Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Verrannollisuus

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt soveltamaan suoraan ja kääntäen verrannollisuutta arkielämän ongelmien ratkaisemiseen. Osaat

  • tunnistaa, ovatko suureet suoraan tai kääntäen verrannollisia
  • jäsentää ongelman tiedot taulukon muotoon
  • muodostaa ja ratkaista verrannon tai muun sopivan yhtälön
  • tutkia suoraan ja kääntäen verrannollisia suureita myös graafisesti.

Tässä luvussa tutustutaan matematiikkaan, jota suuri osa ihmisistä käyttää arkipäiväisessä elämässään kiinnittämättä asiaan kovin paljon huomioita. Seuraavassa tehtävässä on yksi tällainen tilanne. Voit ratkaista tehtävän esimerkiksi arkijärjellä päättelemällä tai jollakin muulla sinulle luontevalla tavalla.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon maksaa 285 g kuivattuja päärynöitä?

4,25 €.

Tutkitaan seuraavaksi, millaista matematiikkaa edelliseen tehtävään liittyy. Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja massaa. Luvussa 1 opittiin, että suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: päärynöiden massa on 285 g.

Jos suureilla on sama yksikkö, niitä voidaan verrata muodostamalla niiden suhde eli osamäärä. Esimerkiksi voidaan verrata päärynöiden massoja: $$ \dfrac{285 \text{ g}}{100 \text{ g}} = 2{,}85. $$ Päärynöiden hinta on ilmaistu sanomalla, että 100 grammaa maksaa 1,49 €. Yllä olevan suhteen mukaan massa 285 g on siihen verrattuna 2,85-kertainen, joten hintakin on 2,85-kertainen. Siis 285 g päärynöitä maksaa $$ 2{,}85 \cdot 1{,}49 \ \euro = 4{,}2465 \ \euro \approx 4{,}25 \ \euro. $$

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi tehtävässä 3.1. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon kuivattuja päärynöitä saa viidellä eurolla?

Noin 335 grammaa.

Usein tehtävän ratkaisu helpottuu, jos kokoaa kaikki tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon. Kysyttä asiaa voi merkitä kirjaimella $x$. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Määrä (g) Hinta (€)
Asiakkaalla $x$ 5,00
Hintalapussa 100 1,49

Taulukosta saadaan muodostettua kaksi suhdetta: päärynöiden määrän suhde ja päärynöiden hinnan suhde. Jos päärynöiden määrä esimerkiksi kaksinkertaistuu, myös hinta kaksinkertaistuu. Vaikka suureet muuttuvat, niiden suhteet pysyvät samana. Saadaan yhtälö $$ \dfrac{x}{100} = \dfrac{5{,}00}{1{,}49}. $$ Tällainen yhtälö, jossa kaksi suhdetta on merkitty yhtä suuriksi, on nimeltään verranto. Kysytty päärynöiden määrä saadaan selville, kun verrannon molemmat puolet kerrotaan sadalla: \begin{align*} \dfrac{x}{100} &= \dfrac{5{,}00}{1{,}49} \quad \mid \ \cdot 100\\[1mm] x &= \dfrac{100 \cdot 5{,}00}{1{,}49} \approx 335{,}57 \end{align*} Viidellä eurolla saadaan siis noin 336 grammaa kuivattuja päärynöitä. Tarkasti ottaen tässä pyöristyksen voi tehdä alaspäin: jos käytettävissä on enintään 5,00 euroa, riittää se 335 grammaan päärynöitä, mutta 336 grammaa maksaa jo hiukan liikaa.

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi tehtävässä 3.2. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata ja tutkia myös graafisesti. Tähän perehdytään seuraavassa tehtävässä.

Tässä tehtävässä tutkitaan päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta graafisesti eli kuvan avulla.

