Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA5 - Analyyttinen geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Etäisyys

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt määrittämään pisteiden välisiä etäisyyksiä sekä lukusuoralla että tasossa. Osaat

  • päätellä luvun itseisarvon
  • ilmaista itseisarvon avulla kahden luvun välisen etäisyyden lukusuoralla
  • käyttää tulon ja osamäärän itseisarvoihin liittyviä laskusääntöjä
  • laskea tason kahden pisteen välisen etäisyyden
  • määrittää janan keskipisteen koordinaatit.

Lukusuoraan tutustuttiin jo kurssilla MAY1. Jokaista lukusuoran pistettä vastaa reaaliluku, ja jokaista reaalilukua vastaa lukusuoran piste.

Lukusuoran pisteiden välisten etäisyyksien ilmoittamiseen voidaan käyttää itseisarvoa, joka määritellään seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: ITSEISARVO

Luvun $a$ itseisarvo $\left|a\right|$ ilmaisee luvun $a$ etäisyyden luvusta nolla lukusuoralla.

Päättele alla olevan kuvan avulla seuraavat itseisarvot

  1. $\left|3\right|$
  2. $\left|-5\right|$
  3. $\left|0\right|$

  1. 3
  2. 5
  3. 0

Mikä ehto luvun $a$ pitää toteuttaa, jotta

  1. sen itseisarvo on sama kuin luku itse eli $\left|a\right| = a$
  2. sen itseisarvo on luvun $a$ vastaluku eli $\left|a\right| = -a$?

Edellisen tehtävän havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Luvun $a$ itseisarvolle pätee $$ \left|a\right| = \left\{\begin{aligned} &a, \quad \text{ jos $a \geq 0$} \\ -&a, \quad \text{ jos $a < 0$.} \end{aligned}\right. $$

Perustelu:

  • Jos luku $a$ on positiivinen tai nolla, on sen etäisyys luvusta nolla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvun $5$ etäisyys luvusta nolla on $5$.
  • Jos luku $a$ on negatiivinen, saadaan sen etäisyys luvusta nolla ilmaistua vastaluvun avulla. Esimerkiksi luvun $-9$ etäisyys luvusta nolla on $9 = -(-9)$.

Kahdella eri luvulla voi olla sama itseisarvo. Tätä ilmiötä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Piirrä vihkoosi lukusuora ja päättele sen avulla,

  1. minkä lukujen itseisarvo on $4$
  2. mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x\right| = 2$.

Seuraavan teoreeman mukaan lukujen itseisarvot ovat yhtä suuret, jos ja vain jos luvut ovat samat tai toistensa vastaluvut:

TEOREEMA

$\left|a\right| = \left|b\right|$, jos ja vain jos $a = b$ tai $a = -b$.

Perustelu:

  • Oletetaan, että $\left|a\right| = \left|b\right|$ eli lukujen $a$ ja $b$ itseisarvot ovat samat. Luvut $a$ ja $b$ ovat siten lukusuoralla yhtä kaukana luvusta nolla. Ne ovat siis samat tai toistensa vastaluvut. Toisin sanottuna $a = b$ tai $a = -b$.
  • Oletetaan, että $a = b$ tai $a = -b$. Tutkitaan kumpikin tapaus:
    • Jos $a = b$ eli luvut ovat samat, myös niiden itseisarvot ovat samat eli $\left|a\right| = \left|b\right|$.
    • Jos $a = -b$ eli luvut ovat toistensa vastaluvut, ne ovat lukusuoralla kuitenkin yhtä kaukana luvusta nolla. Siten niillä on sama itseisarvo eli $\left|a\right| = \left|b\right|$.

Luvun itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tutkitaan seuraavaksi, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista kahden nollasta poikkeavan luvun välinen etäisyys.

Päättele lukujen $m$ ja $n$ välinen etäisyys lukusuoralla ja vertaa sitä lukujen erotuksen itseisarvoon $\left|m-n\right|$, jos

  1. $m = 12$ ja $n = 7$
  2. $m = 5$ ja $n = 8$
  3. $m = -3$ ja $n = 6$.

