Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAY1 - Luvut ja lukujonot

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

MAY1 - Luvut ja yhtälöt

Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Sillä on merkittävä tai ratkaiseva rooli muun muassa tieteissä, teknologiassa, taloudessa, yrittäjyydessä, terveydenhuollossa ja turvallisuudessa. Matematiikan opiskelun tehtävänä on tutustuttaa sinut matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa sinua käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen, ilmiöiden mallintamisen ja ongelmien ratkaisemisen taitojasi.

Syksystä 2016 lukion matematiikan opiskelu alkaa pitkän ja lyhyen oppimäärän yhteisellä moduulilla. Matematiikan yhteinen moduuli avaa näköaloja matematiikan moninaiseen merkitykseen ihmiselle ja yhteiskunnalle sekä sen ainutlaatuiseen ja kiehtovaan olemukseen tieteenalana. Tässä moduulissa sinulla on tilaisuus vahvistaa pohjaa matematiikan opinnoillesi ja nähdä matematiikka hyödyllisenä ja käyttökelpoisena selitettäessä ja hallittaessa muun muassa yhteiskunnan, talouden ja luonnon tapahtumia ja tilanteita.

Moduulin tavoitteena on, että

  • kertaat prosenttilaskennan periaatteet
  • osaat käyttää verrannollisuutta ongelmanratkaisussa
  • syvennät murtolukujen laskutoimitusten osaamistasi
  • kertaat potenssin laskusäännöt
  • vahvistat ymmärrystäsi funktion käsitteestä
  • ymmärrät yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemisen periaatteet
  • opit käyttämään ohjelmistoja funktion kuvaajan piirtämisessä, havainnoinnissa ja yhtälöiden ratkaisemisessa.

Keskeiset sisällöt

  • lukujoukot ja peruslaskutoimitukset
  • luvun vastaluku, käänteisluku ja itseisarvo
  • prosenttilaskenta
  • potenssin laskusäännöt (eksponenttina kokonaisluku)
  • suoraan ja kääntäen verrannollisuus
  • funktio, kuvaajan piirto ja kuvaajan tulkinta
  • ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen
  • yhtälöpari
  • neliö- ja kuutiojuuri
  • potenssifunktio ja potenssiyhtälö (asteluvut 2 ja 3)

Kurssimateriaali on jaettu viiteen lukuun: Luvut ja laskutoimitukset, Potenssi, Funktiot ja yhtälöt, Yhtälöpari ja verrannollisuus sekä Prosenttilaskenta.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Näin ollen se on kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Olet opiskellut matematiikkaa koko perusopetuksen ajan, joten nyt lukion matematiikan opiskelun alussa on hyvä hetki pohtia, miksi sitä opiskellaan. Oletkin saattanut pohtia sitä ystäväsi, opettajasi tai vanhempiesi kanssa. Kysymys on saattanut liittyä johonkin tiettyyn matematiikan tunneilla käsiteltyyn aiheeseen tai koko oppiaineeseen. En tiedä, mihin johtopäätökseen mahdollisesti tulit, mutta kuten hyvät kysymykset usein ovat, niihin voi olla vaikeaa vastata.

Voidaan tokki sanoa, että matematiikkaa opiskellaan, jotta sitä voitaisiin soveltaa jossakin ilmeisessä arkisessa toiminnassa kuten kaupankäynnissä, tilastojen tekemisessä tai fysikaalisten ilmiöiden mallintamisessa. Voidaan myös sanoa, että jotakin tiettyä matematiikan aihetta opiskellaan, koska sitä mahdollisesti tarvitaan tulevissa opinnoissa. Haastavaksi vastaamisen tekee se, että matematiikka sisältyy niin erottumattomana osana meidän yhteiskuntaamme ja kulttuuriimme, että emme aina oikein edes huomaa, miten sitä hyödynnetään ympärillämme. Eläimet eivät tarvitse matematiikkaa selvitäkseen hengissä, joten välttämätöntä ihmiskunnan selviämiselle matematiikka ei ole, mutta nykyisenkaltaiselle yhteiskunnalle matematiikka on elintärkeätä.

Tarkastellaan esimerkiksi lukuja. Tähtiteteen professori Tapani Markkanen on todennut, että

"lukukäsitteen synty on sekä ihmislajin että yksilön kannalta mullistavimpia edistysaskeleita."

Pohdi parin kanssa, minkälainen ihmiskunta olisi, jos se ei osaisi käsitellä lukumääriä luvuilla. Voisimmeko äänestää? Tietäisimmekö ikämme?

Edellisen tehtävän pohdinnan kautta ehkä huomaat, että matematiikkaa lukujen muodossa on ihmisten luomassa yhteiskunnassa kaikkialla. Vaikka päällisin puolin luvut vaikuttavatkin melko yksinkertaiselta ihmismielen keksinnöltä, niin matematiikan kehitys on vuosituhansien saatossa on puskenut ymmärrystämme lukujen moninaisuudesta eteenpäin.

Kokonaisluvut ovat hyviä lukumäärien laskemiseen, mutta kun halutaan verrata esimerkiksi lukumääriä toisiinsa, huomataan, etteivät ne pelkästään riitä. Esimerkiksi kuinka moninkertaisesti Ronaldo (35) teki maaleja verrattuna Messiin (26) La Ligassa kaudella 2015-2016? Tämän ratkaisemiseen tarvitaan matemaattisia keksintöjä, laskutoimituksia, ja vastaukseksi saatu luku $\frac{35}{26}$ on luku yhden ja kahden välissä, eli se ei ole kokonaisluku. Meidän yhteiskunnassamme murtoluvut ja niillä laskeminen opitaan perusopetuksessa, mutta ihmiskunnalle niiden kehittäminen on ollut suurten ponnistuksien ja oivalluksien tulos.

Murtolukujakin monimukaisempiin lukuihin olet myös törmännyt perusopetuskessa. Yläkoulun matematiikasta muistat ehkä Pythagoraan lauseen, joka sanoo, että suorakulmaisen kolmion kateettien pituuksien $a$ ja $b$ suhde hypotenuusan pituuteen $c$ on $$a^2 + b^2 = c^2.$$

Ehkä sinulle heräsi yläkoulussa kysymys, miksi tällaistakin pitäisi osata. Yksinkertainen vastaus olisi se, että sen avulla pystytään laskemaan erilaisten suorakulmaisten kolmioiden sivujen pituuksia. Tämä on merkittävä syy ja osoittaa Pythagoraan lauseen voiman, sillä se pätee kaikkiin suorakulmaisiin kolmioihin. Tämä on kuitenkin vain pintaraapaisu.

Yksi ihmismieltä askarruttanut arvaamaton tulos Pythagoraan lauseesta saadaan, kun laitetaan $a$:n ja $b$:n tilalle luku 1. Huomaat, että $c$ saa hyvin oudon arvon. Tämä arvo on esimerkki irrationaaliluvusta, luvusta joka ei ole murtoluku, eli sitä ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena. Tämän antiikin kreikkalaiset pystyivät todistamaan, ja se saatetaan myös todistaa kurssissa MAA11. Kesti jokunen tuhat vuotta, kunnes äärettömyydestä ja äärettömistä joukoista ymmärrettiin matemaattisesti niin paljon, että 1800-luvulla pystyttiin todistamaan, että näitä irrationaalilukuja on tietyssä mielessä enemmän kuin rationaalilukuja. Kuten matematiikan professori Olli Martio on todennut:

"Muutaman tuhannen vuoden takaiset matematiikan tulokset, kuten suorakulmaista kolmiota koskeva Pythagoraan lause, muodostavat edelleen ihmiskunnan kulttuuriperinnön kivijalan."

Edellä puhuttiin todistamisesta. Pythagoraan lauseen tunsivat viimeistään pythagoralaiset noin 500 e.a.a., mutta mistä tiedämme, että se tosiaan pätee kaikille suorakulmaisille kolmioille? Pystymme todistamaan Pythagoraan lauseen todeksi ja olet ehkä nähnyt erilaisia todistuksia sille.

Olemme tottuneita hyödyntämään monia tosina pitämiämme matematiikan tuloksia. Ne erottaa mielipiteistä tai luuloista se, että ne voidaan todistaa paikkaansa pitäviksi. Todistaminen ei aina ole kovin yksinkertaista. Jos olet esimerkiksi alakoulussa oppinut jakamaan lukuja jakokulmassa, et todennäköisesti vielä ole nähnyt todistusta sille, että jakokulma todellakin toimii. Todistus vaatii tiedon jakoyhtälön totuudesta, jota tutkitaan esimerkiksi kurssilla MAA11 tai yliopiston ensimmäisillä algebran kursseilla.

Monia matemaattisia totuuksia ei olla vielä löydetty. Matemaatikot eri puolilla maailmaa työskentelevät paraikaa lukemattomien matemaattisten ongelmien parissa, etsien niiden totuutta. Yksi maailman tunnetuimmista matemaattisista ongelmista oli, onko olemassa positiiviset kokonaisluvut $a$, $b$ ja $c$, jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen yhtälöä muistuttavan yhtälön $$a^n + b^n = c^n,$$

jos $n$ on lukua 2 suurempi luonnollinen luku. Kysymyksen esitti antiikin kreikkalainen matemaatikko Diofantos ja ranskalainen matemaatikko Pierre Fermat kirjoitti 1600-luvulla löytäneensä vastauksen. Hänen vastaustaan ei kuitenkaan koskaan löydetty.

Kului yli 300 vuotta ja useiden aikansa nerokkaimpien matemaatikoiden yrityksiä kunnes brittiläinen matemaatikko Andrew Wiles selvitti tämän Fermat'n suureksi lauseeksi kutsutun ongelman. Vastaus on, että sellaista lukua $n$ ei ole olemassa. Tämän selvittämiseksi Wiles joutui kehittämään runsaasti uutta matemaattista teoriaa.

Etsi yksi matemaattinen ongelma, jota ihmiskunta ei vielä ole pystynyt ratkaisemaan. Sinun ei tarvitse kokonaan ymmärtää mistä ongelmassa on kyse, mutta yritä selittää se ystävällesi niin hyvin kuin pystyt.

Laita hakukoneeseen “Luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista”.

Sinulle on ehkä kerrottu, että matematiikan opiskelu harjaannuttaa ajattelun taitoa. Tämä ei luonnollisesti ole matematiikan erityisoikeus, vaan eri oppiaineet harjaannuttavat erilaisia ajattelun taitoja. Kuten yllä on pohdittu, voidaan kuitenkin sanoa, että ihmiskunnan kehityksen kannalta matemaattisen ajattelun merkitys on ollut merkittävä.

Matematiikka on aikojen saatossa kehittynyt monitahoiseksi tieteeksi. Kansainvälisessä luokittelussa matematiikka on jaettu noin 50 pääryhmään ja nämä edelleen aliryhmiin. Kussakin näistä on omat avoimet ongelmansa, joita matemaatikot ympäri maailmaa yrittävät ratkaista. Esimerkiksi algebra tutkii laskutoimituksia, geometria ja logiikka todistamista sekä matematiikan perusteita.

Akateemikko Olli Lehto on todennut:

"Pohjimmaltaan paljolti matematiikkaan perustuva luonnontieteellis-teknologinen tieto on edellytyksenä menestymiseen taloudellisessa kilpailussa, se on pohjana yhteiskuntaa ohjaaville poliittisille päätöksille, ja sitä tarvitaan kestävän kehityksen turvaamisessa."

Kuka tietää mikä matematiikan ja matemaattisen ajattelun muoto seuraavaksi mullistaa yhteiskuntaamme!

Luvut ja laskutoimitukset

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset reaalilukujen peruslaskutoimitukset ja laskujärjestyksen. Osaat

  • antaa esimerkkejä eri lukualueisiin kuuluvista luvuista
  • päätellä lopputuloksen etumerkin yhteen- ja vähennyslaskussa sekä kerto- ja jakolaskussa
  • laskea murtolukujen summia, erotuksia, tuloja ja osamääriä
  • muodostaa annetun luvun vastaluvun ja käänteisluvun
  • määrittää luvun itseisarvon
  • muuttaa sekaluvun tai desimaalimuodossa esitetyn rationaaliluvun murtolukumuotoon
  • hyödyntää reaalilukujen laskulakeja päässälaskujen helpottamisessa.

Lisäksi tiedät, että määritelmä on matematiikassa sopimus siitä, mitä jollakin käsitteellä tarkoitetaan.

Aloitamme tämän kappaleen tekemällä sopimuksen siitä, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan luonnollisista luvuista. Tällaista sopimusta siitä, mitä jokin nimitys tarkoittaa, sanotaan matematiikassa määritelmäksi. Luonnollisten lukujen määritelmä siis kertoo, mitä luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan.

MÄÄRITELMÄ: LUONNOLLISET LUVUT

Lukumäärien ilmaisemiseen käytettäviä lukuja $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi. Luonnollisten lukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\N$. Siis $$\N = \{0,1,2,3,4, \ldots\}.$$

Luonnollisten lukujen määritelmästä on kaksi erilaista versiota. Tällä kurssilla käytetään edellä esitettyä määritelmää, jonka mukaan myös luku $0$ on luonnollinen luku. Joissakin kirjoissa käytössä on määritelmä, jossa luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan lukuja $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$. Siitä, kumpi määritelmä on parempi, ei ole päästy yksimielisyyteen.

  1. Laske $2\cdot 3$.
  2. Laske $3 \cdot 2$.
  3. Mitä eroa a- ja b-kohtien laskuilla on? Havainnollista esimerkiksi kuvalla. Entä mitä yhteistä niillä on?

Luonnollisia lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, ja tulos on aina luonnollinen luku. Vähennyslaskun ja jakolaskun tulokset sen sijaan eivät välttämättä ole luonnollisia lukuja. Jotta kaikki vähennyslaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä luonnollisten lukujen joukosta kokonaislukujen joukkoon.

  1. Keksi esimerkki luonnollisista luvuista, joiden erotus on luonnollinen luku.
  2. Keksi esimerkki luonnollisista luvuista, joiden erotus ei ole luonnollinen luku.
  3. Mikä ehto luonnollisten lukujen $m$ ja $n$ pitää toteuttaa, jotta erotus $m-n$ on luonnollinen luku? Selitä omin sanoin.

  1. Luvun $m$ pitää olla suurempi tai yhtä suuri kuin $n$ eli $m \geq n$. Silloin $m - n \geq 0$.

Sovitaan seuraavaksi, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan kokonaisluvuista:

MÄÄRITELMÄ: KOKONAISLUVUT

Kokonaislukuja ovat luvut $0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$, $4$, $-4$, $\ldots$ Kokonaislukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\Z$. Siis $$\Z = \{0,1,-1, 2, -2, 3, -3, \ldots\}.$$

Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Positiivisen luvun lisääminen tarkoittaa, että lukusuoralla liikutaan oikealle:

Positiivisen luvun vähentäminen tarkoittaa, että lukusuoralla liikutaan vasemmalle:

Havainnollista lukusuoralla samaan tapaan kuin edellä

  1. summaa $-2+5$
  2. erotusta $-2-5$.

Entä mitä tarkoittaa negatiivisen luvun lisääminen? Laskuista $3+4$ ja $3+(-4)$ täytyy arkijärjenkin mukaan tulla eri tulos. Kun lisätään positiivinen luku, liikutaan lukusuoralla oikealle:

Kun lisätään negatiivinen luku, on siis loogista liikkua lukusuoralla vasemmalle:

Kun vähennetään negatiivinen luku, liikutaan taas päinvastaiseen suuntaan eli oikealle:

Havainnollista lukusuoralla samaan tapaan kuin edellä

  1. summaa $-2+(-5)$
  2. erotusta $-2-(-5)$.

Kaikilla kokonaisluvuilla on olemassa niin sanottu vastaluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä vastaluku tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: VASTALUKU

Luvun $a$ vastaluku $-a$ tarkoittaa lukua, joka lisättynä lukuun $a$ antaa tuloksen $0$: $$a + (-a) = 0$$

  1. Mikä on luvun $3$ vastaluku?
  2. Mikä on luvun $-6$ vastaluku? Kirjoita vastaus kahdella erilaisella tavalla.
  3. Merkitse kaikki a- ja b-kohtien luvut lukusuoralle. Vertaa luvun ja sen vastaluvun etäisyyttä nollaan. Mitä voit sanoa siitä? Selitä omin sanoin.

  1. Luvun $3$ vastaluku on $-3$.
  2. Luvun $-6$ vastaluku on $-(-6)$ eli $6$.
  3. Luku ja sen vastaluku ovat aina yhtä kaukana nollasta. Etäisyys on aina positiivinen ja yhtä suuri kuin luvun ns. itseisarvo. Esimerkiksi luvun $-6$ etäisyys nollasta on $6$.

Edellisessä tehtävässä huomattiin, että luku ja sen vastaluku ovat aina yhtä kaukana nollasta. Luvun etäisyyttä nollasta sanotaan luvun itseisarvoksi.

MÄÄRITELMÄ: ITSEISARVO

Luvun $a$ itseisarvo tarkoittaa lukusuoralla luvun $a$ etäisyyttä nollasta. Luvun $a$ itseisarvoa merkitään $|a|$.

  1. Mikä on luvun $3$ itseisarvo, eli $|3|$?
  2. Määritä $|-6|$.
  3. Määritä $|0|.$

  1. Luku $3$ on positiivinen, joten sen itseisarvo on luku itse, eli $|3|=3$.
  2. Luku $-6$ on negatiivinen, joten sen itseisarvo on sen vastaluku, eli $|-6|=-(-6)=6$.
  3. Luvun $0$ etäisyys nollasta on nolla, eli $|0|=0.$

Palataan takaisin laskutoimituksiin. Huomataan, että erotus voidaan muuttaa summaksi, sillä vähennyslasku on sama kuin vastaluvun lisääminen: $$3-4 = 3+(-4).$$ Summa voidaan muuttaa erotukseksi, sillä yhteenlasku on sama kuin vastaluvun vähentäminen: $$3+4 = 3-(-4).$$

  1. Kirjoita erotukset $15-(-8)$ ja $-23-4$ summina. Tarkista laskemalla kummankin lausekkeen tulokset esimerkiksi syöttämällä ne laskimeen.
  2. Kirjoita summat $75+(-32)$ ja $843+59$ erotuksina. Tarkista laskemalla tulokset.

  1. Erotukset summina: \begin{align*} 15-(-8) &= 15 + 8 \\[1mm] -23-4 &= -23 + (-4) \end{align*}
  2. Summat erotuksina: \begin{align*} 75+(-32) &= 75 - 32 \\[1mm] 843+59 &= 843 - (-59) \end{align*}

Myös kokonaislukujen kertolaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Esimerkiksi tuloa $2\cdot 3$ on havainnollistettu alla:

Tulo $-2 \cdot 3$ voidaan ajatella sen vastalukuna. Koska $2 \cdot 3 = 6$, niin $$-2 \cdot 3 = -6.$$ Tuloa $2\cdot (-3)$ voidaan havainnollistaa vastaavasti:

Tulo $-2 \cdot (-3)$ saadaan sen vastalukuna. Koska $2 \cdot (-3) = -6$, niin $$-2\cdot (-3) = -(-6) = 6.$$

  1. Keksi kaksi erilaista tilannetta, joissa kertolaskun tulos on positiivinen.
  2. Keksi kaksi erilaista tilannetta, joissa kertolaskun tulos on negatiivinen.
  3. Selitä omin sanoin, milloin kertolaskun $ab$ tulos on positiivinen ja milloin negatiivinen.
  4. Millaisissa tilanteissa kertolaskun $ab$ tulos on nolla?

  1. Tulo $ab$ on positiivinen siinä tapauksessa, että tulon tekijät $a$ ja $b$ ovat kumpikin positiivisia tai kumpikin negatiivisia, siis samanmerkkisiä. Tulo $ab$ on negatiivinen siinä tapauksessa, että tulon tekijöistä toinen on positiivinen ja toinen negatiivinen eli tulon tekijät ovat erimerkkisiä.
  2. Tulo on nolla täsmälleen niissä tapauksissa, joissa jompi kumpi tai molemmat tulon tekijöistä ovat nollia.

Laske seuraavat tulot päässä tai kynän ja paperin avulla:

  1. $7 \cdot 4$
  2. $-8 \cdot (-7)$
  3. $-5 \cdot 4$
  4. $9 \cdot (-3)$

Voit tarkistaa tulokset laskimella.

Kokonaislukujen summat, erotukset ja tulot ovat aina kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun osamäärä sen sijaan ei välttämättä ole kokonaisluku. Jotta kaikki jakolaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä kokonaislukujen joukosta rationaalilukujen joukkoon.

Keksi esimerkki kokonaisluvuista, joiden osamäärä

  1. on kokonaisluku
  2. ei ole kokonaisluku.
  3. Mikä ehto kokonaislukujen $m$ ja $n$ pitää toteuttaa, jotta osamäärä $\dfrac{m}{n}$ on kokonaisluku? Selitä omin sanoin.

  1. Luvun $m$ pitää olla luvun $n$ monikerta. Se tarkoittaa, että luku $m$ voidaan kirjoittaa tulona $m = kn$, missä $k$ on jokin kokonaisluku. Silloin jakolasku menee tasan: $$ \dfrac{m}{n} = \dfrac{kn}{n} = k. $$

MÄÄRITELMÄ: RATIONAALILUVUT

Rationaalilukuja ovat luvut, jotka voidaan kirjoittaa murtolukumuodossa $$\frac{m}{n},$$ missä osoittaja $m$ ja nimittäjä $n$ ovat kokonaislukuja ja nimittäjä $n \neq 0$. Rationaalilukujen joukkoa merkitään kirjaimella $\Q$.

Ovatko seuraavat luvut rationaalilukuja? Esitä ne murtolukumuodossa, jos mahdollista.

  1. $3$
  2. $0{,}5$
  3. $-0{,}1$
  4. $0{,}75$.

  1. Kyllä: $\ 3 = \dfrac{3}{1}$.
  2. Kyllä: $\ 0{,}5 = \dfrac{1}{2}$.
  3. Kyllä: $\ -0{,}1 = -\dfrac{1}{10}$
  4. Kyllä: $\ 0{,}75 = \dfrac{3}{4}$.

Huom. luvut voidaan esittää murtolukumuodossa myös muilla tavoilla, jotka saadaan näistä muodoista laventamalla.

Jos murtolukumuodossa esitettyjä rationaalilukuja lasketaan yhteen, pitää luvut ensin laventaa samannimisiksi. Tarkastellaan esimerkiksi summaa $$\dfrac{3}{8} + \frac{5}{6}$$ Sitä voidaan havainnollistaa piirroksella:

Jotta väritetyn alueen kokonaismäärä voidaan laskea, jaetaan kumpikin suorakulmio samanlaisiin osiin seuraavasti:

  • Jaetaan ensimmäinen suorakulmio pystysuunnassa kuuteen osaan samalla tavalla kuin toinen suorakulmio.
  • Jaetaan toinen suorakulmio vaakasuunnassa kahdeksaan osaan samalla tavalla kuin ensimmäinen suorakulmio.

Näin saadaan molempiin samankokoiset ruudut:

Tämä vastaa yhteenlaskettavien laventamista samannimisiksi: \begin{align*} \dfrac{3}{\textcolor{blue}{8} } + \frac{5}{\textcolor{red}{6} } &= \dfrac{\textcolor{red}{6} \cdot 3}{\textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{8} } + \frac{\textcolor{blue}{8} \cdot 5}{\textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{6} } \\[2mm] &= \dfrac{18}{48} + \frac{40}{48} \end{align*} Kumpikin suorakulmio tulee jaetuksi $48$ osaan, mutta väritetyn osan pinta-ala pysyy samana. Nähdään, että sinisellä on väritetty yhteensä 58 pientä ruutua eli $\frac{58}{48}$ suorakulmion pinta-alasta.

Järjestetään palat uudelleen siirtämällä mahdollisimman monta väritettyä palaa ensimmäiseen suorakulmioon. Havaitaan, että joka toinen vaakasuuntainen jakoviiva voidaan jättää pois:
Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} + \frac{5}{6} &= \dfrac{58}{48} \\[2mm] &=\dfrac{2\cdot 29}{2 \cdot 24} \\[2mm] &=\dfrac{29}{24} \end{align*} Luku $29$ ei ole jaollinen millään ykköstä suuremmalla luvulla paitsi itsellään, joten supistamista ei voi jatkaa tämän pidemmälle.

Laske kynän ja paperin avulla. Kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{6}$
  2. $\dfrac{9}{4} + \dfrac{8}{9}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Kun murtolukua supistetaan, pitää löytää sellainen luku, joka jakaa sekä osoittajan että nimittäjän. Aikaisemmassa esimerkissä päädyttiin aluksi tulokseen $$ \dfrac{58}{48} $$ Sekä osoittaja että nimittäjä ovat parillisia, joten ne voidaan jakaa kahdella ja jako menee tasan: $$ \dfrac{58}{2} = 29 \quad \text{ ja } \quad \dfrac{48}{2} = 24. $$ Murtoluku voidaan siis supistaa kahdella: $$ \dfrac{58^{(2}}{48} = \dfrac{29}{24} $$ Tämän jälkeen pitää muistaa tutkia, voiko supistamista jatkaa. Osoittajan ja nimittäjän yhteisiä tekijöitä voi löytää seuraavien tietojen avulla:

  • Jos luku päättyy numeroon 0, se on jaollinen kymmenellä.
  • Jos luku päättyy numeroon 5 tai 0, niin se on jaollinen viidellä.
  • Jos luku on parillinen eli päättyy numeroon 2, 4, 6, 8 tai 0, niin se on jaollinen kahdella.
  • Jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin myös luku on jaollinen kolmella. Esimerkiksi luvun $234$ numeroiden summa on $2 + 3 + 4 = 9$. Koska $9$ on jaollinen kolmella, myös luku $234$ on jaollinen kolmella. On mahdollista perustella, että kysymys ei ole sattumasta.

Supista seuraavat luvut mahdollisimman pitkälle:

  1. $\dfrac{2}{4}$
  2. $\dfrac{8}{12}$
  3. $\dfrac{15}{35}$
  4. $\dfrac{20}{100}$.

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Murtolukujen vähennyslasku noudattaa samoja periaatteita kuin yhteenlasku: vähennettävä ja vähentäjä lavennetaan aina samannimisiksi ennen erotuksen laskemista. Yleispätevä tapa on valita laventajaksi aina toisen murtoluvun nimittäjä. Esimerkiksi erotuksessa $$ \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{15} $$ voidaan ensimmäinen murtoluku laventaa luvulla 15 ja toinen luvulla 6: \begin{align*} \dfrac{1}{\textcolor{blue}{6} } - \dfrac{2}{\textcolor{red}{15} } &= \dfrac{\textcolor{red}{15} \cdot 1}{\textcolor{red}{15} \cdot \textcolor{blue}{6}} - \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot 2}{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{15} } \\[2mm] &= \dfrac{15}{90} - \dfrac{12}{90} = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30} \end{align*} Joskus on mahdollista käyttää lavennuksessa pienempiä lukuja. Esimerkiksi tässä tapauksessa kumpikin nimittäjä on luvun 30 tekijä: $$ 5 \cdot 6 = 30 \quad \text{ ja } \quad 2 \cdot 15 = 30. $$ Lavennus voidaan tehdä niin, että molempien murtolukujen nimittäjäksi tulee luku 30: \begin{align*} \dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{15} &= \dfrac{\textcolor{red}{5} \cdot 1}{\textcolor{red}{5} \cdot 6} - \dfrac{\textcolor{blue}{2} \cdot 2}{\textcolor{blue}{2} \cdot 15 } \\[2mm] &= \dfrac{5}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{1}{30} \end{align*} Tärkeintä on kuitenkin hallita laventamisen yleispätevä tapa, koska se toimii kaikissa tilanteissa.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin:

  1. $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$
  2. $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$
  3. $\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{4}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella tai tietokoneella.

Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, voidaan tilanne palauttaa yhteenlaskuun. Esimerkiksi \begin{align*} 3 \cdot \frac{2}{7} &= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \\[2mm] &= \frac{2+2+2}{7} \\[2mm] &= \frac{3\cdot 2}{7} \\[2mm] &= \frac{6}{7}. \end{align*}

  1. Laske $\ 5\cdot \dfrac{2}{13}$
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulo $$a \cdot \dfrac{b}{c}$$

  1. $\dfrac{10}{13}$
  2. $a \cdot \dfrac{b}{c} = \dfrac{ab}{c}$

Tarkastellaan seuraavaksi tuloa $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6}$$ Tämä kertolasku voidaan tulkita niin, että otetaan kolme kahdeksasosaa luvusta $\frac{5}{6}$:

  • Vasemmalla on suorakulmio, josta viisi kuudesosaa on väritetty vihreäksi.
  • Oikealla suorakulmio on jaettu kahdeksaan osaan vaakasuunnassa ja vihreästä alueesta on otettu kolme kahdeksasosaa.

Nyt vihreän alueen suuruus on 15 ruutua kaikista 48 ruudusta. Siis $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48}$$ Väritetyt palat voidaan järjestää uudelleen, jolloin huomataan, että pystysuuntaisia jakoviivoja voidaan vähentää:

Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} &= \frac{15}{48} \\[2mm] &=\frac{3\cdot 5}{3\cdot 16} \\[2mm] &=\frac{5}{16} \end{align*}

Edellä pääteltiin, että $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48}.$$

  1. Selitä omin sanoin, mitä murtolukujen osoittajille ja nimittäjille pitää tehdä, että päätyy tällaiseen tulokseen.
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulo $$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}.$$

  1. Osoittajat pitää kertoa keskenään ja nimittäjät pitää kertoa keskenään.
  2. $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

Murtolukujen kertolaskussa supistuksia voi tehdä jo ennen kertolaskun laskemista, jolloin luvut pysyvät pienempinä ja päässälaskut ovat helpompia. Esimerkissä tutkittiin tuloa $$ \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} $$ Kumpaakaan murtolukua ei voi supistaa pidemmälle, mutta toisen murtoluvun osoittaja ja toisen nimittäjä ovat kumpikin kolmella jaollisia: $$ \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3} }{8} \cdot \frac{5}{2 \cdot \textcolor{red}{3} } $$ Koska osoittajat ja nimittäjät kuitenkin kerrotaan keskenään, voidaan supistaminen tehdä jo ennen kertolaskua: $$ \dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3} }{8} \cdot \frac{5}{2 \cdot \textcolor{red}{3} } = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{16} $$

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin. Kannattaa miettiä jo hyvissä ajoin, onko supistaminen mahdollista.

  1. $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{10}$
  2. $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{7}$

Voit tarkistaa vastauksesi laskimella.

Kaikilla rationaaliluvuilla nollaa lukuunottamatta on olemassa niin sanottu käänteisluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä käänteisluku tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTEISLUKU

Oletetaan, että $a \neq 0$. Luvun $a$ käänteisluku $$\frac{1}{a}$$ tarkoittaa lukua, joka luvulla $a$ kerrottuna antaa tuloksen yksi: $$a \cdot \frac{1}{a} = 1$$

  1. Mikä on luvun $4$ käänteisluku? Anna vastaus murtolukumuodossa ja desimaalilukumuodossa.
  2. Mikä on luvun $\frac{2}{3}$ käänteisluku? Anna vastaus murtolukumuodossa ja desimaalilukumuodossa.

  1. $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$
  2. $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$

Edellisen tehtävän b-kohta antaa yhden selityksen nimitykselle käänteisluku. Murtoluvun käänteisluku saadaan siinä kääntämällä osoittaja ja nimittäjä toisikseen. Kysymyksessä ei ole sattuma, kuten seuraava teoreema osoittaa.

Teoreemat (toiselta nimeltään lauseet) ovat matemaattisia tosiasioita, jotka voidaan perustella todeksi määritelmien pohjalta. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $m \neq 0$ ja $n \neq 0$. Tällöin luvut $$ \dfrac{m}{n} \quad \text{ ja } \quad \dfrac{n}{m} $$ ovat toistensa käänteislukuja.

Perustelu: Kumpikin osamäärä on määritelty ja nollasta poikkeava, koska $m \neq 0$ ja $n \neq 0$. Lisäksi $$ \dfrac{m}{n} \cdot \dfrac{n}{m} = \dfrac{mn}{mn} = 1, $$ joten luvut ovat toistensa käänteislukuja.

Tutkitaan vielä rationaalilukujen jakolaskua. Aloitetaan tutkimalla, miten voidaan havainnollistaa jakolaskua $5:2$.

Alla on kuvattu luku $5$ viitenä värillisenä neliönä. Laskutoimitusta $5 : 2$ voidaan havainnollistaa kahdella tavalla:

  • Viisi neliötä jaetaan kahdelle henkilölle niin, että kumpikin saa kaksi kokonaista ja yhden puolikkaan:
  • Viidestä neliöstä muodostetaan kahden neliön kokoista suorakulmiota:

Molemmilla tavoilla päästään samaan lopputulokseen: $$\frac{5}{2} = 2{,}5.$$ Jos jakajana on murtoluku, jakolaskua on helpompi havainnollistaa näistä tavoista jälkimmäisellä. Esimerkiksi jakolaskua $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6}$$ voi havainnollistaa seuraavasti:

  • Vasemmalla on suorakulmio, josta kolme kahdeksasosaa on väritetty keltaiseksi.
  • Oikealla suorakulmio on jaettu pystysuunnassa vielä kuuteen osaan ja viisi kuudesosaa on rajattu paksuilla viivoilla.

Tehtävänä on siirtää kaikki värilliset ruudut tämän alueen sisään ja katsoa, kuinka iso osuus täyttyy. Katsotaan siis, kuinka monta viittä kuudesosaa voidaan muodostaa kolmesta kahdeksasosasta:

Havaitaan, että värillisiä ruutuja on 18 kpl ja ruutuja kaikkiaan 40 kpl. Kun ruudut järjestetään sopivasti, voidaan joka toinen vaakaviiva jättää pois ja tulos voidaan ilmoittaa supistetussa muodossa \begin{align*} \dfrac{3}{8} : \frac{5}{6} &= \frac{18}{40} \\[2mm] &=\frac{2\cdot 9}{2\cdot 20} \\[2mm] &= \frac{9}{20}. \end{align*}

Edellä pääteltiin, että $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6} = \frac{18}{40}.$$

  1. Päättele esimerkiksi kokeilemalla, millä luvulla luku $$\dfrac{3}{8}$$ pitäisi kertoa, että tuloksena olisi $$\dfrac{18}{40}$$
  2. Muodosta sääntö, jonka mukaan jakolasku $$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$$ muutetaan kertolaskuksi.

Laske ja kirjoita välivaiheet näkyviin. Käytä edellisessä tehtävässä kehittämääsi sääntöä, jolla jakolasku muutetaan kertolaskuksi. Mieti ennen kertolaskun laskemista, onko supistaminen mahdollista.

  1. $\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10}$
  2. $\dfrac{2}{5} : \dfrac{1}{4}$

Voit tarkistaa vastauksesi laskimella tai tietokoneella.

Kootaan vielä tässä kappaleessa opitut murtolukujen laskusäännöt yhteen:

YHTEENVETO

  • Yhteenlaskussa ja vähennyslaskussa murtoluvut lavennetaan samannimisiksi. Sen jälkeen osoittajilla tehdään yhteen- tai vähennyslasku: \begin{align*} \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} &= \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad + bc}{bd} \\[3mm] \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} &= \dfrac{ad}{bd} - \dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad - bc}{bd} \end{align*}
  • Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, kerrotaan vain osoittaja: $$ a \cdot \dfrac{b}{c} = \dfrac{ab}{c} $$
  • Murtolukujen kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään: $$ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} $$
  • Murtolukujen jakolasku muutetaan kertolaskuksi. Kerrotaan jakajan eli jälkimmäisen luvun käänteisluvulla: $$ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc} $$

Etsi MAOL-taulukkokirjasta rationaalilukujen laskusäännöt. Varmista, että ymmärrät merkinnät, joita siellä käytetään.

Kolme opiskelijaa treenasi murtoluvuilla laskemista. Opiskelija A laski oman tehtävänsä seuraavasti: $$\frac{6+9}{3} = \frac{6}{3}+9=2 + 9 = 11.$$ Opiskelija B laski saman tehtävän kuin A, mutta sai tulokseksi $$\frac{6+9}{3}=\frac{6}{3}+\frac{9}{3}=2+3=5.$$ Opiskelija C puolestaan laski oman tehtävänsä näin $$\frac{6\cdot 9}{3} = \frac{6}{3}\cdot 9=2\cdot 9 = 18.$$ Opiskelija D laski saman tehtävän kuin C, mutta sai tulokseksi $$\frac{6\cdot 9}{3} = \frac{6}{3}\cdot \dfrac{9}{3}=2\cdot 3 = 6.$$

  1. Mitä eroa opiskelijoiden A ja B ratkaisuilla oli? Selitä omin sanoin.
  2. Mitä eroa opiskelijoiden C ja D ratkaisuilla oli? Selitä omin sanoin.
  3. Kuka opiskelijoista päätyi oikeaan lopputulokseen omassa laskussaan? Missä muut tekivät virheen?
  4. Kirjoita ohje, jonka avulla tällaisilta virheiltä vältytään jatkossa. Voit varmistaa päättelysi oikeellisuuden tarkistamalla laskut laskimella.

  1. Jos supistat osamäärässä summaa, laske ensin yhteenlasku. Jos supistat osamäärässä tuloa, supista vain yhtä tulon tekijää.

Joskus murtolukujen yhteydessä esiintyy niin sanottuja sekalukuja. Esimerkiksi luku $\frac{7}{3}$ saatetaan ilmoittaa muodossa $$2\frac{1}{3}.$$ Tästä merkinnästä näkyy suoraan luvun kokonaisosa, joka on $2$. Sekaluku on oikeastaan lyhennysmerkintä summalle: $$2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$ Sekalukumuodossa annetut luvut kannattaakin aina muuttaa tavalliseen murtolukumuotoon ennen laskutoimituksia. Huomaa, että negatiivisen sekaluvun etumerkki vaikuttaa myös murtolukuosaan: \begin{align*} -7\frac{9}{10} &= -\left(7 + \frac{9}{10}\right) \\[2mm] &= -7 - \frac{9}{10} \\[2mm] &= -\frac{70}{10} - \frac{9}{10} \\[2mm] &= -\frac{79}{10}. \end{align*}

  1. Muuta luvut $4\dfrac{1}{2}\, $ ja $-2\dfrac{1}{3}$ murtolukumuotoon.
  2. Muuta luvut $\dfrac{12}{5}\, $ ja $\, -\dfrac{8}{3}$ sekalukumuotoon.

  1. $4\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\ $ ja $\ -2\dfrac{2}{3} = -\dfrac{7}{3}$
  2. $\dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5}\ $ ja $\ -\dfrac{8}{3} = -2\dfrac{2}{3}$

Rationaaliluvut voidaan murtolukumuodon lisäksi esittää desimaalimuodossa. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{3365}{673} &= 5 \\[2mm] \frac{45}{8} &= 5{,}625 \\[2mm] \frac{3}{22} &= 0{,}1363636363636\ldots \\ \end{align*} Rationaaliluvun desimaalimuoto voi siis olla päättyvä, tai päättymätön ja jaksollinen. Joillakin rationaaliluvuilla jakso on niin pitkä, että laskimen antama likiarvo näyttää jaksottomalta: esimerkiksi $$\frac{18}{295} = 0{,}061016949153\ldots$$ Voidaan kuitenkin osoittaa, että kaikki rationaalilukujen päättymättömät desimaalikehitelmät ovat jaksollisia.

Muuta murtolukumuotoon ja supista mahdollisimman pitkälle:

  1. $0{,}1$
  2. $0{,}64$
  3. $0{,}285$
  4. $2{,}376$.

Vinkki: Mieti, mitä murto-osia desimaaliluku ilmaisee. Esimerkiksi $0{,}7$ on seitsemän kymmenesosaa. Siis $$ 0{,}7 = \dfrac{7}{10} $$

  1. $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$
  2. $0{,}64 = \dfrac{64}{100} = \dfrac{16}{25}$
  3. $0{,}285 = \dfrac{285}{1000} = \dfrac{57}{200}$
  4. $2{,}376 = \dfrac{2376}{1000} = \dfrac{297}{125}$.

Päättyvässä desimaalimuodossa oleva luku voidaan aina muuttaa murtolukumuotoon samalla periaatteella kuin edellisessä tehtävässä. Jakajaksi otetaan jokin luvuista 10, 100, 1000, 10000, ... riippuen siitä, mikä on pienin desimaaliluvussa näkyvä murto-osa. Esimerkiksi luvussa $3{,}142$ viimeinen numero 2 ilmaisee tuhannesosia, joten jakajaksi valitaan luku 1000. Siis $$ 3{,}142 = \dfrac{3142}{1000} = \dfrac{1571}{500}. $$ Päättymättömien jaksollisten desimaalilukujen muuttamista murtolukumuotoon harjoitellaan tehtäväsarjan II tehtävissä 1.44 ja 1.45.

Edes rationaaliluvut eivät riitä kaikkien asioiden mittaamiseen. Esimerkiksi alla on neliö, jonka sivun pituus on $1$. Tämän neliön halkaisijan pituus $x$ on luku, jota ei voi esittää murtolukumuodossa.

Pythagoraan lauseen mukaan halkaisijan pituus saadaan yhtälöstä $$1^2 + 1^2 = x^2$$ eli $$x^2 = 2.$$ On kuitenkin mahdollista näyttää, että minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole $2$. Tästä voidaan päätellä, että halkaisijan pituus $x$ ei ole rationaaliluku.

Sitä positiivista lukua, jonka toinen potenssi on $2$, kutsutaan luvun 2 neliöjuureksi ja merkitään $\sqrt{2}$. Halkaisijan pituus on siis $x = \sqrt{2}$. Sille voidaan laskea likiarvo: $x = \sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

Luku $\sqrt{2}$ on yksi esimerkki irrationaaliluvusta eli lukusuoran luvusta, jota ei voi esittää murtolukumuodossa. Muita irrationaalilukuja ovat esimerkiksi $\sqrt{3}$ ja $\pi$.

Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon. Reaalilukujen joukkoa havainnollistetaan usein lukusuoralla, jossa jokaista reaalilukua vastaa täsmälleen yksi piste.

Jokainen reaaliluku voidaan esittää desimaalimuodossa ainakin yhdellä tavalla. Kuten aikaisemmin todettiin, rationaalilukujen desimaalikehitelmät ovat päättyviä, tai päättymättömiä ja jaksollisia. Irrationaalilukujen desimaalikehitelmät puolestaan ovat päättymättömiä ja jaksottomia.

  1. Mitkä ovat luvun $\pi$ desimaalikehitelmän kymmenen ensimmäistä numeroa?
  2. Tutki esimerkiksi googlaamalla, kuinka monta numeroa luvun $\pi$ desimaalikehitelmästä on saatu laskettua.
  3. Minkä geometrisen suhteen luku $\pi$ ilmaisee?

Jotta laskutoimituksia yhdistettäessä ei tarvittaisi valtavaa määrää sulkuja laskujärjestyksen osoittamiseksi, on sovittu peruslaskutoimitusten laskujärjestys, jota kaikki reaaliluvut noudattavat. Miten sen mukaan lasketaan esimerkiksi seuraavan lausekkeen arvo? $$7-6^2:4 \cdot 2 + (3-8)^2 \cdot 9 +1$$ Laskujärjestys on seuraava:

  1. Ensimmäisenä lasketaan sulkulausekkeet. Jos lausekkeessa on useita sulkeita, laskeminen aloitetaan sisimmistä sulkeista ja edetään ulospäin. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-6^2:4 \cdot 2 + (-5)^2 \cdot 9 +1.$$
  2. Seuraavaksi lasketaan potenssit. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-36:4 \cdot 2 + 25 \cdot 9 +1.$$
  3. Tämän jälkeen lasketaan kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle. Esimerkkimme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-18 + 225 +1.$$
  4. Viimeisenä lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Vastaukseksi saamme siis $$215.$$

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $8 \cdot 7 -48 :8 +4$
  2. $8 \cdot 7 -48 : (8+4)$
  3. $8 \cdot (7 -48 : 8 +4)$
  4. $8 \cdot 7 - (48 :8 +4)$

  1. $8 \cdot 7 -48 :8 +4 = 54$
  2. $8 \cdot 7 -48 : (8+4) = 52$
  3. $8 \cdot (7 -48 : 8 +4) = 40$
  4. $8 \cdot 7 - (48 :8 +4) = 46$

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $2 + 3 \cdot \dfrac{5}{6}$
  2. $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5}$

  1. $\dfrac{9}{2} = 4{,}5$
  2. $\dfrac{7}{15}$

Reaalilukujen yhteenlaskun tutut ominaisuudet on nimetty seuraavasti:

  • Vaihdannaisuus tarkoittaa, että yhteenlaskettavien järjestyksen voi vaihtaa: $$a + b = b + a.$$
  • Liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset yhteenlaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(a + b)+c = a + (b + c).$$ Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.
  • Osittelulain mukaan sulut voidaan kertoa auki tai voidaan erottaa yhteinen tekijä: $$a(b+c) = ab + ac.$$

Edellä tarkasteltiin reaalilukujen yhteenlaskua. Toinen tärkeä laskutoimitus on kertolasku. Selitä omin sanoin, mitä tarkoittaa reaalilukujen kertolaskun

  1. vaihdannaisuus
  2. liitännäisyys.

Keksi lisäksi esimerkit, jotka havainnollistavat näitä ominaisuuksia.

  1. Kertolaskun vaihdannaisuus tarkoittaa, että tulon tekijöiden järjestyksen voi vaihtaa: $$ab = ba.$$ Esimerkiksi $3 \cdot 4 = 12$ ja $4 \cdot 3 = 12$. Sama tulos riippumatta tulon tekijöiden järjestyksestä.
  2. Kertolaskun liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset kertolaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(ab)c = a(bc).$$ Esimerkiksi $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ ja $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$. Sama tulos riippumatta siitä, kumpi tulo lasketaan ensin. Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.

Tehtävänä on muokata seuraavat laskut vaihdannaisuuden, liitännäisyyden ja osittelulain avulla sellaiseen muotoon, että ne on mahdollisimman helppo laskea päässä.

  1. Laske liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta hyödyntäen $993 + (856 + 7)$.
  2. Laske liitännäisyyttä ja vaihdannaisuutta hyödyntäen $(4\cdot 76) \cdot 25$.
  3. Laske osittelulakia hyödyntäen $769 \cdot 7 + 769 \cdot 3$.
  4. Laske osittelulakia hyödyntäen $25 \cdot 42$.

Välivaiheet:

  1. $1000 + 856$
  2. $100 \cdot 76$
  3. $769 \cdot 10$
  4. $25 \cdot 40 + 25\cdot 2 = 1000 + 50$

Murtoluvuilla laskeminen

Jos sinulla on aikaa, niin harjoittele murtoluvuilla laskemista tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Pelissä käytetään jakoviivana merkkiä /. Esimerkiksi yksi kolmasosa merkitään 1/3. Anna vastaukset mahdollisimman supistetussa muodossa.

Laskujärjestys

Harjoittele oikeaa laskujärjestystä tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Summa ja erotus

Ilmaise luku $-5$ mahdollisimman monella tavalla summana tai erotuksena lukujen $4$ ja $9$ sekä niiden vastalukujen avulla. Keksitkö neljä erilaista tapaa?

Laskujärjestys

Laske päässä

  1. $20 - 3\cdot 4 + 5$
  2. $20 - (3\cdot 4 + 5)$
  3. $(20 - 3)\cdot 4 + 5$

Onko a-kohdan lausekkeeseen mahdollista lisätä sulkuja vielä jollakin tavalla niin, että tulos ei ole mikään edellisistä? Saat käyttää niin paljon sulkuja kuin haluat.

  1. 13
  2. 3
  3. 73

Vastaluku ja käänteisluku

Laske lukujen $3$ ja $-12$

  1. summan vastaluku
  2. vastalukujen erotus
  3. käänteislukujen tulo
  4. osamäärän käänteisluku.

  1. $9$
  2. $-15$
  3. $-\dfrac{1}{36}$
  4. $-4$.

Vastaluku

Keksi esimerkki luvusta $a$, jolla pätee

  1. $-a < a$
  2. $-a > a$
  3. $-a = a$.

Jakolasku ja kertolasku

Jakolasku ja kertolasku liittyvät toisiinsa seuraavasti: $$\frac{a}{b} = c,$$ jos ja vain jos $a = bc$. Tarkista kertolaskun avulla, ovatko seuraavat jakolaskut oikein:

  1. $\dfrac{56}{7} = 8$
  2. $\dfrac{682}{16} = 42$
  3. $\dfrac{3}{0} = 1$

Onko c-kohdan jakolasku mahdollista korjata oikeaksi vaihtamalla luvun $1$ paikalle jokin toinen luku? Selitä omin sanoin.

  1. oikein
  2. väärin
  3. väärin

Rationaaliluvut

Järjestä seuraavat luvut pienimmästä suurimpaan: $$\frac{2}{3},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{7}{10}, \,\frac{4}{15}.$$

$$\frac{4}{15},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{5},\, \frac{2}{3},\, \frac{7}{10}.$$

Lukualueet

  1. Keksi jokin kokonaisluku, joka ei ole luonnollinen luku.
  2. Keksi jokin rationaaliluku, joka on myös luonnollinen luku.
  3. Keksi jokin rationaaliluku, joka ei ole kokonaisluku.
  4. Onko mahdollista keksiä sellainen kokonaisluku, joka ei ole rationaaliluku?

Kertolasku ja supistaminen

Laske seuraavat tulot. Supista ennen kertolaskujen laskemista, niin selviät helpommalla.

  1. $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{7}$
  2. $\dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{3}{16}$
  3. $\dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{6}{25}$.

  1. $\frac{2}{7}$
  2. $\frac{1}{40}$
  3. $\frac{4}{15}$

Murtolukujen kertolasku

Laske, kuinka paljon on

  1. kaksi viidesosaa luvusta $\dfrac{3}{4}$
  2. kolmasosa luvusta $\dfrac{5}{7}$
  3. neljä viidestoistaosaa luvusta $\dfrac{5}{12}$.

  1. $\frac{3}{10}$
  2. $\frac{5}{21}$
  3. $\frac{1}{9}$

Tulot ja osamäärät

Merkitse "viidesosa luvusta $a$"

  1. osamääränä
  2. tulona.

  1. $\dfrac{a}{5}$
  2. $\dfrac{1}{5}a$

Murtolukujen jakolasku

Laske

  1. $\dfrac{2}{5} : \dfrac{3}{7}$
  2. $\dfrac{3}{10} : \dfrac{3}{4}$
  3. $\dfrac{5}{8} : \dfrac{1}{6}$.

  1. $\frac{14}{15}$
  2. $\frac{2}{5}$
  3. $\frac{15}{4}$

Murtolukujen jakolasku

Muuta kokonaisluku murtolukumuotoon ja laske

  1. $\dfrac{2}{3} : 10$
  2. $4 : \dfrac{3}{8}$
  3. $\dfrac{2}{7} : (-6)$.

  1. $\frac{1}{15}$
  2. $\frac{32}{3}$
  3. $-\frac{1}{21}$

Rationaaliluvun desimaalimuoto

Kirjoita seuraavat luvut desimaalimuodossa. Jos desimaalikehitelmä on päättymätön, kirjoita lisäksi näkyviin, mikä sen jakso on.

  1. $\dfrac{9}{10}$
  2. $\dfrac{5}{11}$
  3. $\dfrac{7}{12}$
  4. $\dfrac{2}{7}$.

  1. $0{,}9$
  2. $0{,}454545454545\ldots$, jakso $45$
  3. $0{,}583333333333\ldots$, jakso $3$
  4. $0{,}285714285714\ldots$, jakso $285714$

Desimaalimuodosta murtolukumuotoon

Tehtävänä on muuttaa luku $q = 0{,}618181818\ldots$ murtolukumuotoon.

  1. Kerro luku $q$ luvulla $100$.
  2. Laske erotus $100q-q$. Onko sen desimaalimuoto päättyvä vai päättymätön?
  3. Mitä on $99q$? Ratkaise saamastasi yhtälöstä luvun $q$ murtolukumuoto. Tarvittaessa lavenna niin, että sekä osoittaja että nimittäjä ovat kokonaislukuja. Supista lopuksi, jos mahdollista.

Desimaalimuodosta murtolukumuotoon

Sovella edellisen tehtävän menetelmää ja muuta luku $q = 0{,}9999999\ldots$ murtolukumuotoon.

Laskujärjestys

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{4}{3}$
  2. $\left(\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2}\right) \cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{4}{3}$
  3. $\left(\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\right) : \dfrac{4}{3}$

  1. $\dfrac{23}{30}$
  2. $\dfrac{1}{10}$
  3. $\dfrac{7}{20}$

Laskulait

Keksi esimerkki, joka osoittaa, että reaalilukujen vähennyslasku ei ole

  1. vaihdannainen
  2. liitännäinen.

Reaalilukujen desimaalikehitelmät

Keksi jokin reaaliluku, jolla on kaksi erilaista desimaalikehitelmää. Millaiset ne ovat?
Vinkki: tehtävä 1.45.

Jussi laskee päässä kertolaskun seuraavasti: \begin{align*} 27 \cdot 31 &= 20 \cdot 30 + 7 \cdot 30 + 20 \cdot 1+7 \cdot 1 \\ &= 600 + 210 + 20 + 7 \\ &= 837. \end{align*} Onko Jussin päättely oikein? Perustele.
[Lyhyt K2016/2c]

Jussi on käyttänyt sääntöä $(10a + b)(10c + d) = 10c\cdot 10a + 10cb + 10ad + bd$, joka on pätevä.

Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää 21,90 €, Sannan jäädessä 28,20 € ja matkan loppusumma on 33,50 €. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan?
[Lyhyt K2013/4]

Alpo maksaa 7,30 €; Sanna maksaa 10,45 € ja Pauli maksaa 15,75 €.

Muuta sekaluvut murtolukumuotoon ja laske sen jälkeen:

  1. $2\dfrac{1}{2}- 1\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{3}{4}$
  2. $\left(1\dfrac{1}{2}- 3\dfrac{1}{4}\right)\cdot \dfrac{4}{5} : \dfrac{14}{15}$
  3. $\left(4\dfrac{3}{5}- 2\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{5}{4}\right) : \dfrac{2}{7}$.

