Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA2 - Polynomifunktiot ja -yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Toisen asteen polynomifunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että saat vankan käsityksen toisen asteen polynomifunktioista ja ratkaiset sujuvasti toisen asteen yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Osaat

  • hahmotella toisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
  • tutkia toisen asteen polynomifunktioiden ominaisuuksia sekä lausekkeiden että kuvaajien avulla
  • käyttää sujuvasti summan neliön, erotuksen neliön sekä summan ja erotuksen tulon muistikaavoja
  • soveltaa tulon nollasääntöä yhtälöiden ratkaisemiseen
  • ratkaista toisen asteen yhtälön ja epäyhtälön
  • tutkia toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää diskriminantin avulla
  • jakaa toisen asteen polynomin tekijöihin.

Edellisessä luvussa tutustuimme toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$. Se on yksi esimerkki niin sanotuista toisen asteen polynomifunktioista, joihin liittyviä asioita tässä luvussa opiskellaan.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax^2+bx+c$, missä $a\neq 0$, sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten toisen asteen polynomifunktion lausekkeessa esiintyvät kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = x^2+1 \ $
$\ g(x) = -x^2 \ $
$\ h(x) = -x^2+2 \ $
$\ k(x) = x^2-1 \ $

Kaikki yllä olevat toisen asteen funktiot ovat muotoa $f(x) = ax^2 + c$ eli niiden ensimmäisen asteen termin kerroin $b = 0$. Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = -x^2+4x-2 \ $
$\ g(x) = x^2+2x-1 \ $
$\ h(x) = x^2-3x-1 \ $
$\ k(x) = -x^2-x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli vai alaspäin aukeava paraabeli?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. Selitä omin sanoin, miten ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa kuvaajaan.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}25x^2-2 \ $
$\ g(x) = 0{,}5x^2+1 \ $
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $

Selitä omin sanoin, miten toisen asteen funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$

  1. toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa kuvaajaan.
  2. vakiotermi $c$ vaikuttaa kuvaajaan.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli kuten edellisissä tehtävissä. Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylinta pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$-koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \ $

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$.

  1. Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion $f$ arvoja:
    $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $
  2. Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$-koordinaatti.
  3. Määritä huipun $y$-koordinaatti laskemalla.
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

Ensimmäisessä luvussa palautettiin mieleen, miten lasketaan kahden polynomin tulo. Sama menetelmä toimii myös useamman muuttujan polynomien tapauksessa. Esimerkiksi kahden muuttujan polynomien $2a+b$ ja $3a-4b$ tuloksi saadaan \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2a}\textcolor{red}{+b})(3a-4b) \\ &= \textcolor{blue}{6a^2-8ab}\textcolor{red}{+3ab-4b^2} \\ &= 6a^2-5ab - 4b^2 \end{align*}

  1. Laske samaan tapaan kuin edellä summan ja erotuksen tulo $(a+b)(a-b)$ ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
  2. Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x+10)(x-10)$.
  3. Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla binomi $x^2-4$ tulomuodossa.

  1. Kirjoita lauseke $(a+b)^2$ potenssin määritelmän avulla tulomuodossa. Kerro sen jälkeen sulut auki samaan tapaan kuin edellä ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
  2. Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x+5)^2$.
  3. Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla polynomi $x^2 + 6x + 9$ potenssimerkintää käyttäen.

  1. Kirjoita lauseke $(a-b)^2$ potenssin määritelmän avulla tulomuodossa. Kerro sen jälkeen sulut auki samaan tapaan kuin edellä ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
  2. Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x-7)^2$.
  3. Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla polynomi $x^2 - 8x + 16$ potenssimerkintää käyttäen.

Kootaan vielä edellisissä tehtävissä perustellut tulokset teoreemaksi:

TEOREEMA

  1. $\quad (a+b)(a-b) = a^2-b^2$
  2. $\quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  3. $\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Teoreeman 3 avulla voidaan laskea summan ja erotuksen tuloja sekä binomien neliöitä samaan tapaan kuin edellisten tehtävien b-kohdissa. Tällaiset tulot voidaan kuitenkin aina laskea tavalliseen tapaan polynomien kertolaskuina eikä teoreeman 3 muistikaavojen käyttö ole välttämätöntä. Jos taas jokin polynomi halutaan kirjoittaa tulomuodossa tai potenssina, on teoreeman 3 muistikaavojen hallitsemisesta huomattava etu. Esimerkiksi polynomista $$9x^2 - 24x + 16$$ huomataan, että sen toisen asteen termi ja vakiotermi voidaan kirjoittaa neliöinä: $$(\textcolor{red}{3x})^2 - 24x + \textcolor{blue}{4}^2.$$ Vertaamalla tätä teoreeman 3 muistikaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2ab + \textcolor{blue}{b}^2 = (a-b)^2$$ huomataan, että tarkasteltavassa tilanteessa $\textcolor{red}{a = 3x}$ ja $\textcolor{blue}{b = 4}$. Lisäksi näiden kaksinkertainen tulo täsmää tarkasteltavaan tilanteeseen, sillä $-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} = -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} = -24x$. Siis \begin{align*} 9x^2 - 24x + 16 &= (\textcolor{red}{3x})^2 -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2\\ &= (\textcolor{red}{3x}-\textcolor{blue}{4})^2. \end{align*}

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa tai potenssina edellisen teoreeman muistikaavojen avulla:

  1. $x^2 - 25$
  2. $x^2 - 2x + 1$.
  3. $4x^2 + 24x + 36$

Polynomien tulo lasketaan samalla periaatteella siinäkin tapauksessa, että tulon tekijöissä on enemmän kuin kaksi yhteenlaskettavaa. Esimerkiksi \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{+5})(x^2-2x-3) \\ &= \textcolor{blue}{x^3-2x^2-3x}\textcolor{red}{+5x^2-10x-15} \\ &= x^3 + 3x^2 - 13x - 15 \end{align*}

Tehtävänä on johtaa muistikaava summan kuutiolle $(a+b)^3$.