Kerro omin sanoin, mitä havaitset.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys lukusuoralla on $\left|a-b\right|$.

Perustelu: Tutkitaan erikseen kolme mahdollista tapausta:

  1. Oletetaan, että $a > b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $a-b$:
    Toisaalta erotus $a-b$ on positiivinen, joten $\left|a-b\right| = a-b$.
  2. Oletetaan, että $a = b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $0$:
    Toisaalta erotus $a - b = 0$, joten $\left|a-b\right| = \left|0\right| = 0$.
  3. Oletetaan, että $a < b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $b-a$:
    Toisaalta erotus $a-b$ on negatiivinen, joten \begin{align*} \left|a-b\right| &= -(a-b) \\ &= -a+b \\ &= b-a. \end{align*}

Havaitaan, että kaikissa tapaukissa lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on yhtä suuri kuin erotuksen $a-b$ itseisarvo $\left|a-b\right|$.

Määritä teoreeman 3 avulla

  1. lukujen $-671$ ja $-176$ välinen etäisyys
  2. lukujen $-\dfrac{3}{8}$ ja $\dfrac{7}{10}$ välinen etäisyys.

  1. 495
  2. $\dfrac{43}{40}$

Tehtävänä on määrittää lukujen $a = 7 - 5\sqrt{3}$ ja $b = 4-\sqrt{3}$ välisen etäisyyden tarkka arvo sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Sievennä erotus $a-b$.
  2. Tutki laskimen avulla, onko erotus $a-b$ positiivinen vai negatiivinen. Poista tämän tiedon avulla itseisarvomerkit lausekkeesta $\left|a-b\right|$.
    Vinkki: teoreema 1.
  3. Mikä on lukujen $a$ ja $b$ välisen etäisyyden tarkka arvo? Entä likiarvo?

  1. Tarkka arvo on $4\sqrt{3}-3$.

Tutkitaan lopuksi vielä hiukan itseisarvojen ominaisuuksia. Joissakin tilanteissa joudutaan tarkastelemaan tulojen tai osamäärien itseisarvoja. Esimerkiksi lukujen $5k-n$ ja $8k-4n$ väliseksi etäisyydeksi saadaan \begin{align*} \left|(5k-n) - (8k-4n)\right| &= \left|5k-8k - n + 4n\right| \\ &= \left|-3k + 3n\right| \\ &= \left|-3(k-n)\right| \end{align*} Miten suuri tämä etäisyys on verrattuna lukujen $k$ ja $n$ väliseen etäisyyteen $\left|k-n\right|$? Tähän kysymykseen vastaamisessa auttaa seuraava teoreema:

TEOREEMA

Tulon itseisarvo on yhtä suuri kuin itseisarvojen tulo: $$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$$ Osamäärän itseisarvo on yhtä suuri kuin itseisarvojen osamäärä: $$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$$

Perustelu: Molemmat yhtälöt voidaan perustella teoreeman 1 avulla tutkimalla neljä mahdollista tapausta:

  1. $a \geq 0$ ja $b \geq 0$
  2. $a \geq 0$ ja $b < 0$
  3. $a < 0$ ja $b \geq 0$
  4. $a < 0$ ja $b < 0$.

Huomaa, että osamäärää koskevassa yhtälössä $b \neq 0$, sillä muuten osamäärä ei ole määritelty.

Tarkastellaan malliksi tulon itseisarvon tapaus 2:
Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b < 0$. Tällöin teoreeman 1 mukaan \begin{align*} \left|a\right| &= a \\ \left|b\right| &= -b, \end{align*} joten $$\left|a\right|\left|b\right| = a \cdot (-b) = \textcolor{red}{-ab}.$$ Toisaalta koska $a \geq 0$ ja $b < 0$, niin $ab \leq 0$ ja teoreeman 1 mukaan $$\left|ab\right| = \textcolor{red}{-ab}.$$ Siis tässä tapauksessa $$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|.$$

Lukujen $5k-n$ ja $8k-4n$ väliseksi etäisyydeksi laskettiin edellä $$\left|(5k-n) - (8k-4n)\right| = \left|-3(k-n)\right|.$$ Kuinka suuri tämä etäisyys on verrattuna lukujen $k$ ja $n$ väliseen etäisyyteen $\left|k-n\right|$? Hyödynnä teoreemaa 4.

