Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA2 - Polynomifunktiot ja -yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Korkeamman asteen potenssi- ja polynomifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet korkeamman asteen potenssifunktiot ja korkeammat juuret. Lisäksi vahvistat edellisissä luvuissa oppimiasi taitoja ja sovellat niitä korkeamman asteen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Osaat

  • hahmotella potenssifunktioiden kuvaajat ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
  • määrittää korkeampien juurten tarkkoja arvoja määritelmän perusteella tapauksissa, joissa tuloksena on luonnollinen luku tai rationaaliluku
  • ratkaista muotoa $x^n = a$ olevat potenssiyhtälöt juurten avulla
  • käyttää murtopotensseja juurilausekkeiden sieventämiseen
  • ratkaista korkeamman asteen yhtälön ja epäyhtälön ilman teknisiä apuvälineitä silloin, kun se onnistuu ryhmittelyn ja tulon nollasäännön avulla
  • ratkaista korkeamman asteen yhtälön ja epäyhtälön laskimen tai tietokoneen avulla.

Kurssin alkupuolella tutustuttiin toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$, jonka kuvaaja on $y$-akselin suhteen symmetrinen paraabeli:

Tässä kappaleessa tutkitaan muita potenssifunktioita ja sekä niin sanottuja korkeampia juuria.

MÄÄRITELMÄ: POTENSSIFUNKTIO

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Funktioita, jotka ovat muotoa $f(x) = x^n$, sanotaan potenssifunktioiksi.

Alla on näkyvissä potenssifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko yhdistämällä jokainen kuvaaja oikeaan funktioon.

Funktio Kuvaaja
$f(x) = x^3$
$g(x) = x^4$
$h(x) = x^5$
$k(x) = x^6$

Alla olevassa kuvassa on näkyvissä esimerkki funktiosta $g$, jonka kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen. (Funktio $g$ ei ole potenssifunktio.)

  1. Tarkastele yllä olevaa funktion $g$ kuvaajaa. Vertaa arvoja $g(-3)$ ja $g(3)$ sekä arvoja $g(-2)$ ja $g(2)$. Mitä havaitset?
  2. Miten $h(-x)$ ja $h(x)$ liittyvät toisiinsa, jos funktion $h$ kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen?
  3. Tutki edellisen tehtävän kuvaajia ja päättele, mikä ehto luvun $n$ pitää toteuttaa, jotta potenssifunktion $f(x) = x^n$ kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen.

Alla olevassa kuvassa on näkyvissä esimerkki funktiosta $g$, jonka kuvaaja on symmetrinen origon eli pisteen $(0,0)$ suhteen. (Funktio $g$ ei ole potenssifunktio.)

  1. Tarkastele yllä olevaa funktion $g$ kuvaajaa. Vertaa arvoja $g(-3)$ ja $g(3)$ sekä arvoja $g(-1)$ ja $g(1)$. Mitä havaitset?
  2. Miten $h(-x)$ ja $h(x)$ liittyvät toisiinsa, jos funktion $h$ kuvaaja on symmetrinen origon suhteen?
  3. Tutki tehtävän 4.1 kuvaajia ja päättele, mikä ehto luvun $n$ pitää toteuttaa, jotta potenssifunktion $f(x) = x^n$ kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ kuvaajasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 = a$ on yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on merkitty yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua kirjaimella $b$:

Yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua sanotaan luvun $-2$ kuutiojuureksi. Luvun $-2$ kuutiojuuri on siis se luku, jonka kolmas potenssi on $-2$. Vastaavasti määritellään muidenkin lukujen kuutiojuuret.

MÄÄRITELMÄ: KUUTIOJUURI

Luvun $a$ kuutiojuuri tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^3 = a.$$ Luvun $a$ kuutiojuurelle käytetään merkintää $\sqrt[3]{a}.$

Luvun $a$ kuutiojuurelle pätee siis määritelmän mukaan $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$. Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on toiselta nimeltään luvun $a$ kolmas juuri.

Kuutiojuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien kuutiojuurten arvo ja tarkista tulos korottamalla se kolmanteen potenssiin.

