Kisallioppiminen.fi Logo

Kisallioppiminen.fi MAA4 - Vektorit

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Kurssin etusivu

Vektoreilla voidaan mallintaa hyvin monenlaisia asioita. Fysiikassa niiden avulla kuvataan suureita, joilla on suuruus ja suunta. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi nopeus, kiihtyvyys, voima, sähkökentän voimakkuus ja magneettivuon tiheys. Vektoreiden ja niihin liittyvän matematiikan avulla voidaan myös mallintaa ja ratkaista esimerkiksi taloustieteeseen tai ekologiaan liittyviä kysymyksiä, analysoida virtapiirejä sekä tasapainottaa kemiallisia reaktioyhtälöitä.

Vektorit ovat merkittävässä roolissa nykyään käytettävässä tekniikassa: niitä hyödynnetään esimerkiksi GPS-paikannuksessa, tietokonegrafiikassa, digitaalisten kuvien pakkaamisessa, robotiikassa ja hakukoneissa kuten Googlessa. Arkielämässä vektoreihin liittyvää matematiikkaa piilee myös erilaisissa koodeissa, joiden avulla tietoa välitetään tai tallennetaan. Tällaisia koodeja ovat esimerkiksi tuotteiden viivakoodit, kirjojen ISBN-numerot sekä nollista ja ykkösistä muodostuvat koodit, joita voidaan käyttää vaikkapa tiedonsiirtoon puhelimen ja tukiaseman välillä tai elokuvan tallentamiseen DVD-levylle.

Tällä kurssilla opiskellaan vektoreihin liittyvän matematiikan perusteita, jotka ovat tarpeen kaikissa vektoreiden matematiikan sovelluksissa. Tervetuloa matkalle vektorien maailmaan!

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
  • osaa tutkia kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla
  • ymmärtää yhtälöryhmän ratkaisemisen periaatteen
  • osaa tutkia kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä vektoreiden tutkimisessa sekä suoriin ja tasoihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

  • vektoreiden perusominaisuudet
  • vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla
  • koordinaatiston vektoreiden skalaaritulo
  • yhtälöryhmän ratkaiseminen
  • suorat ja tasot avaruudessa

Kurssimateriaali on jaettu neljään lukuun: Vektorit ja $xy$-koordinaatisto, Vektorit ja $xyz$-koordinaatisto, Suorat ja tasot sekä Geometriaa vektoreiden avulla. Aikatauluhahmotelma on, että ensimmäiseen lukuun käytetään noin kaksi viikkoa, toiseen lukuun noin viikko, kolmanteen lukuun eli suoriin ja tasoihin noin kaksi viikkoa ja viimeiseen lukuun noin viikko.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Näin ollen se on kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja voi haluta pitää yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia.

Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Vektorit ja $xy$-koordinaatisto

Tämän luvun tavoitteena on, että tiedät, millaisia $xy$-koordinaatiston vektorit ovat. Osaat

  • ilmaista $xy$-koordinaatistoon piirretyn vektorin vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla
  • määrittää $xy$-koordinaatiston pisteen paikkavektorin
  • määrittää vektoreiden summan ja erotuksen piirtämällä
  • laskea vektoreiden summan, erotuksen ja pistetulon
  • kertoa vektorin reaaliluvulla ja tiedät, miten se vaikuttaa vektorin pituuteen ja suuntaan
  • määrittää kahden pisteen välisen vektorin
  • laskea vektorin pituuden
  • määrittää vektoreiden välisen kulman pistetulon avulla.
Tavoitteiden toteutumista pääset arvioimaan luvun lopussa olevan itsearviointitestin avulla.

Tutki alla olevaa kuvaa. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää siirtyä

  1. $x$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $S$?
  2. $y$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $S$?
  3. $x$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $Q$?
  4. $y$-akselin suunnassa, jotta päästään origosta $O$ pisteeseen $Q$?
Miten voisit merkitä sitä, että pisteen $Q$ tapauksessa siirrytään $y$-akselin suunnassa alaspäin eikä ylöspäin?

  1. kaksi askelta oikealle
  2. kolme askelta ylöspäin
  3. kolme askelta oikealle
  4. yksi askel alaspäin.

Tason piste ilmoitetaan lukuparina $(x,y)$. Ensimmäinen luku $x$ kertoo, missä piste sijaitsee $x$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Toinen luku $y$ kertoo vastaavasti, missä piste sijaitsee $y$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Näitä lukuja kutsutaan pisteen koordinaateiksi.

Esimerkiksi alla olevan kuvan pisteeseen $R$ päästään siirtymällä origosta neljä yksikköä $x$-akselin positiiviseen suuntaan ja kaksi yksikköä $y$-akselin positiiviseen suuntaan. Pistettä $R$ merkitään siis $R=(4,2)$. Pistettä $P$ merkitään puolestaan $P=(-3,1)$.

  1. Piirrä koordinaatisto ja merkitse siihen pisteet $(1,2)$, $(1,-4)$ ja $(1,3)$.
  2. Merkitse koordinaatistoon kolme uutta pistettä, jotka ovat muotoa $(1,y)$, missä $y$ on kokonaisluku.
  3. Merkitse koordinaatistoon kaikki sellaiset pisteet, jotka ovat muotoa $(1,y)$. Millainen kuvio syntyy?

Koordinaattiakselit jakavat tason neljään osaan. Osat nimetään yleensä järjestysnumeroilla I, II, III ja IV kuten alla olevassa kuvassa. Koordinaattiakselien leikkauspistettä kutsutaan origoksi ja merkitään yleensä kirjaimella $O$.

Valitse koordinaatiston jokaiselta neljännekseltä jokin piste ja ilmoita sen koordinaatit. Miten eri neljännekset vaikuttavat pisteiden $x$- ja $y$-koordinaattien etumerkkeihin?

Alla olevassa kuvassa näkyvät vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$. Ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja yhden yksikön pituisia.

Muut vektorit voidaan esittää vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa vektori $\bar{u}$ on esitetty vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.

Kuvasta nähdään, että vektorin $\bar{u}$ alkupisteestä päästään sen loppupisteeseen siirtymällä kaksi yksikköä $x$-akselin negatiiviseen suuntaan ja neljä yksikköä $y$-akselin positiiviseen suuntaan. Vektori $\bar{u}$ voidaan siis ilmoittaa vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla muodossa $\bar{u} = -2\bar{\imath} + 4\bar{\jmath}$.

Ilmoita yllä olevassa kuvassa näkyvät vektorit $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.

$\vv = 3\vi + 2\vj$, $\vw = 2\vi - \vj$

Koordinaatistossa olevia nuolia kutsutaan siis vektoreiksi. Vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ ovat erityisiä, sillä ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja yhden yksikön pituisia. Niiden avulla voidaan ilmaista kaikki $xy$-koordinaatiston vektorit.

  1. Ilmoita kaikki kuvassa näkyvät vektorit vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.
  2. Selitä omin sanoin, mitä huomaat.

MÄÄRITELMÄ: VEKTOREIDEN SAMUUS

Kaksi vektoria ovat samat, jos ja vain jos ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Tarkemmin sanottuna vektorit $\vv = x_1\vi + y_1\vj$ ja $\vw = x_2\vi + y_2\vj$ ovat samat eli $\vv = \vw$, jos ja vain jos $x_1 = x_2$ ja $y_1 = y_2$.

Kuten edellisessä tehtävässä huomataan, vektoreiden samuus tarkoittaa siis sitä, että ne ovat saman pituisia ja osoittavat samaan suuntaan — niiden paikalla koordinaatistossa ei ole merkitystä.

  1. Ilmoita kaikki kuvassa näkyvät vektorit vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.
  2. Vertaa a-kohdan tuloksia vektoreiden loppupisteiden koordinaatteihin. Kerro havaintosi omin sanoin.

MÄÄRITELMÄ: PAIKKAVEKTORI

Vektori, joka lähtee origosta ja joka loppuu pisteeseen $P$, on pisteen $P$ paikkavektori. Pisteen $P$ paikkavektoria voidaan merkitä $\pv{OP}$.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa oleva vektori $\bar{v}=4\bar{\imath} + 3\bar{\jmath}$ on siis pisteen $(4,3)$ paikkavektori.

  1. Ilmoita alla olevan kuvan vektori $\bar{w}$ vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Minkä pisteen paikkavektori se on?
  2. Ilmoita vektori $\bar{u}$ vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Minkä pisteen paikkavektori se on?
  3. Minkä pisteiden paikkavektoreita vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ ovat?
  4. Mikä on origon paikkavektori?

  1. $\vw = -2\vi-3\vj$ on pisteen $(-2,-3)$ paikkavektori.
  2. $\vu = -5\vi+\vj$ on pisteen $(-5,1)$ paikkavektori
  3. Pisteiden $(1,0)$ ja $(0,1)$.
  4. $0\vi + 0\vj$

  1. Ilmaise pisteiden $A = (9,-7)$ ja $B = (-3,8)$ paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Tiedetään, että $\pv{OP} = -4\vi-6\vj$ ja $\pv{OS} = 23\vi-78\vj$. Päättele, mitkä ovat pisteiden $P$ ja $S$ koordinaatit.

  1. $\pv{OA} = 9\vi - 7\vj$, $\pv{OB} = -3\vi + 8\vj$
  2. $P = (-4,-6)$ ja $S = (23,-78)$

MÄÄRITELMÄ: NOLLAVEKTORI

Vektoria $0\bar{\imath} + 0\bar{\jmath}$ sanotaan nollavektoriksi ja merkitään $\bar{0}$.

Nollavektori $\bar{0}$ on siis vektori, jonka alkupiste ja loppupiste ovat samat. Nollavektori on origon eli pisteen $(0,0)$ paikkavektori.

Tarkastellaan vielä alla olevaa kuvaa. Siinä piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$. Tämä nähdään siitä, että janan $AP$ pituus on 2 ja janan $PB$ pituus on 6. Näiden pituuksien suhde on $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$ Koko jana $AB$ muodostuu siis neljästä yhtä pitkästä osasta. Jana $AP$ on yhden osan pituinen ja jana $PB$ on kolmen osan pituinen.

Päättele alla olevan kuvan avulla pisteen $P$ paikkavektori, jos tiedetään, että piste $P$ jakaa janan $AB$

  1. suhteessa 4:1
  2. suhteessa 2:3.

  1. $P = (1,0)$
  2. $P = (-1,2)$

Edellä opittiin ilmaisemaan $xy$-koordinaatiston vektoreita vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan vektori $\bar{v}$ on vektoreiden $2\bar{\imath}$ ja $4\bar{\jmath}$ summa eli $\bar{v} = 2\bar{\imath} + 4\bar{\jmath}$.

Yhteenlaskettavia $2\bar{\imath}$ ja $4\bar{\jmath}$ sanotaan vektorin $\bar{v}$ komponenteiksi. Esimerkiksi vektorin $\bar{u}=-7\bar{\imath}-3\bar{\jmath}$ komponentit ovat vektorit $-7\bar{\imath}$ ja $-3\bar{\jmath}$. Myöhemmin opitaan jakamaan $xy$-tason vektoreita myös muihin kuin koordinaattiakselien suuntaisiin komponentteihin.

Seuraavaksi sovitaan, miten lasketaan minkä tahansa vektoreiden summa. Se tehdään laskemalla vektorit komponenteittain yhteen.

MÄÄRITELMÄ: SUMMA

Vektoreiden $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ summa $\bar{v} + \bar{w}$ saadaan laskemalla vektorit komponenteittain yhteen.

Esimerkiksi alla olevan kuvan vektoreiden $\bar{v}=\bar{\imath}+\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}$ ja $\bar{w} = \textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}$ summa saadaan laskemalla yhteen $x$-akselin suuntaiset komponentit: $$ \bar{\imath} + \textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath} = \textcolor{darkgreen}{5}\bar{\imath} $$ sekä $y$-akselin suuntaiset komponentit: $$ \textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}+(\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath})=\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}=\textcolor{blue}{-}\bar{\jmath}. $$ Vektoreiden $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ summaksi saadaan siis \begin{align*} \bar{v} + \bar{w} &=(\bar{\imath}+\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}) + (\textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}) \\ &= (\textcolor{darkgreen}{1+4})\bar{\imath} + (\textcolor{blue}{2+(-3)})\bar{\jmath} \\ &= \textcolor{darkgreen}{5}\bar{\imath} \textcolor{blue}{-} \bar{\jmath}. \end{align*}

Tutki vektoreita $\bar{v}=-3\bar{\imath}-4\bar{\jmath}$, $\bar{w}=9\bar{\imath}-5\bar{\jmath}$ ja $\bar{u}=-2\bar{\imath}+7\bar{\jmath}$. Laske seuraavat summat:

  1. $\bar{v}+\bar{w}$
  2. $\bar{w}+\bar{u}$
  3. $\bar{v}+\bar{u}$.

  1. $6\vi - 9\vj$
  2. $7\vi + 2\vj$
  3. $-5\vi + 3\vj$

Tutki vektoreita $\bar{v}=2\bar{\imath}+2\bar{\jmath}$ ja $\bar{w}=\bar{\imath}+3\bar{\jmath}$.

  1. Piirrä vektori $\bar{v}$ koordinaatistoon.
  2. Piirrä vektori $\bar{w}$ koordinaatistoon siten, että se alkaa vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä.
  3. Laske summa $\bar{v}+\bar{w}$.
  4. Piirrä summavektori $\bar{v}+\bar{w}$ koordinaatistoon siten, että se alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä.
  5. Kerro omin sanoin, mitä havaitset edellisistä kohdista.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Siinä vektorit $\bar{a}=3\bar{\imath}+5\bar{\jmath}$ ja $\bar{b}=4\bar{\imath}-2\bar{\jmath}$ on piirretty peräkkäin niin, että vektori $\bar{b}$ alkaa vektorin $\bar{a}$ loppupisteestä. Vektoreiden $\bar{a}$ ja $\bar{b}$ summa on komponenteittain laskettuna \begin{align*} \bar{a}+\bar{b} &= (\textcolor{darkgreen}{3}\bar{\imath}+\textcolor{blue}{5}\bar{\jmath})+(\textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-2}\bar{\jmath}) \\ &= (\textcolor{darkgreen}{3+4})\bar{\imath}+(\textcolor{blue}{5+(-2)})\bar{\jmath} \\ &= \textcolor{darkgreen}{7}\bar{\imath}+\textcolor{blue}{3}\bar{\jmath}. \end{align*} Saatu summavektori alkaa vektorin $\bar{a}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{b}$ loppupisteeseen. Tämä ilmiö on seuraus yhteenlaskun suorittamisesta komponenteittain.

Summavektorin $\bar{a}+\bar{b}$ voi määrittää piirtämällä samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa: piirretään vektori $\bar{a}$ ja piirretään sen perään vektori $\bar{b}$ niin, että se alkaa vektorin $\bar{a}$ loppupisteestä. Summavektori $\bar{a}+\bar{b}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{a}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{b}$ loppupisteeseen.

Tutki vektoreita $\bar{v}=-2\bar{\imath}+\bar{\jmath}$ ja $\bar{w}=4\bar{\imath}+4\bar{\jmath}$.

  1. Piirrä summavektori $\vv+\vw$ koordinaatistoon vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ avulla.
  2. Päättele piirroksestasi, miten summa $\vv+\vw$ voidaan ilmaista vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  3. Tarkista b-kohdassa saamasi tulos laskemalla yhteen vektorit $\vv$ ja $\vw$ komponenteittain.

Tutki vektoreita $\vu=i+2\vj$, $\vv=-3i+j$ ja $\vw=3i-5j$. Piirrä seuraavat summavektorit koordinaatistoon vektoreiden $\vu, \vv$ ja $\vw$ avulla:

  1. $\vw+\vu+\vv$
  2. $\vv+\vw+\vu$
  3. $\vu+\vv+\vw$.
Vertaa tuloksia. Kerro omin sanoin, mitä huomaat.

Edellisen tehtävän tulos on yksi osoitus siitä, että vektoreiden yhteenlaskun järjestyksellä ei ole merkitystä lopputuloksen kannalta. Vektoreiden yhteenlasku on siis vaihdannainen operaatio. Tämä näkyy myös alla olevassa kuvassa: vektori $4\vj+2\vi$ on sama kuin vektori $2\vi+4\vj$.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Vektori $\va$ voidaan ilmaista vektorin $\vj$ avulla muodossa $5\vj$. Vektori $\va$ saadaan siis kertomalla vektoria $\vj$ luvulla $5$. Sanotaan, että vektori $\va$ on vektorin $\vj$ skalaarimonikerta.

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN KERTOMINEN REAALILUVULLA

Vektorin $\vv$ skalaarimonikerta $r\vv$ saadaan kertomalla vektorin $\vv$ komponentit reaaliluvulla $r$.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Kerrotaan vektori $\vv=-4\vi+3\vj$ luvulla $2$. Se tehdään kertomalla vektorin molemmat komponentit kahdella. Koska $2\cdot (-4\vi)=-8\vi$ ja $2\cdot 3\vj=6\vj$, niin tulokseksi saadaan $2\vv=-8\vi + 6 \vj$.

Tutki vektoria $\va=-\vi+2\vj$.

  1. Ilmoita vektorit $2\va$, $3\va$ ja $-1\va$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Piirrä vektorit $2\va$, $3\va$ ja $-1\va$ koordinaatistoon.
  3. Selitä omin sanoin, miten reaaliluvulla kertominen vaikuttaa vektoriin.

  1. $2\va = -2\vi+4\vj$, $\quad3\va = -3\vi+6\vj\quad$ ja $\quad-1\va = \vi-2\vj$

  1. Piirrä koordinaatistoon vektorit $\va=\vi+2\vj$ ja $\vb=2\vi+4\vj$.
  2. Miten voisit ilmaista vektorin $\vb$ vektorin $\va$ avulla?

  1. $\vb = 2\va$

MÄÄRITELMÄ: VASTAVEKTORI

Vektori $-1\vv$ on vektorin $\vv$ vastavektori. Sitä merkitään $-\vv$.

Alla on näkyvissä eräs vektori $\vv$ ja sen vastavektori $-\vv$.

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Ilmaise kaikki kuvassa näkyvät vektorit vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Mitkä näistä vektoreista ovat toistensa vastavektoreita?

  1. $\va = 2\vi - 4\vj$, $\quad\vb = -2\vi + \vj$, $\quad\vc = \vi+ 5\vj$, $\quad\bar{d} = -2\vi + 3\vj$, $\quad\bar{e} = 2\vi - \vj$, $\quad\vv = -\vi - 6\vj$, $\quad\vw = -\vi - 5\vj$, $\quad\vu = -2\vi +2\vj$
  2. $\vb = -\bar{e}$, $\quad\vc = -\vw$

MÄÄRITELMÄ: EROTUS

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ erotus $\vv-\vw$ saadaan lisäämällä vektoriin $\vv$ vastavektori $-\vw$.

Palautetaan mieleen, että summan $\bar{v}+\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä seuraavasti: piirretään vektori $\bar{v}$ ja piirretään sen perään vektori $\bar{w}$ alkamaan vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä. Summa $\bar{v}+\bar{w}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{w}$ loppupisteeseen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Erotuksen $\bar{v}-\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä samaan tapaan vektoreiden $\vv$ ja $-\vw$ avulla. Piirretään vektori $\bar{v}$ ja piirretään sen perään vastavektori $-\bar{w}$ alkamaan vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä. Erotus $\bar{v}-\bar{w}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $-\bar{w}$ loppupisteeseen.

Vektoreiden erotus lasketaan samaan tapaan komponenteittain kuin summakin. Esimerkiksi yllä olevan kuvan vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ erotus on \begin{align*} \vv-\vw &=2\vi+2\vj-(2\vi - 3\vj) \\ &=2\vi+2\vj-2\vi + 3\vj \\ &=0\vi + 5\vj \\ &=5\vj. \end{align*}

Tutki vektoreita $\va=-3\vi+4\vj$ ja $\vb=5\vi+2\vj$.

  1. Laske erotus $\va-\vb$.
  2. Määritä erotus $\va-\vb$ piirtämällä vektoreiden $\va$ ja $-\vb$ avulla.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Ovatko ne sopusoinnussa keskenään?

  1. $-8\vi + 2\vj$

Edellä tutustuttiin paikkavektorin käsitteeseen: pisteen $P$ paikkavektori $\pv{OP}$ tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on origo $O$ ja loppupiste on piste $P$. Myös muita vektoreita voidaan merkitä samaan tapaan alkupisteen ja loppupisteen avulla. Merkintä $\pv{AB}$ tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on $A$ ja loppupiste on $B$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa $\pv{AB} = 4\vi + 2\vj$ ja $\pv{RS} = \vi - 3\vj$. Lisäksi havaitaan, että vektori $\pv{CD}$ on sama kuin vektori $\pv{AB}$ eli $\pv{CD} = \pv{AB}$, sillä ne voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Muodosta pisteiden $A$ ja $B$ paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$.
  2. Millä laskutoimituksella saat niistä muodostettua vektorin $\pv{AB}$?
  3. Muodosta pisteiden $C$ ja $D$ paikkavektorit $\pv{OC}$ ja $\pv{OD}$.
  4. Millä laskutoimituksella saat niistä muodostettua vektorin $\pv{CD}$?

  1. $\pv{OA} = \vi + 3\vj$ ja $\pv{OB} = 4\vi + \vj$
  2. $\pv{OC} = -3\vi - \vj$ ja $\pv{OD} = -2\vi + 4\vj$

Kuten edellisessä tehtävässä huomataan, vektori $\pv{AB}$ saadaan muodostettua paikkavektoreiden $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ avulla. Tätä varten täytyy etsiä reitti vektorin $\pv{AB}$ alkupisteestä sen loppupisteeseen. Alkupisteestä $A$ päästään origoon paikkavektorin vastavektorilla $-\pv{OA}$. Origosta päästään pisteeseen $B$ paikkavektorilla $\pv{OB}$. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Vektori $\pv{AB}$ saadaan siis laskemalla yhteen vektorit $-\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$. Toisin sanottuna $$\pv{AB} = -\pv{OA}+\pv{OB}$$ eli $$\pv{AB} = \pv{OB}-\pv{OA}.$$ Yllä olevan kuvan tilanteessa $$ \begin{align*} \pv{AB} &= (3\vi + 3\vj)-(-3\vi + \vj)\\ &=6\vi + 4\vj. \end{align*} $$

Merkitään $A = (-4,1)$ ja $B = (2,-3)$.

  1. Ilmaise paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Määritä vektori $\pv{AB}$ käyttäen hyväksi a-kohdan tuloksia.
  3. Miten vektorin $\pv{AB}$ voisi päätellä suoraan pisteiden $A$ ja $B$ koordinaateista? Selitä omin sanoin.

  1. $\pv{OA} = -4\vi + \vj$ ja $\pv{OB} = 2\vi - 3\vj$
  2. $\pv{AB} = 6\vi - 4\vj$

Tiedetään, että pisteen paikkavektoreissa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat samat kuin pisteen koordinaatit. Tämän vuoksi kahden pisteen välisessä vektorissa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimiksi saadaan vektorin loppupisteen ja alkupisteen koordinaattien erotus. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Merkitään $A = (-12,17)$, $B = (35,11)$, $C = (26,-29)$, $D = (-14,36)$, $E = (10,43)$ ja $F = (58,13)$.

  1. Ilmaise vektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tarkista tulosten järkevyys hahmottelemalla mallikuva tilanteesta.
  2. Ilmaise vektorit $\pv{DA}$ ja $\pv{EF}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tarkista tulosten järkevyys hahmottelemalla mallikuva tilanteesta.

  1. $\pv{AB} = 47\vi - 6\vj$ ja $\pv{CD} = -40\vi + 65\vj$
  2. $\pv{DA} = 2\vi - 19\vj$ ja $\pv{EF} = 48\vi-30\vj$

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden suuntia. Alla olevan kuvan vektorit $\va$ ja $\vv$ ovat samansuuntaiset. Myös esimerkiksi vektorit $-\va$ ja $\vu$ ovat samansuuntaiset. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla $\va \upuparrows \vv$ ja $-\va \upuparrows \vu$.

Vektorit $-3\va$ ja $\vw$ ovat puolestaan vastakkaissuuntaiset. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla $-3\va \uparrow\downarrow \vw$.

Vektorit, jotka ovat joko saman- tai vastakkaisuuntaiset, ovat yhdensuuntaiset. Kaikki alla olevan kuvan vektorit ovat yhdensuuntaisia. Esimerkiksi vektorit $\va$ ja $-3\va$ ovat yhdensuuntaiset, mikä voidaan merkitä kirjoittamalla $\va \parallel -3\va$.

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Kirjoita vastauksesi käyttäen yllä esiteltyjä merkintöjä $\upuparrows$ ja $\uparrow\downarrow$.

  1. Mitkä vektorit ovat samansuuntaisia?
  2. Mitkä vektorit ovat vastakkaissuuntaisia?
  3. Mitkä vektorit eivät ole yhdensuuntaisia minkään muun kuvassa näkyvän vektorin kanssa?

  1. $\va$ ja $\vb$; $\quad 3\vj$ ja $4\vj$
  2. $\va$ ja $\bar{e}$; $\quad \vb$ ja $\bar{e}$; $\quad \vc$ ja $\vw$; $\quad \vu$ ja $\vv$; $\quad -3vi$ ja $8\vi$; $\quad -2\vj$ ja $3\vj$; $\quad -2\vj$ ja $4\vj$
  3. $\bar{d}$

  1. Millaisella luvulla kertominen säilyttää vektorin suunnan?
  2. Millaisella luvulla vektoria pitää kertoa, jotta sen suunta muuttuu vastakkaiseksi?

MÄÄRITELMÄ: YHDENSUUNTAISUUS

Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaiset eli $\vv \parallel \vw$, jos ja vain jos $\vv=r\vw$ jollakin reaaliluvulla $r \neq 0$.

Esimerkiksi vektorit $\va=4\vi+6\vj$ ja $\vb=-2\vi-3\vj$ ovat yhdensuuntaiset, sillä \begin{align*} \va &=4\vi+6\vj \\ &=-2(-2\vi-3\vj) \\ &=-2\vb. \end{align*} Yllä vektoreiden yhdensuuntaisuus osoitettiin muokkaamalla vektoria $\va$ niin, että se saatiin ilmoitettua vektorin $\vb$ skalaarimonikertana eli muodossa $t\vb$, missä $t \in \R$. Toinen tapa tutkia vektoreiden yhdensuuntaisuutta on muodostaa yhtälö $\va=t\vb$ ja tutkia, toteutuuko tämä yhtälö jollakin luvulla $t \neq 0$. Jos ratkaisu löytyy, vektorit ovat yhdensuuntaiset. Esimerkiksi edellisessä tilanteessa ratkaisu on $t = -2$. Jos ratkaisua ei löydy, niin vektorit eivät ole yhdensuuntaiset.

Tarkastele vektoria $\vv=-5\vi-5\vj$.

  1. Muodosta kaksi uutta vektoria, jotka ovat vektorin $\vv$ kanssa yhdensuuntaisia.
  2. Onko vektori $\vw=\vi+\vj$ yhdensuuntainen vektorin $\vv$ kanssa?
  3. Onko vektori $\vu=\vi+2\vj$ yhdensuuntainen vektorin $\vv$ kanssa?

Vektorin pituus saadaan laskettua Pythagoraan lauseen avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa vektorin $\va$ pituus $\left|\va\right|$ saadaan yhtälöstä $$ \left|\va\right|^2 = 2^2 + 3^2. $$ Vektorin $\va$ pituudeksi saadaan siis $$ \left|\va\right| = \sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \approx 3{,}6. $$

Koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia, voidaan vektorin pituus määritellä seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN PITUUS

Vektorin $\vv=x\vi+y\vj$ pituus on $$|\vv|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Huomaa, että merkintä $|\vv|$ tarkoittaa vektorin $\vv$ pituutta, kun taas merkintä $|x|$ tarkoittaa luvun $x$ itseisarvoa.

Tutki kuvassa näkyvää vektoria $\va$.

  1. Lausu vektori $\va$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Laske vektorin $\va$ pituus.

  1. $\va = -8\vi - 5\vj$
  2. $|\va| = \sqrt{89} \approx 9{,}4$

Laske tai päättele vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ pituus.

Piirrä vektorit $\vv = -2\vi + 5\vj$ ja $\vw = 7\vi - 4\vj$ koordinaatistoon ja laske niiden pituus.

$|\vv| = \sqrt{29}$ ja $|\vw| = \sqrt{65}$

TEOREEMA

Kaksi vektoria ovat samat, jos ja vain jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät.

Perustelu:

  • Se, että kaksi vektoria ovat samat, tarkoittaa, että ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tällöin ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät.
  • Jos vektorit ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät, ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Tämä tarkoittaa, että ne ovat samat.

Tutki vektoria $\vv=6\vi+3\vj$.

  1. Muodosta vektorit $5\vv$, $-2\vv$ ja $\frac{1}{3}\vv$.
  2. Laske vektoreiden $\vv$, $5\vv$, $-2\vv$ ja $\frac{1}{3}\vv$ pituudet.
  3. Selitä omin sanoin, miten vektorin kertominen luvulla vaikuttaa vektorin pituuteen.
  4. Millaisella luvulla vektoria tulee kertoa, jotta se pitenee?
  5. Millaisella luvulla vektoria tulee kertoa, jotta se lyhenee?

