Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA8 - Juuri- ja logaritmifunktiot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Käänteisfunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet käänteisfunktion käsitteen ja pystyt sen avulla jäsentämään edellisissä luvuissa oppimasi asiat osaksi laajempaa kokonaisuutta. Osaat

  • tarkistaa, ovatko funktiot toistensa käänteisfunktioita
  • hahmotella funktion käänteisfunktion kuvaajan, jos funktion kuvaaja on annettu
  • tutkia, onko funktiolla käänteisfunktiota
  • määrittää käänteisfunktion, jos se on olemassa.

Edellisissä luvuissa on tutustuttu eksponentti- ja logaritmifunktioihin. Ne ovat esimerkkejä funktion ja sen käänteisfunktion muodostamista pareista. Tässä luvussa perehdytään tarkemmin käänteisfunktion käsitteeseen. Aloitetaan tarkastelemalla luonnollisen logaritmin ja $e$-kantaisen eksponenttifunktion yhteyttä.

Luonnollinen logaritmi määriteltiin eksponenttiyhtälön ratkaisuna: $$ \ln a = b, \ \text{ jos ja vain jos } \ e^b = a. $$ Tästä seuraa yhteys logaritmi- ja eksponenttifunktioiden kuvaajien välille:

Yläpuolelta havaitaan, että logaritmifunktio $f(x) = \ln x$ ja eksponenttifunktio $g(x) = e^x$ kumoavat toistensa vaikutuksen. Tarkemmin sanottuna yhdistetyt funktiot $$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) = \ln (e^x) = x $$ ja $$ (g\circ f)(x) = g(f(x)) = e^{\ln(x)} = x $$ antavat kumpikin tuloksena alkuperäisen muuttujan arvon. Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että funktiot $f$ ja $g$ ovat toistensa käänteisfunktioita. Niiden kuvaajat saadaan toisistaan vaihtamalla $x$- ja $y$-akselien roolit eli peilaamalla suoran $y = x$ suhteen:

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTEISFUNKTIO

Funktiolla $f$ on käänteisfunktio $g$, jos seuraavat ehdot toteutuvat:

  • Jokaisessa funktion $g$ määrittelyjoukon kohdassa $$ (f\circ g)(x) = x. $$
  • Jokaisessa funktion $f$ määrittelyjoukon kohdassa $$ (g\circ f)(x) = x. $$ Funktion $f$ käänteisfunktiota merkitään $f^{-1}$.

Funktio $f$ ja sen käänteisfunktio $f^{-1}$ kumoavat siis määritelmän mukaan toistensa vaikutuksen: \begin{align*} (f\circ f^{-1})(x) &= f(f^{-1}(x)) = x \\[1mm] (f^{-1} \circ f)(x) &= f^{-1}(f(x)) = x. \end{align*}

Tässä tehtävässä määritetään 10-kantaisen logaritmifunktion $f(x) = \lg(x)$ käänteisfunktio.

  1. Päättele tai arvaa, mikä voisi olla funktion $f(x) = \lg(x)$ käänteisfunktio $g(x)$.
  2. Muodosta yhdistetyt funktiot $(f\circ g)(x)$ ja $(g\circ f)(x)$. Onko tuloksena molemmissa tapauksissa alkuperäinen muuttuja $x$? Toisin sanottuna, onko funktio $g$ todella funktion $f$ käänteisfunktio?
  3. Piirrä Geogebralla funktion $f$ kuvaaja, suora $y = x$ ja funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.
    Vinkki: käytä Geogebran "peilaus suoran suhteen"-työkalua.
  4. Piirrä c-kohdan koordinaatistoon myös käänteisfunktion kuvaaja. Mitä huomaat?

