolittaja jakaa vastakkaisen sivun osiin, joiden suhde on yhtä suuri kuin kulman viereisten sivujen suhde. Alla olevan kuvion merkinnöillä siis $$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$$

  1. Piirrä vihkoosi kolmio $ABC$ ja kulman $A$ puolittaja. Merkitse kulmanpuolittajan ja sivun $BC$ leikkauspistettä kirjaimella $D$ kuten yllä olevassa kuvassa.
  2. Piirrä kärjestä $B$ normaali (eli kohtisuora jana) kulman $A$ puolittajalle tai sen jatkeelle. Merkitse normaalin ja kulmanpuolittajan leikkauspistettä kirjaimella $P$.
  3. Piirrä kärjestä $C$ normaali kulman $A$ puolittajalle tai sen jatkeelle. Merkitse normaalin ja kulmanpuolittajan leikkauspistettä kirjaimella $Q$.
  4. Perustele, että kolmiot $BPD$ ja $CQD$ ovat yhdenmuotoiset.
  5. Perustele, että kolmiot $APB$ ja $AQC$ ovat yhdenmuotoiset.
  6. Osoita, että $$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$$ Vinkki: Onko kolmioilla $BPD$ ja $APB$ jokin yhteinen sivu? Entä kolmioilla $CQD$ ja $AQC$? Muodosta sopivia verrantoja.

Kolmion $ABC$ kulman $C$ puolittaja leikkaa sivun $AB$ pisteessä $D$. Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa $CD = 6$, $AD = 4$ ja $DB = 3$. Määritä kolmion sivujen $AC$ ja $BC$ pituuksien tarkat arvot.

[Pitkä S2013/6]

$AC = 8$ ja $BC = 6$

Alla olevassa kuviossa on silityslauta sivusta katsottuna. Siihen liittyvät mitat on merkitty kuvioon. Laske silityslaudan korkeus lattiasta.

[Lyhyt S2015/5]

84 cm

Kuinka monta prosenttia alla olevan suorakulmion pinta-alasta on väritetty siniseksi?

37,5 %.

Vartiotornin korkeus on 15 metriä. Tornista 30 metrin etäisyydellä on 2,5 metriä korkea muuri. Muurin takana piileksii 185 cm pitkä henkilö. Kuinka kaukana muurista hän voi liikkua niin, ettei häntä havaita vartiotornista?

Enintään 1,56 metrin etäisyydellä.

Topi haluaa järjestää huoneensa uudelleen. Onko hänen mahdollista raahata 209 cm pitkä ja 106 cm leveä sänky huoneen 2,3 m pitkän päätyseinän vierestä toisen seinän viereen sänkyä kallistamatta?

Sängyn lävistäjä on noin 234 cm, joten se on suurempi kuin huoneen leveys (230 cm). Sänky ei siten mahdu pyörähtämään huoneessa poikittain.

Lentokone lähestyy Oulunsalon kenttää kolmen asteen kulmassa maahan nähden. Kiitoradan pituus on 2,5 km, ja kone koskettaa kiitorataa 300 metrin päässä sen alkupäästä. Kuinka kaukana kiitoradan alkupäästä (vaakasuoraan ajateltuna) kone oli 500 jalan korkeudessa (1 jalka = 0,3048 m)? Kuinka kauan tästä kului maakosketukseen, jos lentokoneen lähestymisnopeus ilman suhteen oli 270 km/h? Oletetaan, että sää oli tyyni.
[Lyhyt K2007/7]

Etäisyys oli noin 2600 m ja aikaa kului noin 39 sekuntia.

Suunnistusradan ensimmäinen rasti oli lähtöpaikalta 950 metriä eteläkaakkoon (kompassisuunta 157,5 astetta). Lähdettyään ensimmäiseltä rastilta ja juostuaan 400 metriä suunnistaja tuli suoralle pohjois-etelä-suuntaiselle tielle, jonka varrella lähtöpaikka oli. Kuinka kaukana suunnistaja oli lähtöpaikalta?

Suunnistajan etäisyys lähtöpaikasta oli noin 710 metriä tai noin 1040 metriä.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Tasogeometriaa

Tämän luvun tavoitteena on, että harjaannut ratkaisemaan erilaisia tasogeometrian ongelmia. Sovellat edellisessä luvussa oppimaasi kolmioiden geometriaa muiden monikulmioiden tutkimiseen ja perehdyt ympyrän geometrisiin ominaisuuksiin. Osaat

  • laskea suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-alan sekä monikulmion kulmien summan
  • piirtää säännöllisiä monikulmioita ja selvittää niihin liittyviä kulmia, sivujen pituuksia ja pinta-aloja
  • päätellä etäisyyksiä ja pituuksia mittakaavan avulla
  • määrittää kuvion pinta-alan yhdenmuotoisuussuhdetta käyttäen
  • laskea ympyrän pinta-alan ja kehän pituuden
  • määrittää ympyrän sektorin ja segmentin pinta-alan sekä kaaren pituuden
  • käyttää ympyrän keskuskulmaa, kehäkulmaa ja tangettikulmaa geometristen ongelmien ratkaisemiseen.

Edellisessä luvussa perehdyttiin kolmioiden geometriaan. Tässä kappaleessa hyödynnetään kolmioista opittuja asioita, kun tutkitaan muiden monikulmioiden ominaisuuksia. Aloitetaan sopimalla, mitä tarkoitetaan suunnikkaalla ja puolisuunnikkaalla.

MÄÄRITELMÄ: SUUNNIKAS JA PUOLISUUNNIKAS

Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.
Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa on kaksi keskenään yhdensuuntaista sivua.

Tehtävänä on johtaa lauseke suunnikkaan pinta-alalle.

  1. Piirrä vihkoosi suunnikas samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa. Jaa suunnikas kahdeksi kolmioksi piirtämällä sille lävistäjä.
  2. Muodosta lauseke kummankin kolmion pinta-alalle ja laske suunnikkaan pinta-ala niiden avulla.

Tehtävänä on johtaa lauseke puolisuunnikkaan pinta-alalle.

  1. Piirrä vihkoosi puolisuunnikas samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa. Jaa suunnikas kahdeksi kolmioksi piirtämällä sille lävistäjä.
  2. Muodosta lauseke kummankin kolmion pinta-alalle ja laske puolisuunnikkaan pinta-ala niiden avulla.

Edellisten tehtävien tulokset voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Suunnikkaan pinta-ala on sivun pituuden ja sivulle tai sivun jatkeelle piirretyn korkeuden tulo. Se saadaan myös kertomalla suunnikkaan sivujen pituuksien tulo niiden välisen kulman sinillä. Alla olevan kuvan merkinnöillä suunnikkaan pinta-ala on siis $$ah = ac\sin\beta$$
Puolisuunnikkaan pinta-ala on yhdensuuntaisten sivujen pituuksien keskiarvon ja korkeuden tulo eli alla olevan kuvan merkinnöillä $$\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Perustelu: Teoreema on perusteltu tehtävissä 2.1 ja 2.2. Huomaa, että suunnikas ja puolisuunnikas voidaan aina jakaa kahdeksi kolmioksi, joiden korkeus on $h$. Esimerkiksi

Puolisuunnikkaan muotoisen tontin yhdensuuntaiset sivut rajautuvat tiehen ja puistoon. Tien puoleisen sivun pituus on 30 m ja puiston puoleisen sivun pituus on 54 m. Tien ja puiston välinen etäisyys on 35 m. Tehtävänä on laskea tontin pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Laske tontin pinta-ala. Ilmoita tulos sekä neliömetreinä että aareina. Kertaa tarvittaessa pinta-alayksiköt esimerkiksi netistä.

  2. Tontin pinta-ala on $1470 \text{ m}^2 = 14{,}70 \text{ a}.$

Edellä johdettiin suunnikkaan ja puolisuunnikkaan pinta-ala kolmion pinta-alan avulla. Kolmioiden avulla voidaan laskea muidenkin monikulmioiden pinta-aloja. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.


Tehtävänä on laskea yllä kuvatun pellon pinta-ala.

  1. Jaa pelto kahdeksi kolmioksi. Mitä sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia sinun pitää selvittää, jotta pystyt laskemaan näiden kolmioiden pinta-alan?
    Vinkki: kolmion pinta-alaa koskevat teoreemat 1 & 6.
  2. Laske pellon pinta-ala ja anna vastaus hehtaareina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Pellon pinta-ala on noin $12 \text{ ha}$.

Edellisessä luvussa osoitettiin, että kolmion kulmien summa on aina $180^\circ$. Kolmioiden avulla voidaan laskea myös muiden monikulmioiden kulmien summia.

Tässä tehtävässä jaetaan monikulmioita kolmioiksi lävistäjien avulla. Monikulmion lävistäjä tarkoittaa janaa, joka yhdistää monikulmion kaksi sellaista kärkeä, jotka eivät ole vierekkäisiä.

  1. Piirrä vihkoosi jokin mahdollisimman omituisen muotoinen nelikulmio. Voit katsoa ideoita alla olevista nelikulmioista.
  2. Jaa piirtämäsi nelikulmio kahdeksi kolmioksi piirtämällä sille lävistäjä, joka on kokonaan nelikulmion sisällä. Päättele, mikä on nelikulmion kulmien summa.
  3. Piirrä vihkoosi jokin mahdollisimman omituisen muotoinen viisikulmio.
  4. Jaa piirtämäsi viisikulmio kolmioiksi piirtämällä sille samasta kärjestä lähteviä lävistäjiä, jotka ovat kokonaan viisikulmion sisällä. Päättele, mikä on viisikulmion kulmien summa.
  5. Keksi sääntö, miten $n$-kulmion kulmien summa saadaan kulmasta $180^\circ$.

  1. Tutki, onko alla oleva kuusikulmio mahdollista jakaa kolmioiksi piirtämällä sille samasta kärjestä lähteviä lävistäjiä, jotka ovat kokonaan kuusikulmion sisällä.
  2. Piirrä yllä oleva kuusikulmio vihkoosi ja jaa se kolmioiksi jollakin muulla tavalla. Päättele, mikä on sen kulmien summa.
  3. Edellisessä tehtävässä keksit säännön $n$-kulmion kulmien summalle. Toimiiko keksimäsi sääntö tässä tapauksessa?

Voidaan osoittaa, että edellisten tehtävien havainnot pitävät paikkansa yleisesti. Perustelu on kuitenkin sen verran monimutkainen, ettei siihen perehdytä tässä. Yksi versio seuraavan teoreeman perustelusta löytyy täältä (esimerkki 4.1.6).

TEOREEMA

Jos monikulmiossa on $n$ kärkeä eli kysymyksessä on $n$-kulmio, sen kulmien summa on $(n-2)\cdot 180^\circ$.

Monikulmioita voidaan luokitella niiden eri ominaisuuksien mukaan. Edellä on tarkasteltu esimerkiksi kolmioita, nelikulmioita ja viisikulmioita, eli on luokittelu on tehty monikulmion kulmien lukumäärän mukaan. Seuraavaksi tutustutaan toisenlaiseen monikulmioiden luokkaan: säännöllisiin monikulmioihin.

MÄÄRITELMÄ: SÄÄNNÖLLINEN MONIKULMIO

Monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret, on säännöllinen monikulmio.

Yksinkertaisin säännöllinen monikulmio on niin sanottu tasasivuinen kolmio. Sitä tutkitaan seuraavissa tehtävissä.

  1. Piirrä vihkoosi tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on 5 cm, seuraavan ohjeen mukaan:
    • piirrä viivottimen avulla jana, jonka pituus on 5 cm
    • piirrä harpin avulla ympyrä, jonka keskipiste on janan jompi kumpi pää ja jonka säde on 5 cm
    • piirrä vastaava ympyrä kuin edellisessä kohdassa, mutta vaihda keskipisteeksi janan toinen pää
    • valitse toinen ympyröiden leikkauspisteistä kolmion kolmanneksi kärjeksi.
  2. Päättele, miten suuria ovat tasasivuisen kolmion kulmat.
    Vinkki: säännöllisen monikulmion määritelmä ja teoreema 2.

Alla on näkyvissä tasasivuinen kolmio $ABC$, jonka korkeusjana jakaa sen kahdeksi pienemmäksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Tunnista suorakulmaisista kolmioista $ADC$ ja $BDC$ kaksi kulmaa, jotka ovat niissä varmasti yhtä suuria. Perustele omin sanoin. Miksi tästä seuraa, että myös kolmannet kulmat ovat keskenään yhtä suuria?
  2. Tunnista suorakulmaisista kolmioista $ADC$ ja $BDC$ kaksi sivua, jotka ovat niissä varmasti yhtä pitkiä. Perustele omin sanoin. Voiko kolmas sivu olla eri pituinen kolmioissa $ADC$ ja $BDC$?
    Vinkki: Pythagoraan lause.

Alla on näkyvissä tasasivuinen kolmio, jonka sivujen pituus on 2. Korkeusjana jakaa sen kahdeksi pienemmäksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Päättele kulman $\alpha$ suuruus.
    Vinkki: tehtävä 2.7.
  2. Päättele kulman $\beta$ suuruus.
  3. Päättele suorakulmaisen kolmion kateetin pituus $x$ edellisen tehtävän b-kohdan havaintojen avulla.
  4. Ratkaise korkeus $h$.
  5. Piirrä yllä oleva kolmio vihkoosi, mutta merkitse kirjainsymbolien tilalle edelllisissä kohdissa päättelemäsi arvot. Määritä seuraavien trigonometristen suhteiden tarkat arvot piirtämäsi kolmion avulla (täydennä symbolien $\alpha$ ja $\beta$ paikalle kulmien todelliset suuruudet):
    • $\sin \alpha$
    • $\cos \alpha$
    • $\cos \beta $
    • $\tan \beta $

Säännöllinen monikulmio, jossa on neljä kulmaa, on nimeltään neliö.

Alla on näkyvissä neliö, jonka sivujen pituus on 1. Lävistäjä jakaa sen kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

  1. Ratkaise lävistäjän pituus $x$.
  2. Ratkaise kulman $\alpha$ suuruus esimerkiksi sopivan trigonometrisen suhteen avulla.
  3. Piirrä yllä oleva neliö vihkoosi, mutta merkitse kirjainsymbolien tilalle edelllisissä kohdissa päättelemäsi arvot. Määritä seuraavien trigonometristen suhteiden tarkat arvot piirroksessa näkyvän kolmion avulla (täydennä symbolin $\alpha$ paikalle kulman todellinen suuruus):
    • $\sin \alpha$
    • $\cos \alpha$
    • $\tan \alpha$

Tehtävissä 2.9 ja 2.10 tasasivuisen kolmion ja neliön avulla muodostetut suorakulmaiset kolmiot ovat niin sanottuja muistikolmioita, joita voidaan käyttää apuna, kun määritetään trigonometristen suhteiden tarkkoja arvoja tai niitä vastaavia kulmia.

Tasasivuisen kolmion ja neliön lisäksi muita säännöllisiä monikulmioita ovat säännöllinen viisikulmio, säännöllinen kuusikulmio, säännöllinen seitsemänkulmio ja niin edelleen.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan piirtämään säännöllinen viisikulmio. Sitä ennen sovitaan vielä, mitä tarkoitetaan täydellä kulmalla eli täyskulmalla.

MÄÄRITELMÄ: TÄYSI KULMA

Täysi kulma tarkoittaa kulmaa, jonka suuruus on $360^\circ$.

Tässä tehtävässä piirretään säännöllinen viisikulmio.

