Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAA9 - Integraalilaskenta

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

Integraalifunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että ... Osaat

Edellisen luvun lopussa tutustuimme integraalifunktion käsitteeseen. Tehtävissä 1.5-1.6 havaittiin, että integraalifunktion derivaatta oli sama kuin alkuperäinen funktio. Tämä havainto otetaan integraalifunktion täsmälliseksi määritelmäksi.

MÄÄRITELMÄ: INTEGRAALIFUNKTIO

Funktion $f$ integraalifunktio tarkoittaa funktiota $F$, jolle pätee $$ F'(x) = f(x) $$

Funktion $f$ integraalifunktioita ovat siis määritelmän mukaan kaikki sellaiset funktiot, joiden derivaatta on sama kuin alkuperäinen funktio $f$.

Tutki derivoimalla, mikä seuraavista funktioista ovat funktion $f(x) = 2x + 3$ integraalifunktioita.

  1. $F(x) = x^2 + 3x + 4$
  2. $G(x) = x^2 + 3x - 5$
  3. $H(x) = x^3 + 3x^2$

  1. Funktio $F$ on funktion $f$ integraalifunktio, sillä $$ F'(x) = 2x + 3 = f(x). $$
  2. Funktio $G$ on funktion $f$ integraalifunktio, sillä $$ G'(x) = 2x + 3 = f(x). $$
  3. Funktio $H$ ei ole funktion $f$ integraalifunktio. Nimittäin derivaatta $$ H'(x) = 3x^2 + 6x $$ näyttää erilaiselta kuin funktio $f$. Lisäksi esimerkiksi $H'(1) = 9$ ja $f(1) = 5$, joten voidaan olla täysin varmoja, että $$ H' \neq f. $$

Kuten edellisestä tehtävästä huomataan, funktiolla on yleensä useampi kuin yksi integraalifunktio.

Keksi funktiolle $f(x) = 4x^3 + 1$

  1. jokin integraalifunktio $F(x)$
  2. integraalifunktio $G(x)$, jolla $G(0) = 1$
  3. integraalifunktio $H(x)$, jolla $H(0) = -2$.

Tarkista derivoimalla, että keksimäsi funktiot todella ovat funktion $f$ integraalifunktioita. Piirrä sen jälkeen kaikkien kolmen integraalifunktion kuvaajat samaan koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla. Miten integraalifunktiot eroavat toisistaan?

  1. Esimerkiksi funktio $F(x) = x^4 + x$ on funktion $f$ integraalifunktio, sillä $$ F'(x) = 4x^3 + 1 = f(x). $$
  2. Sopiva funktio on $G(x) = x^4 + x + 1$, sillä $$ G'(x) = 4x^3 + 1 = f(x) $$ ja $G(0) = 0^4 + 0 + 1 = 1$.
  3. Sopiva funktio on $H(x) = x^4 + x - 2$, sillä $$ H'(x) = 4x^3 + 1 = f(x) $$ ja $H(0) = 0^4 + 0 - 2 = -2$.

Integraalifunktiot eroavat toisistaan vain vakiolla, joten ne sijaitsevat koordinaatistossa eri korkeudella mutta ovat muuten saman muotoisia.

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että integraalifunktiot erosivat toisistaan vakiotermin osalta. Seuraava lause osoittaa, että tämä pätee yleisesti kaikilla sellaisilla funktioilla, joiden määrittelyjoukko on jokin lukusuoran väli (tai koko lukusuora).

TEOREEMA

Oletetaan, että funktion $f$ määrittelyjoukko on väli. Oletetaan, että $F$ on funktion $f$ integraalifunktio. Tällöin

  • funktion $f$ integraalifunktioita ovat kaikki funktiot $G(x) = F(x) + C$, missä $C$ on vakio
  • funktiolla $f$ ei ole muita integraalifunktioita kuin edellä mainitut.

