Kisallioppiminen.fi Logo

Kisallioppiminen.fi MAA4 Vektorit - Vektorit ja $xy$-koordinaatisto

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Vektorit ja $xy$-koordinaatisto

Tämän luvun tavoitteena on, että tiedät, millaisia $xy$-koordinaatiston vektorit ovat. Osaat

  • ilmaista $xy$-koordinaatistoon piirretyn vektorin vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla
  • määrittää $xy$-koordinaatiston pisteen paikkavektorin
  • määrittää vektoreiden summan ja erotuksen piirtämällä
  • laskea vektoreiden summan, erotuksen ja pistetulon
  • kertoa vektorin reaaliluvulla ja tiedät, miten se vaikuttaa vektorin pituuteen ja suuntaan
  • määrittää kahden pisteen välisen vektorin
  • laskea vektorin pituuden
  • määrittää vektoreiden välisen kulman pistetulon avulla.
Tavoitteiden toteutumista pääset arvioimaan luvun lopussa olevan itsearviointitestin avulla.

Tutki alla olevaa kuvaa. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää siirtyä

  1. $x$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $S$?
  2. $y$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $S$?

Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää siirtyä

  1. $x$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $Q$?
  2. $y$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $Q$?
Miten voisit merkitä sitä, että pisteen $Q$ tapauksessa siirrytään $y$-akselin suunnassa alaspäin eikä ylöspäin?

Tason piste ilmoitetaan lukuparina $(x,y)$. Ensimmäinen luku $x$ kertoo, missä piste sijaitsee $x$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Toinen luku $y$ kertoo vastaavasti, missä piste sijaitsee $y$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Näitä lukuja kutsutaan pisteen koordinaateiksi.

Esimerkiksi alla olevan kuvan pisteeseen $R$ päästään siirtymällä origosta neljä yksikköä $x$-akselin positiiviseen suuntaan ja kaksi yksikköä $y$-akselin positiiviseen suuntaan. Pistettä $R$ merkitään siis $R=(4,2)$. Pistettä $P$ merkitään puolestaan $P=(-3,1)$.

  1. Piirrä koordinaatisto ja merkitse siihen pisteet $(1,2)$, $(1,-4)$ ja $(1,3)$.
  2. Merkitse koordinaatistoon kolme uutta pistettä, jotka ovat muotoa $(1,y)$, missä $y$ on kokonaisluku.
  3. Merkitse koordinaatistoon kaikki sellaiset pisteet, jotka ovat muotoa $(1,y)$. Millainen kuvio syntyy?

Koordinaattiakselit jakavat tason neljään osaan. Osat nimetään yleensä järjestysnumeroilla I, II, III ja IV kuten alla olevassa kuvassa. Koordinaattiakselien leikkauspistettä kutsutaan origoksi ja merkitään yleensä kirjaimella $O$.

Valitse koordinaatiston jokaiselta neljännekseltä jokin piste ja ilmoita sen koordinaatit. Miten eri neljännekset vaikuttavat pisteiden $x$- ja $y$-koordinaattien etumerkkeihin?

Alla olevassa kuvassa näkyvät vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$. Ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja yhden yksikön pituisia.

Muut vektorit voidaan esittää vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa vektori $\bar{u}$ on esitetty vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.

Kuvasta nähdään, että vektorin $\bar{u}$ alkupisteestä päästään sen loppupisteeseen siirtymällä kaksi yksikköä $x$-akselin negatiiviseen suuntaan ja neljä yksikköä $y$-akselin positiiviseen suuntaan. Vektori $\bar{u}$ voidaan siis ilmoittaa vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla muodossa $\bar{u} = -2\bar{\imath} + 4\bar{\jmath}$.

Ilmoita yllä olevassa kuvassa näkyvät vektorit $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.

Koordinaatistossa olevia nuolia kutsutaan siis vektoreiksi. Vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ ovat erityisiä, sillä ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja yhden yksikön pituisia. Niiden avulla voidaan ilmaista kaikki $xy$-koordinaatiston vektorit.

  1. Ilmoita kaikki kuvassa näkyvät vektorit vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.
  2. Selitä omin sanoin, mitä huomaat.

MÄÄRITELMÄ: VEKTOREIDEN SAMUUS

Kaksi vektoria ovat samat, jos ja vain jos ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Tarkemmin sanottuna vektorit $\vv = x_1\vi + y_1\vj$ ja $\vw = x_2\vi + y_2\vj$ ovat samat eli $\vv = \vw$, jos ja vain jos $x_1 = x_2$ ja $y_1 = y_2$.

Kuten edellisessä tehtävässä huomataan, vektoreiden samuus tarkoittaa siis sitä, että ne ovat saman pituisia ja osoittavat samaan suuntaan — niiden paikalla koordinaatistossa ei ole merkitystä.

  1. Ilmoita kaikki kuvassa näkyvät vektorit vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.
  2. Vertaa a-kohdan tuloksia vektoreiden loppupisteiden koordinaatteihin. Kerro havaintosi omin sanoin.

MÄÄRITELMÄ: PAIKKAVEKTORI

Vektori, joka lähtee origosta ja joka loppuu pisteeseen $P$, on pisteen $P$ paikkavektori. Pisteen $P$ paikkavektoria voidaan merkitä $\pv{OP}$.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa oleva vektori $\bar{v}=4\bar{\imath} + 3\bar{\jmath}$ on siis pisteen $(4,3)$ paikkavektori.

  1. Ilmoita alla olevan kuvan vektori $\bar{w}$ vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Minkä pisteen paikkavektori se on?
  2. Ilmoita vektori $\bar{u}$ vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Minkä pisteen paikkavektori se on?
  3. Minkä pisteiden paikkavektoreita vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ ovat?
  4. Mikä on origon paikkavektori?

  1. Ilmaise pisteiden $A = (9,-7)$ ja $B = (-3,8)$ paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Tiedetään, että $\pv{OP} = -4\vi-6\vj$ ja $\pv{OS} = 23\vi-78\vj$. Päättele, mitkä ovat pisteiden $P$ ja $S$ koordinaatit.

MÄÄRITELMÄ: NOLLAVEKTORI

Vektoria $0\bar{\imath} + 0\bar{\jmath}$ sanotaan nollavektoriksi ja merkitään $\bar{0}$.

Nollavektori $\bar{0}$ on siis vektori, jonka alkupiste ja loppupiste ovat samat. Nollavektori on origon eli pisteen $(0,0)$ paikkavektori.

Tarkastellaan vielä alla olevaa kuvaa. Siinä piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$. Tämä nähdään siitä, että janan $AP$ pituus on 2 ja janan $PB$ pituus on 6. Näiden pituuksien suhde on $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$ Koko jana $AB$ muodostuu siis neljästä yhtä pitkästä osasta. Jana $AP$ on yhden osan pituinen ja jana $PB$ on kolmen osan pituinen.

