Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Luvut ja laskutoimitukset

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Luvut ja laskutoimitukset

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset reaalilukujen peruslaskutoimitukset ja laskujärjestyksen. Osaat

  • antaa esimerkkejä eri lukualueisiin kuuluvista luvuista
  • päätellä lopputuloksen etumerkin yhteen- ja vähennyslaskussa sekä kerto- ja jakolaskussa
  • laskea murtolukujen summia, erotuksia, tuloja ja osamääriä
  • muodostaa annetun luvun vastaluvun ja käänteisluvun
  • muuttaa sekaluvun tai desimaalimuodossa esitetyn rationaaliluvun murtolukumuotoon
  • hyödyntää reaalilukujen laskulakeja päässälaskujen helpottamisessa.

Lisäksi tiedät, että määritelmä on matematiikassa sopimus siitä, mitä jollakin käsitteellä tarkoitetaan.

Aloitamme tämän kappaleen tekemällä sopimuksen siitä, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan luonnollisista luvuista. Tällaista sopimusta siitä, mitä jokin nimitys tarkoittaa, sanotaan matematiikassa määritelmäksi. Luonnollisten lukujen määritelmä siis kertoo, mitä luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan.

MÄÄRITELMÄ: LUONNOLLISET LUVUT

Lukumäärien ilmaisemiseen käytettäviä lukuja $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi. Luonnollisten lukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\N$. Siis $$\N = \{0,1,2,3,4, \ldots\}.$$

Luonnollisten lukujen määritelmästä on kaksi erilaista versiota. Tällä kurssilla käytetään edellä esitettyä määritelmää, jonka mukaan myös luku $0$ on luonnollinen luku. Joissakin kirjoissa käytössä on määritelmä, jossa luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan lukuja $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$. Siitä, kumpi määritelmä on parempi, ei ole päästy yksimielisyyteen.

Luonnollisia lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, ja tulos on aina luonnollinen luku. Vähennyslaskun ja jakolaskun tulokset sen sijaan eivät välttämättä ole luonnollisia lukuja. Jotta kaikki vähennyslaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä luonnollisten lukujen joukosta kokonaislukujen joukkoon.

  1. Tee piirros, joka havainnollistaa laskutoimitusta $2 + 4$.
  2. Tee piirros, joka havainnollistaa laskutoimitusta $2 \cdot 3$.
  3. Tee piirros, joka havainnollistaa laskutoimitusta $3 \cdot 2$.
  4. Mitä eroa b- ja c-kohtien laskuilla on? Entä mitä yhteistä niillä on?

  1. Keksi esimerkki luonnollisista luvuista $m$ ja $n$, joilla erotus $m-n$ on luonnollinen luku.
  2. Keksi esimerkki luonnollisista luvuista $m$ ja $n$, joilla erotus $m-n$ ei ole luonnollinen luku.
  3. Mikä ehto lukujen $m$ ja $n$ pitää toteuttaa, jotta erotus $m-n$ on luonnollinen luku? Selitä omin sanoin.

Sovitaan seuraavaksi, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan kokonaisluvuista:

MÄÄRITELMÄ: KOKONAISLUVUT

Kokonaislukuja ovat luvut $0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$, $4$, $-4$, $\ldots$. Kokonaislukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\Z$. Siis $$\Z = \{0,1,-1, 2, -2, 3, -3, \ldots\}.$$

Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Tarkastellaan aluksi summaa $3 + 4$ ja erotusta $3-4$. Luvun $4$ lisääminen vastaa lukusuoralla siirtymistä neljä yksikköä oikealle:

Luvun $4$ vähentäminen vastaa puolestaan siirtymistä neljä yksikköä vasemmalle:

Havainnollista lukusuoralla samaan tapaan kuin edellä

  1. summaa $-2+5$
  2. erotusta $-2-5$.

Entä miten tulkitaan summa $3+(-4)$? Negatiivisen luvun lisääminen tulkitaan vähennyslaskuna: $$3+(-4) = 3-4.$$

Tämä on järkevä tulkinta myös siksi, että arkijärjenkin mukaan laskuista $3+4$ ja $3+(-4)$ täytyy tulla eri tulos. Jos lukuun $3$ lisätään luku $4$, liikutaan lukusuoraa oikealle. Jos lukuun $3$ lisätään luku $-4$, on tällöin loogista liikkua lukusuoraa vasemmalle.