  1. Avaa sulut lausekkeesta $(a+b)^2$ joko laskemalla tai käyttämällä muistikaavaa.
  2. Kerro a-kohdan tulos binomilla $(a+b)$.
  3. Kirjoita näkyviin edellisissä kohdissa perustelemasi muistikaava summan kuutiolle $(a+b)^3$.
  4. Laske summan kuution muistikaavan avulla $(2x+1)^3$.
  5. Kirjoita polynomi $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$ summan kuutiona muistikaavan avulla.

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun tulon nollasääntöön, jota voidaan käyttää monien polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

  1. $2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
  2. $8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
  3. $661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin. Jotkin väitteistä voit osoittaa todeksi tai epätodeksi keksimällä sopivan esimerkin.

  1. On mahdollista, että kumpikaan luvuista $a$ ja $b$ ei ole nolla eli $a \neq 0$ ja $b \neq 0$.
  2. Voidaan olla varmoja, että kumpikin luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ ja $b = 0$.
  3. Voidaan olla varmoja, että ainakin toinen luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ tai $b = 0$.
  4. Voidaan olla varmoja, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$.
  5. On mahdollista, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$.

Seuraavan teoreeman eli tulon nollasäännön mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

$xy = 0$, jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

  • Oletetaan aluksi, että $xy = 0$. On kaksi mahdollisuutta: joko $x = 0$ tai $x \neq 0$. Tutkitaan molemmat:
    • Jos $x = 0$, niin väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    • Jos $x \neq 0$, niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$. Näin päädytään yhtälöön $y = 0$. Siis väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    Näin on näytetty, että jos $xy = 0$, niin $x = 0$ tai $y = 0$.
  • Oletetaan, että $x = 0$ tai $y = 0$. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
    • Jos $x = 0$, niin $xy = 0\cdot y = 0$. Siis $xy = 0$.
    • Jos $y = 0$, niin $xy = x \cdot 0 = 0$. Siis $xy = 0$.
    Näin on näytetty, että jos $x = 0$ tai $y = 0$, niin $xy = 0$.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla eli $$x-2 = 0 \quad \text{ tai } \quad 3x-4 = 0.$$ Näistä yhtälöistä saadaan ratkaistua $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad 3x = 4$$ eli $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad x = \frac{4}{3}.$$

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x-1)(x+5) = 0$
  2. $(x+7)(4x-32) = 0$
  3. $(6-2x)(2x-1) = 0$.

Kurssin alkupuolella opeteltiin ratkaisemaan ensimmäisen asteen yhtälöitä eli yhtälöitä, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$. Tällaiseen yhtälöön päädytään esimerkiksi silloin, kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa jonkin tietyn arvon. Vastaavasti toisen asteen polynomifunktiota tutkittaessa päädytään niin sanottuun toiseen asteen yhtälöön. Sellaiset opitaan ratkaisemaan tässä kappaleessa.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2-x-1$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien toisen asteen yhtälöiden ratkaisut tai ratkaisujen likiarvot:

  1. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 7$
  2. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 4$
  3. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 2$
  4. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 0$
  5. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -1$
  6. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -2$
  7. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -3$

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Toisen asteen yhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan esittää muodossa $$ax^2 + bx + c = 0,$$ missä $a \neq 0$.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen yhtälöön. Päättele lisäksi yhtälöiden ratkaisut kuvaajien avulla.

Yhtälö Funktion kuvaaja Yhtälön ratkaisut
$\, \phantom{-}x^2-2x = 0$
$-x^2-x = 0$
$\, \frac{1}{2}x^2- \frac{9}{2} = 0$
$-x^2 + \frac{9}{4} = 0$

Selitä omin sanoin, mitä voisi tämän tehtävän perusteella päätellä

  1. muotoa $ax^2 + c = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$-akselilla
  2. muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$-akselilla.

Muotoa $ax^2 + c = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt saadaan muokattua toisen asteen potenssiyhtälöiksi. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*} Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt:

  1. $2x^2 = 50$
  2. $7x^2 - 14 = 0$
  3. $3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

Edellisessä kappaleessa tutustuttiin tulon nollasääntöön, jonka mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Sen avulla saadaan ratkaistua muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt. Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona.

Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

Jotkin toisen asteen yhtälöt saadaan kirjoitettua toiseen muotoon aiemmin opiskeltuja summan ja erotuksen neliön kaavoja käyttäen. Esimerkiksi käyttämällä summan neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 + 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2$$ yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{1} = 0$$ eli yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1}^2 = 0$$ saadaan kirjoitettua muodossa $$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{1})^2 = 0.$$ Tämä yhtälö voidaan nyt ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö. Luvun $x+1$ toinen potenssi on nolla, jos ja vain jos kantaluku $x+1$ on nolla, eli $$x + 1 = 0.$$ Kun tämän yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $1$, saadaan ratkaisu $$x = -1.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt hyödyntämällä summan tai erotuksen neliötä samaan tapaan kuin edellä:

  1. $x^2 + 10x + 25 = 0$
  2. $x^2 - 6x + 9 = 0$
  3. $4x^2 + 4x + 1 = 0$

Edellisen tehtävän ideaa voidaan soveltaa myös tilanteissa, joissa yhtälön oikealla puolella ei olekaan nolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$25x^2 - 40x + 16 = 100.$$ Käyttämällä erotuksen neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2$$ voidaan tarkasteltu yhtälö $$(\textcolor{red}{5x})^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{5x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 = 100$$ kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{5x}-\textcolor{blue}{4})^2 = 100.$$ Tämä yhtälö voidaan jälleen ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö: \begin{align*} (5x-4)^2 &= 100 \\[1mm] 5x - 4 = 10 \quad &\text{ tai } \quad 5x - 4 = -10 \\[1mm] 5x = 14 \quad &\text{ tai } \quad \quad \ \ 5x = -6 \\[1mm] \ \ x = \frac{14}{5} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{6}{5} \end{align*}

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Hyödynnä tarvittaessa summan tai erotuksen neliöiden kaavoja.

