Murtolauseke tarkoittaa kahden polynomin osamäärää. Esimerkiksi lausekkeet $$\frac{4x-1}{7-x^2} \quad \text{ ja } \quad \frac{9}{y^3+5y}$$ ovat murtolausekkeita. Murtolausekkeita voidaan käsitellä samoilla säännöillä kuin murtolukuja. Tässä kappaleessa palautetaan mieleen murtolukujen laskusäännöt ja harjoitellaan soveltamaan niitä murtolausekkeisiin.

Murtolukuja ja -lausekkeita voidaan sieventää supistamalla. Supistaminen onnistuu, jos sekä osoittaja että nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja niistä löytyy yhteinen tekijä: $$ \frac{30}{21} = \frac{3\cdot 10}{3\cdot 7} = \frac{10}{7} $$ Murtolausekkeiden tapauksessa tulomuotoon muuttaminen saattaa vaatia yhteisen tekijän erottamisen sekä osoittajassa että nimittäjässä: $$ \frac{8x+4}{6x^2+3x} = \frac{4(2x+1)}{3x(2x + 1)} = \frac{4}{3x} $$ Tässä osoittajan termeillä oli yhteinen tekijä $4$, ja nimittäjän termeillä oli yhteinen tekijä $3x$. Kun osoittaja ja nimittäjä kirjoitettiin tulomuotoon, nähtiin molemmissa tekijänä myös lauseke $2x+1$. Se voitiin supistaa pois.

Murtolukujen tapauksessa luvun ja sen vastaluvun osamäärä on helppo tunnistaa. Esimerkiksi $$\frac{\phantom{-}3}{-3} = -1.$$ Murtolausekkeiden tapauksessa vastaava tilanne voi näyttää esimerkiksi tältä: $$ \frac{x-8}{8-x} $$ Osoittajaa sieventämällä nähdään, että se on nimittäjän vastalauseke: \begin{align*} x-8 &= -8 + x \\ &=-1 \cdot (8-x). \end{align*} Osoittaja ja nimittäjä voidaan muuttaa tulomuotoon ja sen jälkeen supistaa yhteinen tekijä pois: $$ \frac{x-8}{8-x} = \frac{-1 \cdot (8-x)}{\phantom{-}1 \cdot (8-x)} = \frac{-1}{\phantom{-}1} = -1 $$

MAA2-kurssilla johdetut summan ja erotuksen tulon sekä binomien neliöiden muistikaavat ovat välillä tarpeen murtolausekkeiden supistamisessa.

Ennen yhteen- ja vähennyslaskuja murtoluvut täytyy laventaa samannimisiksi. Laventaminen tarkoittaa, että osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tällöin murtoluvusta tulee eri näköinen mutta sen suuruus ei muutu. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} = \frac{6\cdot 1}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12}. $$ Kun kaksi murtolukua lavennetaan samannimisiksi, yksi varma keino on laventaa ne toistensa nimittäjillä seuraavaan tapaan: \begin{align*} \frac{4}{\textcolor{blue}{5}} - \frac{3}{\textcolor{red}{7}} &= \frac{\textcolor{red}{7}\cdot 4}{\textcolor{red}{7}\cdot \textcolor{blue}{5}} - \frac{\textcolor{blue}{5}\cdot 3}{\textcolor{blue}{5}\cdot \textcolor{red}{7}} \\[2mm] &= \frac{28}{35} - \frac{15}{35} \\[2mm] &= \frac{28-15}{35} \\[2mm] &= \frac{13}{35} \end{align*} Lavennuksen jälkeen osoittajat voitiin yhdistää. Lopuksi vielä tarkistetaan, voiko tulosta supistaa. Tällä kertaa supistaminen ei onnistu, koska osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä.