  1. Piirrä harpin avulla ympyrä ja valitse sen kehältä yksi piste. Yhdistä ympyrän keskipiste janalla valitsemaasi pisteeseen.
  2. Jaa täysi kulma eli $360^\circ$ viiteen osaan (koska piirretään viisikulmiota). Piirrä kolmioviivaimen avulla tämän suuruinen kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä ja toinen kylki on äsken piirtämäsi jana. Merkitse toisen kyljen ja ympyrän kehän leikkauspiste näkyviin.
  3. Piirrä lisää samanlaisia kulmia, kunnes olet saanut ympyrän kehälle viisi pistettä.
  4. Muodosta viisikulmio yhdistämällä ympyrän kehällä olevat pisteet janoilla.
  5. Kuinka suuria ovat syntyneen viisikulmion kulmat? Voit päätellä kulmien suuruuden kuvion tasakylkisten kolmioiden avulla tai hyödyntää teoreemaa 11.
  6. Jos ympyrän säde on 3, mikä on yllä kuvatulla tavalla piirretyn viisikulmion sivun pituus?
    Vinkki: kosinilause.

  5. $108^\circ$
  6. Sivun pituus on $3\sqrt{2(1-\cos 72^\circ)} \approx 3{,}53$.

Myös muut säännölliset monikulmiot voidaan piirtää edellisen tehtävän ideaa soveltaen.

Kolmioita käsittelevässä luvussa määriteltiin, mitä tarkoitetaan yhdenmuotoisilla kolmioilla. Yhdenmuotoisuuden käsite voidaan laajentaa muihinkin tasokuvioihin. Kuviot, jotka saadaan toisistaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla, suurentamalla tai pienentämällä, ovat yhdenmuotoiset.

MÄÄRITELMÄ: KUVIOIDEN YHDENMUOTOISUUS JA MITTAKAAVA

Kuviot ovat yhdenmuotoiset, jos ne toteuttavat seuraavat ehdot:

  • kulma ja sen vastinkulma ovat aina yhtä suuret
  • suhde $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$ on sama riippumatta siitä, mitä kuvion janaa tarkastellaan.

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset, yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava tarkoittaa edellä mainittua suhdetta $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$

  1. Alla on näkyvissä tähti ja sen pienennös. Määritä kuvioiden yhdenmuotoisuussuhde.
  2. Taiteilija maalasi samasta aiheesta sekä seinämaalauksen (freskon) että taulun. Molemmat olivat suorakulmion muotoisia. Seinämaalauksen leveys oli 6,87 m ja korkeus 3,55 m. Taulun leveys oli 128 cm ja korkeus 89 cm. Olivatko seinämaalaus ja taulu yhdenmuotoiset?

  1. Yhdenmuotoisuussuhde on $\dfrac{0{,}5 \text{ cm}}{2 \text{ cm}} = \dfrac{1}{4}$ eli $1 : 4$.
  2. Eivät olleet.

Mitkä seuraavista tasokuvioista ovat aina yhdenmuotoisia? Tarkista kuvioiden nimitysten merkitys tarvittaessa esimerkiksi netistä.

  1. suunnikas
  2. neliö
  3. tasakylkinen kolmio
  4. tasasivuinen kolmio
  5. ympyrä

Jos kuviot ovat aina yhdenmuotoisia, piirrä kuvio ja sen suurennos mittakaavassa $2:1$. Jos kuviot eivät ole aina yhdenmuotoisia, piirrä esimerkki kahdesta kuviosta, jotka eivät ole yhdenmuotoisia.

Kaikki neliöt ovat keskenään yhdenmuotoisia, samoin kaikki tasasivuiset kolmiot ja kaikki ympyrät. Suunnikkaista ja tasakylkisistä kolmioista on mahdollista keksiä esimerkkejä, jotka eivät ole keskenään yhdenmuotoisia.

Erityisesti karttojen ja rakennuspiirrustusten tapauksessa yhdenmuotoisuussuhdetta kutsutaan mittakaavaksi. Yhdenmuotoisuuden määritelmässä esiintyvä suhde $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$ tulkitaan näissä tapauksissa niin, että vastinjanan pituus tarkoittaa pituutta kuvassa ja janan pituus vastaavaa pituutta luonnossa. Kartan tai rakennuspiirustuksen mittakaava on siis $$\frac{\text{ pituus kuvassa }}{\text{ pituus luonnossa }}$$

Jyväskylän ja Pieksämäen välinen etäisyys on linnuntietä noin 73 km. Kuinka pitkä tämä matka on kartalla, jonka mittakaava on

  1. $1 : 200\,000$ (maantiekartta)
  2. $1 : 500\,000$ (ilmailukartta)?

Vinkki: aloita muodostamalla verrantoyhtälö.

  1. 36,5 cm
  2. 14,6 cm.

Mitä etäisyyttä luonnossa vastaa 4,5 cm kartalla, jonka mittakaava on

  1. $1 : 10\,000$ (suunnistuskartta)
  2. $1 : 25\,000$ (peruskartta)?

  1. 450 m
  2. 1125 m.

Tutkitaan seuraavaksi, miten yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alat liittyvät toisiinsa.


Tarkastellaan yllä olevia yhdenmuotoisia suorakulmioita.

  1. Määritä suorakulmioiden yhdenmuotoisuussuhde.
  2. Laske isomman suorakulmion toinen sivu ja kummankin suorakulmion pinta-ala.
  3. Laske suorakulmioiden pinta-alojen suhde. Vertaa sitä yhdenmuotoisuussuhteeseen. Miten ne liittyvät toisiinsa?

  1. Suhde on $1:3$.
  2. Isomman suorakulmion toinen sivu 7,5 cm. Pinta-alat $22{,}5 \text{ cm}^2$ ja $2{,}5 \text{ cm}^2$.
  3. Pinta-alojen suhde on $$\frac{2{,}5 \text{ cm}^2}{22{,}5 \text{ cm}^2} = \frac{1}{9}$$


Kuvan suorakulmiot ovat yhdenmuotoiset suhteessa $5:3$. Tehtävänä on määrittää niiden pinta-alojen suhde.

  1. Merkitään pienemmän suorakulmion sivuja $3a$ ja $3b$ kuten alla olevassa kuvassa. Mitkä tällöin ovat isomman suorakulmion sivujen pituudet? Piirrä vastaava kuva isommasta suorakulmiosta omaan vihkoosi.
  2. Laske kummankin suorakulmion pinta-ala ja niiden suhde. Miten pinta-alojen suhde näkyy a-kohdan piirroksista? Entä miten pinta-alojen suhde liittyy yhdenmuotoisuussuhteeseen? Selitä omin sanoin.

  1. $5a$ ja $5b$.
  2. Pinta-alojen suhde on $\dfrac{25}{9}$.

Edellisten tehtävien havainnot voidaan yleistää kaikille tasokuvioille. Yleistys perustuu siihen, että jokainen tasokuvio, jolla on pinta-ala, voidaan täyttää miten tahansa tarkasti suorakulmioilla ottamalla käyttöön aina vain pienempiä suorakulmioita. Tämän osoittaminen täsmällisesti on kuitenkin niin työlästä, että seuraava teoreema otetaan käyttöön ilman tarkempaa perustelua.

TEOREEMA

Jos kuviot ovat yhdenmuotoiset suhteessa $m : n$, niin kuvioiden pinta-alojen suhde on $$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{m}{n}\right)^2$$

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on siis yhdenmuotoisuussuhteen eli mittakaavan neliö.

  1. Huoneiston pohjapiirroksen mittakaava oli $1 : 50$. Huoneiston pinta-alan laskettiin olevan pohjapiirroksessa $298{,}4 \text{ cm}^2$. Mikä oli huoneiston pinta-ala? Anna vastaus neliömetreinä.
  2. Lemmenjoen kansallispuiston pinta-ala on $2\,850 \text{ km}^2$. Kuinka suurta pinta-alaa tämä vastaa kartalla, jonka mittakaava on $1: 400\,000$? Anna vastaus neliösenttimetreinä.

  1. Pinta-ala oli $74{,}6 \text{ m}^2$.
  2. Pinta-ala on noin $178 \text{ cm}^2$.

Tässä kappaleessa tutkitaan ympyrän geometrisia ominaisuuksia. Aloitetaan määrittelemällä, mitä tarkoitetaan ympyrällä ja joillakin siihen liittyvillä käsitteillä.

MÄÄRITELMÄ: YMPYRÄ

Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen säde.

Jänne on ympyrän kahden pisteen välinen jana. Halkaisija on ympyrän keskipisteen kautta kulkeva jänne.

Nimitystä ympyrä käytetään toisinaan myös ympyräviivan sisään jäävästä tasoalueesta. Ympyräviivaa itseään kutsutaan tällöin usein ympyrän kehäksi.

Ympyrän kehän pituutta voidaan arvioida säännöllisten monikulmioiden avulla piirtämällä monikulmiot sekä ympyrän sisä- että ulkopuolelle alla olevien kuvien mukaisesti. Mitä enemmän kulmia monikulmioissa on, sitä tarkemmin niiden piirit arvioivat ympyrän kehän pituutta.

Tällä tavalla voidaan arvioida myös ympyrän kehän pituuden suhdetta ympyrän halkaisijaan. Tämä suhde ei riipu ympyrän koosta vaan on sama kaikilla ympyröillä. Kysymyksessä onkin yksi kuuluisimmista matemaattisista vakioista. Sitä merkitään kirjaimella $\pi$ (pii).

MÄÄRITELMÄ: LUKU $\pi$

Luku $\pi$ on ympyrän kehän pituuden $p$ suhde halkaisijan pituuteen $d$: $$\pi = \frac{p}{d}$$

Luku $\pi$ on irrationaaliluku, eli sitä ei voi kirjoittaa murtolukumuodossa. Tästä seuraa, että ympyrän kehän pituus $p$ ja halkaisija $d$ eivät voi olla yhtä aikaa rationaalilukuja, vaan ainakin toinen niistä on aina irrationaalinen.

Luvun $\pi$ viisidesimaalinen likiarvo on $3{,}14159$. Vuonna 2013 Alexander Yee ja Shigeru Kondo selvittivät tietokoneen avulla likiarvon yli 12,1 biljoonan desimaalin tarkkuudella (12 100 000 000 050 ensimmäistä desimaalia).

Tässä tehtävässä käytetään luvun $\pi$ määritelmää ympyrän kehän pituuden selvittämiseen.

  1. Ympyrän halkaisija on 15,0 cm. Laske sen kehän pituus ja anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Muodosta yhtälö, jonka avulla saat laskettua ympyrän kehän pituuden $p$, jos tiedät ympyrän säteen $r$.

  1. Kehän pituus on noin 47,1 cm.
  2. $p = 2\pi r$

Ympyrän pinta-alaa voidaan arvioida monin tavoin. Yksi mahdollisuus on piirtää säännölliset monikulmiot sekä ympyrän sisä- että ulkopuolelle samaan tapaan kuin kehän pituutta arvoidessa. Seuraavassa tehtävässä tutustutaan toisenlaiseen tapaan järkeillä ympyrän pinta-ala.


Yllä olevassa kuvassa ympyrä on jaettu ohuisiin ympyrärenkaan muotoisiin osiin. Kun ympyrä leikataan punaista viivaa pitkin ja jokainen ohut ympyrärengas taivutetaan auki, muodostuu kuvassa näkyvä kolmion muotoinen kuvio.

  1. Mikä on ympyrän kehän pituus, jos ympyrän säde on $r$?
    Vinkki: tehtävä 2.19.
  2. Ilmaise yllä olevan kolmion kanta ja korkeus alkuperäisen ympyrän säteen $r$ avulla.
  3. Muodosta lauseke kolmion pinta-alalle. Miten se liittyy alkuperäisen ympyrän pinta-alaan? Selitä omin sanoin.

Tehtävien 2.19 ja 2.20 tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Ympyrän pinta-ala $A$ ja kehän pituus $p$ riippuvat ympyrän säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} A &= \pi r^2 \\ p &= 2\pi r \end{align*}

Perustelu: tehtävissä 2.19 ja 2.20.

Käytettävissä on rakennustarvikkeet 80 metrin aitaa varten. Tehtävänä on selvittää, kannattaako aitauksesta rakentaa ympyrän vai neliön muotoinen, jos aitauksen pinta-alan halutaan olevan mahdollisimman suuri. Lisäksi pitää selvittää, kuinka iso ero näillä kahdella vaihtoehdolla on.

  1. Piirrä kummastakin vaihtoehdosta mallikuva ja merkitse siihen tunnetut tai helposti pääteltävissä olevat mitat.
  2. Kuinka suuri on 80 metriä pitkällä aidalla aidatun neliön muotoisen alueen pinta-ala?
  3. Kuinka suuri on 80 metriä pitkällä aidalla aidatun ympyrän muotoisen alueen pinta-ala?
  4. Kuinka monta prosenttia isomman alueen pinta-ala on suurempi kuin pienemmän alueen pinta-ala?

  2. $400 \text{ m}^2$
  3. Noin $509 \text{ m}^2$.
  4. Noin 27,3 %.

Siirrytään nyt tutkimaan erilaisia ympyrän osia. Aloitetaan määrittelemällä, mitä tarkoitetaan ympryrän keskuskulmalla.

MÄÄRITELMÄ: KESKUSKULMA

Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on keskuskulma.

Keskuskulman suuruus voi olla mitä tahansa nollakulman ja täyden kulman väliltä.

Keskuskulman avulla määritellään kaaren ja sektorin käsitteet:

MÄÄRITELMÄ: KAARI, SEKTORI JA SEGMENTTI

Keskuskulman kyljet rajaavat ympyrän kehältä kaaren ja ympyrän sisältä sektorin.

Kaari ja sen päätepisteitä yhdistävä jänne rajaavat ympyrän sisältä segmentin.


Alla olevassa taulukossa on lueteltu joitakin ympyrän keskuskulmia $\alpha$. Piirrä vastaava taulukko vihkoosi ja täydennä siihen puuttuvat tiedot: keskuskulman suhde täyteen kulmaan (supistetussa murtolukumuodossa) sekä keskuskulmaa vastaava kaaren osuus ympyrän kehästä ja keskuskulmaa vastaavan sektorin osuus ympyrän pinta-alasta. Voit käyttää päättelyssä apuna esimerkiksi yllä olevaa kuvaa.

$\alpha$ $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ Kaaren osuus ympyrän kehästä Sektorin osuus ympyrän pinta-alasta
$180^\circ$
$120^\circ$
$\phantom{1}90^\circ$
$\phantom{1}60^\circ$
$\phantom{1}45^\circ$
$\phantom{1}36^\circ$
$\phantom{1}30^\circ$

Tehtävässä 2.22 havaittiin, että ympyrän kaaren pituus ja sektorin pinta-ala voidaan päätellä laskemalla niitä vastaavan keskuskulman $\alpha$ suhde täyskulmaan eli $$\frac{\alpha}{360^\circ}$$ ja ottamalla tämän suhteen mukainen osuus ympyrän kehän pituudesta ja ympyrän pinta-alasta. Tämä havainto johtaa seuraavaan teoreemaan, jonka yksityiskohtaisempi perustelu sivuutetaan.

TEOREEMA

Kaaren pituus $b$ ja sektorin pinta-ala $A_S$ riippuvat keskuskulmasta $\alpha$ ja ympyrän säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} b &= \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r \\[1mm] A_S &= \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \end{align*}

Alla on kuvattu yleisurheilukentän juoksuratojen sisäpuolinen alue. Päädyt ovat puoliympyrän muotoiset. Kaarteen pituus on 115,61 metriä.