  1. $\frac{13}{18}$
  2. $-\frac{3}{2}$
  3. $\frac{61}{10}$

Laske

  1. luvun $-1$ vastaluvun ja luvun $5$ käänteisluvun keskiarvo. [Lyhyt S2015/1a]
  2. lukujen $\dfrac{3}{4}$ ja $\dfrac{6}{5}$ käänteislukujen keskiarvo. [Lyhyt K2013/1b]

  1. $\frac{3}{5}$
  2. $\frac{13}{12}$

Osoita, että luvut $$\frac{\sqrt{6}}{3} \text{ ja } \frac{\sqrt{6}}{2}$$ ovat toistensa käänteislukuja.
[Pitkä K2016/2b]

Laske tutkittavien lukujen tulo. Saatko tulokseksi luvun 1?

Tarkastellaan muotoa $\dfrac{m}{n}$ olevia lukuja, kun $m \in \left\{-1,0,1,2\right\}$ ja $n \in \left\{2,3,4\right\}$. Määritä näistä luvuista suurin ja pienin.
[Pitkä S2015/1c]

Suurin on $1$, pienin on $-\frac{1}{2}$.

Mikä seuraavista on luvun $-a+b$ vastaluku?

  1. $b-a$
  2. $a-b$
  3. $-a-b$
[Pitkä K2016/1d; Lyhyt K2016/3d]

$a-b$

Kolme kaverusta lähtee kisamatkalle Tallinnaan ja varaa seitsemäksi yöksi majoituksen, jonka kokonaishinta on 435 euroa. Kuinka paljon kunkin heistä pitää maksaa, jos henkilö A majoittuu kaksi yötä, henkilö B kuusi yötä ja henkilö C kaikki seitsemän yötä?

A maksaa 58 €, B maksaa 174 € ja C maksaa 203 €.

Laske lausekkeen $a(b-2) + (a-b)^2 -b(1-a)$ arvo, kun $a = 2$ ja $b = -2$. [Lyhyt S2013/1c]

6

Tehtävänä on täydentää alla olevat yhtälöt niin, että ne pitävät paikkansa. Saat käyttää peruslaskutoimituksia eli merkkejä $+$, $-$, $\cdot$ ja $:$ sekä sulkuja.

  1. $2 \quad 2 \quad 2 = 6$
  2. $3 \quad 3 \quad 3 = 6$
  3. $5 \quad 5 \quad 5 = 6$
  4. $6 \quad 6 \quad 6 = 6$
  5. $7 \quad 7 \quad 7 = 6$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, avaa testin pisteytysohje tästä ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. a)-d) Mikä on suppein lukualue, johon alla olevat luvut kuuluvat?
a) $-2$
b) $\frac{1}{2}$
c) $\pi$
d) $0{,}12345$
e) Määritä a)-kohdan luvun käänteisluku. Perustele.
f) Määritä b)-kohdan luvun vastaluku. Perustele.

2. Laske seuraavat laskutoimitukset ilman teknisiä apuvälineitä. Supista vastaus, jos mahdollista.
a) $\frac{1}{2}+\frac{4}{5}$
b) $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}$
c) $4:\frac{2}{3}$

Potenssi

Tämän luvun tavoitteena on, että ymmärrät potenssin määritelmän ja hallitset potenssien laskusäännöt. Osaat

  • ilmaista tulon potenssina ja päinvastoin
  • sieventää potenssilausekkeita potenssin määritelmän tai potenssien laskusääntöjen avulla
  • ilmaista käänteisluvun käyttäen eksponenttia $-1$.

Lisäksi tiedät, että matematiikassa teoreema tarkoittaa tosiasiaa, joka voidaan perustella todeksi määritelmistä lähtien.

Summa, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat samoja, voidaan kirjoittaa tulona. Esimerkkejä: \begin{align*} 7 + 7 + 7 + 7 &= 4 \cdot 7 \\[2mm] -2 + (-2) + (-2) &= 3\cdot (-2). \end{align*} Vastaavasti tulo, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja, voidaan kirjoittaa potenssina. Esimerkkejä: \begin{align*} 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 &= 7^4 \\[2mm] -2 \cdot (-2) \cdot (-2) &= (-2)^3. \end{align*}

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Luvun $a$ $n$:s potenssi $a^n$ tarkoittaa tuloa $a \cdot a \cdots a$, jossa luku $a$ esiintyy $n$ kertaa. Siis $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}$$ Potenssilausekkeessa $a^n$ luku $a$ on kantaluku ja luku $n$ on eksponentti.

Kirjoita potenssimerkinnän avulla ja laske:

  1. $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 \cdot 3$
  2. $5\cdot 5$

  1. $3^5 = 243$
  2. $5^2 = 25$

Kirjoita seuraavat potenssit tuloina (kertolaskumerkintää käyttäen) ja laske niiden arvo.

  1. $8^2$
  2. $(-5)^3$.

  1. $8 \cdot 8 = 64$
  2. $(-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$

Jos kantaluku on negatiivinen, tarvitaan potenssimerkinnässä sulut. Esimerkiksi luvun $-1$ kolmas potenssi on \begin{align*} (-1)^3 &= (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \\ &= 1 \cdot (-1) = -1 \end{align*} ja neljäs potenssi on \begin{align*} (-1)^4 &= (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \\ &= 1 \cdot 1 = 1. \end{align*} Havaitaan, että tulos on negatiivinen täsmälleen siinä tapauksessa, että tulon tekijöitä on pariton määrä eli eksponentti on pariton.

Merkitse lauseke näkyviin potenssimerkinnän avulla ja laske sen arvo:

  1. luvun $-2$ viides potenssi
  2. luvun $-10$ kuudes potenssi.

  1. $(-2)^5 = -32$
  2. $(-10)^6 = 1\,000\,000$

Luvun ja sen vastaluvun summa on aina nolla. Esimerkiksi luvun $3$ vastaluku on $-3$, sillä $$ 3 + (-3) = 0. $$ Luvun $-9$ vastaluku on $-(-9) = 9$, sillä $$ -9 + 9 = 0. $$

  1. Laske potenssin $7^4$ arvo.
  2. Mitä eroa on merkinnöillä $(-7)^4$ ja $-7^4$? Kumpi niistä on luvun $7^4$ vastaluku?
  3. Päättele lausekkeiden $(-7)^4$ ja $-7^4$ arvot edellisten vastausten avulla.

  1. $7^4 = 2401$
  2. Merkinnät eroavat toisistaan sulkujen osalta. Merkintä $(-7)^4$ tarkoittaa tuloa, jossa luku $-7$ esiintyy neljä kertaa. Koska tulon tekijöitä on parillinen määrä, tulos on positiivinen.

    Merkintä $-7^4$ tarkoittaa luvun $7^4$ vastalukua.

  3. $(-7)^4 = 2401$ ja $-7^4 = -2401$

Jos miinusmerkki on potenssimerkinnän edessä ilman sulkuja, vaikuttaa se koko potenssilausekkeeseen: $$-a^n = -(a^n).$$ Esimerkiksi merkintä $-3^6$ tarkoittaa potenssin $3^6 = 729$ vastalukua: \begin{align*} -3^6 &= -(3^6) \\ &= -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -729. \end{align*}

Kirjoita potenssimerkinnän avulla:

  1. $(2x)\cdot (2x)\cdot (2x)$
  2. $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a.$

Keksitkö kaksi erilaista tapaa, jolla voit kirjoittaa tulot potenssimerkintää käyttäen?

  1. $(2x)^3$ tai $2^3x^3$
  2. $3^5a^5$ tai $(3a)^5$

Potenssilausekkeita voidaan sieventää purkamalla ne tulomuotoon potenssin määritelmän mukaisesti, laskemalla kaikki mahdolliset laskut ja kokoamalla tulos jälleen potenssimuotoon. Esimerkiksi \begin{align*} (5a^7)^2 &= 5a^7 \cdot 5a^7 \\ &= 25 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdots a}_\text{14 kappaletta} = 25a^{14} \end{align*}

Poista sulut seuraavista potenssilausekkeista:

  1. $(6x)^3$
  2. $(2y)^6$
  3. $(ab)^4$

Ohje: voit kirjoittaa lausekkeen tulomuodossa ja järjestellä tulon tekijät uudelleen.

  1. $6^3x^3 = 216x^3$
  2. $2^6y^6 = 64y^6$
  3. $a^4b^4$

Muodosta edellisen tehtävän avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua tulon potenssi $$ (ab)^n $$

Tulon potenssi on sama kuin potenssien tulo: $$ (ab)^n = a^nb^n $$

Poista sulut seuraavista potenssilausekkeista:

  1. $\left(\dfrac{2x}{3}\right)^3$
  2. $\left(-\dfrac{4}{y}\right)^2$
  3. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^4$

Ohje: kirjoita potenssilauseke ensin tulomuodossa.

  1. $\dfrac{8x^3}{27}$
  2. $\dfrac{16}{y^2}$
  3. $\dfrac{a^4}{b^4}$

Muodosta edellisen tehtävän avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua osamäärän potenssi $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$$

Osamäärän potenssi on sama kuin potenssien osamäärä: $$ \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} $$

Potenssilausekkeiden sieventämisessä pääsee aina alkuun, kun muistaa potenssin määritelmän eli sopimuksen siitä, mitä potenssi tarkoittaa. Niin myös seuraavissa tehtävissä.

Kirjoita potenssit ensin tulomuodossa ja lausu lopputulos taas potenssina:

  1. $\left(7^3\right)^2$
  2. $(a^2)^4$

Tutki lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle potenssin potenssissa?

  1. \begin{align*} 7^3 \cdot 7^3 &= (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \\ &= 7^6 \end{align*}
  2. \begin{align*} a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 &= aaaaaaaa \\ &= a^8 \end{align*}

Muodosta edellisen tehtävän avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua potenssin potenssi $$(a^m)^n$$

Potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan keskenään: $$ (a^m)^n = a^{mn} $$

Edellä havaittuja potenssien laskusääntöjä voi käyttää myös toiseen suuntaan. Siis \begin{align*} a^nb^n &= (ab)^n \\[1mm] \frac{a^n}{b^n} &= \left(\frac{a}{b}\right)^n \\[1mm] a^{mn} &= (a^m)^n \end{align*} Seuraavaksi tutkitaan, mitä eksponenteille tapahtuu, jos kerrotaan tai jaetaan potensseja, joilla on sama kantaluku.

Kirjoita ensin tulomuodossa ja sen jälkeen potenssimerkintää käyttäen:

  1. $2^3\cdot 2^4$
  2. $a^5a^2$

Tutki lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle samankantaisten potenssien tulossa?

  1. \begin{align*} 2^3 \cdot 2^4 &= (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ &= 2^7 \end{align*}
  2. \begin{align*} a^5\cdot a^2 &= aaaaa \cdot aa \\ &= a^7 \end{align*}

Kirjoita osoittaja ja nimittäjä ensin tulomuodossa ja supista. Kirjoita lopputulos potenssimerkintää käyttäen.

  1. $\dfrac{9^5}{9^3}$
  2. $\dfrac{a^6}{a^2}$

Tutki lähtötilannetta ja lopputulosta. Keksitkö säännön eksponentin muodostumiselle samankantaisten potenssien osamäärässä?

  1. $\dfrac{9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 9 \cdot 9} = 9 \cdot 9 = 9^2$
  2. $\dfrac{aaaaaa}{aa} = aaaa = a^4$

Muodosta edellisten tehtävien avulla sääntö, jonka mukaan saadaan laskettua samankantaisten potenssien

  1. tulo $\ a^ma^n$
  2. osamäärä $\ \dfrac{a^m}{a^n}$

  1. Samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen: $$a^ma^n = a^{m+n}$$
  2. Samankantaisten potenssien osamäärässä osoittajan eksponentista vähennetään nimittäjän eksponentti: $$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Edellisessä kappaleessa sovittiin, mitä tarkoitetaan potenssilla $a^n$, missä $n$ on positiivinen kokonaisluku. Sen jälkeen tutkittiin, millaisia laskulakeja potenssilausekkeet noudattavat. Huomattiin esimerkiksi, että samankantaisten potenssien osamäärälle pätee sääntö $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$$ Jos tässä luku $m$ sattuu olemaan pienempi kuin luku $n$, tuloksen eksponentti on negatiivinen. Esimerkiksi $$\frac{a^3}{a^9} = a^{3-9} = a^{-6}.$$ Tarvitaan sopimus myös siitä, mitä potenssilla tarkoitetaan tilanteessa, jossa eksponentti on negatiivinen kokonaisluku tai nolla.

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $n$ on positiivinen kokonaisluku. Potenssit $a^0$ ja $a^{-n}$ määritellään seuraavasti: \begin{align*} a^0 &= 1\\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{align*} Potenssi $a^{-n}$ on siis potenssin $a^n$ käänteisluku.

Laske seuraavat potenssit yllä olevaa määritelmää käyttäen:

  1. $4^0$
  2. $2^{-3}$
  3. $(-3)^{-2}$
  4. $5^{-3}$
  5. $7^{-1}$
  6. $(-6)^{-1}$

  1. $4^0 = 1$
  2. $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
  3. $(-3)^{-2} = \dfrac{1}{9}$
  4. $5^{-3} = \dfrac{1}{125}$
  5. $7^{-1} = \dfrac{1}{7}$
  6. $(-6)^{-1} = -\dfrac{1}{6}$

Kirjoita seuraavat lausekkeet potenssimuodossa:

  1. $\dfrac{1}{10^2}$
  2. $\dfrac{1}{a^3}$
  3. $\dfrac{1}{16}$

Keksitkö kaksi erilaista tapaa ilmaista c-kohdan lausekkeen potenssimuodossa?

  1. $\dfrac{1}{10^2} = 10^{-2}$
  2. $\dfrac{1}{a^3} = a^{-3}$
  3. $\dfrac{1}{16} = 16^{-1} = 4^{-2} = 2^{-4}$

Edellä esitetystä potenssin määritelmästä seuraa erityisesti, että $$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}.$$ Potenssi $a^{-1}$ on siis luvun $a$ käänteisluku.

Sievennä:

  1. $4^{-1}$
  2. $(-15)^{-1}$
  3. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$
  4. $\left(-\dfrac{4}{9}\right)^{-1}$

Kertaa tarvittaessa murtolukujen käänteislukuja koskeva teoreema 1 edellisestä luvusta.

  1. $4^{-1} = \dfrac{1}{4}$
  2. $(-15)^{-1} = -\dfrac{1}{15}$
  3. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3$
  4. $\left(-\dfrac{4}{9}\right)^{-1} = -\dfrac{9}{4}$

Kun potenssi määriteltiin negatiivisten eksponenttien ja eksponentin nolla tapauksessa, tehtiin määritelmästä tarkoituksella sellainen, että aikaisemmin havaitut potenssien laskusäännöt toimivat edelleen. Nämä laskusäännöt on koottu seuraavaan teoreemaan.

TEOREEMA

Seuraavat potenssien laskusäännöt pätevät kaikilla kokonaisluvuilla $m$ ja $n$ sekä kaikilla nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla $a$ ja $b$:

  1. tulon potenssi on potenssien tulo: $$(ab)^n = a^nb^n$$
  2. osamäärän potenssi on potenssien osamäärä: $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$
  3. potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan keskenään: $$(a^m)^n = a^{mn}$$
  4. samankantaisten potenssien tulossa eksponentit lasketaan yhteen: $$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$$
  5. samankantaisten potenssien osamäärässä osoittajan eksponentista vähennetään nimittäjän eksponentti: $$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$$

Potenssien laskusääntöjen hyvä hallitseminen on tärkeää, jotta jatkossa sievennykset sujuvat rutiinilla ja aivokapasiteettia vapautuu uusien, soveltavampien ongelmien ratkaisemiseen. Laskusääntöjen käyttöä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä ja myös tehtäväsarjassa II, esimerkiksi pelin avulla tehtävässä 2.43.

Sievennä potenssien laskusääntöjen avulla. Muokkaa vastaukset muotoon, jossa kaikki eksponentit ovat positiivisia.

  1. $(3a)^{-2}$
  2. $\left(\dfrac{4b}{5}\right)^{-3}$
  3. $\left(c^{-6} \right)^{-7}$
  4. $x^{-10} \cdot 4x^8$
  5. $\dfrac{15y^{-6}}{3y^{-7}}$

  1. $(3a)^{-2} = \dfrac{1}{9a^2}$
  2. $\left(\dfrac{4b}{5}\right)^-3 = \dfrac{125}{64b^3}$
  3. $\left(c^{-6} \right)^{-7} = c^{42}$
  4. $x^{-10} \cdot 4x^8 = 4x^{-2} = \dfrac{4}{x^2}$
  5. $\dfrac{15y^{-6}}{3y^{-7}} = 5y^{-6-(-7)} = 5y$

Seuraavassa tehtävässä jatketaan negatiivisten eksponenttien ominaisuuksien tutkimista.

Tehtävänä on tutkia, miten potenssit $$2^{-4} \quad \text{ ja } \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^4$$ liittyvät toisiinsa.

  1. Kirjoita näkyviin, mitä $2^{-4}$ tarkoittaa määritelmän mukaan.
  2. Kirjoita $\left(\frac{1}{2}\right)^4$ tulomuodossa ja sievennä mahdollisimman pitkälle.
  3. Vertaa a- ja b-kohdan tuloksia. Muodosta sääntö, joka liittää toisiinsa lausekkeet $$ a^{-n} \quad \text{ ja } \quad \left(\dfrac{1}{a}\right)^n $$

  1. $2^{-4} = \dfrac{1}{2^4}$
  2. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}$
  3. $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$

Edellisen tehtävän havainnot johtavat seuraavaan teoreemaan. Tällä kertaa myös teoreeman perustelu (eli todistus) on kirjoitettu näkyviin. Lue se huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku ja $a \neq 0$. Potenssi $a^{-n}$ on luvun $a$ käänteisluvun $n$:s potenssi eli $$a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$$

Perustelu: Potenssin määritelmän mukaan $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ Toisaalta potenssin määritelmän mukaan $$\left(\frac{1}{a}\right)^n = \underbrace{\left(\frac{1}{a}\right) \cdots \left(\frac{1}{a}\right)}_\text{$n$ kpl} = \frac{1}{a^n}$$ Siis $$a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n.$$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan yllä olevan teoreeman soveltamista. Kannattaa tarvittaessa kerrata murtolukujen käänteislukuja koskeva teoreema 1 edellisestä luvusta.

Tehtävänä on määrittää potenssi $$\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-3}$$

  1. Muodosta kantaluvun $\dfrac{4}{5}$ käänteisluku.
  2. Laske a-kohdassa muodostamasi luvun kolmas potenssi.
  3. Miten ratkaisun vaiheet liittyvät teoreemaan 2? Selitä omin sanoin.

  1. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{4}$
  2. $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-3} = \left(\dfrac{5}{4}\right)^3 = \dfrac{125}{64}$

Edellisen tehtävän havaintojen perusteella saadaan muotoiltua seuraava erityistapaus teoreemasta 4. Lue sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b \neq 0$. Tällöin $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$$

Perustelu: Teoreeman 1 mukaan luvut $$ \dfrac{a}{b} \quad \text{ ja } \quad \dfrac{b}{a} $$ ovat toistensa käänteislukuja. Teoreeman 4 mukaan $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}$$ on kantaluvun käänteisluvun $n$:s potenssi. Siis $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$$

Laske seuraavat potenssit ja anna vastaukset murtolukuina:

  1. $\left(\dfrac{7}{3}\right)^{-1}$
  2. $\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2}$
  3. $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-4}$.

  1. $\left(\dfrac{7}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{7}$
  2. $\left(\dfrac{5}{8}\right)^{-2} = \dfrac{64}{25}$
  3. $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-4} = \dfrac{16}{81}$.

Potenssi

Luvun $a$ toista potenssia $a^2$ sanotaan luvun $a$ neliöksi ja luvun $a$ kolmatta potenssia $a^3$ sanotaan luvun $a$ kuutioksi. Mistä nämä nimitykset ovat tulleet? Selitä omin sanoin.

Merkitse lausekkeena ja laske

  1. luvun $5$ neliö
  2. luvun $5$ neliön vastaluku
  3. luvun $-5$ neliö
  4. luvun $-5$ kuutio
  5. luvun $5$ kuutio
  6. luvun $5$ kuution vastaluku.

Mitkä lausekkeista ovat yhtä suuria? Kirjoita havaintosi näkyviin käyttäen luvun $5$ tilalla kirjainta $a$. Onko havainnoissasi kysymyksessä sattuma vai yleispätevä sääntö?

  1. $5^2 = 25$
  2. $-5^2 = -25$
  3. $(-5)^2 = 25$
  4. $(-5)^3 = -125$
  5. $5^3 = 125$
  6. $-5^3 = -125$

Potenssi

Laske seuraavien lausekkeiden arvo:

  1. $(7-4)^2$
  2. $7^2-4^2$
  3. $7^2-2\cdot 7 \cdot 4 + 4^2$
  4. $(7+4)(7-4)$

Mitkä lausekkeista ovat yhtä suuria? Kirjoita havaintosi näkyviin käyttäen luvun $7$ tilalla kirjainta $a$ ja luvun 4 tilalla kirjainta $b$. Onko havainnoissasi kysymyksessä sattuma vai yleispätevä sääntö?

  1. $9$
  2. $33$
  3. $9$
  4. $33$

Potenssi

Hyvin hajamielinen henkilö päätti aloittaa säästämisen vuonna 1970. Hän talletti kyseisen vuoden alussa 100 markkaa pankkitilille, jonka korko oli 2,5 % vuodessa, mutta unohti sitten koko asian. Kuinka suureksi talletus oli kasvanut

  1. vuoden 1971 alkuun mennessä?
  2. vuoden 1972 alkuun mennessä?
  3. vuoden 2002 alkuun mennessä, jolloin euro otettiin käyttöön? Anna vastaus sekä markkoina että euroina (5,94573 markkaa vastasi yhtä euroa)
  4. vuoden 2016 alkuun mennessä?

Oletetaan, että korkoprosentti pysyi koko ajan samana eli talletus $1{,}025$-kertaistui joka vuosi.

  1. $102{,}50$ markkaa
  2. $105{,}06$ markkaa
  3. $220{,}38$ markkaa eli $37{,}07$ euroa
  4. $52{,}37$ euroa.

Potenssi

Edellisen tehtävän henkilön hajamielisyys johtui siitä, että hän oli hyvin kiinnostunut menneistä ajoista. Samaan aikaan kun hän päätti aloittaa säästämisen, hän ryhtyi tutkimaan esivanhempiaan. Piirrä kaavio, joka havainnollistaa hyvin hajamielisen henkilön vanhempia ja heidän vanhempiaan ja heidän vanhempiaan. Kuinka monta esivanhempaa tällä henkilöllä on, jos mennään taaksepäin

  1. kaksi sukupolvea
  2. kolme sukupolvea
  3. kuusi sukupolvea
  4. 20 sukupolvea?

Ilmaise vastaukset potenssimerkinnän avulla.

  1. $4 = 2^2$
  2. $8 = 2^3$
  3. $2^6$
  4. $2^{20}$

Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

Palauta mieleesi negatiivisen eksponentin määritelmä ja eksponentin nolla määritelmä. Laske sen jälkeen

  1. $4^{-1}-2^{-3} + 2^{-1}$
  2. $(-1)^4+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$
  3. $(-2)^{3}+ (-3)^{0}$
  4. $(-3)^{2}-2^{0}$.

  1. $\frac{5}{8}$
  2. $3$
  3. $-7$
  4. $8$

Negatiivinen eksponentti ja eksponentti nolla

  1. Laske $3\cdot 10^3 + 7 \cdot 10^1 + 4\cdot 10^0 + 1\cdot 10^{-1} + 5\cdot 10^{-3}$.
  2. Kirjoita luku $506{,}9$ kymmenen potenssien summana samaan tapaan kuin a-kohdassa.
  3. Keksitkö syyn, miksi käyttämäämme lukujärjestelmää sanotaan kymmenjärjestelmäksi?
  4. Tiedätkö muita esimerkiksi tietokoneiden käyttämiä lukujärjestelmiä?

  1. $3074{,}105$
  2. $5\cdot 10^2 + 6\cdot 10^0 + 9\cdot 10^{-1}$

Negatiivinen eksponentti

Kaksi opiskelijaa yritti keksiä lausekkeita, jotka tarkoittavat samaa kuin lauseke $$\dfrac{1}{5x^7}.$$ Opiskelijat saivat ehdottaa sopivaa lauseketta vuorotellen. Heidän ehdotuksensa olivat seuraavat:

A: $\quad 5x^{-7}$

B: $\quad (5x)^{-7}$

A: $\quad \dfrac{x^{-7}}{5}$

B: $\quad 5^{-1}x^{-7}$

A: $\quad (5x^7)^{-1}$

B: $\quad \dfrac{1}{5}x^{-7}$

Kumpi opiskelija vastasi ensimmäisenä oikein? Kummalla opiskelijalla oli yhteensä enemmän oikeita vastauksia? Mitkä vastauksista olivat oikein?

Opiskelija A vastasi ensimmäisenä oikein. Oikeita vastauksia kummallakin yhtä monta.

Samankantaiset potenssit

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $3^5\cdot 3^{10}\cdot 3^{25}$
  2. $\left( \frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^7\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{-11}\cdot \left( \frac{2}{3}\right)^5$
  3. $(-1)^{500} \cdot (-1)^{2015}$

  1. $3^{40}$
  2. $\dfrac{3}{2}$
  3. $-1$

Samankantaiset potenssit

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $\dfrac{9^{216}}{9^{209}}$
  2. $\dfrac{101^{96}}{101^{100}}$
  3. $\dfrac{(-2)^{97}}{(-2)^{62}}.$

  1. $9^7$
  2. $101^{-4}$
  3. $(-2)^{35} = -2^{35}$

Potenssin potenssi ja samankantaiset potenssit

Ilmaise luvun $2$ potenssina:

  1. $16$
  2. $2\cdot 8^5$
  3. $8^9 \cdot 16^7$
  4. $\dfrac{32^{10}}{2^{25}}$
  5. $\dfrac{16^{100}}{8^{70}}$.

  1. $2^4$
  2. $2^{16}$
  3. $2^{55}$
  4. $2^{25}$
  5. $2^{190}$

Potenssien tulo, osamäärä ja potenssin potenssi

Laske:

  1. $40^9 \cdot 0{,}25^9$
  2. $\dfrac{8888888^2}{2222222^2}$
  3. $\dfrac{36^{801}}{6^{1600}}$

  1. $1\,000\,000\,000$
  2. $16$
  3. $36$

Potenssien laskusäännöt

Harjoittele potenssien laskusääntöjä tämän pelin avulla. Saat käyttää kynää ja paperia apuna. Pelin tavoitteena on saada kymmenen oikeaa vastausta peräkkäin.

Potenssien laskusäännöt

Sievennä:

  1. $(-4x^5)^2$
  2. $\dfrac{21x^{21}}{7x^7}$
  3. $-3x(-3x^6)^2$

  1. $16x^{10}$
  2. $3x^{14}$
  3. $-27x^{13}$

Potenssien laskusäännöt

Selitä omin sanoin, mitä eroa a- ja b-kohtien lausekkeilla on. Sievennä ne sen jälkeen.

