Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Toisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ... Osaat

Jotain...

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax^2+bx+c$, missä $a\neq 0$, sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Yksinkertaisin toisen asteen polynomifunktio on funktio $f(x) = x^2$. Sen kuvaaja on näkyvissä alla. Kuvaaja on muodoltaan paraabeli.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 6$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

  1. $f(-1) = 1$
  2. Kohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 2$.
  3. Pienin arvo on $0$.
  4. Kaksi ratkaisua.
  5. Ei yhtään ratkaisua.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten toisen asteen polynomifunktion lausekkeessa esiintyvät kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = x^2+1 \ $
$\ g(x) = -x^2 \ $
$\ h(x) = -x^2+2 \ $
$\ k(x) = x^2-1 \ $

Kaikki yllä olevat toisen asteen funktiot ovat muotoa $f(x) = ax^2 + c$ eli niiden ensimmäisen asteen termin kerroin $b = 0$. Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = x^2+1 \ $ C
$\ g(x) = -x^2 \ $ B
$\ h(x) = -x^2+2 \ $ D
$\ k(x) = x^2-1 \ $ A
  1. Jos $a > 0$, kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
  2. Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = -x^2+4x-2 \ $
$\ g(x) = x^2+2x-1 \ $
$\ h(x) = x^2-3x-1 \ $
$\ k(x) = -x^2-x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli vai alaspäin aukeava paraabeli?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. Selitä omin sanoin, miten ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa kuvaajaan.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = -x^2+4x-2 \ $ D
$\ g(x) = x^2+2x-1 \ $ A
$\ h(x) = x^2-3x-1 \ $ B
$\ k(x) = -x^2-x+2 \ $ C
  1. Jos $a > 0$, kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
  2. Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
  3. Kerroin $b$ siirtää kuvaajaa $x$-akselin suunnassa mutta sen vaikutus on monimutkaisempi kuin vakion $c$.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $

Selitä omin sanoin, miten toisen asteen funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$

  1. toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa kuvaajaan.
  2. vakiotermi $c$ vaikuttaa kuvaajaan.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $ A
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $ C
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $ D
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $ B
  1. Jos $a > 0$, kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Mitä suurempi luvun $a$ itseisarvo on, sitä jyrkemmin paraabeli kaartuu.
  2. Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli kuten edellisissä tehtävissä. Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylinta pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$-koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \ $

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $

Huipun $x$-koordinaatti on $x = 4$.

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$.

  1. Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion $f$ arvoja:
    $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $
  2. Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$-koordinaatti.
  3. Määritä huipun $y$-koordinaatti laskemalla.
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

  1. $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
  2. Huipun $x$-koordinaatti on $x = 1{,}5$.
  3. Huipun $y$-koordinaatti on $y = f(1{,}5) = -7{,}5$.

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

  1. $\sqrt{4} = 2$
  2. $\sqrt{1} = 1$
  3. $\sqrt{0} = 0$
  4. $\sqrt{9} = 3$

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan neliöjuuren määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvulle $\frac{1}{2}$ pätee $\frac{1}{2} \geq 0$ ja $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, joten se on luvun $\frac{1}{4}$ neliöjuuri. Voidaan siis merkitä $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2.}$$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä.

  1. $\sqrt{36}$
  2. $\sqrt{100}$
  3. $\sqrt{49}$
  4. $\sqrt{144}$

  1. $\sqrt{36} = 6$
  2. $\sqrt{100} = 10$
  3. $\sqrt{49} = 7$
  4. $\sqrt{144} = 12$

Merkinnässä $\sqrt{a}$ neliöjuuren alla olevaa lukua $a$ sanotaan juurrettavaksi. Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä. Kannattaa aloittaa sieventämällä juurrettava.

  1. $\sqrt{5^2}$
  2. $\sqrt{(-9)^2}$
  3. $\sqrt{11^2}$
  4. $\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}$

  1. $\sqrt{5^2} = 5$
  2. $\sqrt{(-9)^2} = 9$
  3. $\sqrt{11^2} = 11$
  4. $\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{1}{3}$

Tarkastele edellisen tehtävän vastauksiasi ja päättele niiden avulla, mikä ehto luvun $a$ pitää toteuttaa, jotta

  1. $\sqrt{a^2} = a$
  2. $\sqrt{a^2} = -a$

  1. $a \geq 0$
  2. $a < 0$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat?

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

  1. Yksi ratkaisu: $x = 0$
  2. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$
  3. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{5}$
  4. Ei ratkaisua.