Tarkastellaan vielä erotusta $3-(-4)$. Edellä todettiin, että jos lukuun $3$ lisätään luku $-4$, liikutaan lukusuoraa vasemmalle. Nyt luvusta $3$ vähennetään sama luku $-4$, joten on loogista liikkua lukusuoraa päinvastaiseen suuntaan eli oikealle. Negatiivisen luvun vähentäminen antaa siis saman tuloksen kuin positiviisen luvun lisääminen: $$3-(-4) = 3+4.$$

Havainnollista lukusuoralla samaan tapaan kuin edellä

  1. summaa $-2+(-5)$
  2. erotusta $-2-(-5)$.

Kokonaislukujen joukossa kaikilla luvuilla on olemassa niin sanottu vastaluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä vastaluku tarkoittaa:

MÄÄRITELMÄ: VASTALUKU

Luvun $a$ vastaluku $-a$ tarkoittaa lukua, joka lisättynä lukuun $a$ antaa tuloksen $0$: $$a + (-a) = 0.$$

  1. Mikä on luvun $3$ vastaluku?
  2. Mikä on luvun $-6$ vastaluku? Kirjoita vastaus kahdella erilaisella tavalla.
  3. Merkitse kaikki a- ja b-kohtien luvut lukusuoralle. Vertaa luvun ja sen vastaluvun etäisyyttä nollaan. Mitä voit sanoa siitä? Selitä omin sanoin.

Vastaluvun avulla erotus voidaan muuttaa summaksi, sillä kuten edellä todettiin, vastaluvun lisääminen vastaa vähennyslaskua: $3-4 = 3+(-4)$. Toisaalta summa voidaan muuttaa erotukseksi, sillä vastaluvun vähentäminen vastaa yhteenlaskua: $3+4 = 3-(-4)$.

  1. Kirjoita erotukset $15-(-8)$ ja $-23-4$ summina. Tarkista laskemalla tulokset.
  2. Kirjoita summat $75+(-32)$ ja $843+59$ erotuksina. Tarkista laskemalla tulokset.
  3. Muodosta sääntö, jolla voit kirjoittaa erotuksen $a-b$ summana.
  4. Muodosta sääntö, jolla voit kirjoittaa summan $a+b$ erotuksena.

Myös kokonaislukujen kertolaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Esimerkiksi tuloja $2\cdot 3$ ja $2\cdot (-3)$ on havainnollistettu alla:

Entä miten päätellä sellaisten tulojen etumerkki, joissa ensimmäinen tulon tekijä on negatiivinen? Se onnistuu vastaluvun käsitteen avulla. Esimerkiksi tuloa $-2 \cdot 3$ voidaan ajatella edellä havainnollistetun tulon $2\cdot 3$ vastalukuna, joten $$-2 \cdot 3 = -6.$$ Tuloa $-2\cdot (-3)$ voidaan puolestaan ajatella edellä havainnollistetun tulon $2\cdot (-3)$ vastalukuna, joten $$-2\cdot (-3) = -(-6) = 6.$$

  1. Keksi kaksi erilaista tilannetta, joissa kertolaskun $ab$ tulos on positiivinen.
  2. Keksi kaksi erilaista tilannetta, joissa kertolaskun $ab$ tulos on negatiivinen.
  3. Selitä omin sanoin, milloin kertolaskun $ab$ tulos on positiivinen ja milloin negatiivinen.
  4. Millaisissa tilanteissa kertolaskun $ab$ tulos on nolla?

Laske seuraavat tulot:

  1. $7 \cdot 4$
  2. $-8 \cdot (-7)$
  3. $-5 \cdot 4$
  4. $9 \cdot (-3)$

Voit tarkistaa tulokset laskimella.

Kokonaislukujen summat, erotukset ja tulot ovat aina kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun osamäärä sen sijaan ei välttämättä ole kokonaisluku. Jotta kaikki jakolaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä kokonaislukujen joukosta rationaalilukujen joukkoon.

Keksi esimerkki kokonaisluvuista $m$ ja $n$, joilla osamäärä $\dfrac{m}{n}$

  1. on kokonaisluku.
  2. ei ole kokonaisluku.
  3. Mikä ehto lukujen $m$ ja $n$ pitää toteuttaa, jotta tarkasteltu osamäärä on kokonaisluku? Selitä omin sanoin.

