Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Toisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti toisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää toisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä toisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • tutkia toisen asteen yhtälön ratkaisuja graafisesti ja määrittää luvun neliöjuuren
  • ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla
  • laskea polynomien tulon
  • ratkaista vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä myös neliöjuuren ja tulon nollasäännön avulla
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Kurssin alkupuolella perehdyttiin ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, joiden kuvaaja on aina suora. Tässä kappaleessa tutustutaan toisen asteen polynomifunktioihin.

Yksinkertaisin toisen asteen polynomifunktio on funktio $f(x) = x^2$. Sen kuvaaja on alla:
Päättele kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 2$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

  1. $f(-1) = 1$
  2. Kohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 2$.
  3. Pienin arvo on $0$.
  4. Kaksi ratkaisua, sillä kuvaaja käy korkeudella $2$ kahdessa eri kohdassa.
  5. Ei yhtään ratkaisua, sillä kuvaaja ei missään vaiheessa käy korkeudella $-1$.

Seuraavassa määritelmässä sovitaan, millaisia funktioita kutsutaan toisen asteen polynomifunktioiksi.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax^2+bx+c,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Huomaa, että kerroin $b$ ja vakio $c$ saattavat olla myös nollia. Esimerkiksi funktiot $$g(x) = 5x^2-7 \quad \text{ja} \quad h(x) = x^2-4x$$ ovat toisen asteen polynomifunktioita. Funktion $g$ tapauksessa kerroin $b = 0$ ja funktion $h$ tapauksessa vakio $c = 0$.

Tutkitaan funktiota $f(x) = -0{,}25x^2 + x + 2$

  1. Vertaa funktion lauseketta toisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä $b$? Entä mikä on vakio $c$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 6$ eli laske, mitä on $f(6)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = -0{,}25$ ja $b = 1$ ja $c = 2$.
  2. $f(6) = -1$
  3. $f(0) = 2$
  4. Pisteet ovat $(6,-1)$ ja $(0,2)$.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina muodoltaan paraabeli. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten kerroin $a$ ja vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajaan.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $

Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $ A
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $ C
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $ D
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $ B
  1. Jos $a > 0$, kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
  2. Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax^2 + bx + c,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on paraabeli, jonka yhtälö on $$y = ax^2 + bx + c.$$ Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella paraabeli leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan määrää sen, onko paraabeli ylös- vai alaspäin aukeava. Paraabeli $y = ax^2 + bx + c$ on

  • ylöspäin aukeava, jos $a > 0$
  • alaspäin aukeava, jos $a < 0$.

Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylintä pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$-koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \ $

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $

Huipun $x$-koordinaatti on $x = 4$.

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$.

  1. Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion $f$ arvoja:
    $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $
  2. Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$-koordinaatti.
  3. Määritä huipun $y$-koordinaatti laskemalla.
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

  1. $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
  2. Huipun $x$-koordinaatti on $x = 1{,}5$.
  3. Huipun $y$-koordinaatti on $y = f(1{,}5) = -7{,}5$.

Toisen asteen polynomifunktioiden avulla voidaan tutkia toisen asteen yhtälöiden ratkaisuja. Esimerkiksi toisen asteen polynomifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen luku $b \geq 0$, jonka toinen potenssi on seitsemän eli $b^2 = 7$.

Muiden positiivisten lukujen neliöjuuret sekä nollan neliöjuuri määritellään vastaavalla tavalla kuin luvun 7 neliöjuuri. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Luvun $a$ neliöjuurelle pätee siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $$\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{ ja } \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a.$$ Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

  1. $\sqrt{4} = 2$
  2. $\sqrt{1} = 1$
  3. $\sqrt{0} = 0$
  4. $\sqrt{9} = 3$

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat? Ilmaise vastaukset tarvittaessa neliöjuuren avulla.

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

  1. Yksi ratkaisu: yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$
  2. Kaksi ratkaisua: yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$
  3. Kaksi ratkaisua: yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{5}$
  4. Ei ratkaisua.

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$ sillä $$\frac{1}{2} \geq 0 \ \text{ ja } \ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä.

  1. $\sqrt{36}$
  2. $\sqrt{100}$
  3. $\sqrt{49}$
  4. $\sqrt{144}$

  1. $\sqrt{36} = 6$, sillä $6 \geq 0$ ja $6^2 = 36$
  2. $\sqrt{100} = 10$, sillä $10 \geq 0$ ja $10^2 = 100$
  3. $\sqrt{49} = 7$, sillä $7 \geq 0$ ja $7^2 = 49$
  4. $\sqrt{144} = 12$, sillä $12 \geq 0$ ja $12^2 = 144$

Merkinnässä $\sqrt{a}$ neliöjuuren alla olevaa lukua $a$ sanotaan juurrettavaksi. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, mikä on neliöjuuren arvo siinä tapauksessa, että juurrettava on jonkin luvun toinen potenssi. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan siis neliöjuuria, jotka ovat muotoa $$ \sqrt{c^2} $$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä. Kannattaa aloittaa sieventämällä juurrettava.