  1. $(x-2)^2 = 16$
  2. $9x^2 + 6x + 1 = 4$
  3. $4x^2 - 12x + 9 = 49$

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa toisen asteen polynomiyhtälö voidaan muuttaa sellaiseen muotoon, että se voidaan ratkaista edellisten tehtävien ideoita hyödyntäen. Tätä menetelmää sanotaan neliöksi täydentämiseksi.

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$x^2-x-6 = 0.$$ Se voidaan kirjoittaa myös muodossa $$x^2 - 2\cdot \frac{1}{2}x = 6,$$ sillä $2\cdot \frac{1}{2} = 1$. Kun tämän yhtälön vasenta puolta verrataan erotuksen neliön kaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2,$$ huomataan, että $a = x$ ja $b = \frac{1}{2}$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} = 6.$$ Yhtälön vasemmalta puolelta kuitenkin puuttuu termiä $\textcolor{blue}{b}^2$ vastaava termi. Tämä ongelma ratkeaa, kun yhtälön molemmille puolille lisätään $\left(\frac{1}{2}\right)^2$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$ Nyt yhtälö voidaan erotuksen neliön kaavan avulla kirjoittaa muodossa $$\left(\textcolor{red}{x}-\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \frac{1}{4}$$ eli $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{25}{4}} \\[1mm] x-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \\[1mm] \ \ x = \frac{6}{2} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{4}{2} \\[1mm] \ \ x = 3 \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -2 \end{align*}

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Täydennä yhtälön vasen puoli ensin summan tai erotuksen neliöksi samaan tapaan kuin edellä.

  1. $x^2 - 4x + 3 = 0$
  2. $x^2 + 10x - 24 = 0$

Myös seuraavan teoreeman menetelmä toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisemiseen perustustuu neliöksi täydentämiseen. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Perustelu: Ideana on täydentää yhtälön vasen puoli summan neliöksi. Jotta se onnistuisi helpommin, kerrotaan aluksi yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ molemmat puolet luvulla $4a$ (huomaa, että $a \neq 0$, joten myös $4a \neq 0$). Näin päädytään yhtälöön $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$ Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta $4ac$, jolloin saadaan yhtälö $$(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} = -4ac.$$ Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille neliöksi täydentämiseen tarvittava termi $b^2$, jolloin saadaan yhtälö $$(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2= -4ac + b^2.$$ Summan neliön kaavan nojalla yhtälö voidaan nyt kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{2ax} + \textcolor{blue}{b})^2 = b^2-4ac.$$ Jos yhtälön oikea puoli on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja, sillä yhtälön vasen puoli on toisena potenssina aina epänegatiivinen.

Jos yhtälön oikea puoli on epänegatiivinen eli $b^2-4ac \geq 0$, yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} 2ax+b &= \pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] 2ax &= -b\pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

Teoreeman 5 mukaan toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ voi olla kaksi ratkaisua, yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on positiivinen eli $b^2-4ac > 0$, saadaan ratkaisuja kaksi: $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esimerkiksi yhtälön $x(2x-3)-3x(1-x) = -1$ ratkaisut saadaan selville, kun yhtälö ensin sievennetään perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: \begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*} Tästä nähdään, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} \\ &= \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*} eli $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{5}$.

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt teoreemassa 5 esitetyn ratkaisukaavan avulla. Muuta yhtälö ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$, $b$ ja $c$. Huomioi myös etumerkit.

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
  3. $x^2 = 3x$
  4. $(-3x-1)(x-2) = 4$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan tunnistamaan erilaisille toisen asteen yhtälöille sopivat ratkaisutavat.

Edellisissä tehtävissä on harjoiteltu seuraavia ratkaisutapoja

  1. ratkaisu potenssiyhtälönä ($x^2 = d$)
  2. ratkaisu tulon nollasäännön avulla
  3. ratkaisu summan tai neliön erotuksen kaavan avulla
  4. ratkaisu ratkaisukaavan avulla
Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä siihen, mikä ratkaisutapa sopii parhaiten kyseiselle yhtälölle. Ratkaise yhtälöt sen jälkeen.

Yhtälö Ratkaisutapa Yhtälön ratkaisut
$(x-5)(1-3x) = 0$
$2x^2+x = 3$
$4x^2-4x+1 = 0$
$(3x-1)(x+2) = 6$
$3x^2-12 = 0$
$5x^2-2x = 0$

Ratkaise seuraavat yhtälöt niin monella erilaisella tavalla kuin mahdollista. Ainakin kaksi ratkaisutapaa on mahdollista keksiä.

  1. $(5x+4)(2x-1) = 0$
  2. $(2x-3)^2 - 9 = 0$

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää voidaan tutkia niin sanotun diskriminantin avulla:

MÄÄRITELMÄ: DISKRIMINANTTI

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantti $D$ tarkoittaa ratkaisukaavassa neliöjuurimerkin alle tulevaa lukua $b^2-4ac$: $$D = b^2-4ac.$$

Piirrä laskimellasi seuraavien polynomifunktioiden $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaajat. Päättele kuvaajan avulla, mitkä ovat funktion $f$ nollakohdat eli vastaavan toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Laske myös tämän yhtälön diskriminantti. Miten voisit suoraan diskriminantin avulla päätellä ratkaisujen lukumäärän?

  1. $f(x) = x^2-6x+9$
  2. $f(x) = -x^2-2x$
  3. $f(x) = 2x^2+x-1$
  4. $f(x) = x^2-2x+2$

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaajia. Päättele kuvaajan avulla funktion nollakohtien lukumäärä eli yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisujen lukumäärä. Päättele myös, onko yhtälön diskriminantti positiivinen, negatiivinen vai nolla, ja täydennä nämä tiedot taulukkoon.