  1. $\sqrt[3]{8}$
  2. $\sqrt[3]{-1}$
  3. $\sqrt[3]{27}$
  4. $\sqrt[3]{-125}$

Määritellään seuraavaksi muut niin sanotut korkeammat juuret. Niitä tarvitaan, kun tutkitaan potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisuja tapauksissa, joissa kokonaisluku $n \geq 4$. Seuraava määritelmä sisältää myös neliöjuuren ja kuutiojuuren määritelmät.

MÄÄRITELMÄ: N:S JUURI

  • Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku ja $a \geq 0$, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^n = a.$$
  • Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^n = a.$$

Huomaa, että parillisten juurten tapauksessa juuri $\sqrt[n]{a}$ on määritelty vain siinä tapauksessa, että juurrettava $a$ on epänegatiivinen eli $a \geq 0$. Tällöin $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $x^n = a$ epänegatiivista ratkaisua. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun $3$ neljättä juurta $\sqrt[4]{3}$:

On mahdollista osoittaa, että korkeammat juuret noudattavat samoja laskusääntöjä kuin neliöjuuri. Teoreemojen 1 ja 2 tulokset pätevät siis myös korkeampien juurten tapauksessa.

Päättele seuraavien juurten arvo ja tarkista tulos korottamalla se sopivaan potenssiin.

  1. $\sqrt[5]{-1}$
  2. $\sqrt[4]{16}$
  3. $\sqrt[6]{1\,000\,000}$
  4. $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$

Potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisut saadaan ilmaistua juurten avulla. Ratkaisujen lukumäärä täytyy päätellä siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton. Esimerkiksi yhtälöllä $x^4 = 3$ on kaksi ratkaisua mutta yhtälöllä $x^3 = 3$ vain yksi ratkaisu:

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Anna ratkaisujen tarkat arvot juurimerkintää käyttäen ja määritä laskimen avulla likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $x^3 = -10$
  2. $4x^4 = 2100$
  3. $3x^5-1980 = 0$
  4. $10x^6+14 = 15$

Kurssissa MAY1 määriteltiin, mitä tarkoitetaan potenssilla, jossa eksponenttina on kokonaisluku. Sovittiin, että jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}.$$ Lisäksi sovittiin, että jos $a \neq 0$, niin $a^0 = 1$ ja $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$ Potenssin määritelmää voidaan laajentaa kattamaan myös tilanteet, joissa kantaluku on positiivinen ja eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku:

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a > 0$. Oletetaan lisäksi, että $m$ ja $n$ ovat positiivisia kokonaislukuja. Potenssit $a^\frac{m}{n}$ ja $a^{-\frac{m}{n}}$ määritellään seuraavasti: \begin{align*} a^\frac{m}{n} &= \sqrt[n]{a^m} \\[1mm] a^{-\frac{m}{n}} &= \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

Potenssi $a^\frac{m}{n}$ on siis $n$:s juuri luvusta $a^m$. Erityisesti pontenssi $a^\frac{1}{n}$ on $n$:s juuri luvusta $a$. Esimerkiksi $$64^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{64} = 4.$$ Potenssi $a^{-\frac{m}{n}}$ on puolestaan potenssin $a^\frac{m}{n}$ käänteisluku samaan tapaan kuin kokonaislukueksponenttien tapauksessa.

Kun murtopotenssit määritellään kuten edellä, voidaan osoittaa, että vanhat tutut potenssien laskusäännöt ovat edelleen voimassa. Kurssin MAY1 teoreeman 1 tulokset pätevät siis myös tilanteessa, jossa eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku, kunhan kantaluvut ovat positiivisia.

Ilmaise seuraavat luvut juurimerkinnän avulla murtopotenssin määritelmää käyttäen:

  1. $5^\frac{1}{2}$
  2. $7^\frac{1}{3}$
  3. $3^\frac{2}{5}$
  4. $2^{-\frac{3}{4}}$

Ilmaise seuraavat luvut luvun $2$ potensseina:

  1. $\sqrt{2}$
  2. $\dfrac{1}{2}$
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
  4. $\dfrac{1}{4}$
  5. $2\sqrt{2}$
  6. $\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$

Murtopotensseja voidaan käyttää juurilausekkeiden sieventämisessä. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Ilmaise juuret potenssimerkintää käyttäen ja sievennä potenssien laskusääntöjen avulla. Ilmaise lopputulos juurimerkintää käyttäen.

