Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA6 - Derivaatta

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Derivaatta

Tämän luvun tavoitteena on, että yhdistät funktion derivaatan mielessäsi funktion arvojen kasvunopeuteen ja funktion kuvaajan jyrkkyyteen. Osaat

  • määrittää funktion derivaatan arvon laskemalla, mikä on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin
  • määrittää funktion kuvaajalle piirretyn tangentin yhtälön, jos derivaatan arvo eli tangetin kulmakerroin tunnetaan
  • tunnistaa funktion kuvaajasta kohdat, joissa funktion derivaatta on nolla
  • tunnistaa funktion kuvaajasta kohdat, joissa derivaatta on positiivinen, ja kohdat, joissa derivaatta on negatiivinen
  • hahmotella ensimmäisen asteen polynomifunktion derivaattafunktion kuvaajan
  • hahmotella vakiofunktion derivaattafunktion kuvaajan.

Kursseissa MAA3 ja MAA5 on tarkasteltu ympyrän tangetteja. Nämä ovat suoria, jotka sivuavat ympyrää tasan yhdessä pisteessä.

Samaan tapaan voidaan piirtää tangetti myös funktion kuvaajalle. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on piirretty funktion $f$ kuvaajalle tangentti kohtaan $x = 2$.

Tangentin kulmakerroin antaa tietoa funktion kuvaajan jyrkkyydestä tarkastelukohdassa. Alla olevasta kuvasta nähdään, että tässä tapauksessa tangetin kulmakerroin on $$\frac{-2}{\phantom{-}4} = -0{,}5.$$

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on toiselta nimeltään funktion derivaatta. Tämän funktion $f$ derivaatta kohdassa $x = 2$ on siis $-0{,}5$. Tämä ilmaistaan merkinnällä $$f'(2) = -0{,}5.$$

Tutki alla olevaa kuvaa. Mikä on funktion $f$

  1. arvo kohdassa $x = -2$
  2. derivaatta kohdassa $x = -2$
  3. derivaatta kohdassa $x = 1$?

  1. $f(-2) = 1$
  2. $f'(-2) = \frac{3}{2}$
  3. $f'(1) = 0$.

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Mitä on $g'(-1)$ eli mikä on funktion $g$ derivaatta kohdassa $x = -1$?
  2. Onko funktion $g$ derivaatta kohdassa $x = 3$ positiivinen vai negatiivinen?
  3. Anna esimerkki kohdasta $x$, jossa sekä funktion arvo että funktion derivaatta ovat positiivisia.
  4. Anna esimerkki kohdasta $x$, jossa funktion $g$ derivaatta on negatiivinen.
  5. Missä kohdissa funktion $g$ derivaatta on nolla? Selitä omin sanoin, miten nämä kohdat tunnistaa kuvaajasta.
  6. Kuinka monessa kohdassa funktio $g$ saa arvon nolla? Selitä omin sanoin, miten nämä kohdat tunnistaa kuvaajasta.

  1. $g'(-1) = 0$
  2. $g'(3)$ on positiivinen.
  3. Esim. $x = 4$.
  4. Esim. $x = 0$.
  5. Derivaatta on nolla kohdissa $x = -1$ ja $x = 2$.
  6. Funktio saa arvon nolla kolmessa kohdassa.

Tässä tehtävässä harjoitellaan derivaatan tai sen likiarvon määrittämistä Geogebran avulla.
Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = 0{,}1x^4 - 0{,}3x^3 - 1{,}5x^2 + 1{,}9x + 3. $$

  1. Piirrä Geogebralla funktion $f$ kuvaaja välillä $[-3,5]$. Ohjevideo löytyy täältä.
  2. Määritä kuvaajalle kohtaan $x = -0{,}5$ piirretyn tangentin yhtälö. Katso tarvittaessa ohjeita a-kohdan videosta.
    Vinkki: Oletusarvoisesti Geogebra pyöristää luvut kahden desimaalin tarkkuuteen, mutta valikosta "Asetukset" → "Pyöristä" voit muuttaa desimaalien määrää.
  3. Määritä derivaatta $f'(-0{,}5)$ tai sen likiarvo.

