Toisen asteen polynomifunktio

Luvun tavoitteet

Tämän luvun tavoitteena on, että saat vankan käsityksen toisen asteen polynomifunktioista ja ratkaiset sujuvasti toisen asteen yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Osaat

hahmotella toisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
tutkia toisen asteen polynomifunktioiden ominaisuuksia sekä lausekkeiden että kuvaajien avulla
käyttää sujuvasti summan neliön, erotuksen neliön sekä summan ja erotuksen tulon muistikaavoja
soveltaa tulon nollasääntöä yhtälöiden ratkaisemiseen
ratkaista toisen asteen yhtälön ja epäyhtälön
tutkia toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää diskriminantin avulla
jakaa toisen asteen polynomin tekijöihin.

Toisen asteen polynomifunktio (3.1 - 3.5)

Edellisessä luvussa tutustuimme toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$ . Se on yksi esimerkki niin sanotuista toisen asteen polynomifunktioista, joihin liittyviä asioita tässä luvussa opiskellaan.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$ , joka on muotoa $f(x) = ax^2+bx+c$ , missä $a\neq 0$ , sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten toisen asteen polynomifunktion lausekkeessa esiintyvät kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Tehtävä 3.1: Toisen asteen polynomifunktio

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio	Kuvaaja
$\ f(x) = x^2+1 \$
$\ g(x) = -x^2 \$
$\ h(x) = -x^2+2 \$
$\ k(x) = x^2-1 \$

Kaikki yllä olevat toisen asteen funktiot ovat muotoa $f(x) = ax^2 + c$ eli niiden ensimmäisen asteen termin kerroin $b = 0$ . Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$ -akselin?

VASTAUS

Funktio	Kuvaaja
$\ f(x) = x^2+1 \$	C
$\ g(x) = -x^2 \$	B
$\ h(x) = -x^2+2 \$	D
$\ k(x) = x^2-1 \$	A

Jos $a > 0$ , kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$ , kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$ -akselin.

Tehtävä 3.2: Toisen asteen polynomifunktio

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio	Kuvaaja
$\ f(x) = -x^2+4x-2 \$
$\ g(x) = x^2+2x-1 \$
$\ h(x) = x^2-3x-1 \$
$\ k(x) = -x^2-x+2 \$

Miten funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ lausekkeesta voi päätellä,

onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli vai alaspäin aukeava paraabeli?
millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$ -akselin?
Selitä omin sanoin, miten ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa kuvaajaan.

VASTAUS

Funktio	Kuvaaja
$\ f(x) = -x^2+4x-2 \$	D
$\ g(x) = x^2+2x-1 \$	A
$\ h(x) = x^2-3x-1 \$	B
$\ k(x) = -x^2-x+2 \$	C

Jos $a > 0$ , kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$ , kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$ -akselin.
Kerroin $b$ siirtää kuvaajaa $x$ -akselin suunnassa mutta sen vaikutus on monimutkaisempi kuin vakion $c$ .

Tehtävä 3.3: Toisen asteen polynomifunktio

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio	Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \$
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \$
$\ h(x) = -2x^2+2 \$
$\ k(x) = -3x^2+4 \$

Selitä omin sanoin, miten toisen asteen funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$

toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa kuvaajaan.
vakiotermi $c$ vaikuttaa kuvaajaan.

VASTAUS

Funktio	Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \$	A
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \$	C
$\ h(x) = -2x^2+2 \$	D
$\ k(x) = -3x^2+4 \$	B

Jos $a > 0$ , kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$ , kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Mitä suurempi luvun $a$ itseisarvo on, sitä jyrkemmin paraabeli kaartuu.
Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$ -akselin.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli kuten edellisissä tehtävissä. Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylinta pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Tehtävä 3.4: Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$ -koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \$	$\ \phantom{-}f(x) \$
$\, -4 \$	$\ \phantom{-}9 \$
$\, -3 \$	$\ \phantom{-}5{,}25 \$
$\, -2 \$	$\ \$
$\ \phantom{-}0 \$	$\, -3 \$
$\ \phantom{-}2 \$	$\ \$
$\ \phantom{-}6 \$	$\, -6 \$
$\ \phantom{-}8 \$	$\, -3 \$
$\ \phantom{-}10 \$	$\ \phantom{-}2 \$
$\ \phantom{-}11 \$	$\ \$
$\ \phantom{-}12 \$	$\ \$

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

VASTAUS

$\ \phantom{-}x \$	$\ \phantom{-}f(x) \$
$\, -4 \$	$\ \phantom{-}9 \$
$\, -3 \$	$\ \phantom{-}5{,}25 \$
$\, -2 \$	$\ \phantom{-}2 \$
$\ \phantom{-}0 \$	$\, -3 \$
$\ \phantom{-}2 \$	$\, -6 \$
$\ \phantom{-}6 \$	$\, -6 \$
$\ \phantom{-}8 \$	$\, -3 \$
$\ \phantom{-}10 \$	$\ \phantom{-}2 \$
$\ \phantom{-}11 \$	$\ \phantom{-}5{,}25 \$
$\ \phantom{-}12 \$	$\ \phantom{-}9 \$

Huipun $x$ -koordinaatti on $x = 4$ .