  1. $5\vv=30\vi+15\vj$, $-2\vv=-12\vi-6\vj$, $\frac{1}{3}\vv=2\vi+\vj$
  2. $|\vv| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, $|5\vv| = 15\sqrt{5}$, $|-2\vv| = 6\sqrt{5}$, $|\frac{1}{3}\vv| = \sqrt{5}$

Tarkastellaan alla olevan kuvan vektoreiden $\va=2\vi+\vj$ ja $-4\va=-8\vi-4\vj$ pituuksia. Huomataan, että vektorin $\va$ pituus on $$ \begin{align*} |\va|&=\sqrt{2^2+1^2} \\ &= \sqrt{4+1} \\ &=\sqrt{5} \end{align*} $$ ja vektorin $-4\va$ pituus on $$ \begin{align*} |-4\va|&=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2} \\ &= \sqrt{64+16} \\ &=\sqrt{80} \\ &= \sqrt{16\cdot 5} \\ &=\sqrt{16} \cdot \sqrt{5} \\ &=4\sqrt{5} \\ &=4\cdot |\va|\\ &=|-4|\cdot |\va|. \end{align*} $$

Voidaan näyttää, että tämä pätee kaikille vektoreille: Vektorin $t\vv$ pituus $|t\vv|$ saadaan kertomalla vektorin $\vv$ pituutta luvun $t$ itseisarvolla. Tämä teoreema perustellaan myöhemmin $xyz$-koordinaatistoa käsittelevässä luvussa.

TEOREEMA

Kaikilla vektoreilla $\vv$ ja reaaliluvuilla $t$ pätee, että $$|t\vv|=|t|\cdot |\vv|.$$

 

MÄÄRITELMÄ: YKSIKKÖVEKTORI

Vektoria, jonka pituus on $1$, sanotaan yksikkövektoriksi.

Tehtävän 25 mukaan vektorit $\vi$ ja $\vj$ ovat yksikkövektoreita, sillä niiden pituus on $1$. Niiden lisäksi on paljon muitakin yksikkövektoreita. Perehdytään seuraavaksi siihen, miten voidaan määrittää annetun vektorin suuntainen yksikkövektori.

Tarkastellaan alla olevan kuvan vektoria $\vv = 8\vi + 6\vj$. Sen pituudeksi saadaan $$ \begin{align*} |\vv| &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10. \end{align*} $$ Vektorin $\vv$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori saadaan ottamalla siitä kymmenesosa, eli $$ \begin{align*} \frac{1}{10}\vv &= \frac{1}{10}(8\vi + 6\vj) \\ &= 0{,}8\vi + 0{,}6\vj \end{align*} $$

Tutki vektoria $\vb = 3\vi - 4\vj$.

  1. Laske vektorin $\vb$ pituus.
  2. Määritä vektorin $\vb$ kanssa samansuuntainen vektori, jonka pituus on $10$. Piirrä se koordinaatistoon.
  3. Määritä vektorin $\vb$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori eli vektori, joka pituus on $1$. Piirrä se koordinaatistoon.
  4. Määritä vektorin $\vb$ kanssa vastakkaissuuntainen yksikkövektori. Piirrä se koordinaatistoon.

  1. $|\vb| = 5$
  2. $2\vb = 6\vi - 8\vj$
  3. $\frac{1}{5}\vb = \frac{3}{5}\vi - \frac{4}{5}\vj$
  4. $-\frac{1}{5}\vb = -\frac{3}{5}\vi + \frac{4}{5}\vj$

Edellä opittiin ilmaisemaan $xy$-tason vektoreita vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $\va = 6\vi + 3\vj$. Yhteenlaskettavia $6\vi$ ja $3\vj$ kutsutaan vektorin $\va$ komponenteiksi.

Vektori $\va$ voidaan jakaa komponentteihin muillakin tavoilla. Alla olevasta kuvasta nähdään, että vektori $\va$ voidaan kirjoittaa myös muodossa $\va = 5\vv + 4\vw$, missä $\vv = 2\vi-\vj$ ja $\vw = -\vi+2\vj$. Sanotaan, että $5\vv$ ja $4\vw$ ovat vektorin $\va$ vektorien $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

 

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN KOMPONENTIT

Oletetaan, että $\vv$ ja $\vw$ ovat kaksi vektoria, joista kumpikaan ei ole nollavektori. Oletetaan lisäksi, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ eivät ole yhdensuuntaiset.
Jos vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $$\va = s\vv + t\vw$$ missä $s$ ja $t$ ovat reaalilukuja, niin sanotaan, että $s\vv$ ja $t\vw$ ovat vektorin $\va$ vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

Jaa vektori $\va = 6\vi + 3\vj$ vektoreiden $\vb$ ja $\vc$ suuntaisiin komponentteihin kuvan avulla päättelemällä,

  1. jos $\vb = \vi + 2\vj$ ja $\vc = \vi-\vj$.
  2. jos $\vb = \vi - 2\vj$ ja $\vc = \vi+\vj$.
Piirrä molemmissa tapauksissa komponenttivektorit näkyviin ja ilmaise ne vektorien $\vb$ ja $\vc$ avulla.

  1. $\va = 3\vb + 3\vc$, joten kysytyt komponenttivektorit ovat $3\vb$ ja $3\vc$
  2. $\va = \vb + 5\vc$, joten kysytyt komponenttivektorit ovat $\vb$ ja $5\vc$

MÄÄRITELMÄ: PISTETULO

Vektoreiden $\vv=x_1\vi+y_1\vj$ ja $\vw=x_2\vi+y_2\vj$ pistetulo on $$\vv \cdot \vw = x_1x_2+y_1y_2.$$

Vektoreiden pistetulosta saadaan siis tuloksena aina reaaliluku. Esimerkiksi vektoreiden $\vv=-2\vi+4\vj$ ja $\vw=3\vi-\vj$ pistetulo on \begin{align*} \vv \cdot \vw &= (-2\vi+4\vj) \cdot (3\vi-\vj) \\ &= (-2) \cdot 3 + 4\cdot (-1) \\ &= -6-4 \\ &=-10. \end{align*} Reaalilukuja voidaan kutsua skalaareiksi, minkä vuoksi pistetuloa kutsutaan joskus skalaarituloksi.

Tarkaste vektoreita $\va=7\vi+6\vj$, $\vb=3\vi-5\vj$ ja $\vc=5\vi+3\vj$.

  1. Piirrä vektorit $\va$, $\vb$ ja $\vc$ koordinaatistoon niin, että ne alkavat samasta pisteestä.
  2. Laske pistetulo $\va \cdot \vb$.
  3. Laske pistetulo $\va \cdot \vc$.
  4. Laske pistetulo $\vb \cdot \vc$.
  5. Millaisessa tilanteessa vektoreiden pistetulo on nolla? Vertaa edellisten laskujen tuloksia ja piirtämääsi kuvaa.

  1. $\va \cdot \vb = -9$
  2. $\va \cdot \vc = 53$
  3. $\vb \cdot \vc = 0$

Tarkastele vektoreita $\va=-11\vi+5\vj$, $\vb=-4\vi-7\vj$ ja $\vc=3\vi-9\vj$ sekä reaalilukua $t=3$.

  1. Laske pistetulot $\va \cdot \vb$ ja $\va \cdot \vc$.
  2. Laske pistetulo $\va \cdot (\vb + \vc)$.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?
  4. Laske pistetulot $(t\va) \cdot \vb$ ja $\va \cdot (t\vb)$.
  5. Vertaa a- ja d-kohtien tuloksia. Millaisen ilmiön huomaat?

Pistetulolla voidaan laskea tavallisten laskusääntöjen mukaan. Näitä on koottu alla olevaan teoreemaan.

TEOREEMA

Olkoot $\va$, $\vb$ ja $\vc$ vektoreita ja $t$ reaaliluku. Pistetulolla on seuraavat ominaisuudet:

  1. vaihdannaisuus: $\va \cdot \vb = \vb \cdot \va$
  2. osittelulaki: $\va \cdot (\vb + \vc) =(\va \cdot \vb) + (\va \cdot \vc)$
  3. skalaarin siirto: $t(\va \cdot \vb) =(t\va) \cdot \vb = \va \cdot (t\vb)$

Perustelu: Merkitään $\va = x_1\vi + y_1\vj$ ja $\vb = x_2\vi+y_2\vj$.

  1. Pistetulon määritelmän mukaan $\va \cdot \vb = x_1x_2 + y_1y_2$ ja $\vb \cdot \va = x_2x_1+y_2y_1$. Koska $x_1$ ja $x_2$ sekä $y_1$ ja $y_2$ ovat reaalilukuja, voi niiden järjestyksen kertolaskussa vaihtaa. Siis $x_1x_2 = x_2x_1$ ja $y_1y_2 = y_2y_1$. Tästä seuraa, että $\va \cdot \vb = \vb \cdot \va$.

Ominaisuudet 2. ja 3. voidaan perustella samaan tapaan.

Tarkastele vektoria $\va=-6\vi+8\vj$.

  1. Laske pistetulo $\va \cdot \va$.
  2. Laske vektorin $\va$ pituus.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?

  1. $\va \cdot \va = 100$
  2. $|\va| = 10$

Tarkastele vektoria $\vv=x\vi+y\vj$.

  1. Muodosta lauseke pistetulolle $\vv \cdot \vv$.
  2. Muodosta lauseke vektorin $\vv$ pituudelle $\left|\vv\right|$.
  3. Vertaa a- ja b-kohtien tuloksia. Miten ne liittyvät toisiinsa?

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Vektorin pistetulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin vektorin pituuden neliö. Toisin sanottuna $\vv \cdot \vv = \left|\vv\right|^2$

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden välisen kulman ja pistetulon yhteyttä. Vektoreiden välistä kulmaa voidaan tarkastella, jos vektoreiden alkupisteet ovat samat. Vektoreiden välisellä kulmalla tarkoitetaan muodostuvista kulmista pienempää. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ väliselle kulmalle käytetään merkintää $\sphericalangle(\vv,\vw)$ kuten yllä olevassa kuvassa. Joskus käytetään myös lyhyttä merkintää $(\vv,\vw)$.

Tarkastele yllä olevaa kuvaa.

  1. Kuinka suuri on vektoreiden $\vv$ ja $2\vv$ välinen kulma?
  2. Kuinka suuri on vektoreiden $\vv$ ja $-\vv$ välinen kulma?
  3. Jos vektorit ovat samansuuntaiset, mikä niiden välinen kulma on?
  4. Jos vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, mikä niiden välinen kulma on?

  1. $0^\circ$
  2. $180^\circ$

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Siirrä vektorit tarvittaessa alkamaan samasta pisteestä. Kuinka suuri on vektoreiden

  1. $\va$ ja $\vb$ välinen kulma $\sphericalangle(\va,\vb)$
  2. $\va$ ja $\vc$ välinen kulma $\sphericalangle(\va,\vc)$
  3. $\vb$ ja $\vc$ välinen kulma $\sphericalangle(\vb,\vc)$?

  1. $74^\circ$
  2. $50^\circ$
  3. $124^\circ$

Geometria-kurssista tutun kosinilauseen ja pistetulon ominaisuuksien avulla saadaan perusteltua seuraava teoreema, joka yhdistää pistetulon ja vektoreiden välisen kulman. Teoreema perustellaan myöhemmin $xyz$-koordinaatistoa käsittelevässä luvussa.

TEOREEMA

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetulolle pätee $$\vv \cdot \vw = |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw).$$
Jos $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$, niin vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma $(\vv, \vw)$ saadaan yhtälöstä $$ \cos (\vv, \vw)=\frac{\vv \cdot \vw}{|\vv||\vw|}. $$

Edellisen teoreeman merkintä $\cos(\vv, \vw)$ tarkoittaa siis vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välisen kulman kosinia.

Vektorin $\va$ pituus on $\left|\va\right| = 3$ ja vektorin $\vb$ pituus on $\left|\vb\right| = 7$. Laske edellisen teoreeman avulla pistetulo $\va \cdot \vb$, jos

  1. vektorit $\va$ ja $\vb$ ovat samansuuntaiset.
  2. vektorit $\va$ ja $\vb$ ovat vastakkaissuuntaiset.
  3. vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $45^{\circ}$.
  4. vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $135^{\circ}$.
  5. vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $90^{\circ}$.
Selitä omin sanoin, miten vektoreiden välinen kulma liittyy pistetulon etumerkkiin.

  1. $\va \cdot \vb = 21$
  2. $\va \cdot \vb = -21$
  3. $\va \cdot \vb = \frac{21}{\sqrt{2}} = \frac{21}{2}\sqrt{2}$
  4. $\va \cdot \vb = -\frac{21}{\sqrt{2}} = -\frac{21}{2}\sqrt{2}$
  5. $\va \cdot \vb = 0$

Tarkaste kolmiota $ABC$, missä $\overline{AB}=5\vi-4\vj$ ja $\overline{AC}=9\vi+3\vj$.

  1. Laske kolmion kulmien suuruudet asteen tarkkuudella.
  2. Piirrä kuva kolmiosta $ABC$ ja tarkista, onko vastauksesi järkevä.

  1. Kulma $A$ noin $57^\circ$, kulma $B$ noin $81^\circ$ ja kulma $C$ noin $42^\circ$.

Pistetulon avulla voidaan tarkistaa, ovatko vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan.

TEOREEMA

Oletetaan, että $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$. Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos $\vv \cdot \vw = 0$.

Perustelu:

  • Oletetaan, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli $\sphericalangle(\vv,\vw)=90^{\circ}$. Tällöin \begin{align*} \vv \cdot \vw &= |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw) \\ &= |\vv||\vw|\cos 90^{\circ} \\ &= |\vv||\vw| \cdot 0 \\ &= 0. \end{align*} Siis $\vv \cdot \vw = 0$.
  • Oletetaan, että $\vv \cdot \vw = 0$. Tiedetään, että $\vv \cdot \vw = |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw)$. Näistä tiedoista voidaan päätellä, että $|\vv||\vw|\cos (\vv, \vw) = 0$.

    Oletuksen mukaan $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$, joten vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituudet ovat positiivisia: $\left|\vv\right| > 0$ ja $\left|\vw\right| > 0$. Tulon nollasäännön avulla voidaan siten päätellä, että $\cos (\vv, \vw) = 0$. Tästä seuraa, että $\sphericalangle(\vv,\vw)=90^{\circ}$.

    Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat siis toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Tutki vektoreita $\vv=-2\vi+3\vj$ ja $\vw=x\vi+3\vj$.

  1. Muodosta lauseke pistetulolle $\vv \cdot \vw$.
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
  3. Piirrä vektorit $\vv$ ja $\vw$ koordinaatistoon ja tarkista, onko vastauksesi järkevä.

  1. $-2x+9$
  2. $x = 4{,}5$

Vektorin esittäminen vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla

Tarkastele alla olevan kuvan vektoreita. Mitkä niistä voidaan esittää muodossa $2\vi+\vj$?

Ne kolme vektoria, jotka osoittavat suunnan kaksi askelta oikealle ja yksi ylös (kuvassa vasemmalla ja alalaidassa).

Vektoreiden samuus

Päättele, millä reaaliluvuilla $r$ ja $s$ vektorit $\vv=-r\vi+8\vj$ ja $\vw=5\vi-12s\vj$ ovat samat. Selitä, miten päättelit.

$r = -5$ ja $s = -\frac{2}{3}$

Paikkavektori

Määritä pisteen $P$ koordinaatit, jos

  1. $\pv{OP}=\vi+2\vj$
  2. $\pv{OP}=3\vi-4\vj$
  3. $\pv{OP}=-\vj$.

  1. $P = (1,2)$
  2. $P = (3,-4)$
  3. $P = (0,-1)$.

Vektoreiden laskutoimituksia

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Päättele kuvan avulla, mihin pisteeseen päädyt, kun lähdet pisteestä $(2,3)$ ja siirryt

  1. vektorin $\va$ verran
  2. ensin vektorin $\va$ verran ja sitten vektorin $\vb$ verran
  3. vektorin $-\vb$ verran
  4. ensin vektorin $-\va$ verran ja sitten vektorin $\vb$ verran.
Mihin vektoreiden laskutoimituksiin b- ja d-kohdat liittyvät?

  1. pisteeseen $(-1,2)$
  2. pisteeseen $(1,-1)$
  3. pisteeseen $(0,6)$
  4. pisteeseen $(7,1)$

Vektoreiden summa ja erotus

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Piirrä vektoreiden $\vv$, $\vw$ ja $\vu$ avulla vektorit

  1. $\vv+\vw$
  2. $\vw-\vv$
  3. $\vv-\vw-\vu$
  4. $\vv-\vw+\vu$

Vektorin kertominen luvulla

Tarkastele alla olevaan kuvaa. Ilmaise vektorit $\vb, \vc, \bar{d}$ ja $\bar{e}$ vektorin $\va$ avulla.

$\vb = -\frac{3}{2}\va$, $\quad \vc = \frac{9}{2}\va$, $\quad \bar{d} = -4\va$, $\quad \bar{e} = -\va$

Vektoreiden summa ja erotus

Tarkastele vektoreita $\vv=-2\vi+7\vj$, $\vw=6\vi-10\vj$ ja $\vu=-3\vi+5\vj$. Määritä

  1. $(\vv+\vw)-(\vw+\vu)$
  2. $(\vv+\vw)-(\vv-\vu)-(\vw+\vu)$.
Yritä ratkaista tehtävä mahdollisimman vähällä vaivalla.

  1. $\vv-\vu = \vi + 2\vj$
  2. $\bar{0}$

Paikkavektori

Tutki vektoria $\pv{AB}=-9\vi+5\vj$. Määritä pisteen $B$ paikkavektori kuvan avulla päättelemällä tai laskemalla, jos

  1. piste $A=(11,2)$
  2. piste $A=(-8,-7)$.
Jos määritit paikkavektorin laskemalla, tarkista tuloksen järkevyys hahmottelemalla kuva tilanteesta.

  1. $\pv{OB} = 2\vi + 7\vj$
  2. $\pv{OB} = -17\vi - 2\vj$

Kahden pisteen välinen vektori

Määritä vektori $\pv{AB}$ laskemalla tai kuvan avulla päättelemällä, jos

  1. $A=(-5,2)$ ja $B=(3,1)$
  2. $A=(3,-7)$ ja $B=(-4,8)$.
Jos määritit vektorin laskemalla, tarkista tuloksen järkevyys piirtämällä kuva tilanteesta.

  1. $\pv{AB} = 8\vi - \vj$
  2. $\pv{AB} = -7\vi + 15\vj$

Kahden pisteen välinen vektori

Tarkastele pisteitä $A=(-2,4)$, $B=(3,1)$ ja $C=(5,-3)$. Määritä piste $D$ laskemalla tai piirtämällä, jos

  1. $\pv{CD}=\pv{AB}$
  2. $\pv{DC}=\pv{AB}$
  3. $\pv{AD}=-\pv{AC}$
  4. $\pv{BC}=-\pv{AD}$.
Jos määritit pisteen laskemalla, havainnollista ratkaisuasi piirtämällä kuva tilanteesta.

  1. $D = (10,-6)$
  2. $D = (0,0)$
  3. $D = (-9,11)$
  4. $D = (-4,8)$

Kahden pisteen välinen vektori

Tarkastele pisteitä $A=(-1,4)$, $B=(3,-2)$ ja $C=(-2,1)$.

  1. Piirrä koordinaatistoon vektori $\pv{AB}$.
  2. Lausu vektori $\pv{AB}$ paikkavektoreiden $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ avulla.
  3. Sievennä edellisen kohdan lauseke muotoon, jossa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat pisteiden $A$ ja $B$ koordinaattien erotuksia.
  4. Määritä vektori $\pv{AC}$ suoraan käyttämällä tietoa, että vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat vektorin loppupisteen ja alkupisteen koordinaattien erotuksia.

  1. $\pv{AB} = \pv{OB} - \pv{OA}$
  2. $\pv{AB} = 4\vi - 6\vj$
  3. $\pv{AC} = -\vi - 3\vj$

Vektoreiden suunta

Tarkastele alla olevassa kuvassa olevaa vektoria $\vv$. Piirrä koordinaatisto ja siihen

  1. jokin vektori, joka on sama kuin $\vv$
  2. vektori, joka on vektorin $\vv$ kanssa samansuuntainen mutta kuitenkin eri vektori
  3. vektori, joka on vektorin $\vv$ kanssa yhdensuuntainen mutta ei samansuuntainen.
  4. jokin vektori, jonka pituus on 1,5 kertaa vektorin $\vv$ pituus ja joka ei ole vektorin $\vv$ kanssa yhdensuuntainen.
Onko jokin piirtämistäsi vektoreista vektorin $\vv$ vastavektori? Jos ei, piirrä koordinaatistoon vielä vektorin $\vv$ vastavektori.

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Oletetaan, että kumpikaan vektoreista $\vv$ ja $\vw$ ei ole nollavektori. Tutki, ovatko vektorit $\vv$ ja $\vw$ yhdensuuntaiset, jos

  1. $\vv=6\vw$
  2. $2\vv+2\vw=14\vw-\vv$.

  1. Kyllä.
  2. $\vv = 4\vw$, joten vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaiset.

Paikkavektori

Merkitään $A=(-5,2)$, $B=(-1,-1)$ ja $C=(2,1)$. Tiedetään, että vektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ ovat yhtä pitkät. Määritä piste $D$, jos vektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ ovat

  1. samansuuntaiset
  2. vastakkaissuuntaiset.
Ratkaise tehtävä sekä piirroksen avulla että ilman piirrosta.

  1. $D = (6,-2)$
  2. $D = (-2,4)$

Paikkavektori

Pisteen $A$ paikkavektori on $\pv{OA}=5\vi+12\vj$. Tiedetään, että $B=(-2,-5)$ ja $C=(2,-1)$.

  1. Vektori $\pv{BD}$ on samansuuntainen kuin vektori $\pv{OA}$ ja sen pituus on kaksi kertaa vektorin $\pv{OA}$ pituus. Päättele, mikä piste $D$ on. Selitä, miten ajattelit.
  2. Vektori $\pv{CE}$ on yhdensuuntainen vektorin $\pv{OA}$ kanssa ja sen pituus on puolet vektorin $\pv{OA}$ pituudesta. Mitä voit päätellä pisteestä $E$? Selitä, miten ajattelit.

  1. $D = (8,19)$
  2. $E = \left(\frac{9}{2},5\right)\ $ tai $\ E = \left(-\frac{1}{2}, -7\right)$

Vektoreiden summa ja erotus

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Muodosta kuvan vektoreiden avulla lauseke, jolla kuljetaan

  1. pisteestä $A$ pisteeseen $C$
  2. pisteestä $B$ pisteeseen $D$
  3. origosta eli pisteestä $O$ pisteeseen $B$.

  1. $-\va + \vb$ tai yhtä hyvin $\vb - \va$
  2. $\vb - \vc$
  3. $\pv{OA} - \va$

Paikkavektori

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Lausu kuvan vektorit vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Muodosta kuvan vektoreiden avulla lauseke, jolla kuljetaan origosta $O$ pisteeseen $C$.
  3. Sijoita edellisen kohdan lausekkeeseen a-kohdan vektorit ja sievennä lauseke.
  4. Katso kuvasta pisteen $C$ koordinaatit. Vertaa tulosta c-kohdan tulokseen.
  5. Mikä on pisteen $C$ paikkavektori?

  1. $\pv{OA} = 3\vi + \vj$, $\quad \va = -\vi + 2\vj$, $\quad\vb = 2\vi$, $\quad\vc = -\vi - 3\vj$
  2. $\pv{OC} = \pv{OA} - \va + \vb$
  3. $\pv{OC} = 6\vi - \vj$
  4. $C = (6,-1)$
  5. $\pv{OC} = 6\vi - \vj$

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Päättele, ovatko vektorit $\va$ ja $\vb$ yhdensuuntaiset, jos

  1. $\va=\frac{1}{4}\vi-3\vj$ ja $\vb=\vi-12\vj$
  2. $\va=-10\vi+\frac{2}{5}\vj$ ja $\vb=\frac{4}{5}\vi+2\vj$?
Perustele sanallisesti.

  1. $\vb = 4\va$, joten vektorit $\va$ ja $\vb$ ovat yhdensuuntaiset.
  2. Vektorit $\va$ ja $\vb$ eivät ole yhdensuuntaiset, sillä ei ole olemassa sellaista lukua $r \neq 0$, jolla $\va = r\vb$. Vertaamalla vektoreita $r\vb=\frac{4}{5}r\vi+2r\vj$ ja $\va=-10\vi+\frac{2}{5}\vj$ havaitaan, että pitäisi olla yhtä aikaa $\frac{4}{5}r = -10$ ja $2r = \frac{2}{5}$, mikä ei ole mahdollista.

Vektorin pituus

Tarkastele alla olevaa kuvaa. Mitkä kuvan vektoreista ovat yhtä pitkiä kuin vektori $\vv$? Perustele vastauksesi.

Yhtä pitkiä kuin vektori $\vv$ ovat vektorit $\vb$ ja $\vc$, sillä myös niiden pituus on 5. Vektorin $\va$ pituus on $\sqrt{13}$, vektorin $\bar{d}$ pituus on 4 ja vektorin $\bar{e}$ pituus on $3\sqrt{2}$.

Vektorin pituus

Vektorin $\vv$ pituus on 24.

  1. Määritä vektoreiden $-6\vv$ ja $\frac{1}{8}\vv$ pituudet.
  2. Vertaa vektoreiden $-6\vv$ ja $\frac{1}{8}\vv$ suuntaa vektorin $\vv$ suuntaan.

  1. $|-6\vv| = 144$ ja $\left|\frac{1}{8}\vv\right| = 3$.
  2. Vektorit $-6\vv$ ja $\vv$ ovat vastakkaissuuntaiset. Vektorit $\frac{1}{8}\vv$ ja $\vv$ ovat samansuuntaiset.

Yksikkövektori

Muodosta vektorin $\vv=-8\vi+15\vj$ kanssa

  1. samansuuntainen yksikkövektori
  2. samansuuntainen vektori, jonka pituus on $4$.

  1. $\frac{1}{17}\vv = -\frac{8}{17}\vi + \frac{15}{17}\vj$
  2. $\frac{4}{17}\vv = -\frac{32}{17}\vi + \frac{60}{17}\vj$

Yksikkövektori

Tiedetään, että vektorin $\vv$ pituus on

  1. $|\vv| = 8$
  2. $|\vv| = \sqrt{5}$
  3. $|\vv| = \frac{1}{3}$.
Selitä, miten voit näissä tapauksissa määrittää vektorin $\vv$ kanssa samansuuntaisen yksikkövektorin.

  1. Kysytty yksikkövektori on $\frac{1}{8}\vv$.
  2. Kysytty yksikkövektori on $\frac{1}{\sqrt{5}}\vv$.
  3. Kysytty yksikkövektori on $3\vv$.

Vektorin jakaminen komponentteihin

Jaa vektori $\va = 4\vi - 2\vj$ vektoreiden $\vv = 3\vi + \vj$ ja $\vw = -\vi-\vj$ suuntaisiin komponentteihin kuvan avulla päättelemällä. Piirrä komponenttivektorit näkyviin ja ilmaise ne vektorien $\vv$ ja $\vw$ avulla.

$\va = 3\vv + 5\vw$, joten kysytyt komponenttivektorit ovat $3\vv$ ja $5\vw$.

Pistetulo

Laske vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetulo, jos

  1. $\vv=\frac{1}{2}\vi-3\vj$ ja $\vw=10\vi+7\vj$
  2. $\vv=9\vi+11\vj$ ja $\vw=\frac{2}{3}\vi-2\vj$

  1. $\vv \cdot \vw = -16$
  2. $\vv \cdot \vw = -16$

Pistetulo

Kolmion kärjet ovat $A=(-4,3)$, $B=(5,2)$ ja $C=(1,-2)$.

  1. Muodosta vektorit $\pv{AB}$, $\pv{BC}$ ja $\pv{CA}$.
  2. Osoita pistetulon avulla, että kolmio on suorakulmainen.

  1. $\pv{AB} = 9\vi - \vj$, $\quad \pv{BC} = -4\vi - 4\vj$, $\quad\pv{CA} = -5\vi + 5\vj$
  2. Kärjestä $C$ lähtevien vektoreiden $\pv{CB} = 4\vi + 4\vj$ ja $\pv{CA} = -5\vi + 5\vj$ pistetulo on $\pv{CB} \cdot \pv{CA} = 0$, joten nämä vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vektoreiden välinen kulma

Kolmion $ABC$ kärjet ovat pisteissä $A=(-7,1)$, $B=(4,9)$ ja $C=(-3,-5)$.

  1. Laske kolmion kulmien suuruudet asteen tarkkuudella.
  2. Piirrä kuva kolmiosta $ABC$ ja tarkista kolmioviivoittimella mittaamalla, onko vastauksesi järkevä.

