Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA2 - Polynomifunktiot ja -yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että saat vankan käsityksen ensimmäisen asteen polynomifunktioista ja ratkaiset sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Osaat

  • hahmotella vakiofunktion ja ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
  • tutkia vakiofunktioiden ja ensimmäisen asteen polynomifunktioiden ominaisuuksia sekä lausekkeiden että kuvaajien avulla
  • laskea polynomien summan, erotuksen ja tulon sekä erottaa yhteisen tekijän
  • ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ja epäyhtälön.

Tässä kappaleessa tutkitaan vakiofunktioita sekä ensimmäisen asteen polynomifunktioita, joihin tutustuttiin jo MAY1-kurssilla. Palautetaan aluksi mieleen MAY1-kurssilta tuttu funktion nollakohdan määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Alla on näkyvissä funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat. Päättele niiden avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f$ arvo kohdassa $x = 3$? Toisin sanottuna, mitä on $f(3)$?
  2. Mikä on funktion $g$ arvo kohdassa $x = 3$?
  3. Saako funktio $f$ jossain kohdassa arvon $3$? Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen $x$, että $f(x) = 3$?
  4. Saako funktio $g$ jossain kohdassa arvon $3$?
  5. Saavatko funktiot $f$ ja $g$ jossain kohdassa saman arvon? Minkä? Missä kohdassa?
  6. Onko funktiolla $f$ nollakohtia? Entä onko funktiolla $g$ nollakohtia? Jos on, mitä ne ovat?
  7. Onko jompikumpi funktioista $f$ ja $g$ niin sanottu vakiofunktio, joka saa jokaisessa kohdassa saman arvon?

  1. $f(3) = 2$
  2. $g(3) = 5$
  3. Ei.
  4. Kyllä, kohdassa $x = 2$.
  5. Kyllä, kohdassa $x = 1{,}5$ arvon $2$.
  6. Funktiolla $f$ ei ole nollakohtia. Funktiolla $g$ on yksi nollakohta, $x = 0{,}5$.
  7. Funktio $f$ on vakiofunktio.

Funktiota, joka saa joka kohdassa saman arvon, sanotaan vakiofunktioksi:

MÄÄRITELMÄ: VAKIOFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = a$, missä $a$ on reaaliluku, sanotaan vakiofunktioksi.

Mitkä alla olevista kuvaajista ovat jonkin vakiofunktion kuvaajia? Jos kysymyksessä on vakiofunktion $f(x) = a$ kuvaaja, päättele, mikä on vakion $a$ arvo.

Vakiofunktioiden kuvaajia ovat C ja D.
C on funktion $f(x) = -1{,}5$ kuvaaja.
D on funktion $f(x) = 1$ kuvaaja.

Palautetaan seuraavaksi mieleen MAY1-kurssista tuttu ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax+b$, missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $
$\ g(x) = -2x-1 \ $
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $
$\ k(x) = -x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $   C
$\ g(x) = -2x-1 \ $   D
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $   A
$\ k(x) = -x+2 \ $   B

Funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voidaan päätellä seuraavaa:

  1. Jos kulmakerroin $a$ on positiivinen, kuvaaja on nouseva suora. Jos kulmakerroin $a$ on negatiivinen, kuvaaja on laskeva suora.
  2. Vakiotermi $b$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
  3. Kulmakerroin $a$ ilmaisee, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Funktion $f$ kuvaaja muodostuu pisteistä, joiden $y$-koordinaatti on funktion arvo eli $y = f(x)$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$$ kuvaaja. Sen kuvaajan pisteet ovat muotoa $$\left(x, -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right).$$

Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b$ on mikä tahansa reaaliluku. Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on kyseisen suoran kulmakerroin.

Laske funktion arvo esimerkiksi kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$ ja päättele, kuinka monta yksikköä kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden yksikön verran oikealle. Selitä omin sanoin, miten suoran kulmakerroin liittyy asiaan.