Kuvaaja Nollakohtien määrä Diskriminantti
A
B
C
D

Edellisten tehtävien havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisujen lukumäärä voidaan päätellä diskriminantin $D = b^2-4ac$ avulla seuraavasti:

  • jos $D > 0$, yhtälöllä on kaksi ratkaisua
  • jos $D = 0$, yhtälöllä on yksi ratkaisu
  • jos $D < 0$, yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Perustelu: Jos yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantti on negatiivinen eli $D < 0$, niin teoreeman 5 mukaan yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Jos diskriminantti on epänegatiivinen eli $D \geq 0$, ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ eli $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$ Jos $D > 0$, on myös $\sqrt{D} > 0$, ja ratkaisuja saadaan kaksi. Jos $D = 0$, ratkaisuja on yksi: $$x = \frac{-b}{2a}.$$

Jos toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on kaksi ratkaisua eli juurta, ne ovat teoreeman 5 mukaan $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Merkitään $D = b^2-4ac$. Tällöin ratkaisut voidaan kirjoittaa $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$$

  1. Sievennä juurten summa $x_1 + x_2$ mahdollisimman pitkälle.
  2. Sievennä juurten tulo $x_1x_2$ mahdollisimman pitkälle.
    Muista, että $D = b^2-4ac$.

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Jos luvut $x_1$ ja $x_2$ ovat toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut eli juuret, niiden summa on $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ ja tulo on $$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$$ Tämä pätee siinäkin tapauksessa, että $x_1 = x_2$, eli yhtälöllä on vain yksi ratkaisu.

Aiemmin tässä kappaleessa olet ratkaissut toisen asteen yhtälöitä tulon nollasäännön avulla. Tällöin toisen asteen polynomi jaetaan tekijöihin erottamalla yhteinen tekijä: esimerkiksi yhtälö $2x^2 - 5x = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $$x(2x-5) = 0.$$ Joitakin toisen asteen yhtälöitä olet ratkaissut summan ja erotuksen neliöiden kaavoja käyttäen. Tällöinkin polynomi tullaan jakaneeksi tekijöihin: esimerkiksi yhtälö $4x^2+20x + 25 = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $$(2x+5)^2 = 0.$$ Seuraavaksi tutkitaan käänteistä tilannetta: Miten toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin, jos vastaavan toisen asteen yhtälön ratkaisut tunnetaan?

Yhtälön $12x^2-x-6 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = \dfrac{3}{4}$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$.

  1. Tarkista, että luvut $x_1$ ja $x_2$ todella ovat yhtälön $12x^2-x-6 = 0$ ratkaisut. Keksitkö kaksi erilaista tapaa tarkistuksen tekemiseen?
  2. Tarkista, ovatko juurten $x_1$ ja $x_2$ summa ja tulo teoreeman 6 mukaiset.
  3. Sijoita luvut $x_1$ ja $x_2$ lausekkeeseen $12(x-x_1)(x-x_2)$ ja sievennä se mahdollisimman pitkälle. Vertaa tulosta alkuperäiseen yhtälöön. Mitä huomaat?

Tutkitaan tilannetta, jossa toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on kaksi ratkaisua tai yksi ratkaisu. Merkitään ratkaisuja $x_1$ ja $x_2$. Jos ratkaisuja on vain yksi, merkitään sitä sekä symbolilla $x_1$ että $x_2$. Tehtävänä on osoittaa, että $a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2 + bx + c$.

  1. Kerro sulut auki lausekkeesta $a(x-x_1)(x-x_2)$ ja sievennä mahdollisimman pitkälle.
  2. Jatka sieventämistä hyödyntämällä teoreemaa 7, jonka mukaan juurten summa on $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ ja tulo on $$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$$

Edellisessä tehtävässä toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ saatiin kirjoitettua tulomuodossa $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$$ eli jaettua ensimmäisen asteen tekijöihin $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$, missä $x_1$ ja $x_2$ ovat yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Tämä tulos on osa seuraavaa teoreemaa:

TEOREEMA

Toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin seuraavasti: jos yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$

  • on kaksi ratkaisua $x_1$ ja $x_2$, niin $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$$
  • on yksi ratkaisu $x_1$, niin $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)^2$$
  • ei ole yhtään ratkaisua, niin polynomilla $ax^2 + bx + c$ ei ole yhtään ensimmäisen asteen tekijää.

Perustelu: Kaksi ensimmäistä tapausta on käsitelty edellisessä tehtävässä. Tutkitaan vielä tapaus, jossa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Jos tässä tilanteessa polynomilla $ax^2 + bx + c$ olisi jokin ensimmäisen asteen tekijä $sx+t$, polynomi $ax^2 + bx + c$ voitaisiin kirjoittaa tulona: $$ax^2 + bx + c = (sx+t)(\ldots)$$ Tällöin tulon nollasäännön nojalla yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ eli yhtälön $$(sx+t)(\ldots) = 0$$ yksi ratkaisu saataisiin yhtälöstä $sx + t = 0$. Yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ olisi siis ratkaisu $$x = -\dfrac{t}{s}.$$ Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska tarkasteltiin tapausta, jossa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Siis polynomilla $ax^2 + bx + c$ ei ole yhtään ensimmäisen asteen tekijää.

Teoreeman 8 avulla toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin etsimällä ensin polynomin nollakohdat. Esimerkiksi jos polynomi $10x^2 + x - 3$ halutaan jakaa tekijöihin, ratkaistaan ensin yhtälö $10x^2 + x - 3 = 0$: \begin{align*} x &= \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 10} \\[1mm] &= \frac{-1\pm \sqrt{121}}{20} \\[1mm] &= \frac{-1\pm 11}{20}. \end{align*} Ratkaisuiksi saadaan siis $x_1 = \dfrac{1}{2}$ ja $x_2 = -\dfrac{3}{5}$. Teoreeman 7 nojalla \begin{align*} 10x^2 + x - 3 &= 10\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= 2\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot 5\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= (2x-1)(5x+3). \end{align*}

Jaa seuraavat toisen asteen polynomit ensimmäisen asteen tekijöihin teoreeman 8 avulla. Aloita ratkaisemalla polynomin nollakohdat.

