Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA5 - Analyyttinen geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Suora

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset suoran erilaiset esitysmuodot ja pystyt käyttämään niitä erilaisten suorien tutkimiseen. Osaat
  • määrittää suoran kulmakertoimen
  • muodostaa suoran yhtälön
  • muokata suoran yhtälön sekä normaalimuotoon että ratkaistuun muotoon
  • piirtää suoran koordinaatistoon
  • tutkia, onko piste suoralla
  • etsiä kahden suoran leikkauspisteen
  • ratkaista yhtälöparin
  • tutkia, ovatko suorat yhdensuuntaiset tai kohtisuorassa toisiaan vastaan
  • laskea pisteen etäisyyden suorasta.

Kurssissa MAA4 opittiin muodostamaan suoralle niin sanottu vektorimuotoinen parametriesitys.

MÄÄRITELMÄ: SUORAN VEKTORIMUOTOINEN PARAMETRIESITYS

Oletetaan, että $A$ on suoran $L$ piste ja $\vv$ on suoran $L$ suuntavektori. Yhtälö $$\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv$$ on suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.
Tässä esiintyvä kerroin $t$ on parametri ja vektori $\pv{OA}$ on suoran paikkavektori.


Esimerkiksi yllä näkyvän suoran yksi vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi + 3\vj + t(\vi - 2\vj)$.

MAA4-kurssissa opittiin lisäksi, että jos $xy$-tason suoran jokin normaalivektori tunnetaan, voidaan suoralle muodostaa niin sanottu normaalimuotoinen yhtälö:

MÄÄRITELMÄ: SUORAN NORMAALIMUOTOINEN YHTÄLÖ

Oletetaan, että $L$ on $xy$-tason suora ja $\vn = a\vi + b\vj$ on sen normaalivektori. Yhtälö $$ax + by + c = 0$$ on suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö.

Vektoria sanotaan suoran normaalivektoriksi, jos se on suoraa vastaan kohtisuorassa. Esimerkiksi edellä tarkastellun suoran yksi normaalivektori on $\vn = 2\vi + \vj$:

Tämän suoran normaalimuotoiseksi yhtälöksi saadaan $$2x + y + c = 0,$$ missä vakion $c$ arvo määräytyy tiedosta, että suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta. Siten $$2\cdot 1 + 3 + c = 0$$ eli $c = -5$. Normaalimuotoisesta yhtälöstä $2x + y - 5 = 0$ voidaan ratkaista $y$: $$y = - 2x + 5.$$ Tällaista yhtälöä sanotaan suoran yhtälön ratkaistuksi muodoksi.

MÄÄRITELMÄ: SUORAN YHTÄLÖN RATKAISTU MUOTO JA KULMAKERROIN

Yhtälö $y = kx + h$ on suoran yhtälön ratkaistu muoto. Tässä esiintyvä kerroin $k$ on suoran kulmakerroin.

Tutki alla näkyvää suoraa $L$.

  1. Valitse suoralle $L$ jokin suuntavektori.
  2. Valitse suoralle $L$ jokin normaalivektori. Tarkista pistetulon avulla, että se on todella kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan.
  3. Valitse jokin piste, jonka kautta suora $L$ kulkee. Muodosta sen ja b-kohdan avulla suoralle $L$ normaalimuotoinen yhtälö.
  4. Muokkaa suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö ratkaistuun muotoon. Mikä on suoran $L$ kulmakerroin?
  5. Miten kulmakerroin näkyy alla olevassa kuvassa?

  1. Esimerkiksi $\vi + 3\vj$.
  2. Esimerkiksi $3\vi - \vj$.
  3. Esimerkiksi $(1,1)$. Yhtälö on $3x-y-2 = 0$.
  4. Ratkaistu muoto on $y = 3x-2$ ja suoran $L$ kulmakerroin $3$.

Tutki alla näkyvää suoraa $L$.

  1. Valitse suoralle $L$ jokin suuntavektori.
  2. Valitse suoralle $L$ jokin normaalivektori. Tarkista pistetulon avulla, että se on todella kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan.
  3. Valitse jokin piste, jonka kautta suora $L$ kulkee. Muodosta sen ja b-kohdan avulla suoralle $L$ normaalimuotoinen yhtälö.
  4. Muokkaa suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö ratkaistuun muotoon. Mikä on suoran $L$ kulmakerroin?
  5. Miten kulmakerroin näkyy alla olevassa kuvassa?

Jos $xy$-tason suora ei ole $y$-akselin suuntainen, sen yhtälö on aina mahdollista ilmaista ratkaistussa muodossa $y = kx + h$. Jos suora on $y$-akselin suuntainen, tämä ei onnistu. Tutkitaan seuraavaksi esimerkin avulla, miksi $y$-akselin suuntaisten suorien yhtälöitä ei voi esittää ratkaistussa muodossa.

Alla näkyvän $y$-akselin suuntaisen suoran yksi suuntavektori on $\vj$ ja yksi normaalivektori on $\vi$.

Suoran normaalimuotoinen yhtälö on siten muotoa $1\cdot x + 0\cdot y + c = 0$. Vakion $c$ arvo määräytyy esimerkiksi tiedosta, että suora kulkee pisteen $(4,1)$ kautta. Siten $$4 + c = 0$$ eli $c = -4$. Normaalimuotoinen yhtälö on siis $$x - 4 = 0.$$ Havaitaan, että tätä yhtälöä ei voi muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, sillä muuttuja $y$ ei esiinny yhtälössä lainkaan. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että muuttujan $y$ kerroin on nolla.

Koska $y$-akselin suuntaisen suoran $x - 4 = 0$ yhtälöä ei voida muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, ei suoralla ole kulmakerrointa.

Suoran $L$ kulkee pisteen $(-3,2)$ kautta ja vektori $-4\vj$ on sen

  1. suuntavektori
  2. normaalivektori.

Muodosta suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö ja muokkaa sen ratkaistuun muotoon, jos mahdollista. Jos suoralla on kulmakerroin, mikä se on?
Vinkki: kannattaa piirtää tilanteesta kuva.

Tutkitaan seuraavaksi suoraa $L$, jonka yhtälön ratkaistu muoto on $y = -x + 3$. Tämä yhtälö kertoo, miten suoran pisteiden $y$-koordinaatit riippuvat $x$-koordinaateista, ja sen avulla voidaan selvittää suoran pisteitä.

Esimerkiksi jos suoran $L$ pisteen $x$-koordinaatti on $x = 1$, niin sen $y$-koordinaatti on $$y = -x+3 = -1 + 3 = 2.$$ Näin saadaan tieto, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,2)$ kautta. Toinen piste löydetään, kun $x$-koordinaatiksi valitaan jokin muu luku: esimerkiksi jos $x = 4$, niin $$y = -x+3 = -4 + 3 = -1.$$ Suora $L$ kulkee siis myös pisteen $(4,-1)$ kautta. Nyt suorasta $L$ voidaan piirtää kuva:

Suoran $L$ yhtälöstä voidaan päätellä yleisemmin, että jos suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = t$, niin $y$-koordinaatti on $y = -t+3$. Näin saadaan MAA4-kurssista tuttu suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys $$ \left\{\begin{aligned} x &= t \\ y &= -t+3 \end{aligned}\right. $$ Suoran $L$ pisteet ovat siis muotoa $(t, -t+3)$.

Suoran $L$ yhtälön ratkaistu muoto on $y = 2x - 1$.

