Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu käyttämään matematiikkaa ongelmien ratkaisemisessa ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä
  • oppii muodostamaan lausekkeita ja yhtälöitä annettuihin ongelmiin sekä ratkaisemaan yhtälöitä ja tulkitsemaan saatua ratkaisua
  • osaa soveltaa lukujonoja ja niistä muodostettuja summia matemaattisten ongelmien ratkaisussa
  • osaa käyttää ohjelmistoja polynomifunktion tutkimisessa polynomiyhtälöihin ja polynomifunktioihin liittyvien sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • ongelmien muotoileminen yhtälöiksi
  • yhtälöiden ratkaiseminen
  • ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen
  • toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen
  • aritmeettinen lukujono ja summa
  • geometrinen lukujono ja summa

Materiaali on jaettu neljään lukuun: polynomifunktiot, ensimmäisen asteen yhtälö, toisen asteen yhtälö sekä lukujonot ja summat.

Pääajatus materiaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Polynomifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että sievennät sujuvasti polynomilausekkeita. Osaat

  • määrittää polynomin asteluvun ja vakiotermin
  • laskea polynomien summan ja erotuksen
  • laskea polynomien tulon
  • sieventää polynomilausekkeita teknisen apuvälineen avulla
  • tutkia polynomifunktioita teknisen apuvälineen avulla.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on kahden muuttujan polynomi. Tässä moduulissa keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein? Perustele vastauksesi omin sanoin ja korjaa samalla väärät väitteet oikeiksi. Kertaa tarvittaessa polynomeihin liittyviä käsitteitä Opetus.tv:n sivuilta.

  1. Polynomissa $-4x^2+8x-3$ on viisi termiä.
  2. Polynomin $7x^4-6x^3+4x$ toisen asteen termin kerroin on nolla.
  3. Polynomin $x^7-x+6$ aste on kolme.
  4. Polynomin $x^3-9x^2+4$ vakiotermi on $4$.
  5. Polynomi $3x^5-x^2$ on monomi.
  6. Lauseke $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{2}$ on binomi.

  1. Väärin, polynomissa on kolme termiä.
  2. Oikein, sillä sama polynomi voidaan kirjoittaa $7x^4-6x^3 + 0x^2 +4x$.
  3. Väärin, polynomin aste on 7.
  4. Oikein.
  5. Väärin, tämä polynomi on binomi. Monomiksi sanotaan polynomia, jossa on vain yksi termi.
  6. Oikein, sillä tämä lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x$.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa ja 25 puntaa. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa ja 7 puntaa. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£) + (15 \,€ + 7 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£. \end{align*} Tässä laskettiin eurot yhteen keskenään ja punnat yhteen keskenään. Yhdistettiin siis ne luvut, joilla kirjainosa oli sama.

Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa ja 27 puntaa. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£\\ &= 10 \,€ + 5 \,£. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu.

Muodosta ja laske polynomien $x^2+3x-6$ ja $-4x^2+x-2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $-3x^2+4x-8$
  2. $5x^2+2x-4$

Muodosta ja laske polynomien $4x^3-2x^2+3x+1$ ja $-3x^2-3x+2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $4x^3-5x^2+3$
  2. $4x^3+x^2+6x-1$

Kun polynomia kerrotaan luvulla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£) &= \frac{1}{5} \cdot 10 \,€ + \frac{1}{5} \cdot 5 \,£\\[1mm] &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£\\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ \end{align*} Jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $-3x^4 \cdot 5x^2$
  2. $4x(x-5)$
  3. $-3x^2(-4x^2+x-2)$

  1. $-15x^6$
  2. $4x^2-20x$
  3. $12x^4 - 3x^3 + 6x^2$

Samalla tavalla toimiaan myös silloin, kun polynomi kerrotaan monomilla: $$ \textcolor{blue}{2x}(3x-4) = \textcolor{blue}{2x} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2x}\cdot 4 = 6x^2 - 8x. $$

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain: otetaan ensimmäisen tulon tekijän

  • ensimmäinen termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen
  • toinen termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen
  • kolmas termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen.

Näin jatketaan, kunnes ensimmäisen tulon tekijän kaikki termit on käytetty. Esimerkiksi tulossa $$(2x-5)(3x-4)$$ kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-5$: \begin{align*} (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-5})(3x-4) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2x} \cdot 4 + (\textcolor{red}{-5}) \cdot 3x + (\textcolor{red}{-5}) \cdot (-4) \\ &= \textcolor{blue}{6x^2 - 8x}\textcolor{red}{-15x + 20} \\ &= 6x^2 - 23x + 20 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $x(7-5x)$
  2. $(x+2)(8x-1)$
  3. $(4x+3)(4x-3)$
  4. Tarkista edelliset kohdat TI Nspirellä kirjoittamalla laskinohjelmaan expand(lauseke), esim. a-kohdassa kirjoita expand(x(7-5x)).

  1. $x(7-5x) = 7x-5x^2$
  2. $(x+2)(8x-1) = 8x^2 + 15x - 2$
  3. $(4x+3)(4x-3) = 16x^2 - 9$

Polynomien potenssit voidaan laskea muuttamalla ne ensin tulomuotoon. Esimerkiksi \begin{align*} (x-5)^2 &= (x-5)(x-5) \\[1mm] &= x^2 - 5x - 5x + 25 \\[1mm] &= x^2 - 10x + 25. \end{align*}

Laske seuraavat potenssit. Aloita kirjoittamalla lauseke tulomuodossa.

  1. $(x+3)^2$
  2. $(2x-1)^2$
  3. $(7-x)^2$

  1. $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
  2. $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
  3. $(7-x)^2 = 49 - 14x + x^2$

Lopuksi harjoitellaan teknisen apuvälineen käyttämistä polynomifunktioiden tutkimisessa.

Tehtävänä on harjoitella teknisen apuvälineen käyttöä polynomifunktioiden tutkimisessa.

  1. Avaa TI Nspire ja määrittele laskimeen funktio kirjoittamalla `f(x):=3x^2-2x+1` ja paina enter.
  2. Testaa, että funktio on laskimessa muistissa ja laske funktion arvo kohdassa $x=2$ kirjoittamalla `f(2)` ja paina enter. Saitko vastaukseksi 9?
  3. Jaa näyttö ylävalikosta kahteen osaan ja valitse toiseksi sovellukseksi Kuvaajat. Kirjoita `f1(x)=` kohdan perään `f(x)` ja paina enter. Funktion lauseke on edelleen laskimen muistissa, joten funktion kuvaajan pitäisi tulla näkyviin heti. Voit toki näpytellä funktion lausekkeen uudelleen, jos haluat.
  4. Jos tuntui hankalalta, niin katso [video](https://watch.screencastify.com/v/ccgKCJmkMtL9AYCIMzfr), jossa tehtiin tämä sama tehtävä ja yritä sitten uudelleen.

Eräässä matematiikan kokeessa arvosanoja kuvasi funktio $f(x)=\frac{5}{42}x+\frac{110}{42}$, missä $x$ oli kokeesta saatu pistemäärä. Ratkaise tehtävä laskinohjelmiston avulla.

  1. Laske funktion lausekkeen avulla, minkä arvosanan kokeesta sai 40 pisteellä.
  2. Ratkaise funktion kuvaajan avulla, millä pistemäärällä sai arvosanan 5.
  3. Arvioi kuvaajan perusteella, mikä oli kokeen maksimipistemäärä. Perustele.

  1. $f(40)=7,38…\approx 7$ eli kokeesta sai arvosanan 7.
  2. Lukemalla kuvaajasta, mikä on $x$, kun $y=5$, huomataan, että pistemäärä oli 20.
  3. Katsotaan kuvaajasta, mikä on $x$, kun $y=10$. Huomataan, että arvosanan 10 on saanut pistemäärällä 62, joten maksimipistemäärä on voinut olla noin 70.

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(2x + 4) + (3x-8)$
  2. $(x - 7) - (2x - 2)$
  3. $x + 5x^2 - 3x^2 + 3x - x^2$

  1. $5x - 4$
  2. $-x-5$
  3. $4x + x^2$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $7 - 3(4x-2)$
  2. $2(5y + 4) + 2(y + 9)$
  3. $3(x - 2x^2)-(x + x^2) + 2(x + 3x^2)$

  1. $-12x + 13$
  2. $12y + 26$
  3. $4x - x^2$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $5x(x-3)$
  2. $-4x^2(8x-7x^3)$
  3. $6a(1-9b)$

  1. $5x^2 - 15x$
  2. $-32x^3 + 28x^5$
  3. $6a - 54ab$

Murtolausekkeiden sieventäminen

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{5} \end{align*} voidaan muokata tekemällä jakolasku termeittäin seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-5}{4} &= \dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{4} = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4} \end{align*} Huomaa, että neljällä jakaminen vastaa yhdellä neljäsosalla kertomista. Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x - 3}{5}$
  2. $\dfrac{4x + 6}{12}$

  1. Tehdään jakolasku termeittäin: \begin{align*} \dfrac{15x - 3}{5} &= \dfrac{15x}{5} - \dfrac{3}{5} \\[1mm] &= 3x - \dfrac{3}{5} \end{align*}
  2. Tehdään jakolasku termeittäin ja supistetaan: \begin{align*} \dfrac{4x + 6}{12} &= \dfrac{4x}{12} + \dfrac{6}{12} \\[1mm] &= \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} \\[1mm] &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2} \end{align*}

Murtolausekkeen sieventäminen

Kun lasketaan murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia, pitää lausekkeet laventaa samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-4}{3} &= \frac{\textcolor{blue}{3}(5x-7)}{\textcolor{blue}{3} \cdot 2}\textcolor{red}{-}\frac{\textcolor{blue}{2}(x-4)}{\textcolor{blue}{2} \cdot 3} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)\textcolor{red}{-}2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}8}{6} \\[1mm] &= \frac{13x-13}{6} \\[1mm] &= \frac{13}{6}x - \frac{13}{6} \end{align*}

Sievennä seuraavat lausekkeet.

  1. $\dfrac{8x-11}{3} + \dfrac{4x - 7}{3}$
  2. $\dfrac{7-5x}{8} - \dfrac{3x - 5}{8}$
  3. $\dfrac{3x+1}{2} + \dfrac{x-4}{5}$
  4. $\dfrac{3x+1}{2} - \dfrac{x-4}{5}$

  1. \begin{align*} \dfrac{8x-11 + 4x - 7}{3} &= \dfrac{12x - 18}{3} \\[1mm] &= 4x - 6 \end{align*}
  2. \begin{align*} \dfrac{7-5x-(3x-5)}{8} &= \dfrac{7-5x-3x+5}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12-8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12}{8} - \dfrac{8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{3}{2} - x \end{align*}
  3. $\dfrac{17x-3}{10} = \dfrac{17}{10}x - \dfrac{3}{10}$
  4. $\dfrac{13x+13}{10} = \dfrac{13}{10}x + \dfrac{13}{10}$

Polynomien tulo

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(3x+1)(3x-1)$
  2. $(4x+5)^2$
  3. $(6x-2)^2$

  1. $9x^2-1$
  2. $16x^2+40x+25$
  3. $36x^2-24x+4$

Polynomien tulo

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(x+2)(x^2-5x+4)$
  2. $3x(x-6) - (x-2)(x-4)$
  3. $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\left(8x + \dfrac{1}{4}\right)$

  1. $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$
  2. $2x^2-12x-8$
  3. $4x^2+ \dfrac{65}{8}x+\dfrac{1}{4}$

Polynomien laskutoimituksia

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x + 10}{5}$
  2. $\dfrac{20x^2 + 8x}{2x}$
  3. $\dfrac{14x^4 + 7x^2}{7x^2}$

  1. $3x + 2$
  2. $10x + 4$
  3. $2x^2 + 1$

Polynomien laskutoimituksia

Laske:

  1. $\dfrac{3x + 3}{4} - \dfrac{5x-1}{12}$
  2. $\dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4}$
  3. $x - \dfrac{2(x-1)}{5}$

  1. $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{6}$
  2. $\dfrac{7}{12}x - \dfrac{1}{2}$
  3. $\dfrac{3}{5}x + \dfrac{2}{5}$

Polynomien laskutoimituksia

TaksiTapsalla matkan hinnan riippuvuutta kuljetusta matkasta kuvastaa funktio $t(x)=1,84x+5,30$. AutoAinolla vastaava funktio on $a(x)=2x+3,90$. Molemmissa funktioissa hinnan yksikkönä on euro ja matkan yksikkönä kilometri.

  1. Laske funktion lausekkeen avulla, kuinka paljon TaksiTapsalla maksaa matkustaa 25 kilometriä.
  2. Tulkitse funktion lausekkeen avulla, mikä on taksimatkan aloitusmaksu TaksaTapsalla. Entä AutoAinolla?
  3. Piirrä teknisellä apuvälineellä molempien funktioiden kuvaajat samaan kuvaan. Selvitä kuvan avulla, millä matkan pituudella molemmat taksifirmat ovat yhtä kalliita. Millaisilla matkoilla kannattaa valita TaksiTapsa? Entä AutoAino? Muista selittää sanallisesti, miten tulkitsit vastaukset kuvasta.

  1. $t(25)=51,30$, eli 51,30 euroa
  2. Aloitusmaksu vastaa tilannetta $x=0$, eli lausekkeen vakiotermi kertoo aloitusmaksun. Näin ollen esimerkiksi TaksiTapsalla se on 5,30 euroa.
  3. Yhtä kalliit matkat löytyvät kuvaajien leikkauspisteestä. Siitä pienemmillä $x$:llä alempana oleva kuvaaja on halvempi ja vastaavasti tämä on sitten kalliimpi leikkauspisteen jälkeen.

Polynomifunktion sovellukset

Suorakulmion kannan pituus on $2x+7$. Suorakulmion korkeus on 3 yksikköä lyhyempi kuin kanta. Voit tarvittaessa tarkistaa Maolista, millainen suorakulmio on ja miten lasketaan suorakulmion piiri ja pinta-ala.

  1. Ilmaise suorakulmion korkeus muuttujan $x$ avulla sanottuna.
  2. Muodosta lauseke, joka kuvaa suorakulmion piiriä. Toisin sanoen, ilmaise suorakulmion piiri muuttujan $x$ avulla. Sievennä lauseke.
  3. Muodosta lauseke, joka kuvaa suorakulmion pinta-alaa. Sievennä lauseke.
  4. Laske suorakulmion piiri ja pinta-ala, kun $x=4$.

  1. $(2x+7)-3=2x+4$
  2. $8x+22$
  3. $4x^2+22x+28$
  4. Piiri on 54 ja pinta-ala on 180.

Polynomifunktion sovellukset

Suorakulmion kannan pituus on $2x+7$. Suorakulmion korkeus on 3 yksikköä lyhyempi kuin kanta. Voit tarvittaessa tarkistaa Maolista, millainen suorakulmio on ja miten lasketaan suorakulmion piiri ja pinta-ala.

  1. Ilmaise suorakulmion korkeus muuttujan $x$ avulla sanottuna.
  2. Muodosta lauseke, joka kuvaa suorakulmion piiriä. Toisin sanoen, ilmaise suorakulmion piiri muuttujan $x$ avulla. Sievennä lauseke.
  3. Muodosta lauseke, joka kuvaa suorakulmion pinta-alaa. Sievennä lauseke.
  4. Laske suorakulmion piiri ja pinta-ala, kun $x=4$.

  1. $(2x+7)-3=2x+4$
  2. $8x+22$
  3. $4x^2+22x+28$
  4. Piiri on 54 ja pinta-ala on 180.

Kevään 2015 ylioppilaskokeen tehtävä 3

Erään mallin mukaan naisten kuntoharjoittelun maksimisyke lasketaan kaavalla $226-T$ ja miesten maksimisyke kaavalla $220-T$ , kun $T$ on henkilön ikä vuosina.

  1. Kuinka monta prosenttia 18‐vuotiaan naisen maksimisyke on samanikäisen miehen maksimisykettä korkeampi?
  2. Erään suosituksen mukaan kuntoharjoittelussa sykkeen tulisi olla 60−70 % maksimisykkeestä. Määritä nämä rajat 30‐vuotiaalle naiselle.

Syksyn 2012 ylioppilaskokeen tehtävä 11

Aikuisen ihmisen sääriluun pituus $y$ riippuu henkilön pituudesta $x$ kaavojen \begin{align*} y &= 0,43x - 27 \textrm{(nainen)}\\ y &= 0,45x - 31 \textrm{(mies)}\\ \end{align*} mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri.

  1. Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli?
  2. Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu?

`\`. Luettu 29.3.2011.

Korkeamman asteen polynomifunktio

Alla on näkyvissä polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko kirjaamalla näkyviin funktioiden asteluvut ja yhdistämällä jokainen kuvaaja oikeaan funktioon.

Funktio Aste Kuvaaja
$f(x) = -\frac{1}{10}x^5+x^3+1$
$g(x) = -\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2-4x+2$
$h(x) = x^4+x^3-3x^2-3x$
$k(x) = \frac{1}{5}x^3-2x-1$

Vihje: Laske funktion arvo kohdassa $x=0$.

Funktio Aste Kuvaaja
$\ f(x) = -\frac{1}{10}x^5+x^3+1 \ $ 5 A
$\ g(x) = -\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2-4x+2\ $ 4 B
$\ h(x) = x^4+x^3-3x^2-3x\ $ 4 C
$\ k(x) = \frac{1}{5}x^3-2x-1\ $ 3 D

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä seuraavat tehtävät.

1. Ratkaise A-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu Abitin editorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi.

  1. Muodosta ja laske polynomien $x^2+2x$ ja $2x-1$ erotus.
  2. Sievennä $3x(2x^2-5)$.

2. Ratkaise B-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu TI Nspiren Muistiinpanot -sovelluksella.
Taksimatkan hintaa kuvaa funktio $f(x)=3,90+0,99x$, missä $x$ on ajettujen kilometrien määrä.

  1. Ratkaise graafisesti, kuinka monta kilometriä voi ajaa 10 eurolla.
  2. Ratkaise algebrallisesti, kuinka paljon maksaa 20 kilometrin matka taksilla.

1.

  1. $(x^2+2x)-(2x-1)=x^2+2x-2x+1=x^2+1$
  2. $3x(2x^2-5)=3x\cdot 2x^2+3x\cdot (-5)=6x^3-15x$

Pisteytysohje:

  1. Polynomien erotus 2p, sulkujen poistaminen 2p, samanmuotoisten termien yhdistäminen 2p.
  2. Jokin järkevä aloitus 2p, termi $6x^3$ oikein 2p, termi $-15x$ oikein 2p.

2.

Ensimmäisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja nouseva vai laskeva suora ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • tunnistaa lineaarisesti toisistaan riippuvat suureet ja selvittää niiden arvoja sekä graafisesti että laskennallisesti
  • tutkia sijoittamalla, onko annettu luku yhtälön ratkaisu
  • ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön
  • tulkita vastauksen myös tapauksissa, joissa yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja tai kaikki luvut ovat sen ratkaisuja
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Moduulissa MAY1 tutkittiin jo jonkin verran ensimmäisen asteen polynomifunktioita. Siellä jo opittiin, että niiden kuvaajat ovat suoria ja että muuttujan $x$ edessä olevan kertoimen merkki määrää, onko kuvaaja nouseva vai laskeva suora.

Yllä on näkyvissä funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $g$ arvo kohdassa $x = 1$? Toisin sanottuna, mitä on $g(1)$?
  2. Määritä $g(0)$.
  3. Saako funktio $g$ jossain kohdassa arvon $4$? Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 4$?
  4. Onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 0$?