  1. Kymmenkantaisen logaritmifunktion käänteisfunktio on kymmenkantainen eksponenttifunktio $g(x) = 10^x$.
  2. Yhdistetyt funktiot: \begin{align*} (f\circ g)(x) &= f(g(x)) = \lg(10^x) = x \\ (g\circ f)(x) &= g(f(x)) = 10^{\lg(x)} = x. \end{align*} Lopputuloksena on alkuperäinen muuttujan arvo, joten funktio $g$ on funktion $f$ käänteisfunktio. Voidaan siis merkitä $f^{-1} = g$.
  3. Funktion $f(x) = \lg(x)$ kuvaaja ja sen peilikuva suoran $y = x$ suhteen:
  4. Funktioiden $f(x) = \lg(x)$ ja $g(x) = 10^x$ kuvaajat:

    Käänteisfunktion kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.

Juuri- ja potenssifunktiot tarjoavat lisää esimerkkejä funktion ja sen käänteisfunktion muodostamista pareista. Esimerkiksi neliöjuuri määriteltiin toisen asteen potenssiyhtälön epänegatiivisena ratkaisuna: $$ \sqrt{a} = b, \ \text{ jos ja vain jos } \ b \geq 0 \text{ ja } b^2 = a. $$ Tästä seuraa yhteys neliöjuurifunktion ja toisen asteen potenssifunktion kuvaajien välille. Huomaa, että toisen asteen potenssifunktio täytyy rajata välille $[0, \infty\pe$, koska luvun $a$ neliöjuuri määritellään yhtälön $$ x^2 = a $$ epänegatiivisena ratkaisuna.

Oletus $x \geq 0$ on välttämätön siihen, että neliöjuurifunktio ja toisen asteen potenssifunktio kumoavat toistensa vaikutuksen. Esimerkiksi \begin{align*} (f\circ g)(-2) &= f(g(-2)) = \sqrt{(-2)^2} \\ &= \sqrt{4} = 2 \neq -2 \end{align*} mutta jos $x \geq 0$, tuloksena on alkuperäinen muuttujan arvo: $$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2} = \left|x\right| = x $$ ja $$ (g\circ f)(x) = g(f(x)) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x. $$ Siis funktio $g(x) = x^2$, missä $x \geq 0$, on neliöjuurifunktion käänteisfunktio.

Tässä tehtävässä määritetään kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ käänteisfunktio.

  1. Päättele tai arvaa, mikä voisi olla funktion $f(x) = x^3$ käänteisfunktio $g(x)$.
  2. Muodosta yhdistetyt funktiot $(f\circ g)(x)$ ja $(g\circ f)(x)$. Onko tuloksena molemmissa tapauksissa alkuperäinen muuttuja $x$? Toisin sanottuna, onko funktio $g$ todella funktion $f$ käänteisfunktio?
  3. Piirrä Geogebralla funktion $f$ kuvaaja, suora $y = x$ ja funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.
    Vinkki: käytä Geogebran "peilaus suoran suhteen"-työkalua.
  4. Piirrä c-kohdan koordinaatistoon myös käänteisfunktion kuvaaja. Mitä huomaat?

  1. Kolmannen asteen potenssifunktion käänteisfunktio on kuutiojuurifunktio $g(x) = \sqrt[3]{x}$.
  2. Yhdistetyt funktiot: \begin{align*} (f\circ g)(x) &= f(g(x)) = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x \\ (g\circ f)(x) &= g(f(x)) = \sqrt[3]{x^3} = x. \end{align*} Lopputuloksena on alkuperäinen muuttujan arvo, joten funktio $g$ on funktion $f$ käänteisfunktio. Voidaan siis merkitä $f^{-1} = g$.
  3. Funktion $f(x) = x^3$ kuvaaja ja sen peilikuva suoran $y = x$ suhteen:
  4. Funktioiden $f(x) = x^3$ ja $g(x) = \sqrt[3]{x}$ kuvaajat:

    Käänteisfunktion kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan peilikuva suoran $y = x$ suhteen.

