Määrätty integraali
Luvun tavoitteet
Tämän luvun tavoitteena on, että ... Osaat
Määrätyn integraalin ominaisuuksia
Pinta-ala
Tilavuus
TEHTÄVÄSARJA II
TEHTÄVÄSARJA III
Laske integraalit
- ${\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{1}{3+x} \mathrm{d}x}$
- ${\displaystyle \int_{-1}^1 e^{2\left|x\right|} \mathrm{d}x}$
[Pitkä S2018/3]
Vastaus
- $\ln 2$
- $e^2 - 1$
Weibullin $(\lambda,k)$-jakauman avulla voidaan kuvata mm. maantiepölyn hiukkasten kokoa. Tutkitaan tapausta $\lambda = 1$, jolloin jakauman tiheysfunktio määritellään kaavalla $$ w(t,k) = kt^{k-1}e^{-t^k} $$ kun $t \geq 0$ ja $k > 0$. Weibullin kertymäfunktio määritellään kaavalla $$ W(x,k) = \int_0^x w(t,k) \mathrm{d}t. $$
- Määritä ${\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k)}$ vakion $k$ eri arvoilla.
- Määritä kertymäfunktion $W(x,k)$ lauseke, kun $x \geq 0$.
[Pitkä S2018/9]
Vastaus
- Jos $k = 1$, \begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k) &= \lim_{t \rightarrow 0+} e^{-t} = 1 \end{align*} Jos $0 < k < 1$, \begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k) &= \lim_{t \rightarrow 0+} kt^{k-1}e^{-t^k} = \infty \end{align*} Jos $k > 1$, \begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k) &= \lim_{t \rightarrow 0+} kt^{k-1}e^{-t^k} = 0 \end{align*}
- $W(x,k) = 1 - e^{-x^k}$, kun $x \geq 0$.
Olkoon $f(x)$ funktio, joka on määritelty välillä $0 \leq x \leq 12$. Alla on esitetty funktion $$ F(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t $$ kuvaaja välillä $0 \leq x \leq 12$. Arvioi kuvaajan perusteella
- määrättyä integraalia ${\displaystyle \int_1^4 f(t)\,\mathrm{d}t$
- millä väleillä funktion $f(x)$ on vakio
- millä väleillä funktio $f(x)$ on aidosti vähenevä.
[Pitkä S2017/13]
Vastaus
- ${\displaystyle \int_1^4 f(t)\,\mathrm{d}t = F(4) - F(1) = 1 - (-1) = 2$
- Jos integraalifunktio on vakio, funktio $f(x)$ on nollafunktio (sen ja $x$-akselin väliin ei kerry pinta-alaa). Jos integraalifunktio on nouseva suora, funktio $f(x)$ on positiivinen vakiofunktio (sen ja $x$-akselin välinen pinta-ala kasvaa tasaisesti). Näin voidaan päätellä, että funktio $f(x)$ on vakio väleillä $[2,3]$ ja $[3; 4{,}5]$ ja $[10,12]$.
- Integraalifunktion kuvaajalta voidaan lukea funktion $f(x)$ ja $x$-akselin väliin jäävä pinta-ala kohdasta $0$ eteenpäin. Sen avulla voidaan luonnostella funktion $f(x)$ kuvaajaa:
Kuvaajasta nähdään, että funktion $f(x)$ on aidosti vähenevä suunnilleen välillä $[6{,}2; 8{,}8]$.
Tarkastellaan funktiota $f(x) = \left| x - 1 \right| + 1$.
- Funktion lauseke voidaan sieventää välillä $0 \leq x \leq 1$ niin, ettei siinä esiinny itseisarvoa. Mikä on tämä sievennetty lauseke?
- Funktion $f$ kuvaaja pyörähtää $x$-akselin ympäri välillä $0 \leq x \leq 2$. Laske näin muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus.
[Pitkä K2017/5]
Vastaus
- $f(x) = 2-x$
- Tilavuus on $\dfrac{14\pi}{3}$.
Tarkastellaan funktiota $$f(x) = \int_0^x \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t,$$ kun $0 \leq x \leq 2\pi$.
- Perustele geometrisesti kaava $f(2\pi) = 2f(\pi)$.
- Laske $f(x)$, kun $0 \leq x \leq 2\pi$.
[Pitkä K2016/12]
Vastaus
- Sinifunktion kuvaajan symmetrisyyden vuoksi $$ \int_\pi^\2pi \sin t \,\mathrm{d}t = -\int_0^\pi \sin t \,\mathrm{d}t. $$ Tästä seuraa, että $$ \int_\pi^\2pi \left|\sin t \right|\,\mathrm{d}t = \int_0^\pi \left|\sin t \right| \,\mathrm{d}t. $$ Tällöin \begin{align*} f(2\pi) &= \int_0^{2\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t + \int_{\pi}^{2\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t \\ &= 2 \cdot \int_0^{\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t \\ &= 2f(\pi) \end{align*}
- Tarkastellaan erikseen tapaukset $0 \leq x \leq \pi$ ja $\pi \leq x \leq 2\pi$. Saadaan $$ f(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, &\ 0 \leq x \leq \pi;\\ 3 + \cos x, &\ \pi \leq x \leq 2\pi. $$
Olkoon $a > 0$. Funktion $f(x) = a\sqrt{x}$ kuvaaja $y = f(x)$ pyörähtää $x$-akselin ympäri välillä $[0,1]$, jolloin syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus on $2\pi$. Määritä tämän pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala kaavalla $$ A = 2\pi \int_0^1\left|f(x)\right|\sqrt{1 + f'(x)^2}\mathrm{d}x. $$ [Pitkä K2015/10]
Vastaus
Kysytty vaipan ala on $$ \dfrac{8\pi}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right) \approx 15{,}3. $$ Vakiolle saadaan arvo $a = 2$ eli $f(x) = 2\sqrt{x}$.
Käyrä $y = \sin x$, missä $-\pi \leq x \leq \pi$, pyörähtää $x$-akselin ympäri. Laske näin syntyvän tiimalasia muistuttavan kappaleen tilavuuden tarkka arvo.
[Pitkä S2014/5]
Vastaus
Kysytty tilavuus on $$ 2\pi \int_0^\pi \sin^2 x\, \mathrm{d}x = \pi^2 \approx 9{,}87. $$
- Käyrät $$ y = 6x^2 + 3x^4 + \dfrac{1}{x} $$ ja $y = 3x^4$ sekä suorat $x = 1$ ja $x = 2$ rajaavat tasoalueen. Laske sen pinta-alan likiarvon kahden desimaalin tarkkuudella.
[Pitkä K2014/3a & ]
Vastaus
Juustoa myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa. Lieriön korkeus on $h$ ja sen pohjan säde on $r$. Juusto leikataan ensin pystysuorassa suunnassa kahteen yhtä suureen osaan. Toisesta puolikkaasta leikataan vinosti kuvion osoittama pienempi pala, jonka korkeus on $h$. Laske tämän juustopalan tilavuus integroimalla.
[Pitkä K2014/10]
Vastaus
Itsearviointitehtävät
Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.