Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA8 - Juuri- ja logaritmifunktiot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Juurifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt tutkimaan juurilausekkeita sisältävän funktion kulkua. Osaat

  • hahmotella parillisten ja parittomien juurifunktioiden kuvaajat
  • ratkaista neliöjuuriyhtälön ja karsia valeratkaisut pois joko sijoittamalla tai määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla
  • ratkaista myös korkeamman asteen juuriyhtälöitä
  • derivoida juurifunktion murtopotenssin avulla
  • soveltaa aiemmissa kursseissa oppimiasi derivointisääntöjä juurilausekkeita sisältävien funktioiden derivoimiseen
  • määrittää juurilausekkeita sisältävän funktion suurimman ja pienimmän arvon.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin neliöjuureen, kuutiojuureen ja korkeampiin juuriin sekä ilmaistiin potenssiyhtälöiden ratkaisuja niiden avulla. Tässä kappaleessa erilaisia juuria tutkitaan funktioiden näkökulmasta.

Aloitetaan palauttamalla mieleen neliöjuuren ja korkeampien juurten määritelmät.

Kertaa tarvittaessa neliöjuuren sekä korkeampien juurten määritelmät kurssilta MAA2. Päättele sen jälkeen seuraavien juurten arvot ja perustele vastauksesi.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt[3]{125}$
  3. $\sqrt[4]{81}$
  4. $\sqrt[5]{-32}$

  1. $\sqrt{81} = 9$, sillä $9 \geq 0$ ja $9^2 = 81$
  2. $\sqrt[3]{125} = 5$, sillä $5^3 = 125$
  3. $\sqrt[4]{81} = 3$, sillä $3 \geq 0$ ja $3^4 = 81$
  4. $\sqrt[5]{-32} = -2$, sillä $(-2)^5 = -32$

Juuret määriteltiin kurssilla MAA2 potenssiyhtälöiden ratkaisuina. Koska potenssifunktion $f(x) = x^n$ ominaisuudet riippuvat siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton, ovat myös parilliset ja parittomat juuret keskenään erilaisia. Pariton juuri voidaan ottaa myös negatiivisesta luvusta kuten esimerkiksi edellisen tehtävän d-kohdassa tehtiin. Parillinen juuri on määritelty vain silloin, kun juurrettava on epänegatiivinen.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan neliöjuurifunktion ominaisuuksia neliöjuuren määritelmän pohjalta.

Neliöjuuren määritelmän mukaan luvun $a \geq 0$ neliöjuuri $\sqrt{a}$ on se epänegatiivinen luku $b$, jolla pätee $$ b^2 = a. $$

  1. Päättele neliöjuuren määritelmästä, mikä on neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}$ määrittelyjoukko. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  2. Päättele neliöjuuren määritelmästä, millaisia arvoja neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}\,$ saa. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  3. Täydennä alla oleva taulukko ja hahmottele sen avulla neliöjuurifunktion kuvaaja.
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt{x}$
    $0$ $f(0) = \phantom{\sqrt{x}}$
    $1$
    $4$
    $9$
    $16$
    $25$

  1. Neliöjuurifunktio on määritelty, jos juurrettava on epänegatiivinen eli $x \geq 0$. Neliöjuurifunktion määrittelyjoukko on siis $[0, \infty\pe$. Syynä on se, että neliöjuuri määritellään vain epänegatiivisille luvuille: "luvun $a \geq 0$ neliöjuuri on $\ldots$".
  2. Neliöjuurifunktio saa vain epänegatiivisia arvoja eli $\sqrt{x} \geq 0$ aina, kun neliöjuuri on määritelty. Syynä on se, että määritelmän mukaan neliöjuuri on aina epänegatiivinen: "$\sqrt{a}$ on se epänegatiivinen luku $b$, jolla pätee $\ldots$".
  3. Taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt{x}$
    $0$ $f(0) = 0$
    $1$ $f(1) = 1$
    $4$ $f(4) = 2$
    $9$ $f(9) = 3$
    $16$ $f(16) = 4$
    $25$ $f(25) = 5$
    Kuvaaja:

Tehtävän 1.2 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Neliöjuurifunktion $$ f(x) = \sqrt{x} $$ määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Neliöjuurifunktion arvo on aina epänegatiivinen.

Perustelu tehtävässä 1.2.

Päättele, millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on määritelty, jos

  1. $f(x) = \sqrt{x-2}$
  2. $f(x) = \sqrt{x+9}$
  3. $f(x) = \sqrt{25-x^2}$
  4. Varmista, että osaat tarkistaa määrittelyjoukot teknisellä apuvälineellä. Esimerkiksi TI Nspire CX CAS -ohjelmistolla tämä onnistuu komennolla domain(lauseke,muuttuja).

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen eli

  1. $x \geq 2$
  2. $x \geq -9$
  3. $-5 \leq x \leq 5$

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia neliöjuurifunktion muunnelmia.

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja. Vastaa sen jälkeen tehtävän lopussa oleviin kysymyksiin.

  • $f(x) = \sqrt{x-1}$
  • $g(x) = \sqrt{x+2}$
  • $h(x) = \sqrt{x} + 1$


  1. Miten vakio $a$ vaikuttaa funktion $v(x) = \sqrt{x+a}$ kuvaajan sijaintiin koordinaatistossa?
  2. Miten vakio $b$ vaikuttaa funktion $w(x) = \sqrt{x} + b$ kuvaajan sijaintiin koordinaatistossa?

Funktion $f$ kuvaaja on C.
Funktion $g$ kuvaaja on A.
Funktion $h$ kuvaaja on B.

  1. Vakio $a$ siirtää funktion $v(x) = \sqrt{x+a}$ kuvaajaa $x$-akselin suunnassa verrattuna tavallisen neliöjuurifunktion kuvaajaan. Jos $a > 0$, kuvaaja siirtyy vasemmalle. Jos $a < 0$, kuvaaja siirtyy oikealle.
  2. Vakio $b$ siirtää funktion $w(x) = \sqrt{x} + b$ kuvaajaa $y$-akselin suunnassa verrattuna tavallisen neliöjuurifunktion kuvaajaan. Jos $b > 0$, kuvaaja siirtyy ylöspäin. Jos $b < 0$, kuvaaja siirtyy alaspäin.

Alla on näkyvissä erilaisten neliöjuurifunktioiden kuvaajia. Muodosta funktioille lausekkeet.



Vinkki: hyödynnä tehtävän 1.4 havaintoja.

  • $f(x) = \sqrt{x + 3}$
  • $g(x) = \sqrt{x-2} - 1$
  • $h(x) = -\sqrt{x}$

Siirrytään seuraavaksi tutkimaan kuutiojuurta ja korkeampia juuria.

Kuutiojuuren määritelmän mukaan luvun $a$ kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on se luku $b$, jolla pätee $$ b^3 = a. $$

  1. Päättele kuutiojuuren määritelmästä, mikä on kuutiojuurifunktion $f(x) = \sqrt[3]{x}\,$ määrittelyjoukko. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  2. Päättele kuutiojuuren määritelmästä, millaisia arvoja kuutiojuurifunktio $f(x) = \sqrt[3]{x}\,$ saa. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  3. Täydennä alla oleva taulukko ja hahmottele sen avulla kuutiojuurifunktion kuvaaja.
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt[3]{x}$
    $0$ $f(0) = \phantom{\sqrt[3]{x}}$
    $1$
    $8$
    $27$
    Vinkki: Vaikka taulukko on suppea, saatat pystyä päättelemään sen avulla monia kuutiojuurifunktion arvoja, jotka eivät ole taulukossa. Mitä on esimerkiksi $f(-8)$?

  1. Kuutiojuurifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla eli sen määrittelyjoukko on koko lukusuora $\R$. Syynä on se, ettei määritelmässä aseteta mitään ehtoja juurrettavalle: "luvun $a$ kuutiojuuri on $\ldots$".
  2. Kuutiojuurifunktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Jos $a$ on negatiivinen, myös sen kuutiojuuri on negatiivinen, sillä kolmanteen potenssiin korotuksessa luvun etumerkki säilyy: "$\sqrt[3]{a}$ on se luku $b$, jolla pätee $b^3 = a$".
  3. Taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \sqrt[3]{x}$
    $0$ $f(0) = 0$
    $1$ $f(1) = 1$
    $8$ $f(8) = 2$
    $27$ $f(27) = 3$
    Kuvaaja:

    Huomaa, että kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, koska esimerkiksi $f(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$ ja $f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Tehtävän 1.6 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Kuutiojuurifunktion $$ f(x) = \sqrt[3]{x} $$ määrittelyjoukko on koko lukusuora $\R$. Kuutiojuurifunktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Perustelu tehtävässä 1.6.

Päättele, millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on määritelty, jos

  1. $f(x) = \sqrt[3]{x-7}$
  2. $f(x) = \dfrac{1}{2+\sqrt[3]{x}}$
  3. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Funktio $f$ on määritelty

  1. kaikilla reaaliluvuilla
  2. jos ja vain jos nimittäjä on nollasta poikkeava eli $x \neq -8$
  3. jos ja vain jos nimittäjä on nollasta poikkeava eli $x \neq -5$.

Kertaa tarvittaessa $n$:nnen juuren määritelmä MAA2-kurssilta. Päättele määritelmän avulla, mikä on funktion $f(x) = \sqrt[n]{x}\,$ määrittelyjoukko ja millaisia arvoja se saa, jos

  1. $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku
  2. $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku.

  1. Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku, funktion $f(x) = \sqrt[n]{x}\,$ määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$ ja sen arvot ovat epänegatiivisia.
  2. Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, funktion $f(x) = \sqrt[n]{x}\,$ määrittelyjoukko on $\R$ ja se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Muotoillaan tehtävän 1.8 päätelmät teoreemaksi:

TEOREEMA

  • Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku, juurifunktion $$ f(x) = \sqrt[n]{x} $$ määrittelyjoukko on väli $[0, \infty\pe$. Funktion arvot ovat epänegatiivisia.
  • Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, juurifunktion $$ f(x) = \sqrt[n]{x} $$ määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko $\R$. Funktio saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.