  1. $\dfrac{3}{\sqrt{3}}$
  2. $\left(\sqrt[6]{7}\right)^2$
  3. $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[6]{2}$

Aikaisemmin tällä kurssilla on tutustuttu ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax + b$, ja toisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax^2 + bx + c$. Samalla idealla voidaan määritellä muut polynomifunktiot:

MÄÄRITELMÄ: POLYNOMIFUNKTIO

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$ missä $a_n\neq 0$, sanotaan $n$:nnen asteen polynomifunktioksi.

Esimerkiksi funktio $g(x) = x^4+15x^3-2$ on neljännen asteen polynomifunktio ja funktio $h(x) = 0{,}2x^9-6x^5+x$ on yhdeksännen asteen polynomifunktio. Potenssifunktiot $f(x) = x^n$ ovat nekin esimerkkejä polynomifunktioista. Niillä $a_n = 1$ ja muut kertoimet ovat nollia: $a_{n-1} = 0$, $\ldots$, $a_0 = 0$.

Alla on näkyvissä polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko kirjaamalla näkyviin funktioiden asteluvut ja yhdistämällä jokainen kuvaaja oikeaan funktioon.

Funktio Aste Kuvaaja
$f(x) = -\frac{1}{10}x^5+x^3+1$
$g(x) = -\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2-4x+2$
$h(x) = x^4+x^3-3x^2-3x$
$k(x) = \frac{1}{5}x^3-2x-1$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin korkeamman asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään korkeamman asteen yhtälöön. Tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen voi olla joskus hyvin monimutkaista, mutta joissakin tapauksissa ratkaisu onnistuu tulon nollasäännön avulla.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $x^3-3x^2-4x = 0$.

  1. Erota tutkittavan yhtälön vasemmalta puolelta yhteinen tekijä $x$.
  2. Ratkaise yhtälö tulon nollasäännön avulla.

Ratkaise seuraavat polynomiyhtälöt tulon nollasäännön avulla samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä:

  1. $x^3-2x^2-8x = 0$
  2. $x^3 = x^2+2x$
  3. $x^4-x^3-x^2 = 0$

Joissakin tapauksissa yhteinen tekijä voi olla monimutkaisempi kuin pelkkä $x$ tai $x^2$. Esimerkiksi yhtälössä $$x^3-3x^2-4x+12 = 0$$ termit voidaan ryhmitellä niin, että yhteinen tekijä paljastuu: \begin{align*} x^2(\textcolor{red}{x-3})-4(\textcolor{red}{x-3}) &= 0 \\ (\textcolor{red}{x-3})(x^2-4) = 0 \end{align*} Tämän jälkeen yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. Ratkaisuja saadaan kolme: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$ ja $x_3 = -2$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $x^3-2x^2-7x + 14 = 0$.

  1. Ryhmittele yhtälön vasemman puolen termit niin, että saat näkyviin yhteisen tekijän $x-2$.
  2. Kirjoita yhtälön vasen puoli tulomuodossa ja ratkaise yhtälö tulon nollasäännön avulla.

Ratkaise seuraavat polynomiyhtälöt ryhmittelyn ja tulon nollasäännön avulla samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä:

  1. $2x^3 - 8x^2-4x+16 = 0$
  2. $x^3+5x^2 = x+5$
  3. $(x+2)^3-4x-8 = 0$

Sellaiset neljännen asteen yhtälöt, joissa esiintyy neljännen asteen termin lisäksi vain toisen asteen termi ja vakiotermi, voidaan ratkaista soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Esimerkki tällaisesta niin sanotusta bikvadraattisesta yhtälöstä on $$4x^4 + 11x^2 - 3 = 0.$$ Kun merkitään $t = x^2$, voidaan yhtälö kirjoittaa muodossa $$4t^2 + 11t - 3 = 0.$$ Tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisuiksi saadaan \begin{align*} t &= \frac{-11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot 4\cdot (-3)}}{2\cdot 4} \\[1mm] &= \frac{-11 \pm 13}{8} \end{align*} eli $t_1 = \frac{1}{4}$ ja $t_2 = -3$. Ratkaisusta $t_1 = \frac{1}{4}$ saadaan alkuperäiselle yhtälölle kaksi ratkaisua: \begin{align*} x^2 &= \frac{1}{4} \\[1mm] x = \frac{1}{2} \quad &\text{ tai } \quad x = -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisu $t_2 = -3$ ei tuota alkuperäiselle yhtälölle yhtään ratkaisua, sillä yhtälö $x^2 = -3$ ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.