  1. $y = 3{,}125x+3{,}28125$
  2. $f'(-0{,}5) = 3{,}125$

Funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin eli funktion derivaatta ilmaisee funktion arvojen kasvunopeuden kyseisessä kohdassa. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $f$, jonka kuvaaja on näkyvissä alla.

Kuvaajalle piirretyistä tangeteista havaitaan, että funktion arvot kasvavat voimakkaasti kohdassa $x = -1$. Kohdassa $x = 2$ kasvu on hiipumassa ja kohdassa $x = 5$ funktion arvot pienenevät. Jokaisessa kohdassa tangentin kulmakerroin eli funktion $f$ derivaatta antaa kasvunopeuden hetkellisen arvon.

Tutki alla olevaa kuvaa. Määritä derivaatan eli tangentin kulmakertoimen avulla funktion $f$ kasvunopeus kohdassa

  1. $x = -1$
  2. $x = 2$
  3. $x = 5$.
  4. Missä kohdassa funktion kasvu hetkellisesti pysähtyy?
  5. Mikä on funktion $f$ suurin arvo? Missä kohdassa funktio $f$ saa suurimman arvonsa?

  1. Funktion $f$ kasvunopeus kohdassa $x = -1$ on $f'(-1) = 2.$
  2. Funktion $f$ kasvunopeus kohdassa $x = 2$ on $f'(2) \approx 0{,}5$
  3. Funktion $f$ kasvunopeus kohdassa $x = 5$ on $f'(5) = -1$ eli funktion arvot pienenevät.
  4. Kohdassa $x = 3$.
  5. Funktion $f$ suurin arvo on $4$. Funktio saa sen kohdassa $x = 3$. Siis $f(3) = 4$.

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Määritä funktion $g$ kasvunopeus kohdassa $x = -4$.
  2. Millä $x$-akselin väleillä funktion arvot ovat positiivisia eli $g(x) > 0$?
  3. Millä $x$-akselin väleillä funktion derivaatta on positiivinen eli $g'(x) > 0$?
  4. Missä kohdissa $g(x) = 0$?
  5. Missä kohdissa $g'(x) = 0$?
  6. Millä $x$-akselin väleillä funktion arvot ovat negatiivisia eli $g(x) < 0$?
  7. Millä $x$-akselin väleillä funktion derivaatta on negavinen eli $g'(x) < 0$?

  1. Funktion $g$ kasvunopeus kohdassa $x = -4$ on $g'(-4) = 4$.
  2. Funktion $g$ arvot ovat positiivisia väleillä $\pa -4, 0 \pe$ ja $\pa 4, \infty \pe$.
  3. Funktion $g$ derivaatta on positiivinen väleillä $\pa -\infty, -2\pe$ ja $\pa 2, \infty \pe$.
  4. Kohdissa $x = -4$, $x = 0$ ja $x = 4$.
  5. Kohdissa $x = -2$ ja $x = 2$.
  6. Funktion $g$ arvot ovat negatiivisia välillä $\pa 0,4 \pe$.
  7. Funktion $g$ derivaatta on negatiivinen välillä $\pa -2, 2\pe$.

Edellä on tutkittu funktioita, joiden kasvunopeus vaihtelee kohdasta toiseen. On olemassa myös funktioita, joiden arvot kasvavat koko ajan samalla nopeudella. Esimerkiksi funktion $f(x) = 2x-3$ arvo kasvaa aina kahdella, kun $x$-akselilla siirrytään yhden yksikön verran oikealle:

Tästä voidaan päätellä, että funktion $f(x) = 2x-3$ derivaatan arvo on koko ajan vakio: $$f'(x) = 2$$ kaikissa kohdissa $x$.