  1. Tiedetään, että 100 g kuivattuja päärynöitä maksaa 1,49 €. Täytä tämän tiedon avulla seuraava taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0
    100 1,49
    200
    300
    400
    500
    600
    700
    800
  2. Jokainen taulukon rivi vastaa koordinaatiston pistettä. Esimerkiksi yksi piste on $(100; 1{,}49)$. Piirrä samanlainen koordinaatisto kuin alla ja merkitse kaikki muutkin pisteet siihen. Millainen kuvio pisteistä muodostuu?
  3. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon maksaa 650 g kuivattuja päärynöitä? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
  4. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon kuvattuja päärynöitä saa 7 eurolla? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

  1. Taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0 0
    100 1,49
    200 2,98
    300 4,47
    400 5,96
    500 7,45
    600 8,94
    700 10,43
    800 11,92
  2. Pisteet asettuvat suoralle:
  3. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, mikä suoran pisteen $y$-koordinaatti on kohdassa $x = 650$. Havaitaan, että 650 g päärynöitä maksaa noin 9,7 euroa:
  4. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, missä kohdassa suoran pisteen $y$-koordinaatti on $y = 7$. Havaitaan, 7 eurolla saa noin 470 grammaa päärynöitä:

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata origon kautta kulkevalla suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan suoraan verrannollisilla suureilla.

MÄÄRITELMÄ: SUORAAN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = kx.$$ Vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin suoraan verrannollisuutta kuvaa nouseva suora:

Kuvasta nähdään, että suoraan verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat samaan suuntaan: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), myös suureen $y$ arvo kasvaa (eli liikutaan $y$-akselia ylöspäin). Suureiden välinen suhde on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = kx$$ seuraa, että $$ \dfrac{y}{x} = k. $$ Suoraan verrannolliset suureet muuttuvat siis samassa suhteessa: Jos toinen vaikkapa kolminkertaistuu, myös toinen kolminkertaistuu. Suureiden suhde pysyy samana.

Päättele kuvaajista, ovatko suureet $x$ ja $y$ suoraan verrannolliset. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset. Koska suora kulkee pisteen $(0,1)$ kautta, sen yhtälö on muotoa $y = kx + 1$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora $y = kx$.
  3. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset, sillä niiden välistä riippuvuutta ei kuvaa minkäänlainen suora.

Jos suureet ovat suoraan verrannolliset, voidaan tuntemattomia arvoja selvittää verrannon avulla kuten jo aiemmin tehtiin. Käytännössä suoraan verrannolliset suureet tunnistetaan, kun mietitään arkijärjellä, kasvavatko suureet samassa suhteessa. Tämän voi tehdä esimerkiksi miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa myös toinen suure kaksinkertaistuu, ovat suureet suoraan verrannolliset.

Leirille osallistuu 26 henkeä. Aamupalalla tarjoillaan kaurapuuroa. Kaurahiutalepaketin ohjeen mukaan neljän hengen annokseen laitetaan 5 dl kaurahiutaleita ja 1,25 litraa vettä. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta 500 g kaurahiutalepakettia leiriä varten pitää ostaa, kun leiri kestää kolme vuorokautta. Kaurahiutalepaketin kyljestä nähdään, että 1 dl kaurahiutaleita painaa n. 35 grammaa.

  1. Tunnista tehtävästä kaksi suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia. Keksitkö vielä kaksi muuta suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia? Selitä omin sanoin, miten päättelit niiden olevan suoraan verrannollisia.
  2. Selvitä, kuinka paljon kaurahiutaleita tarvitaan, kun puuroa keitetään 26 hengelle. Muodosta sopiva verranto ja ratkaise se. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa.
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä
    Paketin reseptissä
  3. Ilmaise b-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella
    Paketin kyljessä
  4. Kuinka paljon kaurahiutaleita kuluu koko leirin aikana? Kuinka monta 500 gramman pakettia kannattaa ostaa?

  1. Suoraan verrannollisia ovat esimerkiksi ihmisten lukumäärä ja tarvittavien kaurahiutaleiden määrä. Nimittäin jos ihmisten määrä kaksinkertaistuu, tarvitaan myös kaurahiutaleita kaksinkertainen määrä.

    Suoraan verrannollisia ovat myös esimerkiksi puuroon käytettävä kaurahiutaleiden määrä ja veden määrä. Jos toinen kaksinkertaistetaan, pitää toinenkin kaksinkertaistaa, jotta puuro onnistuu.

