Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA8 - Juuri- ja logaritmifunktiot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Logaritmifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset logaritmifunktioiden ominaisuudet ja pystyt hyödyntämään niitä sovellusongelmien ratkaisemisessa. Osaat

  • hahmotella tärkeimpien logaritmifunktioiden kuvaajat
  • käyttää logaritmien laskusääntöjä lausekkeiden sieventämiseen
  • ratkaista logaritmi- ja eksponenttiyhtälöitä
  • määrittää logaritmifunktion derivaattafunktion
  • soveltaa aiemmin oppimiasi derivointisääntöjä logaritmifunktioista muodostettujen funktioiden kulun tutkimiseen.

Edellisessä luvussa ilmaistiin eksponenttiyhtälöiden ratkaisuja logaritmien avulla. Tässä kappaleessa erilaisia logaritmeja tutkitaan funktioiden näkökulmasta.

Aloitetaan palauttamalla mieleen logaritmin määritelmä.

Kertaa tarvittaessa logaritmin määritelmän kaksi hiukan erilaista muotoilua kursseilta MAY1 ja MAA8. Päättele sen jälkeen seuraavien logaritmien arvot ja perustele vastauksesi.

  1. $\log_{10} (100)$
  2. $\log_2 (32)$
  3. $\log_3 (81)$
  4. $\ln (1)$

  1. $\log_{10} (100) = 2$, sillä $10^2 = 100$
  2. $\log_2 (32) = 5$, sillä $2^5 = 32$
  3. $\log_3 (81) = 4$, sillä $3^4 = 81$
  4. $\ln (1) = 0$, sillä $e^0 = 1$

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan 2-kantaisen logaritmifunktion ominaisuuksia logaritmin määritelmän pohjalta.

Logaritmin määritelmän mukaan positiivisen luvun $a$ 2-kantainen logaritmi $\log_2 (a)$ on se luku $b$, jolla pätee $$ 2^b = a. $$

  1. Kirjoita näkyviin, mitä tarkoittaa positiivisen luvun $x$ 2-kantainen logaritmi $\log_2 (x)$.
  2. Päättele, mikä on logaritmifunktion $f(x) = \log_2 (x)$ määrittelyjoukko. Selitä omin sanoin, miten päättelit.
  3. Täydennä alla oleva taulukko ja hahmottele sen avulla 2-kantaisen logaritmifunktion kuvaaja.
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \log_2 (x)$
    $16$ $f(16) = \phantom{\log_2 16}$
    $8$
    $4$
    $2$
    $1$
    $\frac{1}{2}$
    $\frac{1}{4}$
    $\frac{1}{8}$

  1. Positiivisen luvun $x$ 2-kantainen logaritmi $\log_2 (x)$ on se luku $b$, jolla pätee $$ 2^b = x. $$
  2. Logaritmifunktio $f(x) = \log_2 (x)$ on määritelty, jos muuttuja on positiivinen eli $x > 0$. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on siis $\pa 0, \infty\pe$. Syynä on logaritmin määritelmä: "positiivisen luvun $x$ 2-kantainen logaritmi on $\ldots$".
  3. Taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = \log_2 (x)$
    $16$ $f(16) = 4$
    $8$ $f(8) = 3$
    $4$ $f(4) = 2$
    $2$ $f(2) = 1$
    $1$ $f(1) = 0$
    $\frac{1}{2}$ $f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$
    $\frac{1}{4}$ $f\left(\frac{1}{4}\right) = -2$
    $\frac{1}{8}$ $f\left(\frac{1}{8}\right) = -3$
    Kuvaaja:

Logaritmit määriteltiin edellisessä luvussa ekponenttiyhtälöiden ratkaisuina. Koska eksponenttifunktion arvot ovat aina positiivisia, on logaritmifunktio määritelty vain positiivisilla muuttujan arvoilla. Toisaalta koska eksponenttifunktion arvo voidaan laskea kaikilla muuttujan arvoilla, saavat logaritmifunktiot arvokseen kaikki reaaliluvut:

Nämä ja tehtävän 3.2 havainnot on mahdollista perustella täsmällisesti kaikille logaritmifunktioille, jolloin saadaan seuraava teoreema. Sen tarkkaan perusteluun ei kuitenkaan tällä kurssilla syvennytä.

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Logaritmifunktion $$ f(x) = \log_k (x) $$ määrittelyjoukko on $\pa 0, \infty\pe$ ja arvojoukko on koko reaalilukujen joukko $\R$.
Jos kantaluku $k > 1$, logaritmifunktio on aidosti kasvava:

Jos kantaluku $0 < k < 1$, logaritmifunktio on aidosti vähenevä:

Päättele, millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on määritelty, jos

  1. $f(x) = \log_2 (x-1)$
  2. $f(x) = \log_{10}(4-x^2)$
  3. $f(x) = \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)$

Vinkki: kertaa tarvittaessa rationaaliepäyhtälön ratkaiseminen MAA6-kurssin luvusta 3.

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos logaritmin sisällä oleva lauseke on positiivinen eli

  1. $x > 1$
  2. $-2 < x < 2$
  3. $x < -1$ tai $x > 0$

Edellisessä luvussa määriteltiin luonnollinen logaritmi $\ln$, jonka kantalukuna on Neperin luku $e$. Muita kantalukuja, joita vastaavilla logaritmeilla on omat merkintänsä, ovat monissa luonnontieteiden sovelluksissa käytetty kymmenkantainen logaritmi $\lg$ sekä tietojenkäsittelytieteen sovelluksissa käytetty kaksikantainen logaritmi $\mathop{\mathrm{lb}}$.

MÄÄRITELMÄ: ERITYISIÄ LOGARITMEJA

Kymmenkantaista logaritmia merkitään $$\lg = \log_{10}.$$ Kaksikantaista logaritmia merkitään $$\mathop{\mathrm{lb}} = \log_2.$$ Luonnollista logaritmia, jonka kantalukuna on Neperin luku $e$, merkitään $$\ln = \log_e.$$

Luonnontieteissä logaritmifunktioiden avulla voidaan kuvata esimerkiksi liuoksen happamuutta, maanjäristysten voimakkuutta ja ihmisen aistimaa äänen voimakkuutta.

Äänen voimakkuuden fysikaalinen yksikkö on äänen intensiteetti $I$. Sen yksikkö on W/m$^2$ (wattia neliömetriä kohti) eli intensiteetti ilmaisee äänen tehon pinta-alaa kohden. Kokeelliset havainnot kuitenkin osoittavat, että äänen intensiteetin avulla ei pystytä kuvaamaan ihmisen aistimaa äänen voimakkuutta. Äänen voimakkuus ilmaistaan tämän vuoksi usein kuulohavaintoa paremmin vastaavana melutasona $L$. Se saadaan yhtälöstä $$ L = 120 + 10 \lg (I), $$ missä $I$ on äänen intensiteetti. Melutason yksikkö on desibeli (dB).