Päättele alla olevan kuvan avulla pisteen $P$ paikkavektori, jos tiedetään, että piste $P$ jakaa janan $AB$

  1. suhteessa 4:1
  2. suhteessa 2:3.

Edellä opittiin ilmaisemaan $xy$-koordinaatiston vektoreita vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan vektori $\bar{v}$ on vektoreiden $2\bar{\imath}$ ja $4\bar{\jmath}$ summa eli $\bar{v} = 2\bar{\imath} + 4\bar{\jmath}$.

Yhteenlaskettavia $2\bar{\imath}$ ja $4\bar{\jmath}$ sanotaan vektorin $\bar{v}$ komponenteiksi. Esimerkiksi vektorin $\bar{u}=-7\bar{\imath}-3\bar{\jmath}$ komponentit ovat vektorit $-7\bar{\imath}$ ja $-3\bar{\jmath}$. Myöhemmin opitaan jakamaan $xy$-tason vektoreita myös muihin kuin koordinaattiakselien suuntaisiin komponentteihin.

Seuraavaksi sovitaan, miten lasketaan minkä tahansa vektoreiden summa. Se tehdään laskemalla vektorit komponenteittain yhteen.

MÄÄRITELMÄ: SUMMA

Vektoreiden $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ summa $\bar{v} + \bar{w}$ saadaan laskemalla vektorit komponenteittain yhteen.

Esimerkiksi alla olevan kuvan vektoreiden $\bar{v}=\bar{\imath}+\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}$ ja $\bar{w} = \textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}$ summa saadaan laskemalla yhteen $x$-akselin suuntaiset komponentit: $$ \bar{\imath} + \textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath} = \textcolor{darkgreen}{5}\bar{\imath} $$ sekä $y$-akselin suuntaiset komponentit: $$ \textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}+(\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath})=\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}=\textcolor{blue}{-}\bar{\jmath}. $$ Vektoreiden $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ summaksi saadaan siis \begin{align*} \bar{v} + \bar{w} &=(\bar{\imath}+\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}) + (\textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}) \\ &= (\textcolor{darkgreen}{1+4})\bar{\imath} + (\textcolor{blue}{2+(-3)})\bar{\jmath} \\ &= \textcolor{darkgreen}{5}\bar{\imath} \textcolor{blue}{-} \bar{\jmath}. \end{align*}

Tutki vektoreita $\bar{v}=-3\bar{\imath}-4\bar{\jmath}$, $\bar{w}=9\bar{\imath}-5\bar{\jmath}$ ja $\bar{u}=-2\bar{\imath}+7\bar{\jmath}$. Laske seuraavat summat:

  1. $\bar{v}+\bar{w}$
  2. $\bar{w}+\bar{u}$
  3. $\bar{v}+\bar{u}$.

Tutki vektoreita $\bar{v}=2\bar{\imath}+2\bar{\jmath}$ ja $\bar{w}=\bar{\imath}+3\bar{\jmath}$.

  1. Piirrä vektori $\bar{v}$ koordinaatistoon.
  2. Piirrä vektori $\bar{w}$ koordinaatistoon siten, että se alkaa vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä.
  3. Laske summa $\bar{v}+\bar{w}$.
  4. Piirrä summavektori $\bar{v}+\bar{w}$ koordinaatistoon siten, että se alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä.
  5. Kerro omin sanoin, mitä havaitset edellisistä kohdista.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Siinä vektorit $\bar{a}=3\bar{\imath}+5\bar{\jmath}$ ja $\bar{b}=4\bar{\imath}+3\bar{\jmath}$ on piirretty peräkkäin niin, että vektori $\bar{b}$ alkaa vektorin $\bar{a}$ loppupisteestä. Vektoreiden $\bar{a}$ ja $\bar{b}$ summa on komponenteittain laskettuna \begin{align*} \bar{a}+\bar{b} &= (\textcolor{darkgreen}{3}\bar{\imath}+\textcolor{blue}{5}\bar{\jmath})+(\textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-2}\bar{\jmath}) \\ &= (\textcolor{darkgreen}{3+4})\bar{\imath}+(\textcolor{blue}{5+(-2)})\bar{\jmath} \\ &= \textcolor{darkgreen}{7}\bar{\imath}+\textcolor{blue}{3}\bar{\jmath}. \end{align*} Saatu summavektori alkaa vektorin $\bar{a}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{b}$ loppupisteeseen. Tämä ilmiö on seuraus yhteenlaskun suorittamisesta komponenteittain.

Summavektorin $\bar{a}+\bar{b}$ voi määrittää piirtämällä samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa: piirretään vektori $\bar{a}$ ja piirretään sen perään vektori $\bar{b}$ niin, että se alkaa vektorin $\bar{a}$ loppupisteestä. Summavektori $\bar{a}+\bar{b}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{a}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{b}$ loppupisteeseen.

Tutki vektoreita $\bar{v}=-2\bar{\imath}+\bar{\jmath}$ ja $\bar{w}=4\bar{\imath}+4\bar{\jmath}$.

  1. Piirrä summavektori $\vv+\vw$ koordinaatistoon vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ avulla.
  2. Päättele piirroksestasi, miten summa $\vv+\vw$ voidaan ilmaista vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  3. Tarkista b-kohdassa saamasi tulos laskemalla yhteen vektorit $\vv$ ja $\vw$ komponenteittain.

Tutki vektoreita $\vu=i+2\vj$, $\vv=-3i+j$ ja $\vw=3i-5j$. Piirrä seuraavat summavektorit koordinaatistoon vektoreiden $\vu, \vv$ ja $\vw$ avulla:

  1. $\vw+\vu+\vv$
  2. $\vv+\vw+\vu$
  3. $\vu+\vv+\vw$.
Vertaa tuloksia. Kerro omin sanoin, mitä huomaat.

Edellisen tehtävän tulos on yksi osoitus siitä, että vektoreiden yhteenlaskun järjestyksellä ei ole merkitystä lopputuloksen kannalta. Vektoreiden yhteenlasku on siis vaihdannainen operaatio. Tämä näkyy myös alla olevassa kuvassa: vektori $4\vj+2\vi$ on sama kuin vektori $2\vi+4\vj$.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Vektori $\va$ voidaan ilmaista vektorin $\vj$ avulla muodossa $5\vj$. Vektori $\va$ saadaan siis kertomalla vektoria $\vj$ luvulla $5$. Sanotaan, että vektori $\va$ on vektorin $\vj$ skalaarimonikerta.

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN KERTOMINEN REAALILUVULLA

Vektorin $\vv$ skalaarimonikerta $r\vv$ saadaan kertomalla vektorin $\vv$ komponentit reaaliluvulla $r$.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Kerrotaan vektori $\vv=-4\vi+3\vj$ luvulla $2$. Se tehdään kertomalla vektorin molemmat komponentit kahdella. Koska $2\cdot (-4\vi)=-8\vi$ ja $2\cdot 3\vj=6\vj$, niin tulokseksi saadaan $2\vv=-8\vi + 6 \vj$.