Tehtävänä on selvittää, miten suuri osuus tästä alueesta on varattava keihäänheiton alastuloalueelle. Suositusten mukaan keihäänheiton alastuloalueen pituus on kansainvälisissä kilpailuissa 105 metriä. Heittosektorin keskuskulman suuruus on $29^\circ$.

  1. Laske juoksuratojen sisäpuolisen alueen pinta-ala.
    Vinkki: Aloita selvittämällä päädyn puoliympyrän säde.
  2. Laske keihäänheiton heittosektorin pinta-ala. Kuinka monta prosenttia se on juoksuratojen sisäpuolisen alueen pinta-alasta?

  1. Pinta-ala on noin $10\,465 \text{ m}^2$. (Päädyn puoliympyrän säde on noin 36,80 m.)
  2. Heittosektorin pinta-ala on noin $2\,790 \text{ m}^2$. Se on noin 26,7 % juoksuratojen sisäpuolisen alueen pinta-alasta.

Segmentin pinta-ala saadaan laskettua sektorin pinta-alan sekä säteiden ja jänteen rajaaman niin sanotun keskuskolmion pinta-alan avulla:

Ympyrän säde on 6. Tehtävänä on määrittää $70^\circ$ keskuskulmaa vastaavan segmentin pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva harpin ja kolmioviivaimen avulla.
  2. Laske $70^\circ$ keskuskulmaa vastaavan sektorin pinta-ala.
  3. Merkitse mallikuvaan kaikki keskuskolmion sivujen pituudet ja kulmat, jotka tiedät tai pystyt päättelemään vähällä vaivalla. Palauta mieleesi, millä eri tavoilla kolmion pinta-alan voi laskea.
    Vinkki: teoreemat 1 & 6.
  4. Laske keskuskolmion pinta-ala.
  5. Laske segmentin pinta-ala.

  2. Sektorin pinta-ala on $7\pi \approx 21{,}99$.
  4. Keskuskolmion pinta-ala on noin 16,91.
  5. Segmentin pinta-ala on noin 5,08.

New Yorkin ja Los Angelesin välinen etäisyys on linnuntietä noin 3 900 km. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon lyhyempi matka olisi, jos kaupungit yhdistettäisiin suoralla tunnelilla. Maapallon säde on noin 6 370 km.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva (maapallon poikkileikkaus) harpin ja kolmioviivaimen avulla. Merkitse kuvaan kaikki tunnetut mitat.
  2. Laske maapallon ympärysmitta. Selvitä, mikä on New Yorkin ja Los Angelesin välistä etäisyyttä vastaavan keskuskulman suuruus.
  3. Laske suoran tunnelin pituus. Kuinka paljon matka lyhenisi linnuntiehen verrattuna?
    Vinkki: teoreema 8.
  4. Kuinka syvällä maan pinnan alla tunneli kulkisi syvimmässä kohdassaan?
    Vinkki: pääset alkuun jakamalla keskuskolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi ja hyödyntämällä sopivaa trigonometrista suhdetta.
  5. Mitä sanoisit ihmiselle, joka ehdottaa tällaisen tunnelin rakentamista?

  2. Maapallon ympärysmitta on noin 40 000 km ja kysytty keskuskulma noin $35{,}1^\circ$.
  3. Tunnelin pituus olisi noin 3 840 km, joten matka lyhenisi noin 1,5 %.
  4. Tunneli kulkisi syvimmillään noin 296 km maanpinnan alapuolella.

Ympyrällä ja suoralla voi olla kaksi yhteistä pistettä, yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä. Jos yhteisiä pisteitä on kaksi, jakaa suora ympyrän kahteen segmenttiin. Jos yhteisiä pisteitä on vain yksi, suoraa kutsutaan ympyrän tangentiksi.

MÄÄRITELMÄ: YMPYRÄN TANGENTTI

Suora, joka kohtaa ympyrän vain yhdessä pisteessä, on ympyrän tangentti.

Seuraavassa teoreemassa osoitetaan, että ympyrän tangentti muodostaa aina suoran kulman sivuamispisteeseen piirretyn säteen kanssa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Ympyrän tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.

Perustelu: Käytetään niin sanottua epäsuoraa päättelyä: Tutkitaan, mitä seuraa, jos teoreema ei pidäkään paikkaansa. Siis mitä seuraa siitä, jos ympyrän tangentti ei olekaan kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan?

Olkoon ympyrän keskipiste $O$ ja tangentin sivuamispiste $P$. Piirretään ympyrän keskipisteen kautta suora, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan:

Merkitään tämän suoran ja tangentin leikkauspistettä kirjaimella $Q$. Koska nyt tutkitaan tilannetta, jossa tangentti ja säde $OP$ eivät ole toisiaan vastaan kohtisuorassa, voidaan olla varmoja, että $Q \neq P$.

Tutkitaan tarkemmin kolmiota $OPQ$. Suorat on piirretty niin, että kulma $Q$ on suora kulma. Silloin jana $OP$ on suorakulmaisen kolmion $OPQ$ hypotenuusa. Siten jana $OQ$ on lyhyempi kuin jana $OP$.

Toisaalta piste $Q$ on ympyrän ulkopuolella (vrt. ylempi kuva), joten janan $OQ$ pituus on suurempi kuin ympyrän säde. Janan $OP$ pituus taas on sama kuin ympyrän säde. Siten jana $OQ$ on pitempi kuin jana $OP$.

Näin on päädytty ristiriitaan: jana $OQ$ on yhtä aikaa lyhyempi ja pitempi kuin jana $OP$. Tähän päädyttiin tilanteessa, jossa teoreema ei pitänyt paikkaansa. Voidaan päätellä, että tällainen tilanne on mahdoton. Siis teoreeman täytyy olla tosi.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan soveltamaan teoreeman 15 tulosta.

Maapallon kaarevan muodon vuoksi kirkkaallakaan säällä ei ole mahdollista nähdä miten tahansa kaukana olevia kohteita, sillä ne jäävät horisontin alapuolelle. Tässä tehtävässä arvioidaan, miten kauas Tallinnan televisiotornista on mahdollista nähdä kirkkaalla säällä.

Tallinnan tv-tornin näköalatasanne ulottuu noin 194 metrin korkeudelle merenpinnasta. Maapallon säde on noin 6 370 km.

  1. Yllä on näkyvissä osa maapallon poikkileikkauksesta. Piirrä vihkoosi vastaava mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Selvitä keskuskulman suuruus sopivan trigonometrisen suhteen avulla.
  3. Laske keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus (horisontin etäisyys maanpintaa pitkin). Miten kauas Tallinnan televisiotornista on mahdollista nähdä kirkkaalla säällä?
  4. Selitä omin sanoin, miten ympyrän tangetti liittyy tähän tehtävään.

  2. Keskuskulma on noin $0{,}447^\circ$.
  3. Noin 50 km päähän.

Kansainvälinen avaruusasema ISS kiertää maapalloa noin 400 km korkeudessa. Tehtävänä on selvittää, missä kulmassa maapallo näkyy avaruusasemalta. Pitää siis määrittää sen kulman suuruus, jonka kärki on avaruusasemalla ja jonka kyljet ovat maapallon poikkileikkausympyrän tangetteja:

  1. Piirrä vihkoosi tilanteesta mallikuva kuten yllä. Täydennä kuvaa seuraavasti:
    • piirrä jana avaruusasemasta maapallon keskipisteeseen
    • piirrä janat maapallon keskipisteestä kummankin tangentin sivuamispisteeseen.
  2. Merkitse mallikuvaan kaikki tunnetut tai pääteltävissä olevat etäisyydet ja kulmat. Maapallon säde on noin 6370 km.
    Vinkki: teoreema 15.
  3. Missä kulmassa maapallo näkyy avaruusasemalta?
    Vinkki: selvitä ensin kysytyn kulman puolikas sopivan trigonometrisen suhteen avulla.

  3. Noin $140^\circ$ kulmassa.

Jatkoa edelliseen tehtävään. Kansainvälinen avaruusasema ISS kiertää maapalloa noin 400 km korkeudessa. Edellisessä tehtävässä selvitit, missä kulmassa maapallo näkyy avaruusasemalta. Nyt tehtävänä on selvittää, miten kaukana toisistaan kaksi kohdetta maan pinnalla voivat olla, jos ne on mahdollista nähdä avaruusasemalta yhtä aikaa. Pitää siis määrittää tangenttien sivuamispisteiden määräämän kaaren pituus:

  1. Hyödynnä edellisessä tehtävässä piirtämääsi mallikuvaa ja päättele kaarta vastaavan keskuskulman suuruus.
  2. Miten kaukana toisistaan kaksi kohdetta maan pinnalla voivat olla, jos ne on mahdollista nähdä avaruusasemalta yhtä aikaa?
    Onko avaruusasemalta mahdollista nähdä koko Afrikka yhdessä silmänräpäyksessä? Afrikan läntisimmästä kohdasta Senegalissa on noin 7400 km sen itäisimpään kohtaan Somaliassa.

  1. Keskuskulma on noin $40^\circ$.
  2. Avaruusasemalta on mahdollista nähdä yhtä aikaa kohteet, joiden etäisyys on enintään noin 4 400 km. Koko Afrikkaa ei siis ole mahdollista nähdä yhdessä silmänräpäyksessä.

Edellisissä tehtävissä tutkittiin ympyrän ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä ympyrälle piirrettyjen tangenttien välistä kulmaa. Tätä kulmaa on tapana kutsua tangenttikulmaksi.

Tangettikulman tarkasssa määritelmässä käytetään kulman aukeaman käsitettä. Kulman aukeama tarkoittaa kulman rajaamaa tason osaa, josta alla olevassa kuvassa on näkyvissä pieni pala:

MÄÄRITELMÄ: TANGENTTIKULMA

Ympyrän kahden tangentin leikkauspisteeseen muodostuva kulma, jonka aukeamaan ympyrä sisältyy, on tangenttikulma.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma liittyvät toisiinsa.

Alla on näkyvissä tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma. Mitä voit päätellä niiden summasta $\alpha + \beta$?

Vinkki: teoreemat 11 & 15.

Tehtävän 2.29 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on oikokulma.

Perustelu: tehtävässä 2.29.

Aiemmin on sovittu, että keskuskulma tarkoittaa kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Vastaavasti kehäkulma tarkoittaa kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä. Määritelmässä vaaditaan lisäksi, että kulma on kovera eli suurempi kuin nollakulma ja pienempi kuin oikokulma.

MÄÄRITELMÄ: KEHÄKULMA

Kovera kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja jonka kyljet ovat ympyrän jänteitä, on kehäkulma.

Tehtävänä on lausua alla olevan kuvan keskuskulma $\alpha$ kehäkulman $\beta$ avulla. Kulmien $\alpha$ ja $\beta$ toinen kylki on ympyrän halkaisija.

  1. Mitä voit päätellä janojen $AB$ ja $AC$ pituudesta alla olevassa kuvassa? Mitä voit silloin päätellä kulmista $\beta$ ja $\gamma$?
  2. Ilmaise kulma $\delta$ kulmien $\beta$ ja $\gamma$ avulla.
  3. Miten voit ilmaista keskuskulman $\alpha$ kehäkulman $\beta$ avulla?

Edellisessä tehtävässä osoitettiin, että tietyssä tilanteessa keskuskulma on kaksi kertaa niin suuri kuin samaa kaarta vastaava kehäkulma. Toisin sanottuna kehäkulma on puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta. Seuraavassa teoreemassa osoitetaan, että tämä on aina totta. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kehäkulman suuruus on puolet samaa kaarta vastaavan keskuskulman suuruudesta.

Perustelu: Tapaus, jossa kehäkulman toinen kylki on ympyrän halkaisija, on käsitelty tehtävässä 2.30. Muita tapauksia on kaksi: ympyrän keskipiste voi sijaita kehäkulman aukeamassa tai sen ulkopuolella.

Molemmissa tapauksissa perustelussa voidaan hyödyntää tehtävän 2.29 tulosta, kun kuvioon lisätään apupiirrokseksi kehäkulman kärjen kautta kulkeva ympyrän halkaisija.

Esimerkiksi jälkimmäisessä tapauksessa tehtävän 2.29 nojalla $\alpha_1 = 2\beta_1$ ja $\alpha_2 = 2\beta_2$:


Tällöin \begin{align*} \alpha &= \textcolor{blue}{\alpha_1} - \textcolor{red}{\alpha_2} \\ &= 2\textcolor{blue}{\beta_1} - 2\textcolor{red}{\beta_2} \\ &= 2(\textcolor{blue}{\beta_1} - \textcolor{red}{\beta_2}) \\ &= 2\beta \end{align*} Tästä seuraa, että $$\beta = \frac{\alpha}{2}.$$ Toinen tapaus käsitellään samaan tapaan.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan kehäkulmalauseen soveltamista.

Päättele kulman $\gamma$ suuruus kehäkulmalauseen avulla.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia kehäkulmia kehäkulmalauseen avulla.

Tässä tehtävässä tutkitaan, mikä on puoliympyrään sisältyvän kehäkulman suuruus.

  1. Piirrä vihkoosi harpin avulla ympyrä. Piirrä ympyrälle halkaisija, jolloin syntyy kaksi puoliympyrää. Valitse toinen puoliympyröistä ja piirrä jokin sitä vastaava kehäkulma.
  2. Päättele puoliympyrän kaarta vastaavan keskuskulman suuruus. Mikä on sitä vastaavan kehäkulman suuruus?
    Vinkki: Kehäkulmalause.

Tässä tehtävässä tutkitaan samaa kaarta vastaavien kehäkulmien suuruutta.

  1. Piirrä vihkoosi harpin avulla ympyrä. Valitse ympyrän kehältä pisteet $A$ ja $B$ ja niiden välisistä kaarista toinen. Piirrä jokin tätä kaarta vastaava kehäkulma. Anna sille nimeksi $\beta$.
  2. Piirrä jokin toinen samaa kaarta vastaava kehäkulma samaan kuvaan. Anna sille nimeksi $\gamma$.
  3. Piirrä vielä samaa kaarta vastaava keskuskulma. Anna sillekin nimi.
  4. Ilmaise kehäkulmat $\beta$ ja $\gamma$ keskuskulman avulla. Mitä havaitset?
    Vinkki: Kehäkulmalause.

Tehtävien 2.32 ja 2.33 tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma.

Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret.

Perustelu: tehtävissä 2.32 & 2.33.

MONIKULMIOT

Laske alla olevan monikulmion piiri.

Vinkki: Mieti, miten voit muokata monikulmiota yksinkertaisemmaksi niin, että sen piiri kuitenkin säilyy samana.

Piiri on 52,0 cm.

MONIKULMIOT

Laske alla olevan monikulmion pinta-ala.

Pinta-ala on 150.

MONIKULMIOT

Janat $BC$, $FE$ ja $AD$ ovat kaikki keskenään yhdensuuntaisia eli $BC \parallel FE \parallel AD$. Laske monikulmion pinta-ala.

Pinta-ala on 576.

MONIKULMIOT

Uuteen lounaskahvilaan suunnitellaan sisustusta. Aikomuksena on hankkia neliönmuotoisia pöytiä, joihin kuhunkin mahtuu neljä henkilöä syömään. Lounaskahvilan tarjottimet ovat muodoltaan suorakulmioita, joiden sivut ovat 30 cm ja 40 cm. Pöydät halutaan mitoittaa niin, että niille mahtuu neljä tarjotinta kokonaisuudessaan.

  1. Kuinka pieniä pöydät voivat pienimmillään olla? Anna vastauksena pöytäneliön sivun pituus senttimetrin tarkkuudella.
  2. Kuinka monta prosenttia tällaisen pöydän pinta-alasta jää tyhjäksi, jos pöydän ääressä ruokailee neljä henkeä, joilla jokaisella on oma tarjotin?

