Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA5 - Analyyttinen geometria

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Itseisarvoyhtälö ja -epäyhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että vahvistat itseisarvon käsitteeseen liittyvää osaamistasi ja ratkaiset sujuvasti erilaisia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä. Osaat

  • ratkaista muotoa $\left| x - a \right| = t$ olevia yhtälöitä tutkimalla, mitkä luvut ovat etäisyydellä $t$ luvusta $a$
  • ratkaista muotoa $\left| x - a \right| = \left| x - b \right|$ olevia yhtälöitä tutkimalla, mitkä luvut ovat yhtä kaukana luvuista $a$ ja $b$
  • ratkaista erilaisia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä eri tavoin:
    • etäisyystulkinnan avulla päättelemällä
    • muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä tai epäyhtälöä
    • graafisesti koordinaatistossa
  • havainnollistaa ratkaisuja lukusuoralla ja koordinaatistossa.

Kurssin ensimmäisessä luvussa Etäisyys opittiin, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista etäisyyksiä lukusuoralla. Itseisarvoa tarvittiin myös, kun määritettiin tason pisteen etäisyys suorasta (teoreema 13). Kun määritettiin yhtälö ympyrän tangetille tai paraabelille, ratkaistiin yhtälö, jossa esiintyi itseisarvo. Tässä kappaleessa syvennytään tarkemmin itseisarvoyhtälöiden ratkaisemiseen.

Aloitetaan palauttamalla mieleen itseisarvon määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: ITSEISARVO

Luvun $a$ itseisarvo $\left|a\right|$ ilmaisee luvun $a$ etäisyyden luvusta nolla lukusuoralla.

Luvussa Etäisyys johdettiin seuraava teoreema, jonka mukaan erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla:

TEOREEMA

Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys lukusuoralla on $\left|a-b\right|$.

Yksinkertaisimmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista tämän teoreeman avulla päättelemällä. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|x - 8\right| = 3$.

  1. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $8$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $8$ on kolme.
  2. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x - 8\right| = 3$?

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|x + 6 \right| = 4$.

  1. Kirjoita summa $x + 6$ erotuksena.
  2. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $-6$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $-6$ on neljä.
  3. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x + 6 \right| = 4$?

Useilla itseisarvoyhtälöillä on kaksi ratkaisua. Esimerkiksi yhtälön $\left|x - 7 \right| = 2$ toteuttavat ne luvut, joiden etäisyys luvusta $7$ on kaksi:

Yhtälöllä $\left|x - 7 \right| = 2$ on siis kaksi ratkaisua: $x_1 = 5$ ja $x_2 = 9$.

Keksi jokin sellainen vakion $a$ arvo, että yhtälöllä $\left|x - 5 \right| = a$

  1. on tasan kaksi ratkaisua
  2. on tasan yksi ratkaisu
  3. ei ole yhtään ratkaisua.

Joillakin itseisarvoyhtälöillä ei ole lainkaan ratkaisua. Esimerkiksi yhtälö $$\left|x - 10 \right| = -3$$ on aina epätosi, sillä sen oikea puoli on negatiivinen mutta vasen puoli on itseisarvon määritelmän perusteella aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Ennen itseisarvoyhtälön ratkaisemista kannattaakin ensin miettiä, voiko yhtälöllä ylipäätään olla ratkaisuja.

Ratkaise seuraavat yhtälöt päättelemällä. Voit käyttää piirrosta apuna, jos haluat.

  1. $\left|x\right| = 7$
  2. $\left|x - 5 \right| = 9$
  3. $\left|1 + x \right| = 8$
  4. $\left|4 - x \right| = -6$

  1. $x = 7$ tai $x = -7$
  2. $x = 14$ tai $x = -4$
  3. $x = 7$ tai $x = -9$
  4. Ei ratkaisuja.

Monimutkaisemmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x + 3$ arvo on $4$ tai $-4$. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

  1. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $4$): \begin{align*} 2x-3 &= 4 \\ 2x &= 7 \\ x &= \frac{7}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \frac{7}{2} - 3 \right| = \left|4 \right| =4.$$
  2. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $-4$): \begin{align*} 2x-3 &= -4 \\ 2x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 \right| = \left|-4 \right| = 4.$$

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = 4$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{7}{2} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{2}.$$

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|3x + 1 \right| = 5$.