  1. $f(x) = 2x + 3$
  2. $g(x) = -\dfrac{1}{4}x + 1$
  3. $h(x) = -5x + 10$

  1. Kuvaaja nousee kaksi yksikköä.
  2. Kuvaaja laskee 0,25 yksikköä.
  3. Kuvaaja laskee viisi yksikköä.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen, ja laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen. Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora, voi kuvaajan piirtää monella tavalla.

  1. Piirrä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x-1$ kuvaaja määrittämällä jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee, ja piirtämällä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä funktion $g(x) = -2x+3$ kuvaaja päättelemällä funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin.
  3. Tarkista edellisten kohtien piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimellasi.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten niin sanotuilla polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on niin sanottu kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein? Perustele vastauksesi omin sanoin ja korjaa samalla väärät väitteet oikeiksi. Kertaa tarvittaessa polynomeihin liittyviä käsitteitä Opetus.tv:n sivuilta.

  1. Polynomissa $-4x^2+8x-3$ on viisi termiä.
  2. Polynomin $7x^4-6x^3+4x$ toisen asteen termin kerroin on nolla.
  3. Polynomin $x^7-x+6$ aste on kolme.
  4. Polynomin $x^3-9x^2+4$ vakiotermi on $4$.
  5. Polynomi $3x^5-x^2$ on monomi.
  6. Lauseke $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{2}$ on binomi.

  1. Väärin, polynomissa on kolme termiä.
  2. Oikein, sillä sama polynomi voidaan kirjoittaa $7x^4-6x^3 + 0x^2 +4x$.
  3. Väärin, polynomin aste on 7.
  4. Oikein.
  5. Väärin, tämä polynomi on binomi. Monomiksi sanotaan polynomia, jossa on vain yksi termi.
  6. Oikein, sillä tämä lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x$.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Matkan viimeisenä päivänä reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa, 25 puntaa ja 150 Japanin jeniä. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa, 7 puntaa ja 95 jeniä. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£ + 150 \,¥) + (15 \,€ + 7 \,£ + 95 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥. \end{align*} Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa, 27 puntaa ja 195 jeniä. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£ + 195 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£ \textcolor{red}{-} 195 \,¥ \\ &= 10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu samaan tapaan kuin edellisessä laskussa.

Muodosta ja laske polynomien $x^2+3x-6$ ja $-4x^2+x-2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $-3x^2+4x-8$
  2. $5x^2+2x-4$

Muodosta ja laske polynomien $4x^3-2x^2+3x+1$ ja $-3x^2-3x+2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $4x^3-5x^2+3$
  2. $4x^3+x^2+6x-1$

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{3} \end{align*} voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-2}{3} &= \frac{1}{3}\left(x-2\right) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \end{align*} Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia laskettaessa lausekkeet on lavennettava samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-2}{3} &= \frac{3(x^2+5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-2)}{6} \\ &= \frac{3x^2+15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}4}{6} \\ &= \frac{3x^2+13x-17}{6} \end{align*}

Muodosta ja laske lausekkeiden $\dfrac{3x+1}{2}$ ja $\dfrac{x-4}{5}$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $\dfrac{15x+5}{10} + \dfrac{2x-8}{10} = \dfrac{17x-3}{10}$
  2. $\dfrac{15x+5}{10} - \dfrac{2x-8}{10} = \dfrac{13x+13}{10}$

Kun polynomia kerrotaan monomilla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥) &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£ + \frac{50}{5} \,¥ \\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ + 10 \,¥ \end{align*} Huomaa, että jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $-3x^4 \cdot 5x^2$
  2. $4x(x-5)$
  3. $-3x^2(-4x^2+x-2)$

