Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Luvut ja lukujonot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Potenssi ja logaritmi

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset potenssien laskusäännöt ja tiedät, mitä logaritmilla tarkoitetaan. Osaat

  • sieventää potenssilausekkeita potenssin määritelmän tai potenssien laskusääntöjen avulla
  • ilmaista käänteisluvun käyttäen eksponenttia $-1$
  • kirjoittaa luvun kymmenpotenssimuodossa tiettyjen merkitsevien numeroiden tarkkuudella
  • kirjoittaa eksponenttiyhtälön ratkaisun logaritmin avulla
  • käyttää potenssin laskusääntöjä eksponenttiyhtälön ratkaisemiseen.

Lisäksi tiedät, että matematiikassa teoreema tarkoittaa tosiasiaa, joka voidaan perustella todeksi määritelmistä lähtien.

Summa, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat samoja, voidaan kirjoittaa tulona. Esimerkiksi \begin{align*} 7 + 7 + 7 + 7 &= 4 \cdot 7 \\[1mm] -2 + (-2) + (-2) &= 3\cdot (-2). \end{align*} Vastaavasti tulo, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja, voidaan kirjoittaa potenssina. Esimerkiksi \begin{align*} 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 &= 7^4 \\[1mm] -2 \cdot (-2) \cdot (-2) &= (-2)^3. \end{align*}

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Luvun $a$ $n$:s potenssi $a^n$ tarkoittaa tuloa $a \cdot a \cdots a$, jossa luku $a$ esiintyy $n$ kertaa. Siis $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}$$ Potenssilausekkeessa $a^n$ luku $a$ on kantaluku ja luku $n$ on eksponentti.

Laske seuraavat tulot ja kirjoita ne potenssimerkinnän avulla.

  1. $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$
  2. $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
  3. $5\cdot 5$.

Keksi ainakin kaksi erilaista tapaa, jolla a- ja b-kohtien tulot voidaan laskea ilman laskinta. Selitä omin sanoin, millaisia nämä tavat ovat.

  1. $2^5 = 32$
  2. $3^4 = 81$
  3. $5^2 = 25$

Kirjoita seuraavat potenssit tuloina (kertolaskumerkintää käyttäen) ja laske niiden arvo.

  1. $4^5$
  2. $3^2$
  3. $(-2)^3$.

  1. $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024$
  2. $3 \cdot 3 = 9$
  3. $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

Jos kantaluku on negatiivinen, tarvitaan potenssimerkinnässä sulut. Esimerkiksi luvun $-1$ kolmas potenssi on $$(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$$ ja neljäs potenssi on $$(-1)^4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot 1 = 1.$$

Merkitse lauseke näkyviin ja laske sen arvo:

  1. luvun $-6$ viides potenssi
  2. luvun $-10$ kuudes potenssi.

  1. $(-6)^5 = -7776$
  2. $(-10)^6 = 1\,000\,000$

Palautetaan mieleen, että luvun $c$ vastaluku on aina $-c$. Siis esimerkiksi luvun $3$ vastaluku on $-3$ ja luvun $-9$ vastaluku on $-(-9) = 9$.

  1. Laske potenssin $7^4$ arvo.
  2. Mitä eroa on merkinnöillä $(-7)^4$ ja $-7^4$? Onko jompi kumpi niistä luvun $7^4$ vastaluku?
  3. Päättele lausekkeen $(-7)^4$ arvo a-kohdan tuloksen avulla.
  4. Päättele lausekkeen $-7^4$ arvo a-kohdan tuloksen avulla.

  1. $7^4 = 2401$
  2. Luku $-7^4$ on luvun $7^4$ vastaluku.
  3. $(-7)^4 = 2401$
  4. $-7^4 = -2401$

Jos miinusmerkki on potenssimerkinnän edessä ilman sulkuja, vaikuttaa se koko potenssilausekkeeseen: $$-a^n = -(a^n).$$ Esimerkiksi merkintä $-3^6$ tarkoittaa potenssin $3^6 = 729$ vastalukua: $$-3^6 = -(3^6) = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -729.$$

Kirjoita seuraavat tulot potenssimerkinnän avulla:

  1. $x\cdot x\cdot x\cdot x$
  2. $(2x)\cdot (2x)\cdot (2x)$
  3. $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a.$

Keksi b- ja c-kohdissa kaksi erilaista tapaa, jolla voit kirjoittaa tulot potenssimerkintää käyttäen.

  1. $x^4$
  2. $(2x)^3$ tai $2^3x^3$
  3. $3^5a^5$ tai $(3a)^5$

Potenssilausekkeita voidaan sieventää purkamalla ne tulomuotoon potenssin määritelmän mukaisesti, laskemalla kaikki mahdolliset laskut ja kokoamalla tulos jälleen potenssimuotoon. Esimerkiksi \begin{align*} (5a^7)^2 &= 5a^7 \cdot 5a^7 \\ &= 25 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a}_\text{14 kappaletta} = 25a^{14} \end{align*}

Kirjoita seuraavat potenssit tuloina, laske kaikki mahdolliset laskut ja ilmoita tuloksen kirjainosa potenssimerkinnän avulla samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. $(6a)^4$
  2. $(2b)^6$
  3. $(7x)^3$

  1. $1296a^4$
  2. $64b^6$
  3. $343x^3$

Kirjoita seuraavat potenssit tuloina, laske kaikki mahdolliset laskut ja ilmoita tuloksen kirjainosa potenssimerkinnän avulla.

