Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB4 - Matemaattisia malleja

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

MAB4 - Matemaattisia malleja

Kurssin tavoitteena on, että

  • näet reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaat niitä matemaattisilla malleilla
  • totut arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta
  • tutustut ennusteiden tekemiseen mallien pohjalta
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä polynomi- ja eksponenttifunktion ominaisuuksien tutkimisessa sekä polynomi- ja eksponenttiyhtälöiden ratkaisussa sovellusongelmien yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen
  • potenssiyhtälön ratkaiseminen
  • eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmin avulla
  • lukujonot matemaattisina malleina.

Kurssimateriaali on jaettu kolmeen lukuun: Lineaarinen malli, Eksponentiaalinen malli ja Matemaattinen mallintaminen.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Lineaarinen malli

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet lineaarisen mallin ominaisuudet ja osaat käyttää sitä erilaisten ilmiöiden kuvaamiseen ja ennusteiden tekemiseen. Osaat

  • kuvata lineaarista riippuvuutta ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
  • määrittää suoran kulmakertoimen ja suoran yhtälön
  • määrittää annetun suoran kanssa yhdensuuntaisen ja sitä vastaa kohtisuoran suoran
  • määrittää suoran ja koordinaattiakselien leikkauspisteet sekä kahden suoran leikkauspisteen
  • tunnistaa aritmeettisen lukujonon ja määrittää lausekkeen sen yleiselle jäsenelle
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Tässä luvussa tutustutaan niin sanottuun lineaariseen malliin. Kielitoimiston sanakirjan mukaan sana lineaarinen tarkoittaa samaa kuin suoraviivainen tai viivan kaltainen. Matematiikassa lineaarisella mallilla kuvataan ilmiöitä, joissa muutos on tasaista, suoraviivaista, tai joissa kahden suureen riippuvuutta voidaan kuvata koordinaatiston suoralla (kurssista MAB2 tuttu lineaarinen riippuvuus). Lineaarisena mallina voi olla ensimmäisen asteen polynomifunktio, koordinaatiston suora tai aritmeettinen lukujono. Näihin liittyviä asioita opiskellaan ja kerrataan seuraavissa kappaleissa.

Alla on mallinnettu koordinaatistossa kolmea erilaista ilmiötä.

  1. Yhdistä ilmiö sopivaan kuvaan:
    Ilmiö Kuva
    Benjihyppääjän nopeus
    Jäljellä oleva lainapääoma
    Omenoiden hinta
  2. Yhdistä lineaarinen malli sopivaan kuvaan:
    Malli Kuva
    Ensimmäisen asteen polynomifunktio
    Suora
    Aritmeettinen lukujono

  1. Ilmiö Kuva
    Benjihyppääjän nopeus 3
    Jäljellä oleva lainapääoma 1
    Omenoiden hinta 2
  2. Yhdistä lineaarinen malli sopivaan kuvaan:
    Malli Kuva
    Ensimmäisen asteen polynomifunktio 2
    Suora 2
    Aritmeettinen lukujono 1

Kurssissa MAY1 tutustuttiin funktioihin, joiden avulla voidaan mallintaa ja tutkia erilaisten mitattavissa olevien asioiden välisiä riippuvuuksia. Funktioita voidaan luokitella niiden ominaisuuksien perusteella, ja erityisen tärkeän funktioiden luokan muodostavat niin sanotut ensimmäisen asteen polynomifunktiot. Niitä tutkittiin tarkemmin jo kurssissa MAB2.

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax+b$, missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 3x - 4$.

  1. Vertaa funktion $f$ lauseketta ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä mikä on vakio $b$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 0$ eli laske, mitä on $f(0)$.
  3. Laske $f(3)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = 3$ ja $b = -4$, huomaa miinusmerkki.
  2. $f(0) = -4$
  3. $f(3) = 5$
  4. Pisteet ovat $(0,-4)$ ja $(3,5)$.

Ensimmäisen asteen polynomifunktiot ovat hyvin käyttökelpoisia, koska niiden avulla voidaan mallintaa tilanteita, joissa kaksi mitattavaa ominaisuutta eli suuretta riippuu toisistaan lineaarisesti. Lineaarisen riippuvuuden käsitteeseen tutustuttiin kurssissa MAB2.

Erään lentokonemallin polttoainesäiliöiden tilavuus on 97 000 litraa ja kone kuluttaa polttoainetta keskimäärin 9,8 l/km. Koneeseen tankataan ennen lähtöä 80 % polttoaineen maksimimäärästä.

  1. Kuinka paljon polttoainetta on koneen säiliöissä matkan alussa? Entä 2100 km matkan jälkeen?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee säiliöissä jäljellä olevan polttoaineen määrän, jos lennetty matka on $x$ kilometriä.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.
  4. Muuta $x$- ja $y$-akselien asteikkojen suhde sopivaksi (esim. 1:10), jotta voit tutkia graafisesti, kuinka pitkän matkan kone pystyy enintään lentämään ennen polttoaineen loppumista. Anna vastaus 10 kilometrin tarkkuudella.

  1. Matkan alussa polttoainetta on $0{,}8 \cdot 97000 = 77600$ litraa. Kun on lennetty 2100 km, polttoainetta on jäljellä $77600 - 2100 \cdot 9{,}8 = 57020$ litraa.
  2. $f(x) = 77600 - 9{,}8x$
  3. Kuvaaja:
  4. Kuva, jossa $x$- ja $y$-akselien suhde on 1:10, ja kuvaa on zoomattu:

    Kuvaajasta voidaan lukea, että polttoainemäärällä voi lentää enintään noin 7910 km.

Eräässä autovuokraamossa on seuraava käytäntö: jos asiakas palauttaa vuokraamansa pakettiauton myöhässä, joutuu hän maksamaan lisämaksua, joka riippuu myöhästymisen kestosta alla olevan kuvaajan mukaisesti.

  1. Päättele kuvaajasta, mikä on lisämaksu, jos palautus myöhästyy yhdellä tunnilla. Entä mikä on lisämaksu, jos palautus myöhästyy kahdella tunnilla?
  2. Kuinka paljon lisämaksu nousee tunnissa? Kasvaako se aina yhtä paljon?
  3. Lisämaksu muodostuu kiinteästä myöhästymismaksusta ja tuntihinnasta. Päättele kuvaajasta, kuinka suuri on kiinteä myöhästymismaksu.
  4. Muodosta ensimmäisen asteen polynomifunktio $f(x)$, joka ilmaisee lisämaksun suuruuden, jos palautus myöhästyy $x$ tuntia.

  1. Yhden tunnin myöhästymisellä lisämaksu on 170 euroa. Kahden tunnin myöhästymisellä lisämaksu on 190 euroa.
  2. Lisämaksu nousee 20 euroa tunnissa.
  3. Kiinteä myöhästymismaksu on kuvaajan mukaan 150 euroa. Tämä nähdään siitä, että kun $x = 0$, niin kuvaajan piste on korkeudella 150 €.
  4. Funktio on $f(x) = 150 + 20x$.

Kurssissa MAB2 opittiin, että ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax + b,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $$y = ax + b.$$ Suoran yhtälö ilmaisee, miten suoran pisteiden $y$-koordinaatit riippuvat $x$-koordinaateista. Sen avulla voidaan löytää pisteitä, joiden kautta suora kulkee. Seuraava tehtävä valaisee asiaa tarkemmin.

Suoran yhtälö on $y = -x + 3$.

  1. Suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = 1$. Laske suoran yhtälön avulla tämän pisteen $y$-koordinaatti. Merkitse piste koordinaatistoon.
  2. Suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = 4$. Laske tämän pisteen $y$-koordinaatti ja merkitse piste koordinaatistoon. Piirrä näiden kahden pisteen kautta kulkeva suora.
  3. Valitse $x$-koordinaatille jokin kolmas arvo (esimerkiksi lukujen $-1$ ja $7$ väliltä) ja laske sitä vastaavan suoran pisteen $y$-koordinaatti. Osuuko tämä piste b-kohdassa piirtämällesi suoralle?

  1. $y = -1 + 3 = 2$, joten piste on $(1,2)$.
  2. $y = -4 + 3 = -1$, joten piste on $(4,-1)$.
  3. Esimerkiksi jos $x = 2$, niin $y = -2 + 3 = 1$. Piste $(2,1)$ on suoran $y = -x+3$ piste.

Suoran yhtälö siis kertoo, miten suoran pisteen $y$-koordinaatti riippuu pisteen $x$-koordinaatista. Esimerkiksi suoran $y = -x + 3$ kaikki pisteet ovat muotoa $(x, -x+3)$.

Tehtävänä on selvittää, ovatko pisteet $A = (2116, 894)$ ja $B = (15668, 4273)$ suoralla, jonka yhtälö on $y = 0{,}25x + 365$.

  1. Selvitä suoran yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 2116$. Onko piste $A$ suoralla?
  2. Selvitä suoran yhtälön avulla, mikä on suoran pisteen $y$-koordinaatti, jos $x$-koordinaatti on $x = 15668$. Onko piste $B$ suoralla?

  1. $y = 0{,}25 \cdot 2116 + 365 = 894$, joten piste $A = (2116, 894)$ on suoralla.
  2. $y = 0{,}25 \cdot 15668 + 365 = 4282$, joten piste $B = (15668, 4273)$ ei ole suoralla.

Suoran yhtälössä $$ y = kx + b $$ vakio $b$ ilmaisee, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Kerroin $k$ puolestaan on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Suoran yhtälössä $y = kx + b$ esiintyvä kerroin $k$ on suoran kulmakerroin.

Alla on näkyvissä suora, jonka kulmakerroin on $k = 2$. Tämä näkyy kuvassa siten, että kun siirrytään yksi ruutu oikealle, suora nousee aina kaksi ruutua ylöspäin.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan tunnistamaan, miten suoran kulmakerroin $k$ ja vakio $b$ vaikuttavat suoran suuntaan ja sijaintiin koordinaatistossa.

Yllä on näkyvissä erilaisia suoria. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Suora Kulmakerroin Korkeus, jolla leikkaa $y$-akselin Kuva
$\ y = 3x \phantom{ {} + 11} \ $
$\ y = -2x-1 \ $
$\ y = 0{,}5x+1 \ $
$\ y = -x+2\phantom{1} \ $

Miten yhtälöstä $y = kx + b$ voi päätellä,

  1. onko kysymyksessä nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua suora nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = kx + b$ on

  • nouseva, jos $k > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen
  • laskeva, jos $k < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen.

Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Tässä tehtävässä selvitetään missä pisteessä suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin.

  1. Jos piste on $y$-akselilla, mitä voit päätellä sen $x$-koordinaatin arvosta? Voit tutkia asiaa valitsemalla pisteitä $y$-akselilla ja päättelemällä niiden $x$-koordinaattien arvot.
  2. Jos pisteen $x$-koordinaatti on $x = 0$ ja piste on suoralla $y = 3x + 5$, mikä on sen $y$-koordinaatti?
  3. Jos pisteen $x$-koordinaatti on $x = 0$ ja piste on suoralla $y = kx + b$, mikä on sen $y$-koordinaatti?
  4. Päättele edellisten kohtien avulla, missä pisteessä suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin.

  1. $x = 0$
  2. $y = 3 \cdot 0 + 5 = 5$
  3. $y = k \cdot 0 + b = b$
  4. Suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,b)$.

Edellisen tehtävän tulos voidaan muotoilla seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Suora $y = kx + b$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,b)$.

Jos suoran yhtälö tunnetaan, voi suoran piirtää koordinaatistoon monella menetelmällä.

  1. Piirrä suora $y = -2x+5$ kuvaaja seuraavasti: Määritä suoran yhtälön avulla jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee. Piirrä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä suora $y = x+3$ kuvaaja seuraavasti: Päättele funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin. Piirrä suora näiden tietojen avulla.
  3. Tarkista piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Kuvaaja kulkee esimerkiksi pisteiden $(0,5)$ ja $(1,3)$ kautta. (Voit keksiä $x$-koordinaatin itse ja laskea sitä vastaavan $y$-koordinaation suoran yhtälön avulla.)
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella 3 eli pisteessä $(0,3)$. Kuvaajan kulmakerroin on $1$. Kuvaaja siis nousee aina yhden ruudun, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Edellä havaittiin, että suoran kulmakerroin kuvaa suoran jyrkkyyttä. Jos tunnetaan suoran kahden pisteen koordinaatit, voidaan kulmakerroin määrittää laskemalla $y$-koordinaattien erotus, $x$-koordinaattien erotus ja näiden erotusten osamäärä:

Yllä näkyvän suoran kulmakertoimeksi saadaan näin \begin{align} k &= \frac{\text{$y$:n muutos} }{\text{$x$:n muutos} } = \dfrac{\textcolor{red}{2}-(\textcolor{blue}{-1})}{\textcolor{red}{3} - (\textcolor{blue}{-3})} \\[2mm] &= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5. \end{align} Silmämääräisesti arvioituna tulos on järkevä, sillä kun siirrytään yksi ruutu oikealle, suora näyttää nousevan aina puoli ruutua ylöspäin.

Ilmaistaan suoran kulmakertoimen määrittäminen vielä yleisenä sääntönä:

TEOREEMA

Oletetaan, että $\textcolor{blue}{x_1} \neq \textcolor{red}{x_2}$. Pisteiden $\textcolor{blue}{(x_1,y_1)}$ ja $\textcolor{red}{(x_2,y_2)}$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin on $$k = \frac{\text{$y$:n muutos} }{\text{$x$:n muutos} } = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}}$$

Määritä suorien kulmakertoimet alla olevan kuvan avulla.

Vinkki: Valitse pisteet, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja. Silloin saat tarkan tuloksen.

  1. $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$
  2. $k = -\dfrac{3}{4} = -0{,}75$

Määritä kulmakerroin pisteiden $A$ ja $B$ kautta kulkevalle suoralle ja päättele, onko suora nouseva vai laskeva.

  1. $A = (1,-2)\ $ ja $\ B = (3,4)$
  2. $A = (-2,6)\ $ ja $\ B = (3,2)$
  3. $A = (-21,-12)\ $ ja $\ B = (-53,4)$

Vinkki: kuvan tai mallikuvan hahmotteleminen yleensä helpottaa oikeiden johtopäätösten tekemistä.

  1. Nouseva. Kulmakerroin $k = \dfrac{6}{2} = 3$.
  2. Laskeva. Kulmakerroin $k = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8$.
  3. Laskeva. Kulmakerroin $k = -\dfrac{16}{32} = -0{,}5$.
    Tässä voi hahmotella pisteiden $A$ ja $B$ keskinäisen sijainnin mallikuvan avulla: piste $B$ on enemmän vasemmalla ja ylempänä kuin piste $A$.

Suoran kulmakertoimesta voidaan päätellä muutoksen nopeus. Seuraavat tehtävät valaisevat asiaa.

Erään sääaseman mittauspisteessä lämpötila laski kesäyönä tasaisesti niin, että yön viilein hetki oli klo 3 aamuyöllä. Kello 20.00 lämpötilaksi mitattiin 20,7 astetta. Alla oleva kuvaaja esittää lämpötilaa ajan funktiona (vaaka-akselilla aika tunteina klo 20.00 alkaen, pystyakselilla lämpötila celsiusasteina).

  1. Mikä oli kuvaajan mukaan lämpötila yöllä klo 0.00?
  2. Mikä on suoran kulmakerroin?
  3. Mikä on lämpötilan muutosnopeus (astetta/tunti)?

Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella.


  1. Lämpötila oli noin 18,0 astetta.
    Kun kello on 0.00, on kulunut 4 tuntia siitä, kun kello oli 20.00. Kuvaaja kulkee pisteen $(4; 18{,}0)$ kautta, joten klo 0.00 lämpötila on noin 18,0 astetta.
  2. Kulmakerroin on $k \approx -0{,}7$. Sen voi laskea esimerkiksi käyttäen pisteitä $(0;20{,}7)$ ja $(4;18{,}0)$.
  3. Kuvaajasta nähdään, että lämpötila laskee neljässä tunnissa noin 2,7 astetta. Siis lämpötila laskee noin $2{,}7/4 \approx 0{,}7$ astetta/tunti. Lämpötilan muutosnopeus on sama kuin lämpötilaa esittävän suoran kulmakerroin.

Kuvaaja ilmaisee 1500 metrin juoksukisan voittajan juokseman matkan ajan funktiona. Voittoaika oli 3:52,5.

  1. Kuinka kauan aikaa voittaja käytti kilpailun ensimmäiseen 600 metriin?
  2. Kuinka monta metriä sekunnissa oli voittajan juoksunopeus kilpailun ensimmäisen 3,5 minuutin aikana? Miten tämä liittyy suoran kulmakertoimeen?
  3. Mitä tapahtui, kun oli juostu 1200 m?
  4. Mikä oli voittajan juoksunopeus viimeisten 22,5 sekunnin aikana?

  1. Voittaja käytti ensimmäiseen 600 metriin 105 sekuntia eli yhden minuutin ja 45 sekuntia; siis 1:45. Tämä nähdään siitä, että kuvaaja kulkee pisteen $(105, 600)$ kautta.
  2. Juoksunopeus oli $$ k = \dfrac{1200 \text{ m}}{210 \text{ s}} \approx 5{,}7 \text{ m/s}. $$ Tämä on sama kuin kuvaajan loivemman osan kulmakerroin.
  3. Juoksuvauhti kasvoi eli alkoi loppukiri.
  4. Juoksunopeus oli $$ k = \dfrac{300 \text{ m}}{22{,}5 \text{ s}} \approx 13{,}3 \text{ m/s}. $$

Suoran yhtälön muodostamista varten tarvitaan suoran kulmakerroin $k$ ja tieto siitä, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Tämä korkeus on sama kuin suoran yhtälössä $y = kx + b$ esiintyvä vakio $b$.

Tehtävänä on määrittää yhtälö alla näkyvälle suoralle.

  1. Määritä suoran kulmakerroin $k$.
  2. Millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin eli mikä on vakio $b$?
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. $k = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$
  2. $b = 2$
  3. $y = \dfrac{3}{5}x + 2$

Suoran ja $y$-akselin tarkkaa leikkauspistettä ei välttämättä pysty lukemaan kuvasta. Tällaisessa tilanteessa riittää, että kulmakertoimen lisäksi tunnetaan jokin piste, jonka kautta suora kulkee. Tarkastellaan esimerkiksi tilannetta, jossa tiedetään, että suora kulkee pisteen $(2,4)$ kautta ja sen kulmakerroin on $$ k = \dfrac{5}{3}. $$ Tällöin tiedetään, että suoran yhtälö on muotoa $$ y = \dfrac{5}{3}x + b. $$ Koska suora kulkee pisteen $(2,4)$ kautta, sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Saadaan siis yhtälö $$ 4 = \dfrac{5}{3} \cdot 2 + b, $$ jossa ainoa tuntematon on $b$. Yhtälöä voidaan ensin sieventää laskemalla kertolasku, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$ 4 = \dfrac{10}{3} + b. $$ Vakio $b$ saadaan selville, kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $10/3$. Tällöin oikealle puolelle jää pelkkä $b$: $$ 4 - \dfrac{10}{3} = b. $$ Vakion $b$ arvo voidaan nyt sieventää laskimella tai käsin: \begin{align*} b &= 4 - \dfrac{10}{3} \\[2mm] &= \dfrac{4 \cdot 3}{3} - \dfrac{10}{3} \\[2mm] &= \dfrac{12}{3} - \dfrac{10}{3} = \dfrac{2}{3}. \end{align*} Suoran yhtälö on siis $$ y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{2}{3}. $$ Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu tapaa, jolla suora voidaan piirtää koordinaatistoon, jos tunnetaan suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste. Tunnetusta pisteestä $(2,4)$ lähtien voidaan löytää muita suoran pisteitä, kun muistetaan, että kulmakerroin $5/3$ tarkoittaa, että aina kun siirrytään 3 ruutua oikealle, suora nousee 5 ruutua ylöspäin.

Tiedetään, että suora kulkee pisteen $(1,2)$ kautta ja sen kulmakerroin on $$ k = -\dfrac{3}{2}. $$

  1. Piirrä suora koordinaatistoon.
  2. Sijoita tunnetun pisteen koordinaatit ja kulmakertoimen arvo suoran yhtälöön $$ y = kx + b $$ ja ratkaise vakion $b$ arvo.
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. Kulmakerroin on negatiivinen, joten suora on laskeva. Suoran piirtäminen:
  2. $b = \dfrac{7}{2}$
    Vakio $b$ saadaan ratkaistua yhtälöstä $$ 2 = -\dfrac{3}{2} \cdot 1 + b. $$
  3. $y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{7}{2}$

Suoran yhtälö voidaan määrittää myös tilanteessa, jossa tunnetaan kaksi suoran pistettä. Niiden avulla saadaan selville suoran kulmakerroin $k$ ja sen jälkeen vakion $b$ arvo voidaan selvittää kuten edellä tehtiin.

Suora kulkee pisteiden $(-2,3)$ ja $(3,1)$ kautta. Tehtävänä on määritää suoran yhtälö.