  1. $(5a)^3(-5a^3)$
  2. $(5a)^3-5a^3$

  1. tulo $-625a^6$
  2. erotus $120a^3$

Potenssien laskusäännöt

Sievennä:

  1. $ab(a^2b)^3$
  2. $\dfrac{(xy)^7}{xy^7}$
  3. $\dfrac{(-a^3b^2)^9}{a(b^4)^7}$

  1. $a^7b^4$
  2. $x^6$
  3. $\dfrac{-a^{26}}{b^{10}}$

Sievennä seuraavat lausekkeet. Muista potenssin määritelmä ja kertaa tarvittaessa potenssin laskusäännöt.

  1. $a^na^n$
  2. $\dfrac{a^{3n}}{a^3}$
  3. $\dfrac{b^{2n+1}}{b^nb^n}$
  4. $\dfrac{x^nx^n}{x^n+x^n}$

  1. $a^{2n}$
  2. $a^{3(n-1)}$
  3. $b$
  4. $\dfrac{x^n}{2}$

Laske lausekkeen $\dfrac{2^n4^{n+5}}{8^{n+1}}$ arvo, jos

  1. $n = 1$
  2. $n = 5$.
  3. Mitä voisi epäillä edellisten kohtien perusteella? Osoita potenssien laskusääntöjen avulla, ettei kysymyksessä ollut sattuma.

  1. $2^7$
  2. $2^7$

Laske potenssit $10^3$, $10^6$ ja $10^9$. Kuinka monta numeroa niissä on?

Ilmaise seuraavat luvut kymmenpotenssimuodossa kuuden numeron tarkkuudella. Kuinka monta numeroa näissä luvuissa on, jos ne kirjoitettaisiin näkyviin ilman kymmenpotenssimuotoa? Hyödynnä tehtävän alkuosan havaintojasi.

  1. $6^{10}$
  2. $2^{55}$
  3. $3^{42}$

  1. $6{,}04662 \cdot 10^7$, kahdeksan numeroa
  2. $3{,}60288 \cdot 10^{16}$, 17 numeroa
  3. $1{,}09419 \cdot 10^{20}$, 21 numeroa

Alla on ote Wikipedian CRP:tä koskevasta tiedosta. Vastaa sen perusteella seuraaviin kysymyksiin.

  1. Potilaan CRP-pitoisuus oli 40 klo 12:00. Kuinka suuri pitoisuus voi enintään olla klo 18:00?
  2. Potilaan CRP-pitoisuus oli 100 maanantaina klo 12:00. Milloin se voi aikaisintaan laskea arvoon 10?

CRP:n pitoisuus veressä nousee bakteeri-infektioiden, muiden tulehdustilojen ja kudosvaurion yhteydessä nopeasti, jo muutaman tunnin kuluessa, ja pitoisuus voi kaksinkertaistua kahdeksan tunnin välein jopa 1000-kertaiseksi viitealueeseen verrattuna. Maksimitaso saavutetaan tyypillisesti noin 50 tunnissa. CRP nousee yleensä enemmän bakteerin aiheuttamissa tulehduksissa kuin virustulehduksissa, mutta kohonnut CRP ei ole minkään tietyn tulehdustilan merkki. Lievät tulehdukset ja virusinfektiot nostavat CRP:n tyypillisesti noin tasolle 10–50 mg/l, aktiiviset tulehdukset ja bakteeri-infektiot pitoisuuksiin 50–200 mg/l ja vakavat infektiot tai traumat tasolle >200 mg/l. CRP:n biologinen puoliintumisaika on 19 tuntia, joten tulehduksen rauhoituttua CRP-taso laskee nopeasti. CRP on siis herkkä, mutta epäspesifinen tulehdustilan indeksi.

[Lyhyt K2016/8]

  1. $40 \cdot 2^{6/8} \approx 67{,}3$
  2. torstaina klo 03:00.

Summa, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat samoja, voidaan kirjoittaa tulona, kuten tämän luvun alussa todettiin. Siis esimerkiksi $5 + 5 + 5 = 3\cdot 5$ ja $8 + 8 = 2 \cdot 8$. Kokoamalla kaikki taulukkoon tällaiset tulot, joissa kumpikin tulon tekijä on enintään 10, saadaan muodostettua tuttu kertotaulu. Alla olevaan taulukkoon on täydennetty kertotaulun viisi ensimmäistä riviä.

$\cdot$ $\phantom{,}$1$\phantom{,}$ $\phantom{,}$2$\phantom{,}$ $\phantom{,}$3$\phantom{,}$ $\phantom{,}$4$\phantom{,}$ $\phantom{,}$5$\phantom{,}$ $\phantom{,}$6$\phantom{,}$ $\phantom{,}$7$\phantom{,}$ $\phantom{,}$8$\phantom{,}$ $\phantom{,}$9$\phantom{,}$ 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6
7
8
9
10

Tulo, jossa kaikki tulon tekijät ovat samoja, voidaan vastaavasti kirjoittaa potenssina. Potenssien arvoista on siis mahdollista muodostaa vastaava "potenssitaulu".

$\phantom{,}$1$\phantom{,}$ $\phantom{,}$2$\phantom{,}$ $\phantom{,}$3$\phantom{,}$ $\phantom{,}$4$\phantom{,}$ $\phantom{,}$5$\phantom{,}$
1
2 16
3
4
5

  1. Kopioi yllä oleva potenssitaulu vihkoosi ja täydennä siihen potenssien arvot.
  2. Vertaa kertotaulua ja potenssitaulua keskenään. Näkyykö siellä samoja lukuja? Missä kohdissa?

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. Lausu lausekkeet luvun 2 potenssina ilman teknistä apuvälinettä.
a) $2^3\cdot \left(2^2\right)^3$
b) $\dfrac{2\cdot 2^5}{2^4}$
c) $4^6\cdot 8$

2. Sievennä ilman teknistä apuvälinettä.
a) $1-3^0+3^{-1}-3^{-2}$
b) $ \left(\frac{1}{x}\right)^{-1}+2\cdot x^0$
c) $\dfrac{(ab)^2a^7}{a^3\left(b^2\right)^3}$

Funktiot ja yhtälöt

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet funktion käsitteen ja osaat piirtää ja tulkita funktioiden kuvaajia. Osaat

  • tunnistaa, onko sääntö funktio
  • määrittää funktion arvon tietyssä kohdassa kuvaajasta päättelemällä, käsin laskemalla ja teknisen apuvälineen avulla
  • lukea kuvaajasta funktion nollakohdat
  • piirtää teknisellä apuvälineellä funktion kuvaajan
  • tunnistaa ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ominaisuuksia funktion lausekkeesta
  • ratkaista yksinkertaisia ensimmäisen asteen yhtälöitä
  • tunnistaa toisen ja kolmannen asteen potenssifunktioiden kuvaajat
  • ratkaista toisen ja kolmannen asteen potenssiyhtälöitä.

Tässä luvussa tutustutaan funktion käsitteeseen. Sen avulla voidaan mallintaa ja tutkia erilaisten mitattavissa olevien asioiden välisiä riippuvuuksia, kuten esimerkiksi pyöräilijän tiettynä aikana kulkeman matkan riippuvuutta pyöräilijän vauhdista tai työntekijän maksamien verojen määrän riippuvuutta työntekijän tuloista.

Funktio on siis jonkinlainen sääntö, joka kertoo, miten jokin asia liittyy toiseen. Ennen kuin sovimme tarkemmin, mitä funktion käsitteellä tarkoitetaan, tutkitaan seuraavissa tehtävissä muutamien erilaisten sääntöjen ominaisuuksia.

Tutkitaan sääntöä $f$, joka liittää jokaiseen luonnolliseen lukuun sen numeroiden summan. Siis esimerkiksi lukuun $156$ sääntö $f$ liittää luvun $1 + 5 + 6 = 12$. Tämä voidaan merkitä $$f(156) = 1 + 5 + 6 = 12.$$

  1. Minkä luvun sääntö $f$ liittää lukuun $389$? Toisin sanottuna, mikä on $f(389)$?
  2. Minkä luvun sääntö $f$ liittää lukuun $106\,437$? Toisin sanottuna, mikä on $f(106\,437)$?
  3. Onko olemassa jokin luonnollinen luku, jonka tapauksessa säännön $f$ antamaa tulosta ei voida laskea? Selitä omin sanoin.
  4. Onko olemassa jokin luonnollinen luku, johon sääntö $f$ liittää useita eri lukuja? Selitä omin sanoin.

  1. $f(389) = 3 + 8 + 9 = 20$
  2. $f(106\,437) = 21$
  3. Tällaista lukua ei ole olemassa, sillä luvun numeroiden summa voidaan aina laskea.
  4. Tällaista lukua ei ole olemassa, sillä olipa alkuperäinen luku mikä tahansa, sen numeroiden summasta tulee aina yksi tulos.

Edellisessä tehtävässä tutkittiin sääntöä, joka liitti tietyn joukon lukuihin toisia lukuja. Sellaista sääntöä, joka liittää tietyn joukon jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion, sanotaan funktioksi.

MÄÄRITELMÄ: FUNKTIO

Funktio joukosta $X$ joukkoon $Y$ tarkoittaa sääntöä, joka liittää joukon $X$ jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta $Y$.
Tässä esiintyvä joukko $X$ on funktion määrittelyjoukko eli lähtöjoukko ja joukko $Y$ on funktion maalijoukko.

Tarkastele alla olevia kuvia, joissa on kuvattu säännöt $\alpha$, $f$, $g$, $\beta$ ja $h$. Mitkä näistä säännöistä ovat funktioita joukosta $X$ joukkoon $Y$? Perustele omin sanoin.

Säännöt $f$, $g$ ja $h$ ovat funktioita joukosta $X$ joukkoon $Y$, sillä ne liittävät jokaiseen joukon $X$ alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta $Y$.

Sääntö $\alpha$ ei ole funktio joukosta $X$ joukkoon $Y$, sillä joukossa $X$ on alkio, johon sääntö $\alpha$ ei liitä yhtään joukon $Y$ alkiota.

Sääntö $\beta$ ei ole funktio joukosta $X$ joukkoon $Y$, sillä joukossa $X$ on alkio, johon sääntö $\beta$ liittää useamman kuin yhden joukon $Y$ alkion.

Joskus funktion sääntö voidaan ilmaista lausekkeen avulla. Esimerkiksi merkintä $$f(x) = 2x + 1$$ ilmaisee sen, että funktio $f$ liittää lukuun $x$ luvun $2x + 1$. Funktio $f$ siis kertoo luvun $x$ kahdella ja lisää tulokseen luvun $1$.

Tarkastellaan funktiota $h(x) = -3x+2$.

  1. Laske funktion $h$ arvo kohdassa $x = 2$. Toisin sanottuna laske, mitä on $h(2)$.
  2. Laske funktion $h$ arvo kohdassa $x = -\frac{1}{2}$.

  1. $h(2) = -4$
  2. $h\left (-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{2}=3\dfrac{1}{2}$

Koordinaattiakselien leikkauspistettä eli origoa on yllä olevassa kuvassa merkitty kirjaimella $O$.

  1. Tavoitteena on päästä origosta $O$ pisteeseen $A$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta ylöspäin? Mitkä ovat pisteen $A$ koordinaatit?
  2. Tavoitteena on päästä origosta pisteeseen $B$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta alaspäin? Mitkä ovat pisteen $B$ koordinaatit? Miten ilmaistaan se, että pisteeseen $B$ päästäkseen pitää liikkua pystysuunnassa alaspäin eikä ylöspäin?
  3. Mitkä ovat pisteen $C$ koordinaatit?
  4. Mitkä ovat pisteen $D$ koordinaatit?

  1. Pitää kulkea 2 askelta oikealle ja 3 askelta ylöspäin. Pisteen $A$ koordinaatit ovat siten $(2,3)$.
  2. Pitää kulkea 3 askelta oikealle ja 1 askel alaspäin. Pisteen $B$ koordinaatit ovat siten $(3,-1)$. Miinusmerkillä ilmaistaan, että pystysuunnassa liikutaan alaspäin eikä ylöspäin.
  3. $C = (4,2)$
  4. $D = (-3,1)$

Tutkitaan vielä funktiota $f$, jolla $$f(x) = 2x + 1.$$

  1. Täydennä alla oleva taulukko:
    Muuttujan arvo Funktion arvo
    $x$ $f(x) = 2x + 1$
    $1$ $f(1) = $
    $7$
    $0$
    $-6$
    $a$
    $b$
  2. Mikä seuraavista on funktion $f$ kuvaaja? Käytä päättelyssä apuna taulukkoa, jonka täydensit a-kohdassa.

  3. Päättele kuvaajan avulla, millä muuttujan $x$ arvolla funktio $f$ saa arvon $0$. Toisin sanottuna etsi sellaiset luvut $x$, joilla $f(x) = 0$.

  1. Kuvaaja on vaihtoehto C.
  2. $f(x) = 0$, jos ja vain jos $x = -0{,}5$.

Edellä tarkasteltu funktio $f$ on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Se tarkoittaa, että funktion $f$ arvo voidaan laskea, olipa muuttujan $x$ arvo mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi jos $x = 135{,}8642$, on funktion $f$ arvo \begin{align*} f(135{,}8642) &= 2\cdot 135{,}8642 + 1 \\ &= 272{,}7284. \end{align*} On olemassa myös sellaisia funktiota, joiden arvo ei joidenkin muuttujan arvojen tapauksessa ole määritelty. Esimerkiksi funktion $$g(x) = \frac{1}{x-2}$$ arvo ei ole määritelty, jos $x = 2$, sillä nimittäjä on tällöin nolla. Tässä tilanteessa sanotaan, että funktio $g$ ei ole määritelty kohdassa $x = 2$. Funktion yhteyteen on hyvä liittää tieto siitä, millä muuttujan arvoilla funktio on määritelty: $$g(x) = \frac{1}{x-2}, \quad \text{ missä } x \neq 2.$$

Funktion kuvaajan avulla voidaan tehdä päätelmiä sellaisissakin tilanteissa, joissa funktion esittäminen lausekkeen avulla on hankalaa. Esimerkiksi alla olevasta kuvassa on näkyvissä lämpötila ajan funktiona Ilmatieteen laitoksen Kumpulan havaintoasemalla Helsingissä (kuvankaappaus Ilmatieteenlaitoksen sivuilta).

Tarkastele yllä olevaa kuvaajaa, joka esittää lämpötilaa ajan funktiona.

  1. Mikä on ollut vuorokauden korkein lämpötila? Milloin se on saavutettu?
  2. Mikä on ollut vuorokauden matalin lämpötila? Milloin se on saavutettu?
  3. Millä aikavälillä lämpötila on ollut yli 20 astetta?
  4. Millä aikavälillä lämpötila on ollut alle 16 astetta?

  1. Korkein lämpötila on ollut noin 23 astetta ja se on saavutettu noin klo 16.
  2. Matalin lämpötila on ollut noin 12 astetta ja se on saavutettu noin klo 4.
  3. Noin klo 10-21.
  4. Noin klo 23-8.30.

Funktion kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti ilmaisee aina funktion arvon kyseisessä kohdassa. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa funktion $f$ kuvaaja kulkee pisteen $(1,3)$ kautta. Tästä voidaan päätellä, että funktion $f$ arvo kohdassa $x = 1$ on $f(1) = 3$.

Alla on funktion $f$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Minkä arvon funktio saa kohdassa $x = -1$?
  2. Mitä on $f(0)$?
  3. Mitä on $f(2)$? Saako funktio $f$ tämän arvon jossain muussakin kohdassa kuin kohdassa $x = 2$?

  1. Kohdassa $x = -1$ funktio saa arvon $0$.
  2. $f(0) = -1$
  3. $f(2) = 3$ ja funktio saa saman arvon myös kohdassa $x = -2$.

Edellisen tehtävän funktion kuvaaja leikkaa $x$-akselin kohdassa $x = -1$ ja kohdassa $x = 1$. Näissä kohdissa kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on siis $0$. Nämä kohdat, joissa funktion arvo on $0$, on nimetty funktion nollakohdiksi:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Alla on näkyvissä funktioiden $f$, $g$ ja $h$ kuvaajat. Millä näistä funktioista

  1. on tasan yksi nollakohta?
  2. on useita nollakohtia?
  3. ei ole yhtään nollakohtaa?

  1. Funktiolla $g$ on tasan yksi nollakohta.
  2. Funktiolla $f$ on useita nollakohtia, tarkemmin sanottuna kaksi nollakohtaa.
  3. Funktiolla $h$ ei ole yhtään nollakohtaa.

Alla on funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Millä muuttujan $x$ arvolla funktio saa arvon $-2$?
  2. Onko funktiolla yksi tai useampia nollakohtia? Mitä ne ovat?
  3. Millä muuttujan $x$ arvolla $g(x) = 6$?
  4. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $g$ saa arvon $g(4)$?

  1. Arvolla $x = 3$.
  2. Kaksi nollakohtaa: $x_1 = 1$ ja $x_2 = 5$.
  3. $g(x) = 6$, jos ja vain jos $x = -1$ tai $x = 7$.
  4. Jos ja vain jos $x = 4$ tai $x = 2$.

Funktioiden arvoja voi vertailla piirtämällä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon kuten alla olevassa kuvassa. Siitä nähdään esimerkiksi, että funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon kohdassa $a \approx 3{,}4$ ja tämä arvo on $f(a) = g(a) \approx 5$.

Tarkastele edelleen yllä olevaa kuvaa, jossa näkyvät funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat.

  1. Saavatko funktiot $f$ ja $g$ saman arvon jossain muussakin kohdassa kuin kohdassa $x = a$? Missä?
  2. Kumpi funktioista saa suuremman arvon kohdassa $x = 0$?
  3. Kumpi funktioista saa suuremman arvon kohdassa $x = 1$?

  1. Funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon myös kohdissa $x \approx -1{,}1$ ja $x \approx 0{,}5$.
  2. Funktio $g$.
  3. Funktio $f$.

Seuraavan tehtävän avulla harjoitellaan funktion kuvaajan piirtämistä teknisellä apuvälineellä.

Varmista, että osaat piirtää funktion kuvaajia jollakin teknisellä apuvälineellä, esimerkiksi TI Nspirellä tai Geogebralla. Tässä on video Geogebralla piirtämiseen.

  1. Piirrä funktion $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{7}{3}x+2$ kuvaaja.
  2. Määritä kuvaajan perusteella $f(0)$.
  3. Määritä kuvaajan perusteella funktion nollakohdat.

  1. $f(0)=2$
  2. Nollakohdat ovat $x=-2$, $x=-1$ ja $x=3$.

Funktioita voidaan luokitella eri tavoin. Voidaan esimerkiksi puhua polynomifunktioista, juurifunktioista, murtofunktioista, trigonometrisistä funktioista, eksponentti- ja logaritmifunktioista ja niin edelleen. Tiettyyn luokkaan kuuluvien funktioiden lausekkeet muistuttavat yleensä toisiaan ja niiden kuvaajissa on samoja piirteitä. Tässä kappaleessa tutkitaan ensimmäisen asteen polynomifunktioita ja ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälöitä.

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax+b$, missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

  1. Piirrä teknisellä apuvälineellä samaan kuvaan funktioiden $f(x)=0{,}5x + 1$, $g(x) = 2x+1$ ja $h(x) = -2x+1$ kuvaajat.
  2. Mitä yhteistä funktioiden $f(x)$ ja $g(x)$ kuvaajilla on? Miten ne eroavat?
  3. Mitä yhteistä funktioiden $g(x)$ ja $h(x)$ kuvaajilla on? Miten ne eroavat?
  4. Kaikki tämän tehtävän funktiot ovat muotoa $x \mapsto ax +1$ eli ne kertovat muuttujaa $x$ jollakin luvulla $a$ ja lisäävät tulokseen luvun $1$. Miten luku $1$ näkyy funktioiden kuvaajissa?
  5. Pystytkö päättelemään kuvaajaa piirtämättä, millä korkeudella funktio $k(x) = x+4$ leikkaa $y$-akselin?

Selitä omin sanoin, miten voit päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = ax+b$ lausekkeesta,

  1. onko funktion kuvaaja nouseva vai laskeva suora
  2. miten jyrkästi kuvaaja nousee tai laskee
  3. missä kohdassa kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Voit tutkia edellisten tehtävien tuloksia tai piirtää vielä lisää ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia laskimellasi.

  1. Funktion $f(x)=ax+b$ kuvaaja on nouseva suora, jos $a>0$ ja laskeva suora, jos $a<0$. Lukua $a$ sanotaan kulmakertoimeksi.
  2. Mitä suurempi kulmakertoimen $a$ itseisarvo on, sitä jyrkempi suora.
  3. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin kohdassa $b$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 2x + 1$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$2x + 1 = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 2x + 1$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 kohdassa $x = 1{,}5$. Yhtälön ratkaisu on siis $x = 1{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-3x - 1 = 5$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä teknisellä apuvälineellä funktion $f(x) = -3x-1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan piste on korkeudella 5.
  2. Mikä on yhtälön ratkaisu?
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $5$?

  1. Yhtälön ratkaisu on $x = -2$.
  2. Kyllä, sillä $-3 \cdot (-2) -1 = 6 - 1 = 5$.

Ensimmäisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ ax + b = 0, $$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ nollakohdat.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} $$ kuvaaja.

  1. Päättele kuvaajan avulla, mikä on yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu.
  2. Tarkista ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle.

  1. Yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu on funktion $f$ nollakohta $x = 4$.
  2. Jos $x = 4$, yhtälön vasen puoli on $$ -\dfrac{2}{3} \cdot 4 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = 0. $$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat siis yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että $x = 4$ on todellakin yhtälön ratkaisu.

Seuraavan määritelmän avulla voi aina tarkistaa, onko jokin luku yhtälön ratkaisu. Tarkistus on tehty näin myös edellisissä tehtävissä.

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$x^2 + 6x = 8x+3$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemman puolen arvo ja oikean puolen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $3$
  2. $1$
  3. $-1$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $27$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $7$ ja oikea arvon $11$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-5$. Huomaa, että yhtälön vasen puoli on $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) = 1 - 6 = -5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Lauseke $x + 2$ on summa ja lauseke $2x$ on tulo.
  2. $x = 8$. Ainakin operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku 2).
  3. $x = 5$. Ainakin operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla 2).

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

  1. Lauseke $4(x+8)$ on lausekkeiden $4$ ja $x+8$ tulo.
    Lauseke $4x + 8$ on lausekkeiden $4x$ ja $8$ summa.
  2. $x = 20$. Operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku $8$).
  3. $x = 14$. Operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla $4$).

Tämän kappaleen alussa ratkaistiin graafisesti funktion kuvaajan avulla yhtälö $$2x+1 = 4.$$ Jos sama yhtälö ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, vähennetään aluksi yhtälön molemmilta puolilta luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$2x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla 2. Näin päädytään yhtälöön $$x = \dfrac{3}{2}.$$ Koska käytettiin vain sallittuja operaatioita, löydettiin yhtälön ratkaisu. Ratkaisun voi lisäksi aina tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$ 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4. $$ Yhtälön vasemmasta puolesta saatiin yhtä suuri kuin yhtälön oikeasta puolesta, joten $$ x = \dfrac{3}{2} $$ on yhtälön ratkaisu.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3+(2x+1)$.
  3. $3(2-x)=x+6$
  4. Tarkista a-c -kohtien ratkaisut teknisellä apuvälineellä. Esimerkiksi TI Nspiressä kirjoita a-kohdassa komento solve(3x+4=2x-1, x).

Ohje: b-kohdassa aloita poistamalla sulut yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Muista, että miinusmerkki sulkujen edessä vaikuttaa kaikkiin sulkujen sisällä oleviin termeihin. c-kohdassa muista, että sulkuja auki kerrottaessa jokainen sulkujen sisällä oleva termi kerrotaan.

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.
  3. $x=0$

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun toisen asteen potenssifunktioon ja palautetaan mieleen, mitä luvun neliöjuuri tarkoittaa. Lisäksi ratkaistaan toisen asteen potenssiyhtälöitä.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POTENSSIFUNKTIO

Funktiota $f(x) = x^2$ sanotaan toisen asteen potenssifunktioiksi.

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on piirretty alla olevaan kuvaan. Se on muodoltaan paraabeli.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 6$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

  1. $f(-1) = 1$
  2. Kohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 2$.
  3. Pienin arvo on $0$.
  4. Kaksi ratkaisua.
  5. Ei yhtään ratkaisua.

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

  1. $\sqrt{4} = 2$
  2. $\sqrt{1} = 1$
  3. $\sqrt{0} = 0$
  4. $\sqrt{9} = 3$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat?

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

  1. Yksi ratkaisu: $x = 0$
  2. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$
  3. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{5}$
  4. Ei ratkaisua.

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $x^2 = a$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

  1. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5}$
  2. Kaksi ratkaisua: $x = \dfrac{2}{3}$ tai $x = -\dfrac{2}{3}$
  3. Kaksi ratkaisua: $x = \sqrt{3}$ tai $x = -\sqrt{3}$
  4. Ei ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli aina suurempi tai yhtä suuri kuin 27.

Tässä kappaleessa tutustutaan kolmannen asteen potenssifunktioon ja ratkaistaan kolmannen asteen potenssiyhtälöitä.

Alla on kolmannen asteen potenssifunktion $f(x)=x^3$ kuvaaja. Siitä voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 = a$ on yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on merkitty yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua kirjaimella $b$:

Yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua sanotaan luvun $-2$ kuutiojuureksi. Luvun $-2$ kuutiojuuri on siis se luku, jonka kolmas potenssi on $-2$. Vastaavasti määritellään muidenkin lukujen kuutiojuuret.

MÄÄRITELMÄ: KUUTIOJUURI

Luvun $a$ kuutiojuuri tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^3 = a.$$ Luvun $a$ kuutiojuurelle käytetään merkintää $\sqrt[3]{a}.$

Luvun $a$ kuutiojuurelle pätee siis määritelmän mukaan $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$. Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on toiselta nimeltään luvun $a$ kolmas juuri.

Kuutiojuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien kuutiojuurten arvo ja tarkista tulos korottamalla se kolmanteen potenssiin.

  1. $\sqrt[3]{8}$
  2. $\sqrt[3]{-1}$
  3. $\sqrt[3]{27}$
  4. $\sqrt[3]{-125}$

  1. $\sqrt[3]{8} = 2$
  2. $\sqrt[3]{-1} = -1$
  3. $\sqrt[3]{27} = 3$
  4. $\sqrt[3]{-125} = -5$

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt graafisesti, eli piirrä teknisellä apuvälineellä samaan kuvaan vasemman ja oikean puolen funktioiden kuvaajat. Graafisissa ratkaisuissa vastaukset annetaan aina likiarvoina.

  1. $x^3 = 2$
  2. $x^3 = -7$
  3. $x^3=10$

  1. $x \approx 1{,}2$ (tai $x\approx 1{,}3$)
  2. $x\approx -1{,}9$
  3. $x \approx 2{,}1$ (tai $x\approx 2{,}2$)

Kolmannen asteen potenssiyhtälöiden ratkaisut saadaan ilmaistua juuren avulla samalla tavalla kuin toisen asteen potenssiyhtälöissä. Koska kolmannen asteen potenssifunktio saa jokaisen arvonsa ainoastaan kerran, on yhtälön ratkaisuja olemassa aina tasan yksi.

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Anna ratkaisujen tarkat arvot juurimerkintää käyttäen ja määritä laskimen avulla likiarvot kahden desimaalin tarkkuudella.

