Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Ensimmäisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja nouseva vai laskeva suora ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • laskea polynomien summan ja erotuksen sekä monomien tulon
  • tutkia sijoittamalla, onko annettu luku yhtälön ratkaisu
  • ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön
  • tulkita vastauksen myös tapauksissa, joissa yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja tai kaikki luvut ovat sen ratkaisuja
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia yhtälön avulla.

Tämän kurssin aiheina ovat lausekkeet ja yhtälöt. Ensimmäinen päämäärä on oppia ratkaisemaan sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Tätä varten perehdymme tässä kappaleessa ensimmäisen asteen polynomifunktioihin. Niitä voidaan käyttää apuna, kun tutkitaan ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisuja.

Aloitetaan palauttamalla mieleen, miten koordinaatiston pisteitä merkitään.

Koordinaattiakselien leikkauspistettä eli origoa on yllä olevassa kuvassa merkitty kirjaimella $O$.

  1. Tavoitteena on päästä origosta $O$ pisteeseen $A$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta ylöspäin? Mitkä ovat pisteen $A$ koordinaatit?
  2. Tavoitteena on päästä origosta pisteeseen $B$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta alaspäin? Mitkä ovat pisteen $B$ koordinaatit? Miten ilmaistaan se, että pisteeseen $B$ päästäkseen pitää liikkua pystysuunnassa alaspäin eikä ylöspäin?
  3. Mitkä ovat pisteen $C$ koordinaatit?
  4. Mitkä ovat pisteen $D$ koordinaatit?

  1. Pitää kulkea 2 askelta oikealle ja 3 askelta ylöspäin. Pisteen $A$ koordinaatit ovat siten $(2,3)$.
  2. Pitää kulkea 3 askelta oikealle ja 1 askel alaspäin. Pisteen $B$ koordinaatit ovat siten $(3,-1)$. Miinusmerkillä ilmaistaan, että pystysuunnassa liikutaan alaspäin eikä ylöspäin.
  3. $C = (4,2)$
  4. $D = (-3,1)$

Koordinaatiston piste voidaan siis ilmaista lukuparina $(x,y)$. Ensimmäinen luku $x$ kertoo, missä piste sijaitsee $x$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Toinen luku $y$ kertoo vastaavasti, missä piste sijaitsee $y$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Näitä lukuja kutsutaan pisteen koordinaateiksi.

Kun funktion kuvaaja piirretään koordinaatistoon, muuttujan arvot ovat $x$-akselilla ja funktion arvot ovat $y$-akselilla. Kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on aina sama kuin funktion arvo.

Yllä on näkyvissä funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $g$ arvo kohdassa $x = 1$? Toisin sanottuna, mitä on $g(1)$?
  2. Määritä $g(0)$.
  3. Saako funktio $g$ jossain kohdassa arvon $4$? Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 4$?
  4. Onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 0$?

  1. Kuvaajan mukaan $g(1) = 2$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(1,2)$ kautta.
  2. Kohdassa $x = 3$ funktion arvo on $g(3) = 4$. Kuvaaja kulkee pisteen $(3,4)$ kautta.
  3. Kohdassa $x = -1$ funktion arvo on $g(-1) = 0$. Kuvaaja kulkee pisteen $(-1,0)$ kautta eli leikkaa $x$-akselin kohdassa $x = -1$.
  4. Kuvaajan mukaan $g(0) = 1$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(0,1)$ kautta.

Edellisen tehtävän funktio on yksi esimerkki ensimmäisen asteen polynomifunktiosta. MAY1-kurssilta tuttu määritelmä kertoo tarkemmin, millaisia funktioita kutsutaan ensimmäisen asteen polynomifunktioiksi:

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax+b,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 1{,}5x - 2$.

  1. Vertaa funktion $f$ lauseketta ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä mikä on vakio $b$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 2$ eli laske, mitä on $f(2)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = 1{,}5$ ja $b = -2$, huomaa miinusmerkki.
  2. $f(2) = 1$
  3. $f(0) = -2$
  4. Pisteet ovat $(2,1)$ ja $(0,-2)$.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $
$\ g(x) = -2x-1 \ $
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $
$\ k(x) = -x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $   C
$\ g(x) = -2x-1 \ $   D
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $   A
$\ k(x) = -x+2 \ $   B

Funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voidaan päätellä seuraavaa:

  1. Jos kerroin $a$ on positiivinen, kuvaaja on nouseva suora. Jos kerroin $a$ on negatiivinen, kuvaaja on laskeva suora.
  2. Vakiotermi $b$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
  3. Kerroin $a$ ilmaisee, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax + b,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $$y = ax + b.$$ Vakio $b$ ilmaisee, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b$ on mikä tahansa reaaliluku. Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on suoran kulmakerroin.