  1. Merkitse suoran pisteet koordinaatistoon ja laske suoran kulmakerroin. Varmista piirroksesi avulla, että tulos on järkevä.
  2. Sijoita jomman kumman tunnetun pisteen koordinaatit ja kulmakertoimen arvo suoran yhtälöön $$ y = kx + b $$ ja ratkaise vakion $b$ arvo.
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. Kulmakerroin on $$ k = -\dfrac{2}{5} = -0{,}4. $$
  2. $b = \dfrac{11}{5} = 2{,}2$
  3. $y = -\dfrac{2}{5}x + \dfrac{11}{5}$

Koordinaatiston minkä tahansa kahden pisteen kautta voidaan piirtää suora. Joskus voi käydä niin, että valituilla pisteillä on sama $y$-koordinaatti tai sama $x$-koordinaatti. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, millainen yhtälö on suoralla, jonka pisteillä on sama $y$-koordinaatti.

Suora kulkee pisteiden $(-3,2)$ ja $(4,2)$ kautta. Tehtävänä on määritää suoran yhtälö.

  1. Merkitse suoran pisteet koordinaatistoon ja laske suoran kulmakerroin. Varmista piirroksesi avulla, että tulos on järkevä.
  2. Sijoita jomman kumman tunnetun pisteen koordinaatit ja kulmakertoimen arvo suoran yhtälöön $$ y = kx + b $$ ja ratkaise vakion $b$ arvo.
  3. Mikä on suoran yhtälö?

  1. Kulmakerroin on $$ k = \dfrac{2-2}{4-(-3)} = \dfrac{0}{7} = 0. $$
  2. $b = 2$
  3. $y = 2$

Edellisestä tehtävästä havaitaan, että jos suoran pisteillä on sama $y$-koordinaatti, suoran kulmakerroin on nolla ja suoran yhtälö on muotoa $y = b$. Suora on $x$-akselin suuntainen ja leikkaa $y$-akselin korkeudella $b$. Tällainen suora on vakiofunktion $f(x) = b$ kuvaaja.

Jos suoran pisteillä on sama $x$-koordinaatti, suoran kulmakerrointa ei voi määrittää, koska kulmakertoimen lausekkeessa jakajaan tulisi nolla. Suora on tässä tapauksessa $y$-akselin suuntainen ja sen yhtälö on muotoa $x = a$. Esimerkiksi pisteiden $(4,-1)$ ja $(4,5)$ kautta kulkevan suoran yhtälö on $x = 4$:

Nämä havainnot voidaan osoittaa yleispäteviksi, joten kootaan ne seuraavaan teoreemaan:

TEOREEMA

Jos suora on $x$-akselin suuntainen, sen kulmakerroin on nolla ja suoran yhtälö on muotoa $$ y = b, $$ missä $b$ on jokin luku.
Jos suora on $y$-akselin suuntainen, sen yhtälö on muotoa $$ x = a, $$ missä $a$ on jokin luku.

Kolmion kärjet ovat pisteissä $(1,-1)$; $(5,-1)$ ja $(5,3)$. Jos kolmion sivuja jatketaan, muodostuu kolme suoraa.

  1. Piirrä tilanteesta kuva.
  2. Mitkä ovat syntyvien kolmen suoran yhtälöt?

Kuva ja suorien yhtälöt:

Suorat, jotka ovat $y$-akselin suuntaisia, ovat kaikki keskenään yhdensuuntaisia ja $x$-akselin suuntaisia suoria vastaan kohtisuorassa. Muiden suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta voidaan tutkia kulmakertoimien avulla. Kulmakerroin kuvaa suoran suuntaa ja jyrkkyyttä, ja voidaankin osoittaa, että keskenään yhdensuuntaisia ovat ne suorat, joilla on sama kulmakerroin.

Tehtävänä on tutkia, onko pisteiden $(10,8)$ ja $(6,-2)$ kautta kulkeva suora yhdensuuntainen suoran $5x - 2y = -3$ kanssa.

  1. Määritä pisteiden $(10,8)$ ja $(6,-2)$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin.
  2. Muokkaa suoran $5x - 2y = -3$ yhtälö muotoon $y = kx + b$.
  3. Vertaa suorien kulmakertoimia. Ovatko suorat yhdensuuntaiset?

  1. $k = \dfrac{8-(-2)}{10-6} = \dfrac{5}{2}$
  2. $y = \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{2}$
  3. Suorat ovat yhdensuuntaiset, sillä niillä on sama kulmakerroin $k = \dfrac{5}{2}$.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten suorien kulmakertoimet liittyvät toisiinsa, jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Tarkastellaan alla näkyviä suoria.

  1. Määritä suorien kulmakertoimet ja laske niiden tulo.
  2. Kuvaan on piirretty kaksi suorakulmaista kolmiota. Vertaa niiden sivujen pituuksia ja teräviä kulmia. Mitä voit päätellä alemman suorakulmion toisesta terävästä kulmasta?
  3. Kuinka suuri on terävien kulmien summa $\alpha + \beta$?
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAB3-kurssin teoreema 2.
  4. Kuinka suuri on suorien välinen kulma $\gamma$?
  5. Päättele a- ja d-kohtien avulla, miten suorien kulmakertoimet liittyvät toisiinsa, jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

  1. Nousevan suoran kulmakerroin on $\dfrac{4}{3}$ ja laskevan suoran kulmakerroin on $-\dfrac{3}{4}$. Kulmakertoimien tulo on $$ \dfrac{4}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -1. $$
  2. Alemman suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on $\alpha$, sillä suorakulmaiset kolmiot ovat yhtenevät (samanlaiset). Niiden vastinsivut ovat yhtä pitkiä ja vastinkulmat yhtä suuria.
  3. Kolmion kulmien summa on $180^\circ$, joten suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa $\alpha + \beta = 90^\circ$.
  4. Suorien välinen kulma on $$ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ. $$ Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.
  5. Toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien suorien kulmakertoimien tulo on $-1$.

Edellä tehdyt havainnot voidaan osoittaa yleispäteviksi, joten muotoillaan ne teoreemaksi:

TEOREEMA

Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos suorilla on sama kulmakerroin tai ne molemmat ovat $y$-akselin suuntaisia.

Suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos suorien kulmakertoimien $k_1$ ja $k_2$ tulo on $k_1\cdot k_2 = -1$ tai toinen suorista on $y$-akselin ja toinen $x$-akselin suuntainen.

Määritä yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen $(-4,7)$ kautta ja on

  1. yhdensuuntainen suoran $y = -2x+5$ kanssa
  2. kohtisuorassa suoraa $y = -2x+5$ vastaan.

  1. Yhtälö on $y = -2x - 1$.
    Suorilla on sama kulmakerroin $k = -2$. Vakion $b$ arvo saadaan selville, kun ratkaistaan yhtälö $7 = -2\cdot (-4) + b$.
  2. Yhtälö on $y = \dfrac{1}{2}x + 9$.
    Suoran kulmakerroin $k$ saadaan selville, kun ratkaistaan yhtälö $-2k = -1$. Vakion $b$ arvo saadaan selville, kun ratkaistaan yhtälö $7 = \dfrac{1}{2} \cdot (-4) + b$.

Kurssissa MAB2 tutkittiin suorien leikkauspisteitä yhtälöparin ratkaisujen näkökulmasta. Jos kaksi suoraa eivät ole yhdensuuntaisia, niillä on tasan yksi leikkauspiste. Leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat kummankin suoran yhtälön. Tämän tiedon avulla saadaan muodostettua yhtälö, josta voidaan selvittää leikkauspisteen $x$-koordinaatti.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspiste toteuttaa yhtä aikaa yhtälöt $y = 2x-1$ ja $y = -0{,}4x + 1{,}8$.

Leikkauspisteen $y$-koordinaatista saadaan yhtälö $$ 2x - 1 = -0{,}4x + 1{,}8. $$ Tämä voidaan ratkaista kurssissa MAB2 opitulla menetelmällä eli käyttämällä seuraavia operaatioita sopivassa järjestyksessä:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella.

Tässä tapauksessa voidaan toimia esimerkiksi seuraavasti: \begin{align*} 2x - 1 &= -0{,}4x + 1{,}8 \hspace{5mm} || {} + 1 \\[1mm] 2x &= -0{,}4x + 2{,}8 \hspace{5mm}|| {} + 0{,}4x \\[1mm] 2{,}4x &= 2{,}8 \hspace{24mm}|| {} : 2{,}4 \\[2mm] x &= \dfrac{2{,}8}{2{,}4} = \dfrac{28}{24} \end{align*} Leikkauspisteen $x$-koordinaatti on siis $$ x = \dfrac{28}{24} = \frac{7}{6}. $$ Leikkauspisteen $y$-koordinaatti voidaan laskea kumman tahansa suoran yhtälön avulla. Esimerkiksi yhtälön $y = 2x - 1$ avulla saadaan $$ y = 2 \cdot \dfrac{7}{6} - 1 = \dfrac{14}{6} - \dfrac{6}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}. $$

Tehtävänä on määrittää suorien $y = -3x+4$ ja $y = 0{,}25x + 2{,}75$ leikkauspiste.

  1. Hahmottele suorat koordinaatistoon, jotta saat suurpiirteisen käsityksen leikkauspisteen koordinaateista.
  2. Selvitä suorien leikkauspiste muodostamalla sopiva yhtälö ja ratkaisemalla se. Anna vastauksena leikkauspisteen tarkat koordinaatit.

  2. Leikkauspiste on $\left(\dfrac{5}{13}, \dfrac{37}{13}\right)$.
    Leikkauspisteen $x$-koordinaatti saadaan selville ratkaisemalla yhtälö $$ -3x + 4 = 0{,}25x + 2{,}75 $$

Kurssissa MAB2 tutkittiin myös ensimmäisen asteen polynomifunktion nollakohtia. Funktion nollakohta tarkoittaa $x$-akselin kohtaa, jossa funktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin ja funktio saa arvon nolla. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora, joten tällaisen funktion nollakohta on suoran ja $x$-akselin leikkauspiste. Se on erikoistapaus kahden suoran leikkauspisteistä.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on näkyvissä suoran $y = -0{,}4x + 1{,}8$ ja $x$-akselin leikkauspiste. Se toteuttaa yhtä aikaa yhtälöt $y = -0{,}4x + 1{,}8$ ja $y = 0$.

Leikkauspisteen $y$-koordinaatista saadaan yhtälö $$ -0{,}4x + 1{,}8 = 0. $$ Se voidaan ratkaista sallittujen operaatioiden avulla: \begin{align*} -0{,}4x + 1{,}8 &= 0 \hspace{12mm} || {} -1 {,}8 \\[1mm] -0{,}4x &= -1{,}8 \hspace{4mm} || {} : -0{,}4 \\[2mm] x &= \dfrac{-1{,}8}{-1{,}4} = \dfrac{18}{14} = \dfrac{9}{7} \end{align*} Suoran $y = -0{,}4x + 1{,}8$ ja $x$-akselin leikkauspiste on siis $$ \left(\dfrac{9}{7}, 0\right). $$ Funktion $f(x) = -0{,}4x + 1{,}8$ nollakohta on $x = \dfrac{9}{7}$.

Missä pisteessä suora $y = 1{,}5x - 4$ leikkaa

  1. $y$-akselin
  2. $x$-akselin?

Onko funktiolla $f(x) = 1{,}5x - 4$ nollakohtia? Jos on, mitkä ne ovat?

  1. Suora leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-4)$. Tämä nähdään suoran yhtälöstä vakion $b$ arvosta tai sijoittamalla suoran yhtälöön $x = 0$.
  2. Leikkauspiste on $\left(\dfrac{8}{3}, 0\right)$.
    Leikkauspisteen $x$-koordinaatti saadaan selville ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}5x - 4 = 0. $$

Funktiolla on yksi nollakohta $x = \dfrac{8}{3}$. Siinä funktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin eli funktio saa arvon nolla.

Kurssissa MAB02 tutustuttiin lukujonoihin, jotka ovat nimensä mukaisesti lukujen muodostamia jonoja. Monet lukujonot noudattavat jotain sääntöä, jonka mukaan lukujonon luvut muodostuvat. Lukujonoja voidaan luokitella niiden ominaisuuksien perusteella kuten funktioitakin. Ensimmäisen asteen polynomifunktioita vastaavan tärkeän lukujonojen luokan muodostavat aritmeettiset lukujonot. Niitä tutkittiin jo kurssissa MAB02. Aritmeettista lukujonoa voi käyttää lineaarisena mallina silloin, kun ilmiötä kuvaa suoralle asettuvat irralliset pisteet jatkuvan suoran sijaan, esimerkiksi jos muuttujana on auditorion rivien lukumäärä eikä esimerkiksi ihmisen pituus.

MÄÄRITELMÄ: ARITMEETTINEN LUKUJONO

Lukujono $(a_n)$ on aritmeettinen, jos ja vain jos sen kahden peräkkäisen jäsenen erotus on aina sama eli jos on olemassa sellainen luku $d$, että $$a_{n+1}-a_n = d$$ kaikilla $n = 1$, $2$, $3$, $\ldots$
Erotus $d$ on nimeltään jonon differenssi.

Se, että lukujono on aritmeettinen, voidaan siis osoittaa tutkimalla peräkkäisten jäsenten $a_{n+1}$ ja $a_n$ erotusta. Tarkastellaan esimerkiksi jonoa $(a_n)$, jolla $a_n = 5-2n$. Sen peräkkäisten jäsenten erotus on $$ \begin{align*} \textcolor{red}{a_{n+1}}-\textcolor{blue}{a_n} &= \textcolor{red}{5-2(n+1)}-\textcolor{blue}{(5-2n)} \\ &= \textcolor{red}{5-2n-2}\textcolor{blue}{-5+2n} \\ &= -2. \end{align*}$$ Huomataan, että peräkkäisten jäsenten erotus on aina $-2$, joten jono $(a_n)$ on aritmeettinen.

Tutki, voiko lukujono olla aritmeettinen. Jos kysymyksessä on aritmeettisen lukujonon alku, mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä?

  1. $11$, $14$, $17$, $\ldots$
  2. $50$, $15$, $-10$, $\ldots$

  1. Jonon peräkkäisten jäsenten erotus on vakio 3, joten jono voi olla aritmeettinen. Siinä tapauksessa seuraavat jäsenet ovat 20, 23 ja 26.
  2. $a_2-a_1 = -35$ ja $a_3-a_2 = -25$, joten lukujono ei ole aritmeettinen.

Jos aritmeettisesta jonosta tunnetaan jonon ensimmäinen jäsen ja differenssi, niin jonon muut jäsenet voidaan laskea niiden avulla. Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen laskemiselle perusteltiin kurssissa MAB02 teoreema, joka kerrataan nyt.

TEOREEMA

Aritmeettisen jonon $(a_n)$ jäsenet saadaan laskettua, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ ja jonon differenssi $d$, sillä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

Teoreeman avulla saadaan lauseke aritmeettisen jonon niin sanotulle yleiselle jäsenelle $a_n$. Esimerkiksi aritmeettisen jonon $1$, $5$, $9$, $\ldots$ yleinen jäsen on $a_n = 1 + (n-1) \cdot 4$ eli sievennettynä $a_n = -3+4n$.

Aritmeettisen lukujonon $(a_n)$ kaksi ensimmäistä jäsentä ovat $a_1 = 12$ ja $a_2 = 7$.

  1. Muodosta lauseke jonon yleiselle jäsenelle $a_n$ yllä olevan teoreeman avulla.
  2. Määritä jonon 42. jäsen $a_{42}$.

  1. $a_n = 12 + (n-1) \cdot (-5)$ tai sievennettynä $a_n = 17 - 5n$
  2. $a_{42} = -193$

Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 8 ja kolmas jäsen on 22.

  1. Päättele, mikä on jonon differenssi.
  2. Muodosta lauseke jonon yleiselle jäsenelle $a_n$.
  3. Onko luku 71 lukujonon jäsen? Entä luku 91?
  4. Kuinka moni lukujonon jäsen on pienempi kuin 1000?

  1. Differenssi $d = 7$. Tämän voi päätellä esimerkiksi seuraavasti: erotus $a_3 - a_1 = 14$ muodostuu kahdesta differenssistä (välissä on jäsen $a_2$), joten $d = 14/2 = 7$.
  2. $a_n = 8 + (n-1) \cdot 7$ tai sievennettynä $a_n = 1 + 7n$
  3. Luku 71 on lukujonon 10. jäsen. Tämän voi selvittää esimerkiksi ratkaisemalla yhtälön $a_n = 71$ eli yhtälön $8 + (n-1) \cdot 7 = 71$. Sen ratkaisu on $n = 10$.
    Luku 91 ei ole lukujonon jäsen. Yhtälön $8 + (n-1) \cdot 7 = 91$ ratkaisuksi ei saada kokonaislukua vaan $n \approx 12{,}9$. Lasketaan, että $a_{12} = 85$ ja $a_{13} = 92$.
  4. Lukujonon jäsenistä 142 on pienempiä kuin 1000. Yhtälön $a_n = 1000$ eli yhtälön $8 + (n-1) \cdot 7 = 1000$ ratkaisuksi saadaan $n \approx 142{,}7$. Lasketaan, että $a_{142} = 995$ ja $a_{143} = 1002$.

Tässä kappaleessa harjoitellaan edellä opiskeltujen erilaisten lineaaristen mallien soveltamista.

Poikavauvojen keskipituus 6 kk iässä on noin 69,0 cm ja kahden vuoden iässä noin 89,0 cm. Kasvu tällä aikavälillä on likimain suoraviivaista. Tytöillä vastaavat luvut ovat noin 67,5 cm ja 87,5 cm.

  1. Kuinka paljon poikavauvat keskimäärin kasvavat pituutta kuukaudessa?
  2. Muodosta ensimmäisen asteen polynomifunktio, jolla voit laskea keskimääräisen poikavauvan pituuden $x$ kuukauden kuluttua syntymästä, missä $6 \leq x \leq 24$.
  3. Mikä on poikavauvojen keskimääräinen pituus yhden vuoden iässä?
  4. Mikä olisi tämän mallin mukainen 10-vuotiaiden poikien keskimääräinen pituus? Entä vastasyntyneiden?
  5. Mitä voit sanoa mallin soveltuvuudesta 0-6 kuukauden ikäisille vauvoille tai yli 2-vuotiaille lapsille?

  1. Noin $\dfrac{20 \text{ cm} }{18 \text{ kk} } = \dfrac{10 \text{ cm} }{9 \text{ kk} }\approx 1{,}1 \text{ cm/kk}$.
  2. Funktio on $$ f(x) = \dfrac{10}{9}x + \dfrac{187}{3} $$
  3. $f(12) = \dfrac{227}{3} \approx 75{,}7$ senttimetriä.
  4. Mallin mukaan 10-vuotiaiden poikien keskimääräinen pituus olisi noin 196 cm ja vastasyntyneiden keskimääräinen pituus noin 62 cm.
  5. Malli soveltuu huonosti 0-6 kuukauden ikäisille vauvoille ja yli 2-vuotiaille lapsille. Pienien vauvojen kasvu on todellisuudessa nopeampaa ja yli 2-vuotiaiden lasten kasvu on hitaampaa kuin mallin mukainen kasvu.

Alla on näkyvissä kahden joukkueen eteneminen seikkailukisan pyöräilyosuudella. Päättele tai laske kuvaajien avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin.

  1. Selitä omin sanoin, mitä tapahtuu hetkellä $x = 0$. Entä hetkellä $x = 20$?
  2. Selitä omin sanoin, mitä tapahtuu hetkellä $x = 60$. Kuinka pitkän matkan joukkueet ovat silloin pyöräilleet?
  3. Kuinka pitkä seikkailukisan pyöräilyosuus oli? Kumpi joukkue tuli sen maaliin ensimmäisenä? Kuinka suuri oli tämän joukkueen etumatka seuraavalle osuudelle (minuutteina ilmaistuna)?
  4. Mikä oli joukkueen A pyöräilynopeus? Entä joukkueen B?

  1. Kun $x = 0$, joukkue A lähtee pyöräilyosuudelle. Kun $x = 20$, joukkue B lähtee pyöräilyosuudelle 20 minuuttia joukkuetta A jäljessä. Joukkue A on tässä vaiheessa pyöräillyt noin 5 km.
  2. Kun $x = 60$, joukkue B saa joukkueen A kiinni ja ohittaa sen. Kumpikin joukkue on pyöräillyt 16 km.
  3. Pyöräilyosuus oli 25 km. Joukkue B tuli maaliin ensimmäisenä. Joukkueen B etumatka seuraavalle osuudelle oli noin $94-82 = 12$ minuuttia.
  4. Joukkueen A nopeus oli 16 km/h. Joukkueen B nopeus oli 24 km/h.

Auton nopeusmittari näyttää 90 km/h, kun todellinen nopeus on 80 km/h. Nopeudella 30 km/h ajettaessa mittari näyttää oikeaa lukemaa eli todellista nopeutta. Ajatellaan, että mittarilukema riippuu lineaarisesti todellisesta nopeudesta.

  1. Muodosta yhtälö suoralle, joka ilmaisee mittarilukeman $y$ riippuvuuden todellisesta nopeudesta $x$.
  2. Mitä pitää mittarin näyttää, että 60 km/h nopeusrajoituksen alueella voi huoletta ohittaa poliisin nopeusvalvontakameran?
  3. Mikä on tämän mallin mukaan auton todellinen nopeus, jos mittarin mukaan auto on paikallaan?
  4. Piirrä a-kohdassa määrittämäsi suoran koordinaatistoon ja arvioi sen avulla mallin pätevyysaluetta.