Mikä on melutaso, jos äänen intensiteetti on

  1. noin $10^{-10} \text{ W/m}^2$ (kuiskaus)
  2. noin $10^{-6} \text{ W/m}^2$ (normaali keskustelu)
  3. noin $0{,}01 \text{ W/m}^2$ (konsertti)?
  4. Miten paljon kuiskauksen, normaalin keskustelun ja konsertin äänien intensiteetit eroavat toisistaan? Entä melutasot?

  1. Noin 20 dB.
  2. Noin 60 dB.
  3. Noin 100 dB.
  4. Normaalin keskustelun äänen intensiteetti on 10000-kertainen kuiskaukseen verrattuna ja konsertin äänen intensiteetti on samoin 10000-kertainen normaaliin keskusteluun verrattuna. Melutasojen erot ovat 40 dB.

Tässä kappaleessa tutkitaan logaritmien laskusääntöjä ja löydetään yhteys eri kantaisten logaritmifunktioiden välille.

Logaritmin määritelmän mukaan logaritmi $\log_k (a)$ on se luku $b$, jolla pätee $$ 2^b = a. $$ Koska logaritmi $\log_k (a)$ määritellään tällä tavalla tietynlaisena eksponenttina, saadaan logaritmien laskusäännöt johdettua potenssien laskusäännöistä. Potenssien laskusääntöjä opiskeltiin kurssissa MAY1, jossa ne koottiin teoreemaan 1. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, millaisia laskusääntöjä logaritmit noudattavat.

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku ja $a > 0$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan sieventää potenssin logaritmi $$ \log_k (a^s). $$

  1. Merkitään luvun $a$ logaritmia kirjaimella $r$ eli $$r = \log_k (a).$$ Millaisen eksponenttiyhtälön luku $r$ toteuttaa?
    Vinkki: logaritmin määritelmä.
  2. Korota a-kohdan eksponenttiyhtälön molemmat puolet potenssiin $s$ ja sievennä.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa potenssin potenssin laskusääntö MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Tutki b-kohdassa johtamaasi yhtälöä. Mikä on eksponenttiyhtälön $k^x = a^s$ ratkaisu? Toisin sanottuna, mitä on $\log_k (a^s)$?
    Vinkki: palauta tarvittaessa a-kohdasta mieleen, mitä kirjaimella $r$ merkittiin.

  1. $k^r = a$
  2. $a^s = \left(k^r\right)^s = k^{rs}$
  3. Eksponenttiyhtälön $k^x = a^s$ ratkaisu on b-kohdan perusteella $$x = rs = s\log_k (a).$$ Siis $$ \log_k a^s = s\log_k (a). $$

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku, $a > 0$ ja $b > 0$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan sieventää tulon logaritmi $$ \log_k (ab). $$

  1. Merkitään luvun $a$ logaritmia kirjaimella $r$ ja luvun $b$ logaritmia kirjaimella $s$. Siis $$r = \log_k (a) \text{ ja } s = \log_k (b).$$ Millaisen eksponenttiyhtälön luku $r$ toteuttaa? Entä luku $s$?
    Vinkki: logaritmin määritelmä.
  2. Kerro a-kohdan eksponenttiyhtälöiden vasemmat puolet keskenään ja oikeat puolet keskenään. Sievennä samankantaisten potenssien tulo.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa samankantaisen potenssien tulon sievennys MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Tutki b-kohdassa johtamaasi yhtälöä. Mikä on eksponenttiyhtälön $k^x = ab$ ratkaisu? Toisin sanottuna, mitä on $\log_k (ab)$?
    Vinkki: palauta tarvittaessa a-kohdasta mieleen, mitä kirjaimilla $r$ ja $s$ merkittiin.

  1. $k^r = a$ ja $k^s = b$
  2. $ab = k^r \cdot k^s = k^{r+s}$
  3. Eksponenttiyhtälön $k^x = ab$ ratkaisu on b-kohdan perusteella $$x = r+s = \log_k (a) + \log_k (b).$$ Siis $$ \log_k (ab) = \log_k (a) + \log_k (b). $$

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku, $a > 0$ ja $b > 0$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten voidaan sieventää osamäärän logaritmi $$ \log_k \left(\frac{a}{b}\right). $$

  1. Merkitään luvun $a$ logaritmia kirjaimella $r$ ja luvun $b$ logaritmia kirjaimella $s$. Siis $$r = \log_k (a) \text{ ja } s = \log_k (b).$$ Millaisen eksponenttiyhtälön luku $r$ toteuttaa? Entä luku $s$?
    Vinkki: logaritmin määritelmä.
  2. Jaa a-kohdan eksponenttiyhtälöiden vasemmat puolet keskenään ja oikeat puolet keskenään niin, että saat muodostettua osamäärän $\frac{a}{b}$. Sievennä samankantaisten potenssien osamäärä.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa samankantaisen potenssien osamäärän sievennys MAY1-kurssin teoreemasta 1.
  3. Tutki b-kohdassa johtamaasi yhtälöä. Mikä on eksponenttiyhtälön $$k^x = \frac{a}{b}$$ ratkaisu? Toisin sanottuna, mitä on $\log_k \left(\dfrac{a}{b}\right)$?
    Vinkki: palauta tarvittaessa a-kohdasta mieleen, mitä kirjaimilla $r$ ja $s$ merkittiin.

  1. $k^r = a$ ja $k^s = b$
  2. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{k^r}{k^s} = k^{r-s}$
  3. Eksponenttiyhtälön $$k^x = \frac{a}{b}$$ ratkaisu on b-kohdan perusteella $$x = r-s = \log_k (a) - \log_k (b).$$ Siis $$ \log_k \left(\frac{a}{b}\right) = \log_k (a) - \log_k (b). $$

Tehtävien 3.5-3.7 tuloksena saadut logaritmien laskusäännöt voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Seuraavat logaritmien laskusäännöt pätevät kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla $k \neq 1$, $a$ ja $b$ sekä kaikilla reaaliluvuilla $s$:

  1. Potenssin $a^s$ logaritmi on luvun $a$ logaritmi kerrottuna eksponentilla $s$: $$ \log_k (a^s) = s\log_k (a). $$
  2. Tulon $ab$ logaritmi on lukujen $a$ ja $b$ logaritmien summa: $$ \log_k (ab) = \log_k (a) + \log_k (b). $$
  3. Osamäärän $\frac{a}{b}$ logaritmi on lukujen $a$ ja $b$ logaritmien erotus: $$ \log_k \left(\frac{a}{b}\right) = \log_k (a) - \log_k (b). $$

Perustelu tehtävissä 3.5-3.7.

Määritä seuraavien logaritmilausekkeiden tarkka arvo ilman laskinta logaritmien laskusääntöjen avulla.

  1. $\log_3 (12) + \log_3 (15) - \log_3 (20)$
  2. $\lg (17) - \lg (170)$
  3. $\ln (3) - \ln (12) + \ln (4)$

  1. $\log_3 (9) = 2$
  2. $\lg (0{,}1) = -1$
  3. $\ln (1) = 0$

Logaritmien laskusääntöjen avulla voidaan tutkia suuria kokonaislukuja erityisesti siinä tapauksessa, että käytettävissä on vain perinteinen taskulaskin tai esimerkiksi kännykän laskin. Koska käytämme 10-kantaista lukujärjestelmää, on 10-kantainen logaritmi $\lg$ erityisen käyttökelpoinen suurien kokonaislukujen tutkimiseen. (Monissa laskimissa kymmenkantainen logaritmi saadaan nappulasta $\bbox[3px,border:2px solid black]{\phantom{ {}^I }\texttt{log}\phantom{ {}^I } }\,$.)

