Potenssi

Luvun tavoitteet

Tämän luvun tavoitteena on, että ymmärrät potenssin määritelmän ja hallitset potenssien laskusäännöt. Osaat

ilmaista tulon potenssina ja päinvastoin
sieventää potenssilausekkeita potenssin määritelmän tai potenssien laskusääntöjen avulla
ilmaista käänteisluvun käyttäen eksponenttia $-1$ .

Lisäksi tiedät, että matematiikassa teoreema tarkoittaa tosiasiaa, joka voidaan perustella todeksi määritelmistä lähtien.

Potenssin määritelmä ja potensseilla laskeminen (2.1 - 2.14)

Summa, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat samoja, voidaan kirjoittaa tulona. Esimerkkejä: $\begin{align*} 7 + 7 + 7 + 7 &= 4 \cdot 7 \\[2mm] -2 + (-2) + (-2) &= 3\cdot (-2). \end{align*}$ Vastaavasti tulo, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja, voidaan kirjoittaa potenssina. Esimerkkejä: $\begin{align*} 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 &= 7^4 \\[2mm] -2 \cdot (-2) \cdot (-2) &= (-2)^3. \end{align*}$

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Luvun $a$ $n$ :s potenssi $a^n$ tarkoittaa tuloa $a \cdot a \cdots a$ , jossa luku $a$ esiintyy $n$ kertaa. Siis $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}$ Potenssilausekkeessa $a^n$ luku $a$ on kantaluku ja luku $n$ on eksponentti.

Tehtävä 2.1: Potenssin määritelmä

Kirjoita potenssimerkinnän avulla ja laske:

$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3$
$5\cdot 5$

VASTAUS

$3^5 = 243$
$5^2 = 25$

Tehtävä 2.2: Potenssin määritelmä

Kirjoita seuraavat potenssit tuloina (kertolaskumerkintää käyttäen) ja laske niiden arvo.

$8^2$
$(-5)^3$ .

VASTAUS

$8 \cdot 8 = 64$
$(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$

Jos kantaluku on negatiivinen, tarvitaan potenssimerkinnässä sulut. Esimerkiksi luvun $-1$ kolmas potenssi on $\begin{align*} (-1)^3 &= (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \\ &= 1 \cdot (-1) = -1 \end{align*}$ ja neljäs potenssi on $\begin{align*} (-1)^4 &= (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \\ &= 1 \cdot 1 = 1. \end{align*}$ Havaitaan, että tulos on negatiivinen täsmälleen siinä tapauksessa, että tulon tekijöitä on pariton määrä eli eksponentti on pariton.

Tehtävä 2.3: Potenssin määritelmä

Merkitse lauseke näkyviin potenssimerkinnän avulla ja laske sen arvo:

luvun $-2$ viides potenssi
luvun $-10$ kuudes potenssi.

VASTAUS

$(-2)^5 = -32$
$(-10)^6 = 1\,000\,000$

Tehtävä 2.4: Potenssin määritelmä

Luvun ja sen vastaluvun summa on aina nolla. Esimerkiksi luvun $3$ vastaluku on $-3$ , sillä $3 + (-3) = 0.$ Luvun $-9$ vastaluku on $-(-9) = 9$ , sillä $-9 + 9 = 0.$

Laske potenssin $7^4$ arvo.
Mitä eroa on merkinnöillä $(-7)^4$ ja $-7^4$ ? Kumpi niistä on luvun $7^4$ vastaluku?
Päättele lausekkeiden $(-7)^4$ ja $-7^4$ arvot edellisten vastausten avulla.

VASTAUS

$7^4 = 2401$
Merkinnät eroavat toisistaan sulkujen osalta. Merkintä $(-7)^4$ tarkoittaa tuloa, jossa luku $-7$ esiintyy neljä kertaa. Koska tulon tekijöitä on parillinen määrä, tulos on positiivinen.