Murtolausekkeiden vähennyslaskussa on tärkeää huomata, että lausekkeiden välissä oleva miinusmerkki vaikuttaa sen perässä olevan murtolausekkeen koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{1+x}{x^2} \textcolor{red}{-} \frac{\textcolor{blue}{4-x}}{x^2} &= \frac{1+x \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{(4-x)}}{x^2} \\[2mm] &= \frac{1+x \textcolor{red}{-} \textcolor{blue}{4}\textcolor{red}{+} \textcolor{blue}{x}}{x^2} \\[2mm] &= \frac{2x-3}{x^2} \end{align*}

Murtolukujen kerto- ja jakolaskussa laventamista ei tarvitse tehdä. Kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 5} = \frac{3}{10} $$ Usein kannattaa jo välivaiheessa tarkistaa, onko supistaminen mahdollista. Esimerkiksi $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1\cdot 4}{2\cdot 5} = \frac{2\cdot 2}{2\cdot 5} = \frac{2}{5} $$ Murtolausekkeiden kertolasku voidaan tehdä samaan tapaan kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Ennen sulkujen avaamista kannattaa tarkistaa, onko osoittajassa ja nimittäjässä yhteisiä tekijöitä, jotka voisi supistaa pois. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+x}{6x-9} \cdot \frac{3x}{x+1} &= \frac{(x^2+x) \cdot 3x}{(6x-9)(x+1)} \\[2mm] &= \frac{x\textcolor{blue}{(x+1)} \cdot \textcolor{red}{3}x}{\textcolor{red}{3}(2x-3)\textcolor{blue}{(x+1)}} \\[2mm] &= \frac{x\cdot x}{2x-3} \\[2mm] &= \frac{x^2}{2x-3} \end{align*}

Jakolasku saadaan suoritettua, kun kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Esimerkiksi $10 : 2 = 5$ ja samaan tulokseen päästään myös kertomalla jakajan käänteisluvulla: $$ 10 \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5. $$ Murtolausekkeiden tapauksessa kannattaa jälleen tehdä mahdolliset supistukset jo ennen sulkujen avaamista. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+x}{x-1} : \textcolor{red}{\frac{x}{x^2-1}} &= \frac{x^2+x}{x-1} \cdot \textcolor{red}{\frac{x^2-1}{x}} \\[2mm] &= \frac{\textcolor{purple}{(x^2+x)}\textcolor{blue}{(x^2-1)}}{(x-1)x} \\[2mm] &= \frac{\textcolor{purple}{x(x+1)}\textcolor{blue}{(x-1)(x+1)}}{(x-1)x} \\[2mm] &= \frac{(x+1)(x+1)}{1} \\[2mm] &= (x+1)^2. \end{align*} Tässä käytettiin MAA2-kurssin luvun 3 teoreeman 3 summan ja erotuksen tulon kaavaa, jonka mukaan $$\textcolor{blue}{(x+1)(x-1) = x^2-1}.$$

Rationaalilauseke tarkoittaa polynomien ja murtolausekkeiden summaa. Myös pelkät polynomit ja pelkät murtolausekkeet luetaan mukaan rationaalilausekkeisiin. Rationaalilausekkeita ovat siis esimerkiksi \begin{align*} \frac{3x+13}{x^2} + 7x^3 - 2 \\[2mm] 6x^4-\frac{7}{9}x + 1 \\[2mm] \frac{1}{x} \end{align*} Kun rationaalilausekkeita sievennetään, voidaan käyttää murtolausekkeiden laskusääntöjä. Esimerkiksi \begin{align*} &\phantom{={}}\left(\frac{25}{x} - x\right) : (x+5) \\[2mm] &= \left(\frac{25}{x} - \frac{x^2}{x}\right) : (x+5) \\[2mm] &= \frac{25-x^2}{x} : (x+5) \\[2mm] &= \frac{25-x^2}{x} \cdot \frac{1}{x+5} \end{align*} Huomaa, että tässä jaettava sievennettiin ensin yhdeksi murtolausekkeeksi.

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuihin rationaalifunktioihin. Ne ovat funktioita, jotka on määritelty jonkin rationaalilausekkeen avulla. Esimerkiksi $$ f(x) = 4-\frac{3}{5}x^2 + \frac{6x}{x^2-2} $$ on rationaalifunktio.

Koska nollalla jakamista ei ole määritelty, rationaalifunktio ei ole määritelty kohdissa, joissa jokin siinä esiintyvistä nimittäjistä saa arvon nolla.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin rationaalifunktio saa tietyn arvon, päädytään ratkaisemaan niin sanottu rationaaliyhtälö. Esimerkiksi rationaalifunktion $f$ nollakohdat voidaan löytää ratkaisemalla yhtälö $f(x) = 0$.