Kolminkertainen.

Tason pisteiden välinen etäisyys voidaan usein laskea MAA3-kurssista tutun Pythagoraan lauseen avulla.

Tehtävänä on laskea kuvassa näkyvien pisteiden $A$ ja $B$ välinen etäisyys.

  1. Piirrä vastaava kuva vihkoosi. Yhdistä pisteet $A$ ja $B$ janalla.
  2. Piirrä kuvaan suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja jonka hypotenuusa on jana $AB$.
  3. Selvitä pisteiden $A$ ja $B$ välinen etäisyys eli janan $AB$ pituus Pythagoraan lauseen avulla.

Seuraavassa teoreemassa johdetaan lauseke tason pisteiden väliselle etäisyydelle MAA4-kurssista tutun vektorin pituuden avulla.

TEOREEMA

Pisteiden $P = (x_1,y_1)$ ja $Q = (x_2,y_2)$ välinen etäisyys eli janan $PQ$ pituus on $$ \left|PQ\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Perustelu: Muodostetaan vektori pisteestä $P$ pisteeseen $Q$: $$ \pv{PQ} = (x_2-x_1)\vi + (y_2-y_1)\vj. $$ Tämän vektorin pituus on $$ \left|\pv{PQ}\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Laske pisteiden $A$ ja $B$ välinen etäisyys, jos

  1. $A = (-15,25)\ $ ja $\ B = (13,-20)$
  2. $A = (11,-3)\ $ ja $\ B = (11,7)$
  3. $A = (-18,-2)\ $ ja $\ B = (-21,4)$.

  1. $\left|AB\right| = 53$
  2. $\left|AB\right| = 10$
  3. $\left|AB\right| = 3\sqrt{5}$

Tehtävänä on määrittää ne $y$-akselin pisteet, joiden etäisyys pisteestä $(6,4)$ on 10.

  1. Jos piste on $y$-akselilla, mitä voit päätellä sen $x$-koordinaatista?
  2. Muodosta lauseke $y$-akselin pisteen etäisyydelle pisteestä $(6,4)$.
  3. Määritä ne $y$-akselin pisteet, joiden etäisyys pisteestä $(6,4)$ on 10.
  4. Tarkista vastauksesi järkevyys hahmottelemalla tilanteesta kuva. Löysitkö kaikki sopivat pisteet?

  1. $(0,12)$ ja $(0,-4)$

Tarkastele alla näkyvää janaa $PQ$.

  1. Päättele kuvan avulla, mitkä ovat janan $PQ$ keskipisteen koordinaatit.
  2. Miten saisit laskettua janan keskipisteen $x$-koordinaatin sen päätepisteiden $x$-koordinaateista?
  3. Miten saisit laskettua janan keskipisteen $y$-koordinaatin sen päätepisteiden $y$-koordinaateista?

Vektoreiden avulla voidaan johtaa myös lausekkeet janan keskipisteen koordinaateille:

TEOREEMA

Pisteitä $P = (x_1,y_1)$ ja $Q = (x_2,y_2)$ yhdistävän janan keskipisteen $C$ koordinaatit ovat päätepisteiden koordinaattien keskiarvot: $$ C = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). $$

Perustelu: Muodostetaan pisteen $C$ paikkavektori \begin{align*} \pv{OC} &= \pv{OP} + \frac{1}{2}\pv{PQ}. \end{align*} Kun siihen sijoitetaan \begin{align*} \pv{OP} &= x_1\vi + y_1\vj \\ \pv{PQ} &= (x_2-x_1)\vi + (y_2-y_1)\vj, \end{align*} paikkavektoriksi saadaan sievennyksen jälkeen \begin{align*} \pv{OC} &= \frac{1}{2}(x_1+x_2)\vi + \frac{1}{2}(y_1 + y_2)\vj. \end{align*} Paikkavektorista voidaan lukea pisteen $C$ koordinaatit. Siis $$ C = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). $$

Laske janan $AB$ keskipiste, jos

  1. $A = (-1,-2)\ $ ja $\ B = (-8,3)$
  2. $A = (-3\sqrt{2},-1)\ $ ja $\ B = (9\sqrt{2},5)$.