  1. Täydennä alla oleva taulukko. Mitä havaitset kokonaisluvun numeroiden määrästä verrattuna 10-kantaisen logaritmin arvoon?
    Vinkki: voit kirjoittaa kymmenpotenssimuodossa esitetyt luvut näkyviin tavallisessa muodossa ja laskea sitten niiden numeroiden määrän.
    Luku $a$ Logaritmi $\lg (a)$ Luvussa $a$ numeroita
    $10^2$
    $10^4$
    $3\cdot 10^5$
    $7\cdot 10^8$
    $2{,}5\cdot 10^9$
  2. Määritä kokonaisluvun $2^{123456}$ kymmenkantainen logaritmi potenssin logaritmisäännön avulla. Päättele, kuinka monta numeroa kokonaisluvussa $2^{123456}$ on.

  1. Kokonaisluvun numeroiden määrä on 10-kantaisen logaritmin arvoa seuraava kokonaisluku:
    Luku $a$ Logaritmi $\lg (a)$ Luvussa $a$ numeroita
    $10^2$ 2 3
    $10^4$ 4 5
    $3\cdot 10^5$ n. 5,5 6
    $7\cdot 10^8$ n. 8,8 9
    $2{,}5\cdot 10^9$ n. 9,4 10
  2. Potenssin logaritmisäännöllä saadaan \begin{align*} \lg (2^{123456}) &= 123456 \cdot \lg (2) \\ &\approx 37163{,}96, \end{align*} joten luvussa $2^{123456}$ on 37164 numeroa.

Päättele tulon logaritmisäännön avulla, kuinka paljon luvun 10-kantainen logaritmi kasvaa, jos luku itse

  1. kymmenkertaistuu
  2. tuhatkertaistuu
  3. miljoonakertaistuu.

Vinkki: tutki a-kohdassa, miten logaritmit $\lg (a)$ ja $\lg (10a)$ liittyvät toisiinsa.

  1. Kasvaa yhdellä: $\lg(10a) = \lg(a) + 1$.
  2. Kasvaa kolmella: $\lg(1000a) = \lg(a) + 3$.
  3. Kasvaa kuudella: $\lg(1000000a) = \lg(a) + 6$.

Logaritmien laskusääntöjä voidaan hyödyntää myös erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Niiden avulla eksponenttiyhtälöitä voidaan ratkaista käyttäen luonnollista logaritmia $\ln$ tai kymmenkantaista logaritmia $\lg$, jotka löytyvät useimmista laskimista.

Tehtävänä on ratkaista eksponenttiyhtälö $$ 4^x = 9 $$ logaritmin laskusääntöjen avulla.

  1. Ota yhtälön molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi $\ln$.
  2. Sievennä yhtälön vasen puoli toiseen muotoon potenssin logaritmin laskusäännön avulla.
  3. Ratkaise tuntematon $x$. Anna vastauksen tarkka arvo sekä likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $\ln (4^x) = \ln (9)$
  2. $x \ln (4) = \ln (9)$
  3. $x = \dfrac{\ln (9)}{\ln (4)} \approx 1{,}58$

Edellisen tehtävän menetelmällä saadaan yhteys myös luonnollisen logaritmin ja muiden logaritmifunktioiden välille, kuten seuraavassa tehtävässä havaitaan.

Oletetaan, että $a$ ja $k$ ovat positiivisia reaalilukuja ja $k \neq 1$. Tässä tehtävässä tutkitaan, miten logaritmit $\log_k (a)$ ja $\ln (a)$ liittyvät toisiinsa.

  1. Ilmaise eksponenttiyhtälön $k^x = a$ ratkaisu $k$-kantaisen logaritmin avulla.
  2. Ratkaise eksponenttiyhtälö $k^x = a$ luonnollisen logaritmin avulla samaan tapaan kuin tehtävässä 3.10.
  3. Millaisen yhtälön saat a- ja b-kohtien tuloksista?
  4. Päättele c-kohdan avulla, miten funktiot $g(x) = \log_k (x)$ ja $f(x) = \ln (x)$ liittyvät toisiinsa.

  1. $x = \log_k (a)$
  2. $x = \dfrac{\ln (a)}{\ln (k)}$
  3. $\log_k (a) = \dfrac{\ln (a)}{\ln (k)}$
  4. Funktio $g$ saadaan funktiosta $f$ vakiolla kertomalla: $$g(x) = \dfrac{\ln (x)}{\ln (k)} = \frac{1}{\ln (k)}\,f(x).$$

Tehtävän 3.11 tulos voidaan yleistää seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ ja $p \neq 1$ ovat positiivisia reaalilukuja. Näitä kantalukuja vastaavilla logaritmeilla on yhteys $$ \log_k (x) = \dfrac{\log_p (x)}{\log_p (k)}. $$

Perustelu samaan tapaan kuin tehtävässä 3.11 mutta käyttäen luonnollisen logaritmin sijaan $p$-kantaista logaritmia $\log_p$.

Tehtävänä on ilmaista funktio $$ f(x) = \log_8 (x) $$ 2-kantaisen logaritmin $\lb$ avulla.

  1. Vertaa tilannetta teoreemaan 11. Mikä tässä tilanteessa on kantaluku $k$? Entä kantaluku $p$?
  2. Päättele, mitä on $\log_p (k)$. Perustele vastauksesi logaritmin määritelmän avulla.
  3. Ilmaise funktio $f$ 2-kantaisen logaritmin $\lb$ avulla.

  1. $k = 8$ ja $p = 2$
  2. $\log_p (k) = \log_2 (8) = 3$, sillä $2^3 = 8$
  3. $f(x) = \dfrac{\lb (x)}{3}$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin logaritmifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun logaritmiyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $$f(x) = \ln (x)$$ saa arvon $1{,}5$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 1{,}5$$ eli yhtälöä $$\ln (x) = 1{,}5.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä logaritmifunktion $f(x) = \ln (x)$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 1{,}5$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat yhdessä kohdassa eli yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu $x \approx 4{,}5$. (Tähän päätelmään tarvitaan toki myös tieto siitä, että luonnollinen logaritmifunktio on aidosti kasvava eli saa aina vain suurempia arvoja muuttujan kasvaessa. Muuten kuvan ulkopuolella voisi olla lisää leikkauskohtia.)