Edellä tarkasteltiin logaritmifunktiota ja eksponenttifunktiota, jotka ovat toistensa käänteisfunktioita. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on $\pa 0, \infty \pe$ eli sama kuin eksponenttifunktion arvojoukko. Toisaalta eksponenttifunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$ eli sama kuin logaritmifunktion arvojoukko.

Vastaava funktion ja sen käänteisfunktion määrittely- ja arvojoukkojen yhteys pätee yleisesti:

TEOREEMA

Käänteisfunktion $f^{-1}$ määrittelyjoukko on funktion $f$ arvojoukko.

Funktion $f$ määrittelyjoukko on käänteisfunktion $f^{-1}$ arvojoukko.

Kaikilla funktioilla ei ole käänteisfunktiota. Seuraavan teoreeman mukaan käänteisfunktio puuttuu funktioilta, jotka saavat määrittelyjoukkonsa kahdessa eri kohdassa saman arvon. Teoreeman tarkka perustelu on sen verran työläs, ettei siihen nyt syvennytä.

TEOREEMA

Funktiolla $f$ on käänteisfunktio $f^{-1}$, jos ja vain jos funktio $f$ saa jokaisen arvonsa tasan yhdessä määrittelyjoukon kohdassa.

Erityisesti jos funktio $f$ on aidosti monotoninen eli aidosti kasvava tai aidosti vähenevä, niin sillä on käänteisfunktio $f^{-1}$.

Päättele kuvaajien ja edellisen teoreeman avulla, onko funktiolla $f$ käänteisfunktio, jos

  1. $f(x) = \sin x$, missä $0 \leq x \leq 2\pi$
  2. $f(x) = \cos x$, missä $0 \leq x \leq \pi$
  3. $f(x) = 0{,}25x^3 - 2x^2 + 4x$
  4. $f(x) = 2-0{,}5x$.

  1. Käänteisfunktiota ei ole, koska esimerkiksi $f(0) = f(\pi)$.
  2. Käänteisfunktio on olemassa, koska funktio $f$ saa jokaisen arvonsa tasan kerran välillä $[0,\pi]$.
  3. Käänteisfunktiota ei ole, koska esimerkiksi $f(0) = f(4)$.
  4. Käänteisfunktio on olemassa, koska funktio $f$ saa jokaisen arvonsa tasan kerran.

Käänteisfunktion määritelmästä saadaan johdettua seuraava teoreema, joka liittään toisiinsa funktion ja sen käänteisfunktion arvon ja auttaa käänteisfunktioden etsimisessä. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että funktiolla $f$ on käänteisfunktio. Tällöin $$ f(a) = b, $$ jos ja vain jos $$a = f^{-1}(b).$$

Perustelu:

  • Oletetaan, että $f(a) = b$. Sovelletaan yhtälön molemmille puolille käänteisfunktiota $f^{-1}$, jolloin funktio ja sen käänteisfunktio kumoavat toistensa vaikutuksen: \begin{align*} f(a) &= b \\ f^{-1}(f(a)) &= f^{-1}(b) \\ a &= f^{-1}(b). \end{align*}
  • Oletetaan, että $a = f^{-1}(b)$. Sovelletaan yhtälön molemmille puolille funktiota $f$, jolloin funktio ja sen käänteisfunktio kumoavat toistensa vaikutuksen: \begin{align*} a &= f^{-1}(b) \\ f(a) &= f(f^{-1}(b)) \\ f(a) &= b. \end{align*}

Jos funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä, sillä on teoreeman 15 nojalla käänteisfunktio. Käänteisfunktio löydetään tämän jälkeen teoreeman 16 avulla.