Rationaaliyhtälöiden ratkaisussa ensimmäinen tavoite on päästä eroon nimittäjistä. Tämä voidaan tehdä ainakin kahdella tavalla:

1. Kerrotaan yhtälön kumpikin puoli kaikkien yhtälössä esiintyvien nimittäjien tulolla, jolloin nimittäjät voidaan supistaa pois.
2. Muokataan yhtälön kumpikin puoli samannimisiksi murtolausekkeiksi sopivasti laventamalla. Tällöin voidaan päätellä, että yhtälö toteutuu, jos ja vain jos osoittajat ovat yhtä suuria.

Esimerkiksi yhtälön $$\frac{x}{2-x} + 1 = \frac{3}{x}$$ nimittäjistä voidaan hankkiutua eroon kummalla tahansa tavalla. Ennen ratkaisua kannattaa kuitenkin huomata, että yhtälö ei ole määritelty nimittäjien nollakohdissa eli jos $x = 2$ tai $x = 0$. Nämä luvut eivät siis missään tapauksessa kelpaa yhtälön ratkaisuksi.

1. tapa: Yhtälössä esiintyvät nimittäjät $2-x$ ja $x$, joten kerrotaan yhtälön molemmat puolet tulolla $x(2-x)$ ja tehdään mahdolliset supistukset sen jälkeen: \begin{align*} \frac{x}{2-x} + 1 &= \frac{3}{x} \\[2mm] \frac{x\cdot \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{2-x} + \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)} &= \frac{3\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{x} \\[2mm] x^2 + x(2-x) &= 3(2-x) \end{align*}
2. tapa: Muokataan yhtälön kumpikin puoli samannimisiksi murtolausekkeiksi sopivasti laventamalla. \begin{align*} \frac{x}{2-x} + 1 &= \frac{3}{x} \\[2mm] \frac{x\cdot \textcolor{blue}{x}}{\textcolor{blue}{x}(2-x)} + \frac{\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}}{\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(2-x)}} &= \frac{3\textcolor{red}{(2-x)}}{x\textcolor{red}{(2-x)}} \\[2mm] \frac{x^2 + x(2-x)}{x(2-x)} &= \frac{3(2-x)}{x(2-x)} \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos osoittajat ovat yhtä suuria eli $$x^2 + x(2-x) = 3(2-x)$$

Kun nimittäjistä on päästy eroon tavalla tai toisella, voidaan yhtälön ratkaisemista jatkaa normaalisti: \begin{align*} x^2 + x(2-x) &= 3(2-x) \\ x^2 + 2x - x^2 &= 6-3x \\ 5x &= 6 \\ x &= \frac{6}{5} \end{align*} Lopuksi tarkistetaan, että kysymyksessä todella on alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Tämä voidaan tehdä sijoittamalla ratkaisuehdokas alkuperäiseen yhtälöön tai tarkistamalla, ettei kysymyksessä ole minkään yhtälössä esiintyvän nimittäjän nollakohta. Tässä tarkastellun yhtälön nimittäjien nollakohdat ovat $x = 0$ ja $x = 2$, joten $x = \frac{6}{5}$ todella on yhtälön ratkaisu. (Sijoittamalla havaitaan, että jos $x = \frac{6}{5}$, niin yhtälön vasen ja oikea puoli saavat kumpikin arvon $\frac{5}{2}$.)

Edellisessä kappaleessa harjoiteltiin rationaaliyhtälöiden ratkaisemista. Esimerkiksi yhtälö $$ \frac{2}{x-1} = 4 $$ voidaan ratkaista kertomalla sen molemmat puolet nimittäjällä $x-1$, jolloin yhtälö saa muodon $$ 2 = 4(x-1). $$ Vastaava tekniikka ei kuitenkaan toimi rationaaliepäyhtälöiden ratkaisemisessa, sillä epäyhtälömerkin käyttäytyminen riippuu siitä, kerrotaanko epäyhtälöä positiivisella vai negatiisivisella luvulla. Esimerkiksi \begin{align*} 1 &< 2 \quad \mid \ \cdot 3 \\ 3 &< 6 \end{align*} mutta \begin{align*} 1 &< 2 \quad \mid \ \cdot (-7) \\ -7 &> -14. \end{align*} Jos epäyhtälö $$ \frac{2}{x-1} > 4 $$ yritetään ratkaista samalla tavalla kuin vastaava yhtälö eli kertomalla sen molemmat puolet nimittäjällä $x-1$, päädytään hankalaan tilanteeseen, koska lausekkeen $x-1$ merkki riippuu muuttujan $x$ arvosta ja vaikuttaa myös epäyhtälömerkin käyttäytymiseen. Tässä kappaleessa opitaan ratkaisemaan rationaaliepäyhtälöt tavalla, johon ei tällaisia ongelmia liity. Menetelmä perustuu rationaalifunktioiden arvojen merkin tutkimiseen.