Tutki vektoria $\va=-\vi+2\vj$.

  1. Ilmoita vektorit $2\va$, $3\va$ ja $-1\va$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Piirrä vektorit $2\va$, $3\va$ ja $-1\va$ koordinaatistoon.
  3. Selitä omin sanoin, miten reaaliluvulla kertominen vaikuttaa vektoriin.

  1. Piirrä koordinaatistoon vektorit $\va=\vi+2\vj$ ja $\vb=2\vi+4\vj$.
  2. Miten voisit ilmaista vektorin $\vb$ vektorin $\va$ avulla?

MÄÄRITELMÄ: VASTAVEKTORI

Vektori $-1\vv$ on vektorin $\vv$ vastavektori. Sitä merkitään $-\vv$.

Alla on näkyvissä eräs vektori $\vv$ ja sen vastavektori $-\vv$.

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Ilmaise kaikki kuvassa näkyvät vektorit vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Mitkä näistä vektoreista ovat toistensa vastavektoreita?

MÄÄRITELMÄ: EROTUS

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ erotus $\vv-\vw$ saadaan lisäämällä vektoriin $\vv$ vastavektori $-\vw$.

Palautetaan mieleen, että summan $\bar{v}+\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä seuraavasti: piirretään vektori $\bar{v}$ ja piirretään sen perään vektori $\bar{w}$ alkamaan vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä. Summa $\bar{v}+\bar{w}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{w}$ loppupisteeseen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Erotuksen $\bar{v}-\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä samaan tapaan vektoreiden $\vv$ ja $-\vw$ avulla. Piirretään vektori $\bar{v}$ ja piirretään sen perään vastavektori $-\bar{w}$ alkamaan vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä. Erotus $\bar{v}-\bar{w}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $-\bar{w}$ loppupisteeseen.

Vektoreiden erotus lasketaan samaan tapaan komponenteittain kuin summakin. Esimerkiksi yllä olevan kuvan vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ erotus on \begin{align*} \vv-\vw &=2\vi+2\vj-(2\vi - 3\vj) \\ &=2\vi+2\vj-2\vi + 3\vj \\ &=0\vi + 5\vj \\ &=5\vj. \end{align*}

Tutki vektoreita $\va=-3\vi+4\vj$ ja $\vb=5\vi+2\vj$.

  1. Laske erotus $\va-\vb$.
  2. Määritä erotus $\va-\vb$ piirtämällä vektoreiden $\va$ ja $-\vb$ avulla.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Ovatko ne sopusoinnussa keskenään?

Edellä tutustuttiin paikkavektorin käsitteeseen: pisteen $P$ paikkavektori $\pv{OP}$ tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on origo $O$ ja loppupiste on piste $P$. Myös muita vektoreita voidaan merkitä samaan tapaan alkupisteen ja loppupisteen avulla. Merkintä $\pv{AB}$ tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on $A$ ja loppupiste on $B$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa $\pv{AB} = 4\vi + 2\vj$ ja $\pv{RS} = \vi - 3\vj$. Lisäksi havaitaan, että vektori $\pv{CD}$ on sama kuin vektori $\pv{AB}$ eli $\pv{CD} = \pv{AB}$, sillä ne voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Muodosta pisteiden $A$ ja $B$ paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$.
  2. Millä laskutoimituksella saat niistä muodostettua vektorin $\pv{AB}$?
  3. Muodosta pisteiden $C$ ja $D$ paikkavektorit $\pv{OC}$ ja $\pv{OD}$.
  4. Millä laskutoimituksella saat niistä muodostettua vektorin $\pv{CD}$?

Kuten edellisessä tehtävässä huomataan, vektori $\pv{AB}$ saadaan muodostettua paikkavektoreiden $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ avulla. Tätä varten täytyy etsiä reitti vektorin $\pv{AB}$ alkupisteestä sen loppupisteeseen. Alkupisteestä $A$ päästään origoon paikkavektorin vastavektorilla $-\pv{OA}$. Origosta päästään pisteeseen $B$ paikkavektorilla $\pv{OB}$. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Vektori $\pv{AB}$ saadaan siis laskemalla yhteen vektorit $-\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$. Toisin sanottuna $$\pv{AB} = -\pv{OA}+\pv{OB}$$ eli $$\pv{AB} = \pv{OB}-\pv{OA}.$$ Yllä olevan kuvan tilanteessa $$ \begin{align*} \pv{AB} &= (3\vi + 3\vj)-(-3\vi + \vj)\\ &=6\vi + 4\vj. \end{align*} $$

Merkitään $A = (-4,1)$ ja $B = (2,-3)$.

  1. Ilmaise paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Määritä vektori $\pv{AB}$ käyttäen hyväksi a-kohdan tuloksia.
  3. Miten vektorin $\pv{AB}$ voisi päätellä suoraan pisteiden $A$ ja $B$ koordinaateista? Selitä omin sanoin.

Tiedetään, että pisteen paikkavektoreissa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat samat kuin pisteen koordinaatit. Tämän vuoksi kahden pisteen välisessä vektorissa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimiksi saadaan vektorin loppupisteen ja alkupisteen koordinaattien erotus. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Merkitään $A = (-12,17)$, $B = (35,11)$, $C = (26,-29)$, $D = (-14,36)$, $E = (10,43)$ ja $F = (58,13)$.

  1. Ilmaise vektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tarkista tulosten järkevyys hahmottelemalla mallikuva tilanteesta.
  2. Ilmaise vektorit $\pv{DA}$ ja $\pv{EF}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tarkista tulosten järkevyys hahmottelemalla mallikuva tilanteesta.

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden suuntia. Alla olevan kuvan vektorit $\va$ ja $\vv$ ovat samansuuntaiset. Myös esimerkiksi vektorit $-\va$ ja $\vu$ ovat samansuuntaiset. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla $\va \upuparrows \vv$ ja $-\va \upuparrows \vu$.

Vektorit $-3\va$ ja $\vw$ ovat puolestaan vastakkaissuuntaiset. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla $-3\va \uparrow\downarrow \vw$.

Vektorit, jotka ovat joko saman- tai vastakkaisuuntaiset, ovat yhdensuuntaiset. Kaikki alla olevan kuvan vektorit ovat yhdensuuntaisia. Esimerkiksi vektorit $\va$ ja $-3\va$ ovat yhdensuuntaiset, mikä voidaan merkitä kirjoittamalla $\va \parallel -3\va$.

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Kirjoita vastauksesi käyttäen yllä esiteltyjä merkintöjä $\upuparrows$ ja $\uparrow\downarrow$.

  1. Mitkä vektorit ovat samansuuntaisia?
  2. Mitkä vektorit ovat vastakkaissuuntaisia?
  3. Mitkä vektorit eivät ole yhdensuuntaisia minkään muun kuvassa näkyvän vektorin kanssa?