Merkintä $-7^4$ tarkoittaa luvun $7^4$ vastalukua.
$(-7)^4 = 2401$ ja $-7^4 = -2401$

Jos miinusmerkki on potenssimerkinnän edessä ilman sulkuja, vaikuttaa se koko potenssilausekkeeseen: $-a^n = -(a^n).$ Esimerkiksi merkintä $-3^6$ tarkoittaa potenssin $3^6 = 729$ vastalukua: $\begin{align*} -3^6 &= -(3^6) \\ &= -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -729. \end{align*}$

Tehtävä 2.5: Potenssin määritelmä

Kirjoita potenssimerkinnän avulla:

$(2x)\cdot (2x)\cdot (2x)$
$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a.$

Keksitkö kaksi erilaista tapaa, jolla voit kirjoittaa tulot potenssimerkintää käyttäen?

VASTAUS

$(2x)^3$ tai $2^3x^3$
$3^5a^5$ tai $(3a)^5$

Potenssilausekkeita voidaan sieventää purkamalla ne tulomuotoon potenssin määritelmän mukaisesti, laskemalla kaikki mahdolliset laskut ja kokoamalla tulos jälleen potenssimuotoon. Esimerkiksi $\begin{align*} (5a^7)^2 &= 5a^7 \cdot 5a^7 \\ &= 25 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a}_\text{14 kappaletta} = 25a^{14} \end{align*}$

Tehtävä 2.6: Tulon potenssi

Poista sulut seuraavista potenssilausekkeista:

$(6x)^3$
$(2y)^6$
$(ab)^4$

Ohje: voit kirjoittaa lausekkeen tulomuodossa ja järjestellä tulon tekijät uudelleen.

VASTAUS

$6^3x^3 = 216x^3$
$2^6y^6 = 64y^6$
$a^4b^4$

Tehtävä 2.7: Tulon potenssi

Muodosta edellisen tehtävän avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulon potenssi $(ab)^n$

VASTAUS

Tulon potenssi on sama kuin potenssien tulo: $(ab)^n = a^nb^n$

Tehtävä 2.8: Osamäärän potenssi

Poista sulut seuraavista potenssilausekkeista:

$\left(\dfrac{2x}{3}\right)^3$
$\left(-\dfrac{4}{y}\right)^2$
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^4$

Ohje: kirjoita potenssilauseke ensin tulomuodossa.

VASTAUS

$\dfrac{8x^3}{27}$
$\dfrac{16}{y^2}$
$\dfrac{a^4}{b^4}$

Tehtävä 2.9: Osamäärän potenssi

Muodosta edellisen tehtävän avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua osamäärän potenssi $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

VASTAUS

Osamäärän potenssi on sama kuin potenssien osamäärä: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Potenssilausekkeiden sieventämisessä pääsee aina alkuun, kun muistaa potenssin määritelmän eli sopimuksen siitä, mitä potenssi tarkoittaa. Niin myös seuraavissa tehtävissä.

Tehtävä 2.10: Potenssin potenssi

Kirjoita potenssit ensin tulomuodossa ja lausu lopputulos taas potenssina:

$\left(7^3\right)^2$
$(a^2)^4$

Tutki lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle potenssin potenssissa?

VASTAUS

$\begin{align*} 7^3 \cdot 7^3 &= (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \\ &= 7^6 \end{align*}$
$\begin{align*} a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 &= aaaaaaaa \\ &= a^8 \end{align*}$

Tehtävä 2.11: Potenssin potenssi

Muodosta edellisen tehtävän avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua potenssin potenssi $(a^m)^n$

VASTAUS

Potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan keskenään: $(a^m)^n = a^{mn}$

Edellä havaittuja potenssien laskusääntöjä voi käyttää myös toiseen suuntaan. Siis $\begin{align*} a^nb^n &= (ab)^n \\[1mm] \frac{a^n}{b^n} &= \left(\frac{a}{b}\right)^n \\[1mm] a^{mn} &= (a^m)^n \end{align*}$ Seuraavaksi tutkitaan, mitä eksponenteille tapahtuu, jos kerrotaan tai jaetaan potensseja, joilla on sama kantaluku.