  1. Selvitä suoran yhtälön avulla kaksi suoran pistettä ja piirrä suora koordinaatistoon.
  2. Muodosta suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys.
  3. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys. Voit käyttää apuna a- ja b-kohtia.
  4. Muokkaa suoran $L$ yhtälö ratkaistusta muodosta normaalimuotoon. Keksi sen avulla suoralle $L$ jokin normaalivektori.

Tehtävänä on selvittää, ovatko pisteet $A = (2116, 894)$ ja $B = (15668, 4273)$ suoralla $L$, jonka yhtälö on $y = 0{,}25x + 365$.

  1. Selvitä suoran $L$ yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 2116$. Onko piste $A$ suoralla $L$?
  2. Selvitä suoran $L$ yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 15668$. Onko piste $B$ suoralla $L$?

Tutkitaan seuraavaksi, miten suoran yhtälössä $y = kx + h$ esiintyvät kulmakerroin $k$ ja vakio $h$ vaikuttavat suoran suuntaan ja sijaintiin koordinaatistossa.

Alla on näkyvissä suora $y = 2x-1$. Tämän suoran kulmakerroin on $k = 2$. Kuvasta näkyy, että aina kun siirrytään yksi askel oikealle, suora nousee kaksi askelta ylöspäin.

  1. Jos suoran kulmakerroin on $k = 7$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle?
  2. Jos suoran kulmakerroin on $k = -5$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle?
  3. Jos suoran kulmakerroin on $k = \frac{1}{4}$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle?
  4. Jos suoran kulmakerroin on $k = \frac{1}{4}$, niin kuinka monta askelta pitää siirtyä oikealle, jotta suora nousisi yhden askeleen?
  5. Jos suoran kulmakerroin on $k = -\frac{2}{3}$, niin kuinka monta askelta se nousee tai laskee, kun siirrytään kolme askelta oikealle?

  1. Nousee 7 askelta.
  2. Laskee 5 askelta.
  3. Nousee 0,25 askelta.
  4. Pitää siirtyä 4 askelta oikealle.
  5. Laskee 2 askelta.

Yllä on näkyvissä erilaisia $xy$-tason suoria. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea suora jokaiseen yhtälöön. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Yhtälö Suora
$\ y = 3x \ $
$\ y = -2x-1 \ $
$\ y = 0{,}5x+1 \ $
$\ y = -x+2 \ $

Miten yhtälöstä $y = kx + h$ voi päätellä,

  1. onko kysymyksessä nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua suora nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Havaitaan, että suoran kulmakerroin kuvaa sen jyrkkyyttä. Tarkemmin sanottuna suoran kulmakerroin on suoran pisteiden $y$-koordinaattien erotuksen suhde $x$-koordinaattien erotukseen. Tämä osoitetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $\textcolor{blue}{x_1} \neq \textcolor{red}{x_2}$. Pisteiden $\textcolor{blue}{(x_1,y_1)}$ ja $\textcolor{red}{(x_2,y_2)}$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}}$$

Perustelu: Oletetaan, että suora $y = kx + h$ kulkee pisteiden $\textcolor{blue}{(x_1,y_1)}$ ja $\textcolor{red}{(x_2,y_2)}$ kautta. Tällöin nämä pisteet toteuttavat suoran yhtälön: \begin{align*} \textcolor{blue}{y_1} &= k\textcolor{blue}{x_1} + h \\ \textcolor{red}{y_2} &= k\textcolor{red}{x_2} + h. \\ \end{align*} Tutkitaan erotusten osamäärää: \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} &= \frac{(k\textcolor{red}{x_2} + h) - (k\textcolor{blue}{x_1} + h)}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} \\[1mm] &= \frac{k\textcolor{red}{x_2} + h - k\textcolor{blue}{x_1} -h}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} \\[1mm] &= \frac{k(\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1})}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} = k. \\ \end{align*} Siis $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}}$$

Määritä suorien $L$ ja $S$ kulmakertoimet alla olevan kuvan avulla. Voit esimerkiksi määrittää kuvasta kaksi suoran pistettä ja laskea kulmakertoimen niiden avulla.

Suora $L$ kulkee pisteiden $(-1,-1)$ ja $(1,4)$ kautta, joten sen kulmakertoimeksi saadaan $\frac{5}{2}$.

Suora $S$ kulkee pisteiden $(-1,1)$ ja $(2,-1)$ kautta, joten sen kulmakertoimeksi saadaan $-\frac{2}{3}$.

Määritä kulmakerroin pisteiden $A$ ja $B$ kautta kulkevalle suoralle ja päättele, onko suora nouseva, laskeva vai $x$-akselin suuntainen.

  1. $A = (-2,6)\ $ ja $\ B = (3,2)$
  2. $A = (1,-2)\ $ ja $\ B = (3,4)$
  3. $A = (3,1)\ $ ja $\ B = (-5,1)$
  4. $A = (-213,-126)\ $ ja $\ B = (-533,142)$.

Vinkki: kuvan tai mallikuvan hahmotteleminen yleensä helpottaa oikeiden johtopäätösten tekemistä.

Seuraava teoreema osoittaa, että suoran yhtälön ratkaistusta muodosta voidaan suoraan lukea, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Suora $y = kx + h$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,h)$.

Perustelu: Suoran ja $y$-akselin leikkauspisteen $x$-koordinaatti on $x = 0$. Sitä vastaava suoran $y$-koordinaatti saadaan suoran yhtälöstä: $$y = kx + h = k\cdot 0 + h = h.$$ Leikkauspiste on siis $(0,h)$.

Selvitä suoran kulmakerroin sekä suoran ja $y$-akselin leikkauspiste, jos suoran yhtälö on

  1. $y = -7x + 12$
  2. $y = 4-\dfrac{3}{2}x$
  3. $y = -5$
  4. $2x-3y + 6 = 0$.

Tutkitaan suoraa $L$, joka kulkee pisteiden $(1,-1)$ ja $(5,4)$ kautta. Voimme määrittää sille suuntavektorin ja normaalivektorin. Normaalivektorin avulla saamme muodostettua suoralle $L$ normaalimuotoisen yhtälön. Sen jälkeen voimme muokata tämän yhtälön ratkaistuun muotoon samaan tapaan kuin aikaisemmin.

Yritetään kuitenkin muodostaa suoran $L$ yhtälön ratkaistu muoto $y = kx + h$ toisella tavalla. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin: $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} = \frac{\textcolor{red}{4}-(\textcolor{blue}{-1})}{\textcolor{red}{5}-\textcolor{blue}{1}} = \frac{5}{4} = 1{,}25.$$ Suoran $L$ yhtälö on siis muotoa $$y = \frac{5}{4}x + h.$$ Vakion $h$ arvo saadaan selville esimerkiksi tiedosta, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,-1)$ kautta. Siis $$-1 = \frac{5}{4}\cdot 1 + h,$$ joten $$h = -\frac{9}{4} = -2{,}25.$$ Etsitty suoran $L$ yhtälö on siis $$y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}.$$ Seuraava teoreema antaa vielä hieman erilaisen tavan suoran yhtälön muodostamiseen tilanteessa, jossa suoran kulmakerroin ja suoran yksi piste tunnetaan. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Jos suora kulkee pisteen $(x_0, y_0)$ kautta ja suoran kulmakerroin on $k$, niin suoran yhtälö on $$y - y_0 = k(x-x_0).$$

Perustelu: Oletetaan, että suora kulkee pisteen $(x_0, y_0)$ kautta ja suoran kulmakerroin on $k$. Tällöin suoran yhtälö on muotoa $y = kx + h$. Lisäksi piste $(x_0, y_0)$ toteuttaa suoran yhtälön: $$y_0 = kx_0 + h.$$ Tästä saadaan ratkaistua vakio $h$: $$h = y_0 - kx_0.$$ Kun tämä sijoitetaan suoran yhtälöön, saadaan se muotoon $$y = kx + (y_0 - kx_0)$$ eli $$y - y_0 = kx-kx_0$$ eli $$y - y_0 = k(x - x_0).$$

Suora kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta ja sen kulmakerroin on $k$. Piirrä suora koordinaatistoon ja muodosta suoran yhtälö, jos

  1. $(x_0,y_0) = (1,2)\ $ ja $\ k = \dfrac{1}{2}$
  2. $(x_0,y_0) = (-3,0)\ $ ja $\ k = -\dfrac{4}{5}$.