  1. $x^2+2x-8$
  2. $9x^2-3x-2$
  3. $20x^2-2x-6$

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisessa hyödynnetään tietoja toisen asteen polynomifunktion käyttäytymisestä.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = -x^2-x+2$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien epäyhtälöiden ratkaisut:

  1. $-x^2-x+2 > 0$
  2. $-x^2-x+2 < 0$
  3. $-x^2-x+2 \geq 0$

Joidenkin epäyhtälöiden tapauksessa tarkan ratkaisun päätteleminen pelkän kuvan avulla on mahdotonta. Tällöin täytyy ensin selvittää funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ratkaisemalla yhtälö $ax^2 + bx + c = 0$.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = x^2-3x-1$ kuvaaja. Määritä tämän funktion nollakohdat ja ratkaise niiden avulla seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x^2-3x-1 \leq 0$
  2. $x^2-3x-1 < 0$
  3. $x^2-3x-1 > 0$

Toisen asteen epäyhtälöt kannattaa aina muuttaa muotoon, jossa epäyhtälön oikealla puolella on vain luku $0$. Tällöin epäyhtälö voidaan ratkaista tarkastelemalla vastaavan toisen asteen polynomifunktion nollakohtia ja kuvaajaa samaan tapaan kuin edellisissä tehtävissä. Esimerkiksi epäyhtälö $$(2x-1)^2-9 \geq (x-2)(x+2)$$ voidaan sieventää: \begin{align*} (2x-1)^2-9 &\geq (x-2)(x+2) \\ 4x^2-4x+1-9 &\geq x^2-4 \\ 3x^2-4x-4 &\geq 0 \end{align*} Funktion $f(x) = 3x^2-4x-4$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin $3$ on positiivinen. Funktion nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $3x^2-4x-4 = 0$: \begin{align*} x &= \frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot 3 \cdot (-4)}}{2\cdot 3} \\[1mm] &= \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} \\[1mm] &= \frac{4\pm 8}{6} \\[1mm] &= \frac{2\pm 4}{3} \end{align*} Nollakohdat ovat siis $x_1 = 2$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$. Tilanteesta voidaan nyt hahmotella mallikuva:

Epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä ja piirrä jokaisesta mallikuva:

  1. $3x^2+2x+2 < 2x^2+x+4$
  2. $(x-2)^2 < (2x+1)^2$
  3. $x(x-2) \leq -(3x-2)^2$

Epäyhtälöiden ratkaisujoukkoja voidaan ilmaista myös hakasulkuja käyttäen. Esimerkiksi ennen tehtävää 3.32 pääteltiin, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$. Sama asia voidaan ilmaista hakasulkujen avulla sanomalla, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x$ on välillä $\ \pa -\infty, -\frac{2}{3}]\ $ tai $\ [2, \infty\pe$. Tässä negatiivisen äärettömän symboli $-\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu lukusuoralla loputtomiin vasemmalle, ja äärettömän symboli $\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu loputtomiin oikealle:

Hakasulkujen suunta ratkaisee, kuuluuko välin päätepiste joukkoon vai ei:

Ilmaise seuraavia epäyhtälöitä vastaavat lukusuoran välit hakasulkujen avulla:

  1. $-4 \leq x \leq 8$
  2. $x > 9$
  3. $x \leq -33$
  4. $6 < x \leq 20$
  5. $0 < x < 7$
  6. $2 \leq x < 5$

Toisen asteen polynomifunktio

Moottoritielle suunnitellaan kaksikaistaista tunnelia, jonka poikkileikkaus vastaa funktion $f(x) = 6-0{,}25x^2$ kuvaajan ja $x$-akselin rajaamaa aluetta (pituuden yksikkönä metri).

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.
  2. Suomessa kuorma-auton suurin sallittu korkeus on 4,4 m ja leveys 2,6 m. Mahtuisiko kaksi tällaista kuorma-autoa ajamaan vierekkäin suunnitellun tunnelin läpi?
  3. Millaisen rajoituksen asettaisit tunnelin kautta kulkevien ajoneuvojen korkeudelle, jos suurin sallittu leveys on 2,6 metriä?

  1. Ei
  2. Esimerkiksi enintään 4,0 m.

Toisen asteen polynomifunktio

Hedelmiä, joiden hinta on 2 €/kg, myydään päivittäin 80 kg. Kauppias arvelee, että kilohinnan nostaminen 50 sentillä johtaa aina menekin pienenemiseen 5 kilogrammalla.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun hedelmien hinta on 2 €/kg?
  2. Jos kilohintaa nostetaan $0{,}5x$ euroa, kuinka paljon hedelmiä myydään?
  3. Muodosta lauseke toisen asteen polynomifunktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa kilohintaa on nostettu $0{,}5x$ euroa.
  4. Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele niiden avulla, mikä on funktion $f$ huipun $x$-koordinaatti.
  5. Mikä kilohinnan pitää olla, jotta myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 160 €
  2. $80-5x$ kilogrammaa
  3. $f(x) = (2+0{,}5x)(80-5x)$
  4. Nollakohdat $x_1 = -4$ ja $x_2 = 16$, huippu niiden puolivälissä eli $x = 6$
  5. $2 + 0{,}5\cdot 6 = 5$ €/kg, myynnin kokonaisarvo $f(6) = 250$ euroa

Polynomien tulon erityistapauksia

Sievennä seuraavat lausekkeet teoreemaan 3 koottujen muistikaavojen avulla:

  1. $(3x+1)(3x-1)$
  2. $(4a+5)^2$
  3. $(6n-2)^2$

  1. $9x^2-1$
  2. $16a^2+40a+25$
  3. $36n^2-24n+4$

Polynomien tulon erityistapauksia

Alla olevassa kuvassa näkyy kaksi neliötä, joista ulomman neliön sivun pituus on $a+b$. Sininen alue muodostuu neljästä keskenään samanlaisesta suorakulmaisesta kolmiosta. Laske valkoisen neliön pinta-ala.