Tehtävä 2.12: Samankantaisten potenssien tulo

Kirjoita ensin tulomuodossa ja sen jälkeen potenssimerkintää käyttäen:

$2^3\cdot 2^4$
$a^5a^2$

Tutki lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle samankantaisten potenssien tulossa?

VASTAUS

$\begin{align*} 2^3 \cdot 2^4 &= (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ &= 2^7 \end{align*}$
$\begin{align*} a^5\cdot a^2 &= aaaaa \cdot aa \\ &= a^7 \end{align*}$

Tehtävä 2.13: Samankantaisten potenssien osamäärä

Kirjoita osoittaja ja nimittäjä ensin tulomuodossa ja supista. Kirjoita lopputulos potenssimerkintää käyttäen.

$\dfrac{9^5}{9^3}$
$\dfrac{a^6}{a^2}$

Tutki lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle samankantaisten potenssien osamäärässä?

VASTAUS

$\dfrac{9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 9 \cdot 9} = 9 \cdot 9 = 9^2$
$\dfrac{aaaaaa}{aa} = aaaa = a^4$

Tehtävä 2.14: Samankantaisten potenssien tulo ja osamäärä

Muodosta edellisten tehtävien avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua samankantaisten potenssien

tulo $\ a^ma^n$
osamäärä $\ \dfrac{a^m}{a^n}$

VASTAUS

Samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen: $a^ma^n = a^{m+n}$
Samankantaisten potenssien osamäärässä osoittajan eksponentista vähennetään nimittäjän eksponentti: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla (2.15 - 2.21)

Edellisessä kappaleessa sovittiin, mitä tarkoitetaan potenssilla $a^n$ , missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Sen jälkeen tutkittiin, millaisia laskulakeja potenssilausekkeet noudattavat. Huomattiin esimerkiksi, että samankantaisten potenssien osamäärälle pätee sääntö $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$ Jos tässä luku $m$ sattuu olemaan pienempi kuin luku $n$ , tuloksen eksponentti on negatiivinen. Esimerkiksi $\frac{a^3}{a^9} = a^{3-9} = a^{-6}.$ Tarvitaan sopimus myös siitä, mitä potenssilla tarkoitetaan tilanteessa, jossa eksponentti on negatiivinen kokonaisluku tai nolla.

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $n$ on positiivinen kokonaisluku. Potenssit $a^0$ ja $a^{-n}$ määritellään seuraavasti: $\begin{align*} a^0 &= 1\\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{align*}$ Potenssi $a^{-n}$ on siis potenssin $a^n$ käänteisluku.

Tehtävä 2.15: Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

Laske seuraavat potenssit yllä olevaa määritelmää käyttäen:

$4^0$
$2^{-3}$
$(-3)^{-2}$
$5^{-3}$
$7^{-1}$
$(-6)^{-1}$

VASTAUS

$4^0 = 1$
$2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
$(-3)^{-2} = \dfrac{1}{9}$
$5^{-3} = \dfrac{1}{125}$
$7^{-1} = \dfrac{1}{7}$
$(-6)^{-1} = -\dfrac{1}{6}$

Tehtävä 2.16: Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

Kirjoita seuraavat lausekkeet potenssimuodossa:

$\dfrac{1}{10^2}$
$\dfrac{1}{a^3}$
$\dfrac{1}{16}$

Keksitkö kaksi erilaista tapaa ilmaista c-kohdan lausekkeen potenssimuodossa?

VASTAUS

$\dfrac{1}{10^2} = 10^{-2}$
$\dfrac{1}{a^3} = a^{-3}$
$\dfrac{1}{16} = 16^{-1} = 4^{-2} = 2^{-4}$

Edellä esitetystä potenssin määritelmästä seuraa erityisesti, että $a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}.$ Potenssi $a^{-1}$ on siis luvun $a$ käänteisluku.