Tehtävä 3.5: Toisen asteen polynomifunktio

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$ .

Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion

$f$ arvoja:

$\ \phantom{-}x \$	$\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \$
$\, -1 \$
$\ \phantom{-}0 \$
$\ \phantom{-}1 \$
$\ \phantom{-}2 \$
$\ \phantom{-}3 \$
$\ \phantom{-}4 \$

Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$ -koordinaatti.
Määritä huipun $y$ -koordinaatti laskemalla.
Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

VASTAUS

$\ \phantom{-}x \$	$\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \$
$\, -1 \$	$\ \phantom{-}5 \$
$\ \phantom{-}0 \$	$\ -3 \$
$\ \phantom{-}1 \$	$\ -7 \$
$\ \phantom{-}2 \$	$\ -7 \$
$\ \phantom{-}3 \$	$\ -3 \$
$\ \phantom{-}4 \$	$\ \phantom{-}5 \$

Huipun $x$ -koordinaatti on $x = 1{,}5$ .
Huipun $y$ -koordinaatti on $y = f(1{,}5) = -7{,}5$ .

Polynomien tulon erityistapauksia (3.6 - 3.10)

Ensimmäisessä luvussa palautettiin mieleen, miten lasketaan kahden polynomin tulo. Sama menetelmä toimii myös useamman muuttujan polynomien tapauksessa. Esimerkiksi kahden muuttujan polynomien $2a+b$ ja $3a-4b$ tuloksi saadaan $\begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2a}\textcolor{red}{+b})(3a-4b) \\ &= \textcolor{blue}{6a^2-8ab}\textcolor{red}{+3ab-4b^2} \\ &= 6a^2-5ab - 4b^2 \end{align*}$

Tehtävä 3.6: Summan ja erotuksen tulo

Laske samaan tapaan kuin edellä summan ja erotuksen tulo $(a+b)(a-b)$ ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x+10)(x-10)$ .
Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla binomi $x^2-4$ tulomuodossa.

VASTAUS

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$
$x^2-4 = (x+2)(x-2)$

Tehtävä 3.7: Summan neliö

Kirjoita lauseke $(a+b)^2$ potenssin määritelmän avulla tulomuodossa. Kerro sen jälkeen sulut auki samaan tapaan kuin edellä ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x+5)^2$ .
Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla polynomi $x^2 + 6x + 9$ potenssimerkintää käyttäen.

VASTAUS

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$
$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Tehtävä 3.8: Erotuksen neliö

Kirjoita lauseke $(a-b)^2$ potenssin määritelmän avulla tulomuodossa. Kerro sen jälkeen sulut auki samaan tapaan kuin edellä ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x-7)^2$ .
Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla polynomi $x^2 - 8x + 16$ potenssimerkintää käyttäen.

VASTAUS

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(x-7)^2 = x^2 - 14x + 49$
$x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$

Kootaan vielä edellisissä tehtävissä perustellut tulokset teoreemaksi:

TEOREEMA 3

$\quad (a+b)(a-b) = a^2-b^2$
$\quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Perustelu tehtävissä 3.6-3.8.

Teoreeman 3 avulla voidaan laskea summan ja erotuksen tuloja sekä binomien neliöitä samaan tapaan kuin edellisten tehtävien b-kohdissa. Tällaiset tulot voidaan kuitenkin aina laskea tavalliseen tapaan polynomien kertolaskuina eikä teoreeman 3 muistikaavojen käyttö ole välttämätöntä. Jos taas jokin polynomi halutaan kirjoittaa tulomuodossa tai potenssina, on teoreeman 3 muistikaavojen hallitsemisesta huomattava etu. Esimerkiksi polynomista $9x^2 - 24x + 16$ huomataan, että sen toisen asteen termi ja vakiotermi voidaan kirjoittaa neliöinä: $(\textcolor{red}{3x})^2 - 24x + \textcolor{blue}{4}^2.$ Vertaamalla tätä teoreeman 3 muistikaavaan $\textcolor{red}{a}^2 - 2ab + \textcolor{blue}{b}^2 = (a-b)^2$ huomataan, että tarkasteltavassa tilanteessa $\textcolor{red}{a = 3x}$ ja $\textcolor{blue}{b = 4}$ . Lisäksi näiden kaksinkertainen tulo täsmää tarkasteltavaan tilanteeseen, sillä $-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} = -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} = -24x$ . Siis $\begin{align*} 9x^2 - 24x + 16 &= (\textcolor{red}{3x})^2 -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2\\ &= (\textcolor{red}{3x}-\textcolor{blue}{4})^2. \end{align*}$

Tehtävä 3.9: Polynomin jakaminen tekijöihin

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa tai potenssina edellisen teoreeman muistikaavojen avulla:

$x^2 - 25$
$x^2 - 2x + 1$ .
$4x^2 + 24x + 36$

VASTAUS

$x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$
$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
$4x^2 + 24x + 36 = (2x+6)^2$

Polynomien tulo lasketaan samalla periaatteella siinäkin tapauksessa, että tulon tekijöissä on enemmän kuin kaksi yhteenlaskettavaa. Esimerkiksi $\begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{+5})(x^2-2x-3) \\ &= \textcolor{blue}{x^3-2x^2-3x}\textcolor{red}{+5x^2-10x-15} \\ &= x^3 + 3x^2 - 13x - 15 \end{align*}$

Tehtävä 3.10: Summan kuutio

Tehtävänä on johtaa muistikaava summan kuutiolle $(a+b)^3$ .