Perustelu tehtävässä 1.8.

Yhdistä funktio ja sen kuvaaja:

  • $f(x) = 2-\sqrt[4]{x}$
  • $g(x) = \sqrt[3]{-x}$
  • $h(x) = \sqrt[5]{x+1}$


Funktion $f$ kuvaaja on B.
Funktion $g$ kuvaaja on C.
Funktion $h$ kuvaaja on A.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin juurifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun juuriyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $$f(x) = \sqrt{4x+3}$$ saa arvon $4$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$\sqrt{4x+3} = 4.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä juurifunktion $f(x) = \sqrt{4x+3}$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 4$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat yhdessä kohdassa eli yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu $x \approx 3$. (Tähän päätelmään tarvitaan toki myös tieto siitä, että neliöjuurifunktio saa aina vain suurempia arvoja juurrettavan kasvaessa. Muuten kuvan ulkopuolella voisi olla lisää leikkauskohtia.)

Ratkaisun tarkan arvon selvittäminen ei onnistu pelkän piirroksen avulla vaan tarvitaan muita keinoja. Määritelmän mukaan neliöjuuri on luku, jonka toinen potenssi on sama kuin juurrettava: $$ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a $$ kaikilla $a \geq 0$. Neliöjuuresta päästään siis eroon, kun yhtälön kumpikin puoli korotetaan toiseen potenssiin: \begin{align*} \sqrt{4x + 3} &= 4 \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ \left(\sqrt{4x + 3}\right)^2 &= 4^2 \\ 4x + 3 &= 16 \\ 4x &= 13 \\ x &= \frac{13}{4} = 3{,}25 \end{align*} Yhtälön ratkaisu on siis $x = 3{,}25$.

Ratkaise yhtälö $$ \sqrt{5x + 2} = 3 $$ samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Tarkista vastauksen järkevyys piirtämällä samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \sqrt{5x + 2}$ ja $g(x) = 3$ kuvaajat esimerkiksi Geogebralla.

Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \dfrac{7}{5} = 1{,}4.$$ Kuvasta nähdään, että tulos on järkevä:

Toiseen potenssiin korotuksen käyttö yhtälöiden ratkaisussa poikkeaa aikaisemmin käytetyistä peruslaskutoimituksista. Yhteenlaskun voi aina kumota vähennyslaskulla ja kääntäen. Nollasta poikkeavalla luvulla kertomisen voi aina kumota jakolaskulla, ja jakolaskun voi kumota kertolaskulla. Toiseen potenssiin korotusta ei kuitenkaan voi kumota niin, että varmasti päästäisiin takaisin samaan yhtälöön, josta lähdettiin.

Jos esimerkiksi yhtälön $x = 2$ molemmat puolet korotetaan toiseen potenssiin, saadaan yhtälö $x^2 = 4$. Symbolien avulla ilmaistuna $$ x = 2 \Rightarrow x^2 = 4. $$ Yhtälöstä $x^2 = 4$ ei kuitenkaan voida varmasti päätellä, että $x = 2$, sillä myös $(-2)^2 = 4$. Toisin sanottuna $$ x^2 = 4 \not\Rightarrow x = 2. $$ Oikea päätelmä tässä tapauksessa on $$ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ \text{ tai } \ x = -2. $$

Toiseen potenssiin korotus auttaa pääsemään neliöjuurista eroon, mutta saattaa yllä mainitun ilmiön vuoksi tuottaa "ratkaisuja", jotka eivät todellisuudessa ole yhtälön ratkaisuja. Esimerkiksi jos ratkaistaan yhtälö $$ \sqrt{4x + 3} = -1 $$ samaan tapaan kuin edellä, saadaan seuraava päättelyketju: \begin{align*} \sqrt{4x + 3} &= -1 \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ \left(\sqrt{4x + 3}\right)^2 &= (-1)^2 \\ 4x + 3 &= 1 \\ 4x &= -2 \\ x &= -\frac{1}{2} = -0{,}5 \end{align*} Jos ratkaisun olemassaoloa tutkitaan graafisesti, paljastuu kuitenkin, että yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua:

Päättelyssä ei sinänsä ole mitään vikaa: se osoittaa, että jos yhtälöllä $\sqrt{4x + 3} = -1$ olisi ratkaisu, se olisi $x = -0{,}5$; mikään muu luku ei voisi tulla kysymykseen. Toiseen potenssiin korotusta voi siis huoletta käyttää neliöjuuriyhtälöiden ratkaisemiseen, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko löytyneet ratkaisuehdokkaat oikeasti ratkaisuja. Tässäkin tapauksessa sijoittamalla huomataan, että $x = -0{,}5$ ei ole yhtälön ratkaisu. Nimittäin jos $x = -0{,}5$, niin yhtälön vasemmaksi puoleksi saadaan \begin{align*} \sqrt{4\cdot (-0{,}5) + 3} &= \sqrt{-2 + 3} \\ &= \sqrt{1} \\ &= 1. \end{align*} Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät siis ole yhtä suuria.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sqrt{x} = 2x-3. $$

  1. Hahmottele samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \sqrt{x}\,$ ja $g(x) = 2x - 3$ kuvaajat. Kuinka monta ratkaisua tutkittavalla yhtälöllä näyttää olevan?
  2. Ratkaise yhtälö korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin. Muista tutkia sijoittamalla, ovatko kaikki ratkaisuehdokkaat todella yhtälön ratkaisuja.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa summan ja erotuksen neliön kaavat MAA2-kurssin teoreemasta 3.

  1. Yhtälöllä näyttää olevan täsmälleen yksi ratkaisu:
  2. Yhtälöstä $$ x = (2x-3)^2 $$ saadaan ratkaisuehdokkaat $x_1 = 1$ ja $x_2 = \frac{9}{4}$.
    Sijoittamalla huomataan, että ehdokas $x_1$ ei toteuta alkuperäistä yhtälöä: jos $x = 1$, niin yhtälön vasen puoli on $\sqrt{1} = 1$ mutta oikea puoli on $2\cdot 1 - 3 = 2-3 = -1$.
    Ehdokas $x_2$ puolestaan toteuttaa alkuperäisen yhtälön: jos $x = \frac{9}{4}$, niin yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} $$ ja oikea puoli on $$ 2\cdot \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2}. $$ Yhtälö $$ \sqrt{x} = 2x-3 $$ siis toteutuu, jos ja vain jos $x = \dfrac{9}{4}$.

Se, että kaikki ratkaisuehdokkaat eivät kelpaa neliöjuuriyhtälön ratkaisuksi, juontaa juurensa neliöjuuren määritelmään. Neliöjuuren määritelmän mukaan luvun neliöjuuri on aina epänegatiivinen: $$ \sqrt{a} \geq 0 $$ kaikilla $a \geq 0$. Tämän tiedon avulla voidaan jo etukäteen päätellä, mitkä luvut eivät ainakaan kelpaa neliöjuuriyhtälön ratkaisuiksi. Esimerkiksi aiemmin tutkitun yhtälön $$ \sqrt{4x+3} = -1 $$ tapauksessa voidaan päätellä, että sen vasen ja oikea puoli ovat erimerkkiset muuttujan $x$ arvosta riippumatta: vasen puoli on aina epänegatiivinen ja oikea puoli on aina negatiivinen. Yhtälöllä ei siten ole yhtään ratkaisua.

Onko seuraavilla yhtälöillä ratkaisuja? Päättele ensin ja tarkista päättelysi piirtämällä funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.

  1. $\sqrt{7-x} = -4$
  2. $\sqrt{3x-5} = -x^2-1$

  1. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, koska sen vasen puoli on aina epänegatiivinen ja oikea puoli on aina negatiivinen. Vasen ja oikea puoli ovat siis erimerkkiset riippumatta muuttujan $x$ arvosta.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, koska sen vasen ja oikea puoli ovat erimerkkiset riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälön vasen puoli on neliöjuurena aina epänegatiivinen. Yhtälön oikea puoli on aina negatiivinen. Tämä seuraa siitä, että $x^2 \geq 0$ kaikilla reaaliluvuilla $x$: \begin{align*} x^2 &\geq 0 \\ -x^2 &\leq 0 \\ -x^2 - 1 &\leq -1. \end{align*}

Tehtävän 1.11 yhtälön $$ \sqrt{x} = 2x-3. $$ tapauksessa tilanne on mutkikkaampi. Sen vasen puoli on neliöjuuren määritelmän nojalla aina epänegatiivinen, mutta oikean puolen merkki riippuu muuttujasta $x$. Yhtälö voi toteutua vain, jos myös oikea puoli on epänegatiivinen eli $2x - 3 \geq 0$. Kun tämä epäyhtälö ratkaistaan, saadaan ehto mahdollisille ratkaisuille: \begin{align*} 2x - 3 &\geq 0\\[1.5mm] 2x &\geq 3 \\[1.5mm] x &\geq \frac{3}{2} \end{align*} Tätä ehtoa kutsutaan neliöönkorotusehdoksi ja sen avulla voidaan tehtävässä 1.11 löydetyistä ratkaisuehdokkaista poimia todelliset ratkaisut: ehdokas $x_1 = 1$ ei toteuta neliöönkorotusehtoa $x \geq 1{,}5$ mutta ehdokas $x_2 = 2{,}25$ toteuttaa sen. Yhtälöllä on siis täsmälleen yksi ratkaisu, joka on $x = 2{,}25$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sqrt{2x-1} = 4x-5. $$

  1. Mikä ehto yhtälön oikean puolen pitää toteuttaa, että yhtälö voi toteutua? Muodosta ja kirjaa ylös tämä neliöönkorotusehto.
    Vinkki: mitä voit sanoa yhtälön vasemman puolen merkistä?
  2. Ratkaise yhtälö normaaliin tapaan korottamalla kumpikin puoli toiseen potenssiin. Karsi valeratkaisut todellisista ratkaisuista a-kohdan neliöönkorotusehdon avulla.
  3. Piirrä samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \sqrt{2x-1}$ ja $g(x) = 4x-5$ kuvaajat esimerkiksi Geogebralla. Varmista kuvasta, että kaikki valeratkaisut saatiin todella karsittua pois.