  1. Kuvaajan mukaan $g(1) = 2$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(1,2)$ kautta.
  2. Kuvaajan mukaan $g(0) = 1$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(0,1)$ kautta.
  3. Kohdassa $x = 3$ funktion arvo on $g(3) = 4$. Kuvaaja kulkee pisteen $(3,4)$ kautta.
  4. Kohdassa $x = -1$ funktion arvo on $g(-1) = 0$. Kuvaaja kulkee pisteen $(-1,0)$ kautta eli leikkaa $x$-akselin kohdassa $x = -1$.

Edellisen tehtävän funktio on yksi esimerkki ensimmäisen asteen polynomifunktiosta. MAY1-kurssilta tuttu määritelmä kertoo tarkemmin, millaisia funktioita kutsutaan ensimmäisen asteen polynomifunktioiksi:

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax+b,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 1{,}5x - 2$.

  1. Vertaa funktion $f$ lauseketta ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä mikä on vakio $b$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 2$ eli laske, mitä on $f(2)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = 1{,}5$ ja $b = -2$, huomaa miinusmerkki.
  2. $f(2) = 1$
  3. $f(0) = -2$
  4. Pisteet ovat $(2,1)$ ja $(0,-2)$.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $
$\ g(x) = -2x-1 \ $
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $
$\ k(x) = -x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $   C
$\ g(x) = -2x-1 \ $   D
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $   A
$\ k(x) = -x+2 \ $   B

Funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voidaan päätellä seuraavaa:

  1. Jos kerroin $a$ on positiivinen, kuvaaja on nouseva suora. Jos kerroin $a$ on negatiivinen, kuvaaja on laskeva suora.
  2. Vakiotermi $b$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
  3. Kerroin $a$ ilmaisee, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax + b,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $$y = ax + b.$$ Vakio $b$ ilmaisee, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b$ on mikä tahansa reaaliluku. Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on suoran kulmakerroin.

Laske funktion arvo kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$ ja päättele, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään koordinaatistossa yhden ruudun verran oikealle. Selitä omin sanoin, miten suoran kulmakerroin kuvaa sitä, miten jyrkästi suora nousee tai laskee.

  1. $f(x) = 7x - 3$
  2. $g(x) = -5x + 8$

  1. Kuvaaja nousee 7 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = 7x - 3$, jonka kulmakerroin on 7.
  2. Kuvaaja laskee 5 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = -5x + 8$, jonka kulmakerroin on $-5$.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on

  • nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen
  • laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen.

Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora, voi kuvaajan piirtää monella tavalla.

  1. Piirrä funktion $f(x) = 2x-3$ kuvaaja seuraavasti: Määritä jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee. Piirrä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä funktion $g(x) = -x+4$ kuvaaja seuraavasti: Päättele funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin. Piirrä suora näiden tietojen avulla.
  3. Tarkista piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Kuvaaja kulkee esimerkiksi pisteiden $(0,-3)$ ja $(1,-1)$ kautta.
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella 4 eli pisteessä $(0,4)$. Kuvaajan kulmakerroin on $-1$. Kuvaaja siis laskee aina yhden ruudun, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Niissä kohdissa, joissa funktion kuvaaja leikkaa vaakasuoran $x$-akselin, funktion arvo on nolla. Näitä kohtia kutsutaan funktion nollakohdiksi:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Esimerkiksi alla olevan kuvan funktiolla $f$ on yksi nollakohta $x = 3$.

Toisin sanottuna $f(x) = 0$, jos ja vain jos $x = 3$. Siis funktio saa arvon nolla, jos ja vain jos muuttujan arvo on 3.

Päättele, mitä ovat funktioiden nollakohdat kuvissa A-D.

  1. Nollakohta $x = -2$.
  2. Nollakohta $x = 2$.
  3. Nollakohta $x = 0$.
  4. Nollakohta $x = -0{,}5$. Huomaa, että symmetrian avulla voi päätellä, että nollakohta on tasan $-0{,}5$.

Ensimmäisen asteen polynomifunktioita voidaan käyttää monien arkisten ilmiöiden kuvaamiseen ja tutkimiseen. Seuraavassa tehtävässä on yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Puhelinliittymän kuukausimaksu on 6 euroa ja puhelut maksavat 0,055 euroa/minuutti.

  1. Kuinka paljon liittymä maksaa, jos kuukauden puheaika on 150 minuuttia?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee liittymän kokonaiskustannukset kuukaudessa, jos puheaika on $x$ minuuttia.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.
  4. Muuta $x$- ja $y$-akselien asteikkojen suhde sopivaksi (esim. 10:1), jotta voit tutkia graafisesti, kuinka paljon puheaikaa saa 20,00 eurolla. Anna vastaus minuutin tarkkuudella.

  1. $6 + 0{,}055 \cdot 150 = 14{,}25$ eli liittymä maksaa kuukaudessa 14,25 euroa, jos puheaika on 150 minuuttia.
  2. $f(x) = 6 + 0{,}055x$
  3. Kuvaaja:
  4. Kuva, jossa $x$- ja $y$-akselien suhde on 10:1, ja kuvaa on zoomattu:

    Kuvaajasta voidaan lukea, että 20,00 eurolla saa puheaikaa 254 minuuttia. Seuraava minuutti korottaa hinnan jo yli 20 euron.

Edellisessä tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja puheaikaa. Suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: puheaika on 150 min.

Tehtävässä havaittiin, että puheajan ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan sillä, että suureet riippuvat toisistaan lineaarisesti.

MÄÄRITELMÄ: LINEAARINEN RIIPPUVUUS

Suureet $x$ ja $y$ riipuvat toisistaan lineaarisesti, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = ax + b,$$ missä $a \neq 0$.

Lineaarista riippuvuutta kuvaa siis koordinaatistossa suora, jonka kulmakerroin on nollasta poikkeava. Lineaarista riippuvuutta voidaan mallintaa myös ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ avulla, sillä sen kuvaaja on aina tällainen suora.

Päättele kuvaajista, riipuvatko suureet $x$ ja $y$ toisistaan lineaarisesti. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ riippuvat toisistaan lineaarisesti. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora, joka on muotoa $y = ax$. Kulmakerroin $a = 0{,}5$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ eivät riipu toisistaan lineaarisesti, koska kuvaaja ei ole suora.
  3. Suureet $x$ ja $y$ riippuvat toisistaan lineaarisesti, sillä niiden välistä riippuvuutta kuvaa suora. Kulmakerroin $a = -2/3$.

Taksimatkan hintaa (euroina) Helsingissä lauantai-iltana klo 19 kuvaa funktio $$ f(x) = 9{,}0 + 1{,}6x, $$ missä $x$ on matkan pituus kilometreinä.

  1. Laske $f(15)$ ja selitä omin sanoin, mitä tulos tarkoittaa.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja koordinaatistoon ja selvitä sen avulla, kuinka pitkän matkan taksilla voi ajaa 49 eurolla.
  3. Mikä on taksimatkan perusmaksu, jonka asiakas joutuu maksamaan matkan pituudesta riippumatta? Miten se näkyy funktion $f$ lausekkeessa? Entä kuvaajassa?

  1. $f(15) = 9 + 1{,}6 \cdot 15 = 33$, joten 15 kilometrin taksimatka maksaa 33 euroa.
  2. Jos käytettävissä on 49 euroa, taksilla voi ajaa 25 km:
  3. Perusmaksu on 9,00 euroa. Se näkyy funktion lausekkeessa vakiona. Kuvaajassa perusmaksu on se korkeus, jolla kuvaaja leikkaa $y$-akselin:

Käytännössä suureiden lineaarinen riippuvuus voidaan tunnistaa muodostamalla funktio, joka ilmaisee, miten toinen suure saadaan laskettua, jos toinen tunnetaan. Jos näin syntynyt funktio on ensimmäisen asteen polynomifunktio, riippuvat suureet toisistaan lineaarisesti.

Perusterveen lapsen laskimonsisäisen nesteytyksen tarve arvoidaan perinteisesti käytetyn mallin mukaan seuraavasti: Jos lapsen paino on 10-20 kg, tarvitaan nestettä tunnissa 40 ml ja lisäksi 2 ml/kg jokaista 10 kg ylittävää kilogrammaa kohti.

  1. Kuinka paljon nestettä tarvitsee tunnin aikana lapsi, joka painaa 13 kg?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee tunnissa tarvittavan nestemäärän, kun lapsen paino on $10 + x$ kilogrammaa.
  3. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Minkä painoisen lapsen nesteytyksen tarve on 50 ml tunnissa?
  4. Kuvaajasta näkyy, miten tippapussin nestemäärä (ml) riippuu ajasta (h). Kysymyksessä on 15 kg painava lapsi. Milloin tippapussi on tyhjä? Kuinka paljon nestettä tippapussissa oli alunperin?

  1. Lapsi tarvii nestettä $40 + 3 \cdot 2 = 46$ millilitraa.
  2. $f(x) = 40 + 2x$
  3. Kuvaajasta nähdään, että 50 ml nestettä tunnissa tarvitsee lapsi, joka paino on $10 + 5 = 15$ kg.
  4. Tippapussi on tyhjä 10 tunnin kuluttua. Nestettä oli alunperin 500 ml.

MAY1-moduulissa ratkaistiin yksinkertaisia ensimmäisen asteen yhtälöitä. Palautetaan mieleen, mitä tarkoittaa yhtälön ratkaisu eli juuri.

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$x^2 + 6x = 8x+3$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemman puolen arvo ja oikean puolen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $3$
  2. $1$
  3. $-1$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $27$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $7$ ja oikea arvon $11$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-5$. Huomaa, että yhtälön vasen puoli on $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) = 1 - 6 = -5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

Ratkaise yhtälö $2(x+1)=4x$. Kerro jokaisessa välivaiheessa, mitä operaatioista 1-3 käytit. Muista, että lopuksi voit tarkistaa, onko saamasi ratkaisu varmasti yhtälön ratkaisu.

$x=1$

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3-(8x+1)$.

Ohje: b-kohdassa aloita poistamalla sulut yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta.

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.

Jos yhtälössä esiintyy murtolausekkeita, kannattaa niistä yrittää hankkiutua eroon mahdollisimman nopeasti. Yleispätevä tapa on kertoa yhtälön molemmat puolet kaikkien nimittäjien tulolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$ \dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4} = \dfrac{x-3}{2} + 2x. $$ Yhtälössä on kolme erilaista nimittäjää: luvut 3, 4 ja 2. $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{3} } - \dfrac{2-x}{\textcolor{blue}{4} } = \dfrac{x-3}{\textcolor{blue}{2} } + 2x. $$ Muodostetaan nimittäjien tulo $\textcolor{blue}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \textcolor{red}{24}$ ja kerrotaan yhtälön molemmat puolet sillä: $$ \dfrac{\textcolor{red}{24}x}{3} - \dfrac{\textcolor{red}{24}(2-x)}{4} = \dfrac{\textcolor{red}{24}(x-3)}{2} + \textcolor{red}{24} \cdot 2x. $$ Jokainen yhteenlaskettava siis kerrotaan nimittäjien tulolla, tarvittaessa käytetään sulkuja. Sen jälkeen voidaan laskea jakolaskut, jolloin päästään nimittäjistä eroon: $$ 8x - 6(2-x) = 12(x-3) + 48x. $$ Tästä eteenpäin yhtälön ratkaisu etenee normaalisti. Ensin sievennetään yhtälön vasen ja oikea puoli: \begin{align*} 8x - 12 + 6x &= 12x - 36 + 48x \\[1mm] 14x - 12 &= 60x - 36 \quad \textcolor{blue}{\mid + 12} \\[1mm] 14x &= 60x - 24 \quad \textcolor{blue}{\mid -60x} \\[1mm] -46x &= -24 \phantom{ {} -2} \quad \, \textcolor{blue}{\mid \, : -46} \\[1mm] x &= \dfrac{-24}{-46} = \dfrac{12}{23}. \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{x}{4} = x + 1$
  2. $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x}{2} = 5x-1$

  1. $x = -\dfrac{4}{3}$
  2. $x = \dfrac{4}{29}$.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Toinen esimerkki on yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

  1. Onko edellä tarkasteltu yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x)$$ ensimmäisen asteen yhtälö? Selitä omin sanoin.
  2. Ratkaise yhtälö $$3x - \frac{1-2x}{2} = 4x.$$
  3. Ratkaise yhtälö $$\frac{2x-1}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x-2}{6}.$$

  1. Tämä yhtälö ei ole ensimmäisen asteen yhtälö, sillä esimerkissä nähtiin, että sitä ei voida esittää muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, sillä se on yhtäpitävä yhtälön $-1 = 0$ kanssa. Tämä yhtälö on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.
  3. Kaikki luvut ovat tämän yhtälön ratkaisuja, sillä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön $0 = 0$ kanssa. Tämä on tosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Monet käytännön ongelmat voidaan selvittää muodostamalla ja ratkaisemalla sopiva yhtälö. Aluksi kannattaa koota ja jäsentää kaikki ongelmaan liittyvät tiedot esimerkiksi taulukon muotoon. Sen jälkeen kannattaa miettiä, mitä halutaan saada selville. Jos tuntemattomia on vain yksi, merkitään sitä jollakin kirjaimella. Usein käytetään kirjainta $x$, mutta muitakin kirjaimia voi käyttää.

Puhelinliittymien A ja B hintatiedot on koottu alla olevaan taulukkoon. Tehtävänä on selvittää, mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla, jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen. Ajatellaan, että liittymää käytetään yhden vuoden ajan.

Liittymä Avaus (€) Kk-maksu (€/kk) Puhelun hinta (€/min)
A 5,00 6,00 0,055
B 3,90 4,90 0,07
  1. Mitkä ovat liittymän A kustannukset ensimmäisen kuukauden aikana, jos puheaika on 180 minuuttia? Entä mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on 180 minuuttia joka kuukausi?
  2. Mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  3. Mitkä ovat liittymän B kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  4. Muodosta b- ja c-kohtien avulla yhtälö, josta saat ratkaistua mikä on puheaika silloin, kun kummankin liittymän kustannukset ovat samat.
  5. Ratkaise d-kohdan yhtälö. Mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla (minuutin tarkkuudella), jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen?

  1. Ensimmäisessä kuussa liittymän A kustannukset ovat 20,90 euroa, jos puheaika on 180 minuuttia. Vuodessa kustannuksia kertyy 195,80 euroa.
  2. Liittymän A kustannukset vuodessa ovat $77 + 0{,}66x$.
  3. Liittymän B kustannukset vuodessa ovat $62{,}7 + 0{,}84x$.
  4. Yhtälö on $$ 62{,}7 + 0{,}84x = 77 + 0{,}66x. $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{14{,}3}{0{,}18} \approx 79{,}4. $$ Kuukausittaisen puheajan pitää olla vähintään 80 minuuttia, jotta liittymän A hankkiminen on taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen.

Jos tuntemattomia on useita, pitää niistä valita yksi, jota merkitään kirjaimella. Valinta kannattaa tehdä niin, että muut tuntemattomat voidaan ilmaista saman kirjaimen avulla. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

Kiia, Ida ja Elias ostivat yhdessä kuuden euron arvan. Kiia osallistui arvan ostoon yhdellä eurolla, Ida kahdella ja Elias kolmella eurolla. He päättivät, että jakavat mahdollisen voiton sijoitusten suhteessa 1 : 2 : 3. Siis Ida saa kaksi kertaa sen mitä Kiia ja Elias saa kolme kertaa sen mitä Kiia.

Kaikkien yllätykseksi he voittivat arvalla 9000 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta euroa kukin saa.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Henkilö Osuus
    Kiia
    Ida
    Elias
    Yht.
  2. Merkitse Kiian osuutta kirjaimella $x$. Mikä on Idan osuus kirjaimen $x$ avulla ilmaistuna? Entä Eliaksen osuus? Täydennä ne taulukkoon. Ilmaise osuuksien yhteismäärä kirjaimen $x$ avulla.
  3. Mikä on osuuksien yhteismäärä taulukon mukaan? Mikä on osuuksien yhteismäärä euroina? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälö. Kuinka monta euroa kukin saa?
  5. Miten voit tarkistaa, että saamasi tulos on järkevä? Keksi ainakin yksi tapa ja selitä omin sanoin.

  1. Taulukko:
    Henkilö Osuus
    Kiia $x$
    Ida $2x$
    Elias $3x$
    Yht. $6x$
  2. Osuuksien yhteismäärästä saadaan yhtälö $$ 6x = 9000. $$
  3. Yhtälön ratkaisu on $x = 1500$. Voitto pitää siis jakaa seuraavasti: Kiian osuus $x = 1500$ euroa, Idan osuus $2x = 3000$ euroa ja Eliaksen osuus $3x = 4500$ euroa.
  4. Voi tarkistaa, että osuuksien summa on 9000 euroa. Lisäksi voi tarkistaa, että Idan osuus on kaksi kertaa Kiian osuus ja että Eliaksen osuus on kolme kertaa Kiian osuus.

Vili lastaa veneen peräkärryyn ja lähtee kuljettamaan sitä Haminasta Turkuun nopeudella 80 km/h. Emma lähtee hänen peräänsä puoli tuntia myöhemmin henkilöautolla. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan Emman on ajettava nopeudella 100 km/h ennen kuin hän saa Vilin kiinni. Kuinka kaukana Haminasta he silloin ovat?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Täydennä taulukkoon kummankin nopeus.
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h)
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$ $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$
  2. Kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma on ollut matkalla $x$ tuntia? Hyödynnä tietoa Vilin tuntinopeudesta.
  3. Mikä on Emman etäisyys Haminasta, kun hän lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Emma on ehtinyt, kun hän on ollut matkalla $x$ tuntia?
  4. Emma saavuttaa Vilin, kun heidän etäisyytensä Haminasta on yhtä suuri. Muodosta taulukon avulla sopiva yhtälö ja ratkaise se. Kuinka kauan kestää, että Emma saa Vilin kiinni?
  5. Kuinka kaukana Haminasta he ovat silloin?

  1. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia:
  2. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$
  3. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$ $0$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$ $100x$
  4. Yhtälö on $$ 100x = 40 + 80x. $$ Ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Emma saa siis Vilin kiinni kahden tunnin kuluttua.
  5. Kun Emma on ollut matkalla 2 tuntia, hänen etäisyytensä Haminasta on $2 \cdot 100 = 200$ km.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Mitkä seuraavista pisteistä ovat funktion $f(x) = -3x+2$ kuvaajan pisteitä? Perustele vastauksesi sopivilla laskuilla ja tarkista tuloksesi piirtämällä funktion kuvaaja.

  1. $(0,2)$
  2. $(2,-3)$
  3. $(1,-1)$

  1. On.
  2. Ei ole.
  3. On.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Olkoon $f(x) = -2x+5$. Määritä

  1. funktion $f$ arvo kohdassa nolla
  2. funktion $f$ nollakohta
  3. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $x$-akselin
  4. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Vertaa kohtien (a)-(d) vastauksia toisiinsa. Selitä havaintosi omin sanoin.

  1. $f(0) = 5$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$
  3. $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$
  4. $(0,5)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Päättele, mistä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta $f(x) = ax + b$ on kysymys. Toisin sanottuna päättele, mitkä ovat kertoimen $a$ ja vakion $b$ arvot. Kuvaajan hahmotteleminen voi auttaa päättelyssä.

  1. Tiedetään, että $f(3) = 3$ ja funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $-3$.
  2. Tiedetään, että $f(1) = 2$ ja $f(2) = -1$.
  3. Tiedetään, että $f(0) = 2$ ja funktiolla $f$ on nollakohta $x = 4$.

  1. $f(x) = 2x-3$
  2. $f(x) = -3x+5$
  3. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $f(x) = ax + 3$.

