Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA6 - Derivaatta

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Derivointisääntöjä II

Tämän luvun tavoitteena on, että laajennat derivointitaitojasi ja sovellat edellisissä luvuissa oppimiasi asioita rationaalifunktioiden tutkimiseen. Osaat

  • derivoida funktioiden tulon ja osamäärän sekä funktion potenssin
  • tutkia rationaalifunktion kulkua derivaatan avulla
  • määrittää rationaalifunktion ääriarvot sekä suurimman ja pienimmän arvon, jos ne ovat olemassa.

Tässä kappaleessa johdetaan derivointisäännöt funktioiden tulolle ja funktion potenssille. Tulon derivointisääntöä tarvitaan toden teolla vasta seuraavassa kurssissa MAA7, mutta sen avulla saadaan seuraavassa kappaleessa johdettua funktioiden osamäärän derivointisääntö. Sitä tarvitaan rationaalifunktioiden derivoimiseen.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden tulolla tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTIOIDEN TULO

Funktioiden $f$ ja $g$ tulo tarkoittaa funktiota, jonka arvo kohdassa $x$ on funktioiden $f$ ja $g$ arvojen tulo: $$(fg)(x) = f(x)g(x).$$

Esimerkiksi funktio $$h(x) = x^2(0{,}5x-1)$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = x^2$ ja $g(x) = 0{,}5x-1$ tuloksi: $$h(x) = f(x)g(x).$$

Jos funktioiden tulon lauseke voidaan sieventää yhdeksi polynomiksi, saadaan derivaatta määritettyä aiemmin opitulla tavalla. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tutkitaan funktioiden $f(x) = x^3-5$ ja $g(x) = 4x^2+7$ tulon derivaattaa.

  1. Muodosta ja sievennä tulofunktion $(fg)(x)$ lauseke.
  2. Määritä derivaattafunktio $(fg)'(x)$.
  3. Määritä derivaatafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$. Laske niiden tulo.
  4. Vertaa tulon derivaattaa $(fg)'(x)$ ja derivaattojen tuloa $f'(x)g'(x)$. Mitä huomaat?

Vinkki: kertaa tarvittaessa teoreemat 6-9 luvusta 4.

  1. $(fg)(x) = 4x^5 + 7x^3 - 20x^2 - 35$
  2. $(fg)'(x) = 20x^4 + 21x^2 - 40x$
  3. $f'(x)g'(x) = 24x^3$
  4. Tulon derivaatta ei ole derivaattojen tulo. (Tulon derivaatta esimerkiksi kohdassa $x = 1$ on $(fg)'(1) = 1$ mutta derivaattojen tulo on $f'(1)g'(1) = 24$.)

Edellinen tehtävä osoittaa, että funktioiden tulon derivaatta ei ole sama kuin derivaattojen tulo. Yleispätevä sääntö on monimutkaisempi ja se todistetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa. Jos sievennyksen yksityiskohdat tuntuvat kovin hankalilta, keskity aluksi tunnistamaan perustelusta kolme vaihetta ja vertaa niitä teoreeman 8 perusteluun.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktio $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Tulofunktion $fg$ derivaattafunktio on $$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ eli $$\mathop{\mathrm{D}} f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Perustelu: Tulon $fg$ erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$ \frac{f(x)g(x) - f(a)g(a)}{x-a}. $$ Joku on keksinyt, että osoittajassa kannattaa lisätä ja vähentää sama termi $\textcolor{red}{f(a)g(x)}$: \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } f(x)g(x) - f(a)g(a) \\[2mm] &= f(x)g(x) \textcolor{red}{ - f(a)g(x)} \\ &\phantom{ {} = f(x)g(x) {} } \textcolor{red}{ + f(a)g(x)} - f(a)g(a) \\[2mm] &= (f(x)-f(a))g(x) \\ &\phantom{ {} = (f(x) {} }+ f(a)(g(x)-g(a)) \end{align*} Erotusosamäärä saadaan näin muotoon \begin{multline*} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}g(x) + f(a)\frac{g(x) - g(a)}{x-a} \end{multline*} Koska funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia, niiden erotusosamäärillä on raja-arvot. Lisäksi koska funktio $g$ on derivoituva, se on myös jatkuva (teoreema 3). Siten $g(x) \rightarrow g(a)$, kun $x \rightarrow a$. Siis \begin{multline*} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}g(x) + f(a)\frac{g(x) - g(a)}{x-a} \\[2mm] \xrightarrow[x \rightarrow a]{} f'(a)g(a) + f(a)g'(a) \end{multline*} Näin on osoitettu, että $$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a).$$

Tehtävänä on määrittää funktion $h(x) = (x^2-4x)(x^3+6x)$ arvojen kasvunopeus kohdassa $x = 3$.

  1. Määritä derivaattafunktio $h'(x)$ teoreeman 13 avulla.
  2. Mikä on funktion $h$ arvojen kasvunopeus kohdassa $x = 3$?
  3. Kasvavatko vai pienenevätkö funktion $h$ arvot kohdassa $x = 3$?

  1. $h'(x) = (2x-4)(x^3 + 6x) + (x^2-4x)(3x^2+6)$
  2. $h'(3) = -9$
  3. Funktion $h$ arvot pienenevät kohdassa $x = 3$, koska kasvunopeus on negatiivinen.

