Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA2 - Polynomifunktiot ja -yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Toisen asteen potenssifunktio ja neliöjuuri

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet toisen asteen potenssifunktion ja tiedät, mitä luvun neliöjuurella tarkoitetaan. Osaat

  • määrittää neliöjuurten tarkkoja arvoja neliöjuuren määritelmän perusteella tapauksissa, joissa tuloksena on luonnollinen luku tai rationaaliluku
  • ratkaista muotoa $x^2 = a$ olevat neliöyhtälöt neliöjuurten avulla
  • sieventää neliöjuurilausekkeita neliöjuurten laskusääntöjen avulla

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun toisen asteen potenssifunktioon ja palautetaan mieleen, mitä luvun neliöjuuri tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POTENSSIFUNKTIO

Funktiota $f(x) = x^2$ sanotaan toisen asteen potenssifunktioiksi.

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on piirretty alla olevaan kuvaan. Se on muodoltaan paraabeli.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 6$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan neliöjuuren määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvulle $\frac{1}{2}$ pätee $\frac{1}{2} \geq 0$ ja $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, joten se on luvun $\frac{1}{4}$ neliöjuuri. Voidaan siis merkitä $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2.}$$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä.

  1. $\sqrt{36}$
  2. $\sqrt{100}$
  3. $\sqrt{49}$
  4. $\sqrt{144}$

Merkinnässä $\sqrt{a}$ neliöjuuren alla olevaa lukua $a$ sanotaan juurrettavaksi. Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä. Kannattaa aloittaa sieventämällä juurrettava.

  1. $\sqrt{5^2}$
  2. $\sqrt{(-9)^2}$
  3. $\sqrt{11^2}$
  4. $\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}$

Tarkastele edellisen tehtävän vastauksiasi ja päättele niiden avulla, mikä ehto luvun $a$ pitää toteuttaa, jotta

  1. $\sqrt{a^2} = a$
  2. $\sqrt{a^2} = -a$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat?

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $x^2 = a$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

Edellisessä kappaleessa ratkaistiin yhtälö $4x^2 - 3 = 0$. Ratkaisuiksi saatiin $$x_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ ja } \quad x_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Tässä kappaleessa harjoitellaan neliöjuurilla laskemista ja opitaan muun muassa sieventämään nämä ratkaisut toiseen muotoon.

  1. Laske laskimella, mitä on $\sqrt{2}\sqrt{8}$. Onko saamasi tulos jonkin kokonaisluvun neliöjuuri? Miten samaan tulokseen voisi päätyä käyttämällä neliöjuurta vain kerran?
  2. Laske laskimella, mitä on $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$. Onko saamasi tulos jonkin kokonaisluvun neliöjuuri? Miten samaan tulokseen voisi päätyä käyttämällä neliöjuurta vain kerran?

Neliöjuuren määritelmän mukaan luku $x$ on luvun $y \geq 0$ neliöjuuri, jos se toteuttaa kaksi ehtoa:

  1. luvun $x$ pitää olla epänegatiivinen eli $x \geq 0$
  2. luvun $x$ toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin $y$ eli $x^2 = y$.

Seuraavan teoreeman perustelussakin tarkistetaan nämä kaksi ehtoa, kun osoitetaan, että neliöjuurten tulo on yhtä suuri kuin tulon neliöjuuri.

TEOREEMA

Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b \geq 0$. Lukujen $a$ ja $b$ neliöjuurten tulo on luvun $ab$ neliöjuuri eli $$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

Perustelu: Näytetään, että tulo $\sqrt{a}\sqrt{b}$ toteuttaa luvun $ab$ neliöjuurelta vaaditut ehdot.

  1. Neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\sqrt{b} \geq 0$. Kahden epänegatiivisen luvun tulo on epänegatiivinen, joten $\sqrt{a}\sqrt{b} \geq 0$.
  2. Lasketaan tulon $\sqrt{a}\sqrt{b}$ toinen potenssi potenssin laskusääntöjen avulla: $$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2 = ab$$

Tulo $\sqrt{a}\sqrt{b}$ on siis epänegatiivinen ja sen toinen potenssi on yhtä suuri kuin $ab$. Siis $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

Edellisessä teoreemassa osoitettiin, että $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Nyt tehtävänä on perustella vastaava neliöjuurten osamäärää koskeva tulos.