Tarkastellaan aluksi rationaalifunktion $$ f(x) = \frac{x+2}{3x-3} $$ kuvaajaa:

Kuvaajasta nähdään, että funktion arvojen merkki vaihtuu nollakohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 1$, jossa funktio ei ole määritelty. On mahdollista osoittaa, että kysymyksessä ei ole sattuma:

Teoreemasta 3 seuraa, että rationaalifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa sekä kohdissa, joissa funktio ei ole määritelty. Nämä kohdat täytyy siis ottaa huomioon, kun tutkitaan rationaalifunktion merkkiä.

Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$ g(x) = \frac{6x-8}{12x + 15}. $$ Ratkaistaan aluksi funktion $g$ nollakohdat. Huomaa, että osamäärä on nolla täsmälleen siinä tapauksessa, että osoittaja on nolla: \begin{align*} g(x) &= 0 \\[2mm] \frac{6x - 8}{12x + 15} &= 0 \\[2mm] 6x - 8 &= 0 \\[2mm] 6x &= 8 \\[2mm] x &= \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{align*} Ratkaistaan myös nimittäjän nollakohdat eli kohdat, joissa funktio $g$ ei ole määritelty: \begin{align*} 12x + 15 &= 0 \\[2mm] 12x &= -15 \\[2mm] x &= -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \end{align*} Laaditaan funktion merkkikaavio, johon merkitään funktion nollakohdat ja kohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Valitaan jokaiselta merkkikaavion väliltä jokin kohta ja lasketaan funktion arvo tässä kohdassa. Esimerkiksi \begin{align*} g(-2) &= \frac{-12-8}{-24 + 15} = \frac{-20}{-9} = \frac{20}{9} \\[2mm] g(0) &= \frac{0-8}{0+15} = -\frac{8}{15} \\[2mm] g(2) &= \frac{12-8}{24 + 15} = \frac{4}{39} \end{align*} Täydennetään tiedot funktion arvojen merkistä merkkikaavioon:
Funktio $g$ saa siis positiivisia arvoja lukusuoran väleillä $\pa -\infty, -\frac{5}{4} \pe$ ja $\pa \frac{4}{3}, \infty \pe$ ja negatiivisia arvoja lukusuoran välillä $\pa -\frac{5}{4}, \frac{4}{3} \pe$.

Rationaaliepäyhtälön ratkaisemisessa ensimmäinen askel on palauttaa tilanne rationaalifunktion merkin tarkasteluun. Käytännössä epäyhtälöä muokataan niin, että sen toiselle puolelle jää nolla. Esimerkiksi epäyhtälö $$ \frac{x}{x+1} < \frac{1}{2-x} $$ muutetaan aluksi muotoon $$ \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} < 0. $$ Epäyhtälön ratkaisut löydetään, kun tutkitaan, millä väleillä vastaavan rationaalifunktion $$ f(x) = \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} $$ arvot ovat negatiivisia.

Kohdat, joissa funktio $f$ ei ole määritelty, ovat nimittäjien nollakohdat $x = -1$ ja $x = 2$. Ratkaistaan vielä funktion $f$ nollakohdat. Käytetään edellisessä kappaleessa harjoiteltua tapaa 1: \begin{align*} f(x) &= 0 \\[2mm] \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2-x} &= 0 \\[2mm] \frac{x}{x+1} &= \frac{1}{2-x} \\[2mm] \frac{x\textcolor{blue}{(x+1)}\textcolor{red}{(2-x)}}{x+1} &= \frac{\textcolor{blue}{(x+1)}\textcolor{red}{(2-x)}}{2-x} \\[2mm] x(2-x) &= x+1 \\[2mm] 2x - x^2 &= x + 1 \\[2mm] -x^2 + x - 1 &= 0 \end{align*} Tämän toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen: \begin{align*} D &= 1^2 - 4\cdot (-1)\cdot (-1) \\ &= 1-4 = -3. \end{align*} Yhtälöllä ei siten ole yhtään ratkaisua (MAA 2, teoreema 6). Tämä näkyy käytännössä myös siitä, että toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa juurrettava on negatiivinen.

