Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB4 - Matemaattisia malleja

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Eksponentiaalinen malli

Tämän luvun tavoitteena on, että ... Osaat

Tässä luvussa tutustutaan niin sanottuun eksponentiaaliseen malliin. Matematiikassa eksponentiaalisella mallilla kuvataan ilmiöitä, joissa muutos on kiihtyvää tai hidastuvaa niin, että tietyllä ajanjaksolla muutos on aina yhtä monta prosenttia muuttuvan suureen senhetkisestä arvosta. Eksponentiaalinen kasvu siis tarkoittaa, että mitä suurempi suureen arvo on, sitä nopeammin se myös kasvaa.

Eksponentiaalisen mallin käyttö vaatii usein myös muutosprosentteihin liittyvää päättelyä ja laskemista. Seuraavissa tehtävissä palautetaan mieleen muutosprosenttien matematiikkaa, jota harjoiteltiin jo kurssissa MAY1.

Tuotteen hinta on alun perin $a$. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta on muuttunut, jos uusi hinta on

  1. $1{,}30a$
  2. $0{,}72a$
  3. $1{,}002a$
  4. $2{,}5a$
  5. $0{,}05a$

Vinkki: voit tarkistaa päättelysi myös käyttämällä kirjaimen $a$ tilalla jotain oikeaa lukua.

  1. Tuotteen hinta on noussut $30\ \%$.
  2. Tuotteen hinta on laskenut $28\ \%$. (Tuotteen hinnasta on jäljellä $72\ \%$ alkuperäisestä, joten hinta on laskenut $1 - 0{,}72 = 0{,}28 = 28\ \%$.)
  3. Tuotteen hinta on noussut $0{,}2\ \%$.
  4. Tuotteen hinta on noussut $150\ \%$. (Tuotteen hinnan kaksinkertaistuminen vastaa $100\ \%$ hinnannousua, joten 2,5-kertaistuminen vastaa $150\ \%$ hinnannousua.)
  5. Tuotteen hinta on laskenut $95\ \%$. (Tuotteen hinnasta on jäljellä $5\ \%$ alkuperäisestä, joten hinta on laskenut $1 - 0{,}05 = 0{,}95 = 95\ \%$.)

Muodosta muutoskerroin eli prosenttikerroin tilanteessa, jossa junamatkustajien määrä

  1. kasvaa 45 %
  2. kaksinkertaistuu
  3. vähenee 35 %
  4. puoliintuu
  5. kolminkertaistuu.

  1. 1,45
  2. 2
  3. 0,65
  4. 0,5
  5. 3

Eksponenttista mallia noudattavilla ilmiöillä muutos tietyllä ajanjaksolla on aina yhtä monta prosenttia muuttuvan suureen senhetkisestä arvosta. Esimerkiksi kofeiinin määrä elimistössä pienenee aina viidessä tunnissa 50 % senhetkisestä määrästä, ellei henkilö nauti lisää kahvia tai muuta kofeiinia sisältävää. Viiden tunnin jaksot muodostavat siis peräkkäisten muutosten sarjan, jossa muutosprosentti pysyy koko ajan samana. Peräkkäisiin muutoksiin liittyvää prosenttilaskentaa kerrataan seuraavissa tehtävissä.

Valokuvausliike myy tiettyä järjestelmäkameraa 1000 euron hintaan. Summer Sale -kesäalennusmyynnissä hintaa alennetaan 20 prosenttia. Myöhemmin syksyllä, kun uudempi malli tulee myyntiin, hintaa lasketaan vielä 30 prosenttia.

  1. Mikä on alennettu hinta ensimmäisen alennuksen jälkeen?
  2. Mikä on alennettu hinta toisen alennuksen jälkeen?
  3. Kyseisen kameramallin kysyntä kasvaa uudemmasta mallista huolimatta, joten varaston huvetessa kauppias nostaa hintaa seuraavan vuoden alussa 20 prosenttia. Kuinka monta prosenttia uusi hinta on alkuperäisestä hinnasta?
    Vinkki: laske muutoskertoimien tulo.