$a^2+b^2$

Polynomien tulon erityistapauksia

Supista polynomien osamäärä teoreeman 3 muistikaavojen avulla:

  1. $\dfrac{x^2-6x+9}{x-3}$
  2. $\dfrac{x^2+8x+16}{2x^2+8x}$
  3. $\dfrac{25x^2-1}{5x-1}$

  1. $x-3$
  2. $\dfrac{x+4}{2x}$
  3. $5x+1$

Osoita, että luvut ovat toistensa käänteislukuja:

  1. $\sqrt{5} + 2$ ja $\sqrt{5} - 2$
  2. $3 - 2\sqrt{2}$ ja $3 + 2\sqrt{2}$

Laske lukujen tulo esimerkiksi muistikaavojen avulla.

Tulon nollasääntö

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x+1)(4x-12) = 0$
  2. $x^2-3x = 0$
  3. $2x^2 = x\sqrt{2}$

  1. $x = -1$ tai $x = 3$
  2. $x = 0$ tai $x = 3$
  3. $x = 0$ tai $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ratkaisu toisen asteen potenssiyhtälönä

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt muokkaamalla ne aluksi muotoon $(x-a)^2 = b$ ja päättelemällä tästä lausekkeen $x-a$ mahdolliset arvot samaan tapaan kuin tehtävässä 3.19.

  1. $(x-2)^2 = 16$
  2. $(x-1)^2 - 36 = 0$
  3. $(x + 3)^2 - 4 = 0$

  1. $x = 6$ tai $x = -2$
  2. $x = 7$ tai $x = -5$
  3. $x = -1$ tai $x = -5$

Ratkaisu ratkaisukaavan avulla

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt teoreemassa 5 esitetyn ratkaisukaavan avulla:

  1. $3 + 2x - x^2 = 0$
  2. $x^2 = x + \dfrac{1}{4}$
  3. $7(x^2 + 1) = 50x$

  1. $x = 3$ tai $x = -1$
  2. $x = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}$ tai $x = \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$
  3. $x = 7$ tai $x = \dfrac{1}{7}$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt:

  1. $4x^2 + 1 = 4x$
  2. $3x^2 = x - 1$

  1. $x = \dfrac{1}{2}$
  2. Ei ratkaisua reaalilukujen joukossa.

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt. Aloita kertomalla yhtälön molemmat puolet jollain sopivalla luvulla, jotta pääset eroon nimittäjistä.

  1. $\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{13}{15}x - \dfrac{1}{5} = 0$
  2. $\dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{x}{3}$

  1. $x = \dfrac{3}{2}$ tai $x = -\dfrac{1}{5}$
  2. $x = \dfrac{1 + \sqrt{10}}{3}$ tai $x = \dfrac{1 - \sqrt{10}}{3}$

Toisen asteen yhtälö

Uudelle asuinalueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joiden pinta-ala on $2600 \text{ m}^2$. Mikä pitää valita tontin leveydeksi, jos halutaan, että tontin pituus on 25 m suurempi kuin sen leveys?

40 m

Toisen asteen yhtälö

Onko mahdollista jakaa luku 20 kahden kokonaisluvun summaksi niin, että

  1. yhteenlaskettavien tulo on 96
  2. yhteenlaskettavien tulo on 86

Anna esimerkki tällaisista kokonaisluvuista tai perustele, ettei sellaisia ole olemassa.

  1. 8 ja 12
  2. Ei ole mahdollista.

Toisen asteen yhtälö

Rinnan kytkettyjen sähkövastusten resistanssien $R_1$ ja $R_2$ sekä vastusten muodostaman järjestelmän kokonaisresistanssin $R$ välillä on yhteys $$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}.$$ Järjestelmän resistanssin pitää olla $R = 4 \ \Omega$ ja kytkennässä täytyy käyttää vastuksia, joista toisen resistanssi on $1{,}5 \ \Omega$ suurempi kuin toisen. Selvitä pienemmän vastuksen resistanssi. Anna vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Pienempi vastus noin $7{,}3 \ \Omega$ (ja suurempi $8{,}8 \ \Omega$).

Toisen asteen yhtälö

Neliö muutetaan suorakulmioksi, jonka toinen sivu on yhtä monta prosenttia alkuperäistä neliön sivua pitempi kuin toinen on lyhyempi. Kuinka monta prosenttia sivujen pituuksia muutetaan, jos suorakulmion pinta-ala on 30 % neliön pinta-alaa pienempi?

Vihje: merkitse pitemmän sivun prosenttikerrointa $1 + \dfrac{x}{100}$.

Noin 54,8 %.

Diskriminantti

Tutki diskriminantin avulla, millä vakion $a$ arvolla yhtälöllä $x^2+x+a = 0$

  1. on kaksi ratkaisua
  2. on yksi ratkaisu
  3. ei ole yhtään ratkaisua.

  1. $a < \frac{1}{4}$
  2. $a = \frac{1}{4}$
  3. $a > \frac{1}{4}$

Diskriminantti

Millä vakion $a$ arvolla

  1. yhtälöllä $x^2 + ax + 3 = 0$ on tasan yksi ratkaisu?
  2. yhtälöllä $ax^2+2x+3 = 0$ on ainakin yksi ratkaisu?

  1. $a = 2\sqrt{3}$ tai $a = -2\sqrt{3}$
  2. $a \leq \frac{1}{3}$

Tekijöihin jakaminen

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa tai potensseina eli jaa ne tekijöihin. Käytä apuna teoreeman 3 muistikaavoja.

  1. $9x^2-6x+1$
  2. $4x^2-12x+9$
  3. $2x^2-50$
Vihje c-kohtaan: aloita erottamalla yhteinen tekijä $2$.

  1. $(3x-1)^2$
  2. $(2x-3)^2$
  3. $2(x-5)(x+5)$

Tekijöihin jakaminen

Jaa seuraavat polynomit tekijöihin. Hyödynnä teoreeman 8 tulosta.