  1. $x^3 = 2$
  2. $x^3=-8$
  3. $2x^3-1=7$

  1. $x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$
  2. $x = \sqrt[3]{8}=-2{,}00$
  3. $x = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}59$

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Anna ratkaisujen tarkat arvot juurimerkintää käyttäen ja määritä laskimen avulla likiarvot kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Merkitsevät numerot ovat desimaaliluvuissa kaikki muut, paitsi luvun alussa olevat nollat. Huoomaa, että toisen asteen potenssiyhtälöissä ratkaisuja on nolla, yksi tai kaksi kappaletta, kun taas kolmannen asteen potenssiyhtälössä ratkaisuja on aina yksi.

  1. $3x^2-5=1$
  2. $-x^2 = 4$
  3. $-5x^3+9=10$

Tehtävässä esiintyvät ominaisuudet ratkaisujen lukumääristä ja ratkaisutavasta yleistyvät kaikkiin potenssiyhtälöihin. Esimerkiksi yhtälön $x^4=16$ ratkaisu on $x=\sqrt[4]{16}=2$ tai $x=-\sqrt[4]{16}=-2$.

  1. $x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}4$
  2. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska $\sqrt{-4}$ ei ole määritelty.
  3. $x = \sqrt[3]{-\dfrac{1}{5}} \approx -0{,}58$

Funktion määritelmä

Palauta mieleesi funktion käsitteen määritelmä ja päättele sen avulla, mitkä alla olevista kuvista voivat esittää jonkin funktion kuvaajaa välillä $-2 \leq x \leq 2$. Perustele jokaisen kuvan kohdalla omin sanoin, onko kysymyksessä funktion kuvaaja vai ei.

Funktion kuvaajaa välillä $-2 \leq x \leq 2$ voivat esittää vaihtoehdot B, D ja E. Vaihtoehdot A, C, ja F eivät esitä välillä $-2 \leq x \leq 2$ määriteltyä funktiota.

Funktion kuvaajan tulkinta

Alla on erään funktion $f$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f$ arvo kohdassa $x=5$?
  2. Mitä on $f(0)$?
  3. Onko funktiolla $f$ nollakohta tai nollakohtia? Jos on, mitä ne ovat?

  1. $4$
  2. $f(0) = 3$
  3. Nollakohdat ovat $x = -2$, $x = 2$ ja $x = 4$.

Funktion arvot ja funktion kuvaaja

Piirrä funktion $$g(x) = -\dfrac{1}{2}x^2+2x+2$$ kuvaaja laskimella välillä $-3 \leq x \leq 7$. Päättele kuvaajan avulla, missä kohdassa funktio $g$ saa arvon

  1. $2$
  2. $4$
  3. $6$.
  4. Mikä on funktion $g$ suurin arvo? Millä muuttujan $x$ arvolla funktio saa tämän arvon?

  1. $x = 0$ ja $x = 4$
  2. $x = 2$
  3. Ei millään
  4. Suurin arvo on $4$, kohdassa $x = 2$.

Funktion arvot ja funktion kuvaaja

Tutkitaan funktiota $f$, jolle $f(x) = -x^2-3x+4$.

  1. Laske funktion $f$ arvo kohdassa $x = -2$.
  2. Päättele edellisen kohdan tuloksen avulla, onko piste $(-2,5)$ funktion $f$ kuvaajalla, sen yläpuolella vai sen alapuolella.
  3. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista sen avulla, päädyitkö edellisessä kohdassa oikeaan johtopäätökseen.

  1. $f(-2) = 6$
  2. Kuvaajan alapuolella.

Funktion kuvaajan tulkinta

Oheisessa kuviossa on erään funktion $f(x)$ kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla ne muuttujan $x$ arvot, joille $-2 \leq x \leq 4$ ja

  1. $f(x)=1$
  2. $f(x) \leq 0$.
[Lyhyt S2015/3ab]

  1. Kaksi kohtaa: $x = -1$ ja $x = 3$
  2. $0 \leq x \leq 2$

Funktion kuvaajan tulkinta

Alla olevaan kuvaan on piirretty funktioiden $f(x) = 0{,}5x$ ja $g = -0{,}25x^2 + 2$ kuvaajat. Päättele niiden avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Missä kohdissa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon?
  2. Mitkä ovat yhtälön $0{,}5x = -0{,}25x^2+2$ ratkaisut?

  1. Kaksi kohtaa: $x = -4$ ja $x = 2$
  2. $x = -4$ tai $x = 2$

Funktio

Mittausten perusteella erään bussilinjan matka-ajan riippuvuutta ruuhkasta kuvaa funktio $f(x) = 0{,}0005x^2+0{,}01x+18$, missä $x$ on reitin vilkkaimpaan risteykseen saapuvien ajoneuvojen määrä yhden minuutin aikana. (Funktion arvo ilmaisee matka-ajan minuutteina.)

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $0 \leq x \leq 200$ teknisellä apuvälineellä.
  2. Päättele kuvaajasta, kuinka monta autoa risteykseen saa enintään saapua, jotta matka-aika olisi alle 30 minuuttia. Tarkenna kuvaa tarvittaessa pienentämällä tarkasteluväliä.
  3. Määritä laskemalla, miten paljon matka-aika pitenee, jos risteykseen minuutin aikana saapuvien autojen määrä kasvaa viidestäkymmenestä sataan.

  1. Noin 145 autoa.
  2. 4 min 15 s.

Funktio

Kun seurattiin paistolämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että neljässä minuutissa lämpötila kohosi 2 ${}^\circ$C. Kun paisti laitettiin uuniin, lämpömittarin lukema oli 35 ${}^\circ$C.

  1. Muodosta lauseke funktiolle $f(t)$, joka kuvaa paistin sisälämpötilaa ajan $t$ funktiona.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $0 \leq t \leq 80$ teknisellä apuvälineellä.
  3. Keittokirjan mukaan paisti on kypsä, kun sen sisälämpötilan on 60 ${}^\circ$C. Päättele piirtämäsi kuvaajan avulla, kuinka kauan paistin kypsennys kestää. (Pienennä väliä $0 \leq t \leq 80$ tarvittaessa saadaksesi tarkemman tuloksen.)
  4. Jos paisti laitettiin uuniin klo 16, mihin aikaan se on valmis?

  1. $f(t) = 35 + 0{,}5t$
  2. 50 min
  3. 16:50

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Yllä olevassa kuvassa on joidenkin ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko liittämällä kuhunkin funktioon sen kuvaaja.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x-0{,}5 \ $
$g(x) = 1{,}5x+0{,}5$
$h(x) = -2x+2$
$k(x) = -x+1$

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x-0{,}5 \ $ B
$g(x) = 1{,}5x+0{,}5$ A
$h(x) = -2x+2$ D
$k(x) = -x+1$ C

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Yllä olevassa kuvassa on joidenkin ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko liittämällä kuhunkin funktioon sen kuvaaja.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = -x+0{,}5 \ $
$g(x) = -2x+0{,}5$
$\ h(x) = 0{,}5x+0{,}5 \ $
$k(x) = 1{,}5x+0{,}5$

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x-0{,}5 \ $ C
$g(x) = 1{,}5x+0{,}5$ D
$h(x) = -2x+2$ B
$k(x) = -x+1$ A

Ensimmäinen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt kahdella eri tavalla.

  1. $3(x-2)=6$
  2. $7(x+1)+3(x+1)=20$

  1. $x=4$. Yhtälön voi ratkaista joko kertomalla ensin sulut auki tai jakamalla aluksi molemmat puolet luvulla 3.
  2. $x=1$. Yhtälön voi ratkaista joko kertomalla ensin sulut auki tai yhdistämällä aluksi vasemman puolen lausekkeet $10(x+1)$, jonka jälkeen voi jakaa molemmat puolet luvulla 10.

Potenssiyhtälöitä

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna vastaukset tarkkoina arvoina sekä kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $3x^2-2=x^2+4$
  2. $-x^2+5=0$
  3. $-2x^3+1=6x^3+10$

  1. $x=\pm \sqrt{3}\pprox \pm1{,}73$
  2. $x=\pm \sqrt{5} \approx \pm 2{,}24$
  3. $x=-\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}}\approx -1{,}04$.

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99

  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2 000 kWh vuodessa?
[Lyhyt S2015/6]

  1. $a(x) = 0{,}0662x + 4{,}02$ ja $b(x) = 0{,}0799x + 3{,}75$
  2. 50 min
  3. 16:50

Erästä tuotetta myydään päivittäin 55 kappaletta, kun sen hinta on 35 euroa. Hinnan laskemisen on todettu vaikuttavan päivämyyntiin niin, että yhden euron alennus lisää aina menekkiä viidellä kappaleella.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun yhden tuotteen hinta on 35 euroa?
  2. Jos hintaa lasketaan $x$ euroa, kuinka monta kappaletta tuotetta myydään?
  3. Muodosta lauseke funktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa hintaa on laskettu $x$ euroa.
  4. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $f$ on määritelty?
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $5 \leq x \leq 20$ laskimellasi tai esimerkiksi Wolfram|Alphalla. Wolfram|Alphalla piirtäminen onnistuu esimerkiksi komennolla plot $f(x) = x+1$, $x$ from 5 to 20 (muuta funktion lauseke oikeaksi).
  6. Päättele kuvaajan avulla, kuinka paljon hintaa pitää alentaa, jotta päivittäisen myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri.
  7. Mikä tuotteen hinnaksi kannattaa valita, jos haluaa mahdollisimman suuren myynnin kokonaisarvon? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 1925 euroa
  2. $55 + 5x$
  3. $f(x) = (55 + 5x)(35-x)$
  4. $0 \leq x \leq 35$
  5. 12 euroa
  6. 23 euroa, 2645 euroa.

Joen rannalla oleva suorakulmion muotoinen alue aidataan kolmelta sivulta 100 m pitkällä köydellä.

  1. Jos rannan suuntaisen sivun pituus on $x$, mikä on kahden muun sivun pituus?
  2. Muodosta lauseke funktiolle $A(x)$, joka ilmaisee aidatun alueen pinta-alan rannan suuntaisen sivun pituuden $x$ funktiona.
  3. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $A(x)$ on määritelty?
  4. Piirrä funktion $A$ kuvaaja laskimellasi tai esimerkiksi Wolfram|Alphalla.
  5. Päättele kuvaajan avulla, kuinka pitkäksi rannan suuntainen sivu pitää valita, jotta aidatun alueen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri.
  6. Mikä on aidatun alueen suurin mahdollinen pinta-ala?

  1. $\frac{100-x}{2}$
  2. $A(x) = \frac{100x-x^2}{2}$
  3. $0 < x < 100$
  4. 50 m
  5. 1250 m$^2$

Neliön muotoisen levyn sivun pituus on 300 mm. Levystä leikataa kuvion mukaisesti nurkat pois ja levy taitetaan laatikoksi, jossa ei ole kantta.

  1. Askartele paperista malli laatikolle.
  2. Esitä syntyneen laatikon tilavuus $V$ pois leikatun nurkkapalan sivun pituuden $h$ funktiona eli määritä $V(h)$.
  3. Millä muuttujan $h$ arvoilla funktio $V(h)$ on määritelty?
  4. Piirrä funktion $V(h)$ kuvaaja laskimella tai esimerkiksi Wolfram|Alphalla.
  5. Päättele kuvaajan avulla, kuinka suuri pituuden $h$ on oltava, jotta saadaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri laatikko.
  6. Laske funktion $V(h)$ avulla, mikä suurin mahdollinen tilavuus on. Anna vastaus kuutiodesimetreinä (dm$^3$) eli litroina (l). Selvitä tarvittaessa netistä, miten tilavuuden yksiköt mm$^3$, cm$^3$ ja dm$^3$ liittyvät toisiinsa.

  1. $V(h) = h\cdot (300-h)^2$
  2. $0 < h < 150$
  3. 100 mm
  4. 4 dm$^3$ eli 4 litraa.

Funktion määrittelyehto

Keksi esimerkki funktiosta, jonka määrittelyehto on

  1. $x \neq 1$
  2. $x \neq -9$
  3. $x \neq 2$ ja $x \neq 5$.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. Ohessa on erään funktion $f(x)$ kuvaaja. Vastaa kuvaajan avulla seuraaviin kysymyksiin. Muista perustella vastauksesi.
a) Määritä $f(−1)$ ja $f(0).$
b) Määritä funktion $f(x)$ nollakohdat.
c) Millä muuttujan $x$ arvoilla on $f(x)=1$? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.


2. Ratkaise seuraavat yhtälöt ilman teknistä apuvälinettä.
a) $2-(x+1)=3x$
b) $x^3=-64$
c) $3x^2-27=0$

Yhtälöpari ja verrannollisuus

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset yhtälöparin ratkaisemisen ja pystyt soveltamaan suoraan ja kääntäen verrannollisuutta arkielämän ongelmien ratkaisemiseen. Osaat

  • ratkaista yhtälöparin graafisesti piirtämällä sopivan kuvan
  • tarkistaa sijoittamalla, että löydetty ratkaisu on oikea
  • päätellä kuvan avulla, onko yhtälöparilla ratkaisuja ja kuinka monta niitä on
  • ratkaista yhtälöparin käsin laskemalla
  • ratkaista yhtälöparin teknisellä apuvälineellä
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia yhtälöparin avulla
  • tunnistaa, ovatko suureet suoraan tai kääntäen verrannollisia
  • jäsentää ongelman tiedot taulukon muotoon
  • muodostaa ja ratkaista verrannon tai muun sopivan yhtälön

Edellisessä luvussa tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita. Kun tutkittiin, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädyttiin ensimmäisen asteen yhtälöön. Kun tutkitaan, missä kohdassa kaksi ensimmäisen asteen polynomifunktiota saavat saman arvon, päädytään lineaariseen yhtälöpariin.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden $f(x) = x-1$ ja $g(x) = -2x + 11$ kuvaajat.

  1. Päättele kuvan avulla, missä kohdassa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon. Toisin sanottuna etsi sellainen muuttujan $x$ arvo, jolla $f(x) = g(x)$.
  2. Mikä on se arvo, jonka funktiot saavat samassa kohdassa?

  1. Funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4$.
  2. Funktiot saavat kohdassa $x = 4$ arvon $3$. Toisin sanottuna $f(4) = 3$ ja $g(4) = 3$.

Edellisessä tehtävässä ratkaistiin graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-1 \\ y & = -2x + 11 \end{aligned}\right. $$ Sen ratkaisu on lukupari $x = 4$ ja $y = 3$, sillä suorien leikkauspiste $(4,3)$ toteuttaa kummankin suoran yhtälön.

Graafisen ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla kuten seuraavassa tehtävässä tehdään.

Tarkista sijoittamalla, että lukupari $x = 4$ ja $y = 3$ toteuttaa yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-1 \\ y & = -2x + 11 \end{aligned}\right. $$ molemmat yhtälöt.

Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3$.
Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $4-1 = 3$.
Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria, joten yhtälö toteutuu.

Toisen yhtälön vasen puoli: $3$.
Toisen yhtälön oikea puoli: $-2 \cdot 4 + 11 = -8 + 11 = 3$.
Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria, joten yhtälö toteutuu.

Opiskelija sai tehtäväkseen ratkaista yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y & = 5 \\ 2x - 3y & = 3. \end{aligned}\right. $$ Hän piirsi Geogebralla kuvan, joka on näkyvissä alla. Päättele, mikä on yhtälöparin ratkaisu. Tarkista vastaus sijoittamalla.

Yhtälöparin ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$.

Tarkistus:
Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$.
Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $5$.
Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
Toisen yhtälön vasen puoli: $2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3$.
Toisen yhtälön oikea puoli: $3$.
Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Ensimmäisen asteen yhtälöparilla ei välttämättä ole lainkaan ratkaisuja. Seuraava tehtävä havainnollistaa asiaa.

  1. Opiskelija A ratkaisi graafisesti yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} y & = 2x - 3 \\ 10x & = 5y + 5 \end{aligned}\right. $$ ja päätteli alla näkyvästä piirroksesta, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Onko opiskelijan päättely oikein? Jos opiskelijan päättely ei ole oikein, anna hänelle ohje, mitä hänen kannattaa tehdä oikeaan johtopäätökseen pääsemiseksi.
  2. Opiskelija B ratkaisi graafisesti yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} 6x + 5y & = 3 \\ 4x & = 10 - 5y \end{aligned}\right. $$ ja päätteli alla näkyvästä piirroksesta, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Onko opiskelijan päättely oikein? Jos opiskelijan päättely ei ole oikein, anna hänelle ohje, mitä hänen kannattaa tehdä oikeaan johtopäätökseen pääsemiseksi.

  1. Opiskelijan johtopäätös on oikein. Kuvasta voi nimittäin nähdä, että suorat ovat yhdensuuntaiset. Sen vuoksi ne eivät leikkaa myöskään kuvan ulkopuolella. Yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua.
  2. Opiskelijan johtopäätös on väärin. Kuvasta voi nimittäin päätellä, että suorat leikkaavat toisensa jossain pisteessä kuvan ulkopuolella. Yhtälöparilla siis on ratkaisu, mutta sen löytämiseksi pitäisi piirtää isompi koordinaatisto.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että lineaarisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Kolmas mahdollinen tilanne on, että lineaarisella yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua. Tällainen tilanne syntyy, jos yhtälöparin molemmat yhtälöt kuvaavat samaa suoraa. Silloin yhtälöparin ratkaisuja ovat kaikki suoran pisteet. Yhteenveto:

  • Jos suorat leikkaavat toisensa, ratkaisuja on täsmälleen yksi (suorien leikkauspiste):
  • Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ratkaisuja ei ole:
  • Jos yhtälöt kuvaavat samaa suoraa, ratkaisuja ovat kaikki suoran pisteet:

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x - 3y & = 9 \\ 2x + 4y & = 5. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä sopiva kuva esimerkiksi Geogebralla ja päättele yhtälöparin ratkaisu sen avulla.
  2. Tarkista sijoittamalla, onko löytämäsi ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. Yhtälöparin ratkaisu näyttää pelkän kuvan perusteella olevan likimain $x \approx 5{,}1$ ja $y \approx - 1{,}3$.
  2. Tarkistus:
    Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: \begin{align*} 5{,}1 - 3 \cdot (-1{,}3) &= 5{,}1 + 3{,}9 \\ &= 9. \end{align*} Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $9$. Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Toisen yhtälön vasen puoli: \begin{align*} 2 \cdot 5{,}1 + 4\cdot (-1{,}3) &= 10{,}2 - 5{,}2 \\ &= 5$ \end{align*} Toisen yhtälön oikea puoli: $5$.
    Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Kuvan avulla onnistuttiin löytämään tarkka ratkaisu.

Joissain tilanteissa yhtälöparin tarkan ratkaisun löytäminen piirroksen avulla ei ole mahdollista. Silloin tarvitaan muita ratkaisumenetelmiä. Seuraavassa kappaleessa opitaan ratkaisemaan yhtälöpari laskemalla eli algebrallisesti.

Tässä kappaleessa opetellaan ratkaisemaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. Tämän menetelmän avulla yhtälöparin tarkka ratkaisu löydetään silloinkin, kun se ei pelkän kuvan avulla onnistu. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspisteen koordinaateille saadaan vain likimääräiset arvot $x \approx 1{,}7$ ja $y \approx -0{,}3$.

Suorien leikkauspisteen tarkat koordinaatit saadaan ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-2 \\ y & = -2x+3. \end{aligned}\right. $$ Ylemmässä yhtälössä $y$ on yksinään vasemmalla puolella. Yhtälö siis kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoitetaan tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Näin saadaan uusi yhtälö, jossa on ainoana tuntemattomana $x$: $$ x - 2 = -2x + 3. $$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista normaaliin tapaan: \begin{align*} x - 2 &= -2x + 3 \quad \mid {} + 2 \\[1mm] x &= -2x + 5 \quad \mid {} + 2x \\[1mm] 3x &= 5 \quad \mid \, : 3 \\[1mm] x &= \dfrac{5}{3} \end{align*} Kun $x$ on ratkaistu, otetaan ylempi yhtälö uudestaan käyttöön. Sen avulla saadaan laskettua muuttujan $y$ arvo: \begin{align*} y &= x-2 = \dfrac{5}{3} - 2 = \dfrac{5}{3} - \dfrac{3 \cdot 2}{3} \\[1mm] &= \dfrac{5-6}{3} = \dfrac{-1}{3} \end{align*} Yhtälöparin ratkaisu on siis $$ x = \dfrac{5}{3} \ \text{ ja } \ y = -\dfrac{1}{3}. $$ Nämä ovat suorien leikkauspisteen koordinaatit.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = 6x-5 \\ y & = -3x + 25. \end{aligned}\right. $$

  1. Ylempi yhtälö kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoita tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Millaisen yhtälön saat?
  2. Ratkaise a-kohdan yhtälöstä $x$.
  3. Ota ylempi yhtälö uudelleen käyttöön ja laske sen avulla muuttujan $y$ arvo. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  4. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Yhtälö on $6x - 5 = -3x+25$.
  2. $x = \dfrac{10}{3}$
  3. $y = 6x - 5 = 6 \cdot \dfrac{10}{3} - 5 = 20 - 5 = 15$. Yhtälöparin ratkaisu on $$ x = \dfrac{10}{3} \ \text{ ja } \ y = 15. $$
  4. Huomaa, että alla olevaan kuvaan on sovitettu näkyviin juuri suorien leikkauspiste eivätkä koordinaattiakselit näy kokonaan:

Yhtälöparin yhtälöt eivät välttämättä ole valmiiksi sopivassa muodossa sijoittamista varten. Siinä tapauksessa pitää ensin valita toinen yhtälöistä ja muokata sitä niin, että toinen muuttuja on yksin yhtälön vasemmalla puolella. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y + 2x & = 5 \\ 3y - 4x & = 7. \end{aligned}\right. $$

  1. Muokkaa ylempää yhtälöä niin, että sen vasemmalla puolella on pelkkä $y$. Millaisen yhtälön saat?
  2. Saamasi yhtälö kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoita tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Millaisen yhtälön saat?
  3. Ratkaise b-kohdan yhtälöstä $x$.
  4. Ota a-kohdan yhtälö uudelleen käyttöön ja laske sen avulla muuttujan $y$ arvo. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  5. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Yhtälö on $y = 5-2x$.
  2. Yhtälö on $3(5-2x) - 4x = 7$.
  3. $x = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.$
  4. Sijoitetaan: \begin{align*} y &= 5 - 2x = 5 - 2 \cdot 0{,}8 \\ &= 5 - 1{,}6 = 3{,}4. \end{align*} Yhtälöparin ratkaisu on $$ x = 0{,}8 \ \text{ ja } \ y = 3{,}4. $$
  5. Kuva:

Kannattaa aina ensimmäiseksi katsoa, kumpi yhtälö on helpompi muokata muotoon, jossa toinen muuttuja on yksinään vasemmalla puolella. Joskus on helpompi muokata yhtälöä niin, että vasemmalle puolelle jää pelkkä $x$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 3y + 2x & = 2 \\ 2y + x & = -1. \end{aligned}\right. $$

  1. Onko yhtälöparissa yhtälö, jossa toinen muuttujista esiintyy ilman kerrointa (eli kertoimella 1)? Valitse tämä yhtälö ja muokkaa sitä niin, että vasemmalle puolelle jää toinen muuttujista yksinään. Millaisen yhtälön saat?
  2. Jatka yhtälöparin ratkaisua normaaliin tapaan sijoittamalla. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  3. Tarkista yhtälöparin ratkaisu teknisellä apuvälineellä esimerkiksi TI Nspirellä. Ohje yhtälöparin ratkaisuun on tässä.

  1. Alemmassa yhtälössä esiintyy pelkkä $x$. Yhtälö voidaan muokata muotoon $x = -1 - 2y$.
  2. Ylempi yhtälö saadaan sijoittamalla muotoon $$3y + 2(-1-2y) = 2.$$ Siitä saadaan ratkaistua välivaiheiden jälkeen $y = -4$. Muuttujan $x$ arvoksi saadaan \begin{align*} x &= -1 - 2y \\ &= -1 - 2 \cdot (-4) \\ &= -1 + 8 = 7. \end{align*}
  3. Kuva:

Jotkin käytännön ongelmat voidaan mallintaa ja ratkaista yhtälöparin avulla. Mallintamisen voi aloittaa kokoamalla kaikki tiedot esimerkiksi taulukkoon. Sen jälkeen pitää miettiä, mitä tietoja puuttuu. Tuntemattomia mutta tarpeellisia tietoja kannattaa merkitä muuttujakirjaimilla.

Kahvila valmistaa omaa kahvisekoitustaan, johon käytetään kahvipapuja Etelä-Amerikasta ja Afrikasta. Etelä-Amerikassa tuotettu papulaatu EA maksaa 26,80 €/kg ja Afrikassa tuotettu papulaatu A maksaa 50,80 €/kg. Kahvila haluaa valmistaa yhden kilogramman sekoitusta, jonka hinnaksi tulee 34,00 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon kumpaakin papulaatua pitää sekoitukseen käyttää.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA
    A
    Sekoitus
  2. Täydennä taulukkoon eri papulaatujen kilohinnat. Merkitse papulaadun EA määrää kirjaimella $x$ ja papulaadun A määrää kirjaimella $y$. Ilmaise sekoituksen määrä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
  3. Laske taulukkoon papulaatujen EA ja A hinnat. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat hinnan, kun tunnet määrän ja kilohinnan. Ilmaise sekoituksen hinta papulaatujen EA ja A hintojen avulla.
  4. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla sekoituksen määrää ja hintaa:
    • Mikä on sekoituksen määrä taulukon mukaan? Miten paljon sekoitusta pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on sekoituksen hinta taulukon mukaan? Mikä sekoituksen hinnan pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri papulaatuja tarvitaan?

  1. Taulukko:
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA $x$ $26{,}80$
    A $y$ $50{,}80$
    Sekoitus $x + y$ $34{,}00$
  2. Taulukko:
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA $x$ $26{,}80$ $x \cdot 26{,}80$
    A $y$ $50{,}80$ $y \cdot 50{,}80$
    Sek. $x + y$ $34{,}00$ $x \cdot 26{,}80 + y \cdot 50{,}80$
  3. Sekoituksen määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 1. $$ Sekoituksen hinnasta saadaan yhtälö $$ 26{,}8x + 50{,}8y = 34. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 1 \\ 26{,}8x + 50{,}8y & = 34. \end{aligned}\right. $$
  4. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 \ \text{ ja } \ y = \dfrac{3}{10} = 0{,}3. $$ Papulaatua EA tarvitaan siis 0,7 kg ja papulaatua A tarvitaan 0,3 kg.

Iiris valmistaa puutarhansa omenista hilloa lahjaksi ystävilleen. Hän säilöö hillon 3 dl ja 5 dl purkkeihin. Hän valmistaa hilloa 14 litraa ja jakaa sen yhteensä 30 purkkiin. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta pientä ja kuinka monta isoa purkkia hänen pitää käyttää. Jääkö jokin purkki vajaaksi?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Merkitse pienten purkkien määrää kirjaimella $x$ ja isompien purkkien määrää kirjaimella $y$. Ilmaise purkkien kokonaismäärä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl
    5 dl
    Yht.
  2. Laske taulukkoon purkeissa olevan hillon kokonaismäärät. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat hillon määrän, kun tunnet yhden purkin tilavuuden ja purkkien määrän. Ilmaise hillon kokonaismäärä eri kokoisten purkkien hillomäärien avulla.
  3. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla purkkien määrää ja hillon määrää:
    • Mikä on purkkien määrä taulukon mukaan? Miten monta purkkia Iiris haluaa tehdä? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on hillon määrä taulukon mukaan? Miten paljon hilloa Iiris valmisti? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri kokoisia purkkeja tarvitaan?