Avaa sulut lausekkeesta $(a+b)^2$ joko laskemalla tai käyttämällä muistikaavaa.
Kerro a-kohdan tulos binomilla $(a+b)$ .
Kirjoita näkyviin edellisissä kohdissa perustelemasi muistikaava summan kuutiolle $(a+b)^3$ .
Laske summan kuution muistikaavan avulla $(2x+1)^3$ .
Kirjoita polynomi $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$ summan kuutiona muistikaavan avulla.

VASTAUS

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$a^3 + 2a^2b + ab^2+ a^2b + 2ab^2 + b^3$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$
$x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = (x + 4)^3$

Tulon nollasääntö (3.11 - 3.13)

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun tulon nollasääntöön, jota voidaan käyttää monien polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Tehtävä 3.11: Nolla tulon tekijänä

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

$2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
$8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
$661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

VASTAUS

Kaikkien tulojen arvo on nolla.

Tehtävä 3.12: Nolla kertolaskun tuloksena

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$ . Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin. Jotkin väitteistä voit osoittaa todeksi tai epätodeksi keksimällä sopivan esimerkin.

On mahdollista, että kumpikaan luvuista $a$ ja $b$ ei ole nolla eli $a \neq 0$ ja $b \neq 0$ .
Voidaan olla varmoja, että kumpikin luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ ja $b = 0$ .
Voidaan olla varmoja, että ainakin toinen luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ tai $b = 0$ .
Voidaan olla varmoja, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$ .
On mahdollista, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$ .

VASTAUS

Väite on epätosi.
Väite on epätosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$ , niin $ab = 0$ .
Väite on tosi.
Väite on epätosi. On mahdollista, että $a = 0$ ja $b = 0$ . Tässäkin tapauksessa $ab = 0$ .
Väite on tosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$ , niin $ab = 0$ .

Seuraavan teoreeman eli tulon nollasäännön mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA 4

$xy = 0$ , jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$ .

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

Oletetaan aluksi, että xy=0. On kaksi mahdollisuutta: joko x=0 tai x≠0. Tutkitaan molemmat:
- Jos $x = 0$ , niin väite " $x = 0$ tai $y = 0$ " on totta.
- Jos $x \neq 0$ , niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$ . Näin päädytään yhtälöön $y = 0$ . Siis väite " $x = 0$ tai $y = 0$ " on totta.
Näin on näytetty, että jos xy=0, niin x=0 tai y=0.
Oletetaan, että x=0 tai y=0. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
- Jos $x = 0$ , niin $xy = 0\cdot y = 0$ . Siis $xy = 0$ .
- Jos $y = 0$ , niin $xy = x \cdot 0 = 0$ . Siis $xy = 0$ .
Näin on näytetty, että jos x=0 tai y=0, niin xy=0.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $(x-2)(3x-4) = 0$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla eli $x-2 = 0 \quad \text{ tai } \quad 3x-4 = 0.$ Näistä yhtälöistä saadaan ratkaistua $x = 2 \quad \text{ tai } \quad 3x = 4$ eli $x = 2 \quad \text{ tai } \quad x = \frac{4}{3}.$

Tehtävä 3.13: Tulon nollasääntö

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

$(x-1)(x+5) = 0$
$(x+7)(4x-32) = 0$
$(6-2x)(2x-1) = 0$ .

VASTAUS

$x = 1 \$ tai $\ x = -5$
$x = -7 \$ tai $\ x = 8$
$x = 3 \$ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Toisen asteen yhtälö (3.14 - 3.29)

Kurssin alkupuolella opeteltiin ratkaisemaan ensimmäisen asteen yhtälöitä eli yhtälöitä, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $ax + b = 0$ , missä $a \neq 0$ . Tällaiseen yhtälöön päädytään esimerkiksi silloin, kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa jonkin tietyn arvon. Vastaavasti toisen asteen polynomifunktiota tutkittaessa päädytään niin sanottuun toiseen asteen yhtälöön. Sellaiset opitaan ratkaisemaan tässä kappaleessa.

Tehtävä 3.14: Toisen asteen yhtälö

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2-x-1$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien toisen asteen yhtälöiden ratkaisut tai ratkaisujen likiarvot:

$\frac{1}{4}x^2-x-1 = 7$
$\frac{1}{4}x^2-x-1 = 4$
$\frac{1}{4}x^2-x-1 = 2$
$\frac{1}{4}x^2-x-1 = 0$
$\frac{1}{4}x^2-x-1 = -1$
$\frac{1}{4}x^2-x-1 = -2$
$\frac{1}{4}x^2-x-1 = -3$

VASTAUS

$x = -4 \$ tai $\ x = 8$
$x \approx -2{,}9 \$ tai $\ x = 6{,}9$
$x = -2 \$ tai $\ x = 6$
$x \approx -0{,}8 \$ tai $\ x = 4{,}8$
$x = 0 \$ tai $\ x = 4$
$x = 2$
Ei ratkaisua.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Toisen asteen yhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan esittää muodossa $ax^2 + bx + c = 0,$ missä $a \neq 0$ .