  1. $-15x^6$
  2. $4x^2-20x$
  3. $12x^4 - 3x^3 + 6x^2$

Edellisessä tehtävässä laskettiin monomin ja polynomin tuloja kertomalla sulut auki. Joissakin tilanteissa on tarpeen tehdä sama asia päinvastaiseen suuntaan ja kirjoittaa polynomi tulomuodossa. Tämä onnistuu, jos polynomin jokaisessa termissä on sama tulon tekijä. Esimerkiksi polynomin $$12x^4-16x^2 + 8x$$ kaikki kertoimet ovat luvun 4 monikertoja ja kaikissa kirjainosissa on mukana $x$. Tämä polynomi voidaankin kirjoittaa muodossa $$\textcolor{red}{4x} \cdot 3x^3 - \textcolor{red}{4x} \cdot 4x + \textcolor{red}{4x} \cdot 2,$$ josta nähdään, että yhteiseksi tekijäksi voidaan erottaa $\textcolor{red}{4x}$. Siis $$12x^4-16x^2 + 8x = \textcolor{red}{4x}(3x^3-4x+2).$$

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä:

  1. $2x^3+6x$
  2. $2x^3+7x^2$
  3. $x^2+x$

Miten voit itse tarkistaa, että tuloksesi ovat järkeviä? Selitä omin sanoin ja tee tarkistus.

  1. $2x(x^2+3)$
  2. $x^2(2x+7)$
  3. $x(x+1)$

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain niin, että ensimmäisen tulon tekijän jokaisella termillä kerrotaan jälkimmäinen tulon tekijä samaan tapaan kuin monimin ja polynomin tuloa laskettaessa. Esimerkiksi tulon $$(2x-3)(-4x^2+x-5)$$ tapauksessa kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-3$: \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-3})(-4x^2+x-5) \\ &= \textcolor{blue}{-8x^3+2x^2-10x}\textcolor{red}{+12x^2-3x+15} \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $(x^2-3)(x+2)$
  2. $(x+2)(x^2-2x+4)$
  3. $(4x+3)(4x-3)$

  1. $x^3+2x^2-3x-6$
  2. $x^3-4x^2+8$
  3. $16x^2 - 9$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ saa arvon $2$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 2$$ eli yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat eli funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-\dfrac{4}{3}x + 7 = 1$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä samaan koordinaatistoon ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = -\frac{4}{3}x+7$ ja vakiofunktion $g(x) = 1$ kuvaajat.
  2. Päättele yhtälön ratkaisu piirroksen avulla.
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $1$?

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$\frac{2}{x+1} = \frac{2x+3}{3}$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemmalla puolella olevan lausekkeen arvo ja oikealla puolella olevan lausekkeen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $-3$
  2. $3$
  3. $\dfrac{1}{2}$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-1$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $0{,}5$ ja oikea arvon $3$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $\frac{4}{3}$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Ensimmäisen asteen yhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan esittää muodossa $$ax + b = 0,$$ missä $a \neq 0$.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Lauseke $x + 2$ on summa ja lauseke $2x$ on tulo.
  2. $x = 8$. Ainakin operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku 2).
  3. $x = 5$. Ainakin operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla 2).

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

  1. Lauseke $4(x+8)$ on lausekkeiden $4$ ja $x+8$ tulo.
    Lauseke $4x + 8$ on lausekkeiden $4x$ ja $8$ summa.
  2. $x = 20$. Operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku $8$).
  3. $x = 14$. Operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla $4$).

Tämän kappaleen alussa tarkasteltiin yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Kun se ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, lisätään aluksi yhtälön molemmille puolille luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$\dfrac{2}{3}x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan esimerkiksi kertoa kertoimen $\frac{2}{3}$ käänteisluvulla $\frac{3}{2}$. Näin päädytään yhtälöön $$x = \frac{3}{2} \cdot 3$$ eli yhtälöön $$x = \frac{9}{2}.$$ Näitä yhtälöitä on havainnollistettu alla olevissa kuvissa. Niistä nähdään, että kaikilla kolmella yhtälöllä on sama ratkaisu, kuten pitääkin olla.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3-(8x+1)$
  3. $\dfrac{x}{4} = x + 1$