MÄÄRITELMÄ: RATIONAALILUVUT

Rationaalilukuja ovat luvut, jotka voidaan kirjoittaa murtolukumuodossa $$\frac{m}{n},$$ missä osoittaja $m$ ja nimittäjä $n$ ovat kokonaislukuja ja $n \neq 0$.
Rationaalilukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\Q$.

Ovatko seuraavat luvut rationaalilukuja? Esitä ne murtolukumuodossa, jos mahdollista.

  1. $3$
  2. $0{,}5$
  3. $-0{,}1$
  4. $0{,}75$.

  1. Kyllä, esimerkiksi $3 = \dfrac{3}{1}$.
  2. Kyllä, esimerkiksi $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$.
  3. Kyllä, esimerkiksi $-0{,}1 = -\dfrac{1}{10}$
  4. Kyllä, esimerkiksi $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$.

Jos murtolukumuodossa esitettyjä rationaalilukuja lasketaan yhteen, pitää luvut ensin laventaa samannimisiksi. Tarkastellaan esimerkiksi summaa $$\dfrac{3}{8} + \frac{5}{6}.$$ Sitä voidaan havainnollistaa piirroksella: Jaetaan ensimmäinen suorakulmio pystysuunnassa kuuteen osaan ja toinen suorakulmio vaakasuunnassa kahdeksaan osaan, jolloin tilanne näyttää tältä: Tämä vastaa yhteenlaskettavien laventamista samannimisiksi: \begin{align*} \dfrac{3}{8} + \frac{5}{6} &= \dfrac{6\cdot 3}{6\cdot 8} + \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 6} \\[2mm] &= \dfrac{18}{48} + \frac{40}{48} \end{align*} Kumpikin suorakulmio tulee jaetuksi $48$ osaan, mutta väritetyn osan pinta-ala pysyy samana. Nähdään, että sinisellä on väritetty yhteensä $\frac{58}{48}$ suorakulmion pinta-alasta.

Järjestetään palat uudelleen siirtämällä mahdollisimman monta väritettyä palaa ensimmäiseen suorakulmioon, jolloin havaitaan, että joka toinen vaakasuuntainen jakoviiva voidaan jättää pois:
Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} + \frac{5}{6} &= \dfrac{58}{48} \\[2mm] &=\dfrac{2\cdot 29}{2 \cdot 24} \\[2mm] &=\dfrac{29}{24} \end{align*} Luku $29$ ei ole jaollinen millään ykköstä suuremmalla luvulla paitsi itsellään, joten supistamista ei voi jatkaa tämän pidemmälle.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{6}$
  2. $\dfrac{9}{4} + \dfrac{8}{9}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Supista seuraavat luvut mahdollisimman pitkälle ja kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{2}{4}$
  2. $\dfrac{8}{12}$
  3. $\dfrac{15}{35}$
  4. $\dfrac{20}{100}$.

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Kaksi opiskelijaa treenasi murtoluvuilla laskemista. Opiskelija A laski oman tehtävänsä seuraavasti: $$\frac{6+8}{3} = 2 + 8 = 10.$$ Opiskelija B puolestaan laski oman tehtävänsä näin $$\frac{6\cdot 8}{3} = 2\cdot 8 = 16.$$

  1. Mitä eroa opiskelijoiden A ja B tehtävillä oli? Selitä omin sanoin.
  2. Kumpi heistä päätyi oikeaan lopputulokseen omassa laskussaan? Missä toinen teki virheen?
  3. Kirjoita ohje, jonka avulla tällaisilta virheiltä vältytään jatkossa.

Murtolukujen vähennyslasku noudattaa samoja periaatteita kuin yhteenlasku: vähennettävä ja vähentäjä lavennetaan aina samannimisiksi ennen erotuksen laskemista.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$
  2. $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$
  3. $\dfrac{6}{7} - \dfrac{3}{5}$
  4. $\dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{9}$
  5. $\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{4}$
  6. $\dfrac{4}{9} - \dfrac{5}{12}$.

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua

  1. summa $\ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}$
  2. erotus $\ \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}$.

Voit selittää omin sanoin ja käyttää apuna edellisiä tehtäviä.

Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, voidaan tilanne palauttaa yhteenlaskuun. Esimerkiksi \begin{align*} 3 \cdot \frac{2}{7} &= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \\[2mm] &= \frac{2+2+2}{7} \\[2mm] &= \frac{3\cdot 2}{7} \\[2mm] &= \frac{6}{7}. \end{align*}

  1. Laske $\ 5\cdot \dfrac{2}{13}$.
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulo $$a \cdot \dfrac{b}{c}.$$

Tarkastellaan seuraavaksi tuloa $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6}$$ Tämä kertolasku voidaan tulkita niin, että otetaan kolme kahdeksasosaa luvusta $\frac{5}{6}$:

Ensimmäisessä suorakulmiossa sinisellä on väritetty viisi kuudesosaa koko suorakulmiosta. Toisessa vaiheessa tämä suorakulmio on jaettu kahdeksaan osaan vaakasuunnassa ja väritetty alue on jätetty näistä vain kolmeen alimpaan osaan. Näin jäljelle on jäänyt $\frac{15}{48}$ alkuperäisestä suorakulmiosta.

Väritetyt palat voidaan järjestää uudelleen, jolloin huomataan, että pystysuuntaisia jakoviivoja voidaan vähentää:

Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} &= \frac{15}{48} \\[2mm] &=\frac{3\cdot 5}{3\cdot 16} \\[2mm] &=\frac{5}{16} \end{align*}

Edellä pääteltiin, että $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48}.$$

  1. Selitä omin sanoin, mitä murtolukujen osoittajille ja nimittäjille pitää tehdä, että päätyy tällaiseen tulokseen.
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulo $$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}.$$

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin. Kannattaa miettiä jo hyvissä ajoin, onko supistaminen mahdollista.

  1. $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4}$
  2. $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{7}$
  3. $\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{7}{9}$
  4. $\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{8}$.

Voit tarkistaa vastauksesi laskimella.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTEISLUKU

Oletetaan, että $a$ on rationaaliluku ja $a \neq 0$. Luvun $a$ käänteisluku $$\frac{1}{a}$$ tarkoittaa lukua, joka luvulla $a$ kerrottuna antaa tuloksen $1$: $$a \cdot \frac{1}{a} = 1.$$

  1. Mikä on luvun $4$ käänteisluku? Anna vastaus murtolukumuodossa ja desimaalilukumuodossa.
  2. Mikä on luvun $\frac{2}{3}$ käänteisluku? Anna vastaus murtolukumuodossa ja desimaalilukumuodossa.

  1. $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$
  2. $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$

Tutkitaan vielä rationaalilukujen jakolaskua. Aloitetaan yksinkertaisesta tapauksesta: miten voi havainnollistaa jakolaskua $5:2$? Alla on kuvattu luku $5$ viitenä värillisenä neliönä. Kun luku $5$ jaetaan kahdella, katsotaan, kuinka monta kahden neliön kokoista suorakulmiota näistä värillisistä neliöistä voidaan muodostaa: Nähdään, että kahden neliön kokoisia suorakulmioita saadaan $2{,}5$. Siis $$\frac{5}{2} = 2{,}5.$$

Tarkastellaan seuraavaksi jakolaskua $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6}$$ Toimitaan samaan tapaan kuin edellä. Katsotaan, kuinka monta viittä kuudesosaa voidaan muodostaa kolmesta kahdeksasosasta: Siirretään kaikki värilliset palat punaisella rajatun viiden kuudesosan sisään ja katsotaan, kuinka iso osuus täyttyy: Tulos voidaan ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} : \frac{5}{6} &= \frac{18}{40} \\[2mm] &=\frac{2\cdot 9}{2\cdot 20} \\[2mm] &= \frac{9}{20}. \end{align*}

Edellä pääteltiin, että $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6} = \frac{18}{40}.$$

  1. Millä luvulla luku $\dfrac{3}{8}$ pitäisi kertoa, että tuloksena olisi $\dfrac{18}{40}$?
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan jakolasku $$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$$ muutetaan kertolaskuksi.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin. Kannattaa miettiä hyvissä ajoin, onko supistaminen mahdollista.

  1. $\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10}$
  2. $\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{3}$
  3. $\dfrac{2}{5} : \dfrac{1}{4}$
  4. $\dfrac{1}{4} : \dfrac{5}{8}$.

Voit tarkistaa vastauksesi laskimella tai tietokoneella.

Harjoittele murtoluvuilla laskemista tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Pelissä käytetään jakoviivana merkkiä /. Esimerkiksi yksi kolmasosa merkitään 1/3. Anna vastaukset mahdollisimman supistetussa muodossa.