  1. Taulukko:
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl $x$
    5 dl $y$
    Yht. $x+y$
  2. Taulukko:
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl $x$ $x \cdot 0{,}3$
    5 dl $y$ $y \cdot 0{,}5$
    Yht. $x+y$ $x \cdot 0{,}3 + y \cdot 0{,}5$
  3. Purkkien määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 30. $$ Hillon määrästä saadaan yhtälö $$ 0{,}3x + 0{,}5y = 14. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 30 \\ 0{,}3x + 0{,}5y & = 14. \end{aligned}\right. $$
  4. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = 5 \ \text{ ja } \ y = 25. $$ Pieniä 3 dl purkkeja tarvitaan siis 5 kpl ja isompia 5 dl purkkeja tarvitaan 25 kpl. Mikään purkki ei jää vajaaksi.

Tässä luvussa tutustutaan matematiikkaan, jota suuri osa ihmisistä käyttää arkipäiväisessä elämässään kiinnittämättä asiaan kovin paljon huomioita. Seuraavassa tehtävässä on yksi tällainen tilanne. Voit ratkaista tehtävän esimerkiksi arkijärjellä päättelemällä tai jollakin muulla sinulle luontevalla tavalla.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon maksaa 285 g kuivattuja päärynöitä?

4,25 €.

Tutkitaan seuraavaksi, millaista matematiikkaa edelliseen tehtävään liittyy. Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja massaa. Suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: päärynöiden massa on 285 g.

Jos suureilla on sama yksikkö, niitä voidaan verrata muodostamalla niiden suhde eli osamäärä. Esimerkiksi voidaan verrata päärynöiden massoja: $$ \dfrac{285 \text{ g}}{100 \text{ g}} = 2{,}85. $$ Päärynöiden hinta on ilmaistu sanomalla, että 100 grammaa maksaa 1,49 €. Yllä olevan suhteen mukaan massa 285 g on siihen verrattuna 2,85-kertainen, joten hintakin on 2,85-kertainen. Siis 285 g päärynöitä maksaa $$ 2{,}85 \cdot 1{,}49 \ \euro = 4{,}2465 \ \euro \approx 4{,}25 \ \euro. $$

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi aiemmassa tehtävässä. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon kuivattuja päärynöitä saa viidellä eurolla?

Noin 335 grammaa.

Usein tehtävän ratkaisu helpottuu, jos kokoaa kaikki tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon. Kysyttä asiaa voi merkitä kirjaimella $x$. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Määrä (g) Hinta (€)
Asiakkaalla $x$ 5,00
Hintalapussa 100 1,49

Taulukosta saadaan muodostettua kaksi suhdetta: päärynöiden määrän suhde ja päärynöiden hinnan suhde. Jos päärynöiden määrä esimerkiksi kaksinkertaistuu, myös hinta kaksinkertaistuu. Vaikka suureet muuttuvat, niiden suhteet pysyvät samana. Saadaan yhtälö $$ \dfrac{x}{100} = \dfrac{5{,}00}{1{,}49}. $$ Tällainen yhtälö, jossa kaksi suhdetta on merkitty yhtä suuriksi, on nimeltään verranto. Kysytty päärynöiden määrä saadaan selville, kun verrannon molemmat puolet kerrotaan sadalla: \begin{align*} \dfrac{x}{100} &= \dfrac{5{,}00}{1{,}49} \quad \mid \ \cdot 100\\[1mm] x &= \dfrac{100 \cdot 5{,}00}{1{,}49} \approx 335{,}57 \end{align*} Viidellä eurolla saadaan siis noin 336 grammaa kuivattuja päärynöitä. Tarkasti ottaen tässä pyöristyksen voi tehdä alaspäin: jos käytettävissä on enintään 5,00 euroa, riittää se 335 grammaan päärynöitä, mutta 336 grammaa maksaa jo hiukan liikaa.

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi aiemmassa tehtävässä. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata ja tutkia myös graafisesti. Tähän perehdytään seuraavassa tehtävässä.

Tässä tehtävässä tutkitaan päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta graafisesti eli kuvan avulla.

  1. Tiedetään, että 100 g kuivattuja päärynöitä maksaa 1,49 €. Täytä tämän tiedon avulla seuraava taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0
    100 1,49
    200
    300
    400
    500
    600
    700
    800
  2. Jokainen taulukon rivi vastaa koordinaatiston pistettä. Esimerkiksi yksi piste on $(100; 1{,}49)$. Piirrä samanlainen koordinaatisto kuin alla ja merkitse kaikki muutkin pisteet siihen. Millainen kuvio pisteistä muodostuu?
  3. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon maksaa 650 g kuivattuja päärynöitä? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
  4. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon kuvattuja päärynöitä saa 7 eurolla? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

  1. Taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0 0
    100 1,49
    200 2,98
    300 4,47
    400 5,96
    500 7,45
    600 8,94
    700 10,43
    800 11,92
  2. Pisteet asettuvat suoralle:
  3. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, mikä suoran pisteen $y$-koordinaatti on kohdassa $x = 650$. Havaitaan, että 650 g päärynöitä maksaa noin 9,7 euroa:
  4. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, missä kohdassa suoran pisteen $y$-koordinaatti on $y = 7$. Havaitaan, 7 eurolla saa noin 470 grammaa päärynöitä:

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata origon kautta kulkevalla suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan suoraan verrannollisilla suureilla.

MÄÄRITELMÄ: SUORAAN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = kx.$$ Vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin suoraan verrannollisuutta kuvaa nouseva suora:

Kuvasta nähdään, että suoraan verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat samaan suuntaan: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), myös suureen $y$ arvo kasvaa (eli liikutaan $y$-akselia ylöspäin). Suureiden välinen suhde on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = kx$$ seuraa, että $$ \dfrac{y}{x} = k. $$ Suoraan verrannolliset suureet muuttuvat siis samassa suhteessa: Jos toinen vaikkapa kolminkertaistuu, myös toinen kolminkertaistuu. Suureiden suhde pysyy samana.

Päättele kuvaajista, ovatko suureet $x$ ja $y$ suoraan verrannolliset. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset. Koska suora kulkee pisteen $(0,1)$ kautta, sen yhtälö on muotoa $y = kx + 1$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora $y = kx$.
  3. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset, sillä niiden välistä riippuvuutta ei kuvaa minkäänlainen suora.

Jos suureet ovat suoraan verrannolliset, voidaan tuntemattomia arvoja selvittää verrannon avulla kuten jo aiemmin tehtiin. Käytännössä suoraan verrannolliset suureet tunnistetaan, kun mietitään arkijärjellä, kasvavatko suureet samassa suhteessa. Tämän voi tehdä esimerkiksi miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa myös toinen suure kaksinkertaistuu, ovat suureet suoraan verrannolliset.

Leirille osallistuu 26 henkeä. Aamupalalla tarjoillaan kaurapuuroa. Kaurahiutalepaketin ohjeen mukaan neljän hengen annokseen laitetaan 5 dl kaurahiutaleita ja 1,25 litraa vettä. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta 500 g kaurahiutalepakettia leiriä varten pitää ostaa, kun leiri kestää kolme vuorokautta. Kaurahiutalepaketin kyljestä nähdään, että 1 dl kaurahiutaleita painaa n. 35 grammaa.

  1. Tunnista tehtävästä kaksi suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia. Keksitkö vielä kaksi muuta suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia? Selitä omin sanoin, miten päättelit niiden olevan suoraan verrannollisia.
  2. Selvitä, kuinka paljon kaurahiutaleita tarvitaan, kun puuroa keitetään 26 hengelle. Muodosta sopiva verranto ja ratkaise se. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa.
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä
    Paketin reseptissä
  3. Ilmaise b-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella
    Paketin kyljessä
  4. Kuinka paljon kaurahiutaleita kuluu koko leirin aikana? Kuinka monta 500 gramman pakettia kannattaa ostaa?

  1. Suoraan verrannollisia ovat esimerkiksi ihmisten lukumäärä ja tarvittavien kaurahiutaleiden määrä. Nimittäin jos ihmisten määrä kaksinkertaistuu, tarvitaan myös kaurahiutaleita kaksinkertainen määrä.

    Suoraan verrannollisia ovat myös esimerkiksi puuroon käytettävä kaurahiutaleiden määrä ja veden määrä. Jos toinen kaksinkertaistetaan, pitää toinenkin kaksinkertaistaa, jotta puuro onnistuu.

  2. Taulukko:
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä $x$ 26
    Paketin reseptissä 5 4
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{26}{4}. $$ Ratkaisu on $x = 32{,}5$ dl.
  3. Ilmaise a-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella 32,5 $y$
    Paketin kyljessä 1 35
    Saadaan verranto $$ \dfrac{y}{35} = \dfrac{32{,}5}{1}. $$ Ratkaisu on $y = 1137{,}5$ g. Kun otetaan huomioon, että lähtötiedoissa on 2-3 merkitsevää numeroa, on tulos järkevää pyöristää samaan tarkkuuteen: yhtenä aamuna kuluu noin 1140 grammaa kaurahiutaleita.
  4. Edellisen kohdan avulla voidaan arvioida, että koko leirin aikana kuluu noin $3 \cdot 1140 \text{ g} = 3420 \text{ g}$ kaurahiutaleita. Koska $$ \dfrac{3420 \text{ g}}{500 \text{ g}} = 6{,}84, $$ tarvitaan seitsemän 500 gramman pakettia. Tarkistus: $7 \cdot 500 \text{ g} = 3500 \text{ g}$ eli riittävästi.

Edellisessä tehtävässä selvitettiin kaurahiutaleiden määrä verrannon avulla, kun tiedetiin, että kaurahiutaleiden määrä ja ihmisten määrä ovat suoraan verrannollisia. Oikeanlaisen verrannon muodostamisessa kannattaa käyttää apuna taulukkoa:

Suure A Suure B
Tilanne 1
Tilanne 2

Taulukossa oleellista on, että kumpikin suure on omassa sarakkeessaan ja niiden arvot eri tilanteissa ovat johdonmukaisesti omilla riveillään. Tällöin taulukosta saadaan suoraan muodostettua sopiva verranto. Verrannon ratkaiseminen on helpointa, jos taulukon laatii niin, että kysytty asia on taulukon ylimmällä rivillä.

Laura pyöräilee 5,9 kilometrin matkan kirjastoon 22 minuutissa.

  1. Uimahalli on 8,2 km päässä. Kuinka kauan Lauran pyörämatka uimahallille kestää? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  2. Viikonloppuna Laura päättää pyöräillä kaverinsa luo. Matkan pituus on reittioppaan mukaan 13,3 km. Kuinka paljon aikaa Lauran kannattaa varata matkaan? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  3. Kumpi a- ja b-kohdan tuloksista mielestäsi paremmin ennustaa pyörämatkan todellista kestoa? Selitä omin sanoin, miten ja miksi matkan todellinen kesto voi poiketa lasketusta.

  1. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Uimahalli $x$ 8,2
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{8{,}2}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{8{,}2}{5{,}9} \approx 31$$ eli noin 31 minuuttia.
  2. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Kaveri $x$ 13,3
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{13{,}3}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{13{,}3}{5{,}9} \approx 50$$ eli noin 50 minuuttia.
  3. Voi ajatella, että a-kohdan tulos saattaa olla luotettavampi, koska lyhyemmällä matkalla jaksaa paremmin pitää saman nopeuden kuin kirjastoon ajaessa. Sääolosuhteet ja esimerkiksi liikennevalot voivat vaikuttaa molempien matkojen kestoon.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen auton nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin. Märällä tiellä mitattiin auton jarrutusmatkaksi 10 metriä, kun jarrutus aloitettiin 40 km/h nopeudesta.

  1. Selvitä, mikä olisi jarrutusmatka vastaavissa olosuhteissa, jos nopeus jarrutuksen alkaessa olisi 60 km/h. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio
    Mittaus
  2. Tutki, miten jarrutusmatka pitenee, jos nopeus kaksinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan nopeuden ja selvittää sitä vastaavan jarrutusmatkan samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $60^2 = 3600$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{3600}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{36}{16} = 22{,}5$$ eli noin 23 metriä.
  2. Voidaan käyttää nopeutta $$2 \cdot 40 \text{ km/h} = 80 \text{ km/h}.$$ Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $80^2 = 6400$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{6400}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{64}{16} = 40.$$ Nopeuden kaksinkertaistuessa jarrutusmatka muuttuu 10 metristä 40 metriin eli nelinkertaistuu.

Tässä kappaleessa tutustutaan toiseen yleiseen verrannollisuuden lajiin: kääntäen verrannollisuuteen. Sekin esiintyy useissa arkisissa tilanteissa, joista yksi esimerkki on seuraavassa tehtävässä. Voit ratkaista tehtävän jollakin sinulle sopivalla tavalla päättelemällä.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Kuinka paljon vettä jokaiselle juoksijalle riitti, jos osallistujia oli lopulta vain 239?

Noin 4,0 dl.

Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: juoksijoiden määrää ja juomaveden määrää. Ratkaisun kannalta oleellinen tieto on näiden tulo eli juomaveden kokonaismäärä: $$ 274 \cdot 3{,}5 \text{ dl} = 959 \text{ dl.} $$ Juomaveden kokonaismäärä ei muutu, vaikka osallistujia tulisi odotettua vähemmän. Osallistujaa kohti käytettävissä olevan veden määrä saadaan jakolaskulla: $$ \dfrac{959 \text{ dl}}{239} \approx 4{,}0 \text{ dl.} $$

Urheilutapahtumatehtävässä suureiden tulo (juomaveden kokonaismäärä) pysyi vakiona tilanteesta toiseen. Tätä voidaan kuvata yhtälöllä $$yx = k,$$ missä $k$ on vakio. Jos $x \neq 0$, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon $$ y = \dfrac{k}{x}. $$ Tätä muotoa käytetään, kun sovitaan, mitä kääntäen verrannollisuus tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTÄEN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = \dfrac{k}{x}.$$ Tässä vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin kääntäen verrannollisuutta kuvaa koordinaatiston I ja III neljänneksiin sijoittuva hyperbeli:

Kuvasta nähdään, että kääntäen verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat päinvastaisiin suuntiin: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), niin suureen $y$ arvo pienenee (eli liikutaan $y$-akselia alaspäin). Suureiden tulo on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = \dfrac{k}{x}$$ seuraa, että $$ yx = k. $$

Kaisa arvioi, että mökille rakennettavan uuden aidan maalaamiseen kuluu kahdelta henkilöltä 28 tuntia.

  1. Kuinka kauan urakka kestää, jos maalareita on vain yksi?
  2. Kuinka nopeasti aita saadaan maalattua, jos talkoisiin osallistuu yhteensä neljä yhtä tehokasta ihmistä?
  3. Kuinka monta henkilötyötuntia aidan maalaamiseen kuluu? Vaihteleeko se tilanteesta toiseen?
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, mitä tapahtuu maalaamiseen kuluvalle ajalle?

  1. Urakka kestää 56 tuntia.
  2. Aita saadaan maalattua 14 tunnissa.
  3. Aidan maalaamiseen kuluu 56 henkilötyötuntia. Se pysyy vakiona, mutta maalaamiseen kuluva todellinen aika vaihtelee sen mukaan, kuinka monta maalaria on maalaamassa aitaa samaan aikaan.
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, maalaamiseen kuluva aika pienenee puoleen.

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa: jos maalarien määrä esimerkiksi kymmenkertaistuu, pienenee maalaamiseen kuluva aika yhteen kymmenesosaan. Ilmiö on selitys nimitykselle kääntäen verannollisuus.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna, jos halutaan varmistaa, että juomavettä on vähintään 3,0 dl jokaista osallistujaa kohti.

  1. Mieti arkijärjellä, onko osallistujien maksimimäärä suurempi vai pienempi kuin etukäteen ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Selvitä osallistujien maksimimäärä. Voit käyttää apuna esimerkiksi juomaveden kokonaismäärää.
  3. Kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna?

  1. Osallistujamäärä kasvaa, koska veden määrä osallistujaa kohti pienenee. Osallistujamäärä on suurempi kuin ennakkoon ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Osallistujien maksimimäärä on 319.
  3. Jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa $319 - 274 = 45$.

Myös kääntäen verrannollisten suureiden tutkimisessa voi käyttää apuna taulukkoa. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Taulukon kummaltakin riviltä saadaan lauseke juomaveden kokonaismäärälle, joka ei muutu. Saadaan siis yhtälö $$ x \cdot 3{,}0 = 274 \cdot 3{,}5. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista tapahtuman osallistujien määrä: $$ x = \dfrac{274 \cdot 3{,}5}{3{,}0}. $$ Jos tämän yhtälön molemmat puolet jaetaan luvulla 274, saadaan verranto: $$ \dfrac{x}{274} = \dfrac{3{,}5}{3{,}0}. $$ Verrannossa esiintyvät osallistujamäärien suhde ja vastaava juomavesimäärien suhde käänteisenä, kuten alta näkyy: $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{274} } = \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}5} }{3{,}0}. $$

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Kääntäen verrannollisten suureiden suhteet ovat siis toistensa käänteislukuja. Jos toinen suure vaikkapa kolminkertaistuu, pienenee toinen suure yhteen kolmasosaan. Kääntäen verrannolliset suureet voikin tunnistaa miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen suure esimerkiksi kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa toinen suure pienenee puoleen, ovat suureet kääntäen verrannolliset.

Ovatko seuraavat suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin.

  1. Datayhteyden nopeus ja tiedoston lataamiseen kuluva aika.
  2. Polttoaineen litrahinta ja automaatista 20 euron setelillä saatavan polttoaineen määrä.
  3. Jauhojen ja kananmunien määrät kakkureseptissä.
  4. Kiireapulaisen työtuntien määrä ja bruttopalkka.

  1. Kääntäen verrannollisia, sillä jos datayhteyden nopeus kaksinkertaistuu, pienenee tiedoston lataamiseen kuluva aika puoleen.
  2. Kääntäen verrannollisia, sillä jos litrahinta kaksinkertaistuu, pienenee automaatista 20 euron setelillä saatava polttoaineen määrä puoleen.
  3. Suoraan verrannollisia, sillä jos jauhojen määrä kaksinkertaistuu, pitää kaksinkertaistaa myös kananmunien määrä.
  4. Suoraan verrannollisia, sillä jos työtuntien määrä kaksinkertaistuu, kaksinkertaistuu myös bruttopalkka.

Kääntäen verrannollisuudenkin tapauksessa verrantoyhtälön voi muodostaa suoraan taulukosta. Täytyy vain muistaa, että suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Esimerkiksi taulukosta

Aallonpituus (cm) Taajuus (Hz)
Sävel c3 $x$ $1047$
Sävel a1 $\textcolor{blue}{128}$ $\textcolor{blue}{440}$

saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{128} } = \dfrac{\textcolor{blue}{440} }{1047}. $$ Yhtälön ratkaisu helpottuu, jos taulukon ja verrantoyhtälön laatii niin, että tuntematon suure on osoittajassa kuten tässä.

Airbus A321 -lentokoneen matkalentonopeus on 840 km/h. Matka Lontoon Heathrown kentältä Helsinki-Vantaalle kestää keskimäärin 2 tuntia 28 minuuttia. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan matka kestäisi Airbus A350 -koneella, jonka matkalentonopeus on 900 km/h.

  1. Ovatko tehtävässä esiintyvät suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin. Voit miettiä, mitä toiselle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu.
  2. Täydennä tehtävässä annetut tiedot alla olevaan taulukkoon. Huomaa, että aika kannattaa ilmoittaa minuutteina.
    Nopeus (km/h) Aika (min)
    A350
    A321
  3. Muodosta taulukon avulla verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä on A350-koneelta matkaan kuluva aika minuutteina? Entä tunteina ja minuutteina?

  1. Nopeus ja matkaan kuluva aika ovat kääntäen verrannollisia. Jos nopeus kaksinkertaistuu, matkaan kuluva aika pienenee puoleen.
  2. Taulukko:
    Nopeus (km/h) Aika (h)
    A350 900 $x$
    A321 840 148
  3. Suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Taulukon sarakkeista saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{148} = \dfrac{840}{900}. $$ Ratkaisuna saadaan $x \approx 138$. A350-koneelta matkaan kuluu siis noin 138 minuuttia eli 2 tuntia ja 18 minuuttia.
    Huom. yhtälön voi muodostaa myös toisella tavalla: Nopeuden ja ajan tulo ilmaisee matkan pituuden, joka on vakio. Taulukon riveiltä saadaan yhtälö $$ 900x = 840 \cdot 148. $$

Valaistusvoimakkuus on kääntäen verrannollinen valaisimesta mitatun etäisyyden neliöön. Keittiön ruokapöydän yläpuolelle asennetaan pallomainen valaisin, jonka valmistaja lupaa 1,0 metrin etäisyydelle valaistusvoimakkuuden 500 luksia (lx).

  1. Selvitä, mikä on valaistusvoimakkuus keittiön pöydän pinnalla 1,3 metrin päässä valaisimesta. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla
    Valmistajan tiedoissa
    Onko valaistusvoimakkuus riittävä, kun suositus keittiön työtasoille on vähintään 300 luksia?
  2. Tutki, miten valaistusvoimakkuus muuttuu, jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan etäisyyden ja selvittää sitä vastaavan valaistusvoimakkuuden samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Valaistusvoimakkuus on noin 296 luksia. Se on keittiön työtasojen suosituksen alarajalla, joten valaisimen valintaa kannattaa vielä harkita uudelleen.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla $x$ 1,69
    Valmistajan tiedoissa 500 1,00
  2. Jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu, niin valaistusvoimakkuus pienenee yhteen kuudestoistaosaan. Etäisyyden kerrointa 4 vastaa siis valaistusvoimakkuuden kerroin $$ \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}. $$

Yhtälöpari

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 2x + y & = 12 \\ y & = x - 3. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä yhtälöitä vastaavat suorat Geogebralla ja päättele yhtälön ratkaisu kuvan avulla.
  2. Tarkista sijoittamalla, onko ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. Ratkaisu on $x = 5$ ja $y = 2$.
  2. Sijoitetaan ensimmäisen yhtälön vasemmalle puolelle ja lasketaan: $$ 2x + y = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 2 = 12. $$ Tuloksena yhtälön oikea puoli, joten yhtälö toteutuu.
    Sijoitetaan toisen yhtälön oikealle puolelle ja lasketaan: $$ x - 3 = 5 - 3 = 2. $$ Tuloksena yhtälön oikea puoli, joten yhtälö toteutuu. Luvut $x = 5$ ja $y = 2$ toteuttavat molemmat yhtälöt, joten ratkaisu on tarkka.

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari graafisesti ja tarkista sijoittamalla, onko ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. $$ \left\{\begin{aligned} 11x + 39y & = 152 \\ -20x + 11y & = 135 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 4x + 3y & = -2 \\ 5x + 2y & = 1 \end{aligned}\right. $$

  1. Ratkaisu on $x = -4$ ja $y = 5$ kuvasta luettuna.

    Sijoittamalla huomataan, että ratkaisu on likimääräinen: $$ \left\{\begin{aligned} 11 \cdot (-4) + 39 \cdot 5 & = 151 \approx 152 \\ -20 \cdot (-4) + 11 \cdot 5 & = 135 \end{aligned}\right. $$ Siis yhtälöparin ratkaisu on $x \approx -4$ ja $y \approx 5$.
  2. Ratkaisu on $x = 1$ ja $y = -2$ kuvasta luettuna.

    Sijoittamalla huomataan, että ratkaisu on tarkka.

Yhtälöpari

Taina ja Riina osallistuvat pyöräilyhaasteeseen, jossa parin pitää pyöräillä yhteensä 250 km. Riina lupaa pyöräillä 70 km enemmän kuin Taina. Kuinka pitkä matka kummankin pitää pyöräillä, jotta vaadittu matka täyttyy mutta ei ylity?

  1. Merkitse Tainan pyöräilymatkaa kirjaimella $x$ ja Riinan pyöräilymatkaa kirjaimella $y$. Millaisen yhtälön saat matkojen kokonaismäärästä?
  2. Millaisen yhtälön saat Riinan lupauksesta?
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka pitkät matkat Taina ja Riina pyöräilevät?

  1. $x + y = 250$
  2. $y = x + 70$
  3. Yhtälöparin ratkaisu on $x = 90$ ja $y = 160$. Siis Taina pyöräilee 90 km ja Riina 160 km.

Yhtälöpari

Iltarastien tulosluettelosta nähtiin, että osallistujia oli ollut yhteensä 162. Järjestäjät laskivat, että karttojen myynti oli tuottanut rahaa 944 euroa. Aikuisten karttamaksu oli 7 € ja lasten 2 €. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta lasta iltarasteille osallistui.

  1. Merkitse lasten määrää kirjaimella $x$ ja aikuisten määrää kirjaimella $y$. Millaisen yhtälön saat osallistujien kokonaismäärästä?
  2. Millaisen yhtälön saat tapahtuman kokonaistuotosta?
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka monta lasta iltarasteille osallistui?

  1. $x + y = 162$
  2. $2x + 7y = 944$
  3. Yhtälöparin ratkaisu on $x = 38$ ja $y = 124$. Iltarasteille osallistui siis 38 lasta.

Yhtälöpari

Salibandyseura on tilaamassa mailoja. Käytettävissä on 500 euroa. Halvempi maila maksaa 26 € ja kalliimpi 30 €. Tarkoituksena on hankkia 18 mailaa. Kuinka monta kappaletta halvempaa ja kuinka monta kappaletta kalliimpaa mallia pitää tilata?

Halvempia mailoja 10 kpl ja kalliimpia 8 kpl.
Yhtälöpari on $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 18 \\ 26x + 30y & = 500. \end{aligned}\right. $$

Yhtälöpari

Radiojuontaja kertoo, että hänen isoisänsä on neljä kertaa niin vanha kuin hänen serkkunsa. Lisäksi juontaja paljastaa, että serkun ja isoisän yhteenlaskettu ikä on 80 vuotta. Kysymys on, minkä ikäinen serkku on. Nopeimmin oikean vastauksen keksinyt voittaa liput festareille. Vastata saa vain kerran. Mitä vastaisit?

Serkku on 16-vuotias.
Yhtälöpari on $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 80 \\ y & = 4x. \end{aligned}\right. $$

Yhtälöpari

Leikkaavatko seuraavien funktioiden kuvaajat toisensa? Jos leikkaavat, mitkä ovat leikkauspisteen koordinaatit? \begin{align*} f(x) &= 2x-7 \\[1mm] g(x) &= 5x - 58 \end{align*}

Kuvaajat leikkaavat pisteessä $(17,27)$.

