Tässä kappaleessa johdetaan derivointisäännöt funktioiden tulolle ja funktion potenssille. Tulon derivointisääntöä tarvitaan toden teolla vasta seuraavassa kurssissa MAA7, mutta sen avulla saadaan seuraavassa kappaleessa johdettua funktioiden osamäärän derivointisääntö. Sitä tarvitaan rationaalifunktioiden derivoimiseen.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden tulolla tarkoitetaan:

Esimerkiksi funktio $$h(x) = x^2(0{,}5x-1)$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = x^2$ ja $g(x) = 0{,}5x-1$ tuloksi: $$h(x) = f(x)g(x).$$

Jos funktioiden tulon lauseke voidaan sieventää yhdeksi polynomiksi, saadaan derivaatta määritettyä aiemmin opitulla tavalla. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Edellinen tehtävä osoittaa, että funktioiden tulon derivaatta ei ole sama kuin derivaattojen tulo. Yleispätevä sääntö on monimutkaisempi ja se todistetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa. Jos sievennyksen yksityiskohdat tuntuvat kovin hankalilta, keskity aluksi tunnistamaan perustelusta kolme vaihetta ja vertaa niitä teoreeman 8 perusteluun.

Funktioiden tulon yksi erikoistapaus on funktion potenssi. Esimerkiksi funktio $g(x) = (x^2 + 9x)^4$ voidaan tulkita funktion $f(x) = x^2 + 9x$ neljänneksi potenssiksi: $$g(x) = (f(x))^4.$$ Funktioiden tulon derivointisääntöä voidaan soveltaa funktion $f$ toiseen potenssiin: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^2 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)f(x) \\[1mm] &= f'(x)f(x) + f(x)f'(x) \\[1mm] &= 2f(x)f'(x) \end{align*} Tämän tiedon ja tulon derivointisäännön avulla saadaan määritettyä funktion $f$ kolmannen potenssin derivaatta: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (f(x))^3 &= \mathop{\mathrm{D}}f(x)(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\mathop{\mathrm{D}}(f(x))^2 \\[1mm] &= f'(x)(f(x))^2 + f(x)\cdot 2f(x)f'(x) \\[1mm] &= (f(x))^2f'(x) + 2(f(x))^2f'(x) \\[1mm] &= 3(f(x))^2f'(x) \end{align*}

On mahdollista osoittaa, että vastaava funktion potenssin derivointisääntö pätee kaikilla positiivisilla kokonaislukueksponenteilla:

Tässä kappaleessa johdetaan funktioiden osamäärän derivointisääntö, jonka avulla saadaan määritettyä muun muassa rationaalifunktioiden derivaatat.

Aloitetaan sopimalla, mitä funktioiden osamäärällä tarkoitetaan:

Esimerkiksi rationaalifunktio $$h(x) = \frac{5x-2}{x^2+5}$$ voidaan tulkita funktioiden $f(x) = 5x-2$ ja $g(x) = x^2+5$ osamääräksi: $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$ Funktioiden osamäärän derivointisääntö saadaan johdettua tulon derivointisäännön avulla:

Osamäärän derivointisäännön avulla saadaan yleistettyä funktion potenssin derivointisääntö myös negatiivisten eksponenttien tapaukseen:

Seuraavassa tehtävässä yleistetään potenssifunktion derivointisääntö myös negatiivisille eksponenteille.

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

Nyt olemme hankkineet kaikki tiedot, joita tarvitaan rationaalifunktioiden kulun tutkimiseen. Jos haluamme esimerkiksi selvittää funktion $$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$ ääriarvot, pystymme

• määrittämään derivaattafunktion osamäärän derivointisäännöllä
• ratkaisemaan derivaattafunktion nollakohdat ja kohdat, joissa alkuperäinen funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty
• laatimaan derivaattafunktiolle merkkikaavion ja täydentämään sen funktion $f$ kulkukaavioksi.

Erona aikaisempiin tilanteisiin on oikeastaan vain se, että rationaalifunktiolla ja sen derivaattafunktiolla saattaa olla kohtia, joissa niitä ei ole määritelty. Nämä täytyy ottaa huomioon merkkikaaviossa (ks. luvun 3 kappale Rationaaliepäyhtälö).