  1. 70 cm
  2. Noin 2,0 %.

MONIKULMIOT

Puolisuunnikkaan pinta-ala on 30 ja sen yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 6 ja 9. Lisäksi tiedetään, että toisen erisuuntaisen sivun pituus on 5. Tehtävänä on selvittää puolisuunnikkaan neljännen sivun pituus.

  1. Selvitä puolisuunnikkaan korkeus.
  2. Piirrä tilanteesta mallikuva. Mieti, millainen suunnikkaan 5 ja 6 mittaisten sivujen välinen kulma voi olla. Piirrä kaikista oleellisesti erilaisista vaihtoehdoista oma mallikuvansa.
  3. Ratkaise puolisuunnikkaan neljännen sivun pituus eri vaihtoehdoissa.

  1. Puolisuunnikkaan korkeus on 4.
  3. Jos sivujen 5 ja 6 välinen kulma on terävä, neljännen sivun pituus on $2\sqrt{13}$.
    Jos sivujen 5 ja 6 välinen kulma on tylppä, neljännen sivun pituus on $4$.

MONIKULMIOT

Suunnitteilla olevan harjakattoisen pihavaraston leveys on 2,0 m ja pituus 2,5 m. Sen pääty muodostuu suorakulmiosta, jonka leveys on 2,0 m ja korkeus 2,1 m, sekä tasakylkisestä kolmiosta, jonka korkeus on 0,7 m. Pihavaraston katon lappeiden tulee ulottua kauttaaltaan 20 cm seinien yli. Kuinka paljon peltiä täytyy varata katon rakentamiseen?

Vähintään $8{,}24 \text{ m}^2$.

MONIKULMIOT

Kuvassa näkyvä nelikulmio $ABCD$ on neliö, ja kolmio $ABE$ on tasasivuinen. Tehtävänä on selvittää kulman $\alpha$ suuruus.

  1. Tunnista kuvasta kaikki janat, jotka ovat yhtä pitkiä kuin neliön sivu. Minkä kulmien suuruudet saat pääteltyä tämän tiedon avulla?
  2. Päättele kulman $\alpha$ suuruus.

  2. $\alpha = 150^\circ$

MONIKULMIOT

Piirrä säännöllinen kuusikulmio. Voit katsoa apua tehtävästä 2.11.

MONIKULMIOT

Jatkoa edelliseen tehtävään. Tiedetään, että säännöllisen kuusikulmion piiri on 24. Selvitä

  1. kuusikulmion kulman suuruus
  2. kuusikulmion keskipisteen etäisyys kuusikulmion kärjestä
  3. kuusikulmion pinta-ala.
Voit hyödyntää edellisessä tehtävässä piirtämääsi kuusikulmiota mallikuvana.

  1. $120^\circ$
  2. $4$
  3. $24\sqrt{3}$

MONIKULMIOT

Monikulmion sisään piirretty ympyrä tarkoittaa ympyrää, joka sivuaa monikulmion jokaista sivua. Monikulmion ympäri piirretty ympyrä tarkoittaa ympyrää, joka kulkee monikulmion jokaisen kärjen kautta.

Neliön sivun pituus on 8. Tehtävänä on selvittää sen sisään ja ympäri piirrettyjen ympyröiden säteet.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Mikä on neliön sisään piirretyn ympyrän säde?
  3. Mikä on neliön ympäri piirretyn ympyrän säde?

  2. Neliön sisään piirretyn ympyrän säde on $4$.
  3. Neliön ympäri piirretyn ympyrän säde on $4\sqrt{2}$.

MONIKULMIOT

Tasasivuisen kolmion pinta-ala on $\sqrt{3}$. Kuusi tällaista kolmiota muodostaa säännöllisen kuusikulmion. Laske sen pisimmän lävistäjän pituus.

Pisimmän lävistäjän pituus on 4.

YHDENMUOTOISUUS

Kaikkien A-sarjan paperiarkkien A0, A1, A2, A3, A4 jne. muoto on valittu niin, että se toteuttaa seuraavan ehdon: Jos valittu arkki (esimerkiksi A3) puolitetaan keskeltä lyhyemmän sivun suuntaisesti, niin näin saatu pienempi arkki (esimerkin tapauksessa A4) on yhdenmuotoinen alkuperäisen arkin kanssa.

  1. A3-arkin lyhyemmän sivun pituus on 297 mm. Kuinka pitkä arkin pitempi sivu on?
  2. A3-arkki pienennetään kopiokoneella A4-kokoon. Kuinka monta prosenttia arkille kirjoitetun tekstin kirjainten korkeus pienenee?

  1. 420 mm
  2. Noin 29 %.

YHDENMUOTOISUUS

Suorakulmion muotoisen puisen levyn sivut ovat 12 cm ja 40 cm. Levy halutaan sahata lyhyemmän sivun suuntaisesti kahteen keskenään yhdenmuotoiseen osaan. Tehtävänä on selvittää, miten sahaaminen pitää tehdä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Mieti, millä eri tavoin yhdenmuotoiset osat voivat sijaita levyssä. Piirrä kaikista oleellisesti erilaisista vaihtoehdoista oma mallikuvansa.
  2. Millä tavalla sahaaminen pitää suorittaa? Anna vastauksena syntyvien yhdenmuotoisten palojen mitat.

  2. Vaihtoehto 1: molempien palojen sivujen pituudet 12 cm ja 20 cm.
    Vaihtoehto 2: isomman palan sivujen pituudet 36 cm ja 12 cm, pienemmän palan sivujen pituudet 12 cm ja 4 cm.

YHDENMUOTOISUUS

Miten kuvion pinta-ala muuttuu, jos kuvion mitat

  1. suurennetaan viisinkertaiseksi
  2. pienennetään puoleen?

  1. Kasvaa 25-kertaiseksi.
  2. Pienenee neljäsosaan.

YHDENMUOTOISUUS

Miten kuvion mittoja tulee muuttaa, jotta sen pinta-ala

  1. kasvaisi kaksinkertaiseksi
  2. pienenisi sadasosaan?

  1. Kasvattaa kertoimella $\sqrt{2}$.
  2. Pienentää kymmenesosaan alkuperäisestä.

YHDENMUOTOISUUS

  1. Mikä on pienten valkoisten ympyröiden yhteenlasketun pinta-alan suhde ison ympyrän pinta-alaan?
  2. Miten voit ratkaista tehtävän käyttämättä ympyrän pinta-alan kaavaa?

  1. Suhde on $\frac{7}{9}$.
  2. Selvitä pienen ja ison ympyrän yhdenmuotoisuussuhde esimerkiksi niiden säteitä tai halkaisijoita vertaamalla. Laske yhdenmuotoisuuden avulla pienen ja ison ympyrän pinta-alojen suhde. Muodosta kysytty suhde tämän avulla.

YHDENMUOTOISUUS

Kolmion muotoisen metsäpalstan $ABC$ pinta-ala on 231 hehtaaria. Perinnönjaon yhteydessä palsta päätetään jakaa kahdella sivun $BC$ suuntaisella linjalla kolmeen osaan niin, että linjojen väliin jäävän puolisuunnikkaan muotoisen osan pinta-ala on $\frac{3}{7}$ alkuperäisen metsäpalstan pinta-alasta ja kaksi muuta osaa ovat keskenään yhtä suuria. Määritä linjojen aloituskohdat palstan sivulla $AB$, jonka pituus on 1,45 km.

Ensimmäisen linjan aloituspiste sivulla $AB$ noin 775 metriä pisteestä $A$. Toisen linjan aloituspiste sivulla $AB$ noin 1225 metriä pisteestä $A$.

YHDENMUOTOISUUS

Jo antiikin ajan kreikkalaiset pitivät esteettisesti miellyttävänä suorakulmiota, jonka muoto toteuttaa seuraavan ehdon: Jos suorakulmion päädystä erotetaan neliö, jonka sivu on yhtä pitkä kuin suorakulmion lyhyempi sivu, niin jäljelle jäävä suorakulmio on yhdenmuotoinen alkuperäisen suorakulmion kanssa. Tällaista suorakulmiota sanotaan kultaiseksi suorakulmioksi. Yksi esimerkki on näkyvissä alla.

Tehtävänä on selvittää kultaisen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus, jos sen pitemmän sivun pituus on 1.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen tunnetut mitat. Piirrä kuvaan näkyviin myös neliö, josta ehdossa puhutaan. Merkitse sen sivun pituutta jollakin kirjaimella.
  2. Muodosta lauseke kuvassa näkyvän pienen suorakulmion lyhyemmän sivun pituudelle.
  3. Muodosta yhdenmuotoisuuden avulla verrantoyhtälö. Mikä on alkuperäisen kultaisen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus?

  2. Jos neliön sivun pituus on esimerkiksi $x$, niin pienen suorakulmion lyhyemmän sivun pituus on $1-x$.
  3. $\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

YMPYRÄ

Kahden euron kolikon halkaisija on 25,75 mm. Neljä tällaista kahden euron kolikkoa on asetettu pöydälle. Ne sivuavat toisiaan niin, että kolikkojen keskipisteet muodostavat neliön. Kuinka suuri tyhjä tila jää kolikkojen keskelle?
Vinkki: Piirrä tilanteesta mallikuva ja yhdistä kolikkojen keskipisteet toisiinsa niin, että muodostuu neliö. Tarkastele tätä neliötä.

Noin $142{,}3 \text{ mm}^2$ eli noin $1{,}423 \text{ cm}^2$.

YMPYRÄ

Alla olevien kuvien kaaret on piirretty neliön kärki keskipisteenä ja neliön sivu $a$ säteenä. Ilmaise väritetyn alueen pinta-ala neliön sivun $a$ lausekkeena ja määritä pinta-alan suhde neliön pinta-alaan.

  1. Suhde on $1 - \dfrac{\pi}{4}$.
  2. Suhde on $\dfrac{\pi}{2} - 1$.

YMPYRÄ

Koira kytketään pihatalkoiden ajaksi 5 metrin pituisella juoksunarulla vajan seinään metrin etäisyydelle vajan nurkasta (kuvassa pisteellä merkittyyn kohtaan). Tehtävänä on selvittää, miten suurella alueella koira voi talkoiden aikana jaloitella.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Hahmottele, millaisista erilaisista ympyrän osista koiran mahdollinen jaloittelualue muodostuu.
  2. Miten suurella alueella koira voi talkoiden aikana jaloitella?

  2. Noin 58 neliömetrin alueella.

YMPYRÄ

Ympyrän säde on 6,3 cm. Ympyrään on piirretty segmentti, jonka rajaavat ympyrän 15,2 cm pitkä kaari ja kaaren päätepisteitä yhdistävä jänne. Tehtävänä on laskea segmentin pinta-ala.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Mikä on ympyrän kehän pituus?
  3. Mitä tietoja tarvitset segmentin pinta-alan laskemiseen? Mitä tietoja pystyt päättelemään tuntemiesi mittojen avulla?
  4. Mikä on segmentin pinta-ala? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Ympyrän kehän pituus on noin 39,6 cm.
  4. Segmentin pinta-ala on noin $35 \text{ cm}^2$.

YMPYRÄ

Suunnilleen ympyränmuotoisen lammen halkaisija on noin 50 metriä. Tehtävänä on selvittää, kuinka pitkä matka pisteestä $A$ on pisteeseen $B$ lyhintä mahdollista reittiä pitkin.

  1. Keksi ainakin kaksi mahdollista reittiä ja piirrä niistä mallikuvat. Kumpi reiteistä on lyhyempi? Miksi?
  2. Piirrä mallikuva lyhyimmästä mahdollisesta reitistä ja täydennä kuvaa niin, että voit hyödyntää kolmioiden geometriaa.
  3. Kuinka pitkä matka pisteestä $A$ on pisteeseen $B$ lyhintä mahdollista reittiä pitkin?

  3. Noin 109 metriä (60 m + 49 m).

YMPYRÄ

Pyöreään torniin, jonka halkaisija on 6,5 metriä, on maalattu 8,5 metriä leveä taideteos. Tehtävänä on selvittää, miltä etäisyydeltä teoksen voi nähdä koko leveydeltään.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ylhäältäpäin katsottuna. Merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Täydennä kuvaa niin, että voit hyödyntää ratkaisussa kolmioiden geometriaa.
  3. Miltä etäisyydeltä teoksen voi nähdä koko leveydeltään?

  3. Noin 18,5 metrin etäisyydeltä.

YMPYRÄ

Lentokone on Kajaanin yläpuolella 1,9 km korkeudella. Voidaanko lentokoneesta kirkkaalla ilmalla nähdä Pohjanlahti? Pohjanlahden lyhin etäisyys Kajaanista on noin 130 km. (Maapallon säde on noin 6370 km.)

Tämän yksinkertaistetun mallin mukaan lentokoneesta voidaan nähdä noin 160 km päähän (kahden merkitsevän numeron tarkkuudella). Pohjanlahti on siis mahdollista nähdä.

YMPYRÄ

Saat kaveriltasi valkoisen paperin, johon on piirretty yksi ympyrä eikä mitään muuta. Selitä, miten voit pelkän kolmioviivaimen, kynän ja matematiikan avulla määrittää ympyrän

  1. halkaisijan
  2. keskipisteen.

  1. Teoreema 18.

YMPYRÄ

On mahdollista osoittaa, että jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä (siis ympyrä, joka kulkee kolmion jokaisen kärjen kautta). Alla olevassa kuvassa janan $AB$ pituus on 2,8 cm. Kuinka pitkä kolmion $ABC$ ympäri piirretyn ympyrän säde on? Vinkki: teoreemat 17 sekä 4 tai 8.

Säde on noin 2,3 cm.

YMPYRÄ

Ympyrän säde on 7,8 cm. Laske kuvassa näkyvän kolmion

  1. sivujen pituudet
  2. pinta-ala.

  1. Sivut noin 12 cm, 13 cm ja 15 cm.
  2. Pinta-ala noin $74 \text{ cm}^2$.

YMPYRÄ

Jalkapallossa rangaistuspotku potkaistaan ns. pilkulta, maalin keskikohdan kohdalta 11,0 metrin etäisyydeltä maalista. Tehtävänä on määrittää jalkapallokentältä kaikki ne kohdat, joista maali näkyy yhtä suuressa kulmassa kuin pilkulta. Maalin leveys on 7,32 m.

  1. Selvitä, miten suuressa kulmassa maali näkyy pilkulta.
  2. Hahmottele ympyrä, jonka yksi jänne on maali ja jonka kehällä pilkku sijaitsee. Missä sijaitsevat muut jalkapallokentän kohdat, joista maali näkyy yhtä suuressa kulmassa kuin pilkulta?
  3. Selvitä b-kohdassa kuvatun ympyrän keskipisteen etäisyys maalista ja ympyrän säteen pituus.

  1. Noin 36,8 asteen kulmassa.
  3. Ympyrän keskipisteen etäisyys maalista noin 4,89 m, ympyrän säde noin 6,11 m.

Maapallon säde on 6 371 km, ja sen pohjoisen napapiirin leveysaste on 66,5. Pohjoiselta napapiiriltä valitaan pisteet $A$ ja $B$, joiden pituusasteiden erotus on 90 astetta.

  1. Määritä pisteiden $A$ ja $B$ välisen viivasuoran tunnelin pituus.
  2. Määritä pisteiden A ja B välisen lyhyemmän napapiirin kaaren pituus.