  1. Määritä se vakion $a$ arvo, jolla funktion $f$ nollakohta on $x = 4{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee aina vakion $a$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $a = -\dfrac{2}{3}$
  2. $(0,3)$

Lineaarinen riippuvuus

Erään sähköyhtiön hinnasto on seuraava: sähkön myynnin perusmaksu on 3,84 €/kk ja sähköenergian hinta on 6,55 c/kWh.

  1. Kuinka suuri on kuukauden sähkölasku, jos sähkönkulutus on 230 kilowattituntia kuukaudessa?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee sähkölaskun suuruuden, jos sähkönkulutus on $x$ kWh kuukaudessa.
  3. Kilpailevan sähköyhtiön perusmaksu on 5,99 €/kk ja sähköenergian hinta on 4,69 c/kWh. Millä sähkönkulutuksella kummankin yhtiön lähettämä sähkölasku olisi yhtä suuri? Anna vastaus kilowattitunnin tarkkuudella.

  1. Sähkölasku on 18,91 euroa.
  2. $f(x) = 0{,}0655x + 3{,}84$
  3. Kulutuksen pitäisi olla noin 116 kWh kuukaudessa.

Lineaarinen riippuvuus

Kun seurattiin paistilämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että viidessä minuutissa lämpötila kohosi $2 {}^\circ\text{C}$. Kello 15 lämpömittarin lukema oli $30 {}^\circ\text{C}$.

  1. Mikä on paistin lämpötila puolen tunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee paistin lämpötilan, kun kello kolmesta on kulunut $x$ minuuttia.
  3. Mihin aikaan paisti on kypsä? Ohjeen mukaan se on kypsä, kun sisälämpötila on $62 {}^\circ\text{C}$.

  1. Lämpötila on $42 {}^\circ\text{C}$.
  2. $f(x) = 30 + \dfrac{2}{5}x$ eli $f(x) = 30 + 0{,}4x$
  3. Paisti on kypsä klo 16.20 eli 80 minuutin kuluttua.

Lineaarinen riippuvuus

Yhdysvalloissa käytetään lämpötila-asteikkona yleisesti Fahrenheit-asteikkoa. Fahrenheitasteet saadaan muunnettua celsiusasteiksi yhtälön $$ y = \dfrac{5}{9}(x - 32) $$ avulla. Tässä $x$ on lämpötila fahrenheitasteina ja $y$ on sama lämpötila celsiusasteina ilmaistuna.

  1. Säätiedotus lupaa San Franciscoon enimmäkseen aurinkoista säätä ja lämpötilaksi $68 {}^\circ\text{F}$. Ilmaise lämpötila celsiusasteina.
  2. Kuinka kylmä Alaskassa on, jos lämpötila painuu alle nollan Fahrenheit-asteikolla?
  3. Missä lämpötilassa Celsius- ja Fahrenheit-asteikot näyttävät samaa lukemaa?

  1. Lämpötila on $20 {}^\circ\text{C}$.
  2. Noin $-17{,}8 {}^\circ\text{C}$.
  3. Lämpötilassa $-40 {}^\circ\text{C}$.
    Yhtälö on $$ x = \dfrac{5}{9}(x - 32) $$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt:

  1. $4x - 3 = 9$
  2. $6x - 15 = 3x + 12$
  3. $6 - 7x = 14 - 5x$

  1. $x = 3$
  2. $x = 9$
  3. $x = -4$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt:

  1. $3x-5(2x-6) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-1}{2} = 4$

  1. $x = \dfrac{30}{7}$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = \dfrac{7}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt

  1. $\dfrac{x + 2}{5} = \dfrac{x-3}{6}$
  2. $\dfrac{2}{3}x - 1 = \dfrac{2}{3}$

[Lyhyt S2014/1a & S2012/1b]

  1. $x = -27$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt

  1. $3(2x-1) = 3x - 3$
  2. $4(3x+1) = 12x + 4$
  3. $2(5-x) = 5 - 2x$

  1. $x = 0$
  2. Kaikki luvut toteuttavat yhtälön.
  3. Mikään luku ei toteuta yhtälöä eli yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Yhtälön sovelluksia

Anna, Benjamin ja Elisa jakavat 1800 euroa niin, että Anna saa 25 % enemmän kuin Benjamin ja Elisa saa 20 % enemmän kuin Anna. Kuinka paljon rahaa kukin saa?

Anna 600 €, Benjamin 480 € ja Elisa 720 €.
Jos Benjaminin saamaan rahasummaa merkitään kirjaimella $x$, yhtälö on $$ x + 1{,}25x + 1{,}20 \cdot 1{,}25x = 1800 $$

Yhtälön sovelluksia

Suorakulmion muotoinen kenttä on aidattu 124 metriä pitkällä aidalla. Laske kentän pinta-ala, kun sen pituus on 8 m suurempi kuin leveys.

$945 \text{ m}^2$
Jos suorakulmion leveyttä merkitään kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 2x + 2(x + 8) = 124. $$ Sen ratkaisuna saadaan suorakulmion leveys $x = 27$ metriä. Pituus on $x + 8 = 35$ metriä. Suorakulmion pinta-ala on sen leveyden ja pituuden tulo.

Yhtälön sovelluksia

Kaksi työntekijää otti urakakseen huolehtia rästiin jääneiden tilausten toimittamisen asiakkaille. Urakkapalkkioksi sovittiin 1800 euroa. Lisäksi sovittiin, että palkkio jaetaan työntekijöille heidän tekemiensä työtuntien mukaan ja viikonlopulle osuneista työtunneista saa kaksinkertaisen korvauksen. Työntekijälle A kertyi 45 työtuntia ja työntekijälle B 40 tuntia, joista 12 tuntia hän oli tehnyt viikonloppuisin. Miten urakkapalkkio piti jakaa työntekijöiden kesken?

Työntekijän A palkkio 835,05 euroa ja työntekijän B palkkio 964,95 euroa.
Jos merkitään yhden tunnin palkkiota kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 45x + 28x + 12 \cdot 2x = 1800. $$ Tästä saadaan välivaiheiden jälkeen ratkaistua yhden tunnin palkkio $$ x = \dfrac{1800}{97} \approx 18{,}5567 \text{euroa}. $$

Yhtälön sovelluksia

Kauppias maksoi tuotteesta 50 euroa. Kuinka suureksi hänen pitäisi asettaa myyntihinta, jotta hän voisi myydä tuotteen tarvittaessa 15 % alennuksella ja saada silti voittoa 10 % itse maksamastaan hinnasta?

Myyntihinnan pitää olla vähintään 64,71 euroa.
Voiton määrä on $0{,}1 \cdot 50 = 5$ euroa. Alennetun hinnan pitää siten olla 55 euroa. Jos merkitään myyntihintaa kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 0{,}85x = 55. $$ Tästä saadaan $$ x = \dfrac{55}{0{,}85} \approx 64{,}71. $$

Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.

  1. Kuinka monta prosenttia hiilidioksidin määrä ilmakehässä on lisääntynyt edellä mainittujen mittauskertojen välillä?
  2. Tutkija mallintaa hiilidioksidipitoisuuden kasvua suoralla $y = kt + 316$. Tässä $y$ kuvaa hiilidioksidipitoisuutta (yksikkönä ppm) ja $t$ kulunutta aikaa vuoden 1958 maaliskuusta alkaen (yksikkönä vuosi). Määritä se suoran kulmakerroin $k$, jolla malli antaa mitatun tuloksen maaliskuussa 2016.
  3. Minkä arvon b-kohdan mallisi antaa maaliskuun 2020 hiilidioksidipitoisuudelle?

[Lyhyt K2018/5]

  1. Noin 28 %.
  2. Kulmakerroin $k = 1{,}53448\ldots \approx 1{,}53$.
  3. Noin 411 ppm.

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99
  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2000 kWh vuodessa?

[Lyhyt S2015/6]

  1. Lausekkeet: \begin{align*} a(x) &= 0{,}0662x + 4{,}02 \\ b(x) &= 0{,}0799x + 3{,}75 \end{align*}
  2. Kuukausikulutuksen tulisi olla noin 19,7 kWh.
  3. Vuoden aikana yhtiö B veloittaa 24,16 euroa enemmän.

Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa $y = kx + b$. Perusteluita ei tarvita.

[Lyhyt K2015/1]

  • Suoran 1 yhtälön on $y = 2x$.
  • Suoran 2 yhtälö on $y = -x + 1$.
  • Suoran 3 yhtälö on $y = -\frac{1}{2}$.

Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden $h$ suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla $h = 0$ keskilämpötila on $+15$ celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella $-56$ celsiusastetta.

  1. Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?
  2. Määritä ilman lämpötilan lauseke $T = T(h)$ korkeuden $h$ avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja $(h,T)$-koordinaatistoon, kun $0 \leq h \leq 11 \text{ km}$.

[Lyhyt K2015/5]

  1. Kun noustaan 11 km, ilma jäätyy 71 astetta. Kilometrin nousua kohti ilma jäähtyy $$ \frac{71}{11} \approx 6{,}5 $$ astetta.
  2. Ilman lämpötila korkeuden funktiona on $$ T(h) = -\dfrac{71}{11}h + 15, $$ missä $0 \leq h \leq 11 \text{ km}$. Kuva:

  1. Ratkaise yhtälö $$ 2(x+4) - 3(x-3) = 0. $$
  2. Sievennä lauseke $$ \dfrac{3a - 6a^2}{3a} $$

[Lyhyt K2013/1a & 1c]

  1. $x = 17$
  2. $\dfrac{3a - 6a^2}{3a} = 1 - 2a$

Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat 12,30 € kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat 98 000 euroa. Koteloita myydään aluksi 17,99 eurolla, mutta viimeiset 25 % myydään varaston tyhjentämiseksi 14,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta.

  1. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän $x$ avulla lausuttuna.
  2. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän $x$ avulla lausuttuna.
  3. Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla?

[Lyhyt K2013/14]

  1. $98\,000 + 12{,}30x$
  2. $4{,}6925x - 98000$
  3. Koteloita täytyy valmistaa vähintään 20 885 kappaletta.

Aikuisen ihmisen sääriluun pituus $y$ riippuu henkilön pituudesta $x$ kaavojen \begin{align*} y &= 0{,}43x - 27 \qquad \text{(nainen)} \\ y &= 0{,}45x - 31 \qquad \text{(mies)} \end{align*} mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri.

  1. Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli?
  2. Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu?

[Lyhyt S2012/11]

  1. Nainen oli n. 158 cm pitkä.
  2. Mallin mukaan miehen sääriluun pituus olisi n. 48 cm, joten kyseessä ei ole saman henkilön sääriluu.

  1. Funktion $$ f(x) = \dfrac{3}{2}x + b $$ nollakohta on $2$. Määritä vakion $b$ arvo.
  2. Missä pisteessä a-kohdan funktion kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

[Lyhyt K2012/4a & 4b]

  1. $b = -3$
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-3)$.

Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?
[Lyhyt S2011/4]

Beethoven eli 56-vuotiaaksi, Mozart 35-vuotiaaksi ja Bach 65-vuotiaaksi.

  1. Määritä lausekkeen $$ x(4x - 2) - 3x(x-1) - x $$ arvo, kun $x = -1$.
  2. Muuttujan arvo $x = 2$ toteuttaa yhtälön $$ x(x-5) + ax = 2. $$ Määritä kerroin $a$.

[Lyhyt K2015/2a & 2c]

  1. Kysytty arvo on $1$.
  2. $a = 4$

  1. Suoran kulmakerroin on $-\frac{1}{3}$, ja suora kulkee pisteen $(-1,2)$ kautta. Esitä suoran yhtälö muodossa $$ y = kx + b. $$
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla lausekkeet $2x + 3$ ja $-(x+3)$ saavat saman arvon?

[Lyhyt K2009/3a & S2013/1b]

  1. $-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$
  2. Lausekkeet saavat saman arvon, jos ja vain jos $x = -2$.

Kaupunkeja A ja B yhdistää 170 kilometriä pitkä maantie. Alpo lähtee A:sta klo 8.20 ajamaan kohti B:tä keskinopeudella 120 km/h. Berit lähtee B:stä klo 8.35 ajamaan kohti A:ta keskinopeudella 105 km/h. Kuinka kaukana A:sta ja mihin aikaan Alpo ja Berit kohtaavat? Muodosta sopiva yhtälö ja ratkaise se.
[Lyhyt K2009/5]

Alpo ja Berit kohtaavat klo 9.12, kun he ovat 104,7 km etäisyydellä kaupungista A.

Millä vakion $a$ arvoilla suorat $y = −3x + 2$ ja $y = ax + 6$ erottavat $x$-akselista janan, jonka pituus on $3$?
[Lyhyt S2008/8]

Arvolla $a = −\frac{18}{11}$ ja arvolla $a = \frac{18}{7}$.

Henkilö osti 150 gramman erän maustettua teetä 3,30 eurolla ja halvempaa mustaa teetä, jonka hinta oli 5,50 e/kg. Kuinka monta grammaa mustaa teetä tulisi maustetee-erään lisätä, jotta sekoituksen kilohinta olisi puolet maustetun teen kilohinnasta?
[Lyhyt S2007/5]

Mustaa teetä tulisi lisätä 300 g.

Täyttäessään 20 vuotta Laura oli 25 prosenttia vanhempi kuin sisarensa Veera. Kuinka monta prosenttia sisartaan vanhempi Laura on täyttäessään 30 vuotta?
[Lyhyt K2007/9]

Laura on noin 15,4 % vanhempi kuin sisarensa.

Autoilija ajoi 28 kilometriä pitkän tieosuuden nopeudella 80 km/h. Lopun matkasta hän ajoi moottoritietä pitkin. Millä keskinopeudella hän ajoi moottoritieosuuden, kun hän perille tultuaan totesi keskinopeuden koko 75 kilometrin ajomatkansa osalta olleen 100 km/h?
[Lyhyt K2006/6]

Keskinopeudella 117,5 km/h.

Metsänomistaja teetti metsätöitä urakoitsijalla ja sopi alustavasti työn hinnaksi kuitupuun osalta 14 €/m3 ja tukkipuun osalta 9,2 €/m3. Kuitupuuta kertyi 156 m3 ja tukkipuuta 89,4 m3. Alustaviin hintoihin ei sisältynyt kuitenkaan arvonlisäveroa, vaikka metsänomistaja oli näin ymmärtänyt. Keskustelujen jälkeen osapuolet päätyivät sopimukseen, jonka mukaan urakoitsija alentaa ilmoittamiaan verottomia hintoja siten, että koko urakan osalta metsänomistajalle koituva lisämaksu tulee yhtä suureksi kuin urakoitsijan antama alennus. Kuinka paljon metsänomistaja maksoi teettämästään työstä arvonlisäveroineen? Arvonlisäveron suuruus on 22 % työn verottomasta hinnasta.
[Lyhyt S2004/7]

Metsänomistaja maksoi 3304,42 euroa.

Koulutuslinjalle hyväksytyistä 207 opiskelijasta oli naisopiskelijoita 25 % enemmän kuin miesopiskelijoita. Määritä nais- ja miesopiskelijoiden määrät muodostamalla sopiva yhtälö ja ratkaisemalla tämä.
[Lyhyt K2004/3]

Naisopiskelijoita oli 115 ja miesopiskelijoita 92.

Ratkaise yhtälö $$ 5(3x+1) - 4(3-2x) = 2x. $$ Tutki, toteuttaako tämä ratkaisu myös yhtälön $$ 27x^3 - 54x + 17 = 0. $$ [Lyhyt S2003/2]

Ratkaisu on $x = \frac{1}{3}$. Sijoittamalla huomataan, että se toteuttaa myös yhtälön $$ 27x^3 - 54x + 17 = 0. $$

Henkilöauto, jonka nopeus on 100 km/h, ryhtyy ohittamaan edessään olevaa nopeudella 80 km/h ajavaa henkilöautoa. Ohittaja siirtyy vasemmalle kaistalle ollessaan 40 metrin päässä ohitettavasta ja palaa oikealle kaistalle 60 metrin päähän ohitettavan eteen. Kuinka pitkän matkan ohittaja ajoi vasemmalla kaistalla, ja kuinka kauan tämä ohitus kesti? Autojen pituuksia ei oteta huomioon.
[Lyhyt S2003/11]

Ohittaja ajoi vasemmalla kaistalla 500 m. Ohitus kesti 18 s.

Tehtävä 1:
Ratkaise tehtävä A-osan tapaan. Kirjoita ratkaisut kaavaeditorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi. c-kohdan kuvan voit piirtää paperille ja liittää kuvana mukaan ratkaisuihin.

  1. Muodosta kuvassa olevan funktion lauseke. Perustele.
  2. Funktion kuvaajalla on pisteet (0,1); (2,3) ja (3,5). Onko funktio ensimmäisen asteen polynomifunktio? Perustele.
  3. Piirrä funktion $f(x)=-2x+5$ kuvaaja. Selitä, miten ratkaisit tehtävän.

Pisteytysohje.

Tehtävä 2:
Ratkaise tehtävä A-osan tapaan. Kirjoita ratkaisut kaavaeditorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi.

  1. Ratkaise yhtälö $2-(x+1)=3x$.
  2. Ratkaise yhtälö $2-\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{x}{4}$.
  3. Isoisä ei muistanut, kuinka vanhoja hänen lastenlapsensa ovat. He tekivät arvoituksen: Minä olen kaksi kertaa niin vanha kuin Pekka, sanoi Pipsa, ja minä olen kolme vuotta nuorempi kuin Pipsa, mutta vuoden vanhempi kuin Pekka, sanoi Peppi. Auta isoisää yhtälön avulla, kuinka vanhoja lapset olivat.

Pisteytysohje.

Toisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti toisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää toisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä toisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • tutkia toisen asteen yhtälön ratkaisuja graafisesti ja määrittää luvun neliöjuuren
  • ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla
  • laskea polynomien tulon
  • ratkaista vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä myös neliöjuuren ja tulon nollasäännön avulla
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Moduulin alussa perehdyttiin ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, joiden kuvaaja on aina suora. Tässä kappaleessa tutustutaan toisen asteen polynomifunktioihin.

Yksinkertaisin toisen asteen polynomifunktio on funktio $f(x) = x^2$. Sen kuvaaja on alla:
Päättele kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 2$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

  1. $f(-1) = 1$
  2. Kohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 2$.
  3. Pienin arvo on $0$.
  4. Kaksi ratkaisua, sillä kuvaaja käy korkeudella $2$ kahdessa eri kohdassa.
  5. Ei yhtään ratkaisua, sillä kuvaaja ei missään vaiheessa käy korkeudella $-1$.

Seuraavassa määritelmässä sovitaan, millaisia funktioita kutsutaan toisen asteen polynomifunktioiksi.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax^2+bx+c,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Huomaa, että kerroin $b$ ja vakio $c$ saattavat olla myös nollia. Esimerkiksi funktiot $$g(x) = 5x^2-7 \quad \text{ja} \quad h(x) = x^2-4x$$ ovat toisen asteen polynomifunktioita. Funktion $g$ tapauksessa kerroin $b = 0$ ja funktion $h$ tapauksessa vakio $c = 0$.

Tutkitaan funktiota $f(x) = -0{,}25x^2 + x + 2$

  1. Vertaa funktion lauseketta toisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä $b$? Entä mikä on vakio $c$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 6$ eli laske, mitä on $f(6)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele b- ja c-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = -0{,}25$ ja $b = 1$ ja $c = 2$.
  2. $f(6) = -1$
  3. $f(0) = 2$
  4. Pisteet ovat $(6,-1)$ ja $(0,2)$.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina muodoltaan paraabeli. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten kerroin $a$ ja vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajaan.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $

Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $ A
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $ C
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $ D
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $ B
  1. Jos $a > 0$, kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
  2. Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax^2 + bx + c,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on paraabeli, jonka yhtälö on $$y = ax^2 + bx + c.$$ Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella paraabeli leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan määrää sen, onko paraabeli ylös- vai alaspäin aukeava. Paraabeli $y = ax^2 + bx + c$ on

  • ylöspäin aukeava, jos $a > 0$
  • alaspäin aukeava, jos $a < 0$.

Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylintä pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$.

  1. Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion $f$ arvoja:
    $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $
  2. Tarkista edellisen kohdan arvot kirjoittamalla SpeedCrunchiin f(x)=2x^2-6x-3 ja painamlla Enter. Tämän jälkeen voit laskea minkä tahansa arvon esimerkiksi f(-1) ja painamalla Enter.
  3. Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$-koordinaatti.
  4. Määritä huipun $y$-koordinaatti laskemalla.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

  1. $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
  2. Huipun $x$-koordinaatti on $x = 1{,}5$.
  3. Huipun $y$-koordinaatti on $y = f(1{,}5) = -7{,}5$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa toisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään toisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = x^2 - 4x + 3$ saa arvon $3$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$ f(x) = 3 $$ eli yhtälöä $$ x^2 - 4x + 3 = 3. $$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mitkä kuvaajan pisteet ovat korkeudella 3:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 3 kohdissa $x = 0$ ja $x = 4$. Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 4$.

Tehtävänä on ratkaista toisen asteen yhtälö $$ -x^2 + 4x + 1 = 5 $$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä koordinaatistoon funktion $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan pisteet ovat korkeudella 5.
  2. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on? Luettele kaikki ratkaisut.
  3. Tarkista jokainen ratkaisu sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun 5?

  1. Kuva:
  2. Yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = 2$.
  3. Yhtälön vasen puoli: \begin{align*} -2^2 + 4 \cdot 2 + 1 &= -4 + 8 + 1 \\ &= 5. \end{align*} Tulos on sama kuin yhtälön oikea puoli, joten $x = 2$ on todella yhtälön ratkaisu.

Toisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ax^2 + bx + c = 0,$$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin toisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ nollakohdat.

Keksi esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta, joka on muotoa $$ f(x) = ax^2 + c $$ ja jolla

  1. on kaksi nollakohtaa
  2. on tasan yksi nollakohta
  3. ei ole yhtään nollakohtaa.

Piirrä myös funktioiden kuvaajat.

  1. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2 - 1$$
  2. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2$$
  3. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2 + 1$$

Toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen on onnistuttu kehittämään laskumenetelmä, jolla löydetään minkä tahansa toisen asteen yhtälön kaikkien ratkaisujen tarkat arvot. Selitys sille, miksi menetelmä toimii, löytyy MAA2-kurssin kappaleesta Toisen asteen yhtälö. Menetelmä itsessään on seuraava:

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Jos juurrettava on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Havainnollistetaan ratkaisukaavan käyttöä yhtälön $$ 3x + 10 = x^2 - 8 $$ avulla. Kaavan käytössä on seuraavat vaiheet:

  • Muokataan yhtälö perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: \begin{align*} 3x + 10 &= x^2 - 8 \qquad | {}+ 8 - x^2\\[1mm] 3x + 18 - x^2 &= 0 \\[1mm] -x^2 + 3x + 18 &= 0 \end{align*}
  • Tunnistetaan kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakio $c$: \begin{align*} \textcolor{red}{-}x^2 + \textcolor{blue}{3}x + \textcolor{magenta}{18} &= 0 \\ \textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{magenta}{c} &= 0 \end{align*} Tässä $a = -1$, $b = 3$ ja $c = 18$.
  • Sijoitetaan luvut omille paikoilleen ratkaisukaavaan ja sievennetään: \begin{align*} x &= \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{magenta}{c} }}{2\textcolor{red}{a} } \\[2mm] &= \frac{-\textcolor{blue}{3} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2-4 \cdot (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{magenta}{18} }}{2 \cdot (\textcolor{red}{-1}) }\\[2mm] &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{-2} \\[2mm] &= \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{-2} \\[2mm] &= \frac{-3 \pm 9}{-2} \end{align*}
  • Tulkitaan tuloksesta ratkaisujen lukumäärä ja ilmoitetaan ratkaisut. Nyt ratkaisuja on kaksi kappaletta. Ratkaisut ovat \begin{align*} x_1 &= \frac{-3+9}{-2} = \dfrac{6}{-2} = -3 \\[2mm] x_2 &= \frac{-3-9}{-2} = \dfrac{-12}{-2} = 6 \end{align*} Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $x = -3$ tai $x = 6$.

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt ratkaisukaavan avulla:

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 - x - 2 = 0$
  3. $4x^2 + 1 = 4x$
  4. $4x^2 - 4x + 6 = x^2 - 3x + 5$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = \dfrac{1}{2}$
  4. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska neliöjuurimerkin alle juurrettavaksi tulee negatiivinen luku $-11$.

Toisen asteen yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ ratkaisujen lukumäärä riippuu siitä, minkä merkkinen juurrettava ratkaisukaavaan tulee. Jos

  • juurrettava on positiivinen, ratkaisuja on kaksi
  • juurrettava on nolla, ratkaisuja on yksi
  • juurrettava on negatiivinen, ratkaisuja ei ole.

Koska toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli, graafisestikin voidaan päätellä, että muita vaihtoehtoja ei ole:

Tässä tehtävässä tutkitaan kolmella erilaisella tavalla, kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $$ 4x^2 - 28x + 49 = 0. $$ Selvitä ratkaisujen lukumäärä

  1. tutkimalla, onko ratkaisukaavassa juurrettava positiivinen, nolla vai negatiivinen
  2. käyttämällä ratkaisukaavaa ja määrittämällä ratkaisut sen avulla
  3. graafisesti piirtämällä sopivan polynomifunktion kuvaaja.

  1. Juurrettava on nolla, joten ratkaisuja on yksi: $$ b^2 - 4ac = (-28^2) - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 0. $$
  2. Ratkaisukaavan avulla saadaan: \begin{align*} x &= \dfrac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49} }{2 \cdot 4} \\[2mm] &= \dfrac{28 \pm \sqrt{0} }{8} \\[2mm] &= \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2} \end{align*} eli ratkaisuja on yksi.
  3. Polynomifunktiolla $f(x) = 4x^2 - 28x + 49$ on tasan yksi nollakohta, joten yhtälöllä $4x^2 - 28x + 49 = 0$ on tasan yksi ratkaisu:

Kaikki toisen asteen yhtälöt saa ratkaistua ratkaisukaavan avulla, kunhan ne aluksi muokkaa perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$. Esimerkiksi yhtälön $$x(2x-3)-3x(1-x) = -1$$ tapauksessa ensin on laskettava kertolaskut: \begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*} Perusmuodosta voidaan tunnistaa, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\[2mm] &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*} Yhtälöllä on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{10}{10} = 1 \quad \text{ ja } \quad x_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt. Muuta yhtälöt ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$, $b$ ja $c$. Huomioi myös etumerkit.

  1. $7(x^2 + 1) = 50x$
  2. $(-3x-1)(x-2) = 4$
  3. $(3x-1)(x+2) = 6x - 2$

  1. $x = \dfrac{1}{7} \ $ tai $\ x = 7$
  2. $x = \dfrac{2}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{3}$

Katso oheinen video ja ratkaise alla olevat yhtälöt SpeedCrunchilla, joka on sallittu tekninen apuväline kokeen A-osassa. Huomaa, että B-osassa voisit ratkaista yhtälön suoraan solve-komennon avulla ilman sievennyksiä.

  1. $7(x^2 + 1) = 50x$
  2. $(-3x-1)(x-2) = 4$
  3. $(3x-1)(x+2) = 6x - 2$

  1. $x = \dfrac{1}{7} \ $ tai $\ x = 7$
  2. $x = \dfrac{2}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{3}$

Toisen asteen yhtälö, jonka perusmuodossa kerroin $b = 0$ tai vakio $c = 0$, on nimeltään vaillinainen toisen asteen yhtälö. Tällaiset yhtälöt saadaan ratkaistua myös ilman ratkaisukaavaa. Jos $b = 0$ eli yhtälö on perusmuodossa $$ax^2 + c = 0,$$ saadaan yhtälö muokattua muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja ratkaistua neliöjuuren avulla. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*} Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Yhtälön ratkaisu näyttää siis välivaiheineen tältä: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 \quad &\mid + 21 \\[1mm] 3x^2 &= 21 \quad &\mid \ : 3 \\[1mm] x^2 &= 7 \\[1mm] x = \sqrt{7} \ \ &\text{tai } \ x = -\sqrt{7} \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $2x^2 = 50$
  2. $7x^2 - 14 = 0$
  3. $3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

  1. $x = -5 \ $ tai $\ x = 5$
  2. $x = \sqrt{2} \ $ tai $\ x = -\sqrt{2}$
  3. $x = 6 \ $ tai $\ x = -6$

Tässä kappaleessa tutustutaan tulon nollasääntöön. Sen avulla voidaan ratkaista sellaisia polynomiyhtälöitä, joissa yhtälön toisella puolella on polynomien tulo ja yhtälön toisella puolella $0$. Yksi tällainen yhtälö on esimerkiksi $$ (x-2)(3x-4) = 0. $$ Aloitetaan tutkimalla tilannetta, jossa tulon tekijänä on nolla.

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

  1. $2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
  2. $8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
  3. $661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

Kaikkien tulojen arvo on nolla.

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin.

  1. On mahdollista, että $a \neq 0$ ja $b \neq 0$.
  2. Voidaan olla varmoja, että $a = 0$ ja $b = 0$.
  3. Voidaan olla varmoja, että $a = 0$ tai $b = 0$.

  1. Väite on epätosi.
  2. Väite on epätosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$, niin $ab = 0$.
  3. Väite on tosi.

Edellisen tehtävän pohdinnat johtavat seuraavaan teoreemaan eli tulon nollasääntöön. Sen mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla.

TEOREEMA

$xy = 0$, jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

  • Oletetaan aluksi, että $xy = 0$. On kaksi mahdollisuutta: joko $x = 0$ tai $x \neq 0$. Tutkitaan molemmat:
    • Jos $x = 0$, niin väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    • Jos $x \neq 0$, niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$. Näin päädytään yhtälöön $y = 0$. Siis väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    Näin on näytetty, että jos $xy = 0$, niin $x = 0$ tai $y = 0$.
  • Oletetaan, että $x = 0$ tai $y = 0$. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
    • Jos $x = 0$, niin $xy = 0\cdot y = 0$. Siis $xy = 0$.
    • Jos $y = 0$, niin $xy = x \cdot 0 = 0$. Siis $xy = 0$.
    Näin on näytetty, että jos $x = 0$ tai $y = 0$, niin $xy = 0$.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla: \begin{align*} x-2 = 0 \quad &\text{ tai } \quad 3x-4 = 0 \\[1mm] x = 2 \quad &\text{ tai } \quad 3x = 4 \\[1mm] x = 2 \quad &\text{ tai } \quad x = \frac{4}{3} \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x-1)(x+5) = 0$
  2. $(x+7)(4x-32) = 0$
  3. $(6-2x)(2x-1) = 0$.

  1. $x = 1 \ $ tai $\ x = -5$
  2. $x = -7 \ $ tai $\ x = 8$
  3. $x = 3 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Tulon nollasäännön avulla saadaan ratkaistua kaikki vaillinaiset toisen asteen yhtälöt, jotka ovat muotoa $$ax^2 + bx = 0.$$ Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona. Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Erota yhteinen tekijä $x$ ja ratkaise sen jälkeen tulon nollasäännön avulla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = 4$
  2. $x = 0 \ $ tai $\ x = -5$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Ratkaise seuraavat yhtälöt ratkaisukaavalla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = 4$
  2. $x = 0 \ $ tai $\ x = -5$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Materiaalin edellisissä luvuissa on ratkaistu joitakin käytännön ongelmia ensimmäisen asteen yhtälön avulla. Joskus ongelman mallintaminen matemaattisesti johtaa toisen asteen yhtälöön. Seuraavassa tehtävässä on yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Rivitalon pihalle rakennetaan suorakulmion muotoinen uima-allas, jonka pituus on 3,0 m ja leveys 2,5 m. Allas reunustetaan laatoituksella alla olevan kuvan mukaisesti. Laattoja saatiin tarjouksesta 20 neliömetrin verran. Tehtävänä on selvittää, kuinka leveä laatoituksesta voidaan tehdä. Kuvassa laatoituksen leveyttä on merkitty kirjaimella $x$.

  1. Mikä on altaan ja laatoituksen yhteenlaskettu pituus? Entä leveys? Muodosta kummallekin sopiva lauseke.
  2. Mikä on altaan ja laatoituksen kokonaispinta-ala? Muodosta lauseke a-kohdan avulla.
  3. Laske altaan pinta-ala.
  4. Muodosta lauseke laatoituksen pinta-alalle edellisten kohtien avulla.
  5. Muodosta yhtälö, josta voit ratkaista laatoituksen leveyden. Kuinka leveä laatoituksesta voidaan tehdä?

  1. Pituus on $3 + 2x$ ja leveys on $2{,}5 + 2x$.
  2. Altaan ja laatoituksen kokonaispinta-ala on pituuden ja leveyden tulo $$ 7{,}5 + 11x + 4x^2 $$
  3. Altaan pinta-ala on $$3\cdot 2{,}5 = 7{,}5$$ neliömetriä.
  4. Laatoituksen pinta-ala saadaan b- ja c-kohtien erotuksena: $$ 11x + 4x^2 $$
  5. Yhtälö on $$ 11x + 4x^2 = 20. $$ Kun se muutetaan perusmuotoon ja ratkaistaan, saadaan ratkaisut $x_1 = -4$ ja $x_2 = 1{,}25$. Laatoituksen leveys ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisu $x_1$ ei kelpaa. Siis laatoituksen leveys on 1,25 metriä.

Yhtälön muodostaminen ei aina ole välttämätöntä tai luontevaa. Seuraavassa tehtävässä muodostetaan sen sijaan ilmiötä kuvaava funktio ja tutkitaan sen ominaisuuksia graafisesti.

Kesätapahtumaan suunnitellaan kahvin ja virvokkeiden myyntiä. Edellisten vuosien perusteella tiedetään, että jos kahvikupillisen hinta on 1,5 euroa, kupillisia menee kaupaksi noin 200 kappaletta. Arvoidaan, että jokainen 10 sentin hinnan korotus vähentää menekkiä aina viidellä kupillisella. Tehtävänä on selvittää, mikä kannattaa kahvikupillisen hinnaksi asettaa, jotta myyntitulo on mahdollisimman hyvä.

  1. Muodosta lausekkeet kahvikupin hinnalle ja menekille täydentämällä seuraava päättely:
    • Jos hintaa korotetaan yhdellä kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan kahdella kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan kolmella kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan $x$ kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
  2. Muodosta lauseke funktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnistä saatavan rahamäärän, kun hintaa on korotettu $x$ kymmensenttisellä.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla ja tutki graafisesti, mikä kannattaa kahvikupillisen hinnaksi asettaa, jotta myyntitulo olisi mahdollisimman hyvä. Perustele vastauksesi omin sanoin ja kuvan avulla.

    • Jos hintaa korotetaan yhdellä kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan kahdella kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{2} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{2}\cdot 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan kolmella kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{3} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{3}\cdot 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan $x$ kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{x} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{x}\cdot 5$ kupillista.
  1. Myyntitulon ilmaisee funktio \begin{align*} f(x) &= (1{,}5 + 0{,}1x)(200 - 5x) \\[1mm] &= 300 + 12{,}5x - 0{,}5x^2 \end{align*}
  2. Funktion $f(x)$ kuvaaja:

    Kuvaajasta nähdään, että myyntitulo on suurimmillaan, kun korotus on noin $12{,}5 \cdot 0{,}1 = 1{,}25$ euroa. Kahvikupillisen hinta on tällöin n. $1{,}5 + 1{,}25 = 2{,}75$ euroa. Tämä on käytännön myyntiä ajatellen melko epäkäytännöllinen hinta (vaihtorahojen kannalta), joten korotukseksi voi harkita myös $10 \cdot 0{,}1 = 1$ euroa. Tällöin kahvikupillisen hinta on $1{,}5 + 1{,}0 = 2{,}5$ euroa, mutta myyntitulo on vain noin kolme euroa pienempi.

Seuraavassa tehtävässä yhdistyvät verrannollisuus ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen.

Poliisin tekninen tutkinta mittasi onnettomuuspaikalta 42 metrin pituiset jarrutusjäljet. Testissä vastaava auto pysähtyi 40 km/h nopeudesta 7 metrin matkalla. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella onnettomuusauto liikkui ennen jarrutuksen alkamista. Tiedetään, että jarrutusmatkan pituus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin.

  1. Kokoa tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa verrannollisuus moduulista MAY1.
  2. Muodosta taulukon avulla sopiva verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä oli auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista?

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Onnettomuus $42$ $x^2$
    Testi $7$ $40^2 = 1600$
  2. Verrantoyhtälö on $$ \dfrac{x^2}{1600} = \dfrac{42}{7} $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x^2 = 9600 $$ eli $x = \sqrt{9600} \approx 98$ tai $x = -\sqrt{9600} \approx -98$. Negatiivinen vastaus voidaan rajata pois, koska kysymyksessä on nopeus. Siis auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista oli noin 98 km/h.

Toisen asteen polynomifunktio

Moottoritielle suunnitellaan kaksikaistaista tunnelia, jonka poikkileikkaus vastaa funktion $f(x) = 6-0{,}25x^2$ kuvaajan ja $x$-akselin rajaamaa aluetta (pituuden yksikkönä metri).

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.
  2. Suomessa kuorma-auton suurin sallittu korkeus on 4,4 m ja leveys 2,6 m. Mahtuisiko kaksi tällaista kuorma-autoa ajamaan vierekkäin suunnitellun tunnelin läpi?
  3. Millaisen rajoituksen asettaisit tunnelin kautta kulkevien ajoneuvojen korkeudelle, jos suurin sallittu leveys on 2,6 metriä?

  1. Kuva:

  2. Ei, sillä $f(2{,}6) = 4{,}31 < 4,{4}$. Tunnelin katto on seinän vieressä liian matalalla.
  3. Esimerkiksi enintään 4,0 m.

Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$-koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \ $

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $

Huipun $x$-koordinaatti on $x = 4$.

Toisen asteen polynomifunktio

Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-x-2$
  2. $f(x) = x^2-8x+16$
  3. $f(x) = (x+2)(3-x)$

Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $f$ kuvaaja.

  1. Nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. Nollakohta $x = 4$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x \neq 4$.
  3. Nollakohdat $x_1 = -2$ ja $x_2 = 3$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $-2 < x < 3$.

Neliöjuuri

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo käyttämättä laskimen neliöjuurinappulaa.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt{16}$
  3. $\sqrt{64}$
  4. $\sqrt{25}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella.

  1. $\sqrt{81} = 9$, sillä $9 \geq 0$ ja $9^2 = 81$.
  2. $\sqrt{16} = 4$, sillä $4 \geq 0$ ja $4^2 = 16$.
  3. $\sqrt{64} = 8$, sillä $8 \geq 0$ ja $8^2 = 64$.
  4. $\sqrt{25} = 5$, sillä $5 \geq 0$ ja $5^2 = 25$.

Neliöjuuri yhtälön ratkaisuna

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5}$
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \dfrac{2}{3}$ tai $x = -\dfrac{2}{3}$
  3. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{3}$ tai $x = -\sqrt{3}$
  4. Ei ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli aina suurempi tai yhtä suuri kuin 27, sillä termi 3x^2 ei koskaan ole negatiivinen. Yhtälön vasen puoli ei siis koskaan saa arvoa nolla.

Neliöjuuri yhtälön ratkaisuna

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Jos yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, selitä omin sanoin, miksi näin on.