Ratkaisun tarkan arvon selvittäminen ei onnistu pelkän piirroksen avulla vaan on turvauduttava logaritmin määritelmään. Luvun $a$ logaritmi tarkoittaa eksponenttia, johon kantaluku pitää korottaa luvun $a$ saamiseksi: $$ \log_k (a) = b, \ \text{ jos ja vain jos }\ k^b = a. $$ Yksinkertaiset logaritmiyhtälöt saadaan ratkaistua tämän tiedon avulla. Esimerkiksi yhtälön $\ln (x) = 1{,}5$ ratkaisuksi saadaan \begin{align*} \ln (x) &= 1{,}5 \\ e^{1{,}5} &= x \\ x &= e^{1{,}5} \approx 4{,}48. \end{align*}

Ratkaise yhtälö $$ \ln(2x-5) = 2 $$ logaritmin määritelmän avulla samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Tarkista vastauksen järkevyys piirtämällä samaan koordinaatistoon funktioiden $f(x) = \ln(2x - 5)$ ja $g(x) = 2$ kuvaajat esimerkiksi Geogebralla.

Yhtälö ratkeaa logaritmin määritelmän avulla: \begin{align*} \ln (2x-5) &= 2 \\ e^2 &= 2x - 5 \\ 2x-5 &= e^2\\ 2x &= e^2 + 5 \\[1mm] x &= \frac{e^2 + 5}{2}. \end{align*} Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$x = \dfrac{e^2 + 5}{2} \approx 6{,}19.$$ Kuvasta nähdään, että tulos on järkevä:

Monimutkaisempia logaritmiyhtälöiden ratkaisu onnistuu logaritmien laskusääntöjen avulla. Tällöin täytyy kuitenkin olla tarkkana sen suhteen, mikä on alkuperäisen yhtälön määrittelyjoukko. Muuten ratkaisujen joukkoon voi päästä livahtamaan valeratkaisuja samaan tapaan kuin juuriyhtälöissä. Kannattaa muistaa, että ratkaisut voi aina tarkistaa myös jälkikäteen sijoittamalla ne alkuperäiseen yhtälöön.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $$ \lg(x-6) + \lg(x+9) = 2. $$

  1. Päättele, millä ehdolla yhtälön vasen puoli on määritelty.
    Vinkki: tutki kummankin logaritmilausekkeet erikseen.
  2. Muokkaa yhtälön vasen puoli toiseen muotoon logaritmien laskusääntöjen avulla.
  3. Ratkaise yhtälö logaritmin määritelmän avulla. Karsi valeratkaisut pois a-kohdan määrittelyehdon avulla tai sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön.

  1. Yhtälön vasen puoli on määritelty, jos ja vain jos $x > 6$. (Tällöin toteutuvat molemmat ehdot $x > 6$ ja $x > -9$.)
  2. Logaritmien summa on tulon logaritmi: $$ \lg((x-6)(x+9)) = 2. $$
  3. Yhtälö ratkeaa logaritmin määritelmän avulla: \begin{align*} \lg((x-6)(x+9)) &= 2 \\ 10^2 &= (x-6)(x+9) \\ (x-6)(x+9) &= 100 \\ x^2 + 3x - 154 &= 0 \end{align*} Ratkaisuiksi saadaan $x_1 = 11$ ja $x_2 = -14$. Näistä määrittelyehdon toteuttaa vain $x_1$. Yhtälöllä on siis tasan yksi ratkaisu $x = 11$.

Joitakin logaritmiyhtälöitä voidaan ratkaista logaritmifunktioiden ominaisuuksien avulla. Tiedetään, että logaritmifunktio on aidosti kasvava, jos kantaluku $k > 1$, ja aidosti vähenevä, jos kantaluku $0 < k < 1$. Logaritmifunktio saa siis jokaisen arvonsa tasan yhdessä kohdassa. Esimerkiksi yhtälö $$ \ln(\textcolor{red}{x}) = \ln(\textcolor{blue}{2x - 1}) $$ toteutuu, jos ja vain jos $$ \textcolor{red}{x} = \textcolor{blue}{2x - 1} $$ eli $$x = 1.$$ Huomaa, että tämä ratkaisu toteuttaa yhtälön määrittelyehdon $x > 0{,}5$ eli kysymyksessä ei ole valeratkaisu.

Ratkaise yhtälö

  1. $\ln(3x - 4) = \ln(x+2)$
  2. $\lg(x^2 - 2) = \lg(6-x^2)$
  3. $\lb(x^2 - 9) = \lb(1-x^2)$

  1. $x = 3$
  2. $x = 2$ tai $x = -2$
  3. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
    (Valeratkaisut $x = \pm \sqrt{5}$ eivät toteuta yhtälön määrittelyehtoa.)

Logaritmiyhtälön ratkaisemisen taitoa tarvitaan monissa logaritmien käytännön sovelluksissa. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan maanjäristyksissä vapautuvaa energiaa.

Voimakkaissa maanjäristyksissä vapautuu lyhyessä ajassa suuri määrä maankuoren jännitteisiin patoutunutta energiaa. Maanjäristyksen voimakkuutta kuvataan nykyään momenttimagnitudiasteikolla aiemmin käytetyn Richterin asteikon sijaan. Maanjäristyksen momenttimagnitudi $M_W$ saadaan yhtälöstä $$ M_W = \frac{2}{3}(\lg (E) - 4{,}8). $$ Tässä $E$ on vapautuneen energian määrä jouleina (J).

Syyskuussa 2017 Meksikossa sattui kaksi voimakasta maanjäristystä. Ensimmäisen järistyksen keskus oli Chiapasissa ja sen voimakkuus momenttimagnitudiasteikolla oli 8,1. Toisen järistyksen keskus oli Puelbassa ja sen voimakkuus oli 7,1.

  1. Kuinka paljon energiaa vapautui Chiapasin maanjäristyksessä? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella sekä jouleina että megawattitunteina (MWh). Megawattitunti tarkoittaa 3,6 gigajoulea eli $1 \text{ MWh } = 3{,}6 \text{ GJ } = 3{,}6 \cdot 10^9 \text{ J}$.
  2. Loviisan ydinvoimalaitoksen 1. yksikkö tuottaa viikossa energiaa noin 12 000 MWh. Kuinka monessa viikossa voimalaitos tuottaa yhtä paljon energiaa kuin Chiapasin maanjäristyksessä vapautui?
  3. Kuinka monta prosenttia vähemmän energiaa vapautui Puelban maanjäristyksessä kuin Chiapasin maanjäristyksessä?

  1. Energiaa vapautui noin $8{,}9 \cdot 10^{16} \text{ J } \approx 2{,}5 \cdot 10^7 \text{ MWh}.$
    Vapautuneen energian määrä saadaan ratkaisemalla logaritmiyhtälö: \begin{align*} \lg (E) &= \frac{3}{2} \cdot 8{,}1 + 4{,}8 \\[1mm] \lg (E) &= 16{,}95 \\[1mm] E &= 10^{16{,}95} \approx 8{,}9 \cdot 10^{16} \text{ J.} \end{align*}
  2. Noin 2083 viikossa eli noin 40 vuodessa.
  3. Puelban maanjäristyksessä energiaa vapautui noin $2{,}8 \cdot 10^{15} \text{ J }$. Se on noin 97 % vähemmän kuin Chiapasin järistyksessä.

Tässä kappaleessa tutkitaan logaritmifunktioiden derivaattoja, erityisesti luonnollisen logaritmin derivaattafunktiota.

