Määrittelemme käsitteet joukko ja jono sekä tutustumme niihin liittyviin merkintöihin. Joukko tarkoittaa kokoelmaa alkioita. Lisäksi oletamme, että jokaisen alkion osalta on yksikäsitteisesti pääteltävissä, kuuluuko se joukkoon vai ei. Joukkoja merkitään yleensä isoilla kirjaimilla. Jos joukko $A$ sisältää täsmälleen alkiot $1$, $2$ ja $3$, niin kirjoitamme $A=\{1, 2, 3\}$. Joukon merkinnässä alkiot voivat olla missä järjestyksessä tahansa. Merkitsemme sumboolilla $\in$ että alkio kuuluu joukkoon, esim.\ $2 \in A$. Joukot ovat samoja, jos niissä on samat alkiot, merkitsemme tämän yhtäsuuruudella. Joukon merkinnässä sama alkio voi esiintyä useamman kerran, näin esimerkiksi $\{1, 2, 3\}= \{1, 3, 2, 3, 1\}$. Jos joukon määrittelee jokin ehto $P$, niin joukko voidaan kirjoittaa muodossa $\{x \colon x \text{ toteutaa ehdon } P\}$. Esimerkiksi parilliset luonnolliset luvut voidaan kirjoittaa muodossa $\{ n \in \N \colon \frac{n}2 \in \N\}$, eli otamme joukkoon kaikki ne luonnolliset luvut, joilla on se ominaisuus, että luku jaettuna kahdella on luonnollinen luku. Jos joukon alkiot määrää jokin lauseke, niin joukko voidaan ilmoittaa tämän lausekkeen avulla, esimerkiksi $\{2n\colon n=1, 2, 3\} =\{2, 4, 6\}$. Sanomme, että joukko $A$ on joukon $B$ osajoukko, jos jokainen joukon $A$ alkio kuuluu joukkoon $B$. Merkitsemme tällöin $A \subset B$. Esimerkiksi $\{2, 4\} \subset \{ n \in \N \colon \frac{n}2 \in \N\}$. Huomaa, että jokainen joukko on itsensä osajoukko. Tyhjää joukkoa, jossa ei ole lainkaan alkioita, merkitään $\emptyset$.

Jonolla tarkoitetaan äärellistä tai ääretöntä määrää alkioita, joille on annettu järjestys. Jonossa sama alkio voi esiintyä useamman kerran eri paikassa. Jonoa merkitään kaarisuluilla, jonka sisään alkiot merkitään järjestyksessä, esim. $(1, 3, 2, 1)$ on 4-alkioinen jono. Joukko ja jono ovat eri käsitteitä. Ajatellaan lukuja 1, 2 ja 3. Niistä voidaan kaikki luvut mukaan ottamalla muodostaa vain yksi joukko $\{1, 2, 3\}$, mutta kuusi erilaista kolmen mittaista jonoa: $(1, 2, 3)$, $(1, 3, 2))$, $(3, 1, 2)$, $(3, 2, 1)$, $(2, 1, 3)$ ja $(2, 3, 1)$. Jonossa jokaisella alkiolla on paikka toisin kuin joukossa.

Klassinen todennäköisyys perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin. Tarkoitamme tällä, että lähtötilanteesta voi sattuman takia päätyä useampaan tulokseen, joista mihin tahansa päätyminen on yhtä todennäköistä. Kaikkien mahdollisten tulosten joukkoa kutsutaan perusjoukoksi. Heitetään noppaa yhden kerran. Ennen heittoa emme tiedä nopanheiton tulosta. Tiedämme kuitenkin, että tuloksena on jokin luku perusjoukosta $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Tässä jokainen silmäluku on alkeistapaus ja ne ovat yhtä todennäköisiä.

Tapahtumat ovat perusjoukon osajoukkoja. Seuraavassa tehtävässä on nopanheiton perusjoukko $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ja sen osajoukko $\{5, 6\}$, joka vastaa tapahtumaa "tuloksena on viisi tai kuusi".