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $x^2 = a$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

  1. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5}$
  2. Kaksi ratkaisua: $x = \dfrac{2}{3}$ tai $x = -\dfrac{2}{3}$
  3. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{3}$ tai $x = -\sqrt{3}$
  4. Ei ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli aina suurempi tai yhtä suuri kuin 27.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten polynomeja kerrotaan keskenään.

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain niin, että ensimmäisen tulon tekijän jokaisella termillä kerrotaan jälkimmäinen tulon tekijä samaan tapaan kuin monimin ja polynomin tuloa laskettaessa. Esimerkiksi tulon $$(2x-3)(-4x^2+x-5)$$ tapauksessa kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-3$: \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-3})(-4x^2+x-5) \\ &= \textcolor{blue}{-8x^3+2x^2-10x}\textcolor{red}{+12x^2-3x+15} \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $(x^2-3)(x+2)$
  2. $(x+2)(x^2-2x+4)$
  3. $(4x+3)(4x-3)$

  1. $x^3+2x^2-3x-6$
  2. $x^3-4x^2+8$
  3. $16x^2 - 9$

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun tulon nollasääntöön, jota voidaan käyttää monien polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

  1. $2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
  2. $8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
  3. $661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

Kaikkien tulojen arvo on nolla.

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin. Jotkin väitteistä voit osoittaa todeksi tai epätodeksi keksimällä sopivan esimerkin.

  1. On mahdollista, että kumpikaan luvuista $a$ ja $b$ ei ole nolla eli $a \neq 0$ ja $b \neq 0$.
  2. Voidaan olla varmoja, että kumpikin luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ ja $b = 0$.
  3. Voidaan olla varmoja, että ainakin toinen luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ tai $b = 0$.
  4. Voidaan olla varmoja, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$.
  5. On mahdollista, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$.

  1. Väite on epätosi.
  2. Väite on epätosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$, niin $ab = 0$.
  3. Väite on tosi.
  4. Väite on epätosi. On mahdollista, että $a = 0$ ja $b = 0$. Tässäkin tapauksessa $ab = 0$.
  5. Väite on tosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$, niin $ab = 0$.

Seuraavan teoreeman eli tulon nollasäännön mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

$xy = 0$, jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

  • Oletetaan aluksi, että $xy = 0$. On kaksi mahdollisuutta: joko $x = 0$ tai $x \neq 0$. Tutkitaan molemmat:
    • Jos $x = 0$, niin väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    • Jos $x \neq 0$, niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$. Näin päädytään yhtälöön $y = 0$. Siis väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    Näin on näytetty, että jos $xy = 0$, niin $x = 0$ tai $y = 0$.
  • Oletetaan, että $x = 0$ tai $y = 0$. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
    • Jos $x = 0$, niin $xy = 0\cdot y = 0$. Siis $xy = 0$.
    • Jos $y = 0$, niin $xy = x \cdot 0 = 0$. Siis $xy = 0$.
    Näin on näytetty, että jos $x = 0$ tai $y = 0$, niin $xy = 0$.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla eli $$x-2 = 0 \quad \text{ tai } \quad 3x-4 = 0.$$ Näistä yhtälöistä saadaan ratkaistua $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad 3x = 4$$ eli $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad x = \frac{4}{3}.$$

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x-1)(x+5) = 0$
  2. $(x+7)(4x-32) = 0$
  3. $(6-2x)(2x-1) = 0$.

  1. $x = 1 \ $ tai $\ x = -5$
  2. $x = -7 \ $ tai $\ x = 8$
  3. $x = 3 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Kurssin alkupuolella opeteltiin ratkaisemaan ensimmäisen asteen yhtälöitä eli yhtälöitä, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$. Tällaiseen yhtälöön päädytään esimerkiksi silloin, kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa jonkin tietyn arvon. Vastaavasti toisen asteen polynomifunktiota tutkittaessa päädytään niin sanottuun toiseen asteen yhtälöön. Sellaiset opitaan ratkaisemaan tässä kappaleessa.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2-x-1$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien toisen asteen yhtälöiden ratkaisut tai ratkaisujen likiarvot:

  1. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 7$
  2. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 4$
  3. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 2$
  4. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 0$
  5. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -1$
  6. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -2$
  7. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -3$

  1. $x = -4 \ $ tai $\ x = 8$
  2. $x \approx -2{,}9 \ $ tai $\ x = 6{,}9$
  3. $x = -2 \ $ tai $\ x = 6$
  4. $x \approx -0{,}8 \ $ tai $\ x = 4{,}8$
  5. $x = 0 \ $ tai $\ x = 4$
  6. $x = 2$
  7. Ei ratkaisua.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Toisen asteen yhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan esittää muodossa $$ax^2 + bx + c = 0,$$ missä $a \neq 0$.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen yhtälöön. Päättele lisäksi yhtälöiden ratkaisut kuvaajien avulla.