  1. Luettele luvut, joiden itseisarvo on $5$.
  2. Muodosta a-kohdan avulla alkuperäisestä yhtälöstä kaksi tavallista yhtälöä.
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöt. Tarkista, että saamasi ratkaisut todella toteuttavat alkuperäisen yhtälön.

Ratkaise seuraavat itseisarvoyhtälöt:

  1. $\left|8x - 11 \right| = 3$
  2. $\left|5x - 30\right| = -10$
  3. $\left|7 - 6x \right| = 9$

  1. $x = \frac{7}{4}$ tai $x = 1$
  2. Ei ratkaisuja.
  3. $x = -\frac{1}{3}$ tai $x = \frac{8}{3}$

Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöitä, joissa esiintyy kaksi itseisarvoa. Niiden ratkaisemiseen voidaan käyttää samoja menetelmiä kuin edellä. Yksinkertaisimmat yhtälöt voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee lukujen etäisyyden lukusuoralla.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|x - 3 \right| = \left|x + 5 \right|$.

  1. Kirjoita summa $x + 5$ erotuksena.
  2. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luvut $3$ ja $-5$. Mitkä luvut ovat yhtä kaukana luvuista $3$ ja $-5$?
  3. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x - 3 \right| = \left|x + 5 \right|\,$?

Ratkaise seuraavat yhtälöt päättelemällä. Voit käyttää piirrosta apuna, jos haluat.

  1. $\left|x - 1 \right| = \left|x - 9 \right|$
  2. $\left|x + 2 \right| = \left|7 - x \right|$

  1. $x = 5$
  2. $x = \frac{5}{2}$

Monimutkaisemmat tapaukset on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Menetelmä perustuu Etäisyys-luvussa perusteltuun teoreemaan 2. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat samat tai toistensa vastalausekkeet. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

  1. vaihtoehto (lausekkeet ovat samat): \begin{align*} 2x-3 &= 5x + 4 \\ -3x &= 7 \\ x &= -\frac{7}{3} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 4 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
  2. vaihtoehto (lausekkeet ovat toistensa vastalausekkeet): \begin{align*} 2x - 3 &= -(5x + 4) \\ 2x - 3 &= -5x - 4 \\ 7x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{7} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + 4 \right| = \left|\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = -\frac{7}{3} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{7}.$$

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left|2 - 7x \right| = \left|3x + 6 \right|$.

  1. Oletetaan, että itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat samat. Muodosta tästä yhtälö ja ratkaise se.
  2. Oletetaan, että itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat toistensa vastalausekkeet. Muodosta tästä yhtälö ja ratkaise se.
  3. Onko mahdollista, että yhtälö toteutuu, jos itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet eivät ole samoja eivätkä toistensa vastalausekkeita? Selitä omin sanoin.
  4. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|2 - 7x \right| = \left|3x + 6 \right|\,$?

Ratkaise seuraavat itseisarvoyhtälöt:

  1. $\left|x - 2 \right| = \left|3x + 1 \right|$
  2. $\left|2x - 3 \right| = \left|4x - 2 \right|$

  1. $x = -\frac{3}{2}$ tai $x = \frac{1}{4}$
  2. $x = -\frac{1}{2}$ tai $x = \frac{5}{6}$

Selitä omin sanoin, miten ratkaiset seuraavan tyyppiset itseisarvoyhtälöt. Voit myös havainnollistaa ratkaisuja lukusuoralla piirroksen avulla.

  1. $\left|x - a \right| = t$
  2. $\left|x - a \right| = \left|x - b \right|$
  3. $\left|kx + h \right| = t$
  4. $\left|kx + h \right| = \left|cx + d \right|$

Tässä kappaleessa harjoitellaan itseisarvoepäyhtälöiden ratkaisemista. Osa niistä voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|x - 5\right| < 2$.

  1. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $5$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $5$ on pienempi kuin kaksi.
  2. Mitkä luvut toteuttavat epäyhtälön $\left|x - 5\right| < 2$?

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|x + 1 \right| > 3$.

  1. Kirjoita summa $x + 1$ erotuksena.
  2. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen luku $-1$. Merkitse näkyviin myös ne luvut, joiden etäisyys luvusta $-1$ on suurempi kuin kolme.
  3. Mitkä luvut toteuttavat yhtälön $\left|x + 1 \right| > 3$?