Tehtävä 2.17: Eksponentti -1

Sievennä:

$4^{-1}$
$(-15)^{-1}$
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
$\left(-\dfrac{4}{9}\right)^{-1}$

Kertaa tarvittaessa murtolukujen käänteislukuja koskeva teoreema 1 edellisestä luvusta.

VASTAUS

$4^{-1} = \dfrac{1}{4}$
$(-15)^{-1} = -\dfrac{1}{15}$
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3$
$\left(-\dfrac{4}{9}\right)^{-1} = -\dfrac{9}{4}$

Kun potenssi määriteltiin negatiivisten eksponenttien ja eksponentin nolla tapauksessa, tehtiin määritelmästä tarkoituksella sellainen, että aikaisemmin havaitut potenssien laskusäännöt toimivat edelleen. Nämä laskusäännöt on koottu seuraavaan teoreemaan.

POTENSSIEN LASKUSÄÄNTÖJÄ (TEOREEMA 3)

Seuraavat potenssien laskusäännöt pätevät kaikilla kokonaisluvuilla $m$ ja $n$ sekä kaikilla nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla $a$ ja $b$ :

tulon potenssi on potenssien tulo: $(ab)^n = a^nb^n$
osamäärän potenssi on potenssien osamäärä: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan keskenään: $(a^m)^n = a^{mn}$
samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen: $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
samankantaisten potenssien osamäärässä osoittajan eksponentista vähennetään nimittäjän eksponentti: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$

Potenssien laskusääntöjen hyvä hallitseminen on tärkeää, jotta jatkossa sievennykset sujuvat rutiinilla ja aivokapasiteettia vapautuu uusien, soveltavampien ongelmien ratkaisemiseen. Laskusääntöjen käyttöä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä ja myös tehtäväsarjassa II, esimerkiksi pelin avulla tehtävässä 2.43.

Tehtävä 2.18: Potenssien laskusääntöjä

Sievennä potenssien laskusääntöjen avulla. Muokkaa vastaukset muotoon, jossa kaikki eksponentit ovat positiivisia.

$(3a)^{-2}$
$\left(\dfrac{4b}{5}\right)^{-3}$
$\left(c^{-6} \right)^{-7}$
$x^{-10} \cdot 4x^8$
$\dfrac{15y^{-6}}{3y^{-7}}$

VASTAUS

$(3a)^{-2} = \dfrac{1}{9a^2}$
$\left(\dfrac{4b}{5}\right)^-3 = \dfrac{125}{64b^3}$
$\left(c^{-6} \right)^{-7} = c^{42}$
$x^{-10} \cdot 4x^8 = 4x^{-2} = \dfrac{4}{x^2}$
$\dfrac{15y^{-6}}{3y^{-7}} = 5y^{-6-(-7)} = 5y$

Seuraavassa tehtävässä jatketaan negatiivisten eksponenttien ominaisuuksien tutkimista.

Tehtävä 2.19: Negatiivinen eksponentti

Tehtävänä on tutkia, miten potenssit $2^{-4} \quad \text{ ja } \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^4$ liittyvät toisiinsa.

Kirjoita näkyviin, mitä $2^{-4}$ tarkoittaa määritelmän mukaan.
Kirjoita $\left(\frac{1}{2}\right)^4$ tulomuodossa ja sievennä mahdollisimman pitkälle.
Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Muodosta sääntö, joka liittää toisiinsa lausekkeet $a^{-n} \quad \text{ ja } \quad \left(\dfrac{1}{a}\right)^n$

VASTAUS

$2^{-4} = \dfrac{1}{2^4}$
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}$
$a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$

Edellisen tehtävän havainnot johtavat seuraavaan teoreemaan. Tällä kertaa myös teoreeman perustelu (eli todistus) on kirjoitettu näkyviin. Lue se huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