Vinkki: teoreema 9.

  1. $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
  2. $y = -\frac{4}{5}x - \frac{12}{5}$.

Suora kulkee pisteiden $A$ ja $B$ kautta. Piirrä suora koordinaatistoon ja muodosta suoran yhtälö, jos

  1. $A = (-3,-4)\ $ ja $\ B = (2,2)$.
  2. $A = (1,1)\ $ ja $\ B = (6,-2)$

  1. $y = \frac{6}{5}x - \frac{2}{5}$
  2. $y = -\frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$.

Kootaan vielä esimerkin avulla yhteen kaikki erilaiset suoran yhtälöt ja parametriesitykset, joita tässä kappaleessa on käytetty.

Yllä olevan suoran vektorimuotoinen parametriesitys on esimerkiksi $$\pv{OP} = \textcolor{blue}{4\vi + 2\vj} + t(\textcolor{blue}{2\vi - \vj}).$$ Normaalimuotoinen yhtälö on $$\textcolor{red}{1}x + \textcolor{red}{2}y - 8 = 0.$$ Ratkaistu yhtälö on $$y = \textcolor{Purple}{-\frac{1}{2}}x + \textcolor{Purple}{4}.$$ Koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= \textcolor{DeepPink}{t} \\ y &= \textcolor{DeepPink}{-\frac{1}{2}t + 4} \end{aligned}\right. $$

Kertaa vielä erilaiset tavat määrittää suoran yhtälön ratkaistu muoto. Selitä lyhyesti, miten määrität suoran yhtälön ratkaistun muodon, jos

  1. tiedät kaksi pistettä suoralta
  2. tiedät suoran kulmakertoimen ja pisteen, jossa suora leikkaa $y$-akselin
  3. tiedät suoran kulmakertoimen ja yhden pisteen suoralta
  4. tiedät suoran normaalivektorin ja yhden pisteen suoralta
  5. tiedät suoran paikkavektorin ja suuntavektorin.

Olemme tutkineet $xy$-tason suorien leikkauspisteitä erilaisista näkökulmista lähes kaikissa aiemmissa kursseissa. Seuraavien tehtävien avulla palautetaan mieleen, millaisia suorien leikkauspisteisiin liittyviä tehtäviä aikaisemmin on jo ratkottu.

Kursseissa MAY1 ja MAA2 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita ja ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Alla on näkyvissä funktioiden $f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$ ja $g(x) = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ kuvaajat. Päättele kuvan avulla, missä kohdassa nämä funktiot saavat saman arvon. Mikä tämä arvo on?

Tarkastellaan ensimmäisen asteen yhtälöä $x-1 = 2{,}5 - 0{,}5x$.

  1. Päättele alla olevan kuvan avulla tämän yhtälön ratkaisun likiarvo.
  2. Etsi yhtälön ratkaisun tarkka arvo kynän ja paperin avulla.
  3. Tarkista tulos ratkaisemalla yhtälö laskimen tai tietokoneen avulla.

Edellisissä tehtävissä ratkaisu voitiin löytää kuvan avulla suorien leikkauspisteestä. Huomaa kuitenkin, että vastauksena ei ollut varsinaisesti suorien leikkauspiste, vaan kysymyksestä riippuen leikkauspisteen $x$- tai $y$-koordinaatti. Kumpi leikkauspisteen koordinaateista oli vastaus, jos kysymys oli

  1. missä kohdassa funktiot saavat saman arvon?
  2. mikä on tämä funktioiden yhteinen arvo?
  3. mikä on ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu?

Kurssissa MAA4 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun selvitettiin suorien leikkauspisteitä vektorilaskennan keinoin ja kun ratkaistiin ensimmäisen asteen yhtälöpareja.

Suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi + 4\vj + t(-2\vi + \vj)$. Suoran $L_2$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi - 2\vj + s(\vi + \vj)$.

  1. Piirrä kumpikin suora koordinaatistoon. Merkitse kuvaan suorien paikkavektorit ja suuntavektorit.
  2. Suorilla on yksi leikkauspiste $P$. Määritä sen koordinaatit piirroksesi avulla.
  3. Päättele piirroksesi avulla, millä parametrin $t$ arvolla leikkauspisteen paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan suoran $L_1$ parametriesitysestä.
  4. Päättele piirroksesi avulla, millä parametrin $s$ arvolla leikkauspisteen paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan suoran $L_2$ parametriesitysestä.

Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y &= -1 \\ y &= 0{,}5 - 0{,}5x. \end{aligned}\right. $$ Havainnollista ratkaisua piirtämällä yhtälöitä vastaavat suorat koordinaatistoon. Pystytkö päättelemään pelkän piirroksen avulla, mitkä luvut toteuttavat tämän yhtälöparin?

MAA4-kurssissa tarkasteltiin niin sanottuja ensimmäisen asteen yhtälöpareja, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Havaittiin, että tällaisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi huomattiin vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 2x &= 8y-6 \\ 12y - 3x &= 9. \end{aligned}\right. $$

  1. Muokkaa yhtälöparin kumpikin yhtälö ratkaistuun muotoon $y = kx + h$. Mitä huomaat?
  2. Mitkä tason pisteet toteuttavat yhtälöparin kummankin yhtälön?
  3. Millaista muotoa yhtälöparin ratkaisut ovat? Toisin sanottuna jos $x = t$, niin mikä on $y$? (Tässä $t$ on reaaliluku.)

Kurssissa MAA4 yhtälöpareja ratkaistiin niin sanotulla sijoitusmenetelmällä. Tällä kurssilla tutustutaan toiseen ratkaisumenetelmään, jota kutsutaan yhteenlaskumenetelmäksi. Sitä havainnollistetaan alla olevalla esimerkillä.

Messinki on metalliseos, jossa on kuparia ja sinkkiä sekä joskus myös pieniä määriä tinaa tai lyijyä. Eräässä messinkilaadussa on 75 % kuparia ja 25 % sinkkiä. Niin sanotusta Muntz-messingistä 60 % on kuparia ja loput sinkkiä. Näistä kahdesta messinkilaadusta halutaan valmistaa seos, jossa on 3 kg kuparia ja 1,5 kg sinkkiä (tällä sekoitussuhteella valmistettua messinkiä sanotaan keltaiseksi messingiksi). Kuinka paljon kumpaakin seosta tarvitaan?

