1. Jokaisen ryhmän jäseneen liittyvä havaintoarvo voi olla vaikka silmien väri, syntymäkuukausi, tai vaikka korvien lukumäärä.
2. Havaintoyksiköitä voisivat olla ryhmän oppilaat ja havaintoarvoja kengän numero.

1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq -\frac{5}{4}$.
   Funktiolla on nollakohta $x = 5$.
2. Funktio on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla.
   Funktiolla on nollakohta $x = -1$.

1. Johtopäätöksen voi varmistaa esimerkiksi piirtämällä funktion $$ f(x) = 2x + \sqrt{5-x} $$ kuvaajan ja katsomalla, leikkaako se $x$-akselin. Mahdolliset leikkauskohdat ovat yhtälön $f(x) = 0$ ratkaisuja.
2. Ratkaisu ei ole oikein. Ennen toiseen potenssiin korotusta yhtälöä kannattaa muokata niin, että neliöjuurilauseke on yksinään yhtälön toisella puolella: \begin{align*} 2x + \sqrt{5-x} &= 0 \\ 2x &= -\sqrt{5-x}\\ (2x)^2 &= (-\sqrt{5-x})^2 \\ 4x^2 &= 5 - x \\ 4x^2 + x - 5 &=0 \\[2mm] x &= \frac{-1\pm \sqrt{81}}{8} \end{align*} Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1{,}25$. Sijoittamalla huomataan, että yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = -1{,}25$.

Käyrillä on yksi leikkauspiste $(1,1)$, joka löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ x^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}. $$ Funktion $f(x) = x^2$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(1) = 2\cdot 1 = 2. $$ Funktion $$ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ g'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = -\frac{1}{2}. $$ Kulmakertoimien tulo on $-1$, joten pisteeseen $(1,1)$ asetetut tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

1. Neliön pinta-ala on
   • $3 \text{ cm}^2$
   • $6 \text{ cm}^2$
   • $9 \text{ cm}^2$
   • $12 \text{ cm}^2$.
2. $A(t) = 3t$.
3. Koska neliön pinta-ala on sivun pituuden toinen potenssi ($A = s^2$), saadaan sivun pituus selville ottamalla pinta-alasta neliöjuuri. Siten $s(t) = \sqrt{3t}$.
4. Derivaattafunktio on $$ s'(t) = \frac{3}{2\sqrt{3t}}. $$ Siten \begin{align*} s'(0{,}5) &= \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}2 \text{ cm/s} \\[2mm] s'(3) &= 0{,}5 \text{ cm/s.} \end{align*}

Normaalin yhtälö on $y = 4x - 56$.

1. Pisteessä $(14,0)$.
2. Pisteessä $(0,-56)$.

1. Mallikuva:
   
2. $h(t) = 0{,}75t$
3. $f(t) = \sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}$
4. Etääntymisnopeuden ilmaisee derivaatta $$ f'(t) = \frac{1{,}125t}{2\sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}}. $$ Minuutin kuluttua etääntymisnopeus on $$ f'(60) \approx 0{,}50 \text{ m/s.} $$

Suoralla ja käyrällä on yhteinen piste $(25,5)$. Funktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} $$ eli sama kuin suoran kulmakerroin. Suora ja käyrä siis sivuavat toisiaan.

Suurin arvo on $f(2) = 3$ ja pienin arvo on $f(0) = \sqrt{3}$.

Suunnistajan kannattaa tulla polulle kohdassa, josta on rastille matkaa 900 m.

1. $x = 0$ tai $x \geq \frac{1}{4}$
2. $x \geq \frac{1}{4}$
   Huom. Derivaattafunktion nollakohtia tutkiessa pitää olla tarkkana määrittelyjoukon kanssa. Muuten saattaa löytää "nollakohdan", joka on funktion määrittelyjoukon ulkopuolellla ja siten myös derivaattafunktion määrittelyjoukon ulkopuolella.
3. Ei millään.

$\dfrac{1}{4}$

Etäisyys on pienimmillään 200 metriä, kun aikaa on kulunut 8,4 minuuttia eli 8 min 24 s. Lenkkeilijä on tällöin kulkenut risteyksen jälkeen 120 m polkua pitkin ja susi on vielä lähestymässä risteystä 160 metrin päässä.

Vinkki: Oletetaan, että lenkkeilijä on alkutilanteessa pisteessä $(1,0)$ ja susi pisteessä $(0,1)$, ja polkujen risteys on origossa. Etäisyyttä ajan funktiona voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(t) = \sqrt{(1-8t)^2 + (1-6t)^2}, $$ missä $t$ on aika tunteina.

Funktion $$ f(x) = x\sqrt{x} - 4x + 10 $$ derivaattafunktio $$ f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 4. $$ Funktio $f$ saa derivaattafunktion nollakohdassa pienimmän arvonsa $$ f\left(\frac{64}{9}\right) = \frac{14}{27} > 0. $$ Funktion arvot ovat siis aina positiivisia, joten tarkastelullla yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Isomman tontin pinta-alaksi pitäisi valita $5\,760 \text{ m}^2$ ja pienemmän tontin pinta-alaksi $3\,240 \text{ m}^2$.

Vinkki: Aidan pituutta voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = 4x + 3\sqrt{9000 - x^2}, $$ missä $x$ on isomman tontin sivun pituus.