  1. $\sqrt{5^2}$
  2. $\sqrt{(-9)^2}$

  1. $\sqrt{5^2} = 5$
  2. $\sqrt{(-9)^2} = 9$

Tarkastele edellisen tehtävän vastauksiasi ja päättele niiden avulla, mikä ehto luvun $c$ pitää toteuttaa, jotta

  1. $\sqrt{c^2} = c$
  2. $\sqrt{c^2} = -c$

  1. $c \geq 0$
  2. $c < 0$

Kun tutkitaan, missä kohdassa toisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään toisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = x^2 - 4x + 3$ saa arvon $3$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$ f(x) = 3 $$ eli yhtälöä $$ x^2 - 4x + 3 = 3. $$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mitkä kuvaajan pisteet ovat korkeudella 3:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 3 kohdissa $x = 0$ ja $x = 4$. Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 4$.

Tehtävänä on ratkaista toisen asteen yhtälö $$ -x^2 + 4x + 1 = 5 $$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä koordinaatistoon funktion $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan pisteet ovat korkeudella 5.
  2. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on? Luettele kaikki ratkaisut.
  3. Tarkista jokainen ratkaisu sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun 5?

  1. Kuva:
  2. Yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = 2$.
  3. Yhtälön vasen puoli: \begin{align*} -2^2 + 4 \cdot 2 + 1 &= -4 + 8 + 1 \\ &= 5. \end{align*} Tulos on sama kuin yhtälön oikea puoli, joten $x = 2$ on todella yhtälön ratkaisu.

Toisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ax^2 + bx + c = 0,$$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin toisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ nollakohdat.

Keksi esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta, joka on muotoa $$ f(x) = ax^2 + c $$ ja jolla

  1. on kaksi nollakohtaa
  2. on tasan yksi nollakohta
  3. ei ole yhtään nollakohtaa.

Piirrä myös funktioiden kuvaajat.

  1. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2 - 1$$
  2. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2$$
  3. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2 + 1$$

Toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen on onnistuttu kehittämään laskumenetelmä, jolla löydetään minkä tahansa toisen asteen yhtälön kaikkien ratkaisujen tarkat arvot. Selitys sille, miksi menetelmä toimii, löytyy MAA2-kurssin kappaleesta Toisen asteen yhtälö. Menetelmä itsessään on seuraava:

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Jos juurrettava on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Havainnollistetaan ratkaisukaavan käyttöä yhtälön $$ 3x + 10 = x^2 - 8 $$ avulla. Kaavan käytössä on seuraavat vaiheet:

  • Muokataan yhtälö perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: \begin{align*} 3x + 10 &= x^2 - 8 \qquad | {}+ 8 - x^2\\[1mm] 3x + 18 - x^2 &= 0 \\[1mm] -x^2 + 3x + 18 &= 0 \end{align*}
  • Tunnistetaan kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakio $c$: \begin{align*} \textcolor{red}{-}x^2 + \textcolor{blue}{3}x + \textcolor{magenta}{18} &= 0 \\ \textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{magenta}{c} &= 0 \end{align*} Tässä $a = -1$, $b = 3$ ja $c = 18$.
  • Sijoitetaan luvut omille paikoilleen ratkaisukaavaan ja sievennetään: \begin{align*} x &= \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{magenta}{c} }}{2\textcolor{red}{a} } \\[2mm] &= \frac{-\textcolor{blue}{3} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2-4 \cdot (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{magenta}{18} }}{2 \cdot (\textcolor{red}{-1}) }\\[2mm] &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{-2} \\[2mm] &= \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{-2} \\[2mm] &= \frac{-3 \pm 9}{-2} \end{align*}
  • Tulkitaan tuloksesta ratkaisujen lukumäärä ja ilmoitetaan ratkaisut. Nyt ratkaisuja on kaksi kappaletta. Ratkaisut ovat \begin{align*} x_1 &= \frac{-3+9}{-2} = \dfrac{6}{-2} = -3 \\[2mm] x_2 &= \frac{-3-9}{-2} = \dfrac{-12}{-2} = 6 \end{align*} Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $x = -3$ tai $x = 6$.

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt ratkaisukaavan avulla:

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 - x - 2 = 0$
  3. $4x^2 + 1 = 4x$
  4. $4x^2 - 4x + 6 = x^2 - 3x + 5$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = \dfrac{1}{2}$
  4. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska neliöjuurimerkin alle juurrettavaksi tulee negatiivinen luku $-11$.

Toisen asteen yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ ratkaisujen lukumäärä riippuu siitä, minkä merkkinen juurrettava ratkaisukaavaan tulee. Jos

  • juurrettava on positiivinen, ratkaisuja on kaksi
  • juurrettava on nolla, ratkaisuja on yksi
  • juurrettava on negatiivinen, ratkaisuja ei ole.