  1. $\left(\dfrac{a}{5}\right)^3$
  2. $\left(-\dfrac{4}{b}\right)^2$
  3. $\left(\dfrac{2a}{3}\right)^5$

  1. $\dfrac{a^3}{125}$
  2. $\dfrac{16}{b^2}$
  3. $\dfrac{32a}{243}$

Kirjoita seuraavat lausekkeet ensin tulomuodossa ja sitten toisella tavalla potenssimerkintää käyttäen samaan tapaan kuin edellisissä tehtävissä:

  1. $(ab)^4$
  2. $(ab)^n$
  3. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^4$
  4. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

  1. $a^4b^4$
  2. $a^nb^n$
  3. $\dfrac{a^4}{b^4}$
  4. $\dfrac{a^n}{b^n}$

Potenssilausekkeiden sieventämisessä pääsee aina alkuun, kun muistaa potenssin määritelmän eli sopimuksen siitä, mitä potenssi tarkoittaa. Niin myös seuraavissa tehtävissä.

Ilmoita potenssit ensin tulomuodossa määritelmää käyttäen ja lausu lopputulos taas potenssina.

  1. $\left(2^3\right)^2$
  2. $\left(3^4 \right)^3$
  3. $\left(4^2 \right)^5$

Tutki tehtävän lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle potenssin potenssissa?

  1. \begin{align*} 2^3 \cdot 2^3 &= (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \\ &= 2^6 \end{align*}
  2. \begin{align*} 3^4 \cdot 3^4 \cdot 3^4 &= (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \\ &= 3^{12} \end{align*}
  3. \begin{align*} 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^2 &= (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \\ &= 4^{10} \end{align*}

Kirjoita seuraavat lausekkeet potenssimerkintää käyttäen samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä:

  1. $(a^5)^2$
  2. $(a^m)^n$.

  1. $a^{10}$
  2. $a^{mn}$

Edellä havaittuja potenssien laskusääntöjä voi käyttää myös toiseen suuntaan. Siis \begin{align*} a^nb^n &= (ab)^n \\[1mm] \frac{a^n}{b^n} &= \left(\frac{a}{b}\right)^n \\[1mm] a^{mn} &= (a^m)^n \end{align*} Seuraavaksi tutkitaan, mitä eksponenteille tapahtuu, jos kerrotaan tai jaetaan potensseja, joilla on sama kantaluku.

Kirjoita lauseke ensin tulomuodossa. Kirjoita lopputulos sen jälkeen potenssimerkintää käyttäen.

  1. $2^3\cdot 2^4$
  2. $4^2\cdot 4^7$
  3. $(-3)^4\cdot (-3)^6$.

Tutki tehtävän lähtötilannetta ja lopputulosta a-, b- ja c-kohdissa. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle samankantaisten potenssien tulossa?

  1. \begin{align*} 2^3 \cdot 2^4 &= (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ &= 2^7 \end{align*}
  2. \begin{align*} 4^2\cdot 4^7 &= (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) \\ &= 4^9 \end{align*}
  3. \begin{align*} (-3)^4\cdot (-3)^6 &= (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)\\ &= (-3)^{10} \end{align*}

Kirjoita osoittaja ja nimittäjä ensin tulomuodossa ja supista. Kirjoita lopputulos sen jälkeen potenssimerkintää käyttäen.

  1. $\dfrac{2^7}{2^4}$
  2. $\dfrac{5^6}{5^2}$
  3. $\dfrac{(-2)^8}{(-2)^7}.$

Tutki tehtävän lähtötilannetta ja lopputulosta a-, b- ja c-kohdissa. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle samankantaisten potenssien osamäärässä?

  1. $2^3$
  2. $5^4$
  3. $-2$

Kirjoita seuraavat lausekkeet potenssimerkintää käyttäen samaan tapaan kuin edellisissä tehtävissä:

  1. $a^5a^3$
  2. $a^ma^n$
  3. $\dfrac{a^5}{a^3}$
  4. $\dfrac{a^m}{a^n}$

  1. $a^8$
  2. $a^{m+n}$
  3. $a^2$
  4. $a^{m-n}$

Edellisessä kappaleessa sovittiin, mitä tarkoitetaan potenssilla $a^n$, missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Sen jälkeen tutkittiin, millaisia laskulakeja potenssilausekkeet noudattavat. Huomattiin esimerkiksi, että samankantaisten potenssien osamäärälle pätee sääntö $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$$ Jos tässä luku $m$ sattuu olemaan pienempi kuin luku $n$, joudutaan kuitenkin ongelmalliseen tilanteeseen. Esimerkiksi $$\frac{a^3}{a^9} = a^{3-9} = a^{-6}.$$ Huomataan, että tarvitaan sopimus myös siitä, mitä potenssilla tarkoitetaan tilanteessa, jossa eksponentti on negatiivinen kokonaisluku tai nolla.

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $n$ on positiivinen kokonaisluku. Potenssit $a^0$ ja $a^{-n}$ määritellään seuraavasti: \begin{align*} a^0 &= 1\\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{align*} Potenssin $a^0$ arvo on siis $1$ ja potenssi $a^{-n}$ on potenssin $a^n$ käänteisluku.

Laske seuraavat potenssit yllä olevaa määritelmää käyttäen:

  1. $4^0$
  2. $2^{-3}$
  3. $(-3)^{-2}$
  4. $5^{-3}$
  5. $7^{-1}$
  6. $(-6)^{-1}$

  1. $4^0 = 1$
  2. $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
  3. $(-3)^{-2} = \dfrac{1}{9}$
  4. $5^{-3} = \dfrac{1}{125}$
  5. $7^{-1} = \dfrac{1}{7}$
  6. $(-6)^{-1} = -\dfrac{1}{6}$

Kirjoita seuraavat lausekkeet potenssimuodossa:

  1. $\dfrac{1}{10^2}$
  2. $\dfrac{1}{a^3}$
  3. $\dfrac{1}{b^{15}}$
  4. $\dfrac{1}{16}$
  5. $\dfrac{1}{8}$

Keksi ainakin kaksi erilaista tapaa ilmaista d- ja e-kohtien lausekkeet potenssimuodossa.