[Pitkä K2016/6]

  1. 3 593 km
  2. 3 990 km

Kolme ympyrää sivuaa toisiaan oheisen kuvion mukaisesti. Ympyröiden keskipisteet ovat $A$, $B$ ja $C$ ja niiden säteet samassa järjestyksessä 3, 3 ja 2. Kuinka suuri ympyrä mahtuu näiden kolmen ympyrän väliin jäävään alueeseen? Anna vastauksena tämän ympyrän säteen tarkka arvo.

[Pitkä K2016/7]

$r = \frac{2}{5}$

Suorakulmaisen kolmion $ABC$ kateettien pituudet ovat $AB = 3$ ja $BC = 4$. Ympyrän keskipiste sijaitsee pidemmällä kateetilla. Lisäksi ympyrä kulkee pisteen $B$ kautta ja sivuaa kolmion hypotenuusaa. Määritä ympyrän säde.

[Lyhyt S2015/12]

$\frac{3}{2}$

  1. Suunnikkaan sisälle piirretään pienempi suunnikas, jonka kärjet ovat alkuperäisen suunnikkaan sivujen keskipisteissä. Laske pienen suunnikkaan pinta‐ala käyttämällä kuvioon merkittyjä pituuksia.
    [Lyhyt S2015/2]
  2. Harjoittele Geogebran tai TI-Nspiren käyttöä piirtämällä tehtävässä tarkastellut suunnikkaat. Samalla saat tarkistettua, saitko a-kohdasta oikean tuloksen. Katso tarvittaessa mallia Geogebran käyttöön tästä videosta ja TI-Nspiren käyttöön tästä videosta.

  1. $4 \text{ cm}^2$

Kolmio $ABC$ on suorakulmainen ja kylki $AC$ on sen hypotenuusa. Oletetaan, että $AB = 3$ ja $BC = 4$. Tarkastellaan ympyrää, josta tiedetään seuraavat asiat:

  • Ympyrän keskipiste on janalla $BC$.
  • Piste $B$ on ympyrän kehällä.
  • Ympyrä sivuaa kolmion $ABC$ hypotenuusaa $AC$.
Määritä ympyrän säde.

Ympyrän säde on $\frac{3}{2}$.

Oletetaan, etta pisteet $A$, $B$ ja $C$ ovat ympyrän kehällä, ja että suora $\ell$ on pisteen $A$ kautta kulkeva ympyrän tangentti. Oletetaan, että kulma $\sphericalangle ACB$ on terävä. Osoita, etta kulma $\sphericalangle ACB$ on yhtä suuri kuin suoran $\ell$ ja janan $AB$ välinen terävä kulma.

Voidaan päätellä, että alla olevassa kuvassa $\beta + \gamma = 90^\circ$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Avaruusgeometriaa

Tämän luvun tavoitteena on, että opit ratkaisemaan erilaisia avaruusgeometrian ongelmia. Osaat

  • laskea monitahokkaiden, lieriöiden ja kartioiden tilavuuksia ja pinta-aloja
  • määrittää erilaisia avaruuden suorien ja tasojen välisiä kulmia
  • selvittää kappaleen tilavuuden yhdenmuotoisuussuhdetta käyttäen
  • laskea pallon ja pallosegmentin tilavuuden sekä pallon ja kalotin pinta-alan
  • määrittää etäisyyksiä pallon pinnalla.

MÄÄRITELMÄ: MONITAHOKAS

Monitahokas on kappale, jonka pinta koostuu monikulmioista. Nämä monikulmiot ovat monitahokkaan tahkoja. Monikulmioiden sivut ovat monitahokkaan särmiä ja kärjet monitahokkaan kärkiä.

Monitahokkaita ovat esimerkiksi kuutio, neliöpohjainen pyramidi ja suorakulmainen särmiö.
Sovitaan seuraavaksi vielä tarkemmin, mitä tarkoitetaan suorakulmaisella särmiöllä.

MÄÄRITELMÄ: SUORAKULMAINEN SÄRMIÖ

Suorakulmainen särmiö on monitahokas, jonka kaikki kuusi tahkoa ovat suorakulmioita ja jonka kaikki särmät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kappaleiden tilavuuksien laskemiseksi tarvitaan sopimus siitä, mitä tilavuudella tarkoitetaan. Lähtökohdaksi voidaan ottaa suorakulmaisen särmiön tilavuus. Sovitaan siis ensin, mitä suorakulmaisen särmiön tilavuudella tarkoitetaan. Asetetaan seuraava määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: SUORAKULMAISEN SÄRMIÖN TILAVUUS

Suorakulmaisen särmiön tilavuus on samasta kärjestä alkavien särmien pituuksien tulo eli alla olevan kuvion merkinnöillä $abc$.

Hotelliin suunnitellaan uima-allasta, joka on suorakulmaisen särmiön muotoinen. Altaan pituus on 8 m, leveys 2,5 m ja syvyys 1,7 m.

  1. Mikä on altaan tilavuus?
  2. Kuinka paljon altaan täyttäminen vedellä maksaa, jos veden hinta on 3,67 euroa kuutiometriltä?
  3. Kuinka monta neliömetriä laattoja tarvitaan altaan sisäpuolen laatoittamiseen? Laattoja varataan 5 % enemmän kuin laatoitettava pinta-ala.
  4. Harjoittele suorakulmaisen särmiön piirtämistä Geogebralla piirtämällä tässä tehtävässä tarkasteltu suorakulmainen särmiö. Katso tarvittaessa mallia tästä videosta.

  1. $34 \text{ m}^3$
  2. 124,78 euroa
  3. Noin $58{,}5 \text{ m}^2$

Suorakulmaisen särmiön vastakkaisia kärkiä yhdistävä jana on särmiön avaruuslävistäjä. Alla on näkyvissä yksi suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjistä.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituus riippuu särmien pituuksista.

Suorakulmaisen särmiön pituus on 80 cm, leveys 50 cm ja korkeus 40 cm.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva niin sanotussa kavaljeeriperspektiivissä: Piirrä kuvassa edessä ja takana olevat sivutahkot suorakulmioina oikeissa mittasuhteissa. Piirrä syvyyssuunnassa kulkevat särmät 45 asteen kulmassa ja pienennä niiden pituus puoleen.
  2. Laske särmiön pohjan lävistäjän pituus.
  3. Laske särmiön avaruuslävistäjän pituus.
  4. Muodosta lauseke suorakulmaisen särmiön pohjan lävistäjän pituudelle tilanteessa, jossa särmiön pituus on $a$ ja leveys on $b$.
    Vinkki: b-kohta.
  5. Muodosta lauseke suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituudelle tilanteessa, jossa särmiön pituus on $a$, leveys on $b$ ja korkeus on $c$.
    Vinkki: c- ja d-kohdat.

  2. $\sqrt{8900} \text{ cm} \approx 94 \text{ cm}$.
  3. $\sqrt{10500} \text{ cm} \approx 102 \text{ cm}$.

Edellisen tehtävän tuloksista saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän pituuden neliö on särmien pituuksien neliöiden summa. Alla olevan kuvion merkinnöillä $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Perustelu: tehtävässä 3.2.

Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon pohjasärmien pituudet ovat 40 cm ja 20 cm, ja laatikon korkeus on 15 cm. Tehtävänä on selvittää, mahtuuko ohut 46 cm pituinen suora sauva laatikkoon.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen kaikki tunnetut mitat.
  2. Laske pisimmän laatikkoon mahtuvan sauvan pituus. Mahtuuko 46 cm pituinen suora sauva laatikkoon?

  2. Pisin laatikkoon mahtuva sauva on noin 47 cm pitkä.

Tasogeometriassa tutustuttiin säännöllisiin monikulmioihin, joiden kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kulmat yhtä suuria.

Joistakin säännöllisistä monikulmioista voidaan muodostaa niin sanottuja säännöllisiä monitahokkaita:

MÄÄRITELMÄ: SÄÄNNÖLLINEN MONITAHOKAS

Monitahokas, jonka kaikki tahkot ovat yhteneviä (samanlaisia) säännöllisiä monikulmioita ja jonka jokaisessa kärjessä kohtaa yhtä monta tahkoa, on säännöllinen monitahokas.

Monitahokas on kupera, jos se toteuttaa seuraavan ehdon: jos monitahokkaan pinnan mitkä tahansa kaksi pistettä yhdistetään janalla, tämä jana ei käy monitahokkaan ulkopuolella.

On mahdollista osoittaa, että kuperia säännöllisiä monitahokkaita on yhteensä viisi. Nämä ovat niin sanotut Platonin kappaleet: säännöllinen tetraedri (nelitahokas), kuutio ja säännöllinen oktaedri (kahdeksantahokas)

sekä säännöllinen dodekaedri (kaksitoistatahokas) ja säännöllinen ikosaedri (kaksikymmentahokas).
(Yllä olevat punaiset kuvat Robert Webb, Stella software.)

Kuution tahkojen keskipisteet yhdistetään viereisten tahkojen keskipisteisiin.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva. Mikä Platonin kappale muodostuu kuution sisälle?
  2. Jos kuution särmän pituus on 2, mikä on sen sisälle muodostuvan Platonin kappaleen särmän pituus?
    Vinkki: halkaise kuutio sen keskipisteen kautta kulkevalla sivutahkon suuntaisella tasolla ja piirrä poikkileikkauksesta kuva.

  1. Kuution sisälle muodostuu säännöllinen oktaedri.
  2. Särmän pituus on $\sqrt{2}$.

Tutkitaan seuraavaksi erilaisia kulmia avaruudessa. Aloitetaan sopimalla, mitä tarkoitetaan kahden suoran välisellä kulmalla.

MÄÄRITELMÄ: KAHDEN SUORAN VÄLINEN KULMA

Suorien välinen kulma tarkoittaa toisensa leikkaavien suorien muodostamista kulmista sitä, joka on terävä tai suora kulma. Esimerkiksi alla olevan kuvan suorien välinen kulma on $\alpha$.

Jos suorat eivät leikkaa toisiaan, tarkoittaa suorien välinen kulma näiden suorien kanssa yhdensuuntaisten toisensa leikkaavien suorien välistä kulmaa.

Kahden suoran välisen kulman $\alpha$ suuruus on siis aina välillä $[0^\circ, 90^\circ]$.

Suorakulmaisen särmiön pituus on 80 cm, leveys 50 cm ja korkeus 40 cm. Tehtävänä on laskea särmiön samasta kärjestä lähtevän pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän välinen kulma.

  1. Piirrä mallikuva lävistäjien ja särmiön särmän muodostamasta kolmiosta. Pystytkö päättelemään tämän kolmion jonkin kulman suuruuden?
  2. Tehtävässä 3.2 laskit särmiön pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän pituudet. Merkitse nämä ja muut tunnetut mitat piirtämääsi kolmioon. (Käytä mahdollisimman tarkkoja arvoja, jotta vastauksiin ei tule virhettä.)
  3. Ratkaise pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän välinen kulma. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
    Huom. tuloksen tarkkuus paranee käyttämällä laskuissa pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän tarkkoja arvoja pyöristettyjen likiarvojen sijaan.
  4. Harjoittele Geogebran käyttöä piirtämällä tehtävässä tarkasteltu suorakulmainen särmiö ja kulma. Samalla saat tarkistettua, saitko c-kohdasta oikean tuloksen. Katso tarvittaessa mallia tästä videosta.

  3. Kulma on noin $23^\circ$.

Suorakulmaisen särmiön pituus on 80 cm, leveys 50 cm ja korkeus 40 cm. Tehtävänä on laskea alla olevan kuvan mukaisen särmiön pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän välinen kulma.

  1. Piirretään särmiön viereen toinen samanlainen särmiö, jolloin tarkastellut lävistäjät voidaan piirtää alkamaan samasta pisteestä.

    Piirrä kuva kolmiosta, joka muodostuu, kun lävistäjien toiset päätepisteet yhdistetään janalla. Ratkaise tämän janan pituus suorakulmaisen kolmion geometrian avulla yllä olevasta kuvasta.
  2. Merkitse piirtämääsi kolmioon kaikki tunnetut sivujen pituudet. Voit hyödyntää tehtävän 3.2 tuloksia. Ratkaise lävistäjien välinen kulma $\alpha$.
    Vinkki: teoreema 8.

  1. Janan pituus on $\sqrt{11600} \text{ cm} \approx 108 \text{ cm}$.
  2. Kulma on noin $66^\circ$.

Suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma määritellään kahden suoran välisen kulman avulla.

MÄÄRITELMÄ: SUORAN JA TASON VÄLINEN KULMA

Olkoon $T'$ taso, joka sisältää suoran $L$ ja on kohtisuorassa tasoa $T$ vastaan. Suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma on terävä tai suora kulma, joka muodostuu suoran $L$ sekä tasojen $T$ ja $T'$ leikkaussuoran $L'$ välille.

Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma on $\alpha$.

Käytännössä suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma voidaan määrittää seuraavasti: Piirretään suoran $L$ jonkin pisteen $P$ kautta normaali (kohtisuora) tasolle $T$. Alla olevassa kuvassa tämän normaalin ja tason leikkauspistettä on merkitty kirjaimella $B$. Pistettä $B$ sanotaan pisteen $P$ kohtisuoraksi projektioksi tasolla $T$.

Yhdistetään normaalin ja tason leikkauspiste $B$ sekä tarkasteltavan suoran ja tason leikkauspiste $A$ toisiinsa janalla, jolloin muodostuu suorakulmainen kolmio. Suoran ja tason välinen kulma $\alpha$ voidaan ratkaista tästä suorakulmaisesta kolmiosta.

Suorakulmaisen särmiön pituus on 80 cm, leveys 50 cm ja korkeus 40 cm. Tehtävänä on laskea alla olevan kuvan mukaisen särmiön päätytahkon ja avaruuslävistäjän välinen kulma.

  1. Piirrä vastaava mallikuva vihkoosi. Piirrä pisteen $P$ kautta normaali (kohtisuora) särmiön siniselle päätytahkolle. Merkitse normaalin ja päätytahkon leikkauspistettä kirjaimella $B$.
  2. Yhdistä pisteet $A$ ja $B$ janalla. Laske janan $AB$ pituus suorakulmaisen kolmion geometrian avulla.
  3. Mitä voidaan sanoa kulman $\sphericalangle ABP$ suuruudesta? Piirrä kuva kolmiosta $ABP$ ja merkitse siihen kaikki tiedossa olevat sivujen pituudet. Voit hyödyntää tehtävän 3.2 tuloksia.
  4. Ratkaise särmiön päätytahkon ja avaruuslävistäjän välinen kulma kolmion $ABP$ avulla.

  2. Janan $AB$ pituus on $\sqrt{4100} \text{ cm} \approx 64 \text{ cm}$.
  4. Kulma on noin $51^\circ$.

Myös tasojen $T_1$ ja $T_2$ välinen kulma määritellään kahden suoran välisen kulman avulla.

MÄÄRITELMÄ: KAHDEN TASON VÄLINEN KULMA

Olkoon $T$ taso, joka on kohtisuorassa tasojen $T_1$ ja $T_2$ leikkaussuoraa $L$ vastaan. Taso $T$ leikkaa tason $T_1$ pitkin suoraa $L_1$ ja tason $T_2$ pitkin suoraa $L_2$.
Tasojen $T_1$ ja $T_2$ välinen kulma on suorien $L_1$ ja $L_2$ välinen kulma.

Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa tasojen $T_1$ ja $T_2$ välinen kulma on $\alpha$.

Suorakulmaisen särmiön pituus on 80 cm, leveys 50 cm ja korkeus 40 cm. Särmiö leikataan kahtia alla olevan kuvan mukaisella vastakkaisten särmien kautta kulkevalla tasolla $T$. Tehtävänä on laskea tason $T$ ja särmiön pohjan välinen kulma.

