Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA7 - Trigonometriset funktiot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Yhdistetty funktio

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet yhdistetyn funktion käsitteen ja sovellat sujuvasti yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Osaat

  • muodostaa yhdistetyn funktion
  • tunnistaa yhdistetystä funktiosta ulko- ja sisäfunktion
  • derivoida yhdistetyn funktion.

Edellisessä luvussa tutkittiin erilaisten kertoimien vaikutusta sini- ja kosinifunktioiden kuvaajiin. Samalla nähtiin useita esimerkkejä niin sanotuista yhdistetyistä funktioista. Ne muodostuvat kahdesta funktiosta niin, että ensimmäisen funktion arvo syötetään samantien toiseen funktioon. Esimerkiksi funktio $$ h(x) = \sin 2x $$ saadaan yhdistämällä funktiot $f(x) = 2x$ ja $g(x) = \sin x$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{2x} \mapsto \sin \textcolor{red}{2x} $$ Tässä tapauksessa funktion $f$ arvo siis lasketaan ensin ja tulos syötetään funktioon $g$ muuttujan paikalle: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{f(x)} \mapsto g(\textcolor{red}{f(x)}). $$ Sitä funktiota, jonka arvo lasketaan ensimmäisenä, sanotaan sisäfunktioksi. Tässä tapauksessa sisäfunktio on siis funktio $f(x) = 2x$. Nimitys juontaa juurensa siitä, että tämä funktio päätyy lopulta toisen funktion sisälle: lopputuloksena tässä tapauksessa on $g(\textcolor{red}{f(x)})$.

MÄÄRITELMÄ: YHDISTETTY FUNKTIO

Funktioista $f$ ja $g$ yhdistetty funktio tarkoittaa funktiota $h$, jonka arvo lasketaan sijoittamalla funktion $f$ arvo muuttujan paikalle funktioon $g$: $$ h(x) = g(f(x)). $$ Tässä funktio $f$ on sisäfunktio ja funktio $g$ on ulkofunktio.
Funktioista $f$ ja $g$ yhdistettyä funktiota merkintään $g \circ f$. Siis $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)). $$

Yhdistetyn funktion merkinnässä esiintyä merkki $\circ$ luetaan "pallo": yhdistetyn funktion $g$-pallo-$f$ arvo kohdassa $x$ on funktion $g$ arvo kohdassa $f(x)$.

Päättele, mikä on sisäfunktio $f(x)$ ja mikä on ulkofunktio $g(x)$, jos yhdistetylle funktiolle $h(x) = g(f(x))$ pätee

  1. $h(x) = \cos 3x$
  2. $h(x) = (x-1)^4$
  3. $h(x) = \sin^2\! x$

  1. Sisäfunktio on $f(x) = 3x$ ja ulkofunktio on $g(x) = \cos x$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{3x} \mapsto \cos \textcolor{red}{3x} $$
  2. Sisäfunktio on $f(x) = x-1$ ja ulkofunktio on $g(x) = x^4$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{x-1} \mapsto (\textcolor{red}{x-1})^4 $$
  3. Sisäfunktio on $f(x) = \sin x$ ja ulkofunktio on $g(x) = x^2$: $$ \textcolor{blue}{x} \mapsto \textcolor{red}{\sin x} \mapsto (\textcolor{red}{\sin x})^2 = \sin^2\! x $$

Tämän luvun alussa tarkasteltiin funktioista $f(x) = 2x$ ja $g(x) = \sin x$ yhdistettyä funktiota $(g\circ f)(x) = \sin 2x$. Alla on havainnollistettu kuvaajien avulla tämän yhdistetyn funktion muodostumista. Ensimmäisestä kuvaajasta voidaan lukea, mitä sisäfunktio tekee muuttujalle $x$. Toinen kuvaaja näyttää, mitä ulkofunktio tekee tulokselle $f(x)$.


Kun nämä tiedot yhdistetään, saadaan hahmoteltua yhdistetyn funktion kuvaaja:

Tutkitaan, mitä tapahtuu, jos funktiot yhdistetään eri järjestyksessä. Otetaan sisäfunktioksi $g(x) = \sin x$ ja ulkofunktioksi $f(x) = 2x$. Alta ensimmäisestä kuvaajasta voidaan lukea, mitä sisäfunktio tekee muuttujalle $x$. Toinen kuvaaja näyttää, mitä ulkofunktio tekee tulokselle $g(x)$.


Tässä tapauksessa ulkofunktio siis kaksinkertaistaa sisäfunktion tuloksen. Yhdistetyn funktion lausekkeeksi saadaan $$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sin x) = 2\sin x. $$

Havaitaan, että yhdistetyt funktiot $g\circ f$ ja $f \circ g$ ovat tässä tapauksessa eri funktiot. Kun funktioita yhdistetään, on siis oltava tarkkana funktioiden järjestyksen kanssa.