Keksi esimerkki funktiosta $g$,

  1. jonka kasvunopeus on koko ajan $3$
  2. jonka kasvunopeus on koko ajan $-1$
  3. jonka kasvunopeus on koko ajan $0$.

Piirrä myös keksimäsi funktion kuvaaja ja tarkista sen avulla, että keksimäsi funktio on sopiva.

  1. Esimerkiksi ensimmäisen asteen polynomifunktio $g(x) = 3x-1$.
  2. Esimerkiksi ensimmäisen asteen polynomifunktio $g(x) = -x+5$
  3. Esimerkiksi vakiofunktio $g(x) = 6$.

Edellä havaittiin, että ensimmäisen asteen polynomifunktioiden ja vakiofunktioiden kasvunopeus on vakio. Esimerkiksi funktion $g(x) = -0{,}5x + 4$ arvo pienenee aina puolikkaan verran, kun $x$-akselilla siirrytään yhden yksikön verran oikealle:

Tästä voidaan päätellä, että funktion $g(x) = -0{,}5x+4$ derivaatan arvo on koko ajan vakio: $$g'(x) = -0{,}5$$ kaikissa kohdissa $x$. Derivaatta on siis vakiofunktio, jonka arvo on koko ajan $-0{,}5$:

Tarkastellaan ensimmäisen asteen polynomifunktiota $f(x) = 4x - 1$.

  1. Päättele funktion $f$ lausekkeesta, mikä on funktion $f$ kasvunopeus.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja ja tarkista sen avulla, että a-kohdan johtopäätöksesi on oikein.
  3. Piirrä derivaattafunktion $f'$ kuvaaja.

  1. Kasvunopeus on koko ajan $4$.
  2. Kuvaaja on suora, joka kulkee pisteiden $(0,-1)$ ja $(1,3)$ kautta.
  3. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $4$.

Tarkastellaan vakiofunktiota $h(x) = 3$.

  1. Mikä on funktion $h$ kasvunopeus?
  2. Piirrä funktion $h$ kuvaaja ja tarkista sen avulla, että a-kohdan johtopäätöksesi on oikein.
  3. Piirrä derivaattafunktion $h'$ kuvaaja.

  1. Kasvunopeus on koko ajan $0$.
  2. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $3$.
  3. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $0$.

Tiedetään, että $g(0) = -3$. Lisäksi tiedetään, että funktion $g$ kasvunopeus on koko ajan $2$.

  1. Piirrä derivaattafunktion $g'$ kuvaaja.
  2. Piirrä funktion $g$ kuvaaja.
  3. Muodosta funktion $g$ lauseke.

  1. Kuvaaja on vaakasuora suora, joka leikkaa $y$-akselin korkeudella $2$.
  2. Kuvaaja on nouseva suora, jonka kulmakerroin on $2$ ja joka kulkee pisteen $\left(0, -3\right)$ kautta.
  3. $g(x) = 2x - 3$.

Tarkastellaan seuraavaksi toisen asteen potenssifunktiota $f(x) = x^2$. Alla on näkyvissä osa sen kuvaajasta ja sille piirrettyjä tangentteja.

Lisäksi havaitaan, että kohdassa $x = 0$ kuvaajan tangettina on $x$-akseli. Näiden tangenttien kulmakertoimista saadaan funktion $f$ derivaatalle seuraavat arvot:

$\phantom{-}x$ $\phantom{-}f'(x)$
$\textcolor{blue}{-2}$ $\textcolor{blue}{-4}$
$\textcolor{Purple}{-1}$ $\textcolor{Purple}{-2}$
$\phantom{-}0$ $\phantom{-}0$
$\phantom{-}\textcolor{red}{1}$ $\phantom{-}\textcolor{red}{2}$
$\phantom{-}\textcolor{DeepSkyBlue}{2}$ $\phantom{-}\textcolor{DeepSkyBlue}{4}$

Kun vastaavat pisteet merkitään koordinaatistoon, saadaan hieman käsitystä siitä, millainen derivaattafunktio $f'$ on.