  1. $y = \dfrac{6}{5}x - 6$ eli $y = 1{,}2x - 6$
  2. Mittarin pitää näyttää enintään 66 km/h.
    Vastaus saadaan sijoittamalla suoran yhtälöön todellinen nopeus 60 km/h.
  3. Todellinen nopeus on 5 km/h.
    Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö $$ \dfrac{6}{5}x - 6 = 0. $$
  4. Suora ei kulje origon kautta, joten auton liikkuessa hitaasti tai ollessa paikallaan malli ei sovellu todellisen nopeuden ja mittarilukeman välisen yhteyden kuvaamiseen. Mallin mukaan mittarilukeman ja todellisen nopeuden välinen ero kasvaa suurilla nopeuksilla. Sitä, onko todellisuudessa näin, on vaikea sanoa ilman tarkempia mittauksia.

Kaupunkisuunnitteluvirastossa kaavoitetaan uutta asuinaluetta. Alueen pääviemäri kulkee kartan koordinaatistossa pitkin suoraa $y = 3x-2$. Pisteessä $(0,5)$ sijaitsevasta talosta halutaan rakentaa siihen liittyvä mahdollisimman lyhyt yhdysviemäri. Tehtävänä on selvittää, missä pisteessä sen tulee liittyä pääviemäriin.

  1. Piirrä koordinaatistoon pääviemäriä kuvaava suora ja taloa kuvaava piste.
  2. Miten voit selvittää kulmakertoimen suoralle, joka kulkee pisteen $(0,5)$ kautta ja näyttää lyhyimmän reitin suoralle $y = 3x-2$? Määritä tämän suoran kulmakerroin.
  3. Määritä b-kohdan suoran yhtälö.
  4. Miten löydät suoralta $y = 3x-2$ sen pisteen, joka on lähinnä pistettä $(0,5)$? Määritä tämä piste.
  5. Tarkista vastauksesi esimerkiksi Geogebran avulla.

  2. Kyseinen suora on kohtisuorassa suoraa $y = 3x-2$ vastaan, joten niiden kulmakertoimien tulo on $-1$. Kulmakerroin on siten $$ k = -\dfrac{1}{3} $$
  3. Suoran yhtälö on $$ y = -\dfrac{1}{3}x + 5 $$
  4. Piste löytyy, kun etsitään suorien leikkauspiste. Sen $x$-koordinaatti saadaan yhtälöstä $$ 3x - 2 = -\dfrac{1}{3}x + 5. $$ Pisteen $y$-koordinaatti löydetään sijoittamalla $x$-koordinaatti kumpaan tahansa suoran yhtälöön.
    Piste on $$ \left(\dfrac{21}{10}, \dfrac{43}{10}\right) $$ eli $(2{,}1; 4{,}3)$.

Henkilö tekee uudenvuodenlupauksen vuodelle 2020. Hän lupaa ryhtyä säästämään rahaa niin, että vuoden ensimmäisenä päivänä hän pudottaa säästölippaaseen 5 senttiä, toisena päivänä 10 senttiä, kolmantena 15 senttiä ja niin edelleen.

Vuosiluku 2020 on jaollinen neljällä mutta ei sadalla, joten se on karkausvuosi. Vuodessa 2020 on siis 366 päivää ja helmikuussa 2020 on 29 päivää.

Selvitä aritmeettisen lukujonon avulla, kuinka suuri summa hänen täytyy tämän lupauksen pitämiseksi laittaa säästöön

  1. vuoden viimeisenä päivänä 31.12.2020?
  2. Piin päivänä 14.3.2020?

Milloin päivässä säästettävä summa on 10 euroa?

  1. $a_{366} = a_1 + 365d = 0{,}05 + 365 \cdot 0{,}05 = 18{,}30$ euroa.
  2. Kysymyksessä on vuoden 74. päivä, joten säästöön tulee laittaa $a_{74} = a_1 + 73d = 0{,}05 + 73 \cdot 0{,}05 = 3{,}70$ euroa.

Päivässä säästettävä summa on 10 euroa 18.7.2020.
Yhtälön $0{,}05 + (n-1) \cdot 0{,}05 = 10$ ratkaisuksi saadaan $n = 200$ ja vuoden 200. päivä on 18.7. Jos lasketaan kuukausien päivät yhteen, summa vuonna 2020 on tammi-kesäkuulta $31 + 29 + 31 + 30 + 31 + 30 = 182$.

Kunta haluaa pystyttää valaisinpylväät 10 km tieosuudelle 50 metrin välein ja järjestää tarjouskilpailun. Urakoitsija laskee, että pystytystiimi voi pystyttää päivässä kolme pylvästä. Aamulla tiimi ottaa pylväät mukaansa valaisintyömaan tukikohdasta, joka sijaitsee valaistavan tien varressa 1 km ennen valaistavan osuuden alkua. Tiimi kuljettaa pylväät oikeille paikoille, pystyttää ne ja ajaa päivän päätteeksi takaisin tukikohtaan.

Urakkatarjouksen jättämistä varten on arvioitava pylväiden siirtotyöhön vaadittavaa ajomatkaa.

  1. Kuinka pitkän matkan pystytystiimi ajaa urakan ensimmäisen päivän aikana? Entä toisen?
  2. Muodosta päivittäisen ajomatkan pituutta kuvaavan aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen. Voit hahmotella tilannetta mallikuvan avulla ja taulukoimalla.
  3. Kuinka monta päivää työ kestää?
  4. Laske b-kohdan lukujonon avulla, kuinka pitkän matkan tiimi ajaa urakan viimeisenä päivänä.

  1. Ensimmäisenä päivänä tiimi ajaa yhteensä $2 \cdot 1{,}1 \text{ km} = 2{,}2 \text{ km}$ ja toisena yhteensä $2 \cdot 1{,}25 \text{ km} = 2{,}5 \text{ km}$.
  2. $a_n = 2{,}2 + (n-1)\cdot 0{,}3$ eli $a_n = 0{,}3n + 1{,}9$
  3. Työ kestää 67 päivää.
    Valaistava tieosuus 10 km voidaan jakaa kahteensataan 50 metrin pätkään, joiden jokaisen loppuun tulee valaisinpylväs. Lisäksi ensimmäisen pätkän alkuun tulee yksi pylväs. Pylväitä tarvitaan siis kaikkiaan $200 + 1 = 201$. Päivässä voidaan pystyttää kolme pylvästä, joten päiviä tarvitaan $201/3 = 67$.
  4. $a_{67} = 2{,}2 + 66 \cdot 0{,}3 = 22$ kilometriä.

Suoran yhtälö

Määritä kuvassa olevan suoran kulmakerroin ja yhtälö. Onko suora nouseva vai laskeva?

  1. Kulmakerroin on 3. Suoran yhtälö on $y = 3x-5$. Suora on nouseva. Se nähdään kuvasta ja voidaan päätellä myös siitä, että kulmakerroin on positiivinen.
  2. Kulmakerroin on $-\frac{1}{4}$. Suoran yhtälö on $$y = -\dfrac{1}{4}x+7.$$ Suora on laskeva. Se nähdään kuvasta ja voidaan päätellä myös siitä, että kulmakerroin on negatiivinen.

Suoran kulmakerroin

Määritä suoran kulmakerroin, jos mahdollista, tai selitä, miksi kulmakerrointa ei voi määrittää. Mitä voit kulmakertoimen avulla päätellä suoran asennosta koordinaatistossa?

  1. pisteiden $(-2,7)$ ja $(4,-5)$ kautta
  2. pisteiden $(-3,1)$ ja $(6,4)$ kautta
  3. pisteiden $(4,3)$ ja $(9,3)$ kautta
  4. pisteiden $(5,2)$ ja $(5,-1)$ kautta.

Voit varmistaa päättelysi piirtämällä suorasta kuvan.

  1. Kulmakerroin $k = -2$. Koska kulmakerroin on negatiivinen, suora on laskeva.
  2. Kulmakerroin $k = \frac{1}{3}$. Koska kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva.
  3. Kulmakerroin $k = 0$. Koska kulmakerroin on nolla, suora on $x$-akselin suuntainen eli vaakasuora.
  4. Kulmakerrointa ei voi määrittää, koska kulmakertoimen lausekkeessa jakajaan tulisi nolla. Suora on $y$-akselin suuntainen eli pystysuora.

Lineaarinen malli

Alla olevassa taulukossa on esitetty Onnin avauslyönnin keskimääräinen pituus, kun golf-harrastuksen aloittamisesta on kulunut tietty aika.

Aika (vuotta) 2 4 6 8 10
Pituus (metriä) 120 140 150 170 200
  1. Havainnollista dataa merkitsemällä pisteet koordinaatistoon, jossa $x$-akselilla on aika ja $y$-akselilla pituus. Käytä sopivaa teknistä apuvälinettä eli tietokonetta tai laskinta. Jos käytät Geogebraa, voit syöttää pisteet muodossa $(2,120)$ jne.
  2. Sovita suora pistejoukkoon. Geogebrassa tämä onnistuu komennolla SovitaSuora. Mikä on suoran yhtälö? Näyttääkö avauslyönnin pituus riippuvan lineaarisesti ajasta?
  3. Ennusta b-kohdassa määrittämäsi suoran yhtälön avulla Onnin avauslyönnin keskimääräinen pituus, kun on kulunut 20 vuotta harrastuksen aloittamisesta.
  4. Arvioi, kuinka hyvin lineaarinen malli soveltuu tähän tilanteeseen. Miten luotettavia ennusteita se antaa esimerkiksi tilanteisiin, joissa on kulunut 15 vuotta tai 30 vuotta tai 45 vuotta harrastuksen aloittamisesta?

  2. Suoran yhtälö on $y = 9{,}5x + 99$. Avauslyönnin pituus näyttää riippuvan ajasta melko lineaarisesti, koska pisteet sijoittuvat lähelle niihin sovitettua suoraa.
  3. Avauslyönnin pituus on mallin mukaan 289 m.
  4. Ensimmäisen 10 vuoden aikana lineaarinen malli näyttää sopivan tilanteen kuvaamiseen hyvin, koska pisteet sijoittuvat lähelle niihin sovitettua suoraa. Kun Onni vanhenee, lyönnin pituus ei välttämättä kasva enää samaa tahtia vaan saattaa jossain vaiheessa iän myötä myös lyhentyä. Siihen, kuinka pitkään malli ennustaa oikein, vaikuttaa siis myös se, minkä ikäisenä Onni on aloittanut golf-harrastuksen.

Lineaarinen malli

Mansikanpoimintarobotilta kuluu yhden mansikan poimimiseen keskimäärin kymmenen sekuntia. Yhteen litraan mahtuu mansikoita keskimäärin 26 kappaletta.

  1. Kuinka monta mansikkaa robotti poimii minuutissa? Entä tunnissa?
  2. Muodosta lauseke funktiolle $f(t)$, joka kuvaa robotin poimimaa mansikkamäärää litroissa, kun aikaa on kulunut $t$ tuntia.
  3. Ratkaise b-kohdan funktion avulla, kuinka kauan robotilta kuluu aikaa sadan litran keräämiseen. Anna vastaus minuutin tarkkuudella.
  4. Arvioi, robotin nopeutta marjanpoiminnassa. Pärjääkö se ihmiselle?

  1. Robotti poimii 6 marjaa/min eli 360 marjaa/h.
  2. $f(t) = \dfrac{180}{13}t$
  3. Aikaa kuluu 7 tuntia ja 13 minuuttia.
    Vastaukseen päästään ratkaisemalla yhtälö $$ \dfrac{180}{13}t = 100 $$ ja muuttamalla ratkaisu $$ t = \dfrac{65}{9} = 7{,}222\ldots $$ tunneksi ja minuuteksi. Aikaa kuluu siis 7 tuntia ja noin $$ 0{,}222222 \cdot 60 \text{ min} \approx 13 \text{ min}. $$
  4. Litra mansikoita painaa noin 0,55 kg, joten 100 litraa painaa noin 55 kg. (Lähde: kotikokki.net)
    Kahdeksan tunnin aikana parhaat poimijat voivat poimia jopa 135 kg mansikoita. (Lähde: yle.fi.) Tästä voidaan päätellä, että robotti ei pärjää ammattitaitoisimmille mansikanpoimijoille.

Suoran yhtälö

Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen $(-5,7)$ kautta ja on

  1. yhdensuuntainen suoran $y = x - 3$ kanssa
  2. kohtisuorassa suoraa $6x + 2y - 4 = 0$ vastaan
  3. $y$-akselin suuntainen.

  1. $y = x + 12$
  2. $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{26}{3}$
  3. $x = -5$

Suoran yhtälö

MAOLin taulukkokirjassa on esitetty suoran yhtälö muodossa $$ y - y_0 = k(x - x_0). $$ Tässä kaavassa $k$ on kulmakerroin ja $(x_0,y_0)$ on suoran jokin piste, jonka koordinaatit tiedetään.

Jos esimerkiksi suoran kulmakerroin on 2 ja tiedetään, että suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta, niin suoran yhtälöksi saadaan $$ (y-3) = 2(x-1). $$ Tätä yhtälöä voidaan sieventää, jolloin se saadaan lopulta muotoon $y = 2x + 1$.

Määritä suoran yhtälö edellä esitetyn MAOLin kaavan avulla ja sievennä yhtälö lopuksi muotoon $y = kx + b$ (sievennetty muoto on niin sanottu suoran yhtälön ratkaistu muoto).

  1. Suoran kulmakerroin on $-\dfrac{1}{3}$ ja suora kulkee pisteen $\left(\dfrac{1}{2}, -6\right)$ kautta.
  2. Suora kulkee pisteiden $(-2,4)$ ja $(2,16)$ kautta.

  1. Suoran yhtälö on $$ y - (-6) = -\dfrac{1}{3}\left(x - \dfrac{1}{2}\right) $$ eli $$ y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{35}{36}. $$
  2. Suoran yhtälö on esimerkiksi $y - 16 = 3(x-2)$ eli $$ y = 3x + 10. $$

Suorien ominaisuuksia

Suoran kulkee pisteiden $(-2,5)$ ja $(3,2a)$ kautta. Määritä vakion $a$ arvo, jos suora on

  1. yhdensuuntainen suoran $y = -3x + 7$ kanssa
  2. suoran $y = -\dfrac{1}{2}x + 7$ normaali eli kohtisuorassa sitä vastaan.

  1. $a = -5$
  2. $a = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$

Suorien ominaisuuksia

Suoran $s$ yhtälö on $y = 2x-4$ ja suoran $t$ yhtälö on $y = -2x+6$. Selvitä vastaukset alla oleviin kysymyksiin ensin kynän ja paperin avulla. Tarkista sen jälkeen tietokoneen tai laskimen avulla. Keksitkö useamman kuin yhden tavan tarkistaa?

  1. Missä pisteessä suora $s$ leikkaa $y$-akselin?
  2. Missä pisteessä suora $t$ leikkaa $x$-akselin?
  3. Missä pisteessä suorat leikkaavat toisensa?

  1. Suora $s$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-4)$. Leikkauspiste on $y$-akselilla, joten sen vaakasuuntaista sijaintia kuvaava $x$-koordinaatti on nolla.
  2. Suora $t$ leikkaa $x$-akselin pisteessä $(3,0)$. Leikkauspiste on $x$-akselilla, joten sen pystysuuntaista sijaintia kuvaava $y$-koordinaatti on nolla.
  3. Suorien leikkauspiste on $$ \left(\dfrac{5}{2}, 1\right) $$ eli toisella tavalla ilmaistuna $(2{,}5; 1)$. Leikkauspiste toteuttaa kummankin suoran yhtälön. Pisteen koordinaatit saadaan selville, kun ratkaistaan ensin yhtälö $$ 2x-4 = -2x+6 $$ ja sijoitetaan löydetty $x$-koordinaatti jompaan kumpaan suoran yhtälöön.

Vastauksien järkevyyttä kannattaa arvioida piirtämällä kuva suorista tietokoneella tai laskimella. Lisäksi tietokonetta tai laskinta voi käyttää yhtälön tai yhtälöparin ratkaisemiseen.

Suorien ominaisuuksia

Suorat $3x + y - 8 = 0$, $x + 2y + 4 = 0$ ja $y = 2x + 3$ muodostavat kolmion.

  1. Miten voit tämän luvun käsitteiden avulla tutkia, onko kolmio suorakulmainen? Selitä omin sanoin ja tutki sen jälkeen, onko kolmio suorakulmainen. Käytä vain kynää ja paperia.
  2. Miten voit selvittää kolmion kärkipisteet? Selitä omin sanoin ja selvitä kärkipisteet sen jälkeen.
  3. Piirrä kolmiosta kuva tietokoneella tai laskimella ja tarkista, että b-kohdan tuloksesi ovat järkevät. Keksitkö tavan tarkistaa a-kohdan vastauksen?

  1. Voit tutkia, ovatko jotkin suorista kohtisuorassa tosiaan vastaan eli onko niiden kulmakertoimien tulo $-1$. Suorien yhtälöiden ratkaistut muodot ovat \begin{align*} y &= -3x + 8 \\[2mm] y &= -\dfrac{1}{2}x - 4 \\[2mm] y &= 2x + 3 \end{align*} Kaksi jälkimmäistä suoraa on siis kohtisuorassa toisiaan vasten, sillä niiden kulmakertoimien tulo on $$ -\dfrac{1}{2} \cdot 2 = -1. $$
  2. Kolmion kärkipisteet ovat suorien leikkauspisteet $(-2,-1)$; $(4,-4)$ ja $(1,5)$. Ne löydetään ratkaisemalla aina kahden suoran yhtälön muodostama yhtälöpari. Yhtälöpari saadaan muutettua yhdeksi yhtälöksi: esimerkiksi yhtälöparista $$ \left\{\begin{aligned} y &= -3x + 8 \\[2mm] y &= -\dfrac{1}{2}x - 4 \end{aligned} \right. $$ saadaan yhtälö $$ -3x + 8 = -\dfrac{1}{2}x - 4. $$ Tästä saadaan ratkaistua leikkauspisteen $x$-koordinaatti. Vastaava $y$-koordinaatti saadaan sijoittamalla $x$-koordinaatti kumpaan tahansa tarkasteltavaan suoran yhtälöön.
  3. Kuva:

    Alla olevaan kuvaan piirretyt kolme apukolmiota ovat suorakulmaisia, joten Pythagoraan lauseella voidaan selvittää niiden hypotenuusojen pituudet. Nämä muodostavat tutkittavan kolmion sivut. Kun pituudet ovat tiedossa, voidaan tutkia, toteuttavatko ne Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön. Jos näin on, kolmio on suorakulmainen.

Suorien ominaisuuksia

Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan löytää tiettyä pistettä lähinnä oleva annetun suoran piste.

  1. Alla on näkyvissä piste $P$ ja suora $y = -3x+8$. Suoralta on valittu pisteet $A$, $B$ ja $C$. Mikä niistä on silmämääräisesti lähimpänä pistettä $P$? Mitä voit sanoa suorasta, joka kulkee tämän lähimmän pisteen ja pisteen $P$ kautta, verrattuna suoraan $y = -3x+8$?
  2. Muodosta a-kohdan havaintojen perusteella ohje, miten voit löytää pistettä $P$ lähinnä olevan suoran pisteen alla olevan kuvan tilanteessa. Kuvassa näkyvän suoran kulmakerroin on $k = 4$.

    Huom. pelkän ohjeen laatiminen riittää, lähintä pistettä ei tarvitse selvittää.
  3. Selvitä b-kohdan ohjeen avulla, mikä suoran $y = 3x+1$ piste on lähinnä pistettä $(2,-3)$. Tarkista tuloksesti järkevyys laskinohjelman tai Geogebran avulla.

  1. Suoran $y = -3x+8$ pisteistä pistettä $P$ lähimpänä on piste $B$. Se on lähimpänä, koska pisteiden $P$ ja $B$ kautta kulkeva suora on kohtisuorassa suoraa $y = -3x+8$ vastaan.
  2. Ohje:
    1. Määritä annetun suoran kulmakerroin (tässä tapauksessa $k_1 = 4$).
    2. Päättele, mikä on tätä suoraa vastaan kohtisuorassa olevan suoran kulmakerroin (kulmakertoimien tulon pitää olla $-1$, joten tässä tapauksessa $k_2 = -\frac{1}{4}$).
    3. Muodosta yhtälö suoralle, jonka kulmakerroin on sama kuin kohdassa 2. ja joka kulkee pisteen $P$ kautta.
    4. Selvitä suorien leikkauspiste.
  3. Lähin piste on $(-1,-2)$. Se löydetään, kun selvitetään suorien $y = 3x+1$ ja $$ y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{7}{3} $$ leikkauspiste.

Lineaarinen malli

Erään sähköyhtiön hinnasto on seuraava: sähkön myynnin perusmaksu on 2,22 €/kk ja sähköenergian hinta on 7,98 c/kWh.

  1. Kuinka suuri on kuukauden sähkölasku, jos sähkönkulutus on 410 kilowattituntia kuukaudessa?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee sähkölaskun suuruuden, jos sähkönkulutus on $x$ kWh kuukaudessa.
  3. Kilpailevan sähköyhtiön perusmaksu on 3,79 €/kk ja sähköenergian hinta on 6,60 c/kWh. Millä sähkönkulutuksella kummankin yhtiön lähettämä sähkölasku olisi yhtä suuri? Anna vastaus kilowattitunnin tarkkuudella.