  1. $12x^2+5x-2$
  2. $3+2x-5x^2$
  3. $10-7x-3x^2$

  1. $(3x+2)(4x-1)$
  2. $(x-1)(-5x-3)$
  3. $(x-1)(-3x-10)$

Toisen asteen polynomifunktio

Muodosta teoreeman 8 avulla toisen asteen polynomifunktio,

  1. jolla on nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$
  2. jolla on nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$ ja jonka kuvaaja kulkee pisteen $(1,-4)$ kautta
  3. jolla on tasan yksi nollakohta $x = 3$ ja joka ei saa lainkaan positiivisia arvoja.

  1. Esimerkiksi $f(x) = (x+1)(x-2)$
  2. $g(x) = 2(x+1)(x-2)$
  3. $h(x) = -(x-3)^2$

Toisen asteen polynomifunktio

Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-x-2$
  2. $f(x) = x^2-8x+16$
  3. $f(x) = (x+2)(3-x)$
Havainnollista vastaustasi hahmottelemalla funktion $f$ kuvaaja.

  1. Nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. Nollakohta $x = 4$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x \neq 4$.
  3. Nollakohdat $x_1 = -2$ ja $x_2 = 3$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $-2 < x < 3$.

Toisen asteen polynomifunktio

Millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat negatiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-4$
  2. $f(x) = x^2+4$
  3. $f(x) = 4+3x-x^2$?
Havainnollista vastaustasi hahmottelemalla funktion $f$ kuvaaja.

  1. $-2 < x < 2$
  2. Ei millään.
  3. $x < -1$ tai $x > 4$

Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $8-2x-x^2 \leq 0$
  2. $-4x^2 + x > 2x^2-2$
  3. $2x^2 + 3 > -4x$

  1. $x \leq -4$ tai $x \geq 2$
  2. $-\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$
  3. Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x^2 \leq 2x + 1$
  2. $x^2 + 1 \leq x$
  3. $3x^2 + 4 > 2x(x+2)$

  1. $1-\sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$
  2. Epäyhtälö ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.
  3. $x \neq 2$

Toisen asteen epäyhtälö

Joen rannalta halutaan aidata hevosille laidun. Aitamateriaalia on käytettävissä on 200 metriä.

  1. Mitä arvoja voi saada rannan suuntaisen laitumen sivun pituus, jos laitumen pinta-alan pitää olla vähintään $4800 \text{ m}^2$?
  2. Mikä on rannan suuntaisen sivun pituus tilanteessa, jossa laitumen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä tämä pinta-ala on?

  1. Rannan suuntaisen sivun pituus voi olla välillä $[80 \text{ m},120 \text{ m}]$.
  2. Rannan suuntainen sivu on $100 \text{ m}$ ja pinta-ala $5000 \text{ m}^2$.

Toisen asteen epäyhtälö

Rakennuspiirustuksessa huoneen leveydeksi on merkitty $3{,}00 \text{ m}$ ja pituudeksi $5{,}00 \text{ m}$. Huonetta halutaan kuitenkin suurentaa niin, että sen pituus ja leveys kasvavat yhtä monta senttimetriä. Kuinka leveäksi huone voidaan tehdä, jos sen pinta-ala saa olla enintään $20 \text{ m}^2$? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.

Enintään $3{,}58$ metriä leveäksi.

Toisen asteen epäyhtälö

Tontin rakennusoikeus on 200 neliömetriä. Tontille suunnitellun talon pohjapiirroksen luonnos on alla.

  1. Millä muuttujan $x$ arvoilla rakennusoikeus ei ylity?
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla rakennusoikeus tulee käytettyä kokonaan?

  1. $0 \text{ m } \leq x \leq 5 \text{ m}$
  2. $x = 5 \text{ m}$

Toisen asteen epäyhtälö

Sata metriä pitkällä köydellä pitää rajata oheisen kuvion mukaisesti kaksi yhtenevää suorakulmion muotoista aluetta. Millä välillä kuvaan merkityn sivun pituuden $a$ tulee olla, jotta alueiden yhteenlaskettu pinta-ala olisi vähintään $400 \text{ m}^2$?

$13\frac{1}{3} \text{ m} \leq a \leq 20 \text{ m}$

Osoita, että funktio $f(x) = -3x^2+5x-4$ saa vain negatiivisia arvoja.

Selvitä onko funktiolla nollakohtia ja perustele tämän jälkeen, minkä merkkisiä funktion arvot ovat.

  1. Ratkaise yhtälö $(x-2)(x-3) = 6$.
  2. Missä pisteessä paraabelit $y = x^2+x+1$ ja $y = x^2 + 2x + 3$ leikkaavat?
  3. Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat seuraavan ehdon: Luvun ja sen käänteisluvun keskiarvo on 4.
[Pitkä S2014/1]

  1. $x = 0$ tai $x = 5$
  2. $(-2,3)$
  3. $4 + \sqrt{15}$ ja $4 - \sqrt{15}$

Ratkaise $x$ yhtälöstä

  1. $x^2 - 2ax - 3a^2 = 0$
  2. $x^2 + 2a = ax + 2x$

  1. $x = -a$ tai $x = 3a$
  2. $x = a$ tai $x = 2$

Tarkastellaan paraabelia $y = x^2-12x+35$.

  1. Missä pisteissä paraabeli leikkaa $x$-akselin?
  2. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.
[Lyhyt S2012/4]

  1. Pisteissä $(5,0)$ ja $(7,0)$.
  2. $(6,-1)$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=(1-a^2)x^2 - 3ax + 8$ kuvaaja on

  1. alaspäin aukeava paraabeli
  2. ylöspäin aukeava paraabeli
  3. nouseva suora
  4. laskeva suora?

  1. $a < -1$ tai $a > 1$
  2. $-1 < a < 1$
  3. $a = -1$
  4. $a = 1$

Olkoon $f(x) = x^2-x+a$. Ratkaise yhtälö $f(2x) = f(x-1)$.