  1. Kulma $A$ noin $92^\circ$, kulma $B$ noin $27^\circ$ ja kulma $C$ noin $61^\circ$.

Vektoreiden välinen kulma

Tarkastele alla olevan kuvan kolmiota. Määritä pistetulon avulla asteen tarkkuudella kulmat

  1. $\sphericalangle(\pv{AB},\pv{AC})$
  2. $\sphericalangle(\pv{AB},\pv{CB})$
  3. $\sphericalangle(\pv{CA},\pv{BC})$.
Piirrä kuva tilanteesta ja merkitse siihen, mikä kulma on kysymyksessä.

  1. $\sphericalangle(\pv{AB},\pv{AC}) \approx 40^\circ$
  2. $\sphericalangle(\pv{AB},\pv{CB}) \approx 105^\circ$
  3. $\sphericalangle(\pv{CA},\pv{BC}) \approx 145^\circ$.

Vektoreiden kohtisuoruus

  1. Etsi piirroksen avulla vektori, joka on yhtä pitkä kuin vektori $\vv = 2\vi-3\vj$ ja kohtisuorassa sitä vastaan.
  2. Päättele, mikä vektori on yhtä pitkä kuin vektori $\vw = x\vi+y\vj$ ja kohtisuorassa sitä vastaan.
  3. Tarkista pistetulon avulla, että b-kohdassa tekemäsi johtopäätös on oikein.

  1. Kaksi vaihtoehtoa: $3\vi + 2\vj$ ja $-3\vi - 2\vj$
  2. Kaksi vaihtoehtoa: $y\vi - x\vj$ ja $-y\vi + x\vj$

Laiva kulkee suoraan tasaisella nopeudella. Eräällä hetkellä laiva on pisteessä $A=(-7,10)$ ja tuntia myöhemmin pisteessä $B=(6,-5)$.

  1. Määritä vektori, joka kuvaa laivan siirtymää tunnin aikana.
  2. Missä pisteessä laiva oli kaksi tuntia ennen saapumistaan pisteeseen $A$?
  3. Missä pisteessä laiva on 40 minuuttia sen jälkeen, kun se jätti pisteen $B$?

  1. $\pv{AB} = 13\vi - 15\vj$
  2. $(-33,40)$
  3. $\left(\frac{44}{3}, -15\right)$

Tiedetään, että tyynessä säässä kuumailmapallo nousee suoraan ylöspäin nopeudella $3 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$. Sääennusteen mukaan lentopäivänä tuuli puhaltaa idästä $4 \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$ ja kuljettaa palloa kohti länttä nousun aikana.

  1. Muodosta vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla vektori, joka kuvaa kuumailmapallon siirtymää yhden sekunnin aikana.
  2. Muodosta vektori, joka kuvaa kuumailmapallon siirtymää kahden minuutin aikana.
  3. Kuinka korkealla kuumailmapallo on kahden minuutin kuluttua lähdöstä?
  4. Mikä on kuumailmapallon etäisyys lähtöpaikasta kahden minuutin kuluttua?

  1. Esimerkiksi $-4\vi + 3\vj$
  2. Esimerkiksi $-480\vi + 360\vj$
  3. Noin 360 metrin korkeudella.
  4. Noin 600 metriä.

Suunnikkaan kolme kärkipistettä ovat $(-1,2), (5,2)$ ja $(1,5)$. Määritä suunnikkaan neljäs kärkipiste

  1. kuvan avulla
  2. vektoreiden avulla.
Huomaa, että ratkaisuja on useita. Vertaile ratkaisuja kaverin kanssa.

Neljäs kärkipiste voi olla $(-5,5)$ tai $(3,-1)$ tai $(7,5)$.

Tutki vektoreita $\va=2\vi+3\vj$, $\vb=-3\vi+\vj$ ja $\vc=\vi-4\vj$.

  1. Piirrä vektori $\va +\vb +\vc$ koordinaatistoon vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ avulla.
  2. Selitä omin sanoin, mitä huomaat.
  3. Miten voit ilmaista vektorin $\vc$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla?

  1. $\vc = -\va - \vb$

Tarkastele pisteitä $A=(2{,}-5)$ ja $B=(5{,}1)$.

  1. Piirrä pisteet $A$ ja $B$ yhdistävä jana koordinaatistoon.
  2. Sijoita piste $P$ janalle silmämääräisesti siten, että se jakaa janan $AB$ suhteessa $2:3$.
  3. Lausu vektori $\pv{AP}$ vektorin $\pv{AB}$ avulla.
  4. Määritä pisteen $P$ koordinaatit.

  1. $\pv{AP} = \frac{2}{5}\pv{AB}$
  2. $P = \left(\frac{16}{5}, -\frac{13}{5}\right) = (3{,}2; -2{,}6)$

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Ilmoita vektorit $\vv$ ja $\vw$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  2. Laske vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituudet.
  3. Muodosta vektori $3\vv-4\vw$ ja laske sen pituus.

  1. $\vv = -5\vi + 2\vj\ $ ja $\ \vw = -4\vi-4\vj$
  2. $|\vv| = \sqrt{29} \ $ ja $\ |\vw| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
  3. $3\vv - 4\vw = \vi + 22\vj\ $ ja $\ |3\vv - 4\vw| = \sqrt{485}$

Tutki, onko olemassa sellainen reaaliluku $r$, että vektorit $\vv=(2+3r)\vi-4\vj$ ja $\vw=5\vi+(r-5)\vj$ ovat

  1. yhdensuuntaiset
  2. samat.

Ovatko vektorit $\vv$ ja $\vw$ a-kohdan tapauksessa samansuuntaiset vai vastakkaissuuntaiset? Voit ratkaista ratkaisussa muodostuvat yhtälöparit laskimella.

  1. Kyllä, $r = \frac{10}{3}$.
  2. Kyllä, $r = 1$.

Kohdassa (a) vektorit ovat samansuuntaiset.

Määritä vektoreiden $\va=2\vi+5\vj$ ja $\vb=\vi-2\vj$ summavektori ja summavektorin suuntainen yksikkövektori. [Pitkä K09/3a]

$\va + \vb = 3\vi + 3\vj$ ja samansuuntainen yksikkövektori on $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vi + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vj$.

Selvitä, mihin pisteeseen päädyt, jos siirryt

  1. pisteestä $A=(7,3)$ kymmenen pituusyksikköä vektorin $\vv=3\vi-4\vj$ suuntaan
  2. pisteestä $B=(4,-8)$ viisi pituusyksikköä vektorin $\vv=-12\vi+9\vj$ suuntaan.
Havainnollista ratkaisuasi piirroksella.

  1. Pisteeseen $(13,-5)$.
  2. Pisteeseen $(0,-5)$.

Vektorien $\pv{AB}$ ja $\pv{CD}$ päätepisteet ovat $A=(3,1)$, $B=(7,3)$, $(C=1,4)$ ja $D=(-3,-2)$. Laske vektorien välisen kulman suuruus $0{,}1$ asteen tarkkuudella. Piirrä kuvio. [Pitkä S05/3]

Noin $150{,}3^\circ$.

Tutki, onko kolmio suorakulmainen, jos sen eräästä kärjestä alkavat sivuvektorit ovat

  1. $\va=3\vi+\vj$ ja $\vb=2\vi+6\vj$
  2. $\va=-4\vi-3\vj$ ja $\vb=-2\vi-4\vj$.
Kannattaa piirtää tilanteesta kuva. Perustele vastauksesi kuitenkin laskemalla.

  1. Kolmio ei ole suorakulmainen. Kärkipisteet voivat olla esimerkiksi $O=(0,0)$, $A=(3,1)$ ja $B=(2,6)$. Kulmiksi saadaan noin $53^\circ$, noin $97^\circ$ ja noin $30^\circ$.
  2. Kolmio on suorakulmainen. Kärkipisteet voivat olla esimerkiksi $O=(0,0)$, $A=(-4,-3)$ ja $B=(-2,-4)$. Kulma $\sphericalangle(\pv{BA}, \pv{BO}) = 90^\circ$.

Kolmiossa $ABC$ on $\pv{AB}=2{,}2\vi+7{,}3\vj$ ja $\pv{AC}=5{,}9\vi-2{,}1\vj$.

  1. Määritä kolmanteen sivuun liittyvä vektori $\pv{BC}$.
  2. Osoita, että $BC$ on kolmion pisin sivu.
  3. Määritä kulman $BAC$ suuruus pistetulon avulla 0,1 asteen tarkkuudella.
[Pitkä S2007/3]

  1. $\pv{BC} = 3{,}7\vi - 9{,}4\vj$
  2. $|\pv{AB}| = \sqrt{58{,}13}$, $|\pv{AC}| = \sqrt{39{,}22}$ ja $|\pv{BC}| = \sqrt{102{,}05}$, joten sivu $BC$ on pisin (sen pituuden lausekkeessa juurrettava on suurin).
  3. Noin $92{,}8^\circ$.

Olkoon $\pv{OA}=7\vi+9\vj$ tason vektori. Määritä kaikki sellaiset vektorit $\pv{OB}$, että kulma OAB on suora ja vektorin $\pv{AB}$ pituus on puolet vektorin $\pv{OA}$ pituudesta. [Pitkä K2005/4]

Kaksi mahdollisuutta: $\frac{23}{2}\vi + \frac{11}{2}\vj$ tai $\frac{5}{2}\vi + \frac{25}{2}\vj$.

Origosta alkavan vektorin $\va=2\vi+7\vj$ päätepisteestä $P$ alkava ja $x$-akselin pisteeseen $Q$ päättyvä vektori $\vb$ on kohtisuorassa vektoria $\va$ vastaan. Määritä pisteet $P$ ja $Q$ sekä vektori $\vb$. [Lyhyt K1989/6a]

$P = (2,7)$, $\ Q = \left(\frac{53}{2}, 0\right)\ $ ja $\ \vb = \frac{49}{2}\vi - 7\vj$

Lentäjä ohjaa lentokonetta länteen. Tyynessä säässä lentokone liikkuisi suoraan länttä kohti $210~\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}$, mutta tuuli puhaltaa pohjoisesta $25~\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$ ja kuljettaa konetta etelän suuntaan.

  1. Mihin suuntaan lentokone todellisuudessa lentää?
  2. Mikä on lentokoneen vauhti maan suhteen?
Tiedetään, että $1~\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = 3{,}6~\frac{\textrm{km}}{\textrm{h}}.$

  1. Noin 23,2 astetta lännestä etelän suuntaan (kompassisuuntaan $246{,}8^\circ$).
  2. Noin 228 km/h.

Vedät pulkkaa voimalla $\bar{F} = x\vi + y\vj$, jonka suuruus on $|\bar{F}| = 150~\textrm{N}$.

  1. Mikä on vektorin $\vj$ suuntaisen komponentin suuruus, jos vektorin $\vi$ suuntaisen komponentin suuruus on 90 N?
  2. Jos vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ suuntaiset komponentit ovat yhtä suuret, kuinka suuret ne ovat?
Havainnollista ratkaisuasi piirtämällä tilanteesta mallikuva.

  1. 120 N
  2. Noin 106 N.

Voiman $\bar{F} = x\vi + y\vj$ suuruus on $|\bar{F}| = 84~\textrm{N}$. Mikä on vektorin $\vi$ suuntaisen komponentin suuruus, jos vektorin $\vj$ suuntaisen komponentin suuruus on 60,2 N? Havainnollista ratkaisuasi piirtämällä tilanteesta mallikuva.

Noin 58,6 N.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitestit opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla. Linkit luvun itsearviointitesteihin ovat tässä: ensimmäinen testi ja toinen testi.

Vektorit ja $xyz$-koordinaatisto

Tämän luvun tavoitteena on, että vahvistat edellisessä luvussa käsiteltyjen asioiden osaamista ja sovellat oppimaasi $xyz$-koordinaatiston vektoreihin. Lisäksi osaat

  • piirtää $xyz$-koordinaatiston ja sijoittaa sinne pisteitä
  • ratkaista vektorilaskentaan liittyviä yhtälöryhmiä ilman laskinta ja laskimella.
Tavoitteiden toteutumista pääset arvioimaan luvun lopussa olevan itsearviointitestin avulla.

Edellisessä luvussa tutustuimme $xy$-koordinaatistoon, jonka avulla voidaan kuvata tason pisteitä ja vektoreita. Kolmiulotteisen avaruuden pisteitä ja vektoreita voidaan kuvata niin sanotun $xyz$-koordinaatiston avulla. Tämä koordinaatisto saadaan $xy$-koordinaatistosta lisäämällä siihen yksi akseli, joka on kohtisuorassa sekä $x$-akselia että $y$-akselia vastaan. Kolmatta akselia sanotaan $z$-akseliksi.

Yllä olevassa kuvassa $z$-akseli suuntautuu kohti katsojaa. Kolmiulotteista koordinaatistoa voidaan katsoa muistakin suunnista, jolloin esimerkiksi $x$-akseli saattaa suuntautua kohti katsojaa, kuten alla olevassa kuvassa. Koordinaattiakselien keskinäiset suunnat pysyvät kuitenkin samoina. Niitä voidaan havainnollistaa oikean käden sormien avulla: peukalo vastaa $x$-akselia, etusormi $y$-akselia ja keskisormi $z$-akselia.

Kolmiulotteisen avaruuden piste $P$ ilmaistaan lukukolmikkona $(x,y,z)$, missä ensimmäiset kaksi lukua ilmoittavat pisteen paikan $x$- ja $y$-akseleiden suhteen ja kolmas koordinaatti kertoo, missä piste sijaitsee $z$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu $xyz$-koordinaatiston pisteitä $S=(1,0,4)$ ja $R = (3,2,2)$.

Yllä olevasta kuvasta nähdään myös, miten $xyz$-koordinaatisto yleensä piirretään. Katsojaa kohti tuleva akseli piirretään 135 asteen kulmassa oikealle suuntautuvaan akseliin nähden. Lisäksi katsojaa kohti tulevan akselin yksikön pituudeksi valitaan noin puolet muiden akseleiden yksikön pituudesta, jotta vaikutelmasta tulee kolmiulotteinen.

Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa $x$- ja $y$-akseleiden yksiköksi on valittu kolme ruutua ja $z$-akselin yksikön pituudeksi yhden ruudun lävistäjä eli $\sqrt{2}\approx 1{,}4$ ruutua.

Piirrä kolmiulotteinen koordinaatisto ja merkitse siihen pisteet $A=(3,0,1)$, $B=(-2,1,2)$ ja $C=(2,3,-2)$.

Päättele, mitä tiedät pisteen $P$ koordinaateista, jos piste $P$ on

  1. $x$-akselilla
  2. $y$-akselilla
  3. $z$-akselilla.
Kuvan hahmottelemisesta voi olla apua.

Päättele, mitä tiedät pisteen $P$ koordinaateista, jos piste $P$ on

  1. $xy$-tasossa
  2. $yz$-tasossa
  3. $xz$-tasossa.

Kolmiulotteisessa koordinaatistossa kaikki vektorit voidaan esittää koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektoreiden avulla samaan tapaan kuin $xy$-tasossa. Erona on, että koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreita on nyt kolme: $\vi$, $\vj$ ja $\vk$. Niitä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Ilmoita alla olevan kuvan vektori $\bar{v}$ vektoreiden $\bar{\imath}$, $\bar{\jmath}$ ja $\vk$ avulla.

$\vv = -2\vi + \vj - 2\vk$

MÄÄRITELMÄ: VEKTOREIDEN SAMUUS

Kaksi vektoria ovat samat, jos ne voidaan esittää samalla tavalla vektoreiden $\bar{\imath}$, $\bar{\jmath}$ ja $\vk$ avulla. Tarkemmin sanottuna vektorit $\vv = x_1\vi + y_1\vj + z_1\vk$ ja $\vw = x_2\vi + y_2\vj + z_2\vk$ ovat samat eli $\vv = \vw$, jos ja vain jos $x_1 = x_2$ ja $y_1 = y_2$ ja $z_1 = z_2$.

Tiedetään, että $\vv = -9\vi + (3-a)\vj + 4b\vk$ ja $\vw = 3c\vi - 7\vj - 20\vk$. Etsi sellaiset luvut $a$, $b$ ja $c$, että $\vv = \vw$. Kuinka monella tavalla tällaiset luvut on mahdollista valita?

$a = 10$, $\ b = -5 \ $ ja $\ c = -3$.

Pisteen $P = (x,y,z)$ paikkavektori määritellään kolmiulotteisessa koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-tasossa: pisteen $P = (x,y,z)$ paikkavektori tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on origo ja loppupiste on $P$.

Ilmaise alla olevan kuvan vektori $\vv$ vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla. Minkä pisteen paikkavektori se on?

$\vv = 3\vi - \vj - 2\vk$ on pisteen $(3,-1,-2)$ paikkavektori.

Kolmiulotteisessa koordinaatistossa nollavektori tarkoittaa vektoria $\bar{0} = 0\vi + 0\vj + 0\vk$. Se on origon eli pisteen $O = (0,0,0)$ paikkavektori.

Vektoreiden summa ja erotus lasketaan $xyz$-koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa eli komponenteittain. Esimerkiksi vektoreiden $\vv = \textcolor{blue}{2}\vi \textcolor{red}{-5}\vj + \textcolor{magenta}{3}\vk$ ja $\vw = \textcolor{blue}{-7}\vi + \textcolor{red}{9}\vj + \textcolor{magenta}{8}\vk$ summa on $$ \begin{align*} \vv + \vw &= (\textcolor{blue}{2-7})\vi + (\textcolor{red}{-5}+\textcolor{red}{9})\vj + (\textcolor{magenta}{3}+\textcolor{magenta}{8})\vk \\ &= \textcolor{blue}{-5}\vi + \textcolor{red}{4}\vj + \textcolor{magenta}{11}\vk \end{align*} $$ ja erotus on $$ \begin{align*} \vv - \vw &= (\textcolor{blue}{2}-(\textcolor{blue}{-7}))\vi + (\textcolor{red}{-5}-\textcolor{red}{9})\vj + (\textcolor{magenta}{3}-\textcolor{magenta}{8})\vk \\ &= \textcolor{blue}{9}\vi \textcolor{red}{- 14}\vj \textcolor{magenta}{- 5}\vk. \end{align*} $$

Tutki vektoreita $\bar{v}= 3\bar{\imath}-4\bar{\jmath} + 7\vk$, $\bar{w}=9\bar{\imath}-5\vk$ ja $\bar{u}=-2\vj+6\vk$. Laske seuraavat vektorit:

  1. $\bar{v}+\bar{w}$
  2. $\bar{w}+\bar{u}$
  3. $\bar{v}-\bar{w}$
  4. $\bar{u}-\bar{v}$.

  1. $\bar{v}+\bar{w} = 12\vi - 4\vj + 2\vk$
  2. $\bar{w}+\bar{u} = 9\vi - 2\vj + \vk$
  3. $\bar{v}-\bar{w} = -6\vi - 4\vj + 12\vk$
  4. $\bar{u}-\bar{v} = -3\vi + 2\vj - \vk$.

Summan ja erotuksen määrittäminen piirtämällä on $xyz$-koordinaatistossa hankalampaa kuin $xy$-koordinaatistossa, koska tarkkojen kolmiulotteisten kuvien piirtäminen on usein vaikeaa. Summaa ja erotusta voidaan kuitenkin havainnollistaa mallikuvilla. Summavektori saadaan muodotettua laittamalla yhteenlaskettavat vektorit peräkkäin ja piirtämällä vektori ensimmäisen yhteenlaskettavan alkupisteestä viimeisen yhteenlaskettavan loppupisteeseen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Erotusvektori $\vv - \vw$ saadaan muodostettua laittamalla peräkkäin vektorit $\vv$ ja $-\vw$ kuten alla olevassa kuvassa.

Jos vektorit $\vv$ ja $\vw$ alkavat samasta pisteestä kuten alla olevassa kuvassa, löydetään erotusvektori $\vv - \vw$ etsimällä reitti, jossa kuljetaan ensin vektori $\vw$ vastakkaiseen suuntaan ja sen jälkeen vektori $\vv$. Tämä reitti vastaa summaa $-\vw + \vv$, joka on sama kuin $\vv-\vw$.

Tätä ideaa voidaan hyödyntää kahden pisteen välisen vektorin määrittämisessä samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa. Alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että vektori $\pv{AB}$ saadaan vähentämällä loppupisteen paikkavektorista $\pv{OB}$ alkupisteen paikkavektori $\pv{OA}$ eli $\pv{AB} = \pv{OB} - \pv{OA}$.

Tiedetään, että $A= (1,5,-3)$ ja $\pv{AB} = -4\vi-7\vj + 15 \vk$.

  1. Muodosta pisteen $A$ paikkavektori.
  2. Määritä pisteen $B$ paikkavektori $\pv{OB}$ ja piste $B$. Havainnollista ratkaisuasi mallikuvan avulla.
  3. Selitä omin sanoin, miten paikkavektorin $\pv{OA}$ muodostaminen auttoi b-kohdan ratkaisemista.

  1. $\pv{OA} = \vi + 5\vj - 3\vk$
  2. $\pv{OB} = -3\vi - 2\vj + 12\vk\ $ ja $\ B = (-3,-2,12)$

Myös vektorin kertominen reaaliluvulla tapahtuu $xyz$-koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa eli komponenteittain. Esimerkiksi vektorin $\vv = 2\vi - 5\vj + 3\vk$ skalaarimonikerta $-15\vv$ saadaan kertomalla kaikki komponentit luvulla $-15$. Siten $$ \begin{align*} -15\vv &= -15\cdot 2\vi + (-15) \cdot (-5)\vj + (-15)\cdot 3\vk \\ &= -30\vi + 75\vj - 45\vk. \end{align*} $$

Alla olevassa kuvassa piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$. Jana $AB$ muodostuu siis neljästä yhtä pitkästä osasta. Jana $AP$ on yhden osan mittainen ja jana $PB$ on kolmen osan mittainen. Tätä tietoa voidaan hyödyntää esimerkiksi pisteen $P$ paikkavektorin määrittämisessä. Sitä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tiedetään, että $A = (1,-1,0)$ ja $B = (5,7,8)$. Tiedetään lisäksi, että piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$ kuten yllä olevassa kuvassa. Piirrä tilanteesta mallikuva ja havainnollista ratkaisusi vaiheita sen avulla.

  1. Määritä paikkavektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$.
  2. Muodosta vektori $\pv{AB}$.
  3. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ vektorin $\pv{AB}$ avulla.
  4. Määritä paikkavektori $\pv{OP}$.
  5. Mitkä ovat pisteen $P$ koordinaatit?

  1. $\pv{OA} = \vi - \vj\ $ ja $\ \pv{OB} = 5\vi + 7\vj + 8\vk$
  2. $\pv{AB} = 4\vi + 8\vj + 8\vk$
  3. $\pv{AP} = \frac{1}{4}\pv{AB}$
  4. $\pv{OP} = 2\vi + \vj + 2\vk$
  5. $P = (2,1,2)$

Vektorin pituus saadaan $xyz$-koordinaatistossa laskettua Pythagoraan lauseen avulla, mutta sitä täytyy soveltaa useamman kerran. Alla olevan kuvan vektorin $\vv$ pituus voidaan selvittää laskemalla ensin kuvassa näkyvän suorakulmaisen särmiön pohjan lävistäjän $c$ pituus. Se saadaan Pythagoraan lauseen mukaisesta yhtälöstä $$a^2 + b^2 = c^2.$$ Tässä tapauksessa $c^2 = 2^2 + 3^2 = 13$, joten särmiön pohjan lävistäjän pituus on $c = \sqrt{13} \approx 3{,}6$.

Särmiön pohjan lävistäjän $c$ ja särmiön korkeuden $h$ avulla saadaan selville vektorin $\vv$ pituus, kun Pythagoraan lausetta sovelletaan alla olevassa kuvassa näkyvään suorakulmaiseen kolmioon. Pythagoraan lauseen mukaan $$|\vv|^2 = c^2 + h^2.$$ Edellä todettiin, että $c^2 = a^2 + b^2$, joten saadaan yhtälö $$|\vv|^2 = a^2 + b^2 + h^2.$$ Tässä tapauksessa $|\vv|^2 = 2^2 + 3^2 + 2^2 = 17$, joten $|\vv| = \sqrt{17} \approx 4{,}1$.

Koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia, voidaan vektorin pituus määritellä seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: VEKTORIN PITUUS

Vektorin $\vv=x\vi+y\vj + z\vk$ pituus on $$|\vv|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Piirrä pisteen $A = (4,1,3)$ paikkavektori suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjänä ja laske paikkavektorin pituus.

$|\pv{OA}| = \sqrt{26} \approx 5{,}1$

Tarkastele vektoria $\vv = 2\vi-6\vj-3\vk$.

  1. Laske vektorin $\vv$ pituus $|\vv|$.
  2. Muodosta vektori $\vw = -5\vv$.
  3. Laske vektorin $\vw$ pituus $|\vw|$.
  4. Millä luvulla pituutta $|\vv|$ pitäisi kertoa, jotta se olisi sama kuin vektorin $\vw$ pituus?

  1. $|\vv| = 7$.
  2. $\vw = -10\vi + 30\vj + 15\vk$.
  3. $|\vw| = 35$.
  4. Luvulla 5.

Edellisen tehtävän havainto voidaan yleistää seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Kaikilla vektoreilla $\vv$ ja reaaliluvuilla $t$ pätee, että $$|t\vv|=|t|\cdot |\vv|.$$

Perustelu: Tarkastellaan vektoria $\vv = x\vi + y\vj + z\vk$ ja reaalilukua $t$. Vektorin $\vv$ pituus on $$|\vv|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$ Vektorin $t\vv = tx\vi + ty\vj + tz\vk$ pituus on puolestaan $$\begin{align*} |t\vv| &=\sqrt{(tx)^2+(ty)^2+(tz)^2} \\ &=\sqrt{t^2x^2+t^2y^2+t^2z^2} \\ &=\sqrt{t^2(x^2+y^2+z^2)} \\ &=\sqrt{t^2}\sqrt{(x^2+y^2+z^2)} \\ &=|t|\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}. \end{align*}$$ Huomataan, että tämä on sama kuin vektorin $\vv$ pituus kerrottuna luvun $t$ itseisarvolla. Siis $$|t\vv|=|t|\cdot |\vv|.$$

Edellisen teoreeman perustelussa käytettiin tietoa, että $\sqrt{t^2} = |t|$ kaikilla reaaliluvuilla $t$.

  1. Keksi esimerkki luvusta $t$, jolla $\sqrt{t^2} = t$.
  2. Keksi esimerkki luvusta $t$, jolla $\sqrt{t^2} \neq t$.
  3. Selitä omin sanoin, miksi yhtälön $\sqrt{t^2} = |t|$ oikealla puolella tarvitaan itseisarvomerkit.

  1. Esimerkiksi $t = 5$.
  2. Esimerkiksi $t = -5$.

Palautetaan mieleen, että yksikkövektori tarkoittaa vektoria, jonka pituus on 1. Edellisen teoreeman avulla saadaan johdettua lauseke annetun vektorin suuntaiselle yksikkövektorille:

TEOREEMA

Vektorin $\vv \neq \bar{0}$ suuntainen yksikkövektori $\vv^0$ on $$\frac{1}{|\vv|}\vv.$$

Perustelu: Koska $\vv \neq \bar{0}$, niin vektorin $\vv$ pituus on positiivinen eli $|\vv| > 0$. Tällöin sen käänteisluku on määritelty ja positiivinen. Toisin sanottuna $$\frac{1}{|\vv|} > 0.$$ Positiivisella luvulla kerrottaessa vektorin suunta säilyy, joten vektori $$\vv^0 = \frac{1}{|\vv|}\vv$$ on samansuuntainen kuin vektori $\vv$. Sen pituudeksi saadaan edellisen teoreeman nojalla $$\begin{align*} \left| \vv^0 \right| &= \left| \frac{1}{|\vv|}\vv \right| \\ &= \left| \frac{1}{|\vv|}\right| \cdot |\vv| \\ &= \frac{1}{|\vv|} \cdot |\vv| \\ &= 1. \end{align*}$$

Määritä vektorin $\va$ suuntainen yksikkövektori $\va^0$, jos

  1. $\va = -2\vi + \vj$
  2. $\va = \pv{AB}$, missä $A = (4,-1,2)$ ja $B = (6,2,-4)$.

  1. $\va^0 = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(-2\vi + \vj)$
  2. $\va^0 = \dfrac{1}{7}(2\vi + 3\vj - 6\vk)$

Vektoreiden yhdensuuntaisuus määritellään $xyz$-koordinaatistossa samalla tavalla kuin $xy$-tasossa:

MÄÄRITELMÄ: YHDENSUUNTAISUUS

Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaiset eli $\vv \parallel \vw$, jos ja vain jos $\vv=r\vw$ jollakin reaaliluvulla $r \neq 0$.

Vektoreiden yhdensuuntaisuuden tutkiminen johtaa usein yhtälöpariin tai yhtälöryhmään. Esimerkiksi jos halutaan määrittää vakio $t$ niin, että vektorit $\vv = 0{,}5\vi + t\vj + \vk$ ja $\vw = -\vi + 1{,}5\vj-2\vk$ ovat yhdensuuntaisia, on tutkittava yhtälöä $$\vv = r\vw.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = r(-\vi + 1{,}5\vj-2\vk)$$ eli $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = -r\vi + 1{,}5r\vj-2r\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} -r &= 0{,}5 \\ 1{,}5r &= t \\ -2r &= 1 \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan nyt tämä yhtälöryhmä eli etsitään kaikki sellaiset luvut $r$ ja $t$, joilla yhtälöryhmän kaikki yhtälöt toteutuvat.