Funktioiden tulon yksi erikoistapaus on funktion potenssi. Esimerkiksi funktio $g(x) = (x^2 + 9x)^4$ voidaan tulkita funktion $f(x) = x^2 + 9x$ neljänneksi potenssiksi: $$g(x) = (f(x))^4.$$ Funktioiden tulon derivointisääntöä voidaan soveltaa funktion $f$ toiseen potenssiin: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^2 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)f(x) \\[1mm] &= f'(x)f(x) + f(x)f'(x) \\[1mm] &= 2f(x)f'(x) \end{align*} Tämän tiedon ja tulon derivointisäännön avulla saadaan määritettyä funktion $f$ kolmannen potenssin derivaatta: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^3 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\mathop{\mathrm{D}}(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\cdot 2f(x)f'(x) \\[1mm] &= (f(x))^2f'(x) + 2(f(x))^2f'(x) \\[1mm] &= 3(f(x))^2f'(x) \end{align*}

  1. Määritä funktion $f$ neljännen potenssin derivaatta $\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^4$ samaan tapaan kuin edellä.
    Vinkki: Tulkitse funktion $f$ neljäs potenssi kahden funktion tulona. Hyödynnä teoreemaa 13 ja edellä johdettuja derivaattoja.
  2. Määritä funktion $g(x) = (x^2 + 9x)^4$ derivaatta a-kohdan tuloksen avulla.

  1. $\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^4 = 4(f(x))^3f'(x)$.
  2. $g'(x) = 4(x^2 + 9x)^3(2x + 9)$.

On mahdollista osoittaa, että vastaava funktion potenssin derivointisääntö pätee kaikilla positiivisilla kokonaislukueksponenteilla:

TEOREEMA

Oletetaan, että funktio $f$ on derivoituva. Olkoon $n$ on positiivinen kokonaisluku. Tällöin $$\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n = n(f(x))^{n-1}f'(x).$$

Teoreema voidaan perustella esimerkiksi matemaattisella induktiolla, johon tutustutaan kurssissa MAA11.

Tutkitaan funktiota $f(x) = (2x^2 - 8x)^4$.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Määritä funktion kuvaajalle kohtaan $x = 1$ piirretyn tangentin kulmakerroin.
  3. Mikä on funktion kuvaajalle kohtaan $x = 1$ piirretyn tangentin yhtälö?
  4. Missä kohdissa funktion kuvaajalle piirretty tangetti on vaakasuora?
  5. Piirrä teknisellä apuvälineellä funktion $f(x)$ kuvaaja ja kohtaan $x=1$ piirretty tangentti. Saitko tangentin yhtälöksi saman kuin c)-kohdassa? Ohjeen Geogebralla piirtämiseen löydät täältä.

  1. $f'(x) = 4(2x^2 - 8x)^3(4x-8)$.
  2. $f'(1) = 3456$
  3. $y = 3456x - 2160$
  4. Derivaattafunktion nollakohdissa $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$.

Tässä kappaleessa johdetaan funktioiden osamäärän derivointisääntö, jonka avulla saadaan määritettyä muun muassa rationaalifunktioiden derivaatat.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden osamäärällä tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTIOIDEN OSAMÄÄRÄ

Funktioiden $f$ ja $g$ osamäärä tarkoittaa funktiota, jonka arvo kohdassa $x$ on funktioiden $f$ ja $g$ arvojen osamäärä: $$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$

Esimerkiksi rationaalifunktio $$h(x) = \frac{5x-2}{x^2+5}$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = 5x-2$ ja $g(x) = x^2+5$ osamääräksi: $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$ Funktioiden osamäärän derivointisääntö saadaan johdettua tulon derivointisäännön avulla:

TEOREEMA

Oletetaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Niiden osamäärän derivaattafunktio on $$\mathop{\mathrm{D}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x)- f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Perustelu: Merkitään $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},$$ jolloin $f(x) = h(x)g(x)$. Funktion $f$ derivaatta saadaan tulon derivointisäännöllä: $$ f'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x). $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista funktion $h$ derivaatta: \begin{align*} h'(x)g(x) &= f'(x) - h(x)g'(x) \\[2mm] h'(x) &= \frac{1}{g(x)}\left(f'(x) - h(x)g'(x) \right) \end{align*} Kun funktion $h$ paikalle sijoitetaan funktioiden $f$ ja $g$ osamäärä, saadaan lauseke sievennettyä: \begin{align*} h'(x) &= \frac{1}{g(x)}\left(f'(x) - \frac{f(x)}{g(x)}g'(x) \right) \\[2mm] &= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[2mm] &= \frac{f'(x)g(x)}{(g(x))^2} - \frac{f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \\[2mm] &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \end{align*}

Tutkitaan funktiota $h(x) = \dfrac{5x^2+1}{x}$.

  1. Missä kohdassa funktio $h$ ei ole määritelty?
  2. Määritä derivaattafunktio $h'(x)$. Missä kohdassa derivaattafunktio ei ole määritelty?
  3. Missä kohdissa funktion $h$ kuvaajalle piirretty tangetti on yhdensuuntainen suoran $y = 4x - 1$ kanssa?
  4. Mitkä ovat c-kohdan tangenttien yhtälöt?

  1. Funktio $h$ ei ole määritelty kohdassa $x = 0$.
  2. Derivaattafunktio on $$h'(x) = \dfrac{5x^2-1}{x^2}.$$ Se ole määritelty kohdassa $x = 0$.
  3. Kohdissa $x = -1$ ja $x = 1$.
  4. $y = 4x - 2$ ja $y = 4x + 2$.