  1. $2x^2-2 = 0$
  2. $x^2+5 = 0$
  3. $8-x^2 = 0$
  4. $-4x^2 = 0$

  1. $x = 1\ $ tai $\ x = -1$
  2. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä toinen potenssi ei koskaan ole negatiivinen. Mikään luku ei siis toteuta yhtälöä $x^2 = -5$.
  3. $x = \sqrt{8}\ $ tai $\ x = -\sqrt{8}$
  4. $x = 0$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt:

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
  3. $x^2 = 3x$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = 3$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{2}x = 0$
  2. $\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{5}{2}x = -\dfrac{7}{12}$
  3. $x + 3 = \dfrac{10}{x}$

Vinkki: Jos kertoimet ovat murtolukuja, yksi strategia on kertoa yhtälön molemmat puolet sellaisella luvulla, jotka supistavat nimittäjät pois.

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = -\dfrac{3}{2}$
  2. $x = \dfrac{7}{2} \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{4}$
  3. $x = 2 \ $ tai $\ x = -5$

Toisen asteen yhtälö

Millä vakion $a$ arvolla

  1. yhtälöllä $x^2 + ax + 3 = 0$ on tasan yksi ratkaisu?
  2. yhtälöllä $ax^2+2x+3 = 0$ on ainakin yksi ratkaisu?

  1. $a = 2\sqrt{3}$ tai $a = -2\sqrt{3}$
  2. $a \leq \frac{1}{3}$

Sovelluksia

Hedelmiä, joiden hinta on 2 €/kg, myydään päivittäin 80 kg. Kauppias arvelee, että kilohinnan nostaminen 50 sentillä johtaa aina menekin pienenemiseen 5 kilogrammalla.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun hedelmien hinta on 2 €/kg?
  2. Jos kilohintaa nostetaan $0{,}5x$ euroa, kuinka paljon hedelmiä myydään?
  3. Muodosta lauseke toisen asteen polynomifunktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa kilohintaa on nostettu $0{,}5x$ euroa.
  4. Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele niiden avulla, mikä on funktion $f$ huipun $x$-koordinaatti.
  5. Mikä kilohinnan pitää olla, jotta myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 160 €
  2. $80-5x$ kilogrammaa
  3. $f(x) = (2+0{,}5x)(80-5x)$
  4. Nollakohdat $x_1 = -4$ ja $x_2 = 16$, huippu niiden puolivälissä eli $x = 6$
  5. $2 + 0{,}5\cdot 6 = 5$ €/kg, myynnin kokonaisarvo $f(6) = 250$ euroa

Sovelluksia

Uudelle asuinalueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joiden pinta-ala on $2600 \text{ m}^2$. Mikä pitää valita tontin leveydeksi, jos halutaan, että tontin pituus on 25 m suurempi kuin sen leveys?

Leveydeksi pitää valita 40 m. Yhtälö on $x(x + 25) = 2600$.

Sovelluksia

Onko mahdollista jakaa luku 20 kahden kokonaisluvun summaksi niin, että

  1. yhteenlaskettavien tulo on 96
  2. yhteenlaskettavien tulo on 86

Keksi esimerkki tällaisista kokonaisluvuista tai perustele, ettei sellaisia ole olemassa.

  1. 8 ja 12
  2. Ei ole mahdollista, sillä yhtälön $x(20-x) = 86$ ratkaisut eivät ole kokonaislukuja.

Sovelluksia

Rakennuspiirustuksessa huoneen leveydeksi on merkitty $3{,}00 \text{ m}$ ja pituudeksi $5{,}00 \text{ m}$. Huonetta halutaan kuitenkin suurentaa niin, että sen pituus ja leveys kasvavat yhtä monta senttimetriä. Kuinka leveäksi huone voidaan tehdä, jos sen pinta-ala saa olla enintään $20 \text{ m}^2$? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.

Enintään $3{,}58$ metriä leveäksi. Yhtälö on $(3 + x)(5 + x) = 20$, missä $x$ on pituuden ja leveyden lisäys metreinä.

Sovelluksia

Joen rannalta halutaan aidata hevosille laidun. Aitamateriaalia on käytettävissä on 200 metriä.

  1. Muodosta funktio, joka ilmaisee laitumen pinta-alan, jos kummankin rantaan rajoittuvan sivun pituus on $x$.
  2. Millaiset laitumen mittojen pitäisi olla, jotta laitumen pinta-ala olisi $4200 \text{ m}^2$?
  3. Millaiset laitumen mitat ovat tilanteessa, jossa laitumen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä tämä pinta-ala on?
    Vinkki: määritä a-kohdan funktion nollakohdat ja etsi niiden avulla symmetriaa hyödyntäen kohta, jossa funktio saa suurimman arvonsa.

  1. $f(x) = 200x - 2x^2$
  2. Kaksi vaihtoehtoa:
    • rantaan rajoittuvien sivujen pituus 70 m ja rannan suuntainen sivu 60 m
    • rantaan rajoittuvien sivujen pituus 30 m ja rannan suuntainen sivu 140 m.
  3. Rantaan rajoittuvat sivut ovat 50 m ja rannan suuntainen sivu on 100 m. Pinta-ala $5000 \text{ m}^2$.

  1. Hannele on ratkaissut yhtälön $$ 2(x^2 + x + 3) = 8(x + 1) + 2x^2, $$ mutta välivaiheet ovat menneet sekaisin. Järjestä välivaiheet (B)–(F) niin, että ne muodostavat yhtälön loogisesti etenevän ratkaisun. Vastausta ei tarvitse perustella.
  2. Myös Pauliinan laskun välivaiheet ovat menneet sekaisin, ja lisäksi mukaan on tullut yksi johonkin muuhun laskuun kuuluva välivaihe. Tehtävänä on valita alla olevista kohdista (B)–(F) neljä ja järjestää ne niin, että niistä muodostuu yhtälön $$ 20 + 4x = x^2 + 8 $$ ratkaisu. Vastausta ei tarvitse perustella.

[Lyhyt S2017/3]

  1. A F C E D B G
  2. A B E F D G

  1. Ratkaise yhtälö $$ t^2 - \frac{5}{2}t + 1 = 0. $$
  2. Ratkaise yhtälö $$ [f(x)]^2 - \frac{5}{2}f(x) + 1 = 0, $$ missä $f(x)$ on kuvion funktio.

    Vinkki: Vertaa a- ja b-kohdan yhtälöitä. Pystytkö päättelemään funktion arvon $f(x)$, jolla b-kohdan yhtälö toteutuu? Funktion kuvaaja auttaa selvittämään, mikä on vastaava muuttujan $x$ arvo. (Muitakin ratkaisutapoja voi keksiä, tämä ei ole ainoa tapa.)

[Lyhyt S2016/4]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $t = \dfrac{1}{2}$ tai $t = 2$.
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = -1$ tai $x = 2$.

  1. Ratkaise yhtälö $$ x^2 - 2x = 0. $$
  2. Anna esimerkki toisen asteen yhtälöstä, jonka yksi juuri on $x = 1$.

[Lyhyt S2012/1a & K2015/2b ]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 2$.
  2. Esimerkiksi $x^2 = 1$.

  1. Millä vakion $a$ arvolla funktion $$f(x) = ax^2-4x+8$$ pienin arvo on $0$?
  2. Millä vakion $b$ arvolla funktio $$g(x) = bx^2-4x+8$$ saa positiivisia arvoja täsmälleen silloin, kun $-2 < x < 1$?

[Lyhyt K2014/10]

  1. $a = \frac{1}{2}$
  2. $b = -4$

  1. Ratkaise yhtälö $$(x-2)^2 = 4.$$
  2. Laske lausekkeen $$ a(b-2) + (a-b)^2 - b(1-a) $$ arvo, kun $a = 2$ ja $b = -2$.

[Lyhyt S2013/1a & 1c]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 4$.
  2. Kysytty arvo on 6.

Tarkastellaan paraabelia $$y = x^2 - 12x + 35.$$

  1. Missä pisteissä paraabeli leikkaa $x$-akselin?
  2. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.

[Lyhyt S2012/4]

  1. Pisteissä $(5,0)$ ja $(7,0)$.
  2. Paraabelin huippu on pisteessä $(6,-1)$.

  1. Määritä sellainen vakio $a$, että $x = 2$ toteuttaa yhtälön $$x^2 - 4ax + 4a^2 = 0.$$
  2. Ratkaise yhtälö $$x^2 - 3(x+3) = 3x - 18.$$

[Lyhyt K2011/3a & S2011/1c]

  1. $a = 1$
  2. $x = 3$

  1. Tutki, millä muuttujan $x$ arvoilla polynomi $$ 2x^2 + 5x - 3 $$ saa negatiivisia arvoja.
  2. Ratkaise yhtälö $$ 7x(3+7x) - 4 = 0. $$

[Lyhyt K2009/3b & K2007/1b]

  1. Kyseinen polynomi saa negatiivisia arvoja, jos ja vain jos $-3 < x < \frac{1}{2}$.
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{1}{7}$ tai $x = -\frac{4}{7}$.

  1. Kaava $$ (x+y)^2 = x^2 + y^2 $$ on yleensä väärä. Osoita, että jos kaava pätee, niin joko $x = 0$ tai $y = 0$ (tai molemmat).
  2. Myös kaava $$ (x-y)^2 = x^2 - y^2 $$ on yleensä väärä. Anna esimerkki luvuista, joille tämä kaava pätee, mutta edellinen kaava ei päde.

[Lyhyt K2006/12]

  1. Jos kaava pätee, saadaan pääteltyä seuraavasti: \begin{align*} (x+y)^2 &= x^2 + y^2 \\ (x+y)(x+y) = x^2 + y^2 \\ x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 \\ 2xy &= 0 \\ x = 0 \quad &\text{tai} \quad y = 0 \end{align*} Viimeisessä vaiheessa käytettiin tulon nollasääntöä.
  2. Esim. $x = 1$ ja $y = 1$. Tällöin $(x-y)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$ ja $x^2 - y^2 = 1^2 - 1^2 = 1-1 = 0$. Siis b-kohdan kaava pätee. Kuitenkin $(x+y)^2 = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ mutta $x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 1+1 = 2$. Näin a-kohdan kaava ei päde.

Olkoon $$ f(x) = x^2 - 3{,}1x - 1{,}4 $$ Laske funktion f nollakohdat ja tutki, millä välillä se saa negatiivisia arvoja.
[Lyhyt S2004/1]

Nollakohdat ovat $x_1 = -0{,}4$ ja $x_2 = 3{,}5$. Koska funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, funktio saa negatiivisia arvoja välillä $\left]-0{,}4; 3{,}5\right[$.

Määrittele, mitä tarkoitetaan neliöjuurella. Osoita tämän perusteella: $$ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}. $$
[Lyhyt K2004/10]

Luvun $b \geq$ neliöjuuri $a$ tarkoittaa lukua $a$, jolle pätee kaksi asiaa:

  • $a \geq 0$
  • $a^2 = b$.
Koska $3 - \sqrt{5} > 0$ ja \begin{align*} (3 - \sqrt{5})^2 &= (3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) \\ &= 9 - 6\sqrt{5} + 5 \\ &= 14 - 6\sqrt{5} \end{align*} niin luvun $14 - 6\sqrt{5}$ neliöjuuri on $3 - \sqrt{5}$.

Tutki, onko yhtälöillä $$ \frac{3}{5}x + 2 = 1 $$ ja $$ 3x^2 - 7x - 20 = 0 $$ samoja ratkaisuja.
[Lyhyt S2000/1]

Yhtälöillä on yksi yhteinen ratkaisu $x = -\dfrac{5}{3}$.

Ratkaise yhtälö $$ \frac{2x}{2x+3} = \frac{2x+1}{8} $$
[Lyhyt K2000/2]

Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{1}{2}$ tai $x = \frac{3}{2}$.

  1. Ratkaise yhtälö $x^2+6x = 2x^2+9$.
  2. Ratkaise yhtälö $(x-4)^2 = (x-4)(x+4)$.

[Pitkä S2013/1a & K2013/1a]

  1. $x = 3$
  2. $x = 4$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=(1-a^2)x^2 - 3ax + 8$ kuvaaja on

  1. alaspäin aukeava paraabeli
  2. ylöspäin aukeava paraabeli
  3. nouseva suora
  4. laskeva suora?

  1. $a < -1$ tai $a > 1$
  2. $-1 < a < 1$
  3. $a = -1$
  4. $a = 1$

  1. Ratkaise yhtälö $(x-2)(x-3) = 6$.
  2. Missä pisteessä paraabelit $y = x^2+x+1$ ja $y = x^2 + 2x + 3$ leikkaavat?
  3. Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat seuraavan ehdon: Luvun ja sen käänteisluvun keskiarvo on 4.

[Pitkä S2014/1]

  1. $x = 0$ tai $x = 5$
  2. $(-2,3)$
  3. $4 + \sqrt{15}$ ja $4 - \sqrt{15}$

Tehtävä 1:
Ratkaise tehtävä A-osan tapaan ja hahmottele kuvaaja paperille. Kirjoita muuten ratkaisut kaavaeditorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi.

  1. Toisen asteen polynomifunktion huippu on pisteessä (1,2) ja lisäksi kuvaajalla on pisteet (-2,0) ja (-5,-6). Hahmottele funktion kuvaaja.
  2. Kerro, mitä kerroin $a$ ja kerroin $c$ kertovat tosien asteen polynomifunktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kuvaajasta.

Tehtävä 2:
Ratkaise tehtävä A-osan tapaan ja kirjoita ratkaisut kaavaeditorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi.

  1. Ratkaise yhtälö $x^2-9=0$ potenssiyhtälönä.
  2. Ratkaise yhtälö $3x^2-12x=0$ tulon nollasäännön avulla.
  3. Ratkaise yhtälö $2x^2-x=1$.

Tehtävä 3:
Ratkaise tehtävä B-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu TI Nspiren Muistiinpanot -sovelluksella.

Neliönmuotoista terassia laajennetaan toiseen suuntaan 2 metriä ja toiseen suuntaan 3 metriä. Tällöin terassin pinta-ala kaksinkertaistuu. Mikä oli alkuperäisen terassin sivun pituus?

Lukujonot ja summat

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet lukujonon käsitteen ja osaat mallintaa erilaisia käytännön tilanteita aritmeettisen ja geometrisen lukujonon ja summan avulla. Osaat

  • määrittää analyyttisesti tai rekursiivisesti määritellyn lukujonon jäseniä ja tutkia, onko jokin luku annetun lukujonon jäsen
  • käyttää teknisiä apuvälineitä lukujonojen ja summien tutkimisessa
  • tunnistaa aritmeettisen ja geometrisen lukujonon
  • muodostaa lausekkeen sekä aritmeettisen että geometrisen lukujonon yleiselle jäsenelle
  • laskea aritmeettisen ja geometrisen summan.

Lukujono tarkoittaa nimensä mukaisesti lukujen muodostamaa, yleensä päättymätöntä jonoa. Esimerkiksi 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 9, $\ldots$ on eräs lukujono. Tästä jonosta on vaikea sanoa, miten se jatkuu. Yleensä lukujonoon liittyy jokin sääntö, jonka avulla voidaan päätellä, mitkä ovat jonon seuraavat luvut.

Lukujonon lukuja sanotaan jonon termeiksi tai jäseniksi. Voidaan esimerkiksi sanoa, että edellä mainitun lukujonon ensimmäinen jäsen on 3 tai että sen kuudes termi on 9.

Päättele, miten lukujonot jatkuvat. Selitä, miten ajattelit.
  1. $1$,$2$,$3$,$\ldots$
  2. $1$,$-2$,$3$,$\ldots$
  3. $1$,$\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{3}$,$\ldots$

Joskus lukujonosta on helpompi puhua, jos sille annetaan nimi. Voidaan esimerkiksi puhua lukujonosta $(a_n)$ tai lukujonosta $(b_n)$ tai lukujonosta $(x_n)$. Tässä merkinnässä sulut kertovat sen, että puhutaan koko lukujonosta eikä yksittäisestä jonon jäsenestä.

Kun lukujono on nimetty esimerkiksi jonoksi $(a_n)$, tarkoittaa merkintä $a_1$ sen ensimmäistä jäsentä, $a_2$ sen toista jäsentä, $a_3$ sen kolmatta jäsentä ja niin edelleen. Jos halutaan esimerkiksi puhua jonon $(a_n)$ sadannesta jäsenestä, voidaan käyttää merkintää $a_{100}$. Alaindeksi siis kertoo, kuinka mones jonon jäsen on kysymyksessä.

Tarkastele lukujonoa, joka alkaa $1$,$1$,$2$,$3$,$5$,$8$. Keksi sääntö, jolla tämän lukujonon jäsenet saadaan laskettua kahdesta edellisestä jäsenestä. Määritä sen jälkeen

  1. $a_5$
  2. $a_7$
  3. $a_9$.

Seuraava jäsen saadaan aina laskemalla kaksi edellistä jäsentä yhteen.

  1. $a_5 = 5$
  2. $a_7 = 13$
  3. $a_9 = 34$

Päättele, mitä ovat $a_8$ ja $a_{23}$, jos lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat

  1. $1$,$2$,$3$
  2. $1$,$-2$,$3$
  3. $1$,$\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{3}$.

  1. $a_8 = 8$ ja $a_{23} = 23$
  2. $a_8 = -8$ ja $a_{23} = 23$
  3. $a_8 = \dfrac{1}{8}$ ja $a_{23} = \dfrac{1}{23}$

Tarkastellaan lukujonoa $(b_n)$, jonka jäsenet ovat muotoa $$b_n=\dfrac{3n}{n+1}$$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$. Määritä

  1. $b_1$
  2. $b_9$
  3. $b_{26}$.

Mihin seuraavista lukualueista tämän jonon kaikki jäsenet kuuluvat? Luonnollisten lukujen joukko $\N$, kokonaislukujen joukko $\Z$, rationaalilukujen joukko $\Q$. Mikä näistä on pienin lukualue, johon kaikki jonon jäsenet kuuluvat?

  1. $b_1 = \dfrac{3}{2}$
  2. $b_9 = \dfrac{27}{10}$
  3. $b_{26} = \dfrac{78}{27} = \dfrac{26}{9}$

Jonon kaikki jäsenet kuuluvat rationaalilukujen joukkoon. Pienin lukualue, johon jonon kaikki jäsenet kuuluvat, on rationaalilukujen joukko.

Tarkastellaan lukujonoa $(a_n)$, jonka jäsenet ovat muotoa $a_n=4n+2$. Onko luku 9 lukujonon $(a_n)$ jäsen eli esiintyykö luku 9 lukujonossa $(a_n)$? Entä luku 30? Perustele omin sanoin.

Luku 9 ei esiinny lukujonossa $(a_n)$. Tämän voi päätellä esimerkiksi siitä, että lukujonon kaikki jäsenet ovat parillisia, sillä ne voidaan kirjoittaa muodossa $a_n = 2(2n+1)$.
Toinen tapa on tutkia yhtälöä $4n + 2 = 9$. Sen ratkaisuksi saadaan $n = \frac{7}{4}$. Tästä voidaan päätellä, että luku 9 ei esiinnyt lukujonossa $(a_n)$. Indeksi $n$ nimittäin ilmaisee, kuinka mones jonon jäsen on kysymyksessä, ja sen pitäisi olla positiivinen kokonaisluku.

Luku 30 esiintyy lukujonossa $(a_n)$. Yhtälön $4n + 2 = 30$ ratkaisuksi saadaan $n = 7$, joten $a_7 = 30$.

Tarkastellaan lukujonoa $(b_n)$, jonka jäsenet ovat muotoa $b_n=3n+5$.