Jos yhtälöryhmän ensimmäisen yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla $-1$, saadaan yhtälö $$r = -0{,}5.$$ Se voidaan sijoittaa yhtälöryhmän toiseen yhtälöön, joka saadaan silloin kirjoitettua muodossa $$1{,}5\cdot (-0{,}5) = t.$$ Toisin sanottuna $$t = -0{,}75.$$ Tämä tarkoittaa, että yhtälöryhmän ainoa mahdollinen ratkaisu on $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$. Vielä on kuitenkin tarkistettava, että se todella on yhtälöryhmän ratkaisu. Tämä tehdään sijoittamalla nämä luvut alkuperäiseen yhtälöryhmään ja tarkistamalla, että kaikki yhtälöt toteutuvat: $$ \left\{\begin{aligned} -(-0{,}5) &= 0{,}5 \\ 1{,}5\cdot (-0{,}5) &= -0{,}75 \\ -2\cdot (-0{,}5) &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöryhmän $$ \left\{\begin{aligned} -r &= 0{,}5 \\ 1{,}5r &= t \\ -2r &= 1 \end{aligned}\right. $$ ratkaisu on $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$.

Yhtälö $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = r(-\vi + 1{,}5\vj-2\vk)$$ siis toteutuu, jos ja vain jos $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$. Tästä voidaan päätellä, että vektorit $\vv = 0{,}5\vi + t\vj + \vk$ ja $\vw = -\vi + 1{,}5\vj-2\vk$ ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos $t = -0{,}75$. Tällöin vektorit ovat vastakkaissuuntaisia, koska yhtälössä $\vv = r\vw$ esiintyvä kerroin $r$ on negatiivinen: $r = -0{,}5$.

Tutki, onko olemassa sellainen luku $t$, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaiset, jos

  1. $\vv = -\vi + 2\vj$ ja $\vw = 2\vi + t\vj$
  2. $\vv = 2\vi + 3\vj$ ja $\vw = t(\vi + \vj) - 3(3\vi +\vj)$.

Tarkista tuloksesi järkevyys hahmottelemalla kuva vektoreista $\vv$ ja $\vw$. Jos vektorit ovat yhdensuuntaiset, ovatko ne saman- vai vastakkaissuuntaiset?

  1. $t = -4$, jolloin $\vw = -2\vv$ ja vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat vastakkaissuuntaiset.
  2. $t = 21$, jolloin $\vw = 6\vv$ ja vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat samansuuntaiset.

Määritä kaikki sellaiset luvut $t$, joilla vektorit $\vv = 8t\vi + (3t-6)\vj + (6t-4)\vk$ ja $\vw = 4\vi + 3\vj+4\vk$ ovat yhdensuuntaiset. Ovatko vektorit $\vv$ ja $\vw$ tällöin saman- vai vastakkaissuuntaiset?

$t = -2$, jolloin $\vv = -4\vw$ ja vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat vastakkaissuuntaiset.

Tutkitaan seuraavaksi yhtälöparia $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ Se voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Ratkaistaan ensin ylemmästä yhtälöstä toinen tuntematon, esimerkiksi $x$. Vähentämällä yhtälön $x + 2y = 5$ molemmilta puolilta $2y$ saadaan yhtälö $$x = 5-2y.$$ Se voidaan sijoittaa alempaan yhtälöön, joka saadaan silloin kirjoitettua muodossa $$2(5-2y) - 3y = 3.$$ Kerrotaan tämän yhtälön vasemmalla puolella sulut auki, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$10-4y - 3y = 3.$$ Sieventämällä yhtälön vasen puoli saadaan se muotoon $$10-7y = 3.$$ Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta 10 saadaan uusi yhtälö $$-7y = -7.$$ Jakamalla tämän yhtälön molemmat puolet luvulla $-7$ saadaan $$y = 1.$$ Koska aiempien laskujen mukaan $x = 5-2y$, saadaan $$x = 5-2\cdot 1 = 5-2 = 3.$$ Tämä tarkoittaa, että yhtälöparin ainoa mahdollinen ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$. Tarkistetaan vielä, että nämä luvut todella toteuttavat kummankin yhtälön: $$ \left\{\begin{aligned} 3+2\cdot 1 &= 3 + 2 = 5 \\ 2\cdot 3-3\cdot 1 &= 6-3 = 3. \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$.

Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 3x-3y &= 1 \\ x+3y &= 5. \end{aligned}\right. $$

$x = \frac{3}{2}\ $ ja $\ y = \frac{7}{6}$

Edellä tarkastellun yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisua voidaan havainnollistaa seuraavasti: Ensimmäinen yhtälö $x + 2y = 5$ voidaan kirjoittaa muodossa $2y = 5-x$ ja edelleen muodossa $$y = \frac{5-x}{2}.$$ Sen toteuttavia lukupareja $(x,y)$ on vaikka kuinka paljon, sillä luvuksi $x$ voidaan valita mikä tahansa reaaliluku ja sen jälkeen vastaava $y$:n arvo saadaan yllä olevasta yhtälöstä. Esimerkiksi jos $x = 0$, saadaan $$y = \frac{5}{2} = 2{,}5.$$ Jos $x = 1$, saadaan $$y = \frac{4}{2} = 2.$$ Jos $x = 3$, saadaan $$y = \frac{2}{2} = 1.$$ Lukuparit $(0;2{,}5)$, $(1,2)$ ja $(3,1)$ ovat esimerkkejä yhtälön $x + 2y = 5$ ratkaisuista ja niitä voidaan havainnollistaa pisteinä koordinaatistossa:

Jos kerätään yhteen kaikki yhtälön $x + 2y = 5$ ratkaisut eli lukuparit, jotka ovat muotoa $$\left(x,\frac{5-x}{2}\right)$$ muodostavat ne koordinaatistoon suoran $$y = \frac{5}{2}-\frac{1}{2}x.$$

Toinen yhtälö $2x - 3y = 3$ voidaan kirjoittaa muodossa $-3y = 3-2x$ ja edelleen muodossa $$y = \frac{3-2x}{-3}.$$ Sen toteuttavia lukupareja $(x,y)$ on myös vaikka kuinka paljon, sillä luvuksi $x$ voidaan valita mikä tahansa reaaliluku ja sen jälkeen vastaava $y$:n arvo saadaan yllä olevasta yhtälöstä. Esimerkiksi jos $x = 0$, saadaan $$y = \frac{3}{-3} = -1.$$ Jos $x = 1{,}5$, saadaan $$y = \frac{0}{-3} = 0.$$ Jos $x = 3$, saadaan $$y = \frac{-3}{-3} = 1.$$ Lukuparit $(0,-1)$, $(1{,}5;0)$ ja $(3,1)$ ovat esimerkkejä yhtälön $2x - 3y = 3$ ratkaisuista ja niitä voidaan havainnollistaa pisteinä koordinaatistossa:

Jos kerätään yhteen kaikki yhtälön $2x - 3y = 3$ ratkaisut eli lukuparit, jotka ovat muotoa $$\left(x,\frac{3-2x}{-3}\right),$$ muodostavat ne koordinaatistoon suoran $$y = -1+\frac{2}{3}x.$$

Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisut ovat täsmälleen ne lukuparit $(x,y)$, jotka toteuttavat sekä yhtälön $x+2y = 5$ että yhtälön $2x-3y = 3$. Toisin sanottuna tutkittavan yhtälöparin ratkaisut ovat näitä yhtälöitä vastaavien suorien leikkauspisteet:

Yllä olevasta kuvasta havaitaan, että yhtälöparilla $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ on tasan yksi ratkaisu, joka määritettiin jo aikaisemmin laskemalla: $x = 3$ ja $y = 1$.

Edellisessä tehtävässä ratkaistiin yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 3x-3y &= 1 \\ x+3y &= 5. \end{aligned}\right. $$ Havainnollista ratkaisua piirtämällä koordinaatistoon yhtälöä $3x-3y = 1$ vastaava suora ja yhtälöä $x+3y = 5$ vastaava suora.

Pystyisitkö päättelemään pelkän piirroksen avulla, mitkä luvut toteuttavat tämän yhtälöparin?

Yhtälöparin ratkaisujen lukumäärää voidaan siis tutkia graafisesti. Esimerkiksi yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} -2x+y &= -3 \\ 4x-2y &= 3 \end{aligned}\right. $$ voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x-3 \\ -2y &= -4x+3 \end{aligned}\right. $$ ja edelleen muodossa $$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x-3 \\ y &= 2x-\frac{3}{2}. \end{aligned}\right. $$ Näitä yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, kuten alla olevasta kuvasta nähdään:

Tarkasteltavalla yhtälöparilla ei siis ole yhtään ratkaisua. Samaan tulokseen päädytään myös laskennallisesti: Yhtälöparin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $y = 2x-3$. Jos se sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan yhtälö $$4x-2(2x-3) = 3.$$ Sieventämällä yhtälön vasenta puolta saadaan $$4x-4x+6 = 3$$ eli $$6 = 3.$$ Tämä yhtälö ei toteudu millään tuntemattomien $x$ ja $y$ arvoilla, joten yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua.

Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 3x+2y &= 6 \\ 9x &= 27-6y. \end{aligned}\right. $$ Havainnollista ratkaisua piirtämällä. Pystyisitkö päättelemään pelkän piirroksen avulla, mitkä luvut toteuttavat tämän yhtälöparin?

Yhtälöparilla ei ole ratkaisua.

Edellä on tarkasteltu yhtälöpareja, jotka ovat muotoa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Tällaisia yhtälöpareja sanotaan ensimmäisen asteen yhtälöpareiksi. Edellä nähtiin, että tällaisella ensimmäisen asteen yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi on vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Tarkastele yhtälöparia $$ \left\{\begin{aligned} 2y &= 4x-6 \\ 2x-y &= 3. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä yhtälöparin ensimmäistä yhtälöä vastaava suora koordinaatistoon.
  2. Piirrä yhtälöparin toista yhtälöä vastaava suora koordinaatistoon.
  3. Päättele piirroksesi avulla kolme erilaista ratkaisua yhtälöparille. Tarkista laskemalla, että ne todella ovat ratkaisuja.
  4. Tiedetään, että $(x,y)$ on yhtälöparin ratkaisu ja $x = 100$. Määritä $y$.
  5. Tiedetään, että $(x,y)$ on yhtälöparin ratkaisu ja $x = 111$. Määritä $y$.
  6. Millaista muotoa yhtälöparin ratkaisut $(x,y)$ ovat? Toisin sanottuna jos $x = t$, niin mikä on $y$? (Tässä $t$ on reaaliluku.)

  1. $y = 197$.
  2. $y = 219$.
  3. $(t,2t-3)$.

Yhtälöryhmiä, joissa yhtälöitä ja tuntemattomia on useampia, voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellä ratkaistiin kahden tuntemattoman yhtälöpareja. Esimerkiksi yhtälöryhmää $$ \left\{\begin{aligned} x-3y-2z &= 0 \\ -x+2y-\phantom{2}z &= -5 \\ 3x+4y+\phantom{2}z &= 1 \end{aligned}\right. $$ ratkaistaessa voidaan ensin ratkaista ylimmästä yhtälöstä $x$: $$x = 3y+2z.$$ Se voidaan sijoittaa kahteen alempaan yhtälöön: $$ \left\{\begin{aligned} -(3y+2z)+2y-z &= -5 \\ 3(3y+2z)+4y+z &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kertomalla sulut auki yhtälöt saadaan muotoon $$ \left\{\begin{aligned} -3y-2z+2y-z &= -5 \\ 9y+6z+4y+z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Sievennetään vielä yhtälöiden vasemmat puolet, jolloin ne näyttävät tältä: $$ \left\{\begin{aligned} -y-3z &= -5 \\ 13y+7z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Koko yhtälöryhmä on siis tässä vaiheessa $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3y+2z \\ -y-3z &= -5 \\ 13y+7z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä $y$ muutaman välivaiheen kautta, jolloin saadaan $$y = 5-3z.$$ Tässä kannattaa itse miettiä kynän ja paperin kanssa, millaisia välivaiheita ratkaisussa oli. Sijoitetaan saatu $y$:n lauseke alimpaan yhtälöön: $$13(5-3z)+7z = 1.$$ Kertomalla sulut auki yhtälö saadaan muotoon $$65-39z+7z = 1.$$ Tästä saadaan ratkaistua $$-32z = -64$$ eli $$z = \frac{-64}{-32} = 2.$$ Koko yhtälöryhmä on tässä vaiheessa $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3y+2z \\ y &= 5-3z \\ z &= 2. \end{aligned}\right. $$ Kun nyt $z$:n arvo tunnetaan, saadaan muut tuntemattomat ratkaistua sen avulla vaiheittain: $$ \left\{\begin{aligned} z &= 2 \\ y &= 5-3z \\ &= 5-3\cdot 2 \\ &= 5-6 \\ &= -1\\ x &= 3y+2z \\ &= 3\cdot(-1) + 2\cdot 2 \\ &= -3+4 \\ &= 1. \end{aligned}\right. $$ Nämä laskut osoittavat, että tarkastellulla yhtälöryhmällä on enintään yksi ratkaisu. Tarkistetaan vielä sijoittamalla, että kaikki yhtälöt todella toteutuvat, jos $x = 1$, $y = -1$ ja $z = 2$: $$ \left\{\begin{aligned} x-3y-2z &=1-3\cdot(-1)-2\cdot 2 \\ &= 1+3-4 \\ &= 4-4 \\ &=0 \\ -x+2y-\phantom{2}z &= -1 + 2\cdot(-1)-2 \\ &= -1-2-2 \\ &= -3-2 \\ &= -5 \\ 3x+4y+\phantom{2}z &= 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) + 2 \\ &= 3-4+2 \\ &= -1 + 2 \\ &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöryhmän ratkaisu on $x = 1$, $y = -1$ ja $z = 2$.

  1. Ratkaise kynän ja paperin avulla yhtälöryhmä $$ \left\{\begin{aligned} x-2y+3z &= 5 \\ -x+2y-4z &= -4 \\ 6x-\phantom{2}y + 5z &= 10 \end{aligned}\right. $$
  2. Ratkaise a-kohdan yhtälöryhmä laskimen tai tietokoneen avulla. Katso tarvittaessa mallia tästä videosta.

  1. $x = 2$, $\ y = -3 \ $ ja $\ z = -1$.

Edellä opeteltiin ratkaisemaan yhtälöryhmiä niin sanotun sijoitusmenetelmän avulla. Yhtälöryhmiä voidaan ratkaista muillakin menetelmillä. Edellisen tehtävän yhtälöryhmä on esimerkki lineaarisesta yhtälöryhmästä, jollaisia voidaan ratkaista myös niin sanotun Gaussin eliminointimenetelmän avulla. Yhden ratkaisutavan hallitseminen kuitenkin riittää tällä kurssilla.

Edellisessä luvussa jaettiin $xy$-tason vektoreita komponentteihin piirrosten avulla päättelemällä. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että vektori $\va = 6\vi + 3\vj$ voidaan kirjoittaa muodossa $\va = 5\vv + 4\vw$, missä $\vv = 2\vi-\vj$ ja $\vw = -\vi+2\vj$. Vektorit $5\vv$ ja $4\vw$ ovat siis vektorin $\va$ vektorien $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

Kolmiulotteisen avaruuden vektorin jakaminen komponentteihin ei yleensä onnistu piirroksen avulla, vaan siinä vaaditaan yhtälöryhmän ratkaisemista. Esimerkiksi jos vektori $\vv = 2\vi + 3\vk$ halutaan jakaa vektoreiden $\va = \vi-\vj$, $\vb = \vj + \vk$ ja $\vc = \vi + \vj + \vk$ suuntaisiin komponentteihin, on etsittävä kertoimet $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttavat yhtälön $$\vv = x\va + y\vb + z\vc.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa $$2\vi + 3\vk = x(\vi-\vj) + y(\vj + \vk) + z(\vi + \vj + \vk).$$ Kertomalla yhtälön oikealla puolella sulut auki yhtälö saadaan muotoon $$2\vi + 3\vk = x\vi-x\vj + y\vj + y\vk + z\vi + z\vj + z\vk.$$ Yhtälön oikeaa puolta voidaan vielä sieventää laskemalla yhteen vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ skalaarimonikerrat: $$2\vi + 3\vk = (x+z)\vi + (-x+y+z)\vj + (y+z)\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} x+z &= 2 \\ -x+y+z &= 0 \\ y + z &= 3. \end{aligned}\right. $$ Vektorin $\vv$ vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ suuntaiset komponentit saadaan määritettyä ratkaisemalla yllä oleva yhtälöryhmä.

Ratkaise edellä tarkasteltu yhtälöryhmä ja päättele, mitkä ovat vektorin $\vv = 2\vi + 3\vk$ vektoreiden $\va = \vi-\vj$, $\vb = \vj + \vk$ ja $\vc = \vi + \vj + \vk$ suuntaiset komponentit.

$\vv = 3\va+4\vb -\vc$, joten kysytyt komponentit ovat $3\va$, $\ 4\vb \ $ ja $\,-\vc$.

Halutaan jakaa vektori $\vv = 3\vi + 4\vj$ vektoreiden $\va = 3\vi-\vj$ ja $\vb = \vi - 2\vj$ suuntaisiin komponentteihin.

  1. Kirjoita näkyviin, millaista yhtälöä pitää tutkia.
  2. Sijoita vektorit $\vv$, $\va$ ja $\vb$ yhtälöön ja muokkaa yhtälöä niin, että pystyt vertaamaan sen eri puolilla olevia vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimia.
  3. Muodosta saamaasi yhtälöä vastaava yhtälöpari. Ensimmäisen yhtälön saat vektoreiden $\vi$ kertoimista, toisen yhtälön saat vektoreiden $\vj$ kertoimista.
  4. Ratkaise yhtälöpari. Mitkä ovat vektorin $\vv$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ suuntaiset komponentit?
  5. Havainnollista saamaasi vastausta piirtämällä vektori $\vv$ ja sen komponentit koordinaatistoon. Tarkista piirroksesi avulla, että saamasi tulokset ovat oikein.

  1. $\vv = x\va + y\vb$
  2. $3\vi + 4\vj = (3x+y)\vi + (-x-2y)\vj$
  3. Yhtälöpari: $$ \left\{\begin{aligned} 3x+y &= 3 \\ -x-2y &= 4. \end{aligned}\right. $$
  4. Komponentit ovat $2\va\ $ ja $\ -3\vb$.

Kolmiulotteisen koordinaatiston vektoreiden pistetulo määritellään samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulo:

MÄÄRITELMÄ: PISTETULO

Vektoreiden $\vv=x_1\vi+y_1\vj + z_1\vk$ ja $\vw=x_2\vi+y_2\vj + z_2\vk$ pistetulo on $$\vv \cdot \vw = x_1x_2+y_1y_2 + z_1z_2.$$

Kolmiulotteisen avaruuden vektoreiden pistetulolla on samat ominaisuudet kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulolla. Näistä tärkeimmät on koottu alla olevaan teoreemaan, jotka on perusteltu $xy$-koordinaatiston tapauksessa edellisessä luvussa.

TEOREEMA

  1. Vektorit $\vv\neq \bar{0}$ ja $\vw\neq \bar{0}$ ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos ja vain jos $$\vv \cdot \vw = 0.$$
  2. Vektorin pistetulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin vektorin pituuden neliö. Toisin sanottuna $$\vv \cdot \vv = \left|\vv\right|^2.$$

Määritä reaaliluku $t$ siten, että vektorit $\vv = 2\vi-5t\vj + 3t\vk$ ja $\vw = \vi + \vj - t\vk$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

$t = -2\ $ tai $t = \frac{1}{3}$

  1. Keksi esimerkki vektorista $\vv$, jonka pistetulo itsensä kanssa on negatiivinen eli $\vv \cdot \vv < 0$, tai selitä, miksi tällaista vektoria ei ole olemassa.
  2. Keksi esimerkki vektoreista $\vv$ ja $\vw$, joiden pistetulo on negatiivinen eli $\vv \cdot \vw < 0$, tai selitä, miksi tällaisia vektoreita ei ole olemassa.

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden välisen kulman ja pistetulon yhteyttä. Jos vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma on oikokulma eli $\sphericalangle(\vv,\vw) = 180^\circ$, ovat vektorit $\vv$ ja $\vw$ vastakkaissuuntaiset. Tällöin on olemassa sellainen negatiivinen reaaliluku $r$, että $\vv = r\vw$. Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetuloksi saadaan näin $$ \begin{align*} \vv \cdot \vw &= (r\vw) \cdot \vw \\ &= r(\vw\cdot \vw) \\ &= \textcolor{red}{r\left|\vw\right|^2}. \end{align*} $$ Toisaalta vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituuksien tuloksi saadaan $$ \begin{align*} \left|\vv\right|\left|\vw\right| &= \left|r\vw\right| \left|\vw\right| \\ &= \left|r\right|\left|\vw\right| \left|\vw\right| \\ &= \left|r\right|\left|\vw\right|^2 \\ &= -r\left|\vw\right|^2. \end{align*} $$ Huomaa, että koska luku $r$ on negatiivinen, on sen itseisarvo sama kuin sen vastaluku $-r$. Esimerkiksi jos $r= -2$, niin $\left|r\right| = \left|-2\right| = -(-2) = 2$.

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituuksien tuloksi saatiin siis $$ \left|\vv\right|\left|\vw\right| = -r\left|\vw\right|^2. $$ Kerrotaan tämän yhtälön molemmat puolet luvulla $-1$. Koska $\cos (\vv, \vw) = \cos 180^\circ = -1$, voidaan näin saatu yhtälö kirjoittaa myös muodossa $$ \left|\vv\right|\left|\vw\right|\cos (\vv, \vw) = \textcolor{blue}{r\left|\vw\right|^2}. $$ Huomataan, että $\textcolor{blue}{\text{tässä}}$ $\textcolor{blue}{\text{saatu}}$ $\textcolor{blue}{\text{tulos}}$ on sama kuin edellä $\textcolor{red}{\text{vektoreiden}}$ $\textcolor{red}{\text{pistetulosta}}$ $\textcolor{red}{\text{saatu}}$ $\textcolor{red}{\text{tulos}}$. Siten voidaan päätellä, että $$ \vv \cdot \vw = \left|\vv\right| \left|\vw\right| \cos (\vv, \vw). $$

Tehtävänä on tutkia, päteekö yhtälö $$ \vv \cdot \vw = \left|\vv\right| \left|\vw\right| \cos (\vv, \vw) $$ tilanteessa, jossa vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma on nollakulma eli $\sphericalangle(\vv,\vw) = 0^\circ$.

  1. Jos $\sphericalangle(\vv,\vw) = 0^\circ$, niin vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaisia. Tällöin on olemassa sellainen reaaliluku $t$, että $\vv = t\vw$. Mitä voit päätellä luvun $t$ etumerkistä?
  2. Sievennä vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetulo $\vv \cdot \vw$ ja pituuksien tulo $\left|\vv\right|\left|\vw\right|$ samaan tapaan kuin edellä tehtiin.
  3. Vertaa saamiasi tuloksia. Voitko päätellä, että yhtälö $$ \vv \cdot \vw = \left|\vv\right| \left|\vw\right| \cos (\vv, \vw) $$ pätee? Tarkista tarvittaessa kulman $\sphericalangle(\vv,\vw) = 0^\circ$ kosinin arvo laskimesta.

Jos vektoreiden välinen kulma on suurempi kuin $0^\circ$ ja pienempi kuin $180^\circ$, voidaan vektoreista muodostaa kolmio, jonka kylkinä tarkasteltavat vektorit ovat. Vektoreiden välinen kulma voidaan tällöin laskea Geometria-kurssista tutun kosinilauseen avulla.

Kosinilause on Pythagoraan lauseen yleistys. Pythagoraan lause pätee ainoastaan suorakulmaisille kolmioille, mutta kosinilausetta voi käyttää kaikille kolmioille. Kosinilauseen mukaan alla olevan kuvan kolmiossa $$ c^2=a^2+b^2-2ab \cos \gamma. $$

Jos kolmion sivujen pituudet ajatellaan vektoreiden pituuksina kuten alla olevassa kuvassa, saadaan kosinilauseesta yhtälö $$ |\vv-\vw|^2=|\vv|^2+|\vw|^2-2|\vv||\vw| \cos(\vv,\vw). $$

Kosinilauseen ja pistetulon ominaisuuksien avulla saadaan perusteltua seuraava edellisestä luvusta tuttu teoreema, joka yhdistää pistetulon ja vektoreiden välisen kulman.

TEOREEMA

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pistetulolle pätee $$\vv \cdot \vw = |\vv||\vw|\cos (\vv, \vw).$$ Jos $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$, niin vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma saadaan yhtälöstä $$ \cos (\vv, \vw)=\frac{\vv \cdot \vw}{|\vv||\vw|}. $$

Perustelu: Tapaukset $\sphericalangle(\vv,\vw) = 0^\circ$ ja $\sphericalangle(\vv,\vw) = 180^\circ$ on perusteltu jo tehtävässä 24 sekä sitä edeltävässä tekstissä. Tarkastellaan siis tapausta, jossa vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma ei ole nollakulma eikä oikokulma.
Tiedetään, että vektorin pituuden neliö on aina sama kuin sen pistetulo itsensä kanssa. Tästä saadaan seuraava yhtälöketju: $$ \begin{align*} |\vv-\vw|^2 &=(\vv-\vw)\cdot(\vv-\vw) \\ &= \vv \cdot \vv -\vv\cdot\vw - \vw \cdot \vv+\vw\cdot\vw \\ &= |\vv|^2 - 2(\vv\cdot\vw) +|\vw|^2. \end{align*} $$ Toisaalta kosinilauseen mukaan $$ |\vv-\vw|^2=|\vv|^2+|\vw|^2-2|\vv||\vw| \cos(\vv,\vw). $$ Yhdistämällä edelliset tiedot saadaan yhtälö $$ |\vv|^2 - 2(\vv\cdot\vw) +|\vw|^2 = |\vv|^2+|\vw|^2-2|\vv||\vw| \cos(\vv,\vw). $$ Ratkaistaan tästä $\vv\cdot\vw$, jolloin saadaan $$ \vv\cdot\vw = |\vv||\vw| \cos(\vv,\vw). $$ Jos $\vv \neq \bar{0}$ ja $\vw \neq \bar{0}$, niin vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ pituudet ovat positiivisia. Jakamalla yhtälön molemmat puolet tulolla $|\vv||\vw|$ saadaan $$ \cos (\vv, \vw)=\frac{\vv \cdot \vw}{|\vv||\vw|}. $$

Laske vektorien $\va = 3\vi -4\vj$ ja $\vb = 6\vi + 3\vj - 2\vk$ välinen kulma. Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.

$\sphericalangle(\va,\vb) \approx 80{,}1^\circ$

Kolmion kärjet ovat pisteissä $A = (4,1,2)$, $B = (-5,5,-3)$ ja $C = (-4,6,1)$. Määritä

  1. kolmion sivujen pituudet (tarkat arvot)
  2. kolmion kulmat asteen kymmenesosan tarkkuudella.

  1. $|\pv{AB}| = \sqrt{122}$, $\ |\pv{AC}| = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \ $ ja $\ |\pv{BC}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
  2. $\sphericalangle A \approx 22{,}2^\circ$, $\ \sphericalangle B \approx 57{,}8^\circ \ $ ja $\ \sphericalangle C \approx 100{,}0^\circ.$

$xyz$-koordinaatisto

Tarkastele alla olevan kuvan suorakulmaista särmiötä.

  1. Määritä särmiön kärkipisteiden koordinaatit.
  2. Piste $B$ on $xy$-tasossa. Missä tasossa piste $D$ sijaitsee? Entä piste $F$?

  1. $A = (0,1,0)$, $\ B = (2,1,0)$, $\ C = (2,1,4)$, $\ D = (0,1,4)$, $\ E = (2,0,0)$, $\ F = (2,0,4)$, $\ G = (0,0,4)$,
  2. Piste $D$ sijaitsee $yz$-tasossa. Piste $F$ sijaitsee $xz$-tasossa.

Vektorin pituus

Kolmion kärjet sijaitsevat pisteissä $A=(1,2,4)$, $B=(2,0,1)$ ja $C=(2,-3,0)$. Laske kolmion sivujen pituudet.

$|\pv{AB}| = \sqrt{14}$, $\ |\pv{AC}| = \sqrt{42} \ $ ja $\ |\pv{BC}| = \sqrt{10}$.

Yksikkövektori

Tarkastele vektoria $\vv=3\vi+6\vj-6\vk$.

  1. Määritä vektorin $\vv$ suuntainen yksikkövektori.
  2. Määritä vektorin $\vv$ kanssa vastakkaissuuntainen vektori $\vw$, jonka pituus on 10.
  3. Siirryt pisteestä $A=(1,-5,2)$ kahdeksan yksikön verran vektorin $\vv$ suuntaan. Mihin pisteeseen päädyt?

  1. $\vv^0 = \dfrac{1}{3}(\vi+2\vj-2\vk)$
  2. $\vw = -10\vv^0 = -\dfrac{10}{3}(\vi+2\vj-2\vk)$
  3. Pisteeseen $\left(\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{10}{3}\right)$.