Laske funktion arvo kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$ ja päättele, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään koordinaatistossa yhden ruudun verran oikealle. Selitä omin sanoin, miten suoran kulmakerroin kuvaa sitä, miten jyrkästi suora nousee tai laskee.

  1. $f(x) = 7x - 3$
  2. $g(x) = -5x + 8$

  1. Kuvaaja nousee 7 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = 7x - 3$, jonka kulmakerroin on 7.
  2. Kuvaaja laskee 5 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = -5x + 10$, jonka kulmakerroin on $-5$.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on

  • nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen
  • laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen.

Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora, voi kuvaajan piirtää monella tavalla.

  1. Piirrä funktion $f(x) = 2x-3$ kuvaaja seuraavasti: Määritä jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee. Piirrä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä funktion $g(x) = -x+4$ kuvaaja seuraavasti: Päättele funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin. Piirrä suora näiden tietojen avulla.
  3. Tarkista piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Kuvaaja kulkee esimerkiksi pisteiden $(0,-3)$ ja $(1,-1)$ kautta.
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella 4 eli pisteessä $(0,4)$. Kuvaajan kulmakerroin on $-1$. Kuvaaja siis laskee aina yhden ruudun, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Niissä kohdissa, joissa funktion kuvaaja leikkaa vaakasuoran $x$-akselin, funktion arvo on nolla. Näitä kohtia kutsutaan funktion nollakohdiksi:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Esimerkiksi alla olevan kuvan funktiolla $f$ on yksi nollakohta $x = 3$.

Toisin sanottuna $f(x) = 0$, jos ja vain jos $x = 3$. Siis funktio saa arvon nolla, jos ja vain jos muuttujan arvo on 3.

Päättele, mitä ovat funktioiden nollakohdat kuvissa A-D.

  1. Nollakohta $x = -2$.
  2. Nollakohta $x = 2$.
  3. Nollakohta $x = 0$.
  4. Nollakohta $x = -0{,}5$. Huomaa, että symmetrian avulla voi päätellä, että nollakohta on tasan $-0{,}5$.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein? Perustele vastauksesi omin sanoin ja korjaa samalla väärät väitteet oikeiksi. Kertaa tarvittaessa polynomeihin liittyviä käsitteitä Opetus.tv:n sivuilta.

  1. Polynomissa $-4x^2+8x-3$ on viisi termiä.
  2. Polynomin $7x^4-6x^3+4x$ toisen asteen termin kerroin on nolla.
  3. Polynomin $x^7-x+6$ aste on kolme.
  4. Polynomin $x^3-9x^2+4$ vakiotermi on $4$.
  5. Polynomi $3x^5-x^2$ on monomi.
  6. Lauseke $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{2}$ on binomi.

  1. Väärin, polynomissa on kolme termiä.
  2. Oikein, sillä sama polynomi voidaan kirjoittaa $7x^4-6x^3 + 0x^2 +4x$.
  3. Väärin, polynomin aste on 7.
  4. Oikein.
  5. Väärin, tämä polynomi on binomi. Monomiksi sanotaan polynomia, jossa on vain yksi termi.
  6. Oikein, sillä tämä lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x$.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa ja 25 puntaa. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa ja 7 puntaa. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£) + (15 \,€ + 7 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£. \end{align*} Tässä laskettiin eurot yhteen keskenään ja punnat yhteen keskenään. Yhdistettiin siis ne luvut, joilla kirjainosa oli sama.

Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa ja 27 puntaa. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£\\ &= 10 \,€ + 5 \,£. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu.

Muodosta ja laske polynomien $x^2+3x-6$ ja $-4x^2+x-2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $-3x^2+4x-8$
  2. $5x^2+2x-4$

Muodosta ja laske polynomien $4x^3-2x^2+3x+1$ ja $-3x^2-3x+2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $4x^3-5x^2+3$
  2. $4x^3+x^2+6x-1$

Kun polynomia kerrotaan luvulla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£) &= \frac{1}{5} \cdot 10 \,€ + \frac{1}{5} \cdot 5 \,£\\[1mm] &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£\\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ \end{align*} Jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $-3x^4 \cdot 5x^2$
  2. $4x(x-5)$
  3. $-3x^2(-4x^2+x-2)$

  1. $-15x^6$
  2. $4x^2-20x$
  3. $12x^4 - 3x^3 + 6x^2$

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{4} \end{align*} voidaan muokata tekemällä jakolasku termeittäin seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-5}{4} &= \dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{4} = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4} \end{align*} Huomaa, että neljällä jakaminen vastaa yhdellä neljäsosalla kertomista. Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x - 3}{5}$
  2. $\dfrac{4x + 6}{12}$