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.
  3. $x = -\dfrac{4}{3}$.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Tutkitaan vielä yhtälöä $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

  1. Onko edellisessä esimerkissä tarkasteltu yhtälö $2(x+1) = -3x+1-(2-5x)$ ensimmäisen asteen yhtälö? Selitä omin sanoin.
  2. Ratkaise yhtälö $$3x - \frac{1-2x}{2} = 4x.$$ Vinkki: Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla $2$, jotta pääset eroon murtolausekkeesta.
  3. Ratkaise yhtälö $$\frac{2x-1}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x-2}{6}.$$ Vinkki: Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla $6$, jotta pääset eroon murtolausekkeista.

  1. Tämä yhtälö ei ole ensimmäisen asteen yhtälö, sillä esimerkissä nähtiin, että sitä ei voida esittää muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, sillä se on yhtäpitävä yhtälön $-1 = 0$ kanssa. Tämä yhtälö on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.
  3. Kaikki luvut ovat tämän yhtälön ratkaisuja, sillä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön $0 = 0$ kanssa. Tämä on tosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Kun tutkitaan ensimmäisen asteen polynomifunktion arvoja, voidaan päätyä myös niin sanottuun ensimmäisen asteen epäyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, joudutaan tutkimaan epäyhtälöä $$f(x) < 2$$ eli epäyhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 < 2.$$ Tätä epäyhtälöä voidaan havainnollistaa samaan tapaan kuin vastaavaa yhtälöä eli piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että funktion $f$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, jos ja vain jos $x < 4{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen epäyhtälö $$-\dfrac{4}{3}x + 7 < 3$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä samaan koordinaatistoon ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = -\dfrac{4}{3}x+7$ ja vakiofunktion $g(x) = 3$ kuvaajat.
  2. Päättele epäyhtälön ratkaisu piirroksen avulla.

  1. $x > 3$

Epäyhtälön ratkaisuna saadaan yleensä yksittäisen luvun sijaan suuri määrä lukuja. Esimerkiksi luvun alussa tarkastellun epäyhtälön toteuttivat kaikki lukua $4{,}5$ pienemmät reaaliluvut. Nämä luvut muodostavat tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon.

  1. Päättele alla olevan kuva avulla, mitkä luvut toteuttavat epäyhtälön $$\frac{1}{2}x > -1.$$
  2. Ratkaise epäyhtälö kertomalla sen molemmat puolet luvulla $2$. Vertaa tulosta edellisen kohdan tulokseen. Ovatko tulokset samat?

  1. $x > -2$

  1. Päättele alla olevan kuva avulla, mitkä luvut toteuttavat epäyhtälön $$-\frac{1}{2}x > -1.$$
  2. Ratkaise epäyhtälö kertomalla sen molemmat puolet luvulla $-2$. Vertaa tulosta edellisen kohdan tulokseen. Kumpi tuloksista on oikein?
  3. Jos epäyhtälön molemmat puolet kertoo jollakin negatiivisella luvulla, on vaarana, että saa vääriä tuloksia. Selitä omin sanoin, mitä epäyhtälölle pitää tehdä, jotta tulokset ovat oikein myös negatiivisella luvulla kerrottaessa.