Kohdat, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty, täytyy huomioida myös silloin, kun kulkukaavion pohjalta tehdään päätelmiä funktion kasvamisesta ja vähenemisestä. Aikaisemmin luvussa 5 tarkasteltiin polynomifunktiota $$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + 1,$$ jonka derivaattafunktio on $$f'(x) = \frac{1}{2}x^2.$$ Funktion $f$ kulkukaaviosta voidaan päätellä, että funktio $f$ on aidosti kasvava koko reaaliakselilla:

Myös funktion $f$ kuvaaja tukee tätä johtopäätöstä:

Tehtävässä 6.10 puolestaan tarkasteltiin rationaalifunktiota $$ g(x) = \frac{x}{x^2-1}, $$ jonka kulkukaavioksi saatiin

Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ on aidosti vähenevä väleillä $\left]-\infty, -1\right[$, $\left]-1, 1\right[$ ja $\left] 1, \infty\right[$. Se ei kuitenkaan ole aidosti vähenevä koko lukusuoralla, mikä nähdään funktion kuvaajasta:

Kun kulkukaavion perusteella tehdään johtopäätöksiä, täytyy siis olla tarkkana, ovatko siihen merkityt erityiskohdat derivaatan nollakohtia vai kohtia, joissa funktio tai sen derivaattafunktio ei ole määritelty. Funktion kuvaajan avulla voi usein tarkistaa, ovatko kulkukaaviosta tehdyt päätelmät oikein.

Joissakin tilanteissa funktion suurimman ja pienimmän arvon olemassaoloa ei voida päätellä pelkän kulkukaavion avulla. Esimerkiksi funktion $$ g(x) = \frac{-3x}{x^2 + 1} $$ kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $g$ on kaksi ääriarvoa: maksimiarvo $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$.

Se, onko maksimiarvo $g(-1) = -\frac{3}{2}$ myös funktion $g$ suurin arvo, riippuu funktion arvojen käyttäytymisestä muuttujan kasvaessa rajatta. Kulkukaaviosta nimittäin nähdään, että funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $\left[1, \infty\right[$. Kasvavatko sen arvot tällä välillä suuremmiksi kuin maksimikohdassa $x = -1$?

Funktion $g$ lauseketta tarkastelemalla havaitaan, että nimittäjä $x^2 + 1$ on aina positiivinen. Jos $x \geq 1$, osoittaja $-3x$ on negatiivinen. Funktion $g$ arvot ovat siis negatiivisia välillä $\left[1, \infty\right[$, joten $g(-1) = \frac{3}{2}$ on funktion suurin arvo.

Tutkitaan vielä, onko minimiarvo $g(1) = -\frac{3}{2}$ funktion $g$ pienin arvo. Saako funktio $g$ tätä pienemmän arvon välillä $\left] -\infty, -1\right]$?

Funktion $g$ lausekkeesta voidaan päätellä samaan tapaan kuin edellä, että jos $x \leq -1$, niin funktion arvot ovat positiivisia. Siten $g(1) = -\frac{3}{2}$ on funktion $g$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa tai pienenee rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $g(-1) = \frac{3}{2}$ ja $g(1) = -\frac{3}{2}$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Taito tutkia rationaalifunktion kulkua antaa uusia mahdollisuuksia erilaisten käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Jälleen ensimmäinen haaste on kuitenkin mallintaa ongelma matemaattisesti:

• Mitä muuttujaa tarkastellaan?
• Minkä funktion suurinta tai pienintä arvoa etsitään?
• Millä välillä muuttujan arvot vaihtelevat?

Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa tilannetta: Kunnan kaavoitusarkkitehti suunnittelee uutta pientaloaluetta. Alueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joille voi rakentaa $130 \text{ m}^2$ omakotitalon. Tontit ovat suorakulmion muotoisia ja rajoittuvat yhdeltä sivultaan puroon. Rakennuksen etäisyys purosta on oltava vähintään 11 metriä ja tontin muista reunoista vähintään 5 metriä. Mitkä ovat pienimmän mahdollisen tontin mitat ja pinta-ala? Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että myös rakennuksen pohja on suorakulmion muotoinen ja sen sivut ovat yhdensuuntaiset tontin rajojen kanssa.

Aloitetaan piirtämällä tilanteesta kuva. Merkitään tontin sivujen pituuksia kirjaimilla $x$ ja $y$:

Rakennuksen pinta-alasta $130 \text{ m}^2$ saadaan ehto muuttujille $x$ ja $y$: $$ (x-10)(y-16) = 130. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista toinen muuttujista: \begin{align*} y-16 &= \frac{130}{x-10} \\[2mm] y &= \frac{130}{x-10} + 16 \end{align*} Tontista halutaan mahdollisimman pieni, joten ryhdytään tutkimaan tontin pinta-alaa $A = xy$. Sijoitetaan tähän äskeisen pyörittelyn tulos, jolloin tontin pinta-ala saadaan ilmaistua muuttujan $x$ funktiona: \begin{align*} A(x) &= x\left(\frac{130}{x-10} + 16\right) \\[2mm] &= \frac{130x}{x - 10} + 16x. \end{align*} Mallikuvasta voidaan päätellä, että tontin leveys $x$ on suurempi kuin 10 metriä eikä sillä periaatteessa ole ylärajaa. Tehtävänä on siis etsiä funktion $A(x)$ pienin arvo, kun $x > 10$. Tämä tehdään seuraavassa tehtävässä.