Edellisistä tehtävistä voi havaita, että itseisarvoepäyhtälön vastaus riippuu huomattavasti siitä, esiintyykö epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Esimerkiksi epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| < 6$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on pienempi kuin $6$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$-4 < x \quad \textbf{ ja } \quad x < 8.$$ Tämä voidaan ilmaista myös kaksoisepäyhtälönä $-4 < x < 8$.

Jatketaan edellisen esimerkin tarkastelua.

  1. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x < 8$ mutta ei toteuta epäyhtälöä $\left| x - 2 \right| < 6$.
  2. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x > -4$ mutta ei toteuta epäyhtälöä $\left| x - 2 \right| < 6$.
  3. Toteuttaako kumpikaan edellisten kohtien esimerkeistäsi ehtoa $-4 < x\ $ ja $\ x < 8$?

Epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| > 4$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on suurempi kuin $4$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$x < -2 \quad \textbf{ tai } \quad x > 6.$$

Jatketaan äskeisen esimerkin tarkastelua.

  1. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x < -2$. Toteuttaako se epäyhtälön $\left| x - 2 \right| > 4$?
  2. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x > 6$. Toteuttaako se epäyhtälön $\left| x - 2 \right| > 4$?
  3. Keksi luku, joka toteuttaa ehdon $x < -2\ $ ja $\ x > 6$, tai selitä omin sanoin, miksi tällaisen luvun keksiminen on mahdotonta.

Ratkaise seuraavat yhtälöt päättelemällä. Voit käyttää piirrosta apuna, jos haluat. Kirjoita vastaus huolellisesti ja kiinnitä erityistä huomioita siihen, esiintyykö vastauksessa sana "ja" vai sana "tai".

  1. $\left|x\right| < 7$
  2. $\left|x - 5 \right| \geq 9$
  3. $\left|x + 1 \right| > 8$
  4. $\left|4 - x \right| \leq -6$

  1. $x > -7$ ja $x < 7$
  2. $x \leq -4$ tai $x \geq 14$
  3. $x < -9$ tai $x > 7$
  4. Ei ratkaisuja.

Monimutkaisemmat itseisarvoepäyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista epäyhtälöä samalla periaatteella kuin edellä. Tarkastellaan esimerkiksi epäyhtälöä $$\left|2x - 3 \right| < 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x - 3$ arvo on lukujen $-4$ ja $4$ välissä eli $$-4 < 2x - 3 < 4.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

  1. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &> -4 \\ 2x &> -1 \\ x &> -\frac{1}{2} \end{align*}
  2. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &< 4 \\ 2x &< 7 \\ x &< \frac{7}{2} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|2x - 3 \right| < 4$ toteutuu, jos ja vain jos kumpikin näistä epäyhtälöistä toteutuu eli $$-\frac{1}{2} < x \quad \textbf{ ja } \quad x < \frac{7}{2}.$$ Epäyhtälön $\left|2x - 3 \right| < 4$ ratkaisujoukko on siis lukusuoran väli $$\left] -\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että välin päätepisteet eivät kuulu ratkaisujoukkoon.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|3x + 1 \right| < 5$.

  1. Minkä lukujen välissä lausekkeen $3x + 1$ arvon on oltava, jotta sen itseisarvo on pienempi kuin $5$? Muodosta kaksi epäyhtälöä.
  2. Ratkaise muodostamasi epäyhtälöt.
  3. Mikä ehto muuttujan $x$ pitää toteuttaa, jotta se on epäyhtälön $\left|3x + 1 \right| < 5$ ratkaisu? Havainnollista ratkaisujoukkoa lukusuoralla.

Kun ratkaistaan itseisarvoepäyhtälöä, täytyy heti alussa ottaa huomioon, onko epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Edellisessä esimerkissä ja tehtävässä tarkasteltiin itseisarvoepäyhtälöitä, joissa esiintyi pienempi kuin -merkki. Siirrytään nyt tutkimaan tapausta, jossa epäyhtälössä esiintyy suurempi kuin -merkki.

Tarkalleen ottaen seuraavassa epäyhtälössä esiintyy suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki, mutta tämä ei haittaa, sillä päättelyaskeleet ovat samat riippumatta siitä, esiintyykö epäyhtälössä merkki $>$ vai merkki $\geq$.