Vektorin pituus

Lennonjohtaja tarkkailee kahden koneen sijaintia. Havaintohetkellä lentokone $A$ on lentokentästä $4{,}0$ km länteen ja $2{,}0$ km pohjoiseen, ja lentokone $B$ on lentokentästä $1{,}0$ km itään ja $7{,}0$ km etelään. Kuinka kaukana lentokoneet ovat toisistaan, kun kone $A$ lentää $5$ km korkeudella ja kone $B$ lentää $3$ km korkeudella?

Lentokoneet ovat noin 10,5 km etäisyydellä toisistaan.

Vektorin jakaminen komponentteihin

Edellisessä luvussa eräänä tehtävänä oli jakaa vektori $\va=4\vi-2\vj$ vektoreiden $\vv=3\vi+\vj$ ja $\vw=-\vi-\vj$ suuntaisiin komponentteihin kuvan avulla päättelemällä. Nyt, kun osaat ratkaista yhtälöpareja, tee sama tehtävä laskemalla. Tarkista lopuksi, että sait samat komponenttivektorit kummallakin tavalla.

$\va = 3\vv + 5\vw$, joten kysytyt komponenttivektorit ovat $3\vv$ ja $5\vw$.

Vektorin jakaminen komponentteihin

Jaa vektori $\va=-5\vi-5\vj+9\vk$ vektoreiden $\vu=3\vi-\vk$, $\vv=-\vj+2\vk$ ja $\vw=\vi-2\vj+\vk$ suuntaisiin komponentteihin.

$\va = -2\vu + 3\vv + \vw$, joten kysytyt komponenttivektorit ovat $-2\vu$, $3\vv$ ja $\vw$.

Paikkavektori

Vektori $\pv{AB}$ alkaa pisteestä $A=(2,3,-1)$. Määritä pisteen $B$ koordinaatit, kun vektori $\pv{AB}$ on vastakkaissuuntainen vektorin $\vv=2\vi-\vj-2\vk$ kanssa ja sen pituus on kaksinkertainen vektorin $\vv$ pituuteen verrattuna.

$B = (-2,5,3)$.

$xyz$-koordinaatisto

Neliöpohjainen suora pyramidi, jonka pohjaneliön sivun pituus on 3 ja korkeus on 4, asetetaan koordinaatistoon siten, että pyramidin huippu on positiivisella $y$-akselilla, pohjan keskipiste origossa ja pohjaneliön sivut ovat $x$- ja $z$-akselien suuntaiset.

  1. Piirrä tilanteesta kuva.
  2. Määritä pyramidin kärkien koordinaatit.
  3. Ilmaise pyramidin huipusta lähtevät särmät vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla.

  1. Pohjaneliön kärjet: $(1{,}5; 0; 1{,}5)$, $\ (1{,}5; 0; -1{,}5)$, $\ (-1{,}5; 0; -1{,}5)$, $\ (-1{,}5; 0; 1{,}5)$. Huippu $(0,4,0)$.
  2. $1{,}5\vi - 4\vj + 1{,}5\vk$, $\ 1{,}5\vi - 4\vj - 1{,}5\vk$, $\ -1{,}5\vi - 4\vj - 1{,}5\vk$, $\ -1{,}5\vi - 4\vj + 1{,}5\vk$

Kahden pisteen välinen vektori

Tarkastele pisteitä $A=(7,2,-9)$ ja $B=(2,-3,6)$.

  1. Muodosta vektori $\pv{AB}$.
  2. Mihin pisteeseen päädyt, jos lähdet pisteestä $(-1,5,8)$ ja kuljet vektorin $\pv{AB}$?

  1. $\pv{AB} = -5\vi - 5\vj + 15\vk$
  2. Pisteeseen $(-6,0,23)$.

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Etsi sellainen reaaliluku $r$, että vektorit $\va=-3\vi+8\vj-6\vk$ ja $\vb=\vi-r\vj+2\vk$ ovat

  1. yhtä pitkät
  2. yhdensuuntaiset.

  1. $r = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$
  2. $r = \frac{8}{3}$.

Vektoreiden laskutoimituksia

Lentokone kiihdyttää $xz$-tasolla olevalla kiitoradalla. Kone irtoaa kiitoradasta ja nousee vektorin $\vv=2\vi+3\vj-\vk$ suuntaisesti. Hetken kuluttua kone on pisteessä $(8,7,-4)$. Missä pisteessä kone irtosi kiitoradasta?

Pisteessä $\left(\frac{10}{3}, 0, -\frac{5}{3}\right)$.

Vektoreiden välinen kulma

Määritä vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välinen kulma asteen tarkkuudella, jos

  1. $\vv=-15\vi+8\vj+23\vk$ ja $\vw=11\vi+4\vj-7\vk$
  2. $\vv=6\vi-14\vj+5\vk$ ja $\vw=-13\vi+18\vj-10\vk$.

  1. $\sphericalangle(\vv,\vw) \approx 139^\circ$
  2. $\sphericalangle(\vv,\vw) \approx 167^\circ$.

Vektoreiden välinen kulma

Kolmion kärjet sijaitsevat pisteissä $A=(3,2,1)$, $B=(2,0,4)$ ja $C=(2,-3,0)$. Määritä kolmion suurimman kulman suuruus asteen tarkkudella.

$\sphericalangle B \approx 71^\circ$

  1. Määritä vektoreiden $\va=\vi-2\vj$ ja $\vb=3\vi+\vj$ välisen kulman likiarvo asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  2. Millä parametrin $s$ arvolla vektorit $\va=\vi-2\vj$ ja $\vc=s\vi+(1-s)\vj$ ovat yhdensuuntaiset? Ovatko ne tällöin samansuuntaiset vai vastakkaissuuntaiset? [Pitkä S13/3]

  1. Noin $81{,}9^\circ$.
  2. $s = -1$, jolloin vektorit $\va$ ja $\vc$ ovat vastakkaissuuntaiset.

Pisteestä $A(1,-1,0)$ siirrytään $9$ pituusyksikköä vektorin $\vi-2\vj+2\vk$ suuntaan pisteeseen $B$ ja siitä edelleen $10$ pituusyksikköä vektorin $3\vi-4\vk$ suuntaan pisteeseen $C$. Määritä pisteen $C$ koordinaatit. [Pitkä S13/5]

$C = (10, -7, -2)$

Olkoon $\va=4\vi-5\vj+3\vk$ ja $\vb=2\vi+\vj-2\vk$. Esitä vektori $\va$ summana vektoreista $\vu$ ja $\vv$, joista $\vu$ on yhdensuuntainen vektorin $\vb$ kanssa ja $\vv$ kohtisuorassa vektoria $\vb$ vastaan. [Pitkä K11/8]

$\va = \vu + \vv$, missä $\vu = -\frac{2}{3}\vi - \frac{1}{3}\vj + \frac{2}{3}\vk$ ja $\vv = \frac{14}{3}\vi - \frac{14}{3}\vj + \frac{7}{3}\vk$

Kuljet origosta pisteeseen $A=(6,-4,-2)$. Alkumatkan kuljet $xy$-tasossa ja loppumatkan vektorin $\vv=2\vi+2\vj-\vk$ suuntaan.

  1. Missä pisteessä poistut $xy$-tasosta?
  2. Kuinka pitkän matkan kuljet yhteensä?

  1. Pisteessä $(2,-8,0)$
  2. $6 + \sqrt{68} = 6 + 2\sqrt{17}$

Suunnikkaan kolme kärkipistettä ovat $(1,0,2), (3,1,1)$ ja $(2,-2,6)$. Määritä suunnikkaan neljäs kärkipiste. Huomaat, että ratkaisuja on useita. Voit hahmotella mallikuvaa ratkaisun tueksi.

Suunnikkaan neljäs kärkipiste voi olla $(0,-3,7)$ tai $(2,3,-3)$ tai $(4,-1,5)$.

Tarkastele vektoreita $\vv=2\vi-\vj+\vk$ ja $\vw=-\vi-\vj+2\vk$.

  1. Määritä jokin vektori, joka on vektoreita $\vv$ ja $\vw$ vastaan kohtisuorassa.
  2. Määritä kaikki vektorit, jotka ovat vektoreita $\vv$ ja $\vw$ vastaan kohtisuorassa.
  3. Määritä kaikki yksikkövektorit, jotka ovat vektoreita $\vv$ ja $\vw$ vastaan kohtisuorassa.

  1. Esimerkiksi $\vi + 5\vj + 3\vk$.
  2. $t(\vi + 5\vj + 3\vk)$ missä $t$ on reaaliluku.
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{35}}(\vi + 5\vj + 3\vk)\ $ ja $\ -\dfrac{1}{\sqrt{35}}(\vi + 5\vj + 3\vk)$

Vektoreiden $\va$ ja $\vb$ summa on vektori $4\vi+\vj$ ja niiden pistetulo on $\va\cdot \vb=4$. Vektori $\vb$ on yhdensuuntainen vektorin $\vi$ kanssa. Määritä vektorit $\va$ ja $\vb$. [Pitkä K10/5]

$\va = 2\vi + \vj\ $ ja $\ \vb = 2\vi$.

Mitkä ovat ne $z$-akselin pisteet, joista tarkasteltuna pisteet $A=(7,-5,1)$ ja $B=(-4,7,-1)$ yhdistävä jana näkyy suorassa kulmassa?

Kysytyt pisteet ovat $(0,0,8)$ ja $(0,0,-8)$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Suorat ja tasot

Tämän luvun tavoitteena on, että osaat esittää suoria ja tasoja vektorien avulla sekä tutkia niiden ominaisuuksia. Osaat

  • muodostaa suoralle ja tasolle sekä vektorimuotoisen että koordinaattimuotoisen parametriesityksen
  • tutkia, onko annettu piste tietyllä suoralla tai tietyssä tasossa
  • määrittää kahden suoran leikkauspisteen sekä suoran ja tason leikkauspisteen
  • laskea kahden suoran välisen kulman sekä suoran ja tason välisen kulman
  • laskea pisteen etäisyyden suorasta ja tasosta
  • muodostaa $xy$-koordinaatiston suoralle ja $xyz$-koordinaatiston tasolle normaalimuotoisen yhtälön.

Tavoitteiden toteutumista pääset arvioimaan luvun lopussa olevan itsearviointitestin avulla

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Sen pisteiden $A$ ja $B$ kautta on mahdollista piirtää ainoastaan yksi suora — pisteet $A$ ja $B$ määräävät suoran yksiselitteisesti.

Yksi piste ei riitä, sillä sen kautta voi kulkea äärettömän monta eri suoraa.

Suora voidaan määrittää vektoreiden avulla. Tällöin tarvitaan yhden suoran pisteen paikkavektori sekä yksi suoran suuntainen vektori. Tätä vektoria kutsutaan suoran suuntavektoriksi. Näitä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Tutki pisteiden $A=(-1,2)$ ja $B=(1,1)$ kautta kulkevaa suoraa $L$.

  1. Piirrä koordinaatistoon pisteet $A$ ja $B$ sekä suora $L$.
  2. Ilmaise vektorit $\pv{OA}$ ja $\pv{AB}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  3. Laske vektorit $\pv{OQ} = \pv{OA} + 2\pv{AB}$ ja $\pv{OR} = \pv{OA} - \pv{AB}$.
  4. Merkitse piirrokseesi vektorit $\pv{OA}$, $\pv{AB}$, $\pv{OQ}$ ja $\pv{OR}$.
  5. Merkitse piirrokseesi piste $S = (5,-1)$. Etsi sellainen luku $t$, että yhtälö $\pv{OS} = \pv{OA} + t\pv{AB}$ toteutuu.
  6. Merkitse piirrokseesi piste $C = (3,2)$. Onko mahdollista löytää sellainen luku $t$, että yhtälö $\pv{OC} = \pv{OA} + t\pv{AB}$ toteutuu? Selitä omin sanoin.

  1. $\pv{OA} = -\vi + 2\vj\ $ ja $\ \pv{AB} = 2\vi - \vj$.
  2. $\pv{OQ} = 3\vi\ $ ja $\ \pv{OR} = -3\vi + 3\vj$.
  3. $t = 3$.

Edellisessä tehtävässä tarkasteltiin suoraa $L$, joka kulkee pisteen $A$ kautta ja jonka suuntavektori on $\vv = \pv{AB}.$ Tehtävässä havaittiin, että piste $P$ on suoralla $L$, jos ja vain jos on olemassa sellainen luku $t$, että $$\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv.$$

MÄÄRITELMÄ: SUORAN VEKTORIMUOTOINEN PARAMETRIESITYS

Oletetaan, että $A$ on suoran $L$ piste ja $\vv$ on suoran $L$ suuntavektori. Yhtälö $$\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv$$ on suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.
Tässä esiintyvä kerroin $t$ on parametri ja vektori $\pv{OA}$ on suoran paikkavektori.

Suoran vektorimuotoinen parametriesitys kertoo, millaisia suoran pisteiden paikkavektorit ovat. Antamalla parametrille $t$ eri arvoja, saadaan suoran eri pisteiden paikkavektoreita.

Tarkastele tätä Geogebra-sovellusta. Siinä on näkyvissä suora, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv.$$ Säädä parametrin $t$ arvoa liukukytkimellä ja selvitä silmämääräisesti arvioiden,

  1. mikä on suoran paikkavektori $\pv{OA}$
  2. mikä on suoran suuntavektori $\vv$
  3. millä parametrin $t$ arvolla suoran vektorimuotoinen parametriesitys antaa suoran pisteen $P = (-1,2)$ paikkavektorin
  4. minkä suoran pisteen paikkavektori saadaan parametrin arvolla $t=3{,}7$.

Suoran vektorimuotoisen parametriesityksen avulla voidaan määrittää sekä tason että avaruuden suoria. Samaa suoraa voidaan kuvata usealla erilaisella parametriesityksellä, sillä suoran paikkavektoriksi voidaan valita suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori ja suoran suuntavektoriksi voidaan valita mikä tahansa suoran suuntainen vektori.

Suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = -2\vi + \vj + t(3\vi + 2\vj)$. Päättele parametriesityksen avulla suoralle $L$

  1. yksi paikkavektori
  2. yksi suuntavektori.
  3. Piirrä suora $L$ koordinaatistoon.

  1. Esimerkiksi $-2\vi + \vj$.
  2. Esimerkiksi $3\vi + 2\vj$.

Tarkastele alla olevan kuvan suoraa $L$.

  1. Valitse suoralta $L$ yksi piste ja muodosta sen paikkavektori.
  2. Muodosta jokin suoran $L$ suuntavektori.
  3. Kirjoita näkyviin suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.

Alla olevassa kuvassa on suora, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = \vi + 2\vj + t(3\vi + \vj).$$

Jos pisteen $P$ koordinaatteja merkitään kirjaimilla $x$ ja $y$, voidaan yllä oleva parametriesitys kirjoittaa muodossa $$x\vi + y\vj = \vi + 2\vj + t(3\vi + \vj).$$ Tämän yhtälön oikealla puolella voidaan kertoa sulut auki, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$x\vi + y\vj = \vi + 2\vj + 3t\vi + t\vj.$$ Yhtälön oikeaa puolta voidaan vielä sieventää suorittamalla yhteenlaskut, minkä jälkeen yhtälö näyttää tältä: $$x\vi + y\vj = (1+3t)\vi + (2+t)\vj.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1+3t \\ y &= 2+t. \end{aligned}\right. $$ Minkä tahansa suoran vektorimuotoinen parametriesitys voidaan muuttaa vastaavaan muotoon, jossa suoran pisteen jokaiselle koordinaatille on oma yhtälönsä. Tätä esitystapaa sanotaan suoran koordinaattimuotoiseksi parametriesitykseksi.

Avaruuden suora $L$ kulkee pisteiden $A = (4,-1,3)$ ja $B = (2,1,3)$ kautta. Koska kysymyksessä on avaruuden suora, tarkan kuvan piirtäminen on hankalaa. Tilannetta voi kuitenkin havainnollistaa mallikuvalla:

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva omaan vihkoosi.
  2. Muodosta suoran $L$ jonkin pisteen paikkavektori ja jokin suoran $L$ suuntavektori. Merkitse nämä mallikuvaan.
  3. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  4. Määritä vektorimuotoisen parametriesityksen avulla kolme uutta pistettä suoralta $L$ antamalla eri arvoja parametrille $t$. Havainnollista näitä pisteitä mallikuvasi avulla.
  5. Muodosta suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys c-kohdan avulla.

Suoran vektorimuotoisen parametriesityksen ja siitä saatavan koordinaattimuotoisen parametriesityksen avulla voidaan tutkia, onko jokin piste suoralla. Jos tarkastellun pisteen paikkavektori ei toteuta suoran parametriesitystä millään parametrin $t$ arvolla, voidaan päätellä, että tämä piste ei ole suoralla.

Suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1-t \\ y &= -2+t \\ z &= 4t. \end{aligned}\right. $$

  1. Määritä suoralta $L$ kaksi pistettä antamalla parametrille $t$ kaksi eri arvoa.
  2. Tutki, onko piste $R=(4,-5,-12)$ suoralla $L$.

  1. Kyllä, sillä parametrin arvolla $t = -3$ saadaan parametriesityksestä piste $R$.

Suora $L$ kulkee pisteen $A = (1,4,-2)$ kautta ja sillä on suuntavektori $\vv = \vi - 2\vj + 3\vk$.

  1. Muodosta pisteen $Q = (-1,8,-8)$ paikkavektori ja tutki, onko yhtälöllä $\pv{OQ} = \pv{OA} + t\vv$ ratkaisua.
  2. Päättele a-kohdan avulla, onko piste $Q$ suoralla $L$. Selitä omin sanoin. Voit havainnollistaa tilannetta mallikuvalla.
  3. Tutki samaan tapaan, onko piste $R = (3,0,6)$ suoralla $L$. Voit havainnollistaa tilannetta mallikuvalla.

  1. Yhtälöllä on ratkaisu $t = -2$.
  2. Piste $Q$ on suoralla $L$.
  3. Piste $R$ ei ole suoralla $L$.

Suoran koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä voidaan tarvittaessa siirtyä takaisin vektorimuotoiseen parametriesitykseen, kuten seuraavassa tehtävässä tehdään.

Tehtävänä on muodostaa suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys, kun tiedetään, että sen koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 2-2t \\ y &= 5+t \\ z &= 1 + 4t \end{aligned}\right. $$

  1. Määritä parametrin $t$ arvoa $t = 0$ vastaava suoran $L$ piste ja muodosta sen paikkavektori.
  2. Selitä, miten voit lukea a-kohdan paikkavektorin koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä ilman laskuja.
  3. Miten voisit lukea suoran suuntavektorin koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä ilman laskuja?
  4. Olkoon $A$ arvoa $t = 0$ vastaava suoran piste ja $B$ arvoa $t = 1$ vastaava suoran piste. Määritä nämä pisteet ja muodosta niiden avulla vektori $\pv{AB}$. Se on yksi suoran $L$ suuntavektori. Saitko saman tuloksen kuin c-kohdassa päättelemällä?
  5. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.

  1. Piste on $(2,5,1)$ ja sen paikkavektori on $2\vi + 5\vj + \vk$.
  2. $\pv{AB} = -2\vi + \vj + 4\vk$
  3. Esimerkiksi $\pv{OP} = 2\vi + 5\vj + \vk + t(-2\vi + \vj + 4\vk)$

Tutkitaan seuraavaksi suorien leikkauspisteitä. Kaksi suoraa leikkaa toisensa, jos ja vain jos niillä on yhteinen piste. Toisin sanottuna kaksi suoraa leikkaa toisensa, jos ja vain jos on olemassa sellainen piste $P$, jonka paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan kummankin suoran parametriesityksestä joillakin parametrien arvoilla. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = -2\vi + 2\vj + t(\vi + 3\vj)$. Suoran $L_2$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = 2\vi - \vj + s(-2\vi - \vj)$.

  1. Piirrä kumpikin suora koordinaatistoon. Merkitse kuvaan suorien paikkavektorit ja suuntavektorit.
  2. Suorilla on yksi leikkauspiste $P$. Määritä sen koordinaatit piirroksesi avulla.
  3. Päättele piirroksesi avulla, millä parametrin $t$ arvolla leikkauspisteen paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan suoran $L_1$ parametriesitysestä.
  4. Päättele piirroksesi avulla, millä parametrin $s$ arvolla leikkauspisteen paikkavektori $\pv{OP}$ saadaan suoran $L_2$ parametriesitysestä.

  1. $P = (-4,-4)$
  2. $t = -2$
  3. $s = 3$

Tarkastellaan suoria, joiden vektorimuotoiset parametriesitykset ovat $\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv$ ja $\pv{OP} = \pv{OC} + s\vw$. Jos näillä suorilla on leikkauspiste, sen paikkavektori saadaan näistä parametriesityksistä joillakin parametrien $t$ ja $s$ arvoilla. Leikkauspiste löydetään siis tutkimalla yhtälöä $$\pv{OA} + t\vv = \pv{OC} + s\vw.$$ Jos tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, tarkoittaa se, ettei suorilla ole yhtään leikkauspistettä.

Esimerkiksi edellisen tehtävän suorien $L_1$ ja $L_2$ leikkauspiste löydetään tutkimalla yhtälöä $$-2\vi + 2\vj + t(\vi + 3\vj) = 2\vi - 1\vj + s(-2\vi - \vj).$$ Kertomalla sulut auki se saadaan muotoon $$-2\vi + 2\vj + t\vi + 3t\vj = 2\vi - 1\vj + -2s\vi - s\vj.$$ Vasenta ja oikeaa puolta voidaan vielä sieventää suorittamalla yhteenlaskut, jolloin päästään yhtälöön $$(-2+t)\vi + (2+3t)\vj= (2-2s)\vi +(-1-s)\vj.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} -2+t &= 2-2s \\ 2+3t &= -1-s. \end{aligned}\right. $$ Lisäämällä ensimmäisen yhtälön molemmille puolille $2+2s$ ja toisen yhtälön molemmille puolille $s-2$ saadaan yhtälöryhmä muotoon $$ \left\{\begin{aligned} 2s+t &= 4 \\ s+3t &= -3. \end{aligned}\right. $$ Tämä yhtälöpari voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellisessä luvussa tehtiin.

Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 2s+t &= 4 \\ s+3t &= -3. \end{aligned}\right. $$ ja vertaa tulosta edellisen tehtävän tulokseen. Saitko laskemalla saman tuloksen kuin kuvasta päättelemällä?

Suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP}=\vi-2\vk+t(2\vi+\vj+4\vk)$ ja suoran $L_2$ koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3-s \\ y &= 1+s\\ z &= 2+s. \end{aligned}\right. $$

  1. Lausu suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys koordinaattimuotoisena parametriesityksenä.
  2. Tutki, leikkavatko suorat $L_1$ ja $L_2$ toisensa. Mitkä ovat mahdollisen leikkauspisteen koordinaatit?

  1. Koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1 + 2t \\ y &= t\\ z &= -2+4t. \end{aligned}\right. $$
  2. Leikkauspiste on $(3,1,2)$.

Suora $L_1$ kulkee pisteiden $A = (4;4;-4{,}5)$ ja $B = (5,6,-7)$ kautta. Suora $L_2$ kulkee pisteiden $C = (5,0,-1)$ ja $D = (7,1,-3)$ kautta.

  1. Harjoittele Geogebran käyttöä piirtämällä sen avulla tilanteesta kaksiulotteinen mallikuva. Katso tarvittaessa mallia tästä videosta.
  2. Muodosta suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  3. Muodosta suoran $L_2$ vektorimuotoinen parametriesitys. Käytä parametrina jotain toista kirjainta kuin a-kohdassa.
  4. Tutki, leikkavatko suorat $L_1$ ja $L_2$ toisensa. Mitkä ovat mahdollisen leikkauspisteen koordinaatit?
  5. Harjoittele Geogebran käyttöä piirtämällä sen avulla tilanteesta tarkka kolmiulotteinen kuva, jota voit käyttää myös d-kohdan vastauksen tarkistamiseen. Katso tarvittaessa mallia tästä videosta.

  1. Suorat leikkaavat toisensa, leikkauspiste on $(1, -2, 3)$.

Suora $L_1$ kulkee pisteiden $A = (1,-3,0)$ ja $B = (4,0,3)$ kautta. Suora $L_2$ kulkee pisteiden $C = (5,2,2)$ ja $D = (8,0,1)$ kautta.

  1. Muodosta suoran $L_1$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  2. Muodosta suoran $L_2$ vektorimuotoinen parametriesitys. Käytä parametrina jotain toista kirjainta kuin a-kohdassa.
  3. Tutki, leikkavatko suorat $L_1$ ja $L_2$ toisensa. Mitkä ovat mahdollisen leikkauspisteen koordinaatit?

  1. Suorat eivät leikkaa toisiaan.

MÄÄRITELMÄ: SUORIEN VÄLINEN KULMA

Suorien välinen kulma tarkoittaa toisensa leikkaavien suorien muodostamista kulmista sitä, joka on terävä tai suora kulma. Esimerkiksi alla olevan kuvan suorien välinen kulma on $\alpha$.

Jos suorat eivät leikkaa toisiaan, tarkoittaa suorien välinen kulma näiden suorien kanssa yhdensuuntaisten toisensa leikkaavien suorien välistä kulmaa.

Kahden suoran välistä kulmaa voidaan tutkia pistetulon avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suoran $L_1$ suuntavektoriksi voidaan valita vektori $\vv = -3\vi + 2\vj$ ja suoran $L_2$ suuntavektoriksi voidaan valita $\vw = 4\vi + 3\vj$.

Suuntavektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välisen kulman kosini saadaan yhtälöstä $$ \begin{align*} \cos(\vv, \vw) &= \frac{\vv \cdot \vw}{|\vv||\vw|} \\ &= \frac{-3\cdot 4 + 2\cdot 3}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2}\sqrt{4^2 + 3^2}} \\ &= \frac{-6}{\sqrt{13}\cdot 5} \\ &\approx -0{,}332820. \end{align*} $$ Tästä saadaan laskimella $\sphericalangle(\vv, \vw) = 109{,}44003\ldots \approx 109{,}4^\circ$. Koska tulos on yli $90^\circ$ eli kulma on tylppä, voidaan päätellä, että suorien $L_1$ ja $L_2$ välinen kulma on $\alpha = 180^\circ - \sphericalangle(\vv, \vw) \approx 180^\circ - 109{,}4^\circ = 70{,}6^\circ$.

  1. Laske tehtävän 3.13 suorien $L_1$ ja $L_2$ välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  2. Miten on mahdollista, että suorat $L_1$ ja $L_2$ eivät leikkaa toisiaan, vaikka ne eivät ole yhdensuuntaisia? Selitä omin sanoin.

  1. Suorien $L_1$ ja $L_2$ välinen kulma on tasan $90^\circ$.

Kaksi koordinaattiakselia määrää aina tason. Esimerkiksi $xy$-taso tarkoittaa $x$- ja $y$-akseleiden kautta kulkevaa tasoa, jossa kaikkien pisteiden $z$-koordinaatti on $0$. Suoran koordinaattimuotoisen parametriesityksen avulla voidaan löytää suoran ja tällaisen tason leikkauspiste. Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Suora $L_1$ kulkee pisteen $A = (1,1,2)$ kautta. Lisäksi tiedetään, että se on yhdensuuntainen suoran $L_2$ kanssa, jonka koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 15 + t \\ y &= -7 -2t \\ z &= -8 - t. \end{aligned}\right. $$ Tehtävänä on tutkia, missä pisteessä suora $L_1$ leikkaa $xz$-tason.

  1. Määritä suoralle $L_1$ suuntavektori.
  2. Muodosta suoran $L_1$ koordinaattimuotoinen parametriesitys.
  3. Mitkä seuraavista pisteistä ovat $xz$-tasossa? $B = (1,2,3)$, $C = (1,0,3)$, $D = (-5,0,9)$, $E = (1,2,0)$. Selitä omin sanoin.
  4. Pystyt päättelemään etsityn leikkauspisteen yhden koordinaatin arvon c-kohdan havaintoja hyödyntämällä. Valitse tätä koordinaattia vastaava yhtälö b-kohdan parametriesityksestä ja ratkaise siitä parametrin arvo.
  5. Mitkä ovat leikkauspisteen koordinaatit?

  1. Suuntavektoriksi kelpaa esimerkiksi $\vi - 2\vj - \vk$.
  2. Yksi mahdollinen koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1 + t \\ y &= 1 -2t \\ z &= 2 - t. \end{aligned}\right. $$
  3. Pisteet $C$ ja $D$.
  4. Etsitty leikkauspiste löydetään parametrin arvolla $t = \frac{1}{2}$.
  5. Leikkauspiste on $\left(\frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2}\right)$

Alla olevassa mallikuvassa on havainnollistettu suoraa $L$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = 2\vi + \vj + t(-2\vi + 3\vj + 2\vk)$. Tavoitteena on määrittää pisteen $Q = (-2,7,8)$ etäisyys suorasta $L$.

Etäisyyden määrittämiseksi on etsittävä suoran $L$ piste $P$, joka on lähimpänä pistettä $Q$. Se löydetään piirtämällä pisteen $Q$ kautta toinen suora, joka on kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan.