Osamäärän derivointisäännön avulla saadaan yleistettyä funktion potenssin derivointisääntö myös negatiivisten eksponenttien tapaukseen:

TEOREEMA

Olkoon $n$ mikä tahansa kokonaisluku. Jos $f$ on derivoituva funktio, niin $$\mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n = n(f(x))^{n-1}f'(x).$$

Perustelu: Oletetaan, että $f$ on derivoituva funktio. Tapaus, jossa kokonaisluku $n$ on positiivinen, on käsitelty teoreemassa 14.
Jos $n = 0$, funktio $(f(x))^n$ on vakiofunktio, ja sen derivaatta on nolla. Toisaalta tässä tapauksessa myös \begin{align*} n(f(x))^{n-1}f'(x) &= 0 \cdot (f(x))^{-1}f'(x) \\ &= 0, \end{align*} joten derivointisääntö antaa oikean tuloksen.
Tutkitaan vielä tapaus, jossa kokonaisluku $n$ on negatiivinen. Merkitään sen vastalukua kirjaimella $k$, jolloin $k$ on positiivinen. (Siis $k = -n$ eli $n = -k$.) Sovelletaan potenssien laskusääntöjä kurssilta MAY1 sekä funktioiden osamäärän ja funktion potenssin derivointisääntöjä: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^n &= \mathop{\mathrm{D}} \frac{1}{(f(x))^{-n}} \\[2mm] &= \mathop{\mathrm{D}} \frac{1}{(f(x))^{k}} \\[2mm] &= \frac{0 - k(f(x))^{k-1}f'(x)}{(f(x))^{2k}} \\[2mm] &= -\frac{k(f(x))^{k-1}f'(x)}{(f(x))^{2k}} \\[2mm] &= -k(f(x))^{k-1-2k}f'(x) \\[2mm] &= -k(f(x))^{-k-1}f'(x) \\[2mm] &= n(f(x))^{n-1}f'(x) \end{align*} Huomaa, että funktion potenssin derivointisääntöä (teoreema 14) voidaan käyttää yllä olevassa päättelyssä, koska $k$ on positiivinen.

Tutkitaan funktiota $g(x) = (1-5x)^{-2}$.

  1. Missä kohdassa funktio $g$ ei ole määritelty?
  2. Määritä derivaattafunktio $g'(x)$. Missä kohdassa derivaattafunktio ei ole määritelty?
  3. Laadi derivaattafunktion merkkikaavio ja päättele, millä lukusuoran väleillä funktio $g$ on aidosti kasvava ja millä aidosti vähenevä.
  4. Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $g$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Funktio $g$ ei ole määritelty kohdassa $x = \frac{1}{5}$.
  2. Derivaattafunktio on $g'(x) = 10(1-5x)^{-3}$. Se ole määritelty kohdassa $x = \frac{1}{5}$.
  3. Funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $\left]-\infty, \frac{1}{5}\right[$ ja aidosti vähenevä välillä $\left]\frac{1}{5}, \infty\right[$

Seuraavassa tehtävässä yleistetään potenssifunktion derivointisääntö myös negatiivisille eksponenteille.

Olkoon $n$ kokonaisluku. Tarkastellaan funktiota $g(x) = x^n$.

  1. Mikä on sellainen funktio $f(x)$, että $g(x) = \left(f(x)\right)^n$?
  2. Mikä on derivaattafunktio $f'(x)$?
  3. Määritä funktion $g$ derivaattafunktio a-kohdan ja teoreeman 16 avulla.
    Vinkki: hyödynnä myös b-kohdan tulosta.

  1. $f(x) = x$
  2. $f'(x) = 1$
  3. \begin{align*} g'(x) &= \mathop{\mathrm{D}} \left(f(x)\right)^n \\ &= n\left(f(x)\right)^{n-1}f'(x) \\ &= nx^{n-1}\cdot 1 \\ &= nx^{n-1} \end{align*}

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Olkoon $n$ mikä tahansa kokonaisluku. Funktion $g(x) = x^n$ derivaattafunktio on $$g'(x) = nx^{n-1}.$$

Perustelu tehtävässä 6.7.

Tehtävänä on derivoida funktio $$ f(x) = \frac{1}{x^6}. $$

  1. Ilmaise funktion lauseke negatiivisen eksponentin avulla ja määritä derivaattafunktio potenssin derivointisääntöä käyttäen.
  2. Määritä derivaattafunktio osamäärän derivointisäännön avulla.
  3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Ovatko ne samat? Kumpi ratkaisutapa on mielestäsi helpompi? Minkä vuoksi? Selitä omin sanoin.

  1. $f(x) = x^{-6}$ ja $f'(x) = -6x^{-7}$
  2. $f'(x) = \dfrac{0-6x^5}{x^{12}}$
  3. Tulokset ovat samat, koska kumpikin sievenee muotoon $$f'(x) = -\dfrac{6}{x^7}.$$

Nyt olemme hankkineet kaikki tiedot, joita tarvitaan rationaalifunktioiden kulun tutkimiseen. Jos haluamme esimerkiksi selvittää funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$ ääriarvot, pystymme

  • määrittämään derivaattafunktion osamäärän derivointisäännöllä
  • ratkaisemaan derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty
  • laatimaan derivaattafunktiolle merkkikaavion ja täydentämään sen funktion $f$ kulkukaavioksi.

Erona aikaisempiin tilanteisiin on oikeastaan vain se, että rationaalifunktiolla ja sen derivaattafunktiolla saattaa olla kohtia, joissa niitä ei ole määritelty. Nämä täytyy ottaa huomioon merkkikaaviossa (ks. luvun 3 kappale Rationaaliepäyhtälö).