NEGATIIVINEN EKSPONENTTI (TEOREEMA 4)

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku ja $a \neq 0$ . Potenssi $a^{-n}$ on luvun $a$ käänteisluvun $n$ :s potenssi eli $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$

Perustelu: Potenssin määritelmän mukaan $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ Toisaalta potenssin määritelmän mukaan $\left(\frac{1}{a}\right)^n = \underbrace{\left(\frac{1}{a}\right) \cdots \left(\frac{1}{a}\right)}_\text{$n$ kpl} = \frac{1}{a^n}$ Siis $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n.$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan yllä olevan teoreeman soveltamista. Kannattaa tarvittaessa kerrata murtolukujen käänteislukuja koskeva teoreema 1 edellisestä luvusta.

Tehtävä 2.20: Negatiivinen eksponentti

Tehtävänä on määrittää potenssi $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-3}$

Muodosta kantaluvun $\dfrac{4}{5}$ käänteisluku.
Laske a-kohdassa muodostamasi luvun kolmas potenssi.
Miten ratkaisun vaiheet liittyvät teoreemaan 2? Selitä omin sanoin.

VASTAUS

$\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{4}$
$\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-3} = \left(\dfrac{5}{4}\right)^3 = \dfrac{125}{64}$

Edellisen tehtävän havaintojen perusteella saadaan muotoiltua seuraava erityistapaus teoreemasta 4. Lue sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

NEGATIIVINEN EKSPONENTTI (TEOREEMA 5)

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b \neq 0$ . Tällöin $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Perustelu: Teoreeman 1 mukaan luvut $\dfrac{a}{b} \quad \text{ ja } \quad \dfrac{b}{a}$ ovat toistensa käänteislukuja. Teoreeman 4 mukaan $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}$ on kantaluvun käänteisluvun $n$ :s potenssi. Siis $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Tehtävä 2.21: Negatiivinen eksponentti

Laske seuraavat potenssit ja anna vastaukset murtolukuina:

$\left(\dfrac{7}{3}\right)^{-1}$
$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2}$
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-4}$ .

VASTAUS

$\left(\dfrac{7}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{7}$
$\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2} = \dfrac{64}{25}$
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-4} = \dfrac{16}{81}$ .

TEHTÄVÄSARJA II (2.22 - 2.36)

Tehtävä 2.22: Potenssi

Luvun $a$ toista potenssia $a^2$ sanotaan luvun $a$ neliöksi ja luvun $a$ kolmatta potenssia $a^3$ sanotaan luvun $a$ kuutioksi. Mistä nämä nimitykset ovat tulleet? Selitä omin sanoin.

Merkitse lausekkeena ja laske

luvun $5$ neliö
luvun $5$ neliön vastaluku
luvun $-5$ neliö
luvun $-5$ kuutio
luvun $5$ kuutio
luvun $5$ kuution vastaluku.

Mitkä lausekkeista ovat yhtä suuria? Kirjoita havaintosi näkyviin käyttäen luvun $5$ tilalla kirjainta $a$ . Onko havainnoissasi kysymyksessä sattuma vai yleispätevä sääntö?

Vastaus

$5^2 = 25$
$-5^2 = -25$
$(-5)^2 = 25$
$(-5)^3 = -125$
$5^3 = 125$
$-5^3 = -125$

Tehtävä 2.23: Potenssi

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

$(7-4)^2$
$7^2-4^2$
$7^2-2\cdot 7 \cdot 4 + 4^2$
$(7+4)(7-4)$

Mitkä lausekkeista ovat yhtä suuria? Kirjoita havaintosi näkyviin käyttäen luvun $7$ tilalla kirjainta $a$ ja luvun 4 tilalla kirjainta $b$ . Onko havainnoissasi kysymyksessä sattuma vai yleispätevä sääntö?