Merkitään $f(x) = 2 - x$ ja $g(x) = \cos x$. Määritä yhdistetty funktio

  1. $g \circ f$
  2. $f \circ g$

  1. \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(2-x) \\ &= \cos (2-x) \end{align*}
  2. \begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\cos x) \\ &= 2 - \cos x \end{align*}

Merkitään $f(x) = x^2 - 4$ ja $g(x) = \dfrac{1}{x}$. Muodosta yhdistetty funktio ja päättele, mikä on sen määrittelyjoukko:

  1. $g \circ f$
  2. $f \circ g$

  1. Yhdistetty funktio on \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2 - 4) \\ &= \frac{1}{x^2 - 4}. \end{align*} Se on määritelty, jos ja vain jos $x\neq 2$ ja $x \neq -2$.
  2. Yhdistetty funktio on \begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\[2mm] &= f\left(\dfrac{1}{x}\right) \\[2mm] &= \left(\dfrac{1}{x}\right)^2 - 4 \\[2mm] &= \dfrac{1}{x^2} - 4. \end{align*} Se on määritelty, jos ja vain jos $x\neq 0$.

Seuraavassa tehtävässä tarkastellaan yhdistetyn funktion $f(x) = \sin kx$ jaksoa. Kertoimen $k$ vaikutusta sinifunktion jakson pituuteen on tutkittu jo aikaisemmin tehtävissä 2.8 ja 2.9.

Oletetaan, että $k > 0$. Osoita, että kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ f\!\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) = f(x). $$

Vinkki: Sievennä lauseke $$f\!\left(x + \frac{2\pi}{k}\right)$$ mahdollisimman pitkälle. Muista teoreema 13.

\begin{align*} f\!\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) &= \sin k\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) \\[2mm] &= \sin \left(kx + \frac{k \cdot 2\pi}{k}\right) \\[2mm] &= \sin (kx + 2\pi) \\ &= \sin kx \\ &= f(x) \end{align*}

Tehtävän 3.4 avulla saadaan perusteltua seuraava teoreema. Lue teoreema perusteluineen huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $k > 0$. Yhdistettyjen funktioiden $f(x) = \sin kx$ ja $g(x) = \cos kx$ jakso on $$ \frac{2\pi}{k}. $$

Perustelu: Merkitään funktion $f$ jaksoa kirjaimella $a$.

  • Funktion $f$ arvot toistuvat jakson välein: $f(x + a) = f(x)$ eli $$ \sin (kx + ka) = \sin kx. $$ Jos merkitään $z = kx$, yhtälö saadaan muotoon $$ \sin (z + ka) = \sin z. $$ Teoreeman 13 mukaan sinifunktion jakso on $2\pi$, joten $$ka \geq 2\pi$$ (huomaa, että voi olla $ka = 2\pi$ tai $ka = 4\pi$ tai $ka = 6\pi$ tai $\ldots$). Koska $k > 0$, seuraa tästä, että $$ a \geq \frac{2\pi}{k}. $$
  • Tehtävässä 3.4 osoitettiin, että kaikilla muuttujan $x$ arvoilla pätee $$ f\left(x + \frac{2\pi}{k}\right) = f(x). $$ Funktion $f$ arvot toistuvat siis aina $\dfrac{2\pi}{k}$ välein, joten funktion $f$ jakso ei voi olla tätä suurempi: $$ a \leq \dfrac{2\pi}{k}. $$

Edellä on päätelty, että $$ \dfrac{2\pi}{k} \leq a \leq \dfrac{2\pi}{k}, $$ joten ainoaksi mahdollisuudeksi jää $$ a = \dfrac{2\pi}{k}. $$ Funktion $g$ jakson pituus perustellaan vastaavalla tavalla.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan teoreeman 22 soveltamista.

Määritä funktion $h$ arvojoukko ja jakson pituus, jos

  1. $h(x) = 4 \sin \dfrac{3x}{5}$
  2. $h(x) = -6 \cos \dfrac{\pi x}{2}$

  1. Arvojoukko on $[-4,4]$ ja jakso on $\dfrac{10\pi}{3}$.
  2. Arvojoukko on $[-6,6]$ ja jakso on $4$.

Tiedetään, että funktion $f(x) = a\sin kx$ jakson pituus on $3$ ja arvojoukko on väli $[-5,5]$. Lisäksi tiedetään, että $k > 0$. Määritä kertoimien $a$ ja $k$ arvot.