Perustelu:

  • Oletetaan, että $C$ on vakio. Derivoidaan funktio $G(x) = F(x) + C$: $$ G'(x) = F'(x) + 0 = f(x). $$ Tuloksena on funktio $f$, joten $G$ on funktion $f$ integraalifunktio.
    Tässä käytettiin tietoa, että vakion $C$ derivaatta on nolla, ja tietoa, että $F$ on funktion $f$ integraalifunktio ja siten $F'(x) = f(x)$.
  • Oletetaan, että myös $H$ on funktion $f$ integraalifunktio. Tällöin $H'(x) = f(x)$. Tutkitaan integraalifunktioiden erotuksen $H(x)-F(x)$ derivaattaa: \begin{align*} \mathop{\mathrm{D}} (H(x) - F(x)) &= H'(x) - F'(x) \\ &= f(x) - f(x) = 0. \end{align*} Koska funktion $H(x) - F(x)$ derivaatta on nolla koko määrittelyvälillä, MAA6-kurssin teoreeman 10 mukaan se on vakiofunktio. Siis on olemassa vakio $C$, jolla $H(x) - F(x) = C$ eli $$ H(x) = F(x) + C. $$ Tästä voidaan päätellä, että mikä tahansa funktion $f$ integraalifunktio on muotoa $F(x) + \text{vakio}$.

Funktion kaikki integraalifunktiot saadaan siis teoreeman 1 mukaan selville, kun löydetään yksi integraalifunktio. Esimerkiksi funktion $$ f(x) = x^2 + 5 $$ yksi integraalifunktio on $$ F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + 5x, $$ sillä $$ F'(x) = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + 5 = x^2 + 5 = f(x). $$ Funktion $f$ kaikki integraalifunktiot ovat siis muotoa $$ \int f(x) \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3}x^3 + 5x + C, $$ missä $C$ on vakio.

Määritä funktion $f$ kaikki integraalifunktiot eli määritä $$ \int f(x) \,\mathrm{d}x $$ jos

  1. $f(x) = 8x$
  2. $f(x) = \cos x$
  3. $f(x) = 6x^2$

Tarkista derivoimalla, että löysit oikeat integraalifunktiot ja korjaa tarvittaessa.

  1. $\displaystyle \int 8x \,\mathrm{d}x = 4x^2 + C$, sillä $$\mathop{\mathrm{D}} (4x^2 + C) = 4 \cdot 2x + 0 = 8x.$$
  2. $\displaystyle \int \cos x \,\mathrm{d}x = \sin x + C$, sillä $$\mathop{\mathrm{D}} (\sin x + C) = \cos x + 0 = \cos x.$$
  3. $\displaystyle \int 6x^2 \,\mathrm{d}x = 2x^3 + C$, sillä $$\mathop{\mathrm{D}} (2x^3 + C) = 2 \cdot 3x^2 + 0 = 6x^2.$$

Merkintä $$ \int f(x) \,\mathrm{d}x $$ tarkoittaa siis funktion $f$ kaikkia integraalifunktioita. Se voidaan lukea "integraali $f(x) \,\mathrm{d}x$". Merkinnällä $\mathrm{d}x$ ilmaistaan, mikä on muuttujakirjain, jonka suhteen integroidaan. Tieto on tarpeen erityisesti, jos integroitavan funktion lausekkeessa on useita kirjaimia. Esimerkiksi $$ \int 2ax \,\mathrm{d}x = ax^2 + C $$ mutta $$ \int 2ax \,\mathrm{d}a = a^2x + C. $$

Kun integraalifunktioita etsitään, tärkeintä on muistaa, että derivoimalla voi aina tarkistaa, onko löytynyt oikea integraalifunktio. Derivointisääntöjen hyvä hallitseminen helpottaa integroimista huomattavasti. Seuraavissa kappaleissa muodostetaan erilaisia integroimissääntöjä vastaavien derivointisääntöjen avulla.

Tässä kappaleessa opitaan integroimaan potenssi- ja polynomifunktioita. Samalla kerrataan vastaavia derivointisääntöjä. Aloitetaan tarkastelemalla vakiofunktioita.

Tässä tehtävässä kehitetään sääntö, jonka avulla löydetään vakiofunktioiden integraalifunktiot.

  1. Kerrataan aluksi derivointisääntöjä. Kopioi seuraava taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat derivaatat:
    Funktio Derivaattafunktio
    $F(x) = 1 \,$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
  2. Integraalifunktiota etsittäessä haetaan funktiota, josta saadaan derivoimalla alkuperäinen funktio. Kopioi seuraava taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat integraalit.
    Vinkki: muista teoreema 1.
    Integraalifunktiot Funktio
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = 0$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = 1$
  3. Muodosta integroimissääntö nollafunktiolle $f(x) = 0$.
  4. Muodosta integroimissääntö vakiofunktiolle $f(x) = 1$.