Kurssissa MAA6 opittiin, että derivaatan arvo on funktion kuvaajalle asetetun tangentin kulmakerroin.

Kun määritetään tällaisen tangentin kulmakerroin $k$ mahdollisimman monessa kohdassa $a$ ja pisteet $(a,k)$ merkitään koordinaatistoon, piirtyy näkyviin derivaattafunktion kuvaaja. Seuraavassa tehtävässä hahmotellaan luonnollisen logaritmin derivaattafunktion kuvaajaa tällä menetelmällä.

Tutki funktion $f(x) = \ln (x)$ derivaattaa tämän Geogebra-havainnollistuksen avulla. Päättele vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Miten oranssin pisteen $y$-koordinaatti ja tangentin kulmakerroin liittyvät toisiinsa?
  2. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvoa kasvatetaan? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  3. Mitä tangentin kulmakertoimelle tapahtuu, kun muuttujan $x$ arvo lähestyy nollaa? Miten tämä näkyy derivaattafunktion kuvaajassa?
  4. Mikä tuttu funktio saattaisi olla funktion $f(x) = \ln (x)$ derivaattafunktio? Tee arvaus derivaattafunktion kuvaajaan perustuen.

  1. Oranssin pisteen $y$-koordinaatti on samaan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Oranssi piste on siis derivaattafunktion kuvaajan piste.
  2. Tangentin kulmakerroin pienenee, mutta säilyy positiivisena. Derivaattafunktion kuvaaja lähestyy $x$-akselia.
  3. Tangentin kulmakerroin kasvaa nopeasti hyvin suureksi. Derivaattafunktion kuvaaja nousee hyvin korkealle ja lähestyy $y$-akselia.

On mahdollista osoittaa, että luonnollinen logaritmifunktio on derivoituva koko määrittelyjoukossaan $\pa 0, \infty \pe$. Edellisen tehtävän havainnollistuksessa tämä näkyy siitä, että kuvaajan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa yksikäsitteinen tangentti, joka ei ole pystysuora.

Seuraavassa teoreemassa johdetaan luonnollisen logaritmin derivaattafunktion lauseke. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Logaritmifunktio $f(x) = \ln (x)$ on derivoituva koko määrittelyjoukossaan $\pa 0, \infty \pe$ ja sen derivaattafunktio on $$ f'(x) = \frac{1}{x}. $$

Perustelu: Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan luvun $a > 0$ logaritmi tarkoittaa eksponenttia, johon Neperin luku pitää korottaa luvun $a$ saamiseksi: $$ e^{\ln (a)} = a. $$ Funktio $g(x) = x$, missä $x > 0$, voidaan tämän vuoksi kirjoittaa myös muodossa $g(x) = e^{\ln (x)}$. Derivaattafunktio $g'(x)$ voidaan näin muodostaa kahdella tavalla:

  1. Potenssifunktioiden derivointisäännön mukaan funktion $g(x) = x$ derivaattafunktio on $$g'(x) = 1.$$
  2. Yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan funktion $g(x) = e^{\ln (x)}$ derivaattafunktio on \begin{align*} g'(x) &= e^{\ln (x)} \cdot \mathop{\mathrm{D}} \ln (x) \\ &= x \cdot \mathop{\mathrm{D}} \ln (x). \end{align*}

Koska kysymyksessä on kuitenkin yksi ja sama funktio $g$, ovat eri tavoin muodostetut derivaattafunktiotkin sama funktio. Siis $$ x \cdot \mathop{\mathrm{D}} \ln (x) = 1. $$ Tästä yhtälöstä saadaan ratkaistua $$ \mathop{\mathrm{D}} \ln (x) = \frac{1}{x}. $$

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa yhdistetyn funktion derivointisääntö MAA7-kurssin teoreemasta 23.

  1. $f(x) = x^2 + \ln (x)$
  2. $g(x) = 4\ln (x)$
  3. $h(x) = \ln (4x)$

  1. $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$
  2. $g'(x) = 4\cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{x}$
  3. $h'(x) = \dfrac{1}{4x} \cdot 4 = \dfrac{1}{x}$

Kun luonnollisen logaritmifunktion derivaattafunktio nyt tunnetaan, voidaan entistä useampien funktioiden kulkua tutkia derivaatan avulla kuten MAA6-kurssilla opittiin. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Tutki, onko funktiolla $$ f(x) = x\ln (x) $$ suurinta tai pienintä arvoa. Jos kyseinen arvo on olemassa, mikä se on?

Funktiolla on pienin arvo $$ f\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e} $$ mutta ei suurinta arvoa.

Derivaattafunktiolla \begin{align*} f'(x) &= 1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \ln (x) + 1 \end{align*} on yksi nollakohta $x = e^{-1}$. Kulkukaavion perusteella päätellään, että funktio saa tässä kohdassa pienimmän arvonsa.

Tarkastellaan suorakulmiota, jonka yksi sivu on suoralla $y = 3$, toinen sivu on suoralla $x = 0$ ja yksi kärkipiste käyrällä $y = \ln (x)$ alla olevan kuvan tapaan. Tehtävänä on tutkia, mikä on tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala.

  1. Muodosta funktio, joka ilmaisee suorakulmion pinta-alan.
    Vinkki: Jos käyrällä $y = \ln (x)$ sijaitsevan kärkipisteen $x$-koordinaatti on $x = t$, mikä on sen $y$-koordinaatti? Entä mitä ovat muiden kärkipisteiden koordinaatit?
  2. Määritä a-kohdan funktion suurin arvo tai perustele, ettei sitä ole olemassa.

Jos käyrällä $y = \ln (x)$ sijaitsevan kärkipisteen koordinaatit ovat $(t, \ln (t))$. Suorakulmion pinta-ala saadaan funktiosta $$ A(t) = t(3-\ln (t)) = 3t - t\ln (t). $$

Derivaattafunktiolla \begin{align*} A'(t) &= 2 - \ln (t) \end{align*} on yksi nollakohta $t = e^2$. Kulkukaavion perusteella päätellään, että funktio saa tässä kohdassa suurimman arvonsa. Pinta-alan suurin arvo on $$ A(e^2) = e^2(3 - \ln (e^2)) = e^2. $$

Yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla pystytään derivoimaan erilaisia luonnollisesta logaritmifunktiosta yhdistettyjä funktioita. Joissain tilanteissa on mahdollista sieventää funktion lauseketta ennen derivointia logaritmin laskusääntöjen avulla.

Derivoi seuraavat funktiot. Kertaa tarvittaessa yhdistetyn funktion derivointisääntö MAA7-kurssin teoreemasta 23. Missä kohdissa voit sieventää funktion lauseketta ennen derivointia logaritmin laskusääntöjen avulla?

  1. $f(x) = \ln (x^2)$
  2. $g(x) = \ln (e^x + 1)$
  3. $h(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{x^2 + 1}\right)$

  1. $f'(x) = \dfrac{2}{x} \\$
    Huom. potenssin logaritmisäännön avulla funktion saa ennen derivointia muotoon $$f(x) = 2 \ln (x).$$
  2. $g'(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}\\$.
  3. $h'(x) = \dfrac{1 + 2x - x^2}{(x-1)(x^2 + 1)}\\$
    Huom. osamäärän logaritmisäännön avulla funktion saa ennen derivointia muotoon $$h(x) = \ln(x-1) - \ln(x^2 + 1).$$

Tehtävänä on selvittää, millä muuttujan arvoilla funktio $$ f(x) = \ln (x^2 - x - 2) $$ on aidosti kasvava.