$k = \dfrac{2\pi}{3}$ ja $a = 5$ tai $a = -5$

Annettu funktio voidaan usein tulkita monella eri tavalla yhdistetyksi funktioksi. Esimerkiksi funktio $$ f(x) = \frac{1}{9x^2 + 1} $$ voidaan esittää yhdistettynä funktiona monella eri tavalla riippuen siitä, mikä funktio valitaan sisäfunktioksi. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on esittää funktio $$ f(x) = \frac{1}{9x^2 + 1} $$ yhdistettynä funktiona $f = u \circ s$. Mikä on ulkofunktio $u(x)$, jos sisäfunktio on

  1. $s(x) = 9x^2 + 1$
  2. $s(x) = 9x^2$
  3. $s(x) = 3x$

  1. $u(x) = \dfrac{1}{x}$
  2. $u(x) = \dfrac{1}{x + 1}$
  3. $u(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

Tässä kappaleessa tutkitaan, miten yhdistetyn funktion $g\circ f$ riippuu ulko- ja sisäfunktioiden derivaatoista. Aloitetaan tarkastelemalla yksittäistä esimerkkiä.

Tutkitaan funktioita $f(x) = 2x^2$ ja $g(x) = 1 - x^3$.

  1. Määritä yhdistetty funktio $(g \circ f)(x)$ ja sievennä sen lauseke mahdollisimman pitkälle.
  2. Määritä a-kohdan funktion derivaattafunktio $(g \circ f)'(x)$.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreemat 7 ja 9.
  3. Määritä derivaattafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$.
  4. Määritä yhdistetty funktio $(g' \circ f)(x)$ ja sievennä sen lauseke mahdollisimman pitkälle.
    Vinkki: huomaa, että kysymyksessä on funktiosta $f$ ja derivaattafunktiosta $g'$ muodostettu funktio.
  5. Vertaa b-, c- ja d-kohtien tuloksia. Miten voit muodostaa yhdistetyn funktion derivaattafunktion $(g \circ f)'(x)$ c- ja d-kohtien tuloksista?

  1. \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(2x^2) \\ &= 1-(2x^2)^3 \\ &= 1 - 8x^6 \end{align*}
  2. \begin{align*} (g \circ f)'(x) &= -8\cdot 6x^5 \\ &= -48x^5 \end{align*}
  3. $f'(x) = 4x$ ja $g'(x) = -3x^2$.
  4. \begin{align*} (g' \circ f)(x) &= g'(f(x)) \\ &= g'(2x^2) \\ &= -3(2x^2)^2 \\ &= -3\cdot 4x^4 \\ &= -12x^4 \end{align*}
  5. Havaitaan, että yhdistetyn funktion derivaattafunktio saadaan tulona $(g' \circ f)(x) \cdot f'(x)$ eli $$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x). $$

Testataan edellisen tehtävän tulosta vielä toisessa tapauksessa. Oliko kysymyksessä vain sattuma vai ilmeneekö tässä jokin yleispätevä lainalaisuus?

Tutkitaan funktioita $f(x) = x^2-x$ ja $g(x) = x^5$.

  1. Määritä yhdistetty funktio $(g \circ f)(x)$.
    Vinkki: funktion lausekkeen sulkuja ei nyt kannata lähteä avaamaan.
  2. Määritä a-kohdan funktion derivaattafunktio $(g \circ f)'(x)$.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 14.
  3. Määritä derivaattafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$.
  4. Määritä funktion $g$ derivaatan arvo kohdassa $f(x)$. Toisin sanottuna määritä $g'(f(x))$.
  5. Pitääkö tehtävän 3.8 havainto paikkansa tässäkin tapauksessa?

  1. \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2 - x) \\ &= (x^2 - x)^5 \end{align*}
  2. Funktion potenssin derivointisäännön avulla saadaan \begin{align*} (g \circ f)'(x) &= 5(x^2-x)^4(2x-1) \end{align*}
  3. $f'(x) = 2x-1$ ja $g'(x) = 5x^4$.
  4. \begin{align*} g'(f(x)) &= g'(x^2-x) \\ &= 5(x^2-x)^4 \end{align*}
  5. Tehtävän 3.8 havainto pitää paikkansa tässäkin tapauksessa: $$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x). $$

Edellisen tehtävän havainto osoittautuu pitävän paikkansa kaikilla yhdistetyillä funktioilla. Seuraavassa teoreemassa tämä todistetaan tietynlaisille funktioille. Yleinen todistus vaatii keinoja, joihin perehdytään yliopistotasolla.

Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat derivoituvia. Yhdistetyn funktion $g \circ f$ derivaatta kohdassa $x$ on ulkofunktion derivaatta kohdassa $f(x)$ kerrottuna sisäfunktion derivaatalla: $$ \mathop{\mathrm{D}} g(f(x)) = g'(f(x))f'(x). $$

Perustelu: Funktion $g \circ f$ erotusosamäärä kohdassa $a$ on $$ \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a}. $$ Tehdään lisäoletus, että kohdan $a$ läheisyydessä $f(x) \neq f(a)$. Huomaa, että esimerkiksi vakiofunktioille tämä oletus ei päde, minkä vuoksi tämä perustelu ei ole yleispätevä.
Lisäoletuksesta seuraa, että $f(x) - f(a) \neq 0$ ja erotusosamäärä voidaan laventaa lausekkeella $f(x) - f(a)$: \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \\[2mm] &= \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} \\[2mm] &= \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \end{align*} Jälkimmäinen tulon tekijä on funktion $f$ erotusosamäärä kohdassa $a$: $$ \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \xrightarrow[x\rightarrow a]{} f'(a) $$ Merkitään ensimmäisessä tulon tekijässä $y = f(x)$ ja $b = f(a)$, jolloin saadaan $$ \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} = \frac{g(y) - g(b)}{y-b}. $$ Tämä on funktion $g$ erotusosamäärä kohdassa $b$: $$ \frac{g(y) - g(b)}{y-b} \xrightarrow[y \rightarrow b]{} g'(b). $$ Koska funktio $f$ on derivoituva, se on jatkuva ja $$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a). $$ Tämä tarkoittaa, että jos $x \rightarrow a$, niin $y \rightarrow b$. Siten \begin{align*} &\phantom{ {} = {} } \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \\[2mm] &= \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \\[2mm] &= \frac{g(y) - g(b)}{y-b} \cdot \frac{\textcolor{red}{f(x) - f(a)}}{x-a} \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow a]{} g'(b)f'(a) = g'(f(a))f'(a). \end{align*} Näin on osoitettu, että $$ (g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a). $$

Yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla voidaan derivoida monia trigonometrisia funktioita, joiden derivaattojen määrittäminen muilla tavoin on huomattavasti työläämpää.

Tehtävänä on määrittää funktion $h(x) = \sin 2x$ derivaatta.

  1. Tulkitse funktio $h$ yhdistettynä funktiona $g \circ f$. Mikä on sisäfunktio $f(x)$? Entä ulkofunktio $g(x)$?
  2. Määritä derivaattafunktiot $f'(x)$ ja $g'(x)$.
  3. Määritä derivaattafunktion $g'$ arvo kohdassa $f(x)$. Toisin sanottuna määritä $g'(f(x))$.
  4. Muodosta derivaattafunktio $h'(x)$ teoreeman 23 avulla.

  1. Sisäfunktio on $f(x) = 2x$ ja ulkofunktio on $g(x) = \sin x$.
  2. $f'(x) = 2$ ja $g'(x) = \cos x$.
  3. $g'(f(x)) = \cos 2x$
  4. Kysytty derivaattafunktio saadaan yhdistetyn funktion derivointisäännöllä: \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))f'(x) \\ &= (\cos 2x)\cdot 2 \\ &= 2\cos 2x \end{align*}

Määritä seuraavat yhdistettyjen funktioiden derivaatat teoreeman 23 avulla:

  1. $\mathop{\mathrm{D}} \cos 3x$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} \sin (\pi - x)$
  3. $\mathop{\mathrm{D}} \tan 4x$

  1. $\mathop{\mathrm{D}} \cos 3x = -3\sin 3x$
  2. $\mathop{\mathrm{D}} \sin (\pi - x) = -\cos (\pi - x)$
  3. $\mathop{\mathrm{D}} \tan 4x = 4(1 + \tan^2\! 4x)$ tai $$\mathop{\mathrm{D}} \tan 4x = \dfrac{4}{\cos^2\! 4x}$$

Teoreeman 23 perustelussa tehtiin lisäoletus, että kohdan $a$ läheisyydessä $f(x) \neq f(a)$. Esimerkiksi vakiofunktioille tämä oletus ei päde. Perustelu ei siis ole yleispätevä, vaan se todistaa väitteen vain sellaisille funktioille, joilla lisäoletuksen ehto toteutuu. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, mitä tapahtuu, jos yhdistetyssä funktiossa sisäfunktiona on vakiofunktio.

Tarkastellaan yhdistettyä funktiota $g \circ f$ tilanteessa, jossa sisäfunktiona on vakiofunktio $f(x) = 3$. Ulkofunktio voi tässä olla mikä tahansa funktio. Toisin sanottuna tarkastellaan tilannetta, jossa ulkofunktiosta $g$ ei ole tarkempaa tietoa.

  1. Muodosta yhdistetyn funktion $g \circ f$ lauseke ja sievennä se mahdollisimman pitkälle. Millainen funktio $g \circ f$ on?
  2. Päättele yhdistetyn funktion $g \circ f$ derivaatta a-kohdan avulla.
    Vinkki: MAA6-kurssin teoreema 6.
  3. Mikä on funktion $f$ derivaatta?
  4. Päättele c-kohdan avulla, mitä on $g'(f(x))f'(x)$. Vertaa tulosta b-kohdan tulokseen. Päteekö yhdistetyn funktion derivointisääntö tässä tapauksessa? Toisin sanottuna, saitko saman tuloksen kuin b-kohdassa?