Esimerkiksi funktio $f(x) = 2x - 1$ on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, sillä sen kuvaaja on nouseva suora:

Täsmällisemmin kasvavuus voidaan perustella derivaatan avulla. Funktion $f$ derivaattafunktio on $f'(x) = 2$. Sen arvot ovat kaikkialla positiivisia, joten funktio $f$ on kaikkialla aidosti kasvava. Funktiolla $f$ on siis teoreeman 15 nojalla käänteisfunktio $f^{-1}$. Se löydetään muodostamalla yhtälö $f(a) = b$ ja ratkaisemalla siitä $a$: \begin{align*} f(a) &= b \\[1mm] 2a - 1 &= b \\[1mm] 2a &= b + 1 \\[1mm] a &= \frac{b + 1}{2}. \end{align*} Teoreeman 16 mukaan $f(a) = b$, jos ja vain jos $a = f^{-1}(b)$, joten yhtälön ratkaisun tuloksena on löydetty käänteisfunktion lauseke: $$ f^{-1}(b) = \frac{b + 1}{2}. $$ Normaaliin tapaan muuttujana voidaan käyttää kirjainta $x$: $$ f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2}. $$

Tehtävänä on määrittää funktion $$f(x) = \sqrt{x} + 2$$ käänteisfunktio tai perustella, ettei käänteisfunktiota ole olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ käänteisfunktiota? Perustele vastauksesi teoreeman 15 avulla.
    Vinkki: voit tutkia derivaatan avulla, onko funktio aidosti monotoninen.
  3. Jos käänteisfunktio on olemassa, määritä se teoreeman 16 avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Jos käänteisfunktio on olemassa, mikä on sen määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Jos käänteisfunktio on olemassa, piirrä myös sen kuvaaja.

  1. Funktion $f$ määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Funktion $f$ arvojoukko on $[2, \infty\pe$, sillä $f$ saa pienimmän arvonsa $2$ kohdassa $x = 0$ ja kun muuttujan arvoa kasvatetaan, myös funktion arvo kasvaa.
  2. Derivaattafunktio on $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ ja se on määritelty kaikilla $x > 0$. Derivaattafunktion arvo on positiivinen koko määrittelyjoukossa. Funktio $f$ on siten kaikialla aidosti kasvava ja sillä on käänteisfunktio teoreeman 15 nojalla.
  3. Käänteisfunktio on $$ f^{-1}(x) = (x - 2)^2. $$ Se löydetään ratkaisemalla $a$ yhtälöstä $f(a) = b$.
    Käänteisfunktion määrittelyjoukko on $[2, \infty\pe$ ja arvojoukko on $[0, \infty\pe$.

Tehtävänä on määrittää funktion $$f(x) = 3x^2-12x$$ käänteisfunktio tai perustella, ettei käänteisfunktiota ole olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ käänteisfunktiota? Perustele vastauksesi teoreeman 15 avulla.
  3. Jos käänteisfunktio on olemassa, määritä se teoreeman 16 avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Jos käänteisfunktio on olemassa, mikä on sen määrittelyjoukko? Entä arvojoukko?
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Jos käänteisfunktio on olemassa, piirrä myös sen kuvaaja.

  1. Funktion $f$ määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko $\R$. Funktion arvojoukko on $[-12, \infty\pe$.
    Arvojoukko voidaan päätellä esimerkiksi niin, että funktion $f$ kuvaaja on ylöspäin aukeva paraabeli, joka saa pienimmän arvonsa nollakohtien $x = 0$ ja $x = 4$ puolivälissä kohdassa $x = 2$.
  2. Funktiolla $f$ ei ole käänteisfunktiota, koska se saa saman arvon kahdessa eri kohdassa. Esimerkiksi $$ f(0) = f(4). $$ (Nämä kohdat voi löytää esimerkiksi piirtämällä funktion kuvaajan tai tutkimalla funktion lauseketta.)
  3. Käänteisfunktiota ei ole olemassa.

Tutkitaan funktiota $$ f(x) = \frac{1}{6}x^3 $$ ja sen kuvaajaa $y = f(x)$.

  1. Kopioi alla olevat koordinaatistot vastauspaperiisi ja piirrä niihin funktion $f(x)$ kuvaaja. Huomaa akselien merkinnät.
  2. Laske $f'(2)$ ja $(f^{-1})'(f(2))$.
  3. Perustele graafisesti kaava $$ (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} $$ kun $x \neq 0$.