  1. Mikä on funktion $f$ määrittelyjoukko?
    Kertaa tarvittaessa toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen MAA2-kurssista.
  2. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
  3. Määritä derivaattafunktion nollakohdat ja laadi funktion $f$ kulkukaavio. Millä muuttujan arvoilla funktio $f$ on aidosti kasvava?
    Vinkki: Muista huomioida kulkukaaviossa myös funktion $f$ määrittelyjoukko.

  1. Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. $f'(x) = \dfrac{2x-1}{x^2-x-2}$
  3. Derivaattafunktiolla on yksi nollakohta $x = \frac{1}{2}$.
    Kulkukaavio:

    Funktio $f$ on siis aidosti kasvava, jos ja vain jos $x > 2$.

Luonnollisen logaritmin derivaattafunktion avulla saadaan johdettua derivaattafunktiot myös niille logaritmifunktioille, joiden kantaluku ei ole Neperin luku. Tämä onnistuu, kun logaritmifunktion kantaluku vaihdetaan teoreeman 11 mukaisesti.

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Tehtävänä on määrittää logaritmifunktion $f(x) = \log_k (x)$ derivaattafunktio.

  1. Ilmaise funktio $f$ luonnollisen logaritmin avulla teoreemaa 11 soveltaen.
    Vinkki: mieti ensin, mikä luku vastaa tässä tilanteessa teoreeman 11 kantalukua $p$.
  2. Määritä derivaattafunktio $f'(x)$.
    Vinkki: a-kohdan lauseke ja MAA6-kurssin teoreema 9.

  1. $f(x) = \dfrac{1}{\ln (k)} \cdot \ln (x)$
  2. $f(x) = \dfrac{1}{\ln (k)} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x\ln (k)}$

Tehtävän 3.21 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Oletetaan, että $k \neq 1$ on positiivinen reaaliluku. Logaritmifunktio $f(x) = \log_k (x)$ on kaikkialla derivoituva ja sen derivaattafunktio on $$ f'(x) = \frac{1}{x \ln (k)}. $$

Perustelu tehtävässä 3.21.

Tässä tehtävässä harjoitellaan teoreeman 13 soveltamista.

  1. Määritä funktion $g(x) = \lg (x)$ kasvunopeus kohdassa $x = 6$. Anna vastauksen likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Määritä funktion $h(x) = \lb (x)$ kuvaajalle kohtaan $x = 8$ asetetun tangentin yhtälö.

Vinkki: erityisten logaritmifunktioiden määritelmät löytyvät tämän luvun alkupuolelta kappaleesta "Logaritmifunktiot".

  1. $g'(x) = \dfrac{1}{6\cdot \ln (10)} \approx 0{,}072$.
  2. Tangentin yhtälö on $$ y = \frac{1}{8\ln (2)}\cdot x + 3 - \frac{1}{\ln (2)} $$ (Tangentin sivuamispiste on $(8,3)$ ja kulmakerroin $h'(8)$.)

Logaritmifunktiot

Päättele seuraavat logaritmifunktioiden arvot. Sovella tarvittessa potenssien laskusääntöjä. Murtopotenssin määritelmän voit kerrata juurifunktioiden derivaattoja käsittelevästä kappaleesta.

  1. $\log_3(81)$
  2. $\log_6\left(\dfrac{1}{36}\right)$
  3. $\lg\left(0{,}001\right)$
  4. $\log_5\left(\sqrt[6]{25}\right)$
  5. $\log_2\left(\dfrac{16}{\sqrt[3]{4}}\right)$

  1. $\log_3(81) = 4$
  2. $\log_6\left(\dfrac{1}{36}\right) = -2$
  3. $\lg\left(0{,}001\right) = -3$
  4. $\log_5\left(\sqrt[6]{25}\right) = \log_5\left(5^\frac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$
  5. $\log_2\left(\dfrac{16}{\sqrt[3]{4}}\right) = \log_2\left(2^\frac{10}{3}\right) = \dfrac{10}{3}$

Logaritmifunktiot

Liuoksen happamuutta kuvaava pH lasketaan kaavalla $$ \text{pH } = -\lg[\text{H}_3\text{O}^+], $$ missä $[\text{H}_3\text{O}^+]$ on liuoksen oksoniumionikonsentraatio (yksikkönä mol/dm3).

  1. Mikä on liuoksen pH, jos sen oksoniumionikonsentraatio on $1{,}3 \cdot 10^{-4}$ mol/dm3?
  2. Veren pH on terveellä ihmisellä noin 7,4. Mikä on veren oksoniumionikonsentraatio?

  1. \begin{align*} \text{pH } &= -\lg(1{,}3 \cdot 10^{-4}) \\ &\approx 3{,}9. \end{align*}
  2. \begin{align*} [\text{H}_3\text{O}^+] &= 10^{-7{,}4} \\ &\approx 4{,}0 \cdot 10^{-8} \text{ mol/dm}^3. \end{align*}

Logaritmifunktiot

Oletetaan, että $k > 0$ ja $k \neq 1$. Päättele funktion $f(x) = \log_k(x)$ arvo kohdassa

  1. $x = k^8$
  2. $x = k$
  3. $x = 1$
  4. $x = \dfrac{1}{k}$
  5. $x = k^{-3}$

  1. $f(k^8) = \log_k(k^8) = 8$
  2. $f(k) = \log_k(k) = 1$
  3. $f(1) = \log_k(1) = 0$
  4. $f\left(\dfrac{1}{k}\right) = \log_k\left(\dfrac{1}{k}\right) = -1$
  5. $f(k^{-3}) = \log_k(k^{-3}) = -3$

Logaritmifunktiot

Missä kohdassa eli millä muuttujan $x$ arvolla funktio $f(x) = \lg(x)$ saa arvon

  1. $3$
  2. $5$
  3. $9$
  4. $0$
  5. $-1$
  6. $-\dfrac{1}{2}$?

Kohdassa

  1. $x = 10^3 = 1\,000$
  2. $x = 10^5 = 100\,000$
  3. $x = 10^9 = 1\,000\,000\,000$
  4. $x = 10^0 = 1$
  5. $x = 10^{-1} = 0{,}1$
  6. $x = 10^{-\frac{1}{2} } = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$

Logaritmifunktiot

Tehtävässä 3.4 tutkittiin äänen intensiteetin $I$ ja melutason $L$ yhteyttä. Äänen intensiteetin yksikkö on W/m$^2$ (wattia neliömetriä kohti), melutason yksikkön on puolestaan desibeli (dB). Intensiteetti ja melutaso liittyvät toisiinsa yhtälön $$ L = 120 + 10 \lg (I) $$ kautta. Melutason yksikkö on valittu niin, että kuulokynnys (pienin melutaso, jonka ihmiskorva yleensä kuulee) on noin 0 dB.