  1. Tehdään jakolasku termeittäin: \begin{align*} \dfrac{15x - 3}{5} &= \dfrac{15x}{5} - \dfrac{3}{5} \\[1mm] &= 3x - \dfrac{3}{5} \end{align*}
  2. Tehdään jakolasku termeittäin ja supistetaan: \begin{align*} \dfrac{4x + 6}{12} &= \dfrac{4x}{12} + \dfrac{6}{12} \\[1mm] &= \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} \\[1mm] &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2} \end{align*}

Kun lasketaan murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia, pitää lausekkeet laventaa samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-4}{3} &= \frac{\textcolor{blue}{3}(5x-7)}{\textcolor{blue}{3} \cdot 2}\textcolor{red}{-}\frac{\textcolor{blue}{2}(x-4)}{\textcolor{blue}{2} \cdot 3} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)\textcolor{red}{-}2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}8}{6} \\[1mm] &= \frac{13x-13}{6} \\[1mm] &= \frac{13}{6}x - \frac{13}{6} \end{align*}

Sievennä seuraavat lausekkeet. Huomaa, että murtolausekkeet ovat jo valmiiksi samannimisiä.

  1. $\dfrac{8x-11}{3} + \dfrac{4x - 7}{3}$
  2. $\dfrac{7-5x}{8} - \dfrac{3x - 5}{8}$

  1. \begin{align*} \dfrac{8x-11 + 4x - 7}{3} &= \dfrac{12x - 18}{3} \\[1mm] &= 4x - 6 \end{align*}
  2. \begin{align*} \dfrac{7-5x-(3x-5)}{8} &= \dfrac{7-5x-3x+5}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12-8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12}{8} - \dfrac{8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{3}{2} - x \end{align*}

Laske

  1. $\dfrac{3x+1}{2} + \dfrac{x-4}{5}$
  2. $\dfrac{3x+1}{2} - \dfrac{x-4}{5}$

  1. $\dfrac{17x-3}{10} = \dfrac{17}{10}x - \dfrac{3}{10}$
  2. $\dfrac{13x+13}{10} = \dfrac{13}{10}x + \dfrac{13}{10}$

Kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 2x + 1$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$2x + 1 = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 2x + 1$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 kohdassa $x = 1{,}5$. Yhtälön ratkaisu on siis $x = 1{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-3x - 1 = 5$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä koordinaatistoon funktion $f(x) = -3x-1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan piste on korkeudella 5.
  2. Mikä on yhtälön ratkaisu?
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $5$?

  1. Yhtälön ratkaisu on $x = -2$.
  2. Kyllä, sillä $-3 \cdot (-2) -1 = 6 - 1 = 5$.

Ensimmäisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ ax + b = 0, $$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ nollakohdat.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} $$ kuvaaja.

  1. Päättele kuvaajan avulla, mikä on yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu.
  2. Tarkista ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle.

  1. Yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu on funktion $f$ nollakohta $x = 4$.
  2. Jos $x = 4$, yhtälön vasen puoli on $$ -\dfrac{2}{3} \cdot 4 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = 0. $$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat siis yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että $x = 4$ on todellakin yhtälön ratkaisu.

Seuraavan määritelmän avulla voi aina tarkistaa, onko jokin luku yhtälön ratkaisu. Tarkistus on tehty näin myös edellisissä tehtävissä.

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$x^2 + 6x = 8x+3$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemman puolen arvo ja oikean puolen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $3$
  2. $1$
  3. $-1$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $27$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $7$ ja oikea arvon $11$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-5$. Huomaa, että yhtälön vasen puoli on $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) = 1 - 6 = -5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Lauseke $x + 2$ on summa ja lauseke $2x$ on tulo.
  2. $x = 8$. Ainakin operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku 2).
  3. $x = 5$. Ainakin operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla 2).

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

  1. Lauseke $4(x+8)$ on lausekkeiden $4$ ja $x+8$ tulo.
    Lauseke $4x + 8$ on lausekkeiden $4x$ ja $8$ summa.
  2. $x = 20$. Operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku $8$).
  3. $x = 14$. Operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla $4$).