[Pitkä S2017/12]

  1. Kuvat alla c-kohdassa.
  2. Koska $f'(x) = \frac{1}{2}x^2$, niin $f'(2) = 2$. Käänteisfunktio on $$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{6x},$$ joten $$(f^{-1})'(x) = 2\cdot (6x)^{-\frac{2}{3}}.$$ Lisäksi $f(2) = \frac{4}{3}$, joten \begin{align*} (f^{-1})'(f(2)) &= 2\cdot 8^{-\frac{2}{3}} \\[2mm] &= 2\cdot \frac{1}{4} \\[2mm] &= \frac{1}{2} \end{align*}
  3. $(f^{-1})'(f(x))$ on $yx$-koordinaatiston käyrän tangentin kulmakerroin, joka on alkuperäisen käyrän tangentin kulmakertoimen käänteisluku:

  1. Näytä, että funktiolla $$ f(x) = x^2 - 2x $$ on käänteisfunktio, kun $x \geq 1$.
  2. Määritä käänteisfunktion $f^{-1}(x)$ lauseke.
  3. Piirrä funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat samaan koordinaatistoon.

[Pitkä S2011/9]

  1. Derivaattafunktion $$f'(x) = 2(x-1)$$ arvot ovat positiivisia, kun $x > 1$, ja $f'(1) = 0$, joten funktio $f$ on aidosti kasvava välillä $[1, \infty\pe$. Tällöin sillä on käänteisfunktio.
  2. Ratkaistaan $x$ yhtälöstä $f(x) = y$: \begin{align*} x^2 - 2x &= y \\ x^2 - 2x - y &= 0 \end{align*} Toisen asteen ratkaisukaavalla: \begin{align*} x &= \frac{2 \pm \sqrt{4+4y}}{2} \\[2mm] &= 1 \pm \sqrt{1 + y}. \end{align*} Miinusmerkki ei kelpaa, koska oletuksen mukaan $x > 1$. Käänteisfunktioksi saadaan näin $$ f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{1 + x}. $$

Osoita, että funktiolla $f \colon [2,5] \to [25,52]$, $$ f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 60x $$ on käänteisfunktio $g = f^{-1}$. Laske käänteisfunktion arvo $g(45)$ ja sen derivaatan arvo $g'(45)$.
[Pitkä S2007/12]

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = 6x^2 - 42x + 60 $$ on kaksi nollakohtaa $x_1 = 2$ ja $x_2 = 5$. Derivaatan arvot ovat negatiivisia välillä $\pa 2,5\pe$, joten funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[2,5]$. Näin ollen sillä on olemassa käänteisfunktio.

Koska $f(2) = 52$ ja $f(5) = 25$ ja funktio $f$ on aidosti vähenevä välillä $[2,5]$, on sen arvojoukko tällä välillä $[25,52]$. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on siten $[25,52]$ ja arvojoukko $[2,5]$.

Kokeilemalla huomataan, että $f(3) = 45$. Siten $g(45) = 3$.

Käänteisfunktion derivaatta on $$ g'(45) = \frac{1}{f'(3)} = -\frac{1}{12}. $$

Määritä funktion $$ f(x) = \frac{x+2}{x-3}, \quad x > 3, $$ käänteisfunktio $f^{-1}$. Millä välillä tämä on määritelty? Osoita laskemalla, että $$ f^{-1}\left(f(x)\right) = x $$ kun $x > 3$.
[Pitkä K2003/9]