Tehtävänä on määrittää funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$ ääriarvot.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Määritä derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty.
  3. Laadi derivaattafunktion merkkikaavio. Muista merkitä siihen myös kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai derivaattafunktio ei ole määritelty.
  4. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi. Mitkä ovat funktion ääriarvot?

  1. $f'(x) = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$
  2. Nollakohdat $x_1 = 0$ ja $x_2 = 2$. Funktio ja sen derivaattafunktio eivät ole määritelty nimittäjän nollakohdassa $x = 1$.
  3. Paikallinen maksimiarvo $f(0) = 0$ ja minimiarvo $f(2) = 4$.

Tehtävänä on tutkia, onko funktiolla $$ g(x) = \frac{x}{x^2-1} $$ ääriarvoja.

  1. Määritä derivaattafunktio $g'(x)$.
  2. Määritä derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty.
  3. Laadi derivaattafunktion merkkikaavio. Muista merkitä siihen myös kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty.
  4. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $g$ kulkukaavioksi. Onko funktiolla $g$ ääriarvoja?

  1. $g'(x) = \dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}$
  2. Derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia. Funktio ja sen derivaattafunktio eivät ole määritelty nimittäjän nollakohdissa $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1$.
  3. Funktion kulkukaavio on

    Funktiolla $g$ ei ole ääriarvoja.

Kohdat, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty, täytyy huomioida myös silloin, kun kulkukaavion pohjalta tehdään päätelmiä funktion kasvamisesta ja vähenemisestä. Aikaisemmin luvussa 5 tarkasteltiin polynomifunktiota $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 1,$$ jonka derivaattafunktio on $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2.$$ Funktion $f$ kulkukaaviosta voidaan päätellä, että funktio $f$ on aidosti kasvava koko reaaliakselilla:

Myös funktion $f$ kuvaaja tukee tätä johtopäätöstä:

Tehtävässä 6.10 puolestaan tarkasteltiin rationaalifunktiota $$ g(x) = \frac{x}{x^2-1}, $$ jonka kulkukaavioksi saatiin

Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ on aidosti vähenevä väleillä $\left]-\infty, -1\right[$, $\left]-1, 1\right[$ ja $\left] 1, \infty\right[$. Se ei kuitenkaan ole aidosti vähenevä koko lukusuoralla, mikä nähdään funktion kuvaajasta:

Kun kulkukaavion perusteella tehdään johtopäätöksiä, täytyy siis olla tarkkana, ovatko siihen merkityt erityiskohdat derivaatan nollakohtia vai kohtia, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty. Funktion kuvaajan avulla voi usein tarkistaa, ovatko kulkukaaviosta tehdyt päätelmät oikein.

Tehtävänä on tutkia, on funktiolla $$ f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} $$ suurinta tai pienintä arvoa.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Laadi funktion $f$ kulkukaavio.
  3. Onko funktiolla $f$ paikallisia ääriarvoja?
  4. Onko funktiolla $f$ suurinta arvoa? Entä pienintä? Pystytkö perustelemaan vastaukset pelkän kulkukaavion avulla?

  1. $f'(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$
  2. Funktiolla $f$ on minimiarvo $f(0) = 0$.
  3. Funktio on aidosti vähenevä välillä $\left] -\infty, 0\right]$ ja aidosti kasvava välillä $\left[0, \infty\right[$, joten funktion $f$ pienin arvo on $f(0) = 0$. Funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Joissakin tilanteissa funktion suurimman ja pienimmän arvon olemassaoloa ei voida päätellä pelkän kulkukaavion avulla. Esimerkiksi funktion $$ g(x) = \frac{-3x}{x^2 + 1} $$ kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $g$ on kaksi ääriarvoa: maksimiarvo $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$.

Se, onko maksimiarvo $g(-1) = -\frac{3}{2}$ myös funktion $g$ suurin arvo, riippuu funktion arvojen käyttäytymisestä muuttujan kasvaessa rajatta. Kulkukaaviosta nimittäin nähdään, että funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $\left[1, \infty\right[$. Kasvavatko sen arvot tällä välillä suuremmiksi kuin maksimikohdassa $x = -1$?

Funktion $g$ lauseketta tarkastelemalla havaitaan, että nimittäjä $x^2 + 1$ on aina positiivinen. Jos $x \geq 1$, osoittaja $-3x$ on negatiivinen. Funktion $g$ arvot ovat siis negatiivisia välillä $\left[1, \infty\right[$, joten $g(-1) = \frac{3}{2}$ on funktion suurin arvo.

Tutkitaan vielä, onko minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$ funktion $g$ pienin arvo. Saako funktio $g$ tätä pienemmän arvon välillä $\left] -\infty, -1\right]$?

Funktion $g$ lausekkeesta voidaan päätellä samaan tapaan kuin edellä, että jos $x \leq -1$, niin funktion arvot ovat positiivisia. Siten $g(1) = -\frac{3}{2}$ on funktion $g$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa tai pienenee rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja $g(1) = -\frac{3}{2}$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Tehtävänä on tutkia, on funktiolla $$ f(x) = \frac{4x}{x^2+3} $$ suurinta tai pienintä arvoa.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  2. Laadi funktion $f$ kulkukaavio.
  3. Onko funktiolla $f$ paikallisia ääriarvoja?
  4. Onko funktiolla $f$ suurinta arvoa? Entä pienintä? Perustele vastauksesi huolellisesti samaan tapaan kuin edellä.