  1. $\left(-\frac{9}{2}, \frac{1}{2}\right)$
  2. $\left(3\sqrt{2}, 2\right)$

Itseisarvo

Laske lukujen $-\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{5}{6}$

  1. itseisarvojen erotus
  2. erotuksen itseisarvo.

Mikä on lukujen $-\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{5}{6}$ välinen etäisyys?

  1. $-\frac{1}{12}$
  2. $\frac{19}{12}$, joka on myös lukujen $-\frac{3}{4}$ ja $\frac{5}{6}$ välinen etäisyys.

Itseisarvo

Merkitse ja määritä seuraavien lukujen itseisarvot:

  1. $-9$
  2. $\sqrt{2} - 1$
  3. $3 - \sqrt{10}$

Vinkki: teoreema 1.

  1. $\left|-9\right| = 9$
  2. $\left|\sqrt{2} - 1\right| = \sqrt{2} - 1$
  3. $\left|3 - \sqrt{10}\right| = \sqrt{10} - 3$

Itseisarvo

Määritä päättelemällä ne luvut, joiden itseisarvo on

  1. $8$
  2. $\pi$
  3. $\sqrt{5}+4$
  4. $\sqrt{5}-3$

  1. Sopivia lukuja ovat $8$ ja $-8$.
  2. Sopivia lukuja ovat $\pi$ ja $-\pi$.
  3. Sopivia lukuja ovat $\sqrt{5}+4$ ja $-(\sqrt{5}+4) = -\sqrt{5}-4$.
  4. Tällaisia lukuja ei ole olemassa, sillä $\sqrt{5} - 3 < 0$.

Itseisarvo

Millä vakion $b$ arvolla luvun $3b + 6$ itseisarvo on

  1. $3b + 6$
  2. $-3b-6$
  3. $3b-6$?

  1. Jos $b \geq -2$.
  2. Jos $b \leq -2$.
  3. Ei millään.

Etäisyys lukusuoralla

Ilmaise itseisarvon avulla seuraavien lukujen välinen etäisyys. Määritä sen jälkeen etäisyyden tarkka arvo.

  1. $3\ $ ja $\ 4{,}5$
  2. $\dfrac{5}{3}\ $ ja $\,-\dfrac{17}{7}$
  3. $\sqrt{2} + 1\ $ ja $\ 3\sqrt{2} - 6$

  1. $\left| 3 - 4{,}5\right| = 1{,}5$
  2. $\left| \frac{5}{3} - \left(-\frac{17}{7}\right)\right| = \frac{86}{21}$
  3. $\left| \sqrt{2} + 1 - (3\sqrt{2} - 6)\right| = 7 - 2\sqrt{2}$

Etäisyys lukusuoralla

Osoita, että lukujen $3a-2b$ ja $9a-8b$ etäisyys on kuusi kertaa niin suuri kuin lukujen $a$ ja $b$ etäisyys.

Kertaa teoreema 4 ja tehtävä 1.7.

Etäisyys lukusuoralla

Ilmaise ehto itseisarvon avulla yhtälönä tai epäyhtälönä. Päättele, mitkä luvut toteuttavat ehdon.

  1. Luvun $x$ etäisyys luvusta $17$ on $13$.
  2. Luvun $x$ etäisyys luvusta $-4$ on suurempi kuin $3$.
  3. Luvun $x$ etäisyys luvusta $9$ on pienempi tai yhtä suuri kuin $10$.

