Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA9 - Integraalilaskenta

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Integraali

Tämän luvun tavoitteena on, että ... Osaat

Kursseissa MAA6-MAA8 on opiskeltu derivaatan käsitteeseen liittyvää matematiikkaa. Tiedetään, että funktion derivaatan arvo on kyseiseen kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin:
Tällä kurssilla tutustutaan funktion integraalin käsitteeseen. Se kuvaa funktion kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävää pinta-alaa:

Yllä olevasta kuvasta voidaan päätellä ruutuja laskemalla, että funktion $f$ intergaali yli välin $[1,3]$ on suurempi kuin 5,5 mutta kuitenkin pienempi kuin 6. Käyttämällä pienempiä ruutuja saadaan parempi arvio:

Värillisiä pikkuruutuja on yhteensä noin 23 kappaletta. Yhden pienen ruudun pinta-ala on neljäsosa isosta ruudusta eli 0,25. Integraalille saadaan näin likiarvo $$ \int_1^3 f(x) \textrm{d}x \approx 23 \cdot 0{,}25 \approx 5{,}8. $$

Päättele alla olevan kuvan avulla, mikä on funktion $f$

  1. integraali yli välin $[2,4]$ eli $\displaystyle \int_2^4 f(x) \textrm{d}x$
  2. integraali yli välin $[-1,2]$ eli $\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \textrm{d}x$.

  1. $\displaystyle \int_2^4 f(x) \textrm{d}x = 8$
  2. $\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \textrm{d}x = 4{,}5$

Jos funktion kuvaaja kulkee $x$-akselin alapuolella, integraalin arvo on negatiivinen. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että $$ \int_1^4 f(x) \textrm{d}x = -\left(3 + \dfrac{3}{2}\right) = -4{,}5. $$

Päättele alla olevan kuvan avulla seuraavien integraalien arvo:

  1. $\displaystyle \int_{0}^6 g(x) \textrm{d}x$
  2. $\displaystyle \int_{1}^5 g(x) \textrm{d}x$

Vinkki: jaa alue sopiviksi kolmioiksi ja laske niiden pinta-alat.

  1. $\displaystyle \int_{0}^6 f(x) \textrm{d}x = 2{,}25$.

    Huomaa, että yhtä suuret pinta-alat $A_3$ ja $A_4$ kumoavat toisensa, koska toinen on $x$-akselin yläpuolella ja toinen alapuolella. Integraalin arvo on siten $$ A_2 - A_1 = \dfrac{2 \cdot 3}{2} - \dfrac{1 \cdot 1{,}5}{2} = 3 - 0{,}75 = 2{,}25. $$
  2. $\displaystyle \int_{5}^6 g(x) \textrm{d}x \approx -1$

    Integraalin arvo on $$ A_2 + A_3 - A_5 = \dfrac{2 \cdot 3}{2} + \dfrac{1{,}5\cdot 3}{2} - \dfrac{0{,}5 \cdot 1}{2} = 3 + 2{,}25 - 0{,}25 = 5 $$

Alla oleva kuvaaja kuvaa sähkönkulutusta Suomessa melko tyypillisenä arkipäivänä. Kuvaajasta voidaan lukea sähkönkulutuksen hetkellisiä arvoja. Esimerkiksi klo 7 aamulla hetkellinen sähkönkulutus on ollut noin 10 GWh tunnissa ja klo 16 hetkellinen kulutus on ollut noin 9,5 GWh tunnissa.

Tietyllä aikavälillä kulutetun sähköenergian määrä saadaan graafisen integroinnin avulla. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta saadaan laskettua arvio klo 5-9 kulutetun sähköenergian määrälle:

Pylväiden korkeudeksi on valittu hetkellinen kulutus aina puolen tunnin kohdalla. Sinisten pylväiden yhteenlasketuksi pinta-alaksi saadaan
Tämä kertoo, mikä kokonaiskulutus olisi, jos kulutus pysyisi samana aina tunnin kerrallaan. Kun sinisten pylväiden pinta-alaa verrataan kuvaajan alle jäävään pinta-alaan, havaitaan, että nämä ovat suunnilleen yhtä suuret. Tarkempaan arvioon päästäisiin käyttämällä kapeampia pylväitä, jolloin pylväiden pinta-ala olisi vielä lähempänä kuvaajan alle jäävää pinta-alaa.