Tehtävä 3.15: Toisen asteen yhtälö

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen yhtälöön. Päättele lisäksi yhtälöiden ratkaisut kuvaajien avulla.

Yhtälö	Funktion kuvaaja	Yhtälön ratkaisut
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\phantom{-}x^2-2x = 0\,$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2-x = 0\,$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\frac{1}{2}x^2- \frac{9}{2} = 0\,$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2 + \frac{9}{4} = 0\,$

Selitä omin sanoin, mitä voisi tämän tehtävän perusteella päätellä

muotoa $ax^2 + c = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$ -akselilla
muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$ -akselilla.

VASTAUS

Yhtälö	Funktion kuvaaja	Yhtälön ratkaisut
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\phantom{-}x^2-2x = 0\,$	D	$2$ ja $0$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2-x = 0\,$	A	$-1$ ja $0$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}\frac{1}{2}x^2- \frac{9}{2} = 0\,$	B	$3$ ja $-3$
$\phantom{\dfrac{1}{1}}-x^2 + \frac{9}{4} = 0\,$	C	$\frac{3}{2}$ ja $-\frac{3}{2}$

Ratkaisut sijaitsevat $x$ -akselilla symmetrisesti origon molemmin puolin.
Toinen ratkaisu on nolla ja toinen on $-\frac{b}{a}$ .

Muotoa $ax^2 + c = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt saadaan muokattua toisen asteen potenssiyhtälöiksi. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: $\begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*}$ Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$ , sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$ . Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$ :

Tehtävä 3.16: Ratkaisu potenssiyhtälönä

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt:

$2x^2 = 50$
$7x^2 - 14 = 0$
$3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

VASTAUS

$x = -5 \$ tai $\ x = 5$
$x = \sqrt{2} \$ tai $\ x = -\sqrt{2}$
$x = 6 \$ tai $\ x = -6$

Edellisessä kappaleessa tutustuttiin tulon nollasääntöön, jonka mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Sen avulla saadaan ratkaistua muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt. Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$ , minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona.

Esimerkiksi yhtälö $x^2-3x = 0$ voidaan kirjoittaa muodossa $x(x-3) = 0.$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$ eli $x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$

Tehtävä 3.17: Ratkaisu tulon nollasäännön avulla

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt tulon nollasäännön avulla:

$x^2-4x = 0$
$3x^2+15x = 0$
$2x^2 - x = 0$

VASTAUS

$x = 0 \$ tai $\ x = 4$
$x = 0 \$ tai $\ x = -5$
$x = 0 \$ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Jotkin toisen asteen yhtälöt saadaan kirjoitettua toiseen muotoon aiemmin opiskeltuja summan ja erotuksen neliön kaavoja käyttäen. Esimerkiksi käyttämällä summan neliön kaavaa $\textcolor{red}{a}^2 + 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2$ yhtälö $\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{1} = 0$ eli yhtälö $\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1}^2 = 0$ saadaan kirjoitettua muodossa $(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{1})^2 = 0.$ Tämä yhtälö voidaan nyt ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö. Luvun $x+1$ toinen potenssi on nolla, jos ja vain jos kantaluku $x+1$ on nolla, eli $x + 1 = 0.$ Kun tämän yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $1$ , saadaan ratkaisu $x = -1.$

Tehtävä 3.18: Summan ja erotuksen neliö

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt hyödyntämällä summan tai erotuksen neliötä samaan tapaan kuin edellä:

$x^2 + 10x + 25 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$4x^2 + 4x + 1 = 0$

VASTAUS

$x = -5$
$x = 3$
$x = -\dfrac{1}{2}$

Edellisen tehtävän ideaa voidaan soveltaa myös tilanteissa, joissa yhtälön oikealla puolella ei olekaan nolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $25x^2 - 40x + 16 = 100.$ Käyttämällä erotuksen neliön kaavaa $\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2$ voidaan tarkasteltu yhtälö $(\textcolor{red}{5x})^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{5x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 = 100$ kirjoittaa muodossa $(\textcolor{red}{5x}-\textcolor{blue}{4})^2 = 100.$ Tämä yhtälö voidaan jälleen ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö: $\begin{align*} (5x-4)^2 &= 100 \\[1mm] 5x - 4 = 10 \quad &\text{ tai } \quad 5x - 4 = -10 \\[1mm] 5x = 14 \quad &\text{ tai } \quad \quad \ \ 5x = -6 \\[1mm] \ \ x = \frac{14}{5} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{6}{5} \end{align*}$

Tehtävä 3.19: Summan ja erotuksen neliö

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Hyödynnä tarvittaessa summan tai erotuksen neliöiden kaavoja.