Koska toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli, graafisestikin voidaan päätellä, että muita vaihtoehtoja ei ole:

Tässä tehtävässä tutkitaan kolmella erilaisella tavalla, kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $$ 4x^2 - 28x + 49 = 0. $$ Selvitä ratkaisujen lukumäärä

  1. tutkimalla, onko ratkaisukaavassa juurrettava positiivinen, nolla vai negatiivinen
  2. käyttämällä ratkaisukaavaa ja määrittämällä ratkaisut sen avulla
  3. graafisesti piirtämällä sopivan polynomifunktion kuvaaja.

  1. Juurrettava on nolla, joten ratkaisuja on yksi: $$ b^2 - 4ac = (-28^2) - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 0. $$
  2. Ratkaisukaavan avulla saadaan: \begin{align*} x &= \dfrac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4} \\[2mm] &= \dfrac{28 \pm \sqrt{0}{8} \\[2mm] &= \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2} \end{align*} eli ratkaisuja on yksi.
  3. Polynomifunktiolla $f(x) = 4x^2 - 28x + 49$ on tasan yksi nollakohta, joten yhtälöllä $4x^2 - 28x + 49 = 0$ on tasan yksi ratkaisu:

Jotta toisen asteen yhtälö saadaan muokattua perusmuotoon, täytyy joissakin tapauksissa laskea polynomien tulo. Palautetaan seuraavaksi mieleen, miten polynomeja kerrotaan keskenään.

Kun polynomi kerrotaan luvulla, kerrotaan jokainen termi erikseen: $$ \textcolor{blue}{2}(3x-4) = \textcolor{blue}{2} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2}\cdot 4 = 6x - 8. $$ Samalla tavalla toimiaan myös silloin, kun polynomi kerrotaan monomilla: $$ \textcolor{blue}{2x}(3x-4) = \textcolor{blue}{2x} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2x}\cdot 4 = 6x^2 - 8x. $$

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain: otetaan ensimmäisen tulon tekijän

  • ensimmäinen termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen
  • toinen termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen
  • kolmas termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen.

Näin jatketaan, kunnes ensimmäisen tulon tekijän kaikki termit on käytetty. Esimerkiksi tulossa $$(2x-5)(3x-4)$$ kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-5$: \begin{align*} (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-5})(3x-4) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2x} \cdot 4 + (\textcolor{red}{-5}) \cdot 3x + (\textcolor{red}{-5}) \cdot (-4) \\ &= \textcolor{blue}{6x^2 - 8x}\textcolor{red}{-15x + 20} \\ &= 6x^2 - 23x + 20 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $x(7-5x)$
  2. $(x+2)(8x-1)$
  3. $(4x+3)(4x-3)$

  1. $x(7-5x) = 7x-5x^2$
  2. $(x+2)(8x-1) = 8x^2 + 15x - 2$
  3. $(4x+3)(4x-3) = 16x^2 - 9$

Polynomien potenssit voidaan laskea muuttamalla ne ensin tulomuotoon. Esimerkiksi \begin{align*} (x-5)^2 &= (x-5)(x-5) \\[1mm] &= x^2 - 5x - 5x + 25 \\[1mm] &= x^2 - 10x + 25. \end{align*}

Laske seuraavat potenssit. Aloita kirjoittamalla lauseke tulomuodossa.

  1. $(x+3)^2$
  2. $(2x-1)^2$
  3. $(7-x)^2$

  1. $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
  2. $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
  3. $(7-x)^2 = 49 - 14x + x^2$

Kaikki toisen asteen yhtälöt saa ratkaistua ratkaisukaavan avulla, kunhan ne aluksi muokkaa perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$. Esimerkiksi yhtälön $$x(2x-3)-3x(1-x) = -1$$ tapauksessa ensin on laskettava kertolaskut: \begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*} Perusmuodosta voidaan tunnistaa, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\[2mm] &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*} Yhtälöllä on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{10}{10} = 1 \quad \text{ ja } \quad x_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt. Muuta yhtälöt ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$, $b$ ja $c$. Huomioi myös etumerkit.

  1. $7(x^2 + 1) = 50x$
  2. $(-3x-1)(x-2) = 4$
  3. $(3x-1)(x+2) = 6x - 2$

  1. $x = \dfrac{1}{7} \ $ tai $\ x = 7$
  2. $x = \dfrac{2}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{3}$

Toisen asteen yhtälö, jonka perusmuodossa kerroin $b = 0$ tai vakio $c = 0$, on nimeltään vaillinainen toisen asteen yhtälö. Tällaiset yhtälöt saadaan ratkaistua myös ilman ratkaisukaavaa. Jos $b = 0$ eli yhtälö on perusmuodossa $$ax^2 + c = 0,$$ saadaan yhtälö muokattua muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja ratkaistua neliöjuuren avulla. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*} Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Yhtälön ratkaisu näyttää siis välivaiheineen tältä: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 \quad &\mid + 21 \\[1mm] 3x^2 &= 21 \quad &\mid \ : 3 \\[1mm] x^2 &= 7 \\[1mm] x = \sqrt{7} \ \ &\text{tai } \ x = -\sqrt{7} \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $2x^2 = 50$
  2. $7x^2 - 14 = 0$
  3. $3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

  1. $x = -5 \ $ tai $\ x = 5$
  2. $x = \sqrt{2} \ $ tai $\ x = -\sqrt{2}$
  3. $x = 6 \ $ tai $\ x = -6$

Tässä kappaleessa tutustutaan tulon nollasääntöön. Sen avulla voidaan ratkaista sellaisia polynomiyhtälöitä, joissa yhtälön toisella puolella on polynomien tulo ja yhtälön toisella puolella $0$. Yksi tällainen yhtälö on esimerkiksi $$ (x-2)(3x-4) = 0. $$ Aloitetaan tutkimalla tilannetta, jossa tulon tekijänä on nolla.