  1. $f'(x) = \dfrac{12-4x^2}{(x^2+3)^2}$
  2. Funktiolla $f$ on minimiarvo $f(-\sqrt{3}) = -\frac{2}{3}\sqrt{3}$ ja maksimiarvo $f(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\sqrt{3}$.
  3. Funktion $f$ on aidosti vähenevä välillä $\left[\sqrt{3}, \infty\right[$ mutta sen arvot ovat tällä välillä positiivisia, joten minimiarvo $f(-\sqrt{3}) = -\frac{2}{3}\sqrt{3}$ on funktion $f$ pienin arvo.
    Funktion $f$ arvot ovat negatiivisia välillä $\left]-\infty, -\sqrt{3}\right]$, joten maksimiarvo $f(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\sqrt{3}$ on funktion $f$ suurin arvo.

Taito tutkia rationaalifunktion kulkua antaa uusia mahdollisuuksia erilaisten käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Jälleen ensimmäinen haaste on kuitenkin mallintaa ongelma matemaattisesti:

  • Mitä muuttujaa tarkastellaan?
  • Minkä funktion suurinta tai pienintä arvoa etsitään?
  • Millä välillä muuttujan arvot vaihtelevat?

Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa tilannetta: Kunnan kaavoitusarkkitehti suunnittelee uutta pientaloaluetta. Alueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joille voi rakentaa $130 \text{ m}^2$ omakotitalon. Tontit ovat suorakulmion muotoisia ja rajoittuvat yhdeltä sivultaan puroon. Rakennuksen etäisyys purosta on oltava vähintään 11 metriä ja tontin muista reunoista vähintään 5 metriä. Mitkä ovat pienimmän mahdollisen tontin mitat ja pinta-ala? Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että myös rakennuksen pohja on suorakulmion muotoinen ja sen sivut ovat yhdensuuntaiset tontin rajojen kanssa.

Aloitetaan piirtämällä tilanteesta kuva. Merkitään tontin sivujen pituuksia kirjaimilla $x$ ja $y$:

Rakennuksen pinta-alasta $130 \text{ m}^2$ saadaan ehto muuttujille $x$ ja $y$: $$ (x-10)(y-16) = 130. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista toinen muuttujista: \begin{align*} y-16 &= \frac{130}{x-10} \\[2mm] y &= \frac{130}{x-10} + 16 \end{align*} Tontista halutaan mahdollisimman pieni, joten ryhdytään tutkimaan tontin pinta-alaa $A = xy$. Sijoitetaan tähän äskeisen pyörittelyn tulos, jolloin tontin pinta-ala saadaan ilmaistua muuttujan $x$ funktiona: \begin{align*} A(x) &= x\left(\frac{130}{x-10} + 16\right) \\[2mm] &= \frac{130x}{x - 10} + 16x. \end{align*} Mallikuvasta voidaan päätellä, että tontin leveys $x$ on vähintään 10 metriä eikä sillä periaatteessa ole ylärajaa. Tehtävänä on siis etsiä funktion $A(x)$ pienin arvo, kun $x \geq 10$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.

Jatkoa edelliseen esimerkkiin. Tehtävänä on määrittää funktion $$ A(x) = \frac{130x}{x - 10} + 16x $$ pienin arvo, kun $x \geq 10$, tai osoittaa, että pienintä arvoa ei ole olemassa.

  1. Määritä derivaattafunktio $A'(x)$.
  2. Laadi funktion $A$ kulkukaavio.
  3. Onko funktiolla $A$ pienin arvo välillä $\left[10, \infty\right[$?
  4. Mitkä ovat pienimmän mahdollisen tontin mitat desimetrin tarkkuudella? Entä mikä on sen pinta-ala?

  1. $A'(x) = \dfrac{-1300}{(x-10)^2} + 16$
  2. Funktion $A$ pienin arvo on \begin{align*} A\left(10+\frac{5}{2}\sqrt{13}\right) &= 130 + 80\sqrt{13} \\[2mm] &\approx 578. \end{align*}
  3. Leveys $x \approx 19{,}0 \text{ m}$, pituus $y \approx 30{,}4 \text{ m}$. Pinta-ala noin $578 \text{ m}^2$.

Suoran ympyrälieriön muotoisen ananassäilykepurkin tilavuus on $6{,}2 \text{ dl}$. Tehtävänä on selvittää, miten purkin korkeus ja pohjan säde pitäisi valita, jotta purkin valmistaminen vaatisi mahdollisimman vähän peltiä.

  1. Piirrä kuva suorasta ympyrälieriöstä. Merkitse sen korkeutta ja pohjaympyrän sädettä joillakin kirjaimilla.
  2. Muodosta säilykepurkin tilavuuden avulla yhtälö, jossa esiintyvät sekä lieriön korkeus että pohjaympyrän säde.
    Vinkki: Kertaa tarvittaessa lieriön geometriaa MAA3-kurssista. Muunna lieriön tilavuus kuutiosenttimetreiksi esimerkiksi Wikipedian avulla.
  3. Valitse toinen muuttujista ja muodosta funktio, jonka pienintä arvoa etsitään.
  4. Tutki derivaatan avulla, onko funktiolla pienin arvo.
  5. Miten säilykepurkin korkeus ja pohjan säde pitäisi valita, jotta purkin valmistaminen vaatisi mahdollisimman vähän peltiä? Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

  1. Esimerkiksi korkeus $h$ ja pohjan säde $r$.
  2. Tilavuus on $\pi r^2h = 620 \text{ cm}^3$.
  3. Purkin pinta-ala on $$A(r) = 2\pi r^2 + \frac{1240}{r}$$
  4. Derivaattafunktiolla $$A'(r) = 4\pi r - \frac{1240}{r^2}$$ on nollakohta \begin{align*} r &= \sqrt[3]{\frac{310}{\pi}} \\[2mm] &\approx 4{,}6 \text{ cm}. \end{align*} Funktion $A$ kulkukaavion perusteella funktio $A$ saa siinä pienimmän arvonsa.
  5. Pohjan säde 46 mm ja korkeus 92 mm.