  1. Mikä on kuulokynnystä vastaavan äänen intensiteetti?
  2. Lentokentän ympäristön lentomelualueella tarkoitetaan aluetta, jossa lentokoneiden äänen melutaso on yli 55 dB. Mikä on tätä rajaa vastaavan äänen intensiteetti?

  1. $I = 10^{-12} \text{ W/m}^2$
  2. $I = 3{,}2 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2$

Logaritmeilla laskeminen

Arvioiden mukaan auton arvo alenee ensimmäisten vuosien aikana 10 % vuodessa, jos autolla ajetaan vuosittain noin 15000-20000 km. Kuinka monen vuoden kuluttua auton arvosta on jäljellä alle puolet alkuperäisestä?
Vinkki: merkitse auton alkuperäistä hintaa jollakin kirjaimella.

Noin 7 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö $$ 0{,}9^x = 0{,}5. $$ Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}9)} \approx 7. $$

Logaritmeilla laskeminen

Ydinkokeessa muodostui radioaktiivista ainetta strontium-90, jonka puoliintumisaika on 28 vuotta. Ydinkokeen jälkeen räjäytyspaikan strontiumpitoisuuden todetiin olevan noin satakertainen verrattuna vaarattomana pidettyyn määrään. Kuinka pitkän ajan kuluttua strontiumpitoisuus alittaa jälleen turvallisena pidetyn rajan?

Noin 186 vuoden kuluttua.

Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{28}} \cdot 100a = a, $$ missä $a$ on vaarattomana pidetty strontiumpitoisuus. Ratkaisu on $$ t = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \cdot 28 \approx 186{,}0. $$

Logaritmeilla laskeminen

Termospulloon kaadetun kuuman juoman lämpötilan celsiusasteina $t$ tunnin kuluttua ilmaisee funktio $$ T(t) = 20 + 80\cdot 2^{-0{,}086t}. $$

  1. Missä ajassa lämpötila laskee 80 asteeseen?
  2. Kuinka kauan kestää vielä tämän jälkeen siihen, että lämpötila on 60 astetta?

  1. Noin 4,83 tunnissa eli 4 tunnissa 50 minuutissa.
  2. Noin 6,80 tuntia eli noin 6 tuntia 50 minuuttia.
    Huom. juoman jäähtyminen 60-asteiseksi kestää yhteensä 11,63 tuntia ja tulos saadaan, kun tästä vähennetään a-kohdan tulos.

Logaritmeilla laskeminen

Erään kunnan väkiluku kasvoi viiden vuoden aikana 2,0 % vuosittain.

  1. Kuinka monta prosenttia kunnan väkiluku kasvoi tämän viiden vuoden aikana?
  2. Jos kasvu jatkuisi samanlaisena, kuinka monessa vuodessa kunnan väkiluku kaksinkertaistuisi?

  1. Väkiluku kasvoi noin 10,4 %, sillä $1{,}02^5 \approx 1{,}104$.
  2. Väkiluku kaksinkertaistuisi 35 vuodessa.
    Vastaus saadaan esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö $$ 1{,}02^x \cdot a = 2a, $$ missä $a$ on kunnan alkuperäinen väkiluku. Ratkaisu on $$ x = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)} \approx 35{,}0. $$

Digitaalisten sovellusten ansiosta binäärilogaritmin $\mathop{\mathrm{lb}} x = \log_2 (x)$ käyttö on yleistynyt.

  1. Ratkaise yhtälö $$\mathop{\mathrm{lb}}(x + 1) - \mathop{\mathrm{lb}}(4x) = 1.$$
  2. Millä arvoilla $n = 1, 2, 3, \ldots$ on voimassa $2 \leq \mathop{\mathrm{lb}} (n) \leq 3$?

[Pitkä S2016/3]

  1. $x = \dfrac{1}{7}$
  2. Koska $\mathop{\mathrm{lb}} (4) = 2$ ja $\mathop{\mathrm{lb}} (8) = 3$, niin epäyhtälön toteuttavat arvot $4 \leq n \leq 8$.

Yhtälö $x = g(x)$ voidaan usein ratkaista kiintopistemenetelmän avulla. Tällöin tehdään alkuarvaus $x_0$ ja määritellään lukujono $(x_n)$ käyttämällä palautuskaavaa $$x_{n+1} = g(x_n),$$ kun $n = 0$, $1$, $2$, $3, \ldots$
Anna seuraavien kohtien vastauksina lukujen $x_{10}$ likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella.

  1. Ratkaise yhtälö $$x = 2 + ln x$$ kiintopistemenetelmän avulla, kun alkuarvauksena on $x_0 = 1$.
  2. Kohdan (a) yhtälöllä on toinenkin ratkaisu. Muokkaa yhtälö eksponenttifunktion avulla toisenlaiseen kiintopistemenetelmässä käytettävään muotoon ja ratkaise se alkuarvauksella $x_0 = 1$.

[Pitkä S2016/10]

  1. $x_{10} = 3{,}146140\ldots \approx 3{,}146$.
  2. Yhtälö on $$e^{x-2} = x$$ ja sen ratkaisun likiarvoksi saadaan $x_{10} = 0{,}158594 \approx 0{,}159$.

  1. Millä muuttujan $x$ arvoilla lauseke $\ln(\sin x)$ on määritelty? Muuttuja $x$ on ilmaistu radiaaneina.
  2. Määritä kaksidesimaaliset likiarvot yhtälön $$\left|\ln(\sin x)\right| = 2$$ kaikille ratkaisuille välillä $0 < x < 10$.

[Pitkä K2015/7]

  1. Lauseke on määritelty, jos ja vain jos $n \cdot 2\pi < x < \pi + n \cdot 2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku.
  2. Ratkaisujen likiarvot ovat $x_1 \approx 0{,}14$, $x_2 \approx 3{,}01$, $x_3 \approx 6{,}42$ ja $x_4 \approx 9{,}29$.

  1. Sievennä lauseke $$ \ln\left(\frac{1}{3x^2}\right) + \ln (3) + 2\ln (x), $$ kun $x > 0$.
  2. Sievennä lauseke $$ \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \ln \left(\frac{e^x}{x}\right) + \ln (2) $$

[Pitkä S2014/2c & S2012/2c]

  1. $0$
  2. $x$

Millä muuttujan $x$ arvolla jono $$\ln (2), \,\ln(2^x - 2), \,\ln(2^x + 2)$$ on aritmeettinen?
Vinkki: kertaa aritmeettisen jonon määritelmä kurssista MAY1.
[Pitkä K2013/11]

$x = \dfrac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Määritä funktion $$ f(x) = \frac{\ln (x)}{x} $$ suurin arvo, kun $x > 0$.
[Pitkä K2012/5]

Suurin arvo on $$ f(e) = \frac{1}{e}. $$

Erään mallin (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) mukaan saarella pesivien lintulajien lukumäärä $n$ riippuu saaren pinta-alasta $A$ likimain kaavan $n = kA^b$ mukaisesti, missä $k$ ja $b$ ovat saaresta riippumattomia positiivisia vakioita.