  1. Onko luku 20 lukujonon $(b_n)$ jäsen? Jos on, niin kuinka mones jäsen se on?
  2. Onko luku 127 lukujonon $(b_n)$ jäsen? Jos on, niin kuinka mones jäsen se on?
  3. Miten voit yleisesti tutkia, onko jokin luku lukujonon jäsen, jos lukujonon yleinen jäsen tunnetaan? Keinon tulee toimia, olipa kyseinen luku kuinka suuri tai pieni tahansa.

  1. Luku 20 on lukujonon $(b_n)$ viides jäsen eli $b_5 = 20$.
  2. Luku 127 ei ole lukujonon $(b_n)$ jäsen.

Edellisissä tehtävissä tutkittiin, onko annettu luku tietyn lukujonon jäsen. Esimerkiksi voidaan kysyä, onko luku $1280$ edellisessä tehtävässä tarkastellun lukujonon $(b_n)$ jäsen. Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku $n$, että $b_n = 1280$. Jos tällainen luku $n$ on olemassa, se kertoo, kuinka mones jonon jäsen luku $1280$ on.

Kysymys, onko luku $1280$ lukujonon $(b_n)$ jäsen, johtaa siis yhtälöön $b_n = 1280$. Kysymykseen saadaan vastaus, kun tutkitaan, onko olemassa sellainen $n$, jolla tämä yhtälö toteutuu. Jos tällainen $n$ on olemassa, se on yhtälön $b_n = 1280$ ratkaisu.

Koska tiedetään, että lukujonon $(b_n)$ yleinen jäsen on $b_n=3n+5$, voidaan yhtälö $$b_n = 1280$$ kirjoittaa muodossa $$3n + 5 = 1280.$$ Tässä yhtälössä on yksi tuntematon, joka on tässä tapauksessa luku $n$. Kun yhtälö ratkaistaan, etsitään kaikki sellaiset luvut $n$, joilla yhtälö toteutuu eli joilla sen vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret.

Kun yhtälö ratkaistaan, voidaan sitä muokata monin eri tavoin. Tärkeää kuitenkin on, että yhtälön kummallekin puolelle tehdään aina sama asia. Tällä tavalla yhtälön oikea ja vasen puoli säilyvät yhtä suurina. Esimerkiksi yhtälön $$3n + 5 = 1280$$ molemmilta puolilta voidaan vähentää luku $5$, jolloin vasemmalle puolelle jää pelkkä $3n$ ja oikealle puolelle jää $1275$. Saadaan siis uusi yhtälö $$3n = 1275.$$ Yhtälön vasemmalla puolella olleesta yhteenlaskettavasta $5$ päästiin siis eroon käyttämällä päinvastaista laskutoimitusta eli vähennyslaskua.

Yhtälön vasemmalla puolella on kuitenkin vielä ylimääräinen luku $3$. Se on tuntemattoman $n$ kerroin, joten siitä päästään eroon jakolaskun avulla. Jaetaan yhtälön molemmat puolet luvulla $3$, jolloin saadaan uusi yhtälö $$\frac{3n}{3} = \frac{1275}{3}.$$ Tämän yhtälön vasen puoli on sama kuin pelkkä $n$, koska kolmosella kertominen ja jakaminen kumoavat toisensa. Esimerkiksi laskimen avulla nähdään, että oikea puoli on sama kuin $425$. Siis $$n = 425.$$

Tähän mennessä tehdyt laskut osoittavat, että yhtälöllä $3n + 5 = 1280$ ei voi olla mitään muita ratkaisuja kuin $n = 425$. Vielä pitää kuitenkin tarkistaa, että luku $n = 425$ todella on tämän yhtälön ratkaisu. Jos yhtälön vasemmalle puolelle sijoitetaan $n = 425$, saadaan $$ \begin{align*} 3n + 5 &= 3\cdot 425 + 5 \\ &= 1275 + 5 \\ &= 1280. \end{align*} $$ Huomataan, että vasemmasta puolesta saadaan tuloksena alkuperäisen yhtälön oikea puoli. Yhtälö siis toteutuu.

Näin on saatu selville, että yhtälöllä $3n + 5 = 1280$ eli yhtälöllä $b_n = 1280$ on yksi ratkaisu, joka on $n = 425$. Siis $b_{425} = 1280$. Tämän perusteella voidaan sanoa, että luku 1280 on lukujonon $(b_n)$ jäsen, tarkemmin sanottuna 425. jäsen.

Tämä tehtävä liittyy tilanteeseen, jossa opiskelijat tutkivat, ovatko luvut 123 ja 28 erään lukujonon $(a_n)$ jäseniä.

  1. Opiskelija A sai yhtälön $a_n=123$ ratkaisuksi $n=9$. Onko luku 123 lukujonon $(a_n)$ jäsen? Jos on, niin kuinka mones jäsen se on?
  2. Opiskelija B sai yhtälön $a_n=28$ ratkaisuksi $n=2{,}6$. Onko luku 28 lukujonon jäsen? Jos on, niin kuinka mones jäsen se on?

  1. Luku 123 on lukujonon $(a_n)$ 9. jäsen eli $a_9 = 123$.
  2. Luku 28 ei ole lukujonon $(a_n)$ jäsen.

Joskus lukujonoon liittyvä sääntö voidaan esittää niin, että sen avulla voidaan laskea jonon seuraava jäsen, jos tiedetään, mitä jonon edelliset jäsenet ovat. Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa tiedetään, että lukujonon $(a_n)$ ensimmäinen jäsen on $a_1 = 1$ ja että seuraava jäsen saadaan aina edellisestä jäsenestä lisäämällä siihen kaksi. Tämä sääntö voidaan kirjoittaa muodossa $a_1 = 1$ ja $$ a_n = a_{n-1} + 2$$ kaikilla luonnollisilla luvuilla $n\geq 2$ eli luonnollisilla luvuilla $n$, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin luku $2$. Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että lukujono on määritelty rekursiivisesti. Rekursioyhtälön avulla voidaan laskea, että $$ \begin{align*} a_2 &= a_1 + 2 = 1 + 2 = {\textcolor{blue}{3}}\\ a_3 &= a_2 + 2 = {\textcolor{blue}{3}} + 2 = {\textcolor{green}{5}} \\ a_4 &= a_3 + 2 = {\textcolor{green}{5}} + 2 = {\textcolor{red}{7}} \\ a_5 &= a_4 + 2 = {\textcolor{red}{7}} + 2 = {\textcolor{magenta}{9}} \\ a_6 &= a_5 + 2 = {\textcolor{magenta}{9}} + 2 = 11 \\ \end{align*} $$

Lukujonosta $(a_n)$ tiedetään, että $a_1 = 3$ ja $a_n = a_{n-1} + 4$ kaikilla $n \geq 2$. Määritä $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ ja $a_6$.

$a_2 = 7$, $a_3 = 11$, $a_4 = 15$, $a_5 = 19$ ja $a_6 = 23$.

Rekursiivisen jonon ensimmäinen jäsen on 3 ja seuraavat saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla 2.

  1. Määritä $a_2$, $a_3$ ja $a_4$.
  2. Selitä, miten saisit määritettyä jäsenen $a_{20}$.
  3. Kirjoita rekursiokaava jonon yleiselle jäsenelle $a_n$.

  1. $a_2 = 6$, $a_3 = 12$ ja $a_4 = 24$.
  2. Jatkamalla kahdella kertomista kunnes päästään jäseneen $a_{20}$.
  3. $a_n = 2a_{n-1}$ kaikilla $n \geq 2$.

Lukujonoja voidaan luokitella niiden ominaisuuksien mukaan. Sovelluksissa käyttökelpoisia ovat sellaiset lukujonot, joiden jäseniä on helppo määrittää ja jotka sopivat monien ilmiöiden mallintamiseen.

Millä tavalla c-kohdan lukujono on erilainen kuin muut? Selitä omin sanoin.

  1. $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $\ldots$
  2. $2$, $-1$, $-4$, $-7$, $-10$, $\ldots$
  3. $0$, $2$, $5$, $9$, $14$, $\ldots$
  4. $3$, $-1$, $-5$, $-9$, $-13$, $\ldots$

Keksi sääntö, jolla seuraava jäsen saadaan laskettua edellisestä jäsenestä.

  1. $0$, $4$, $8$, $12$, $16$, $\ldots$
  2. $1$, $-1$, $-3$, $-5$, $-7$ $\ldots$
  3. $2$, $5$, $8$, $11$, $14$, $\ldots$

  1. $a_n = a_{n-1} + 4$ kaikilla $n \geq 2$.
  2. $a_n = a_{n-1} - 2$ kaikilla $n \geq 2$.
  3. $a_n = a_{n-1} + 3$ kaikilla $n \geq 2$.

MÄÄRITELMÄ: ARITMEETTINEN LUKUJONO

Lukujono $(a_n)$ on aritmeettinen, jos ja vain jos sen kahden peräkkäisen jäsenen erotus on aina sama eli jos on olemassa sellainen luku $d$, että $$a_{n+1}-a_n = d$$ kaikilla $n = 1$, $2$, $3$, $\ldots$
Erotus $d$ on nimeltään jonon differenssi.

Se, että lukujono on aritmeettinen, voidaan siis osoittaa tutkimalla peräkkäisten jäsenten $a_{n+1}$ ja $a_n$ erotusta. Tarkastellaan esimerkiksi jonoa $(a_n)$, jolla $a_n = 7n-3$. Sen peräkkäisten jäsenten erotus on $$ \begin{align*} \textcolor{red}{a_{n+1}}-\textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{red}{7(n+1)-3}-\textcolor{blue}{(7n-3)} \\ &= \textcolor{red}{7n+7-3}\textcolor{blue}{-7n+3} \\ &= 7. \end{align*}$$ Huomataan, että peräkkäisten jäsenten erotus on aina $7$, joten jono $(a_n)$ on aritmeettinen.

Keksi esimerkki aritmeettisesta lukujonosta ja luettele sen neljä ensimmäistä jäsentä, jos jonon differenssi on

  1. $d=2$
  2. $d=-5$
  3. $d=\dfrac{1}{2}$.

Laske erotukset $a_2-a_1$ ja $a_3-a_2$. Voiko lukujono olla erotusten perusteella aritmeettinen, jos jonon ensimmäiset termit ovat

  1. $9$, $6$, $3$
  2. $2$, $4$, $8$
  3. $1$, $\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{5}{3}$.

  1. $a_2-a_1 = -3$ ja $a_3-a_2 = -3$, joten lukujono voi olla aritmeettinen.
  2. $a_2-a_1 = 2$ ja $a_3-a_2 = 4$, joten lukujono ei ole aritmeettinen.
  3. $a_2-a_1 = \frac{1}{3}$ ja $a_3-a_2 = \frac{1}{3}$, joten lukujono voi olla aritmeettinen.

Tarkastele aritmeettista lukujonoa $2$,$8$,$14$, $\ldots$.

  1. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi. $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n \T & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline a_n \T & 2 & 8 & 14 & \quad& \quad & \quad & \quad\\ \end{array} $$
  2. Mikä on tarkastellun aritmeettisen jonon differenssi $d$?
  3. Täydennä taulukkoon luvut $a_4$ ja $a_5$.
  4. Keksi sääntö, jolla jonon jäsen $a_n$ saadaan laskettua jonon ensimmäisestä jäsenestä $a_1$ järjestysnumeron $n$ ja differenssin $d$ avulla. Muodosta tämän säännön avulla lauseke jäsenelle $a_n$.
  5. Testaa keksimääsi sääntöä taulukon avulla. Antaako se oikean tuloksen taulukon kaikissa sarakkeissa?

  1. $d = 6$
  2. $a_4 = 20$ ja $a_5 = 26$
  3. $a_n = 2 + (n-1)\cdot 6$

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että tarkastellun aritmeettisen jonon jäsenet pystyttiin laskemaan, kun tiedetiin jonon ensimmäinen jäsen ja differenssi. Tämä havainto koskee kaikkia aritmeettisia jonoja, kuten seuraava teoreema osoittaa. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Aritmeettisen jonon $(a_n)$ jäsenet saadaan laskettua, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ ja jonon differenssi $d$, sillä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

Perustelu: Aritmeettisen jonon määritelmän mukaan $a_{n+1}-a_n = d$ eli $a_{n+1} = a_n + d$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$. Tästä saadaan seuraavat tiedot: $$ \begin{align*} a_2 &= a_1 + d \\ a_3 &= a_2 + d = (a_1+d) + d = a_1 + 2d \\ a_4 &= a_3 + d = (a_1+2d) + d = a_1 + 3d \\ a_5 &= a_4 + d = (a_1+3d) + d = a_1 + 4d \end{align*} $$ ja niin edelleen. Havaitaan säännönmukaisuus: jonon toisesta jäsenestä alkaen jäsen $a_n$ saadaan aina summana $a_1 + (n-1)d$. Lisäksi $$a_1 = a_1 + 0\cdot d.$$ Voidaan päätellä, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan äskeisen teoreeman soveltamista.

Määritä aritmeettisen jonon yleinen jäsen $a_n$, jos jonon ensimmäinen jäsen on $5$ ja differenssi on $3$.

$a_n = 5 + (n-1)\cdot 3$

Määritä aritmeettisen jonon yleinen jäsen $a_n$, jos jonon ensimmäiset jäsenet ovat

  1. $2$ ja $7$
  2. $3$ ja $\dfrac{8}{3}$.

  1. $a_n = 2 + (n-1)\cdot 5$
  2. $a_n = 3 + (n-1)\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$

Edellä on tarkasteltu päättymättömiä lukujonoja. Joskus ilmiön mallintamiseen tai ongelman ratkaisemiseen tarvitaan vain äärellinen määrä lukuja lukujonon alkupäästä. Tällaisessa tilanteessa nämä luvut voidaan myös laskea yhteen tavalliseen tapaan. Toisin sanottuna voidaan muodostaa niiden summa. Jos tarkastellaan esimerkiksi lukujonoa $(a_n)$, jonka yleinen termi on $a_n = 2n-1$, voidaan laskea vaikkapa sen viiden ensimmäisen termin summa: $$ \begin{align*} S_5 &= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \\ &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \\ &= 25. \end{align*} $$ Erilaiset summat luokitellaan niitä vastaavan lukujonon mukaan.

MÄÄRITELMÄ: ARITMEETTINEN SUMMA

Summa $$S_n = a_1 + \cdots + a_n$$ on aritmeettinen, jos ja vain jos vastaava lukujono $(a_n)$ on aritmeettinen.

Auditoriossa on yhteensä 13 penkkiriviä. Ensimmäisellä rivillä on 20 istuinta ja seuraavalla rivillä aina kaksi enemmän kuin edeltävällä.

  1. Kuinka monta istuinta on viimeisellä eli 13. rivillä?
  2. Auditoriossa pidettävään tilaisuuteen on tulossa 400 henkilöä. Mahtuvatko kaikki tulijat istumaan? Perustele omin sanoin.
  3. Miten aritmeettinen jono liittyy tähän tehtävään?
  4. Miten aritmeettinen summa liittyy tähän tehtävään?

  1. 44 istuinta
  2. Auditoriossa on yhteensä 416 istuinta, joten kaikki tulijat mahtuvat istumaan.
  3. Auditorion eri rivien istuimien määrät muodostavat aritmeettisen lukujonon.
  4. Auditorion istuimien kokonaismäärä on aritmeettinen summa.

Koska aritmeettisessa summassa yhteenlaskettavia on äärellinen määrä, voi niiden järjestystä vaihtaa vapaasti. Laskut saattavat helpottua huomattavasti, jos yhteenlaskettavat ryhmittelee johonkin toiseen järjestykseen. Aritmeettisen summan tapauksessa erityisen kätevää on ryhmitellä yhteenlaskettavat pareiksi, joiden summa pysyy samana. Esimerkiksi edellä tarkasteltu summa voidaan ryhmitellä seuraavasti: $$ \begin{align*} S_5 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \\ &= (1+9) + (3+7) + 5 \\ &= 10 + 10 + 5 = 25 \end{align*} $$

Kuinka monta lukuparia muodostuu, jos yhteenlaskettavia on

  1. $6$
  2. $18$
  3. $15$
  4. $93$
  5. $191$?

Saavatko kaikki yhteenlaskettavat itselleen aina parin? Jos eivät, millaisissa tapauksissa yksi jää ilman paria?

  1. 3
  2. 9
  3. 7 paria, yksi jää parittomaksi
  4. 46 paria, yksi jää parittomaksi
  5. 95 paria, yksi jää parittomaksi

Järjestä summassa esiintyvät luvut pareiksi niin, että jokaisen parin summa on sama. Laske sen jälkeen koko summa ilman apuvälineitä mahdollisimman pienellä vaivalla. Selitä, miten ajattelit.

  1. $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$
  2. $2+4+6+8+10+12+14+16+18$
  3. $1+3+5+7+\ldots+95+97+99$

(Kohdan (c) summa on liian pitkä kirjoitettavaksi kokonaan näkyviin.)

  1. \begin{align*} &\phantom{ {} = }(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)\\ &= 5 \cdot 11 = 55 \end{align*}
  2. \begin{align*} &\phantom{ {} = }(2+18)+(4+16)+(6+14)+(8+12)+10\\ &= 4 \cdot 20 + 10 = 90 \end{align*}
  3. $25 \cdot 100 = 2500$

Edellisen tehtävän ratkaisun idea voidaan yleistää kaikille aritmeettisille summille, kuten seuraava teoreema osoittaa. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Aritmeettinen summa $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ lasketaan niin, että termien lukumäärällä kerrotaan summan ensimmäisen ja viimeisen termin keskiarvo eli $$a_1 + \cdots + a_n = n \frac{a_1+a_n}{2}.$$

Perustelu: Kirjoitetaan summa kahteen kertaan, ensin alusta loppuun ja sitten lopusta alkuun: $$ \begin{align*} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_3 + a_2 + a_1 \end{align*} $$ Kun nämä lasketaan puolittain yhteen, saadaan $$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1).$$ Tässä summassa kaikki sulkujen sisällä olevat lausekkeet ovat yhtä suuria kuin $a_1 + a_n$. Aritmeettisen lukujonon määritelmän nojalla nimittäin esimerkiksi $$ \begin{align*} a_2 + a_{n-1} &= (a_1 + d) + a_{n-1} \\ &= a_1 + (a_{n-1} + d) \\ &= a_1 + a_n \end{align*} $$ ja sen vuoksi myös $$ \begin{align*} a_3 + a_{n-2} &= (a_2 + d) + a_{n-2} \\ &= a_2 + (a_{n-2} + d) \\ &= a_2 + a_{n-1} \\ &= a_1 + a_n. \end{align*} $$ Näitä yhteenlaskettavia on $n$ kappaletta, joten voidaan päätellä, että $$2S_n = n(a_1 + a_n).$$ Siten $$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}.$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan äskeisen teoreeman soveltamista.

  1. Mitä tietoja tarvitset, jotta voit laskea aritmeettisen summan edellä esitetyn teoreeman avulla?
  2. Laske summa $2+5+8+\ldots+26+29$ aritmeettisen summan kaavalla eli edellä esitetyn teoreeman avulla.
  3. Aritmeettisen jonon $(a_n)$ yleinen jäsen on $a_n=3n+1$. Laske tämän jonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa.

  1. $$ \frac{10 \cdot (2 + 29)}{2} = 155 $$
  2. $$ \frac{20 \cdot (4 + 61)}{2} = 650 $$

Edellä tutustuttiin aritmeettiseen lukujonoon, jossa peräkkäisten jäsenten erotus on vakio. Toinen lukujonotyyppi, jota tarvitaan useissa sovelluksissa, on niin sanottu geometrinen lukujono. Sitä tarvitaan esimerkiksi talouteen liittyvissä sovelluksissa kuten korkoihin ja lainoihin liittyvissä laskelmissa.

Millä tavalla b-kohdan lukujono on erilainen kuin muut? Selitä omin sanoin.