Tulon derivaatta

Määritä derivaattafunktio $f'(x)$, jos

  1. $f(x) = (2x + 1)(x^3-3x+4)$
  2. $f(x) = (1-x^3)^4$
  3. $f(x) = x^3(5x^2-7)^4$

  1. $f'(x) = 8x^3 + 3x^2 - 12x + 5$
  2. $f'(x) = -12x^2(1-x^3)^3$
  3. \begin{align*} f'(x) &= 40x^4(5x^2 - 7)^3 + 3x^2(5x^2-7)^4 \\ &= x^2(5x^2-7)^3(55x^2-21) \end{align*}

Tulon derivaatta

Tiedetään, että $f(4) = -3$ ja $f'(4) = 2$. Määritä funktion $$g(x) = x^2f(x)$$ derivaatan arvo kohdassa $x = 4$.

$g'(4) = 8$.
Vinkki: tulon derivointisäännön mukaan $g'(x) = 2xf(x) + x^2f'(x)$.

Tulon derivaatta

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = (x^2 - 1)^5.$$ Määritä tämän funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakertoimen suurin ja pienin arvo välillä $[-1,1]$.

Kulmakertoimen suurin arvo on $$ \frac{5\cdot 2^{13}}{3^9} \left(= \frac{40960}{19683}\right) $$ ja pienin arvo on $$ -\frac{5\cdot 2^{13}}{3^9} \left(= -\frac{40960}{19683}\right) $$ Vinkki: etsi derivaattafunktion suurin ja pienin arvo välillä $[-1,1]$ tutkimalla funktion toista derivaattaa.

Osamäärän derivaatta

Määritä derivaattafunktio $f'(x)$, jos

  1. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$
  2. $f(x) = -\dfrac{3}{x}$
  3. $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$
  4. $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$

  1. $f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$
  2. $f'(x) = \dfrac{3}{x^2}$
  3. $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$
  4. $f'(x) = \dfrac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}$

Osamäärän derivaatta

Tiedetään, että $f(2) = -1$ ja $f'(2) = 5$. Määritä funktion $$g(x) = \frac{f(x)}{1-x^2}$$ derivaatan arvo kohdassa $x = 2$.

$g'(2) = -\dfrac{19}{9}$.
Vinkki: osamäärän derivointisäännön mukaan $$g'(x) = \dfrac{(1-x^2)f'(x) + 2xf(x)}{(1-x^2)^2}.$$

Osamäärän derivaatta

Oletetaan, että $a > 0$. Osoita, että käyrän $$ y = \frac{1}{x} $$ pisteeseen $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ piirretty tangetti muodostaa koordinaattiakselien kanssa kolmion, jonka pinta-ala ei riipu vakion $a$ arvosta.

Kolmion pinta-ala on 2.
Tangentin kulmakerroin on $-\frac{1}{a^2}$. Tangentin yhtälöksi saadaan $$ y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}. $$ Se leikkaa $y$-akselin korkeudella $\frac{2}{a}$ ja $x$-akselin kohdassa $2a$. Kolmion pinta-ala on $$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2.$$

Osamäärän derivaatta

Määritä pisteestä $(1,-3)$ käyrälle $$ y = \frac{1}{x} $$ piirretyn tangentin yhtälö.

Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävän 4.13 jälkeinen esimerkki luvusta 4.

Sopivia tangentteja on kaksi: $y = -x-2$ ja $y = -9x+6$.

Rationaalifunktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = \frac{x^2}{2-x} $$

  1. Määritä funktion $f$ ääriarvokohdat ja ääriarvot.
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta tai pienintä arvoa?

  1. Funktio $f$ saa minimiarvon $f(0) = 0$ kohdassa $x = 0$ ja maksimiarvon $f(4) = -8$ kohdassa $x = 4$.
  2. Funktion $f$ kulkukaavion perusteella voidaan päätellä, että funktiolla $f$ ei ole suurinta eikä pienintä arvoa.

Rationaalifunktion kulku

Lasketaan positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa. Mikä on summan pienin mahdollinen arvo?

Summan pienin mahdollinen arvo on 2.

Rationaalifunktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = \frac{x+1}{x^2 + 3} $$

  1. Määritä funktion $f$ suurin ja pienin arvo välillä $[-5,3]$.
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta ja pienintä arvoa, jos tarkastellaan koko lukusuoraa?

  1. Välillä $[-5,3]$ funktion $f$ suurin arvo on $f(1) = \frac{1}{2}$ ja pienin arvo on $f(-3) = - \frac{1}{6}$.
  2. Yllä mainintut ovat funktion $f$ suurin ja pienin arvo myös siinä tapauksessa, että tarkasteluvälinä on koko lukusuora. Kulkukaavion perusteella $f$ on aidosti vähenevä välillä $\pa -\infty, -3]$ mutta funktion lausekkeesta nähdään, että funktion arvot ovat tällä välillä negatiivisia, joten ne ovat pienempiä kuin $f(1) = \frac{1}{2}$. Toisaalta kulkukaavion perusteella $f$ on aidosti vähenevä myös välillä $[1, \infty\pe$, mutta sen arvot ovat tällä välillä positiivisia, joten ne ovat suurempia kuin $f(-3) = - \frac{1}{6}$.