  1. $0{,}8 \cdot 1000 = 800$ euroa
  2. $0{,}7 \cdot 800 = 560$ euroa
  3. Muutosta vastaava kerroin on $$ 1{,}2 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}672. $$ Uusi hinta on siis 67,2 % alkuperäisestä hinnasta. Samaan tulokseen pääsee myös laskemalla uuden hinnan $$ 1{,}2 \cdot 560 \ \euro = 672 \ \euro $$ ja vertaamalla sitä alkuperäiseen $$ \dfrac{672 \ \euro }{1000 \ \euro } = 0{,}672 = 67{,}2\ \%. $$

Pankkitilin todellinen vuosikorko on 1,5 %.

  1. Mikä on vastaava muutoskerroin?
  2. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden kuluttua talletuksesta, jos talletettu rahamäärä on $a$ euroa?
  3. Entä kahden vuoden kuluttua, jos muita talletuksia ei tehdä?
  4. Entä kolmen vuoden kuluttua?
  5. Entä $x$ vuoden kuluttua?
  6. Käytä e-kohdan lauseketta ja laske, kuinka paljon tilillä on rahaa 15 vuoden kuluttua talletuksesta, jos talletettu rahamäärä on 2000 euroa.

  1. $1{,}015$
  2. $1{,}015a$
  3. $1{,}015 \cdot 1{,}015a = 1{,}015^2\cdot a$
  4. $1{,}015^3\cdot a$
  5. $1{,}015^x \cdot a$
  6. $1{,}015^{15} \cdot 2000 \ \euro \approx 2500{,}46 \ \euro$

Eksponentiaalisena mallina voi toimia jokin eksponenttifunktio tai geometrinen lukujono. Mallinnuksen yhteydessä saatetaan päätyä ratkaisemaan eksponentti- tai potenssiyhtälöitä. Näihin liittyviä asioita opiskellaan ja kerrataan seuraavissa kappaleissa.

Alla on mallinnettu koordinaatistossa kolmea erilaista ilmiötä.

  1. Yhdistä ilmiö sopivaan kuvaan:
    Ilmiö Kuva
    Bakteerien määrä optimaalisissa olosuhteissa
    Elimistössä olevan särkylääkkeen määrä, kun huippupitoisuus on saavutettu
    Sijoius, joka kasvaa kuukausittain korkoa korolle
  2. Yhdistä eksponentiaalinen malli sopivaan kuvaan:
    Malli Kuva(t)
    Eksponenttifunktio
    Geometrinen lukujono

  1. Ilmiö Kuva
    Bakteerien määrä optimaalisissa olosuhteissa 2
    Elimistössä olevan kofeiinin määrä kahvitauon jälkeen 3
    Talletus, joka kasvaa vuosittain korkoa korolle 1
  2. Malli Kuva(t)
    Eksponenttifunktio 2, 3
    Geometrinen lukujono 1

Eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä kuvataan usein eksponenttifunktioiden avulla. Niiden avulla voidaan mallintaa ja analysoida esimerkiksi sähkövirtapiirejä, aineen radioaktiivista hajoamista, kappaleen jäähtymistä, tietynlaisten kemiallisten reaktioiden nopeutta, populaatioiden koon kasvua, tautien leviämistä, pääoman karttumista korkonkorkolaskennassa, pyramidihuijauksia ja niin edelleen.

Eksponenttifunktioiden kuvaajia tutkittiin hiukan ja kurssilla MAY1, mutta kirjataan nyt näkyviin, mitä sanalla ekponenttifunktio oikeastaan tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: EKSPONENTTIFUNKTIO

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Funktioita, jotka ovat muotoa $$f(x) = k^x,$$ sanotaan eksponenttifunktioiksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 0{,}5^x$.

  1. Piirrä funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla tai jollakin muulla laskinohjelmalla. Millaista muutosta tämä funktio kuvaa?
  2. Täydennä seuraava taulukko a-kohdan kuvaajan tai laskimen avulla:
    $x$ $-3$ $-2$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$ $\phantom{-}3\phantom{-}$
    $f(x)$
  3. Mitä funktion arvolle tapahtuu, kun muuttujan eli $x$:n arvo kasvaa yhdellä? Keksitkö säännönmukaisuuden?
  4. Miten c-kohdan havainto liittyy eksponenttifunktion $f(x) = 0{,}5^x$ kantalukuun $0{,}5$?