  1. $\dfrac{1}{10^2} = 10^{-2}$
  2. $\dfrac{1}{a^3} = a^{-3}$
  3. $\dfrac{1}{b^{15}} = b^{-15}$
  4. $\dfrac{1}{16} = 16^{-1} = 4^{-2} = 2^{-4}$
  5. $\dfrac{1}{8} = 8^{-1} = 2^{-3}$

Edellä esitetystä potenssin määritelmästä seuraa erityisesti, että $$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}.$$ Potenssi $a^{-1}$ on siis luvun $a$ käänteisluku.

Sievennä seuraavat potenssit määrittämällä suluissa olevien lukujen käänteisluvut:

  1. $4^{-1}$
  2. $(-15)^{-1}$
  3. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
  4. $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-1}$
  5. $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}$

  1. $4^{-1} = \dfrac{1}{4}$
  2. $(-15)^{-1} = -\dfrac{1}{15}$
  3. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3$
  4. $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-1} = \dfrac{9}{4}$
  5. $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{2}$

Avaa sulut potenssin määritelmää käyttäen ja poista negatiiviset eksponentit siirtymällä käänteislukuihin. Lausu lopputulos taas potenssina.

  1. $\left(2^{-3}\right)^2$
  2. $\left(4^2 \right)^{-5}$
  3. $\left(3^{-4} \right)^{-3}$

Tutki tehtävän lähtötilannetta ja lopputulosta. Vaikuttaako potenssin potenssin laskusääntö toimivan myös negatiivisten eksponenttien tapauksessa?

  1. \begin{align*} \left(2^{-3}\right)^2 &= 2^{-3} \cdot 2^{-3} \\[2mm] &= \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{2^3} \\[2mm] &= \frac{1}{2^3 \cdot 2^3} \\[2mm] &= \frac{1}{2^6} = 2^{-6} \end{align*}
  2. \begin{align*} \left(4^2 \right)^{-5} &= \frac{1}{\left(4^2\right)^5} \\[2mm] &= \frac{1}{4^{10}} = 4^{-10} \end{align*}
  3. \begin{align*} \left(3^{-4} \right)^{-3} &= \left(\frac{1}{3^4}\right)^{-3} \\[2mm] &= \left(3^4\right)^3 = 3^{12} \end{align*}

Poista negatiiviset eksponentit siirtymällä käänteislukuihin. Sievennä ja kirjoita lopputulos potenssimerkintää käyttäen.

  1. $2^{-3}\cdot2^5$
  2. $4^2\cdot4^{-7}$
  3. $(-3)^{-4}\cdot (-3)^{-6}$.
  4. $9^{-8} \cdot 9^8$

Tutki tehtävän lähtötilannetta ja lopputulosta a-, b-, c- ja d-kohdissa. Vaikuttaako samankantaisten potenssien tulon laskusääntö pätevän myös negatiivisten eksponenttien tapauksessa?

  1. \begin{align*} 2^{-3}\cdot2^5 &= \frac{1}{2^3} \cdot 2^5 \\[2mm] &= \frac{2^5}{2^3} \\[2mm] &= 2^{2} \end{align*}
  2. \begin{align*} 4^2\cdot4^{-7} &= 4^2 \cdot \frac{1}{4^7} \\[2mm] &= \frac{4^2}{4^7} \\[2mm] &= \frac{1}{4^5} \\[2mm] &= 4^{-5} \end{align*}
  3. \begin{align*} (-3)^{-4}\cdot (-3)^{-6} &= \frac{1}{(-3)^4} \cdot \frac{1}{(-3)^6} \\[2mm] &= \frac{1}{(-3)^4 \cdot (-3)^6} \\[2mm] &= \frac{1}{(-3)^{10}} \\[2mm] &= (-3)^{-10} \end{align*}

Kun potenssi määriteltiin negatiivisten eksponenttien ja eksponentin nolla tapauksessa, tehtiin määritelmästä tarkoituksella sellainen, että aikaisemmin havaitut potenssien laskusäännöt toimivat edelleen. Nämä laskusäännöt on koottu seuraavaan teoreemaan. Teoreemat (toiselta nimeltään lauseet) ovat matemaattisia tosiasioita, jotka voidaan perustella todeksi määritelmien pohjalta. Tällä kertaa perustelu kuitenkin sivuutetaan, koska se ei ole tämän kurssin kannalta oleellinen.

TEOREEMA

Seuraavat potenssien laskusäännöt pätevät kaikilla kokonaisluvuilla $m$ ja $n$ sekä kaikilla nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla $a$ ja $b$:

  1. tulon potenssi on potenssien tulo: $$(ab)^n = a^nb^n$$
  2. osamäärän potenssi on potenssien osamäärä: $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$
  3. potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan keskenään: $$(a^m)^n = a^{mn}$$
  4. samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen: $$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$$
  5. samankantaisten potenssien osamäärässä osoittajan eksponentista vähennetään nimittäjän eksponentti: $$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$$

Seuraavassa tehtävässä jatketaan negatiivisten eksponenttien ominaisuuksien tutkimista.

Tehtävänä on tutkia, miten potenssit $2^{-4}$ ja $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$ liittyvät toisiinsa.

  1. Kirjoita näkyviin, mitä $2^{-4}$ tarkoittaa määritelmän mukaan.
  2. Kirjoita $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$ tulomuodossa ja sievennä mahdollisimman pitkälle.
  3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?
  4. Millainen yleinen sääntö saattaisi liittää toisiinsa lausekkeet $a^{-n}$ ja $\left(\dfrac{1}{a}\right)^n$?

  1. $2^{-4} = \dfrac{1}{2^4}$
  2. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}$

Edellisen tehtävän havaintojen pohjalta voidaan päätyä seuraavaan teoreemaan. Tällä kertaa myös teoreeman perustelu (eli todistus) on kirjoitettu näkyviin. Lue se huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku ja $a \neq 0$. Potenssi $a^{-n}$ on luvun $a$ käänteisluvun $n$:s potenssi eli $$a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n.$$

Perustelu: Potenssin määritelmän mukaan $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$ Toisaalta potenssin määritelmän mukaan $$\left(\frac{1}{a}\right)^n = \underbrace{\left(\frac{1}{a}\right) \cdots \left(\frac{1}{a}\right)}_\text{$n$ kpl} = \frac{1}{a^n}.$$ Siis $$a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n.$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan äsken perustellun teoreeman 2 soveltamista.