Rationaalifunktion kulku

Ulkoilualueelle suunnitellaan uutta koirapuistoa, jonka pinta-alaksi on sovittu $2\,400 \text{ m}^2$. Puisto on suorakulmion muotoinen ja se jaetaan väliaidalla kahdeksi pienemmäksi suorakulmioksi, joista toinen varataan pienille ja toinen isoille koirille. Selvitä, miten koirapuiston mitat pitää valita, jotta aitauksen rakentamiseen tarvitaan mahdollisimman vähän aitaa.

Puiston leveys 40 m ja pituus 60 m, väliaita lyhyemmän sivun suuntainen eli sen pituus 40 m.

Rationaalifunktion kulku

Kasvihuonevalmistaja suunnittelee uutta kasvihuonemallia, jonka tilavuus on $100 \text{ m}^3$. Kasvihuoneen kehikko valmistetaan teräsputkesta alla olevan kuvion mukaisesti (yhteinäiset paksut viivat kuvaavat teräsputkea). Kasvihuoneen päädyt ovat tasakylkisiä suorakulmaisia kolmioita. Suunnittele kasvihuoneen mitat niin, että teräsputkea tarvitaan mahdollisimman vähän. Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

Päätykolmion sivun pituus noin 4,641 m ja kasvihuoneen pituus noin 9,283 m.

Rationaalifunktion kulku

Tarkastellaan funktiota $$ g(x) = \frac{4x-1}{x^2} $$

  1. Määritä funktion $g$ ääriarvokohdat ja ääriarvot.
  2. Onko funktiolla $g$ suurinta tai pienintä arvoa?

  1. Funktio $g$ saa maksimiarvon $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4$ kohdassa $x = \frac{1}{2}$.
  2. Funktion $g$ kulkukaavion perusteella voidaan päätellä, että funktiolla $g$ ei ole pienintä arvoa.
    Välillä $\pa -\infty, 0\pe$ funktio $g$ on aidosti vähenevä mutta sen arvot ovat negatiivisia, joten se ei tällä välillä saa suurempaa arvoa kuin $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4$. Tästä tiedosta ja funktion $g$ kulkukaaviosta voidaan päätellä, että $g\left(\frac{1}{2}\right) = 4$ on funktion $g$ suurin arvo.

Rationaalifunktion kulku

Päiväkodin pihalle suunnitellaan hiekkapohjaista leikkialuetta, johon tulee muun muassa erilaisia kiipeilytelineitä ja keinut. Suorakulmion muotoisen leikkialueen pinta-alan pitäisi olla $350 \text{ m}^2$ ja se ympäröidään kivetyksellä, jonka leveys leikkialueen sivuilla on 1,0 metriä ja päädyissä 3,0 metriä. Määritä leikkialueen mitat niin, että kivetyksen pinta-ala on mahdollisimman pieni.

Leikkialueen päädyn pituus noin 10,8 metriä ja sivun pituus noin 32,4 metriä.

Rationaalifunktion kulku

Mitä arvoja funktio $$ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x} $$ saa välillä $[1,4]$?

Funktio saa kaikki arvot väliltä $$\left[2\sqrt{3}, \frac{19}{4}\right].$$ Funktio on määritelty välillä $[1,4]$ ja rationaalifunktiona jatkuva koko määrittelyjoukossaan. Se saa välillä $[1,4]$ pienimmän arvonsa derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{x^2-3}{x^2} $$ nollakohdassa $x = \sqrt{3}$: $$f(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$$ ja suurimman arvonsa välin toisessa päätepisteessä: $$f(4) = \frac{19}{4}.$$ (Välin toisessa päätepisteessä funktion arvo on tätä pienempi.) Koska funktio $f$ on jatkuva, se saa välillä $\pa \sqrt{3}, 4 \pe$ ainakin kerran jokaisen arvon, joka on päätepistearvojen $2\sqrt{3}$ ja $\frac{19}{4}$ välissä (ks. tehtävä 2.19).

Rationaalifunktion kulku

  1. Mihin paraabelin $y = 9-x^2$ pisteeseen piirretty tangentti rajaa koordinaattiakselien kanssa pinta-alaltaan pienimmän kolmion?
  2. Kun paraabeli $y = 9 - x^2$ pyörähtää $y$-akselin ympäri, tangentin ja koordinaattiakselien rajaama kolmio piirtää suoran ympyräkartion. Mikä näin muodostuvan ympyräkartion pienin mahdollinen tilavuus on?

  1. Kysytyksi pisteeksi kelpaavat pisteet $\left(\sqrt{3}, 6\right)$ ja $\left(-\sqrt{3}, 6\right)$.
  2. Pienin mahdollinen tilavuus on $$ \frac{729\pi}{16}. $$ Se saavutetaan, jos tangentti piirretään kohtaan $x = \frac{3}{2}\sqrt{2}$ tai kohtaan $x = -\frac{3}{2}\sqrt{2}$.

Rationaalifunktion kulku

Säiliön, jonka tilavuus on $0{,}8 \text{ m}^3$, muodostuu suorasta ympyrälieriöstä ja kattona olevasta puolipallosta. Suunnittele säiliön mitat (pohjan säde ja lieriöosan korkeus) niin, että säiliön valmistamiseen kuluu mahdollisimman vähän teräslevyä. Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

Vinkki: kertaa tarvittaessa avaruusgeometriaa MAA3-kurssin luvusta 3.