  2. Taulukko:
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä $x$ 26
    Paketin reseptissä 5 4
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{26}{4}. $$ Ratkaisu on $x = 32{,}5$ dl.
  3. Ilmaise a-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella 32,5 $y$
    Paketin kyljessä 1 35
    Saadaan verranto $$ \dfrac{y}{35} = \dfrac{32{,}5}{1}. $$ Ratkaisu on $y = 1137{,}5$ g. Kun otetaan huomioon, että lähtötiedoissa on 2-3 merkitsevää numeroa, on tulos järkevää pyöristää samaan tarkkuuteen: yhtenä aamuna kuluu noin 1140 grammaa kaurahiutaleita.
  4. Edellisen kohdan avulla voidaan arvioida, että koko leirin aikana kuluu noin $3 \cdot 1140 \text{ g} = 3420 \text{ g}$ kaurahiutaleita. Koska $$ \dfrac{3420 \text{ g}}{500 \text{ g}} = 6{,}84, $$ tarvitaan seitsemän 500 gramman pakettia. Tarkistus: $7 \cdot 500 \text{ g} = 3500 \text{ g}$ eli riittävästi.

Edellisessä tehtävässä selvitettiin kaurahiutaleiden määrä verrannon avulla, kun tiedetiin, että kaurahiutaleiden määrä ja ihmisten määrä ovat suoraan verrannollisia. Oikeanlaisen verrannon muodostamisessa kannattaa käyttää apuna taulukkoa:

Suure A Suure B
Tilanne 1
Tilanne 2

Taulukossa oleellista on, että kumpikin suure on omassa sarakkeessaan ja niiden arvot eri tilanteissa ovat johdonmukaisesti omilla riveillään. Tällöin taulukosta saadaan suoraan muodostettua sopiva verranto. Verrannon ratkaiseminen on helpointa, jos taulukon laatii niin, että kysytty asia on taulukon ylimmällä rivillä.

Laura pyöräilee 5,9 kilometrin matkan kirjastoon 22 minuutissa.

  1. Uimahalli on 8,2 km päässä. Kuinka kauan Lauran pyörämatka uimahallille kestää? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  2. Viikonloppuna Laura päättää pyöräillä kaverinsa luo. Matkan pituus on reittioppaan mukaan 13,3 km. Kuinka paljon aikaa Lauran kannattaa varata matkaan? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  3. Kumpi a- ja b-kohdan tuloksista mielestäsi paremmin ennustaa pyörämatkan todellista kestoa? Selitä omin sanoin, miten ja miksi matkan todellinen kesto voi poiketa lasketusta.

  1. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Uimahalli $x$ 8,2
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{8{,}2}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{8{,}2}{5{,}9} \approx 31$$ eli noin 31 minuuttia.
  2. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Kaveri $x$ 13,3
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{13{,}3}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{13{,}3}{5{,}9} \approx 50$$ eli noin 50 minuuttia.
  3. Voi ajatella, että a-kohdan tulos saattaa olla luotettavampi, koska lyhyemmällä matkalla jaksaa paremmin pitää saman nopeuden kuin kirjastoon ajaessa. Sääolosuhteet ja esimerkiksi liikennevalot voivat vaikuttaa molempien matkojen kestoon.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen auton nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin. Märällä tiellä mitattiin auton jarrutusmatkaksi 10 metriä, kun jarrutus aloitettiin 40 km/h nopeudesta.

  1. Selvitä, mikä olisi jarrutusmatka vastaavissa olosuhteissa, jos nopeus jarrutuksen alkaessa olisi 60 km/h. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio
    Mittaus
  2. Tutki, miten jarrutusmatka pitenee, jos nopeus kaksinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan nopeuden ja selvittää sitä vastaavan jarrutusmatkan samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $60^2 = 3600$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{3600}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{36}{16} = 22{,}5$$ eli noin 23 metriä.
  2. Voidaan käyttää nopeutta $$2 \cdot 40 \text{ km/h} = 80 \text{ km/h}.$$ Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $80^2 = 6400$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{6400}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{64}{16} = 40.$$ Nopeuden kaksinkertaistuessa jarrutusmatka muuttuu 10 metristä 40 metriin eli nelinkertaistuu.

Tässä kappaleessa tutustutaan toiseen yleiseen verrannollisuuden lajiin: kääntäen verrannollisuuteen. Sekin esiintyy useissa arkisissa tilanteissa, joista yksi esimerkki on seuraavassa tehtävässä. Voit ratkaista tehtävän jollakin sinulle sopivalla tavalla päättelemällä.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Kuinka paljon vettä jokaiselle juoksijalle riitti, jos osallistujia oli lopulta vain 239?

Noin 4,0 dl.

Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: juoksijoiden määrää ja juomaveden määrää. Ratkaisun kannalta oleellinen tieto on näiden tulo eli juomaveden kokonaismäärä: $$ 274 \cdot 3{,}5 \text{ dl} = 959 \text{ dl.} $$ Juomaveden kokonaismäärä ei muutu, vaikka osallistujia tulisi odotettua vähemmän. Osallistujaa kohti käytettävissä olevan veden määrä saadaan jakolaskulla: $$ \dfrac{959 \text{ dl}}{239} \approx 4{,}0 \text{ dl.} $$

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi tehtävässä 3.10. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Tehtävässä 3.10 tarkasteltujen suureiden tulo (juomaveden kokonaismäärä) pysyi vakiona tilanteesta toiseen. Tätä voidaan kuvata yhtälöllä $$yx = k,$$ missä $k$ on vakio. Jos $x \neq 0$, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon $$ y = \dfrac{k}{x}. $$ Tätä muotoa käytetään, kun sovitaan, mitä kääntäen verrannollisuus tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTÄEN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = \dfrac{k}{x}.$$ Tässä vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin kääntäen verrannollisuutta kuvaa koordinaatiston I ja III neljänneksiin sijoittuva hyperbeli:

Kuvasta nähdään, että kääntäen verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat päinvastaisiin suuntiin: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), niin suureen $y$ arvo pienenee (eli liikutaan $y$-akselia alaspäin). Suureiden tulo on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = \dfrac{k}{x}$$ seuraa, että $$ yx = k. $$

Kaisa arvioi, että mökille rakennettavan uuden aidan maalaamiseen kuluu kahdelta henkilöltä 28 tuntia.

  1. Kuinka kauan urakka kestää, jos maalareita on vain yksi?
  2. Kuinka nopeasti aita saadaan maalattua, jos talkoisiin osallistuu yhteensä neljä yhtä tehokasta ihmistä?
  3. Kuinka monta henkilötyötuntia aidan maalaamiseen kuluu? Vaihteleeko se tilanteesta toiseen?
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, mitä tapahtuu maalaamiseen kuluvalle ajalle?

  1. Urakka kestää 56 tuntia.
  2. Aita saadaan maalattua 14 tunnissa.
  3. Aidan maalaamiseen kuluu 56 henkilötyötuntia. Se pysyy vakiona, mutta maalaamiseen kuluva todellinen aika vaihtelee sen mukaan, kuinka monta maalaria on maalaamassa aitaa samaan aikaan.
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, maalaamiseen kuluva aika pienenee puoleen.

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa: jos maalarien määrä esimerkiksi kymmenkertaistuu, pienenee maalaamiseen kuluva aika yhteen kymmenesosaan. Ilmiö on selitys nimitykselle kääntäen verannollisuus.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna, jos halutaan varmistaa, että juomavettä on vähintään 3,0 dl jokaista osallistujaa kohti.

  1. Mieti arkijärjellä, onko osallistujien maksimimäärä suurempi vai pienempi kuin etukäteen ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Selvitä osallistujien maksimimäärä. Voit käyttää apuna esimerkiksi juomaveden kokonaismäärää.
  3. Kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna?

  1. Osallistujamäärä kasvaa, koska veden määrä osallistujaa kohti pienenee. Osallistujamäärä on suurempi kuin ennakkoon ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Osallistujien maksimimäärä on 319.
  3. Jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa $319 - 274 = 45$.

Myös kääntäen verrannollisten suureiden tutkimisessa voi käyttää apuna taulukkoa. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Taulukon kummaltakin riviltä saadaan lauseke juomaveden kokonaismäärälle, joka ei muutu. Saadaan siis yhtälö $$ x \cdot 3{,}0 = 274 \cdot 3{,}5. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista tapahtuman osallistujien määrä: $$ x = \dfrac{274 \cdot 3{,}5}{3{,}0}. $$ Jos tämän yhtälön molemmat puolet jaetaan luvulla 274, saadaan verranto: $$ \dfrac{x}{274} = \dfrac{3{,}5}{3{,}0}. $$ Verrannossa esiintyvät osallistujamäärien suhde ja vastaava juomavesimäärien suhde käänteisenä, kuten alta näkyy: $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{274} } = \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}5} }{3{,}0}. $$

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Kääntäen verrannollisten suureiden suhteet ovat siis toistensa käänteislukuja. Jos toinen suure vaikkapa kolminkertaistuu, pienenee toinen suure yhteen kolmasosaan. Kääntäen verrannolliset suureet voikin tunnistaa miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen suure esimerkiksi kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa toinen suure pienenee puoleen, ovat suureet kääntäen verrannolliset.