Joskus murtolukujen yhteydessä esiintyy niin sanottuja sekalukuja. Esimerkiksi luku $\frac{7}{3}$ saatetaan ilmoittaa muodossa $$2\frac{1}{3}.$$ Tästä merkinnästä näkyy suoraan luvun kokonaisosa, joka on $2$. Sekaluku on oikeastaan lyhennysmerkintä summalle: $$2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$ Sekalukumuodossa annetut luvut kannattaakin aina muuttaa tavalliseen murtolukumuotoon ennen laskutoimituksia. Huomaa, että negatiivisen sekaluvun etumerkki vaikuttaa myös murtolukuosaan: \begin{align*} -7\frac{9}{10} &= -\left(7 + \frac{9}{10}\right) \\[2mm] &= -7 - \frac{9}{10} \\[2mm] &= -\frac{70}{10} - \frac{9}{10} \\[2mm] &= -\frac{79}{10}. \end{align*}

  1. Muuta luvut $4\dfrac{1}{2}\, $ ja $\, -6\dfrac{11}{46}$ murtolukumuotoon.
  2. Muuta luvut $\dfrac{12}{5}\, $ ja $\, -\dfrac{16}{6}$ sekalukumuotoon.

  1. $4\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\ $ ja $\ -6\dfrac{11}{46} = -\dfrac{287}{46}$
  2. $\dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5}\ $ ja $\ -\dfrac{16}{6} = -2\dfrac{2}{3}$

Rationaaliluvut voidaan murtolukumuodon lisäksi esittää desimaalimuodossa. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{3365}{673} &= 5 \\[2mm] \frac{45}{8} &= 5{,}625 \\[2mm] \frac{3}{22} &= 0{,}1363636363636\ldots \\ \end{align*} Rationaaliluvun desimaalimuoto voi siis olla päättyvä, tai päättymätön ja jaksollinen. Joillakin rationaaliluvuilla jakso on niin pitkä, että laskimen antama likiarvo näyttää jaksottomalta: esimerkiksi $$\frac{18}{295} = 0{,}061016949153\ldots$$ Voidaan kuitenkin osoittaa, että kaikki rationaalilukujen päättymättömät desimaalikehitelmät ovat jaksollisia.

Muuta murtolukumuotoon ja supista mahdollisimman pitkälle:

  1. $0{,}1$
  2. $0{,}64$
  3. $0{,}285$
  4. $2{,}376$.

Vinkki: Muista, että esimerkiksi $0{,}7 = \frac{7}{10}$.

  1. $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$
  2. $0{,}64 = \dfrac{64}{100} = \dfrac{16}{25}$
  3. $0{,}285 = \dfrac{57}{200}$
  4. $2{,}376 = \dfrac{297}{125}$.

Edes rationaaliluvut eivät riitä kaikkien asioiden mittaamiseen. Esimerkiksi alla kuvatun neliön, jonka sivun pituus on $1$, halkaisijan pituus $x$ on luku, jota ei voi esittää murtolukumuodossa.

Pythagoraan lauseen mukaan halkaisijan pituus saadaan yhtälöstä $$1^2 + 1^2 = x^2$$ eli $$x^2 = 2.$$ On kuitenkin mahdollista näyttää, että minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole $2$. Tästä voidaan päätellä, että halkaisijan pituus $x$ ei ole rationaaliluku.

Sitä positiivista lukua, jonka toinen potenssi on $2$, merkitään $\sqrt{2}$. Edellä tarkasteltu halkaisijan pituus on siis $x = \sqrt{2}$. Sille voidaan laskea likiarvo: $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

Luku $\sqrt{2}$ on yksi esimerkki irrationaaliluvusta eli lukusuoran luvusta, jota ei voi esittää murtolukumuodossa. Muita irrationaalilukuja ovat esimerkiksi $\sqrt{3}$ ja $\pi$.

Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon. Reaalilukujen joukkoa havainnollistetaan usein lukusuoralla, jonka jokainen piste esittää reaalilukua ja toisaalta jokaisella reaaliluvulla on vastinpisteensä.

Jokainen reaaliluku voidaan esittää desimaalimuodossa ainakin yhdellä tavalla. Kuten aikaisemmin todettiin, rationaalilukujen desimaalikehitelmät ovat päättyviä, tai päättymättömiä ja jaksollisia. Irrationaalilukujen desimaalikehitelmät puolestaan ovat päättymättömiä ja jaksottomia.