Vektori $\pv{QP}$ voidaan kirjoittaa summana $$\pv{QP} = \pv{QA} + \pv{AP}.$$ Tässä vektori $\pv{QA}$ voidaan määrittää pisteiden $A = (2,1,0)$ ja $Q = (3,2,8)$ avulla. (Piste $A$ voidaan päätellä suoran $L$ parametriesityksestä.)

Vektoriksi $\pv{QA}$ saadaan $$\begin{align*} \pv{QA} &= (2-3)\vi + (1-2)\vj + (0-8)\vk \\ &= -\vi - \vj - 8\vk. \end{align*}$$ Vektori $\pv{AP}$ puolestaan on suoran $L$ suuntavektorin $\vv = -2\vi + 3\vj + 2\vk$ jokin skalaarimonikerta. (Suuntavektori voidaan lukea suoran $L$ parametriesityksestä.) Toisin sanottuna $$\begin{align*} \pv{AP} &= t\vv \\ &= t(-2\vi + 3\vj + 2\vk) \\ &= -2t\vi + 3t\vj + 2t\vk. \end{align*}$$ Vektoriksi $\pv{QP}$ saadaan siis $$\begin{align*} \pv{QP} &= \pv{QA} + \pv{AP} \\ &= (-\vi - \vj - 8\vk) + (-2t\vi + 3t\vj + 2t\vk) \\ &= (-1-2t)\vi + (-1+3t)\vj + (-8+2t)\vk. \end{align*}$$ Piste $P$ on lähimpänä pistettä $Q$, jos ja vain jos vektori $\pv{QP}$ on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria $\vv$ vastaan. Toisin sanottuna, jos ja vain jos $$\pv{QP} \cdot \vv = 0.$$ Kun tähän yhtälöön sijoitetaan edellä selvitetyt vektorit, se saadaan muotoon $$((-1-2t)\vi + (-1+3t)\vj + (-8+2t)\vk)\cdot (-2\vi + 3\vj + 2\vk) = 0.$$ Kun lasketaan pistetulo, yhtälö saadaan muotoon $$(-1-2t)\cdot (-2) + (-1+3t)\cdot 3 + (-8+2t)\cdot 2 = 0$$ ja sievennyksen sekä muutaman välivaiheen jälkeen muotoon $$17t -17 = 0.$$ Tästä saadaan ratkaistua $$t = 1.$$ Siten $$\begin{align*} \pv{QP} &= (-1-2t)\vi + (-1+3t)\vj + (-8+2t)\vk \\ &= -3\vi + 2\vj-6\vk. \end{align*}$$ Pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$ saadaan selville, kun lasketaan vektorin $\pv{QP}$ pituus $$\begin{align*} |\pv{QP}| &= \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2}\\ &= \sqrt{49} = 7. \end{align*}$$

Tehtävänä on määrittää alla olevan kuvan tilanteessa pisteen $Q = (4,4)$ etäisyys suorasta $L$.

  1. Päättele kuvan avulla suoralle $L$ jokin suuntavektori $\vv$ ja jonkin suoran pisteen $A$ koordinaatit.
  2. Piirrä omaan vihkoosi koordinaatisto ja siihen suora $L$ sekä piste $Q$. Piirrä näkyviin myös se suoran $L$ piste, joka on lähinnä pistettä $Q$. Anna sille nimeksi $P$.
  3. Piirrä näkyviin vektorit $\pv{QA}$ ja $\pv{AP}$.
  4. Ilmaise vektori $\pv{QA}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ suuntavektorin $\vv$ avulla. Tässä vaiheessa parametrin $t$ arvo on vielä tuntematon, mutta se ei haittaa.
  5. Ilmaise vektori $\pv{QP}$ vektoreiden $\pv{QA}$ ja $\pv{AP}$ avulla.
  6. Tutki pistetulon avulla, millä parametrin $t$ arvolla vektori $\pv{QP}$ on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria vastaan.
  7. Mikä on pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$?
  8. Mitkä ovat pisteen $P$ koordinaatit?

  1. Etäisyys on $\frac{13}{5} = 2{,}6$.
  2. $P = \left(\frac{48}{25}, \frac{61}{25}\right) = (1{,}92; 2{,}44)$.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Pisteiden $A$, $B$ ja $C$ kautta on mahdollista piirtää ainoastaan yksi taso, sillä nämä pisteet eivät ole samalla suoralla.

Kaksi pistettä tai kolme samalla suoralla olevaa pistettä ei riitä tason määräämiseen, sillä niiden kautta voi kulkea äärettömän monta eri tasoa.

Vektoreiden avulla taso voidaan määrittää samaan tapaan kuin suora. Ainoa ero on, että tason määrittämiseen ei yksi suuntavektori riitä vaan niitä tarvitaan kaksi.

MÄÄRITELMÄ: TASON VEKTORIMUOTOINEN PARAMETRIESITYS

Oletetaan, että piste $A$ on tasossa $T$, jonka suuntavektorit ovat $\vv$ ja $\vw$. Oletetaan lisäksi, että $\vv \nparallel \vw$. Yhtälö $$\pv{OP} = \pv{OA} + s\vv + t\vw$$ on tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys.
Tässä esiintyvät kertoimet $s$ ja $t$ ovat parametreja ja vektori $\pv{OA}$ on tason paikkavektori.

Taso $T$ kulkee pisteiden $A = (-3,1,2)$, $B = (2,4,1)$ ja $C = (12,0,-1)$ kautta. Tarkan kuvan piirtäminen on hankalaa, mutta tilannetta voi kuitenkin havainnollistaa mallikuvalla:

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva omaan vihkoosi.
  2. Muodosta jonkin tason pisteen paikkavektori ja merkitse se mallikuvaan.
  3. Muodosta jotkin tason suuntaiset vektorit ja merkitse ne mallikuvaan.
  4. Tarkista, etteivät muodostamasi vektorit ole yhdensuuntaisia.
  5. Muodosta tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  6. Määritä vektorimuotoisen parametriesityksen avulla kolme uutta pistettä tasosta $T$ antamalla eri arvoja parametreille $s$ ja $t$. Havainnollista näitä pisteitä mallikuvasi avulla.

Tason vektorimuotoinen parametriesitys kertoo, millaisia tason pisteiden paikkavektorit ovat. Kun siinä esiintyville parametreille $s$ ja $t$ annetaan eri arvoja, saadaan tason eri pisteiden paikkavektoreita samaan tapaan kuin suoran tilanteessa.

Tarkastellaan tasoa, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = \vi + 2\vj + 3\vk + s(4\vi + 5\vk) + t(6\vi - 7\vj + 8\vk).$$ Sitä on havainnollistettu alla olevassa mallikuvassa:

Jos pisteen $P$ koordinaatteja merkitään kirjaimilla $x$, $y$ ja $z$, voidaan yllä oleva parametriesitys kirjoittaa muodossa $$x\vi + y\vj + z\vk = \vi + 2\vj + 3\vk + s(4\vi + 5\vk) + t(6\vi - 7\vj + 8\vk).$$ Tämän yhtälön oikealla puolella voidaan kertoa sulut auki, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$x\vi + y\vj + z\vk = \vi + 2\vj + 3\vk + 4s\vi + 5s\vk + 6t\vi - 7t\vj + 8t\vk.$$ Yhtälön oikeaa puolta voidaan vielä sieventää suorittamalla yhteenlaskut, minkä jälkeen yhtälö näyttää tältä: $$x\vi + y\vj + z\vk = (1+4s + 6t)\vi + (2-7t)\vj + (3+5s+8t)\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1+4s + 6t \\ y &= 2-7t \\ z &= 3+5s+8t. \end{aligned}\right. $$ Minkä tahansa tason vektorimuotoinen parametriesitys voidaan muuttaa vastaavaan muotoon, jossa tason pisteen jokaiselle koordinaatille on oma yhtälönsä. Tätä esitystapaa sanotaan tason koordinaattimuotoiseksi parametriesitykseksi.

Avaruuden taso $T$ kulkee pisteiden $A = (4,-1,3)$, $B = (2,1,3)$ ja $C = (7,-5,9)$ kautta.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Muodosta tason $T$ jonkin pisteen paikkavektori ja jotkin tason $T$ suuntavektorit. Varmista, etteivät suuntavektorit ole yhdensuuntaisia. Merkitse nämä mallikuvaan.
  3. Muodosta tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  4. Muodosta tason $T$ koordinaattimuotoinen parametriesitys c-kohdan avulla.
  5. Määritä kaksi uutta tason $T$ pistettä antamalla parametreille eri arvoja.

Tason vektorimuotoisen parametriesityksen ja siitä saatavan koordinaattimuotoisen parametriesityksen avulla voidaan tutkia, onko jokin piste tasossa. Jos tarkastellun pisteen paikkavektoria ei saada tason parametriesityksestä millään parametrien $s$ ja $t$ arvoilla, voidaan päätellä, että tämä piste ei ole tasossa.

Taso $T$ kulkee pisteiden $A = (-2,8,0)$, $B = (-2,12,-5)$ ja $C = (0,5,1)$ kautta.

  1. Muodosta tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  2. Muodosta a-kohdan vektorimuotoisesta parametriesityksestä tason $T$ koordinaattimuotoinen parametriesitys.
  3. Muodosta b-kohdan koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä yhtälöryhmä, jolla voit tutkia, onko piste $R = (6,-24,29)$ tasossa $T$. Ratkaise tämä yhtälöryhmä. Onko piste $R$ tasossa $T$? Jos on, millä parametrien arvoilla se saadaan parametriesityksestä?
  4. Onko piste $S = (2, -10,-13)$ tasossa $T$? Jos on, millä parametrien arvoilla se saadaan parametriesityksestä?

  1. Piste $R$ on tasossa $T$.
  2. Piste $S$ ei ole tasossa $T$.

Tason koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä voidaan tarvittaessa siirtyä takaisin vektorimuotoiseen parametriesitykseen samaan tapaan kuin suorien tapauksessa.

Tehtävänä on muodostaa tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys, kun tiedetään, että sen koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1+8s-2t \\ y &= 5+3s \\ z &= -7 -9s + 4t \end{aligned}\right. $$

  1. Määritä parametrien arvoja $s = 0$ ja $t = 0$ vastaava tason $T$ piste ja muodosta sen paikkavektori.
  2. Selitä, miten voit lukea a-kohdan paikkavektorin koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä ilman laskuja.
  3. Miten voisit lukea tason kaksi suuntavektoria koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä ilman laskuja?
  4. Olkoon $A$ parametrien arvoja $s = 0$ ja $t = 0$ vastaava tason piste, $B$ arvoja $s = 1$ ja $t = 0$ vastaava piste ja $C$ arvoja $s = 0$ ja $t = 1$ vastaava piste. Määritä nämä pisteet ja muodosta niiden avulla tason suuntavektorit $\pv{AB}$ ja $\pv{AC}$. Saitko saman tuloksen kuin c-kohdassa päättelemällä?
  5. Muodosta tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys.

  1. Piste on $(1,5,-7)$ ja sen paikkavektori on $\vi + 5\vj - 7\vk$.
  2. $\pv{AB} = 8\vi + 3\vj - 9\vk\ $ ja $\ \pv{AC} = -2\vi + 4\vk$.
  3. Esimerkiksi $\pv{OP} = \vi + 5\vj - 7\vk + s(8\vi + 3\vj - 9\vk) + t(-2\vi + 4\vk)$.

Tutkitaan seuraavaksi suorien ja tasojen leikkauspisteitä. Suora ja taso leikkaavat toisensa, jos ja vain jos niillä on yhteinen piste. Toisin sanottuna suora ja taso leikkaavat toisensa, jos ja vain jos on olemassa piste $P$, jonka paikkavektori $\pv{OP}$ toteuttaa sekä suoran että tason parametriesityksen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Jos suoran parametriesitys on $\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv$ ja tason parametriesitys on $\pv{OP} = \pv{OC} + r\vw + s\vu$, löydetään suoran ja tason leikkauspiste tutkimalla yhtälöä $$\pv{OA} + t\vv = \pv{OC} + r\vw + s\vu.$$ Jos tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, tarkoittaa se, ettei tarkastelluilla suoralla ja tasolla ole yhtään leikkauspistettä.

Vektoriyhtälöstä $\pv{OA} + t\vv = \pv{OC} + r\vw + s\vu$ voidaan muodostaa yhtälöryhmä tarkastelemalla erikseen vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ suuntaisia komponentteja. Esimerkiksi yhtälöä $$\vi-3\vj + t(\vi + \vj + \vk) = \vi + 2\vj + 3\vk + r(4\vi + 5\vk) + s(6\vi - 7\vj + 8\vk)$$ vastaa yhtälöryhmä $$ \left\{\begin{aligned} 1 + t &= 1+4r+6s &\quad &\text{(vektoreiden $\vi$ kertoimet)}\\ -3 + t &= 2 -7s &\quad &\text{(vektoreiden $\vj$ kertoimet)}\\ t &= 3 + 5r + 8s &\quad &\text{(vektoreiden $\vk$ kertoimet).} \end{aligned}\right. $$ Tämä yhtälöryhmä voidaan vielä muokata muotoon, jossa yhtälöiden kaikki tuntemattomat ovat yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella ja vakiot oikealla puolella: $$ \left\{\begin{aligned} t -4r - 6s &= 0 \\ t + 7s&= 5 \\ t -5r -8s&= 3. \end{aligned}\right. $$ Tämän jälkeen yhtälöryhmä voidaan ratkaista tavalliseen tapaan kynän ja paperin avulla tai käyttämällä laskinta tai tietokonetta.

Suora $L$ kulkee pisteiden $A = (1,0,-2)$ ja $B = (2,1,1)$ kautta. Taso $T_1$ kulkee pisteen $C = (0,2,1)$ kautta. Lisäksi tiedetään, että se on yhdensuuntainen tason $T_2$ kanssa, jonka koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 11 + s \\ y &= -17 + t \\ z &= 28 - s + 2t. \end{aligned}\right. $$ Tehtävänä on tutkia, leikkavatko suora $L$ ja taso $T_1$ toisensa, ja määrittää mahdollisen leikkauspisteen koordinaatit.

  1. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  2. Muodosta tason $T_1$ vektorimuotoinen parametriesitys. Käytä parametreina jotain muita kirjaimia kuin a-kohdassa.
  3. Jos suoralla $L$ ja tasolla $T_1$ on leikkauspiste, se toteuttaa sekä a- että b-kohdassa muodostamasi parametriesitykset joillakin parametrien arvoilla. Millaisen yhtälön saat tästä tiedosta?
  4. Muodosta c-kohdan yhtälöstä yhtälöryhmä tarkastelemalla erikseen vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ suuntaisia komponentteja. Ratkaise tämä yhtälöryhmä.
  5. Leikkavatko suora $L$ ja taso $T_1$ toisensa? Mitkä ovat mahdollisen leikkauspisteen koordinaatit?

  1. Suora $L$ ja taso $T_1$ leikkaavat toisensa, leikkauspiste on $(0,-1,-5)$.

Taso $T$ kulkee pisteen $A = (1,1,2)$ kautta ja sillä on suuntavektorit $\vv = \vi-2\vj-\vk$ ja $\vw = 4\vi+7\vj-5\vk$. Tehtävänä on tutkia, missä pisteessä taso $T$ leikkaa $z$-akselin.

  1. Muodosta tason $T$ koordinaattimuotoinen parametriesitys.
  2. Mitkä seuraavista pisteistä ovat $z$-akselilla? $B = (1,2,0)$, $C = (1,0,3)$, $D = (0,0,9)$, $E = (1,0,0)$. Selitä omin sanoin.
  3. Pystyt päättelemään etsityn leikkauspisteen kahden koordinaatin arvon c-kohdan havaintoja hyödyntämällä. Valitse näitä koordinaatteja vastaavat yhtälöt b-kohdan parametriesityksestä ja ratkaise niistä parametrien arvot.
  4. Mitkä ovat leikkauspisteen koordinaatit?

  1. Koordinaattimuotoinen parametriesitys on esimerkiksi $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1 + s + 4t\\ y &= 1 - 2s + 7t \\ z &= 2 - s - 5t. \end{aligned}\right. $$
  2. Piste $D$.
  3. $s = -\frac{1}{5}$ ja $t = -\frac{1}{5}$.
  4. Leikkauspiste on $\left(0,0, \frac{16}{5}\right) = (0;0;3{,}2)$.

Tarkastellaan tasoa $T$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = -3\vi + 2\vj + \vk + s(\vi + 2\vj + 2\vk) + t(2\vi - 3\vk)$. Sitä on havainnollistettu alla olevassa mallikuvassa. Tehtävänä on määrittää kuvassa näkyvän pisteen $Q = (-28,31,-37)$ etäisyys tasosta $T$.

Etäisyyden määrittämiseksi on etsittävä tason $T$ piste $P$, joka on lähimpänä pistettä $Q$. Se löydetään piirtämällä pisteen $Q$ kautta suora, joka on kohtisuorassa tasoa $T$ vastaan. Tällaista suoraa sanotaan tason $T$ normaaliksi.

  1. Päättele tason parametriesityksestä, mitkä ovat tason suuntavektorit $\vw$ ja $\vv$. Päättele lisäksi tason pisteen $A$ koordinaatit.
  2. Piirrä omaan vihkoosi mallikuva tilanteesta. Merkitse kuvaan vektorit $\pv{QA}$ ja $\pv{AP}$.
  3. Ilmaise vektori $\pv{QA}$ vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla.
  4. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ tason $T$ suuntavektoreiden $\vw$ ja $\vv$ avulla. Tässä vaiheessa parametrien $s$ ja $t$ arvot ovat tuntemattomia, mutta se ei haittaa. Ne ratkaistaan myöhemmin.
  5. Ilmaise vektori $\pv{QP}$ vektoreiden $\pv{QA}$ ja $\pv{AP}$ avulla.
  6. Vektorin $\pv{QP}$ pitää olla kohtisuorassa tason $T$ kumpaakin suuntavektoria vastaan. Mitä tämä tarkoittaa pistetulon kannalta? Muodosta kaksi yhtälöä.
  7. Muokkaa edellisessä kohdassa muodostamaasi kahta yhtälöä, kunnes pääset yhtälöpariin $$\left\{ \begin{aligned} 9s -4t &= -43 \\ -4s + 13 t &= 64. \end{aligned} \right.$$ Ratkaise tämä yhtälöpari.
  8. Kirjoita vektori $\pv{QP}$ vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla edellisen kohdan tuloksia hyödyntäen.
  9. Mikä on pisteen $Q$ etäisyys tasosta $T$?
  10. Mitkä ovat pisteen $P$ koordinaatit?

  1. Suuntavektoreiksi voidaan valita $\vv = \vi + 2\vj + 2\vk$ ja $\vw = 2\vi - 3\vk$. Tason pisteeksi voidaan valita $A = (-3,2,1)$.
  2. $\pv{QA} = 25\vi - 29\vj + 38\vk$
  3. $\pv{AP} = s(\vi + 2\vj + 2\vk) + t(2\vi - 3\vk)$
  4. \begin{align*} \pv{QP} &= \pv{QA} + \pv{AP} \\ &= 25\vi - 29\vj + 38\vk \\ &{\phantom = {}} + s(\vi + 2\vj + 2\vk) \\ &{\phantom = {}} + t(2\vi - 3\vk) \end{align*}
  5. $\pv{QP} \cdot \vv = 0$ ja $\pv{QP} \cdot \vw = 0$.
  6. $s = -3$ ja $t = 4$
  7. $\pv{QP} = 30\vi - 35\vj + 20\vk$
  8. $\sqrt{2525} = 5\sqrt{101}$
  9. $P = (2, -4, -17)$

Tarkastellaan alla olevan kuvan suoraa $L$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = 2\vi + \vj + t(2\vi - \vj).$$

Kuvassa on näkyvissä vektori $\vn = \vi + 2\vj$, joka on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria $\vv = 2\vi - \vj$ vastaan. Tämä voidaan varmistaa laskemalla näiden vektoreiden pistetulo: $$\begin{align*} \vn \cdot \vv &= (\vi + 2\vj)\cdot (2\vi - \vj) \\ &= 1\cdot 2 + 2\cdot (-1) \\ &= 2-2 = 0. \end{align*} $$ Koska vektori $\vn$ on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria vastaan ja siten myös koko suoraa $L$ vastaan, sanotaan sitä suoran $L$ normaalivektoriksi.

Keksi kaksi eri normaalivektoria alla olevan kuvan suoralle $L$. Tarkista pistetulon avulla, että löytämäsi vektorit ovat todella kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria vastaan.

Suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi - 2\vj + t(\vi + 4\vj)$.

  1. Mikä on tämän suoran paikkavektori? Entä suuntavektori?
  2. Piirrä suora $L$ koordinaatistoon.
  3. Etsi suoralle $L$ jokin normaalivektori $\vn$. Voit päätellä sen piirroksesta, mutta varmista pistetulon avulla, että se todella on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria vastaan.

  1. Yksi paikkavektori on $\vi - 2\vj$. Yksi suuntavektori on $\vi + 4\vj$.
  2. Yksi normaalivektori on $4\vi-\vj$. Myös kaikki sen kanssa yhdensuuntaiset vektorit ovat suoran $L$ normaalivektoreita.

Tutkimalla alla olevaa kuvaa voidaan havaita, että piste $P = (x,y)$ on suoralla $L$, jos ja vain jos vektori $\pv{AP}$ on kohtisuorassa suoran normaalivektoria $\vn$ vastaan. Pistetulon avulla sama asia voidaan ilmaista sanomalla, että piste $P = (x,y)$ on suoralla $L$, jos ja vain jos $$\pv{AP} \cdot \vn = 0,$$ missä $\vn$ on suoran $L$ normaalivektori.

Kun yhtälöön $\pv{AP} \cdot \vn = 0$ sijoitetaan vektori $\pv{AP} = (x-2)\vi + (y-1)\vj$ ja suoran $L$ normaalivektori $\vn = \vi + 2\vj$, saadaan se muotoon $$((x-2)\vi + (y-1)\vj)\cdot (\vi + 2\vj)= 0.$$ Vasenta puolta voidaan sieventää laskemalla pistetulot: $$(x-2)\cdot 1 + (y-1)\cdot 2 = 0.$$ Sievennyksen jälkeen yhtälö saadaan muotoon $$x + 2y -4 = 0.$$

Jatketaan äskeisen suoran $L$ tarkastelua. Edellä pääteltiin, että piste $P = (x,y)$ on tällä suoralla, jos ja vain jos se toteuttaa yhtälön $$x+2y-4 = 0.$$ Missä tässä yhtälössä näkyvät suoran $L$ normaalivektorissa $\vn = \vi + 2\vj$ esiintyvät kertoimet $1$ ja $2$?

MÄÄRITELMÄ: SUORAN NORMAALIMUOTOINEN YHTÄLÖ

Oletetaan, että $L$ on $xy$-tason suora ja $\vn = a\vi + b\vj$ on sen normaalivektori. Yhtälö $$ax + by + c = 0$$ on suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö.

Tehtävänä on määrittää normaalimuotoinen yhtälö suoralle $L$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = -\vi + 4\vj + t(\vi + 3\vj)$.

  1. Piirrä suora $L$ koordinaatistoon.
  2. Etsi suoralle $L$ jokin normaalivektori $\vn$. Voit päätellä sen piirroksesta, mutta varmista pistetulon avulla, että se todella on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria vastaan.
  3. Valitse piirroksestasi jokin suoran $L$ piste ja anna sille nimi $P$. Merkitse sen koordinaatteja $(x,y)$.
  4. Merkitse piirrokseesi vektori $\pv{AP}$. Tässä $A$ on suoran $L$ jokin piste, jonka koordinaatit tunnetaan.
  5. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.
  6. Muodosta suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö muokkaamalla yhtälöä $$\pv{AP} \cdot \vn = 0$$ kunnes se on samassa muodossa kuin määritelmässä.

  1. Yksi normaalivektori on $3\vi-\vj$. Myös kaikki sen kanssa yhdensuuntaiset vektorit ovat suoran $L$ normaalivektoreita.
  2. $3x - y + 7 = 0$

Suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö on $2x + 3y - 2 = 0$.

  1. Piste $A$ on suoralla $L$ ja tiedetään, että sen $x$-koordinaatti on $4$. Selvitä suoran yhtälön avulla, mikä on pisteen $A$ $y$-koordinaatti.
  2. Etsi jokin toinen suoran $L$ piste antamalla sen $x$-koordinaatille jokin arvo ja laskemalla $y$-koordinaatin arvo suoran yhtälön avulla. Anna tälle pisteelle nimeksi $B$.
  3. Päättele suoran normaalimuotoisesta yhtälöstä suoran $L$ normaalivektori.
  4. Piirrä suora $L$ koordinaatistoon. Edellisten kohtien tiedoista on apua.
  5. Tarkista pistetulon avulla, että c-kohdassa päättelemäsi normaalivektori todella on kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\pv{AB}$ vastaan.
  6. Määritä suora $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.

  1. $y = -2$
  2. Yksi suoran $L$ normaalivektori on $\vn = 2\vi + 3\vj$. Myös kaikki sen kanssa yhdensuuntaiset vektorit ovat suoran $L$ normaalivektoreita.
  3. Esimerkiksi $\pv{OP} = 4\vi - 2\vj + t(3\vi-2\vj)$.

Tarkastellaan tasoa $T$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = -3\vi + 2\vk + s(3\vi + \vk) + t(4\vi - \vj).$$ Sitä on havainnollistettu alla olevassa mallikuvassa.

Kuvassa on näkyvissä vektori $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$, joka on kohtisuorassa tason $%$ suuntavektoreita $\vw = 3\vi + \vk$ ja $\vv = 4\vi - \vj$ vastaan. Tämä voidaan varmistaa laskemalla näiden vektoreiden pistetulot: $$\begin{align*} \vn \cdot \vw &= (\vi + 4\vj-3\vk)\cdot (3\vi + \vk) \\ &= 1\cdot 3 + 4\cdot 0 + (-3)\cdot 1\\ &= 3-3 = 0. \end{align*} $$ ja $$\begin{align*} \vn \cdot \vv &= (\vi + 4\vj-3\vk)\cdot (4\vi - \vj) \\ &= 1\cdot 4 + 4\cdot (-1) + (-3)\cdot 0\\ &= 4-4 = 0. \end{align*} $$ Koska vektori $\vn$ on kohtisuorassa tason $T$ kumpaakin suuntavektoria vastaan ja siten myös koko tasoa $T$ vastaan, sanotaan sitä tason $T$ normaalivektoriksi.

Tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = 2\vi - 5\vj -2\vk + s(7\vi + 5\vk) + t(7\vj + 2\vk)$.

  1. Onko vektori $\vb = 3\vi-2\vj -2\vk$ tason $T$ normaalivektori?
  2. Onko vektori $\vc = 5\vi+2\vj -7\vk$ tason $T$ normaalivektori?
  3. Keksi tasolle $T$ vielä yksi normaalivektori. Mistä tiedät, että se todella on tason $T$ normaalivektori? Selitä omin sanoin.

  1. Ei ole.
  2. On.
  3. Sopiva vektori on muotoa $t(5\vi+2\vj -7\vk)$, missä $t$ on mikä tahansa reaaliluku.

Tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = -\vi + 2\vk + s(\vi + 3\vj-2\vk) + t(2\vi + 2\vj-2\vk)$. Tehtävänä on etsiä tälle tasolle normaalivektori.

  1. Päättele parametriesityksestä, mitkä ovat tason $T$ suuntavektorit $\vw$ ja $\vv$.
  2. Merkitse etsittyä normaalivektoria $\vn = x\vi + y\vj + z\vk$. Sen täytyy olla kohtisuorassa tason $T$ kumpaakin suuntavektoria vastaan. Millaiset yhtälöt saat tästä pistetulon avulla?
  3. Edellisen kohdan yhtälöt johtavat yhtälöpariin $$ \left\{\begin{aligned} x+3y-2z &= 0\\ 2x+2y-2z &= 0. \end{aligned} \right. $$ Jos kumpaankin yhtälöön sijoitetaan tuntemattomien arvoiksi $x = 0$, $y = 0$ ja $z = 0$, yhtälöt toteutuvat. Yhtälöparilla on siis ainakin yksi ratkaisu $(x,y,z) = (0,0,0)$. Koska yhtälöparille löytyy yksi ratkaisu ja tuntemattomia on enemmän kuin yhtälöitä, on yhtälöparilla muitakin ratkaisuja. Niitä löydetään, kun yhdelle tuntemattomalle annetaan jokin nollasta poikkeava arvo ja ratkaistaan muiden tuntemattomien arvot sen jälkeen tavalliseen tapaan.
    Koska tavoitteena on löytää yksi normaalivektori $\vn = x\vi + y\vj + z\vk$, riittää löytää yksi yllä olevan yhtälöparin nollasta poikkeava ratkaisu. Anna tuntemattomalle $z$ jokin nollasta poikkeava arvo ja ratkaise sen jälkeen yhtälöparista $x$ ja $y$.
  4. Kirjoita vektori $\vn$ näkyviin vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla. Tarkista vielä pistetulon avulla, että se todella on kohtisuorassa vektoreita $\vw$ ja $\vv$ vastaan.