  1. Millaisella luvulla kertominen säilyttää vektorin suunnan?
  2. Millaisella luvulla vektoria pitää kertoa, jotta sen suunta muuttuu vastakkaiseksi?

MÄÄRITELMÄ: YHDENSUUNTAISUUS

Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaiset eli $\vv \parallel \vw$, jos ja vain jos $\vv=r\vw$ jollakin reaaliluvulla $r \neq 0$.

Esimerkiksi vektorit $\va=4\vi+6\vj$ ja $\vb=-2\vi-3\vj$ ovat yhdensuuntaiset, sillä \begin{align*} \va &=4\vi+6\vj \\ &=-2(-2\vi-3\vj) \\ &=-2\vb. \end{align*} Yllä vektoreiden yhdensuuntaisuus osoitettiin muokkaamalla vektoria $\va$ niin, että se saatiin ilmoitettua vektorin $\vb$ skalaarimonikertana eli muodossa $t\vb$, missä $t \in \R$. Toinen tapa tutkia vektoreiden yhdensuuntaisuutta on muodostaa yhtälö $\va=t\vb$ ja tutkia, toteutuuko tämä yhtälö jollakin luvulla $t \neq 0$. Jos ratkaisu löytyy, vektorit ovat yhdensuuntaiset. Esimerkiksi edellisessä tilanteessa ratkaisu on $t = -2$. Jos ratkaisua ei löydy, niin vektorit eivät ole yhdensuuntaiset.

Tarkastele vektoria $\vv=-5\vi-5\vj$.

  1. Muodosta kaksi uutta vektoria, jotka ovat vektorin $\vv$ kanssa yhdensuuntaisia.
  2. Onko vektori $\vw=\vi+\vj$ yhdensuuntainen vektorin $\vv$ kanssa?
  3. Onko vektori $\vu=\vi+2\vj$ yhdensuuntainen vektorin $\vv$ kanssa?

Vektorin pituus saadaan laskettua Pythagoraan lauseen avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa vektorin $\va$ pituus $\left|\va\right|$ saadaan yhtälöstä $$ \left|\va\right|^2 = 2^2 + 3^2. $$ Vektorin $\va$ pituudeksi saadaan siis $$ \left|\va\right| = \sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \approx 3{,}6. $$

Koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia, voidaan vektorin pituus määritellä seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN PITUUS

Vektorin $\vv=x\vi+y\vj$ pituus on $$|\vv|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Huomaa, että merkintä $|\vv|$ tarkoittaa vektorin $\vv$ pituutta, kun taas merkintä $|x|$ tarkoittaa luvun $x$ itseisarvoa.

Tutki kuvassa näkyvää vektoria $\va$.

  1. Lausu vektori $\va$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Laske vektorin $\va$ pituus.

Laske tai päättele vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ pituus.

Piirrä vektorit $\vv = -2\vi + 5\vj$ ja $\vw = 7\vi - 4\vj$ koordinaatistoon ja laske niiden pituus.

TEOREEMA

Kaksi vektoria ovat samat, jos ja vain jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät.

Perustelu:

  • Se, että kaksi vektoria ovat samat, tarkoittaa, että ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tällöin ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät.
  • Jos vektorit ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät, ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tämä tarkoittaa, että ne ovat samat.

Tutki vektoria $\vv=6\vi+3\vj$.

  1. Muodosta vektorit $5\vv$, $-2\vv$ ja $\frac{1}{3}\vv$.
  2. Laske vektoreiden $\vv$, $5\vv$, $-2\vv$ ja $\frac{1}{3}\vv$ pituudet.
  3. Selitä omin sanoin, miten vektorin kertominen luvulla vaikuttaa vektorin pituuteen.
  4. Millaisella luvulla vektoria tulee kertoa, jotta se pitenee?
  5. Millaisella luvulla vektoria tulee kertoa, jotta se lyhenee?

Tarkastellaan alla olevan kuvan vektoreiden $\va=2\vi+\vj$ ja $-4\va=-8\vi-4\vj$ pituuksia. Huomataan, että vektorin $\va$ pituus on $$ \begin{align*} |\va|&=\sqrt{2^2+1^2} \\ &= \sqrt{4+1} \\ &=\sqrt{5} \end{align*} $$ ja vektorin $-4\va$ pituus on $$ \begin{align*} |-4\va|&=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2} \\ &= \sqrt{64+16} \\ &=\sqrt{80} \\ &= \sqrt{16\cdot 5} \\ &=\sqrt{16} \cdot \sqrt{5} \\ &=4\sqrt{5} \\ &=4\cdot |\va|\\ &=|-4|\cdot |\va|. \end{align*} $$

Voidaan näyttää, että tämä pätee kaikille vektoreille: Vektorin $t\vv$ pituus $|t\vv|$ saadaan kertomalla vektorin $\vv$ pituutta luvun $t$ itseisarvolla. Tämä teoreema perustellaan myöhemmin $xyz$-koordinaatistoa käsittelevässä luvussa.

TEOREEMA

Kaikilla vektoreilla $\vv$ ja reaaliluvuilla $t$ pätee, että $$|t\vv|=|t|\cdot |\vv|.$$

 

MÄÄRITELMÄ: YKSIKKÖVEKTORI

Vektoria, jonka pituus on $1$, sanotaan yksikkövektoriksi.

Tehtävän 25 mukaan vektorit $\vi$ ja $\vj$ ovat yksikkövektoreita, sillä niiden pituus on $1$. Niiden lisäksi on paljon muitakin yksikkövektoreita. Perehdytään seuraavaksi siihen, miten voidaan määrittää annetun vektorin suuntainen yksikkövektori.

Tarkastellaan alla olevan kuvan vektoria $\vv = 8\vi + 6\vj$. Sen pituudeksi saadaan $$ \begin{align*} |\vv| &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10. \end{align*} $$ Vektorin $\vv$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori saadaan ottamalla siitä kymmenesosa, eli $$ \begin{align*} \frac{1}{10}\vv &= \frac{1}{10}(8\vi + 6\vj) \\ &= 0{,}8\vi + 0{,}6\vj \end{align*} $$

Tutki vektoria $\vb = 3\vi - 4\vj$.

  1. Laske vektorin $\vb$ pituus.
  2. Määritä vektorin $\vb$ kanssa samansuuntainen vektori, jonka pituus on $10$. Piirrä se koordinaatistoon.
  3. Määritä vektorin $\vb$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori eli vektori, joka pituus on $1$. Piirrä se koordinaatistoon.
  4. Määritä vektorin $\vb$ kanssa vastakkaissuuntainen yksikkövektori. Piirrä se koordinaatistoon.

Edellä opittiin ilmaisemaan $xy$-tason vektoreita vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $\va = 6\vi + 3\vj$. Yhteenlaskettavia $6\vi$ ja $3\vj$ kutsutaan vektorin $\va$ komponenteiksi.