Ratkaise seuraavat bikvadraattiset yhtälöt samaan tapaan kuin edellä:

  1. $4x^4 - 25x^2 + 36 = 0$
  2. $x^4 = 13x^2 - 42$
  3. $2x^4+4x^2 = 5-5x^2$

Joissakin tilanteissa mikään edellä harjoitelluista menetelmistä ei sovi korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen. Tällöin yhtälön ratkaisut tai niiden likiarvot on mahdollista selvittää laskimella tai tietokoneella.

Määritä seuraavien polynomiyhtälöiden ratkaisujen likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella:

  1. $x^3 + 4x^2 - 5x + 1 = 0$
  2. $x^4 + x^3 = 2$
  3. $x^5 + x^2 + 1 = x^4 + x^3$

Aiemmin on osoitettu, että toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin polynomin nollakohtien avulla. Jos esimerkiksi tiedetään, että yhtälön $2x^2+5x-3 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = -3$ ja $x_2 = \frac{1}{2}$, voidaan polynomi $2x^2+5x-3$ kirjoittaa tulomuodossa: $$2x^2+5x-3 = 2\left(x+3\right)\left(x-\tfrac{1}{2}\right).$$ Polynomilla $2x^2 +5x -3$ on siis tekijät $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$. Seuraavan teoreeman mukaan vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomien tapauksessa.

TEOREEMA

Lauseke $x-a$ on polynomin $P(x)$ tekijä, jos ja vain jos polynomiyhtälöllä $P(x) = 0$ on ratkaisu $x = a$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), on myös perustelussa kaksi osaa:

  • Oletetaan aluksi, että $x-a$ on polynomin $P(x)$ tekijä. Tämä tarkoittaa, että polynomi $P(x)$ voidaan kirjoittaa tulomuodossa $$P(x) = (x-a)Q(x),$$ missä $Q(x)$ on jokin polynomi. Silloin myös yhtälö $$P(x) = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$(x-a)Q(x) = 0.$$ Tulon nollasäännön nojalla tämän yhtälön yksi ratkaisu on $x = a$.
  • Oletetaan, että polynomiyhtälöllä $P(x) = 0$ on ratkaisu $x = a$. Nyt pitäisi jollakin tavalla perustella, että tällöin lauseke $x-a$ on polynomin $P(x)$ tekijä. Toisen asteen polynomien tapauksessa tämä on tehty aiemmin teoreemassa 8. Korkeamman asteen polynomien tapauksessa perustelu on liian hankala tässä esitettäväksi.

Yhtälö $3x^3+x^2-8x+4 = 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x = -2$ tai $x = 1$ tai $x = \frac{2}{3}$.

  1. Mitkä ensimmäisen asteen polynomit ovat teoreeman 9 mukaan polynomin $3x^3+x^2-8x+4$ tekijöitä?
  2. Laske a-kohdan ensimmäisen asteen polynomien tulo. Millä luvulla tämä tulo pitää kertoa, jolla se on sama kuin polynomi $3x^3+x^2-8x+4$?
  3. Kirjoita polynomi $3x^3+x^2-8x+4$ ensimmäisen asteen kokonaislukukertoimisten polynomien tulona.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta nähdään, että toisen asteen polynomiyhtälöllä on aina enintään kaksi ratkaisua. Teoreeman 9 avulla on mahdollista osoittaa, että vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomiyhtälöille: kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme ratkaisua, neljännen asteen yhtälöllä enintään neljä ratkaisua ja niin edelleen.

TEOREEMA

Astetta $n$ olevalla polynomiyhtälöllä on enintään $n$ ratkaisua.