$x = -1$ tai $x = \dfrac{2}{3}$

  1. Ratkaise yhtälö $7(x-3)+1 = x^2-1-(x^2-1)$.
  2. Millä muuttujan $x$ arvoilla lauseke $x(5-8x)$ saa positiivisia arvoja?
  3. Sievennä lauseke $$\frac{a^2-b^2}{a-b} + \frac{a^2-b^2}{a+b},$$ kun $a \neq b$ ja $a \neq -b$.
[Pitkä K2014/1]

  1. $x = \frac{20}{7}$
  2. $0 < x < \frac{5}{8}$
  3. $2a$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=x(6a+x)-a$ kaikki arvot ovat positiivisia?

$-\dfrac{1}{9} < a < 0$

  1. Ratkaise yhtälö $x^2+6x = 2x^2+9$.
    [Pitkä S2013/1a]
  2. Ratkaise yhtälö $(x-4)^2 = (x-4)(x+4)$.
    [Pitkä K2013/1a]
  3. Esitä polynomi $x^2-9x+14$ ensimmäisen asteen polynomien tulona.
    [Pitkä S2013/1c]

  1. $x = 3$
  2. $x = 4$
  3. $(x-2)(x-7)$

  1. Mikä on yhtälön $x^2-3x+1 = 0$ juurten summa?
    [~Pitkä K2016/1e]
  2. Millä vakion $a$ arvoilla yhtälöllä $ax^2-5x+2 = 0$ on täsmälleen yksi juuri?
    [Pitkä K2014/4]

  1. $3$
  2. $a = 0$ tai $a = \frac{25}{8}$

Tarkastellaan yhtälöä $t^4x^2 + (t^2+1)x + 1 = 0$ parametrin $t \neq 0$ eri arvoilla.

  1. Ratkaise yhtälö, kun $t = 1$.
  2. Määritä kaikki ne parametrin $t \neq 0$ arvot, joilla yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu $x \in \R$.
[Pitkä K2015/4]

  1. $x = -1$
  2. $t \neq 0$ ja $-1 \leq t \leq 1$

  1. Millä vakion $a$ arvolla funktion $f(x) = ax^2-4x+8$ pienin arvo on $0$?
    Vihje: neliöksi täydentäminen.
  2. Millä vakion $b$ arvolla funktio $g(x) = bx^2-4x+8$ saa positiivisia arvoja täsmälleen silloin, kun $-2 < x < 1$?
    Vihje: teoreema 8.
[Lyhyt K2014/10]

  1. $a = \frac{1}{2}$
  2. $b = -4$

Oheinen kuvaaja esittää paraabelia $y = ax^2+bx+c$. Määritä vakiot $a$, $b$ ja $c$ käyttämällä kuvioon ympyröillä merkittyjä pisteitä.
Vihje: teoreema 8.
[Lyhyt S2013/5]

$a = \frac{1}{2}$, $b = -1$, $c = -\frac{3}{2}$

Määritä vakio $a$ niin, että lauseke voidaan supistaa. Ilmoita myös supistettu muoto.

  1. $\dfrac{3x^2-x-2a}{x-a}$
  2. $\dfrac{2x^2+x+a}{x^2+x-2}$

  1. $a = 0$, $3x-1$ tai $a = 1$, $3x+2$
  2. $a = -3$, $\dfrac{2x+3}{x+2}$ tai $a = -6$, $\dfrac{2x-3}{x-1}$

Suorakulmion sivujen suhde on $5 : 8$. Sen nurkista leikataan pois neliöt, joiden sivun pituus on 3 cm. Jäljellä oleva osa taitetaan suorakulmaisen särmiön muotoiseksi kannettomaksi laatikoksi.

  1. Piirrä kuva, joka havainnollistaa tilannetta ennen taittelua.
  2. Mitkä ovat laatikon pohjasärmien pituudet, jos laatikon tilavuuden pitää olla $120 \text{ cm}^2$?

  1. 4 cm ja 10 cm

Ratkaise $x$ seuraavista yhtälöistä. Mieti myös, onko olemassa jokin sellainen vakioiden $a$, $b$ tai $k$ arvo, jolla yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan $x$ arvoilla tai jolla yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

  1. $ax+b^2 = bx+a^2$
  2. $k(k - x - 2) = -x - 1$
Vihje: muistikaavat (teoreema 3) auttavat vastausten sieventämisessä.

  1. $$\begin{cases} x = a+b &\text{ jos $a \neq b$} \\[1mm] \text{Aina tosi} &\text{ jos $a = b$} \end{cases}$$
  2. $$\begin{cases} x = k-1 &\text{ jos $k \neq 1$} \\[1mm] \text{Aina tosi} &\text{ jos $k = 1$} \end{cases}$$

Kokonaisluku vähennetään kuutiostaan. Osoita, että saatu luku on aina

  1. kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo
  2. jaollinen luvuilla 2 ja 3.

Merkitse keskimmäistä tulon tekijää kirjaimella $n$. Mitä tällöin ovat muut tulon tekijät? Laske tulo.

Binomin neliön $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ kertoimet 1, 2, 1 ja tehtävässä 3.10 lasketun binomin kuution $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ kertoimet 1, 3, 3, 1 esiintyvät vaakariveinä niin sanotussa Pascalin kolmiossa. Vaakarivit muodostetaan niin, että rivin ensimmäiseksi ja viimeiseksi luvuksi laitetaan 1 ja rivin jokainen muu luku on kahden yläpuolella olevan luvun summa.

  1. Piirrä vihkoosi yllä oleva Pascalin kolmio ja lisää siihen kolme seuraavaa riviä.
  2. Millä kaavalla voidaan laskea binomin viides potenssi $(a+b)^5$?
  3. Laske $(x+2)^6$

  1. $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
  2. $(x-2)^6 = x^6-12x^5 + 60x^4-160x^3 + 240x^2-192x + 64$

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja ilmoita vastaus muodossa, jossa nimittäjässä ei ole neliöjuuria. Saat poistettua neliöjuuret nimittäjästä laventamalla sopivalla summalla tai erotuksella. Muista, että $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

  1. $x\sqrt{3}-1 = x + 1$
  2. $x(\sqrt{2}-1) = 1-2x$

  1. $x = \sqrt{3}+1$
  2. $x = \sqrt{2}-1$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.