  1. Lue edellinen teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.
  2. Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b > 0$. Selitä omin sanoin, miksi osamäärä $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ on määritelty. Mikä on pienin arvo, jonka se voi saada? Voiko kyseinen osamäärä olla negatiivinen?
  3. Sievennä lauseke $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2$ mahdollisimman pitkälle potenssin laskusääntöjen tai potenssin määritelmän avulla. Muista myös neliöjuuren määritelmä.
  4. Selitä omin sanoin, miten edelliset kohdat osoittavat, että $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

Seuraava teoreema perusteltiin äskeisessä tehtävässä:

TEOREEMA

Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b > 0$. Lukujen $a$ ja $b$ neliöjuurten osamäärä on luvun $\dfrac{a}{b}$ neliöjuuri eli $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

Sievennä seuraavat lausekkeet mahdollisimman pitkälle teoreemojen 1 ja 2 avulla:

  1. $\sqrt{3}\sqrt{27}$
  2. $\sqrt{8}\sqrt{18}$
  3. $\dfrac{\sqrt{500}}{\sqrt{5}}$
  4. $\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Kokonaislukujen neliöjuuret sievennetään yleensä muotoon, jossa juurrettavana on mahdollisimman pieni kokonaisluku. Sieventäminen onnistuu teoreeman 1 avulla, jos juurrettavalla on tekijänä jonkin kokonaisluvun neliö. Esimerkiksi \begin{align*} \sqrt{72} &= \sqrt{2 \cdot 36} \\ &= \sqrt{2}\cdot \sqrt{36} \\ &= \sqrt{2}\cdot 6 \\ &= 6\sqrt{2} \end{align*}

Sievennä seuraavat neliöjuuret teoreemaa 1 hyödyntäen samaan tapaan kuin edellä. Aloita kirjoittamalla juurrettava sopivana tulona.

  1. $\sqrt{8}$
  2. $\sqrt{12}$
  3. $\sqrt{90}$
  4. $\sqrt{75}$

Neliöjuurten sieventäminen helpottaa niiden yhteen- ja vähennyslaskua. Esimerkiksi lauseke $\sqrt{12} - \sqrt{27}$ saadaan sieventämällä huomattavasti yksinkertaisempaan muotoon: \begin{align*} \sqrt{12} - \sqrt{27} &= \sqrt{4\cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} \\ &= \sqrt{4}\sqrt{3} - \sqrt{9}\sqrt{3} \\ &= 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\ &= (2-3)\sqrt{3}\\ &= - \sqrt{3} \end{align*}

  1. Laske laskimella, mitä on $\sqrt{20} + \sqrt{45}$. Onko saamasi tulos jonkin kokonaisluvun neliöjuuri? Onko neliöjuurten summalla samanlainen ominaisuus kuin teoreemassa 1 todistettiin neliöjuurten tulolle?
  2. Sievennä neliöjuuret $\sqrt{20}$ ja $\sqrt{45}$ mahdollisimman pitkälle teoreeman 1 tulosta käyttäen samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä.
  3. Laske summa $\sqrt{20} + \sqrt{45}$.

Neliöjuuri

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo käyttämättä laskimen neliöjuurinappulaa.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt{121}$
  3. $\sqrt{64}$
  4. $\sqrt{144}$

Neliöjuuri

Palauta mieleesi neliöjuuren määritelmä ja päättele seuraavien neliöjuurien tarkat arvot:

  1. $\sqrt{7^2}$
  2. $\sqrt{(-5)^2}$
  3. $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$
  4. $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$

Vihje c- ja d-kohtiin: päättele ensin, onko juurrettavassa ensiintyvän potenssin kantaluku positiivinen vai negatiivinen.

  1. $7$
  2. $5$
  3. $\sqrt{3}-1$
  4. $2-\sqrt{3}$ eli $-(\sqrt{3}-2)$

Yhtälön ratkaiseminen

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Jos yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, selitä omin sanoin, miksi näin on.

  1. $2x^2-2 = 0$
  2. $x^2+5 = 0$
  3. $8-x^2 = 0$
  4. $-4x^2 = 0$

  1. $x = 1\ $ tai $\ x = -1$
  2. $x = \sqrt{5}\ $ tai $\ x = -\sqrt{5}$
  3. $x = \sqrt{8}\ $ tai $\ x = -\sqrt{8}$
  4. $x = 0$

Neliöjuurilla laskeminen

Sievennä seuraavat neliöjuurilausekkeet neliöjuurten laskusääntöjen eli teoreemojen 1 ja 2 avulla:

  1. $\sqrt{3}\sqrt{12}$
  2. $\sqrt{1600}$
  3. $\dfrac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}}$
  4. $\sqrt{\dfrac{16}{81}}$

  1. $6$
  2. $40$
  3. $2$
  4. $\dfrac{4}{9}$

Neliöjuurilla laskeminen

Muuta juurrettavat sekaluvut murtolukumuotoon ja sievennä neliöjuurten laskusääntöjen avulla:

  1. $\sqrt{2\frac{1}{4}}$
  2. $\sqrt{1\frac{9}{16}}$
  3. $\sqrt{5\frac{4}{9}}$

  1. $\dfrac{3}{2}$
  2. $\dfrac{5}{4}$
  3. $\dfrac{7}{3}$

Yhtälön ratkaiseminen

  1. Selvitä itsellesi, miten neliön pinta-ala lasketaan, jos neliön sivun pituus on $a$. Voit kysyä vaikka kaverilta tai katsoa netistä.
  2. Neliön pinta-ala on $169 \text{ cm}^2$. Mikä on sen sivun pituus?