  1. Taulukko:
    Funktio Derivaattafunktio
    $F(x) = 1\,$ $F'(x) = 0$
    $F(x) = x\phantom{^2}$ $F'(x) = 1$
  2. Taulukko:
    Integraalifunktiot Funktio
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = C$ $f(x) = 0$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = x + C$ $f(x) = 1$
  3. Nollafunktion integraalifunktiot ovat kaikki mahdolliset vakiofunktiot: $$ \int 0 \,\mathrm{d}x = C $$ missä $C$ on reaaliluku. Huomaa, että taulukon perusteella voisi ajatella, että integraalifunktiot ovat muotoa $$ \int 0 \,\mathrm{d}x = 1 + C. $$ Nämäkin ovat vakiofunktioita ja kun tässä $C$ käy läpi kaikki reaalilukuarvot, saadaan kaikki mahdolliset vakiofunktiot. Tämän vuoksi voidaan käyttää yksinkertaistettua merkintää $$ \int 0 \,\mathrm{d}x = C. $$
  4. Vakiofunktion $f(x) = 1$ integraalifunktiot ovat $$ \int 1 \,\mathrm{d}x = x + C. $$

Tehtävän 2.4 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Nollafunktion $f(x) = 0$ integraalifunktiot ovat vakiofunktiot $$ \int 0 \,\mathrm{d}x = C $$ missä $C$ on reaaliluku.

Vakiofunktion $f(x) = 1$ integraalifunktiot ovat ensimmäisen asteen polynomifunktioita: $$ \int 1 \,\mathrm{d}x = x + C. $$

Perustelu tehtävässä 2.4.

Seuraavassa tehtävässä tarkastellaan potenssifunktioita. Kertaa tarvittaessa niiden derivoiminen MAA6-kurssin teoreemasta 7.

Tässä tehtävässä kehitetään sääntö, jonka avulla löydetään potenssifunktioiden integraalifunktiot.

  1. Kopioi seuraava taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat derivaatat:
    Funktio Derivaattafunktio
    $F(x) = 1\,$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x\phantom{^2}$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x^2$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x^3$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x^4$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x^5$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
    $F(x) = x^n$ $F'(x) = \hspace{2cm}$
  2. Integraalifunktiota etsittäessä haetaan funktiota, josta saadaan derivoimalla alkuperäinen funktio. Kopioi seuraava taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat integraalit.
    Vinkki: hyödynnä a-kohdan taulukkoa keksimällä funktioille sopivat kertoimet.
    Integraalifunktiot Funktio
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = 0$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = 1$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = x$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = x^2$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = x^3$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = x^4$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \hspace{2cm}$ $f(x) = x^n$
  3. Selitä omin sanoin, miten potenssifunktiolle $f(x) = x^n$ löydetään integraalifunktio.

  1. Taulukko:
    Funktio Derivaattafunktio
    $F(x) = 1\,$ $F'(x) = 0$
    $F(x) = x\phantom{^2}$ $F'(x) = 1$
    $F(x) = x^2$ $F'(x) = 2x$
    $F(x) = x^3$ $F'(x) = 3x^2$
    $F(x) = x^4$ $F'(x) = 4x^3$
    $F(x) = x^5$ $F'(x) = 5x^4$
    $F(x) = x^n$ $F'(x) = nx^{n-1}$
  2. Taulukko:
    Integraalifunktiot Funktio
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = C$ $f(x) = 0$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = x + C$ $f(x) = 1$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + C$ $f(x) = x$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3 + C$ $f(x) = x^2$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^4 + C$ $f(x) = x^3$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{5}x^5 + C$ $f(x) = x^4$
    $\int f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ $f(x) = x^n$

Edellisen tehtävän pohjalta voidaan tehdä seuraavat havainnot:

  1. Kun potenssifunktiota derivoidaan, eksponentti pienenee yhdellä. Kun potenssifunktiota integroidaan, eksponentti kasvaa yhdellä.
  2. Kun potenssifunktiota derivoidaan, vanha eksponentti putoaa kertoimeksi muuttujan eteen. Kun potenssifunktiota integroidaan, pitää muuttujan eteen lisätä sopiva kerroin, joka kumoaa derivoinnissa ilmestyvän kertoimen.