Käänteisfunktion lauseke löydetään ratkaisemalla $x$ yhtälöstä $$ \frac{x + 2}{x-3} = y. $$ Käänteisfunktioksi saadaan $$ f^{-1}(y) = \frac{3y+2}{y-1}. $$ Käänteisfunktion määrittelyjoukko on funktion $f$ arvojoukko. Tutkitaan, mitä arvoja funktio $f$ saa. Oletuksen mukaan $x > 3$, joten \begin{align*} f(x) &= \frac{x+2}{x-3} \\[2mm] &= \frac{x-3 + 5}{x-3} \\[2mm] &= 1 + \frac{5}{x-3} > 1. \end{align*} Käänteisfunktion määrittelyjoukko on siis $\pa 1, \infty \pe$. \begin{align*} f^{-1}(f(x)) &= \frac{3\cdot \frac{x+2}{x-3} + 2}{\frac{x+2}{x-3} - 1} \\[2mm] &= \frac{3(x+2) + 2(x-3)}{x+2 - (x-3)} \\[2mm] &= \frac{5x}{5} = x. \end{align*}

Hyperbolinen kosini $\cosh x$ ja hyperbolinen sini $\sinh x$ määritellään kaavoilla \begin{align*} \cosh x &= \frac{1}{2} \left(e^x + e^{-x}\right) \\[2mm] \sinh x &= \frac{1}{2} \left(e^x - e^{-x}\right), \end{align*} kun $x \in \R$.

  1. Näytä, että $$ (\cosh x)^2 - (\sinh x)^2 = 1 $$ kaikilla $x \in \R$.
  2. Näytä, että hyperbolisen sinin derivaattafunktio on hyperbolinen kosini eli $$ \frac{d}{dx} (\sinh x) = \cosh x. $$
  3. Näytä, että funktiolla $\sinh x$ on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lausuttuna.
  4. Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko?

[Pitkä K2012/14]

  1. Ohje: käytä määritelmien lausekkeita ja sievennä.
  2. \begin{align*} \frac{d}{dx} (\sinh x) &= \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} (e^x - e^{-x})\right) \\[2mm] &= \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) \\[2mm] &= \cosh x. \end{align*}
  3. Hyperbolinen sini on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, koska sen derivaattafunktio on kaikkialla positiivinen: $$ \frac{d}{dx} (\sinh x) = \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) > 0 $$ kaikilla $x \in \R$. Koska hyperbolinen sini on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan, sillä on käänteisfunktio.
    Käänteisfunktion lausekkeeksi saadaan $$ f^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}). $$
  4. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$. Tämä johtuu siitä, että $$ \sqrt{x^2+1} > \left|x\right| $$ kaikilla $x \in \R$, joten $$ x + \sqrt{x^2+1} > 0 $$ kaikilla $x \in \R$.

  1. Osoita, että funktiolla $$ f(x) = \ln x + x + 1, \quad x > 0, $$ on käänteisfunktio $g = f^{-1}$.
  2. Määritä käänteisfunktion derivaatta $g'(2)$.
  3. Missä pisteissä funktion $f$ kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan?
  4. Kuinka suuressa kulmassa kuvaajat leikkaavat toisensa?

[Pitkä S2010/14]

  1. Derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{1}{x} + 1 $$ arvot ovat positiivisia, kun $x > 0$, joten funktio $f$ on aidosti kasvava määrittelyjoukossaan. Sillä on siis olemassa käänteisfunktio.
  2. Koska $f(1) = 2$, niin $g(2) = 1$. Edellisen tehtävän nojalla $$ g'(2) = \frac{1}{f'(g(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{2}. $$
  3. Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat symmetrisiä suoran $y = x$ suhteen, joten ne leikkaavat tällä suoralla. Silloin on $$ x = \ln x + x + 1 $$ Leikkauspisteeksi saadaan $$ \left(\frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right). $$
  4. Funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin on $$ f'\left(\frac{1}{e}\right) = e + 1. $$ Koska $f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e}$, on käänteisfunktion kuvaajan tangentin kulmakerroin tämän käänteisluku: $$ (f^{-1})'\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{f'\left(\frac{1}{e}\right)} = \frac{1}{e+1}. $$ Suuntakulmien erotus on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella likimain $$ 74{,}94697^\circ - 15{,}05303^\circ \approx 59{,}9^\circ. $$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.