  1. $x < 2$
  2. Jos epäyhtälö kerrotaan negatiivisella luvulla, epäyhtälömerkin suunta pitää vaihtaa.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöä voidaan muokata samaan tapaan kuin ensimmäisen asteen yhtälöä. Erona on, että negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa täytyy epäyhtälömerkin suunta vaihtaa, jotta saadaan oikeita tuloksia. Sallitut operaatiot ovat siis seuraavat:

  1. Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Epäyhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla.
  4. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, jos samalla vaihdetaan epäyhtälömerkin suunta.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x+5 < 6-x$
  2. $7x+5 > 3x+1$
  3. $4x+7 \geq 5x-1$

  1. $x < \dfrac{1}{2}$
  2. $x > -1$
  3. $x \leq 8$

Edellisessä luvussa kohdattiin tilanteita, joissa tarkastellulla yhtälölllä ei ollut yhtään ratkaisua. Näin voi käydä myös epäyhtälön tapauksessa. Esimerkiksi epäyhtälö $$x-3(x+1) > 2(1-x)$$ saadaan sieventämällä muotoon $$x-3x-3 > 2-2x$$ ja edelleen muotoon $$-2x-3 > 2 -2x.$$ Kun tämän epäyhtälön molemmille puolille lisätään $2x$, päädytään epäyhtälöön $$-3 > 2.$$ Se on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten tarkastellulla epäyhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja.

Havainnollista seuraavia epäyhtälöitä piirtämällä koordinaatistoon niiden vasenta ja oikeaa puolta vastaavien polynomifunktioiden kuvaajat esimerkiksi laskimella. Päättele epäyhtälön ratkaisu piirroksesta ja tarkista ratkaisemalla epäyhtälö käsin.

  1. $2 + x < 3\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}x\right)$
  2. $5 - 3(x+1) > 2x+3$

  1. Epäyhtälöllä ei ole ratkaisua. Se on yhtäpitävä epäyhtälön $$ 2 < \frac{3}{2} $$ kanssa, ja tämä epäyhtälö ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.
  2. $x < -\dfrac{1}{5}$

Joidenkin epäyhtälöiden ratkaisujoukko muodostuu kaikista reaaliluvuista. Esimerkiksi kun epäyhtälön $$-\frac{x}{2} + 3 \geq 1 - \frac{1}{2}x$$ molemmat puolet kerrotaan positiivisella luvulla $2$, päädytään epäyhtälöön $$-x+6 \geq 1-x.$$ Kun tämän molemmille puolille lisätään $x$, saadaan epäyhtälö $$6 \geq 1.$$ Tämä epäyhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta, joten tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon muodostavat kaikki reaaliluvut.

Havainnollista seuraavia epäyhtälöitä piirtämällä koordinaatistoon niiden vasenta ja oikeaa puolta vastaavien polynomifunktioiden kuvaajat esimerkiksi laskimella. Päättele epäyhtälön ratkaisu piirroksesta ja tarkista ratkaisemalla epäyhtälö käsin.

  1. $2(3-x) \geq x-6$
  2. $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{5} \leq \dfrac{3x+2}{10}$
    Vihje: kerro epäyhtälön molemmat puolet luvulla $10$, jotta pääset eroon nimittäjistä.

  1. $x \leq 4$
  2. Kaikki luvut toteuttavat epäyhtälön, sillä se on yhtäpitävä epäyhtälön $0 \leq 0$ kanssa, ja tämä epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Mitkä seuraavista pisteistä ovat funktion $f(x) = -3x+2$ kuvaajan pisteitä? Perustele vastauksesi sopivilla laskuilla ja tarkista tuloksesi piirtämällä funktion kuvaaja.

  1. $(0,2)$
  2. $(2,-3)$
  3. $(1,-1)$

  1. On.
  2. Ei ole.
  3. On.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Olkoon $f(x) = -2x+5$. Määritä

  1. funktion $f$ arvo kohdassa nolla
  2. funktion $f$ nollakohta
  3. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $x$-akselin
  4. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
Vertaa kohtien (a)-(d) vastauksia toisiinsa. Selitä havaintosi omin sanoin.

  1. $f(0) = 5$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$
  3. $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$
  4. $(0,5)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Päättele, mistä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta $f(x) = ax + b$ on kysymys. Toisin sanottuna päättele, mitkä ovat kertoimen $a$ ja vakion $b$ arvot. Kuvaajan hahmotteleminen voi auttaa päättelyssä.