  1. Funktio kuvaa eksponentiaalista vähenemistä:
  2. $x$ $-3$ $-2$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$ $\phantom{-}3\phantom{-}$
    $f(x)$ $8$ $4$ $2$ $1$ $0{,}5$ $0{,}25$ $0{,}125$
  3. Funktion arvo pienenee aina puoleen, kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä.
  4. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä, funktion arvo pienee puoleen eli uusi arvo on 0,5-kertainen edelliseen arvoon verrattuna. Kerroin on sama kuin eksponenttifunktion $f(x) = 0{,}5^x$ kantaluku.

Tutkitaan funktiota $g(x) = 3^x$.

  1. Piirrä funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla tai jollakin muulla laskinohjelmalla. Millaista muutosta tämä funktio kuvaa?
  2. Täydennä seuraava taulukko a-kohdan kuvaajan tai laskimen avulla:
    $x$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$
    $g(x)$
  3. Mitä funktion arvolle tapahtuu, kun muuttujan eli $x$:n arvo kasvaa yhdellä? Keksitkö säännönmukaisuuden?
  4. Miten c-kohdan havainto liittyy eksponenttifunktion $g(x) = 3^x$ kantalukuun $3$?

  1. Funktio kuvaa eksponentiaalista kasvamista:
  2. $x$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$
    $g(x)$ $\frac{1}{3}$ $1$ $3$ $9$
  3. Funktion arvo kasvaa aina kolminkertaiseksi, kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä.
  4. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä, funktion arvo kolminkertaistuu. Kerroin on sama kuin eksponenttifunktion $g(x) = 3^x$ kantaluku.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan vielä tarkemmin eksponenttifunktioiden ominaisuuksia.

Piirrä Geogebralla tai jollakin toisella laskinohjelmistolla erilaisten eksponenttifunktioiden $f(x) = k^x$ kuvaajia valitsemalla kantaluvuksi $k$ muutamia erilaisia positiivisia reaalilukuja. Tutki tilannetta, jossa $0 < k < 1$, ja tilannetta, jossa $k > 1$. Tutki ja piirrä kuvaajia niin paljon, että saat pääteltyä vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Millainen kuvaaja on, jos kantaluvulle pätee $k > 1$? Millaista eksponentiaalista muutosta funktio tällöin kuvaa?
  2. Millainen kuvaaja on, jos kantaluvulle pätee $0 < k < 1$? Millaista eksponentiaalista muutosta funktio tällöin kuvaa?
  3. Millainen kuvaaja on, jos kantaluvulle pätee $k = 1$? Mikä funktio on tässä tapauksessa kysymyksessä?
  4. Mitä voit sanoa eksponenttifunktioiden määrittelyjoukosta? Toisin sanottuna, voidaanko eksponenttifunktioiden arvo laskea millä tahansa muuttujan arvolla?
  5. Mitä voit sanoa eksponenttifunktioiden arvoista? Saavatko ne sekä positiivisia että negatiivisia arvoja?
  6. Tutki kuvaajien avulla, mitä voit sanoa eksponenttifunktioiden arvosta kohdassa $x = 0$. Riippuuko arvo kantaluvusta $k$?

  1. Jos kantaluvulle pätee $k > 1$, niin kuvaaja on nouseva käyrä. Funktio kuvaa eksponentiaalista kasvamista.
  2. Jos kantaluvulle pätee $0 < k < 1$, niin kuvaaja on laskeva käyrä. Funktio kuvaa eksponentiaalista vähenemistä.
  3. Jos kantaluvulle pätee $k = 1$, niin kuvaaja on $x$-akselin suuntainen suora. Funktio on vakiofunktio $f(x) = 1$.
  4. Eksponenttifunktiot on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla eli niiden arvo voidaan laskea, olipa muuttujan $x$ arvo mikä hyvänsä.
  5. Eksponenttifunktiot saavat vain positiivisia arvoja eli niiden kuvaajat pysyttelevät $x$-akselin yläpuolella (lähestyvät kyllä $x$-akselia mutta eivät koskaan saavuta sitä).
  6. Eksponenttifunktiot saavat kohdassa $x = 0$ arvon $1$. Niiden kuvaajat kulkevat siis $y$-akselin pisteen $(0,1)$ kautta riippumatta kantaluvun $k$ arvosta.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan osoittaa yleispäteviksi, joten kootaan ne vielä teoreemaksi:

TEOREEMA

Olkoon $k > 0$. Eksponenttifunktio $f(x) = k^x$ on määritelty kaikilla muuttujan $x$ arvoilla. Funktion arvot ovat positiivisia eli kuvaaja pysyttelee $x$-akselin yläpuolella. Kuvaajan muoto riippuu kantaluvusta $k$:

  • Jos $k > 1$, kuvaaja on nouseva käyrä.
  • Jos $0 < k < 1$, kuvaaja on laskeva käyrä.
  • Jos $k = 1$, kysymyksessä on vakiofunktio $f(x) = 1$.

Kaikissa tapauksissa $f(0) = 1$ eli kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $1$ ja kulkee siis pisteen $(0,1)$ kautta.

Kun eksponenttifunktion avulla mallinnetaan eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä, täytyy funktio usein kertoa jollakin positiivisella vakiolla $c$, jotta alkutilanteen $x = 0$ arvo saadaan oikeaksi. Esimerkiksi alla vasemmalla on eksponenttifunktion $g(x) = 1{,}6^x$ kuvaaja ja oikealla on funktion $h(x) = 1{,}6^x \cdot 3$ kuvaaja.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan funktioiden $f(x) = k^x \cdot c$ kuvaajia ja harjoitellaan tunnistamaan, miten kantaluku $k$ ja vakio $c$ vaikuttavat kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Täydennä alla oleva taulukko yhdistämällä kuvaaja (1-5) oikeaan funktioon. Taulukossa on yksi ylimääräinen funktio.

Vinkki: Mieti, millainen kantaluku $k$ on, jos kuvaaja on laskeva tai nouseva käyrä. Mieti, miten kantaluvun suuruus vaikuttaa kuvaajaan. Miten voit hyödyntää $y$-akselin leikkauspistettä oikean funktion valitsemisessa?

Funktio Kuvaaja
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 40\phantom{0}$
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 100$
$f(x) = 0{,}7^x \cdot 40\phantom{0}$
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 40\phantom{0}$
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 100$
$f(x) = 2^x \cdot 10\phantom{00}$

Funktio Kuvaaja
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 40$ 4
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 100$ 1
$f(x) = 0{,}7^x \cdot 40$ 5
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 40$ 2
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 100$ -
$f(x) = 2^x \cdot 10$ 3

Huomaa, että mitä lähempänä ykköstä kantaluku on, sitä loivemmin kuvaaja kaartuu. Tämä auttaa yhdistämään kuvaajat 2 ja 5 oikeaan funktioon. Muiden kohdalla voi päätellä sen mukaan, onko kantaluku suurempi vai pienempi kuin 1 ja millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan eksponentiaalisen mallin käyttöä.

Tilin todellinen vuosikorko on 0,8 %. Pekka tallettaa vuoden 2019 alussa tilille 1500 euroa.

  1. Muodosta funktio, joka kuvaa tilillä olevaa rahamäärää vuoden alussa koronmaksun jälkeen, kun vuoden 2019 alusta on kulunut $x$ vuotta.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävä 2.4.
  2. Laske a-kohdan funktion avulla, kuinka paljon rahaa tilillä on vuoden 2040 alussa, jos muita talletuksia ei ole tehty.
  3. Piirrä funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla ja tutki sen avulla, milloin tilin saldo saavuttaa 2000 euron rajan.

  1. $f(x) = 1{,}008^x \cdot 1500$
  2. $f(21) = 1{,}008^{21} \cdot 1500 \approx 1773{,}22$ euroa.
  3. Kuvaajasta voidaan lukea, että tilin saldo saavuttaa 2000 euron rajan, kun vuoden 2019 alusta on kulunut noin 36 vuotta eli suunnilleen vuoden 2055 alussa.

    Huomaa, että kuvaajan avulla on vaikea päätellä ajankohtaa tarkasti. Laskemalla a-kohdan funktion arvot $f(36)$ ja $f(37)$ huomaa, että tilin saldo ylittää 2000 euron rajan vasta vuoden 2056 alussa koronmaksun jälkeen.