  1. Mitkä ovat luvun $\pi$ desimaalikehitelmän kymmenen ensimmäistä numeroa?
  2. Tutki esimerkiksi googlaamalla, kuinka monta numeroa luvun $\pi$ desimaalikehitelmästä on saatu laskettua.
  3. Minkä geometrisen suhteen luku $\pi$ ilmaisee?

Jotta laskutoimituksia yhdistettäessä ei tarvittaisi valtavaa määrää sulkuja laskujärjestyksen osoittamiseksi, on sovittu peruslaskutoimitusten laskujärjestys, jota kaikki reaaliluvut noudattavat. Miten sen mukaan lasketaan esimerkiksi seuraavan lausekkeen arvo? $$7-6^2:4 \cdot 2 + (3-8)^2 \cdot 9 +1$$ Laskujärjestys on seuraava:

  1. Ensimmäisenä lasketaan sulkulausekkeet. Jos lausekkeessa on useita sulkeita, laskeminen aloitetaan sisimmistä sulkeista ja edetään ulospäin. Esimerkkilausekkeemme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-6^2:4 \cdot 2 + (-5)^2 \cdot 9 +1.$$
  2. Seuraavaksi lasketaan potenssit. Esimerkkilausekkeemme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-36:4 \cdot 2 + 25 \cdot 9 +1.$$
  3. Tämän jälkeen lasketaan kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle. Esimerkkilausekkeemme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-18 + 225 +1.$$
  4. Viimeisenä lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Vastaukseksi saamme siis $$215.$$

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $8 \cdot 7 -48 :8 +4$
  2. $8 \cdot 7 -48 : (8+4)$
  3. $8 \cdot (7 -48 : 8 +4)$
  4. $8 \cdot 7 - (48 :8 +4)$

  1. $8 \cdot 7 -48 :8 +4 = 54$
  2. $8 \cdot 7 -48 : (8+4) = 52$
  3. $8 \cdot (7 -48 : 8 +4) = 40$
  4. $8 \cdot 7 - (48 :8 +4) = 46$

Harjoittele oikeaa laskujärjestystä tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Reaalilukujen yhteenlaskun tutut ominaisuudet on nimetty seuraavasti:

  • Vaihdannaisuus tarkoittaa, että yhteenlaskettavien järjestyksen voi vaihtaa: $$a + b = b + a.$$
  • Liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset yhteenlaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(a + b)+c = a + (b + c).$$ Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.
  • Osittelulain mukaan sulut voidaan kertoa auki tai voidaan erottaa yhteinen tekijä: $$a(b+c) = ab + ac.$$

Selitä omin sanoin, mitä tarkoittaa reaalilukujen kertolaskun

  1. vaihdannaisuus
  2. liitännäisyys.

Keksi lisäksi esimerkit, jotka havainnollistavat näitä ominaisuuksia.

Tehtävänä on muokata seuraavat laskut vaihdannaisuuden, liitännäisyyden ja osittelulain avulla sellaiseen muotoon, että ne on mahdollisimman helppo laskea päässä.

  1. Laske liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta hyödyntäen $917 + (856 + 83)$.
  2. Laske liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta hyödyntäen $(4\cdot 76) \cdot 250$.
  3. Laske osittelulakia hyödyntäen $769 \cdot 7 + 769 \cdot 3$.
  4. Laske osittelulakia hyödyntäen $25 \cdot 42$.

  1. $1000 + 856$
  2. $1000 \cdot 76$
  3. $769 \cdot 10$
  4. $25 \cdot 40 + 25\cdot 2 = 1000 + 50$

Summa ja erotus

Ilmaise luku $-5$ mahdollisimman monella tavalla summana tai erotuksena lukujen $4$ ja $9$ sekä niiden vastalukujen avulla. Keksitkö neljä erilaista tapaa?

Laskujärjestys

Laske päässä

  1. $20 - 3\cdot 4 + 5$
  2. $20 - (3\cdot 4 + 5)$
  3. $(20 - 3)\cdot 4 + 5$

Onko a-kohdan lausekkeeseen mahdollista lisätä sulkuja vielä jollakin tavalla niin, että tulos ei ole mikään edellisistä? Saat käyttää niin paljon sulkuja kuin haluat.

  1. 13
  2. 3
  3. 73

Vastaluku ja käänteisluku

Laske lukujen $3$ ja $-12$

  1. summan vastaluku
  2. vastalukujen erotus
  3. käänteislukujen tulo
  4. osamäärän käänteisluku.