  1. Tiedetään, että $f(3) = 3$ ja funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $-3$.
  2. Tiedetään, että $f(1) = 2$ ja $f(2) = -1$.
  3. Tiedetään, että $f(0) = 2$ ja funktiolla $f$ on nollakohta $x = 4$.

  1. $f(x) = 2x-3$
  2. $f(x) = -3x+5$
  3. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Keksi kaksi esimerkkiä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta,

  1. jonka kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,4)$
  2. jolla on nollakohta $x = -1$
  3. jonka kuvaajan kulmakerroin on $2$.
Piirrä keksimiesi funktioiden kuvaajat.

Esimerkiksi

  1. $f(x) = x + 4$
  2. $f(x) = 3x + 3$
  3. $f(x) = 2x$

1. ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO JA VAKIOFUNKTIO

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x) = (12-3a)x + 7a$ kuvaaja on

  1. nouseva suora
  2. laskeva suora
  3. $x$-akselin suuntainen suora?
  4. Missä pisteessä c-kohdan suora leikkaa $y$-akselin?

  1. $a < 4$
  2. $a > 4$
  3. $a = 4$
  4. $(0,28)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $f(x) = ax + 3$.

  1. Määritä se vakion $a$ arvo, jolla funktion $f$ nollakohta on $x = 4{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee aina vakion $a$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $a = -\dfrac{2}{3}$
  2. $(0,3)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $g(x) = 3x + b$.

  1. Määritä se vakion $b$ arvo, jolla funktion $g$ nollakohta on $x = 0{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $g$ kuvaaja kulkee aina vakion $b$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $b = -\dfrac{3}{2}$
  2. Tällaista pistettä ei ole olemassa. Vakion $b$ arvosta riippumatta kaikki kuvaajat ovat keskenään yhdensuuntaisia suoria (kulmakerroin $3$). Vakion $b$ arvo määrää sen, millä korkeudella kukin kuvaaja leikkaa $y$-akselin. Eri $b$:n arvoja vastaavat suorat eivät siten leikkaa toisiaan.

Polynomien summa, erotus ja tulo

Laske

  1. $(2x^2-3x+1) + (3x^2+3x+2)$
  2. $(2x^3-3x^2+4x) - (-3x^2+4x-1)$

  1. $5x^2+3$
  2. $2x^3+1$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Laske

  1. $4x(2x^2-3x)$
  2. $(5x-2)(2x-5)$

  1. $8x^3-12x^2$
  2. $10x^2-29x + 10$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Laske

  1. $x(x-6)-(x-2)(x-4)$
  2. $x^2(x+3)-(x+3)(x^2-1)$

  1. $-8$
  2. $x+3$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Kirjoita tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä:

  1. $3x^2-6x$
  2. $4x^4+7x^2$
  3. $10x^3-5x$

  1. $3x(x-2)$
  2. $x^2(4x^2+7)$
  3. $5x(2x^2-1)$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Kolme arkkitehtiopiskelijaa suunnitteli taloa, jonka pohjapiirroksen karkea luonnos on näkyvissä alla. Opiskelija A laski talon pinta-alan olevan $9\cdot 10 - 6x$ neliömetriä, mutta opiskelija B oli eri mieltä, sillä hänen laskujensa mukaan pinta-ala oli $3\cdot 10 + 6 \cdot (10-x)$ neliömetriä. Opiskelijan C mielestä sekä A että B olivat väärässä, sillä hän oli saanut tulokseksi $9 \cdot (10-x) + 3x$ neliömetriä.

  1. Miten opiskelijat A, B ja C olivat laskeneet pinta-alan? Havainnollista kunkin opiskelijan ajattelutapaa piirroksella.
  2. Saiko joku opiskelijoista väärän tuloksen? Perustele vastauksesi sieventämällä pinta-alojen lausekkeet.
  3. Määritä se muuttujan $x$ arvo, jolla talon pinta-alaksi tulee $60 \text{ m}^2$.