Kun tutkitaan, missä kohdassa eksponenttifunktio saa tietyn arvon, päädytään eksponenttiyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 1{,}5^x$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$1{,}5^x = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 1{,}5^x$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 likimain kohdassa $x \approx 3{,}4$. Tarkemmin asia voidaan ilmaista logaritmin avulla. Logaritmin käsite määriteltiin kurssilla MAY1:

MÄÄRITELMÄ: LOGARITMI

Oletetaan, että kantaluku $k$ on positiivinen ja $k \neq 1$. Positiivisen luvun $a$ $k$-kantainen logaritmi tarkoittaa lukua $x$, jolla on ominaisuus $k^x = a$. Luvusta $x$ käytetään merkintää $\log_k(a)$.

Eksponenttiyhtälön ratkaisu eli tuntematon eksponentti voidaan siis ilmaista logaritmin avulla. Esimerkiksi yhtälön $$1{,}5^x = 4$$ ratkaisu on $$\log_{1{,}5}(4).$$ Tietokoneella tai nykyaikaisella laskimella saadaan näin tarkempi likiarvo: $$\log_{1{,}5}(4) \approx 3{,}4190226.$$

Päättele tai selvitä kokeilemalla, mikä eksponentin pitää olla, jotta yhtälö toteutuu. Ilmaise vastaus myös logaritmin avulla muodossa $x = \log_k(a) = b$.

  1. $3^x = 9$
  2. $2^x = 16$
  3. $5^x = 125$.

  1. $x = \log_3(9) = 2$
  2. $x = \log_2(16) = 4$
  3. $x = \log_5(125) = 3$

Eksponentiaalisen mallin soveltaminen voi johtaa myös niin sanottuun potenssiyhtälöön. Jos kantaluku on tuntematon ja eksponentti on jokin kokonaisluku $n \geq 2$, päädytään potenssiyhtälöön $$x^n = a.$$ Toisen asteen potenssiyhtälö opittiin ratkaisemaan neliöjuuren avulla kurssissa MAB2. Esimerkiksi yhtälöllä $$x^2 = 7$$ on kaksi ratkaisua $\sqrt{7}$ ja $-\sqrt{7}$: Positiivinen ratkaisu on $\sqrt{7} \approx 2{,}6$. Negatiivinen ratkaisu on sen vastaluku.

Luvun $7$ neliöjuurelle pätee määritelmän mukaan kaksi asiaa: $$\sqrt{7} \geq 0 \quad \text{ ja } \quad \left(\sqrt{7}\right)^2 = 7.$$

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Korkeamman asteen potenssiyhtälöiden ratkaisujen määrä riippuu vastaavien potenssifunktioiden $f(x) = x^n$ kuvaajien muodosta. Jos eksponentti $n$ on parillinen, kuvaaja muistuttaa muodoltaan U-kirjainta ja ratkaisuja on 0-2 kappaletta yhtälöstä riippuen. Esimerkiksi yhtälöllä $x^4 = 3$ on kaksi ratkaisua, joita merkitään $\sqrt[4]{3}$ ja $-\sqrt[4]{3}$:

Jos eksponentti n on pariton, kuvaaja muistuttaa X-kirjaimen toista vinoviivaa ja ratkaisuja on aina yksi. Esimerkiksi yhtälöllä $x^3 = 3$ on vain yksi ratkaisu, jota merkitään $\sqrt[3]{3}$:

Kummassakin tapauksessa ratkaisut ilmaistaan juurten avulla.

MÄÄRITELMÄ: N:S JUURI

  • Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku ja $a \geq 0$, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^n = a.$$
  • Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^n = a.$$

Eksponenttifunktioita vastaavan tärkeän lukujonojen luokan muodostavat geometriset lukujonot. Niitä tutkittiin jo kurssissa MAY1

MÄÄRITELMÄ: GEOMETRINEN LUKUJONO

Lukujono $(a_n)$ on geometrinen, jos ja vain jos sen kahden peräkkäisen jäsenen suhde eli osamäärä on aina sama. Toisin sanottuna jos on olemassa sellainen luku $q$, että $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$.
Suhde $q$ on nimeltään jonon suhdeluku.

TEOREEMA

Geometrisen jonon $(a_n)$ jäsenet saadaan laskettua, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ ja jonon suhdeluku $q$, sillä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1q^{n-1}.$$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.