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

  1. $2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
  2. $8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
  3. $661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

Kaikkien tulojen arvo on nolla.

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin.

  1. On mahdollista, että $a \neq 0$ ja $b \neq 0$.
  2. Voidaan olla varmoja, että $a = 0$ ja $b = 0$.
  3. Voidaan olla varmoja, että $a = 0$ tai $b = 0$.

  1. Väite on epätosi.
  2. Väite on epätosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$, niin $ab = 0$.
  3. Väite on tosi.

Edellisen tehtävän pohdinnat johtavat seuraavaan teoreemaan eli tulon nollasääntöön. Sen mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla.

TEOREEMA

$xy = 0$, jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

  • Oletetaan aluksi, että $xy = 0$. On kaksi mahdollisuutta: joko $x = 0$ tai $x \neq 0$. Tutkitaan molemmat:
    • Jos $x = 0$, niin väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    • Jos $x \neq 0$, niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$. Näin päädytään yhtälöön $y = 0$. Siis väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    Näin on näytetty, että jos $xy = 0$, niin $x = 0$ tai $y = 0$.
  • Oletetaan, että $x = 0$ tai $y = 0$. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
    • Jos $x = 0$, niin $xy = 0\cdot y = 0$. Siis $xy = 0$.
    • Jos $y = 0$, niin $xy = x \cdot 0 = 0$. Siis $xy = 0$.
    Näin on näytetty, että jos $x = 0$ tai $y = 0$, niin $xy = 0$.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla: \begin{align*} x-2 = 0 \quad &\text{ tai } \quad 3x-4 = 0 \\[1mm] x = 2 \quad &\text{ tai } \quad 3x = 4 \\[1mm] x = 2 \quad &\text{ tai } \quad x = \frac{4}{3} \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x-1)(x+5) = 0$
  2. $(x+7)(4x-32) = 0$
  3. $(6-2x)(2x-1) = 0$.

  1. $x = 1 \ $ tai $\ x = -5$
  2. $x = -7 \ $ tai $\ x = 8$
  3. $x = 3 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Tulon nollasäännön avulla saadaan ratkaistua kaikki vaillinaiset toisen asteen yhtälöt, jotka ovat muotoa $$ax^2 + bx = 0.$$ Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona. Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Erota yhteinen tekijä $x$ ja ratkaise sen jälkeen tulon nollasäännön avulla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = 4$
  2. $x = 0 \ $ tai $\ x = -5$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Materiaalin edellisissä luvuissa on ratkaistu joitakin käytännön ongelmia ensimmäisen asteen yhtälön, yhtälöparin ja verrantoyhtälön avulla. Joskus ongelman mallintaminen matemaattisesti johtaa toisen asteen yhtälöön. Seuraavassa tehtävässä on yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Rivitalon pihalle rakennetaan suorakulmion muotoinen uima-allas, jonka pituus on 3,0 m ja leveys 2,5 m. Allas reunustetaan laatoituksella alla olevan kuvan mukaisesti. Laattoja saatiin tarjouksesta 20 neliömetrin verran. Tehtävänä on selvittää, kuinka leveä laatoituksesta voidaan tehdä. Kuvassa laatoituksen leveyttä on merkitty kirjaimella $x$.

  1. Mikä on altaan ja laatoituksen yhteenlaskettu pituus? Entä leveys? Muodosta kummallekin sopiva lauseke.
  2. Mikä on altaan ja laatoituksen kokonaispinta-ala? Muodosta lauseke a-kohdan avulla.
  3. Laske altaan pinta-ala.
  4. Muodosta lauseke laatoituksen pinta-alalle edellisten kohtien avulla.
  5. Muodosta yhtälö, josta voit ratkaista laatoituksen leveyden. Kuinka leveä laatoituksesta voidaan tehdä?

  1. Pituus on $3 + 2x$ ja leveys on $2{,}5 + 2x$.
  2. Altaan ja laatoituksen kokonaispinta-ala on pituuden ja leveyden tulo $$ 7{,}5 + 11x + 4x^2 $$
  3. Altaan pinta-ala on $$3\cdot 2{,}5 = 7{,}5$$ neliömetriä.
  4. Laatoituksen pinta-ala saadaan b- ja c-kohtien erotuksena: $$ 11x + 4x^2 $$
  5. Yhtälö on $$ 11x + 4x^2 = 20. $$ Kun se muutetaan perusmuotoon ja ratkaistaan, saadaan ratkaisut $x_1 = -4$ ja $x_2 = 1{,}25$. Laatoituksen leveys ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisu $x_1$ ei kelpaa. Siis laatoituksen leveys on 1,25 metriä.