Funktiolla $f$ ei siis ole nollakohtia, joten merkitään merkkikaavioon vain kohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Valitaan jokaiselta merkkikaavion väliltä jokin kohta ja lasketaan funktion arvo tässä kohdassa. Esimerkiksi \begin{align*} f(-2) &= \frac{-2}{-1} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \\[2mm] f(0) &= 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \\[2mm] f(3) &= \frac{3}{4} - \frac{1}{-1}= \frac{7}{4} \end{align*} Täydennetään tiedot funktion arvojen merkistä merkkikaavioon:

Alkuperäinen epäyhtälö toteutuu, jos ja vain jos funktion $f$ arvot ovat negatiivisia. Epäyhtälö $$ \frac{x}{x+1} < \frac{1}{2-x} $$ siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < 2$.

Edellisessä luvussa tutustuttiin funktion raja-arvon käsitteeseen. Tässä kappaleessa tutkitaan tarkemmin rationaalifunktioiden raja-arvoja.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että raja-arvon olemassaolon kannalta kriittisimpiä ovat ne kohdat, joissa rationaalifunktio ei ole määritelty. Jos funktiolla on tällaisessa kohdassa raja-arvo, voidaan se löytää supistamalla funktion lauseketta. Esimerkiksi edellisen tehtävän funktio $$g(x) = \frac{x^2-1}{2x-2}$$ ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa $x = 1$. Lauseketta voidaan kuitenkin supistaa niin, että raja-arvo voidaan määrittää: \begin{align*} \frac{x^2-1}{2x-2} &= \frac{(x+1)(x-1)}{2(x-1)} \\[2mm] &= \frac{x+1}{2} \xrightarrow[x \rightarrow 1]{} \frac{1+1}{2} = 1 \end{align*} Tässä osoittaja ja nimittäjä muokattiin ensin tulomuotoon. Supistamisen jälkeen tutkittiin, mitä lausekkeelle tapahtuu, kun lähestytään kohtaa $x = 1$.

Jos rationaalifunktio on määritelty tarkastelukohdassa, saadaan raja-arvo selvitettyä ilman supistamista. Esimerkiksi $$\frac{3x}{x^2-4x} \xrightarrow[x \rightarrow 7]{} \frac{3\cdot 7}{7^2 - 4\cdot 7} = \frac{21}{21} = 1,$$ joten edellisen tehtävän funktiolle $$h(x) = \frac{3x}{x^2-4x}$$ pätee $$\lim_{x\rightarrow 7} h(x) = 1.$$ Tämä itse asiassa tarkoittaa, että funktion $h$ raja-arvo kohdassa $x = 7$ on sama kuin funktion arvo kohdassa $x = 7$: $$\lim_{x\rightarrow 7} h(x) = h(7).$$ Luvussa 2 esitetty jatkuvuuden määritelmän ehto siis toteutuu, joten funktio $h$ on jatkuva kohdassa $x = 7$.

On mahdollista osoittaa, että vastaava ilmiö koskee kaikkia rationaalifunktioita:

Teoreeman 4 mukaan rationaalifunktion raja-arvo on sama kuin funktion arvo kaikissa kohdissa, joissa funktio on määritelty. Erityistä tarkastelua vaativat vain nimittäjän nollakohdat, joissa funktio ei ole määritelty.

Tutkitaan seuraavaksi funktiota $$g(x) = \frac{x^2-16}{x^2 - 8x + 16}$$ kohdassa $x = 4$.

Havaitaan, että kohdassa $x = 4$ nimittäjä saa arvon nolla, joten funktio $g$ ei ole määritelty. Muistikaavojen \begin{align*} (a+b)(a-b) &= a^2 + b^2 \quad \text{ ja}\\ (a-b)^2 &= a^2 -2ab + b^2 \end{align*} avulla funktion lauseke saadaan muotoon, jossa supistaminen on mahdollista: \begin{align*} \frac{x^2-16}{x^2 - 8x + 16} &= \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)^2} \\[2mm] &= \frac{x+4}{x-4} \end{align*} Huomataan, että tulos ole määritelty kohdassa $x = 4$, vaikka kaikki mahdolliset supistukset on tehty. Tällaisessa tilanteessa funktiolla ei ole raja-arvoa, vaan funktion arvot kasvavat tai pienenevät rajatta tarkastelukohdan läheisyydessä.