  1. $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(3)$ kaikilla $x$, joten yhdistetty funktio on vakiofunktio. Sen arvoa ei kuitenkaan voi annettujen tietojen avulla päätellä. Arvo riippuu siitä, mikä on funktion $g$ arvo kohdassa 3.
  2. Vakiofunktion derivaatta on nollafunktio, joten $(g\circ f)'(x) = 0$.
  3. Funktio $f$ on vakiofunktio, joten $f'(x) = 0$.
  4. $g'(f(x))f'(x) = g'(3) \cdot 0 = 0$.
    Tulos on sama kuin kohdassa (b), joten yhdistetyn funktion derivointisääntö $$ (g\circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x) $$ pätee tässä tapauksessa.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan vielä teoreeman 23 soveltamista.

Jatkoa tehtävään 2.45. Sataman veden syvyys vaihtelee nousu- ja laskuveden myötä 12 tunnin jaksoissa. Syvyys on suurimmillaan 5,2 metriä ja pienimmillään 2,4 metriä. Veden syvyyttä (metreinä) voidaan kuvata funktiolla $$ f(t) = 3{,}8 + 1{,}4 \cos \left(\dfrac{\pi t}{6}\right). $$ Tässä ajanhetki $t = 0$ (tuntia) on valittu niin, että silloin vesi on korkeimmillaan. Millä nopeudella vedenpinta nousee tai laskee, kun nousuveden huipusta on kulunut

  1. yksi tunti
  2. 8 tuntia
  3. 9 tuntia?

Derivaattafunktio on $$ f'(t) = -1{,}4 \cdot \frac{\pi}{6} \sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right). $$

  1. $f'(1) \approx -0{,}37$ eli vedenpinta laskee noin 37 cm tunnissa.
  2. $f'(8) \approx 0{,}63$ eli vedenpinta nousee noin 63 cm tunnissa.
  3. $f'(9) \approx 0{,}73$ eli vedenpinta nousee noin 73 cm tunnissa.

Funktion $$ f(x) = 3 \sin \left(\frac{x}{2}\right) $$ kuvaajalle piirretään tangentti kohtaan $$x = \frac{8\pi}{3}.$$ Määritä tangentin yhtälö.

Derivaattafunktion on $$ f'(x) = \frac{3}{2} \cos \left(\frac{x}{2}\right), $$ joten tangentin kulmakerroin on \begin{align*} f'\left(\frac{8\pi}{3}\right) &= \frac{3}{2} \cos \left(\frac{4\pi}{3}\right) \\[2mm] &= -\frac{3}{4} \end{align*} Funktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on \begin{align*} f\left(\frac{8\pi}{3}\right) &= 3 \sin \left(\frac{4\pi}{3}\right) \\[2mm] &= \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{align*} Tangentin yhtälö on $$ y - \frac{3}{2}\sqrt{3} = -\frac{3}{4}\left(x - \frac{8\pi}{3}\right) $$ eli $$ y = -\frac{3}{4}x + 2\pi + \frac{3}{2}\sqrt{3}. $$

Yhdistetty funktio

Muodosta lauseke yhdistetylle funktiolle $u \circ s$ ja sievennä se mahdollisimman pitkälle, jos

  1. $u(x) = (x-1)^2$ ja $s(x) = 1 + 2x$
  2. $u(x) = 1 + 2x$ ja $s(x) = (x-1)^2$

  1. $u(s(x)) = 4x^2$
  2. $u(s(x)) = 2x^2 - 4x + 3$

Yhdistetty funktio

Päättele, mikä on sisäfunktio $s(x)$ ja mikä on ulkofunktio $u(x)$, jos yhdistetylle funktiolle $f = u\circ s$ pätee

  1. $f(x) = \dfrac{1}{\tan x}$
  2. $f(x) = \sin \left(\dfrac{x - \pi}{2}\right)$
  3. $f(x) = (2-x)^{10}$

  1. $u(x) = \dfrac{1}{x}$ ja $s(x) = \tan x$
  2. $u(x) = \sin x$ ja $s(x) = \dfrac{x - \pi}{2}$
  3. $u(x) = x^{10}$ ja $s(x) = 2-x$

Yhdistetty funktio

Merkitään $f(x) = kx + 1$ ja $g(x) = 3x + k$. Määritä ne vakion $k$ arvot, joilla $$ (f\circ g)(x) = (g \circ f)(x). $$

Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $k = -1$ tai $k = 2$.