  1. Neliöönkorotusehto on $4x - 5 \geq 0$ eli $$ x \geq \frac{5}{4}. $$ Koska yhtälön $$ \sqrt{2x-1} = 4x-5. $$ vasen puoli on neliöjuurena aina epänegatiivinen, täytyy yhtälön oikeankin puolen olla epänegatiivinen, jotta yhtälö voi toteutua.
  2. Yhtälöstä $$ 2x - 1 = (4x-5)^2 $$ saadaan ratkaisuehdokkaat $x_1 = \frac{13}{8} = 1{,}625$ ja $x_2 = 1$. Näistä neliöönkorotusehdon $x \geq 1{,}25$ toteuttaa vain ehdokas $x_1$. Yhtälö $$\sqrt{2x-1} = 4x-5$$ siis toteutuu, jos ja vain jos $$x = \frac{13}{8}.$$
  3. Kuvaajilla on yksi leikkauskohta, joten yhtälöllä on yksi ratkaisu:

    Kaikki valeratkaisut saatiin siis karsittua pois.

Neliöönkorotusehto muodostetaan tutkimalla, millä ehdolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat saman merkkisiä. Aina sekään ei riitä sulkemaan kaikkia valeratkaisuja pois. Esimerkiksi yhtälön $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2x - 1\phantom{ {}^2 }} $$ kumpikin puoli on aina epänegatiivinen, joten mitään neliönkorotusehtoa ei ole. Päätellään samaan tapaan kuin edellä: \begin{align*} \sqrt{x^2 - 1} &= \sqrt{2x - 1\phantom{ {}^2 }} \quad \mid (\phantom{1})^2 \\ x^2 - 1 &= 2x - 1 \\[1mm] x^2 - 2x &= 0 \\[1mm] x(x-2) &= 0 \\[1mm] x = 0 \ &\text{ tai } \ x = 2 \end{align*} Jos ratkaisut tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön, huomaa, että joukkoon on kuitenkin jälleen soluttautunut valeratkaisu. Nimittäin jos $x = 0$, niin alkuperäisen yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{0^2-1} = \sqrt{-1}, $$ joka ei ole määritelty. Ehdokas $x = 0$ ei siis kelpaa ratkaisuksi. Jos $x = 2$, alkuperäisen yhtälön vasen puoli on $$ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{2^2-1} = \sqrt{3} $$ ja oikea puoli on $$ \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2\cdot 2 - 1} = \sqrt{3}. $$ Alkuperäisellä yhtälöllä on siis täsmälleen yksi ratkaisu $x = 2$.

Neliöönkorotuksen avulla muodostettu uusi yhtälö voi siis tuottaa myös sellaisia valeratkaisuja, joilla alkuperäinen neliöjuuriyhtälö ei ole määritelty. Kaikkien valeratkaisujen tunnistamiseksi pitää neliöönkorotusehdon lisäksi tutkia, millä ehdoilla yhtälö on määritelty. Aikaisemmissa tehtävissä on kuvaajien avulla varmistettu, että valeratkaisut on saatu karsittua pois. Joissakin tilanteissa kuvaajan piirtäminen voi kuitenkin olla hyvin hankalaa. Tarvitaan siis menetelmä, jolla ratkaisut saadaan selvitettyä myös silloin, kun kuvaajia ei voi käyttää päättelyn tukena.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \sqrt{x^2 + 2x - 15} = \sqrt{3x-13}. $$

  1. Millä ehdolla yhtälön vasen puoli on määritelty?
    Vinkki: kertaa tarvittaessa toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen MAA2-kurssin luvusta 3.
  2. Millä ehdolla yhtälön oikea puoli on määritelty?
  3. Liittykö yhtälöön neliöönkorotusehtoa?
  4. Yhdistä edellisten kohtien ehdot yhdeksi ehdoksi, joka yhtälön ratkaisujen pitää toteuttaa.
  5. Ratkaise yhtälö normaaliin tapaan korottamalla kumpikin puoli toiseen potenssiin. Karsi valeratkaisut pois d-kohdan ehdon avulla.

  1. Yhtälön vasen puoli on määritelty, jos ja vain jos $x \leq -5$ tai $x \geq 3$.
  2. Yhtälön oikea puoli on määritelty, jos ja vain jos $x \geq \frac{13}{3} \approx 4{,}33$.
  3. Yhtälön kumpikin puoli on epänegatiivinen kaikilla muuttujan arvoilla, joten yhtälöön ei liity neliöönkorotusehtoa.
  4. Yhtälön ratkaisujen pitää toteuttaa ehto $x \geq \frac{13}{3}$.
  5. Yhtälöstä $$ x^2 + 2x - 15 = 3x - 13 $$ saadaan ratkaisuehdokkaat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Kumpikaan niistä ei toteuta d-kohdassa muodostettua ehtoa, joten yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Jos kaikkien neliöönkorotus- ja määrittelyehtojen tutkiminen tuntuu liian työläältä, toinen vaihtoehto on seuloa todelliset ratkaisut valeratkaisuista sijoittamalla kaikki ratkaisuehdokkaat alkuperäiseen yhtälöön. Sijoittamalla tarkistaminen toimii aina. Neliöjuuriyhtälön ratkaisemiseksi on siis kaksi tapaa:

  1. Neliöönkorotus ja tarkistus sjoittamalla:
    • Hankkiudu eroon neliöjuurista korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.
    • Ratkaise näin saamasi yhtälö normaalisti.
    • Tutki alkuperäiseen yhtälöön sijoittamalla, mitkä ratkaisuehdokkaista ovat todellisia ratkaisuja.
  2. Määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla:
    • Kirjaa ylös ehdot, joilla yhtälö on määritelty.
    • Muodosta neliöönkorotusehto päättelemällä, millä ehdolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat saman merkkiset.
    • Hankkiudu eroon neliöjuurista korottamalla yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin.
    • Ratkaise näin saamasi yhtälö normaalisti.
    • Päättele määrittely- ja neliöönkorotusehtojen avulla, mitkä ratkaisuehdokkaista ovat todellisia ratkaisuja.

  1. Valitse jompi kumpi edellä mainituista ratkaisutavoista ja ratkaise yhtälö $$ 2\sqrt{x} = 3-x. $$
  2. Kumpi ratkaisutavoista miellyttää sinua enemmän? Miksi? Kerro omin sanoin.

  1. Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $x_1 = 1$ ja $x_2 = 9$. Alkuperäinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 1$.

Ratkaise seuraavat neliöjuuriyhtälöt. Ennen kuin korotat yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin, muokkaa yhtälöä niin, että neliöjuuren sisältävä termi on yksinään yhtälön toisella puolella.

  1. $x - \sqrt{x + 2} = 0$
  2. $1 + \sqrt{x-1} = x$

  1. $x = 2$
  2. $x = 1$ tai $x = 2$

Tarkastellaan tämän kappaleen lopuksi vielä korkeampien juuriyhtälöiden ratkaisemista. Jos yhtälössä esiintyy $n$:s juuri, voi ratkaisussa käyttää potenssiin $n$ korotusta. Muut huomioitavat asiat riippuvat siitä, onko kysymyksessä pariton vai parillinen juuri.

Jos yhtälössä esiintyy pariton juuri, esimerkiksi kuutiojuuri tai viides juuri, valeratkaisuista ei tarvitse huolehtia. Tämä johtuu siitä, että parittomat potenssifunktiot saavat jokaisen arvonsa vain kerran. Esimerkiksi alla olevasta kolmannen asteen potenssifunktion kuvaajasta nähdään, että $$ x = \sqrt[3]{2} \Rightarrow x^3 = 2 $$ ja $$ x^3 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}. $$
Jos yhtälön molemmat puolet korotetaan parittomaan potenssiin, on uusi yhtälö siis yhtäpitävä alkuperäisen yhtälön kanssa, sillä parittomaan potenssiin korotus voidaan kumota ottamalla yhtälön molemmista puolista vastaava $n$:s juuri.

Jos yhtälössä esiintyy mikä tahansa parillinen juuri, valeratkaisut täytyy tunnistaa ja karsia pois samalla tavalla kuin neliöjuuren tapauksessa tehtiin. Tämä johtuu siitä, että parilliset potenssifunktiot saavat kaikki positiiviset arvonsa kahdessa eri kohdassa. Esimerkiksi alla olevasta neljännen asteen potenssifunktion kuvaajasta nähdään, että $$ x = \sqrt[4]{2} \Rightarrow x^4 = 2 $$ mutta $$ x^4 = 2 \Rightarrow x = \sqrt[4]{2} \ \text{ tai } \ x = -\sqrt[4]{2}. $$
Parilliseen potenssiin korotusta ei siis voi kumota niin, että tuloksena olisi varmasti sama yhtälö mistä lähdettiin.

Ratkaise seuraava yhtälöt:

  1. $\sqrt[3]{x + 6} + 2 = 0$
  2. $\sqrt[3]{2x^3 + x} = 3x$
  3. $\sqrt{2-x} = \sqrt[4]{x}$

Vinkki: a-kohdassa muokkaa yhtälöä ennen potenssiin korotusta niin, että kuutiojuuren sisältävä termi on yksinään yhtälön toisella puolella.

  1. $x = -14$
  2. $x = 0$ tai $x = -\dfrac{1}{5}$ tai $x = \dfrac{1}{5}$
  3. $x = 1$
    (Toinen ratkaisuehdokas $x = 4$ ei toteuta alkuperäisen yhtälön määrittelyehtoa.)

Tässä kappaleessa tutkitaan juurifunktioiden derivaattoja.

Kurssissa MAA6 opittiin, että derivaatan arvo on funktion kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin.

Kun määritetään tällaisen tangentin kulmakerroin $k$ mahdollisimman monessa kohdassa $a$ ja pisteet $(a,k)$ merkitään koordinaatistoon, piirtyy näkyviin derivaattafunktion kuvaaja. Seuraavassa tehtävässä hahmotellaan neliöjuurifunktion derivaattafunktion kuvaajaa tällä menetelmällä.

Tutki neliöjuurifunktion derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
  2. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvoa kasvatetaan? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  3. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvo lähestyy nollaa? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  4. Miten selittäisit sen, että neliöjuurifunktio ei ole derivoituva kohdassa $x = 0$?