Vektori $\va$ voidaan jakaa komponentteihin muillakin tavoilla. Alla olevasta kuvasta nähdään, että vektori $\va$ voidaan kirjoittaa myös muodossa $\va = 5\vv + 4\vw$, missä $\vv = 2\vi-\vj$ ja $\vw = -\vi+2\vj$. Sanotaan, että $5\vv$ ja $4\vw$ ovat vektorin $\va$ vektorien $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

 

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN KOMPONENTIT

Oletetaan, että $\vv$ ja $\vw$ ovat kaksi vektoria, joista kumpikaan ei ole nollavektori. Oletetaan lisäksi, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ eivät ole yhdensuuntaiset.
Jos vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $$\va = s\vv + t\vw$$ missä $s$ ja $t$ ovat reaalilukuja, niin sanotaan, että $s\vv$ ja $t\vw$ ovat vektorin $\va$ vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

Tarkaste yllä olevaa kuvaa ja vektoria $\va = 6\vi + 3\vj$. Jaa vektori $\va$ vektoreiden $\vb$ ja $\vc$ suuntaisiin komponentteihin kuvan avulla päättelemällä,

  1. jos $\vb = \vi + 2\vj$ ja $\vc = \vi-\vj$.
  2. jos $\vb = \vi - 2\vj$ ja $\vc = \vi+\vj$.
Piirrä molemmissa tapauksissa komponenttivektorit näkyviin ja ilmaise ne vektorien $\vb$ ja $\vc$ avulla.

MÄÄRITELMÄ: PISTETULO

Vektoreiden $\vv=x_1\vi+y_1\vj$ ja $\vw=x_2\vi+y_2\vj$ pistetulo on $$\vv \cdot \vw = x_1x_2+y_1y_2.$$

Vektoreiden pistetulosta saadaan siis tuloksena aina reaaliluku. Esimerkiksi vektoreiden $\vv=-2\vi+4\vj$ ja $\vw=3\vi-\vj$ pistetulo on \begin{align*} \vv \cdot \vw &= (-2\vi+4\vj) \cdot (3\vi-\vj) \\ &= (-2) \cdot 3 + 4\cdot (-1) \\ &= -6-4 \\ &=-10. \end{align*} Reaalilukuja voidaan kutsua skalaareiksi, minkä vuoksi pistetuloa kutsutaan joskus skalaarituloksi.

Tarkaste vektoreita $\va=7\vi+6\vj$, $\vb=3\vi-5\vj$ ja $\vc=5\vi+3\vj$.

  1. Piirrä vektorit $\va$, $\vb$ ja $\vc$ koordinaatistoon niin, että ne alkavat samasta pisteestä.
  2. Laske pistetulo $\va \cdot \vb$.
  3. Laske pistetulo $\va \cdot \vc$.
  4. Laske pistetulo $\vb \cdot \vc$.
  5. Millaisessa tilanteessa vektoreiden pistetulo on nolla? Vertaa edellisten laskujen tuloksia ja piirtämääsi kuvaa.

Tarkastele vektoreita $\va=-11\vi+5\vj$, $\vb=-4\vi-7\vj$ ja $\vc=3\vi-9\vj$ sekä reaalilukua $t=3$.

  1. Laske pistetulot $\va \cdot \vb$ ja $\va \cdot \vc$.
  2. Laske pistetulo $\va \cdot (\vb + \vc)$.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?
  4. Laske pistetulot $(t\va) \cdot \vb$ ja $\va \cdot (t\vb)$.
  5. Vertaa a- ja d-kohtien tuloksia. Millaisen ilmiön huomaat?

Pistetulolla voidaan laskea tavallisten laskusääntöjen mukaan. Näitä on koottu alla olevaan teoreemaan.

TEOREEMA

Olkoot $\va$, $\vb$ ja $\vc$ vektoreita ja $t$ reaaliluku. Pistetulolla on seuraavat ominaisuudet:

  1. vaihdannaisuus: $\va \cdot \vb = \vb \cdot \va$
  2. osittelulaki: $\va \cdot (\vb + \vc) =(\va \cdot \vb) + (\va \cdot \vc)$
  3. skalaarin siirto: $t(\va \cdot \vb) =(t\va) \cdot \vb = \va \cdot (t\vb)$

Perustelu: Merkitään $\va = x_1\vi + y_1\vj$ ja $\vb = x_2\vi+y_2\vj$.

  1. Pistetulon määritelmän mukaan $\va \cdot \vb = x_1x_2 + y_1y_2$ ja $\vb \cdot \va = x_2x_1+y_2y_1$. Koska $x_1$ ja $x_2$ sekä $y_1$ ja $y_2$ ovat reaalilukuja, voi niiden järjestyksen kertolaskussa vaihtaa. Siis $x_1x_2 = x_2x_1$ ja $y_1y_2 = y_2y_1$. Tästä seuraa, että $\va \cdot \vb = \vb \cdot \va$.

Ominaisuudet 2. ja 3. voidaan perustella samaan tapaan.

Tarkastele vektoria $\va=-6\vi+8\vj$.

  1. Laske pistetulo $\va \cdot \va$.
  2. Laske vektorin $\va$ pituus.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?

Tarkastele vektoria $\vv=x\vi+y\vj$.

  1. Muodosta lauseke pistetulolle $\vv \cdot \vv$.
  2. Muodosta lauseke vektorin $\vv$ pituudelle $\left|\vv\right|$.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Vektorin pistetulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin vektorin pituuden neliö. Toisin sanottuna $\vv \cdot \vv = \left|\vv\right|^2$

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden välisen kulman ja pistetulon yhteyttä. Vektoreiden välistä kulmaa voidaan tarkastella, jos vektoreiden alkupisteet ovat samat. Vektoreiden välisellä kulmalla tarkoitetaan muodostuvista kulmista pienempää. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ väliselle kulmalle käytetään merkintää $\sphericalangle(\vv,\vw)$ kuten yllä olevassa kuvassa. Joskus käytetään myös lyhyttä merkintää $(\vv,\vw)$.

Tarkastele yllä olevaa kuvaa.

  1. Kuinka suuri on vektoreiden $\vv$ ja $2\vv$ välinen kulma?
  2. Kuinka suuri on vektoreiden $\vv$ ja $-\vv$ välinen kulma?
  3. Jos vektorit ovat samansuuntaiset, mikä niiden välinen kulma on?
  4. Jos vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, mikä niiden välinen kulma on?

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Siirrä vektorit tarvittaessa alkamaan samasta pisteestä.

  1. Kuinka suuri on vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma $\sphericalangle(\va,\vb)$?
  2. Kuinka suuri on vektoreiden $\va$ ja $\vc$ välinen kulma $\sphericalangle(\va,\vc)$?
  3. Kuinka suuri on vektoreiden $\vb$ ja $\vc$ välinen kulma $\sphericalangle(\vb,\vc)$?

Geometria-kurssista tutun kosinilauseen ja pistetulon ominaisuuksien avulla saadaan perusteltua seuraava teoreema, joka yhdistää pistetulon ja vektoreiden välisen kulman. Teoreema perustellaan myöhemmin $xyz$-koordinaatistoa käsittelevässä luvussa.