Ovatko seuraavat suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin.

  1. Datayhteyden nopeus ja tiedoston lataamiseen kuluva aika.
  2. Polttoaineen litrahinta ja automaatista 20 euron setelillä saatavan polttoaineen määrä.
  3. Jauhojen ja kananmunien määrät kakkureseptissä.
  4. Kiireapulaisen työtuntien määrä ja bruttopalkka.

  1. Kääntäen verrannollisia, sillä jos datayhteyden nopeus kaksinkertaistuu, pienenee tiedoston lataamiseen kuluva aika puoleen.
  2. Kääntäen verrannollisia, sillä jos litrahinta kaksinkertaistuu, pienenee automaatista 20 euron setelillä saatava polttoaineen määrä puoleen.
  3. Suoraan verrannollisia, sillä jos jauhojen määrä kaksinkertaistuu, pitää kaksinkertaistaa myös kananmunien määrä.
  4. Suoraan verrannollisia, sillä jos työtuntien määrä kaksinkertaistuu, kaksinkertaistuu myös bruttopalkka.

Kääntäen verrannollisuudenkin tapauksessa verrantoyhtälön voi muodostaa suoraan taulukosta. Täytyy vain muistaa, että suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Esimerkiksi taulukosta

Aallonpituus (cm) Taajuus (Hz)
Sävel c3 $x$ $1047$
Sävel a1 $\textcolor{blue}{128}$ $\textcolor{blue}{440}$

saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{128} } = \dfrac{\textcolor{blue}{440} }{1047}. $$ Yhtälön ratkaisu helpottuu, jos taulukon ja verrantoyhtälön laatii niin, että tuntematon suure on osoittajassa kuten tässä.

Airbus A321 -lentokoneen matkalentonopeus on 840 km/h. Matka Lontoon Heathrown kentältä Helsinki-Vantaalle kestää keskimäärin 2 tuntia 28 minuuttia. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan matka kestäisi Airbus A350 -koneella, jonka matkalentonopeus on 900 km/h.

  1. Ovatko tehtävässä esiintyvät suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin. Voit miettiä, mitä toiselle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu.
  2. Täydennä tehtävässä annetut tiedot alla olevaan taulukkoon. Huomaa, että aika kannattaa ilmoittaa minuutteina.
    Nopeus (km/h) Aika (min)
    A350
    A321
  3. Muodosta taulukon avulla verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä on A350-koneelta matkaan kuluva aika minuutteina? Entä tunteina ja minuutteina?

  1. Nopeus ja matkaan kuluva aika ovat kääntäen verrannollisia. Jos nopeus kaksinkertaistuu, matkaan kuluva aika pienenee puoleen.
  2. Taulukko:
    Nopeus (km/h) Aika (h)
    A350 900 $x$
    A321 840 148
  3. Suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Taulukon sarakkeista saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{148} = \dfrac{840}{900}. $$ Ratkaisuna saadaan $x \approx 138$. A350-koneelta matkaan kuluu siis noin 138 minuuttia eli 2 tuntia ja 18 minuuttia.
    Huom. yhtälön voi muodostaa myös toisella tavalla: Nopeuden ja ajan tulo ilmaisee matkan pituuden, joka on vakio. Taulukon riveiltä saadaan yhtälö $$ 900x = 840 \cdot 148. $$

Valaistusvoimakkuus on kääntäen verrannollinen valaisimesta mitatun etäisyyden neliöön. Keittiön ruokapöydän yläpuolelle asennetaan pallomainen valaisin, jonka valmistaja lupaa 1,0 metrin etäisyydelle valaistusvoimakkuuden 500 luksia (lx).

  1. Selvitä, mikä on valaistusvoimakkuus keittiön pöydän pinnalla 1,3 metrin päässä valaisimesta. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla
    Valmistajan tiedoissa
    Onko valaistusvoimakkuus riittävä, kun suositus keittiön työtasoille on vähintään 300 luksia?
  2. Tutki, miten valaistusvoimakkuus muuttuu, jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan etäisyyden ja selvittää sitä vastaavan valaistusvoimakkuuden samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Valaistusvoimakkuus on noin 296 luksia. Se on keittiön työtasojen suosituksen alarajalla, joten valaisimen valintaa kannattaa vielä harkita uudelleen.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla $x$ 1,69
    Valmistajan tiedoissa 500 1,00
  2. Jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu, niin valaistusvoimakkuus pienenee yhteen kuudestoistaosaan. Etäisyyden kerrointa 4 vastaa siis valaistusvoimakkuuden kerroin $$ \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}. $$

Paine $p$ on kääntäen verrannollinen pinta-alaan $A$, johon voima kohdistuu. Alla on näkyvissä paineen riippuvuus pinta-alasta noin 60 kg painavan henkilön tapauksessa. Paineen yksikkönä on kilopascal (kPa) ja pinta-alan yksikkönä neliödesimetri (dm2).