  1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
  2. Tangentin kulmakerroin pienenee, mutta säilyy positiivisena. Derivaattafunktion kuvaaja lähestyy $x$-akselia.
  3. Tangentin kulmakerroin kasvaa nopeasti hyvin suureksi. Derivaattafunktion kuvaaja nousee hyvin korkealle ja lähestyy $y$-akselia.
  4. Kun lähestytään kohtaa $x = 0$, tangenttisuora nousee aina vain jyrkemmin ja on lopulta pystysuora. Koska $y$-akselin suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa, ei myöskään derivaatta ole olemassa kohdassa $x = 0$.

Geogebra-havainnollistuksesta huomataan, että neliöjuurifunktion derivaattafunktion tarkempi tutkiminen kohdan $x = 0$ lähellä vaatii muita keinoja. Sopivaksi työkaluksi paljastuu murtopotenssin käsite. Kurssilla MAA2 määriteltiin murtopotenssit seuraavasti:

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a > 0$. Oletetaan lisäksi, että $m$ ja $n$ ovat positiivisia kokonaislukuja. Potenssit $a^\frac{m}{n}$ ja $a^{-\frac{m}{n}}$ määritellään seuraavasti: \begin{align*} a^\frac{m}{n} &= \sqrt[n]{a^m} \\[1mm] a^{-\frac{m}{n}} &= \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

Ilmaise seuraavat juurilausekkeet murtopotenssina. Millä muuttujan arvoilla juurilauseke on määritelty? Entä murtopotenssi?

  1. $\sqrt[3]{x}$
  2. $\sqrt{x}$
  3. $x\sqrt{x}$
  4. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}}$

  1. $\sqrt[3]{x} = x^\frac{1}{3}$
    Juurilauseke on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  2. $\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}$
    Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  3. $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^\frac{1}{2}= x^{(1 + \frac{1}{2})} = x^\frac{3}{2}$
    Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  4. $\dfrac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-\frac{1}{4}}$
    Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.

Ilmaise seuraavat murtopotenssit juurilausekkeina. Millä muuttujan arvoilla murtopotenssi on määritelty? Entä juurilauseke?

  1. $x^\frac{5}{2}$
  2. $x^{-\frac{5}{2}}$

  1. $x^\frac{5}{2} = x^{(2 + \frac{1}{2})} = x^2\sqrt{x}$
    Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$.
  2. $x^{-\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{x^{(2 + \frac{1}{2})}} = \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}$
    Murtopotenssi on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Juurilauseke on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että juurilausekkeiden ja murtopotenssien määrittelyjoukot poikkeavat usein toisistaan. Neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}\,$ voidaan kuitenkin ilmaista avoimella välillä $\pa 0, \infty\pe$ murtopotenssin avulla: $$ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $$ MAA6-kurssin teoreemassa 17 osoitettiin, että potenssifunktion $g(x) =x^n$ derivaattafunktio on $$ g'(x) = nx^{n-1} $$ kaikilla kokonaisluvuilla $n$. Voisiko samanlainen sääntö päteä myös tapauksessa, jossa eksponenttina on murtoluku?

On mahdollista osoittaa, että jos $r$ on mikä tahansa rationaaliluku, niin funktio $$ h(x) = x^{r} $$ on derivoituva välillä $\pa 0, \infty \pe$. Perustelu vaatii kuitenkin taustalleen niin paljon teoriaa, että sitä ei tässä kurssissa käsitellä. Sen sijaan tähän tietoon nojautuen yleistetään potenssifunktion derivointisääntö koskemaan myös murtopotensseja. Lue seuraava teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $r$ on rationaaliluku. Funktion $h(x) = x^r$ derivaattafunktio on $$ h'(x) = rx^{r-1}. $$

Perustelu: Jokainen rationaaliluku voidaan esittää murtolukumuodossa, joten funktio $h$ voidaan ilmaista muodossa $$ h(x) = x^{\frac{m}{n}}, $$ missä $m$ ja $n$ ovat kokonaislukuja ja $n \neq 0$. Korotetaan funktio $h$ potenssiin $n$ ja sovelletaan potenssien laskusääntöjä: $$ \left(h(x)\right)^n = \left(x^{\frac{m}{n}}\right)^n = x^{\frac{m}{n} \cdot n} = x^m $$ Funktio $\left(h(x)\right)^n$ on siis potenssifunktio $x \mapsto x^m$, joten se derivaatta voidaan muodostaa MAA6-kurssin teoreeman 17 avulla: $$ \mathop{\mathrm{D}} \left(h(x)\right)^n = mx^{m-1}. $$ Toisaalta, koska funktio $h$ on derivoituva (kuten aiemmin todettiin, tämä on mahdollista perustella), voidaan sen derivaatta muodostaa myös MAA6-kurssin teoreeman 16 avulla: $$ \mathop{\mathrm{D}} \left(h(x)\right)^n = n\left(h(x)\right)^{n-1}h'(x). $$ Näistä kahdesta eri esitysmuodosta saadaan yhtälö, josta voidaan ratkaista $h'(x)$: \begin{align*} n\left(h(x)\right)^{n-1}h'(x) &= mx^{m-1} \\[2mm] h'(x) &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1}}{h(x)^{n-1}}\\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{h(x)}}{h(x)^{n-1}\textcolor{blue}{h(x)} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{h(x)}}{\textcolor{red}{h(x)^{n-1}h(x)} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{h(x)}}{\textcolor{red}{h(x)^n} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1} \textcolor{blue}{x^{\frac{m}{n}}}}{\textcolor{red}{x^m} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{\textcolor{purple}{x^{m-1}} \textcolor{blue}{x^{\frac{m}{n}}}}{\textcolor{purple}{x^m} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} \frac{\textcolor{blue}{x^{\frac{m}{n}} }}{\textcolor{purple}{x} } \\[2mm] &= \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}. \end{align*}

Seuraavissa tehtävissä sovelletaan teoreemaa 4 neliö- ja kuutiojuurifunktioiden derivaattafunktioiden määrittämiseen.

Tässä tehtävässä määritetään neliöjuurifunktion derivaattafunktio teoreeman 4 avulla.

  1. Ilmaise neliöjuurifunktio $f(x) = \sqrt{x}$ murtopotenssin avulla.
  2. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$ teoreeman 4 avulla.
  3. Ilmaise derivaattafunktion lauseke juurten avulla. Milloin se on määritelty?
  4. Piirrä derivaattafunktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla. Näyttääkö tulos samalta kuin tehtävässä 1.18?

  1. $f(x) = x^\frac{1}{2}$
  2. $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
  3. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    Derivaattafunktio on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$.
  4. Kuvaaja:

Tässä tehtävässä määritetään kuutiojuurifunktion derivaattafunktio.

  1. Tutki kuutiojuurifunktiolle piirrettyjen tangenttien kulmakertoimia tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Missä kohdissa derivaatta näyttää olevan olemassa? Missä ei?
  2. Ilmaise kuutiojuurifunktio $g(x) = \sqrt[3]{x}$ murtopotenssin avulla ja määritä derivaattafunktio $g'(x)$ teoreeman 4 avulla.
  3. Ilmaise derivaattafunktion lauseke juurten avulla. Milloin derivaattafunktio on määritelty?
  4. Piirrä derivaattafunktion kuvaaja esimerkiksi Geogebralla. Näyttääkö tulos samalta kuin a-kohdassa?

  1. Derivaatta näyttää olevan olemassa muualla paitsi kohdassa $x = 0$. Siinä tangetti on pystysuora eikä sillä ole kulmakerrointa.
  2. Murtopotenssin avulla ilmaistuna $g(x) = x^\frac{1}{3}$. Huomaa, että tämä funktio on periaatteessa määritelty vain muuttujan positiivisilla arvoilla murtopotenssin määritelmän mukaan.
    Derivaattafunktio on $$g'(x) = \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}.$$ Sekin on periaatteessa määritelty vain muuttujan positiivisilla arvoilla.
  3. Juurten avulla ilmaistuna $$g'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$ Tämä funktio on määritelty muualla paitsi kohdassa $x = 0$.
  4. Kuvaaja:

Tehtävästä 1.22 havaitaan, että murtopotensseja ja potenssifunktion derivointisääntöä voidaan käyttää juurifunktioiden derivoimiseen silloinkin, kun juurifunktio on määritelty huomattavasti laajemmassa joukossa kuin murtopotenssi. Menetelmä on sama kuin tehtävässä 1.22:

  1. Ilmaise juurifunktio murtopotenssin avulla.
  2. Määritä derivaattafunktio potenssin derivointisääntöä käyttäen.
  3. Ilmaise derivaattafunktio juurilausekkeiden avulla.
  4. Päättele, missä derivaattafunktio on määritelty.

Derivoi seuraavat funktiot:

  1. $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$
  2. $g(x) = x^2\sqrt{x}$

  1. $f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
  2. $g'(x) = \dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$

Määritä funktion $$ h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} $$ kuvaajalle kohtaan $x = 4$ piirretyn tangentin yhtälö.

Derivaattafunktio on $$h'(x) = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}},$$ joten tangetin kulmakerroin on $$h'(4) = -\dfrac{1}{8\sqrt{4}} = -\frac{1}{16}.$$ Funktion $h$ arvo kohdassa $x = 4$ on $$ h(4) = \frac{1}{2}, $$ joten tangentin yhtälö on $$ y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{16}(x-4) $$ eli $$ y = -\frac{1}{16}x + \frac{3}{4} $$

MAA7-kurssilla teoreemassa 23 johdetun yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla pystytään derivoimaan erilaisia juurifunktioden muunnelmia. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Tehtävänä on derivoida funktio $$ h(x) = \sqrt{x^2 - x}. $$

  1. Ilmaise funktio $h$ murtopotenssin avulla.
  2. Tulkitse funktio $h$ yhdistettynä funktiota $g \circ f$. Mikä on sisäfunktio $f(x)$? Entä ulkofunktio $g(x)$?
  3. Muodosta derivaattafunktio $h'(x)$ yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla.
  4. Ilmaise derivaattafunktio juurilausekkeiden avulla.