Perustelu: Oletetaan, että $P(x)$ on $n$:nnen asteen polynomi. Oletetaan lisäksi, että $x_1$, $x_2$ $\ldots$, $x_k$ ovat polynomiyhtälön $P(x) = 0$ ratkaisut. Tällöin lausekkeet $(x-x_1)$, $(x-x_2)$ $\ldots$, $(x-x_k)$ ovat teoreeman 9 mukaan polynomin $P(x)$ tekijöitä. Siis polynomi $P(x)$ voidaan kirjoittaa tulomuodossa $$P(x) = (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_k)Q(x),$$ missä $Q(x)$ on jokin polynomi (mahdollisesti pelkkä vakiopolynomi, esimerkiksi $1$). Laskemalla tulo $$(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_k)$$ huomataan, että sen aste on $k$. Koska polynomin $P(x)$ aste on $n$, voidaan päätellä, että $k \leq n$. Siis ratkaisujen lukumäärä $k$ on enintään $n$.

Edellisessä luvussa opeteltiin ratkaisemaan toisen asteen epäyhtälöitä. Ratkaisun ideana oli muuttaa epäyhtälö perusmuotoon, jossa vasemmalla puolella on toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ ja oikealla puolella nolla, esimerkiksi $$ax^2 + bx + c > 0.$$ Tämä epäyhtälö saatiin ratkaistua selvittämällä polynomifunktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ja päättelemällä, onko funktion $f$ kuvaaja alas- vai ylöspäin aukeava paraabeli.

Korkeamman asteen epäyhtälöt ratkaistaan samaan tapaan. Esimerkiksi epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ kirjoitetaan ensin perusmuodossa $$x^3-4x^2+4x \leq 0.$$ Vastaavan polynomifunktion nollakohdat löydetään erottamalla yhteinen tekijä ja käyttämällä tulon nollasääntöä: \begin{align*} x(x^2-4x+4) &= 0 & & \\ x = 0 \quad &\text{ tai } &\quad x^2-4x + 4 &= 0 \\ & & (x-2)^2 &= 0 \\ & & x &= 2 \end{align*} Funktion merkki näiden nollakohtien eri puolilla saadaan selville laskemalla funktion arvo esimerkiksi kohdissa $x = -1$, $x = 1$ ja $x = 3$: \begin{align*} f(-1) &= (-1)^3-4\cdot (-1)^2+4\cdot (-1) = -9\\ f(1) &= 1^3-4\cdot 1^2+4\cdot 1 = 1 \\ f(3) &= 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3 = 3 \end{align*} Koska polynomifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa, riittää laskea funktion arvo yhdessä testikohdassa jokaisella nollakohtien määräämällä välillä $\pa -\infty, 0\pe$, $\ \pa 0, 2\pe \ $ ja $\ \pa 2, \infty \pe$. Näiden tietojen avulla voidaan piirtää merkkikaavio:

Tästä voidaan päätellä, että epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq 0$ tai $x = 2$.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellä:

  1. $x^3-4x^2 + 3x < 0$
  2. $2x^3+x^2 > 3x$

Jos epäyhtälön toinen puoli on valmiiksi tulomuodossa, merkkikaavioon kannattaa merkitä jokaisen tulon tekijän merkki erikseen. Esimerkiksi epäyhtälön $$(x+1)(x-3)(5-2x) < 0$$ tapauksessa vastaavan polynomifunktion $f(x) = (x+1)(x-3)(5-2x)$ nollakohdiksi saadaan tulon nollasäännön perusteella $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{5}{2}$ ja $x_3 = 3$. Tulon tekijöiden merkit nollakohtien eri puolilla voidaan päätellä hahmottelemalla kuvaajat:

Kuvaajien ei tarvitse olla kovin tarkkoja. Ensimmäisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä nouseva vai laskeva suora. Toisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli. Molemmissa tapauksissa riittää siis katsoa, onko korkeimman asteen termin kerroin positiivinen vai negatiivinen.

Kuvaajien avulla voi laatia merkkikaavion:

Tulon merkin voi päätellä tulon tekijöiden merkkien avulla. Pitää vain muistaa, että kahden negatiivisen luvun tulo on aina positiivinen. Tarkasteltu epäyhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < \dfrac{5}{2}$ tai $x > 3$.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellä:

  1. $(x+5)(2x-1)(3-x) \geq 0$
  2. $(4-3x)(x^2+2x+3) < 0$
Tarkista vastauksesi piirtämällä funktioiden $f(x) = (x+5)(2x-1)(3-x)$ ja $g(x) = (4-3x)(x^2+2x+3)$ kuvaajat laskimella tai tietokoneella.