Merkitään ensimmäisen messinkilaadun määrää kirjaimella $x$ ja Muntz-messingin määrää kirjaimella $y$. Kuparin määräksi näiden messinkilaatujen seoksessa saadaan $0{,}75x + 0{,}60y$. Koska halutaan, että kuparin määrä seoksessa on 3 kg, saadaan yhtälö $$0{,}75x + 0{,}60y = 3.$$ Vastaavalla tavalla sinkin määräksi seoksessa saadaan $0{,}25x + 0{,}40y$. Koska sinkkiä pitää seoksessa 1,5 kg, saadaan yhtälö $$0{,}25x + 0{,}40y = 1{,}5.$$ Havaitaan, että kumpikin yhtälö esittää suoraa. Tämä näkyy siitä, että yhtälöt ovat lähes suoran yhtälön normaalimuodossa $ax + by + c = 0$, vain vakiotermi $c$ on yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.

Eri messinkilaatujen määrät $x$ ja $y$ toteuttavat kummankin yhtälön, joten piste $(x,y)$ on näiden suorien leikkauspiste. Se löydetään ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 0{,}75x + 0{,}60y &= 3 \\ 0{,}25x + 0{,}40y &= 1{,}5. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan tämä yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä:

  1. Valitaan jompi kumpi tuntemattomista. Kerrotaan yhtälöt sellaisilla luvuilla, että valitun tuntemattoman kertoimiksi tulevat vastaluvut. Esimerkiksi tässä tapauksessa voidaan valita tuntematon $x$, jolloin alempi yhtälö kannattaa kertoa luvulla $-3$: $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,1} \\ \textcolor{red}{0{,}25x} + 0{,}40y &= 1{,}5 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,(-3)} \end{aligned}\right. $$ Yhtälöpari saa näin muodon $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 \\ \textcolor{red}{-0{,}75x} \textcolor{blue}{- 1{,}20y} &= \textcolor{blue}{-4{,}5}. \end{aligned}\right. $$
  2. Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö, jossa on yksi tuntematon. Nyt tuloksena on yhtälö $$-0{,}6y = -1{,}5.$$
  3. Ratkaistaan saatu yhtälö. $$y = \frac{-1{,}5}{-0{,}6} = 2{,}5.$$
  4. Valitaan jompi kumpi alkuperäisistä yhtälöistä ja sijoitetaan edellisen kohdan tulos siihen. Esimerkiksi jos nyt valitaan ensimmäinen yhtälö, saadaan $$0{,}75x + 0{,}60 \cdot 2{,}5 = 3.$$ Tästä voidaan ratkaista jäljellä oleva tuntematon: \begin{align*} 0{,}75x + 1{,}5 &= 3 \\ 0{,}75x &= 1{,}5 \\ x &= \frac{1{,}5}{0{,}75} = 2 \end{align*} Ratkaisu on siis $x = 2$ ja $y = 2{,}5$. Tämä näkyy myös alla olevasta kuvasta. Vastauksena kysymykseen voidaan siis sanoa, että Muntz-messinkiä tarvitaan 2,5 kg ja toista messinkilaatua 2 kg.

Ennen sovellustehtäviin syventymistä harjoitellaan vielä suorien leikkauspisteiden etsimistä seuraavien tehtävien avulla.

Selvitä suorien $2x - y + 7 = 0$ ja $x + 2y - 4 = 0$ leikkauspiste yhteenlaskumenetelmällä samaan tapaan kuin edellä messinki-esimerkissä tehtiin. Tarkista tuloksesi piirtämällä suorat koordinaatistoon.

Selvitä suorien $y = x+1$ ja $3x + 2y = 6$ leikkauspiste. Voit käyttää sijoitus- tai yhteenlaskumenetelmää. Tarkista tuloksesi piirtämällä suorat koordinaatistoon.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan sovellustehtävissä tarvittavaa yhtälöiden muodostamista taulukoinnin avulla.

Kahvilaan tilattiin kaksi erää kahvipapuja. Papulaadun A hinta on 31,60 €/kg ja papulaadun B hinta on 11,00 €/kg. Kahvilayrittäjä haluaa tehdä näistä 2 kg sekoituksen, jonka hinta on 50 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon eri papulaatuja sekoitukseen tulee laittaa.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    A B A + B Sekoitus
    Määrä
    Hinta
  2. Koska tehtävässä kysytään eri papulaatujen määriä, merkitse niitä joillakin kirjaimilla. Täydennä taulukon ensimmäinen rivi. Huomaa, että sekoituksen määrän saat tehtävänannosta.
  3. Täydennä taulukon toinen rivi. Jos hintaa kuvaavien lausekkeiden muodostaminen tuntuu hankalalta, voit ensin miettiä, miten laskisit hinnan vaikkapa 3 kg määrälle papulaatua A. Muodosta sitten lauseke papulaadun A hinnalle samalla laskutoimituksella käyttämällä määränä aiemmin valitsemaasi kirjainta.
  4. Muodosta taulukon kahden viimeisen sarakkeen avulla kaksi yhtälöä, joista toinen kuvaa sekoituksen määrää ja toinen hintaa.
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka paljon sekoitukseen tarvitaan papulaatua A? Entä papulaatua B?
  6. Tarkista tuloksesi varmistamalla, että sekoituksen kokonaismäärä on vaadittu 2 kg ja laskemalla sen hinta. Saitko tulokseksi 50 euroa?

Edellisessä kappaleessa etsittiin kahden suoran leikkauspistettä. Jos suorat eivät ole yhdensuuntaiset, niillä on aina tasan yksi leikkauspiste. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspiste ei ole näkyvissä, mutta on helppo kuvitella mielessään, missäpäin koordinaatistoa nämä suorat leikkaavat toisensa.

Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ne eivät leikkaa toisiaan. Tätä tilannetta on havainnollistettu alla.

  1. Piirrä vihkoosi koordinaatisto ja sinne jokin suora, jonka kulmakerroin on $3$. Muodosta tälle suoralle jokin suuntavektori.
  2. Piirrä a-kohdan koordinaatistoon toinen suora, jonka yksi suuntavektori on $\vv = 2\vi + 6\vj$. Mikä on tämän suoran kulmakerroin?
  3. Ovatko a- ja b-kohdan suorat yhdensuuntaisia? Mitä voit sanoa niiden kulmakertoimista? Entä suuntavektoreista?

Seuraava teoreema osoittaa, että kulmakertoimien avulla voidaan päätellä, ovatko suorat yhdensuuntaisia. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kaksi suoraa, jotka eivät ole $y$-akselin suuntaisia, ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret.

Perustelu:

  1. Oletetaan, että kaksi suoraa, jotka eivät ole $y$-akselin suuntaisia, ovat yhdensuuntaisia. Olkoon ensimmäisen suoran suuntavektori $\vv_1 = a_1\vi + b_1\vj$ ja toisen suoran suuntavektori $\vv_2 = a_2\vi + b_2\vj$.