  1. $h(x) = (x^2 - x)^\frac{1}{2}$
  2. Sisäfunktio on $f(x) = x^2 - x$. Ulkofunktio on $g(x) = x^\frac{1}{2}$.
  3. Yhdistetyn funktion derivointisäännöllä saadaan \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))\cdot f'(x) \\[2mm] &=\frac{1}{2}(x^2 - x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x-1) \end{align*}
  4. $h'(x) = \dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$

Derivoi seuraavat funktiot:

  1. $f(x) = (1+x)\sqrt{2-x}$
  2. $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$

Vinkki: Aloita ilmaisemalla juuret murtopotensseina. Kertaa tarvittaessa tulon ja osamäärän derivointisäännöt MAA6-kurssin teoreemoista 13 ja 15.

  1. $f'(x) = \dfrac{3(1-x)}{2\sqrt{2-x}}$
  2. $g'(x) = -\dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2 + 1}}$

Kurssissa MAA6 opittiin tutkimaan funktioiden kasvamista ja vähenemistä sekä ääriarvoja derivaatan avulla. Tässä kappaleessa sovelletaan näitä taitoja juurifunktioiden kulun tutkimiseen.

Aloitetaan tutkimalla neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kulkua. Neliöjuurifunktion kuvaajan perusteella näyttää siltä, että funktio on kasvava. Varmistetaan asia kuitenkin vielä derivaatan avulla.

Neliöjuurifunktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ derivaatta on tehtävän 1.21 mukaan $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ Se on määritelty avoimella välillä $\pa 0, \infty \pe$ ja sen arvo on aina positiivinen (neliöjuuren arvo ei koskaan ole negatiivinen, joten osoittaja ja nimittäjä ovat kumpikin positiivisia). Koska derivaattafunktio on positiivinen välillä $\pa 0, \infty \pe$, on neliöjuurifunktio aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan eli välillä $[0, \infty\pe$. Se, että derivaatta ei ole määritelty välin toisessa päätepisteessä eli kohdassa $x = 0$, ei haittaa. Kulkukaavioon nämä yksityiskohdat on kuitenkin merkittävä:

Katkoviiva kulkukaaviossa tarkoittaa, että funktio ei ole määritelty kyseisessä kohdassa. Yllä olevasta kulkukaaviosta voidaan siis lukea, että neliöjuurifunktio on määritelty kohdassa $x = 0$ mutta sen derivaattafunktio ei ole määritelty kohdassa $x = 0$.

Tehtävänä on tutkia, missä funktio $$ f(x) = \sqrt{x-1} - x $$ on aidosti kasvava ja missä vähenevä.

  1. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$. Kertaa tarvittaessa tehtävä 1.24.
  2. Etsi derivaattafunktion nollakohdat. Kertaa tarvittaessa tehtävää 1.15 edeltävät ohjeet.
  3. Laske derivaattafunktion arvo nollakohtien eri puolilla ja muodosta derivaattafunktion merkkikaavio.
  4. Täydennä derivaattafunktion merkkikaavio funktion $f$ kulkukaavioksi. Missä funktio $f$ on aidosti kasvava? Entä aidosti vähenevä?
    Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} - 1$
  2. $f'(x) = 0$, jos ja vain jos $x = \frac{5}{4} = 1{,}25$
  3. Esimerkiksi $f'(1{,}2) \approx 0{,}12$ ja $f'(2) = -0{,}5$.
  4. Kulkukaavio:

    Funktio on aidosti kasvava välillä $\left[1, \frac{5}{4}\right]$ ja aidosti vähenevä välillä $\left[\frac{5}{4}, \infty\right[$.

Juurifunktioiden ääriarvot löydetään derivaatan nollakohdista, ja kulkukaavion avulla voidaan päätellä, onko kysymyksessä maksimi- vai minimiarvo. Suljetulla välillä suurin ja pienin arvo löytyvät MAA6-kurssin teoreeman 12 mukaisesti derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä.

Tehtävänä on tutkia, onko funktiolla $$ g(x) = (x-1)\sqrt{36-x^2} $$ suurin ja pienin arvo, ja määrittää ne, jos ne ovat olemassa.

  1. Mikä on funktion $g$ määrittelyjoukko?
  2. Onko funktiolla $g$ suurinta tai pienintä arvoa? Mitä ne ovat?

Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $g$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. Funktio $g$ on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen eli $-6 \leq x \leq 6$.
  2. Funktio $g$ on jatkuva suljetulla välillä $[-6,6]$ ja derivoituva avoimella välillä $-6 < x < 6$, joten MAA6-kurssin teoreeman 12 mukaan funktio $g$ saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaattafunktion nollakohdissa tai välin päätepisteissä.
    Tulon derivointisäännön avulla derivaattafunktioksi saadaan $$ g'(x) = \frac{-x^2+x}{\sqrt{36-x^2}} + \sqrt{36 - x^2}. $$ Derivaattafunktion nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $g'(x) = 0$: \begin{align*} \frac{-x^2+x}{\sqrt{36-x^2}} &+ \sqrt{36 - x^2} = 0 \\[2mm] \sqrt{36 - x^2} &= \frac{x^2-x}{\sqrt{36-x^2}} \\[2mm] 36-x^2 &= x^2 - x \\[2mm] -2x^2 + x + 36 &= 0 \\[2mm] \end{align*} Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan ratkaisut $x_1 = \frac{9}{2}$ ja $x_2 = -4$.
    Lasketaan funktion arvo määrittelyvälin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa: \begin{align*} g(-6) &= 0 \\[1mm] g(-4) &= -5\sqrt{20} = -10\sqrt{5} \\[1mm] g\left(\frac{9}{2}\right) &= \frac{7}{2}\sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{7}{4}\sqrt{63} \\[1mm] g(6) &= 0 \end{align*} Funktion $g$ suurin arvo on siis $$ g\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{4}\sqrt{63} \approx 13{,}9 $$ ja pienin arvo on $$g(-4) = -10\sqrt{5} \approx -22{,}4.$$

Pitkin $x$-akselia kulkee polku. Muu koordinaatisto on hankalakulkuista metsää, jossa kilometriä kohti kuluu kaksi kertaa niin paljon aikaa kuin polkua pitkin juostessa. Tehtävänä on selvittää, mikä on paras reitti suunnistajalle, joka lähtee pisteestä $(6,0)$ pisteessä $(0,3)$ olevalle rastille.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Ajatellaan, että suunnistaja poistuu polulta pisteessä $(x,0)$, joka sijaitsee $x$-akselilla jossain origon ja pisteen $(6,0)$ välillä. Ilmaise suunnistajan kulkema matka muuttujan $x$ avulla.
  3. Lisää lausekkeeseen sopivat kertoimet, jotta se kuvaa suunnistajan matkaan käyttämää aikaa.
  4. Selvitä derivaatan avulla, mikä on paras reitti.

  1. Mallikuva:
  2. Matkan ilmaisee funktio $$ f(x) = (6-x) + \sqrt{x^2 + 9}, $$ jossa $0 \leq x \leq 6$.
  3. Olkoon $a > 0$ on suunnistajan juoksutahti polulla (min / km). Juoksutahti metsässä on silloin $2a$ ja matkaan kuluvaa aikaa kuvaa funktio $$ g(x) = a(6-x) + 2a\sqrt{x^2 + 9}. $$ (Vakio $a$ ei vaikuta lopputulokseen, joten kertoimina voi käyttää pelkkiä lukuja 1 ja 2.)
  4. Funktion $g$ pienin arvo löytyy tarkasteluvälin päätepisteestä tai derivaatan nollakohdasta. Derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} g'(x) &= -a +\frac{2ax}{\sqrt{x^2 + 9}} \end{align*} Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta: $x = \sqrt{3}$. Lasketaan derivaattafunktion arvo sen eri puolilla: \begin{align*} g'(1) &= -a + \frac{2}{\sqrt{10}}a < 0 \\[2mm] g'(4) &= -a + \frac{8}{5}a > 0 \end{align*} Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $g$ saa kohdassa $x = \sqrt{3}$ pienimmän arvonsa:

    Suunnistajan kannattaa siis kääntyä polulta rastille pisteessä $(\sqrt{3},0)$, kun hän on edennyt polkua pitkin matkan $6-\sqrt{3} \approx 4{,}3$.

Jos tarkasteluväli ei ole suljettu, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolon selvittäminen voi vaatia enemmän työtä.

Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x + 1}, $$ jonka määrittelyjoukko on $[0, \infty\pe$. Osamäärän derivointisäännön (MAA6 teoreema 15) avulla derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} f'(x) &= \frac{2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\[2mm] &= \frac{x^{-\frac{1}{2}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \\[2mm] &= \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) - 2\sqrt{x}}{(x+1)^2} \end{align*} Derivaattafunktion nollakohdat löytyvät osoittajan nollakohdista: \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) - 2\sqrt{x} &= 0 \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{x}}(x+1) &= 2\sqrt{x} \\[2mm] x+1 &=2x \\[2mm] 1 &= x \end{align*} Lasketaan derivaattafunktion arvo nollakohdan eri puolilla. Laskimen avulla saadaan esimerkiksi \begin{align*} f'(0{,}25) &= 0{,}96 > 0 \\ f'(4) &= -0{,}06 < 0 \end{align*} Näin saadaan muodostettua kulkukaavio:

Kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $f$ on maksimikohta $x = 1$ mutta ei muita ääriarvokohtia. Lisäksi voidaan päätellä, että maksimiarvo $$ f\left(1\right) = \frac{2\sqrt{1}}{1 + 1} = 1 $$ on funktion $f$ suurin arvo.

Pienimmän arvo olemassaoloa ei voida tässä tapauksessa päätellä pelkän kulkukaavion perusteella. Määrittelyvälin vasemmassa päätepisteessä funktio saa arvon $$ f(0) = \frac{2\sqrt{0}}{0 + 1} = 0. $$ Funktio on kuitenkin aidosti vähenevä välillä $\left[1, \infty\right[$, joten on tutkittava, millaisia arvoja se saa tällä välillä. Pysyvätkö arvot epänegatiivisina vai saako funktio jonkin nollaa pienemmän arvon?