  1. Piirrä mallikuva särmiön päätytahkosta. Merkitse näkyviin tason $T$ ja särmiön pohjan välinen kulma.
  2. Ratkaise tason $T$ ja särmiön pohjan välinen kulma suorakulmaisen kolmion trigonometrian avulla.

  2. Kulma on noin $39^\circ$.

Tasogeometriaa käsittelevässä luvussa määriteltiin, mitä tarkoitetaan yhdenmuotoisuudella tasokuvioiden tapauksessa. Yhdenmuotoisuuden käsite voidaan laajentaa myös kolmiulotteisiin kappaleisiin. Kappaleet, jotka saadaan toisistaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla, suurentamalla tai pienentämällä, ovat yhdenmuotoiset.

MÄÄRITELMÄ: KAPPALEIDEN YHDENMUOTOISUUS JA MITTAKAAVA

Kappaleet ovat yhdenmuotoiset, jos ne toteuttavat seuraavat ehdot:

  • kulma ja sen vastinkulma ovat aina yhtä suuret
  • suhde $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$ on sama riippumatta siitä, mitä kappaleen janaa tarkastellaan.

Yhdenmuotoisuussuhde eli mittakaava määritellään samoin kuin tasokuvioiden tapauksessa eli suhteena $$\frac{\text{ vastinjanan pituus }}{\text{ janan pituus }}$$

Tutkitaan seuraavaksi, miten yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuudet liittyvät toisiinsa.


Kuvan suorakulmaiset särmiöt ovat yhdenmuotoiset suhteessa $3:2$. Tehtävänä on määrittää niiden tilavuuksien suhde.

  1. Merkitään pienemmän suorakulmaisen särmiön särmiä $2a$, $2b$ ja $2c$ kuten alla olevassa kuvassa. Mitkä tällöin ovat isomman suorakulmaisen särmiön särmien pituudet? Hahmottele vastaava kuva isommasta suorakulmaisesta särmiöstä omaan vihkoosi. Kuinka monta pientä suorakulmaista särmiötä muodostuu isomman suorakulmaisen särmiön sisään?
  2. Laske kummankin suorakulmaisen särmiön tilavuus ja niiden suhde. Miten tilavuuksien suhde näkyy a-kohdan piirroksista? Entä miten tilavuuksien suhde liittyy yhdenmuotoisuussuhteeseen? Selitä omin sanoin.

  2. Suhde on $27 : 8$.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan yleistää kaikille kappaleille. Yleistys perustuu siihen, että jokainen kappale, jolla on tilavuus, voidaan täyttää miten tahansa tarkasti suorakulmaisilla särmiöillä ottamalla käyttöön aina vain pienempiä särmiöitä. Tämän osoittaminen täsmällisesti on kuitenkin niin työlästä, että seuraava teoreema otetaan käyttöön ilman tarkempaa perustelua.

TEOREEMA

Jos kappaleet ovat yhdenmuotoiset suhteessa $m : n$, niin kappaleiden tilavuuksien suhde on $$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{m}{n}\right)^3$$

Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on siis yhdenmuotoisuussuhteen eli mittakaavan kuutio.

Jalkapallon ympärysmitta on 70 cm ja tennispallon 20 cm. Tehtävänä on selvittää, kuinka moninkertainen jalkapallon tilavuus on tennispallon tilavuuteen verrattuna. Pallon tilavuuden kaavaa ei saa käyttää.

  1. Määritä jalkapallon ja tennispallon yhdenmuotoisuussuhde.
  2. Mikä on jalkapallon tilavuus, jos tennispallon tilavuus on $135 \text{ cm}^3?$
  3. Mikä on jalkapallon tilavuus, jos tennispallon tilavuus on $V$?

  1. Yhdenmuotoisuussuhde on $7 : 2$.
  2. Jalkapallon tilavuus on noin $5790 \text{ cm}^3 = 5{,}79 \text{ dm}^3$.
  3. Jalkapallon tilavuus on $\frac{343}{8}V$.

Eräs nettikauppa myy kolmea erikokoista keskenään yhdenmuotoista lasipulloa.

Pullojen tilavuudet on ilmoitettu, mutta lisätiedoissa kaikille on virheellisesti merkitty samat mitat ja sama kuvaus:

  1. Selvitä, minkä pullon mitat on ilmoitettu. Toisin sanottuna arvioi, mikä on sen pullon tilavuus, jonka korkeus 16 cm ja pohjaneliön sivun pituus on 4 cm. Kertaa tarvittaessa tilavuusyksiköiden muunnokset esimerkiksi täältä.
  2. Mikä on isoimman pullon korkeus?
  3. Mitkä ovat kolmannen pullon mitat?

  1. Jos pullon tilavuutta arvioi laskemalla sellaisen suorakulmaisen särmiön tilavuuden, jonka särmien pituudet ovat 4 cm, 4 cm ja 16 cm, saa tilavuudeksi 256 ml. Näin voisi ajatella, että lisätiedoissa on ilmoitettu keskimmäisen pullon mitat.
  2. Isoimman pullon korkeus on tällöin noin 20 cm.
  3. Pienimmän pullon pohjaneliön sivun pituus on noin 3 cm ja korkeus noin 13 cm.

Tässä kappaleessa tutkitaan pallon geometrisia ominaisuuksia. Aloitetaan määrittelemällä, mitä tarkoitetaan pallolla ja joillakin siihen liittyvillä käsitteillä.

MÄÄRITELMÄ: PALLO

Avaruuden pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat pallon eli pallopinnan. Kiinteä piste on pallon keskipiste ja vakioetäisyys sen säde.

Nimitystä pallo käytetään toisinaan myös pallopinnan rajoittamasta avaruuden osasta.

Niin sanotun integraalilaskennan avulla saadaan johdettua pallon tilavuudelle ja pinta-alalle kaavat, jotka on koottu seuraavaan teoreemaan. Integraalilaskentaan tutustutaan kurssissa MAA9.

TEOREEMA

Pallon tilavuus $V$ ja pinta-ala $A$ riippuvat pallon säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} V &= \frac{4\pi r^3}{3} \\ A &= 4\pi r^2 \end{align*}

Vesimelonin ympärysmitaksi mitattiin 78 cm. Kuoren paksuudeksi arvioitiin 1,5 cm. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon tässä vesimelonissa on vettä. Tiedetään, että vesimelonin syötävästä osasta vettä on noin 90 %.

  1. Piirrä mallikuva vesimelonin poikkileikkauksesta ja merkitse siihen tunnetut mitat. Selvitä vesimelonin säde.
  2. Mikä on vesimelonin syötävän osan tilavuus?
  3. Kuinka paljon vettä tulee nauttineeksi, jos syö koko vesimelonin?

  1. Säde on noin 12,4 cm.
  2. Syötävän osan tilavuus on noin $5400 \text{ cm}^3 = 5{,}4 \text{ dm}^3 = 5{,}4 \text{ l}$.
  3. Noin 4,9 litraa.

Myymälän kattoon kiinnitetään puolipallon muotoinen valvontapeili, jonka halkaisija on 900 mm ja paino 2,3 kg.

  1. Mikä on peilin pinta-ala?
  2. Saman valmistajan pienimmän valvotapeilin halkaisija on 600 mm ja paino 1,5 kg. Kuinka monta prosenttia tämän peilin pinta-ala on pienempi kuin myymälään asennettavan mallin?
  3. Keksi vielä toinen tapa b-kohdan ratkaisemiseen.
    Vinkki: teoreemat 21 & 12.

  1. Peilin pinta-ala on noin $1{,}27 \text{ m}^2$.
  2. Pienen peilin pinta-ala on noin 56 % pienempi kuin myymälään asennettavan mallin.

Jos palloa leikataan tasolla, leikkauskuvio on ympyrä. Tämän ympyrän koko riippuu siitä, miten kaukana pallon keskipisteestä leikkaava taso on. Eri tapauksissa syntyville ympyröille on omat nimityksensä:

MÄÄRITELMÄ: ISOYMPYRÄ JA PIKKUYMPYRÄ

Isoympyrä syntyy, jos pallo leikataan sen keskipisteen kautta kulkevalla tasolla.

Pikkuympyrä syntyy, jos pallo leikataan tasolla, joka ei kulje pallon keskipisteen kautta.

Yksi pisimmistä matkustajakoneiden lentoreiteistä oli Singapore Airlinesin lento Singaporesta Newarkin kentälle New Yorkiin maapallon isoympyrää pitkin. Tätä reittiä lennettiin vuosina 2003-2014 ja sen pituus oli noin 15 300 km.

Tehtävänä on arvioida tämän tiedon pohjalta, olisiko mahdollista lentää maapallon ympäri 10 kilometrin korkeudessa pitkin 53 asteen leveyspiiriä, jolla Berliini sijaitsee. Berliinin sijaintia ($53^\circ$ pohjoista leveyttä) on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

  1. Piirrä yllä olevan kuvan avulla mallikuva maapallon sopivasta poikkileikkauksesta. Merkitse siihen kaikkien kulmien suuruudet, jotka tiedät tai pystyt päättelemään.
  2. Selvitä lentoreittiä vastaavan pikkuympyrän säde sopivan trigonometrisen suhteen avulla. Maapallon säde on noin 6370 km.
  3. Kuinka pitkä 53 asteen leveyspiiriä pitkin kulkeva lentoreitti olisi?
  4. Utsjoen sijainti on $69{,}9^\circ$ pohjoista leveyttä. Onnistuisiko lento maapallon ympäri pitkin tätä leveyspiiriä?

  2. Lentoreittiä vastaavan pikkuympyrän säde on noin 3840 km.
  3. Lentoreitin pituus olisi noin 24 100 km, joten sen lentäminen matkustajakoneella ilman välilaskuja ei olisi mahdollista.
  4. Lentoreitin pituus Utsjoen leveyspiirillä olisi noin 13 800 km, joten tämä lentoreitti olisi teoriassa mahdollinen.

Helsinki ja Botswanan pääkaupunki Gaborone sijaitsevat lähes samalla pituuspiirillä. Helsingin sijainti on $60{,}2^\circ$ pohjoista leveyttä ja Gaboronen $24{,}7^\circ$ eteläistä leveyttä. Helsingin sijaintia on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Tehtävänä on selvittää Helsingin ja Gaboronen välinen etäisyys. Tiedetään, että maapallon säde on noin 6370 km.

  1. Piirrä mallikuva maapallon poikkileikkauksesta ja merkitse siihen tunnetut kulmat. Saadaanko kysytty etäisyys maapallon isoympyrän kaaren pituutena vai pikkuympyrän kaaren pituutena?
  2. Laske Helsingin ja Gaboronen välinen etäisyys kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  3. Vertaa saamaasi tulosta esimerkiksi tämän palvelun antamaan tulokseen. Mitä syitä keksit sille, että tuloksissa on eroa?

  2. Etäisyys on noin 9440 km.

Tasogeometriassa tutustuttiin ympyrän segmenttiin ja kaareen, jotka syntyvät esimerkiksi silloin, kun suora leikkaa ympyrän.

Vastaavasti jos taso leikkaa pallon, syntyvää kappaletta sanotaan pallosegmentiksi ja pallon pinnan osaa kalotiksi.

MÄÄRITELMÄ: PALLOSEGMENTTI JA KALOTTI

Taso leikkaa pallosta kappaleen, jota kutsutaan pallosegmentiksi, ja erottaa pallon pinnasta kalotin.

Integraalilaskennan avulla pallosegmentin tilavuudelle ja kalotin pinta-alalle saadaan johdettua kaavat, jotka on koottu seuraavaan teoreemaan. Huomaa, että ne pätevät riippumatta siitä, onko pallosegmentin korkeus pienempi vai suurempi kuin pallon säde.

TEOREEMA

Pallosegmentin tilavuus $V_S$ ja kalotin pinta-ala $A_K$ riippuvat pallosegmentin korkeudesta $h$ ja pallon säteestä $r$ seuraavasti: \begin{align*} V_S &= \pi h^2 \left(r-\dfrac{h}{3}\right) \\[1mm] A_K &= 2\pi rh \end{align*}

Kuplahalli, jonka pituus on 65 metriä ja korkeus 18 metriä, on muodoltaan pallosegmentti. Tehtävänä on laskea hallin lattian pinta-ala, hallin tilavuus ja hallin katon pinta-ala.

  1. Selvitä hallin lattian säde ja laske hallin lattian pinta-ala. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Alla olevassa kuvassa on poikkileikkaus pallosta, jonka pallosegmentti kuplahalli on. Piirrä vastaava mallikuva omaan vihkoosi ja täydennä siihen kaikki tunnetut mitat. Merkitse pallon sädettä jollakin kirjaimella.

    Huom. älä luota piirroksen mittasuhteisiin, sillä ne saattavat olla väärät.
  3. Tunnista yllä olevasta kuvasta kolme janaa, jotka ovat tarkasteltavan pallon säteitä. Ratkaise säteen pituus kuvassa näkyvästä suorakulmaisesta kolmiosta.
    Vinkki: teoreema 4.
  4. Laske hallin tilavuus. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  5. Laske hallin katon pinta-ala. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Lattian pinta-ala on noin $3\,300 \text{ m}^2$.
  3. Pallon säde on $\frac{5521}{144} \text{ m} \approx 38{,}3 \text{ m}$.
  4. Hallin tilavuus on noin $33\,000 \text{ m}^3$.
  5. Hallin katon pinta-ala on noin $4\,300 \text{ m}^2$.

Aiemmin tässä luvussa tutustuit erilaisiin monitahokkaisiin. Ne ovat kappaleita, joiden pinta koostuu monikulmioista. Yksi esimerkki monitahokkaasta on suorakulmainen särmiö. Voidaan ajatella, että se muodostuu, kun suora liikkuu pitkin suorakulmiota koko ajan kohtisuorassa suorakulmion tasoa vastaan ja syntynyt pinta leikataan kahdella yhdensuuntaisella tasolla:

Kappaleita, jotka muodostuvat tähän tapaan, sanotaan lieriöiksi.

MÄÄRITELMÄ: LIERIÖ

Jos suora liikkuu pitkin umpinaista viivaa, joka ei leikkaa itseään, ja jos suora säilyttää koko ajan suuntansa, muodostuu lieriöpinta.

Jos lieriöpinta leikataan kahdella yhdensuuntaisella tasolla, syntyy lieriö.

Lieriöllä on vaippa sekä kaksi keskenään yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa.

Ympyrälieriön pohja on ympyrä. Särmiö eli prisma on lieriö, jonka pohja on monikulmio.

Suora lieriö tarkoittaa lieriötä, jonka vaippa on kohtisuorassa pohjaa vastaan.

  1. Keksi esimerkki kappaleesta, joka on monitahokas mutta ei lieriö.
  2. Keksi esimerkki kappaleesta, joka on lieriö mutta ei monitahokas.
  3. Keksi esimerkki kappaleesta, joka on sekä lieriö että monitahokas.
  4. Keksi esimerkki kappaleesta, joka ei ole lieriö eikä monitahokas.

Integraalilaskennan avulla voidaan todistaa niin sanottu Cavalierin periaate: Jos kahden yhtä korkean kappaleen tasoleikkausten pinta-alat ovat keskenään yhtä suuret riippumatta siitä, miltä korkeudelta ne leikataan, on kappaleilla sama tilavuus.