    Koska suorat ovat yhdensuuntaisia, niiden suuntavektorit ovat yhdensuuntaisia. Siis on olemassa sellainen luku $t \neq 0$, että $\vv_2 = t\vv_1$. Tästä seuraa, että $$ \left\{\begin{aligned} a_2 &= ta_1 \\ b_2 &= tb_1. \end{aligned}\right. $$ Suoran kulmakerroin saadaan, kun lasketaan $y$-koordinaatin muutoksen suhde $x$-koordinaatin muutokseen. Ensimmäisen suoran kulmakerroin on siten $$k_1 = \frac{b_1}{a_1}.$$ Toisen suoran kulmakertoimeksi saadaan $$k_2 = \frac{b_2}{a_2} = \frac{tb_1}{ta_1} = \frac{b_1}{a_1}.$$ Siis $k_2 = k_1$ eli suorilla on sama kulmakerroin.
  2. Oletetaan, että kahdella suoralla on sama kulmakerroin. Merkitään tätä kulmakerrointa kirjaimella $k$. Kulmakerroin ilmaisee, kuinka paljon suora nousee tai laskee, jos siirrytään yhden yksikön verran oikealle.

    Tästä voidaan päätellä, että kummallakin suoralla on suuntavektori $\vi + k\vj$. Suorien suuntavektorit ovat siis yhdensuuntaiset, joten suoratkin ovat yhdensuuntaiset.

Määritä yhtälö sille pisteen $(2,-3)$ kautta kulkevalle suoralle, joka on

  1. suoran $y = -\dfrac{3}{4}x + 5$ suuntainen
  2. suoran $2x + 3y - 4 = 0$ suuntainen
  3. $x$-akselin suuntainen
  4. $y$-akselin suuntainen.

  1. $y = -\frac{3}{4}x -\frac{3}{2}$
  2. $2x + 3y + 5 = 0$
  3. $y = -3$
  4. $x = 2$

Suorien yhdensuuntaisuuden tietynlainen vastakohta on suorien kohtisuoruus. Sitä voidaan tutkia suuntavektoreiden pistetulon avulla.

Tehtävänä on tutkia suuntavektoreiden avulla, ovatko suorat $y = 2-\frac{1}{3}x$ ja $y = \frac{5}{2}x - \frac{13}{5}$ kohtisuorassa toisiaan vastaan.

  1. Piirrä suora $y = 2-\frac{1}{3}x$ koordinaatistoon ja valitse sille jokin suuntavektori.
  2. Piirrä suora $y = \frac{5}{2}x - \frac{13}{5}$ koordinaatistoon ja valitse sille jokin suuntavektori.
  3. Laske suuntavektoreiden pistetulo. Ovatko suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan?

Seuraavassa teoreemassa saadaan pistetulon avulla johdettua kulmakertoimille ehto, jonka avulla voidaan tutkia, ovatko suorat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Kaksi suoraa, joiden kulmakertoimet ovat $k_1$ ja $k_2$, ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos $$k_1k_2 = -1.$$

Perustelu: Kulmakerroin ilmaisee, kuinka paljon suora nousee tai laskee, jos siirrytään yhden yksikön verran oikealle. Tästä voidaan päätellä, että suorilla, joiden kulmakertoimet ovat $k_1$ ja $k_2$, on suuntavektorit $\vv_1 = \vi + k_1\vj$ ja $\vv_2 = \vi + k_2\vj$.

  1. Oletetaan, että suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Tällöin suuntavektoreiden pistetulo on nolla eli $$\vv_1 \cdot \vv_2 = 0.$$ Kun lasketaan pistetulo, saadaan yhtälö $$1 + k_1k_2 = 0,$$ joka voidaan kirjoittaa myös muodossa $$k_1k_2 = -1.$$
  2. Oletetaan, että suorien kulmakertoimet $k_1$ ja $k_2$ toteuttavat yhtälön $$k_1k_2 = -1.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa $$1 + k_1k_2 = 0.$$ Yhtälön vasemmalla puolella on suuntavektoreiden $\vv_1 = \vi + k_1\vj$ ja $\vv_2 = \vi + k_2\vj$ pistetulo. Suuntavektoreiden pistetulo on siis nolla, joten ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Siten myös suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Tutki, onko suora $$y = \dfrac{5}{7}x + \dfrac{3}{4}$$ kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan, jos suoran $L$ yhtälö on

  1. $y = \dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{3}x$
  2. $14x + 10y - 4 = 0$
  3. $y = 3 - \dfrac{7}{5}x$.

  1. Ei ole.
  2. On.
  3. On.

MAA4-kurssissa otettiin käyttöön suoran normaalivektorin käsite. Normaalivektori tarkoittaa vektoria, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan. Vastaavasti pelkkä normaali tarkoittaa suoraa, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan:

MÄÄRITELMÄ: SUORAN NORMAALI

Jokainen suora, joka on kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan, on suoran $L$ normaali.

Määritä yhtälö suoran $y = 2x - 3$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $(-2,3)$ kautta.

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Edellä on tarkasteltu suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, niiden välinen kulma on $0^\circ$. Jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, niiden välinen kulma on $90^\circ$. Yleisesti kahden suoran välinen kulma määritellään kuten MAA3-kurssissa tehtiin:

MÄÄRITELMÄ: SUORIEN VÄLINEN KULMA

Suorien välinen kulma tarkoittaa toisensa leikkaavien suorien muodostamista kulmista sitä, joka on terävä tai suora kulma. Esimerkiksi alla olevan kuvan suorien välinen kulma on $\alpha$.

Jos suorat eivät leikkaa toisiaan, tarkoittaa suorien välinen kulma näiden suorien kanssa yhdensuuntaisten toisensa leikkaavien suorien välistä kulmaa.

Kahden suoran välisen kulman $\alpha$ suuruus on siis aina välillä $[0^\circ, 90^\circ]$. Suorien välisen kulman avulla voidaan $xy$-tason suorille määritellä niin sanottu suuntakulma:

MÄÄRITELMÄ: SUORAN SUUNTAKULMA

Oletetaan, että $L$ on $xy$-tason suora. Merkitään suoran $L$ ja $x$-akselin välistä kulmaa kirjaimella $\alpha$. Suoran $L$ suuntakulma määritellään seuraavasti:

  • jos suora $L$ on nouseva tai $x$-akselin suuntainen, sen suuntakulma on $\alpha$
  • jos suora $L$ on laskeva, sen suuntakulma on $-\alpha$.

Etumerkillä siis ilmaistaan, onko suora nouseva vai laskeva.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suoran $L_1$ suuntakulma on $0^\circ$, suoran $L_2$ suuntakulma on $90^\circ$ ja laskevan suoran $L_3$ suuntakulma on $-\alpha = -45^\circ$. Huomaa, että $y$-akselin suuntaiset suorat ajatellaan nouseviksi suoriksi eli niiden suuntakulma on $90^\circ$.

  1. Määritä alla näkyvien suorien $L_1$, $L_2$ ja $L_3$ kulmakertoimet.
  2. Määritä suorien $L_1$, $L_2$ ja $L_3$ suuntakulmat tangentin avulla ja anna vastaukset asteen kymmenesosan tarkkuudella. Kertaa tarvittaessa trigonometristen suhteiden käyttö kulmien määrittämisessä MAA3-kurssin luvusta 1 kohdasta Suorakulmainen kolmio.
  3. Vertaa a-kohdan kulmakertoimia ja b-kohdan kulmien tangentteja. Mitä huomaat?

  1. $k_1 = \frac{3}{2}$, $k_2 = -\frac{1}{2}$ ja $k_3 = \frac{5}{3}$
  2. $\alpha_1 \approx 56{,}3^\circ$, $\alpha_2 \approx -26{,}6^\circ$ ja $\alpha_3 \approx 59{,}0^\circ$.