Jos $x \geq 1$, osoittajan $2\sqrt{x}\,$ arvo on positiivinen, samoin nimittäjän $x + 1$ arvo. Siis välillä $\left[1, \infty\right[$ funktion $$ f(x) = \frac{2\sqrt{x}}{x+1} $$ arvo on positiivinen. Tästä voidaan päätellä, että $f(0) = 0$ on funktion $f$ pienin arvo. Myös funktion kuvaaja tukee näitä johtopäätöksiä:

Huomaa, että pelkän kuvaajan perusteella ei voida olla täysin varmoja, kuinka suuria tai pieniä arvoja funktio saa, kun muuttuja kasvaa rajatta. Edellä tehty päättely kuitenkin takaa, että $f(1)=1$ ja $f(0)=0$ ovat todella funktion suurin ja pienin arvo.

Tehtävässä 1.26 muodostettiin funktiolle $$ f(x) = \sqrt{x-1} - x $$ kulkukaavio

  1. Onko funktiolla $f$ minimi- tai maksimikohtia? Mitä ne ovat?
  2. Määritä funktion $f$ suurin arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa.
  3. Määritä funktion $f$ pienin arvo tai perustele, että sitä ei ole olemassa.

  1. Kulkukaaviosta nähdään, että funktiolla $f$ on maksimikohta $x = \frac{5}{4}$ mutta ei muita ääriarvokohtia.
  2. Kulkukaaviosta voidaan päätellä, että maksimiarvo $$ f\left(\frac{5}{4}\right) = \sqrt{\frac{5}{4} - 1} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4} $$ on funktion $f$ suurin arvo.
  3. Pienimmän arvo olemassaoloa ei voida tässä tapauksessa päätellä pelkän kulkukaavion perusteella. Määrittelyvälin vasemmassa päätepisteessä funktio saa arvon $$ f(1) = \sqrt{1-1} - 1 = -1. $$ Funktio on kuitenkin aidosti vähenevä välillä $\left[\frac{5}{4}, \infty\right[$, joten on tutkittava, millaisia arvoja se saa tällä välillä. Huomataan, että esimerkiksi \begin{align*} f(10) &= \sqrt{10-1} -10 \\ &= -7 < f(1). \end{align*} Funktiolla ei siis ole pienintä arvoa, vaan se saa aina vain pienempiä arvoja muuttujan kasvaessa rajatta.

Tehtävänä on tutkia, onko funktiolla $$ f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x} $$ suurin ja pienin arvo, ja määrittää ne, jos ne ovat olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta tai pienintä arvoa? Mitä ne ovat?

Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. (Tällöin juurrettava on epänegatiivinen ja nimittäjä ei ole nolla.)
  2. Derivaattafunktioksi saadaan $$ f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta $$x = \sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}} \approx 1{,}59.$$ Lasketaan derivaattafunktion arvot sen eri puolilla. Esimerkiksi \begin{align*} f'(1) &= -0{,}5 \\ f'(4) &= 0{,}1875. \end{align*} Kulkukaavion avulla voidaan nyt päätellä, että funktiolla $f$ on pienin arvo mutta ei suurinta arvoa:

    Funktion $f$ pienin arvo on \begin{align*} f(\sqrt[3]{4}) &= \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + \sqrt{\sqrt[3]{4}} \\[2mm] &= \frac{\left(\sqrt[3]{4}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{4}\right)^3} + (4^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \\[2mm] &= \frac{\left(4^\frac{1}{3}\right)^2}{4} + (4^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} \\[2mm] &= \frac{\left(4^2\right)^\frac{1}{3}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{\sqrt[3]{16}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{\sqrt[3]{8\cdot 2}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{2\sqrt[3]{2}}{4} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \\[2mm] &= \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} \approx 1{,}89. \end{align*}

Seuraavan teoreeman avulla voidaan joissakin tilanteissa välttää juurilausekkeiden derivointi. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Funktio $f(x) = \sqrt{v(x)}\,$ saa

  • suurimman arvonsa kohdassa, jossa juurrettava $v(x)$ saa suurimman arvonsa
  • pienimmän arvonsa kohdassa, jossa juurrettava $v(x)$ saa pienimmän (epänegatiivisen) arvonsa.

Oletetaan, että $u(x) \geq 0$. Funktio $g(x) = u(x)\sqrt{v(x)}\,$ saa

  • suurimman arvonsa kohdassa, jossa funktio $h(x) = u(x)^2v(x)$ saa suurimman arvonsa
  • pienimmän arvonsa kohdassa, jossa funktio $h(x) = u(x)^2v(x)$ saa pienimmän (epänegatiivisen) arvonsa.

Perustelu: Ennen tehtävää 1.26 osoitettiin, että neliöjuurifunktio on aidosti kasvava. Neliöjuuren arvo on siis sitä suurempi, mitä suurempi juurrettava on.
Koska oletuksen mukaan $u(x) \geq 0$, niin voidaan kirjoittaa $$ u(x) = \sqrt{u(x)^2}. $$ (Asiaa on tutkittu MAA2-kurssin tehtävässä 2.5.) Funktion $g$ lauseke saadaan sievennettyä neliöjuuren laskusääntöjen avulla: \begin{align*} g(x) &= u(x)\sqrt{v(x)} \\ &= \sqrt{u(x)^2} \sqrt{v(x)} \\ &= \sqrt{u(x)^2v(x)}. \end{align*} Viimeisestä muodosta havaitaan, että funktio $g$ saa suurimman arvonsa kohdassa, jossa funktio $$h(x) = u(x)^2v(x)$$ saa suurimman arvonsa, ja pienimmän arvonsa kohdassa, jossa funktio $$h(x) = u(x)^2v(x)$$ saa pienimmän (epänegatiivisen) arvonsa. Huomaa, että neliöjuuri ei ole määritelty, jos juurrettava on negatiivinen.

Tehtävänä on tutkia teoreeman 5 avulla, onko funktiolla $$ f(x) = \sqrt{(6+x-x^2)(x^2-x+2)} $$ suurin ja pienin arvo, ja määrittää ne, jos ne ovat olemassa.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko?
  2. Onko funktiolla $f$ suurinta tai pienintä arvoa? Mitä ne ovat?

Tarkista vastaustesi järkevyys piirtämällä funktion $f$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla.

  1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos juurrettava on epänegatiivinen eli $-2 \leq x \leq 3$.
    Huom. kannattaa tutkia erikseen lausekkeiden $6+x-x^2$ ja $x^2-x+2$ merkki. Kertaa tarvittaessa toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen MAA2-kurssin luvusta 3.
  2. Suurin ja pienin arvo löytyvät kohdista, joissa juurrettava $$ v(x) = (6+x-x^2)(x^2-x+2) $$ saa suurimman ja pienimmän arvonsa. Mahdollisia kohtia ovat derivaattafunktion $v'(x)$ nollakohdat ja määrittelyvälin päätepisteet. Derivaattafunktioksi saadaan \begin{align*} v'(x) &= (6+x-x^2)(2x-1) + (x^2-x+2)(1-2x) \\ &= (6+x-x^2)(2x-1) + (-x^2+x-2)(-1+2x) \\ &= (2x-1)(6+x-x^2-x^2+x-2) \\ &= (2x-1)(4+2x-2x^2) \end{align*} Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa: $x_1 = 0{,}5$, $x_2 = 2$ ja $x_3 = -1$. Lasketaan funktion $v$ arvo näissä kohdissa ja välin päätepisteissä: \begin{align*} v(-2) &= 0 \\[1mm] v(-1) &= 16 \\[2mm] v\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{175}{16} \approx 10{,}9\\[2mm] v(2) &= 16\\[1mm] v(3) &= 0 \end{align*} Tästä voidaan päätellä, että funktion $f$ pienin arvo on $\sqrt{0} = 0$ ja suurin arvo on $\sqrt{16} = 4$.

Juurifunktiot ja -yhtälöt

Selvitä funktion $f$ määrittelyjoukko ja nollakohdat, jos

  1. $f(x) = x - 3\sqrt{x-1} + 1$
  2. $f(x) = \sqrt{x} + x - 1$

  1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 1$.
    Funktiolla on nollakohdat $x_1 = 2$ ja $x_2 = 5$.
  2. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq 0$.
    Funktiolla on nollakohta $$ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}. $$

Juurifunktiot ja -yhtälöt

Selvitä funktion $g$ määrittelyjoukko ja nollakohdat, jos

  1. $g(x) = \sqrt{4x+5} - x$
  2. $g(x) = 2x - 1 + \sqrt{x^2 + 8}$

  1. Funktio on määritelty, jos ja vain jos $x \geq -\frac{5}{4}$.
    Funktiolla on nollakohta $x = 5$.
  2. Funktio on määritelty kaikilla muuttujan arvoilla.
    Funktiolla on nollakohta $x = -1$.

Juuriyhtälöt

Eräs opiskelija sai tehtäväksi ratkaista yhtälön $$ 2x + \sqrt{5-x} = 0. $$ Hän muisti, että neliöjuuresta pääsee eroon toiseen potenssiin korottamalla ja kirjoitti seuraavan ratkaisun: \begin{align*} 2x + \sqrt{5-x} &= 0 \\ (2x)^2 + 5-x &= 0 \\ 4x^2 + 5 - x &= 0 \end{align*} Koska diskriminantti $$D = (-1)^2-4\cdot 4 \cdot 5 = -79$$ on negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

  1. Miten opiskelija voisi tarkistaa, onko hän päätynyt oikeaan johtopäätökseen?
  2. Onko opiskelijan ratkaisu oikein? Tarvittaessa korjaa ratkaisu oikeaksi.