Vastaus

$9$
$33$
$9$
$33$

Tehtävä 2.24: Potenssi

Hyvin hajamielinen henkilö päätti aloittaa säästämisen vuonna 1970. Hän talletti kyseisen vuoden alussa 100 markkaa pankkitilille, jonka korko oli 2,5 % vuodessa, mutta unohti sitten koko asian. Kuinka suureksi talletus oli kasvanut

vuoden 1971 alkuun mennessä?
vuoden 1972 alkuun mennessä?
vuoden 2002 alkuun mennessä, jolloin euro otettiin käyttöön? Anna vastaus sekä markkoina että euroina (5,94573 markkaa vastasi yhtä euroa)
vuoden 2016 alkuun mennessä?

Oletetaan, että korkoprosentti pysyi koko ajan samana eli talletus $1{,}025$ -kertaistui joka vuosi.

Vastaus

$102{,}50$ markkaa
$105{,}06$ markkaa
$220{,}38$ markkaa eli $37{,}07$ euroa
$52{,}37$ euroa.

Tehtävä 2.25: Potenssi

Edellisen tehtävän henkilön hajamielisyys johtui siitä, että hän oli hyvin kiinnostunut menneistä ajoista. Samaan aikaan kun hän päätti aloittaa säästämisen, hän ryhtyi tutkimaan esivanhempiaan. Piirrä kaavio, joka havainnollistaa hyvin hajamielisen henkilön vanhempia ja heidän vanhempiaan ja heidän vanhempiaan. Kuinka monta esivanhempaa tällä henkilöllä on, jos mennään taaksepäin

kaksi sukupolvea
kolme sukupolvea
kuusi sukupolvea
20 sukupolvea?

Ilmaise vastaukset potenssimerkinnän avulla.

Vastaus

$4 = 2^2$
$8 = 2^3$
$2^6$
$2^{20}$

Tehtävä 2.26: Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

Palauta mieleesi negatiivisen eksponentin määritelmä ja eksponentin nolla määritelmä. Laske sen jälkeen

$4^{-1}-2^{-3} + 2^{-1}$
$(-1)^4+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$
$(-2)^{3}+ (-3)^{0}$
$(-3)^{2}-2^{0}$ .

Vastaus

$\frac{5}{8}$
$3$
$-7$
$8$

Tehtävä 2.27: Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

Laske $3\cdot 10^3 + 7 \cdot 10^1 + 4\cdot 10^0 + 1\cdot 10^{-1} + 5\cdot 10^{-3}$ .
Kirjoita luku $506{,}9$ kymmenen potenssien summana samaan tapaan kuin a-kohdassa.
Keksitkö syyn, miksi käyttämäämme lukujärjestelmää sanotaan kymmenjärjestelmäksi?
Tiedätkö muita esimerkiksi tietokoneiden käyttämiä lukujärjestelmiä?

Vastaus

$3074{,}105$
$5\cdot 10^2 + 6\cdot 10^0 + 9\cdot 10^{-1}$

Tehtävä 2.28: Negatiivinen eksponentti

Kaksi opiskelijaa yritti keksiä lausekkeita, jotka tarkoittavat samaa kuin lauseke $\dfrac{1}{5x^7}.$ Opiskelijat saivat ehdottaa sopivaa lauseketta vuorotellen. Heidän ehdotuksensa olivat seuraavat:

A: $\quad 5x^{-7}$

B: $\quad (5x)^{-7}$

A: $\quad \dfrac{x^{-7}}{5}$

B: $\quad 5^{-1}x^{-7}$

A: $\quad (5x^7)^{-1}$

B: $\quad \dfrac{1}{5}x^{-7}$

Kumpi opiskelija vastasi ensimmäisenä oikein? Kummalla opiskelijalla oli yhteensä enemmän oikeita vastauksia? Mitkä vastauksista olivat oikein?

Vastaus

Opiskelija A vastasi ensimmäisenä oikein. Oikeita vastauksia kummallakin yhtä monta.