  1. Sähkölasku on 34,94 euroa.
  2. $f(x) = 0{,}0798x + 2{,}22$
  3. Kulutuksen pitäisi olla noin 114 kWh kuukaudessa.

Lineaarinen malli

Kun seurattiin paistilämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että 10 minuutissa lämpötila kohosi $5 {}^\circ\text{C}$. Kello 14 lämpömittarin lukema oli $20 {}^\circ\text{C}$.

  1. Mikä on paistin lämpötila puolen tunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee paistin lämpötilan, kun kello kahdesta on kulunut $x$ minuuttia.
  3. Mihin aikaan paisti on kypsä? Ohjeen mukaan se on kypsä, kun sisälämpötila on $80 {}^\circ\text{C}$.

  1. Lämpötila on $35 {}^\circ\text{C}$.
  2. $f(x) = 20 + \dfrac{5}{10}x$ eli $f(x) = 20 + 0{,}5x$
  3. Paisti on kypsä klo 16 eli 120 minuutin kuluttua.

Lineaarinen malli

Eräässä matematiikan kokeessa arvosanan 5 sai 20 pisteellä ja korkeimman arvosanan 10 sai 62 pisteellä.

  1. Muodosta yhtälö suoralle, joka kuvaa arvosanan riippuvuutta pistemäärästä.
  2. Ratkaise suoran yhtälön avulla, millä pistemäärällä arvosanaksi tulee seiska puoli.

  1. Suoran yhtälö on $$ y = \dfrac{5}{42}x + \dfrac{110}{42}. $$ Saat muodostettua sen, kun selvität ensin suoran kulmakertoimen ja sen jälkeen vakion $b$ arvon.
  2. Kysytty pistemäärä on 41. Se löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \dfrac{5}{42}x + \dfrac{110}{42} = 7{,}5. $$

Lineaarinen malli

Olkoon $C$ lämpötila Celsius-asteikolla ilmaistuna ja olkoon $F$ lämpötila Fahrenheit-asteikolla ilmaistuna. Nämä riippuvat toisistaan yhtälön $$ C = \dfrac{5}{9}(F-32) $$ mukaisesti.

  1. Ratkaise ilman laskinohjelman apua lämpötilan tarkka arvo Fahrenheit-asteikolla, kun lämpötila celsiusasteina on tasan 32.
  2. Piirrä laskimella tai tietokoneella suora, joka kuvaa lämpötilan $F$ riippuvuutta lämpötilasta $C$.
    Vinkki: ole tarkkana, kumman lämpötilan valitset $x$-akselille, jotta riippuvuus tulee oikein päin.
  3. Arvioi b-kohdan kuvaajasta, mikä on lämpötila fahrenheitasteina, kun lämpötila on 32 celsiusastetta. Onko tuloksesi sopusoinnussa a-kohdan kanssa?

  1. $F = \dfrac{9}{5} \cdot 32 + 32 = \dfrac{448}{5} = 89{,}6$
  2. Kuva:

    Voit piirtää suoran esimerkiksi Geogebralla syöttämällä sen joko alkuperäisessä muodossa $$ x = \dfrac{5}{9}(y - 32) $$ tai ratkaistussa muodossa $$ y = \dfrac{9}{5}x + 32. $$ Koska kysytään lämpötilan $F$ riippuvuutta lämpötilasta $C$, valitaan $x$-akselille $C$ ja $y$-akselille $F$.
  3. Tulos on sopusoinnussa a-kohdan kanssa, sillä kuvan mukaan kun $x = 32$, niin $y \approx 90$.

Lineaarinen malli

Taksi-Tapsalla taksimatkan hinnan riippuvuutta kuljetusta matkasta kuvaa funktio $t(x) = 1{,}84x + 5{,}30$. Auto-Ainolla vastaava funktio on $a(x) = 2x + 3{,}90$. Molemmissa funktioissa matkan yksikkönä on kilometri ja hinnan yksikkönä euro.

  1. Ratkaise laskennallisesti, mikä matkan pituuden tulee olla, jotta matkan hinta on kummallakin firmalla yhtä suuri.
  2. Piirrä funktioiden kuvaajat tietokoneella tai laskimella.
  3. Vertaile taksifirmojen hinnoittelua. Millainen on lähtömaksu? Entä matkataksa (euroa/km)? Milloin asiakkaan kannattaa valita Taksi-Tapsa? Entä milloin Auto-Aino?

  1. 8,75 km
  3. Taksi-Tapsan lähtömaksu on 5,30 euroa ja Auto-Ainon 3,90 euroa. Lyhyillä korkeintaan 8,75 km matkoilla asiakkaan kannattaa siten valita Auto-Aino. Taksi-Tapsan matkataksa on 1,84 euroa/km ja Auto-Ainon 2,00 euroa/km. Asiakkaan kannattaa valita Taksi-Tapsa, jos matkan pituus on vähintään 8,75 km.

Lineaarinen malli

Laiva kulkee avomerellä suoraviivaisesti suuntaansa muuttamatta. Koordinaatistoon on kuvattu laivsn etäisyys tarkkailumajakasta kahdeksan tunnin tarkkailujakson kuluessa.

  1. Mikä on laivan etäisyys tarkkailumajakasta, kun tarkkailu alkaa?
  2. Mitä tapahtuu tilanteessa, jota kuvaa koordinaatistosa piste (2,10)?
  3. Millä nopeudella laiva loittonee majakasta, kun tarkkailua on kestänyt kuusi tuntia? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.
  4. Miten laivan nopeus majakan suhteen muuttuu tarkkailun aikana?
  5. Miten pitkän matkan laiva kulkee tarkkailun aikana? Anna vastaus kilometrin tarkkuudella.
    Vinkki: piirrä kartta laivan reitistä ja sovella MAB3-kurssin tietoja.

  1. Laivan etäisyys majakasta on 50 km.
  2. Laiva on silloin lähinnä tarkkailumajakkaa 10 km päässä majakasta. Tämän jälkeen laivan ja majakan välinen etäisyys kasvaa jälleen.
  3. Laivan loittonemisnopeus on kulmakertoimen mukainen $$ \dfrac{70 \text{ km} }{6 \text{ h} } \approx 11{,}7 \text{ km/h} $$
  4. Laivan nopeus majakan suhteen pienenee, kun se ohittaa tarkkailumajakan. Ensimmäisen kahden tunnin aikana laiva nimittäin lähestyy majakkaa nopeudella $$ \dfrac{40 \text{ km} }{2 \text{ h} } = 20 \text{ km/h} $$
  5. Laiva kulkee noin 128 km.
    Laivan reitti ja etäisyydet majakkaan eri vaiheissa:

    Suorakulmaisiin kolmioihin liittyvän Pythagoraan lauseen (MAB3) avulla voidaan selvittää, että laiva kulkee tarkkailun aikana ennen ohitusta noin 48,99 km ja ohituksen jälkeen noin 79,37 km.

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt ilman laskinohjelman apua:

  1. $2x-4(3x-5) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-4}{2} = 1$

  1. $x = 2$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = -\dfrac{2}{5}$

Aritmeettinen lukujono

Piirrä tietokoneella tai laskimella

  1. lukujonon $a_n = 2n-5$
  2. suoran $y = 2x - 5$

kuvaaja. Mitä eroa kuvaajissa on? Entä mitä yhteistä?

  1. Lukujono $a_n = 2n-5$:
  2. Suora $y = 2x - 5$:

Lukujonossa lausekkeessa muuttuja $n$ on jäsenen järjestysnumero eli positiivinen kokonaisluku. Lukujonon kuvaaja muodostuu sen vuoksi erillisistä pisteistä. Suoran yhtälössä muuttuja $x$ voi olla mikä tahansa reaaliluku, joten suoran on yhtenäinen viiva.
Sekä lukujonossa että suorassa vaaka-akselin muuttuja ($n$ tai $x$) kerrotaan kahdella ja tuloksesta vähennetään 5, joten myös lukujonon pisteet asettuvat suoralle $y = 2x - 5$.

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettisen lukujonon kahdeksas jäsen on $-23$ ja kahdeskymmenes jäsen on $-59$.

  1. Mikä on lukujonon sadas jäsen?
  2. Kuinka moni lukujonon jäsenistä on suurempia kuin $-2000$?
  3. Onko luku $-2697$ lukujonon jäsen?

  1. $a_{100} = -299$
    Jäsenten $a_8$ ja $a_{20}$ väliin mahtuu 12 differenssiä eli $12d = -59-(-23) = -36$, joten $d = -3$. Jäsenten $a_1$ ja $a_8$ väliin mahtuu 7 differenssiä, joten $a_8 = a_1 + 7d$. Tästä saadaan ratkaistua $a_1 = a_8-7d = -23-7 \cdot (-3) = -2$. Lukujonon yleinen jäsen on siis $a_n = -2 + (n-1)\cdot (-3) = -3n+1$.
  2. Lukujonon jäsenistä 666 kpl on suurempia kuin $-2000$.
    Yhtälön $a_n = -2000$ eli yhtälön $$ -3n + 1 = -2000 $$ ratkaisuksi saadaan $n = 667$. Tämä tarkoittaa, että $a_{667} = -2000$. Tästä voidaan päätellä, että edeltävät 666 jäsentä ovat suurempia kuin $-2000$.
  3. Luku $-2697$ ei ole lukujonon jäsen.
    Yhtälön $a_n = -2697$ eli yhtälön $$ -3n + 1 = -2697 $$ ratkaisuksi saadaan $n = 899{,}3333\ldots$. Tästä voidaan päätellä, että luku $-2697$ ei ole lukujonon jäsen, koska ratkaisuna saatu $n$ ei ole positiivinen kokonaisluku.

Aritmeettinen lukujono

Amanda lainasi kummitädiltään 7400 euroa uuden kilpasoutuveneen hankintaa varten. Täti myönsi lainan ilman korkoa. Lyhennyksen suuruudeksi sovitiin 250 euroa kuukaudessa ja lyhennykset aloitettiin huhtikuussa 2019.

  1. Muodosta sellaisen lukujonon yleinen jäsen, joka ilmaisee jäljellä olevan lainan määrän, kun on tehty $n$ lyhennystä.
  2. Kuinka monta maksuerää Amandan lainassa on ja mikä on viimeisen lyhennyksen suuruus?
  3. Milloin laina on maksettu takaisin?

  1. $a_n = 7400 - 250n$
  2. Maksueriä on $30$ ja viimeisen lyhennyksen suuruus on 150 euroa.
    Yhtälön $a_n = 0$ eli yhtälön $$ 7400-250n = 0 $$ ratkaisuksi saadaan $n = 29{,}6$. Tämä tarkoittaa, että 29 erää ei vielä riitä lainan maksamiseen vaan eri tarvitaan 30 kpl. Kuitenkin viimeinen erä on pienempi kuin muut. Ensimmäisten 29 erän aikana lainaa maksetaan $29 \cdot 250 = 7250$ euroa, joten viimeinen erä on $7400 - 7250 = 150$ euroa.
  3. Viimeinen lyhennys maksetaan syyskuussa 2021.
    Vuoden 2019 aikana ehtitään maksaa 9 lyhennystä, vuonna 2020 maksetaan 12 lyhennystä ja vuodelle 2021 jää siten 9 lyhennystä.

[Lyhyt K18, teht. 5]

Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.

[Lyhyt S15, teht. 6]

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99
  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2 000 kWh vuodessa?

[Lyhyt S15, teht. 10]

Suora $y= 3 - 3 x$ rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen $k$ arvolla suora $y= kx$ jakaa tämän kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan?

[Lyhyt K15, teht. 5]

Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden $h$ suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla $h = 0$ keskilämpötila on +15 celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella -56 celsiusastetta.

  1. Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?
  2. Määritä ilman lämpötilan lauseke $T= T(h)$ korkeuden $h$ avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja $(h T)$-koordinaatistoon, kun $0 \le h \le 11$ km.

[Lyhyt K14, teht. 14]

Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta 2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä 2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja 629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.

  1. Ennusteen mukaan asukasluku $y$ toteuttaa yhtälön $$y=a(x-2014)+b$$ kun $x$ on vuosiluku. Määritä vakioiden $a$ ja $b$ tarkat arvot käyttämällä yllä mainittuja tietoja.
  2. Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014−2030? Anna vastaus 1 000 asukkaan tarkkuudella.
  3. Piirrä asukasluvun $y$ kuvaaja välillä $2014 \le x \le 2030$.

[Lyhyt S12, teht. 11 (kuvituskuva jätetty pois)]

Aikuisen ihmisen sääriluun pituus $y$ riippuu henkilön pituudesta $x$ kaavojen $$y=0,43x -27 \ (\textrm{nainen})$$ $$y=0,45x -31 \ (\textrm{mies})$$ mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri.

  1. Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli?
  2. Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu?

[Lyhyt S98, teht. 4a]

Helsinki, Salo ja Turku ovat likipitäen samalla suoralla. Helsingin ja Turun välimatka on noin 165 km sekä Salon ja Turun välimatka noin 55 km. Helsingissä oli eräänä päivänä lämpötila 17,1 °C ja Turussa 22,3 °C. Lämpötila muuttui tasaisesti Helsingin ja Turun välillä. Mikä oli tällöin lämpötila Salossa?

[Lyhyt S94, teht. 8b]

Kartalla, jonka yksikkönä on kilometri, erästä päätietä esittää suora $2x - 3y+4 = 0$ ja siitä erkanevaa paikallistietä suora $x + 2y - 6 = 0$. Missä pisteessä tiet eroavat? Kuinka kaukana tienhaarasta on paikassa $(4,1)$ oleva talo?

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä seuraavat tehtävät.

1. Ratkaise A-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu Abitin editorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi.
Suora kulkee pisteiden $(3,1)$ ja $(5,-3)$ kautta.

  1. Laske suoran kulmakerroin.
  2. Muodosta suoran yhtälö.
  3. Tutki, onko piste $(-8,23)$ suoralla.

2. Ratkaise B-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu TI Nspiren Muistiinpanot -sovelluksella.
Yritys A tarjoaa ikkunanpesua seuraavasti: työn hinta on 45 €/h ja tilausvahvistusmaksu on 50 euroa. Yrityksessä B tilausvahvistusmaksua ei ole, mutta työn hinta on 53 €/h.

  1. Muodosta mallit, jotka kuvaavat ikkunanpesun kokonaishintaa työtuntien funktiona.
  2. Selvitä, milloin kannattaa valita yritys A. Perustele.



Eksponentiaalinen malli

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet eksponentiaalisen mallin ominaisuudet ja osaat käyttää sitä erilaisten ilmiöiden kuvaamiseen ja ennusteiden tekemiseen. Osaat

  • määrittää muutoskertoimen, jos muutoksen suuruus on ilmaistu prosentteina, ja käyttää muutoskertoimia peräkkäisten muutosten mallintamiseen
  • kuvata eksponentiaalista kasvua ja vähenemistä eksponenttifunktioiden avulla
  • ratkaista eksponenttiyhtälön logaritmin avulla
  • ratkaista potenssiyhtälön juurten avulla
  • tunnistaa geometrisen lukujonon ja määrittää lausekkeen sen yleiselle jäsenelle
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Tässä luvussa tutustutaan niin sanottuun eksponentiaaliseen malliin. Matematiikassa eksponentiaalisella mallilla kuvataan ilmiöitä, joissa muutos on kiihtyvää tai hidastuvaa niin, että tietyllä ajanjaksolla muutos on aina yhtä monta prosenttia muuttuvan suureen senhetkisestä arvosta. Eksponentiaalinen kasvu siis tarkoittaa, että mitä suurempi suureen arvo on, sitä nopeammin se myös kasvaa.

Eksponentiaalisen mallin käyttö vaatii usein muutosprosentteihin liittyvää päättelyä ja laskemista. Seuraavissa tehtävissä palautetaan mieleen muutosprosenttien matematiikkaa, jota harjoiteltiin jo kurssissa MAY1.

Tuotteen hinta on alun perin $a$. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta on muuttunut, jos uusi hinta on

  1. $1{,}30a$
  2. $0{,}72a$
  3. $1{,}002a$
  4. $2{,}5a$
  5. $0{,}05a$

Vinkki: voit tarkistaa päättelysi myös käyttämällä kirjaimen $a$ tilalla jotain oikeaa lukua.

  1. Tuotteen hinta on noussut $30\ \%$.
  2. Tuotteen hinta on laskenut $28\ \%$. (Tuotteen hinnasta on jäljellä $72\ \%$ alkuperäisestä, joten hinta on laskenut $1 - 0{,}72 = 0{,}28 = 28\ \%$.)
  3. Tuotteen hinta on noussut $0{,}2\ \%$.
  4. Tuotteen hinta on noussut $150\ \%$. (Tuotteen hinnan kaksinkertaistuminen vastaa $100\ \%$ hinnannousua, joten 2,5-kertaistuminen vastaa $150\ \%$ hinnannousua.)
  5. Tuotteen hinta on laskenut $95\ \%$. (Tuotteen hinnasta on jäljellä $5\ \%$ alkuperäisestä, joten hinta on laskenut $1 - 0{,}05 = 0{,}95 = 95\ \%$.)

Muodosta muutoskerroin eli prosenttikerroin tilanteessa, jossa junamatkustajien määrä

  1. kasvaa 45 %
  2. kaksinkertaistuu
  3. vähenee 35 %
  4. puoliintuu
  5. kolminkertaistuu.

  1. 1,45
  2. 2
  3. 0,65
  4. 0,5
  5. 3

Eksponenttista mallia noudattavilla ilmiöillä muutos tietyllä ajanjaksolla on aina yhtä monta prosenttia muuttuvan suureen senhetkisestä arvosta. Esimerkiksi kofeiinin määrä elimistössä pienenee aina viidessä tunnissa 50 % senhetkisestä määrästä, ellei henkilö nauti lisää kahvia tai muuta kofeiinia sisältävää. Viiden tunnin jaksot muodostavat siis peräkkäisten muutosten sarjan, jossa muutosprosentti pysyy koko ajan samana. Peräkkäisiin muutoksiin liittyvää prosenttilaskentaa kerrataan seuraavissa tehtävissä.

Valokuvausliike myy tiettyä järjestelmäkameraa 1000 euron hintaan. Summer Sale -kesäalennusmyynnissä hintaa alennetaan 20 prosenttia. Myöhemmin syksyllä, kun uudempi malli tulee myyntiin, hintaa lasketaan vielä 30 prosenttia.

  1. Mikä on alennettu hinta ensimmäisen alennuksen jälkeen?
  2. Mikä on alennettu hinta toisen alennuksen jälkeen?
  3. Kyseisen kameramallin kysyntä kasvaa uudemmasta mallista huolimatta, joten varaston huvetessa kauppias nostaa hintaa seuraavan vuoden alussa 20 prosenttia. Kuinka monta prosenttia uusi hinta on alkuperäisestä hinnasta?
    Vinkki: laske muutoskertoimien tulo.

  1. $0{,}8 \cdot 1000 = 800$ euroa
  2. $0{,}7 \cdot 800 = 560$ euroa
  3. Muutosta vastaava kerroin on $$ 1{,}2 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}672. $$ Uusi hinta on siis 67,2 % alkuperäisestä hinnasta. Samaan tulokseen pääsee myös laskemalla uuden hinnan $$ 1{,}2 \cdot 560 \ \euro = 672 \ \euro $$ ja vertaamalla sitä alkuperäiseen $$ \dfrac{672 \ \euro }{1000 \ \euro } = 0{,}672 = 67{,}2\ \%. $$

Pankkitilin todellinen vuosikorko on 1,5 %.

  1. Mikä on vastaava muutoskerroin?
  2. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden kuluttua talletuksesta, jos talletettu rahamäärä on $a$ euroa?
  3. Entä kahden vuoden kuluttua, jos muita talletuksia ei tehdä?
  4. Entä kolmen vuoden kuluttua?
  5. Entä $x$ vuoden kuluttua?
  6. Käytä e-kohdan lauseketta ja laske, kuinka paljon tilillä on rahaa 15 vuoden kuluttua talletuksesta, jos talletettu rahamäärä on 2000 euroa.

  1. $1{,}015$
  2. $1{,}015a$
  3. $1{,}015 \cdot 1{,}015a = 1{,}015^2\cdot a$
  4. $1{,}015^3\cdot a$
  5. $1{,}015^x \cdot a$
  6. $1{,}015^{15} \cdot 2000 \ \euro \approx 2500{,}46 \ \euro$

Eksponentiaalisena mallina voi toimia jokin eksponenttifunktio tai geometrinen lukujono. Mallinnuksen yhteydessä saatetaan päätyä ratkaisemaan eksponentti- tai potenssiyhtälöitä. Näihin liittyviä asioita opiskellaan ja kerrataan seuraavissa kappaleissa.

Alla on mallinnettu koordinaatistossa kolmea erilaista ilmiötä.

  1. Yhdistä ilmiö sopivaan kuvaan:
    Ilmiö Kuva
    Bakteerien määrä optimaalisissa olosuhteissa
    Elimistössä olevan särkylääkkeen määrä, kun huippupitoisuus on saavutettu
    Sijoius, joka kasvaa kuukausittain korkoa korolle
  2. Yhdistä eksponentiaalinen malli sopivaan kuvaan:
    Malli Kuva(t)
    Eksponenttifunktio
    Geometrinen lukujono

  1. Ilmiö Kuva
    Bakteerien määrä optimaalisissa olosuhteissa 2
    Elimistössä olevan kofeiinin määrä kahvitauon jälkeen 3
    Talletus, joka kasvaa vuosittain korkoa korolle 1
  2. Malli Kuva(t)
    Eksponenttifunktio 2, 3
    Geometrinen lukujono 1

Eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä kuvataan usein eksponenttifunktioiden avulla. Niiden avulla voidaan mallintaa ja analysoida esimerkiksi sähkövirtapiirejä, aineen radioaktiivista hajoamista, kappaleen jäähtymistä, tietynlaisten kemiallisten reaktioiden nopeutta, populaatioiden koon kasvua, tautien leviämistä, pääoman karttumista korkonkorkolaskennassa, pyramidihuijauksia ja niin edelleen.