Tarkastellaan epäyhtälöä $$\left|6x + 7 \right| \geq 5.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $6x + 7$ arvo on enintään $-5$ tai vähintään $5$: $$6x + 7 \leq -5 \quad \textbf{ tai } \quad 6x + 7 \geq 5.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

  1. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\leq -5 \\ 6x &\leq -12 \\ x &\leq -2 \end{align*}
  2. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\geq 5 \\ 6x &\geq -2 \\ x &\geq -\frac{1}{3} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|6x + 7 \right| \geq 5$ siis toteutuu, jos ja vain jos $$x \leq -2 \quad \textbf{ tai } \quad x \geq -\frac{1}{3}.$$ Kaksiosainen ratkaisujoukko voidaan merkitä yhdisteen merkin $\displaystyle \cup$ avulla seuraavasti: $$\left] -\infty, -2\right] \cup \left[-\frac{1}{3}, \infty\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että päätepisteet $-2$ ja $-\frac{1}{3}$ kuuluvat ratkaisujoukkoon.

Tehtävänä on ratkaista epäyhtälö $\left|2x - 5 \right| > 3$.

  1. Missä tilanteissa lausekkeen $2x - 5$ itseisarvo on suurempi kuin $3$? Muodosta kaksi epäyhtälöä.
  2. Ratkaise muodostamasi epäyhtälöt.
  3. Mikä ehto muuttujan $x$ pitää toteuttaa, jotta se on epäyhtälön $\left|2x - 5 \right| > 3$ ratkaisu? Havainnollista ratkaisujoukkoa lukusuoralla.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|8x - 20 \right| > 4$
  2. $\left|5x + 20\right| < 10$
  3. $\left|7 - 6x \right| \geq 11$

  1. $x < 2$ tai $x > 3$
  2. $-6 < x < -2$
  3. $x \leq -\frac{2}{3}$ tai $x \geq 3$

Tässä kappaleessa tutkitaan itseisarvon avulla määriteltyjä koordinaatiston pistejoukkoja ja opetellaan ratkaisemaan itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä graafisesti.

Aloitetaan tarkastelemalla yhtälöä $y = x$. Tämä yhtälö määrittelee pistejoukon, joka on origon kautta kulkeva suora:

Luvun itseisarvo on aina epänegatiivinen ja ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tästä tiedosta voidaan päätellä, että yhtälö $y = \left|x\right|$ määrittelee koordinaatistossa seuraavan pistejoukon:

Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorasta $y = x$ peilaamalla $x$-akselin alapuolelle jäävä osa $x$-akselin suhteen. Kuvasta näkyy myös havainnollisesti teoreeman 1 tulos: $$ \left|x\right| = \left\{\begin{aligned} &x, \quad \text{ jos $x \geq 0$} \\ -&x, \quad \text{ jos $x < 0$.} \end{aligned}\right. $$ Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorista $y = x$ ja $y = -x$ jättämällä pois $x$-akselin alapuoliset osat.

Alla on näkyvissä suora $y = x-2$. Päättele sen avulla, millainen on yhtälön $y = \left|x-2\right|$ määrittelemä pistejoukko. Piirrä se omaan vihkoosi.

Yhdistä oikea pistejoukko ja yhtälö:

  • $\ y = \left|5 - \frac{5}{2}x\right|$
  • $\ y = \left|x\right| + 1$
  • $\ y = \left|2x - 2\right|$
  • $\ y = \left|3x + 2\right|$

Koordinaatistoa ja graafista esitystä voidaan käyttää apuna myös tilanteessa, jossa halutaan ilmaista itseisarvolauseke ilman itseisarvomerkkejä. Esimerkiksi alla on näkyvissä pistejoukko, jonka yhtälö on $y = \left|3-2x\right|$.

Kuvasta voidaan päätellä, että $$ \left|3-2x\right| = \left\{\begin{aligned} &\textcolor{blue}{3-2x}, \ \text{ jos $x \leq \tfrac{3}{2}$} \\ &\textcolor{red}{2x-3}, \ \text{ jos $x > \tfrac{3}{2}$.} \end{aligned}\right. $$

Tehtävänä on ilmaista lauseke $\left|\frac{4}{3}x + 2\right|$ ilman itseisarvomerkkejä.