Yhdistetty funktio

Muodosta yhdistetty funktio $g \circ f$, jos

  1. $f(x) = 2x - 1$ ja $g(x) = \dfrac{x+1}{2}$
  2. $f(x) = 4x + 3$ ja $g(x) = 0{,}25x - 0{,}75$.

Mitä huomaat?

Piirrä funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat samaan koordinaatistoon ja vertaa niitä suoraan $y = x$.

  1. $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = x$
  2. $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = x$

Yhdistetyssä funktiossa funktiot $f$ ja $g$ kumoavat toistensa vaikutuksen ja tuloksena on sama muuttujan arvo, joka funktiolle alunperin syötettiin.
Sekä a- että b-kohdassa funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran $y = x$ suhteen.

Yhdistetty funktio

Määritä alla olevien kuvaajien avulla seuraavat yhdistetyn funktion $g \circ f$ arvot:

  1. $(g \circ f)(0)$
  2. $(g \circ f)(2)$
  3. $(g \circ f)(4)$
  4. $(g \circ f)(6)$

Kuvissa ruudukon ruudun sivun pituus on 1.

  1. $g(f(0)) = g(1) = -1$
  2. $g(f(2)) = g(4) = 2$
  3. $g(f(4)) = g(3) = 0$
  4. $g(f(6)) = g(1) = -1$

Yhdistetty funktio

Määritä alla olevien kuvaajien avulla seuraavat yhdistetyn funktion $f \circ g$ arvot:

  1. $(f \circ g)(-2)$
  2. $(f \circ g)(0)$
  3. $(f \circ g)(1)$
  4. $(f \circ g)(4)$

Kuvissa ruudukon ruudun sivun pituus on 1.

  1. $f(g(-2)) = f(5) = 1$
  2. $f(g(0)) = f(0) = 1$
  3. $f(g(1)) = f(-1) = -2$
  4. $f(g(4)) = f(2) = 4$

Yhdistetty funktio

Alla on näkyvissä funktion $f$ kuvaaja. Hahmottele yhdistetyn funktion $g \circ f$ kuvaaja, jos

  1. $g(x) = -x$
  2. $g(x) = x + 3$
  3. $g(x) = \left|x\right|$

  1. Kerroin $-1$ muuttaa funktion $f$ arvot vastaluvuikseen:
  2. Vakion lisääminen siirtää funktion $f$ kuvaajaa $y$-akselin suunnassa:
  3. Itseisarvo muuttaa funktion $f$ negatiiviset arvot vastaluvuikseen:

Yhdistetty funktio

Alla on näkyvissä funktion $f$ kuvaaja. Hahmottele yhdistetyn funktion $f \circ s$ kuvaaja, jos sisäfunktio on

  1. $s(x) = -x$
  2. $s(x) = x - 1$
  3. $s(x) = \left|x\right|$

  1. Sisäfunktion kerroin $-1$ peilaa funktion kuvaajan $y$-akselin suhteen:
  2. Vakio sisäfunktiossa siirtää kuvaajaa $x$-akselin suunnassa:
  3. Itseisarvo sisäfunktiossa tekee kuvaajasta symmetrisen $y$-akselin suhteen:

Yhdistetyn funktion derivaatta

Määritä funktion $f$ derivaattafunktio, jos

  1. $f(x) = \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^3$
  2. $f(x) = \cos x^2$

  1. $f'(x) = \dfrac{3x^2}{(x+1)^4}$
  2. $f'(x) = -2x\sin x^2$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Tutkitaan funktion $f(x) = \sin 2x$ derivaattafunktiota.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$ yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla.
  2. Muokkaa funktion $f$ lauseketta kaksinkertaisen kulman kaavan avulla. Määritä sen jälkeen derivaattafunktio $f'(x)$ tulon derivointisäännön avulla.
    Vinkki: kaksinkertaisen kulman kaava löytyy edellisestä luvusta teoreemasta 17 ja tulon derivointisääntö puolestaan MAA6-kurssin teoreemasta 13.
  3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Ovatko ne samat?
  4. Mille kaavalle saat uuden perustelun a- ja b-kohtien avulla?

  1. $f'(x) = 2\cos 2x$
  2. $f(x) = 2\sin x\cos x$, joten derivaattafunktioksi saadaan $f'(x) = 2\cos^2\! x - 2\sin^2\! x$.
  3. Tulokset ovat samat, koska kysymyksessä on funktion $f$ derivaattafunktio vain eri tavoin määritettynä.
  4. Saadaan yhtälö $$ 2\cos 2x = 2\cos^2\! x - 2\sin^2\! x, $$ josta seuraa kaksinkertaisen kulman kosinin kaava $$ \cos 2x = \cos^2\! x - \sin^2\! x. $$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Osoita, että funktio $f$ on kaikkialla aidosti kasvava, jos

  1. $f(x) = x + \sin x\cos x$
  2. $f(x) = 3x + \sin 2x - 4\sin x$

Vinkki: Kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 10. Kohdassa (b) myös tämän kurssin teoreemoista 7 ja 17 on apua.