Yhtälön muodostaminen ei aina ole välttämätöntä tai luontevaa. Seuraavassa tehtävässä muodostetaan sen sijaan ilmiötä kuvaava funktio ja tutkitaan sen ominaisuuksia graafisesti.

Kesätapahtumaan suunnitellaan kahvin ja virvokkeiden myyntiä. Edellisten vuosien perusteella tiedetään, että jos kahvikupillisen hinta on 1,5 euroa, kupillisia menee kaupaksi noin 200 kappaletta. Arvoidaan, että jokainen 10 sentin hinnan korotus vähentää menekkiä aina viidellä kupillisella. Tehtävänä on selvittää, mikä kannattaa kahvikupillisen hinnaksi asettaa, jotta myyntitulo on mahdollisimman hyvä.

  1. Muodosta lausekkeet kahvikupin hinnalle ja menekille täydentämällä seuraava päättely:
    • Jos hintaa korotetaan yhdellä kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan kahdella kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan kolmella kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan $x$ kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
  2. Muodosta lauseke funktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnistä saatavan rahamäärän, kun hintaa on korotettu $x$ kymmensenttisellä.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla ja tutki graafisesti, mikä kannattaa kahvikupillisen hinnaksi asettaa, jotta myyntitulo olisi mahdollisimman hyvä. Perustele vastauksesi omin sanoin ja kuvan avulla.

    • Jos hintaa korotetaan yhdellä kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan kahdella kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{2} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{2}\cdot 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan kolmella kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{3} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{3}\cdot 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan $x$ kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{x} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{x}\cdot 5$ kupillista.
  1. Myyntitulon ilmaisee funktio \begin{align*} f(x) &= (1{,}5 + 0{,}1x)(200 - 5x) \\[1mm] &= 300 + 12{,}5x - 0{,}5x^2 \end{align*}
  2. Funktion $f(x)$ kuvaaja:

    Kuvaajasta nähdään, että myyntitulo on suurimmillaan, kun korotus on noin $12{,}5 \cdot 0{,}1 = 1{,}25$ euroa. Kahvikupillisen hinta on tällöin n. $1{,}5 + 1{,}25 = 2{,}75$ euroa. Tämä on käytännön myyntiä ajatellen melko epäkäytännöllinen hinta (vaihtorahojen kannalta), joten korotukseksi voi harkita myös $10 \cdot 0{,}1 = 1$ euroa. Tällöin kahvikupillisen hinta on $1{,}5 + 1{,}0 = 2{,}5$ euroa, mutta myyntitulo on vain noin kolme euroa pienempi.

Seuraavassa tehtävässä yhdistyvät verrannollisuus ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen.

Poliisin tekninen tutkinta mittasi onnettomuuspaikalta 42 metrin pituiset jarrutusjäljet. Testissä vastaava auto pysähtyi 40 km/h nopeudesta 7 metrin matkalla. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella onnettomuusauto liikkui ennen jarrutuksen alkamista. Tiedetään, että jarrutusmatkan pituus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin.

  1. Kokoa tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävä 3.9.
  2. Muodosta taulukon avulla sopiva verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä oli auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista?

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Onnettomuus $42$ $x^2$
    Testi $7$ $40^2 = 1600$
  2. Verrantoyhtälö on $$ \dfrac{x^2}{1600} = \dfrac{42}{7} $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x^2 = 9600 $$ eli $x = \sqrt{9600} \approx 98$ tai $x = -\sqrt{9600} \approx -98$. Negatiivinen vastaus voidaan rajata pois, koska kysymyksessä on nopeus. Siis auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista oli noin 98 km/h.

Toisen asteen polynomifunktio

Moottoritielle suunnitellaan kaksikaistaista tunnelia, jonka poikkileikkaus vastaa funktion $f(x) = 6-0{,}25x^2$ kuvaajan ja $x$-akselin rajaamaa aluetta (pituuden yksikkönä metri).

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.
  2. Suomessa kuorma-auton suurin sallittu korkeus on 4,4 m ja leveys 2,6 m. Mahtuisiko kaksi tällaista kuorma-autoa ajamaan vierekkäin suunnitellun tunnelin läpi?
  3. Millaisen rajoituksen asettaisit tunnelin kautta kulkevien ajoneuvojen korkeudelle, jos suurin sallittu leveys on 2,6 metriä?

  1. Kuva:

  2. Ei, sillä $f(2{,}6) = 4{,}31 < 4,{4}$. Tunnelin katto on seinän vieressä liian matalalla.
  3. Esimerkiksi enintään 4,0 m.

Toisen asteen polynomifunktio

Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-x-2$
  2. $f(x) = x^2-8x+16$
  3. $f(x) = (x+2)(3-x)$

Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $f$ kuvaaja.

