Määritellään ensin käsite satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja liittää tapahtumiin reaalilukuarvon.

Satunnaismuuttuja voi esimerkiksi kuvata nopan jokaiseen silmäluvun sitä vastaavalle reaalilukuarvolle

tai se voi kuvata jokaisen lapsiperheen kyseessä olevan perheen lasten lukumääräksi.

Huomaa, että satunnaismuuttuja voi ilmetä teoreettisessa tarkastelussa tai tilastossa. Jälkimmäisessä tapauksessa oletamme, että havaintoarvoilla on välimatka-asteikko. Jos tilastossa on mukana mahdollisia havaintoarvoja, jotka eivät ole havaintoarvoja, niin niihin ei kuvaudu mikään havaintoyksikkö. Satunnaismuuttuja on siinä mielessä harhaanjohtava termi, että satunnaismuuttujassa ei ole mitään satunnaista. Koska satunnaismuuttuja on funktio, niin sen arvo on yksikäsitteisesti määrätty jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. Satunnaismuuttujan avulla saamme todennäköisyysjakauman. Se kuvaa, kuinka yleisiä satunnaismuuttujan eri arvot ovat.

Todennäköisyydet saadaan joko teoreettisesta tarkastelusta tai vaihtoehtoisesti ne ovat havaintoarvojen suhteelliset frekvenssit. Tarvittaessa todennäköisyysjakaumaa voi täydentää arvoilla, joita vastaavat todennäköisyydet ovat nollia. Näin saamme mahdolliset havaintoarvot mukaan todennäköisyysjakaumaan. Jos todennäköisyysjakauma tulee tilastosta, niin se on sama asia kuin Luvussa frekvenssi määritelty jakauma.

Huomaa, että todennäköisyyksien summa on 1 eli $100 \%$.

Kisätieto: Jos halutaan korostaa, että kyseessä on diskreetin todennäköisyysjakauman yhden tapahtuman todennäköisyys, niin voidaan käyttää termiä pistetodennäköisyys.

Yksinkertaisin jakauma on tasainen jakauma, jossa jokaisen arvon suhteellinen frekvenssi on sama. Esimerkiksi kuusisivuisen nopan jokaisen silmäluvun todennäköisyys on $1/6 \approx 16{,}7 \%$.

Usein jakauma ei kuitenkaan ole tasainen. Tarkastellaan lapsiperheiden lukumäärää, joka on esitetty alla olevassa kuvassa:

Todennäköisyysjakaumia kuvataan usein niiden ulkomuodon perusteella. Esimerkiksi yllä olevan kuvan jakaumaa voisi luonnehtia vasemmalle vinoksi. Muita tyypillisiä kuvauksia ovat huippujen lukumäärä, symmetrisyys ja häntien paksuus, kuten alla.

Todennäköisyysjakaumasta voidaan määritellä yksittäisten todennäköisyyksien lisäksi todennäköisyyksia, jotka koostuvat eri havaintoarvoista. Esimerkiksi lapsiperheiden tapauksessa voitaisiin kysyä, millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitulla lapsiperheellä on enintään 3 lasta? Tai 3--5 lasta?

Toistokoe on tilanne, jossa sama koe suoritetaan useampaan kertaan ja tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia, vertaa Määritelmä~\ref{maar:riippumattomuus}. Lisäksi toistokokeessa on vain kaksi tulosvaihtoehtoa: onnistuminen ja epäonnistuminen. Toistokokeeseen liittyvää todennäköisyyttä kutsutaan binomitodennäköisyydeksi.

Tarkastellaan tilannetta, jossa kokeen onnistumisen todennäköisyys $p$ on $0{,}3$. Jos sama koe toistetaan 5 kertaa, niin mahdollisia kokeiden tuloksien vaihtoehtoja on $2^5=32$. Erilaisia toistokokeen lopputuloksia on kuusi: 0 onnistumista, 1 onnistuminen,... , 5 onnistumista. Katso alla oleva taulukko:

Huomataan aluksi, että jokaisessa lopputuloksessa olevien sarakkeiden lukumäärä taulukossa saadaan binomikertoimella. Merkitään, että numero 1 tarkoittaa kokeen onnistumista ja numero 0 epäonnistumista. Olkoon $A=\{1, 2, \ldots, 5\}$. Valitaan joukosta $A$ $k$ kappaletta alkioita, $k\in[0,5]$. Ajatellaan, että valitut $k$ alkiota kertovat, mihin jonon paikkoihin luku $1$ asetetaan. Loppuihin $5-k$ paikkaan asetetaan luku 0. Tällöin jokainen joukon $A$ $k$-alkioinen osajoukko vastaa yhtä jonoa, jossa on täsmälleen $k$ kappaletta lukuja $1$, ja toisinpäin. Näin ollen jonoja on yhtä paljon kuin $k$-alkioisia osajoukkoja eli $\displaystyle \binom{5}{k}$.