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna ratkaisujen tarkkojen arvojen lisäksi niiden likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $x^4 = 4096$
  2. $3x^5 = 630$
  3. $30x^7 = -6$
  4. $9x^6 = 10000$

  1. $x = 8$ tai $x = -8$
  2. $x = \sqrt[5]{210} \approx 2{,}91$
  3. $x = \sqrt[7]{-\dfrac{1}{5}} \approx -0{,}795$
  4. $x = \sqrt[6]{\dfrac{10000}{9}} \approx 3{,}22$ tai $x = -\sqrt[6]{\dfrac{10000}{9}} \approx -3{,}22$

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Peppi teki 4500 euron talletuksen kahdeksaksi vuodeksi. Vuotuinen korkoprosentti pysyi koko ajan samana, eli pääoma kasvoi joka vuosi samalla kertoimella $q$.

  1. Jos korko olisi ollut 5 %, kuinka suureksi summaksi 4500 olisi kasvanut kahdeksan vuoden aikana? Mikä tässä tapauksessa olisi ollut kertoimen $q$ arvo?
  2. Todellisuudessa pääoma kasvoi kahdeksan vuoden aikana 4500 eurosta 5398 euroon. Mikä oli vuosittaista kasvua vastaava kerroin $q$? Mikä oli talletuksen vuosittainen korkoprosentti?

  1. 6648,55 euroksi, $q = 1{,}05$
  2. $q \approx 1{,}023$ ja vuosikorko 2,3 %

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Jatkoa edelliseen tehtävään.

  1. Kuinka suuri vuotuisen koron pitäisi olla, jotta Pepin 4500 euron talletus kolminkertaistuisi kymmenessä vuodessa?
  2. Osoita, että edellisen kohdan tulos ei riipu talletussummasta vaan samaan tulokseen päädytään, jos talletussumma on $a$ euroa.

  1. Suurempi kuin 11,6 %.

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Liikenneonnettomuuksien lukumäärää halutaan vähentää viidessä vuodessa 22 %.

  1. Jos liikenneonnettomuuksia onnistutaan vähentämään vuosittain 3 %, kuinka monta prosenttia ne vähenevät viiden vuoden aikana? Mikä tässä tapauksessa on vuosittaista vähentymistä vastaava kerroin $q$?
  2. Mikä pitäisi asettaa vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi, jotta liikenneonnettomuudet vähenisivät viidessä vuodessa 22 %?

  1. Noin 14 %, $q = 0{,}97$
  2. Noin 4,8 %

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Viitenä peräkkäisenä vuotena hinnat nousivat 5,1 %, 6,6 %, 2,4 %, 1,7 % ja 0,25 % vuodessa. Kuinka suuri oli ajanjakson keskimääräinen vuotuinen inflaatioprosentti? Toisin sanottuna jos hinnat olisivat nousseet joka vuosi yhtä paljon, mikä nousuprosentti olisi johtanut samaan lopputulokseen? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Keskimääräinen vuotuinen inflaatioprosentti oli noin 3,2 %.

Juuret ja murtopotenssit

Ilmaise seuraavat luvut juurimerkinnän avulla:

  1. $3^\frac{4}{5}$
  2. $9^{-\frac{1}{3}}$
  3. $10^{-\frac{5}{2}}$
  4. $7^{2{,}5}$

  1. $\sqrt[5]{3^4} = \sqrt[5]{81}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}}$
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{10^5}} = \dfrac{1}{100\sqrt{10}}$
  4. $49\sqrt{7}$

Juuret ja murtopotenssit

Ilmaise luvun 3 potenssina:

  1. $\sqrt{27}$
  2. $3\sqrt{3}$
  3. $1$
  4. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
  5. $\dfrac{1}{3}$
  6. $\dfrac{1}{9}$
  7. $\dfrac{1}{9\sqrt{3}}$