TEOREEMA

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetulolle pätee $$\vv \cdot \vw = |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw).$$
Jos $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$, niin vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma $(\vv, \vw)$ saadaan yhtälöstä $$ \cos (\vv, \vw)=\frac{\vv \cdot \vw}{|\vv||\vw|}. $$

Edellisen teoreeman merkintä $\cos(\vv, \vw)$ tarkoittaa siis vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välisen kulman kosinia.

Vektorin $\va$ pituus on $\left|\va\right| = 3$ ja vektorin $\vb$ pituus on $\left|\vb\right| = 7$. Laske edellisen teoreeman avulla pistetulo $\va \cdot \vb$, jos

  1. vektorit $\va$ ja $\vb$ ovat samansuuntaiset.
  2. vektorit $\va$ ja $\vb$ ovat vastakkaissuuntaiset.
  3. vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $45^{\circ}$.
  4. vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $135^{\circ}$.
  5. vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $90^{\circ}$.
Selitä omin sanoin, miten vektoreiden välinen kulma liittyy pistetulon etumerkkiin.

Tarkaste kolmiota $ABC$, missä $\overline{AB}=5\vi-4\vj$ ja $\overline{AC}=9\vi+3\vj$.

  1. Laske kolmion kulmien suuruudet asteen tarkkuudella.
  2. Piirrä kuva kolmiosta $ABC$ ja tarkista, onko vastauksesi järkevä.

Pistetulon avulla voidaan tarkistaa, ovatko vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan.

TEOREEMA

Oletetaan, että $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$. Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos $\vv \cdot \vw = 0$.

Perustelu:

  • Oletetaan, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli $\sphericalangle(\vv,\vw)=90^{\circ}$. Tällöin \begin{align*} \vv \cdot \vw &= |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw) \\ &= |\vv||\vw|\cos 90^{\circ} \\ &= |\vv||\vw| \cdot 0 \\ &= 0. \end{align*} Siis $\vv \cdot \vw = 0$.
  • Oletetaan, että $\vv \cdot \vw = 0$. Tiedetään, että $\vv \cdot \vw = |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw)$. Näistä tiedoista voidaan päätellä, että $|\vv||\vw|\cos (\vv, \vw) = 0$.

    Oletuksen mukaan $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$, joten vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituudet ovat positiivisia: $\left|\vv\right| > 0$ ja $\left|\vw\right| > 0$. Tulon nollasäännön avulla voidaan siten päätellä, että $\cos (\vv, \vw) = 0$. Tästä seuraa, että $\sphericalangle(\vv,\vw)=90^{\circ}$.

    Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat siis toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Tutki vektoreita $\vv=-2\vi+3\vj$ ja $\vw=x\vi+3\vj$.

  1. Muodosta lauseke pistetulolle $\vv \cdot \vw$.
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
  3. Piirrä vektorit $\vv$ ja $\vw$ koordinaatistoon ja tarkista, onko vastauksesi järkevä.

Vektorin esittäminen vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla

Tarkastele alla olevan kuvan vektoreita. Mitkä niistä voidaan esittää muodossa $2\vi+\vj$?

Vektoreiden samuus

Päättele, millä reaaliluvuilla $r$ ja $s$ vektorit $\vv=-r\vi+8\vj$ ja $\vw=5\vi-12s\vj$ ovat samat. Selitä, miten päättelit.

Paikkavektori

Määritä pisteen $P$ koordinaatit, jos

  1. $\pv{OP}=\vi+2\vj$
  2. $\pv{OP}=3\vi-4\vj$
  3. $\pv{OP}=-\vj$.

Vektoreiden laskutoimituksia

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Päättele kuvan avulla, mihin pisteeseen päädyt, kun lähdet pisteestä $(2,3)$ ja siirryt

  1. vektorin $\va$ verran
  2. ensin vektorin $\va$ verran ja sitten vektorin $\vb$ verran
  3. vektorin $-\vb$ verran
  4. ensin vektorin $-\va$ verran ja sitten vektorin $\vb$ verran.
Mihin vektoreiden laskutoimituksiin b- ja d-kohdat liittyvät?

Vektoreiden summa ja erotus

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Piirrä vektoreiden $\vv$, $\vw$ ja $\vu$ avulla vektorit

  1. $\vv+\vw$
  2. $\vw-\vv$
  3. $\vv-\vw-\vu$
  4. $\vv-\vw+\vu$

Vektorin kertominen luvulla

Tarkastele alla olevaan kuvaa. Ilmaise vektorit $\vb, \vc, \bar{d}$ ja $\bar{e}$ vektorin $\va$ avulla.

Vektoreiden summa ja erotus

Tarkastele vektoreita $\vv=-2\vi+7\vj$, $\vw=6\vi-10\vj$ ja $\vu=-3\vi+5\vj$. Määritä

  1. $(\vv+\vw)-(\vw+\vu)$
  2. $(\vv+\vw)-(\vv-\vu)-(\vw+\vu)$.
Yritä ratkaista tehtävä mahdollisimman vähällä vaivalla.

Paikkavektori

Tutki vektoria $\pv{AB}=-9\vi+5\vj$. Määritä pisteen $B$ paikkavektori kuvan avulla päättelemällä tai laskemalla, jos

  1. piste $A=(11,2)$
  2. piste $A=(-8,-7)$.
Jos määritit paikkavektorin laskemalla, tarkista tuloksen järkevyys hahmottelemalla kuva tilanteesta.

Kahden pisteen välinen vektori

Määritä vektori $\pv{AB}$ laskemalla tai kuvan avulla päättelemällä, jos

  1. $A=(-5,2)$ ja $B=(3,1)$
  2. $A=(3,-7)$ ja $B=(-4,8)$.
Jos määritit vektorin laskemalla, tarkista tuloksen järkevyys piirtämällä kuva tilanteesta.

Kahden pisteen välinen vektori

Tarkastele pisteitä $A=(-2,4)$, $B=(3,1)$ ja $C=(5,-3)$. Määritä piste $D$ laskemalla tai piirtämällä, jos

  1. $\pv{CD}=\pv{AB}$
  2. $\pv{DC}=\pv{AB}$
  3. $\pv{AD}=-\pv{AC}$
  4. $\pv{BC}=-\pv{AD}$.
Jos määritit pisteen laskemalla, havainnollista ratkaisuasi piirtämällä kuva tilanteesta.

Kahden pisteen välinen vektori

Tarkastele pisteitä $A=(-1,4)$, $B=(3,-2)$ ja $C=(-2,1)$.

  1. Piirrä koordinaatistoon vektori $\pv{AB}$.
  2. Lausu vektori $\pv{AB}$ paikkavektoreiden $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ avulla.
  3. Sievennä edellisen kohdan lauseke muotoon, jossa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat pisteiden $A$ ja $B$ koordinaattien erotuksia.
  4. Määritä vektori $\pv{AC}$ suoraan käyttämällä tietoa, että vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat vektorin loppupisteen ja alkupisteen koordinaattien erotuksia.