Potenssifunktioiden derivointisäännön avulla saadaan perusteltua seuraava yleinen potenssifunktioiden integrointisääntö. Sen avulla voidaan integroida myös kaikki juurifunktiot, sillä ne voidaan ilmaista ensin murtopotensseina ja integroida sen jälkeen.

TEOREEMA

Oletetaan, että $r$ on rationaaliluku ja $r \neq -1$. Potenssifunktion $f(x) = x^r$ integraalifunktiot ovat $$ \int x^r\, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{r+1}x^{r+1} + C $$ missä $C$ on vakio.

Perustelu: MAA8-kurssin teoreeman 4 mukaan

Potenssifunktion integraalifunktiot löydetään siis kasvattamalla eksponenttia yhdellä ja kertomalla lauseke uuden eksponentin käänteisluvulla. Jos alkuperäinen eksponentti on murtoluku, kannattaa ensin laskea uusi eksponentti. Tarvittava kerroin saadaan sen käänteislukuna. Esimerkiksi jos määritetään $$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}} \mathrm{d}x, $$ muutetaan integroitava funktion ensin potenssimuotoon: $$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}} \mathrm{d}x = \int x^{-\frac{5}{2}} \mathrm{d}x. $$ Uusi eksponentti on $$ r + 1 = -\frac{5}{2} + 1 = -\frac{3}{2}. $$ Sen käänteisluku on $$ \dfrac{1}{r+1} = -\frac{2}{3}. $$ Etsityt integraalifunktiot ovat siis $$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}} \mathrm{d}x = -\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}} + C = \dfrac{-2}{3x\sqrt{x}} + C. $$

Määritä seuraavat integraalifunktiot. Kirjoita integroitava funktio ensin potenssimerkinnän avulla ja sovella sen jälkeen teoreemaa 2.

  1. $\displaystyle \int x^{16} \,\mathrm{d}x$
  2. $\displaystyle \int \frac{1}{x^8} \,\mathrm{d}x$
  3. $\displaystyle \int \sqrt{x} \,\mathrm{d}x$

  1. $\displaystyle \int x^{16} \,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{17}x^{17} + C$
  2. $\displaystyle \int x^{-8} \,\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{7}x^{-7} + C$
  3. $\displaystyle \int x^{\frac{1}{2} } \,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2} } + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

Kurssissa MAA6 näytettiin, että funktioiden summan derivaatta on funktioiden derivaattojen summa, ja että vakiolla kerrotun funktion derivaatta on funktion derivaatta kerrottuna samalla vakiolla. Seuraavissa tehtävissä johdetaan vastaavat tulokset myös integraaleille.

Oletetaan, että funktiolla $f$ on integraalifunktio $F$ ja funktiolla $g$ on integraalifunktio $G$. Tehtävänä on löytää summafunktion $f + g$ integraalifunktio ja perustella vastaus oikeaksi.

  1. Mitä oletuksen nojalla voit päätellä funktion $F$ derivaatasta? Entä funktion $G$ derivaatasta?
  2. Keksi ehdotus summafunktion $f + g$ integraalifunktioksi. Miten voit osoittaa, että ehdotuksesi todella on oikea integraalifunktio? Selitä omin sanoin.
  3. Perustele, että b-kohdassa keksimäsi funktio on summafunktion $f + g$ integraalifunktio. Samalla saat itsekin varmistuksen siitä, että keksit sopivan funktion.

  1. Oletuksen nojalla $F'(x) = f(x)$ ja $G'(x) = g(x)$.
  2. Summafunktion $f + g$ integraalifunktio lienee integraalifunktioiden summa $F + G$. Perusteluna pitäisi näyttää, että funktion $F + G$ derivaatta on $f + g$. Toisin sanottuna pitäisi näyttää, että $$ \mathop{\mathrm{D} } (F(x) + G(x)) = f(x) + g(x). $$
  3. Käytetään summan derivointisääntöä ja a-kohdassa mainittuja oletuksia, jolloin saadaan \begin{align*} \mathop{\mathrm{D} }(F(x) + G(x)) &= F'(x) + G'(x) \\[1mm] &= f(x) + g(x). \end{align*} Siis summafunktion $f + g$ integraalifunktio on integraalifunktioiden summa $F + G$.