Tehtävä 2.29: Samankantaiset potenssit

Sievennä seuraavat lausekkeet:

$3^5\cdot 3^{10}\cdot 3^{25}$
$\left( \frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^7\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{-11}\cdot \left( \frac{2}{3}\right)^5$
$(-1)^{500} \cdot (-1)^{2015}$

Vastaus

$3^{40}$
$\dfrac{3}{2}$
$-1$

Tehtävä 2.30: Samankantaiset potenssit

Sievennä seuraavat lausekkeet:

$\dfrac{9^{216}}{9^{209}}$
$\dfrac{101^{96}}{101^{100}}$
$\dfrac{(-2)^{97}}{(-2)^{62}}.$

Vastaus

$9^7$
$101^{-4}$
$(-2)^{35} = -2^{35}$

Tehtävä 2.31: Potenssin potenssi ja samankantaiset potenssit

Ilmaise luvun $2$ potenssina:

$16$
$2\cdot 8^5$
$8^9 \cdot 16^7$
$\dfrac{32^{10}}{2^{25}}$
$\dfrac{16^{100}}{8^{70}}$ .

Vastaus

$2^4$
$2^{16}$
$2^{55}$
$2^{25}$
$2^{190}$

Tehtävä 2.32: Potenssien tulo, osamäärä ja potenssin potenssi

Laske:

$40^9 \cdot 0{,}25^9$
$\dfrac{8888888^2}{2222222^2}$
$\dfrac{36^{801}}{6^{1600}}$

Vastaus

$1\,000\,000\,000$
$16$
$36$

Tehtävä 2.33: Potenssien laskusäännöt

Harjoittele potenssien laskusääntöjä tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Tehtävä 2.34: Potenssien laskusäännöt

Sievennä:

$(-4x^5)^2$
$\dfrac{21x^{21}}{7x^7}$
$-3x(-3x^6)^2$

Vastaus

$16x^{10}$
$3x^{14}$
$-27x^{13}$

Tehtävä 2.35: Potenssien laskusäännöt

Selitä omin sanoin, mitä eroa a- ja b-kohtien lausekkeilla on. Sievennä ne sen jälkeen.

$(5a)^3(-5a^3)$
$(5a)^3-5a^3$

Vastaus

tulo $-625a^6$
erotus $120a^3$

Tehtävä 2.36: Potenssien laskusäännöt

Sievennä:

$ab(a^2b)^3$
$\dfrac{(xy)^7}{xy^7}$
$\dfrac{(-a^3b^2)^9}{a(b^4)^7}$

Vastaus

$a^7b^4$
$x^6$
$\dfrac{-a^{26}}{b^{10}}$

TEHTÄVÄSARJA III (2.37 - 2.41)

Tehtävä 2.37:

Sievennä seuraavat lausekkeet. Muista potenssin määritelmä ja kertaa tarvittaessa potenssin laskusäännöt.

$a^na^n$
$\dfrac{a^{3n}}{a^3}$
$\dfrac{b^{2n+1}}{b^nb^n}$
$\dfrac{x^nx^n}{x^n+x^n}$

Vastaus

$a^{2n}$
$a^{3(n-1)}$
$b$
$\dfrac{x^n}{2}$

Tehtävä 2.38:

Laske lausekkeen $\dfrac{2^n4^{n+5}}{8^{n+1}}$ arvo, jos

$n = 1$
$n = 5$ .
Mitä voisi epäillä edellisten kohtien perusteella? Osoita potenssien laskusääntöjen avulla, ettei kysymyksessä ollut sattuma.

Vastaus

$2^7$
$2^7$

Tehtävä 2.39:

Laske potenssit $10^3$ , $10^6$ ja $10^9$ . Kuinka monta numeroa niissä on?

Ilmaise seuraavat luvut kymmenpotenssimuodossa kuuden numeron tarkkuudella. Kuinka monta numeroa näissä luvuissa on, jos ne kirjoitettaisiin näkyviin ilman kymmenpotenssimuotoa? Hyödynnä tehtävän alkuosan havaintojasi.