Yhtälö Funktion kuvaaja Yhtälön ratkaisut
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\phantom{-}x^2-2x = 0\,$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2-x = 0\,$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\frac{1}{2}x^2- \frac{9}{2} = 0\,$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2 + \frac{9}{4} = 0\, $

Selitä omin sanoin, mitä voisi tämän tehtävän perusteella päätellä

  1. muotoa $ax^2 + c = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$-akselilla
  2. muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$-akselilla.

Yhtälö Funktion kuvaaja Yhtälön ratkaisut
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\phantom{-}x^2-2x = 0\,$ D $2$ ja $0$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2-x = 0\,$ A $-1$ ja $0$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\frac{1}{2}x^2- \frac{9}{2} = 0\,$ B $3$ ja $-3$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2 + \frac{9}{4} = 0\, $ C $\frac{3}{2}$ ja $-\frac{3}{2}$
  1. Ratkaisut sijaitsevat $x$-akselilla symmetrisesti origon molemmin puolin.
  2. Toinen ratkaisu on nolla ja toinen on $-\frac{b}{a}$.

Muotoa $ax^2 + c = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt saadaan muokattua toisen asteen potenssiyhtälöiksi. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*} Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt:

  1. $2x^2 = 50$
  2. $7x^2 - 14 = 0$
  3. $3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

  1. $x = -5 \ $ tai $\ x = 5$
  2. $x = \sqrt{2} \ $ tai $\ x = -\sqrt{2}$
  3. $x = 6 \ $ tai $\ x = -6$

Edellisessä kappaleessa tutustuttiin tulon nollasääntöön, jonka mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Sen avulla saadaan ratkaistua muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt. Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona.

Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = 4$
  2. $x = 0 \ $ tai $\ x = -5$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Jotkin toisen asteen yhtälöt saadaan kirjoitettua toiseen muotoon aiemmin opiskeltuja summan ja erotuksen neliön kaavoja käyttäen. Esimerkiksi käyttämällä summan neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 + 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2$$ yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{1} = 0$$ eli yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1}^2 = 0$$ saadaan kirjoitettua muodossa $$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{1})^2 = 0.$$ Tämä yhtälö voidaan nyt ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö. Luvun $x+1$ toinen potenssi on nolla, jos ja vain jos kantaluku $x+1$ on nolla, eli $$x + 1 = 0.$$ Kun tämän yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $1$, saadaan ratkaisu $$x = -1.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt hyödyntämällä summan tai erotuksen neliötä samaan tapaan kuin edellä:

  1. $x^2 + 10x + 25 = 0$
  2. $x^2 - 6x + 9 = 0$
  3. $4x^2 + 4x + 1 = 0$

  1. $x = -5$
  2. $x = 3$
  3. $x = -\dfrac{1}{2}$

Edellisen tehtävän ideaa voidaan soveltaa myös tilanteissa, joissa yhtälön oikealla puolella ei olekaan nolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$25x^2 - 40x + 16 = 100.$$ Käyttämällä erotuksen neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2$$ voidaan tarkasteltu yhtälö $$(\textcolor{red}{5x})^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{5x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 = 100$$ kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{5x}-\textcolor{blue}{4})^2 = 100.$$ Tämä yhtälö voidaan jälleen ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö: \begin{align*} (5x-4)^2 &= 100 \\[1mm] 5x - 4 = 10 \quad &\text{ tai } \quad 5x - 4 = -10 \\[1mm] 5x = 14 \quad &\text{ tai } \quad \quad \ \ 5x = -6 \\[1mm] \ \ x = \frac{14}{5} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{6}{5} \end{align*}

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Hyödynnä tarvittaessa summan tai erotuksen neliöiden kaavoja.

  1. $(x-2)^2 = 16$
  2. $9x^2 + 6x + 1 = 4$
  3. $4x^2 - 12x + 9 = 49$

  1. $x = -2 \ $ tai $\ x = 6$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{3}$
  3. $x = -2 \ $ tai $\ x = 5$

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa toisen asteen polynomiyhtälö voidaan muuttaa sellaiseen muotoon, että se voidaan ratkaista edellisten tehtävien ideoita hyödyntäen. Tätä menetelmää sanotaan neliöksi täydentämiseksi.