  1. Havaintojen perusteella kahdella Kanariansaarella on saatu seuraavat arvot:
    Alegranza: $n_1 = 20$ ja $A_1 = 10{,}2 \text{ km}^2$,
    Roque del Oeste: $n_2 = 6$ ja $A_2 = 0{,}0158 \text{ km}^2$.
    Määritä näiden tietojen perusteella vakiot $k$ ja $b$ kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
  2. Arvioi mallin avulla La Palman saarella $(A = 708 \text{ km}^2)$ pesivien lintulajien lukumäärää.

[Pitkä S2012/7]

  1. Havainnoista saadaan yhtälöt \begin{align*} k \cdot 10{,}2^b &= 20 \\ k \cdot 0{,}0158^b &= 6. \end{align*} Kun yhtälöiden kummastakin puolesta otetaan logaritmi ja sovelletaan logaritmien laskusääntöjä, saadaan \begin{align*} \ln(k) + b\ln(10{,}2) &= \ln(20) \\ \ln(k) + b\ln(0{,}0158) &= \ln(6). \end{align*} Kun yhtälöt vähennetään toisistaan, saadaan ratkaistua $b$: $$ b = \frac{\ln(20) - \ln(6)}{\ln(10{,}2) - \ln(0{,}0158)} \approx 0{,}186. $$ Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $$ k = \frac{20}{10{,}2^b} \approx 13{,}0. $$
  2. Palman lintulajien määrä on $n = k \cdot 708^b \approx 44$.

  1. Ratkaise yhtälö $$ \lg x + \lg(x + 30) = 3, $$ missä $\lg$ on 10-kantainen logaritmi.
  2. Tutki, onko funktio $$ f(x) = \ln(x+1) - \ln x, \quad x > 0, $$ monotoninen.

[Pitkä K2009/5]

  1. $x = 20$
  2. Derivaattafunktio sievenee muotoon $$ f'(x) = -\frac{1}{x(x+1)}. $$ Oletuksen mukaan $x > 0$, ja tällöin derivaattafunktion arvo on negatiivinen. Funktio $f$ on siis aidosti vähenevä määrittelyjoukossaan.

  1. Sievennä lauseke $$ \ln\left(\frac{x}{2}\right) + \ln(2) $$
  2. Ratkaise yhtälö $$ \ln(x + 1) - \ln(x - 1) = \ln 4 + \ln 2. $$

[Pitkä K2012/2c & S2011/3a]

  1. $\ln x$
  2. Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 1$. Muokataan yhtälöä logaritmin ominaisuuksien avulla: \begin{align*} \ln(x + 1) - \ln(x - 1) &= \ln 4 + \ln 2 \\[2mm] \ln\left(\frac{x + 1}{x-1}\right) &= \ln 8 \\[2mm] \frac{x + 1}{x-1} &= 8 \\[1mm] x + 1 &= 8x - 8 \\[2mm] x &= \frac{9}{7} \end{align*} Ratkaisu toteuttaa yhtälön määrittelyehdon, joten se on todella yhtälön ratkaisu.

  1. Minkä luvun 2-kantainen logaritmi on 5?
  2. Ratkaise yhtälö $$ 5^{5x-5} = 125. $$

[Pitkä K2010/2c & K2008/2b]

  1. $2^5 = 32$
  2. $x = \dfrac{8}{5}$

Olkoon $$ f(x) = \frac{x}{\ln x}. $$ Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $f$ on määritelty? Millä väleillä funktio on kasvava ja millä vähenevä? Mitä arvoja funktio ei saa?
[Pitkä S2007/9]

Funktio on määritelty, kun nimittäjä on määritelty ja nollasta poikkeava. Siis funktio on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$ ja $x \neq 1$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2} $$ on yksi nollakohta $x = e$. Lisäksi se ei ole määritelty kohdassa $x = 1$. Laatimalla kulkukaavio huomataan, että funktio $f$ on vähenevä väleillä $\pa 0,1\pe$ ja $\pa 1, e\pe$ ja kasvava välillä $\pa e, \infty\pe$.

Funktio ei saa arvoja väliltä $[0,e\pe$. Jos $0 < x < 1$, funktion arvot ovat negatiivisia. Välillä $\pa 1, \infty\pe$ funktion pienin arvo on $f(e) = e$.

Osoita, että yhtälöllä $$ x - 2\ln x = 0 $$ ei ole reaalijuuria.
[Pitkä S2005/11]

Yhtälö on määritelty, jos ja vain jos $x > 0$. Merkitään $$ f(x) = x - 2\ln x. $$ Funktion $f$ derivaatan avulla saadaan selville, että funktion $f$ pienin arvo on $$ f(2) = 2 - 2\ln 2 > 0. $$ Yhtälöllä $f(x) = 0$ ei siis ole ratkaisuja.

Etsi funktion $$ f(x) = \ln(x^3-x) $$ määrittelyalue ja ääriarvot.
[S2004/6]

Funktio $f$ on määritelty, jos ja vain jos $-1 < x < 0$ tai $x > 1$. Derivaattafunktiolla on määrittelyalueessa yksi nollakohta $$ x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. $$ Kulkukaaviosta nähdään, että tämä on maksimikohta. Funktio saa siinä maksimiarvon $$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ln\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right). $$

Piirrä funktion $$ f(x) = \left| \ln \left| x-2 \right| \right| $$ kuvaaja. Millä väleillä funktio kasvaa ja millä se vähenee? Esitä funktio kullakin välillä siten, että lausekkeissa ei esiinny itseisarvoja. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio saa pienimmän arvonsa?
[Pitkä S2003/10]

Ilman itseisarvoja: $$ f(x) = \begin{cases} \ln(2-x) &\text{ jos $x < 1$} \\ -\ln(2-x) &\text{ jos $1 \leq x < 2$} \\ -\ln(x-2) &\text{ jos $2 < x \leq 3$} \\ \ln(x-2) &\text{ jos $x > 3$} \\ \end{cases} $$ Itseisarvojen vuoksi funktion arvo on aina epänegatiivinen. Pienimmän arvonsa nolla se saa kohdissa $x = 1$ ja $x = 3$.

Funktio voidaan derivoida, kun itseisarvoista on päästy eroon. Derivaattafunktion avulla nähdään, että funktio on aidosti kasvava väleillä $[1, 2\pe$ ja $[3, \infty\pe$ ja aidosti vähenevä väleillä $\pa -\infty, 1]$ ja $\pa 2, 3]$.

Määritä raja-arvo $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\ln(4x + 3) - \ln(3x+4)\right). $$ [Pitkä S2012/13]

Koska tutkitaan lausekkeen raja-arvoa muuttujan arvon kasvaessa rajatta, voidaan olettaa, että $x > 0$. Logaritmin laskusääntöjen nojalla \begin{align*} \ln(4x + 3) &- \ln(3x+4) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4x + 3}{3x + 4}\right) \\[2mm] &= \ln\left(\frac{4 + \frac{3}{x} }{3 + \frac{4}{x} }\right) \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \ln\left(\frac{4 + 0}{3 + 0}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right). \end{align*}

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.