$(x-2)^2 = 16$
$9x^2 + 6x + 1 = 4$
$4x^2 - 12x + 9 = 49$

VASTAUS

$x = -2 \$ tai $\ x = 6$
$x = -1 \$ tai $\ x = \dfrac{1}{3}$
$x = -2 \$ tai $\ x = 5$

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa toisen asteen polynomiyhtälö voidaan muuttaa sellaiseen muotoon, että se voidaan ratkaista edellisten tehtävien ideoita hyödyntäen. Tätä menetelmää sanotaan neliöksi täydentämiseksi.

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $x^2-x-6 = 0.$ Se voidaan kirjoittaa myös muodossa $x^2 - 2\cdot \frac{1}{2}x = 6,$ sillä $2\cdot \frac{1}{2} = 1$ . Kun tämän yhtälön vasenta puolta verrataan erotuksen neliön kaavaan $\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2,$ huomataan, että $a = x$ ja $b = \frac{1}{2}$ : $\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} = 6.$ Yhtälön vasemmalta puolelta kuitenkin puuttuu termiä $\textcolor{blue}{b}^2$ vastaava termi. Tämä ongelma ratkeaa, kun yhtälön molemmille puolille lisätään $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ : $\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^2.$ Nyt yhtälö voidaan erotuksen neliön kaavan avulla kirjoittaa muodossa $\left(\textcolor{red}{x}-\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \frac{1}{4}$ eli $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $\begin{align*} x-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{25}{4}} \\[1mm] x-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \\[1mm] \ \ x = \frac{6}{2} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{4}{2} \\[1mm] \ \ x = 3 \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -2 \end{align*}$

Tehtävä 3.20: Ratkaisu neliöksi täydentämällä

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Täydennä yhtälön vasen puoli ensin summan tai erotuksen neliöksi samaan tapaan kuin edellä.

$x^2 - 4x + 3 = 0$
$x^2 + 10x - 24 = 0$

VASTAUS

Yhtälö $(x-2)^2 = 1$ , ratkaisut $x = 1 \$ tai $\ x = 3$
Yhtälö $(x+5)^2 = 49$ , ratkaisut $x = -12 \$ tai $\ x = 2$

Myös seuraavan teoreeman menetelmä toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisemiseen perustustuu neliöksi täydentämiseen. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA 5

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut saadaan kaavalla $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$ , ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Perustelu: Ideana on täydentää yhtälön vasen puoli summan neliöksi. Jotta se onnistuisi helpommin, kerrotaan aluksi yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ molemmat puolet luvulla $4a$ (huomaa, että $a \neq 0$ , joten myös $4a \neq 0$ ). Näin päädytään yhtälöön $4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$ Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta $4ac$ , jolloin saadaan yhtälö $(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} = -4ac.$ Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille neliöksi täydentämiseen tarvittava termi $b^2$ , jolloin saadaan yhtälö $(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2= -4ac + b^2.$ Summan neliön kaavan nojalla yhtälö voidaan nyt kirjoittaa muodossa $(\textcolor{red}{2ax} + \textcolor{blue}{b})^2 = b^2-4ac.$ Jos yhtälön oikea puoli on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$ , ei yhtälöllä ole ratkaisuja, sillä yhtälön vasen puoli on toisena potenssina aina epänegatiivinen.

Jos yhtälön oikea puoli on epänegatiivinen eli $b^2-4ac \geq 0$ , yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $\begin{align*} 2ax+b &= \pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] 2ax &= -b\pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}$

Teoreeman 5 mukaan toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ voi olla kaksi ratkaisua, yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on positiivinen eli $b^2-4ac > 0$ , saadaan ratkaisuja kaksi: $x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ja $x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Esimerkiksi yhtälön $x(2x-3)-3x(1-x) = -1$ ratkaisut saadaan selville, kun yhtälö ensin sievennetään perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$ : $\begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*}$ Tästä nähdään, että $a = 5$ , $b = -6$ ja $c = 1$ . Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $\begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} \\ &= \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*}$ eli $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{5}$ .

Tehtävä 3.21: Ratkaisu ratkaisukaavan avulla

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt teoreemassa 5 esitetyn ratkaisukaavan avulla. Muuta yhtälö ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$ , $b$ ja $c$ . Huomioi myös etumerkit.

$3x^2 - 7x + 4 = 0$
$x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
$x^2 = 3x$
$(-3x-1)(x-2) = 4$

VASTAUS

$x = \dfrac{4}{3} \$ tai $\ x = 1$
$x = -1 \$ tai $\ x = 2$
$x = 0 \$ tai $\ x = 3$
$x = \dfrac{2}{3} \$ tai $\ x = 1$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan tunnistamaan erilaisille toisen asteen yhtälöille sopivat ratkaisutavat.

Tehtävä 3.22: Erilaisia ratkaisutapoja

Edellisissä tehtävissä on harjoiteltu seuraavia ratkaisutapoja

ratkaisu potenssiyhtälönä ( $x^2 = d$ )
ratkaisu tulon nollasäännön avulla
ratkaisu summan tai neliön erotuksen kaavan avulla
ratkaisu ratkaisukaavan avulla

Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä siihen, mikä ratkaisutapa sopii parhaiten kyseiselle yhtälölle. Ratkaise yhtälöt sen jälkeen. Voit tarkistaa tulokset laskimella.

