Tarkastellaan alla olevaa funktion $f$ kuvaajaa. Havaitaan, että funktio $f$ on määritelty kohdan $x = 1$ läheisyydessä sen molemmilla puolilla, mutta ei kohdassa $x = 1$.

Tutkitaan funktion $f$ arvoja kohdan $x = 1$ eri puolilla. Huomataan, että funktion $f$ arvot lähestyvät lukua 2, kun lähestytään kohtaa $x = 1$ vasemmalta. Jos kohtaa $x = 1$ lähestytään oikelta, funktion $f$ arvot lähestyvät lukua $0$. Koska funktion arvot lähestyvät eri lukua riippuen siitä, kummalta puolelta kohtaa $x = 1$ lähestytään, ei funktiolla $f$ ole raja-arvoa kohdassa $x = 1$.

Raja-arvon kannalta ei ole mitään merkitystä sillä, onko funktio määritelty tarkasteltavassa kohdassa vai ei. Oleellista on vain se, lähestyvätkö funktion arvot jotain tiettyä arvoa, kun tarkastelukohtaa lähestytään kummasta suunnasta tahansa.

Joskus funktion raja-arvoa ei ole olemassa tarkastelukohdassa, koska funktion arvot kasvavat tai pienenevät rajatta tämän kohdan läheisyydessä. Esimerkiksi alla on näkyvissä osa funktion $g$ kuvaajasta. Siitä nähdään, että funktio $g$ on kyllä määritelty välin $[-3,5]$ jokaisessa pisteessä, mutta funktiolla $f$ ei ole raja-arvoa kohdassa $x = 2$. Tämä johtuu siitä, että funktion arvot kasvavat rajatta, kun kohtaa $x = 2$ lähestytään oikealta.

Monissa tilanteissa funktion raja-arvo tarkastelukohdassa voidaan määrittää funktion lausekkeen avulla. Esimerkiksi voidaan tutkia, onko funktiolla $f(x) = x^2-9$ raja-arvoa kohdassa $x = 5$. Päätellään, että jos $x \rightarrow 5$, niin $$x^2 - 9 \rightarrow 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16.$$ Tulos ei riipu siitä, mistä suunnasta kohtaa $x = 5$ lähestytään. Funktiolla $f$ on siis kohdassa $x = 5$ raja-arvo $$\lim_{x \rightarrow 5} f(x) = 16.$$

Paloittain määriteltyjen funktioiden raja-arvoja voidaan tutkia samaan tapaan lausekkeiden avulla. Tällöin täytyy huomata, että funktio saattaa olla määritelty eri tavoin tarkastelukohdan eri puolilla. Tarkastelukohtaa pitää sen vuoksi lähestyä erikseen sekä oikealta että vasemmalta. Lähestymissuunta ilmaistaan raja-arvon merkinnässä merkeillä $+$ ja $-$.

Vasemmalta lähestyminen: $x \rightarrow c-$

Oikealta lähestyminen: $x \rightarrow c+$

Jos esimerkiksi tutkitaan, onko funktiolla $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2+2x+4}{4}, &\text{ jos $\ x < -2$} \\[2mm] 2-\sqrt{x + 3}, &\text{ jos $\ x \geq -2$} \end{cases} $$ raja-arvoa kohdassa $x = -2$, verrataan vasemman- ja oikeanpuoleista raja-arvoa toisiinsa: \begin{align*} \lim_{x \rightarrow (-2)-} f(x) &= \lim_{x \rightarrow (-2)-}\dfrac{x^2+2x+4}{4} \\[2mm] &= \frac{(-2)^2 + 2\cdot(-2) + 4}{4} \\[2mm] &= \frac{4-4+4}{4} = 1 \end{align*} ja \begin{align*} \lim_{x \rightarrow (-2)+} f(x) &= \lim_{x \rightarrow (-2)+} (2-\sqrt{x + 3}) \\[1mm] &= 2 - \sqrt{-2+3} \\[1mm] &= 2- \sqrt{1} = 1 \end{align*} Tulos ei riipu lähestymissuunnasta, joten funktiolla $f$ on kohdassa $x = -2$ raja-arvo $$ \lim_{x \rightarrow -2} f(x) = 1. $$

Edellisessä kappaleessa havaittiin, että funktiolla voi jossakin kohdassa olla raja-arvo, joka poikkeaa funktion arvosta. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että $$\lim_{x \rightarrow -1} f(x) = -2$$ ja $$f(-1) = 1.$$
Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että funktio $f$ ei ole jatkuva kohdassa $x = -1$.

Määritelmän mukaan funktio $f$ on siis jatkuva kohdassa $a$, jos sillä on kohdassa $a$ raja-arvo, joka on sama kuin funktion arvo kohdassa $a$.

Jos funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $a$, funktio ei ole siinä jatkuva. Tämä voi näkyä funktion kuvaajassa hyppäyksenä, kuten esimerkiksi alla kohdassa $x = 2$.

Funktion kuvaajassa näkyy hyppäyksenä myös tilanne, jossa raja-arvo on kyllä olemassa mutta poikkeaa funktion arvosta, kuten esimerkiksi alla kohdassa $x = -1$.

Yllä näkyvä funktio ei siis ole jatkuva kohdassa $x = -1$.

Edellä on tarkasteltu funktion jatkuvuutta aina jossain yksittäisessä kohdassa. Seuraavaksi siirrytään tarkastelemaan tilanteita, joissa funktio on jatkuva jollakin lukusuoran välillä tai jopa koko lukusuoralla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi polynomifunktiot, joihin perehdyttiin kurssissa MAA2.