TEOREEMA

Olkoon $\beta$ suoran suuntakulma ja $k$ kulmakerroin. Tällöin on voimassa yhtälö $$\tan \beta = k.$$

Perustelu: Suoran kulmakerroin voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen. Tarkastellaan eri vaihtoehdot.

  1. Oletetaan, että kulmakerroin on positiivinen eli $k > 0$. Tässä tilanteessa kulmakerroin ilmaisee, kuinka paljon suora nousee, jos siirrytään yhden yksikön verran oikealle. Näin voidaan muodostaa alla olevan kuvan mukainen suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat $1$ ja $k$.

    Suoran suuntakulma on yhtä suuri kuin tämän kolmion kulma $\beta$. Suorakulmaisen kolmion trigonometrian mukaan $$\tan \beta = \frac{k}{1} = k.$$
  2. Oletetaan, että kulmakerroin on nolla eli $k = 0$. Tässä tilanteessa suora on $x$-akselin suuntainen ja sen suuntakulma on siten $\beta = 0^\circ$. Laskimesta saadaan $$\tan \beta = \tan 0^\circ = 0 = k.$$
  3. Oletetaan, että kulmakerroin on negatiivinen eli $k < 0$. Tässä tilanteessa suora on laskeva ja myös suoran suuntakulma $\beta$ on negatiivinen. Tämän tapauksen tarkka perustelu jätetään odottamaan kurssia MAA7, jossa tangentti määritellään negatiivisille kulmille. Silloin havaitaan, että negatiivisen kulman tangentti on vastaavan positiivisen kulman tangentin vastaluku. Esimerkiksi $\tan (60^\circ) = \sqrt{3}$ ja $\tan (-60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Suoran $L_1$ kulmakerroin on $\dfrac{7}{2}$ ja suoran $L_2$ kulmakerroin on $-\dfrac{4}{3}$.

  1. Hahmottele suorat $L_1$ ja $L_2$ koordinaatistoon.
  2. Määritä suorien $L_1$ ja $L_2$ suuntakulmat ja päättele suorien välisen kulman suuruus niiden avulla. Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.
    Vinkki: a-kohdan piirroksen avulla voit arvioida tuloksen järkevyyttä. Palauta tarvittaessa mieleen suorien välisen kulman määritelmä.
  3. Muodosta suorille suuntavektorit ja määritä suorien välinen kulma niiden avulla. Kertaa tarvittaessa MAA4-kurssin teoreema 5.

Suorien välinen kulma on noin $52{,}8^\circ$.

MAA4-kurssilla opittiin laskemaan pisteen etäisyys suorasta vektoreiden avulla. Seuraavan esimerkin avulla palautetaan mieleen, miten se onnistuu.

Tarkastellaan alla näkyvää suoraa $L$, jonka yksi suuntavektori on $\vv = 2\vi - 3\vj$ ja pistettä $Q = (3,4)$. Tehtävänä on määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$.

Valitaan suoralta $L$ jokin piste, esimerkiksi $(2,1)$, ja muodostetaan sen avulla vektori pisteestä $Q$ siihen suoran pisteeseen, joka on lähimpänä pistettä $Q$:

Punaisella piirretty vektori $\vw$ saadaan sinisten vektoreiden summana: $$\vw = -\vi - 3\vj + t(2\vi - 3\vj)$$ Lisäksi vaaditaan, että punaisella piirretty vektori $\vw$ on kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\vv = 2\vi - 3\vj$ vastaan. Tämän ehdon avulla saadaan ratkaistua parametrin $t$ arvo. Kysytty etäisyys saadaan selville laskemalla vektorin $\vw$ pituus.

Jatketaan edellisen esimerkin ratkaisua.

  1. Sievennä vektori $\vw = -\vi - 3\vj + t(2\vi - 3\vj)$ ryhmittelemällä termit niin, että saat otettua yhteisen tekijän $\vi$ ja yhteisen tekijän $\vj$.
  2. Vektorin $\vw$ on oltava kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\vv$ vastaan. Minkä pistetuloa koskevan ehdon saat tästä?
  3. Laske pistetulo $\vv \cdot \vw$. Ratkaise parametrin $t$ arvo b-kohdan ehdon avulla.
  4. Sievennä vektori $\vw$ ja laske sen pituus. Mikä on pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$?

  1. $t = -\frac{7}{13}$
  2. $\frac{9}{13}\sqrt{13}$

Analyyttinen geometria antaa mahdollisuuden laskea pisteen $Q$ etäisyyden suorasta $L$ myös toisella tavalla. Ideana on muodostaa yhtälö suoran $L$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $Q$ kautta:

Suoran ja sen normaalin leikkauspiste löydetään ratkaisemalla näiden muodostama yhtälöpari. Leikkauspisteen ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$:

Jatketaan edellisen esimerkin ratkaisua.

  1. Muodosta yhtälö suoralle $L$. Mikä on suoran $L$ kulmakerroin?
  2. Muodosta yhtälö suoran $L$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $Q = (3,4)$ kautta.
  3. Selvitä a- ja b-kohtien suorien leikkauspiste $P$ ratkaisemalla niiden muodostama yhtälöpari.
  4. Laske pisteiden $P$ ja $Q$ välinen etäisyys. Mikä on pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$?

  1. $P = \left(\frac{12}{13}, \frac{34}{13}\right)$
  2. $\frac{9}{13}\sqrt{13}$

Edellisen tehtävän menetelmällä on mahdollista johtaa yleinen lauseke pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyydelle suorasta $ax + by + c = 0$. Tämä tehdään seuraavassa teoreemassa. Teoreeman perustelu on sen verran työläs, ettei kaikkia yksityiskohtia ole kirjoitettu näkyviin. Lue perustelu ja keskity miettimään, miten sen vaiheet liittyvät äsken ratkaisemasi tehtävän 2.31 vaiheisiin. Sievennysten yksityiskohtiin ei tarvitse kiinnittää huomiota.

TEOREEMA

Pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyys suorasta $ax + by + c = 0$ on $$d = \frac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Perustelu: Suoran $ax+by+c = 0$ se normaali, joka kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta, on $$bx-ay + ay_0 - bx_0 = 0.$$ Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} ax + by + c &= 0 \\ bx-ay + ay_0 - bx_0 &= 0 \end{aligned}\right. $$ ratkaisuksi saadaan $$ x = \frac{b^2x_0 - aby_0 - ac}{a^2 + b^2} $$ ja $$ y = \frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2}. $$ Nämä ovat siis pistettä $Q = (x_0,y_0)$ lähinnä olevan suoran $ax + by + c = 0$ pisteen $P$ koordinaatit. Pisteiden $Q$ ja $P$ $x$-koordinaattien erotukseksi saadaan $$ x_0-x = \frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2} $$ ja $y$-koordinaattien erotukseksi $$ y_0-y = \frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2}. $$ Pythagoraan lauseella pisteiden $Q$ ja $P$ väliseksi etäisyydeksi saadaan sievennysten jälkeen \begin{align*} d &= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \\[2mm] &= \ldots \\[2mm] &= \frac{\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[2mm] &= \frac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*} Huomaa, että lausekkeen $ax_0+by_0+c$ arvo voi olla negatiivinen, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina positiivinen tai nolla (ks. MAA2). Tämän vuoksi edellä viimeisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla otetaan lausekkeen itseisarvo: $$\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2} = \left| ax_0 + by_0 + c \right|.$$