Tavaratalon asiakasvirta aukioloajan funktiona noudattaa likimain alla olevaa kuvaajaa.

  1. Tavaratalo aukeaa klo 9.00. Kuinka monta asiakasta on tullut tavarataloon puoleen päivään mennessä?
    Vinkki: voit arvioida asiakasmäärän kertymää pylväiden avulla samaan tapaan kuin sähkönkulusta käsittelevässä esimerkissä tehtiin.
  2. Tavaratalo sulkee ovensa klo 19.00. Kuinka monta asiakasta käy tavaratalossa sen aukioloaikana?

  1. Asiakasmäärän kertymä klo 9-12 on noin 150 asiakasta. Pylväiden korkeudeksi on valittu hetkellinen asiakasvirta aina puolen tunnin kohdalla. Pylväiden yhteenlasketuksi pinta-alaksi saadaan silmämääräisesti arvioiden
  2. Tavaratalossa käy sen aukioloaikana noin 670 asiakasta.

    Kohdan (a) vastauksesta voidaan päätellä, että klo 9-12 ja klo 16-19 tavaratalossa käy 145 + 145 = 290 asiakasta. Klo 12-14 tavaratalossa käy
    Kuvaajan symmetrisyydestä voidaan päätellä, että saman verran käy myös klo 14-16.

Alla olevasta kuvaajasta voidaan lukea paikallisjunan hetkellinen nopeus. Vaaka-akselilla on lähtöhetkestä kulunut aika.

  1. Mikä on junan huippunopeus?
  2. Kuinka pitkän ajan juna kulkee vakionopeudella?
  3. Kuinka pitkän matkan juna kulkee vakionopeudella?
    Vinkki: Ole tarkkana, että käytät laskuissa samaa ajan yksikköä sekä nopeuden että ajan ilmaisemiseen. Kuinka suuri osa tunnista on yksi minuutti?
  4. Kuinka pitkän matkan juna kulkee matkan ensimmäisen minuutin aikana?
  5. Kuinka kaukana lähtöpaikasta ensimmäinen väliasema on?

  1. Junan huippunopeus on 60 km/h.
  2. Juna kulkee vakionopeudella 2,5 minuuttia.
  3. Juna kulkee vakionopeudella matkan $$ 60 \dfrac{\text{km} }{\text{h} } \cdot \dfrac{2{,}5}{60} \text{ h} = 2{,}5 \text{ km.} $$
    Huomaa, että yksi minuutti on 1/60 tuntia. Sinisen suorakulmion leveys on 2,5 minuuttia eli 2,5/60 tuntia.
  4. Juna kulkee ensimmäisen minuutin aikana noin 330 metriä.

    Kuvaajan ja vaaka-akselin väliin jää $$ \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 3 + 2 = 4 $$ ruutua. Yhden ruudun korkeus on 10 km/h ja leveys 0,5 min eli 0,5/60 h. Juna kulkee siis matkan $$ 4 \cdot 10 \dfrac{\text{km} }{\text{h} } \cdot \dfrac{0{,}5}{60} \text{ h} = \dfrac{1}{3} \text{ km}. $$
  5. Ensimmäinen asema on 4 km päässä lähtöpaikasta.

    Nopeuden kuvaajasta nähdään, että juna pysähtyy, kun lähdöstä on kulunut 5 minuuttia. Kuvaajan alle jää yhteensä 48 kokonaista ruutua, mikä vastaa $$ 48 \cdot 10 \dfrac{\text{km} }{\text{h} } \cdot \dfrac{0{,}5}{60} \text{ h} = 4 \text{ km}. $$

Edellä on tutkittu funktion kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävää pinta-alaa. Esimerkiksi vakiofunktion $f(x) = 1{,}5$ integraali yli välin $[0, 2]$ on alla olevan kuvan mukaan $$ \int_0^2 f(x) \textrm{d}x = 3. $$
Miten integraalin arvo muuttuu, jos integroimisvälin toista päätepistettä muutetaan? Onko mahdollista löytää funktio $F(b)$, joka ilmaisisi suoraan funktion $f(x) = 1{,}5$ ja $x$-akselin rajoittaman pinta-alan välillä $[0,b]$?