  1. $\left| x - 17 \right| = 13$, $\quad x = 4$ tai $x = 30$
  2. $\left| x - (-4) \right| > 3$, $\quad x > -1$ tai $x < -7$
  3. $\left| x - 9 \right| \leq 10$, $\quad -1 < x < 19$

Etäisyys tasossa

Kolmion kärkipisteet ovat $A = (0,6)$, $B = (1,-3)$ ja $C = (-4,1)$. Onko kolmio tasakylkinen?

Kolmio on tasakylkinen, sillä siinä on kaksi yhtä pitkää sivua.

Etäisyys tasossa

Millä vakion $a$ arvolla pisteiden $(a,3)$ ja $(2,-1)$ välinen etäisyys on $5$?

$a = 5$ tai $a = -1$.

Etäisyys tasossa

Pisteen $P$ $x$- ja $y$-koordinaatit ovat yhtä suuret, ja pisteen $P$ etäisyys pisteestä $(0,2)$ on $\sqrt{34}$. Määritä piste $P$.

$P = (5,5)$ tai $P = (-3,-3)$

Ilmaise itseisarvon avulla

  1. $\sqrt{(-3)^2}$
  2. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$
  3. $\sqrt{(a+b)^2}$

  1. $\sqrt{(-3)^2} = \left|-3\right|$
  2. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = \left|2-\sqrt{5}\right|$
  3. $\sqrt{(a+b)^2} = \left|a + b\right|$

Kolmion $ABC$ kärkipisteet ovat $A = (-2,5)$, $B = (-2,-1)$ ja $C = (4,3)$. Kolmion keskijana yhdistää kolmion kärkipisteen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Kuinka pitkä kärjestä $A$ piirretty kolmion keskijana on?

Keskijanan pituus on 5.

Hannan koti on kartan koordinaatiston pisteessä $(4,4)$ ja Tommin koti pisteessä $(9,-1)$. He kulkevat illalla kotiin pitkin tietä, joka vastaa koordinaatiston $x$-akselia, ja sopivat eroavansa toisistaan kohdassa, joka on yhtä kaukana kummankin kodista. Missä pisteessä he eroavat toisistaan?

Pisteessä $(5,0)$.

Olkoon $O$ origo ja $A = (5,0)$. Valitaan negatiiviselta $x$-akselilta piste $P$. Piirretään $x$-akselin alapuolelle neliö $OPBC$ ja $x$-akselin yläpuolelle neliö $APDE$. Osoita, että kaikilla näin saaduilla janoilla $CE$ on sama keskipiste.
Vinkki: muista, että esimerkiksi neliössä $OPBC$ kärkipisteet seuraavat toisiaan järjestyksessä $O$, $P$, $B$ ja $C$.

Piste $C$ on negatiivisella $y$-akselilla, joten se on muotoa $(0,-c)$. Tällöin $E = (5,5+c)$. Janan $CE$ keskipiste on $(2{,}5;\, 2{,}5)$.

Ilmaise seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä:

  1. $\left|4x+8\right|$
  2. $\left|2-3x\right|$

Vinkki: teoreema 1.

  1. $$ \begin{cases} -4x - 8, &\text{ jos $x < -2$}\\ \phantom{-}4x + 8, &\text{ jos $x \geq -2$} \end{cases} $$
  2. $$ \begin{cases} \phantom{-}2-3x, &\text{ jos $x \leq \frac{2}{3}$} \\ -2 + 3x, &\text{ jos $x > \frac{2}{3}$} \end{cases} $$

Ilmaise seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä:

  1. $\left|3x^2-2x-1\right|$
  2. $2x-x\left|2-x\right|$

  1. $$ \begin{cases} \phantom{-}3x^2-2x-1, &\text{ jos $x \leq -\frac{1}{2}$ tai $x \geq 1$} \\ -3x^2 + 2x + 1, &\text{ jos $-\frac{1}{2} < x < 1$} \end{cases} $$
  2. $$ \begin{cases} \phantom{-}x^2, &\text{ jos $x \leq 2$} \\ -x^2 + 4x, &\text{ jos $x > 2$} \end{cases} $$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.