Perustelu: Suoran $ax+by+c = 0$ se normaali, joka kulkee pisteen $(x_0,y_0)$ kautta, on $$bx-ay + ay_0 - bx_0 = 0.$$ Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} ax + by + c &= 0 \\ bx-ay + ay_0 - bx_0 &= 0 \end{aligned}\right. $$ ratkaisuksi saadaan $$ x = \frac{b^2x_0 - aby_0 - ac}{a^2 + b^2} $$ ja $$ y = \frac{a^2y_0 - abx_0 - bc}{a^2 + b^2}. $$ Nämä ovat siis pistettä $Q = (x_0,y_0)$ lähinnä olevan suoran $ax + by + c = 0$ pisteen $P$ koordinaatit. Pisteiden $Q$ ja $P$ $x$-koordinaattien erotukseksi saadaan $$ x_0-x = \frac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2} $$ ja $y$-koordinaattien erotukseksi $$ y_0-y = \frac{b(ax_0+by_0+c)}{a^2 + b^2}. $$ Pythagoraan lauseella pisteiden $Q$ ja $P$ väliseksi etäisyydeksi saadaan sievennysten jälkeen \begin{align*} d &= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \\[2mm] &= \ldots \\[2mm] &= \frac{\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[2mm] &= \frac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*} Huomaa, että lausekkeen $ax_0+by_0+c$ arvo voi olla negatiivinen, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina positiivinen tai nolla (ks. MAA2). Tämän vuoksi edellä viimeisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla otetaan lausekkeen itseisarvo: $$\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2} = \left| ax_0 + by_0 + c \right|.$$

Laske pisteen $(-1,2)$ etäisyys suorasta $3x-4y+2 = 0$ teoreeman 13 avulla.

$\frac{9}{5}$

Tehtävänä on määrittää kuvassa näkyvän pisteen $Q$ etäisyys kuvassa näkyvästä suorasta $L$ teoreeman 13 avulla.

  1. Muodosta normaalimuotoinen yhtälö suoralle $L$.
  2. Laske pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$ teoreeman 13 avulla.

  1. $\frac{9}{\sqrt{13}}$

Suoran yhtälö

Määritä yhtälö suoralle, joka kulkee seuraavien pisteiden kautta:

  1. $(-1,4)\ $ ja $\ (5,-1)$
  2. $\left(-\frac{5}{3}, \frac{1}{2}\right)\ $ ja $\ \left(\frac{1}{3}, \frac{5}{6}\right)$.

  1. $y = -\frac{5}{6}x + \frac{19}{6}$
  2. $y = \frac{1}{6}x + \frac{7}{9}$

Suoran yhtälö

Mitkä seuraavista pisteistä ovat suoralla $3x-4y+5 = 0$?

  1. $(1,2)$
  2. $(2,1)$
  3. $(13,11)$

  1. On
  2. Ei ole
  3. On

Suoran yhtälö

Millä vakion $t$ arvolla piste $(2,t)$ on pisteiden $A = (-1,3)$ ja $B = (5,-2)$ kautta kulkevalla suoralla?

$t = \frac{1}{2}$

Suoran yhtälö

Merkitään $P = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{3}\right)$.

  1. Määritä vakiolle $b$ sellainen arvo, että suora $y = -\frac{2}{3}x + b$ kulkee pisteen $P$ kautta.
  2. Missä pisteessä tämä suora leikkaa $y$-akselin?
  3. Missä pisteessä tämä suora leikkaa $x$-akselin?

  1. $b = \frac{2}{3}$
  2. Pisteessä $\left(0, \frac{2}{3}\right)$.
  3. Pisteessä $(1, 0)$.

Suoran yhtälö

Määritä seuraaville suorille normaalivektori, suuntavektori, suuntakulman likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella ja kulmakerroin, jos se on olemassa.

  1. $2x - 5y - 6 = 0$
  2. $y = \dfrac{5-3x}{4}$
  3. $3x + 1 = 0$
  4. $9-y = 0$

  1. Normaalivektori esim. $2\vi - 5\vj$, suuntavektori esim. $5\vi + 2\vj$, suuntakulma noin $21{,}8^\circ$ ja kulmakerroin $\frac{2}{5}$.
  2. Normaalivektori esim. $3\vi + 4\vj$, suuntavektori esim. $4\vi - 3\vj$, suuntakulma noin $-36{,}9^\circ$ ja kulmakerroin $-\frac{3}{4}$.
  3. Normaalivektori esim. $\vi$, suuntavektori esim. $\vj$, suuntakulma $90^\circ$, kulmakerrointa ei ole.
  4. Normaalivektori esim. $\vj$, suuntavektori esim. $\vi$, suuntakulma $0^\circ$ ja kulmakerroin $0$.

Suoran yhtälö

Määritä yhtälö sille pisteen $(1,-2)$ kautta kulkevalle suoralle, joka

  1. on suoran $2x + 5y + 1 = 0$ suuntainen
  2. leikkaa $x$-akselin pisteessä $(-2,0)$
  3. kulkee pisteen $\left(\frac{5}{2}, -\frac{4}{5}\right)$ kautta.

  1. $y = -\frac{2}{5}x - \frac{8}{5}$
  2. $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$
  3. $y = \frac{4}{5}x - \frac{14}{5}$

Suorien leikkauspisteet

Missä pisteissä suora $2x - 5y + 7 = 0$ leikkaa koordinaattiakselit?

Pisteissä $\ \left(-\frac{7}{2}, 0\right)\ $ ja $\ \left(0, \frac{7}{5}\right)$.

Suorien leikkauspisteet

Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että suora $\ ax + 2y = 7\ $ leikkaa $x$-akselin kaksi kertaa niin kaukana origosta kuin $y$-akselin.

$a = 1$ tai $a = -1$.

Suorien leikkauspisteet

Laske sen kolmion kärkipisteiden koordinaatit, jonka sivut ovat suorilla $\ x + 5y - 14 = 0$, $\ 4x + 3y - 5 = 0\ $ ja $\ 3x - 2y - 8 = 0$.

Kärkipisteet ovat $\ (-1,3)$, $\ (2,-1)\ $ ja $\ (4,2)$.

Suorien leikkauspisteet

Nelikulmion kärkipisteet ovat $\ (1,0)$, $\ (4,1)$, $\ (2,5)\ $ ja $\,(-2,3)$. Määritä nelikulmion lävistäjien leikkauspiste.

Leikkauspiste on $\left(\frac{11}{8}, \frac{15}{8}\right)$.

Suorien leikkauspisteet

Kuntorasteilla myytiin 178 karttaa. Karttamaksu oli aikuisilta 5 euroa ja lapsilta 2 euroa. Tapahtuman jälkeen myynnin arvoksi laskettiin 752 euroa. Kuinka monta lasta oli osallistunut tapahtumaan?

Lapsia osallistui 46. (Olettaen, että jokaiselle lapselle myytiin oma kartta.)

Suorien leikkauspisteet

Tiina ja Jukka aikovat sijoittaa yhteensä 5000 euroa kahteen erilaiseen kohteeseen: riskittömään pankkitalletukseen, jonka korko on 1 % vuodessa, ja sijoitusrahastoon, jolle luvataan 5 % vuosikorko. Jos he tavoittelevat 200 euron korkotuottoa, miten suuri summa heidän tulee sijoittaa rahastoon?

Sijoitusrahastoon tulee sijoittaa 3750 euroa.