Kirjataan näkyviin, mitä sanalla ekponenttifunktio oikeastaan tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: EKSPONENTTIFUNKTIO

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Funktioita, jotka ovat muotoa $$f(x) = k^x,$$ sanotaan eksponenttifunktioiksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 0{,}5^x$.

  1. Piirrä funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla tai jollakin muulla laskinohjelmalla. Millaista muutosta tämä funktio kuvaa?
  2. Täydennä seuraava taulukko a-kohdan kuvaajan tai laskimen avulla:
    $x$ $-3$ $-2$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$ $\phantom{-}3\phantom{-}$
    $f(x)$
  3. Mitä funktion arvolle tapahtuu, kun muuttujan eli $x$:n arvo kasvaa yhdellä? Keksitkö säännönmukaisuuden?
  4. Miten c-kohdan havainto liittyy eksponenttifunktion $f(x) = 0{,}5^x$ kantalukuun $0{,}5$?

  1. Funktio kuvaa eksponentiaalista vähenemistä:
  2. $x$ $-3$ $-2$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$ $\phantom{-}3\phantom{-}$
    $f(x)$ $8$ $4$ $2$ $1$ $0{,}5$ $0{,}25$ $0{,}125$
  3. Funktion arvo pienenee aina puoleen, kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä.
  4. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä, funktion arvo pienee puoleen eli uusi arvo on 0,5-kertainen edelliseen arvoon verrattuna. Kerroin on sama kuin eksponenttifunktion $f(x) = 0{,}5^x$ kantaluku.

Tutkitaan funktiota $g(x) = 3^x$.

  1. Piirrä funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla tai jollakin muulla laskinohjelmalla. Millaista muutosta tämä funktio kuvaa?
  2. Täydennä seuraava taulukko a-kohdan kuvaajan tai laskimen avulla:
    $x$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$
    $g(x)$
  3. Mitä funktion arvolle tapahtuu, kun muuttujan eli $x$:n arvo kasvaa yhdellä? Keksitkö säännönmukaisuuden?
  4. Miten c-kohdan havainto liittyy eksponenttifunktion $g(x) = 3^x$ kantalukuun $3$?

  1. Funktio kuvaa eksponentiaalista kasvamista:
  2. $x$ $-1$ $\phantom{-}0\phantom{-}$ $\phantom{-}1\phantom{-}$ $\phantom{-}2\phantom{-}$
    $g(x)$ $\frac{1}{3}$ $1$ $3$ $9$
  3. Funktion arvo kasvaa aina kolminkertaiseksi, kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä.
  4. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä, funktion arvo kolminkertaistuu. Kerroin on sama kuin eksponenttifunktion $g(x) = 3^x$ kantaluku.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan vielä tarkemmin eksponenttifunktioiden ominaisuuksia.

Piirrä Geogebralla tai jollakin toisella laskinohjelmistolla erilaisten eksponenttifunktioiden $f(x) = k^x$ kuvaajia valitsemalla kantaluvuksi $k$ muutamia erilaisia positiivisia reaalilukuja. Tutki tilannetta, jossa $0 < k < 1$, ja tilannetta, jossa $k > 1$. Tutki ja piirrä kuvaajia niin paljon, että saat pääteltyä vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Millainen kuvaaja on, jos kantaluvulle pätee $k > 1$? Millaista eksponentiaalista muutosta funktio tällöin kuvaa?
  2. Millainen kuvaaja on, jos kantaluvulle pätee $0 < k < 1$? Millaista eksponentiaalista muutosta funktio tällöin kuvaa?
  3. Millainen kuvaaja on, jos kantaluvulle pätee $k = 1$? Mikä funktio on tässä tapauksessa kysymyksessä?
  4. Mitä voit sanoa eksponenttifunktioiden määrittelyjoukosta? Toisin sanottuna, voidaanko eksponenttifunktioiden arvo laskea millä tahansa muuttujan arvolla?
  5. Mitä voit sanoa eksponenttifunktioiden arvoista? Saavatko ne sekä positiivisia että negatiivisia arvoja?
  6. Tutki kuvaajien avulla, mitä voit sanoa eksponenttifunktioiden arvosta kohdassa $x = 0$. Riippuuko arvo kantaluvusta $k$?

  1. Jos kantaluvulle pätee $k > 1$, niin kuvaaja on nouseva käyrä. Funktio kuvaa eksponentiaalista kasvamista.
  2. Jos kantaluvulle pätee $0 < k < 1$, niin kuvaaja on laskeva käyrä. Funktio kuvaa eksponentiaalista vähenemistä.
  3. Jos kantaluvulle pätee $k = 1$, niin kuvaaja on $x$-akselin suuntainen suora. Funktio on vakiofunktio $f(x) = 1$.
  4. Eksponenttifunktiot on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla eli niiden arvo voidaan laskea, olipa muuttujan $x$ arvo mikä hyvänsä.
  5. Eksponenttifunktiot saavat vain positiivisia arvoja eli niiden kuvaajat pysyttelevät $x$-akselin yläpuolella (lähestyvät kyllä $x$-akselia mutta eivät koskaan saavuta sitä).
  6. Eksponenttifunktiot saavat kohdassa $x = 0$ arvon $1$. Niiden kuvaajat kulkevat siis $y$-akselin pisteen $(0,1)$ kautta riippumatta kantaluvun $k$ arvosta.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan osoittaa yleispäteviksi, joten kootaan ne vielä teoreemaksi:

TEOREEMA

Olkoon $k > 0$. Eksponenttifunktio $f(x) = k^x$ on määritelty kaikilla muuttujan $x$ arvoilla. Funktion arvot ovat positiivisia eli kuvaaja pysyttelee $x$-akselin yläpuolella. Kuvaajan muoto riippuu kantaluvusta $k$:

  • Jos $k > 1$, kuvaaja on nouseva käyrä.
  • Jos $0 < k < 1$, kuvaaja on laskeva käyrä.
  • Jos $k = 1$, kysymyksessä on vakiofunktio $f(x) = 1$.

Kaikissa tapauksissa $f(0) = 1$ eli kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $1$ ja kulkee siis pisteen $(0,1)$ kautta.

Kun eksponenttifunktion avulla mallinnetaan eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä, täytyy funktio usein kertoa jollakin positiivisella vakiolla $c$, jotta alkutilanteen $x = 0$ arvo saadaan oikeaksi. Esimerkiksi alla vasemmalla on eksponenttifunktion $g(x) = 1{,}6^x$ kuvaaja ja oikealla on funktion $h(x) = 1{,}6^x \cdot 3$ kuvaaja.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan funktioiden $f(x) = k^x \cdot c$ kuvaajia ja harjoitellaan tunnistamaan, miten kantaluku $k$ ja vakio $c$ vaikuttavat kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Täydennä alla oleva taulukko yhdistämällä kuvaaja (1-5) oikeaan funktioon. Taulukossa on yksi ylimääräinen funktio.

Vinkki: Mieti, millainen kantaluku $k$ on, jos kuvaaja on laskeva tai nouseva käyrä. Mieti, miten kantaluvun suuruus vaikuttaa kuvaajaan. Miten voit hyödyntää $y$-akselin leikkauspistettä oikean funktion valitsemisessa?

Funktio Kuvaaja
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 40\phantom{0}$
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 100$
$f(x) = 0{,}7^x \cdot 40\phantom{0}$
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 40\phantom{0}$
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 100$
$f(x) = 2^x \cdot 10\phantom{00}$

Funktio Kuvaaja
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 40$ 2
$f(x) = 1{,}3^x \cdot 100$ 4
$f(x) = 0{,}7^x \cdot 40$ 5
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 40$ 1
$f(x) = 0{,}3^x \cdot 100$ -
$f(x) = 2^x \cdot 10$ 3

Huomaa, että mitä lähempänä ykköstä kantaluku on, sitä loivemmin kuvaaja kaartuu. Tämä auttaa yhdistämään kuvaajat 2 ja 5 oikeaan funktioon. Muiden kohdalla voi päätellä sen mukaan, onko kantaluku suurempi vai pienempi kuin 1 ja millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan eksponentiaalisen mallin käyttöä.

Tilin todellinen vuosikorko on 0,8 %. Pekka tallettaa vuoden 2019 alussa tilille 1500 euroa.

  1. Muodosta funktio, joka kuvaa tilillä olevaa rahamäärää vuoden alussa koronmaksun jälkeen, kun vuoden 2019 alusta on kulunut $x$ vuotta.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävä 2.4.
  2. Laske a-kohdan funktion avulla, kuinka paljon rahaa tilillä on vuoden 2040 alussa, jos muita talletuksia ei ole tehty.
  3. Piirrä funktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla ja tutki sen avulla, milloin tilin saldo saavuttaa 2000 euron rajan.

  1. $f(x) = 1{,}008^x \cdot 1500$
  2. $f(21) = 1{,}008^{21} \cdot 1500 \approx 1773{,}22$ euroa.
  3. Kuvaajasta voidaan lukea, että tilin saldo saavuttaa 2000 euron rajan, kun vuoden 2019 alusta on kulunut noin 36 vuotta eli suunnilleen vuoden 2055 alussa.

    Huomaa, että kuvaajan avulla on vaikea päätellä ajankohtaa tarkasti. Laskemalla a-kohdan funktion arvot $f(36)$ ja $f(37)$ huomaa, että tilin saldo ylittää 2000 euron rajan vasta vuoden 2056 alussa koronmaksun jälkeen.

Erään kunnan asukasluku vähenee keskimäärin 6 prosenttia vuodessa. Vuoden 2019 alussa asukasluku oli 17500.

  1. Muodosta funktio, joka kuvaa kunnan asukaslukua, kun vuoden 2019 alusta on kulunut $x$ vuotta.
  2. Kuinka paljon asukkaita kunnassa olisi tämän mallin mukaan vuoden 2030 alussa?
  3. Kuinka paljon asukkaita kunnassa oli tämän mallin mukaan vuoden 2000 alussa?
    Vinkki: jos menet ajassa taaksepäin, eksponentti on negatiivinen.

  1. $f(x) = 0{,}94^x \cdot 17500$.
  2. $f(11) = 0{,}94^{11} \cdot 17500 \approx 8860$.
    Huom. $2030 - 2019 = 11$.
  3. $f(-19) = 0{,}94^{-19} \cdot 17500 \approx 56700$.
    Huom. $2000-2019 = - 19$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa eksponenttifunktio saa tietyn arvon, päädytään eksponenttiyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 1{,}5^x$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$1{,}5^x = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 1{,}5^x$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 likimain kohdassa $x \approx 3{,}4$. Tarkemmin asia voidaan ilmaista logaritmin avulla.

MÄÄRITELMÄ: LOGARITMI

Oletetaan, että kantaluku $k$ on positiivinen ja $k \neq 1$. Positiivisen luvun $a$ $k$-kantainen logaritmi tarkoittaa lukua $x$, jolla on ominaisuus $k^x = a$. Luvusta $x$ käytetään merkintää $\log_k(a)$.

Eksponenttiyhtälön ratkaisu eli tuntematon eksponentti voidaan siis ilmaista logaritmin avulla. Esimerkiksi yhtälön $$1{,}5^x = 4$$ ratkaisu on $$x = \log_{1{,}5}(4).$$ Tietokoneella tai nykyaikaisella laskimella saadaan logaritmille tarkempi likiarvo kuin kuvasta: $$x = \log_{1{,}5}(4) \approx 3{,}4190226.$$

Joillekin logaritmeille voidaan päätellä tarkka arvo muistelemalla kertotaulua ja lukujen potensseja. Esimerkiksi $$\log_7(49) = 2, \text{ sillä } 7^2 = 49.$$ Toisaalta $$\log_{10}(1000) = 3, \text{ sillä } 10^3 = 1000.$$

Päättele tai selvitä kokeilemalla, mikä eksponentin pitää olla, jotta yhtälö toteutuu. Ilmaise vastaus myös logaritmin avulla muodossa $x = \log_k(a) = b$.

  1. $3^x = 9$
  2. $2^x = 16$
  3. $5^x = 125$.

  1. $x = \log_3(9) = 2$
  2. $x = \log_2(16) = 4$
  3. $x = \log_5(125) = 3$

Usein eksponenttiyhtälön ratkaisun tarkka arvo voidaan ilmaista vain logaritmin avulla. Monilla nykyaikaisilla teknisillä apuvälineillä (esim. Geogebralla) logaritmille saa laskettua likiarvon, olipa kantalukuna $k \neq 1$ mikä tahansa positiivinen luku.

Kirjoita seuraavien eksponenttiyhtälöiden ratkaisut logaritmin avulla ja selvitä ratkaisujen likiarvot laskinohjelmistolla (SpeedCrunch). Esimerkiksi luvun 8 2-kantainen logaritmi kirjoitetaan SpeedCrunchiin muodossa log(2;8). Anna vastaus viiden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $2^x = 40$
  2. $1{,}05^x = 2$
  3. $0{,}75^x = 10$.

  1. $x = \log_2(40) \approx 5{,}3219$
  2. $x = \log_{ 1{,}05 }(2) \approx 14{,}207$
  3. $x = \log_{ 0{,}75 }(10) \approx -8{,}0039$.

Eksponentiaaliseen malliin liittyvissä sovelluksissa eksponenttiyhtälö esiintyy harvoin perusmuodossaan $$ k^x = a. $$ Tavallisimmin yhtälössä on mukana jokin kerroin, joka täytyy jakaa pois ennen kuin yhtälön voi ratkaista logaritmin avulla. Esimerkiksi jos tutkitaan, milloin 5,4 % vuosituottoa mainostavaan rahastoon sijoitettu 500 euroa on kasvanut 750 euroksi, päädytään yhtälöön $$ 1{,}054^x \cdot 500 = 750. $$ Tämän yhtälön ratkaisemisessa ensimmäinen vaihe on jakaa yhtälön molemmat puolet luvulla 500, jolloin yhtälö saadaan perusmuotoon: \begin{align*} 1{,}054^x \cdot 500 &= 750 \hspace{8.5mm} \mid {} : 500 \\ 1{,}054^x &= 1{,}5 \\ x &= \log_{1{,}054}(1{,}5) \approx 7{,}7 \end{align*}

Muokkaa yhtälöt muotoon $k^x = a$ ja ratkaise ne sen jälkeen logaritmin avulla.

  1. $1{,}2^x \cdot 300 = 495$
  2. $18 + 0{,}98^x \cdot 77 = 60$

  1. $x = \log_{1{,}2}(1{,}65) \approx 2{,}75$
  2. $x = \log_{0{,}98}\left(\frac{42}{77}\right) \approx 30{,}0$

Monissa vanhoissa laskimissa likiarvo on mahdollista saada vain 10-kantaisesta ja $e$-kantaisesta logaritmista. (Tässä luku $e \approx 2{,}718$ on niin sanottu Neperin luku, josta voit lukea lisää MAA8-kurssin kappaleesta Kantalukuna Neperin luku.)

Minkä tahansa logaritmin likiarvo on kuitenkin mahdollista selvittää vanhanmallisella funktiolaskimella tekemällä logaritmille kantaluvun vaihto. Jos halutaan likiarvo logaritmille $\log_k(a)$ mutta sitä ei saada suoraan, voidaan valita mikä tahansa muu positiivinen kantaluku $b \neq 1$ ja laskea kahden $b$-kantaisen logaritmin osamäärä:

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ ja $b \neq 1$ ovat positiivisia reaalilukuja. Näitä kantalukuja vastaavilla logaritmeilla on yhteys $$ \log_k (a) = \dfrac{\log_b (a)}{\log_b (k)}. $$

Ilmaise logaritmi 10-kantaisten logaritmien osamääränä ja laske sen likiarvo. Pyöristä lopputulos kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen.

  1. $\log_2(100)$
  2. $\log_{1{,}015}(1{,}5)$

Miten voit tarkistaa, että vastaus on järkevä?

  1. $\log_2(100) = \dfrac{\log_{10} (100)}{\log_{10}(2)} \approx 6{,}64$.
  2. $\log_{1{,}015}(1{,}5) = \dfrac{\log_{10} (1{,}5)}{\log_{10}(1{,}015)} \approx 27{,}2$.

Tuloksen voi tarkistaa potenssiin korotuksen avulla: $2^{6{,}64} \approx 100$ ja $1{,}015^{27{,}2} \approx 1{,}5$.

Jos eksponenttiyhtälön molemmat puolet onnistutaan ilmaisemaan saman kantaluvun potensseina, onnistuu yhtälön ratkaiseminen potenssin laskusääntöjen avulla ilman logaritmia. Esimerkiksi yhtälö $$3^{x-8} = 9$$ voidaan muuttaa muotoon $$3^{x-8} = 3^2,$$ sillä $9 = 3^2$. Tästä voidaan päätellä, että eksponentit ovat yhtä suuret: $$x-8 = 2.$$ Siis yhtälön ratkaisu on $x = 10$.

Ratkaise seuraavat eksponenttiyhtälöt ilman logaritmia. Ilmaise yhtälön kumpikin puoli saman kantaluvun potenssina ja päättele ratkaisu vertaamalla eksponentteja.

  1. $2^{x+7} = 8$
  2. $10^{4x} = 1\,000\,000$
  3. $4^x = 16^5$.

  1. $x = -4$
  2. $x = 1{,}5$
  3. $x = 2\cdot 5 = 10$

Eksponentiaalisen mallin soveltaminen voi johtaa myös niin sanottuun potenssiyhtälöön. Jos kantaluku on tuntematon ja eksponentti on jokin kokonaisluku $n \geq 2$, päädytään potenssiyhtälöön $$x^n = a.$$ Potenssiyhtälöitä ovat siis esimerkiksi yhtälöt $x^2 = 16$ ja $x^3 = -8$. Kuvasta alla vasemmalla nähdään, että toisen asteen yhtälöllä $$x^2 = 16$$ on kaksi ratkaisua: yhtälö toteutuu, jos $x = -4$ tai $x = 4$. Kuvasta alla oikealla nähdään, että kolmannen asteen yhtälöllä $$x^3 = -8$$ on yksi ratkaisu: $x = -2$.

Täydennä alla oleva taulukko yhdistämällä kuva (1-4) oikeaan yhtälöön. Päättele lisäksi yhtälön ratkaisujen lukumäärä.

Yhtälö Kuva Ratkaisujen lkm
$x^2 = 0$
$x^4 = 2$
$x^5 = 1$
$x^6 = -1$

Yhtälö Kuva Ratkaisujen lkm
$x^2 = 0$ 4 1
$x^4 = 2$ 1 2
$x^5 = 1$ 2 1
$x^6 = -1$ 3 0

Tutki edellisen tehtävän taulukkoa ja päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin. Voit myös piirtää potenssifunktioiden $f(x) = x^n$ kuvaajia eksponentin $n$ erilaisilla kokonaislukuarvoilla ja käyttää kuvaajia apuna päättelyssä.

  1. Mitä voit sanoa potenssiyhtälön $x^n = a$ ratkaisujen määrästä, jos eksponentti $n$ on pariton ja vähintään $3$ (eli $3$, $5$, $7$, $\ldots$)?
  2. Mitä voit sanoa potenssiyhtälön $x^n = a$ ratkaisujen määrästä, jos eksponentti $n$ on parillinen ja vähintään $2$ (eli $2$, $4$, $6$, $\ldots$) ja
    • vakio $a > 0$
    • vakio $a = 0$
    • vakio $a < 0$?

  1. Jos eksponentti $n \geq 3$ on pariton, niin yhtälöllä $x^n = a$ on tasan yksi ratkaisu.
  2. Jos eksponentti $n \geq 2$ on parillinen, niin yhtälöllä $x^n = a$
    • on kaksi ratkaisua, jos vakio $a > 0$
    • on yksi ratkaisu, jos vakio $a = 0$
    • ei ole yhtään ratkaisua, jos vakio $a < 0$.

Kuten edellisissä tehtävissä havaittiin, potenssiyhtälöiden ratkaisujen määrä riippuu vastaavien potenssifunktioiden $f(x) = x^n$ kuvaajien muodosta. Jos eksponentti $n$ on parillinen, kuvaaja muistuttaa muodoltaan U-kirjainta ja ratkaisuja on 0-2 kappaletta vakion $a$ arvosta riippuen. Jos eksponentti $n$ on pariton, kuvaaja muistuttaa X-kirjaimen toista vinoviivaa ja ratkaisuja on aina yksi. Tämä voidaan osoittaa yleispätevästi, joten saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Potenssiyhtälön $x^n = a$ ratkaisujen määrä riippuu eksponentista $n$ ja vakiosta $a$ seuraavasti:

  • Jos eksponentti $n \geq 3$ on pariton (eli $3$, $5$, $7$, $\ldots$), yhtälöllä $x^n = a$ on aina yksi ratkaisu.
  • Jos eksponentti $n \geq 2$ on parillinen (eli $2$, $4$, $6$, $\ldots$), yhtälöllä $x^n = a$
    • on kaksi ratkaisua, jos vakio $a > 0$
    • on yksi ratkaisu, jos vakio $a = 0$
    • ei ole yhtään ratkaisua, jos vakio $a < 0$.