  1. Johtopäätöksen voi varmistaa esimerkiksi piirtämällä funktion $$ f(x) = 2x + \sqrt{5-x} $$ kuvaajan ja katsomalla, leikkaako se $x$-akselin. Mahdolliset leikkauskohdat ovat yhtälön $f(x) = 0$ ratkaisuja.
  2. Ratkaisu ei ole oikein. Ennen toiseen potenssiin korotusta yhtälöä kannattaa muokata niin, että neliöjuurilauseke on yksinään yhtälön toisella puolella: \begin{align*} 2x + \sqrt{5-x} &= 0 \\ 2x &= -\sqrt{5-x}\\ (2x)^2 &= (-\sqrt{5-x})^2 \\ 4x^2 &= 5 - x \\ 4x^2 + x - 5 &=0 \\[2mm] x &= \frac{-1\pm \sqrt{81}}{8} \end{align*} Ratkaisuehdokkaiksi saadaan $x_1 = 1$ ja $x_2 = -1{,}25$. Sijoittamalla huomataan, että yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = -1{,}25$.

Juurifunktion derivaatta

Osoita, että käyrät $y = x^2$ ja $$ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ leikkaavat toisensa kohtisuorasti.

Käyrillä on yksi leikkauspiste $(1,1)$, joka löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ x^2 = \frac{1}{\sqrt{x}}. $$ Funktion $f(x) = x^2$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(1) = 2\cdot 1 = 2. $$ Funktion $$ g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ kuvaajan pisteeseen $(1,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $$ g'(1) = -\frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} = -\frac{1}{2}. $$ Kulmakertoimien tulo on $-1$, joten pisteeseen $(1,1)$ asetetut tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Juurifunktion derivaatta

Neliön pinta-ala on alussa nolla ja kasvaa sen jälkeen tasaisella nopeudella $3 \text{ cm}^2$ sekunnissa.

  1. Mikä on neliön pinta-ala
    • 1 sekunnin kuluttua
    • 2 sekunnin kuluttua
    • 3 sekunnin kuluttua
    • 4 sekunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $A(t)$, joka ilmaisee neliön pinta-alan $t$ sekunnin kuluttua.
  3. Jos tunnet neliön pinta-alan, miten saat selville neliön sivun pituuden? Muodosta funktio $s(t)$, joka ilmaisee neliön sivun pituuden $t$ sekunnin kuluttua.
  4. Millä nopeudella neliön sivun pituus kasvaa 0,5 sekunnin kuluttua? Entä 3 sekunnin kuluttua? Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.

  1. Neliön pinta-ala on
    • $3 \text{ cm}^2$
    • $6 \text{ cm}^2$
    • $9 \text{ cm}^2$
    • $12 \text{ cm}^2$.
  2. $A(t) = 3t$.
  3. Koska neliön pinta-ala on sivun pituuden toinen potenssi ($A = s^2$), saadaan sivun pituus selville ottamalla pinta-alasta neliöjuuri. Siten $s(t) = \sqrt{3t}$.
  4. Derivaattafunktio on $$ s'(t) = \frac{3}{2\sqrt{3t}}. $$ Siten \begin{align*} s'(0{,}5) &= \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}2 \text{ cm/s} \\[2mm] s'(3) &= 0{,}5 \text{ cm/s.} \end{align*}

Juurifunktion derivaatta

Missä pisteessä funktion $$f(x) = 6\sqrt{x} - x$$ kuvaajalle muuttujan arvon 16 kohdalle piirretty normaali leikkaa

  1. $x$-akselin
  2. $y$-akselin?

Normaalin yhtälö on $y = 4x - 56$.

  1. Pisteessä $(14,0)$.
  2. Pisteessä $(0,-56)$.

Juurifunktion derivaatta

Kuumailmapallo kohoaa suoraan ylöspäin tasaisella nopeudella 0,75 m/s. Riina ja Valtteri seuraavat pallon nousua 50 metrin päässä pallo lähtöpaikasta. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella pallo etääntyy heistä, kun maasta irtautumisesta on kulunut yksi minuutti.

  1. Piirrä tilanteesta mallikuva.
  2. Muodosta funktio $h(t)$, joka ilmaisee pallon sijaintikorkeuden $t$ sekunnin kuluttua maasta irtautumisesta.
  3. Muodosta funktio $f(t)$, joka ilmaisee pallon etäisyyden Riinasta ja Valtterista $t$ sekunnin kuluttua maasta irtautumisesta.
  4. Millä nopeudella pallo etääntyy Riinasta ja Valtterista, kun maasta irtautumisesta on kulunut yksi minuutti?

  1. Mallikuva:
  2. $h(t) = 0{,}75t$
  3. $f(t) = \sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}$
  4. Etääntymisnopeuden ilmaisee derivaatta $$ f'(t) = \frac{1{,}125t}{2\sqrt{2500 + 0{,}5625t^2}}. $$ Minuutin kuluttua etääntymisnopeus on $$ f'(60) \approx 0{,}50 \text{ m/s.} $$

Juurifunktion derivaatta

Tutki, sivuaako suora $$ y = \frac{x}{10} + \frac{5}{2} $$ käyrää $$ y = \sqrt{x}. $$ Perustele vastauksesi huolellisesti.

Suoralla ja käyrällä on yhteinen piste $(25,5)$. Funktion $f(x) = \sqrt{x}\,$ kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin on $$ f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} $$ eli sama kuin suoran kulmakerroin. Suora ja käyrä siis sivuavat toisiaan.

Juurifunktion kulku

Tutki, onko funktiolla $$ f(x) = \sqrt{2x} + \sqrt{3-x} $$ suurinta tai pienintä arvoa. Jos jompi kumpi tai molemmat ovat olemassa, määritä ne.

Suurin arvo on $f(2) = 3$ ja pienin arvo on $f(0) = \sqrt{3}$.

Juurifunktion kulku

Suunnistaja on maastossa 800 metrin etäisyydellä suorasta rastille johtavasta polusta. Jos hän suunnistaisi kohtisuoraan polulle, hän joutuisi kulkemaan polkua pitkin 1500 metriä päästäkseen rastille. Kuinka suunnistajan kannattaa valita reittinsä, kun hänen keskinopeutensa on maastossa 6 km/h ja polulla 10 km/h?

Suunnistajan kannattaa tulla polulle kohdassa, josta on rastille matkaa 900 m.

Juurifunktion kulku

Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $$ g(x) = \sqrt{2x - \sqrt{x}} $$ on

  1. määritelty
  2. kasvava
  3. vähenevä?

  1. $x = 0$ tai $x \geq \frac{1}{4}$
  2. $x \geq \frac{1}{4}$
  3. Ei millään.

Juurifunktion kulku

Mikä luku on eniten neliöjuurtaan pienempi?

$\dfrac{1}{4}$

Juurifunktion kulku

Kaksi suoraa metsäpolkua risteää kohtisuorasti. Polkujen risteystä lähestyvät toista polkua kulkeva lenkkeilijä, jonka nopeus on 8 km/h, ja toista polkua jolkotteleva susi, jonka nopeus on 6 km/h. Molemmat ovat yhden kilometrin päässä polkujen risteyksestä. Kuinka pitkän ajan kuluttua lenkkeilijän ja suden etäisyys on pienimmillään? Mikä on tämä pienin etäisyys? Missä lenkkeilijä ja susi tällöin ovat?

Etäisyys on pienimmillään 200 metriä, kun aikaa on kulunut 8,4 minuuttia eli 8 min 24 s. Lenkkeilijä on tällöin kulkenut risteyksen jälkeen 120 m polkua pitkin ja susi on vielä lähestymässä risteystä 160 metrin päässä.

Vinkki: Oletetaan, että lenkkeilijä on alkutilanteessa pisteessä $(1,0)$ ja susi pisteessä $(0,1)$, ja polkujen risteys on origossa. Etäisyyttä ajan funktiona voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(t) = \sqrt{(1-8t)^2 + (1-6t)^2}, $$ missä $t$ on aika tunteina.

Juurifunktion kulku

Osoita, että yhtälöllä $$ x\sqrt{x} = 4x - 10 $$ ei ole ratkaisuja.

Funktion $$ f(x) = x\sqrt{x} - 4x + 10 $$ derivaattafunktio $$ f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 4. $$ Funktio $f$ saa derivaattafunktion nollakohdassa pienimmän arvonsa $$ f\left(\frac{64}{9}\right) = \frac{14}{27} > 0. $$ Funktion arvot ovat siis aina positiivisia, joten tarkastelullla yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Juurifunktion kulku

Vierekkäisille neliön muotoisille tonteille rakennetaan alakoulu ja päiväkoti. Tonttien yhteenlaskettu pinta-ala on $9\,000 \text{ m}^2$. Tonttien ympärille ja väliin pystytetään aita. Aitaurakoitsija haluaa maksimoida oman etunsa ja toivoo, että aidan kokonaispituudesta tulisi mahdollisimman suuri. Miten tonttien pinta-alat pitäisi valita, jotta aitaurakoitsijan toive toteutuisi?

Isomman tontin pinta-alaksi pitäisi valita $5\,760 \text{ m}^2$ ja pienemmän tontin pinta-alaksi $3\,240 \text{ m}^2$.

Vinkki: Aidan pituutta voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = 4x + 3\sqrt{9000 - x^2}, $$ missä $x$ on isomman tontin sivun pituus.

Juurifunktion kulku

Kangas on muodoltaan neliö, jonka sivujen pituudet ovat 8,0 metriä. Neliön nurkista leikataan pois samanlaiset keskipisteeseen ulottuvat palat. Jäljelle jäävä kangas ommellaan säännöllisen nelisivuisen pyramidin muotoisen teltan katoksi.

  1. Määritä leikkauskohtien etäisyys nurkista niin, että teltan tilavuus on mahdollisimman suuri. Anna vastauksen tarkka arvo sekä likiarvon kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Kuinka suuri on tällaisessa teltassa se lattiapinta-ala, jossa 180 cm pitkä henkilö mahtuu seisomaan suorana? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. Leikkauskohdan etäisyys nurkasta on $$ \left(4 - \frac{4}{3}\sqrt{6}\right) \text{ m} \approx 0{,}734 \text{ m.} $$ Vinkki: Teltan tilavuutta voi kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = \frac{1}{3}(8-2x)^2\sqrt{8x-x^2}, $$ missä $x$ on kysytty leikkauskohdan etäisyys kankaan nurkasta. Tässä pohjan ala on $(8-2x)^2$ ja korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = 4^2 - (4-x)^2. $$
  2. Kysytty lattiapinta-ala on noin $2{,}1 \text{ m}^2$.
    Vinkki: teltan poikkileikkauksen yhdenmuotoiset kolmiot:

    Tästä saadaan $$ x = \sqrt{2}\left(\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{9}{5}\right) \approx 0{,}7204 $$ ja pinta-ala $$ (2x)^2 = 4x^2 \approx 2{,}1. $$

Juurifunktion kulku

Teräsputkesta, jonka pituus on 5,00 metriä, taivutetaan Z-kirjaimen muotoinen kehikko. Kuinka pitkiin osiin putki tulee taivuttaa, jotta kehikon rajaaman suorakulmion pinta-ala on mahdollisimman suuri? Anna vastaukset senttimetrin tarkkuudella.