Tämän kappaleen alussa ratkaistiin graafisesti funktion kuvaajan avulla yhtälö $$2x+1 = 4.$$ Jos sama yhtälö ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, vähennetään aluksi yhtälön molemmilta puolilta luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$2x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla 2. Näin päädytään yhtälöön $$x = \dfrac{3}{2}.$$ Koska käytettiin vain sallittuja operaatioita, löydettiin yhtälön ratkaisu. Ratkaisun voi lisäksi aina tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$ 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4. $$ Yhtälön vasemmasta puolesta saatiin yhtä suuri kuin yhtälön oikeasta puolesta, joten $$ x = \dfrac{3}{2} $$ on yhtälön ratkaisu.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3-(8x+1)$.

Ohje: b-kohdassa aloita poistamalla sulut yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta.

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.

Jos yhtälössä esiintyy murtolausekkeita, kannattaa niistä yrittää hankkiutua eroon mahdollisimman nopeasti. Yleispätevä tapa on kertoa yhtälön molemmat puolet kaikkien nimittäjien tulolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$ \dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4} = \dfrac{x-3}{2} + 2x. $$ Yhtälössä on kolme erilaista nimittäjää: luvut 3, 4 ja 2. $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{3} } - \dfrac{2-x}{\textcolor{blue}{4} } = \dfrac{x-3}{\textcolor{blue}{2} } + 2x. $$ Muodostetaan nimittäjien tulo $\textcolor{blue}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \textcolor{red}{24}$ ja kerrotaan yhtälön molemmat puolet sillä: $$ \dfrac{\textcolor{red}{24}x}{3} - \dfrac{\textcolor{red}{24}(2-x)}{4} = \dfrac{\textcolor{red}{24}(x-3)}{2} + \textcolor{red}{24} \cdot 2x. $$ Jokainen yhteenlaskettava siis kerrotaan nimittäjien tulolla, tarvittaessa käytetään sulkuja. Sen jälkeen voidaan laskea jakolaskut, jolloin päästään nimittäjistä eroon: $$ 8x - 6(2-x) = 12(x-3) + 48x. $$ Tästä eteenpäin yhtälön ratkaisu etenee normaalisti. Ensin sievennetään yhtälön vasen ja oikea puoli: \begin{align*} 8x - 12 + 6x &= 12x - 36 + 48x \\[1mm] 14x - 12 &= 60x - 36 \quad \textcolor{blue}{\mid + 12} \\[1mm] 14x &= 60x - 24 \quad \textcolor{blue}{\mid -60x} \\[1mm] -46x &= -24 \phantom{ {} -2} \quad \, \textcolor{blue}{\mid \, : -46} \\[1mm] x &= \dfrac{-24}{-46} = \dfrac{12}{23}. \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{x}{4} = x + 1$
  2. $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x}{2} = 5x-1$

  1. $x = -\dfrac{4}{3}$
  2. $x = -\dfrac{4}{29}$.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Toinen esimerkki on yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

  1. Onko edellä tarkasteltu yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x)$$ ensimmäisen asteen yhtälö? Selitä omin sanoin.
  2. Ratkaise yhtälö $$3x - \frac{1-2x}{2} = 4x.$$
  3. Ratkaise yhtälö $$\frac{2x-1}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x-2}{6}.$$

  1. Tämä yhtälö ei ole ensimmäisen asteen yhtälö, sillä esimerkissä nähtiin, että sitä ei voida esittää muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, sillä se on yhtäpitävä yhtälön $-1 = 0$ kanssa. Tämä yhtälö on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.
  3. Kaikki luvut ovat tämän yhtälön ratkaisuja, sillä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön $0 = 0$ kanssa. Tämä on tosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Monet käytännön ongelmat voidaan selvittää muodostamalla ja ratkaisemalla sopiva yhtälö. Aluksi kannattaa koota ja jäsentää kaikki ongelmaan liittyvät tiedot esimerkiksi taulukon muotoon. Sen jälkeen kannattaa miettiä, mitä halutaan saada selville. Jos tuntemattomia on vain yksi, merkitään sitä jollakin kirjaimella. Usein käytetään kirjainta $x$, mutta muitakin kirjaimia voi käyttää.

Puhelinliittymien A ja B hintatiedot on koottu alla olevaan taulukkoon. Tehtävänä on selvittää, mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla, jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen. Ajatellaan, että liittymää käytetään yhden vuoden ajan.

Liittymä Avaus (€) Kk-maksu (€/kk) Puhelun hinta (€/min)
A 5,00 6,00 0,055
B 3,90 4,90 0,07
  1. Mitkä ovat liittymän A kustannukset ensimmäisen kuukauden aikana, jos puheaika on 180 minuuttia? Entä mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on 180 minuuttia joka kuukausi?
  2. Mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  3. Mitkä ovat liittymän B kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  4. Muodosta b- ja c-kohtien avulla yhtälö, josta saat ratkaistua mikä on puheaika silloin, kun kummankin liittymän kustannukset ovat samat.
  5. Ratkaise d-kohdan yhtälö. Mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla (minuutin tarkkuudella), jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen?