  1. Nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. Nollakohta $x = 4$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x \neq 4$.
  3. Nollakohdat $x_1 = -2$ ja $x_2 = 3$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $-2 < x < 3$.

Neliöjuuri

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo käyttämättä laskimen neliöjuurinappulaa.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt{16}$
  3. $\sqrt{64}$
  4. $\sqrt{25}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella.

  1. $\sqrt{81} = 9$, sillä $9 \geq 0$ ja $9^2 = 81$.
  2. $\sqrt{16} = 4$, sillä $4 \geq 0$ ja $4^2 = 16$.
  3. $\sqrt{64} = 8$, sillä $8 \geq 0$ ja $8^2 = 64$.
  4. $\sqrt{25} = 5$, sillä $5 \geq 0$ ja $5^2 = 25$.

Neliöjuuri yhtälön ratkaisuna

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5}$
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \dfrac{2}{3}$ tai $x = -\dfrac{2}{3}$
  3. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{3}$ tai $x = -\sqrt{3}$
  4. Ei ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli aina suurempi tai yhtä suuri kuin 27, sillä termi 3x^2 ei koskaan ole negatiivinen. Yhtälön vasen puoli ei siis koskaan saa arvoa nolla.

Neliöjuuri yhtälön ratkaisuna

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Jos yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, selitä omin sanoin, miksi näin on.

  1. $2x^2-2 = 0$
  2. $x^2+5 = 0$
  3. $8-x^2 = 0$
  4. $-4x^2 = 0$

  1. $x = 1\ $ tai $\ x = -1$
  2. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä toinen potenssi ei koskaan ole negatiivinen. Mikään luku ei siis toteuta yhtälöä $x^2 = -5$.
  3. $x = \sqrt{8}\ $ tai $\ x = -\sqrt{8}$
  4. $x = 0$

Polynomien tulo

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(3x+1)(3x-1)$
  2. $(4x+5)^2$
  3. $(6x-2)^2$

  1. $9x^2-1$
  2. $16x^2+40x+25$
  3. $36x^2-24x+4$

Polynomien tulo

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(x+2)(x^2-5x+4)$
  2. $3x(x-6) - (x-2)(x-4)$
  3. $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\left(8x + \dfrac{1}{4}\right)$

  1. $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$
  2. $2x^2-12x-8$
  3. $4x^2+ \dfrac{65}{8}x+\dfrac{1}{4}$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt:

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
  3. $x^2 = 3x$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = 3$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{2}x = 0$
  2. $\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{5}{2}x = -\dfrac{7}{12}$
  3. $x + 3 = \dfrac{10}{x}$

Vinkki: Jos kertoimet ovat murtolukuja, yksi strategia on kertoa yhtälön molemmat puolet sellaisella luvulla, jotka supistavat nimittäjät pois.

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = -\dfrac{3}{2}$
  2. $x = \dfrac{7}{2} \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{4}$
  3. $x = 2 \ $ tai $\ x = -5$

Toisen asteen yhtälö

Millä vakion $a$ arvolla

  1. yhtälöllä $x^2 + ax + 3 = 0$ on tasan yksi ratkaisu?
  2. yhtälöllä $ax^2+2x+3 = 0$ on ainakin yksi ratkaisu?

  1. $a = 2\sqrt{3}$ tai $a = -2\sqrt{3}$
  2. $a \leq \frac{1}{3}$

Sovelluksia

Hedelmiä, joiden hinta on 2 €/kg, myydään päivittäin 80 kg. Kauppias arvelee, että kilohinnan nostaminen 50 sentillä johtaa aina menekin pienenemiseen 5 kilogrammalla.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun hedelmien hinta on 2 €/kg?
  2. Jos kilohintaa nostetaan $0{,}5x$ euroa, kuinka paljon hedelmiä myydään?
  3. Muodosta lauseke toisen asteen polynomifunktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa kilohintaa on nostettu $0{,}5x$ euroa.
  4. Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele niiden avulla, mikä on funktion $f$ huipun $x$-koordinaatti.
  5. Mikä kilohinnan pitää olla, jotta myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 160 €
  2. $80-5x$ kilogrammaa
  3. $f(x) = (2+0{,}5x)(80-5x)$
  4. Nollakohdat $x_1 = -4$ ja $x_2 = 16$, huippu niiden puolivälissä eli $x = 6$
  5. $2 + 0{,}5\cdot 6 = 5$ €/kg, myynnin kokonaisarvo $f(6) = 250$ euroa

Sovelluksia

Uudelle asuinalueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joiden pinta-ala on $2600 \text{ m}^2$. Mikä pitää valita tontin leveydeksi, jos halutaan, että tontin pituus on 25 m suurempi kuin sen leveys?

Leveydeksi pitää valita 40 m. Yhtälö on $x(x + 25) = 2600$.

Sovelluksia

Onko mahdollista jakaa luku 20 kahden kokonaisluvun summaksi niin, että

  1. yhteenlaskettavien tulo on 96
  2. yhteenlaskettavien tulo on 86

Keksi esimerkki tällaisista kokonaisluvuista tai perustele, ettei sellaisia ole olemassa.