Pohjan säde ja lieriöosan korkeus kumpikin noin 535 mm.
Ohjeita: Tilavuudesta saadaan yhtälö $$\pi r^2h + \frac{2}{3}\pi r^3 = 0{,}8.$$ Teräslevyn pinta-ala on $$ \pi r^2 + 2\pi rh + 2\pi r^2. $$

  1. Laske funktion $$ f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 1 $$ derivaatan arvo kohdassa $x = 2$.
  2. Määritä $f'(-3)$, kun $$ f(x) = \frac{x^2}{x+1}. $$
  3. Derivoi funktio $$ f(x) = \frac{1-2x^2}{1+x^2}. $$

[Pitkä S2016/2b & S2010/1c & S2008/2a]

  1. $f'(2) = 0$
  2. $f'(-3) = \dfrac{3}{4}$
  3. $ f'(x) = -\dfrac{6x}{(1+x^2)^2} $

Tehtaassa valmistetaan tölkitettyjä säilykehedelmiä. Päärynänpuolikkaita pakataan suoran ympyrälieriön muotoiseen peltitölkkiin. Tölkin pohja- ja kansilevyjen materiaalin hinta on 2,00 €/$\text{m}^2$ ja vaipan materiaalin hinta 1,00 €/$\text{m}^2$. Suunnittele materiaalikustannuksiltaan mahdollisimman halpa peltitölkki, jonka tilavuus on $1\,000 \text{ cm}^3$. Anna vastauksena tölkin korkeuden ja pohjan halkaisijan suhteen tarkka arvo.
[Pitkä K2016/11]

Kysytty suhde on $h:2r = 2$.

Laskeva suora kulkee pisteen $(3, 4)$ kautta siten, että sen ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion ala on mahdollisimman pieni. Määritä suoran kulmakerroin ja vastaava pienin ala.
[Pitkä S2005/9]
Vinkki: Piirrä tilanteesta mallikuva. Kertaa tarvittaessa MAA5-kurssin teoreema 9.

Kun pinta-ala on mahdollisimman pieni, kulmakerroin on $-\frac{4}{3}$ ja pinta-ala on $24$.

Oletetaan, että $a > 0$ ja $b > 0$. Suora kulkee kiinteän pisteen $(a,b)$ kautta ja muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion. Mikä on tällaisen kolmion pienin mahdollinen pinta-ala?
[Pitkä S2010/10]
Vinkki: Piirrä tilanteesta mallikuva. Valitse muuttujaksi suoran kulmakerroin $k$.

Kolmion pienin mahdollinen pinta-ala saavutetaan, kun suoran kulmakerroin on $k = -\frac{b}{a}$. Pienin pinta-ala on $2ab$.

Suorakulmion kaksi kärkeä on $x$-akselilla ja kaksi käyrällä $$ y = \frac{4}{2 + x^2} $$ Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet, kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen?
[Pitkä K2010/7]

Suorakulmion sivujen pituudet ovat $2\sqrt{2}$ ja $1$.

Tulta syöksevät lohikäärmeet Draco ja Nid vartioivat solaa, ja solassa kulkeva joutuu menemään niiden välistä. Lohikäärmeiden välinen etäisyys on 200 kyynärää. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen lohikäärmeen kokoon ja kääntäen verrannollinen lohikäärmeestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Draco on kaksi kertaa niin suuri kuin Nid. Mistä kohtaa lohikäärmeiden välistä kulkijan on vaellettava, jotta hän selviäisi mahdollisimman vähällä? Anna vastaus kyynärän tarkkuudella.
[Pitkä K2006/10]
Vinkki: Tarkastele tilannetta, jossa kulkija on etäisyydellä $x$ Dracosta. Jos Dracon tulisuihkun vaikutus on $$ \frac{2a}{x^3}, $$ niin mikä on Nidin tulisuihkun vaikutus? Millä etäisyydellä niiden yhteisvaikutus on pienin?

Noin 109 kyynärän päässä Dracosta.

Olkoon $$ f(x) = \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}. $$ Kumpi on suurempi, $f(a)$ vai $f(b)$, kun $a = 1 + 10^{-1500}$ ja $b = 1 + 2\cdot 10^{-1500}$?
[Pitkä S2005/7]

Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on aidosti vähenevä, kun $x > 1$. Koska $1 < a < b$, on siis $f(a) > f(b)$.

Rautalanka, jonka pituus on 120 cm, katkaistaan kahteen osaan. Toinen osa taivutetaan neliöksi, toinen ympyräksi. Miten lanka on katkaistava, jotta ympyrän ja neliön alojen summa olisi mahdollisimman pieni?
[Lyhyt S2007/12]

Ympyrän osuus langasta on noin 52,8 cm ja neliön 67,2 cm.

Yksikkösäteisen pallon sisällä on tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Määritä lieriön korkeus ja pohjaympyrän säde. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde.
[Pitkä K2003/8]

Lieriön korkeus on $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ja pohjaympyrän säde on $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Lieriön ja pallon tilavuuksien suhde on $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Suunnittele sellainen suoran lieriön muotoinen juomalasi, jonka pohjan paksuus on 5,0 mm, seinämän paksuus 2,0 mm, vetoisuus 2,0 dl ja jonka valmistamiseen tarvitaan mahdollisimman vähän lasia. Ilmoita lasin korkeus ja ulkopuolelta mitattu pohjan halkaisija.
[Pitkä K2017/7]

Lasin korkeus on noin 78,6 mm ja pohjan halkaisija noin 62,8 mm.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.