Seuraavaksi huomataan, että jos yhden kokeen onnistumisen todennäköisyys on $0{,}3$, niin epäonnistumisen todennäköisyys on $1-0{,}3 = 0{,}7$.

Seuraavaksi selvitämme kunkin mahdollisen lopputuloksen todennäköisyydet. Aloitetaan lopputuloksesta, jossa kaikki kokeet epäonnistuivat. Tämä saadaan ainoastaan, kun jokainen koe epäonnistuu eli todennäköisyys on siis $$ 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}7^5 = 0{,}16807 \approx 16{,}8\ \% . $$ Tarkastellaan seuraavaksi lopputulosta, jossa 1 koe onnistuu ja 4 epäonnistuu. Nyt onnistunut koe voi olla mikä tahansa 5 kokeesta, joten lopputulos voidaan saada 5 eri tavalla. Jos ensimmäinen koe onnistuu ja muut 4 eivät, niin todennäköisyys on $$ 0.3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}07203 \approx 7{,}2\ \% . $$ Jos toinen koe onnistuu, niin $$ 0.7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}07203 \approx 7{,}2\ \% . $$ Vastaavasti 3, 4 ja 5 kokeen onnistumisille saadaan todennäköisyys $0{,}07203 \approx 7{,}2 \%$. Koska kaikkien viiden tapahtuman todennäköisyys on sama, niin lopputuloksen todennäköisyydeksi saadaan $$ 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^4 =0{,}36015 \approx 36{,}0\ \% . $$ Kolmantena lopputuloksena on 2 onnistunutta koetta ja 3 epäonnistunutta. Erilaisten kombinaatioiden lukumäärä saadaan binomikertoimen avulla $\displaystyle\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! 3!} = 10$, joten erilaisia vaihtoehtoja on 10 kappaletta. Jokaisen näiden todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3=0{,}03087 \approx 3{,}1\ \% . $$ Lopputulukosen todennäköisyys on $$ 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 10 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3 = 0{,}3087 \approx 30{,}9\ \% . $$ Seuraava lopputulos on 3 onnistunutta koetta ja 2 epäonnistunutta. Binomikertoimen avulla saamme, että eri kombinaatioita on $\displaystyle\binom{5}{3} = 10$. Jokaisen näiden todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^2= 0{,}01323 \approx 1{,}3\ \% $$ joten lopputuloksen todennäköisyys on $$ 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 10 \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^2 =0{,}1323 \approx 13{,}2\ \% . $$ Lopputuloksen 4 onnistunutta ja 1 epäonnistunut erilaisia vaihtoehtoja on 5, joista jokaisen todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}3^4 \cdot 0{,}7=0{,}00567 \approx 0{,}6\ \% . $$ Lopputuloksen todennäköisyys on $$ 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 5 \cdot 0{,}3^4 \cdot 0{,}7=0{,}02835 \approx 2{,}8\ \% . $$ Lopputulos 5 onnistunutta voidaan saada vain yhdellä tavalla ja sen todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 =0{,}3^5 \approx 0{,}00243\ \% . $$ Voimme seuraavaksi muotoilla yleisen lausekkeen toistokokeen onnistumistodennäköisyydelle.

Varmista ennen kuin käytät yllä olevaa teoreemaa, että toistettavat kokeet ovat riippumattomia ja selvitä muuttujien $n$ (toistojen lukumäärä), $k$ (onnistumisten lukumäärä) ja $p$ (yhden kokeen onnistumistodennäköisyys) arvot.

Yleisin toistokokeen todennäköisyyksiin liittyvä laskuvirhe on binomikertoimen unohtaminen.

Odotusarvo kuvaa satunnaisilmiön odotettavissa olevaa arvoa. Tarkastellaan tavallista noppaa, jonka jokaisen silmäluvun todennäköisyys on $1/6$. Nopan odotusarvo tarkoittaa sellaista arvoa, joka keskimäärin on nopanheiton tulos. Odotusarvo lasketaan todennäköisyyksien ja mahdollisten arvojen avulla seuraavasti: $$ 1 \cdot \frac16 + 2 \cdot \frac16 + 3 \cdot \frac16 + 4 \cdot \frac16 + 5 \cdot \frac16 + 6 \cdot \frac16 = 3{,}5. $$ Huomaa, että odotusarvo 3,5 se ei ole mahdollinen nopanheiton tulos.