  1. Piirrä koordinaatistoon suora $y = \frac{4}{3}x + 2$. Selvitä laskemalla, missä kohdassa se leikkaa $x$-akselin.
  2. Piirrä koordinaatistoon pistejoukko $y = \left|\frac{4}{3}x + 2\right|$. Huomaa, että voit hyödyntää a-kohtaa.
  3. Ilmaise lauseke $\left|\frac{4}{3}x + 2\right|$ ilman itseisarvomerkkejä. Tarkista vastauksesi järkevyys vertaamalla sitä b-kohdan piirrokseen.

  1. $$ \left|\tfrac{4}{3}x + 2\right| = \left\{\begin{aligned} &\tfrac{4}{3}x + 2, \text{ jos $x \geq -\tfrac{3}{2}$} \\ -&\tfrac{4}{3}x - 2, \text{ jos $x < -\tfrac{3}{2}$.} \end{aligned}\right. $$

Itseisarvoyhtälöitä voidaan ratkaista graafisesti samaan tapaan kuin MAA2-kurssissa ratkaistiin ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä. Esimerkiksi yhtälö $$\left|2x + 2\right| = 3$$ voidaan ratkaista piirtämällä koordinaatistoon pistejoukot $y = \left|2x + 2\right|$ ja $y = 3$:

Kuvasta havaitaan, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = 3$$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = -0{,}5$ ja $x_2 = 2{,}5$.

Päättele alla olevan kuvan avulla seuraavien itseisarvoyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisut:

  1. $\left|1-2x\right| = 4$
  2. $\left|1-2x\right| < 4$
  3. $\left|1-2x\right| > 4$

Monimutkaisempiakin itseisarvoyhtälöitä voidaan tutkia graafisesti. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = \left|1-2x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Ratkaise edellisen esimerkin yhtälö $$\left|2x + 2\right| = \left|1-2x\right|$$ kynän ja paperin avulla. Tarkista tuloksesi järkevyys vertaamalla sitä esimerkin piirrokseen.

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt graafisesti:

  1. $\left|2x-1\right| = \left|2 - x\right|$
  2. $\left|2x-1\right| < \left|2 - x\right|$

Graafisesti voidaan tutkia sellaisiakin yhtälöitä, joissa tuntematon esiintyy sekä itseisarvomerkkien sisällä että ulkopuolella. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$2x + 1 = \left|x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Ratkaisun tarkan arvon selvittämiseen on useita tapoja. Voidaan esimerkiksi korottaa yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin, jolloin saadaan yhtälö $$(2x + 1)^2 = \left|x\right|^2. \tag{1}$$ Tätä yhtälöä voidaan sieventää edelleen: \begin{align*} 4x^2 + 4x + 1 &= x^2 \\ 3x^2 + 4x + 1 &= 0 \end{align*} Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \begin{align*} x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2\cdot 3} \\ &= \frac{-4 \pm 2}{6} \\ &= \frac{-2 \pm 1}{3} \end{align*} Siis $x = -\frac{1}{3}$ tai $x = -1$. Kuvasta kuitenkin nähtiin jo aikaisemmin, että ratkaisuja on tasan yksi eikä kaksi. Mistä on kysymys?

Ilmiö johtuu toiseen potenssiin korotuksesta. Sen avulla saatu yhtälö (1) kyllä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä, mutta yhtälöstä (1) ei päästä takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Jos yritetään ottaa yhtälöstä (1) neliöjuuri, tuloksena on yhtälö \begin{align*} \sqrt{(2x + 1)^2} &= \sqrt{\left|x\right|^2}. \end{align*} Se sievenee vain muotoon $$ \left|2x + 1\right| = \left|x\right|. $$ Itseisarvoja ei voida poistaa vasemmalta, koska lauseke $2x+1$ saa myös negatiivisia arvoja, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina epänegatiivinen.

Toiseen potenssiin korotusta voi tästä ilmiöstä huolimatta käyttää yhtälöiden ratkaisemisessa, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko kaikki löydetyt ratkaisuehdokkaat todella ratkaisuja.

Edellä löydettiin ratkaisuehdokkaat $x_1 = -\frac{1}{3}$ ja $x_2 = -1$. Tutkitaan, toteuttaako $x_1 = -\frac{1}{3}$ alkuperäisen yhtälön:

  • Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{3}$.
  • Yhtälön oikea puoli: $\left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten $x_1 = -\frac{1}{3}$ on yhtälön ratkaisu.