Vektoreiden suunta

Tarkastele alla olevassa kuvassa olevaa vektoria $\vv$. Piirrä koordinaatisto ja siihen

  1. jokin vektori, joka on sama kuin $\vv$
  2. vektori, joka on vektorin $\vv$ kanssa samansuuntainen mutta kuitenkin eri vektori
  3. vektori, joka on vektorin $\vv$ kanssa yhdensuuntainen mutta ei samansuuntainen.
  4. jokin vektori, jonka pituus on 1,5 kertaa vektorin $\vv$ pituus ja joka ei ole vektorin $\vv$ kanssa yhdensuuntainen.
Onko jokin piirtämistäsi vektoreista vektorin $\vv$ vastavektori? Jos ei, piirrä koordinaatistoon vielä vektorin $\vv$ vastavektori.

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Oletetaan, että kumpikaan vektoreista $\vv$ ja $\vw$ ei ole nollavektori. Tutki, ovatko vektorit $\vv$ ja $\vw$ yhdensuuntaiset, jos

  1. $\vv=6\vw$
  2. $2\vv+2\vw=14\vw-\vv$.

Paikkavektori

Merkitään $A=(-5,2)$, $B=(-1,-1)$ ja $C=(2,1)$. Tiedetään, että vektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ ovat yhtä pitkät. Määritä piste $D$, jos vektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ ovat

  1. samansuuntaiset
  2. vastakkaissuuntaiset.
Ratkaise tehtävä sekä piirroksen avulla että ilman piirrosta.

Paikkavektori

Pisteen $A$ paikkavektori on $\pv{OA}=5\vi+12\vj$. Tiedetään, että $B=(-2,-5)$ ja $C=(2,-1)$.

  1. Vektori $\pv{BD}$ on samansuuntainen kuin vektori $\pv{OA}$ ja sen pituus on kaksi kertaa vektorin $\pv{OA}$ pituus. Päättele, mikä piste $D$ on. Selitä, miten ajattelit.
  2. Vektori $\pv{CE}$ on yhdensuuntainen vektorin $\pv{OA}$ kanssa ja sen pituus on puolet vektorin $\pv{OA}$ pituudesta. Mitä voit päätellä pisteestä $E$? Selitä, miten ajattelit.

Vektoreiden summa ja erotus

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Muodosta kuvan vektoreiden avulla lauseke, jolla kuljetaan

  1. pisteestä $A$ pisteeseen $C$
  2. pisteestä $B$ pisteeseen $D$
  3. origosta eli pisteestä $O$ pisteeseen $B$.

Paikkavektori

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Lausu kuvan vektorit vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Muodosta kuvan vektoreiden avulla lauseke, jolla kuljetaan origosta $O$ pisteeseen $C$.
  3. Sijoita edellisen kohdan lausekkeeseen a-kohdan vektorit ja sievennä lauseke.
  4. Katso kuvasta pisteen $C$ koordinaatit. Vertaa tulosta c-kohdan tulokseen.
  5. Mikä on pisteen $C$ paikkavektori?

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Päättele, ovatko vektorit $\va$ ja $\vb$ yhdensuuntaiset, jos

  1. $\va=\frac{1}{4}\vi+3\vj$ ja $\vb=\vi-12\vj$
  2. $\va=-10\vi+\frac{2}{5}\vj$ ja $\vb=\frac{4}{5}\vi+2\vj$?
Perustele sanallisesti.

Vektorin pituus

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Mitkä kuvan vektoreista ovat yhtä pitkiä kuin vektori $\vv$? Perustele vastauksesi.

Vektorin pituus

Vektorin $\vv$ pituus on 24.

  1. Määritä vektoreiden $-6\vv$ ja $\frac{1}{8}\vv$ pituudet.
  2. Vertaa vektoreiden $-6\vv$ ja $\frac{1}{8}\vv$ suuntaa vektorin $\vv$ suuntaan.

Yksikkövektori

Muodosta vektorin $\vv=-5\vi+9\vj$ kanssa

  1. samansuuntainen yksikkövektori
  2. samansuuntainen vektori, jonka pituus on $4$.

Yksikkövektori

Tiedetään, että vektorin $\vv$ pituus on

  1. $|\vv| = 8$
  2. $|\vv| = \sqrt{5}$
  3. $|\vv| = \frac{1}{3}$.
Selitä, miten voit näissä tapauksissa määrittää vektorin $\vv$ kanssa samansuuntaisen yksikkövektorin.

Vektorin jakaminen komponentteihin

Jaa vektori $\va = 4\vi - 2\vj$ vektoreiden $\vv = 3\vi + \vj$ ja $\vw = -\vi-\vj$ suuntaisiin komponentteihin kuvan avulla päättelemällä. Piirrä komponenttivektorit näkyviin ja ilmaise ne vektorien $\vv$ ja $\vw$ avulla.

Pistetulo

Laske vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetulo, jos

  1. $\vv=\frac{1}{2}\vi-3\vj$ ja $\vw=10\vi+7\vj$
  2. $\vv=9\vi+11\vj$ ja $\vw=\frac{2}{3}\vi-2\vj$

Pistetulo

Kolmion kärjet ovat $A=(-4,3)$, $B=(5,2)$ ja $C=(1,-2)$.

  1. Muodosta vektorit $\pv{AB}$, $\pv{BC}$ ja $\pv{CA}$.
  2. Osoita pistetulon avulla, että kolmio on suorakulmainen.

Vektoreiden välinen kulma

Kolmion $ABC$ kärjet ovat pisteissä $A=(-7,1)$, $B=(4,9)$ ja $C=(-3,-5)$.

  1. Laske kolmion kulmien suuruudet asteen tarkkuudella.
  2. Piirrä kuva kolmiosta $ABC$ ja tarkista, onko vastauksesi järkevä.

Vektoreiden välinen kulma

Tarkastele alla olevan kuvan kolmiota. Määritä pistetulon avulla asteen tarkkuudella kulmat

  1. $\sphericalangle(\pv{AB},\pv{AC})$
  2. $\sphericalangle(\pv{AB},\pv{CB})$
  3. $\sphericalangle(\pv{CA},\pv{BC})$.
Piirrä kuva tilanteesta ja merkitse siihen, mikä kulma on kysymyksessä.

Vektoreiden kohtisuoruus

  1. Etsi piirroksen avulla vektori, joka on yhtä pitkä kuin vektori $\vv = 2\vi-3\vj$ ja kohtisuorassa sitä vastaan.
  2. Päättele, mikä vektori on yhtä pitkä kuin vektori $\vw = x\vi+y\vj$ ja kohtisuorassa sitä vastaan.
  3. Tarkista pistetulon avulla, että b-kohdassa tekemäsi johtopäätös on oikein.