Potenssiyhtälöiden ratkaisut ilmaistaan niin sanottujen juurten avulla. Toisen asteen potenssiyhtälö opittiin ratkaisemaan neliöjuuren avulla kurssissa MAY1. Esimerkiksi yhtälöllä $$x^2 = 3$$ on kaksi ratkaisua. Positiivista ratkaisua merkitään $\sqrt{3}$. Symmetrian vuoksi toinen ratkaisu on sen vastaluku $-\sqrt{3}$.

Sama käytäntö on voimassa myös muilla potenssiyhtälöillä, joilla on kaksi ratkaisua. Positiivinen ratkaisu voidaan ilmaista juuren avulla ja negatiivinen ratkaisu on sen vastaluku. Tarkemmin juuret määritellään seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: N:S JUURI

  • Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku ja $a \geq 0$, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $$x^n = a$$ positiivista ratkaisua.
  • Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $$x^n = a$$ ainoaa ratkaisua.

Parillisten juurten tapauksessa määritelmässä on syytä kiinnittää huomiota kahteen asiaan:

  • Jos $n$ on parillinen, $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ on määritelty vain siinä tapauksessa, että juurrettava $a$ on epänegatiivinen eli $a \geq 0$. Tämä johtuu siitä, että jos juurrettava on negatiivinen eli $a < 0$, ei yhtälöllä $x^n = a$ ole yhtään ratkaisua eikä $n$:s juuri sen vuoksi ole määritelty.
  • Jos $n$ on parillinen, $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $x^n = a$ positiivista ratkaisua. Siis aina $\sqrt[n]{a} \geq 0$.

Parittomilla juurilla tilanne on yksinkertaisempi: ne ovat aina määriteltyjä ja niiden arvo voi olla positiviinen tai negatiivinen.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele vastauksesi juurten määritelmän avulla. Saat käyttää apuna potenssiin korotusta mutta et laskimen tai muun teknisen apuvälineen juurinappulaa.

  1. $\sqrt[4]{625} = 5$
  2. $\sqrt[3]{-216} = -6$
  3. $\sqrt[8]{256} = -2$
  4. $\sqrt{-225} = 15$

  1. Väite $\sqrt[4]{625} = 5$ on tosi, sillä luku $5$ on positiivinen ja toteuttaa yhtälön $x^4 = 625$. Tämä nähdään laskemalla potenssi $5^4$.
  2. Väite $\sqrt[3]{-216} = -6$ on tosi, sillä luku $-6$ toteuttaa yhtälön $x^3 = -216$. Tämä nähdään laskemalla potenssi $(-6)^3$.
  3. Väite $\sqrt[8]{256} = -2$ on epätosi, koska parillinen juuri ei koskaan ole negatiivinen. Tässä kuitenkin $-2$ on negatiivinen, joten se ei voi olla minkään luvun 8. juuri.
  4. Väite $\sqrt{-225} = 15$ on epätosi, sillä $\sqrt{-225}$ ei ole määritelty. Tämä johtuu siitä, että yhtälöllä $x^2 = -225$ ei ole yhtään ratkaisua, koska funktio $f(x) = x^2$ saa vain epänegatiivisia arvoja.

Toiselle ja kolmannelle juurelle käytetään usein omia nimityksiään, jotka liittyvät pinta-alaan ja tilavuuteen:

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI JA KUUTIOJUURI

  • Luvun $a$ toinen juuri $\sqrt[2]{a}$ on nimeltään luvun $a$ neliöjuuri. Sitä merkitään lyhyesti $\sqrt{a}$.
  • Luvun $a$ kolmas juuri $\sqrt[3]{a}$ on nimeltään luvun $a$ kuutiojuuri.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan potenssiyhtälöiden ratkaisemista juurten avulla.

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Ilmaise ratkaisut juurten avulla ja sievennettynä.

  1. $x^3 = -343$
  2. $x^4 = 14641$
  3. $x^8 = 6561$

  1. Eksponentti on pariton, joten yhtälöllä on yksi ratkaisu $x = \sqrt[3]{-343} = -7$
  2. Eksponentti on parillinen, joten yhtälöllä on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt[4]{14641} = 11$ ja $x_2 = -\sqrt[4]{14641} = -11$.
  3. Eksponentti on parillinen, joten yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Yhtälö toteutuu, jos $x = \sqrt[8]{6561} = 3$ tai $x = -\sqrt[8]{6561} = -3$.

Eksponentiaaliseen malliin liittyvissä sovelluksissa potenssiyhtälökin esiintyy harvoin perusmuodossaan $$ x^n = a. $$ Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan yhtälön ratkaisemista tilanteessa, jossa yhtälö täytyy ensin muokata perusmuotoon ja ratkaista juurten avulla sen jälkeen.

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna vastauksena ratkaisujen tarkat arvot ja likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $9x^6 = 37800$
  2. $21x^3 + 840 = 0$
  3. $x^5 - 81x = 0$

Vinkki c-kohtaan: erota aluksi yhteinen tekijä ja käytä tulon nollasääntöä (MAB2).

  1. $x = \sqrt[6]{4200} \approx 4{,}02$ tai $x = -\sqrt[6]{4200} \approx -4{,}02$
  2. $x = \sqrt[3]{-40} \approx -3{,}42$
  3. $x = 0$ tai $x = \sqrt[4]{81} = 3$ tai $x = -\sqrt[4]{81} = -3$.

Monissa sovellustehtävissä potenssiyhtälön ratkaisuista osa täytyy sulkea pois, koska ne eivät tule kysymykseen sovelluksen tilanteessa. Yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta on seuraavassa tehtävässä.

Kauppias haluaa vähentää muovikassien kulutusta kaupassaan niin, että liikkeestä ostettujen tai saatujen muovikassien määrä vähenee kuudessa vuodessa (2019-2025) kymmeneen prosenttiin vuoden 2019 alun määrästä. Tavoitteena on siis, että vuoden 2025 alussa muovikassien kulutus on vain 10 % vuoden 2019 alun määrästä.

Tehtävänä on selvittää, mikä pitäisi vuotuisen vähennystavoitteen olla, jotta tavoitteeseen päästään. Oletetaan, että muovikassien kulutusta onnistutaan pienentämään joka vuosi yhtä monta prosenttia.

  1. Hahmota tilannetta aluksi laskemalla kulutuksen määrä jossakin esimerkkitilanteessa. Esimerkiksi jos vuoden 2019 alussa muovikasseja kuluu 1000 kpl/kk ja kulutus vähentyy 20 % joka vuosi, kuinka paljon muovikasseja kuluu kuuden vuoden kuluttua? Mikä on laskussa käyttämäsi muutoskerroin?
  2. Merkitse muovikassien määrää vuoden 2019 alussa esimerkiksi kirjaimella $m$. Mikä on tavoitteen mukainen muovikassien määrä vuoden 2025 alussa?
  3. Merkitse tuntematonta vuosittaista muutoskerrointa esimerkiksi kirjaimella $x$ tai kirjaimella $k$. Muodosta edellisten kohtien avulla yhtälö, joka ilmaisee, että kuudessa vuodessa alkuperäinen määrä vähenee 10 prosenttiin alkuperäisestä määrästä.
  4. Ratkaise $c$-kohdan yhtälö. Kuinka monta ratkaisua sillä on? Mitkä niistä ovat tehtävän tilanteen kannalta merkityksellisiä?
  5. Mikä vuotuisen vähennystavoitteen pitäisi olla?

  1. $0{,}8^6 \cdot 1000 = 262{,}144$ eli muovikassien määrä on kuuden vuoden kuluttua noin 262 kpl. Muutoskerroin on $0{,}80$.
  2. Jos muovikassien määrä vuoden 2019 alussa on $m$, niin sen pitäisi olla vuoden 2025 alussa $0{,}10m$ eli 10 prosenttia alkuperäisestä määrästä.
  3. Yhtälö on $$ x^6 \cdot m = 0{,}1m $$ tai toisilla merkinnöillä $$ k^6 \cdot m = 0{,}1m. $$
  4. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt[6]{0{,}1} \approx 0{,}68$ tai $x = -\sqrt[6]{0{,}1} \approx -0{,}68$. Yhtälöllä on siis kaksi ratkaisua. Koska $x$ on vuosittaista vähennystä kuvaava muutoskerroin, vain positiivisella ratkaisulla on merkitystä tehtävän kannalta. Muutoskerroin $x \approx 0{,}68$ vastaa 32 % vähennystä. (Huom. $1 - 0{,}68 = 0{,}32$.)
  5. Vuosittaisen vähennystavoitteen pitäisi olla noin 32 %.

Eksponenttifunktioita vastaavan tärkeän lukujonojen luokan muodostavat geometriset lukujonot. Myös niiden avulla voidaan mallintaa ja kuvata eksponentiaalista kasvua tai vähenemistä. Geometrisia lukujonoja tutkittiin jo kurssissa MAB02.

MÄÄRITELMÄ: GEOMETRINEN LUKUJONO

Lukujono $(a_n)$ on geometrinen, jos ja vain jos sen kahden peräkkäisen jäsenen suhde eli osamäärä on aina sama. Toisin sanottuna jos on olemassa sellainen luku $q$, että $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$.
Suhde $q$ on nimeltään jonon suhdeluku.

Se, että lukujono on geometrinen, voidaan siis osoittaa tutkimalla peräkkäisten jäsenten $a_{n+1}$ ja $a_n$ suhdetta. Tarkastellaan esimerkiksi jonoa $(a_n)$, jolla $a_n = 5 \cdot 2^n$. Sen peräkkäisten jäsenten suhde on $$ \begin{align*} \frac{\textcolor{red}{a_{n+1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} &= \frac{\textcolor{red}{5 \cdot 2^{n+1}}}{\textcolor{blue}{5 \cdot 2^n}} \\[1mm] &= \frac{\textcolor{red}{5 \cdot 2^{n}\cdot 2}}{\textcolor{blue}{5 \cdot 2^n}} \\[1mm] &= 2. \end{align*}$$ Huomataan, että peräkkäisten jäsenten suhde on aina $2$, joten jono $(a_n)$ on geometrinen.

Tutki, voiko lukujono olla geometrinen. Jos kysymyksessä on geometrisen lukujonon alku, mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä?

  1. $62$, $50$, $40$, $\ldots$
  2. $1000$, $1100$, $1210$, $\ldots$

  1. $a_2 : a_1 \approx 0{,}81$ ja $a_3 : a_2 = 0{,}8$, joten lukujono ei ole geometrinen.
  2. Jonon peräkkäisten jäsenten suhde on vakio $1{,}1$, joten jono voi olla geometrinen. Siinä tapauksessa seuraavat jäsenet ovat $1331$; $1464{,}1$ ja $1610{,}51$.

MAB02-kurssissa opittiin, että geometrisen jonon jäsenet pystytään laskemaan, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen ja suhdeluku. Kerrataan siihen liittyvä teoreema.

TEOREEMA

Geometrisen jonon $(a_n)$ jäsenet saadaan laskettua, jos tiedetään jonon ensimmäinen jäsen $a_1$ ja jonon suhdeluku $q$, sillä kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n$ pätee $$a_n = a_1q^{n-1}.$$

Teoreeman avulla saadaan lauseke geometrisen jonon niin sanotulle yleiselle jäsenelle $a_n$. Esimerkiksi geometrisen jonon $2$, $6$, $18$, $\ldots$ yleinen jäsen on $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

Geometrisen lukujonon $(a_n)$ kaksi ensimmäistä jäsentä ovat $a_1 = 250$ ja $a_2 = 225$.

  1. Muodosta lauseke jonon yleiselle jäsenelle $a_n$ teoreeman 9 avulla.
  2. Määritä jonon 33. jäsen $a_{33}$ kahden desimaalin tarkkuudella.

  1. $a_n = 250 \cdot 0{,}9^{n-1}$
  2. $a_{33} = 250 \cdot 0{,}9^{32} \approx 8{,}58$

Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on $0{,}4$ ja neljäs jäsen on $10{,}8$.

  1. Päättele, mikä on jonon suhdeluku.
  2. Muodosta lauseke jonon yleiselle jäsenelle $a_n$.
  3. Onko luku 784,8 lukujonon jäsen? Entä luku 2624,4?
  4. Kuinka moni lukujonon jäsen on pienempi kuin 100 000?

  1. Suhdeluku $q = 3$. Tämän voi päätellä esimerkiksi seuraavasti: osamäärä $a_4 : a_1 = 27$ muodostuu suhdeluvun kolmannesta potenssista $q \cdot q \cdot q$ (välissä ovat jäsenet $a_2$ ja $a_3$), joten $q = \sqrt[3]{27} = 3$.
  2. $a_n = 0{,}4 \cdot 3^{n-1}$
  3. Luku 784,8 ei ole lukujonon jäsen. Yhtälön $0{,}4 \cdot 3^{n-1} = 784{,}8$ ratkaisuksi ei saada kokonaislukua vaan $n = 1 + \log_3(1962) \approx 7{,}1$. Lasketaan, että $a_{7} = 291{,}6$ ja $a_{8} = 874{,}8$.
    Luku 2624,4 on lukujonon 9. jäsen. Tämän voi selvittää esimerkiksi ratkaisemalla yhtälön $a_n = 2624{,}4$ eli yhtälön $0{,}4 \cdot 3^{n-1} = 2624{,}4$. Sen ratkaisu on $n = 9$.
  4. Lukujonon jäsenistä 12 on pienempiä kuin 100 000. Yhtälön $a_n = 100\,000$ eli yhtälön $0{,}4 \cdot 3^{n-1} = 100\,000$ ratkaisuksi saadaan $n = 1 + \log_3(250\,000) \approx 12{,}3$. Lasketaan, että $a_{12} = 70858{,}8$ ja $a_{13} = 212576{,}4$.

Tässä kappaleessa harjoitellaan edellä opiskeltujen erilaisten eksponentiaalisten mallien soveltamista. Ensimmäisissä tehtävissä harjoitellaan muodostamaan eksponentiaalinen malli samassa tilanteessa kahdella erilaisella tavalla. Jatkossa voit käyttää tapaa, joka on sinulle luontevampi.

Radioaktiivista ainetta jodi-131 syntyy uraanin fissiossa ja onnettomuustilanteissa sitä voi levitä ydinvoimaloista ympäristöön. Tätä niin sanottua radiojodia käytetään myös kilpirauhassyövän hoitoon.

Tässä tehtävässä muodostetaan radiojodin hajoamista kuvaava eksponentiaalinen malli ja lasketaan, kuinka monta prosenttia radiojodista on jäljellä 30 päivän kuluttua.

Radiojodin puoliintumisaika on melko tarkasti 8 vuorokautta, eli jäljellä olevan radiojodin määrä puoliintuu aina 8 vuorokauden kuluessa.

  1. Täydennä alla oleva taulukko. Päättele sen avulla, mikä on sopiva muutoskerroin $k$.
    Vuorokausia 0 8 16 24
    Radiojodin määrä $a$
  2. Muodostetaan eksponenttifunktio $f(x) = k^x$, jonka kantalukuna on a-kohdassa löydetty muutoskerroin $k$. Kuinka pitkä aika vastaa muuttujan arvoa $x = 1$? Entä arvoa $x = 2{,}5$?
  3. Kohdassa (b) huomataan, että eksponenttifunktio $f(x) = k^x$ ei suoraan kelpaa jodi-131:n hajoamisen malliksi, jos halutaan, että muuttuja ilmaisee vuorokausien määrää. Täydennä alla oleva taulukko päättelemällä säännönmukaisuus vuorokausien määrän ja eksponentin välillä. Viimeisestä sarakkeesta saat lausekkeen sopivalle eksponentille.
    Vuorokausia 8 16 24 $x$
    Eksponentti $1$ $2$
  4. Kirjoita lauseke radiojodin hajoamista kuvaavalle eksponenttifunktiolle $f(x)$. Laske, kuinka monta prosenttia radiojodista on jäljellä 30 vuorokauden kuluttua.

  1. Sopiva muutoskerroin $k = \frac{1}{2} = 0{,}5$.
    Vuorokausia 0 8 16 24
    Radiojodin määrä $a$ $\frac{1}{2}a$ $\frac{1}{4}a$ $\frac{1}{8}a$
  2. Eksponenttifunktio on $f(x) = 0{,}5^x$. Koska $f(1) = 0{,}5$, vastaa muuttujan arvo $x=1$ yhtä puoliintumisaikaa eli 8 vuorokautta. Vastaavasti muuttujan arvo $x = 2{,}5$ vastaa 2,5-kertaista puoliintumisaikaa eli $16 + 4 = 10$ vuorokautta.
  3. Vuorokausia 8 16 24 $x$
    Eksponentti $\frac{8}{8} = 1$ $\frac{16}{8} = 2$ $\frac{24}{8} = 3$ $\frac{x}{8}$
  4. Eksponenttifunktion lauseke on $f(x) = 0{,}5^{\frac{x}{8}}$.
    Radiojodista on 30 vuorokauden kuluttua jäljellä $$f(30) = 0{,}5^{\frac{30}{8}} = 0{,}5^{3{,}75} \approx 0{,}074$$ eli noin 7,4 %.

Radioaktiivista ainetta jodi-131 syntyy uraanin fissiossa ja onnettomuustilanteissa sitä voi levitä ydinvoimaloista ympäristöön. Tätä niin sanottua radiojodia käytetään myös kilpirauhassyövän hoitoon.

Tässä tehtävässä muodostetaan radiojodin hajoamista kuvaava eksponentiaalinen malli ja lasketaan, kuinka nopeasti radiojodin määrä pienenee 20 %.

Radiojodin puoliintumisaika on melko tarkasti 8 vuorokautta, eli jäljellä olevan radiojodin määrä puoliintuu aina 8 vuorokauden kuluessa.

  1. Jos radiojodin määrä alkuhetkellä on $a$, kuinka paljon sitä on jäljellä 8 vuorokauden kuluttua?
  2. Jokaisen vuorokauden aikana radiojodin määrä pienenee aina yhtä monta prosenttia. Olkoon vastaava muutoskerroin $k$. Muodosta muutoskertoimen $k$ ja alkuperäisen määrän $a$ avulla lauseke, joka ilmaisee radiojodin määrän 8 vuorokauden kuluttua.
  3. Muodosta a- ja b-kohtien avulla yhtälö, jossa radiojodin määrä 8 vuorokauden kuluttua on ilmaistu kahdella erilaisella tavalla. Ratkaise yhtälöstä tuntematon kantaluku $k$ kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on? Ovatko ne kaikki mielekkäitä tehtävän kannalta?
  4. Kirjoita lauseke radiojodin hajoamista kuvaavalle eksponenttifunktiolle $f(x)$. Laske, kuinka monta prosenttia radiojodista on jäljellä 30 vuorokauden kuluttua. Saatko saman tuloksen kuin tehtävässä 2.27?
  5. Muodosta sopiva yhtälö ja selvitä, kuinka nopeasti radiojodin määrä pienenee 20 %.

  1. Kahdeksan vuorokauden kuluttua radiojodia on jäljellä $0{,}5a$.
  2. Kahdeksan vuorokauden kuluttua radiojodia on jäljellä $k^8\cdot a$.
  3. Yhtälö on $$ k^8\cdot a = 0{,}5a. $$ Koska alkuperäinen määrä $a \neq 0$, voidaan yhtälön molemmat puolet jakaa sillä ja saadaan yhtälö $$ k^8 = 0{,}5. $$ Sillä on ratkaisut $k_1 = \sqrt[8]{0{,}5}$ ja $k_2 = -\sqrt[8]{0{,}5}$. Vain positiivinen ratkaisu on tehtävän kannalta mielekäs, koska $k$ on muutoskerroin. Siis $$ k \approx 0{,}917. $$
  4. Eksponenttifunktion lauseke on $f(x) = 0{,}917^x$.
    Radiojodista on 30 vuorokauden kuluttua jäljellä $$f(30) = 0{,}917^{30} \approx 0{,}074$$ eli noin 7,4 %. Tulos on sama kuin tehtävässä 2.27.
  5. Yhtälö on $$ 0{,}917^x = 0{,}80. $$ Sen ratkaisu on $$ x = \log_{0{,}917}(0{,}80) = \dfrac{\log_{10}(0{,}80)}{\log_{10}(0{,}917)} \approx 2{,}58 $$ Siis noin 2,58 vuorokautta eli noin 2 vuorokautta ja 14 tuntia.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan eksponentiaalisen mallin soveltamisen lisäksi sähköisen ratkaisun tekemistä TI-Nspire-ohjelmalla.

Erään asunnon hinnan kehitystä eräässä kasvukeskuksessa kuvaa funktio $$ f(x) = 1{,}015^x \cdot 200\,000, $$ jossa $x$ on aika vuosina vuoden 2019 alusta alkaen. Tässä tehtävässä tutkitaan asunnon hinnan kehitystä.

  1. Määrittele funktio TI-Nspire-ohjelman muistiinpanot-sovelluksessa komennolla f(x):= funktion lauseke.
  2. Jaa asiakirja-alue puoliksi ja piirrä toiselle puolelle funktion kuvaaja. Tällöin riittää lausekkeen kohdalle kirjoittaa pelkkä f(x), koska lauseke on jo laskinohjelmiston muistissa.
  3. Laske muistiinpanot-sovelluksen puolella, mikä mallin mukaan on asunnon hinta vuonna 2031.
  4. Ratkaise sopivan yhtälön avulla, milloin asunnon hinta ensimmäisen kerran ylittää 270 000 euroa.
  5. Tarkista kuvaajasta, että c- ja d-kohtien tulokset ovat järkeviä ja yhdenmukaisia funktion kuvaajan kanssa.