1. Leikkauskohdan etäisyys nurkasta on $$ \left(4 - \frac{4}{3}\sqrt{6}\right) \text{ m} \approx 0{,}734 \text{ m.} $$ Vinkki: Teltan tilavuutta voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = \frac{1}{3}(8-2x)^2\sqrt{8x-x^2}, $$ missä $x$ on kysytty leikkauskohdan etäisyys kankaan nurkasta. Tässä pohjan ala on $(8-2x)^2$ ja korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = 4^2 - (4-x)^2. $$ Tämä yhtälö saadaan muodostettua tarkastelemalla valmiin teltan poikkileikkauksen puolikasta, jota seuraavat kuvat havainnollistavat:
   
   
2. Kysytty lattiapinta-ala on noin $2{,}1 \text{ m}^2$.
   Vinkki: teltan poikkileikkauksen yhdenmuotoiset kolmiot:
   
   Tästä saadaan $$ x = \sqrt{2}\left(\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{9}{5}\right) \approx 0{,}7204 $$ ja pinta-ala $$ (2x)^2 = 4x^2 \approx 2{,}1. $$

Vaakasuorien osien pituus noin 1,05 metriä ja keskimmäisen osan pituus noin 2,90 metriä.

Vinkki: Osien pituudet toteuttavat yhtälön $$ 2x + y = 5. $$ Suorakulmion korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = y^2 - x^2 $$ eli yhtälöstä $$ h = \sqrt{(5-2x)^2 - x^2}. $$ Suorakulmion pinta-alan ilmaisee siis funktio $$ f(x) = x\sqrt{25-20x + 3x^2}, $$ missä $0 \leq x \leq 2{,}5 \text{ m.}$

Johto vedetään suoraan tielle kohtaan, josta on muuntajalle matkaa vielä 7,6 km.

Vinkki: Kustannusta voidaan kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = 9-x + 3\sqrt{16 + x^2}, $$ missä $x$ on kuten alla olevassa kuvassa:

1. Enintään 7,0 metriä pitkä putki.
   
   Mutkaan mahtuvan putken pituutta eri asennoissa voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}}. $$ Sen derivaatalla on yksi nollakohta: $$ x = \sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on putken pituuden minimikohta, eli hankalimmassa kohdassa putken pituus saa olla enintään $$ f\left(\sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}\right) \approx 7{,}0. $$
2. Enintään 7,4 metriä pitkä putki.

1. \begin{align*} \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^2}}} &= \sqrt{a\sqrt{a^2}} \\ &= \sqrt{a^2} \\ &= a \end{align*}
2. Kysytyt luvut ovat $0$ ja $\dfrac{1}{4}$.

1. Kuva tasoalueesta:
   
2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 1$.

Kulma $\alpha = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Kartion pohjaympyrän kehän pituus on $3\alpha$ ja säde $$ r = \frac{3\alpha}{2\pi}. $$ Kartion sivujanan pituus on $3$, joten kartion korkeudeksi saadaan Pythagoraan lauseen avulla välivaiheiden jälkeen $$ h = \frac{3}{2\pi}\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}. $$ Kartion tilavuus on $$ V = \frac{\pi}{3}r^2h = \frac{9}{8\pi^2}\alpha^2\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}, $$ missä $0 \leq \alpha \leq 2\pi$. Suurin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteistä. Derivointia voi helpottaa teoreeman 5 avulla.

Kysytty lattian halkaisija on $$2r = \dfrac{8}{\sqrt[4]{3\pi^2}}.$$

Teltan vaipan ala $A = \pi rs = 16$, joten sivujana on $$ s = \frac{16}{\pi r}. $$ Teltan korkeus on $$ h = \sqrt{s^2 - r^2}. $$ Kartion tilavuus on \begin{align*} V &= \frac{\pi}{3}r^2h \\[2mm] &= \frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{\frac{256}{\pi^2r^2} - r^2} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\sqrt{256r^2 - \pi^2r^6}. \end{align*} Tutkitaan, missä juurrettava $$f(r) = 256r^2 - \pi^2r^6$$ saa suurimman arvonsa, sillä tällöin myös tilavuusfunktio $V(r)$ saa suurimman arvonsa. Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa, mutta positiivisia niistä on vain yksi: $$ r = \frac{4}{\sqrt[4]{3\pi^2}} $$ Esimerkiksi kulkukaavion avulla havaitaan, että funktio $f$ saa tässä kohdassa suurimman arvonsa.

Lähinnä origoa ovat paraabelin pisteet $\left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ ja $\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$.

Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu: $$ x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2} $$

Pienin arvo on $f(-3) = -3$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right) = 3\sqrt{2}. $$

Sivusärmän pituudeksi on valittava $60\sqrt{2} \text{ cm } \approx 84{,}9 \text{ cm.}$

$x = 6$

Poisleikatun sektorin keskuskulma on noin $66^\circ$.

1. $V(t) = 120t$.
2. Yhtälöstä $$V = \frac{4\pi r^3}{3}$$ saadaan ratkaistua $$ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}. $$ Siten $$ r(t) = \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}}. $$
3. Derivaattafunktio on $$ r'(t) = \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}}. $$ Siten \begin{align*} r'(2) &\approx 0{,}6 \text{ cm/s} \\ r'(4) &\approx 0{,}4 \text{ cm/s.} \end{align*}
4. Pinta-alan ilmaisee funktio $$ A(t) = 4\pi (r(t))^2. $$ Sen derivaattafunktio on \begin{align*} A'(t) &= 4\pi\cdot 2r(t) \cdot r'(t) \\[2mm] &=8\pi \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}} \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}} \\[2mm] &= 240 \sqrt[3]{\frac{\pi}{90t}}. \end{align*} Siten \begin{align*} A'(2) &\approx 62{,}25 \text{ cm}^2/\text{s} \\ A'(4) &\approx 49{,}41 \text{ cm}^2/\text{s.} \end{align*}