Yhtälö	Ratkaisutapa	Yhtälön ratkaisut
$(x-5)(1-3x) = 0$
$2x^2+x = 3$
$4x^2-4x+1 = 0$
$(3x-1)(x+2) = 6$
$3x^2-12 = 0$
$5x^2-2x = 0$

Tehtävä 3.23: Erilaisia ratkaisutapoja

Ratkaise seuraavat yhtälöt niin monella erilaisella tavalla kuin mahdollista. Ainakin kaksi ratkaisutapaa on mahdollista keksiä.

$(5x+4)(2x-1) = 0$
$(2x-3)^2 - 9 = 0$

VASTAUS

Tulon nollasäännön tai ratkaisukaavan avulla; $x = -\dfrac{4}{5} \$ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$
Päättelemällä $2x - 3 = 3$ tai $2x - 3 = -3$ , josta ratkaisut $x = 3 \$ tai $\ x = 0$ . Toinen vaihtoehto on käyttää ratkaisukaavaa.

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää voidaan tutkia niin sanotun diskriminantin avulla:

MÄÄRITELMÄ: DISKRIMINANTTI

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantti $D$ tarkoittaa ratkaisukaavassa neliöjuurimerkin alle tulevaa lukua $b^2-4ac$ : $D = b^2-4ac.$

Tehtävä 3.24: Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä

Piirrä laskimellasi seuraavien polynomifunktioiden $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaajat. Päättele kuvaajan avulla, mitkä ovat funktion $f$ nollakohdat eli vastaavan toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Laske myös tämän yhtälön diskriminantti. Miten voisit suoraan diskriminantin avulla päätellä ratkaisujen lukumäärän?

$f(x) = x^2-6x+9$
$f(x) = -x^2-2x$
$f(x) = 2x^2+x-1$
$f(x) = x^2-2x+2$

VASTAUS

$D = 0$ ja yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, $x = 3$ .
$D = 4$ ja yhtälöllä on kaksi ratkaisua, $x_1 = 0$ ja $x_2 = -2$ .
$D = 9$ ja yhtälöllä on kaksi ratkaisua, $x_1 = -1$ ja $x_2 = \dfrac{1}{2}$ .
$D = -4$ eikä yhtälöllä ole yhtään ratkaisua.

Tehtävä 3.25: Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaajia. Päättele kuvaajan avulla funktion nollakohtien lukumäärä eli yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisujen lukumäärä. Päättele myös, onko yhtälön diskriminantti positiivinen, negatiivinen vai nolla, ja täydennä nämä tiedot taulukkoon.

Kuvaaja	Nollakohtien määrä	Diskriminantti
A
B
C
D

VASTAUS

Kuvaaja	Nollakohtien määrä	Diskriminantti
A	0	Negatiivinen
B	2	Positiivinen
C	1	Nolla
D	2	Positiivinen

Edellisten tehtävien havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA 6

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisujen lukumäärä voidaan päätellä diskriminantin $D = b^2-4ac$ avulla seuraavasti:

jos $D > 0$ , yhtälöllä on kaksi ratkaisua
jos $D = 0$ , yhtälöllä on yksi ratkaisu
jos $D < 0$ , yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Perustelu: Jos yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantti on negatiivinen eli $D < 0$ , niin teoreeman 5 mukaan yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Jos diskriminantti on epänegatiivinen eli $D \geq 0$ , ratkaisut saadaan kaavalla $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ eli $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$ Jos $D > 0$ , on myös $\sqrt{D} > 0$ , ja ratkaisuja saadaan kaksi. Jos $D = 0$ , ratkaisuja on yksi: $x = \frac{-b}{2a}.$

Tehtävä 3.26: Juurten summa ja tulo

Jos toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on kaksi ratkaisua eli juurta, ne ovat teoreeman 5 mukaan $x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ja $x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ Merkitään $D = b^2-4ac$ . Tällöin ratkaisut voidaan kirjoittaa $x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ ja $x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$

Sievennä juurten summa $x_1 + x_2$ mahdollisimman pitkälle.
Sievennä juurten tulo $x_1x_2$ mahdollisimman pitkälle.
Muista, että $D = b^2-4ac$ .

VASTAUS

$x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{b^2 - D}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA 7

Jos luvut $x_1$ ja $x_2$ ovat toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut eli juuret, niiden summa on $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ja tulo on $x_1x_2 = \frac{c}{a}.$ Tämä pätee siinäkin tapauksessa, että $x_1 = x_2$ , eli yhtälöllä on vain yksi ratkaisu.

Perustelu tehtävässä 3.26.

Aiemmin tässä kappaleessa olet ratkaissut toisen asteen yhtälöitä tulon nollasäännön avulla. Tällöin toisen asteen polynomi jaetaan tekijöihin erottamalla yhteinen tekijä: esimerkiksi yhtälö $2x^2 - 5x = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $x(2x-5) = 0.$ Joitakin toisen asteen yhtälöitä olet ratkaissut summan ja erotuksen neliöiden kaavoja käyttäen. Tällöinkin polynomi tullaan jakaneeksi tekijöihin: esimerkiksi yhtälö $4x^2+20x + 25 = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $(2x+5)^2 = 0.$ Seuraavaksi tutkitaan käänteistä tilannetta: Miten toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin, jos vastaavan toisen asteen yhtälön ratkaisut tunnetaan?