  1. Ensimmäisessä kuussa liittymän A kustannukset ovat 20,90 euroa, jos puheaika on 180 minuuttia. Vuodessa kustannuksia kertyy 195,80 euroa.
  2. Liittymän A kustannukset vuodessa ovat $77 + 0{,}66x$.
  3. Liittymän B kustannukset vuodessa ovat $62{,}7 + 0{,}84x$.
  4. Yhtälö on $$ 62{,}7 + 0{,}84x = 77 + 0{,}66x. $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{14{,}3}{0{,}18} \approx 79{,}4. $$ Kuukausittaisen puheajan pitää olla vähintään 80 minuuttia, jotta liittymän A hankkiminen on taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen.

Jos tuntemattomia on useita, pitää niistä valita yksi, jota merkitään kirjaimella. Valinta kannattaa tehdä niin, että muut tuntemattomat voidaan ilmaista saman kirjaimen avulla. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

Kiia, Ida ja Elias ostivat yhdessä kuuden euron arvan. Kiia osallistui arvan ostoon yhdellä eurolla, Ida kahdella ja Elias kolmella eurolla. He päättivät, että jakavat mahdollisen voiton sijoitusten suhteessa 1 : 2 : 3. Siis Ida saa kaksi kertaa sen mitä Kiia ja Elias saa kolme kertaa sen mitä Kiia.

Kaikkien yllätykseksi he voittivat arvalla 9000 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta euroa kukin saa.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Henkilö Osuus
    Kiia
    Ida
    Elias
    Yht.
  2. Merkitse Kiian osuutta kirjaimella $x$. Mikä on Idan osuus kirjaimen $x$ avulla ilmaistuna? Entä Eliaksen osuus? Täydennä ne taulukkoon. Ilmaise osuuksien yhteismäärä kirjaimen $x$ avulla.
  3. Mikä on osuuksien yhteismäärä taulukon mukaan? Mikä on osuuksien yhteismäärä euroina? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälö. Kuinka monta euroa kukin saa?
  5. Miten voit tarkistaa, että saamasi tulos on järkevä? Keksi ainakin yksi tapa ja selitä omin sanoin.

  1. Taulukko:
    Henkilö Osuus
    Kiia $x$
    Ida $2x$
    Elias $3x$
    Yht. $6x$
  2. Osuuksien yhteismäärästä saadaan yhtälö $$ 6x = 9000. $$
  3. Yhtälön ratkaisu on $x = 1500$. Voitto pitää siis jakaa seuraavasti: Kiian osuus $x = 1500$ euroa, Idan osuus $2x = 3000$ euroa ja Eliaksen osuus $3x = 4500$ euroa.
  4. Voi tarkistaa, että osuuksien summa on 9000 euroa. Lisäksi voi tarkistaa, että Idan osuus on kaksi kertaa Kiian osuus ja että Eliaksen osuus on kolme kertaa Kiian osuus.

Vili lastaa veneen peräkärryyn ja lähtee kuljettamaan sitä Haminasta Turkuun nopeudella 80 km/h. Emma lähtee hänen peräänsä puoli tuntia myöhemmin henkilöautolla. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan Emman on ajettava nopeudella 100 km/h ennen kuin hän saa Vilin kiinni. Kuinka kaukana Haminasta he silloin ovat?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Täydennä taulukkoon kummankin nopeus.
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h)
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$ $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$
  2. Kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma on ollut matkalla $x$ tuntia? Hyödynnä tietoa Vilin tuntinopeudesta.
  3. Mikä on Emman etäisyys Haminasta, kun hän lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Emma on ehtinyt, kun hän on ollut matkalla $x$ tuntia?
  4. Emma saavuttaa Vilin, kun heidän etäisyytensä Haminasta on yhtä suuri. Muodosta taulukon avulla sopiva yhtälö ja ratkaise se. Kuinka kauan kestää, että Emma saa Vilin kiinni?
  5. Kuinka kaukana Haminasta he ovat silloin?

  1. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia:
  2. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$
  3. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$ $0$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$ $100x$
  4. Yhtälö on $$ 100x = 40 + 80x. $$ Ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Emma saa siis Vilin kiinni kahden tunnin kuluttua.
  5. Kun Emma on ollut matkalla 2 tuntia, hänen etäisyytensä Haminasta on $2 \cdot 100 = 200$ km.

[Pitkä S2016/2a & S2014/2b]

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.