Tapahtumien todennäköisyydet on tapana ilmoittaa murtolukuina (tarkkoina arvoina), desimaalilukuina esim. kahden merkitsevän numeron tarkkuudella tai prosentteina. Edellisen esimerkin vastauksen voi siis esittää $\frac{1}{3}$, $0{,}33$ tai $33\ \%$.

Tulkitsemme nyt joukko-opin merkintöjä todennäköisyyden kannalta. Tapahtuma $A = \emptyset$ (tyhjä joukko), jos tapahtuma $A$ on mahdoton eli se ei sisällä alkioita. Tapahtumien $A$ ja $B$ yhdiste on $$ A \cup B = \{ A\text{ tapahtuu tai } B \text{ tapahtuu}\}. $$ Tässä "tai" sisältää mahdollisuuden, että molemmat $A$ ja $B$ tapahtuvat. Tapahtumien $A$ ja $B$ leikkaus on $$ A \cap B = \{ A\text{ tapahtuu ja } B \text{ tapahtuu}\}, $$ joka tarkoittaa, että molemmat tapahtumat $A$ ja $B$ tapahtuvat. Tapahtumien $A$ ja $B$ erotus on $$ A \setminus B = \{ A\text{ tapahtuu ja } B \text{ ei tapahdu}\}. $$ Joukon $A$ komplementtia perusjoukon $E$ suhteen merkitään $\overline{A}=E\setminus A$. Tällöin $P(\overline{A})$ merkitsee todennäköisyyttä, että "$A$ ei tapahdu".

Huomaa, että erillisyys riippuu vain joukoista $A$ ja $B$, ei lainkaan niiden todennäköisyyksistä.

Seuraavat klassisen todennäköisyyden laskusäännöt ja muut perusominaisuudet voidaan johtaa määritelmän perusteella tarkastelemalla joukkojen alkioiden lukumäärien osamääriä.

Nostetaan korttipakasta kaksi korttia peräjälkeen ilman takaisinpanoa. Huomaamme että jälkimmäisellä kerralla pakassa on vain 51 korttia, joten ensin nostettu kortti vaikuttaa tilanteeseen.

Tapahtuman $A$ todennäköisyys ehdolla $B$ merkitsee sitä, että ehdosta $B$ tehdään satunnaiskokeen uusi perusjoukko ja lasketaan tapahtuman $A$ todennäköisyys tällöin. Ehdollisen todennäköisyyden idea on kuvailla tapahtuman $A$ sattumista olettaen, että tiedämme ehdon $B$ tapahtuneen.

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa suoraan kertolaskukaava:

Tutkitaan seuraavaksi tapahtumia, jotka eivät vaikuta toisiinsa.

Ehdollinen todennäköisyys ja tapahtumien riippumattomuus liittyvät toisiinsa läheisesti. Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia, niin tapahtuman $A$ ehdollistaminen tapahtumalla $B$ ei vaikuta $A$:n todennäköisyyteen.

Tapahtumien $A$ ja $B$ riippumattomuus merkitsee sitä, että tapahtuma $A$ ei vaikuta tapahtuman $B$ todennäköisyyteen ja tapahtuma $B$ ei vaikuta tapahtuman $A$ todennäköisyyteen. Tapahtumien $A$ ja $B$ riippumattomuuudelle on olennaista niiden todennäköisyydet, sen sijaan tapahtumien erillisyys riippuu vain joukoista $A$ ja $B$, ei lainkaan niiden todennäköisyyksistä. Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat erilliset, niin $P(A\cap B)=P(\emptyset)=0$, jos taas tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomat, niin $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Näin ollen tapahtumien $A$ ja $B$ erillisyys ja riippumattomuus voivat toteutua yhtä aikaa vain, jos $P(A)=0$ tai $P(B)=0$. Erityisen tarkka on oltava kaavojen $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ja $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ käytössä. Ensimmäinen on voimassa, kun $A$ ja $B$ ovat erilliset, ja jälkimmäinen on voimassa, kun $A$ ja $B$ ovat riippumattomat.