  1. 8 ja 12
  2. Ei ole mahdollista, sillä yhtälön $x(20-x) = 86$ ratkaisut eivät ole kokonaislukuja.

Sovelluksia

Rakennuspiirustuksessa huoneen leveydeksi on merkitty $3{,}00 \text{ m}$ ja pituudeksi $5{,}00 \text{ m}$. Huonetta halutaan kuitenkin suurentaa niin, että sen pituus ja leveys kasvavat yhtä monta senttimetriä. Kuinka leveäksi huone voidaan tehdä, jos sen pinta-ala saa olla enintään $20 \text{ m}^2$? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.

Enintään $3{,}58$ metriä leveäksi. Yhtälö on $(3 + x)(5 + x) = 20$, missä $x$ on pituuden ja leveyden lisäys metreinä.

Sovelluksia

Joen rannalta halutaan aidata hevosille laidun. Aitamateriaalia on käytettävissä on 200 metriä.

  1. Muodosta funktio, joka ilmaisee laitumen pinta-alan, jos kummankin rantaan rajoittuvan sivun pituus on $x$.
  2. Millaiset laitumen mittojen pitäisi olla, jotta laitumen pinta-ala olisi $4200 \text{ m}^2$?
  3. Millaiset laitumen mitat ovat tilanteessa, jossa laitumen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä tämä pinta-ala on?
    Vinkki: määritä a-kohdan funktion nollakohdat ja etsi niiden avulla symmetriaa hyödyntäen kohta, jossa funktio saa suurimman arvonsa.

  1. $f(x) = 200x - 2x^2$
  2. Kaksi vaihtoehtoa:
    • rantaan rajoittuvien sivujen pituus 70 m ja rannan suuntainen sivu 60 m
    • rantaan rajoittuvien sivujen pituus 30 m ja rannan suuntainen sivu 140 m.
  3. Rantaan rajoittuvat sivut ovat 50 m ja rannan suuntainen sivu on 100 m. Pinta-ala $5000 \text{ m}^2$.

  1. Hannele on ratkaissut yhtälön $$ 2(x^2 + x + 3) = 8(x + 1) + 2x^2, $$ mutta välivaiheet ovat menneet sekaisin. Järjestä välivaiheet (B)–(F) niin, että ne muodostavat yhtälön loogisesti etenevän ratkaisun. Vastausta ei tarvitse perustella.
  2. Myös Pauliinan laskun välivaiheet ovat menneet sekaisin, ja lisäksi mukaan on tullut yksi johonkin muuhun laskuun kuuluva välivaihe. Tehtävänä on valita alla olevista kohdista (B)–(F) neljä ja järjestää ne niin, että niistä muodostuu yhtälön $$ 20 + 4x = x^2 + 8 $$ ratkaisu. Vastausta ei tarvitse perustella.

[Lyhyt S2017/3]

  1. A F C E D B G
  2. A B E F D G

  1. Ratkaise yhtälö $$ t^2 - \frac{5}{2}t + 1 = 0. $$
  2. Ratkaise yhtälö $$ [f(x)]^2 - \frac{5}{2}f(x) + 1 = 0, $$ missä $f(x)$ on kuvion funktio.

    Vinkki: Vertaa a- ja b-kohdan yhtälöitä. Pystytkö päättelemään funktion arvon $f(x)$, jolla b-kohdan yhtälö toteutuu? Funktion kuvaaja auttaa selvittämään, mikä on vastaava muuttujan $x$ arvo. (Muitakin ratkaisutapoja voi keksiä, tämä ei ole ainoa tapa.)

[Lyhyt S2016/4]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $t = \dfrac{1}{2}$ tai $t = 2$.
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = -1$ tai $x = 2$.

  1. Ratkaise yhtälö $$ x^2 - 2x = 0. $$
  2. Anna esimerkki toisen asteen yhtälöstä, jonka yksi juuri on $x = 1$.

[Lyhyt S2012/1a & K2015/2b ]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 2$.
  2. Esimerkiksi $x^2 = 1$.

  1. Millä vakion $a$ arvolla funktion $$f(x) = ax^2-4x+8$$ pienin arvo on $0$?
  2. Millä vakion $b$ arvolla funktio $$g(x) = bx^2-4x+8$$ saa positiivisia arvoja täsmälleen silloin, kun $-2 < x < 1$?

[Lyhyt K2014/10]

  1. $a = \frac{1}{2}$
  2. $b = -4$

  1. Ratkaise yhtälö $$(x-2)^2 = 4.$$
  2. Laske lausekkeen $$ a(b-2) + (a-b)^2 - b(1-a) $$ arvo, kun $a = 2$ ja $b = -2$.

[Lyhyt S2013/1a & 1c]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 4$.
  2. Kysytty arvo on 6.