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari

  1. $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y & = -4 \\ 2x - y & = -3 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 2x + y & = 4 \\ -x + 2y & = 1. \end{aligned}\right. $$

[Lyhyt S2012/1c & S2013/2b]

  1. $x = -2$ ja $y = -1$
  2. $x = \dfrac{7}{5} \ \text{ ja } \ y = \dfrac{6}{5}$

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari

  1. $$ \left\{\begin{aligned} x - 2y & = 0 \\ x - 3y & = 1 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 2x - y & = 1 \\ x + y & = 8. \end{aligned}\right. $$

[Lyhyt K2011/1c & K2012/1c]

  1. $x = -2$ ja $y = -1$
  2. $x = 3$ ja $y = 5$

Yhtälöpari

  1. Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y - x + 1 & = 0, \\ 4y & = 12 - x. \end{aligned}\right. $$
  2. Missä pisteessä suorat $x + 5y = 1$ ja $x - 5y = 5$ leikkaavat toisensa?

[Lyhyt S2017/1b & S2014/1]

  1. Ratkaisu on $x = \dfrac{16}{5} \ \text{ ja } \ y = \dfrac{11}{5}$.
  2. Leikkauspisteen koordinaatit ovat $x = 3$ ja $y = -\dfrac{2}{5}$.

Suoraan verrannollisuus

Aleksi, Milla ja Venla jakoivat yrityksensä tuotot sijoitustensa suhteessa. Aleksin ja Millan sijoitusten suhde oli $5:6$. Millan ja Venlan sijoitusten suhde oli $4:5$. Kuinka paljon yrityksen koko tuotto oli, jos Venlan osuus oli 6450 euroa?

Koko tuotto oli 15 910 euroa. Millan osuus 5160 euroa ja Aleksin 4300 euroa.

Suoraan verrannollisuus

Mökin piirustukset on tehty mittakaavassa $1:50$. Tämä tarkoittaa, että 1 cm piirustuksessa on 50 cm luonnossa.

  1. Kuinka pitkä on mökki, jonka pituus rakennuspiirustuksissa on 16 cm?
  2. Mökille rakennetaan terassi, jonka mitat ovat $4 \text{ m} \times 2 \text{ m}$. Mitkä ovat terassin mitat rakennuspiirustuksessa?

  1. Mökin pituus on 8 metriä (eli 800 cm).
  2. Terassin mitat ovat $8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$.

Suoraan verrannollisuus

  1. Lapsella on korvatulehdus, johon lääkäri määrää antibioottikuurin. Lääkepullon etiketissä vaikuttavan aineen pitoisuudeksi on merkitty 40 mg/ml. Kuinka monta millilitraa kyseistä lääkemikstuuraa pitää antaa lapselle, jos määrätty lääkeannos on 280 mg?
  2. Siiderissä on energiaa noin 50 kcal/dl. Yhdessä sokeripalassa energiaa on puolestaan noin 10 kcal. Kuinka suurta sokerimäärää vastaa kolmen 0,33 litran siiderin nauttiminen? Yksi sokeripala painaa n. 3,5 grammaa.

  1. Lääkettä pitää antaa 7 ml.
  2. Noin 49,5 sokeripalaa eli noin 173 grammaa sokeria.

Suoraan verrannollisuus

Olouoneen lattian maalaamiseen on tarvittiin 1 kg maalia. Keittiön pituus on $\frac{5}{6}$ olohuoneen pituudesta ja leveys on $\frac{4}{5}$ olohuoneen leveydestä. Riittääkö 700 g maalia keittiön lattian maalaamiseen?

Kyllä, 700 g maalia riittää.

Merkitään olohuoneen pituutta kirjaimella $x$ ja leveyttä kirjaimella $y$. Olohuoneen pinta-ala on $xy$. Keittiön pinta-ala on $$ \frac{5}{6}x \cdot \frac{4}{5}y = \frac{4}{6}xy = \frac{2}{3}xy $$ eli kaksi kolmasosaa olohuoneen pinta-alasta. Siten maalia tarvitaan $$ \dfrac{2}{3} \cdot 1 \text{ kg } \approx 0{,}667 \text{ kg}. $$

Suoraan verrannollisuus

Brittiläisessä yksikköjärjestelmässä pituus voidaan ilmaista esimerkiksi yksiköiden tuuma, jalka, jaardi ja maili avulla. Tiedetään, että yksi jalka on 12 tuumaa, kolme jalkaa on yksi jaardi ja yksi tuuma on 2,54 cm. Mikä on mailin pituus metreinä, kun yksi maili on 1760 jaardia?

Yksi maili on 1609,344 metriä.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Mökin makuuhuoneen seinän panelointiin laskettiin tarvittavan 36 kappaletta 120 mm leveitä lautoja, joiden peittävä leveys on 110 mm. Puutavaraliike ei voinut toimittaa kyseisä lautoja, vaan laudat olivat 95 mm leveitä ja niiden peittävä leveys oli 85 mm. Kuinka monta kapeampaa lautaa tarvittiin?
  2. Kun 100 W työmaavalo (vanhempi halogeenilamppu) palaa 150 tuntia, kuluu sähköä noin yhden euron verran. Kuinka kauan valoteholtaan vastaava 21 W työmaavalo palaa samalla hinnalla?

  1. Lautoja tarvittiin 47 kpl.
  2. Pyöristettynä noin 710 tuntia.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Pienelle rahtialukselle palkataan seitsemän merimiestä urakkapalkalla. Jokainen saa palkkaa 1750 euroa. Kuinka paljon jokainen saisi palkkaa, jos työntekijöitä olisikin 10?
  2. Laiva, jossa on 18 henkeä ja ruokaa 30 päiväksi, pelastaa haaksirikkoutuneesta aluksesta 10 henkeä. Kuinka pitkän aikaa ruokatavarat tällöin riittävät?

  1. Jos työntekijöitä olisi 10, jokaisen palkka olisi 1225 euroa.
  2. Ruokatavarat riittävät noin 19 päivää.

Kääntäen verrannollisuus

Rakennusfirma jätti remontista seuraavanlaisen urakkatarjouksen:

  • Hinta on 65 000 euroa, jos työ on valmis 60 päivässä.
  • Jos työ valmistuu nopeammin tai myöhästyy, on remontin hinta kääntäen verrannollinen kuluneeseen aikaan.

Mikä olisi remontin hinta, jos remontin valmistumiseen kuluisi

  1. 46 päivää
  2. 74 päivää?

  1. Hinta olisi 84 782,61 euroa.
  2. Hinta olisi 52 702,70 euroa.

Kääntäen verrannollisuus

Patikkaretkeä suunnitellessaan lomalaiset laskivat, että kulkevat päivässä 15 km. Huonon sään takia he kulkivatkin päivässä 3 km suunniteltua vähemmän. Kuinka moninkertainen aika retkeen kului suunniteltuun aikaan verrattuna?

Retkeen kului 1,25-kertainen aika eli aikaa kului 25 % enemmän kuin alkuperäisen suunnitelman mukaan.

Kääntäen verrannollisuus

Talkoisiin osallistuu viisi henkeä ja urakkaan arvioidaan kuluvan neljä tuntia.

  1. Jos yksi talkoolaisista sairastuu, kuinka paljon urakkaan kuluva aika pitenee?
  2. Missä ajassa urakka olisi saatu valmiiksi, jos mukana olisikin ollut kahdeksan yhtä tehokasta ihmistä?

  1. Urakka vie neljältä ihmiseltä viisi tuntia, joten urakkaan kuluva aika pitenee tunnilla.
  2. Urakka olisi saatu valmiiksi 2,5 tunnissa.

Kiinalainen arvoitus 5 000 vuoden takaa: Häkissä on fasaaneja ja kaniineja. Niillä on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta fasaania ja kuinka monta kaniinia häkissä on?
[Lyhyt K2014/6]

Kaniineja on 12 ja fasaaneja 23.

Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta 2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä 2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja 629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.

  1. Ennusteen mukaan asukasluku $y$ toteuttaa yhtälön $$ y = a(x-2014) + b, $$ kun $x$ on vuosiluku. Määritä vakioiden $a$ ja $b$ tarkat arvot käyttämällä yllä mainittuja tietoja.
  2. Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014-2030? Anna vastaus 1000 asukkaan tarkkuudella.
  3. Piirrä asukasluvun $y$ kuvaaja välillä $2014 \leq x \leq 2030$.

[Lyhyt K2014/14]

  1. $a = 5619{,}25$ ja $b = 607417$.
  2. Asukasluku kasvaa noin 90 000 ihmisellä.
  3. Kuva:

Millä vakion $a$ arvolla yhtälöparilla $$ \left\{\begin{aligned} 2x + (a+1)y & = 5 \\ 3x + (a-2)y & = a \end{aligned}\right. $$ ei ole ratkaisua?
[Lyhyt S2010/13]

$a = -7$

Kupari-nikkeliseoksessa on 75 % kuparia ja 25 % nikkeliä. Toisessa kupari-nikkeliseoksessa on kuparia 80 % ja nikkeliä 20 %. Näistä valmistetaan sulattamalla 300 g kupari-nikkeliseosta, jonka nikkelipitoisuus on 22 %. Kuinka paljon kumpaakin seosta tähän tarvitaan?
[Lyhyt S2008/6]

Ensimmäistä seosta tarvitaan 120 g ja toista seosta tarvitaan 180 g.

Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg?
[Lyhyt S2007/8]

Maalia A valmistettiin 22 litraa ja maalia B valmistettiin 12 litraa.

Lauralta kului koulumatkaan 15 minuuttia. Tavallisesti hän saapui kouluun kellon soidessa. Eräänä aamuna hän lähti kotoa 6 minuuttia tavallista myöhempään, ja vaikka hän kulki nopeammin, hän myöhästyi. Koulun kellon soidessa hänellä oli vielä 5 % matkasta jäljellä. Kuinka monta prosenttia tavallista nopeammin hän oli tällöin kulkenut?
[Lyhyt S2006/7]

Laura oli kulkenut noin 58 % tavallista nopeammin.

Lämpömittaria tutkittiin tarkkuusmittarin avulla. Kun lämpömittari näytti $−9{,}9 {}^\circ\text{C}$, oikea lämpötila oli $−9{,}2 {}^\circ\text{C}$. Kun lämpömittari näytti $18{,}5 {}^\circ\text{C}$, oikea lämpötila oli $18{,}1 {}^\circ\text{C}$. Oletetaan, että oikean lämpötilan ja lämpömittarin lukeman välinen riippuvuus on lineaarinen.

  1. Johda lauseke, jolla oikea lämpötila $y$ voidaan laskea, kun lämpömittarin lukema $x$ tunnetaan. Ilmoita esiintyvät kertoimet neljän desimaalin tarkkuudella.
  2. Missä lämpötilassa lämpömittari näyttää aivan oikein?

[Lyhyt K2005/12]

  1. $y = 0{,}9613x + 0{,}3165$
  2. Noin lämpötilassa $8{,}2 {}^\circ\text{C}$.

Lukion juhlasalissa, johon mahtuu 260 henkilöä, järjestetään esitelmätilaisuus. Rehtori kutsuu tilaisuuteen asiasta kiinnostuneita oppilaiden vanhempia sekä muita henkilöitä. Kokemuksesta hän tietää, että vanhemmista saapuu paikalle 65 % ja muista henkilöistä 45 %. Rehtori haluaa, että tulijoita olisi juuri salin kapasiteetin verran ja että kolme neljäsosaa läsnäolijoista olisi oppilaiden vanhempia. Kuinka monelle vanhemmalle ja kuinka monelle muulle henkilölle kutsu on lähetettävä?
[Lyhyt S2004/4]

Vanhempia on kutsuttava 300 ja muita henkilöitä 144.

Potilas ostaa apteekista kahta lääkettä, joista toinen kuuluu peruskorvattaviin ja toinen erityiskorvattaviin lääkkeisiin. KELA maksaa peruskorvattavista lääkekuluista puolet 8,41 € ylittävästä osasta ja erityiskorvattavista lääkekuluista 75 % osasta, joka ylittää 4,20 €. Mitkä olivat lääkkeiden hinnat, kun ne yhteensä maksoivat 51,01 € ja potilaan maksettavaksi jäi yhteensä 23,16 €?
[Lyhyt K2003/4]

Peruskorvattavan lääkkeen hinta oli 12,21 euroa ja erityiskorvattavan 38,80 euroa.

Lentokone lähtee aikataulun mukaan paikasta A klo 14.10 ja saapuu paikkaan B klo 17.00. Paluumatkalle lentokone lähtee B:stä klo 18.55, ja se on perillä A:ssa seuraavana päivänä klo 8.45. Paluumatka kestää tunnin enemmän kuin menomatka. Paljonko kello on paikassa B lentokoneen saapuessa A:han? Kaikki ilmoitetut ajat ovat paikallisia aikoja.
[Lyhyt S2002/9]

Kun lentokone saapuu paikkaan A, kello on 3.45 paikassa B.

  1. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Kun $x = 2$, on $y = 5$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 7$?
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset. Jos $x = 2$, niin $y = 3$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 5$?

[Lyhyt K2009/2a & S2008/3b]

  1. $y = \dfrac{35}{2}$
  2. $y = \dfrac{6}{5}$

Alla on viisi väittämää sekä kuusi kuviota. Yhdistä jokaiseen kuvioon se väittämä, joka pätee kyseisen kuvion tapauksessa. Yksi väittämä liittyy kahteen eri kuvioon. Vastauksia ei tarvitse perustella.

  1. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujaan $x$.
  2. $y$ on kääntäen verrannollinen muuttujaan $x$.
  3. $y$ kaksinkertaistuu aina, kun muuttuja $x$ kasvaa yhdellä.
  4. $y$ puolittuu aina, kun $x$ kasvaa yhdellä.
  5. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujan $x$ neliöön.

[Lyhyt K2017/3]

  1. D
  2. A
  3. B
  4. D
  5. C
  6. E

Eräällä tieosuudella käytetään kesällä ja talvella erilaisia nopeusrajoituksia. Talvinopeudella matkaan kuluu 15 minuuttia ja kesänopeudella 3 minuuttia vähemmän, kun ajetaan maksiminopeuksilla. Mikä talvinopeusrajoitus on silloin, kun kesänopeus on 20 km/h korkeampi kuin talvinopeus?
[Lyhyt K2015/7]

Talvinopeusrajoitus on 80 km/h.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Mittauksissa havaittiin, että jarrutusmatka nopeudesta 40 km/h on 11,0 metriä.

  1. Mikä on auton jarrutusmatka nopeudesta 80 km/h?
  2. Auton jarrutusmatkaksi mitattiin 21,3 metriä. Mikä oli auton nopeus jarrutuksen alkaessa? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

[Lyhyt S2013/7]

  1. Jarrutusmatka on 44,0 m.
  2. Nopeus oli noin 56 km/h.

Äänilähteen tuottaman äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Festareilla Miisa istui aluksi 50 metrin päässä orkesterista, mutta siirtyi sitten 15 metrin päähän orkesterista. Kuinka monta prosenttia kasvoi äänen intensiteetti?
[Lyhyt K2008/6]

Intensiteetti noin 11,11-kertaistui eli kasvoi noin 1011 prosenttia.
Huom. jos intensiteetti kaksinkertaistuu, tarkoittaa se 100 prosentin kasvua. Vastaavasti 3-kertaistuminen tarkoittaa 200 prosentin kasvua.

Talon lämmityskustannukset pakkasella ovat suoraan verrannolliset sisä- ja ulkolämpötilojen väliseen erotukseen. Ulkolämpötilan ollessa $−2{,}0 {}^\circ\text{C}$ ja sisälämpötilan $22{,}0 {}^\circ\text{C}$ sisälämpötila pudotetaan $21{,}0 {}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka monella prosentilla talon lämmityskustannukset tällöin pienenevät?
[Lyhyt S2006/6]

Lämmityskustannukset pienenevät noin 4,2 %.

Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokone painaa maan pinnalla 56,0 tonnia. Kuinka paljon se painaa kymmenen kilometrin korkeudessa? Maan pinnan etäisyys keskipisteestä on 6370 kilometriä.
[Lyhyt K2006/4]

Lentokone painaa noin 55,8 tonnia.

Autoilija havaitsi keskelle tietä pysähtyneen toisen auton 100 metrin etäisyydellä. Autoilijan reaktioaika (havainnon teosta jarrutuksen aloittamiseen kulunut aika) oli 1,0 s ja auton nopeus oli 100 km/h. Jarrutusmatka olisi ollut 50 m, jos nopeus olisi ollut 80 km/h. Jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Pysähtyikö auto ennen yhteentörmäystä?
[Lyhyt K1985/10]

Reaktioajan ja jarrutuksen aikana auto kulkee yhteensä matkan $27{,}8 \text{ m } + 78{,}1 \text{ m } = 105{,}9 \text{ m}$, joten auto ei pysähtynyt ennen yhteentörmäystä.

Erään tuotteen tarjonta kasvoi 25 %. Kuinka monta prosenttia hinta tällöin laski, jos tuotteen hinta on kääntäen verrannollinen tarjontaan?
[Lyhyt K1992/3a]

Hinta laski 20 %.

Laivan polttoainekulut tunnissa ovat suoraan verrannolliset nopeuden kuutioon eli kolmanteen potenssiin. Nopeudella 40 km/h polttoainekulut ovat noin 480 euroa tunnissa.

  1. Minkä suuruiset polttoainekulut ovat, jos laivan nopeus on vain 30 km/h?
  2. Kuinka monta prosenttia matka-aika muuttuu, jos nopeutta pienennetään nopeudesta 40 km/h nopeuteen 30 km/h?

  1. Polttoainekulut ovat noin 200 euroa tunnissa (202,5 euroa tunnissa).
  2. Matka-aika pitenee noin 33 %.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja tästä, ja pisteytä omat ratkaisusi.

1.
a) Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{ \begin{aligned} 2x+y&=1\\ 3x+2y&=2 \end{aligned}\right. $$ graafisesti piirtämällä sopiva kuva teknisellä apuvälineellä.
b) Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{ \begin{aligned} y&=x+1\\ y&=-3x+5 \end{aligned}\right. $$ algebrallisesti eli laskemalla ilman teknisiä apuvälineitä.
c) Tarkista b)-kohdan ratkaisun oikeellisuus sijoittamalla saamasi ratkaisut yhtälöihin sekä teknisen apuvälineen solve-komennon avulla.

2.
a) Kun $x=1$, niin $y=5$. Kun $x=3$, niin $y=2$. Ovatko suureet x ja y suoraan tai kääntäen verrannollisia? Perustele.
b) Kolme kilogrammaa omenoita maksaa neljä euroa. Kuinka monta kilogrammaa omenoita saa kymmenellä eurolla?
c) Valaistusvoimakkuus on kääntäen verrannollinen valonlähteen etäisyyden neliöön. Valaistus on 1,3 metrin etäisyydellä Pipsan työpöydästä 52 luksia. Kuinka suuri valaistusvoimakkuus on 2,0 metrin päässä?

Prosenttilaskenta

Tämän luvun tavoitteena on, että osaat ratkaista prosenttilaskentaan liittyviä ongelmia. Osaat

  • laskea, kuinka monta prosenttia luku $a$ on luvusta $b$
  • laskea, kuinka paljon on $p$ prosenttia luvusta $b$
  • laskea, mistä luvusta luku $a$ on $p$ prosenttia
  • laskea, kuinka monta prosenttia luku $a$ on suurempi tai pienempi kuin luku $b$
  • laskea muutosprosentin
  • laskea, mikä on uusi arvo, jos muutosprosentti ja alkuperäinen arvo tunnetaan
  • käyttää kirjainlausekkeita prosenttilaskentaan liittyvissä tehtävissä
  • käyttää prosenttiyksikköä prosentteina ilmoitettujen lukujen vertaamiseen.

Suhteellisten osuuksien ilmaisemiseen käytetään usein prosentteja (kuvankaappauksia Yle Uutisten sivuilta):

Aloitetaan määrittelemällä, mitä prosentilla tarkoitetaan:

MÄÄRITELMÄ: PROSENTTI

Prosentti on yksi sadasosa: $$1 \ \% = \frac{1}{100} = 0{,}01.$$

Esimerkiksi $0{,}04 = 4 \ \%$, koska kumpikin merkintä tarkoittaa neljää sadasosaa eri tavoilla kirjoitettuna. Samaan tapaan $0{,}597 = 59{,}7 \ \%$.

Ilmoita seuraavat luvut prosenttimerkkiä ($\%$) käyttäen:

  1. $\displaystyle\frac{35}{100}$
  2. $\displaystyle\frac{1}{5}$
  3. $0{,}56$
  4. $1{,}28$.

  1. 35 %
  2. 20 %
  3. 56 %
  4. 128 %

Ilmoita seuraavat prosentit desimaalilukumuodossa ilman prosenttimerkkiä:

  1. $50\ \%$
  2. $8{,}3\ \%$
  3. $24\ \%$
  4. $160\ \%$
  5. $230\ \%$.

  1. $0{,}5$
  2. $0{,}083$
  3. $0{,}24$
  4. $1{,}6$
  5. $2{,}3$

Kun halutaan tietää, kuinka monta prosenttia luku $a$ on luvusta $b$, muodostetaan suhde $$\frac{a}{b}$$ ja ilmaistaan se sadasosina eli prosentteina. Esimerkiksi suhteesta $$\frac{7}{13} = 0{,}5384615\ldots$$ nähdään, että luku $7$ on noin $53{,}8\ \%$ luvusta 13.

Kuinka monta prosenttia

  1. luku 35 on luvusta 118?
  2. luku 2 on luvusta 360?
  3. luku 20 on luvusta 18?
  4. luku 45 on luvusta 13?

Ilmoita vastaukset kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Milloin vastaus on yli $100 \ \%$? Selitä omin sanoin.

  1. Noin $29{,}7 \ \%$.
  2. Noin $0{,}556 \ \%$.
  3. Noin $111 \ \%$.
  4. Noin $346 \ \%$.

Antin bruttopalkka oli 936,25 euroa. Tästä pidätettiin veroa ja muita maksuja yhteensä 232,67 euroa. Tehtävänä on laskea, kuinka monta prosenttia Antin bruttopalkasta meni veroihin ja muihin maksuihin.

  1. Arvioi tuloksen suuruusluokkaa päässäsi. Onko se yli vai alle 50 %? Entä yli vai alle 10 %? Entä yli vai alle 20 %?
  2. Laske, kuinka monta prosenttia bruttopalkasta meni veroihin ja muihin maksuihin.

  1. Arvointi:
    • Koska 50 % palkasta on puolet eli noin 465 €, verojen osuus on alle 50 %.
    • Koska 10 % palkasta on noin 94 € ja 20 % palkasta on tuplasti eli noin 188 €, on verojen osuus yli 20 %.
  2. Noin 24,9 %.

Joissakin tilanteissa tiedetään prosenttiosuus ja halutaan laskea sitä vastaava määrä. Toisin sanottuna halutaan laskea, kuinka paljon on $p$ prosenttia luvusta $b$. Tällöin prosenttiosuus ilmaistaan desimaalimuodossa ilman prosenttimerkkiä. Sitä vastaava osuus saadaan kertolaskulla. Esimerkiksi jos halutaan tietää, kuinka paljon on $32 \ \%$ luvusta 478, lasketaan $$0{,}32 \cdot 478 = 152{,}96.$$ Siis $32 \ \%$ luvusta $478$ on $152{,}96$.

Tehtävänä on laskea, kuinka paljon on 30 prosenttia luvusta 8.

  1. Arvioi vastauksen suuruusluokkaa. Onko se pienempi vai suurempi kuin 8? Entä onko se pienempi vai suurempi kuin 4? Entä pienempi vai suurempi kuin 2?
  2. Ilmaise prosentit desimaalilukumuodossa ilman prosenttimerkkiä ja kerro saadulla desimaaliluvulla luku $8$.
  3. Tarkista tuloksesi laskemalla, kuinka monta prosenttia se on luvusta 8.

  1. Pienempi kuin 4, sillä 4 on puolet eli 50 % luvusta 8. Suurempi kuin 2, koska 2 on neljäsosa eli 25 % luvusta 8.
  2. $0{,}30 \cdot 8 = 2{,}4$
  3. $\dfrac{2{,}4}{8} = 0{,}3 = 30 \ \%.$

Prosenttiosuutta vastaavan määrän laskemista voi ajatella myös seuraavasti: Jos halutaan tietää, kuinka paljon on $32 \ \%$ luvusta 478, voidaan muodostaa yhtälö $$\frac{a}{478} = 0{,}32.$$ Tässä siis kokonaismäärä $b = 478$ ja prosenttiosuus $r = 0{,}32$. Prosenttiosuutta vastaava määrä $a$ saadaan tästä kertolaskulla kuten jo edellä todettiin: $$a = 0{,}32 \cdot 478 = 152{,}96.$$

Yksiön vuokra oli 480 euroa. Vesimaksun osuus oli siitä $3{,}75 \ \%$.

  1. Mikä oli vesimaksun suuruus?

  1. 18 €

Joskus tiedetään prosenttiosuus ja sitä vastaava määrä, mutta ei kokonaismäärää, johon verrataan. Tällöin kysymys on, mistä luvusta luku $a$ on $p$ prosenttia. Esimerkiksi halutaan selvittää, mistä luvusta luku 264 on $32$ prosenttia. Tätä tilannetta vastaa yhtälö $$\frac{264}{b} = 0{,}32.$$ Tässä siis prosenttiosuutta vastaava määrä $a = 264$ ja prosenttiosuus $r = 0{,}32$. Jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla $b$, se voidaan kirjoittaa muodossa $$0{,}32b = 264.$$ Kokonaismäärä $b$ saadaan tästä jakolaskulla: $$b = \frac{264}{0{,}32}= 825.$$ Siis luku 264 on $32 \ \%$ luvusta 825.

Tehtävänä on laskea, mistä luvusta 15 prosenttia on 10.

  1. Arvioi vastauksen suuruusluokkaa. Onko se pienempi vai suurempi kuin 10? Entä onko se pienempi vai suurempi kuin 20? Entä pienempi vai suurempi kuin 100?
  2. Merkitse kokonaismäärää jollakin kirjaimella ja muodosta yhtälö, joka yhdistää toisiinsa kokonaismäärän, prosenttiosuuden ja sitä vastaavan määrän.
  3. Laske kysytty kokonaismäärä. Anna tulos yhden desimaalin tarkkuudella.
  4. Tarkista tuloksesi laskemalla, kuinka monta prosenttia 10 on saamastasi tuloksesta.

  1. Arviointi:
    • Suurempi kuin 10, sillä $\dfrac{10}{10} = 1 = 100 \ \%.$
    • Suurempi kuin 20, sillä $\dfrac{10}{20} = 0{,}5 = 50 \ \%.$
    • Pienempi kuin 100, sillä $\dfrac{10}{100} = 0{,}1 = 10 \ \%.$
  2. Kokonaismäärä $x$. Yhtälö $0{,}15x = 10$.
  3. Kokonaismäärä on $66{,}7$.
  4. $\dfrac{10}{66{,}7} \approx 15 \ \%.$

Annan veroprosentti oli $21$ ja hän maksoi veroa $465{,}36$ euroa.

  1. Mikä oli Annan bruttopalkka?
  2. Havainnollista tilannetta piirroksella.

  1. 2216 euroa.

Emil sai ilmoituksen, että hänen vuokraansa korotetaan seuraavan kuun alussa $1{,}5 \ \%$ ja laski, että korotus on $9{,}75$ euroa.

  1. Mikä oli Emilin vuokra ennen korotusta?

  1. 650 euroa.

Prosentteja voidaan käyttää määrien vertailuun. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, kuinka monta prosenttia luku 365 on suurempi kuin luku 310, voidaan laskea näiden lukujen suhde: $$\frac{365}{310} = 1{,}177419\ldots $$ Tästä nähdään, että luku 365 on noin $117{,}7 \ \%$ luvusta 310, joten luku 365 on noin $17{,}7 \ \%$ suurempi kuin luku 310.