  1. $9$
  2. $-15$
  3. $-\dfrac{1}{36}$
  4. $-4$.

Vastaluku

Keksi esimerkki luvusta $a$, jolla pätee

  1. $-a < a$
  2. $-a > a$
  3. $-a = a$.

Jakolasku ja kertolasku

Jakolasku ja kertolasku liittyvät toisiinsa seuraavasti: $$\frac{a}{b} = c,$$ jos ja vain jos $a = bc$. Tarkista kertolaskun avulla, ovatko seuraavat jakolaskut oikein:

  1. $\dfrac{56}{7} = 8$
  2. $\dfrac{682}{16} = 42$
  3. $\dfrac{3}{0} = 1$

Onko c-kohdan jakolasku mahdollista korjata oikeaksi vaihtamalla luvun $1$ paikalle jokin toinen luku? Selitä omin sanoin.

  1. oikein
  2. väärin
  3. väärin

Rationaaliluvut

Järjestä seuraavat luvut pienimmästä suurimpaan: $$\frac{2}{3},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{7}{10}, \,\frac{4}{15}.$$

$$\frac{4}{15},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{2}{3},\, \frac{7}{10}.$$

Lukualueet

  1. Keksi jokin kokonaisluku, joka ei ole luonnollinen luku.
  2. Keksi jokin rationaaliluku, joka on myös luonnollinen luku.
  3. Keksi jokin rationaaliluku, joka ei ole kokonaisluku.
  4. Onko mahdollista keksiä sellainen kokonaisluku, joka ei ole rationaaliluku?

Kertolasku ja supistaminen

Laske seuraavat tulot. Supista ennen kertolaskujen laskemista, niin selviät helpommalla.

  1. $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{7}$
  2. $\dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{3}{16}$
  3. $\dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{6}{25}$.

  1. $\frac{2}{7}$
  2. $\frac{1}{40}$
  3. $\frac{4}{15}$

Murtolukujen kertolasku

Laske, kuinka paljon on

  1. kaksi viidesosaa luvusta $\dfrac{3}{4}$
  2. kolmasosa luvusta $\dfrac{5}{7}$
  3. neljä viidestoistaosaa luvusta $\dfrac{5}{12}$.

  1. $\frac{3}{10}$
  2. $\frac{5}{21}$
  3. $\frac{1}{9}$

Tulot ja osamäärät

Merkitse "viidesosa luvusta $a$"

  1. osamääränä
  2. tulona.

  1. $\dfrac{a}{5}$
  2. $\dfrac{1}{5}a$

Murtolukujen jakolasku

Laske

  1. $\dfrac{2}{5} : \dfrac{3}{7}$
  2. $\dfrac{3}{10} : \dfrac{3}{4}$
  3. $\dfrac{5}{8} : \dfrac{1}{6}$.

  1. $\frac{14}{15}$
  2. $\frac{2}{5}$
  3. $\frac{15}{4}$

Murtolukujen jakolasku

Muuta kokonaisluku murtolukumuotoon ja laske

  1. $\dfrac{2}{3} : 10$
  2. $4 : \dfrac{3}{8}$
  3. $\dfrac{2}{7} : (-6)$.

  1. $\frac{1}{15}$
  2. $\frac{32}{3}$
  3. $-\frac{1}{21}$

Rationaaliluvun desimaalimuoto

Kirjoita seuraavat luvut desimaalimuodossa. Jos desimaalikehitelmä on päättymätön, kirjoita lisäksi näkyviin, mikä sen jakso on.

  1. $\dfrac{9}{10}$
  2. $\dfrac{5}{11}$
  3. $\dfrac{7}{12}$
  4. $\dfrac{2}{7}$.

  1. $0{,}9$
  2. $0{,}454545454545\ldots$, jakso $45$
  3. $0{,}583333333333\ldots$, jakso $3$
  4. $0{,}285714285714\ldots$, jakso $285714$

Desimaalimuodosta murtolukumuotoon

Tehtävänä on muuttaa luku $q = 0{,}618181818\ldots$ murtolukumuotoon.

  1. Kerro luku $q$ luvulla $100$.
  2. Laske erotus $100q-q$. Onko sen desimaalimuoto päättyvä vai päättymätön?
  3. Mitä on $99q$? Ratkaise saamastasi yhtälöstä luvun $q$ murtolukumuoto. Tarvittaessa lavenna niin, että sekä osoittaja että nimittäjä ovat kokonaislukuja. Supista lopuksi, jos mahdollista.