Tehtävänä on määrittää potenssi $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-3}$.

  1. Muodosta luvun $\dfrac{4}{5}$ käänteisluku. Muista, että luvun ja sen käänteisluvun tulo on aina $1$.
  2. Laske a-kohdassa muodostamasi luvun kolmas potenssi.
  3. Miten ratkaisun vaiheet liittyvät teoreemaan 2? Selitä omin sanoin.

  1. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{4}$
  2. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-3} = \left(\dfrac{5}{4}\right)^3 = \dfrac{125}{64}$

Laske seuraavat potenssit ja anna vastaukset murtolukuina:

  1. $\left(\dfrac{7}{3}\right)^{-1}$
  2. $\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2}$
  3. $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-4}$.

  1. $\left(\dfrac{7}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{7}$
  2. $\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2} = \dfrac{64}{25}$
  3. $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-4} = \dfrac{16}{81}$.

Kymmenpotenssimuotoa käytetään usein hyvin suurten tai pienten positiivisten lukujen merkisemiseen. Esimerkiksi Suomen väkiluku oli heinäkuussa 2016 noin $5{,}497$ miljoonaa eli $5{,}497 \cdot 10^6 = 5\,497\,000$. Yhden vesimolekyylin massa puolestaan on noin $2{,}9915 \cdot 10^{-23}$ grammaa.

MÄÄRITELMÄ: KYMMENPOTENSSIMUOTO

Positiivisen luvun kymmenpotenssimuoto tarkoittaa luvun esittämistä muodossa $a\cdot 10^n$, missä $n$ on kokonaisluku ja kerroin $a$ on vähintään yksi ja pienempi kuin kymmenen: $1 \leq a < 10$.

Ilmaise seuraavat luvut muodossa $10^n$, missä $n$ on kokonaisluku:

  1. $100$
  2. $1\,000$
  3. $100\,000$
  4. $1\,000\,000$.

Vertaa eksponenttia $n$ ja alkuperäisen luvun nollien lukumäärää. Mitä havaitset?

  1. $100 = 10^2$
  2. $1\,000 = 10^3$
  3. $100\,000 = 10^5$
  4. $1\,000\,000 = 10^6$.

Ilmaise seuraavat luvut muodossa $10^n$, missä $n$ on kokonaisluku:

  1. $0{,}1$
  2. $0{,}001$
  3. $0{,}00001$.

Vertaa eksponenttia $n$ ja alkuperäisen luvun desimaalipilkun jälkeisten numeroiden määrää. Mitä havaitset?

  1. $0{,}1 = 10^{-1}$
  2. $0{,}001 = 10^{-3}$
  3. $0{,}00001 = 10^{-5}$.

Ilmaise seuraavat etäisyydet kymmenpotenssimuodossa:

  1. Kuun keskimääräinen etäisyys Maasta $384\,400$ km
  2. Maan keskimääräinen etäisyys Auringosta $150\,000\,000$ km
  3. Saturnuksen keskimääräinen etäisyys Auringosta $1\,427\,000\,000$ km.

  1. $3{,}844 \cdot 10^{5}$ km
  2. $1{,}5 \cdot 10^{8}$ km
  3. $1{,}427 \cdot 10^{9}$ km.

Edellisessä tehtävässä ilmaistiin erilaisia etäisyyksiä kymmenpotenssimuodossa. Kaikki niistä olivat jonkinlaisia likiarvoja. Mistä tietää, millä tarkkuudella nämä etäisyydet oli tehtävässä ilmoitettu?

Ilmoitettujen mittaustulosten tarkkuutta voi arvioida siitä, kuinka monta merkitsevää numeroa niissä on. Desimaalimuodossa ilmoitettussa luvussa merkitseviä ovat kaikki muut numerot paitsi luvun vasemmalla puolella olevat nollat. Esimerkiksi luvussa $$0{,}00000\textcolor{red}{508}$$ on kolme merkitsevää numeroa ja luvussa $$\textcolor{red}{23{,}00046000}$$ on kymmenen merkitsevää numeroa. Kokonaislukuna ilmoitetussa luvussa merkitseviä ovat kaikki muut numerot paitsi luvun lopussa olevat nollat. Esimerkiksi luvussa $$\textcolor{red}{31}0\,000$$ on kaksi merkitsevää numeroa.

Kuinka monen merkitsevän numeron tarkkuudella seuraavat etäisyydet on ilmoitettu? Muuttuiko tarkkuus, kun muutit etäisyydet kymmenpotenssimuotoon edellisessä tehtävässä?

  1. Kuun keskimääräinen etäisyys Maasta $384\,400$ km
  2. Maan keskimääräinen etäisyys Auringosta $150\,000\,000$ km
  3. Saturnuksen keskimääräinen etäisyys Auringosta $1\,427\,000\,000$ km.

  1. Neljä merkitsevää numeroa.
  2. Kaksi merkitsevää numeroa.
  3. Neljä merkitsevää numeroa.

Ilmaise seuraavat aikuisille suositellut vuorokausiannokset kymmenpotenssimuodossa. Kuinka monta merkitsevää numeroa niissä on?

  1. C-vitamiini $0{,}075$ grammaa
  2. $\text{B}_{12}$-vitamiini $0{,}0000024$ grammaa.

  1. $7{,}5 \cdot 10^{-2}$ grammaa, kaksi merkitsevää numeroa.
  2. $2{,}4 \cdot 10^{-6}$ grammaa, kaksi merkitsevää numeroa.