Tehtävä 3.27: Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

Yhtälön $12x^2-x-6 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = \dfrac{3}{4}$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$ .

Tarkista, että luvut $x_1$ ja $x_2$ todella ovat yhtälön $12x^2-x-6 = 0$ ratkaisut. Keksitkö kaksi erilaista tapaa tarkistuksen tekemiseen?
Tarkista, ovatko juurten $x_1$ ja $x_2$ summa ja tulo teoreeman 6 mukaiset.
Sijoita luvut $x_1$ ja $x_2$ lausekkeeseen $12(x-x_1)(x-x_2)$ ja sievennä se mahdollisimman pitkälle. Vertaa tulosta alkuperäiseen yhtälöön. Mitä huomaat?

VASTAUS

Luvut voi sijoittaa yhtälön vasemman puolen lausekkeeseen $12x^2 - x - 6$ ja tutkia, tuleeko tulokseksi nolla.
Toinen mahdollisuus on ratkaista yhtälö itse uudelleen.

Tehtävä 3.28: Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

Tutkitaan tilannetta, jossa toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on kaksi ratkaisua tai yksi ratkaisu. Merkitään ratkaisuja $x_1$ ja $x_2$ . Jos ratkaisuja on vain yksi, merkitään sitä sekä symbolilla $x_1$ että $x_2$ . Tehtävänä on osoittaa, että $a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2 + bx + c$ .

Kerro sulut auki lausekkeesta $a(x-x_1)(x-x_2)$ ja sievennä mahdollisimman pitkälle.
Jatka sieventämistä hyödyntämällä teoreemaa 7, jonka mukaan juurten summa on $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ja tulo on $x_1x_2 = \frac{c}{a}.$

VASTAUS

Lauseke sievenee muotoon $ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2$
Lauseke sievenee edelleen muotoon $ax^2 + bx + c$

Edellisessä tehtävässä toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ saatiin kirjoitettua tulomuodossa $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$ eli jaettua ensimmäisen asteen tekijöihin $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$ , missä $x_1$ ja $x_2$ ovat yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Tämä tulos on osa seuraavaa teoreemaa:

TEOREEMA 8

Toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin seuraavasti: jos yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$

on kaksi ratkaisua $x_1$ ja $x_2$ , niin $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$
on yksi ratkaisu $x_1$ , niin $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)^2$
ei ole yhtään ratkaisua, niin polynomilla $ax^2 + bx + c$ ei ole yhtään ensimmäisen asteen tekijää.

Perustelu: Kaksi ensimmäistä tapausta on käsitelty edellisessä tehtävässä. Tutkitaan vielä tapaus, jossa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Jos tässä tilanteessa polynomilla $ax^2 + bx + c$ olisi jokin ensimmäisen asteen tekijä $sx+t$ , polynomi $ax^2 + bx + c$ voitaisiin kirjoittaa tulona: $ax^2 + bx + c = (sx+t)(\ldots)$ Tällöin tulon nollasäännön nojalla yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ eli yhtälön $(sx+t)(\ldots) = 0$ yksi ratkaisu saataisiin yhtälöstä $sx + t = 0$ . Yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ olisi siis ratkaisu $x = -\dfrac{t}{s}.$ Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska tarkasteltiin tapausta, jossa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Siis polynomilla $ax^2 + bx + c$ ei ole yhtään ensimmäisen asteen tekijää.

Teoreeman 8 avulla toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin etsimällä ensin polynomin nollakohdat. Esimerkiksi jos polynomi $10x^2 + x - 3$ halutaan jakaa tekijöihin, ratkaistaan ensin yhtälö $10x^2 + x - 3 = 0$ : $\begin{align*} x &= \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 10} \\[1mm] &= \frac{-1\pm \sqrt{121}}{20} \\[1mm] &= \frac{-1\pm 11}{20}. \end{align*}$ Ratkaisuiksi saadaan siis $x_1 = \dfrac{1}{2}$ ja $x_2 = -\dfrac{3}{5}$ . Teoreeman 7 nojalla $\begin{align*} 10x^2 + x - 3 &= 10\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= 2\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot 5\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= (2x-1)(5x+3). \end{align*}$

Tehtävä 3.29: Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

Jaa seuraavat toisen asteen polynomit ensimmäisen asteen tekijöihin teoreeman 8 avulla. Aloita ratkaisemalla polynomin nollakohdat.

$x^2+2x-8$
$9x^2-3x-2$
$20x^2-2x-6$

VASTAUS

$x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$
$\begin{align*} 9x^2-3x-2 &= 9\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) \\[2mm] &= (3x-2)(3x+1) \end{align*}$
$\begin{align*} 20x^2-2x-6 &= 20\left(x - \frac{3}{5}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) \\[2mm] &= (5x-3)(4x+2) \end{align*}$

Toisen asteen epäyhtälö (3.30 - 3.33)

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisessa hyödynnetään tietoja toisen asteen polynomifunktion käyttäytymisestä.