  1. $3^\frac{3}{2}$
  2. $3^\frac{3}{2}$
  3. $3^0$
  4. $3^{-\frac{1}{2}}$
  5. $3^{-1}$
  6. $3^{-2}$
  7. $3^{-\frac{5}{2}}$

Juuret ja murtopotenssit

Oletetaan, että $a$ on positiivinen reaaliluku. Ilmaise luvun $a$ potenssina:

  1. $\dfrac{1}{a}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{a}}$
  3. $\dfrac{1}{a\sqrt{a}}$
  4. $\dfrac{1}{a^3}$
  5. $a^3\sqrt{a}$

  1. $a^{-1}$
  2. $a^{-\frac{1}{2}}$
  3. $a^{-\frac{3}{2}}$
  4. $a^{-3}$
  5. $a^\frac{7}{2}$

Korkeamman asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $(x+5)(2x^2+5x-3) = 0$
  2. $5x^4+8x^3-4x^2 = 0$
  3. $x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 0$
Vihje c-kohtaan: käytä ryhmittelyä samaan tapaan kuin tehtävässä 4.14.

  1. $x = -5$ tai $x = -3$ tai $x = \dfrac{1}{2}$
  2. $x = 0$ tai $x = \dfrac{2}{5}$ tai $x = -2$
  3. $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$ tai $x = 2$

Korkeamman asteen yhtälö

Määritä ne vakion $a$ arvot, joilla yhtälöllä $x^3 + x^2 + ax = 0$ on kolme ratkaisua eli juurta.

$a < 0$ tai $0 < a < \dfrac{1}{4}$

Korkeamman asteen yhtälö

Tutki, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä $x^3+ax^2+2ax-4x = 0$ on vakion $a$ eri arvoilla.

  1. Mistä nähdään, että ratkaisuja on aina ainakin yksi? Mikä tämä ratkaisu on?
  2. Onko olemassa sellainen vakion $a$ arvo, että ratkaisuja on vain yksi?
  3. Millä vakion $a$ arvoilla ratkaisuja on kaksi? Entä millä vakion $a$ arvoilla ratkaisuja on kolme?

  1. Koska yhtälön vakiotermi on nolla, toteutuu yhtälö ainakin siinä tapauksessa, että $x = 0$.
  2. Ei ole.
  3. Jos $a = 4$, ratkaisuja on kaksi. Jos $a \neq 4$, ratkaisuja on kolme.

Korkeamman asteen yhtälö

Ratkaise yhtälö

  1. $x^4-3x^2-4 = 0$
  2. $4x^3-5x^2 = 2x-3x^2$
[Pitkä S2010/2c & S2008/3b]

  1. $x = 2$ tai $x = -2$
  2. $x = -\dfrac{2}{7}$ tai $x = 0$ tai $x = 1$

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys

Tutki teoreeman 9 avulla, ovatko seuraavat binomit polynomin $x^3-x^2-2x+2$ tekijöitä:

  1. $x+1$
  2. $x-\sqrt{2}$
  3. $x+2$

  1. Ei ole.
  2. On.
  3. Ei ole.

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys

Määritä sellainen vakio $a$, että binomi $x-3$ on polynomin $2x^3-x^2-13x+a$ tekijä.

$a = -6$

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys

Muodosta neljännen asteen polynomi $P(x)$, jolla on tekijä $x^2+1$, nollakohdat $x_1 = 1$ ja $x_2 = -2$, ja jolle $P(0) = 4$.

$P(x) = -2x^4-2x^3+2x^2-2x+4$

Korkeamman asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $(x-2)(x+3)(x-4) < 0$
  2. $x(x+4)^2 < 0$

  1. $x < -3$ tai $2 < x < 4$
  2. $x < 0$ ja $x \neq -4$

Korkeamman asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x^2(x-1)^2 \leq 0$
  2. $4x^3-9x \leq 0$

  1. $x = 0$ tai $x = 1$
  2. $x \leq -\dfrac{3}{2}$ ja $0 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$

  1. Laske lausekkeen $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2$ tarkka arvo, kun positiiviset luvut $a$ ja $b$ ovat toistensa käänteislukuja ja lukujen $a$ ja $b$ keskiarvo on $2$.
  2. Sievennä lauseke $$\left(x^\frac{1}{3} + y^\frac{1}{3}\right) \cdot \left(x^\frac{2}{3}-x^\frac{1}{3}y^\frac{1}{3} + y^\frac{2}{3}\right)$$
[Pitkä K2013/3]

  1. 6
  2. $x + y$

Saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler (1571−1630) keksi planeetan etäisyyden ja kiertoajan välisen yhteyden. Planeetan kiertoaikaa Auringon ympäri merkitään symbolilla $x$ ja sen etäisyyttä Auringosta symbolilla $y$. Alla olevassa taulukossa on viiden Aurinkoa lähinnä olevan planeetan kiertoaika vuosina ja etäisyys astronomisen yksikön avulla lausuttuna.