  1. Kun henkilö seisoo kahdella jalalla, hänen painonsa kohdistuu noin 3 dm2 pinta-alalle. Määritä kuvaajasta, kuinka suuri paine lattiaan tällöin kohdistuu.
  2. Lumikenkiä käytettäessä paino jakautuu laajemmalle alueelle, jolloin hankeen ei uppoa niin syvälle. Mikä pitäisi lumikengän pinta-alan olla, jotta henkilön hankeen kohdistama paine olisi enintään 5 kPa yhdellä jalalla seistessä?
  3. Keksi esimerkki suorakulmiosta, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin b-kohdan vastaus. Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet? Anna vastaus myös senttimetreinä ja havainnollista asiaa viivottimen tai mittanauhan avulla. Olisiko tämän kokoinen lumikenkä oikeasti mahdollinen?

  1. Paine on n. 20 kPa.
  2. Lumikengän pinta-alan pitäisi olla n. 12 dm2.
  3. Yksi esimerkki on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 60 cm ja 20 cm. Sen pinta-ala on 1200 cm2 eli 12 dm2. Mitat ovat ainakin periaatteessa lumikengälle sopivat.

Suoraan verrannollisuus

Aleksi, Milla ja Venla jakoivat yrityksensä tuotot sijoitustensa suhteessa. Aleksin ja Millan sijoitusten suhde oli $5:6$. Millan ja Venlan sijoitusten suhde oli $4:5$. Kuinka paljon yrityksen koko tuotto oli, jos Venlan osuus oli 6450 euroa?

Koko tuotto oli 15 910 euroa. Millan osuus 5160 euroa ja Aleksin 4300 euroa.

Suoraan verrannollisuus

Mökin piirustukset on tehty mittakaavassa $1:50$. Tämä tarkoittaa, että 1 cm piirustuksessa on 50 cm luonnossa.

  1. Kuinka pitkä on mökki, jonka pituus rakennuspiirustuksissa on 16 cm?
  2. Mökille rakennetaan terassi, jonka mitat ovat $4 \text{ m} \times 2 \text{ m}$. Mitkä ovat terassin mitat rakennuspiirustuksessa?

  1. Mökin pituus on 8 metriä (eli 800 cm).
  2. Terassin mitat ovat $8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$.

Suoraan verrannollisuus

  1. Lapsella on korvatulehdus, johon lääkäri määrää antibioottikuurin. Lääkepullon etiketissä vaikuttavan aineen pitoisuudeksi on merkitty 40 mg/ml. Kuinka monta millilitraa kyseistä lääkemikstuuraa pitää antaa lapselle, jos määrätty lääkeannos on 280 mg?
  2. Siiderissä on energiaa noin 50 kcal/dl. Yhdessä sokeripalassa energiaa on puolestaan noin 10 kcal. Kuinka suurta sokerimäärää vastaa kolmen 0,33 litran siiderin nauttiminen? Yksi sokeripala painaa n. 3,5 grammaa.

  1. Lääkettä pitää antaa 7 ml.
  2. Noin 49,5 sokeripalaa eli noin 173 grammaa sokeria.

Suoraan verrannollisuus

Olouoneen lattian maalaamiseen on tarvittiin 1 kg maalia. Keittiön pituus on $\frac{5}{6}$ olohuoneen pituudesta ja leveys on $\frac{4}{5}$ olohuoneen leveydestä. Riittääkö 700 g maalia keittiön lattian maalaamiseen?

Kyllä, 700 g maalia riittää.