Tehtävä 3.30: Toisen asteen epäyhtälö

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = -x^2-x+2$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien epäyhtälöiden ratkaisut:

$-x^2-x+2 > 0$
$-x^2-x+2 < 0$
$-x^2-x+2 \geq 0$

VASTAUS

$-2 < x < 1$
$x < -2$ tai $x > 1$
$-2\leq x \leq 1$

Joidenkin epäyhtälöiden tapauksessa tarkan ratkaisun päätteleminen pelkän kuvan avulla on mahdotonta. Tällöin täytyy ensin selvittää funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ratkaisemalla yhtälö $ax^2 + bx + c = 0$ .

Tehtävä 3.31: Toisen asteen epäyhtälö

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = x^2-3x-1$ kuvaaja. Määritä tämän funktion nollakohdat ja ratkaise niiden avulla seuraavat epäyhtälöt:

$x^2-3x-1 \leq 0$
$x^2-3x-1 < 0$
$x^2-3x-1 > 0$

VASTAUS

$\dfrac{3 - \sqrt{13}}{2} \leq x \leq \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$
$\dfrac{3 - \sqrt{13}}{2} < x < \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$
$x < \dfrac{3 - \sqrt{13}}{2}\$ tai $\ x > \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Toisen asteen epäyhtälöt kannattaa aina muuttaa muotoon, jossa epäyhtälön oikealla puolella on vain luku $0$ . Tällöin epäyhtälö voidaan ratkaista tarkastelemalla vastaavan toisen asteen polynomifunktion nollakohtia ja kuvaajaa samaan tapaan kuin edellisissä tehtävissä. Esimerkiksi epäyhtälö $(2x-1)^2-9 \geq (x-2)(x+2)$ voidaan sieventää: $\begin{align*} (2x-1)^2-9 &\geq (x-2)(x+2) \\ 4x^2-4x+1-9 &\geq x^2-4 \\ 3x^2-4x-4 &\geq 0 \end{align*}$ Funktion $f(x) = 3x^2-4x-4$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin $3$ on positiivinen. Funktion nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $3x^2-4x-4 = 0$ : $\begin{align*} x &= \frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot 3 \cdot (-4)}}{2\cdot 3} \\[1mm] &= \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} \\[1mm] &= \frac{4\pm 8}{6} \\[1mm] &= \frac{2\pm 4}{3} \end{align*}$ Nollakohdat ovat siis $x_1 = 2$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$ . Tilanteesta voidaan nyt hahmotella mallikuva:

Epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$ .

Tehtävä 3.32: Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä ja piirrä jokaisesta mallikuva:

$3x^2+2x+2 < 2x^2+x+4$
$(x-2)^2 < (2x+1)^2$
$x(x-2) \leq -(3x-2)^2$

VASTAUS

$-2 < x < 1$
$x < -3$ tai $x > \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{2}{5} \leq x \leq 1$

Epäyhtälöiden ratkaisujoukkoja voidaan ilmaista myös hakasulkuja käyttäen. Esimerkiksi ennen tehtävää 3.32 pääteltiin, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$ . Sama asia voidaan ilmaista hakasulkujen avulla sanomalla, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x$ on välillä $\ \pa -\infty, -\frac{2}{3}]\$ tai $\ [2, \infty\pe$ . Tässä negatiivisen äärettömän symboli $-\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu lukusuoralla loputtomiin vasemmalle, ja äärettömän symboli $\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu loputtomiin oikealle:

Hakasulkujen suunta ratkaisee, kuuluuko välin päätepiste joukkoon vai ei:

Tehtävä 3.33: Välin merkitseminen hakasuluilla

Ilmaise seuraavia epäyhtälöitä vastaavat lukusuoran välit hakasulkujen avulla:

$-4 \leq x \leq 8$
$x > 9$
$x \leq -33$
$6 < x \leq 20$
$0 < x < 7$
$2 \leq x < 5$

VASTAUS

$[-4, 8]$
$\pa 9, \infty\pe$
$\pa -\infty, -33]$
$\pa 6, 20]$
$\pa 0, 7\pe$
$[2, 5\pe$

TEHTÄVÄSARJA II (3.34 - 3.61)

Tehtävä 3.34: Toisen asteen polynomifunktio

Moottoritielle suunnitellaan kaksikaistaista tunnelia, jonka poikkileikkaus vastaa funktion $f(x) = 6-0{,}25x^2$ kuvaajan ja $x$ -akselin rajaamaa aluetta (pituuden yksikkönä metri).

Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.
Suomessa kuorma-auton suurin sallittu korkeus on 4,4 m ja leveys 2,6 m. Mahtuisiko kaksi tällaista kuorma-autoa ajamaan vierekkäin suunnitellun tunnelin läpi?
Millaisen rajoituksen asettaisit tunnelin kautta kulkevien ajoneuvojen korkeudelle, jos suurin sallittu leveys on 2,6 metriä?