Jos funktion kuvaajalle piirretään enemmän tangentteja ja määritetään niiden kulmakertoimet, saadaan tarkempaa tietoa derivaattafunktion arvoista. Tätä kokeillaan seuraavassa tehtävässä.

Tässä Geogebra-havainnollistuksessa on näkyvissä funktion $f(x) = x^2$ kuvaaja, sille pisteeseen $A = (a, a^2)$ piirretty tangentti sekä piste $P$, jonka $y$-koordinaatti on kohtaan $x = a$ piirretyn tangentin kulmakerroin. Piste $P$ on siis derivaattafunktion kuvaajan piste, sillä $P = (a,f'(a))$.

Siirrä tangettia eri kohtiin liukusäätimen avulla ja tutki, millainen derivaattafunktion kuvaaja pisteistä $P$ muodostuu.

Alla on näkyvissä erään funktion $h$ derivaattafunktion kuvaaja.

Tutki derivaattafunktion kuvaajaa ja päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Missä kohdassa derivaattafunktio saa arvon nolla?
  2. Missä kohdassa funktion $h$ kasvunopeus on nolla?
  3. Millä välillä derivaattafunktion arvo on vakio?
  4. Millä välillä funktion $h$ kasvunopeus on vakio? Mikä tämä kasvunopeus on?
  5. Millä välillä derivaattafunktion arvo on positiivinen?
  6. Millä välillä funktion $h$ arvot kasvavat?
  7. Millä välillä derivaattafunktion arvo on negatiivinen?
  8. Millä välillä funktion $h$ arvot pienenevät?
  9. Missä kohdassa funktio $h$ saa suurimman arvonsa?

Tiedetään, että $h(3) = 4$. Hahmottele alkuperäisen funktion $h$ kuvaaja.

  1. Kohdassa $x = 3$.
  2. Kohdassa $x = 3$.
  3. Välillä $\pa -\infty, 1]$.
  4. Välillä $\pa -\infty, 1]$.
  5. Välillä $\pa -\infty, 3\pe$.
  6. Välillä $\pa -\infty, 3\pe$.
  7. Välillä $\pa 3, \infty\pe$.
  8. Välillä $\pa 3, \infty\pe$.
  9. Kohdassa $x = 3$.

Tässä luvussa olemme tutustuneet derivaatan käsitteeseen pääasiassa graafisesti määrittämällä funktion kuvaajalle piirrettyjen tangenttien kulmakertoimia. Jotta voimme tarkastella derivaattaa myös lausekkeiden avulla, perehdymme seuraavassa luvussa funktion raja-arvon käsitteeseen. Kolmannessa luvussa harjoittelemme rationaalifunktioiden käsittelyä, minkä jälkeen voimme määritellä derivaatan käsitteen täsmällisesti niin sanottuna erotusosamäärän raja-arvona luvussa 4.

Tangentin kulmakerroin

Määritä alla olevan kuvan avulla seuraavat derivaatan arvot:

  1. $f'(-1)$
  2. $f'(1)$
  3. $f'(3)$
  4. $f'(5)$
  5. $f'(6)$
  6. $f'(8)$.

  1. $f'(-1) = 1$
  2. $f'(1) = 0$
  3. $f'(3) = -1$
  4. $f'(5) = -2$
  5. $f'(6) = 0$
  6. $f'(8) = 4$.

Tangentin kulmakerroin

Määritä funktion $f$ kuvaajalle seuraaviin kohtiin piirrettyjen tangettien yhtälöt:

  1. $x = -1$
  2. $x = 5$
  3. $x = 8$.

  1. $y = x + 3$
  2. $y = -2x+9$
  3. $y = 4x-30$

Tangentin kulmakerroin

Tutki alla olevaa kuvaa.