Merkitään olohuoneen pituutta kirjaimella $x$ ja leveyttä kirjaimella $y$. Olohuoneen pinta-ala on $xy$. Keittiön pinta-ala on $$ \frac{5}{6}x \cdot \frac{4}{5}y = \frac{4}{6}xy = \frac{2}{3}xy $$ eli kaksi kolmasosaa olohuoneen pinta-alasta. Siten maalia tarvitaan $$ \dfrac{2}{3} \cdot 1 \text{ kg } \approx 0{,}667 \text{ kg}. $$

Suoraan verrannollisuus

Brittiläisessä yksikköjärjestelmässä pituus voidaan ilmaista esimerkiksi yksiköiden tuuma, jalka, jaardi ja maili avulla. Tiedetään, että yksi jalka on 12 tuumaa, kolme jalkaa on yksi jaardi ja yksi tuuma on 2,54 cm. Mikä on mailin pituus metreinä, kun yksi maili on 1760 jaardia?

Yksi maili on 1609,344 metriä.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Mökin makuuhuoneen seinän panelointiin laskettiin tarvittavan 36 kappaletta 120 mm leveitä lautoja, joiden peittävä leveys on 110 mm. Puutavaraliike ei voinut toimittaa kyseisä lautoja, vaan laudat olivat 95 mm leveitä ja niiden peittävä leveys oli 85 mm. Kuinka monta kapeampaa lautaa tarvittiin?
  2. Kun 100 W työmaavalo (vanhempi halogeenilamppu) palaa 150 tuntia, kuluu sähköä noin yhden euron verran. Kuinka kauan valoteholtaan vastaava 21 W työmaavalo palaa samalla hinnalla?

  1. Lautoja tarvittiin 47 kpl.
  2. Pyöristettynä noin 710 tuntia.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Pienelle rahtialukselle palkataan seitsemän merimiestä urakkapalkalla. Jokainen saa palkkaa 1750 euroa. Kuinka paljon jokainen saisi palkkaa, jos työntekijöitä olisikin 10?
  2. Laiva, jossa on 18 henkeä ja ruokaa 30 päiväksi, pelastaa haaksirikkoutuneesta aluksesta 10 henkeä. Kuinka pitkän aikaa ruokatavarat tällöin riittävät?

  1. Jos työntekijöitä olisi 10, jokaisen palkka olisi 1225 euroa.
  2. Ruokatavarat riittävät noin 19 päivää.

Kääntäen verrannollisuus

Rakennusfirma jätti remontista seuraavanlaisen urakkatarjouksen:

  • Hinta on 65 000 euroa, jos työ on valmis 60 päivässä.
  • Jos työ valmistuu nopeammin tai myöhästyy, on remontin hinta kääntäen verrannollinen kuluneeseen aikaan.

Mikä olisi remontin hinta, jos remontin valmistumiseen kuluisi

  1. 46 päivää
  2. 74 päivää?

  1. Hinta olisi 84 782,61 euroa.
  2. Hinta olisi 52 702,70 euroa.

Kääntäen verrannollisuus

Patikkaretkeä suunnitellessaan lomalaiset laskivat, että kulkevat päivässä 15 km. Huonon sään takia he kulkivatkin päivässä 3 km suunniteltua vähemmän. Kuinka moninkertainen aika retkeen kului suunniteltuun aikaan verrattuna?

Retkeen kului 1,25-kertainen aika eli aikaa kului 25 % enemmän kuin alkuperäisen suunnitelman mukaan.

Kääntäen verrannollisuus

Talkoisiin osallistuu viisi henkeä ja urakkaan arvioidaan kuluvan neljä tuntia.

  1. Jos yksi talkoolaisista sairastuu, kuinka paljon urakkaan kuluva aika pitenee?
  2. Missä ajassa urakka olisi saatu valmiiksi, jos mukana olisikin ollut kahdeksan yhtä tehokasta ihmistä?

  1. Urakka vie neljältä ihmiseltä viisi tuntia, joten urakkaan kuluva aika pitenee tunnilla.
  2. Urakka olisi saatu valmiiksi 2,5 tunnissa.

  1. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Kun $x = 2$, on $y = 5$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 7$?
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset. Jos $x = 2$, niin $y = 3$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 5$?

[Lyhyt K2009/2a & S2008/3b]

  1. $y = \dfrac{35}{2}$
  2. $y = \dfrac{6}{5}$

Alla on viisi väittämää sekä kuusi kuviota. Yhdistä jokaiseen kuvioon se väittämä, joka pätee kyseisen kuvion tapauksessa. Yksi väittämä liittyy kahteen eri kuvioon. Vastauksia ei tarvitse perustella.