Suorakulmaisen särmiön tilavuus on määritelmän mukaan samasta kärjestä alkavien särmien pituuksien tulo. Suorakulmaisen särmiön tilavuus voidaan ilmaista myös särmiön pohjan pinta-alan ja korkeuden tulona. Alla olevan kuvan merkinnöillä $$V = abh = A_p \cdot h$$

Cavallierin periaatteesta seuraa, että minkä tahansa lieriön tilavuus saadaan laskemalla sellaisen suorakulmaisen särmiön tilavuus, jolla on sama korkeus ja pohjan pinta-ala kuin tarkasteltavalla lieriöllä. Minkä tahansa lieriön tilavuus saadaan siis sen pohjan pinta-alan ja korkeuden tulona.

TEOREEMA

Lieriön tilavuus $V$ on lieriön pohjan pinta-alan $A_p$ ja lieriön korkeuden $h$ tulo: $$V = A_p \cdot h$$

Tasakattoisen omakotitalon katon pinta-ala on $105 \text{ m}^2$. Ukkoskuuron aikana vettä satoi 5 mm. Tehtävänä on laskea, kuinka monta litraa vettä talon katolle satoi.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja merkitse siihen tehtävässä annetut mitat. Selitä omin sanoin, miksi talon muodolla ei ole merkitystä tehtävän ratkaisussa.
  2. Muuta annetut mitat yhteensopiviin yksikköihin ja laske katolle sataneen veden määrä.
  3. Ilmaise katolle sataneen veden määrä litroina. Kertaa tarvittaessa tilavuusyksiköiden muunnokset esimerkiksi täältä.

  2. Katolle satoi vettä $0{,}525 \text{ m}^3$.
  3. Katolle satoi vettä 525 litraa.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia suoria lieriöitä.

Metallipallosta, jonka läpimitta on 26,0 cm, sorvataan mahdollisimman suuri sellainen suora ympyrälieriö, jonka korkeus 1,5 kertaa niin suuri kuin pohjan halkaisija. Tehtävänä on selvittää, mikä on tällaisen lieriön tilavuus.

Suurimman mahdollisen ympyrälieriön pohjaympyröiden kehät ovat pallon pinnalla, ja pohjaympyröiden keskipisteitä yhdistävä ympyrälieriön akseli kulkee pallon keskipisteen kautta kuten yllä olevassa kuvassa.

  1. Piirrä kuva poikkileikkauksesta, joka kulkee ympyrälieriön pohjaympyröiden keskipisteiden ja pallon keskipisteen kautta. Merkitse pohjaympyrän sädettä kirjaimella $r$.
  2. Ilmaise lieriön pohjan halkaisija säteen $r$ avulla. Ilmaise lieriön korkeus säteen $r$ avulla. Merkitse nämä mitat piirrokseesi.
  3. Piirrä poikkileikkauskuvan lieriölle lävistäjä. Mikä on sen pituus?
    Vinkki: lue tehtävänanto huolellisesti.
  4. Ratkaise lieriön säde suorakulmaisen kolmion geometrian avulla.
  5. Laske lieriön tilavuus. Anna vastaus kuutiosenttimetreinä ja litroina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  2. Lieriön korkeus on $3r$.
  4. Lieriön säde on $\sqrt{52} \text{ cm} = 2\sqrt{13} \text{ cm}$.
  5. Lieriön tilavuus on noin $3\,530 \text{ cm}^3 = 3{,}53 \text{ l}$.

Yksi suoran lieriön erikoistapaus on suora ympyrälieriö. Ennen kuin siirryt tekemään seuraavaa tehtävää, kokeile levittää suoran ympyrälieriön vaippa tasoon tämän Geogebra-sovelluksen avulla.

Tässä tehtävässä päätellään lauseke suoran lieriön vaipan pinta-alalle. Kun suoran lieriön vaippa leikataan auki pohjaa vastaan kohtisuoraan, vaippa avatuu suorakulmioksi kuten alla olevassa kuvassa.

  1. Piirrä vastaava mallikuva omaan vihkoosi. Merkitse lieriön pohjan piiriä jollakin kirjaimella. Merkitse lieriön korkeutta jollakin toisella kirjaimella.
  2. Tunnista alla olevasta kuvasta lieriön pohjan piiri ja lieriön korkeus. Ilmaise vaipan pinta-ala $A_v$ niiden avulla.

Tehtävän 3.20 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Suoran lieriön vaipan pinta-ala $A_v$ on lieriön pohjan piirin $p$ ja lieriön korkeuden $h$ tulo: $$A_v = ph$$

Perustelu: tehtävässä 3.20.

Suoran lieriön muotoisen maljakon korkeus on 120 mm. Maljakko täytettiin vedellä aivan täyteen ja veden määräksi mitattiin 1,80 litraa. Mittanauhan avulla maljakon pohjan piiriksi mitattiin 38,7 cm.

  1. Selvitä maljakon pohjan pinta-ala. Anna vastaus neliösenttimetreinä kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Selvitä maljakon vaipan pinta-ala. Anna vastaus neliösenttimetreinä kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Maljakon pohjan pinta-ala on $1{,}50 \text{ dm}^2 = 150 \text{ cm}^2$.
  2. Maljakon vaipan pinta-ala on noin $464 \text{ cm}^2$.

Neliöpohjainen pyramidi on yksi esimerkki monitahokkaasta, joka ei ole lieriö. Voidaan ajatella, että se muodostuu, kun kiinteän pisteen kautta kulkeva suora liikkuu pitkin neliötä ja syntynyt pinta leikataan tasolla:

Kappaleita, jotka muodostuvat tähän tapaan, sanotaan kartioiksi.

MÄÄRITELMÄ: KARTIO

Jos suora liikkuu pitkin umpinaista viivaa, joka ei leikkaa itseään, ja jos suora kulkee koko ajan saman pisteen kautta, muodostuu kartiopinta.

Jos kartiopinta leikataan tasolla, syntyy kartio.

Kartiolla on vaippa sekä pohja ja huippu.

Ympyräkartion pohja on ympyrä. Pyramidi on kartio, jonka pohja on monikulmio.

Suoran kartion huipusta piirretty korkeusjanan toinen päätepiste on pohjan keskipisteessä.

Kuutio on mahdollista leikata kolmeksi samanlaiseksi pyramidiksi, joiden pohjana on kuution tahko ja joiden korkeus on sama kuin kuution korkeus:

Tästä voidaan päätellä, että tällaisen pyramidin tilavuus on kolmasosa sellaisen suorakulmaisen särmiön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja korkeus kuin pyramidilla.

Voit kokeilla kuution jakamista kolmeksi yhteneväksi pyramidiksi tällä Geogebra-sovelluksella.

Integraalilaskennan avulla voidaan osoittaa, että kysymyksessä ei ole sattuma vaan yleispätevä tosiasia: Kartion tilavuus on aina kolmasosa sellaisen lieriön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja sama korkeus kuin kartiolla.

TEOREEMA

Kartion tilavuus on kolmasosa sellaisen lieriön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja sama korkeus kuin kyseisellä kartiolla. Kartion tilavuus $V$ on siis kolmasosa kartion pohjan pinta-alan $A_p$ ja kartion korkeuden $h$ tulosta: $$V = \frac{A_p \cdot h}{3}$$

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan kartion tilavuuden laskemista. Sopivan poikkileikkauskuvan piirtäminen helpottaa tarvittavien mittojen selvittämistä.

Kheopsin pyramidin pohja on neliö, jonka sivun pituudeksi mitattiin 230,4 metriä. Pyramidin sivusärmän ja luotisuoran (pystysuoran) väliseksi kulmaksi mitattiin 48,0 astetta. Tehtävänä on selvittää pyramidin tilavuus näiden mittausten pohjalta.

  1. Ratkaise pyramidin korkeus pyramidin lävistäjän ja huipun kautta kulkevan poikkileikkauksen avulla.
  2. Laske pyramidin tilavuus. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Pyramidin korkeus on noin 146,7 m.
  2. Pyramidin tilavuus on noin $2\,600\,000 \text{ m}^3$.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan suoraa ympyräkartiota.

Suoran ympyräkartion sisälle on laitettu mahdollisimman suuri pallo. Pallo sivuaa kartion pohjaa pohjan keskipisteessä ja kartion vaippaa kuten alla olevassa kuvassa. Kartion korkeus on 15 ja pohjaympyrän säde on 8. Tehtävänä on määrittää pallon säde.

  1. Piirrä kuva poikkileikkauksesta, joka kulkee kartion huipun ja pohjaympyrän halkaisijan kautta. Merkitse kuvaan kaikki tunnetut mitat. Merkitse pallon sädettä jollakin kirjaimella.
  2. Tunnista kuvasta kaksi erikokoista suorakulmaista kolmiota. Perustele, että ne ovat yhdenmuotoiset.
    Vinkki: teoreema 3.
  3. Ratkaise isomman kolmion hypotenuusan pituus. Muodosta pienemmän kolmion hypoteenuusalle lauseke, jossa esiintyy pallon säde.
  4. Muodosta kolmioiden yhdenmuotoisuuden avulla verrantoyhtälö ja ratkaise pallon säde.

  3. Isomman suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 17. Pienemmän suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $15-r$.
  4. Pallon säde on $\dfrac{24}{5} = 4{,}8$.

Suoran ympyräkartion sivujana tarkoittaa janaa, joka yhdistää suoran ympyräkartion huipun johonkin pohjaympyrän kehän pisteeseen. Alla olevassa kuvassa yksi sivujana on piirretty punaisella.

Tässä tehtävässä päätellään lauseke suoran ympyräkartion vaipan pinta-alalle. Kun suoran ympyräkartion vaippa leikataan auki pitkin sivujanaa, vaippa avatuu ympyräsektoriksi kuten alla olevassa kuvassa.

  1. Piirrä vastaava mallikuva omaan vihkoosi. Merkitse kartion pohjaympyrän sädettä jollakin kirjaimella. Merkitse kartion sivujanan pituutta jollakin toisella kirjaimella.
  2. Ilmaise ympyräsektorin kaaren pituus $b$ kartion pohjaympyrän säteen avulla.
  3. Tunnista alla olevasta kuvasta kartion sivujana. Mikä on koko ympyrän kehän pituus? Entä pinta-ala? Ilmaise ne kartion sivujanan pituuden avulla.
  4. Tehtävässä 2.22 havaittiin, että ympyräsektorin pinta-alan $A_v$ suhde koko ympyrän pinta-alaan on sama kuin ympyräsektorin kaaren pituuden $b$ suhde ympyrän kehän pituuteen.
    Muodosta tämän tiedon avulla verrantoyhtälö ja ratkaise siitä ympyräsektorin pinta-ala $A_v$.

Tehtävän 3.24 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Suoran ympyräkartion vaipan pinta-ala $A_v$ on $$A_v = \pi rs,$$ missä $r$ on kartion pohjaympyrän säde ja $s$ on kartion sivujana.

Perustelu: tehtävässä 3.24.

Ulkoilualueelle suunnitellaan suoran ympyräkartion muotoista kotaa, joka on 2,8 m korkea ja 4,8 m leveä. Tehtävänä on laskea kodan seinään tarvittavan kankaan määrä ja kodan tilavuus.

  1. Piirrä mallikuva kodasta tai sen poikkileikkauksesta. Merkitse kuvaan kaikki tunnetut mitat.
  2. Mitä tietoja tarvitset kankaan määrän selvittämiseen? Ratkaise tarvittavat tiedot suorakulmaisen kolmion geometrian avulla.
  3. Kuinka paljon kangasta tarvitaan kodan seinään? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  4. Mikä on suunnitellun kodan tilavuus?

  2. Kotaa vastaavan suoran ympyräkartion sivujanan pituus on noin 3,7 m.
  3. Kangasta tarvitaan noin $28 \text{ m}^2$.
  4. Kodan tilavuus on noin $17 \text{ m}^3$.

MONITAHOKKAITA

Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon pituuden, leveyden ja korkeuden suhde on $3:2:1$. Laatikon vetoisuus on 15,0 litraa. Määritä laatikon mitat millimetrin tarkkuudella.

Pituus 407 mm, leveys 271 mm, korkeus 136 mm.

MONITAHOKKAITA

Kannellinen laatikko, jonka ulkomitat ovat 80 cm, 60 cm ja 40 cm, on valmistettu 30 mm paksuisesta styrokslevystä.

  1. Laske laatikon vetoisuus litroina.
  2. Kuinka paljon laatikko painaa? Yksi kuutiodesimetri styroksia painaa 21 grammaa.

  1. Noin 136 litraa.
  2. Noin 1,18 kilogrammaa.

MONITAHOKKAITA

Kissa kulki 8 metriä suoraan, kääntyi 90 astetta, kulki 5 metriä suoraan ja kiipesi puuhun 3 metrin korkeuteen. Mikä on kissan etäisyys lähtöpaikasta? Anna vastaus yhden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Kissan etäisyys lähtöpaikasta on noin 10 metriä.

MONITAHOKKAITA

Jotkin lentoyhtiöt noudattavat käsimatkatavaran suhteen niin sanottua 115 senttimetrin sääntöä: käsimatkatavarana voi kuljettaa suorakulmaisen särmiön muotoisen esineen, jonka pituuden, leveyden ja korkeuden summa ei ylitä 115 senttimetriä.
Laukun pohja on suorakulmio, jonka pituuden ja leveyden suhde on $3:2$, ja laukun korkeus on 55 cm.

  1. Määritä käsimatkatavaraksi kelpaavan mahdollisimman tilavan laukun muut mitat.
  2. Mahtuuko laukkuun 63 senttimetrin pituinen suorakahvainen sateenvarjo?

  1. Pohjan mitat 36 cm ja 24 cm.
  2. Kyllä.

MONITAHOKKAITA

Jään läpi halutaan nostaa kuution muotoinen kotelo, jonka särmien pituus on 40 cm. Kuinka suuri pyöreä reikä jäähän tulee kairata, jos köysi on kiinnitetty

  1. tahkon keskipisteeseen
  2. särmän keskipisteeseen?

  1. Reiän halkaisijan pitää olla vähintään noin 57 cm.
  2. Reiän halkaisijan pitää olla vähintään noin 70 cm (n. 69,3 cm).

Kulmia avaruudessa

Taita A4-kokoinen paperiarkki keskeltä. Yhdistä taitosviivan toinen päätepiste $P$ janoilla vastakkaisen sivun kärkiin $A$ ja $B$ kuten alla olevassa kuvassa.

  1. Laske kulman $\sphericalangle APB$ suuruus, kun arkki on levitetty tasaiseksi. A4-arkin sivujen pituudet ovat 210 mm ja 297 mm.
  2. Taita arkki keskeltä niin, että arkin puolikkaat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

    Leikkaa arkin nurkat pois pitkin janoja $AP$ ja $BP$. Mittaa kulman $\sphericalangle APB$ suuruus kolmioviivottimen avulla.
  3. Laske kulman $\sphericalangle APB$ suuruus, kun arkki on taitettu keskeltä niin, että arkin puolikkaat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
    Vinkki: Aloita laskemalla janan $AB$ pituus.

  1. Noin $70{,}5^\circ$.
  3. Noin $48{,}2^\circ$.

Kulmia avaruudessa

Laske asteen kymmenesosan tarkkuudella

  1. kuution avaruuslävistäjän ja samasta kärjestä lähtevän särmän välinen kulma
  2. kuution avaruuslävistäjän ja kuution tahkon välinen kulma
  3. kuution kahden avaruuslävistäjän välinen kulma.

  1. Noin $54{,}7^\circ$.
  2. Noin $35{,}3^\circ$.
  3. Noin $70{,}5^\circ$.

Kulmia avaruudessa

Oven leveys on 825 mm ja korkeus 2040 mm. Kuinka suuri on oven lävistäjän alku- ja loppuasennon välinen kulma, jos ovea avataan

  1. $45^\circ$
  2. $90^\circ$?