  1. Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= 1 - \sin^2\! x + \cos^2\! x \\ &= \cos^2\! x + \cos^2\! x \\ &= 2\cos^2\! x. \end{align*} Havaitaan, että sen arvot ovat epänegatiiviset ja se saa arvon nolla vain yksittäisissä kohdissa. (Huomaa lyhennysmerkintä: $\cos^2\! x = (\cos x)^2$.)
  2. $f(x) = 3x + \sin 2x - 4\sin x$ Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= 3 + 2\cos 2x - 4\cos x \\ &= 3 + 2(\cos^2\! x - \sin^2\! x) - 4\cos x \\ &= 3 + 2\cos^2\! x - 2(1 -\cos^2\! x) - 4\cos x \\ &= 3 + 2\cos^2\! x - 2 + 2\cos^2\! x - 4\cos x \\ &= 4\cos^2\! x - 4\cos x + 1 \\ &= (2\cos^2\! x - 1)^2 \end{align*} Havaitaan, että sen arvot ovat epänegatiiviset ja se saa arvon nolla vain yksittäisissä kohdissa.

Yhdistetyn funktion derivaatta

Määritä funktion $f(x) = x - \sin 2x$ derivaattafunktion nollakohdat.

Derivaattafunktio on $$f'(x) = 1 - 2\cos 2x.$$ Sen nollakohdat ovat $$\dfrac{\pi}{6} + n\cdot \pi$$ ja $$\dfrac{\pi}{6} + n\cdot \pi,$$ missä $n$ on kokonaisluku.

Yhdistetyn funktion derivaatta

Derivoi funktio $f$, jos

  1. $f(x) = \cos^2 3x$
  2. $f(x) = \sin \dfrac{x}{2}$

  1. $f'(x) = -6\cos 3x \sin 3x$
  2. $f'(x) = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Pisteeseen, jossa funktion $$ f(x) = 2\tan x + \sin 6x - 4\cos x $$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin, piirretään kuvaajan tangetti ja normaali. Määritä tangetin ja normaali yhtälöt.
Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 11.

Tangentin yhtälö on $y = 8x - 4$. Normaalin yhtälö on $$ y = -\frac{1}{8}x - 4. $$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Tarkastellaan funktiota $$ f(x) = a \sin x + b \cos 2x. $$ Määritä vakioiden $a$ ja $b$ arvot niin, että funktio $f$ toteuttaa ehdot $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 $$ ja $$ f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1. $$ Vinkki: huomaa, että jälkimmäinen ehto koskee funktion $f$ toista derivaattaa, joka löydetään derivoimalla derivaattafunktio.

$a = \dfrac{10}{3}$ ja $b = -\dfrac{4}{3}$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Merkitään $$ f(x) = 4\cos 2x - 3\sin^2\! x. $$ Laske $$ f'\left(\frac{2\pi}{3}\right). $$

$$ f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{11\sqrt{3}}{2} $$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Määritä funktion $$ f(x) = (3x-7)\sin 3x + \cos 3x $$ suurin ja pienin arvo välillä $[0, \pi]$.
Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA6-kurssin teoreema 12.

Suurin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 7 - \frac{3\pi}{2}. $$ Pienin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{2} - 7. $$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Määritä kaikki funktion $$ f(x) = \cos \left(\frac{1-x}{x}\right) $$ derivaattafunktion nollakohdat.

$x = \dfrac{1}{1 + n\pi}$, missä $n$ on kokonaisluku.

  1. Laske funktion $f(x) = \sin 3x$ derivaatan tarkka arvo kohdassa $x = \frac{\pi}{9}$
  2. Määritä ne reaaliluvut $x$, joilla funktion $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ derivaatta on $\sin x$.

[Pitkä K2013/2a & S1999/4a]

  1. $f'\left(\frac{\pi}{9}\right) = 3\cos \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}$
  2. $x = \dfrac{\pi}{4} + n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku

Määritä funktion $$ f(x) = \cos x - \frac{1}{2}\cos 2x $$ suurin ja pienin arvo. Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan?
[Pitkä S2010/7]

Derivaattafunktion nollakohdat ovat $x = n \cdot \pi$ ja $$ x = \pm\frac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Funktion suurin arvo on $\frac{3}{4}$ ja se saavutetaan kohdissa $$ x = \pm\frac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Pienin arvo on $-\frac{3}{2}$.