  1. Sivun pituus on 13 cm.

Yhtälön ratkaiseminen

Neliön muotoisen huoneen lattia päällystettiin 15 cm leveällä laudalla, jota kului 153,6 m. Mitkä olivat lattian mitat? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Huoneen jokainen seinä oli noin 4,8 metriä leveä.

Yhtälön ratkaiseminen

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion pisimmän sivun eli hypotenuusan neliö on lyhyempien sivujen eli kateettien neliöiden summa. Alla olevan kuvan merkinnöillä $$c^2 = a^2 + b^2.$$

Laske suorakulmaisen kolmion kolmas sivu, jos

  1. kateettien pituudet ovat 12 ja 5
  2. hypotenuusan pituus on 16 ja toisen kateetin pituus on 15.

  1. $13$
  2. $\sqrt{31}$

Neliöjuurten sieventäminen

Sievennä seuraavat neliöjuurilausekkeet teoreeman 1 avulla:

  1. $\sqrt{18}$
  2. $\sqrt{\dfrac{3}{16}}$
  3. $\sqrt{5}\sqrt{15}$

  1. $3\sqrt{2}$
  2. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
  3. $5\sqrt{3}$

Neliöjuurten sieventäminen

Sievennä seuraavat neliöjuurilausekkeet samaan tapaan kuin tehtävässä 2.12:

  1. $\sqrt{2} + \sqrt{8}$
  2. $\sqrt{8} - \sqrt{16} + \sqrt{18} + \sqrt{36}- \sqrt{98}$
  3. $\dfrac{2 + \sqrt{12}}{2}$

  1. $3\sqrt{2}$
  2. $2-2\sqrt{2}$
  3. $1 + \sqrt{3}$

Neliöjuurten sieventäminen

Lavenna lausekkeet nimittäjässä esiintyvällä neliöjuurella ja supista sen jälkeen, jos mahdollista:

  1. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
  2. $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$
  3. $\dfrac{15}{\sqrt{5}}$
  4. $\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$

  1. $\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$
  2. $\sqrt{2}$
  3. $3\sqrt{5}$
  4. $\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

Pankkiin talletettiin vuoden alussa $10\,000$ euroa kahdeksi vuodeksi. Vuotuinen korkoprosentti oli koko ajan sama ja kertynyt korko liitettiin pääomaan aina vuoden lopussa.

  1. Kuinka suureksi pääoma kasvoi kahden vuoden aikana, jos vuotuinen korkoprosentti oli 2,1? Mikä oli vuosittaista kasvua vastaava kerroin $q$?
  2. Mikä oli vuotuinen korkokanta, jos pääoma kasvoi kahden vuoden aikana $10\,920{,}25$ euroksi?

  1. 10 424,41 €, $q = 1{,}021$
  2. $4{,}5 \ \%$

Kuinka monta prosenttia neliön sivua on pidennettävä, jotta neliön pinta-ala kasvaisi 50 prosenttia?
Vihje: merkitse alkuperäisen neliön sivun pituutta jollakin kirjaimella.

Noin $22{,}5 \ \%$.

  1. Palauta mieleesi tai tarkista esimerkiksi netistä, miten ympyrän pinta-ala lasketaan, jos sen säde tunnetaan.
  2. Neliöllä ja ympyrällä on sama pinta-ala. Kuinka monta prosenttia ympyrän säde on neliön sivusta?

  1. Noin 56,4 %.

Jos heilurin heilahduskulma on pieni, yhden edestakaisen heilahduksen heilauhdusajalle $T$ on voimassa likiarvokaava $$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}},$$ missä $L$ on heilurin varren pituus ja $g$ on painovoiman aiheuttama putoamiskiihtyvyys.

Sadan (edestakaisen) heilahduksen kokonaisajaksi mitattiin 160 s ja heilurin varren pituudeksi $0{,}637$ m. Kuinka suuri putoamiskiihtyvyys $g$ mittauspaikalla mittausten perusteella on?

Noin $9{,}82 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Osoita, että lukujen $\sqrt{3}$ ja $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ summa ja tulo ovat yhtä suuret.

Sekä summaksi että tuloksi saadaan $\dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$.

Ratkaise yhtälö $\sqrt{6}(x-\sqrt{2}) = \sqrt{3}$. Ilmoita vastaus muodossa, jossa nimittäjässä ei ole juuria.

$x = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Millä muuttujan $x$ arvoilla seuraavat lausekkeet on määritelty?

  1. $\sqrt{5x+1}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}$
  3. $\sqrt{2x-1} + \sqrt{3-x}$

  1. $x \geq -\frac{1}{5}$
  2. $x > 4$
  3. $\frac{1}{2} \leq x \leq 3$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.