  1. Kaikki saivat oikean tuloksen.
  2. $x = 5$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x-5(2x-6) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-1}{2} = 4$

  1. $x = \dfrac{30}{7}$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = \dfrac{7}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Anna, Benjamin ja Elisa jakavat 1700 euroa niin, että Anna saa 12 % enemmän kuin Benjamin mutta 12,5 % vähemmän kuin Elisa. Kuinka paljon rahaa kukin saa?

Anna 560 €, Benjamin 500 € ja Elisa 640 €.

Ensimmäisen asteen yhtälö

Suorakulmion muotoinen kenttä on aidattu 124 metriä pitkällä aidalla. Laske kentän pinta-ala, kun sen pituus on 8 m suurempi kuin leveys.

$945 \text{ m}^2$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Kaksi työntekijää otti urakakseen huolehtia rästiin jääneiden tilausten toimittamisen asiakkaille. Urakkapalkkioksi sovittiin 1800 euroa. Lisäksi sovittiin, että palkkio jaetaan työntekijöille heidän tekemiensä työtuntien suhteessa ja viikonlopulle osuneista työtunneista saa kaksinkertaisen korvauksen. Työntekijälle A kertyi 45 työtuntia ja työntekijälle B 40 tuntia, joista 12 tuntia hän oli tehnyt viikonloppuisin. Miten urakkapalkkio piti jakaa työntekijöiden kesken?

Työntekijälle A 835,05 euroa ja työntekijälle B 964,95 euroa.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $4(2-x) \geq 2x-1$
  2. $5-3(x+1) < 2x + 3$

  1. $x \leq \dfrac{3}{2}$
  2. $x > -\dfrac{1}{5}$

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $2(3x-4) \leq 3(4x-3) + 1$
  2. $2-(x-1) \leq 1-2(x+1)$

  1. $x \geq 0$
  2. $x \leq -4$

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Kauppaan palautetaan 20 pulloa. Pienten muovipullojen pantti on 0,20 euroa ja isojen 0,40 euroa. Kuinka monen pulloista täytyy olla isoja, jotta rahaa saataisiin vähintään 7 euroa?

Isoja pulloja pitää olla vähintään 15 kpl.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Tasakylkisen kolmion kanta on 6 metriä pitempi kuin kylki. Kuinka pitkä kolmion yksi kylki voi olla, jos kolmion piiri on enintään 30 metriä?

Kyljen pituuden $x$ pitää olla suurempi kuin 6 ja pienempi tai yhtä suuri kuin 8 eli $6 < x \leq 8$.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Lauralla on säästössä 650 euroa ja Saaralla 890 euroa. Laura päättää säästää jatkossa 80 euroa kuukaudessa ja Saara 60 euroa kuukaudessa.

  1. Kuinka pitkän ajan kuluttua Lauralla on säästössä vähintään 2000 euroa?
  2. Kuinka pitkän ajan kuluttua Lauralla on säästössä suurempi summa kuin Saaralla? Kuinka suuri summa Lauralla on tällöin säästössä?
Anna vastaukset kuukauden tarkkuudella.

  1. 17 kuukauden kuluttua eli vuoden ja viiden kuukauden kuluttua.
  2. 13 kuukauden kuluttua, 1690 euroa.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f(x) = \frac{1}{3}x + 2$ kuvaaja on funktion $f(x) = \frac{2}{5}x - 4$ kuvaajan alapuolella?