  1. Voidaan valita esimerkiksi $\vw = \vi + 3\vj-2\vk$ ja $\vv = 2\vi + 2\vj-2\vk$.
  2. $\vv \cdot \vn = 0$ ja $\vw \cdot \vn = 0$
  3. Jos valitaan esimerkiksi $z = 2$, saadaan muiden tuntemattomien arvoiksi $x = 1$ ja $y = 1$.
  4. Yksi tason $T$ normaali on $\vn = \vi + \vj + 2\vk$. Myös kaikki sen kanssa yhdensuuntaiset vektorit ovat tason $T$ normaalivektoreita.

Tarkastellaan edelleen tasoa $T$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = -3\vi + 2\vk + s(3\vi + \vk) + t(4\vi - \vj).$$ Tutkimalla alla olevaa kuvaa voidaan havaita, että piste $P = (x,y,z)$ on tasossa $T$, jos ja vain jos vektori $\pv{AP}$ on kohtisuorassa tason normaalivektoria $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$ vastaan. Pistetulon avulla sama asia voidaan ilmaista sanomalla, että piste $P = (x,y,z)$ on tasossa $T$, jos ja vain jos $$\pv{AP} \cdot \vn = 0,$$ missä $\vn$ on tason $T$ normaalivektori.

Kun yhtälöön $\pv{AP} \cdot \vn = 0$ sijoitetaan vektori $\pv{AP} = (x+3)\vi + (y-0)\vj + (z-2)\vk$ ja tason $T$ normaalivektori $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$, saadaan se muotoon $$((x+3)\vi + y\vj + (z-2)\vk)\cdot (\vi + 4\vj-3\vk)= 0.$$ Vasenta puolta voidaan sieventää laskemalla pistetulot: $$(x+3)\cdot 1 + 4y + (z-2)\cdot (-3) = 0.$$ Sievennyksen jälkeen yhtälö saadaan muotoon $$x + 4y -3z +9 = 0.$$

Jatketaan äskeisen tason $T$ tarkastelua. Edellä pääteltiin, että piste $P = (x,y,z)$ on tässä tasossa, jos ja vain jos se toteuttaa yhtälön $$x + 4y -3z +9 = 0.$$ Missä tässä yhtälössä näkyvät tason $T$ normaalivektorissa $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$ esiintyvät kertoimet $1$, $4$ ja $-3$?

MÄÄRITELMÄ: TASON NORMAALIMUOTOINEN YHTÄLÖ

Oletetaan, että $\vn = a\vi + b\vj + c\vk$ on tason $T$ normaalivektori. Yhtälö $$ax + by + cz + d = 0$$ on tason $T$ normaalimuotoinen yhtälö.

Tehtävänä on määrittää normaalimuotoinen yhtälö tasolle $T$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = -\vi + 2\vk + s(\vi + 3\vj-2\vk) + t(2\vi + 2\vj-2\vk)$.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Päättele tason $T$ parametriesityksestä tason jonkin pisteen koordinaatit. Anna tälle pisteelle nimi $A$.
  3. Valitse piirroksestasi jokin tason $T$ piste ja anna sille nimi $P$. Merkitse sen koordinaatteja $(x,y,z)$.
  4. Merkitse piirrokseesi vektori $\pv{AP}$.
  5. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla.
  6. Tehtävässä 30 etsittiin tasolle $T$ normaalivektori $\vn$. Muodosta tason $T$ normaalimuotoinen yhtälö muokkaamalla yhtälöä $$\pv{AP} \cdot \vn = 0$$ kunnes se on samassa muodossa kuin määritelmässä.
  7. Muodosta tason $T$ normaalimuotoinen yhtälö laskimen tai tietokoneen avulla ja tarkista edellisessä kohdassa saamasi vastaus. Katso tarvittaessa mallia TI-Nspiren käyttöön tästä videosta.

  1. Esimerkiksi $A = (-1,0,2)$.
  2. $\pv{AP} = (x+1)\vi + y\vj + (z-2)\vk$
  3. $x + y + 2z - 3 = 0$

Tason $T$ normaalimuotoinen yhtälö on $-x + 3y + 2z - 5= 0$.

  1. Piste $A$ on tasossa $T$ ja tiedetään, että $A = (4,5,z)$. Selvitä tason yhtälön avulla, mikä on pisteen $A$ $z$-koordinaatti.
  2. Etsi jokin toinen tason $T$ piste antamalla sen $x$- ja $y$-koordinaateille jotkin arvot ja laskemalla $z$-koordinaatin arvo tason yhtälön avulla. Anna tälle pisteelle nimeksi $B$.
  3. Muodosta tasolle $T$ yksi suuntavektori pisteiden $A$ ja $B$ avulla. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  4. Päättele tason normaalimuotoisesta yhtälöstä tason $T$ normaalivektori. Anna sille nimeksi $\vn$.
  5. Keksi jokin vektori $\vv \nparallel \pv{AB}$, joka on kohtisuorassa vektoria $\vn$ vastaan. Tarkista kohtisuoruus pistetulon avulla. Jos haluat, voit etsiä vektorin $\vv$ samaan tapaan kuin kohdissa (b)-(c).
  6. Määritä tason $T$ vektorimuotoinen parametriesitys a-, c- ja e-kohtien avulla.

  1. $z = -3$
  2. $\vn = -\vi + 3\vj + 2\vk$
  3. Esimerkiksi $2\vi + \vk$ tai $3\vi + \vj$.

Tason normaalivektoria voidaan hyödyntää myös suoran ja tason välisen kulman määrittämiseen. Alla oleva mallikuva havainnollistaa edellisen tehtävän tasoa $T$, jonka normaalimuotoinen yhtälö on $-x + 3y + 2z - 5= 0$. Kuvassa on lisäksi suora $L$, jolla on parametriesitys $\pv{OP} = 2\vi + \vk + t(-\vi + \vj + 2\vk)$.

Tason $T$ yhtälöstä voidaan päätellä, että tasolla $T$ on normaali $\vn = -\vi + 3\vj + 2\vk$. Suoran $L$ parametriesityksestä voidaan päätellä, että suoralla $L$ on suuntavektori $\vv = -\vi + \vj + 2\vk$. Näiden välinen kulma voidaan laskea pistetulon avulla: $$\begin{align*} \cos(\vn, \vv) &= \frac{\vn\cdot\vv}{|\vn||\vv|} \\ &= \frac{(-1)\cdot(-1) + 3\cdot 1 + 2\cdot 2}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2}\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{14}\sqrt{6}} \ (\approx 0{,}87287156). \end{align*}$$ Laskimella saadaan tästä $\sphericalangle(\vn,\vv) = 29{,}205932\ldots \approx 29{,}2^\circ$. Tämä on siis suoran $L$ ja tason normaalin välinen kulma. Koska tason normaalin ja tason välinen kulma on $90^\circ$, saadaan suoran ja tason välinen kulma $\alpha$ vähennyslaskulla: $$\alpha = 90^\circ - 29{,}2^\circ = 60{,}8^\circ.$$ Suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma on siis noin $60{,}8^\circ$.

Suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x &= 15 + t \\ y &= -7 -2t \\ z &= -8 - t. \end{aligned}\right. $$ Tehtävänä on määrittää suoran $L$ ja $xy$-tason välinen kulma.

  1. Piirrä $xyz$-koodinaatisto. Mitkä seuraavista pisteistä ovat $xy$-tasossa? $B = (3,4,0)$, $C = (0,3,4)$, $D = (3,0,0)$, $E = (0,4,0)$, $F = (0,0,3)$.
  2. Keksi $xy$-tasolle jokin normaalivektori $\vn$. Mistä tiedät, että se on $xy$-tason normaalivektori? Selitä omin sanoin.
  3. Päättele suoran $L$ parametriesityksestä suoran $L$ suuntavektori $\vv$.
  4. Laske vektorien $\vn$ ja $\vv$ välinen kulma. Mikä on suoran $L$ ja $xy$-tason välinen kulma? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella.

  1. Pisteet $B$, $D$ ja $E$.
  2. Esimerkiksi $\vk$.
  3. Voidaan valita $\vv = \vi - 2\vj - \vk$.
  4. $\sphericalangle(\vv, \vn) \approx 65{,}9^\circ$, joten suoran $L$ ja $xy$-tason välinen kulma on noin $24{,}1^\circ$.

Suora

Suora $L$ kulkee pisteen $A=(-2,3)$ kautta ja sen eräs suuntavektori on $\vv=4\vi-3\vj$.

  1. Piirrä tilanteesta kuva koordinaatistoon.
  2. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.
  3. Tutki parametriesityksen avulla, onko piste $B=(1,2)$ suoralla $L$. Tarkista tuloksesi kuvan avulla.

  1. Esimerkiksi $\pv{OP} = -2\vi + 3\vj + t(4\vi-3\vj)$.
  2. Piste $B$ ei ole suoralla $L$.

Suora

Suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{\begin{aligned} x&=2+3t\\ y&=-t\\ z&=1+t. \end{aligned} \right. $$

  1. Määritä suoralta $L$ kolme pistettä.
  2. Tutki, onko piste $(-10,4,-3)$ suoralla $L$.
  3. Määritä suoran $L$ jokin suuntavektori.
  4. Muodosta suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys.

  1. Esimerkiksi $(2,0,1)$, $(5,-1,2)$ ja $(8,-2,3)$.
  2. Kyllä, tämä piste on suoralla $L$.
  3. Esimerkiksi $3\vi - \vj + \vk$.
  4. Esimerkiksi $\pv{OP} = 2\vi + \vk + t(3\vi - \vj + \vk)$.

Suora

Tehtävänä on tutkia, ovatko kolme annettua pistettä samalla suoralla.

  1. Selitä omin sanoin, mitä tiedät tilanteesta, jossa kolme pistettä ovat samalla suoralla. Miten esimerkiksi vektoreiden yhdensuuntaisuus ja suoran vektorimuotoinen parametriesitys liittyvät asiaan? Keksitkö muita käsitteitä, jotka liittyvät tällaiseen tehtävään?
  2. Selitä omin sanoin, mitä tiedät tilanteesta, jossa kolme pistettä eivät ole samalla suoralla.
  3. Käytä edellisten kohtien pohdintojasi apuna ja tutki, ovatko pisteet $(-2,1), (3,2)$ ja $(4,3)$ samalla suoralla. Koska pisteet ovat $xy$-koordinaatistossa, piirrä tilanteen hahmottamiseksi pisteet koordinaatistoon.

  1. Pisteet eivät ole samalla suoralla.

Suorien leikkauspiste

Suora $L_1$ kulkee pisteiden $A=(1,2,3)$ ja $B=(-1,0,3)$ kautta. Suora $L_2$ kulkee pisteiden $C=(-2,1,0)$ ja $D=(0,2,1)$ kautta.

  1. Muodosta kummallekin suoralle vektorimuotoinen parametriesitys.
  2. Muodosta parametriesityksistä yhtälö ja tutki, leikkaavatko suorat $L_1$ ja $L_2$. Myönteisessä tapauksessa määritä leikkauspisteen koordinaatit.

  1. Suoran $L_1$ parametriesitykseksi voidaan valita esimerkiksi $\pv{OP} = \vi + 2\vj + 3\vk + t(-2\vi-2\vj)$ ja suoran $L_2$ parametriesitykseksi $\pv{OP} = -2\vi + \vj + s(2\vi + \vj + \vk)$
  2. Suorat eivät leikkaa.

Suorien välinen kulma

Suora $L_1$ kulkee pisteiden $(3,4)$ ja $(6,-2)$ kautta. Suoran $L_2$ koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{ \begin{aligned} x&=-2+3t\\ y&=1-t. \end{aligned} \right. $$

  1. Piirrä suorat sekä suorien välinen kulma koordinaatistoon.
  2. Määritä suorien välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  3. Tarkista vastauksesi järkevyys mittaamalla kulman suuruus piirroksestasi.

  1. Kulma on tasan $45^\circ$.

Suorien leikkauspiste

Suora $L_1$ kulkee pisteen $(1,-1,2)$ kautta ja sen eräs suuntavektori on $\vv=-2\vi+\vj+3\vk$. Suora $L_2$ kulkee pisteen $(3,5,-1)$ kautta ja se leikkaa suoran $L_1$ kohtisuorasti. Määritä leikkauspisteen koordinaatit.

Leikkauspiste on $\left(2, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

Suoran normaalimuotoinen yhtälö

Suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö on $3x-y+5=0$.

  1. Määritä suoran $L$ jokin normaalivektori.
  2. Päättele suoran $L$ jokin suuntavektori joko yhtälöstä tai kuvasta. Tarkista päättelysi pistetulon avulla.
  3. Määritä suoralta jokin piste.
  4. Muodosta suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys.

  1. Esimerkiksi $3\vi - \vj$.
  2. Esimerkiksi $\vi + 3\vj$.
  3. Esimerkiksi $(1,8)$.
  4. Koordinaattimuotoinen parametriesitys on esimerkiksi $$ \left\{ \begin{aligned} x&=1+t\\ y&=8+3t. \end{aligned} \right. $$

Suoran ja $xz$-tason välinen kulma

Tarkastele suoraa $L$, joka kulkee pisteiden $(-1,1,3)$ ja $(5,-3,4)$ kautta.

  1. Mitä tiedät $xz$-tason pisteiden koordinaateista? Käytä tätä tietoa sekä sopivaa parametriesitystä ja määritä suoran $L$ ja $xz$-tason leikkauspiste.
  2. Keksi $xz$-tasolle jokin normaalivektori.
  3. Määritä suoran $L$ ja $xz$-tason välinen kulma asteen tarkkuudella.

  1. Leikkauspiste on $\left(\frac{1}{2},0, \frac{13}{4}\right) = (0{,}5; 0; 3{,}25)$.
  2. Esimerkiksi $\vj$.
  3. Kulma on noin $33^\circ$.

Pisteen etäisyys suorasta

Suoran $L$ vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP}=\vi-2\vj+t(-2\vi+3\vj)$. Määritä pisteen $(3,4)$ etäisyys suorasta $L$. Koska tehtävä on $xy$-tasossa, piirrä kuva koordinaatistoon ja tarkista vastauksesi järkevyys sen avulla.

Etäisyys on $\dfrac{6}{13}\sqrt{117} \approx 4{,}99$.

Pisteen etäisyys suorasta

Laske pisteen $Q = (3,-1,0)$ etäisyys pisteiden $A = (-3,-2,1)$ ja $B = (5,4,-3)$ kautta kulkevasta suorasta.

Etäisyys on tasan 3.

Taso

Taso $T$ kulkee pisteiden $(1,0,3)$, $(-2,1,2)$ ja $(3,4,1)$ kautta.

  1. Nimeä pisteet ja muodosta tasolle suuntavektorit.
  2. Muodosta tasolle vektorimuotoinen parametriesitys.
  3. Muodosta tasolle koordinaattimuotoinen parametriesitys.
  4. Tutki, onko piste $(5,3,0)$ tasossa $T$.

  1. Esimerkiksi $A = (1,0,3)$, $B = (-2,1,2)$ ja $C = (3,4,1)$. Suuntavektoreiksi voi valita esimerkiksi $\pv{AB} = -3\vi + \vj - \vk$ ja $\pv{AC} = 2\vi + 4\vj - 2\vk$, sillä nämä vektorit eivät ole yhdensuuntaiset.
  2. Esimerkiksi $\pv{OP} = \vi + 3\vk + s(-3\vi + \vj - \vk) + t(2\vi + 4\vj - 2\vk)$.
  3. Koordinaattimuotoinen parametriesitys on esimerkiksi $$ \left\{ \begin{aligned} x&=1-3s+2t\\ y&=s+4t\\ z&=3-s-2t. \end{aligned} \right. $$
  4. Piste $(5,3,0)$ ei ole tasossa $T$.

Suoran ja tason leikkauspiste

Tason $T$ eräät suuntavektorit ovat $\vv=\vi+2\vk$ ja $\vw=3\vi+\vj-\vk$. Lisäksi piste $(1,0,0)$ on tasossa. Suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys on $$ \left\{ \begin{aligned} x&=1+3t\\ y&=-t\\ z&=5+2t. \end{aligned} \right. $$ Piirrä tilanteesta mallikuva. Tutki parametriesitysten avulla, leikkaavatko suora $L$ ja taso $T$. Määritä mahdollisen leikkauspisteen koordinaatit.

Leikkauspiste on $\dfrac{1}{11}(26,-5,65)$.

Suoran normaalimuotoinen yhtälö

Suora $L$ kulkee pisteiden $A = (2,1)$ ja $B = (3,5)$ kautta.

  1. Piirrä suora $L$ koordinaatistoon.
  2. Määritä suoralle $L$ suuntavektori.
  3. Keksi tai etsi suoralle $L$ normaalivektori. Tarkista kohtisuoruus pistetulon avulla.
  4. Muodosta suoran $L$ normaalimuotoinen yhtälö.

  1. Esimerkiksi $\vi + 4\vj$.
  2. Esimerkiksi $4\vi - \vj$.
  3. $4x - y - 7 = 0$.

Tason normaalimuotoinen yhtälö

Taso $T$ kulkee pisteiden $A = (1,-3,0)$, $B = (4,0,3)$ ja $C = (5,2,2)$ kautta.

  1. Perustele, että vektori $\vn = 3\vi - 2\vj - \vk$ on tason $T$ normaalivektori.
  2. Muodosta tasolle $T$ normaalimuotoinen yhtälö.

  1. Tason $T$ suuntavektoreiksi voidaan valita esimerkiksi $\pv{AB}$ ja $\pv{AC}$. Kun lasketaan pistetulot $\pv{AB} \cdot \vn$ ja $\pv{AC} \cdot \vn$, huomataan, että vektori $\vn$ on kohtisuorassa tason $T$ kumpaakin suuntavektoria vastaan. Se on siten tason $T$ normaalivektori.
  2. $3x-2y-z-9 = 0$

Pisteen etäisyys tasosta

Taso $T$ kulkee origon sekä pisteiden $(0,2,1)$ ja $(3,-2,-2)$ kautta. Laske pisteen $(1,-3,4)$ etäisyys tasosta $T$.

Etäisyys on tasan 1.

Osoita, että pisteet $A = (-3,6,4)$, $B = (2,-4,-1)$ ja $C = (-1,2,2)$ ovat samalla suoralla. Missä suhteessa piste $C$ jakaa janan $AB$?

$\pv{AC} = 2\vi - 4\vj - 2\vk$ ja $\pv{AB} = 5\vi - 10\vj - 5\vk$. Vektorit $\pv{AC}$ ja $\pv{AB}$ ovat yhdensuuntaiset, sillä $\pv{AC} = \frac{2}{5}\pv{AB}$. Tästä voidaan myös päätellä, että piste $C$ jakaa janan $AB$ suhteessa $2:3$.

Lasersäteellä osoitetaan pisteestä $A(1,-2,3)$ vektorin $\vu=2\vi-\vj-3\vk$ suuntaan. Toisella säteellä osoitetaan pisteestä $B(9,-1,-12)$ vektorin $\vv=-\vi-2\vj+3\vk$ suuntaan. Näytä, että säteet leikkaavat toisensa, ja määritä niiden leikkauspiste. [Pitkä K2014/8]

Kysytty leikkauspiste on $(7, 5, 6)$.

Ovatko pisteet $A = (-3,2,1)$, $B = (-2,4,3)$, $C = (-1,2,-2)$ ja $D = (2,8,3)$ samassa tasossa?

Pisteiden $A$, $B$ ja $C$ kautta kulkevan tason yksi parametriesitys on $\pv{OP} = -3\vi + 2\vj + \vk + s(\vi + 2\vj + 2\vk) + t(2\vi-3\vk)$. Kun tutkitaan, saadaanko tästä piste $D$ joillakin parametrien $s$ ja $t$ arvoilla, huomataan, että piste $D$ ei ole samassa tasossa muiden pisteiden kanssa.

Pisteiden $A(2,0,1)$ ja $B(3,1,3)$ yhdysjanan keskipisteen kautta asetetaan taso, joka on kohtisuorassa yhdysjanaa vastaan. Missä pisteessä tämä taso leikkaa $y$-akselin?
[Pitkä K2013/7]

Leikkauspiste on $(0,7,0)$.

Suora $L$ kulkee pisteiden $(8,-3,7)$ ja $(2,5,-1)$ kautta.

  1. Missä pisteessä suora $L$ leikkaa $xy$-tason?
  2. Kuinka suuri on suoran $L$ ja $xy$-tason välinen kulma?

  1. Pisteessä $\left(\frac{11}{4}, 4, 0\right) = (2{,}75; 4; 0)$.
  2. Noin $38{,}7^\circ$.

Laske pisteiden $(-2,4,-5)$ ja $(4,-2,2)$ kautta kulkevan suoran ja koordinaattiakselien väliset kulmat.

Suoran ja $x$-akselin välinen kulma noin $56{,}9^\circ$, samoin suoran ja $y$-akselin välinen kulma. Suoran ja $z$-akselin välinen kulma noin $50{,}5^\circ$.

Suora $L$ kulkee pisteiden $A = (1,1,-2)$ ja $B = (5,-5,6)$ kautta. Laske pisteen $Q = (2,4,7)$ etäisyys suorasta $L$. Mikä suoran $L$ piste on lähinnä pistettä $Q$?

Lähin piste on $(3, -2, 2)$ ja kysytty etäisyys on $\sqrt{62}$.

Pisteiden $A = (2,0,0)$, $B = (0,3,0)$ ja $C = (0,0,4)$ kautta kulkevalle tasolle $T$ asetetaan normaali (eli tasoa vastaan kohtisuorassa oleva suora) pisteeseen $C$. Missä pisteessä normaali leikkaa $xy$-tason?

Pisteessä $\left(-8, -\frac{16}{3}, 0\right)$.

Suorakulmaisen kolmion kaksi kärkeä ovat origo ja $A = (1,3,0)$. Sen kolmas kärki $B$ on origon ja pisteen $C = (0,1,1)$ kautta kulkevalla suoralla. Määritä pisteen $B$ koordinaatit.

$B = \left(0, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ tai $B = \left(0, \frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right)$

Missä pisteessä origon ja pisteen $(1,2,3)$ kautta kulkeva suora $L$ leikkaa pisteiden $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ ja $(0,0,1)$ kautta kulkevan tason $T$? Kuinka suuri on suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma?

Leikkauspiste on $\frac{1}{6}(1,2,3)$. Kulma on noin $67{,}8^\circ$.

Määritä normaalimuotoinen yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen $(2,-3)$ kautta ja on

  1. $x$-akselin suuntainen
  2. $y$-akselin suuntainen
  3. suoran $2x+3y-4 = 0$ suuntainen.

  1. $y + 3 = 0$
  2. $x - 2 = 0$
  3. $2x + 3y + 5 = 0$.

Avomerellä suoran rannikon edustalla ajelehtiva vene havaittiin ensimmäisen kerran 15,2 km laiturista $L$ etelään. Myöhemmin se nähtiin ajelehtimassa 8,6 km laiturista $M$ etelään. Laituri $M$ sijaitsee 11,4 km itään laiturista $L$. Missä kohdassa vene ajautuu maihin, jos tuulen suunta pysyy samana?

Noin 26,3 km laiturista $L$ itään (eli noin 14,9 km laiturista $M$ itään).

Lintujen kevätmuuttoa tarkkailtiin kukkulalta $K$. Sieltä 400 m etelään on piste $A$, josta puolestaan 400 m länteen on piste $B$. Piste $C$ on 500 m itään kukkulasta $K$ ja piste $D$ on 200 m pohjoiseen pisteestä $C$. Kuikka lensi suoraviivaista reittiä pisteiden $B$ ja $K$ yli, kaakkuri puolestaan lensi suoraviivaista reittiä pisteiden $A$ ja $D$ yli. Havaitsija $H$ kertoi nähneensä molemmat linnut suoraan yläpuolellaan. Missä paikassa $H$ teki havaintonsa?

Havaitsija $H$ teki havaintonsa pisteessä, joka sijaitsee kukkulasta 2 km itään ja 2 km pohjoiseen.

Määritä suoran $2x-y+4 = 0$ se piste, joka on yhtä etäällä pisteistä $(0,-3)$ ja $(4,-1)$.

Kysytty piste on $\left(-\frac{1}{2}, 3\right) = (-0{,}5; 3)$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Geometriaa vektoreiden avulla

Tämän luvun tavoitteena on, että osaat käyttää vektoreita geometristen ongelmien ratkaisemiseen ilman koordinaatistoa. Lisäksi vahvistat edellisissä luvuissa harjoiteltuja taitoja:

  • vektorien laskutoimitusten tulkitsemista geometrisesti (yhteen- ja vähennyslasku sekä reaaliluvulla kertominen)
  • pistetulon laskusääntöjen ja ominaisuuksien soveltamista geometristen ongelmien ratkaisemiseen.
Tavoitteiden toteutumista pääset arvioimaan luvun lopussa olevan itsearviointitestin avulla.

Edellisissä luvuissa olemme tutustuneet $xy$- ja $xyz$-koordinaatistojen vektoreihin ja niillä laskemiseen. Vektoreita voidaan kuitenkin käyttää myös ilman koordinaatistoa. Mallikuvat, joita olemme piirtäneet kolmiulotteisen avaruuden tilanteista, ovat olleet askel tähän suuntaan.

Palautetaan mieleen, että vektoreiden summan $\bar{v}+\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä vektorit $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ peräkkäin. Erotuksen $\bar{v}-\bar{w}$ voi puolestaan määrittää piirtämällä peräkkäin vektorit $\bar{v}$ ja $-\bar{w}$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa $$\begin{align*} \va &= \vb + \vc \\ \vb &= \va - \vc \\ \vc &= -\vb + \va = \va - \vb. \end{align*}$$

Alla on kuvattu suunnikas $ABCD$. Ilmaise sen sivuvektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla

  1. lävistäjävektori $\pv{AC}$
  2. lävistäjävektori $\pv{DB}$
  3. lävistäjävektori $\pv{BD}$.

  1. $\pv{AC} = \va + \vb$
  2. $\pv{DB} = \va - \vb$
  3. $\pv{BD} = \vb - \va$.

Alla kuvattu monitahokas on suuntaissärmiö, eli sen kaikki tahkot ovat suunnikkaita. Ilmaise sen särmävektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ avulla

  1. avaruuslävistäjä $\pv{AG}$
  2. avaruuslävistäjä $\pv{EC}$
  3. avaruuslävistäjä $\pv{HB}$.
  4. avaruuslävistäjä $\pv{DF}$.

  1. $\pv{AG} = \va + \vb + \vc$
  2. $\pv{EC} = \va + \vb - \vc$
  3. $\pv{HB} = \va - \vb - \vc$
  4. $\pv{DF} = \va - \vb + \vc$.

Tarkastele alla olevaa kuvaa.

  1. Esitä vektori $\pv{AC}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.
  2. Esitä vektori $\pv{BE}$ vektoreiden $\vb$, $\vc$ ja $\bar{d}$ avulla.
  3. Esitä vektori $\pv{EC}$ kahdella eri tavalla.
  4. Laske summa $\va + \vb + \vc + (-\bar{d}) + (-\bar{e})$.

  1. $\pv{AC} = \va + \vb$
  2. $\pv{BE} = \vb + \vc - \bar{d}$
  3. $\pv{EC} = \bar{d} - \vc$ ja $\pv{EC} = -\bar{e} + \va + \vb$
  4. Summa on $\bar{0}$.

Joissakin tilanteissa vektorin pituus täytyy muuttaa sopivaksi kertomalla vektoria reaaliluvulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa piste $C$ jakaa janan $AB$ suhteessa $3:5$. Tällöin $$\pv{AC} = \frac{3}{3+5}\pv{AB} = \frac{3}{8}\pv{AB}.$$

Vektori $\pv{OC}$ saadaan lausuttua vektorien $\va = \pv{OA}$ ja $\vb = \pv{OB}$ avulla, kun etsitään reitti pisteestä $O$ pisteeseen $C$. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi kiertämällä pisteen $A$ kautta seuraavasti: $$\begin{align*} \pv{OC} &= \pv{OA} + \pv{AC} \\ &= \pv{OA} + \frac{3}{8}\pv{AB} \\ &= \va + \frac{3}{8}(-\va + \vb) \\ &= \va - \frac{3}{8}\va + \frac{3}{8}\vb \\ &= \frac{5}{8}\va + \frac{3}{8}\vb. \end{align*}$$

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Edellä lausuttiin vektori $\pv{OC}$ vektorien $\va$ ja $\vb$ avulla etsimällä reitti pisteestä $O$ pisteen $A$ kautta pisteeseen $C$.

Lausu vektori $\pv{OC}$ vektorien $\va$ ja $\vb$ avulla etsimällä reitti pisteestä $O$ pisteen $B$ kautta pisteeseen $C$. Saatko saman tuloksen kuin edellä?

Kolmion $ABC$ sivuvektorit ovat $\va = \pv{AB}$ ja $\vb = \pv{AC}$. Piste $D$ on sivun $BC$ keskipiste. Piirrä tilanteesta mallikuva ja ilmaise vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla

  1. sivuvektori $\pv{BC}$
  2. vektori $\pv{BD}$
  3. keskijanavektori $\pv{AD}$.

  1. $\pv{BC} = \vb - \va$
  2. $\pv{BD} = \frac{1}{2}(\vb - \va)$
  3. $\pv{AD} = \frac{1}{2}\va + \frac{1}{2}\vb$.