Tarkastellaan paraabelia $$y = x^2 - 12x + 35.$$

  1. Missä pisteissä paraabeli leikkaa $x$-akselin?
  2. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.

[Lyhyt S2012/4]

  1. Pisteissä $(5,0)$ ja $(7,0)$.
  2. Paraabelin huippu on pisteessä $(6,-1)$.

  1. Määritä sellainen vakio $a$, että $x = 2$ toteuttaa yhtälön $$x^2 - 4ax + 4a^2 = 0.$$
  2. Ratkaise yhtälö $$x^2 - 3(x+3) = 3x - 18.$$

[Lyhyt K2011/3a & S2011/1c]

  1. $a = 1$
  2. $x = 3$

  1. Tutki, millä muuttujan $x$ arvoilla polynomi $$ 2x^2 + 5x - 3 $$ saa negatiivisia arvoja.
  2. Ratkaise yhtälö $$ 7x(3+7x) - 4 = 0. $$

[Lyhyt K2009/3b & K2007/1b]

  1. Kyseinen polynomi saa negatiivisia arvoja, jos ja vain jos $-3 < x < \frac{1}{2}$.
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{1}{7}$ tai $x = -\frac{4}{7}$.

  1. Kaava $$ (x+y)^2 = x^2 + y^2 $$ on yleensä väärä. Osoita, että jos kaava pätee, niin joko $x = 0$ tai $y = 0$ (tai molemmat).
  2. Myös kaava $$ (x-y)^2 = x^2 - y^2 $$ on yleensä väärä. Anna esimerkki luvuista, joille tämä kaava pätee, mutta edellinen kaava ei päde.

[Lyhyt K2006/12]

  1. Jos kaava pätee, saadaan pääteltyä seuraavasti: \begin{align*} (x+y)^2 &= x^2 + y^2 \\ (x+y)(x+y) = x^2 + y^2 \\ x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 \\ 2xy &= 0 \\ x = 0 \quad &\text{tai} \quad y = 0 \end{align*} Viimeisessä vaiheessa käytettiin tulon nollasääntöä.
  2. Esim. $x = 1$ ja $y = 1$. Tällöin $(x-y)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$ ja $x^2 - y^2 = 1^2 - 1^2 = 1-1 = 0$. Siis b-kohdan kaava pätee. Kuitenkin $(x+y)^2 = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ mutta $x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 1+1 = 2$. Näin a-kohdan kaava ei päde.

Olkoon $$ f(x) = x^2 - 3{,}1x - 1{,}4 $$ Laske funktion f nollakohdat ja tutki, millä välillä se saa negatiivisia arvoja.
[Lyhyt S2004/1]

Nollakohdat ovat $x_1 = -0{,}4$ ja $x_2 = 3{,}5$. Koska funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, funktio saa negatiivisia arvoja välillä $\left]-0{,}4; 3{,}5\right[$.

Määrittele, mitä tarkoitetaan neliöjuurella. Osoita tämän perusteella: $$ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}. $$
[Lyhyt K2004/10]

Luvun $b \geq$ neliöjuuri $a$ tarkoittaa lukua $a$, jolle pätee kaksi asiaa:

  • $a \geq 0$
  • $a^2 = b$.
Koska $3 - \sqrt{5} > 0$ ja \begin{align*} (3 - \sqrt{5})^2 &= (3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) \\ &= 9 - 6\sqrt{5} + 5 \\ &= 14 - 6\sqrt{5} \end{align*} niin luvun $14 - 6\sqrt{5}$ neliöjuuri on $3 - \sqrt{5}$.

Tutki, onko yhtälöillä $$ \frac{3}{5}x + 2 = 1 $$ ja $$ 3x^2 - 7x - 20 = 0 $$ samoja ratkaisuja.
[Lyhyt S2000/1]

Yhtälöillä on yksi yhteinen ratkaisu $x = -\dfrac{5}{3}$.

Ratkaise yhtälö $$ \frac{2x}{2x+3} = \frac{2x+1}{8} $$
[Lyhyt K2000/2]

Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{1}{2}$ tai $x = \frac{3}{2}$.

  1. Ratkaise yhtälö $x^2+6x = 2x^2+9$.
  2. Ratkaise yhtälö $(x-4)^2 = (x-4)(x+4)$.

[Pitkä S2013/1a & K2013/1a]

  1. $x = 3$
  2. $x = 4$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=(1-a^2)x^2 - 3ax + 8$ kuvaaja on

  1. alaspäin aukeava paraabeli
  2. ylöspäin aukeava paraabeli
  3. nouseva suora
  4. laskeva suora?

  1. $a < -1$ tai $a > 1$
  2. $-1 < a < 1$
  3. $a = -1$
  4. $a = 1$

  1. Ratkaise yhtälö $(x-2)(x-3) = 6$.
  2. Missä pisteessä paraabelit $y = x^2+x+1$ ja $y = x^2 + 2x + 3$ leikkaavat?
  3. Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat seuraavan ehdon: Luvun ja sen käänteisluvun keskiarvo on 4.

[Pitkä S2014/1]

  1. $x = 0$ tai $x = 5$
  2. $(-2,3)$
  3. $4 + \sqrt{15}$ ja $4 - \sqrt{15}$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.