Laiva kulkee suoraan tasaisella nopeudella. Eräällä hetkellä laiva on pisteessä $A=(-7,10)$ ja tuntia myöhemmin pisteessä $B=(6,-5)$.

  1. Määritä vektori, joka kuvaa laivan siirtymää tunnin aikana.
  2. Missä pisteessä laiva oli kaksi tuntia ennen saapumistaan pisteeseen $A$?
  3. Missä pisteessä laiva on 40 minuuttia sen jälkeen, kun se jätti pisteen $B$?

Tiedetään, että tyynessä säässä kuumailmapallo nousee suoraan ylöspäin nopeudella $3 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$. Sääennusteen mukaan lentopäivänä tuuli puhaltaa idästä $4 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$ ja kuljettaa palloa kohti länttä nousun aikana.

  1. Muodosta vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla vektori, joka kuvaa kuumailmapallon siirtymää yhden sekunnin aikana.
  2. Muodosta vektori, joka kuvaa kuumailmapallon siirtymää kahden minuutin aikana.
  3. Kuinka korkealla kuumailmapallo on kahden minuutin kuluttua lähdöstä?
  4. Mikä on kuumailmapallon etäisyys lähtöpaikasta kahden minuutin kuluttua?

Suunnikkaan kolme kärkipistettä ovat $(-1,2), (5,2)$ ja $(1,5)$. Määritä suunnikkaan neljäs kärkipiste

  1. kuvan avulla
  2. vektoreiden avulla.
Huomaa, että ratkaisuja on useita. Vertaile ratkaisuja kaverin kanssa.

Tutki vektoreita $\va=2\vi+3\vj$, $\vb=-3\vi+\vj$ ja $\vc=\vi-4\vj$.

  1. Piirrä vektori $\va +\vb +\vc$ koordinaatistoon vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ avulla.
  2. Selitä omin sanoin, mitä huomaat.
  3. Miten voit ilmaista vektorin $\vc$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla?

Tarkastele pisteitä $A=(2{,}-5)$ ja $B=(5{,}1)$.

  1. Piirrä pisteet $A$ ja $B$ yhdistävä jana koordinaatistoon.
  2. Sijoita piste $P$ janalle silmämääräisesti siten, että se jakaa janan $AB$ suhteessa $2:3$.
  3. Lausu vektori $\pv{AP}$ vektorin $\pv{AB}$ avulla.
  4. Määritä pisteen $P$ koordinaatit.

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Ilmoita vektorit $\vv$ ja $\vw$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Laske vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituudet.
  3. Muodosta vektori $3\vv-4\vw$ ja laske sen pituus.

Tutki, onko olemassa sellainen reaaliluku $r$, että vektorit $\vv=(2+3r)\vi-4\vj$ ja $\vw=5\vi+(r-5)\vj$ ovat

  1. yhdensuuntaiset
  2. samat.
Ovatko vektorit $\vv$ ja $\vw$ a-kohdan tapauksessa samansuuntaiset vai vastakkaissuuntaiset? Voit ratkaista ratkaisussa muodostuvat yhtälöparit laskimella.

Määritä vektoreiden $\va=2\vi+5\vj$ ja $\vb=\vi-2\vj$ summavektori ja summavektorin suuntainen yksikkövektori. [YO K09, 3a]

Selvitä, mihin pisteeseen päädyt, jos siirryt

  1. pisteestä $A=(7,3)$ kymmenen pituusyksikköä vektorin $\vv=3\vi-4\vj$ suuntaan
  2. pisteestä $B=(4,-8)$ viisi pituusyksikköä vektorin $\vv=-12\vi+9\vj$ suuntaan.
Havainnollista ratkaisuasi piirroksella.

Vektorien $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ päätepisteet ovat $A=(3,1)$, $B=(7,3)$, $(C=1,4)$ ja $D=(-3,-2)$. Laske vektorien välisen kulman suuruus $0{,}1$ asteen tarkkuudella. Piirrä kuvio. [YO S05, 3]

Tutki, onko kolmio suorakulmainen, jos sen eräästä kärjestä alkavat sivuvektorit ovat

  1. $\va=3\vi+\vj$ ja $\vb=2\vi+6\vj$
  2. $\va=-4\vi-3\vj$ ja $\vb=-2\vi-4\vj$.
Kannattaa piirtää tilanteesta kuva. Perustele vastauksesi kuitenkin laskemalla.

Kolmiossa $ABC$ on $\pv{AB}=2,2\vi+7,3\vj$ ja $\pv{AC}=5,9\vi-2,1\vj$.

  1. Määritä kolmanteen sivuun liittyvä vektori $\pv{BC}$.
  2. Osoita, että $BC$ on kolmion pisin sivu.
  3. Määritä kulman $BAC$ suuruus pistetulon avulla 0,1 asteen tarkkuudella.
[YO S2007, 3]

Olkoon $\pv{OA}=7\vi+9\vj$ tason vektori. Määritä kaikki sellaiset vektorit $\pv{OB}$, että kulma OAB on suora ja vektorin $\pv{AB}$ pituus on puolet vektorin $\pv{OA}$ pituudesta. [YO K2005, 4]

Origosta alkavan vektorin $\va=2\vi+7\vj$ päätepisteestä $P$ alkava ja $x$-akselin pisteeseen $Q$ päättyvä vektori $\vb$ on kohtisuorassa vektoria $\va$ vastaan. Määritä pisteet $P$ ja $Q$ sekä vektori $\vb$. [YO lyhyt K1989, 6a]

Lentäjä ohjaa lentokonetta länteen. Tyynessä säässä lentokone liikkuisi suoraan länttä kohti $210~\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}$, mutta tuuli puhaltaa pohjoisesta $25~\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$ ja kuljettaa konetta etelän suuntaan.

  1. Mihin suuntaan lentokone todellisuudessa lentää?
  2. Mikä on lentokoneen vauhti maan suhteen?
Tiedetään, että $1~\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = 3{,}6~\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}.$

Vedät pulkkaa voimalla $\bar{F} = x\vi + y\vj$, jonka suuruus on $|\bar{F}| = 150~\textrm{N}$.

  1. Mikä on vektorin $\vj$ suuntaisen komponentin suuruus, jos vektorin $\vi$ suuntaisen komponentin suuruus on 90 N?
  2. Jos vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ suuntaiset komponentit ovat yhtä suuret, kuinka suuret ne ovat?
Havainnollista ratkaisuasi piirtämällä tilanteesta mallikuva.

Voiman $\bar{F} = x\vi + y\vj$ suuruus on $|\bar{F}| = 84~\textrm{N}$. Mikä on vektorin $\vi$ suuntaisen komponentin suuruus, jos vektorin $\vj$ suuntaisen komponentin suuruus on 60,2 N? Havainnollista ratkaisuasi piirtämällä tilanteesta mallikuva.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitestit opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla. Linkit luvun itsearviointitesteihin ovat tässä: ensimmäinen testi ja toinen testi.