Tiedetään, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yksikkövektoreita eli niiden pituus on yksi. Määritä vektorin $4\vv+6\vw$ pituus, jos vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat

  1. samansuuntaiset
  2. vastakkaissuuntaiset
  3. kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Havainnollista ratkaisuasi piirroksilla.

  1. $|4\vv+6\vw| = 10$
  2. $|4\vv+6\vw| = 2$
  3. $|4\vv+6\vw| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Joskus vektorin pituuden selvittämiseen voidaan käyttää pistetuloa ja sen ominaisuuksia. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tiedetään, että $|\va| = 3$, $|\vb| = 5$ ja $\sphericalangle(\va,\vb) = 120^\circ$. Tehtävänä on selvittää vektorin $2\va + \vb$ pituus $|2\va + \vb|$.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Havainnollista piirroksella vektoria $2\va + \vb$.
  3. Sievennä pistetulo $(2\va + \vb) \cdot (2\va + \vb)$. Muista, että pistetulossa sulut voidaan kertoa auki tavalliseen tapaan. (Pistetulon laskusääntöjä löydät $xy$-koordinaatistoa käsittelevän luvun teoreemasta 3.)
  4. Teoreeman 4 mukaan $\vv \cdot \vv = |\vv|^2$ ja teoreeman 5 mukaan $\vv \cdot \vw = |\vv||\vw|\cos(\vv, \vw)$. Käytä näitä tietoja ja ilmaise c-kohdan tulos vektoreiden $\va$ ja $\vb$ itseisarvojen avulla.
  5. Käytä tehtävänannon tietoja ja laske edellisen kohdan avulla lukuarvo pistetulolle $(2\va + \vb) \cdot (2\va + \vb)$.
  6. Sovella tietoa $\vv \cdot \vv = |\vv|^2$ uudelleen ja päättele edellisen kohdan avulla, mikä on vektorin $2\va + \vb$ pituus $|2\va + \vb|$.

  1. $4 (\va \cdot \va) + 4(\va \cdot \vb) + \vb\cdot \vb$
  2. $4 |\va|^2 + 4|\va||\vb|\cos(\va, \vb) + |\vb|^2$
  3. $31$
  4. $\sqrt{31}$.

Oletetaan, että $\vv \neq \bar{0}$, $\vw \neq \bar{0}$ ja $\vv \nparallel \vw$. Palautetaan mieleen, että jos vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $$\va = s\vv + t\vw$$ missä $s$ ja $t$ ovat reaalilukuja, niin sanotaan, että $s\vv$ ja $t\vw$ ovat vektorin $\va$ vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Seuraavan teoreeman mukaan mikä tahansa vektori voidaan jakaa vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ suuntaisiin komponentteihin enintään yhdellä tavalla.

TEOREEMA

Oletetaan, että $\vv \neq \bar{0}$, $\vw \neq \bar{0}$ ja $\vv \nparallel \vw$. Jos $s\vw + t\vv = p\vw + q\vv$, niin $s = p$ ja $t = q$.

Perustelu: Oletetaan, että $$s\vw + t\vv = p\vw + q\vv.$$ Lisäämällä yhtälön molemmille puolille $-p\vw - t\vv$ yhtälö saadaan muotoon $$s\vw - p\vw = q\vv - t\vv.$$ Kun yhtälön kummallakin puolella otetaan yhteinen tekijä, saadaan yhtälö muotoon $$(s-p)\vw = (q-t)\vv.$$ Jos kerroin $s-p \neq 0$, saadaan ratkaistua $$\vw = \frac{q-t}{s-p}\vv.$$ Tämä tarkoittaa, että $\vw \parallel \vv$ (tapauksessa, jossa $q-t \neq 0$) tai $\vw = \bar{0}$ (tapauksessa, jossa $q-t = 0$). Tämä on mahdotonta, koska oletuksen mukaan $\vw \neq \bar{0}$ ja $\vv \nparallel \vw$. Siis $s-p = 0$.

Yhtälö saa nyt siis muodon $$0\vw = (q-t)\vv$$ eli $$(q-t)\vv = \bar{0}.$$ Jos kerroin $q-t \neq 0$, saadaan tästä ratkaistua $$\vv = \frac{1}{q-t}\bar{0} = \bar{0}.$$ Tämä on mahdotonta, koska oletuksen mukaan $\vv \neq \bar{0}$. Siis $q-t = 0$.
Koska $s-p = 0$ ja $q-t = 0$, niin $s = p$ ja $q = t$.

Edellistä teoreemaa voidaan hyödyntää tilanteissa, joissa on mahdollista muodostaa jokin vektori annettujen vektoreiden avulla kahta eri reittiä. Tällä tavalla voidaan ratkaista erilaisia geometrisia ongelmia. Tätä havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä.

Tarkastellaan yllä olevaa kuvaa. Selvitetään, missä suhteessa piste $Q$ jakaa lävistäjän $BD$, kun tiedetään, että piste $P$ jakaa sivun $DC$ suhteessa $3:2$.

Piste $Q$ on sekä janalla $AP$ että lävistäjällä $BD$, joten vektori $\pv{AQ}$ voidaan muodostaa kahta eri reittiä vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.

Koska piste $Q$ on janalla $AP$, vektorit $\pv{AQ}$ ja $\pv{AP}$ ovat yhdensuuntaiset. Siten on olemassa luku $s$, jolla $$\pv{AQ} = s\pv{AP}.$$ Vektori $\pv{AP}$ voidaan puolestaan kirjoittaa summana $$\pv{AP} = \pv{AD} + \pv{DP}.$$ Koska piste $P$ jakaa sivun $DC$ suhteessa $3:2$, on $$\begin{align*} \pv{DP} &= \frac{3}{3+2} \pv{DC} = \frac{3}{5}\va. \end{align*}$$ Yhdistämällä kaikki edelliset tiedot saadaan $$\begin{align*} \pv{AQ} &= s\pv{AP} \\ &= s(\pv{AD} + \pv{DP}) \\ &= s(\vb + \frac{3}{5}\va) \\ &= \frac{3}{5}s\va + s\vb. \end{align*}$$

Koska piste $Q$ on lävistäjällä $BD$, vektorit $\pv{BQ}$ ja $\pv{BD}$ ovat yhdensuuntaiset. Siten on olemassa luku $t$, jolla $$\pv{BQ} = t\pv{BD}.$$ Vektori $\pv{BD}$ voidaan puolestaan kirjoittaa summana $$\begin{align*} \pv{BD} &= \pv{BA} + \pv{AD} \\ &= -\va + \vb \\ &= \vb - \va. \end{align*}$$ Muodostetaan näiden tietojen avulla vektori pisteestä $A$ pisteeseen $Q$: $$\begin{align*} \pv{AQ} &= \pv{AB} + \pv{BQ} \\ &= \va + t\pv{BD} \\ &= \va + t(\vb - \va) \\ &= \va + t\vb - t\va \\ &= (1-t)\va + t\vb. \end{align*}$$

Näin on saatu muodostettua vektori $\pv{AQ}$ kahta eri reittiä vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla. Nyt tiedetään, että $\pv{AQ} = \frac{3}{5}s\va + s\vb$ ja $\pv{AQ} = (1-t)\va + t\vb$. Siis $$\frac{3}{5}s\va + s\vb = (1-t)\va + t\vb.$$ Edellisen teoreeman mukaan tästä yhtälöstä seuraa, että $$ \left\{\begin{aligned} \frac{3}{5}s &= 1-t \\ s &= t. \end{aligned}\right. $$ Kun ylempään yhtälöön sijoitetaan $s = t$, se saa muodon $$\frac{3}{5}t = 1-t$$ lisäämällä molemmille puolille $t$ se saadaan muotoon $$\frac{8}{5}t = 1.$$ Siis $$t = \frac{5}{8}.$$ Koska $$\pv{BQ} = t\pv{BD} = \frac{5}{8}\pv{BD},$$ voidaan päätellä, että jana $BD$ voidaan jakaa kahdeksaan osaan, joista viisi muodostaa janan $BQ$ ja kolme muodostaa janan $QD$. Piste $Q$ jakaa siis janan $BD$ suhteessa $5:3$.

Tehtävänä on selvittää, miten janan keskipisteeseen piirretty vektori saadaan lausuttua janan päätepisteisiin piirrettyjen vektoreiden avulla.

  1. Piirrä jana $AB$ ja sen ulkopuolelle piste $O$. Merkitse janan $AB$ keskipistettä kirjaimella $M$.
  2. Piirrä vektorit $\va = \pv{OA}$, $\vb = \pv{OB}$ ja $\pv{OM}$.
  3. Ilmaise vektori $\pv{AB}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.
  4. Ilmaise vektori $\pv{AM}$ vektorin $\pv{AB}$ avulla.
  5. Ilmaise vektori $\pv{OM}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla etsimällä reitti pisteestä $O$ pisteeseen $M$. Edellisten kohtien tuloksista on apua.
  6. Muotoile omin sanoin teoreema, jonka todistit tässä tehtävässä.

  1. $\pv{AB} = \vb - \va$
  2. $\pv{AM} = \frac{1}{2}\pv{AB}$
  3. $\pv{OM} = \frac{1}{2}\va + \frac{1}{2}\vb$.

Tehtävänä on osoittaa, että kolmion kaikki keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä ja tämä piste jakaa jokaisen keskijanan kolmion kärjestä lukien suhteessa $2:1$.

  1. Piirrä vihkoosi kolmio $ABC$ ja sille kaksi keskijanaa samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa. Merkitään näiden keskijanojen leikkauspistettä kirjaimella $P$. Merkitään lisäksi $\va = \pv{AB}$ ja $\vb = \pv{AC}$.
  2. Ilmaise keskijanavektori $\pv{AE}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla. (Piste $E$ on siis kolmion sivun $BC$ keskipiste.)
  3. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla hyödyntämällä tietoa, että $\pv{AP} \parallel \pv{AE}$.
  4. Ilmaise keskijanavektori $\pv{BF}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.
  5. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla etsimällä reitti pisteestä $A$ pisteen $B$ kautta pisteeseen $P$. Edellisen kohdan tuloksesta on apua.
  6. Nyt sinulla on kaksi esitystä vektorille $\pv{AP}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla. Muodosta niistä yhtälö ja ratkaise se teoreeman 11 avulla.
  7. Missä suhteessa piste $P$ jakaa janan $AE$? Entä missä suhteessa piste $P$ jakaa janan $BF$?
  8. Olisiko tulos ollut erilainen, jos olisit käyttänyt keskijanan $BF$ sijaan kärjestä $C$ lähtevää keskijanaa?

  1. $\pv{AE} = \frac{1}{2}\va + \frac{1}{2}\vb$
  2. $\pv{AP} = t(\frac{1}{2}\va + \frac{1}{2}\vb)$
  3. $\pv{BF} = -\va + \frac{1}{2}\vb$
  4. $\pv{AP} = \va + s(-\va + \frac{1}{2}\vb)$
  5. $t(\frac{1}{2}\va + \frac{1}{2}\vb) = \va + s(-\va + \frac{1}{2}\vb)$, ratkaisuksi saadaan $s = \frac{2}{3} = t$.
  6. Piste $P$ jakaa janan $AE$ suhteessa $2:1$ ja janan $BF$ suhteessa $2:1$.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan tetraedriä eli nelitahokasta.

Yhdistetään tetraedrin vastakkaisten särmien keskipisteet janalla kuten alla olevassa kuvassa. Merkitään tämän yhdysjanan keskipistettä kirjaimella $P$.

Ajatellaan, että jossain tetraedrin ulkopuolella on piste $O$ ja merkitään $\va = \pv{OA}$, $\vb = \pv{OB}$, $\vc = \pv{OC}$ ja $\bar{d} = \pv{OD}$. Tehtävänä on lausua vektori $\pv{OP}$ vektoreiden $\va$, $\vb$, $\vc$ ja $\bar{d}$ avulla.

  1. Piirrä vihkoosi yllä oleva kuva ja lisää siihen jonnekin tetraedrin ulkopuolelle piste $O$.
  2. Ilmaise vektori $\pv{OE}$ vektoreiden $\va$ ja $\bar{d}$ avulla. Hyödynnä edellisen tehtävän tulosta. Voit varmistaa tuloksen oikeellisuuden tämän tehtävän alapuolelta teoreemasta 12.
  3. Ilmaise vektori $\pv{OF}$ vektoreiden $\vb$ ja $\vc$ avulla.
  4. Ilmaise vektori $\pv{OP}$ vektoreiden $\pv{OE}$ ja $\pv{OF}$ avulla.
  5. Yhdistä edellisten kohtien tulokset ja ilmaise vektori $\pv{OP}$ vektoreiden $\va$, $\vb$, $\vc$ ja $\bar{d}$ avulla.
  6. Olisiko tulos ollut erilainen, jos kysymyksessä olisi ollut joidenkin toisten vastakkaisten särmien keskipisteitä yhdistävän janan keskipiste kuten alla olevassa kuvassa?
  7. Leikkaavatko tetraedrin vastakkaisten särmien keskipisteitä yhdistävät janat toisensa? Jos leikkaavat, niin missä pisteessä?

  1. $\pv{OE} = \frac{1}{2}\va + \frac{1}{2}\bar{d}$
  2. $\pv{OF} = \frac{1}{2}\vb + \frac{1}{2}\vc$
  3. $\pv{OP} = \frac{1}{2}\pv{OE} + \frac{1}{2}\pv{OF}$
  4. $\pv{OP} = \frac{1}{4}\va + \frac{1}{4}\vb + \frac{1}{4}\vc + \frac{1}{4}\bar{d}$
  5. Tulos olisi ollut sama, vaikka siihen olisi päädytty vähän eri tavalla.
  6. Kyllä, nämä janat leikkaavat toisensa yhdysjanojen keskipisteessä.

TEOREEMA

Janan keskipisteeseen piirretty vektori on puolet janan päätepisteisiin piirrettyjen vektorien summasta. Alla olevan kuvan merkinnöillä $$\bar{m} = \frac{1}{2}(\va + \vb).$$

Perustelu: Teoreema on perusteltu tehtävässä 8.

Vektoreiden yhdensuuntaisuuteen liittyvissä kysymyksissäkin saatetaan tarvita teoreemaa 11. Seuraava tehtävä on esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Tiedetään, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ eivät ole yhdensuuntaisia eli $\vv \nparallel \vw$. Tehtävänä on määrittää sellainen luku $k$, että vektorit $2\vv + 3\vw$ ja $5\vv + k\vw$ ovat yhdensuuntaiset.

  1. Millä ehdolla vektorit $2\vv + 3\vw$ ja $5\vv + k\vw$ ovat yhdensuuntaiset? Kertaa tarvittaessa yhdensuuntaisuuden määritelmä $xy$-koordinaatistoa käsittelevästä luvusta.
  2. Edellisessä kohdassa muodostit yhdensuuntaisuuden määritelmän avulla yhtälön. Muokkaa tätä yhtälöä niin, että saat muodostettua siitä yhtälöparin teoreeman 11 avulla.
  3. Ratkaise yhtälöpari. Mikä on etsitty luku $k$?
  4. Kun vektorit $2\vv + 3\vw$ ja $5\vv + k\vw$ ovat yhdensuuntaiset, ovatko ne saman- vai vastakkaissuuntaiset?

  1. $k = \frac{15}{2} = 7{,}5$
  2. Samansuuntaiset.

Myös pistetuloa voidaan hyödyntää geometristen väitteiden perusteluissa. Tarkastellaan esimerkiksi suunnikasta, jonka lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kuvan perusteella näyttäisi siltä, että suunnikkaan kaikki sivut ovat tässä tapauksessa yhtä pitkiä. Onko kysymys ehkä vain sattumasta? Olisiko mahdollista piirtää suunnikas, jonka lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mutta jolla on kaksi eri pituista sivua? Seuraavassa tehtävässä tutkitaan tätä asiaa pistetulon avulla.

Tarkastele alla olevan kuvan suunnikasta $ABCD$.

  1. Ilmaise lävistäjävektorit $\pv{AC}$ ja $\pv{DB}$ vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.
  2. Laske pistetulo $\pv{AC} \cdot \pv{DB}$ edellisen kohdan merkintöjä käyttäen. Muista, että pistetulossa sulut voidaan kertoa auki tavalliseen tapaan. (Pistetulon laskusääntöjä löydät $xy$-koordinaatistoa käsittelevän luvun teoreemasta 3.)
  3. Kirjoita b-kohdan tulos vektoreiden $\va$ ja $\vb$ itseisarvojen avulla. Tarvittaessa voit tarkistaa teoreemasta 4, miten vektorin pistetulo itsensä kanssa liittyy vektorin itseisarvoon.
  4. Oletetaan, että suunnikkaan $ABCD$ lävistäjävektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Mitä voit silloin sanoa lävistäjävektoreiden pistetulosta? Tarvittaessa tarkista asia teoreemasta 6.
  5. Yhdistä c- ja d-kohtien tiedot. Voitko tästä päätellä, että $|\va|=|\vb|$? Selitä omin sanoin, miten ajattelet.

  1. $\pv{AC} = \va + \vb$ ja $\pv{DB} = \vb - \va$
  2. $\pv{AC} \cdot \pv{DB} = \vb \cdot \vb - \va \cdot \va$
  3. $\pv{AC} \cdot \pv{DB} = |\vb|^2 - |\va|^2$
  4. $\pv{AC} \cdot \pv{DB} = 0$
  5. $|\vb|^2 - |\va|^2 = 0$

Vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku

Alla on kuvattuna säännöllinen kuusikulmio $ABCDEF$. Esitä vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ avulla

  1. vektori $\pv{BF}$
  2. vektori $\pv{BC}$
  3. vektori $\pv{AC}$
  4. vektori $\pv{AD}$
  5. vektori $\pv{BE} + \pv{FC} + \pv{DA}$.

  1. $\pv{BF} = \vv - \vw$
  2. $\pv{BC} = \vv + \vw$
  3. $\pv{AC} = \vv + 2\vw$
  4. $\pv{AD} = 2\vv + 2\vw$
  5. $\pv{BE} + \pv{FC} + \pv{DA} = \bar{0}$.

Vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku

Alla on kuvattuna säännöllinen oktaedri $ABCDEF$. Sen kaikki tahkot ovat tasasivuisia kolmioita. Esitä vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ avulla

  1. vektori $\pv{ED}$
  2. vektori $\pv{AF}$
  3. vektori $\pv{CE}$
  4. vektori $\pv{FE}$.

  1. $\pv{ED} = \vb - \vc$
  2. $\pv{AF} = \va + \vb - \vc$
  3. $\pv{CE} = \vc - \va - \vb$
  4. $\pv{FE} = 2\vc -\va - \vb$.

Vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku

Piirrä kolmio, jonka sivuvektorit $\va$, $\vb$ ja $\vc$ toteuttavat yhtälön

  1. $\va + \vb + \vc = \bar{0}$
  2. $\va + \vb - \vc = \bar{0}$
  3. $\va - \vb - \vc = \bar{0}$.

Vektorin kertominen reaaliluvulla

Missä suhteessa piste $P$ jakaa janan $AB$, jos

  1. $\pv{AP} = \dfrac{1}{3}\pv{AB}$
  2. $\pv{AP} = \dfrac{4}{9}\pv{AB}$
  3. $\pv{AB} = \dfrac{7}{4}\pv{AP}$?

  1. $1:2$
  2. $4:5$
  3. $4:3$

Vektorin kertominen reaaliluvulla

Alla on kuvattu suunnikas $ABCD$. Piste $P$ jakaa sivun $AB$ suhteessa $4:3$ ja piste $Q$ jakaa sivun $BC$ suhteessa $2:1$. Pisteiden $P$ ja $Q$ kautta on piirretty janat, jotka ovat yhdensuuntaiset suunnikkaan sivujen kanssa. Ilmaise vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ avulla

  1. vektori $\pv{OP}$
  2. vektori $\pv{OQ}$
  3. vektori $\pv{OR}$.

  1. $\pv{OP} = \va + \frac{4}{7}\vb$
  2. $\pv{OQ} = \va + \vb + \frac{2}{3}\vc$
  3. $\pv{OR} = \va + \frac{4}{7}\vb + \frac{2}{3}\vc$.

Vektorin komponentit

Tason suuntien ilmaisemiseen käytettiin vektoreita $\vv$ ja $\vw$, jotka eivät olleet yhdensuuntaisia ($\vv \nparallel \vw$). Pisteestä $A$ kuljettiin ensin suuntaan, joka oli yhdensuuntainen vektorin $\va = 4\vv - 3\vw$ kanssa. Sen jälkeen liikuttiin suuntaan, joka oli yhdensuuntainen vektorin $\vb = 5\vv - 2\vw$ kanssa. Näin päädyttiin sellaiseen pisteeseen $B$, että $\pv{AB} = -10\vv - 3\vw$. Määritä ne kaksi vektoria, jotka muodostivat kuljetun reitin.

Kuljetut vektorit olivat $20\vv - 15\vw$ ja $-30\vv + 12\vw$.

Vektorin kertominen reaaliluvulla

Oletetaan, että kumpikaan vektoreista $\vv$ ja $\vw$ ole nollavektori. Oletetaan lisäksi, että $\vw-3\vv=5(\vv-\vw)$. Perustele näiden tietojen avulla, että vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat yhdensuuntaiset. Ovatko ne saman- vai vastakkaissuuntaiset?

Vektorit $\vv$ ja $\vw$ ovat samansuuntaiset, sillä $\vw = \frac{4}{3}\vv$.

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Tiedetään, että vektorit $\va$ ja $\vb$ eivät ole yhdensuuntaisia eli $\va \nparallel \vb$. Määritä kaikki luvut $k$, joilla vektorit $3\va + k\vb$ ja $4k\va + 3\vb$ ovat yhdensuuntaiset.

$k = \pm\frac{3}{2}$

Geometriaa vektoreiden avulla

Tehtävänä on osoittaa, että suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa.

  1. Piirrä vihkoosi mallikuva suunnikkaasta $ABCD$. Anna sen sivuvektoreille nimeksi $\va$ ja $\vb$.
  2. Ilmaise suunnikkaan lävistäjävektorit vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.
  3. Olkoon lävistäjien leikkauspiste $P$. Ilmaise vektori $\pv{AP}$ kahta erilaista reittiä vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.
  4. Muodosta tilanteesta yhtälö ja ratkaise se teoreeman 11 avulla.
  5. Missä suhteessa piste $P$ jakaa lävistäjän $AC$? Entä lävistäjän $BD$? Selitä omin sanoin, mistä tämä nähdään.

  1. Esimerkiksi $\va + \vb$ ja $\va - \vb$.
  2. Esimerkiksi $\pv{AP} = t(\va + \vb)$ ja $\pv{AP} = \vb + s(\va - \vb)$.
  3. Ratkaisuksi saadaan $s = \frac{1}{2}$ ja $t = \frac{1}{2}$
  4. Piste $P$ jakaa lävistäjän $AC$ suhteessa $1:1$, samoin lävistäjän $BD$.

Vektorin pituus ja pistetulo

Tiedetään, että vektorin pistetulo itsensä kanssa on sama kuin sen pituuden neliö eli $\va \cdot \va = |\va|^2$.

  1. Muokkaa tämän tiedon ja pistetulon laskusääntöjen avulla lauseke $|\vv + \vw|^2$ muotoon, jossa näkyy vektorin $\vv$ pituus $|\vv|$ ja vektorin $\vw$ pituus $|\vw|$.
  2. Mikä on vektorin $\vv + \vw$ pituus, jos $|\vv|=7, |\vw|=5$ ja $\vv\cdot \vw = 1$? Edellisestä kohdasta on apua.

  1. $|\vv + \vw|^2 = |\vv|^2 + 2(\vv \cdot \vw) + |\vw|^2$
  2. $|\vv + \vw| = \sqrt{72} = 2\sqrt{19}$.

Vektorin pituus ja pistetulo

Tiedetään, että $|\va| = 5$ ja $|\vb| = 9$. Vektoreiden $\va$ ja $\vb$ välinen kulma on $\sphericalangle(\va,\vb)= 72^\circ$.

  1. Laske vektorin $\va-\vb$ pituus.
  2. Laske vektorin $\va+\vb$ pituus.

Piirrä tilanteesta mallikuva ja käytä sitä apuna tehtävän ratkaisussa. Anna vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $|\va-\vb| \approx 8{,}8$; tarkka arvo $\sqrt{\frac{257 - 45\sqrt{5}}{2}}$
  2. $|\va + \vb| \approx 11{,}6$; tarkka arvo $\sqrt{\frac{167 + 45\sqrt{5}}{2}}$.

Geometriaa vektoreiden avulla

Tehtävänä on osoittaa, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Alla olevassa kuvassa on näkyvissä yksi puoliympyrän sisältämä kehäkulma $\sphericalangle(\pv{PA},\pv{PB})$. Piste $O$ on ympyrän keskipiste.

  1. Ilmaise vektorit $\pv{PA}$ ja $\pv{PB}$ vektoreiden $\va = \pv{OA}$ ja $\bar{p} = \pv{OP}$ avulla.
  2. Sievennä pistetulo $\pv{PA} \cdot \pv{PB}$ pistetulon ominaisuuksien avulla.
  3. Mistä tiedät, että vektorit $\va$ ja $\bar{p}$ ovat yhtä pitkiä? Selitä omin sanoin.
  4. Mistä tiedät, että vektorit $\pv{PA}$ ja $\pv{PB}$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Selitä omin sanoin.

  1. $\pv{PA} = \va - \bar{p}$ ja $\pv{PB} = -\va - \bar{p}$.
  2. $\pv{PA} \cdot \pv{PB} = |\bar{p}|^2 - |\va|^2$

Perustele, että kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdysjana on kolmion kolmannen sivun suuntainen ja pituudeltaan puolet sen pituudesta.

Alla olevan kuvan suunnikkaassa piste $H$ jakaa sivun $AD$ suhteessa $1:1$ ja piste $P$ jakaa lävistäjän $BD$ suhteessa $1:1$. Piste $F$ jakaa sivun $DC$ suhteessa $1:2$ ja piste $E$ suhteessa $2:1$. Merkitään $\vv = \pv{AB}$ ja $\vw = \pv{AD}$. Esitä vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ avulla

  1. vektori $\pv{FH}$
  2. vektori $\pv{PE}$
  3. vektori $\pv{FP}$.

  1. $\pv{FH} = -\frac{1}{3}\vv - \frac{1}{2}\vw$
  2. $\pv{PE} = \frac{1}{6}\vv + \frac{1}{2}\vw$
  3. $\pv{FP} = \frac{1}{6}\vv - \frac{1}{2}\vw$.

Suunnikkaassa $ABCD$ piste $P$ on sivun $CD$ keskipiste ja piste $Q$ jakaa lävistäjän $BD$ suhteessa $1:2$. Perustele, että janat $AP$ ja $CQ$ ovat yhdensuuntaiset.

Nelikulmion $ABCD$ sivujen keskipisteet yhdistetään toisiinsa janoilla kuten alla olevassa kuvassa. Osoita, että syntyvä nelikulmio $PQRS$ on aina suunnikas.

Suunnikkaan kärkipiste yhdistetään kahdella janalla vastakkaisten sivujen keskipisteisiin. Osoita, että nämä yhdysjanat jakavat leikkaamansa suunnikkaan lävistäjän kolmeen yhtä pitkään osaan.

Piste $D$ jakaa kolmion $ABC$ sivun $AB$ suhteessa $1:2$ ja piste $E$ sivun $AC$ samassa suhteessa $1:2$. Perustele, että janojen $BE$ ja $CD$ leikkauspiste $P$ on kolmion kärjestä $A$ piirretyn keskijanan keskipiste.

Osoita, että suuntaissärmiön kaikki avaruuslävistäjät leikkaavat toisensa pisteessä, joka on jokaisen avaruuslävistäjän keskipiste.

Tiedetään, että vektoreista $\va$ ja $\vb$ kumpikaan ei ole nollavektori. Lisäksi tiedetään, että $\va \nparallel \vb$. Onko mahdollista, että $-2\va + 15\vb = \bar{0}$? Selitä, miten ratkaisit tehtävän.

Ei ole mahdollista, sillä yhtälöstä seuraisi, että $\va = \frac{15}{2}\vb$. Kuitenkin tiedetään, että $\va \nparallel \vb$.

Kolmiosta $ABC$ tiedetään, että sivun $AB$ pituus on 4 ja sivun $AC$ pituus on 6. Kuinka pitkä on sivu $BC$, jos

  1. pistetulo $\pv{AB} \cdot \pv{AC} = 5$
  2. pistetulo $\pv{AB} \cdot \pv{AC} = -5$.
Piirrä tilanteesta mallikuva.

  1. $|\pv{BC}| = \sqrt{42}$
  2. $|\pv{BC}| = \sqrt{62}$.

Kolmion $OAB$ sivuvektorit $\va = \pv{OA}$ ja $\vb = \pv{OB}$ toteuttavat ehdon $\va \cdot \va = 2\va \cdot \vb$. Osoita, että kolmio $OAB$ on tasakylkinen. [Pitkä S2008/11]

Osoita, että suunnikkaan lävistäjien pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin suunnikkaan kaikkien sivujen pituuksien neliöiden summa.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.