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$x^2-x-6 = 0.$$ Se voidaan kirjoittaa myös muodossa $$x^2 - 2\cdot \frac{1}{2}x = 6,$$ sillä $2\cdot \frac{1}{2} = 1$. Kun tämän yhtälön vasenta puolta verrataan erotuksen neliön kaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2,$$ huomataan, että $a = x$ ja $b = \frac{1}{2}$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} = 6.$$ Yhtälön vasemmalta puolelta kuitenkin puuttuu termiä $\textcolor{blue}{b}^2$ vastaava termi. Tämä ongelma ratkeaa, kun yhtälön molemmille puolille lisätään $\left(\frac{1}{2}\right)^2$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$ Nyt yhtälö voidaan erotuksen neliön kaavan avulla kirjoittaa muodossa $$\left(\textcolor{red}{x}-\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \frac{1}{4}$$ eli $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{25}{4}} \\[1mm] x-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \\[1mm] \ \ x = \frac{6}{2} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{4}{2} \\[1mm] \ \ x = 3 \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -2 \end{align*}

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Täydennä yhtälön vasen puoli ensin summan tai erotuksen neliöksi samaan tapaan kuin edellä.

  1. $x^2 - 4x + 3 = 0$
  2. $x^2 + 10x - 24 = 0$

  1. Yhtälö $(x-2)^2 = 1$, ratkaisut $x = 1 \ $ tai $\ x = 3$
  2. Yhtälö $(x+5)^2 = 49$, ratkaisut $x = -12 \ $ tai $\ x = 2$

Myös seuraavan teoreeman menetelmä toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisemiseen perustustuu neliöksi täydentämiseen. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Perustelu: Ideana on täydentää yhtälön vasen puoli summan neliöksi. Jotta se onnistuisi helpommin, kerrotaan aluksi yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ molemmat puolet luvulla $4a$ (huomaa, että $a \neq 0$, joten myös $4a \neq 0$). Näin päädytään yhtälöön $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$ Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta $4ac$, jolloin saadaan yhtälö $$(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} = -4ac.$$ Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille neliöksi täydentämiseen tarvittava termi $b^2$, jolloin saadaan yhtälö $$(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2= -4ac + b^2.$$ Summan neliön kaavan nojalla yhtälö voidaan nyt kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{2ax} + \textcolor{blue}{b})^2 = b^2-4ac.$$ Jos yhtälön oikea puoli on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja, sillä yhtälön vasen puoli on toisena potenssina aina epänegatiivinen.

Jos yhtälön oikea puoli on epänegatiivinen eli $b^2-4ac \geq 0$, yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} 2ax+b &= \pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] 2ax &= -b\pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

Teoreeman 5 mukaan toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ voi olla kaksi ratkaisua, yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on positiivinen eli $b^2-4ac > 0$, saadaan ratkaisuja kaksi: $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esimerkiksi yhtälön $x(2x-3)-3x(1-x) = -1$ ratkaisut saadaan selville, kun yhtälö ensin sievennetään perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: \begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*} Tästä nähdään, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} \\ &= \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*} eli $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{5}$.

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt teoreemassa 5 esitetyn ratkaisukaavan avulla. Muuta yhtälö ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$, $b$ ja $c$. Huomioi myös etumerkit.

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
  3. $x^2 = 3x$
  4. $(-3x-1)(x-2) = 4$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = 3$
  4. $x = \dfrac{2}{3} \ $ tai $\ x = 1$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan tunnistamaan erilaisille toisen asteen yhtälöille sopivat ratkaisutavat.

Edellisissä tehtävissä on harjoiteltu seuraavia ratkaisutapoja

  1. ratkaisu potenssiyhtälönä ($x^2 = d$)
  2. ratkaisu tulon nollasäännön avulla
  3. ratkaisu summan tai neliön erotuksen kaavan avulla
  4. ratkaisu ratkaisukaavan avulla

Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä siihen, mikä ratkaisutapa sopii parhaiten kyseiselle yhtälölle. Ratkaise yhtälöt sen jälkeen. Voit tarkistaa tulokset laskimella.

Yhtälö Ratkaisutapa Yhtälön ratkaisut
$(x-5)(1-3x) = 0$
$2x^2+x = 3$
$4x^2-4x+1 = 0$
$(3x-1)(x+2) = 6$
$3x^2-12 = 0$
$5x^2-2x = 0$

[Pitkä S2016/2a & S2014/2b]

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.