Tutkitaan vielä, toteuttaako $x_2 = -1$ alkuperäisen yhtälön:

  • Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-1\right) + 1 = -1$.
  • Yhtälön oikea puoli: $\left|-1\right| = 1$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät ole yhtä suuret, joten $x_2 = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $\left| 2x + 3 \right| = 2-x$.

  1. Selvitä yhtälön ratkaisujen lukumäärä graafisesti samaan tapaan kuin edellä.
  2. Selvitä ratkaisujen tarkat arvot kynän ja paperin avulla.

Itseisarvoyhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $6|x| - 10 = 0$
  2. $\left|x - 5\right| + 1 = 0$

  1. $x = \frac{5}{3}$ tai $x = -\frac{5}{3}$
  2. Ei ratkaisuja.

Itseisarvoyhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\left|x^2 + 1\right| = 3$
  2. $\left|x^2 - 3\right| = 1$

  1. $x = \pm\sqrt{2}$
  2. $x = \pm 2$ tai $x = \pm\sqrt{2}$

Itseisarvoyhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\left|3x-2\right| = \left|4x\right|$
  2. $\left|1-2x\right| = \left|x-1\right|$

  1. $x = -2$ tai $x = \frac{2}{7}$
  2. $x = 0$ tai $x = \frac{2}{3}$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|x - 2 \right| < 3$
  2. $\left|x + 3 \right| > 4$

  1. $-1 < x < 5$
  2. $x < -7$ tai $x > 1$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|2x \right| < 6$
  2. $\left|5x \right| > 7$

  1. $-3 < x < 3$
  2. $x < -\frac{7}{5}$ tai $x > \frac{7}{5}$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $\left|2x - 1\right| \geq 1$
  2. $\left|3 - 4x \right| \leq 1$

  1. $x \leq 0$ tai $x \geq 1$
  2. $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$

Itseisarvoepäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $2|x| - 6 \leq 0$
  2. $\left|3x \right| + 2 \geq 0$
  3. $\left|\dfrac{x}{2}\right| - 1 > 0$

  1. $-3 \leq x \leq 3$
  2. Epäyhtälön toteuttavat kaikki reaaliluvut.
  3. $x < -2$ tai $x > 2$

Itseisarvo koordinaatistossa

Päättele, mikä on alla näkyvän pistejoukon yhtälö

$y = \left|\frac{1}{2}x -\frac{3}{2} \right|$ tai yhtä hyvin $y = \left|-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \right|$

Itseisarvo koordinaatistossa

Alla on näkyvissä osa paraabelista, jonka yhtälö on $y = x^2 -2x - 1$. Hahmottele sen avulla koordinaatistoon pistejoukko, jonka yhtälö on $y = \left| x^2 - 2 - 1\right|$.

Muista, että voit tarkistaa vastauksesi piirtämällä pistejoukon tietokoneella tai laskimella.

Itseisarvo koordinaatistossa

Ilmaise seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä:

  1. $\left|4-x\right|$
  2. $\left|\frac{1}{3}x - 1\right|$

  1. $$ \left\{\begin{aligned} &4-x, \text{ jos $x \leq 4$} \\ &x-4, \text{ jos $x > 4$.} \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} &\tfrac{1}{3}x - 1, \text{ jos $x \geq 3$} \\ -&\tfrac{1}{3}x + 1, \text{ jos $x < 3$.} \end{aligned}\right. $$

Itseisarvo koordinaatistossa

Ratkaise graafisesti yhtälö $\left|2x + 5 \right| = 3x - 1$.

$x = 6$

Itseisarvo koordinaatistossa

Ratkaise yhtälö $\left|x + 5 \right| = 3x$. Voit tutkia ratkaisujen lukumäärän graafisesti, mutta selvitä tarkat arvot laskemalla.

$x = \frac{5}{2}$

Ratkaise yhtälö

  1. $\left|\frac{3}{2}x - 6 \right| = 6$.
  2. $\left|3x - 2\right| = 5$.

[Pitkä K2011/1c & K2008/2c]

  1. $x = 0$ tai $x = 8$
  2. $x = \frac{7}{3}$ tai $x = -1$

Ratkaise yhtälö $\left|x\right| = 1 + x$.
[Pitkä S2012/1b]

$x = -\frac{1}{2}$

Ratkaise epäyhtälö $\left|3x - 2 \right| < 4$.
[Pitkä K2007/1b]

  1. $-\frac{2}{3} < x < 2$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.