  1. Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja täydennä puuttuvat kohdat kolmen desimaalin tarkkuudella.
  2. Päättele, mikä on Keplerin kaava etäisyydelle $y$ kiertoajan $x$ avulla lausuttuna.
  3. Saturnuksen kiertoaika on $29{,}457$ vuotta. Mikä on sen etäisyys Auringosta?
[Lyhyt S2012/7]

  1. $y = x^\frac{2}{3}$
  2. $29{,}457^\frac{2}{3} \approx 9{,}538$ astronomista yksikköä.

Polynomi $P(x) = 2x^3 + ax^2 -4x + b$ on jaollinen binomeilla $x-1$ ja $x + 3$. Ratkaise yhtälö $P(x) = 0$.
[Pitkä S2015/12]

Ratkaisut ovat $x_1 = 1$ ja $x_2 = -3$ ja $x_3 = -\dfrac{1}{2}$.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $(3x^2-4x+1)^2 = 0$
  2. $4x^4-5x^2+1 = 0$
  3. $(2x^2-6x+7)^2 = 1$
Vihje c-kohtaan: ajattele yhtälöä aluksi toisen asteen potenssiyhtälönä.

  1. $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{3}$
  2. $x = \pm 1$ tai $x = \pm\dfrac{1}{2}$
  3. $x = 4$ tai $x = -1$ tai $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Yhtälöillä $x^3+ax^2+bx+c = 0$ ja $x^2+x-6 = 0$ on täsmälleen samat ratkaisut. Määritä summa $a + b + c$.

$a + b + c = 3$ tai $a + b + c = -17$

Olkoon $f(x) = x^3 + ax^2 + (a^2+1)x$. Osoita, että olipa vakion $a$ arvo mikä tahansa, niin funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos $x > 0$, ja negatiivisia, jos $x < 0$.

Funktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $$f(x) = x(x^2+ax+a^2+1).$$ Diskriminanttia tutkimalla havaitaan, että yhtälöllä $x^2 + ax + a^2+1 = 0$ ei ole ratkaisuja. Voidaan päätellä, että $x^2 + ax + a^2+1 > 0$ kaikilla muuttujan $x$ arvoilla. Funktion $f$ arvojen merkki määräytyy siis sen mukaan, onko toinen tulon tekijä $x$ positiivinen vai negatiivinen.

Jaa polynomi $2x^4-x^3 + x^2-x-1$ mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin.
[Pitkä K2011/13]

$(x-1)(2x+1)(x^2+1)$

Ratkaise epäyhtälö $$\dfrac{-x^2+x+2}{x^3+2x^2-3x}> 0.$$
Vihje: tutki osoittajan ja nimittäjän merkkiä erikseen.
[Pitkä K2009/8]

$x < -3$ tai $-1 < x < 0$ tai $1 < x < 2$

Yhdistyneet kansakunnat asetti vuosituhannen vaihteessa yhdeksi tavoitteekseen, että maailman hiilidioksidipäästöt olisivat vuonna 2015 merkittävästi pienemmät kuin vuonna 1990. Tavoite ei näytä toteutuvan, sillä vuosina 1990−2008 päästöjen määrä kasvoi 39 %. Oletetaan, että päästöjen vuotuinen kasvuprosentti on ollut aikavälillä 1990−2008 vakio. Kuinka monta prosenttia päästöt kasvavat yhteensä vuosina 1990−2015, jos niiden vuotuinen kasvuprosentti pysyy edelleen samana? Anna vastaus prosenttiyksikön tarkkuudella.
[Lyhyt S2014/12]

Noin 58 %.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.