Potenssin määritelmän mukaan $2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2 = 8$. Jossain tilanteissa halutaan tarkastella erityisesti potenssilausekkeessa esiintyvää eksponenttia, joka on tässä tapauksessa $3$. Jos kantaluku (tässä tapauksessa $2$) ja potenssiin korotuksen tulos (tässä tapauksessa $8$) tiedetään, voidaan eksponentista puhua logaritmin avulla. Tässä tilanteessa voidaan sanoa, että $$\log_2(8) = 3$$ eli luvun kahdeksan $2$-kantainen logaritmi on $3$. Logaritmi kertoo siis eksponentin arvon.

Päättele tai selvitä kokeilemalla, mikä eksponentin pitää olla, jotta yhtälö toteutuu:

  1. $7^x = 49$
  2. $2^x = 32$
  3. $3^x = 27$.

  1. $x = 2$
  2. $x = 5$
  3. $x = 3$

MÄÄRITELMÄ: LOGARITMI

Oletetaan, että kantaluku $k$ on positiivinen ja $k \neq 1$. Positiivisen luvun $a$ $k$-kantainen logaritmi tarkoittaa lukua $x$, jolla on ominaisuus $k^x = a$. Luvusta $x$ käytetään merkintää $\log_k(a)$.

Edellisessä tehtävässä selvitit siis logaritmit $\log_7(49)$, $\log_2(32)$ ja $\log_3(27)$.

Päättele seuraavien logaritmien arvot ratkaisemalla niitä vastaavat eksponenttiyhtälöt esimerkiksi kokeilemalla:

  1. $\log_2(16) = x$, missä luku $x$ toteuttaa yhtälön $2^x = 16$
  2. $\log_5(25) = x$, missä luku $x$ toteuttaa yhtälön $5^x = 25$
  3. $\log_{10}(0{,}1) = x$, missä luku $x$ toteuttaa yhtälön $10^x = 0{,}1$.

  1. $\log_2(16) = 4$
  2. $\log_5(25) = 2$
  3. $\log_{10}(0{,}1) = -1$

Päättele seuraavien logaritmien arvot muodostamalla ja ratkaisemalla niitä vastaavat eksponenttiyhtälöt samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä.

  1. $\log_3(9)$
  2. $\log_{10}(1\,000\,000)$
  3. $\log_7(1)$.

  1. $\log_3(9) = 2$
  2. $\log_{10}(1\,000\,000) = 6$
  3. $\log_7(1) = 0$.

Logaritmin avulla voidaan ilmaista sellaisiakin eksponentteja, jotka eivät ole kokonaislukuja. Esimerkiksi yhtälön $2^x = 10$ ratkaisu ei ole kokonaisluku, sillä $2^3 = 8 < 10$ ja $2^4 = 16 > 10$. Näistä tietoista voidaan päätellä, että luku $x$ on kolmea suurempi ja neljää pienempi eli $3 < x < 4$. Logaritmin määritelmän mukaan voidaan merkitä $x = \log_2(10)$. Laskimen tai tietokokeen avulla saadaan likiarvo $\log_2(10) \approx 3{,}32$.

Kirjoita seuraavien eksponenttiyhtälöiden ratkaisut logaritmin avulla ja selvitä ratkaisujen likiarvot laskimella tai tietokoneella. Anna vastaus viiden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $2^x = 100$
  2. $10^x = 2016$
  3. $3^x = 798$.

  1. $x = \log_2(100) \approx 6{,}6439$
  2. $x = \log_{10}(2016) \approx 3{,}3045$
  3. $x = \log_3(798) \approx 6{,}0823$.

Jos eksponenttiyhtälön molemmat puolet onnistutaan ilmaisemaan saman kantaluvun potensseina, onnistuu yhtälön ratkaiseminen potenssin laskusääntöjen avulla ilman logaritmia. Esimerkiksi yhtälö $$5^x = 25^3$$ voidaan muuttaa muotoon $$5^x = (5^2)^3,$$ sillä $25 = 5^2$. Sen jälkeen yhtälön oikea puoli voidaan sieventää: $$5^x = 5^6.$$ Tästä voidaan päätellä, että yhtälön ratkaisu on $x = 6$.

Ratkaise seuraavat eksponenttiyhtälöt ilman logaritmia:

  1. $3^x = 9^5$
  2. $2^x = 16^7$
  3. $4^{3x} = 64^8$.

  1. $x = 2\cdot 5 = 10$
  2. $x = 4\cdot 7 = 28$
  3. $4^3 = 64$, joten $x = 8$.

Potenssi

Luvun $a$ toista potenssia $a^2$ sanotaan luvun $a$ neliöksi ja luvun $a$ kolmatta potenssia $a^3$ sanotaan luvun $a$ kuutioksi. Mistä nämä nimitykset ovat tulleet? Selitä omin sanoin.

Merkitse lausekkeena ja laske

  1. luvun $5$ neliö
  2. luvun $5$ neliön vastaluku
  3. luvun $-5$ neliö
  4. luvun $-5$ kuutio
  5. luvun $5$ kuutio
  6. luvun $5$ kuution vastaluku.

Mitkä lausekkeista ovat yhtä suuria? Kirjoita havaintosi näkyviin käyttäen luvun $5$ tilalla kirjainta $a$. Onko havainnoissasi kysymyksessä sattuma vai yleispätevä sääntö?

  1. $5^2 = 25$
  2. $-5^2 = -25$
  3. $(-5)^2 = 25$
  4. $(-5)^3 = -125$
  5. $5^3 = 125$
  6. $-5^3 = -125$

Potenssi

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $(7-4)^2$
  2. $7^2-4^2$
  3. $7^2-2\cdot 7 \cdot 4 + 4^2$
  4. $(7+4)(7-4)$

Mitkä lausekkeista ovat yhtä suuria? Kirjoita havaintosi näkyviin käyttäen luvun $7$ tilalla kirjainta $a$ ja luvun 4 tilalla kirjainta $b$. Onko havainnoissasi kysymyksessä sattuma vai yleispätevä sääntö?