Alla olevassa määritelmässä tarkastellaan sekä avoimia että suljettuja välejä. Avoimen välin mitä tahansa pistettä voidaan lähestyä sekä vasemmalta että oikealta, mutta suljetun välin päätepisteitä voidaan lähestyä vain yhdestä suunnasta: vasenta päätepistettä oikealta ja oikeaa päätepistettä vasemmalta.

Määritelmää voidaan havainnollistaa alla näkyvän funktion $f$ kuvaajan avulla. Kuvaajasta havaitaan, että funktio on jatkuva kaikissa muissa kohdissa paitsi kohdassa $x = 1$. Jos kohtaa $x = 1$ lähestytään oikealta, funktion arvot kasvavat rajatta, mutta jos kohtaa $x = 1$ lähestytään vasemmalta, funktion arvot lähestyvät lukua $-2$. Funktiolla ei tämän vuoksi ole raja-arvoa kohdassa $x = 1$ eikä se siten ole siinä jatkuva.

Tarkastellaan sitten funktion jatkuvuutta suljetuilla väleillä $[-2,1]$ ja $[1,3]$.

• suljetulla välillä $[-2,1]$ funktio $f$ on jatkuva, sillä se on jatkuva avoimella välillä $\pa -2, 1 \pe$ ja lisäksi \begin{align*} \lim_{x \rightarrow -2+} f(x) &= 4 = f(-2) \\ \lim_{x \rightarrow 1-} f(x) &= -2 = f(1) \end{align*}
• suljetulla välillä $[1,3]$ funktio $f$ ei ole jatkuva, sillä $f(1) = -2$ mutta funktion arvot kasvavat rajatta, kun kohtaa $x = 1$ lähestytään oikealta.

On mahdollista osoittaa, että jos suljetulla välillä jatkuva funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä tulos tunnetaan nimellä Bolzanon lause. Sen todisti ensimmäisenä tsekkiläinen matemaatikko Bernard Bolzano vuonna 1817. Kuvasta katsottuna Bolzanon lause on helppo uskoa todeksi, mutta yleispätevän perustelun esittäminen on sen verran työlästä, että sitä käsitellään vasta yliopistotasolla.

Huomaa, että jos Bolzanon lauseen ehdot täyttyvät, voi funktiolla olla useampikin nollakohta tarkasteluvälillä. Tällainen tilanne on alla olevassa kuvassa.

Nollakohdan olemassaolon kannalta on oleellista, että funktio on jatkuva suljetulla välillä $[a,b]$. Esimerkiksi seuraavan kuvan tilanteessa funktio $f$ on kyllä määritelty suljetulla välillä $[-1,2]$ ja saa sen päätepisteissä erimerkkiset arvot: $f(-1) = 2$ ja $f(2) = -0{,}5$. Lisäksi funktio on jatkuva avoimella välillä $\pa -1, 2 \pe$, mutta sillä ei ole nollakohtaa välillä $\pa -1,2 \pe$.

Bolzanon lausetta voidaan hyödyntää esimerkiksi polynomifunktioiden nollakohtien etsimisessä ja polynomiyhtälöiden ratkaisussa, sillä polynomifunktiot ovat jatkuvia millä tahansa lukusuoran välillä. Tämän teoreeman täsmällinen todistus on niin työläs, että siihen tutustutaan vasta yliopistotasolla.

Bolzanon lauseen ja teoreeman 2 käyttöä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Jos funktio saa kahdessa eri kohdassa samanmerkkiset arvot, niiden välillä saattaa olla olemassa nollakohtia tai sitten ei. Tätä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Ensimmäisessä luvussa opittiin, että funktion derivaatta on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Esimerkiksi alla näkyvän funktion $f$ derivaatta kohdassa $x = 2$ on $$f'(2) = -0{,}5.$$
Funktion kuvaajalle ei kuitenkaan aina ole mahdollista piirtää yksikäsitteistä tangenttia. Erityisesti kohdat, joissa funktio ei ole jatkuva, tuottavat hankaluuksia. Miten esimerkiksi pitäisi piirtää tangentti alla näkyvän funktion kuvaajan kohtaan $x = 3$?

Alla näkyy kaksi suoraa, jotka sivuavat funktion kuvaajaa kohdassa $x = 3$. Yksikäsitteistä tangettia on mahdotonta piirtää, joten funktiolla $f$ ei ole derivaattaa kohdassa $x = 3$. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että funktio $f$ ei ole derivoituva kohdassa $x = 3$.

On mahdollista osoittaa yleispätevästi, että funktio voi olla derivoituva vain siinä tapauksessa, että se on jatkuva:

Teoreemasta 3 seuraa, että jos funktio ei ole jatkuva, se ei missään tapauksessa voi olla derivoituva. Toisaalta vaikka funktio olisi jatkuva, se ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi alla on näkyvissä itseisarvofunktion $$f(x) = \left|x\right|$$ kuvaaja. Se on katkeamaton käyrä, mistä voidaan päätellä, että itseisarvofunktio on jatkuva.

Havaitaan, että kohtaan $x = 0$ on mahdotonta piirtää yksikäsitteistä tangenttia:

Itseisarvofunktio $f(x) = \left|x\right|$ ei siten ole derivoituva kohdassa $x = 0$, vaikka onkin siinä jatkuva.