  2. Funktion kuvaaja:
  3. $f(12) = 1{,}015^{12} \cdot 200\,000 \approx 239 000$ euroa
  4. Yhtälön $$ 1{,}015^{x} \cdot 200\,000 = 270\,000 $$ ratkaisuna saadaan $x \approx 20{,}1$, joten asunnon hinta ylittää 270 000 euron rajan vuoden 2039 aikana.

Euroopan unionissa pyritään vähentämään uusien autojen päästöjä 37,5 % vuodesta 2021 vuoteen 2030. Kuvataan tilannetta mallilla, jossa päästöjä onnistutaan vähentämään joka vuosi yhtä monta prosenttia senhetkisestä määrästä.

  1. Kirjoita TI-Nspire-ohjelman muistiinpanot-sovellukseen tehtävän olennaiset tiedot: Kuinka monta prosenttia vuoden 2030 päästöjen tavoitemäärä on vuoden 2021 päästöjen määrästä? Kuinka monen vuoden aikana päästövähennys tapahtuu?
  2. Muodosta muistiinpanot-sovelluksessa yhtälö, josta voit ratkaista vuosittaista vähennystä kuvaavan muutoskertoimen $k$.
  3. Muodosta päästöjen määrää kuvaava eksponentiaalinen malli.
  4. Jos vuodesta 2021 vuoteen 2025 päästöjä onnistutaan vähentämään 15 %, onko kokonaistavoitteeseen mahdollista päästä samalla vähennystahdilla? Perustele vastauksesi.

  1. Vuoden 2030 päästöjen määrä on 62,5 % vuoden 2021 päästöjen määrästä. Päästövähennys tapahtuu 9 vuoden aikana.
  2. $k^9 = 0{,}625$, joten $k = \sqrt[9]{0{,}625} \approx 0{,}949$.
  3. Päästöjen määrää kuvaa funktio $f(x) = 0{,}949^x \cdot a$, missä $a$ on päästöjen määrä vuonna 2021.
  4. Mallin mukaan vuonna 2025 päästöjen pitäisi olla $f(4) = 0{,}949^4 \cdot a \approx 0{,}81a$ eli vähennyksen pitäisi olla noin 19 %. Jos todellinen päästövähennys on vain 15 %, tavoitteeseen ei päästä samalla tahdilla vaan tahtia pitäisi kiristää.

Eräässä kunnassa havaittiin, että kunnallistekniikkaa ja ympäristöasioita hoitavan viraston miespuoliset työntekijät ansaitsivat vuonna 2018 keskimäärin 2700 euroa ja naispuoliset työntekijät samoissa tehtävissä keskimäärin 2295 euroa. Eroa päätettiin pyrkiä tasoittamaan niin, että naisten palkkoja korotetaan vuosittain 4 % ja miesten palkkoja 2 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka monessa vuodessa tällä menettelyllä päästään samaan palkkatasoon naisten ja miesten välillä.

  1. Muodosta yleinen jäsen lukujonolle $(a_n)$, joka kuvaa naisten palkkojen kehitystä, ja lukujonolle $(b_n)$, joka kuvaa miesten palkkojen kehitystä. Mitä kirjain $n$ ilmaisee?
  2. Muodosta yhtälö, josta saat ratkaistua, kuinka monen korotuksen jälkeen palkat ovat mahdollisimman lähellä toisiaan. Ratkaise yhtälö sopivalla apuvälineellä tai käsin. Kuinka monta korotuskertaa tarvitaan, jotta palkat ovat mahdollisimman lähellä toisiaan?
  3. Minkä suuruisia naisten ja miesten palkat ovat tässä mallissa silloin, kun ne ovat mahdollisimman lähellä toisiaan?

  1. $a_n = 2295 \cdot 1{,}04^{n}$ ja $b_n = 2700 \cdot 1{,}02^n$, missä $n$ ilmaisee, kuinka monta vuotta on kulunut vuodesta 2018.
  2. Yhtälön $$2295 \cdot 1{,}04^{n} = 2700 \cdot 1{,}02^n$$ ratkaisuna saadaan $n \approx 8{,}4$. Korotuksia tarvitaan siis 8 kappaletta. Palkkatasa-arvo on tämän mallin mukaan lähimpänä vuonna 2026.
  3. Naisten palkka on $a_8 = 2295 \cdot 1{,}04^{8} \approx 3141$ euroa ja miesten palkka $b_8 = 2700 \cdot 1{,}02^8 \approx 3163$ euroa. Palkkojen ero on siis noin 22 euroa. Jos korotuksia jatketaan, huomataan, että 9. korotuksen jälkeen palkkojen ero on jo noin 40 euroa naisten eduksi.

Eksponenttifunktio

Erään rahaston todellinen tuotto-odotus on vuodessa 4,5 %. Muodosta funktio, joka kuvaa rahastossa olevaa rahamäärää t vuoden kuluttua talletuksen laittamisesta, kun talletuksen suuruus on 800 euroa. Laske talletuksen suuruus 8 vuoden kuluttua talletuksen alkamisesta.

$f(t)=1,045^t \cdot 800$, 8 vuoden kuluttua talletuksen arvo on 1137,68 euroa.

Eksponenttifunktio

Maija suunnittelee ensiasunnon ostamista 10 vuoden kuluttua. Hän haluaa, että omaa pääomaa asuntoon on tällöin 9000 euroa, mikä on noin 5 prosenttia arvioidun asunnon hinnasta. Kuinka paljon Maijan pitäisi sijoittaa rahastoon nyt, kun rahaston tuotto-odotus on 4,7 % vuodessa, jos muita sijoituksia ei 10 vuoden aikana tehdä?

Noin 5700 euroa. Ratkaistaan yhtälö $1,047^{10} \cdot x = 9000$.

Eksponenttifunktio

Perhe suunnittelee aloittavansa säästämisen vähentämällä kuukausittaisia menojaan aina yhdellä prosentilla kahden vuoden ajan. Kuinka monta prosenttia alkuperäisiin menoihin nähden perhe saisi säästöön viimeisenä säästökuukautena? Onko säästämissuunnitelma realistinen?

Noin 21 %. Koska asumismenot ovat suurin kuluerä menoissa ja niistä on kohtuullisen vaikeaa säästää on viidenneksen säästämistavoite epärealistinen.

Eksponenttifunktio

Erään eläinlajin määrä vuonna 2018 oli 2500 yksilöä ja vuonna 2019 2900 yksillöä. Muodosta yksilöiden määrää kuvaava funktio, jos oletetaan, että kasvu on eksponentiaalista. Kuinka paljon yksilöitä olisi vuonna 2030? Kuinka paljon yksilöitä olisi ollut vuonna 2000?

$f(x)=\left(\frac{29}{25}\right)^x \cdot 2500$, missä $x$ on aika vuosina vuodesta 2018 alkaen. Vuonna 2030 yksilöitä olisi noin 15000. Vuonna 2000 yksilöitä olisi ollut noin 170 ($f(-18)=172,86\ldots$).

Eksponenttifunktio

Asuntojen hintaa Helsingissä kuvaa likimain funktio $f(x)=1,024^x \cdot a$, missä a on asunnon hinta vuoden 2019 alussa. Kuinka monta prosenttia vuoden 2021 alussa ostettu asunto olisi kallistunut vuoden 2030 alkuun mennessä?

Noin 24 %.

Eksponenttifunktio

Ohessa on erään eksponenttifunktion kuvaaja. Muodosta kuvaajan avulla funktion lauseke ja perustele, miksi se toimii. Vihje: Liukusäätimellä onnistut haarukoimaan kantalukua mukavasti. Yritä myös keksiä, miten voisit ratkaista kantaluvun yhtälön avulla.

$f(x)=1,5^x \cdot 20$. Vakiokerroin kuvaa eksponenttifunktion $y$-akselin leikkauspisteen $y$-koordinaattia. Kantaluvun saa selville esim. ratkomalla yhtälön $x^1 \cdot 20 = 30$ tai $x^2 \cdot 20 = 45$.

Eksponenttifunktio

Keksi tehtävänanto, jonka ratkaisu olisi ohessa oleva eksponentiaalinen malli.

  1. $f(t)=1,035^x \cdot 2500$
  2. $g(x)=0,7^x \cdot a$
  3. $h(x)=3^x$

Esimerkiksi:

  1. Muodosta funktio, joka kuvaa tilillä olevaa rahamäärää $x$ vuoden kuluttua talletuksen aloittamisesta, kun kun vuosikorko on 3,5 % ja talletettava summa on 2500 euroa.

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

Ratkaise yhtälö A-osan tapaan.

  1. $2 \cdot 3^x=18$
  2. $\frac{4^x}{5}=2$
  3. $2^{x+1}=8^x$

  1. $x=2$
  2. $x=\log_4(10)$
  3. $x=\frac{1}{2}$

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

Ratkaise seuraavat yhtälöt graafisesti eli piirtämällä sopivien funktioiden kuvaajat.

  1. $3^x=20$
  2. $25 \cdot 1,3^x=100$
  3. $\frac{3^x}{5}=7$

Kuvaajien avulla saadaan likimääräiset ratkaisut

  1. $x\approx 2,7$
  2. $x\approx 5,3$
  3. $x\approx 3,2$

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

Säästötilillä olevaa rahamäärää kuvaa funktio $f(x)=2000 \cdot 1,0065^x$, missä $x$ on vuosien lukumäärä vuodesta 2019 alkaen. Milloin tilillä on ensimmäisen kerran rahaa yli 3000 euroa?

Vuonna 2082.

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

Nuoret perustavat kahvilan kesälomansa ajaksi. He laittavat mainoksen kahvilastaan neljälle kaverilleen, joista kukin laittaa mainoksen eteenpäin taas neljälle kaverilleen tunnin kuluttua mainoksen saamisesta. Näin mainoksen jakaminen jatkuu. Kuinka monen tunnin kuluttua mainoksen laittamisesta 10000 ihmistä on nähnyt mainoksen, kun oletetaan, että mainos ei mene samalle henkilölle useaan kertaan?

Seitsemän tunnin kuluttua. Kyseessä on geometrinen summa.

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

EU on linjannut päästötavoitteissa, että kasvihuonepäästöjä tulisi vähentää 40 % vuoden 1990 tasosta vuoteen 2030 mennessä. Jos tavoite saavutetaan, niin milloin kasvihuonepäästöjen määrä on puolet vuoden 1990 tasosta?

Vuoden 2044 aikana.

Eksponenttiyhtälöt ja logaritmi

Useissa rahapeleissä on niin sanottu tuplausmahdollisuus: jos arvaa kortin suuruusluokan oikein, tuplaa voittosummansa, ja jos väärin, niin menettää voittosummansa. Paula voitti hedelmäpelissä 4 euroa. Kuinka monta kertaa hänen tuplauksensa onnistui, kun lopullinen voittosumma oli 128 euroa?

Viisi kertaa.

Potenssiyhtälöt

Ratkaise yhtälöt A-osan tapaan.

  1. $3x^5=8$
  2. $\frac{x^4}{3}=6$
  3. $k^7 \cdot 8000=16000$
  4. $p^8 \cdot 4-20=4$

  1. $x=\sqrt[5]{\frac{8}{3}}$
  2. $x=\pm\sqrt[4]{18}$
  3. $k=\sqrt[7]{2}$
  4. $p=\pm\sqrt[8]{6}$

Potenssiyhtälöt

Osakkeen hinta muuttuu viikon aikana seuraavasti: +1,5 %, -0,8 %, +2,8 %, +0,2 %, -4,5 %.

  1. Kuinka monta prosenttia kokonaismuutos oli ja mihin suuntaan?
  2. Kuinka monta prosenttia muutos oli keskimäärin päivässä, jos oletetaan muutoksen pysyvän suhteellisesta samanlaisena?

  1. 1,0 % laski
  2. 0,2 %. Ratkaisu saadaan yhtälöstä $k^5=0,99047\ldots$

Potenssiyhtälöt

City-kanit olivat Helsingissä ongelma 2000-luvun alkupuolella. Vuonna 2007 kaneja oli 2000 kappaletta ja vuonna 2009 7000 kappaletta. Kuinka monta prosenttia kanien määrä kasvoi vuodessa, kun oletetaan kasvun olleen prosentuaalisesti samansuuruista?

87 %

Potenssiyhtälöt

Markku osti sijoitusasunnon vuonna 2000 150000 eurolla. Vuonna 2019 hän myi sen 320000 eurolla. Mikä oli keskimääräinen vuotuinen kasvuprosentti asunnon hinnassa?

4,1 %

Potenssiyhtälöt

Tshernobylin ydinvoimalaonnettomuus tapahtui vuonna 1986. Vuonna 2019 arvioitiin, että Suomessa onnettomuuden seurauksena ollut säteily on puolittunut. Kuinka monta prosenttia säteilystä poistuu vuodessa? Milloin säteilyn määrä on enää kolmasosan onnettomuuden jälkeisestä määrästä?

2,1 %, vuonna 2030

Geometrinen lukujono

Lukujonon 3. jäsen on 5 ja 7. jäsen on 80. Muodosta jonon yleinen jäsen. Huomaa kaksi eri vaihtoehtoa.

$a_n=\frac{5}{4}\cdot 2^{n-1}$ tai $a_n=\frac{5}{4}\cdot (-2)^{n-1}$

[Lyhyt matematiikka, kevät 2018, tehtävä 10.]

Iiris on löytänyt uuden autonsa arvon alenemista kuvaavan taulukon. Hän syöttää tiedot ohjelmaan, joka piirtää auton arvoa kuvaavat pisteet ajan funktiona yhden vuoden välein. Auton ostaminen tapahtuu taulukossa vuonna 0.

  1. Selitä sanallisesti, millä tavalla auton arvo näyttää alenevan ajan funktiona.
  2. Muodosta kaava, joka kuvaa sitä, miten taulukon lukuarvot on laskettu. Voit käyttää muotoa $a_n = f(n)$ olevaa lukujonoa, kun $a_n$ on auton arvo vuonna $n$.
  3. Kuinka monen vuoden jälkeen auton ostamisesta sen arvo on kaavasi mukaan laskenut alle 2 000 euron?

[Lyhyt matematiikka, syksy 2017, tehtävä 9.]

Säätiö haluaa tukea internet-turvallisuutta seitsemän vuoden aikana yhteensä 800 000 eurolla. Rahat jaetaan niin, että jaettava summa kasvaa edellisestä vuodesta aina yhtä monta prosenttia.

  1. Oletetaan, että jaettavan summan vuotuinen kasvuprosentti on 10. Mikä pitää ensimmäisenä vuonna jaettavan summan olla, jotta koko 800 000 tulee seitsemässä vuodessa jaetuksi?
  2. Oletetaan, että ensimmäisenä vuonna jaetaan 70 000 euroa. Mikä pitää vuotuisen kasvuprosentin olla, jotta koko 800 000 euroa tulee seitsemässä vuodessa jaetuksi?
  3. Muodosta kysymykseen liittyvä yhtälö ja ratkaise se esimerkiksi kokeilemalla. Anna vastaus yhden prosenttiyksikön tarkkuudella.

[Lyhyt matematiikka, kevät 2017, tehtävä 13.]

Eksponentiaalista mallia voidaan käyttää monien luonnontieteen ilmiöiden kuvaamiseen.

  1. Anna esimerkki ilmiöstä, jonka kuvaamiseen malli soveltuu.
  2. Anna esimerkki ilmiöstä, jonka kuvaamiseen malli ei sovellu.

Mallin soveltuvuus ja soveltumattomuus pitää perustella.

[Lyhyt matematiikka, kevät 2015, tehtävä 8.]

Ravintoliuoksessa kasvatettavan bakteeripopulaation yksilömäärä $N(t)$ kasvaa eksponentiaalisen mallin $N(t)=1000 \cdot 1,25^t$, mukaisesti, kun aika $t$ ilmoitetaan tunteina.

  1. Mikä on populaation koko 24 tunnin kuluttua? Anna vastaus tuhannen bakteerin tarkkuudella.
  2. Kuinka monta prosenttia populaatio kasvaa jokaisen tunnin aikana?
  3. Kuinka monta tuntia kestää, että populaation koko ylittää miljoonan?

[Lyhyt matematiikka, syksy 2014, tehtävä 2.]

Mikä luku $x$ toteuttaa annetun yhtälön?

  1. $2^x = 2$
  2. $2^x=\frac{1}{2}$
  3. $2^x=8^2$
  4. $3^x=\frac{1}{3^5}$
  5. $10^x=1000$
  6. $10^x=0,01.

[Lyhyt matematiikka, syksy 2012, tehtävä 12.]

Maailman väkiluvun kasvua kuvataan usein eksponentiaalisen mallin avulla. Vuonna 2004 väkiluku oli 6,4 miljardia ja vuonna 2010 noin 6,8 miljardia. Minä vuonna väkiluku ylittää mallin mukaan 10 miljardin rajan?

[Lyhyt matematiikka, syksy 2014, tehtävä 12.]

Yhdistyneet kansakunnat asetti vuosituhannen vaihteessa yhdeksi tavoitteekseen, että maailman hiilidioksidipäästöt olisivat vuonna 2015 merkittävästi pienemmät kuin vuonna 1990. Tavoite ei näytä toteutuvan, sillä vuosina 1990−2008 päästöjen määrä kasvoi 39 %. Oletetaan, että päästöjen vuotuinen kasvuprosentti on ollut aikavälillä 1990−2008 vakio. Kuinka monta prosenttia päästöt kasvavat yhteensä vuosina 1990−2015, jos niiden vuotuinen kasvuprosentti pysyy edelleen samana? Anna vastaus prosenttiyksikön tarkkuudella.

[Lyhyt matematiikka, syksy 2013, tehtävä 10.]

Maalämpöpumppuja myyvän yrityksen liikevaihto kymmenkertaistui kahdessakymmenessä vuodessa. Kuinka monta prosenttia liikevaihto kasvoi vuodessa, kun vuotuinen kasvuprosentti pysyi koko ajan samana? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

[Lyhyt matematiikka, kevät 2013, tehtävä 8.]

(Tehtävästä on jätetty pois kuvituksena toiminut taulukko.)

Vuonna 2005 yksityishenkilöiden maksuhäiriöiden lukumäärä Suomessa oli 422 500, ja vuonna 2011 se oli 1 460 500.

  1. Kuinka monta prosenttia maksuhäiriöiden lukumäärä kasvoi tällä aikavälillä? Anna vastaus prosentin tarkkuudella.
  2. Vuonna 2011 ministeriö asetti tavoitteeksi vähentää maksuhäiriöiden määrän neljässä vuodessa takaisin vuoden 2005 tasolle. Kuinka monta prosenttia määrä vähenee vuodessa, kun vuotuinen vähenemisprosentti on sama? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä seuraavat tehtävät.

1. Ratkaise A-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu Abitin editorilla osoitteessa kaava.mafynetti.fi. .
Ratkaise alla olevat yhtälöt. Kohdissa a, b ja d anna vastauksena tarkan arvon lisäksi likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $2x^4-10=0$
  2. $\dfrac{x^5}{3}+2=0$
  3. $2^{x-2}=8$
  4. $2\cdot 3^x=16$

2. Ratkaise B-osan tapaan ja kirjoita ratkaisu TI Nspiren Muistiinpanot -sovelluksella.
Asuntojen hinnat kasvavat pääkaupunkiseudulla noin 1,7 % vuodessa.

  1. Muodosta malli, joka kuvaa asunnon hintaa x vuoden kuluttua vuodesta 2019, kun vuonna 2019 asunnon hinta oli 200 000 euroa.
  2. Mikä on asunnon hinta vuonna 2030?
  3. Milloin asunnon arvo ylittää 250 000 euroa?


Matemaattinen mallintaminen

Tämän luvun tavoitteena on, että tutustut matemaattiseen mallintamiseen sovellustilanteissa. Osaat

  • tulkita annettua mallia ja tehdä ennusteita sen pohjalta
  • päätellä, mikä on mallin sovellusalue
  • havainnollistaa mittaustuloksia koordinaatistossa
  • sovittaa laskentaohjelmiston avulla havaintopisteisiin sopivan käyrän, joka voi olla jonkin polynomi- tai eksponenttifunktion kuvaaja, ja tehdä johtopäätöksiä sen pohjalta.

Luvuissa 1 ja 2 on tutustuttu kahteen erilaiseen matemaattiseen malliin: lineaariseen malliin ja eksponentiaaliseen malliin. Yleisesti ottaen matemaattinen malli tarkoittaa sääntöä, jota tarkasteltavaan ilmiöön liittyvät havainnot noudattavat. Malli on usein yksinkertaistus tilanteesta eikä vastaa täysin todellisuutta. Mallin avulla ilmiötä voidaan kuitenkin ymmärtää ja ennustaa, ja mallin yksinkertaisuus on myös etu, koska se helpottaa mallin käyttöä.

Matemaattiseen mallintamiseen liitty oleellisena osana mallin hyvyyden ja sovellusalueen arviointi: Miten hyviä ennusteita malli tuottaa? Millä muuttujan arvoilla mallia voidaan soveltaa? Sovellusalueen ulkopuolella malli voi antaa järjettömiä tuloksia, vaikka muuten se kuvaisi ilmiötä hyvin.