  1. $2$, $4$, $8$, $16$, $\ldots$
  2. $1$, $3$, $5$, $7$, $\ldots$
  3. $-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{9}$, $-\dfrac{1}{27}$, $\dfrac{1}{81}$, $\ldots$
  4. $1$, $5$, $25$, $125$, $\ldots$

Keksi sääntö, jolla seuraava jäsen saadaan laskettua edellisen jäsenen avulla.

  1. $1$, $3$, $9$, $27$, $\ldots$
  2. $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, $\dfrac{1}{16}$, $\ldots$
  3. $3$, $-12$, $48$, $-192$, $\ldots$

  1. $a_n = 3a_{n-1}$ kaikilla $n \geq 2$.
  2. $a_n = \frac{1}{2}a_{n-1}$ kaikilla $n \geq 2$.
  3. $a_n = -4a_{n-1}$ kaikilla $n \geq 2$.

MÄÄRITELMÄ: GEOMETRINEN LUKUJONO

Lukujono $(a_n)$ on geometrinen, jos ja vain jos sen kahden peräkkäisen jäsenen suhde eli osamäärä on aina sama. Toisin sanottuna jos on olemassa sellainen luku $q$, että $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$.
Suhde $q$ on nimeltään jonon suhdeluku.

Se, että lukujono on geometrinen, voidaan siis osoittaa tutkimalla peräkkäisten jäsenten $a_{n+1}$ ja $a_n$ suhdetta. Tarkastellaan esimerkiksi jonoa $(a_n)$, jolla $a_n = -3 \cdot 7^n$. Sen peräkkäisten jäsenten suhde on $$ \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} &= \frac{\textcolor{red}{-3 \cdot 7^{n+1}}}{\textcolor{blue}{-3 \cdot 7^n}} \\[1mm] &= \frac{\textcolor{red}{-3 \cdot 7^{n}\cdot 7}}{\textcolor{blue}{-3 \cdot 7^n}} \\[1mm] &= 7. \end{align*}$$ Huomataan, että peräkkäisten jäsenten suhde on aina $7$, joten jono $(a_n)$ on geometrinen.

Keksi esimerkki geometrisesta lukujonosta ja luettele sen neljä ensimmäistä jäsentä, jos jonon suhdeluku on

  1. $q=4$
  2. $q=\dfrac{1}{4}$
  3. $q=-\dfrac{1}{2}$.

Laske lukujonon peräkkäisten jäsenten suhteet $a_2 : a_1$ ja $a_3 : a_2$. Voiko lukujono olla suhteiden perusteella geometrinen, jos jonon ensimmäiset jäsenet ovat

  1. $1$, $5$, $15$
  2. $2$, $8$, $32$
  3. $4$, $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{9}{16}$

  1. $a_2 : a_1 = 5$ ja $a_3 : a_2 = 3$, joten lukujono ei ole geometrinen.
  2. $a_2 : a_1 = 4$ ja $a_3 : a_2 = 4$, joten lukujono voi olla geometrinen.
  3. $a_2 : a_1 = \frac{3}{8}$ ja $a_3 : a_2 = \frac{3}{8}$, joten lukujono voi olla geometrinen.

Tarkastele geometrista lukujonoa

$$\dfrac{3}{4}, \ \dfrac{3}{2}, \ 3,\ldots.$$
  1. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi. $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n \T & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline a_n \T & \dfrac{3}{4} & \dfrac{3}{2} & 3 & \quad& \quad & \quad & \quad\\ \end{array} $$
  2. Mikä on tarkastellun geometrisen jonon suhdeluku $q$?
  3. Täydennä taulukkoon luvut $a_4$ ja $a_5$.
  4. Keksi sääntö, jolla jonon jäsen $a_n$ saadaan laskettua jonon ensimmäisestä jäsenestä $a_1$ järjestysnumeron $n$ ja suhdeluvun $q$ avulla. Muodosta tämän säännön avulla lauseke jäsenelle $a_n$.
  5. Testaa keksimääsi sääntöä taulukon avulla. Antaako se oikean tuloksen taulukon kaikissa sarakkeissa?

  1. $q = 2$
  2. $a_4 = 6$ ja $a_5 = 12$.
  3. $a_n = \frac{3}{4}\cdot 2^{n-1}$

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että tarkastellun geometrisen jonon jäsenet pystyttiin laskemaan, kun tiedetiin jonon ensimmäinen jäsen ja suhdeluku. Tämä havainto koskee kaikkia geometrisia jonoja, kuten seuraava teoreema osoittaa. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Geometrisen jonon $(a_n)$ jäsenet saadaan laskettua, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ ja jonon suhdeluku $q$, sillä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1q^{n-1}.$$

Perustelu: Geometrisen jonon määritelmän mukaan $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$ eli $a_{n+1} = a_nq$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$. Tästä saadaan seuraavat tiedot: $$ \begin{align*} a_2 &= a_1q \\ a_3 &= a_2q = (a_1q)q = a_1q^2 \\ a_4 &= a_3q = (a_1q^2)q = a_1q^3 \\ a_5 &= a_4q = (a_1q^3)q = a_1q^4 \end{align*} $$ ja niin edelleen. Havaitaan säännönmukaisuus: jonon toisesta jäsenestä alkaen jäsen $a_n$ saadaan aina tulona $a_1q^{n-1}$. Lisäksi $$a_1 = a_1q^0,$$ sillä $q^0 = 1$ kaikilla $q \neq 0$. Voidaan päätellä, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1q^{n-1}.$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan äskeisen teoreeman soveltamista.

Määritä lauseke geometrisen lukujonon yleiselle jäsenelle, jos jonon ensimmäiset jäsenet ovat

  1. $2$ ja $8$
  2. $-3$ ja $9$
  3. $1$ ja $\dfrac{1}{7}$.

  1. $a_n = 2\cdot 4^{n-1}$
  2. $a_n = -3\cdot (-3)^{n-1}$
  3. $a_n = \left(\frac{1}{7}\right)^{n-1}$

Tarkastele geometrista lukujonoa, jonka toinen jäsen $a_2=6$ ja suhdeluku $q=3$. Määritä tämän lukujonon

  1. yleinen jäsen $a_n$
  2. yleisen jäsenen avulla 13. jäsen $a_{13}$.

  1. $a_n = 2\cdot 3^{n-1}$
  2. $a_{13} = 2\cdot 3^{12} = 1\,062\,882$

Aiemmin tutustuttiin artimeettiseen summaan, joka muodostuu, kun aritmeettisen lukujonon alkupään jäsenet lasketaan yhteen. Geometriseen lukujonoon liittyy vastaava käsite: geometrinen summa.

MÄÄRITELMÄ: GEOMETRINEN SUMMA

Summa $$S_n = a_1 + \cdots + a_n$$ on geometrinen, jos ja vain jos vastaava lukujono $(a_n)$ on geometrinen.

Fysioterapeutti määrää henkilölle kuntousohjelman, jossa toistetaan tiettyjä liikkeitä kerran päivässä kuukauden ajan. Ensimmäisenä päivänä liikkeitä pitää tehdä kymmenen minuutin ajan, ja seuraavina päivinä suoritusaikaa kasvatetaan aina 5 % eli se 1,05-kertaistetaan.

  1. Kuinka monta minuuttia henkilö harjoittelee kuntoutusohjelman 2. päivänä?
  2. Kuinka monta minuuttia henkilö harjoittelee kuntoutusohjelman 10. päivänä?
  3. Kuinka monta minuuttia henkilö harjoittelee yhteensä kuntoutusohjelman viiden ensimmäisen päivän aikana?
  4. Miten geometrinen jono liittyy tähän tehtävään?
  5. Miten geometrinen summa liittyy tähän tehtävään?

  1. 10,5 minuuttia.
  2. Noin 15,5 minuuttia.
  3. Noin 55 minuuttia.
  4. Päivittäiset harjoitusajat muodostavat geometrisen jonon.
  5. Harjoitusajan kokonaismäärä on geometrinen summa.

Edellä perustellun teoreeman mukaan geometrisen lukujonon $(a_n)$ jäsenet saadaan aina edellisestä jäsenestä kertomalla suhdeluvulla $q$. Geometrinen lukujono $(a_n)$ on siis muotoa $$a_1,\, a_1q,\, a_1q^2,\, a_1q^3,\, \ldots$$ Vastaava geometrinen summa voidaan siis kirjoittaa muodossa $$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}.$$ Seuraavassa teoreemassa esitetään tapa, jolla mikä tahansa geometrinen summa saadaan laskettua. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Geometrinen summa $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ voidaan laskea seuraavasti:

  • Jos suhdeluku $q$ on ykkösestä poikkeava eli $q \neq 1$, niin $$a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} = a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}.$$ Huomaa, että tässä luku $n$ kertoo sen, kuinka monta yhteenlaskettavaa summassa on.
  • Jos suhdeluku $q$ on yksi eli $q = 1$, niin $$a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} = na_1.$$

Perustelu:

  • Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa $q \neq 1$. Kirjoitetaan summa kahteen kertaan, ensin tavallisesti ja sitten suhdeluvulla kerrottuna: $$ \begin{align*} S_n &= a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} \\ qS_n &= q(a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1}) \end{align*} $$ Kun alemman yhtälön oikealla puolella kerrotaan sulut auki, näyttää tilanne tältä: $$ \begin{align*} S_n &= a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} \\ qS_n &= \phantom{a_1 +{}} a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n \end{align*} $$ Kun ylemmästä yhtälöstä vähennetään alempi, suurin osa termeistä kumoaa toisensa ja saadaan $$S_n - qS_n = a_1-a_1q^n.$$ Yhtälön vasemmalta puolelta voidaan ottaa yhteinen tekijä $S_n$, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$(1-q)S_n= a_1-a_1q^n.$$ Jakamalla yhtälön molemmat puolet kertoimella $1-q$ saadaan $$S_n = \frac{a_1-a_1q^n}{1-q}.$$ Huomaa, että alussa rajoituttiin tarkastelemaan tilannetta, jossa $q \neq 1$. Sen vuoksi $1-q \neq 0$ ja jakaminen voidaan tehdä. Saadun yhtälön oikealta puolelta voidaan vielä ottaa yhteinen tekijä $a_1$, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$S_n= a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}.$$
  • Jos $q = 1$, niin $S_n = a_1 + a_1 + \cdots + a_1$, missä yhteenlaskettavien lukumäärä on $n$. Siis tässä tapauksessa $S_n = na_1$.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan äskeisen teoreeman soveltamista.

Geometrisen lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat $3$ ja $6$. Laske jonon 10 ensimmäisen jäsenen summa

  1. määrittämällä ensin yhteenlaskettavat jäsenet ja laskemalla tämän jälkeen summalauseke $a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}$.
  2. käyttämällä edellisessä teoreemassa esitettyä geometrisen summan kaavaa.

  1. $3 + 6 + 12 + \dots + 768 + 1536 = 3069$
  2. $$ 3 \cdot \frac{1-2^{10}}{1-2} = 3069 $$

  1. Mitä tietoja tarvitset, jotta voit laskea geometrisen summan edellä esitetyn teoreeman avulla?
  2. Laske summa $$5+15+45+\ldots+3645+10935$$ geometrisen summan kaavalla eli edellä esitetyn teoreeman avulla. Tutki kokeilemalla, kuinka monta yhteenlaskettavaa tässä summassa on, eli mikä on $n$. Voit käyttää laskinta apuna.
  3. Geometrisen jonon $(a_n)$ yleinen jäsen on $$a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n.$$ Laske tämän jonon 15 ensimmäisen jäsenen summa.

  1. Summassa on kahdeksan yhteenlaskettavaa, sillä $5 \cdot 3^7 = 10939$. Summaksi saadaan $$ 5 \cdot \frac{1-3^{8}}{1-3} = 16\,400. $$
  2. \begin{align*} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{15}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} &= -\frac{1}{3}\cdot \frac{2^{15} + 1}{2^{15}} \\ &\approx -0{,}33334. \end{align*}

Henkilö aloitti säästämisen vuoden 2007 alussa tallettamalla 500 euroa tilille, jonka vuotuinen korko oli $1{,}5 \ \%$. Hän talletti tilille sen jälkeen saman summan aina vuoden alussa. Kertyneet korot lisättiin tilille vuosittain vuoden lopussa.

  1. Kuinka paljon rahaa tilillä oli vuoden 2007 lopussa koronlisäyksen jälkeen ennen toista talletusta?
  2. Kuinka suureksi summaksi vuoden 2007 alussa tehty talletus olisi kasvanut vuoden 2016 loppuun mennessä, jos tilille ei olisi tehty muita talletuksia?
  3. Kuinka suureksi summaksi vuoden 2008 alussa tehty talletus olisi kasvanut vuoden 2016 loppuun mennessä, jos tilille ei olisi tehty mitään muita talletuksia?
  4. Kuinka monta talletusta henkilö ehtii tehdä vuoden 2016 loppuun mennessä?
  5. Kuinka suureksi summaksi vuoden 2016 alussa tehty talletus olisi kasvanut vuoden 2016 loppuun mennessä, jos tilille ei olisi tehty mitään muita talletuksia?
  6. Kuinka paljon rahaa tilillä oli yhteensä vuoden 2016 lopussa koronlisäyksen jälkeen? Miten voit tässä soveltaa edellisiä kohtia ja geometrisen summan kaavaa?
  7. Jos henkilö jatkaisi säästämistä samalla tavalla, kuinka paljon rahaa hänen tilillään olisi vuoden 2050 lopussa?

  1. 507,5 euroa.
  2. $1{,}015^{10} \cdot 500 \approx 580{,}27$ euroksi.
  3. $1{,}015^{9} \cdot 500 \approx 571{,}69$ euroksi.
  4. Kymmenen talletusta.
  5. $1{,}015 \cdot 500 = 507{,}50$ euroksi.
  6. Noin 5431,63 euroa: $$ 507{,}50 \cdot \frac{1-1{,}015^{10}}{1-1{,}015} \approx 5431{,}63. $$
  7. Noin 31307,10 euroa: $$ 507{,}50 \cdot \frac{1-1{,}015^{44}}{1-1{,}015} \approx 31\,307{,}10. $$

Seuraavaksi harjoitellaan teknisen apuvälineen käyttöä lukujonoissa ja summissa.

Tutkitaan aritmeettista lukujunoa 7, 10, 13, ...

Tehtävänä on laskea lukujonon 30 jästentä yhteen jonon alusta alkaen.

  1. Lasketaan summa ensin käyttäen summakaavaa $S_n = n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$.

    Mitä lukujonosta täytyy tietää, jotta summan saa laskettua?
    Onko kaikki tarvittavat asiat tiedossa? Mikä kolmesta tiedosta puuttuu?
    Selvitä tarvittavat tiedot, sijoita ne kaavaan ja laske summa.
  2. Lasketaan summa ensin käyttäen taulukkolaskentaa. Tämän voi tehdä esim. Geogebralla, LibreOfficella tai TI Nspirellä. Kätetään tällä kertaa Nspireä.

    Katso oheinen video ja kirjoita sen jälkeen TI Nspirellä tehtävänannon lukujonon 30 ensimmäistä jäsentä samaan tapaan kuin videossa on tehty.

    Kirjoita lukujonojen termien alla olevaan soluun (pitäisi olla B31) =sum() ja maalaa lukujonon jäsenet. Paita enter. Satko saman vastauksen kuin a-kohdassa?

  1. Lukujonosta täytyy tietää ensimmäinen ja viimeinen yhteenlaskettava sekä yhteenlaskettavien lukumäärä.

    Ensimmäinen jäsen on $a_1=7$ ja yhteenlaskettavien lukumäärä on $n=30$, mutta viimeinen yhteenlaskettava eli $a_{30}$ puuttuu. Yleisen jäsenen avulla saadaan $a_{30}=94$. $$S_{30}=30\cdot \dfrac{7+94}{2}=1515$$

Tutkitaan geometrista lukujunoa 2, 6, 18, ...

Tehtävänä on laskea lukujonon 30 jästentä yhteen jonon alusta alkaen.

  1. Lasketaan summa ensin käyttäen summakaavaa $S_n = a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$.

    Mitä lukujonosta täytyy tietää, jotta summan saa laskettua?
    Onko kaikki tarvittavat asiat tiedossa? Jos ei, niin selvitä ne.
    Sijoita $a_1$, $q$ ja $n$ kaavaan ja laske summa.
  2. Laske summa käyttäen TI Nspiren taulukkolaskentaa (Listat ja taulukot -sovellus) samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä.

    Vihje: Levennä b-saraketta jotta näet vastauksen, koska summassa on 15 numeroa.

  1. Lukujonosta tarvitaan ensimmäinen yhteenlaskettava, lukujonon suhdeluku ja yhteenlaskettavien lukumäärä.

    Ensimmäinen yhteenlaskettava on $a_1=2$, yhteenlaskettavien lukumäärä on $n=30$, mutta suhdeluku $q$ puuttuu. Se saadaan minkä tahansa kahden peräkkäisen jäsenen suhteesta, esim. $q=a_2/a_1=6/2=3$. $$S_{30}=2\cdot\dfrac{1-3^{30}}{1-3}=205891132094648$$

Katso oheinen video. Piirrä seuraavat lukujonot ja selvitä taulukon avulla lukujonon 10. jäsen.

  1. $a_n=3n-1$
  2. $a_n=5\cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}$

Tutki, ovatko nämä lukujonot aritmeettisia tai geometrisia.

  1. Aritmeettinen
  2. Geometrinen

Lopuksi harjoitellaan sovellustehtävien ratkaisemista, jolloin olennaista on tunnistaa, onko kyseessä jono- vai summatehtävä ja onko kyseessä aritmeettinen jono vai geometrinen jono. Tehtävissä voi käyttää teknisiä apuvälineitä apuna samaan tapaan kuin edellä on harjoiteltu.

Auditorion ensimmäisellä rivillä on 14 istuinta ja seuraavalla rivillä aina 2 istuinta enemmän. Kuinka monta istuinta auditoriossa yhteensä on, kun viimeisellä rivillä on 38 istuinta?

338 istuinta. Onnistuitko ratkaisemaan tehtävän aritmeettisena summana?

Pyramidihuijari avaa pankkitilin ja siirtää ensimmäisessä vaiheessa tilille 100 €. Tämän jälkeen hän houkuttelee mukaan kolme sijoittajaa, joista jokainen siirtää toisessa vaiheessa huijarin tilille 100 €. Kolmannessa vaiheessa kukin näistä kolmesta houkuttelee edelleen mukaan kolme uutta sijoittajaa, joista jokainen siirtää 100 € huijarin tilille. Huijaus jatkuu saman kaavan mukaisesti. Kuinka monen vaiheen jälkeen tilillä oleva summa ylittää Suomen valtion vuoden 2013 talousarvion, joka on 54,1 miljardia euroa? [Lyhyt K2014/8]

19 vaiheen jälkeen.

Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon ensimmäinen termi on 2 ja suhdeluku $q=\frac{21}{20}$. Monennestako termistä lähtien geometrisen jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? [Mukaellen Lyhyt K2011/13]

96. termistä lähtien.

Lukujono

Tarkastele lukujonoa $(a_n)$, joka alkaa $4$, $9$, $-5$, $14$, $-19$, $33$.

  1. Keksi sääntö, jolla tämän lukujonon jäsenet saadaan laskettua kahdesta edellisestä jäsenestä.
  2. Määritä jäsenet $a_7$, $a_8$ ja $a_9$.

  1. $a_{n+2} = a_n - a_{n+1}$
  2. $a_7 = -52$, $a_8 = 85$ ja $a_9 = -137$.

Lukujonon jäsenen määrittäminen

Määritä lukujonon $(a_n)$ kolme ensimmäistä jäsentä sekä 100. jäsen, jos

  1. $a_n=\dfrac{n-1}{n+2}$
  2. $a_n=n^2+2n$.