Suorien välinen kulma

Määritä vakiolle $a$ sellainen arvo, että pisteiden $(1,3)$ ja $(a,0)$ kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen pisteiden $(1,-1)$ ja $(4,1)$ kautta kulkevan suoran kanssa.

$a = -\frac{7}{2}$

Suorien välinen kulma

Oletetaan, että $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja. Tutki, ovatko seuraavat suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

  1. $2x + y - 1 = 0$ ja $4x - 7y + 5 = 0$
  2. $ax + by + 1 = 0$ ja $bx - ay - 2 = 0$.

  1. Suorat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
  2. Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Suorien välinen kulma

Millä vakion $a$ arvoilla suorat $2x + ay - 11 = 0$ ja $(3-a)x + y + 2 = 0$ ovat

  1. yhdensuuntaiset
  2. kohtisuorassa toisiaan vastaan?

  1. $a = 1$ tai $a = 2$
  2. $a = 6$

Suorien välinen kulma

Muodosta yhtälö suoran $2x - 3y = 6$ sille normaalille, joka kulkee

  1. origon kautta
  2. pisteen $(1,-2)$ kautta.

  1. $3x + 2y = 0$
  2. $3x + 2y + 1 = 0$

Suorien välinen kulma

Laske seuraavien suorien välinen kulma kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella:

  1. $y = 2x$ ja $y = -3x$
  2. $2x-3y-1 = 0$ ja $3x-2y+4 = 0$.

  1. Kulma on $45{,}0^\circ$ (tarkka arvo).
  2. Kulma on noin $22{,}6^\circ$.

Suorien välinen kulma

Mikä suoran $2x + 5y - 10 = 0$ pisteistä on lähimpänä pistettä $(2,3)$?

Piste $\left(\frac{40}{29}, \frac{42}{29}\right)$

Pisteen etäisyys suorasta

Laske pisteen $(2,3)$ etäisyys suorasta

  1. $2x + 3 = 0$
  2. $6x + 8y - 5 = 0$
  3. $y = 3 - 2x$.

  1. $\frac{7}{2}$
  2. $\frac{31}{10}$
  3. $\frac{4}{5}\sqrt{5}$

Pisteen etäisyys suorasta

Laske suorien $x + 2y = 3$ ja $4x + 5y = 6$ leikkauspisteen etäisyys

  1. $y$-akselista
  2. suorasta $7x - 24y = 45$
  3. origosta.

  1. $1$
  2. $4$
  3. $\sqrt{5}$

(Leikkauspiste on $(-1,2)$.)

Pisteen etäisyys suorasta

Määritä se

  1. $x$-akselin
  2. $y$-akselin

piste, jonka etäisyys suorasta $y = 2x + 1$ on $\sqrt{5}$.

  1. Pisteitä on kaksi: $(2,0)$ ja $(-3,0)$.
  2. Pisteitä on kaksi: $(0,6)$ ja $(0,-4)$.

Pisteen etäisyys suorasta

Tarkastellaan suoria $x - 2y - 5 = 0$ ja $y = \frac{1}{2}x + 3$.

  1. Osoita, että nämä suorat ovat yhdensuuntaiset.
  2. Laske suorien välinen etäisyys.

  1. Vinkki: tutki suorien kulmakertoimia ja palauta mieleesi teoreema 10.
  2. Etäisyys on $\frac{11}{5}\sqrt{5}$.

Pisteen etäisyys suorasta

Muodosta yhtälöt suorille, joiden etäisyys suorasta $3x + 4y - 4 = 0$ on kaksi.

Suorien yhtälöt ovat $3x + 4y + 6 = 0$ ja $3x + 4y - 14 = 0$.

Määritä vakio $a$ siten, että suorat $\ ax + 1 = 0$, $\ x - 2y = 0\ $ ja $\ x + y + 3 = 0\ $ kulkevat saman pisteen kautta.

$a = \frac{1}{2}$.

Suorien leikkauspisteet

Määritä pisteiden $\ (-3,-1)\ $ ja $\ (1,2)\ $ kautta kulkevan suoran ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion pinta-ala.

Pinta-ala on $\frac{25}{24}$.

Minkä pisteen kautta suora $y = -3ax + 6a +2$ kulkee, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku?

Pisteen $(2,2)$ kautta.

Olkoot $\ A = (2,2)$, $\ B = (3, 1)$, $\ C = (2, 3)\ $ ja $\ D = (1,1)$. Laske janojen $AB$ ja $CD$ leikkauspisteen koordinaattien tarkat arvot.
[Pitkä K2015/5]

$\left(-\frac{19}{17}, \frac{31}{17}\right)$

  1. Määritä suorien $\ 2x + 3y = 7\ $ ja $\ 3x - 2y = 4\ $ leikkauspiste.
  2. Suora kulkee pisteiden $(1,7)$ ja $(2,4)$ kautta. Missä pisteessä se leikkaa $x$‐akselin?

[Pitkä S2014/2a & K2013/1c]

  1. $(2,1)$
  2. $\left(\frac{10}{3},0\right)$

  1. Määritä pisteen $(3, -2)$ etäisyys suorasta $4x - 3y = 2$.
  2. Suora kulkee pisteiden $(−2,1)$ ja $(5,-3)$ kautta. Määritä sen kulmakerroin.

[Pitkä S2011/3c & K2011/2b]

  1. $\frac{16}{5}$
  2. $-\frac{4}{7}$

  1. Määritä suorien $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$ ja $3x - 2y + 3 = 0$ leikkauspiste.
  2. Suora kulkee pisteen $(6,8)$ kautta ja on yhdensuuntainen suoran $3x − 5y = 11$ kanssa. Muodosta suoran yhtälö.

[Pitkä K2009/1c & S2008/1c]

  1. $\left(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}\right)$
  2. $3x-5y + 22 = 0$

Laske suorien $x + y = 1$, $\ x + y = 6$, $\ x − 3y = 1\ $ ja $\ x − 3y = −4\ $ väliin jäävän alueen pinta-ala.
[Pitkä K2007/5]

$\frac{25}{4} = 6{,}25$

Hopean ja kuparin seoksesta tehty esine painaa 150 g, ja sen tiheys on 10,1 kg/dm$^3$. Kuinka monta painoprosenttia esineessä on hopeaa ja kuinka monta kuparia, kun hopean tiheys on 10,5 kg/dm$^3$ ja kuparin 9,0 kg/dm$^3$?
[Pitkä S2006/5]

Hopeaa noin 76,2 % ja kuparia noin 23,8 %.

Suora $y = 3-3x$ rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen $k$ arvolla suora $y = kx$ jakaa tämän kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan?
[Lyhyt S2015/10]

$k = 3$

Suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta, ja vektori $2\vi + 3\vj$ on sen normaalivektori. Määritä pisteen $(2,2)$ etäisyys suorasta.
[Pitkä S2002/5]

$\dfrac{1}{\sqrt{13}}$

Suora kulkee pisteen $(1,2)$ kautta. Määritä suoran yhtälö, kun

  1. se on $x$-akselin suuntainen
  2. se on $y$-akselin suuntainen
  3. sen suuntakulma on $-45^\circ$ astetta
  4. se on kohtisuorassa suoraa $2x + y = 0$ vastaan.

Piirrä kuviot.
[Pitkä K2002/1]

  1. $y = 2$
  2. $x = 1$
  3. $y = 3-x$
  4. $x-2y+3 = 0$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.