Matemaattisen mallinnuksen merkitys on nykyisessä yhteiskunnassa koko ajan kasvamassa. Matemaattisia malleja hyödynnetään lähes jokaisella alalla: tekniikassa, luonnontieteissä, lääketieteessä, psykologiassa, taloudessa, politiikassa, ympäristönsuojelussa, erilaisissa medioissa ja niin edelleen.

Tässä luvussa jatketaan mallien tulkitsemista sekä opetellaan yksinkertaisissa tilanteissa sovittamaan havaintoaineistoon mahdollisimman sopiva malli.

Alla on kuvattu arktisen alueen jääpeitteen laajuuden keskiarvo (miljoonina neliökilometreinä) vuoden aikana. Keskiarvot on laskettu vuosilta 1979-1990 (oranssi käyrä) ja 2011-2018 (sininen käyrä). Lähde: NSIDC.

  1. Milloin jääpeite on laajimmillaan? Kuinka paljon keskimääräisen jääpeitteen laajuuden maksimiarvo on pienentynyt vuosista 1979-1990 vuosiin 2011-2018?
  2. Milloin jääpeite on pienimmillään? Kuinka paljon keskimääräisen jääpeitteen laajuuden minimiarvo on pienentynyt vuosista 1979-1990 vuosiin 2011-2018?
  3. Kuinka pitkän ajan vuosien 2011-2018 jääpeitteen laajuus oli alle vuosien 1979-1990 minimilaajuuden?

  1. Vuosina 1979-1990 jääpeite oli keskimäärin laajimmillaan maaliskuun alkupuolella ja sen laajuus oli noin 16 miljoonaa neliökilometriä. Vuosina 2011-2018 jääpeite oli keskimäärin laajimmillaan maaliskuun puolivälissä ja sen laajuus oli vajaa 15 miljoonaa neliökilometriä. Laajuuden maksimiarvo on siis pienentynyt reilun miljoona neliökilometriä.
  2. Jääpeite on keskimäärin pienimmillään syyskuun puolivälissä. Vuosina 1979-1990 laajuus oli pienimmillään noin 7 miljoonaa neliökilometriä ja vuosina 2011-2018 vajaa 5 miljoonaa neliökilometriä. Laajuuden minimiarvo on siis pienentynyt yli 2 miljoonaa neliökilometriä.
  3. Vuosien 2011-2018 jääpeitteen laajuus oli alle vuosien 1979-1990 minimilaajuuden reilut 2,5 kuukautta (elokuun alusta yli lokakuun puolivälin).

Edellisessä tehtävässä jääpeitteen laajuuden muuttumista mallinnettiin tutkimalla kahden eri ajanjakson keskiarvoja, jolloin pitkän aikavälin kehitys saatiin näkyviin vuosittaisesta vaihtelusta huolimatta.

Seuraavassa tehtävässä mallinnetaan sillan rakenteita koordinaatiston ja toisen asteen polynomifunktioiden avulla. Toisen asteen polynomifunktioihin tutustuttiin kurssilla MAB2.

Kaarisilta Sydney Harbour Bridge valmistui vuonna 1932. Alla olevassa kuvassa siltaa on mallinnettu 2. asteen polynomifunktioilla \begin{align*} f(x) &= -0{,}16x^2 + 1{,}12x - 0{,}72 \\ g(x) &= -0{,}10x^2 + 0{,}71x + 0{,}18 \end{align*} Koordinaatistossa 1 yksikkö vastaa luonnossa 100 metriä.

Päättele kuvasta tai laske funktioiden avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Kuinka korkealla on siltarakennelman korkein kohta?
  2. Mikä on sillan alituskorkeus? Toisin sanottuna kuinka suuri laiva mahtuu sillan ali?
  3. Kuinka korkealla on sillan yläosa siinä kohdassa, jossa sillan alempi kaari leikkaa sillan vaakasuoran osan?
  4. Kuinka leveä on sillan alempi kaari merenpinnan tasolla?
  5. Millä muuttujan arvoilla funktiota $g(x) = -0{,}10x^2 + 0{,}71x + 0{,}18$ voidaan kuvan mukaan käyttää sillan ylemmän kaaren mallina?

  1. Kuvan mukaan korkein kohta on 138 metrin korkeudessa.
  2. Kuvan mukaan sillan alituskorkeus on 49 metriä.
  3. Kohdassa $x = 1{,}36$ ylempää kaarta mallintava funktio saa arvon $$ g(x) = -0{,}10\cdot 1{,}36^2 + 0{,}71 \cdot 1{,}36 + 0{,}18 \approx 0{,}96 $$ eli ylempi kaari on noin 96 metrin kokeudessa.
  4. Sillan alemman kaaren leveys merenpinnan tasolla on kuvan mukaan noin $$ 6{,}07 - 0{,}72 = 5{,}35 $$ eli noin 535 metriä.
  5. Funktio sopii malliksi, kun $0{,}72 \leq x \leq 6{,}1$.

Edellisissä tehtävissä mallin tulkintaa tehtiin jonkinlaisen graafisen esityksen pohjalta. Seuraavassa tehtävässä mallina on yksittäinen funktio.

Erääseen hätäkeskukseen tulee keskimäärin 30 puhelua tunnissa. Todennäköisyyttä, että kahden peräkkäisen puhelun välissä kuluu yli $x$ minuuttia, voidaan tällaisessa tilanteessa mallintaa funktiolla $$ f(x) = e^{-0{,}5x} $$ missä kantaluku $e = 2{,}7182818\ldots$ on niin sanottu Neperin luku. Laskimiin ja tietokoneisiin Neperin luvun arvo on yleensä ohjelmoitu valmiiksi ja se löytyy nappulasta $e$.

  1. Millä todennäköisyydellä kahden peräkkäisen puhelun välissä kuluu yli minuutti? Anna vastaus myös prosentteina.
  2. Millä todennäköisyydellä kahden peräkkäisen puhelun välissä kuluu yli 5 minuuttia? Anna vastaus myös prosentteina.
  3. Miten tämä malli liittyy luvun 2 asioihin? Selitä omin sanoin.
  4. Millaisilla muuttujan $x$ arvoilla mallia voidaan soveltaa?
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi geogebralla. Määritä sen avulla sellainen muuttujan arvo $a$, että 50 % todennäköisyydellä kahden puhelun välissä kuluu yli $a$ minuuttia.

  1. Todennäköisyys, että peräkkäisten puhelujen välissä kuluu yli minuutti, on $f(1) = e^{-0{,}5 \cdot 1} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}607$ eli noin 60,7 %.
  2. Todennäköisyys, että peräkkäisten puhelujen välissä kuluu yli 5 minuuttia, on $f(5) = e^{-0{,}5 \cdot 5} = e^{-2{,}5} \approx 0{,}082$ eli noin 8,2 %.
  3. Kysymyksessä on eksponentiaalisen vähenemisen malli. Todennäköisyys, että kahden peräkkäisen puhelun välissä kuluu yli $x$ minuuttia pienenee eksponentiaalisesti, kun $x$ kasvaa.
  4. Koska $x$ kuvaa puheluiden välistä aikaa minuutteina, sen täytyy olla positiivinen (tai nolla). Mallia voidaan siis soveltaa, kun $x \geq 0$.
  5. Kuva:

    Jos $a = 1{,}39$ minuuttia eli $1$ min ja $0{,}39 \cdot 60 \approx 23$ sekuntia, niin 50 % todennäköisyydellä kahden puhelun välissä kuluu yli $a$ minuuttia.

Käytännön tilanteissa matemaattinen mallintaminen alkaa usein jonkinlaisesta mittaamisesta tai havaintoarvojen keräämisestä. Havaintoarvoja vastaavat pisteet voidaan sijoittaa koordinaatistoon. Laskentaohjelmilla voidaan tutkia, millaiselle suoralle tai käyrälle havaintopisteet asettuvat parhaiten. Näin voidaan löytää tarkasteltavalle ilmiölle matemaattinen malli.

Asunnonvälittäjä keräsi tietokannasta erään postinumeroalueen kaikkien vuokrattavana olevien 1-3 huoneen asuntojen vuokrahinnat sekä pinta-alat. Hän naputteli tiedot taulukkolaskentaohjelmaan ja sovitti ohjelman avulla havaintopisteisiin suoran:

  1. Mikä olisi tämän mallin mukaan alueen hintatason mukainen vuokra 45 neliömetrin asunnolle?
  2. Arvioi kuvan perusteella, mikä on tämän mallin sovellusalue.
  3. Toinen asunnonvälittäjä keräsi aineistoon myös kaikki vähintään 4 huoneen vuokra-asuntojen tiedot. Hän sovitti taulukkolaskentaohjelman avulla havaintopisteisiin 2. asteen polynomin:

    ja 4. asteen polynomin:

    Kumpi mielestäsi mallintaa paremmin asuntojen vuokria?
  4. Mikä olisi valitsemasi mallin mukainen vuokra 65 neliömetrin asunnolle?

  1. Noin 950 euroa kuukaudessa.
  2. Malli soveltuu melko hyvin noin 20-60 neliömetrin asunnoille. Suurimpien yli 70 neliömetrin asuntojen vuokrat eivät asetu kovin lähelle suoraa, joten voi olla, että suurempien asuntojen vuokria kuvaisi paremmin jokin toinen malli. Toisaalta nämä kaksi havaintopistettä voivat olla jollakin tavalla poikkeuksellisia.
  3. Toisen asteen polynomi mallintaa vuokria luultavasti paremmin sekä kaikkein pienimmissä että kaikkein suurimmissa asunnoissa. Neljännen asteen polynomilla arvot (eli asuntojen vuokrat) pienenevät sekä pienten että suurimpien asuntojen kohdalla liian nopeasti.
  4. Jos hintaa mallinnetaan 2. asteen polynomilla, vuokra 65 neliömetrin asunnolle on noin 1150 euroa.

Seuraavissa tehtävässä harjoitellaan sovittamaan mittauspisteisiin sopiva käyrä laskentaohjelmiston avulla.

Pesäpallon heittoa tutkittiin kuvaamalla pallon lentorataa high speed -kameralla. Kuvista mitattiin pallon sijainti vaaka- ja pystysuunnassa 0,1 sekunnin välein, jolloin saatiin seuraavat tulokset (metreinä):

Vaakasijainti: Pystysijainti:
0 1,79
3,1 2,32
6,2 2,67
9,2 2,86
12,2 3,02
15,3 3,16
18,3 3,03
21,4 2,96
24,4 2,70
27,5 2,36
30,5 1,97
  1. Havainnollista mittaustuloksia piirtämällä pallon vaaka- ja pystysijaintia kuvaavat pisteet $(x,y)$-koordinaatistoon. Voit käyttää taulukkolaskentaohjelmaa tai esimerkiksi Geogebraa. Katso tarvittaessa ohjevideo Geogebran käyttöön tästä.
  2. Sovita ohjelman avulla mittauspisteisiin oman harkintasi mukaan 1. tai 2. asteen polynomifunktio (suora tai paraabeli).
  3. Mikä oli heiton pituus?
  4. Mikä oli pallon vaakasuuntainen nopeus?
    Vinkki: Pallon sijainti määritettiin 0,1 sekunnin välein, joten voit selvittää, kuinka pitkän matkan pallo kulki esimerkiksi yhden sekunnin aikana.
  5. Mikä on heittoa kuvaavan mallin sovellusalue? Toisin sanottuna millä muuttujan $x$ arvoilla mittauspisteisiin sovitettu funktio kuvaa pallon sijaintia oikein?

  1. Pisteet koordinaatistossa Geogebralla:
  2. Toisen asteen polynomifunktion sovittaminen Geogebralla:
  3. Heiton pituus oli noin 40 metriä.
  4. Pallon vaakasuuntainen nopeus oli noin 30,5 m/s eli noin $60 \cdot 30{,}5 = 1830$ m/min eli noin $60 \cdot 1830 = 109800$ m/h eli 109,8 km/h.
  5. Mallin sovellusalue on $0 \leq x \leq 40$. Huomaa, että Geogebrassa pyöristystarkkuudeksi kannattaa valita esimerkiksi 10 desimaalia, jotta funktion lausekkeen kertoimien likiarvot ovat riittävän tarkat. Jos pyöristys on liian suurpiirteinen, funktion lauseke sellaisenaan antaa vääriä tuloksia.

Tilastokeskuksen mukaan Suomen väestön määrä oli 1900-luvulla seuraava:

Vuosi: Väestö (miljoonaa henkeä):
1900 2,66
1910 2,94
1920 3,15
1930 3,46
1940 3,70
1950 4,03
1960 4,45
1970 4,60
1980 4,79
  1. Havainnollista väestönkehitystä piirtämällä havaintopisteet $(x,y)$-koordinaatistoon. Voit käyttää taulukkolaskentaohjelmaa tai esimerkiksi Geogebraa.
  2. Voiko väestönkasvua mallintaa lineaarisella tai eksponentiaalisella mallilla? Sovita ohjelman avulla havaintopisteisiin sopiva funktio.
  3. Mikä on valitsemasi mallin mukainen ennuste Suomen väestön määrälle vuonna 2000? Entä vuonna 2050?
  4. Vertaa mallin antamia tuloksia vuoden 2000 väestömäärään, joka oli 5,18 miljoonaa, ja Tilastokeskuksen vuoden 2050 ennusteeseen, joka on 5,53 miljoonaa. Keksitkö syitä, miksi käyttämäsi mallin tulokset poikkeavat näistä?

  1. Pisteet koordinaatistossa ja suoran sovittaminen Geogebralla:

    Huomaa, että vuosilukuja on yksinkertaisuuden vuoksi kuvattu $x$-akselilla niin, että vuotta 1900 vastaa 0, vuotta 1910 vastaa 1, vuotta 1920 vastaa 2 ja niin edelleen. Pystyakselilla yksikkönä on miljoona, eli esimerkiksi luku 2,66 vastaa 2,66 miljoonaa.
  2. Lineaarinen malli on näistä kahdesta vaihtoehdosta sopivampi, koska väestö Suomessa tuskin kasvaa eksponentiaalisesti.
    Havaintopisteisiin sovitettu suora, jolta on poimittu c-kohdassa kysytyt tiedot:
  3. Lineaarisen mallin mukaan väestö vuonna 2000 on 5,42 miljoonaa henkeä ja vuonna 2050 puolestaan 6,81 miljoonaa henkeä.
  4. Mallin antama ennuste vuodelle 2000 vastaa toteutunutta väestönkehitystä melko hyvin, vaikka onkin noin 4,6 % suurempi kuin todellinen väestömäärä. Mallin antama ennuste vuodelle 2050 on huomattavan suuri verrattuna Tilastokeskuksen ennusteeseen. Todellisuudessa ikäluokat ovat näillä näkymin pienenemässä, joten kasvu ei tulevaisuudessa ole lineaarista vaan hitaampaa.

Polonium-210 on hyvin radioaktiivinen alkuaine, joka on ihmiselle erittäin myrkyllistä päästessään kehoon esimerkiksi ruoan, juoman tai hengitysilman mukana. Se on myös hyvin harvinainen aine, jonka tuottaminen on vaikeaa ja jota esiintyy luonnossa hyvin vähän. Julkisuutta polonium-210 sai vuonna 2006, kun venäläinen entinen KGB-agentti Alexander Litvinenko myrkytettiin kuoliaaksi poloniumilla.

Laboratoriossa tutkitiin polonium-210-näytteen radioaktiivista hajoamista. Alla olevassa taulukossa on jäljellä olevan polonium-210:n massa 30 vuorokauden välein mitattuna.

Aika (vrk) Massa (mg):
0 20,0
30 17,2
60 14,8
90 12,8
  1. Havainnollista polonium-210:n hajoamista piirtämällä mittaustulokset $(x,y)$-koordinaatistoon. Voit käyttää taulukkolaskentaohjelmaa tai esimerkiksi Geogebraa.
  2. Voiko hajoamista mallintaa lineaarisella tai eksponentiaalisella mallilla? Sovita ohjelman avulla mittauspisteisiin sopiva funktio.
  3. Mikä on polonium-210:n puoliintumisaika? Puoliintumisaika tarkoittaa aikaa, jossa aineen massa puoliintuu.

  1. Pisteet koordinaatistossa ja eksponenttifunktion sovittaminen Geogebralla:

    Huomaa, että vuorokausia on yksinkertaisuuden vuoksi kuvattu $x$-akselilla niin, että 30 vuorokautta vastaa 3, 60 vuorokautta vastaa 6 ja niin edelleen.
  2. Kokeilemalla huomaa, että mittauspisteet asettuvat paremmin eksponenttifunktion kuvaajalle kuin suoralle, vaikka ero ei ole suuri.
    Havaintopisteisiin sovitetun eksponenttifunktion kuvaaja, jolta on poimittu c-kohdassa kysytyt tiedot:
  3. Eksponentiaalisen vähenemisen mallin mukaisesti polonium-210:n puoliintumisaika on $13{,}95 \cdot 10 = 139{,}5$ vuorokautta. (Wikipedian mukaan puoliintumisaika on 138,376 vuorokautta, joten tehtävän mittaustuloksista saadaan sille varsin hyvä likiarvo.)

Suomen väestön rakenne. [Lyhyt matematiikka, syksy 2019, tehtävä 13.]

Aineisto:
13.A Taulukko: Suomen väestön rakenne.

Avaa aineisto LibreOffice Calc -ohjelmaan napsauttamalla alla olevaa linkkiä.
13A.ods (LibreOffice Calc)
Lähde: Tilastokeskus. https://www.tilastokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vaesto.html. Viitattu 25.5.2018.

Aineistossa 13.A on esitetty Suomen väestön rakenne. Laske 15–64-vuotiaiden asukkaiden lukumäärät vuosina 1900, 1950, 1990, 2000, 2010 ja 2016. Sovita laskemaasi aineistoon lineaarinen malli $f(x)$ ja toisen asteen polynomi $g(x)$. Ennusta molempien mallien avulla Suomen 15–64-vuotiaiden lukumäärät vuosina 2035 ja 2350 ja pohdi ennusteiden mielekkyyttä.

Puun kasvu. [Lyhyt matematiikka, kevät 2019, tehtävä 6.]

Metsäntutkija mallintaa puun kasvua. Mallissa puunrunko ajatellaan suoraksi ympyräpohjaiseksi kartioksi. Ajanhetkellä $t=0$ puunrunko on korkeudeltaan 6 metriä ja tyvestä halkaisijaltaan 8 cm paksu. Joka vuosi puu kasvaa pituutta 45 cm ja tyven halkaisija kasvaa 0,6 cm. Muodosta funktio, joka kuvaa puunrungon tilavuutta ajan funktiona. Mikä on rungon tilavuus 20 vuoden kuluttua?

Miten vauva kasvaa? [Lyhyt matematiikka, kevät 2019, tehtävä 6.]

Vauvan painon voidaan arvioida kasvavan $q^3$-kertaiseksi, kun vauvan pituus kasvaa $q$-kertaiseksi. Tämä perustuu siihen, että vauva on kolmiulotteinen ja kasvua tapahtuu suurin piirtein yhtä paljon jokaiseen suuntaan. Oletetaan, että vauva on syntyessään 52 cm pitkä ja painaa 4,0 kilogrammaa.

10.1. Arvioi vauvan painoa tällä menetelmällä, kun vauvan pituus on 55, 60, 65 ja 70 cm.

10.2. Piirrä kuvaaja, josta ilmenevät syntymämitat ja kohdassa 10.1. lasketut tiedot.

10.3. Voiko samaa arviointitapaa käyttää aikuiseksi asti? Valota esimerkeillä ja perustele, miksi uskot menetelmän toimivan tai olevan toimimatta.

[Lyhyt matematiikka, kevät 2018, tehtävä 5.]

Mene YLE:n Abitreenien-sivulle ja etsi ja tee ylioppilastutkinnon lyhyen matematiikan kevään 2018 kokeen tehtävä 5.

[Lyhyt matematiikka, syksy 2017, tehtävä 6.]

Suomalaisen liigajoukkueen johto pohtii vuotuisen päätapahtumansa lippujen hinnoittelua. Aikaisempien vuosien perusteella he arvioivat, että katsojia tulee 3 000, jos lipun hinta on 15 euroa. Jokaista yhden euron hinnankorotusta kohti katsojien määrä vähenee sadalla, ja vastaavasti yhden euron hinnanalennuksesta katsojamäärä kasvaa sadalla. Millä lipun hinnalla saadaan suurimmat lipputulot? Kuinka paljon lipputuloja tällöin saadaan? Anna vastaukset yhden sentin tarkkuudella.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä seuraavat tehtävät.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Tee alla oleva tehtävä sekä laskennallisesti B-osan tapaan Nspiren muistiinpanot-sovelluksella että Geogebralla sovittamalla aineistoon sopivat mallit.

1. Teslan Y-mallin sähköautoja rekisteröitiin Suomessa uutena vuoden 2023 helmikuussa 291 kappaletta ja kesäkuussa 677 kappaletta. Muodosta myynnin määrää kuvaava malli (funktio), missä $x$ on aika kuukausina vuodenvaihteesta alkaen, kun myynnin oletetaan kasvavan vuoden 2023 aikana

  1. lineaarisesti
  2. eksponentiaalisesti.

Arvioi mallin avulla joulukuussa myytävien autojen määrä molemmissa tapauksissa.

    3. a)- ja b) -kohdat Geogebralla