  1. $9$
  2. $33$
  3. $9$
  4. $33$

Potenssi

Hyvin hajamielinen henkilö päätti aloittaa säästämisen vuonna 1970. Hän talletti kyseisen vuoden alussa 100 markkaa pankkitilille, jonka korko oli 2,5 % vuodessa, mutta unohti sitten koko asian. Kuinka suureksi talletus oli kasvanut

  1. vuoden 1971 alkuun mennessä?
  2. vuoden 1972 alkuun mennessä?
  3. vuoden 2002 alkuun mennessä, jolloin euro otettiin käyttöön? Anna vastaus sekä markkoina että euroina (5,94573 markkaa vastasi yhtä euroa)
  4. vuoden 2016 alkuun mennessä?

Oletetaan, että korkoprosentti pysyi koko ajan samana eli talletus $1{,}025$-kertaistui joka vuosi.

  1. $102{,}50$ markkaa
  2. $105{,}06$ markkaa
  3. $220{,}38$ markkaa eli $37{,}07$ euroa
  4. $52{,}37$ euroa.

Potenssi

Edellisen tehtävän henkilön hajamielisyys johtui siitä, että hän oli hyvin kiinnostunut menneistä ajoista. Samaan aikaan kun hän päätti aloittaa säästämisen, hän ryhtyi tutkimaan esivanhempiaan. Piirrä kaavio, joka havainnollistaa hyvin hajamielisen henkilön vanhempia ja heidän vanhempiaan ja heidän vanhempiaan. Kuinka monta esivanhempaa tällä henkilöllä on, jos mennään taaksepäin

  1. kaksi sukupolvea
  2. kolme sukupolvea
  3. kuusi sukupolvea
  4. 20 sukupolvea?

Ilmaise vastaukset potenssimerkinnän avulla.

  1. $4 = 2^2$
  2. $8 = 2^3$
  3. $2^6$
  4. $2^{20}$

Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

Palauta mieleesi negatiivisen eksponentin määritelmä ja eksponentin nolla määritelmä. Laske sen jälkeen

  1. $4^{-1}-2^{-3} + 2^{-1}$
  2. $(-1)^4+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$
  3. $(-2)^{3}+ (-3)^{0}$
  4. $(-3)^{2}-2^{0}$.

  1. $\frac{5}{8}$
  2. $3$
  3. $-7$
  4. $8$

Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

  1. Laske $3\cdot 10^3 + 7 \cdot 10^1 + 4\cdot 10^0 + 1\cdot 10^{-1} + 5\cdot 10^{-3}$.
  2. Kirjoita luku $506{,}9$ kymmenen potenssien summana samaan tapaan kuin a-kohdassa.
  3. Keksitkö syyn, miksi käyttämäämme lukujärjestelmää sanotaan kymmenjärjestelmäksi?
  4. Tiedätkö muita esimerkiksi tietokoneiden käyttämiä lukujärjestelmiä?

  1. $3074{,}105$
  2. $5\cdot 10^2 + 6\cdot 10^0 + 9\cdot 10^{-1}$

Negatiivinen eksponentti

Kaksi opiskelijaa yritti keksiä lausekkeita, jotka tarkoittavat samaa kuin lauseke $$\dfrac{1}{5x^7}.$$ Opiskelijat saivat ehdottaa sopivaa lauseketta vuorotellen. Heidän ehdotuksensa olivat seuraavat:

A: $\quad 5x^{-7}$

B: $\quad (5x)^{-7}$

A: $\quad \dfrac{x^{-7}}{5}$

B: $\quad 5^{-1}x^{-7}$

A: $\quad (5x^7)^{-1}$

B: $\quad \dfrac{1}{5}x^{-7}$

Kumpi opiskelija vastasi ensimmäisenä oikein? Kummalla opiskelijalla oli yhteensä enemmän oikeita vastauksia? Mitkä vastauksista olivat oikein?

Opiskelija A vastasi ensimmäisenä oikein. Oikeita vastauksia kummallakin yhtä monta.

Samankantaiset potenssit

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $3^5\cdot 3^{10}\cdot 3^{25}$
  2. $\left( \frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^7\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{-11}\cdot \left( \frac{2}{3}\right)^5$
  3. $(-1)^{500} \cdot (-1)^{2015}$

  1. $3^{40}$
  2. $\dfrac{3}{2}$
  3. $-1$

Samankantaiset potenssit

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $\dfrac{9^{216}}{9^{209}}$
  2. $\dfrac{101^{96}}{101^{100}}$
  3. $\dfrac{(-2)^{97}}{(-2)^{62}}.$

  1. $9^7$
  2. $101^{-4}$
  3. $(-2)^{35} = -2^{35}$

Potenssin potenssi ja samankantaiset potenssit

Ilmaise luvun $2$ potenssina:

  1. $16$
  2. $2\cdot 8^5$
  3. $8^9 \cdot 16^7$
  4. $\dfrac{32^{10}}{2^{25}}$
  5. $\dfrac{16^{100}}{8^{70}}$.

  1. $2^4$
  2. $2^{16}$
  3. $2^{55}$
  4. $2^{25}$
  5. $2^{190}$

Potenssien tulo, osamäärä ja potenssin potenssi

Laske:

  1. $40^9 \cdot 0{,}25^9$
  2. $\dfrac{8888888^2}{2222222^2}$
  3. $\dfrac{36^{801}}{6^{1600}}$

  1. $1\,000\,000\,000$
  2. $16$
  3. $36$

Potenssien laskusäännöt

Harjoittele potenssien laskusääntöjä tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Potenssien laskusäännöt

Sievennä:

  1. $(-4x^5)^2$
  2. $\dfrac{21x^{21}}{7x^7}$
  3. $-3x(-3x^6)^2$

  1. $16x^{10}$
  2. $3x^{14}$
  3. $-27x^{13}$

Potenssien laskusäännöt

Selitä omin sanoin, mitä eroa a- ja b-kohtien lausekkeilla on. Sievennä ne sen jälkeen.