  1. Tiedetään, että $h'(-2) = 5{,}7$. Muodosta funktion $h$ kuvaajalle kohtaan $x = -2$ piirretyn tangentin yhtälö.
  2. Muodosta funktion $h$ kuvaajalle kohtaan $x = 3$ piirretyn normaalin yhtälö. (Normaali tarkoittaa suoraa, joka on kohtisuorassa tangettia vastaan.)
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA5-kurssin teoreema 11.

  1. $y = 5{,}7x + 10{,}4$
  2. $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.

Funktion kasvunopeus

Alla näkyvä kuvaaja esittää paikallisjunan etäisyyttä päärautatieasemasta ajan funktiona.

  1. Selitä omin sanoin, mitä tapahtuu kyseisten yhdeksän minuutin aikana.
  2. Kuvaajalle on alla piirretty kolme tangenttia kohtiin $x = 2 \text{ min}$, $x = 3{,}5 \text{ min}$ ja $x = 6 \text{ min}$. Määritä näiden tangenttien kulmakertoimien likiarvot kuvasta. Mitä junaan liittyvää tietoa niistä saadaan?

Mikä on junan huippunopeus kyseisten yhdeksän minuutin aikana?

  1. Juna lähtee päärautatieasemalta, kiihdyttää vauhtiaan, hidastaa ja pysähtyy seuraavalle asemalle, lähtee uudelleen liikkeelle, kiihdyttää, hidastaa ja pysähtyy jälleen.
  2. Kulmakertoimet ovat
    • $\textcolor{red}{k = 2 \text{ km/min} = 120 \text{ km/h}}$
    • $\textcolor{blue}{k = 0{,}5 \text{ km/min} = 30 \text{ km/h}}$
    • $\textcolor{Purple}{k = 1 \text{ km/min} = 60 \text{ km/h}}$

Junan huippunopeus on $120 \text{ km/h}$.

Funktion kasvunopeus

Funktio $$ v(t) = \frac{10t}{t+4} $$ kuvaa pyöräilijän nopeutta (m/s) ajan funktiona. Aika ilmaistaan sekunneissa.

  1. Piirrä funktion $v$ kuvaaja välillä $0 \leq t \leq 10$ laskimella tai tietokoneella. Ohjevideo Geogebralla piirtämiseen löytyy täältä.
  2. Mikä on pyöräilijän nopeus hetkellä $t = 2$? Anna vastaus sekä metreinä sekunnissa että kilometreinä tunnissa (käytä yksikkömuunnoksessa tarvittaessa apuna esimerkiksi Wikipediaa).
  3. Selvitä laskimen tai tietokoneen avulla, miten pyöräilijän nopeus muuttuu hetkellä $t = 2$. Mitä nimitystä käytetään pyöräilijän nopeuden muutosnopeudelle?
  4. Miten pyöräilijän nopeus muuttuu silloin, kun hänen nopeutensa on 5 m/s eli 18 km/h?

  1. Nopeus on $\frac{10}{3}$ m/s eli 12 km/h.
  2. Pyöräilijän kiihtyvyys on noin $1{,}1 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}$ eli nopeus kasvaa noin 1,1 m/s joka sekunti.
  3. Pyöräilijän kiihtyvyys on noin $0{,}63 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}$ eli nopeus kasvaa noin 0,63 m/s joka sekunti.

Derivaattafunktio

Päättele funktion $f$ kuvaajasta, millä muuttujan $x$ arvoilla

  1. $f'(x) = 0$
  2. $f'(x) \geq 0$
  3. $f'(x) \leq 0$.

  1. Muuttuja $x$ arvoilla $-3$ ja $1$.
  2. Jos $x < -3$ tai $x > 1$.
  3. Jos $-3 < x < 1$.

Derivaattafunktio

Funktion $g$ derivaattafunktio on näkyvissä alla. Päättele derivaattafunktion $g'$ kuvaajasta, millä muuttujan $x$ arvoilla

  1. funktion $g$ arvot kasvavat
  2. funktion $g$ arvot pienenevät.