$6^{10}$
$2^{55}$
$3^{42}$

Vastaus

$6{,}04662 \cdot 10^7$ , kahdeksan numeroa
$3{,}60288 \cdot 10^{16}$ , 17 numeroa
$1{,}09419 \cdot 10^{20}$ , 21 numeroa

Tehtävä 2.40:

Alla on ote Wikipedian CRP:tä koskevasta tiedosta. Vastaa sen perusteella seuraaviin kysymyksiin.

Potilaan CRP-pitoisuus oli 40 klo 12:00. Kuinka suuri pitoisuus voi enintään olla klo 18:00?
Potilaan CRP-pitoisuus oli 100 maanantaina klo 12:00. Milloin se voi aikaisintaan laskea arvoon 10?

CRP:n pitoisuus veressä nousee bakteeri-infektioiden, muiden tulehdustilojen ja kudosvaurion yhteydessä nopeasti, jo muutaman tunnin kuluessa, ja pitoisuus voi kaksinkertaistua kahdeksan tunnin välein jopa 1000-kertaiseksi viitealueeseen verrattuna. Maksimitaso saavutetaan tyypillisesti noin 50 tunnissa. CRP nousee yleensä enemmän bakteerin aiheuttamissa tulehduksissa kuin virustulehduksissa, mutta kohonnut CRP ei ole minkään tietyn tulehdustilan merkki. Lievät tulehdukset ja virusinfektiot nostavat CRP:n tyypillisesti noin tasolle 10–50 mg/l, aktiiviset tulehdukset ja bakteeri-infektiot pitoisuuksiin 50–200 mg/l ja vakavat infektiot tai traumat tasolle >200 mg/l. CRP:n biologinen puoliintumisaika on 19 tuntia, joten tulehduksen rauhoituttua CRP-taso laskee nopeasti. CRP on siis herkkä, mutta epäspesifinen tulehdustilan indeksi.

[Lyhyt K2016/8]

Vastaus

$40 \cdot 2^{6/8} \approx 67{,}3$
torstaina klo 03:00.

Tehtävä 2.41:

Summa, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat samoja, voidaan kirjoittaa tulona, kuten tämän luvun alussa todettiin. Siis esimerkiksi $5 + 5 + 5 = 3\cdot 5$ ja $8 + 8 = 2 \cdot 8$ . Kokoamalla kaikki taulukkoon tällaiset tulot, joissa kumpikin tulon tekijä on enintään 10, saadaan muodostettua tuttu kertotaulu. Alla olevaan taulukkoon on täydennetty kertotaulun viisi ensimmäistä riviä.

$\cdot$	$\phantom{,}$ 1 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 2 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 3 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 4 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 5 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 6 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 7 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 8 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 9 $\phantom{,}$	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6
7
8
9
10

Tulo, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja, voidaan vastaavasti kirjoittaa potenssina. Potenssien arvoista on siis mahdollista muodostaa vastaava "potenssitaulu".

	$\phantom{,}$ 1 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 2 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 3 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 4 $\phantom{,}$	$\phantom{,}$ 5 $\phantom{,}$
1
2				16
3
4
5

Kopioi yllä oleva potenssitaulu vihkoosi ja täydennä siihen potenssien arvot.
Vertaa kertotaulua ja potenssitaulua keskenään. Näkyykö siellä samoja lukuja? Missä kohdissa?

Itsearviointitehtävät

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. Lausu lausekkeet luvun 2 potenssina ilman teknistä apuvälinettä.
a) $2^3\cdot \left(2^2\right)^3$
b) $\dfrac{2\cdot 2^5}{2^4}$
c) $4^6\cdot 8$

2. Sievennä ilman teknistä apuvälinettä.
a) $1-3^0+3^{-1}-3^{-2}$
b) $\left(\frac{1}{x}\right)^{-1}+2\cdot x^0$
c) $\dfrac{(ab)^2a^7}{a^3\left(b^2\right)^3}$