  1. $(5a)^3(-5a^3)$
  2. $(5a)^3-5a^3$

  1. tulo $-625a^6$
  2. erotus $120a^3$

Potenssien laskusäännöt

Sievennä:

  1. $ab(a^2b)^3$
  2. $\dfrac{(xy)^7}{xy^7}$
  3. $\dfrac{(-a^3b^2)^9}{a(b^4)^7}$

  1. $a^7b^4$
  2. $x^6$
  3. $\dfrac{-a^{27}}{b^{10}}$

Eksponenttiyhtälö

Mikä luku $x$ toteuttaa annetun yhtälön?

  1. $2^x = 2$
  2. $2^x = \dfrac{1}{2}$
  3. $2^x = 8^2$
  4. $3^x = \dfrac{1}{3^5}$
  5. $10^x = 1000$
  6. $10^x = 0{,}01$
[Lyhyt S2014/2]

  1. $x = 1$
  2. $x = -1$
  3. $x = 6$
  4. $x = -5$
  5. $x = 3$
  6. $x = -2$

Kymmenpotenssimuoto ja merkitsevät numerot

Ilmaise seuraavat luonnonvakiot kymmenpotenssimuodossa neljän merkitsevän numeron tarkkuudella:

  1. valon nopeus tyhjiössä 299792458 m/s
  2. Stefan-Boltzmannin vakio 0,000000005670367 W/(m$^2$K$^4$)
  3. ihannekaasun moolitilavuus normaalitilassa 0,022414 m$^3$
  4. Rydbergin vakio 10973731 m$^{-1}$.

  1. $2{,}998 \cdot 10^8$ m/s
  2. $5{,}670 \cdot 10^{-9}$ W/(m$^2$K$^4$)
  3. $2{,}241 \cdot 10^{-2}$ m$^3$
  4. $1{,}097 \cdot 10^{7}$ m$^{-1}$

Kymmenpotenssimuoto

Luonnontieteissä ja tekniikassa käytetään positiivisille luvuille usein esitysmuotoa $a \cdot 10^n$, jossa eksponentti $n$ on jaollinen luvulla $3$. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä siihen näihin esitysmuotoihin liittyvät etuliitteet ja lyhenteet. Etsi tarvittavat tiedot esimerkiksi netistä.

Kymmenen potenssi Etuliite Lyhenne
$10^{12}$ tera-
$10^{9}$ G
$10^{6}$
$10^{3}$
$10^{-3}$
$10^{-6}$
$10^{-9}$
$10^{-12}$ piko-

Ilmaise sopivan lyhenteen avulla

  1. keltaisen valon aallonpituus noin 0,00000058 m
  2. Katri Valan lämpöpumppulaitoksen lämmitysteho noin 90000000 W.

  1. 580 nm
  2. 90 MW

Logaritmi

Päättele seuraavien logaritmien arvot ratkaisemalla niitä vastaavat eksponenttiyhtälöt esimerkiksi kokeilemalla:

  1. $\log_4(64)$
  2. $\log_3(81)$
  3. $\log_{5}(0{,}04)$.

  1. $3$
  2. $4$
  3. $-2$

Logaritmi

Mikä luku $x$ toteuttaa annetun yhtälön?

  1. $\log_2(x) = 5$
  2. $\log_2(x) = 1$
  3. $\log_{10}(x) = 3$
  4. $\log_{10}(x) = 1$

  1. 32
  2. 2
  3. 1000
  4. 10

Eksponenttiyhtälön ratkaisu

Kirjoita seuraavien eksponenttiyhtälöiden ratkaisut logaritmin avulla ja selvitä ratkaisujen likiarvot laskimella tai tietokoneella. Anna vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $3^x = 2$
  2. $6\cdot 5^x = 120$
  3. $2 \cdot 10^x = 1234567890$.

  1. $\log_3(2)$
  2. $\log_5(20)$
  3. $\log_{10}(617283945)$

Eksponenttiyhtälön ratkaisu

Ratkaise yhtälö $2\cdot 3^x = 162 \quad$ [Lyhyt K2014/2c]

$x = 4$

Saat sähköpostin, jossa huijari lupaa kaksinkertaistaa sijoituksesi vuodessa, jos sijoitat vähintään 2500 euroa. Kuinka monen vuoden kuluttua tämä minimisijoitus olisi kasvanut yli miljoonan euron arvoiseksi?

Kirjoita näkyviin ratkaisussa käyttämäsi lausekkeet tai yhtälöt ja selitä lisäksi omin sanoin, miten päättelit.

Yhdeksän vuoden kuluttua.

Bakteeriviljelmän massa on nyt 5 mg ja massa kaksinkertaistuu aina kolmessa tunnissa. Kuinka pitkän ajan kuluttua viljelmän massa on

  1. 640 mg
  2. yli 50 grammaa?

Kirjoita näkyviin ratkaisussa käyttämäsi lausekkeet tai yhtälöt ja selitä lisäksi omin sanoin, miten päättelit. Anna vastaukset tunnin tarkkuudella.

  1. 21 tunnin kuluttua
  2. 40 tunnin kuluttua (39 h 52 min)

Sievennä seuraavat lausekkeet. Muista potenssin määritelmä ja kertaa tarvittaessa potenssin laskusäännöt.

  1. $a^na^n$
  2. $\dfrac{a^{3n}}{a^3}$
  3. $\dfrac{b^{2n+1}}{b^nb^n}$
  4. $\dfrac{x^nx^n}{x^n+x^n}$

  1. $a^{2n}$
  2. $a^{3(n-1)}$
  3. $b$
  4. $\dfrac{x^n}{2}$

Laske lausekkeen $\dfrac{2^n4^{n+5}}{8^{n+1}}$ arvo, jos

  1. $n = 1$
  2. $n = 5$.
  3. Mitä voisi epäillä edellisten kohtien perusteella? Osoita potenssien laskusääntöjen avulla, ettei kysymyksessä ollut sattuma.