Määritä funktion $$ f(x) = \frac{5}{4 + 3\cos 2x} $$ suurin ja pienin arvo reaalilukujen joukossa. Millä argumentin arvoilla nämä saadaan?
[Pitkä K2001/6]

Suurin arvo on $5$ ja se saavutetaan kohdissa $\frac{\pi}{2} + n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

Pienin arvo on $\frac{5}{7}$ ja se saavutetaan kohdissa $n \cdot \pi$, missä $n$ on kokonaisluku.

Huom. tehtävän voi ratkaista myös päättelemällä ilman derivaattaa, koska tiedetään, että kosinin arvot ovat aina välillä $[-1,1]$.

Puistossa on kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa käytävää sekä koirien suosima puu, jonka etäisyys toisesta käytävästä on 60 m, toisesta 100 m. Käytävien väliin on muodostunut lyhin mahdollinen suora oikopolku, joka sivuaa puuta. Minkä kulman tämä oikopolku muodostaa puuta lähempänä olevan käytävän kanssa? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
[Pitkä S1990/8b]

Polun pituus saadaan funktiosta $$ f(x) = \frac{60}{\sin x} + \frac{100}{\cos x}, $$ missä $x$ on kysytty kulma (välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$). Derivaattafunktio on \begin{align*} f'(x) &= \frac{5\sin x}{\cos^2\! x} - \frac{3\cos x}{\sin^2\! x}. \end{align*} Sen nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \frac{\sin^3\! x}{\cos^3\! x} = \frac{3}{5} $$ eli yhtälö $$ \tan^3\! x = \frac{3}{5}. $$ Välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ on yksi nollakohta $x \approx 0{,}70$ (radiaania). Kulkukaavion avulla havaitaan, että tämä on minimikohta. Kysytty kulma on siis noin 40 astetta.

Määritä funktion $$ f(x) = (1-\cos^3\!x)^3 $$ suurin ja pienin arvo

  1. päättelemällä kosinin ominaisuuksien avulla
  2. derivaatan avulla.

Suurin arvo on 8 ja pienin arvo on 0.

  1. Idea: Kosinin saa arvot välillä $[-1,1]$, joten $1 - \cos^3\! x$ saa arvot välillä $[0, 2]$. Kysytty suurin arvo on siten $2^3 = 8$ ja pienin arvo on $0$.
  2. Derivaattafunktio on $$ f'(x) = 3(1-\cos^3\!x)^2 \cdot (-3\cos^2\! x) \cdot (-\sin x). $$ Sillä on nollakohdat $n \cdot \pi$ ja $$ \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku.
    Funktion $f$ arvot toistuvat $2\pi$:n jaksoissa, joten suurin ja pienin arvo löydetään laskemalla funktion arvot kohdissa $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ ja $x = \frac{3\pi}{2}$.

Kourua pitkin valuu $0{,}2 \text{ m}^3/\text{min }$ seulottua hiekkaa ympyräpohjaisen kartion muotoiseen kasaan. Hiekkakasan korkeuden kasvaessa myös pohjaympyrän halkaisija $d$ kasvaa niin, että se on koko ajan 50 % kasan korkeutta suurempi. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella hiekkakasan korkeus kasvaa hetkellä, jolloin sen korkeus on 1,5 metriä.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva ja muodosta yhtälö, joka kertoo, miten pohjaympyrän halkaisija $d$ riippuu kasan korkeudesta $h$.
  2. Muodosta yhtälö ympyräpohjaisen kartion tilavuudelle ja muokkaa sitä niin, että siinä esiintyy vain tilavuus $V$, korkeus $h$ sekä vakioita.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 25.
  3. Hiekkakasan tilavuus ja korkeus riippuvat kumpikin ajasta eli ne ovat ajan funktioita $V(t)$ ja $h(t)$. Derivoimalla b-kohdassa johtamasi tilavuuden lausekkeen saat lausekkeen tilavuuden muutosnopeudelle $V'(t)$.
    Vinkki: Nyt tarvitset yhdistetyn funktion derivointisääntöä (teoreema 23).
  4. Selvitä c-kohdan yhtälön avulla, millä nopeudella hiekkakasan korkeus kasvaa hetkellä, jolloin sen korkeus on 1,5 metriä.

  1. $d = 1{,}5h$
  2. $V = \dfrac{3\pi h^3}{16}$
  3. $V'(t) = \dfrac{3\pi \cdot 3 (h(t))^2 \cdot h'(t)}{16}$
  4. \begin{align*} h'(t) &= \dfrac{16V'(t)}{9\pi (h(t))^2} \\[2mm] &= \dfrac{16 \cdot 0{,}2 \text{ m}^3/\text{min}}{9\pi \cdot (1{,}5 \text{ m})^2} \\[2mm] &\approx 0{,}050 \text{ m/min} \end{align*}

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.