Seuraavassa tehtävässä etsitään tällainen funktio, jolla pätee $$ F(b) = \int_0^b f(x) \textrm{d}x. $$

Jatketaan vakiofunktion $f(x) = 1{,}5$ kuvaajan ja $x$-akselin välisen pinta-alan tutkimista. Tässä Geogebra-havainnollistuksessa voit liukusäätimen avulla muuttaa integroimisvälin ylärajaa $b$.

  1. Kun muutat integroimisvälin ylärajaa liukusäätimellä, näkyviin piirtyy toinenkin kuvaaja. Miten sen pisteet liittyvät funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliseen pinta-alaan?
  2. Näkyviin ilmestynyt kuvaaja on funktion $f(x) = 1{,}5$ erään integraalifunktion $F(x)$ kuvaaja. Muodosta lauseke funktiolle $F(x)$.
  3. Derivoi funktio $F(x)$. Miten tulos liittyy alkuperäiseen funktioon $f$?

  1. Näkyviin piirtyvän kuvaajan pisteen $x$-koordinaatti on integroimisvälin yläraja. Pisteen $y$-koordinaatti ilmaisee pinta-alan eli integraalin arvon.
  2. Integraalifunktio on $F(x) = 1{,}5x$.
  3. Integraalifunktion derivaatta on $F'(x) = 1{,}5$. Integraalifunktion derivaatta on siis sama kuin alkuperäinen funktio $f(x) = 1{,}5$.

Edellisestä tehtävästä voidaan havaita, että kun integroimisväliä kasvatetaan, kasvaa vakiofunktion integraalin arvo tasaisesti. Ensimmäisen asteen polynomifunktion kohdalla tilanne on toinen. Kun integroimisväliä kasvatetaan, kuvaajan alle jäävä pinta-ala kasvaa nopeammin ja nopeammin:

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, millaiselle funktiolle $G$ pätee $$ G(b) = \int_0^b 0{,}5x \textrm{ d}x. $$

Tutkitaan funktion $g(x) = 0{,}5x$ kuvaajan ja $x$-akselin välistä pinta-alaa. Tässä Geogebra-havainnollistuksessa voit liukusäätimen avulla muuttaa integroimisvälin ylärajaa $b$.

  1. Kun muutat integroimisvälin ylärajaa liukusäätimellä, näkyviin piirtyy toinenkin kuvaaja. Miten sen pisteet liittyvät funktion $g$ kuvaajan ja $x$-akselin väliseen pinta-alaan?

  2. Näkyviin ilmestynyt kuvaaja on funktion $g(x) = 0{,}5x$ erään integraalifunktion $G(x)$ kuvaaja. Muodosta lauseke funktiolle $G(x)$.

    Vinkki: Voit päätellä kuvaajan muodosta, minkä tyyppinen funktio $G$ on. Sen jälkeen voit tutkia, millaisia arvoja se saa kohdissa $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ ja niin edelleen. Tällä tavalla voit päätellä, millaisia kertoimia ja vakioita funktion $G$ lausekkeessa esiintyy.

  3. Derivoi funktio $G(x)$. Miten tulos liittyy alkuperäiseen funktioon $g$?

  1. Näkyviin piirtyvän kuvaajan pisteen $x$-koordinaatti on integroimisvälin yläraja. Pisteen $y$-koordinaatti ilmaisee pinta-alan eli integraalin arvon.
  2. Integraalifunktio on $G(x) = 0{,}25x^2$.
  3. Integraalifunktion derivaatta on $G'(x) = 0{,}5x$. Integraalifunktion derivaatta on siis sama kuin alkuperäinen funktio $g(x) = 0{,}5x$.

Tässä luvussa olemme tutustuneet integraalin käsitteeseen pääasiassa graafisesti tutkimalla funktion kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävää pinta-alaa. Seuraavassa luvussa määrittelemme integraalifunktion käsitteen derivaatan avulla. Kolmannessa luvussa perehdymme tarkemmin siihen, miten integraalin avulla voidaan laskea erilaisia pinta-aloja ja tilavuuksia.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.