  1. Noin $16^\circ$.
  2. Noin $31^\circ$.

Kulmia avaruudessa

Palauta tarvittaessa mieleesi, mitä tarkoitetaan säännöllisellä monitahokkaalla. Määritä asteen tarkkuudella säännöllisen tetraedrin kahden vierekkäisen tahkon välinen kulma.

Noin $70{,}5^\circ.$

Yhdenmuotoisuus

Kappaleen kokoa muutetaan niin, että kappale säilyy yhdenmuotoisena. Miten kappaleen mittoja tulee muuttaa, jotta kappaleen tilavuus

  1. kasvaisi kymmenkertaiseksi?
  2. pienenisi puoleen?

  1. Kasvattaa kertoimella $\sqrt[3]{10} \approx 2{,}15$.
  2. Pienentää kertoimalla $\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}\approx 0{,}794$.

Yhdenmuotoisuus

Pallon muotoisessa ilmapallossa on 8,2 litraa ilmaa. Kuinka monta litraa ilmaa siihen pitää puhaltaa, jotta pallon läpimitta 1,4-kertaistuisi?

Noin 14 litraa.

Yhdenmuotoisuus

Kuohuviinilasi on suoran ympyräkartion muotoinen. Lasiin mahtuu 16 senttilitraa viiniä.

  1. Lasi täytetään puoliväliin. Kuinka paljon lasissa on viiniä?
  2. Lasiin kaadetaan 12 senttilitraa viiniä. Kuinka monta prosenttia nestekerroksen korkeus on koko lasin korkeudesta?

  1. Tasan 2 cl.
  2. Noin 91 %.

Yhdenmuotoisuus

Suoran ympyräkartion muotoisen pikarin vetoisuus on 10 senttilitraa ja sen sivujanan pituus on 11 cm. Pikariin on kaiverrettava viivat 4 cl ja 8 cl kohdalle. Määritä viivojen paikat.

Noin 8,1 cm ja 10 cm pikarin pohjasta sivua pitkin mitattuna.

Pallo

Pohjoisen napapiirin (leveyspiiri $66{,}6^\circ$ pohjoista leveyttä) pohjoispuolella olevaa maapallon osaa kutsutaan arktiseksi alueeksi. Kuinka monta prosenttia arkistisen alueen pinta-ala on maapallon pinta-alasta?
Maapallon ympärysmitta on kolmen numeron tarkkuudella 40 000 km.

Noin 4,11 %.

Pallo

Edam-juustoa myydään viipaleiden ja tavallisten juustokimpaleiden lisäksi myös vahakuoreen pakattuna pallona. Tällaisen pallojuuston paino on noin 1,9 kg ja läpimitta noin 16 cm. Siitä leikataan 5 senttimetrin paksuinen segmentti. Kuinka paljon tämä segmentti painaa?

Noin 440 grammaa.

Pallo

Puolipallo on mahdutettu mahdollisimman pieneen suorakulmaiseen särmiöön.

  1. Laske puolipallon tilavuuden suhde särmiön tilavuuteen.
  2. Kuinka monta prosenttia särmiön tilavuudesta jää tyhjäksi?

  1. Suhde on $\dfrac{\pi}{6}$.
  2. Noin 48 %.

Pallo

Kuution sisään asetettu pallo tarkoittaa palloa, joka sivuaa kuution kaikkia tahkoja. Kuution ympäri asetettu pallo tarkoittaa palloa, joka kulkee kuution kaikkien kärkien kautta.
Kuution sivun pituus on $a$. Määritä kuution sisään ja ympäri asetettujen pallojen säteet.

Sisään asetetun pallon säde $\dfrac{1}{2}a$.
Ympäri asetetun pallon säde $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.

Pallo

Jatkoa edelliseen tehtävään. Määritä kuution sisään ja ympäri asetettujen pallojen

  1. säteiden suhde
  2. pinta-alojen suhde
  3. tilavuuksien suhde.

  1. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
  2. $\dfrac{1}{3}$
  3. $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$

Pallo

Sääsatelliitti ylittää pohjoisnavan 850 km korkeudella. Mille leveyspiirille satelliitin näkyvyys ulottuu, kun se on pohjoisnavan yläpuolella?
Maapallon ympärysmitta on kolmen numeron tarkkuudella 40 000 km.

Noin leveyspiirille $62^\circ$ pohjoista leveyttä.

Pallo

Hanoi, Cancun ja Honolulu sijaitsevat kaikki suunnilleen samalla leveyspiirillä $21^\circ$ pohjoista leveyttä. Hanoi sijaitsee pituuspiirillä $106^\circ$ itäistä pituutta, Cancun $87^\circ$ läntistä pituutta ja Honolulu $158^\circ$ läntistä pituutta. Tehtävänä on laskea, miten pitkä matka on kaupungista toiseen, jos matka tehdään kompassin avulla kulkemalla koko ajan itään tai länteen.
Maapallon ympärysmitta on kolmen numeron tarkkuudella 40 000 km.

Hanoi-Cancun 17 300 km
Hanoi-Honolulu 9 960 km
Cancun-Honolulu 7 360 km.

Lieriö

Salin ympärysmitta on 44 m ja korkeus 3,5 m. Ikkunoiden ja ovien yhteenlaskettu pinta-ala on $43 \text{ m}^2$. Mikä on maalattavan seinäpinnan ala?

Seinäpinnan ala on $111 \text{ m}^2.$

Lieriö

Suoran ympyrälieriön muotoisen mittalasin pohjan halkaisija on 3 cm. Lasiin on tehtävä merkit 10 millilitran kohdalle ja siitä 10 millilitran välein aina 50 millilitraan asti. Mille korkeudelle merkit pitää tehdä?

Merkkien korkeudet pohjasta lukien 14 mm, 28 mm, 42 mm, 57 mm ja 71 mm.

Lieriö

Ilmastointiputken poikkileikkaus on ympyrä, jonka halkaisija on 125 mm. Ilma virtaa putkessa nopeudella 0,5 m/s. Kuinka monta kuutiometriä ilmaa virtaa huoneeseen kymmenessä minuutissa?

Noin $3{,}7 \text{ m}^3.$

Lieriö

Suoran ympyrälieriön muotoiseen mittalasiin, jonka halkaisija on 3,0 cm, kerääntyy sadevesi suppilosta, jonka ympyrän muotoisen suuaukon halkaisija on 14 cm. Vuorokauden aikana mittalasiin kertyi 62 mm korkea vesikerros. Kuinka monta millimetriä vuorokauden aikana satoi?

Vuorokauden aikana satoi noin 2,8 mm.

Lieriö

Kun lieriön muotoiseen astiaan kaadettiin 1,0 litraa vettä, vedenpinta astiassa nousi 13,5 cm. Kun astiaan upotettiin metallipallo, vedenpinta nousi vielä 2,5 cm. Mikä oli pallon säde?

Pallon säde oli noin 3,5 cm.

Lieriö

Suorakulmaisen särmiön muotoisen huoneen pituus on 4,0 m, leveys 3,0 m ja korkeus 2,5 m. Huoneen kattonurkassa on muurahainen, joka haluaa kulkea vastakkaiseen lattianurkkaan. Muurahainen voi kävellä kattoa ja seiniä pitkin miten vain haluaa. Tehtävänä on selvittää, mikä on lyhin mahdollinen reitti ja kuinka pitkä se on.

  1. Piirrä mallikuva suorakulmaisesta särmiöstä, joka on leikattu auki särmiä pitkin ja levitetty tasoon.
  2. Millainen on lyhin reitti kattonurkasta lattianurkkaan, jos särmiö on leikattu auki ja levitetty tasoon?
  3. Laske lyhimmän mahdollisen reitin pituus.
  4. Olisiko särmiön voinut leikata auki jollakin toisella tavalla ja levittää tasoon niin, että reitti kattonurkasta lattianurkkaan olisi ollut vielä lyhyempi?

  2. Reitti on suora ja kulkee pitkin kattoa ja pitempää seinää.
  3. Lyhin mahdollinen reitti on noin 6,8 metriä.
  4. Reitti, joka kulkee pitkin kattoa ja lyhyempää seinää, on noin 7,2 metriä. Reitti, joka kulkee pitkin kumpaakin seinää, on noin 7,4 metriä.

Kartio

Pahvisesta ympyrästä, jonka säde on 18,0 cm leikataan $225^\circ$ sektori. Sektori kiedotaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Laske kartion

  1. pohjan säde
  2. tilavuus.

  1. Noin 11,3 cm.
  2. Noin $1860 \text{ cm}^3 = 1{,}86 \text{ dm}^3 = 1{,}86 \text{ l}$.

Kartio

Suoran ympyräkartion korkeus on 18 ja pohjan säde 6. Kartion sisällä on suora ympyrälieriö, jonka toinen pohjaympyrä on kartion pohjalla ja toinen kartion vaipalla. Lieriön korkeus on 12. Mikä on lieriön pohjaympyrän säde?

Lieriön pohjaympyrän säde on 2.

Kartio

Kolmisivuisen pyramidin pohja on tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituus on 8,6 cm. Pyramidin korkeus on 10,7 cm.

  1. Hahmottele kuva pyramidista.
  2. Laske pyramidin tilavuus.

  2. Pyramidin tilavuus on noin $130 \text{ cm}^3 = 0{,}13 \text{ dm}^3 = 0{,}13 \text{ l}$.

Kartio

Suora ympyräkartio ympäröidään pallolla niin, että ympyräkartion huippu ja pohjaympyrä ovat pallon pinnalla. Ympyräkartion korkeus on kolme viidesosaa pallon halkaisijasta. Tehtävänä on laskea ympyräkartion tilavuuden suhde pallon tilavuuteen.

  1. Piirrä mallikuva poikkileikkauksesta, joka kulkee kartion huipun ja pohjaympyrän keskipisteen kautta.
  2. Merkitse pallon sädettä jollakin kirjaimella. Ilmaise ympyräkartion korkeus pallon säteen avulla.
  3. Ilmaise kartion pohjaympyrän säde pallon säteen avulla.
    Vinkki: täydennä kuvaa niin, että voit käyttää Pythagoraan lausetta.
  4. Muodosta lausekkeet ympyräkartion ja pallon tilavuudelle. Määritä niiden suhde.

  2. $h = \dfrac{6}{5}r$
  3. $\dfrac{\sqrt{24}}{5}r$
  4. Suhde on $\dfrac{36}{125}$.

Kartio

Ympyräsektori kiedotaan suoran ympyräkartion vaipaksi.

  1. Ympyräsektorin keskuskulma on $200^\circ$. Kuinka suuri on tällöin kartion huippukulma eli kahden vastakkaisen sivujanan välinen kulma? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  2. Kuinka suuri ympyräsektorin keskuskulman tulee olla, jotta kartion huippukulma olisi $90^\circ$?

  1. Noin $67{,}5^\circ$.
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot 360^\circ \approx 254{,}6^\circ$

Kartio

Pöydälle neliönmuotoisen kehikon sisään on asetettu neljä tennispalloa, jotka sivuavat toisiaan niin, että niiden keskipisteet muodostavat neliön. Pallojen keskelle asetetaan viides tennispallo. Tehtävänä on laskea muodostuvan keon korkeus. Tennispallojen halkaisija on noin 6,7 cm.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva, jossa näkyvät tennispallojen keskipisteet. Yhdistä kaikki nämä keskipisteet toisiinsa janoilla. Millainen kappale muodostuu?
  2. Päättele, miten pitkiä mallikuvan kappaleen särmät ovat.
  3. Laske kappaleen korkeus ja päättele, mikä on tennispalloista muodostuvan keon korkeus.

  1. Neliöpohjainen pyramidi.
  2. Kaikkien särmien pituus on 6,7 cm.
  3. Pyramidin korkeus on noin 4,7 cm. Koko keon korkeus on noin 11,4 cm.

  1. Kuntopolun pituus kartalla on 17,5 cm. Mikä on polun pituus maastossa, kun kartan mittakaava on $1 : 20\ 000$? Anna vastaus 100 metrin tarkkuudella.
  2. Laske kuution yhden sivutahkon pinta‐ala neliösenttimetrin tarkkuudella, kun kuution tilavuus on 7,0 litraa.
[Pitkä S2015/3]

  1. $3\ 500$ m
  2. Noin $366 \text{ cm}^2$.

Täysin pyöreän geenimanipuloidun omenan säde on 5,0 cm. Omenan läpi porataan sen keskeltä kulkeva reikä, jonka säde on 1,0 cm. Kuinka monta prosenttia omenan tilavuudesta tällöin häviää? Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella.

[Pitkä S2015/9]

Noin 5,9 %.

Öljysäiliö on suoran ympyrälieriön muotoinen, ja sen akseli on vaakasuorassa. Akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen halkaisija on 1,3 metriä.

  1. Määritä säiliön pituus, kun sen tilavuus on 3 000 litraa.
  2. Öljyn korkeudeksi syvimmässä kohdassa mitataan 40 senttimetriä. Kuinka monta litraa öljyä on jäljellä säiliössä?

[Pitkä K2015/8]

  1. Noin 2,26 m.
  2. Noin 784 litraa.

Pöydällä on kolme samankokoista palloa, joista kukin koskettaa kahta muuta. Niiden päälle asetetaan neljäs samanlainen pallo, joka koskettaa kaikkia kolmea alkuperäistä palloa. Mikä on rakennelman korkeus? Anna vastauksena tarkka arvo pallojen säteen avulla lausuttuna.

[Pitkä S2013/10]

$\left(\sqrt{\dfrac{8}{3}} + 2\right)r$

Oheisen kuution särmän pituus on 2. Sen sisällä on vaaleanpunainen pallo, joka sivuaa jokaista kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tarkka arvo.

[Pitkä K2013/10]

$\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.

[Pitkä K2012/9]

$68 \text{ cm}^2$

Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion $ABC$ kanta $BC$ jaetaan pisteillä $P$ ja $Q$ kolmeen yhtä pitkään osaan. Kolmio taitetaan pitkin janoja $AP$ ja $AQ$ niin, että kärjet $B$ ja $C$ yhtyvät pisteessä $R$.

  1. Tee paperista malli ja arvioi sen avulla särmän $AR$ ja tahkon $APQ$ välisen kulman suuruus. Arvioi myös tahkojen $APR$ ja $AQR$ välisen kulman suuruus.
  2. Laske särmän $AR$ ja tahkon $APQ$ välisen kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  3. Laske tahkojen $APR$ ja $AQR$ välisen kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella.

  2. Noin $19{,}5^\circ$
  3. $90^\circ$

Määritä asteen tarkkuudella säännöllisen oktaedrin kahden vierekkäisen tahkon välinen kulma.

Noin $109{,}5^\circ.$

Kuvan mukainen puolisuunnikas pyörähtää sivun $CD$ ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus ja kokonaispinta-ala.

Tilavuus noin $54 \text{ cm}^3$ ja kokonaispinta-ala noin $93 \text{ cm}^2$.

Neliöpohjaiseen suorakulmaiseen särmiöön on mahdutettu mahdollisimman suuri samankokoinen suora ympyrälieriö. Määritä ympyrälieriön tilavuuden suhde särmiön tilavuuteen (tarkka arvo ja likiarvo prosentteina prosentin tarkkuudella).

Suhde on $\dfrac{\pi}{4}$ eli prosentteina noin 79 %.

Pahvi taitetaan merkityistä kohdista suoran kolmisivuisen särmiön vaipaksi. Kuinka suuri särmiön tilavuus on?

Noin $58 \text{ cm}^3.$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.