  1. $a_1 = 0$, $\ a_2 = \frac{1}{4}$, $\ a_3 = \frac{2}{5}$, $\ a_{100} = \frac{33}{34}$
  2. $a_1 = 3$, $\ a_2 = 8$, $\ a_3 = 15$, $\ a_{100} = 10\,200$.

Lukujonon jäsenen määrittäminen

Määritä $a_7$ ja $a_{52}$, jos

  1. $a_n=2n-5$
  2. $a_n=-\dfrac{2}{3}n+2$.

  1. $a_7 = 9$ ja $a_{52} = 99$
  2. $a_7 = -\frac{8}{3}$ ja $a_{52} = -\frac{98}{3}$

Onko luku lukujonon jäsen?

Lukujonon $(a_n)$ yleinen jäsen on $a_n=8n-3$. Tutki yhtälön avulla, ovatko seuraavat luvut tämän lukujonon jäseniä. Jos luku on lukujonon $(a_n)$ jäsen, niin kuinka mones jäsen se on?

  1. $19$
  2. $45$
  3. $132$

  1. Ei ole.
  2. Kuudes jäsen.
  3. Ei ole.

Rekursiivinen lukujono

Lukujono $(a_n)$ on määritelty seuraavasti: $$ \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} a_1&=2\\ a_n&=\dfrac{a_{n-1}+1}{2} \ \text{ kaikilla } n=2, 3,4,\ldots \end{array} \right. \end{equation*} $$ Määritä jonon $(a_n)$ jäsenet $a_2$, $a_3$, $a_4$ ja $a_5$.

$a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{4}$, $a_4 = \frac{9}{8}$, $a_5 = \frac{17}{16}$

Aritmeettinen lukujono

Tehtävissä, joissa halutaan selvittää rekursiivisen lukujonon jäseniä, laskimesta on suuri apu. Laskimista löytyy ans-näppäin, joka tarkoittaa aina viimeisintä tulosta. Kyseistä näppäintä voi käyttää rekursiokaavassa alkuehdon paikalla. Tarkastellaan esimerkiksi edellisen tehtävän lukujonoa, jolle $$ \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} a_1&=2\\ a_n&=\dfrac{a_{n-1}+1}{2} \ \text{ kaikilla } n=2, 3,4,\ldots \end{array} \right. \end{equation*} $$ Selvitetään tämän jonon 10. jäsen. Käsin se olisi melko hidasta, mutta laskimella se onnistuu nopeasti seuraavalla tavalla:

Syötetään laskimeen aluksi alkuarvo 2 ja painetaan enter. Syötetään tämän jälkeen rekursiokaava niin, että korvataan edeltävä jäsen $a_{n-1}$ ans-näppäimellä. Painetaan tämän jälkeen enter ja saadaan jonon toinen jäsen, joka on tässä tapauksessa $\frac{3}{2}$. Tässä laskin syötti ans-napin kohdalle siis luvun 2. Kun tämän jälkeen painetaan taas enter, saadaan jonon kolmas jäsen, joka tässä tapauksessa on $\frac{5}{4}$. Taulukoidaan kaikki jäsenet paperille näkyviin ja jatketaan enter-napin painamista, kunnes saadaan jonon kymmenes jäsen. Jonon kymmenenneksi jäseneksi saadaan tällä tavalla $\frac{513}{512}$.

Tarkastele aritmeettista lukujonoa $1$, $4$, $7, \ldots$.

  1. Mikä on jonon differenssi $d$?
  2. Päättele jonon 10. jäsen.
  3. Muodosta analyyttinen lauseke yleiselle jäsenelle $a_n$.
  4. Muodosta rekursiivinen lauseke yleiselle jäsenelle $a_n$.
  5. Onko luku 20 jonon jäsen? Perustele.

  1. $d = 3$
  2. $a_{10} = 28$
  3. $a_n = 1 + 3(n-1)$
  4. $a_n = a_{n-1} + 3$
  5. Ei ole.

Aritmeettinen lukujono

Tutki, voiko jono olla aritmeettinen, jos sen peräkkäiset jäsenet ovat

  1. $6$, $10$ ja $14$
  2. $\pi$, $3\pi$ ja $5\pi$
  3. $3$, $3$ ja $3$.

Perustele omin sanoin.

  1. Voi olla.
  2. Voi olla.
  3. Voi olla.

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on 2 ja viides on 4. Mikä on jonon kymmenes termi?

6,5

Aritmeettinen summa

Aritmeettisen jonon yleinen jäsen on $a_n=3n+1$. Määritä jonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa.

650

Aritmeettinen summa

Päättele, kuinka monta aritmeettisen jonon jäsentä pitää vähintään laskea yhteen, jotta summa ylitää 100, jos

  1. jonon toinen jäsen on 7 ja neljäs 15
  2. jonon yleinen jäsen on $a_n=8n+2$.
Selitä, miten ajattelit.

  1. 7 jäsentä
  2. 5 jäsentä.

Geometrinen lukujono

Tarkastele geometrista lukujonoa $(b_n)$, jonka yleinen jäsen on $b_n=5\cdot4^{n-1}$.

  1. Määritä jonon kolme ensimmäistä jäsentä.
  2. Mikä on jonon suhdeluku $q$?

  1. 5, 20, 80.
  2. $q = 4$

Aritmeettinen summa

Tasaisesti viettävään rinteeseen rakennetaan aita, jonka pituus on $126$ metriä. Aidan yläreunan halutaan olevan vaakasuorassa. Aitaan tulee tolppa molempiin päihin ja aina $1{,}5$ metrin välein. Matalimman tolpan korkeus on $0{,}75$ m ja korkeimman tolpan korkeus $2{,}43$ m.

  1. Laske aitatolppien lukumäärä.
  2. Laske, kuinka paljon seuraava tolppa on edellistä pidempi, olettaen, että tolppien pituus kasvaa tasaisesti.
  3. Kuinka monta metriä aitatolppiin käytettävää puuta tarvitaan aidan rakentamiseen? Miten voit tässä hyödyntää aritmeettisen summan kaavaa?
  4. Kuinka monta metriä aitatolppiin käytettävää puuta tarvitaan, jos aidasta päätetään säästösyistä rakentaa vain 75 metriä matalammasta päästä alkaen?

  1. Aitatolppia tarvitaan 85 kpl.
  2. Seuraava tolppa on aina 0,02 m eli 2 cm edellistä pidempi.
  3. $$ \frac{85 \cdot (0{,}75 + 2{,}43)}{2} = 135{,}15, $$ joten puuta tarvitaan 136 metriä.
  4. $$ \frac{51 \cdot (0{,}75 + 1{,}75)}{2} = 63{,}75, $$ joten puuta tarvitaan 64 metriä.

Geometrinen lukujono

Tarkastele geometrista lukujonoa $\frac{3}{2}$, $3$, $6$, $12, \ldots$.

  1. Mikä on jonon suhdeluku $q$?
  2. Päättele jonon 6. jäsen.
  3. Muodosta analyyttinen lauseke yleiselle jäsenelle $a_n$.
  4. Muodosta rekursiivinen lauseke yleiselle jäsenelle $a_n$.
  5. Onko luku 20 jonon jäsen? Perustele.

  1. $q = 2$
  2. $a_{6} = 48$
  3. $a_n = \frac{3}{2}n$
  4. $a_1 = \frac{3}{2}$ ja $a_n = 2a_{n-1}$
  5. Ei ole.

Geometrinen lukujono

Palauta mieleen, mikä on geometrisen lukujonon määritelmä. Tutki sen avulla, voiko jono olla geometrinen, jos sen ensimmäiset jäsenet ovat

  1. $1$, $3$, $5$
  2. $1$, $-1$, $1$
  3. $\pi$, $\pi$, $\pi$.

Myönteisessä tapauksessa määritä jonon suhdeluku $q$ sekä jonon yleinen jäsen $a_n$.

  1. Ei
  2. Kyllä, suhdeluku $q=-1$ ja yleinen jäsen $a_n=1\cdot (-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}$.
  3. Kyllä, suhdeluku $q=1$ ja yleinen jäsen $a_n=\pi\cdot1^{n-1}=\pi$.

Geometrinen lukujono

Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 3 ja kolmas jäsen on 12.

  1. Päättele jonon suhdeluku. Huomaa kaksi eri vaihtoehtoa.
  2. Muodosta jonon yleinen jäsen $a_n$.
  3. Määritä yleisen jäsenen avulla $a_{12}$.

  1. Suhdeluku on 2 tai -2.
  2. $a_n=3\cdot 2^{n-1}$ tai $a_n=3\cdot (-2)^{n-1}$.
  3. $a_{12}=6144$ tai $a_{12}=-6144$.

Geometrinen summa

Laske geometrisen jonon $$a_n=4\cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}$$ kymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Syötä lauseke laskimeen siten, että saat vastauksen murtolukuna.

$S_{10}=\dfrac{1023}{128}$.

Geometrinen summa

Laske geometrisen lukujonon $$6,-18,54,\ldots$$ kolmentoista ensimmäisen jäsenen summa.

$S_{13}=2391486$

Rekursiivinen lukujono

Tutki jonoa $(a_n)$, jolle $$ \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} a_1&=3\\ a_n&=a_{n-1}+4 \ \text{ kaikilla } n=2, 3, 4\ldots \end{array} \right. \end{equation*} $$

  1. Määritä laskimen avulla lukujonon jäsenet 9. jäseneen asti ja kokoa ne taulukkoon.
  2. Tutki laskimen avulla, kuinka moni jonon jäsenistä on pienempi kuin luku 100.

  1. 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.
  2. 25 jäsentä on pienempiä kuin luku 100.

Lukujonon määrittely

Lukujonon $(a_n)$ ensimmäinen jäsen on 3, kolmas jäsen on 27 ja neljäs jäsen on 81.

  1. Päättele, mikä on lukujonon toinen jäsen $a_2$.
  2. Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $a_{n-1}$ avulla. Toisin sanottuna määrittele lukujono $(a_n)$ rekursiivisesti.
  3. Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua järjestysnumeron $n$ avulla. Toisin sanottuna määrittele lukujono $(a_n)$ analyyttisesti.

  1. 9
  2. $a_1 = 3$ ja $a_n = 3a_{n-1}$.
  3. $a_n = 3^n$

Lukujonon määrittely

Tarkastele parillisten positiivisten kokonaislukujen $2$, $4$, $6$, $\ldots$ muodostamaa lukujonoa $(a_n)$.

  1. Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $a_{n-1}$ avulla. Toisin sanottuna määrittele lukujono $(a_n)$ rekursiivisesti.
  2. Keksi sääntö, miten jäsen $a_n$ saadaan lausuttua järjestysnumeron $n$ avulla. Toisin sanottuna määrittele lukujono $(a_n)$ analyyttisesti.

  1. $a_1 = 2$ ja $a_n = a_{n-1}+2$.
  2. $a_n = 2n$

Lukujonon määrittely

Tarkastele parittomien positiivisten kokonaislukujen $1$, $3$, $5$, $\ldots$ muodostamaa lukujonoa $(b_n)$.

  1. Keksi sääntö, miten jäsen $b_n$ saadaan lausuttua edellisen jäsenen $b_{n-1}$ avulla. Toisin sanottuna määrittele lukujono $(b_n)$ rekursiivisesti.
  2. Keksi sääntö, miten jäsen $b_n$ saadaan lausuttua järjestysnumeron $n$ avulla. Toisin sanottuna määrittele lukujono $(b_n)$ analyyttisesti.

  1. $b_1 = 1$ ja $b_n = b_{n-1}+2$.
  2. $b_n = 2n-1$

Lukujono

Henkilö aloittaa lenkkeilyharrastuksen. Ensimmäinen lenkki on kilometrin mittainen ja seuraava lenkki aina 200 metriä pidempi kuin edellinen.

  1. Kuinka pitkä on henkilön seitsemäs lenkki?
  2. Määrittele rekursiivisesti jono $(a_n)$, missä $a_n$ on $n$:ntenä päivänä tehdyn lenkin pituus.
  3. Määrittele analyyttisesti jono $(a_n)$, missä $a_n$ on $n$:ntenä päivänä tehdyn lenkin pituus.
  4. Jos henkilö käy lenkillä kolme kertaa viikossa, kuinka monennella viikolla hän juoksee ensimmäisen kerran vähintään maratonin mittaisen lenkin (42,195 km)?

  1. 2200 m
  2. $a_1 = 1000$ ja $a_n = a_{n-1} + 200$
  3. $a_n = 1000 + 200(n-1)$
  4. 69. viikolla.

Säilyketölkeistä rakennetaan torni niin, että alimmassa kerroksessa on 22 tölkkiä ja seuraavalla aina kolme vähemmän. Kuinka monta kerrosta tölkkitorniin voi näin tehdä? Kuinka monta tölkkiä tornissa on?

8 kerrosta, yhteensä 92 tölkkiä.

Tutki, onko lukujono aritmeettinen, jos sen yleinen jäsen on

  1. $a_n=2n-5$
  2. $a_n=-\dfrac{2}{3}n+2$
  3. $a_n = 1 + \dfrac{2}{n}$.

Jos lukujono on aritmeettinen, mikä on sen differenssi?

  1. $d = 2$
  2. $d = -\dfrac{2}{3}$
  3. Jono ei ole aritmeettinen.

Tarkastele lukujonoa $(a_n)$, jolle $a_n=2\cdot3^{n}$.

  1. Tutki, onko kysymyksessä geometrinen lukujono. Jos on, määritä sen suhdeluku.
  2. Palauta mieleen, miten tutkit, onko luku jonkin lukujonon jäsen.
  3. Tutki, onko luku $1\,062\,882$ lukujonon $(a_n)$ jäsen. Ratkaisussa muodostuvan yhtälön voit ratkaista laskimella.
  4. Tutki, onko luku $118\,096$ lukujonon $(a_n)$ jäsen samaan tapaan kuin edellisessä kohdassa.

  1. $q = 3$
  2. On.
  3. Ei.

Henkilö lähettää sähköpostin kahdelle ystävälleen. Kumpikin näistä lähettää saman viestin 10 minuutin kuluttua edelleen kahdelle uudelle henkilölle, jotka toimivat samoin. Tilanne toistuu kunkin saajan kohdalla aina samalla tavalla, eikä kukaan saa kyseistä sähköpostia toista kertaa. Kuinka kauan kestää, että 20 000 henkilöä on saanut sähköpostin? Anna vastaus 10 minuutin tarkkuudella. [Lyhyt K2012/7]

Vihje: Hahmottele sähköpostin saaneita, ei siis ensimmäistä lähettäjää, paperille ja yritä mallintaa tilanne joksikin tutuksi lukujonoksi tai summaksi.

2 h 10 min.

Erään kaivoksen kivihiilivarojen laskettiin vuoden 2015 alussa riittävän 50 vuodeksi, jos louhintatahti (yksikkönä tonnia/vuosi) pysyy samana. Minä vuonna kivihiilivarat loppuvat, jos louhintaa lisätään joka vuosi 2,5 % edelliseen vuoteen verrattuna?
[Pitkä S2015/8]

Kivihiilivarat loppuisivat vuoden 2048 aikana.

Eräs menetelmä luvun $\sqrt[3]{a}$ likiarvojen laskemiseksi perustuu kaavaan $$ \begin{align*} x_{n+1}&=\dfrac{1}{3}\left( 2x_n+\dfrac{a}{(x_n)^2}\right), \end{align*} $$ kun $n=1,2,\ldots$ ja $x_1=1$. Tarkastellaan kyseistä jonoa $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$, kun $a=9$. Millä indeksin $n$ arvolla näin lasketut likiarvot toteuttavat ensimmäisen kerran seuraavan ehdon: lukujen $x_n$ ja $x_{n+1}$ seitsemän ensimmäistä desimaalia ovat samat? [Lyhyt K2014/11]

$n=7$

Lukujonossa $(a_n)$ on $a_1=2$ ja $a_2=\dfrac{12}{5}$. Määritä jonon sadan ensimmäisen termin summa, kun jono on

  1. aritmeettinen
  2. geometrinen. Anna tämän kohdan vastaus miljoonan tarkkuudella.
[Lyhyt K2013/11]

  1. 2180
  2. 828 miljoonaa

Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 1, viimeinen termi on 61, ja jonon termien summa on 961. Mikä on jonon toinen termi?
[Lyhyt K2009/13]

3

Lukujonon ensimmäinen termi on 2, ja jonon kukin seuraava termi on 5 % suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon $n$:nnen termin lauseke. Tutki tämän avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 1000 miljoonaa. Laske näiden termien summa kolmen numeron tarkkuudella.
[Lyhyt S2008/10]

Vihje: Ratkaise muodostuva yhtälö laskimella.

Jonon $n$:s termi on $2 \cdot 1{,}05^{n-1}$, 411 termiä alittaa 1000 miljoonaa ja näiden termien summa on $2{,}046 \cdot 10^{10}$.

Äiti pitää kakkukestit kolmelle lapselleen. Äiti jakaa kakun ensin neljään osaan, joista kolme osaa hän antaa lapsille. Kun lapset ovat syöneet, äiti jakaa jäljelle jääneen neljännen osan jälleen neljään osaan, joista kolme osaa hän antaa lapsilleen. Näin hän jatkaa edelleen jakaen neljättä osaa, kunnes on tehnyt vastaavan jako-operaation $n$ kertaa. Muodosta lauseke, joka ilmaisee lapsille jaetun kakkumäärän osuuden alkuperäisestä kakusta.

Vihje: Kirjaa taulukkoon äidille jäävä osuus eri vaiheissa.

$1-\dfrac{1}{4^n}$

Tarkastellaan lukujonoja $(a_n)$ ja $(b_n)$, joiden kaikki termit $a_n$ ja $b_n$, $n = 1, 2, \ldots$, ovat positiivisia.

  1. Oletetaan, että jono $(a_n)$ on geometrinen. Osoita, että $a_n = \sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}$ kaikilla $n = 2, 3, \ldots$
  2. Oletetaan, että $b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$ kaikilla $n = 2, 3, \ldots$ Osoita, että jono $(b_n)$ on geometrinen.
[Pitkä S2014/8]

Ratkaisu löytyy täältä.

  1. Geometrisen jonon kaksi peräkkäistä termiä ovat rationaalilukuja. Osoita, että jonon kaikki termit ovat rationaalilukuja.
  2. Geometrisessa jonossa on ainakin kaksi rationaalista termiä. Osoita, että rationaalisia termejä on äärettömän monta.
[Pitkä S2012/11]

Ratkaisu löytyy täältä.

Tehtävä 1:
Aritmeettinen lukujono alkaa 3,7,11...

  1. Määritä jonon differenssi. (2 p.)
  2. Määritä jonon yleinen jäsen. (4 p.)
  3. Tutki jonon yleisen jäsenen avulla, onko luku 25 jonon jäsen. (6 p.)

Tehtävä 2:
Aritmeettisen jonon yleinen jäsen on $a_n=5n-3$ ja geometrisen jonon on $b_n=2\cdot 3^{n-1}$.

  1. Määritä jonojen 7. jäsenet. (4 p.)
  2. Laske jonojen 13 ensimmäisen jäsenen summa. (8 p.)

Tehtävä 3:
Leena tallettaa 1.1.2023 pankkitililleen 50 euroa. Leena jatkaa talletuksia koko vuoden aina jokaisen kuukauden ensimmäisenä päivänä. Leena kuitenkin kasvattaa tallettamaansa rahamäärää aina kymmenellä prosentilla joka kuukausi verrattuna edelliseen kuukauteen. Minkä summan Leena tallettaa tilille 1.12.2023? Kuinka paljon Leena kaikkiaan tallettaa tilille vuoden aikana? Anna vastaukset senttien tarkkuudella.