$x > 90$

  1. Ratkaise yhtälö $2(x+4)-3(x-3) = 0$.
    [Lyhyt K2013/1a]
  2. Millä muttujan $x$ arvoilla $4x+17$ on suurempi kuin $2-x$?
    [Lyhyt K2013/2a]

  1. $x = 17$
  2. $x > -3$

  1. Sievennä lauseke $x − \left(2x^2 − (3x − 4x^2)\right)$.
    [Pitkä K2016/2a]
  2. Määritä sellainen vakio $a$, että luku 2015 on yhtälön $ax = 2015 + a$ juuri.
    [Pitkä S2015/1a]
  3. Ratkaise epäyhtälö $$\frac{3}{5}x - \frac{7}{10} < -\frac{2}{15}x$$
    [Pitkä K2013/1b]

  1. $-6x^2+4x$
  2. $a = \dfrac{2015}{2014}$
  3. $x < \dfrac{21}{22}$

Millä vakion $t$ arvolla yhtälöllä $$t(x-2) = 2(x+t)$$

  1. on ratkaisu $x = -2$
  2. ei ole ratkaisua?

  1. $t = \dfrac{2}{3}$
  2. $t = 2$

Ratkaise $x$ yhtälöstä $a(x-1) = x + a$. Onko olemassa jokin sellainen vakion $a$ arvo, jolla yhtälö toteutuu muuttujan $x$ arvosta riippumatta? Entä onko olemassa jokin sellainen vakion $a$ arvo, jolla yhtälö ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla?

$$\begin{cases} x = \dfrac{2a}{a-1} &\text{ jos $a \neq 1$} \\[1mm] \text{Ei ratkaisua} &\text{ jos $a = 1$} \end{cases}$$

Määritä vakio $a$ niin, että epäyhtälö $$\dfrac{x + 2a}{3} \geq x-2$$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq 9$.

$a = 6$

Ratkaise muuttujan $x$ suhteen epäyhtälö

  1. $x > 3 - ax$
  2. $k^2x > 10 - x$

  1. $$\begin{cases} x > \dfrac{3}{a+1} &\text{ jos $a > -1$} \\[1mm] \text{Ei ratkaisua} &\text{ jos $a = -1$} \\[1mm] x < \dfrac{3}{a+1} &\text{ jos $a < -1$} \end{cases}$$
  2. $x > \dfrac{10}{k^2 + 1}$

Määritä vakio $a$ siten, että funktio $f(x) = \frac{2}{3}x + a$ saa positiivisia arvoja, jos ja vain jos $x > -\frac{1}{2}$.

$a = \dfrac{1}{3}$

Kaksinumeroisen luonnollisen luvun kymmeniä ilmoittava numero saadaan ykkösiä ilmoittavasta numerosta lisäämällä siihen kolme (kuten esimerkiksi luvun 41 tapauksessa). Lisäksi tiedetään, että kyseisen luvun ja numeroiden paikat vaihtamalla saadun luvun summa on 143 (tämä ehto ei toteudu luvun 41 tapauksessa, sillä $41 + 14 = 55$). Mikä on tämä tuntematon luku?

$85$

Iiris ja Henrik viipyivät 200 km matkalla 3 tuntia. Alkumatkan he kulkivat keskinopeudella 50 km/h ja loppumatkan keskinopeudella 80 km/h. Kuinka pitkän matkan he kulkivat pienemmällä keskinopeudella?

Noin 67 km.

Onko olemassa neljä peräkkäistä kokonaislukua, joiden summa on

  1. $322$
  2. $644$?

  1. On.
  2. Ei ole.

Uutta siltaa varten suunnitellaan palkkeja. Oheinen kuvio esittää yhden palkin poikkileikkausta. Ilmaise poikkileikkauksen pinta-ala kirjainten $a$ ja $b$ avulla.

$6ab-5b^2$

Ratkaise seuraavat niin sanotut kaksoisepäyhtälöt:

  1. $1 < 4x - 3 \leq 5$
  2. $0 \leq \dfrac{2x}{3} - 1 < \dfrac{1}{2}$
  3. $-4 \leq 3 -2x < 5$

  1. $1 < x \leq 2$
  2. $\dfrac{3}{2} \leq x < \dfrac{9}{4}$
  3. $-1 < x \leq \dfrac{7}{2}$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.