  1. $2^7$
  2. $2^7$

Laske potenssit $10^3$, $10^6$ ja $10^9$. Kuinka monta numeroa niissä on?

Ilmaise seuraavat luvut kymmenpotenssimuodossa kuuden numeron tarkkuudella. Kuinka monta numeroa näissä luvuissa on, jos ne kirjoitettaisiin näkyviin ilman kymmenpotenssimuotoa? Hyödynnä tehtävän alkuosan havaintojasi.

  1. $6^{10}$
  2. $2^{55}$
  3. $3^{42}$

  1. $6{,}04662 \cdot 10^7$, kahdeksan numeroa
  2. $3{,}60288 \cdot 10^{16}$, 17 numeroa
  3. $1{,}09419 \cdot 10^{20}$, 21 numeroa

Alla on ote Wikipedian CRP:tä koskevasta tiedosta. Vastaa sen perusteella seuraaviin kysymyksiin.

  1. Potilaan CRP-pitoisuus oli 40 klo 12:00. Kuinka suuri pitoisuus voi enintään olla klo 18:00?
  2. Potilaan CRP-pitoisuus oli 100 maanantaina klo 12:00. Milloin se voi aikaisintaan laskea arvoon 10?

CRP:n pitoisuus veressä nousee bakteeri-infektioiden, muiden tulehdustilojen ja kudosvaurion yhteydessä nopeasti, jo muutaman tunnin kuluessa, ja pitoisuus voi kaksinkertaistua kahdeksan tunnin välein jopa 1000-kertaiseksi viitealueeseen verrattuna. Maksimitaso saavutetaan tyypillisesti noin 50 tunnissa. CRP nousee yleensä enemmän bakteerin aiheuttamissa tulehduksissa kuin virustulehduksissa, mutta kohonnut CRP ei ole minkään tietyn tulehdustilan merkki. Lievät tulehdukset ja virusinfektiot nostavat CRP:n tyypillisesti noin tasolle 10–50 mg/l, aktiiviset tulehdukset ja bakteeri-infektiot pitoisuuksiin 50–200 mg/l ja vakavat infektiot tai traumat tasolle >200 mg/l. CRP:n biologinen puoliintumisaika on 19 tuntia, joten tulehduksen rauhoituttua CRP-taso laskee nopeasti. CRP on siis herkkä, mutta epäspesifinen tulehdustilan indeksi.

[Lyhyt K2016/8]

  1. $40 \cdot 2^{6/8} \approx 67{,}3$
  2. torstaina klo 03:00.

Vieraalla planeetalla putoavan kappaleen kulkema matka $s$ on suoraan verrannollinen kuluneen ajan $t$ toiseen potenssiin kaavan $s = 10t^2$ mukaisesti.

  1. Kopioi oheinen taulukko vastauspaperiisi ja täydennä tyhjät kohdat.
  2. Merkitse koordinaatistoon a-kohdan taulukosta pisteet, joiden koordinaatit ovat $(\lg t, \lg s)$. Mitä havaitset? Selitä.

$t$ $\lg t$ $\lg s$
1 0 1
2
4
10
100

[Lyhyt K2016/12]

Vihje: merkintä $\lg$ tarkoittaa kymmenkantaista logaritmia $\log_{10}$.

  1. $t$ $\lg t$ $\lg s$
    1 0 1
    2 $0{,}30\ldots$ $1{,}6\ldots$
    4 $0{,}60\ldots$ $2{,}2\ldots$
    10 1 3
    100 2 5

Maanjäristyksen voimakkuus $M$ lasketaan kaavalla $$1{,}44M = \log_{10}E-5{,}24,$$ jossa $E$ on järistyksessä vapautuva energia.

  1. Sendain lähellä vuonna 2011 sattuneen järistyksen voimakkuus oli $9{,}0$. Laske järistyksessä vapautunut energia kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Kobessa vuonna 1995 sattuneen järistyksen voimakkuus oli $6{,}8$. Kuinka moninkertainen oli Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna?
[Lyhyt K2012/10]

  1. $E \approx 1{,}6 \cdot 10^{18}$
  2. noin 1500-kertainen

Summa, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat samoja, voidaan kirjoittaa tulona, kuten tämän luvun alussa todettiin. Siis esimerkiksi $5 + 5 + 5 = 3\cdot 5$ ja $8 + 8 = 2 \cdot 8$. Kokoamalla kaikki taulukkoon tällaiset tulot, joissa kumpikin tulon tekijä on enintään 10, saadaan muodostettua tuttu kertotaulu. Alla olevaan taulukkoon on täydennetty kertotaulun viisi ensimmäistä riviä.

$\cdot$ $\phantom{,}$1$\phantom{,}$ $\phantom{,}$2$\phantom{,}$ $\phantom{,}$3$\phantom{,}$ $\phantom{,}$4$\phantom{,}$ $\phantom{,}$5$\phantom{,}$ $\phantom{,}$6$\phantom{,}$ $\phantom{,}$7$\phantom{,}$ $\phantom{,}$8$\phantom{,}$ $\phantom{,}$9$\phantom{,}$ 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6
7
8
9
10

Tulo, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja, voidaan vastaavasti kirjoittaa potenssina. Potenssien arvoista on siis mahdollista muodostaa vastaava "potenssitaulu".

$\phantom{,}$1$\phantom{,}$ $\phantom{,}$2$\phantom{,}$ $\phantom{,}$3$\phantom{,}$ $\phantom{,}$4$\phantom{,}$ $\phantom{,}$5$\phantom{,}$
1
2 16
3
4
5

  1. Kopioi yllä oleva potenssitaulu vihkoosi ja täydennä siihen potenssien arvot.
  2. Vertaa kertotaulua ja potenssitaulua keskenään. Näkyykö siellä samoja lukuja? Missä kohdissa?

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.