Oletetaan, että funktiolla $f$ on integraalifunktio $F$. Tehtävänä on löytää vakiolla kerrotun funktion $kf$ integraalifunktio ja perustella vastaus oikeaksi.

  1. Mitä oletuksen nojalla voit päätellä funktion $F$ derivaatasta?
  2. Keksi ehdotus vakiolla kerrotun funktion $kf$ integraalifunktioksi. Miten voit osoittaa, että ehdotuksesi todella on oikea integraalifunktio? Selitä omin sanoin.
  3. Perustele, että b-kohdassa keksimäsi funktio on vakiolla kerrotun funktion $kf$ integraalifunktio. Samalla saat itsekin varmistuksen siitä, että keksit sopivan funktion.

  1. Oletuksen nojalla $F'(x) = f(x)$.
  2. Vakiolla kerrotun funktion $kf$ integraalifunktio lienee integraalifunktio kerrottuna samalla vakiolla eli $kF$. Perusteluna pitäisi näyttää, että sen derivaatta on $kf$. Toisin sanottuna pitäisi näyttää, että $$ \mathop{\mathrm{D} } kF(x) = kf(x). $$
  3. Käytetään vakiolla kerrotun funktion derivointisääntöä ja a-kohdassa mainittuja oletuksia, jolloin saadaan $$ \mathop{\mathrm{D} }kF(x) = kF'(x) = kf(x). $$ Siis vakiolla kerrotun funktion $kf$ integraalifunktio on integraalifunktio kerrottuna samalla vakiolla eli $kF$.

Tehtävien 2.7-2.8 tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Summafunktion $f + g$ integraali on funktioiden integraalien summa:
Vakiolla kerrotun funktion integraali on funktion integraali kerrottuna vakiolla: $$ \int kf(x)\, \mathrm{d}x = k\int f(x)\, \mathrm{d}x. $$

Perustelu: tehtävissä 2.7-2.8.

Teoreeman 3 nojalla voidaan vakiolla kerrottujen potenssifunktioiden summat integroida termeittäin ja vakiokertoimet säilyvät integraalien edessä. Esimerkiksi
Tällä tavalla saadaan integroitua muun muassa kaikki polynomifunktiot.

Määritä seuraavat integraalifunktiot:

  1. $\displaystyle \int \left(2x^3 - 5x + 6\right) \mathrm{d}x$
  2. $\displaystyle \int \left(72x^8 + \dfrac{30}{7}x^5\right) \mathrm{d}x$
  3. $\displaystyle \int \left(\dfrac{16}{3}x^{11} - \dfrac{14}{5}x^{20}\right) \mathrm{d}x$

  1. Integroidaan termeittäin:
  2. Integroidaan termeittäin:
  3. Integroidaan termeittäin:

Tässä luvussa johdettujen integrointisääntöjen avulla voidaan nyt integroida kaikki sellaiset funktiot, jotka ovat vakiolla kerrottujen potenssifunktioiden summia.

Määritä seuraavat integraalifunktiot:

  1. $\displaystyle \int \left(15x^4 + \dfrac{x}{4} + \dfrac{5}{x^2}\right) \mathrm{d}x$
  2. $\displaystyle \int \left(\dfrac{8}{\sqrt{x} } - \dfrac{6}{x\sqrt{x} }\right) \mathrm{d}x$
  3. $\displaystyle \int \left(\dfrac{3}{7x^4} - \dfrac{6}{x^3}\right) \mathrm{d}x$

  1. Ilmaistaan integroitava funktio vakiolla kerrottujen potenssifunktioiden summana ja integroidaan:
  2. Ilmaistaan integroitava funktio vakiolla kerrottujen potenssifunktioiden summana ja integroidaan:
  3. Ilmaistaan integroitava funktio vakiolla kerrottujen potenssifunktioiden summana ja integroidaan:

Monet tulomuodossa esitetyt funktiot saadaan integroitua edellä johdettujen sääntöjen avulla, kun sulut aluksi kerrotaan auki. Esimerkiksi
Myös osa murtofunktioista saadaan integroitua, kun jakolasku ensin suoritetaan termeittäin. Esimerkiksi

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.