Toinen tapa saman tuloksen saamiseen on laskea ensin vertailtavien lukujen erotus: $$365- 310 = 55.$$ Sen jälkeen lasketaan, kuinka monta prosenttia erotus on siitä luvusta, johon verrataan: $$\frac{55}{310} = 0{,}177419\ldots$$ Tästä voidaan päätellä, että luku 365 on noin $17{,}7 \ \%$ suurempi kuin luku 310.

Huomaa, että vertailussa jakajana on aina se luku, johon verrataan. Esimerkiksi edellä kysymys oli, kuinka monta prosenttia luku 365 on suurempi kuin luku 310, minkä vuoksi jakajana käytettiin lukua 310.

Emmi sai kesätöistään palkkaa 1 150 euroa ja Iida sai 1 225 euroa.

  1. Kuinka monta prosenttia enemmän palkkaa Iida sai Emmiin verrattuna? Valitse edellä havainnollistetuista ratkaisutavoista se, joka tuntuu sinusta selkeämmältä ja ratkaise tehtävä sitä käyttäen.

  1. Iida sain noin 6,5 % enemmän palkkaa kuin Emmi.

Jos halutaan tietää, kuinka monta prosenttia jokin luku on pienempi kuin jokin toinen luku, voidaan laskea samaan tapaan kuin edellä. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, kuinka monta prosenttia luku 310 on pienempi kuin luku 365, voidaan laskea näiden lukujen suhde: $$\frac{310}{365} = 0{,}849315\ldots $$ Tästä nähdään, että luku 310 on noin $84{,}9 \ \%$ luvusta 365, joten luku 310 on noin $100 - 84{,}9 \ \% = 15{,}1 \ \%$ pienempi kuin luku 365. Huomaa, että jälleen jakana on se luku, johon verrataan.

Toinen tapa saman tuloksen saamiseen on laskea ensin vertailtavien lukujen erotus: $$365- 310 = 55.$$ Sen jälkeen lasketaan, kuinka monta prosenttia erotus on siitä luvusta, johon verrataan: $$\frac{55}{365} = 0{,}15068\ldots$$ Tästä voidaan päätellä, että luku 310 on noin $15{,}1 \ \%$ pienempi kuin luku 365.

Emmi sai kesätöistään palkkaa 1 150 euroa ja Iida sai 1 225 euroa.

  1. Kuinka monta prosenttia vähemmän palkkaa Emmi sai Iidaan verrattuna? Valitse edellä havainnollistetuista ratkaisutavoista se, joka tuntuu sinusta selkeämmältä ja ratkaise tehtävä sitä käyttäen.
  2. Vertaa tehtävään 10. Mitä eroa näillä kahdella tehtävällä on? Miten se näkyyy ratkaisussa? Selitä omin sanoin.

  1. Emmi sai noin 6,1 % vähemmän palkkaa kuin Iida.

Joskus halutaan vertailla prosentteina ilmoitettuja lukuja keskenään. Tällöin vertailu voidaan tehdä joko tutkimalla lukujen suhdetta tai erotusta. Jos lukuja verrataan laskemalla niiden erotus, ilmoitetaan tulos prosenttiyksikköinä. Esimerkiksi, jos säästötilin korko on $2{,}5 \ \%$ ja käyttötilin korko $1 \ \%$, on korkojen erotus $2{,}5 - 1 = 1{,}5$ prosenttiyksikköä. Voidaan sanoa, että säästötilin korko on $1{,}5$ prosenttiyksikköä korkeampi kuin käyttötilin korko, tai että käyttötilin korko on $1{,}5$ prosenttiyksikköä matalampi kuin säästötilin korko.

Vertaaminen voidaan tehdä myös suhteen avulla: $$\frac{1}{2{,}5} = 0{,}4,$$ joten käyttötilin korko on $40 \ \%$ säästötilin korosta. Käyttötilin korko on siis $100 \ \% - 40 \ \% = 60 \ \%$ pienempi kuin käyttötilin korko. Toisesta näkökulmasta $$\frac{2{,}5}{1} = 2{,}5,$$ joten säästötilin korko on $250\ \%$ käyttötilin korosta. Säästötilin korko on siten $250 \ \% - 100 \ \% = 150 \ \%$ suurempi kuin käyttötilin korko.

Kuluttajahinnat nousivat vuonna 2000 keskimäärin $3{,}4 \ \%$ ja vuonna 2010 keskimäärin $1{,}2 \ \%$.

  1. Kuinka monta prosenttiyksikköä vähemmän hinnat nousivat vuonna 2010 kuin vuonna 2000?
  2. Kuinka monta prosenttia vähemmän hinnat nousivat vuonna 2010 kuin vuonna 2000?
  3. Kuinka monta prosenttia enemmän hinnat nousivat vuonna 2000 kuin vuonna 2010?
  4. Miksi b- ja c-kohtien vastaukset eroavat toisistaan? Selitä omin sanoin.

  1. Hinnat nousivat vuonna 2010 keskimäärin 2,2 prosenttiyksikköä vähemmän kuin vuonna 2000.
  2. Hinnat nousivat vuonna 2010 keskimäärin 64,7 % vähemmän kuin vuonna 2000.
  3. Hinnat nousivat vuonna 2000 keskimäärin 183,3 % enemmän kuin vuonna 2010.

Prosentteja käytetään myös muutoksen suuruuden ilmaisemiseen. Laskutapa on samanlainen kuin vertailtaessa. Erityistä huomiota pitää kiinnittää siihen, että jakajana käytetään alkuperäistä, muutosta edeltävää arvoa. Esimerkiksi jos kunnan väkiluku nousi 5 617 asukkaasta 6 221 asukkaaseen, saadaan väkiluvun muutos pääteltyä suhteesta $$\frac{6221}{5617} = 1{,}1075307\ldots$$ Tästä nähdään, että uusi väkiluku oli noin $110{,}8 \ \%$ vanhasta väkiluvusta eli väkiluku kasvoi noin $10{,}8 \ \%$. Jakajana käytettiin siis alkuperäistä väkilukua 5 617.

Lauri oli kahtena kesänä samassa paikassa työharjoittelijana. Ensimmäisenä kesänä hän sai palkkaa 1 320 euroa ja toisena kesänä 1 410 euroa.

  1. Kuinka monta prosenttia Laurin palkka nousi?

  1. Laurin palkka nousi noin 6,8 %.

Joissakin tilanteissa tiedetään alkuperäinen arvo ja muutoksen suhteellinen suuruus prosentteina. Tällöin uusi, muuttunut arvo saadaan laskettua kertolaskun avulla. Ensin täytyy kuitenkin päätellä, mikä on muutosprosenttia vastaava kerroin. Esimerkiksi, jos palkka on aluksi 1 450 euroa ja sitä korotetaan $2{,}5 \ \%$, on uusi palkka $102{,}5 \ \%$ vanhaan palkkaan verrattuna. Uusi palkka saadaan siten kertomalla luvulla $1{,}025$: $$1{,}025 \cdot 1 450 \, \unicode{0x20AC} = 1 486{,}25 \, \unicode{0x20AC}.$$ Jos taas pyörän hinta on aluksi 390 euroa ja sitä alennetaan $15 \ \%$, on uusi hinta $100 - 15 = 85$ prosenttia vanhasta hinnasta. Uusi hinta saadaan siten kertomalla luvulla $0{,}85$: $$0{,}85 \cdot 390 \, \unicode{0x20AC} = 331{,}50 \, \unicode{0x20AC}.$$

Millä desimaaliluvulla alkuperäinen hinta pitää kertoa, jos sitä

  1. korotetaan $10 \ \%$?
  2. korotetaan $13{,}7 \ \%?$
  3. korotetaan $75 \ \%?$
  4. korotetaan $124{,}5 \ \%?$

  1. 1,1
  2. 1,137
  3. 1,75
  4. 2,245

Asunto-osakeyhtiö nosti asuntojen yhtiövastikkeita $16{,}5 \ \%$. Kuinka suuri oli $76{,}5$ neliömetrin kokoisen asunnon uusi yhtiövastike, jos vastikkeen suuruus oli ennen korotusta $2{,}10$ euroa neliömetriltä?

Korotettu yhtiövastike oli 187,16 euroa.

Millä desimaaliluvulla alkuperäinen hinta pitää kertoa, jos sitä

  1. alennetaan $10 \ \%$?
  2. alennetaan $13{,}7 \ \%?$
  3. alennetaan $75 \ \%?$
  4. alennetaan $1{,}25 \ \%?$

  1. 0,9
  2. 0,863
  3. 0,25
  4. 0,9875

Työntekijän palkka oli 2745 euroa. Kun hän siirtyi osa-aikaiseksi, aleni hänen palkkansa $18 \ \%$. Mikä oli työntekijän uusi palkka?

Uusi palkka oli 2250,90 euroa.

Kuinka monta prosenttia hinta $x$ on noussut tai laskenut, jos uusi hinta on

  1. $0{,}65x$
  2. $1{,}07x$
  3. $0{,}05x$
  4. $1{,}34x$

  1. Laskenut 35 %.
  2. Noussut 7 %.
  3. Laskenut 95 %.
  4. Noussut 34 %.

Alennusmyyntien alkaessa 150 euron hintaisen takin hintaa alennettiin $15 \ \%$. Kolmen viikon kuluttua kaikista jo alennetuista hinnoista sai vielä $30 \ \%$ lisäalennuksen.

  1. Mikä oli takin hinta tällöin?
  2. Kuinka monta prosenttia hinta oli pudonnut alkuperäisestä?
  3. Pystyisitkö selvittämään vastauksen b-kohtaan, jos et tietäisi takin alkuperäistä hintaa? Selitä omin sanoin.

  1. Takin hinta oli 89,25 euroa.
  2. Hinta oli pudonnut 40,5 %.

Maailmanmarkkinahintojen heilahtelun vuoksi polttoaineen hinta nousi ensin $4 \ \%$ ja laski kuukauden kuluttua äkillisesti $10 \ \%$.

  1. Merkitse polttoaineen alkuperäistä hintaa kirjaimella $a$. Millä desimaaliluvuilla alkuperäistä hintaa $a$ pitäisi kertoa, että saisi laskettua muuttuneen hinnan? Ilmaise muuttunut hinta kirjaimen $a$ avulla.
  2. Päättele edellisen kohdan avulla, kuinka monta prosenttia hinta oli muuttunut alkuperäiseen hintaan verrattuna. Oliko se noussut vai laskenut?
  3. Tarkista laskusi kokeilemalla, saatko saman lopputuloksen, jos alkuperäinen hinta oli esimerkiksi $a = 1$ euroa / litra.

  1. Muuttunut hinta on $0{,}9 \cdot 1{,}04a = 0{,}936a$.
  2. Hinta oli laskenut 6,4 %.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan ratkaisemaan prosenttilaskentaan liittyviä ongelmia, joiden yleinen ratkaisu vaatii kirjainlausekkeiden käyttämistä. Ratkaisu kuitenkin helpottuu usein, jos ongelman ratkaisee ensin yhdessä erityistapauksessa joillakin itse valitsemillaan luvuilla. Varsinainen ratkaisu on tällöin helpompi muodostaa. Lisäksi tuloksen järkevyyttä voi arvioida vertaamalla eri tavoilla saamiaan tuloksia.

Kun tuotteen hintaa nostettiin 7 %, laski sen menekki 5 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka muuttui tuotteen myynnistä saatu rahamäärä.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta
    Korotuksen jälkeen
  2. Keksi tuotteelle jokin hinta (euroa/kpl) ja jokin menekki eli myyntimäärä (kappaletta). Laske uusi hinta ja menekki hinnankorotuksen jälkeen. Täydennä nämä tiedot taulukkoon.
  3. Laske tuotteen myynnistä saatu rahamäärä ennen hinnankorotusta ja hinnankorotuksen jälkeen. Mitä laskutoimitusta käytit?
  4. Laske, kuinka monta prosenttia tuotteen myynnistä saatu rahamäärä muuttui. Kasvoiko vai pienenikö se?

  1. Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta 50 100 5000
    Korotuksen jälkeen 53,5 95 5082,5
  2. Myynnin arvo kasvoi 1,65 %.

Kun tuotteen hintaa nostettiin 7 %, laski sen menekki 5 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka muuttui tuotteen myynnistä saatu rahamäärä.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta
    Korotuksen jälkeen
  2. Merkitse tuotteen alkuperäistä hintaa kirjaimella $a$ (euroa) ja menekkiä kirjaimella $b$ (kappaletta). Laske uusi hinta ja menekki hinnankorotuksen jälkeen.
  3. Laske tuotteen myynnistä saatu rahamäärä ennen hinnankorotusta ja hinnankorotuksen jälkeen. Tarvittaessa katso mallia lausekkeiden muodostamiseen edellisen tehtävän ratkaisusta.
  4. Laske, miten tuotteen myynnistä saatu rahamäärä muuttui.

  1. Hinta (€/kpl) Menekki (kpl) Rahamäärä (€)
    Ennen korotusta $a$ $b$ $ab$
    Korotuksen jälkeen $1{,}07a$ $0{,}95b$ $1{,}0165ab$
  2. Hinnankorotuksen jälkeisen myynnin arvon suhde aiempaan myynnin arvoon on $$ \frac{1{,}0165ab}{ab} = 1{,}0165, $$ joten myynnin arvo nousi 1,65 %.

Tuotteen hintaa alennettiin 25 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta prosenttia alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
     
  2. Keksi tuotteelle jokin alkuperäinen hinta (euroa). Laske, mikä oli tuotteen hinta hinnanalennuksen jälkeen.
  3. Laske, kuinka paljon alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan. Täydennä tämä tieto taulukkoon. Mitä laskutoimitusta käytit?
  4. Selvitä, kuinka monta prosenttia korotus on alennettuun hintaan verrattuna.

  1. Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
    200 150 50
  2. Hintaa pitää korottaa noin 33,3 %.

Tuotteen hintaa alennettiin 25 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta prosenttia alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan.

  1. Piirrä vihkoosi seuraava taulukko:
    Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
     
  2. Merkitse tuotteen alkuperäistä hintaa kirjamella $a$ (euroa). Laske, mikä oli tuotteen hinta hinnanalennuksen jälkeen.
  3. Laske, kuinka paljon alennettua hintaa pitäisi korottaa, jotta päästäisiin takaisin alkuperäiseen hintaan. Täydennä tämä tieto taulukkoon. Tarvittaessa katso mallia lausekkeen muodostamiseen edellisen tehtävän ratkaisusta.
  4. Selvitä, kuinka monta prosenttia korotus on alennettuun hintaan verrattuna.
  5. Keksitkö tavan, jolla tehtävän voi ratkaista pelkästään alkuperäisen hinnan ja alennetun hinnan avulla (ilman korotuksen lausekkeen muodostamista)?

  1. Alkuperäinen hinta (€) Alennettu hinta (€) Tarvittava korotus (€)
    $a$ $0{,}75a$ $0{,}25a$
  2. Korotuksen suhde alennettuun hintaan: $$ \frac{0{,}25a}{0{,}75a} = \frac{0{,}25}{0{,}75} \approx 0{,}333, $$ joten hintaa pitää korottaa noin 33,3 %.
  3. Alkuperäisen hinnan suhde alennettuun hintaan on $$ \frac{a}{0{,}75a} = \frac{1}{0{,}75} \approx 1{,}333, $$ joten alkuperäinen hinta on noin 33,3 % suurempi kuin alennettu hinta. Alennettua hintaa pitää siis korottaa noin 33,3 %.

Prosenttiosuus

Henkilön kuukausipalkka on 3800 euroa ja hän maksaa veroja 900 euroa. Mikä on henkilön veroprosentti eli kuinka monta prosenttia hän maksaa veroja?

Noin 23,7 %.

Prosenttiosuus

Henkilö haluaa lisätä ravintokuituja ruokavalioonsa. Hänellä on valittavanaan kaksi leipävaihtoa. Leivän A 20 gramman palassa on 3 grammaa ravintokuitua ja leivän B kuitupitoisuus on 13 %. Kumpi leivistä henkilön kannattaa ostaa?

Leipä A, koska sen kuitupitoisuus on 15 %.

Prosenttiosuutta vastaava määrä

Jääkiekkomaalivahdin torjuntaprosentti on 85,70. Kuinka monta maalia hän keskimäärin torjuu 30 laukauksesta?

Noin 26.

Prosenttiosuutta vastaava määrä

Tilastokeskuksen mukaan vuoden 2015 lopussa suomea äidinkielenään puhuvia oli 88,7 % ja ruotsia 5,3 %. Kuinka moni puhui äidinkielenään jotain muuta kieltä, kun suomalaisia oli tuolloin 5 487 000?

329 220

Kokonaismäärä

Farkut olivat 30 prosentin alennuksessa ja euroina alennus oli 25 euroa. Kuinka paljon farkut maksoivat alun perin?

83,30 euroa.

Kokonaismäärä

Kevään 2016 ylioppilaskokeisiin ilmoittautuneista 25,7 % ilmoittautui pitkän matematiikan kokeeseen. Pitkän matematiikan kokeeseen ilmoittautuneita oli 10 536. Kuinka monta henkilöä ilmoittautui kevään 2016 ylioppilaskokeisiin? Anna vastaus 100 henkilön tarkkuudella.

41 000

Vertailuprosentti

Suomen väkiluku maaliskuussa 2016 oli 5 488 265 ja Ruotsin 9 875 378.

  1. Kuinka monta prosenttia vähemmän asukkaita on Suomessa kuin Ruotsissa?
  2. Kuinka monta prosenttia enemmän asukkaita on Ruotsissa Suomeen verrattuna?

  1. Noin 44,4 % vähemmän.
  2. Noin 79,9 % enemmän.

Vertailuprosentti

Kevään 2016 ylioppilaskokeiden lyhyen matematiikan kokeeseen ilmoittautui 11 663 ja pitkän matematiikan kokeeseen 10 536 kokelasta. Kuinka monta prosenttia enemmän lyhyen matematiikan kokeseen ilmoittautuneita oli pitkän matematiikan kokeeseen ilmoittautuneihin verrattuna?

10,7 %

Prosenttien vertailu

Asuntolainan korkoprosentti laski 3,4 prosentista 2,6 prosenttiin.

  1. Kuinka monta prosenttiyksikköä asuntolainan korko laski?
  2. Kuinka monta prosenttia asuntolainan korko laski?

  1. 0,8 prosenttiyksikköä.
  2. Noin 23,5 %.

Prosenttien vertailu

Vuoden 2015 vaaleissa perussuomalaisten kannatus oli 17,7 % ja heinäkuussa 2016 Taloustutkimuksen teettämän gallupin mukaan 8,6 %.

  1. Kuinka monta prosenttiyksikköä perussuomalaisten kannatus laski tarkasteluaikavälillä?
  2. Kuinka monta prosenttia perussuomalaisten kannatus laski tarkasteluaikavälillä?

  1. 9,1 prosenttiyksikköä
  2. 51,4 %

Muutosprosentti

Asunto maksoi 120 000 euroa vuonna 2005. Vuonna 2016 asunto myytiin 180 000 eurolla. Kuinka monta prosenttia asunnon arvo oli noussut?

50 %.

Muutosprosentti

Vuonna 2007 matematiikan ylioppilaskokeeseen ilmoittautui 13 348 kokelasta, kun vuonna 2015 ilmoittautumisia oli vain 11 956. Kuinka monta prosenttia pitkän matematiikan ylioppilaskokeeseen ilmoittautuneiden määrä on vähentynyt?

10,4 %

Muuttunut arvo

Television hinta oli 459 euroa. Aluksi sen hintaa laskettiin 20 %, mutta koska sen kysyntä kasvoi alennuksen myötä voimakkaasti, myyjä päätti korottaa hintaa 20 %.

  1. Kuinka paljon televisio maksoi halvimmillaan?
  2. Mikä oli television hinta kaikkien hinnanmuutosten jälkeen?
  3. Päteekö yleisesti, että jos hintaa ensin lasketaan $p$ % ja sen jälkeen nostetaan $p$ %, niin päädytään alkuperäiseen hintaan? Perustele omin sanoin.

  1. 367,20 euroa.
  2. 440,64 euroa.

Peräkkäiset muutokset

Paita maksoi ennen alennusmyyntejä 60 €. Hintaa alennettiin ensin 40 prosenttia ja alen loppurysäyksessä vielä 20 prosenttia. Kuinka paljon paita lopuksi maksoi?

28,80€ (tai 29 €)

Peräkkäiset muutokset

Osakkeen arvo laski 46 prosenttia ja nousi sitten ensiksi 15 prosenttia ja tämän jälkeen vielä 34 prosenttia.

  1. Oliko osakkeen arvo näiden muutosten jälkeen suurempi vai pienempi kuin ennen muutoksia?
  2. Kuinka monta prosenttia jälkimmäisen nousun olisi pitänyt olla, jotta olisi palattu alkuperäiseen arvoon? [Lyhyt S2001/5]

  1. Pienempi.
  2. 61 %

Prosenttilaskennan strategioita

Viisi kilogrammaa 2-prosenttista suolaliuosta sisältää ainoastaan vettä ja suolaa. Tätä suolaliuosta haihdutetaan niin, että sen massasta poistuu 20 %.

  1. Kuinka paljon suolaa on alkuperäisessä suolaliuoksessa?
  2. Mikä on haihdutetun liuoksen massa?
  3. Kuinka paljon suolaa on haihdutetussa suolaliuoksessa?
  4. Mikä on haihdutetun suolaliuoksen suolapitoisuus?
  5. Mieti, miten alkuperäinen suolaliuoksen määrä vaikutti uuteen suolapitoisuuteen. Selitä omin sanoin.

  1. 0,1 kg tai 100 g
  2. 4 kg
  3. 0,1 kg tai 100 g
  4. 2,5 %
  5. Ei mitenkään.

Prosenttilaskennan strategioita

Kuinka paljon 2-prosenttista desinfektioliuosta tarvitaan, jotta siitä laimennettuna saadaan 500 ml 0,35-prosenttista desinfektioliuosta? [Lyhyt S2006/3]

87,5 ml

Prosenttilaskennan strategioita

Perheen vuokramenot olivat 25 % tuloista. Vuokramenot nousivat 15 %. Kuinka monta prosenttia vähemmän rahaa riitti muuhun käyttöön korotuksen jälkeen? [Pitkä K2004/3]

Vihje: Hahmottele ensin tehtävän tietoja taulukkoon lukuarvoilla kuten tehtävässä 31.

5 %

Boolimaljassa on 4,0 litraa sekoitusta, jonka tilavuudesta 70 % on kuohuviiniä ja 30 % mansikkamehua. Kuinka paljon siihen täytyy lisätä kuohuviiniä, jotta mehun osuus on 20 %? [Lyhyt K2014/5]

2,0 litraa

Erään mehun täysmehupitoisuus on 35 %. Litraan mehua lisätään 0,5 litraa vettä. Mikä on laimennetun mehun täysmehupitoisuus?

Noin 23 %.

Hotellihuoneiden hintaa nostettiin 15 %, jolloin kävijämäärä laski 10 %. Miten hotellihuoneista saatavat tulot muuttuivat?

Tulot kasvoivat 3,5 %.

Vuonna 2007 alennettiin parturimaksujen arvonlisäveroa 22 prosentista 8 prosenttiin. Jos alennus olisi siirtynyt täysimääräisenä parturimaksuihin, kuinka monta prosenttia ne olisivat alentuneet? Arvonlisävero ilmoitetaan prosentteina verottomasta hinnasta ja se on osa tuotteen tai palvelun hintaa. [Pitkä K2008/4]

11,5 %

2-prosenttista suolaliuosta haihdutetaan, jotta siitä saadaan 5-prosenttista suolaliuosta.

  1. Kuinka monta prosenttia suolaliuoksen massasta pitää haihduttaa pois?
  2. Kuinka monta prosenttia suolaliuoksen vedestä pitää haihduttaa pois?
  3. Miksi edellisten kohtien vastaukset eivät ole samat? Selitä omin sanoin.

  1. 60 %
  2. Noin 61,2 %

Tuoreissa omenissa on vettä 80 % ja sokeria 4 %. Kuinka monta prosenttia sokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, että kosteusprosentti on 20? [Pitkä K2000/4]

16 %

Kesämokin rakentaminen tuli 25 % arvioitua kalliimmaksi. Rakennustarvikkeet olivat 19 % ja muut kustannukset 28 % arvioitua kalliimpia. Mikä oli rakennustarvikkeiden arvioitu osuus ja mikä lopullinen osuus kokonaisukustannuksista? [Pitkä K2006/4]

Arvioitu osuus 33 % ja lopullinen osuus 32 %.

Vuonna 2001 erään liikeyrityksen ulkomaille suuntautuvan myynnin arvo kasvoi 10 % vuoteen 2000 verrattuna. Samaan aikaan myynnin arvo kotimaassa väheni 5 %. Tällöin koko myynnin arvo kasvoi 6 %. Laske, kuinka monta prosenttia myynnistä meni vuonna 2000 ulkomaille. [Pitkä K2002/3]

73 %

  1. Annika sai 58 000 € perintönä. Kuinka monta euroa Annika maksaa perinnöstä veroa? Mikä on hänen perintöveroprosenttinsa?
  2. Piirrä kuvaaja, josta käy ilmi perintöveron suuruus prosentteina perinnön arvon funktiona, kun perinnön suuruus on välillä 0 € ja 60 000 €.
[Lyhyt K2016/10]

  1. Noin 6,3 %.

Abiturientti saa lahjoituksen, jonka suuruus on verojen jälkeen 12 000 €. Hän sijoittaa sen vuodeksi kahteen rahastoon, joiden vuotuiset korot ovat verojen jälkeen 3,5 % ja 5,5 %.

  1. Lahjoituksesta $x$ euroa sijoitetaan 3,5 % tuoton tarjoavaan rahastoon ja loput toiseen rahastoon. Esitä koko sijoituksen arvo $y$ muuttujan $x$ avulla lausuttuna, kun $0 \leq x \leq 12\,000$.
  2. Piirrä a‐kohdan funktion kuvaaja välillä $0 \leq x \leq 12\,000$.
[Lyhyt S2013/14]

  1. $y = -0{,}02x + 12660$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä alla oleva itsearviointitesti. Kun olet tehnyt tehtävät, niin avaa testin pisteytysohje tästä ja tästä, ja pisteytä omat ratkaisusi.

1. Erkin bruttopalkka on 3600 €, josta hän maksaa veroja 1080 €.
a) Mikä on Erkin veroprosentti eli kuinka monta prosenttia verot ovat hänen bruttopalkastaan?
b) Erkki saa viiden prosentin palkankorotuksen. Mikä on hänen uusi palkkansa?
c) Kuinka paljon enemmän Erkille jää rahaa käteen palkankorotuksen jälkeen, jos hänen veroprosenttinsa ei nouse?

2. Paita maksaa kaupassa 67 € ja housut 89 €.
a) Kuinka monta prosenttia housut ovat paitaa kalliimmat? Entä kuinka monta prosenttia paita on housuja halvempi?
b) Vaatteiden arvonlisäveroprosentti on 24 ja se lasketaan aina tuotteen verottomasta hinnasta. Asiakkaan maksama hinta sisältää jo veron. Mikä on paidan veroton hinta?