  1. Funktion $g$ arvot kasvavat, kun kasvunopeus eli derivaatta on positiivinen. Toisin sanottuna jos $-5 < x < 0{,}5$ tai $x > 2$
  2. Funktion $g$ arvot pienenevät, kun kasvunopeus eli derivaatta on negatiivinen. Toisin sanottuna jos $x < -5$ tai $0{,}5 < x < 2$.

Derivaattafunktio

Alla on näkyvissä neljän funktion kuvaajat. Mitkä niistä ovat toistensa derivaattafunktioita? Etsi niin monta funktio & derivaattafunktio -paria kuin mahdollista.

Funktion $f$ derivaattafunktio on $k$ eli $f' = k$.
Funktion $h$ derivaattafunktio on $f$ eli $h' = f$.

Taulukon ylärivissä ovat funktioiden $f(x)$, $g(x)$ ja $h(x)$ kuvaajat. Alemmassa rivissä on viiden eri funktion kuvaajat. Näiden joukossa ovat myös derivaattafunktioiden $f'(x)$, $g'(x)$ ja $h'(x)$ kuvaajat.

Kopioi alla oleva taulukko vastauspaperiisi ja merkitse siihen, mikä kuvaajista 1−5 esittää kyseessä olevan funktion derivaattaa. Vastausta ei tarvitse perustella.
[Pitkä K2014/2]

$f(x)$: 4, $g(x)$: 1, $h(x)$: 3.

  1. Alle on piirretty funktio $f(x)$ kuvaaja välillä $[0,2]$. Hahmottele samanlaiseen koordinaatistoon funktion $f'(x)$ kuvaaja.
  2. Alle on piirretty funktion $g'(x)$ kuvaaja välillä $[0,2]$. Hahmottele samanlaiseen koordinaatistoon funktion $g(x)$ kuvaaja, kun lisäksi tiedetään, että $g(0) = 0$.

[Lyhyt K2016/4]

Oheisessa kuviossa on erään funktion $f(x)$ kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla ne muuttujan $x$ arvot, joille $-2 \leq x \leq 4$ ja

  1. $f(x) = 1$
  2. $f(x) \leq 0$
  3. $f'(x) \leq 0$.

[Lyhyt S2015/3]

  1. $x = -1$ tai $x = 3$
  2. $0 \leq x \leq 2$
  3. $-2 \leq x \leq 1$.

Alla on taulukoituina erään funktion arvot $0{,}1 \text{ :n}$ välein välillä $[-1,1]$. Hahmottele funktion kuvaaja ja määritä sen avulla likimääräisesti funktion derivaatta kohdassa $x = 0$
[Lyhyt K2011/5]
Vinkki: Kannattaa valita $x$-akselilla yksiköksi esimerkiksi $0{,}1$ ja $y$-akselilla $1$. Näin kuva mahtuu mukavasti A4-koon ruutupaperille. Muista ottaa akseleilla käyttämäsi yksiköt huomioon, kun lasket derivaatan likiarvoa.

Derivaatan arvo kohdassa $x = 0$ eli funktion kuvaajalle kohtaan $x = 0$ piirretyn tangentin kulmakerroin on suunnilleen 5 tai 6.

Oheisessa kuviossa on erään funktion kuvaaja. Määritä kuvion perusteella

  1. funktion nollakohdat
  2. funktion derivaatan nollakohdat
  3. funktion suurin arvo välillä $[-2,3]$
  4. funktion pienin arvo välillä $[-2,3]$
  5. välit, joilla funktio on kasvava
  6. välit, joilla funktio on vähenevä.

[Lyhyt K2010/3]

  1. $x = -2$, $x \approx 0{,}5$ ja $x \approx 2{,}8$
  2. $x = -1$ ja $x = 2$
  3. $f(-1) \approx 3$
  4. $f(2) \approx -5$
  5. $[-2,-1]$ ja $[2,3]$
  6. $[-1,2]$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.