Vaakasuorien osien pituus noin 1,05 metriä ja keskimmäisen osan pituus noin 2,90 metriä.

Vinkki: Osien pituudet toteuttavat yhtälön $$ 2x + y = 5. $$ Suorakulmion korkeus saadaan yhtälöstä $$ h^2 = y^2 - x^2 $$ eli yhtälöstä $$ h = \sqrt{(5-2x)^2 - x^2}. $$ Suorakulmion pinta-alan ilmaisee siis funktio $$ f(x) = x\sqrt{25-20x + 3x^2}, $$ missä $0 \leq x \leq 2{,}5 \text{ m.}$

Juurifunktion kulku

Sähköjohdon vetäminen metsään maksaa kilometriä kohti kolme kertaa niin paljon kuin johdon vetäminen pitkin tienvartta. Suunnittele sähköjohdon edullisin reitti tukiasemalta $A$ muuntajalle $B$.

Johto vedetään suoraan tielle kohtaan, josta on muuntajalle matkaa vielä 7,6 km.

Vinkki: Kustannusta voidaan kuvata esimerkiksi funktiolla $$ f(x) = 9-x + 3\sqrt{16 + x^2}, $$ missä $x$ on kuten alla olevassa kuvassa:

Juurifunktion kulku

Ohut ja pitkä metalliputki pitäisi kuljettaa käytävän mutkan läpi. Alla käytävät näkyvät ylhäältä katsottuna.

  1. Kuinka pitkä putki mahtuu mutkan läpi vaakasuorassa asennossa?
  2. Kuinka pitkä putki mahtuu mutkan läpi, jos sitä voidaan kuljetuksen aikana kallistaa? Käytävän korkeus on 2,5 metriä.

Ohje: Aloita piirtämällä a-kohdan tilanteesta mallikuva. Merkitse kapean käytävän puolella olevan putken osan pituutta kirjaimella $x$.

  1. Enintään 7,0 metriä pitkä putki.

    Mutkaan mahtuvan putken pituutta eri asennoissa voidaan kuvata funktiolla $$ f(x) = x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 4}}. $$ Sen derivaatalla on yksi nollakohta: $$ x = \sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on putken pituuden minimikohta, eli hankalimmassa kohdassa putken pituus saa olla enintään $$ f\left(\sqrt{4 + 2\sqrt[3]{18}}\right) \approx 7{,}0. $$
  2. Enintään 7,4 metriä pitkä putki.

  1. Sievennä lauseke $$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^2}}},$$ kun $a \geq 0$.
  2. Luku on yhtä suuri kuin puolet sen neliöjuuresta. Määritä kaikki tällaiset luvut.

[Pitkä S2016/2a & S2014/2b]

  1. \begin{align*} \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a^2}}} &= \sqrt{a\sqrt{a^2}} \\ &= \sqrt{a^2} \\ &= a \end{align*}
  2. Kysytyt luvut ovat $0$ ja $\dfrac{1}{4}$.

  1. Piirrä kuva epäyhtälöiden $$0 \leq y \leq \sqrt{\left| x \right|}$$ määräämästä tasoalueesta, kun $-1 \leq x \leq 1$.
  2. Ratkaise yhtälö $$x\sqrt{1+x} = \sqrt{2x}.$$ [Pitkä K2015/2]

  1. Kuva tasoalueesta:
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 1$.

Ympyräsektorin säde on 3 ja keskuskulman suurus on $\alpha$. Sektori taivutetaan ympyräpohjaisen kartion vaipaksi. Mikä on kulman $\alpha$ tarkka arvo silloin, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri?

[Pitkä S2017/6]

Kulma $\alpha = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Kartion pohjaympyrän kehän pituus on $3\alpha$ ja säde $$ r = \frac{3\alpha}{2\pi}. $$ Kartion sivujanan pituus on $3$, joten kartion korkeudeksi saadaan Pythagoraan lauseen avulla välivaiheiden jälkeen $$ h = \frac{3}{2\pi}\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}. $$ Kartion tilavuus on $$ V = \frac{\pi}{3}r^2h = \frac{9}{8\pi^2}\alpha^2\sqrt{4\pi^2 - \alpha^2}, $$ missä $0 \leq \alpha \leq 2\pi$. Suurin arvo löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteistä. Derivointia voi helpottaa teoreeman 5 avulla.

Suoran ympyräkartion muotoista telttaa varten on varattu 16 neliömetriä kangasta. Kangasta ei käytetä teltan pohjaan. Määritä pohjaympyrän halkaisija silloin, kun teltan tilavuus on suurin mahdollinen.

Kuva: indios.cz

[Pitkä K2015/9]

Kysytty lattian halkaisija on $$2r = \dfrac{8}{\sqrt[4]{3\pi^2}}.$$

Teltan vaipan ala $A = \pi rs = 16$, joten sivujana on $$ s = \frac{16}{\pi r}. $$ Teltan korkeus on $$ h = \sqrt{s^2 - r^2}. $$ Kartion tilavuus on \begin{align*} V &= \frac{\pi}{3}r^2h \\[2mm] &= \frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{\frac{256}{\pi^2r^2} - r^2} \\[2mm] &= \frac{1}{3}\sqrt{256r^2 - \pi^2r^6}. \end{align*} Tutkitaan, missä juurrettava $$f(r) = 256r^2 - \pi^2r^6$$ saa suurimman arvonsa, sillä tällöin myös tilavuusfunktio $V(r)$ saa suurimman arvonsa. Derivaattafunktiolla on kolme nollakohtaa, mutta positiivisia niistä on vain yksi: $$ r = \frac{4}{\sqrt[4]{3\pi^2}} $$ Esimerkiksi kulkukaavion avulla havaitaan, että funktio $f$ saa tässä kohdassa suurimman arvonsa.

Mikä paraabelin $y = 5-x^2$ piste on lähinnä origoa? Piirrä kuvio.
[Pitkä K2009/9]

Lähinnä origoa ovat paraabelin pisteet $\left(\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$ ja $\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$.

Ratkaise yhtälön $$ \sqrt{2-x} = x + 2 $$ reaalijuuret.
[Pitkä S2008/7]

Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu: $$ x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2} $$

Määritä funktion $$ f(x) = x + \sqrt{9-x^2}, $$ missä $-3 \leq x \leq 3$ suurin ja pienin arvo. Piirrä funktion kuvaaja.
[Pitkä K2008/9]

Pienin arvo on $f(-3) = -3$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right) = 3\sqrt{2}. $$

Suoran kolmisivuisen pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio. Pyramidin sivusärmän pituus on 60 cm. Miten on pohjasärmän pituus valittava, jotta pyramidin tilavuus olisi mahdollisimman suuri?
[Pitkä S2007/7]

Sivusärmän pituudeksi on valittava $60\sqrt{2} \text{ cm } \approx 84{,}9 \text{ cm.}$

Ratkaise yhtälö $$ \sqrt{x-2} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x-2}} $$
[Pitkä S2000/2]

$x = 6$

Ympyrälevystä, jonka säde on $r$, leikataan pois sektori, ja jäljelle jäänyt osa taivutetaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Määritä pois leikatun sektorin keskuskulma asteen tarkkuudella, kun kartion tilavuus on mahdollisimman suuri.
[Pitkä S2008/9]

Poisleikatun sektorin keskuskulma on noin $66^\circ$.

Pallon tilavuus on alussa nolla ja kasvaa sen jälkeen tasaisella nopeudella $120 \text{ cm}^3$ sekunnissa.

  1. Muodosta funktio $V(t)$, joka ilmaisee pallon tilavuuden $t$ sekunnin kuluttua.
  2. Jos tunnet pallon tilavuuden, miten saat selville pallon säteen? Muodosta funktio $r(t)$, joka ilmaisee pallon säteen $t$ sekunnin kuluttua.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa MAA3-kurssin teoreema 21.
  3. Millä nopeudella pallon säde kasvaa 2 sekunnin kuluttua? Entä 4 sekunnin kuluttua? Anna vastaukset millimetrin tarkkuudella.
  4. Millä nopeudella pallon pinta-ala kasvaa 0,5 sekunnin kuluttua? Entä 3 sekunnin kuluttua? Anna vastaukset neliömillimetrin tarkkuudella.
    Vinkki: MAA3-kurssin teoreema 21 ja MAA7-kurssin teoreema 23.

  1. $V(t) = 120t$.
  2. Yhtälöstä $$V = \frac{4\pi r^3}{3}$$ saadaan ratkaistua $$ r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}. $$ Siten $$ r(t) = \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}}. $$
  3. Derivaattafunktio on $$ r'(t) = \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}}. $$ Siten \begin{align*} r'(2) &\approx 0{,}6 \text{ cm/s} \\ r'(4) &\approx 0{,}4 \text{ cm/s.} \end{align*}
  4. Pinta-alan ilmaisee funktio $$ A(t) = 4\pi (r(t))^2. $$ Sen derivaattafunktio on \begin{align*} A'(t) &= 4\pi\cdot 2r(t) \cdot r'(t) \\[2mm] &=8\pi \sqrt[3]{\frac{90t}{\pi}} \frac{30}{\pi}\sqrt[3]{\frac{\pi^2}{8100t^2}} \\[2mm] &= 240 \sqrt[3]{\frac{\pi}{90t}}. \end{align*} Siten \begin{align*} A'(2) &\approx 62{,}25 \text{ cm}^2/\text{s} \\ A'(4) &\approx 49{,}41 \text{ cm}^2/\text{s.} \end{align*}

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.