Lisätietoa: Jos tapahtumat $A$ ja $B$ eivät ole riippumattomia, niin niillä on jotakin stokastista vuorovaikutusta toisiinsa. On kuitenkin varottava vetämästä liian suuria johtopäätöksiä tästä vuorovaikutuksesta, jolla ei yleensä ole kausaalista luonnetta (syy--seuraussuhdetta).

Erilaiset tavat tehdä valintoja joukkojen alkioista liittyvät keskeisesti todennäköisyyslaskennan klassiseen malliin. Kombinatoriikka on matematiikan osa-alue, joka tutkii eri vaihtoehtojen määrittämistä. Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä.

Nukella on kaksi hattua, kolme paitaa, yhdet housut ja kahdet kengät. Kuinka monella eri tavalla nuken voi pukea? Havaitaan ensin että että hatun valitseminen ei vaikuta paidan valitsemiseen, tai yleisemmin eri vaatekappaleiden valinnat ovat toisistaan riippumattomia. Lisäksi jokaisen vaatekappaleen kohdalla sen voi jättää pukematta. Näin ollen eri vaihtoehtoja on $(2+1)\cdot (3+1)\cdot (1+1) \cdot (2+1) = 72$. Tämä luku sisältää myös vaihtoehdon että nukelle ei pueta mitään päälle.

Voimme yleisesti soveltaa yllä olevaa ajatusta seuraavasti. Ajatellaan että meillä on tilanne jossa suoritetaan valinta $k$:ssa eri askeleessa. Oletetaan että eri askeleiden valinnat ovat toisistaan riippumattomia. Merkitään että askeleessa $i$ meillä on mahdollista tehdä valinta $n_i$ eri vaihtoehdosta. Tällöin vaihtoehtoja on yhteensä $$ n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_{k-1} \cdot n_k $$ kappaletta. Tätä päättelyä kutsutaan tuloperiaateeksi.

Määritellään seuraavaksi kombinatoriikan peruskäsitteet.

Huomaa, että jonossa alkioilla on järjestys, mutta joukossa alkioilla ei ole järjestystä.

Esimerkiksi joukon $A=\{a, b, c\}$ 2-kombinaatiot ovat joukot $\{a, b\}$, $\{a, c\}$ ja $\{b, c\}$. Havaitaan, että kolmialkioisella joukolla on 3 erilaista 2-kombinaatiota.

Huomaa, että permutaatiot ovat jonoja ja kombinaatiot ovat joukkoja.

Lukua $n!$ kutsutaan luvun $n$ kertomaksi ja se luetaan "$n$:n kertoma". Lukua $\displaystyle\binom{n}{k}$ kutsutaan binomikertoimeksi ja se luetaan "$n$ yli $k$" tai "$n$ alle $k$". Binomikerrointa voidaan myös merkitä $\text{nCr}(n, k)$. Useimmat laskimet ja laskinohjelmistot käyttävät tällaista merkintää. Esimerkiksi $$ \binom{9}{4}=\text{nCr}(9, 4) =126. $$

Joukon, jossa on $n$ alkiota, $k$-permutaatioiden lukumäärää voidaan merkitä $\text{nPr}(n, k)$. Useimmat laskimet ja laskinohjelmistot käyttävät tällaista merkintää, esimerkiksi $$ \text{nPr}(9, 4) = 9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6=3024. $$

Klassisessa todennäköisyydessä kaikki alkeistapahtumat ovat yhtä todennäköisiä. Tutustumme esimerkkitehtävin tapahtumiin, joissa alkeistatapahtumien todennäköisyydet ovat eri suuria, mutta tilanteiden analysoinnissa voi silti käyttää klassisesta todennäköisyydestä tuttuja menetelmiä.

Joissain tilanteissa tapausten todennäköisyydet saadaan pinta-aloista. Tarkastellaan tavallista tikkataulua ja tilannetta, jossa tikka osuus satunnaisesti tauluun. Tällöin kunkin numeron todennäköisyys on sitä vastaava pinta-ala jaettuna koko tikkataulun pinta-alalla.