  1. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujaan $x$.
  2. $y$ on kääntäen verrannollinen muuttujaan $x$.
  3. $y$ kaksinkertaistuu aina, kun muuttuja $x$ kasvaa yhdellä.
  4. $y$ puolittuu aina, kun $x$ kasvaa yhdellä.
  5. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujan $x$ neliöön.

[Lyhyt K2017/3]

  1. D
  2. A
  3. B
  4. D
  5. C
  6. E

Eräällä tieosuudella käytetään kesällä ja talvella erilaisia nopeusrajoituksia. Talvinopeudella matkaan kuluu 15 minuuttia ja kesänopeudella 3 minuuttia vähemmän, kun ajetaan maksiminopeuksilla. Mikä talvinopeusrajoitus on silloin, kun kesänopeus on 20 km/h korkeampi kuin talvinopeus?
[Lyhyt K2015/7]

Talvinopeusrajoitus on 80 km/h.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Mittauksissa havaittiin, että jarrutusmatka nopeudesta 40 km/h on 11,0 metriä.

  1. Mikä on auton jarrutusmatka nopeudesta 80 km/h?
  2. Auton jarrutusmatkaksi mitattiin 21,3 metriä. Mikä oli auton nopeus jarrutuksen alkaessa? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

[Lyhyt S2013/7]

  1. Jarrutusmatka on 44,0 m.
  2. Nopeus oli noin 56 km/h.

Äänilähteen tuottaman äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Festareilla Miisa istui aluksi 50 metrin päässä orkesterista, mutta siirtyi sitten 15 metrin päähän orkesterista. Kuinka monta prosenttia kasvoi äänen intensiteetti?
[Lyhyt K2008/6]

Intensiteetti noin 11,11-kertaistui eli kasvoi noin 1011 prosenttia.
Huom. jos intensiteetti kaksinkertaistuu, tarkoittaa se 100 prosentin kasvua. Vastaavasti 3-kertaistuminen tarkoittaa 200 prosentin kasvua.

Talon lämmityskustannukset pakkasella ovat suoraan verrannolliset sisä- ja ulkolämpötilojen väliseen erotukseen. Ulkolämpötilan ollessa $−2{,}0 {}^\circ\text{C}$ ja sisälämpötilan $22{,}0 {}^\circ\text{C}$ sisälämpötila pudotetaan $21{,}0 {}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka monella prosentilla talon lämmityskustannukset tällöin pienenevät?
[Lyhyt S2006/6]

Lämmityskustannukset pienenevät noin 4,2 %.

Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokone painaa maan pinnalla 56,0 tonnia. Kuinka paljon se painaa kymmenen kilometrin korkeudessa? Maan pinnan etäisyys keskipisteestä on 6370 kilometriä.
[Lyhyt K2006/4]

Lentokone painaa noin 55,8 tonnia.

Autoilija havaitsi keskelle tietä pysähtyneen toisen auton 100 metrin etäisyydellä. Autoilijan reaktioaika (havainnon teosta jarrutuksen aloittamiseen kulunut aika) oli 1,0 s ja auton nopeus oli 100 km/h. Jarrutusmatka olisi ollut 50 m, jos nopeus olisi ollut 80 km/h. Jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Pysähtyikö auto ennen yhteentörmäystä?
[Lyhyt K1985/10]

Reaktioajan ja jarrutuksen aikana auto kulkee yhteensä matkan $27{,}8 \text{ m } + 78{,}1 \text{ m } = 105{,}9 \text{ m}$, joten auto ei pysähtynyt ennen yhteentörmäystä.

Erään tuotteen tarjonta kasvoi 25 %. Kuinka monta prosenttia hinta tällöin laski, jos tuotteen hinta on kääntäen verrannollinen tarjontaan?
[Lyhyt K1992/3a]

Hinta laski 20 %.

Laivan polttoainekulut tunnissa ovat suoraan verrannolliset nopeuden kuutioon eli kolmanteen potenssiin. Nopeudella 40 km/h polttoainekulut ovat noin 480 euroa tunnissa.

  1. Minkä suuruiset polttoainekulut ovat, jos laivan nopeus on vain 30 km/h?
  2. Kuinka monta prosenttia matka-aika muuttuu, jos nopeutta pienennetään nopeudesta 40 km/h nopeuteen 30 km/h?

  1. Polttoainekulut ovat noin 200 euroa tunnissa (202,5 euroa tunnissa).
  2. Matka-aika pitenee noin 33 %.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.