Desimaalimuodosta murtolukumuotoon

Sovella edellisen tehtävän menetelmää ja muuta luku $q = 0{,}9999999\ldots$ murtolukumuotoon.

Laskulait

Keksi esimerkki, joka osoittaa, että reaalilukujen vähennyslasku ei ole

  1. vaihdannainen
  2. liitännäinen.

Reaalilukujen desimaalikehitelmät

Keksi jokin reaaliluku, jolla on kaksi erilaista desimaalikehitelmää. Millaiset ne ovat?
Vinkki: tehtävä 1.44.

Jussi laskee päässä kertolaskun seuraavasti: \begin{align*} 27 \cdot 31 &= 20 \cdot 30 + 7 \cdot 30 + 20 \cdot 1+7 \cdot 1 \\ &= 600 + 210 + 20 + 7 \\ &= 837. \end{align*} Onko Jussin päättely oikein? Perustele.
[Lyhyt K2016/2c]

Jussi on käyttänyt sääntöä $(10a + b)(10c + d) = 10c\cdot 10a + 10cb + 10ad + bd$, joka on pätevä.

Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää 21,90 €, Sannan jäädessä 28,20 € ja matkan loppusumma on 33,50 €. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan?
[Lyhyt K2013/4]

Alpo maksaa 7,30 €; Sanna maksaa 10,45 € ja Pauli maksaa 15,75 €.

Muuta sekaluvut murtolukumuotoon ja laske sen jälkeen:

  1. $2\dfrac{1}{2}- 1\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{3}{4}$
  2. $\left(1\dfrac{1}{2}- 3\dfrac{1}{4}\right)\cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{14}{15}$
  3. $\left(4\dfrac{3}{5}- 2\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{5}{4}\right) : \dfrac{2}{7}$.

  1. $\frac{13}{18}$
  2. $-\frac{3}{2}$
  3. $\frac{61}{10}$

Laske

  1. luvun $-1$ vastaluvun ja luvun $5$ käänteisluvun keskiarvo. [Lyhyt S2015/1a]
  2. lukujen $\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{6}{5}$ käänteislukujen keskiarvo. [Lyhyt K2013/1b]

  1. $\frac{3}{5}$
  2. $\frac{13}{12}$

Osoita, että luvut $$\frac{\sqrt{6}}{3} \text{ ja } \frac{\sqrt{6}}{2}$$ ovat toistensa käänteislukuja.
[Pitkä K2016/2b]

Laske tutkittavien lukujen tulo. Saatko tulokseksi luvun 1?

Tarkastellaan muotoa $\dfrac{m}{n}$ olevia lukuja, kun $m \in \left\{-1,0,1,2\right\}$ ja $n \in \left\{2,3,4\right\}$. Määritä näistä luvuista suurin ja pienin.
[Pitkä S2015/1c]

Suurin on $1$, pienin on $-\frac{1}{2}$.

Mikä seuraavista on luvun $-a+b$ vastaluku?

  1. $b-a$
  2. $a-b$
  3. $-a-b$
[Pitkä K2016/1d; Lyhyt K2016/3d]

$a-b$

Kolme kaverusta lähtee kisamatkalle Tallinnaan ja varaa seitsemäksi yöksi majoituksen, jonka kokonaishinta on 435 euroa. Kuinka paljon kunkin heistä pitää maksaa, jos henkilö A majoittuu kaksi yötä, henkilö B kuusi yötä ja henkilö C kaikki seitsemän yötä?

A maksaa 58 €, B maksaa 174 € ja C maksaa 203 €.

Laske lausekkeen $a(b-2) + (a-b)^2 -b(1-a)$ arvo, kun $a = 2$ ja $b = -2$. [Lyhyt S2013/1c]

6

Tehtävänä on täydentää alla olevat yhtälöt niin, että ne pitävät paikkansa. Saat käyttää peruslaskutoimituksia eli merkkejä $+$, $-$, $\cdot$ ja $:$ sekä sulkuja.

  1. $2 \quad 2 \quad 2 = 6$
  2. $3 \quad 3 \quad 3 = 6$
  3. $5 \quad 5 \quad 5 = 6$
  4. $6 \quad 6 \quad 6 = 6$
  5. $7 \quad 7 \quad 7 = 6$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.