Määrätty integraali

Luvun tavoitteet

Tämän luvun tavoitteena on, että ... Osaat

Määrätyn integraalin ominaisuuksia

Pinta-ala

Tilavuus

TEHTÄVÄSARJA II

Tehtävä 3.1:

TEHTÄVÄSARJA III

Tehtävä 3.2:

Laske integraalit

$\int_{-1}^1 \dfrac{1}{3+x} \mathrm{d}x$
$\int_{-1}^1 e^{2\left|x\right|} \mathrm{d}x$

[Pitkä S2018/3]

Tehtävä 3.3:

Weibullin $(\lambda,k)$ -jakauman avulla voidaan kuvata mm. maantiepölyn hiukkasten kokoa. Tutkitaan tapausta $\lambda = 1$ , jolloin jakauman tiheysfunktio määritellään kaavalla $w(t,k) = kt^{k-1}e^{-t^k}$ kun $t \geq 0$ ja $k > 0$ . Weibullin kertymäfunktio määritellään kaavalla $W(x,k) = \int_0^x w(t,k) \mathrm{d}t.$

Määritä $\lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k)$ vakion $k$ eri arvoilla.
Määritä kertymäfunktion $W(x,k)$ lauseke, kun $x \geq 0$ .

[Pitkä S2018/9]

Vastaus

Jos $k = 1$ , $\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k) &= \lim_{t \rightarrow 0+} e^{-t} = 1 \end{align*}$ Jos $0 < k < 1$ , $\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k) &= \lim_{t \rightarrow 0+} kt^{k-1}e^{-t^k} = \infty \end{align*}$ Jos $k > 1$ , $\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0+} w(t,k) &= \lim_{t \rightarrow 0+} kt^{k-1}e^{-t^k} = 0 \end{align*}$
$W(x,k) = 1 - e^{-x^k}$ , kun $x \geq 0$ .

Tehtävä 3.4:

Olkoon $f(x)$ funktio, joka on määritelty välillä $0 \leq x \leq 12$ . Alla on esitetty funktion $F(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ kuvaaja välillä $0 \leq x \leq 12$ . Arvioi kuvaajan perusteella

määrättyä integraalia ${\displaystyle \int_1^4 f(t)\,\mathrm{d}t$
millä väleillä funktion $f(x)$ on vakio
millä väleillä funktio $f(x)$ on aidosti vähenevä.

[Pitkä S2017/13]

Vastaus

${\displaystyle \int_1^4 f(t)\,\mathrm{d}t = F(4) - F(1) = 1 - (-1) = 2$
Jos integraalifunktio on vakio, funktio $f(x)$ on nollafunktio (sen ja $x$ -akselin väliin ei kerry pinta-alaa). Jos integraalifunktio on nouseva suora, funktio $f(x)$ on positiivinen vakiofunktio (sen ja $x$ -akselin välinen pinta-ala kasvaa tasaisesti). Näin voidaan päätellä, että funktio $f(x)$ on vakio väleillä $[2,3]$ ja $[3; 4{,}5]$ ja $[10,12]$ .
Integraalifunktion kuvaajalta voidaan lukea funktion $f(x)$ ja $x$ -akselin väliin jäävä pinta-ala kohdasta $0$ eteenpäin. Sen avulla voidaan luonnostella funktion $f(x)$ kuvaajaa:

Kuvaajasta nähdään, että funktion $f(x)$ on aidosti vähenevä suunnilleen välillä $[6{,}2; 8{,}8]$ .

Tehtävä 3.5:

Tarkastellaan funktiota $f(x) = \left| x - 1 \right| + 1$ .

Funktion lauseke voidaan sieventää välillä $0 \leq x \leq 1$ niin, ettei siinä esiinny itseisarvoa. Mikä on tämä sievennetty lauseke?
Funktion $f$ kuvaaja pyörähtää $x$ -akselin ympäri välillä $0 \leq x \leq 2$ . Laske näin muodostuvan pyörähdyskappaleen tilavuus.

[Pitkä K2017/5]

Vastaus

$f(x) = 2-x$
Tilavuus on $\dfrac{14\pi}{3}$ .

Tehtävä 3.6:

Tarkastellaan funktiota $f(x) = \int_0^x \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t,$ kun $0 \leq x \leq 2\pi$ .

Perustele geometrisesti kaava $f(2\pi) = 2f(\pi)$ .
Laske $f(x)$ , kun $0 \leq x \leq 2\pi$ .

[Pitkä K2016/12]

Vastaus

Sinifunktion kuvaajan symmetrisyyden vuoksi $\int_\pi^\2pi \sin t \,\mathrm{d}t = -\int_0^\pi \sin t \,\mathrm{d}t.$ Tästä seuraa, että $\int_\pi^\2pi \left|\sin t \right|\,\mathrm{d}t = \int_0^\pi \left|\sin t \right| \,\mathrm{d}t.$ Tällöin $\begin{align*} f(2\pi) &= \int_0^{2\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t + \int_{\pi}^{2\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t \\ &= 2 \cdot \int_0^{\pi} \left| \sin t \right| \,\mathrm{d}t \\ &= 2f(\pi) \end{align*}$
Tarkastellaan erikseen tapaukset $0 \leq x \leq \pi$ ja $\pi \leq x \leq 2\pi$ . Saadaan $f(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, &\ 0 \leq x \leq \pi;\\ 3 + \cos x, &\ \pi \leq x \leq 2\pi.$

Tehtävä 3.7:

Olkoon $a > 0$ . Funktion $f(x) = a\sqrt{x}$ kuvaaja $y = f(x)$ pyörähtää $x$ -akselin ympäri välillä $[0,1]$ , jolloin syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus on $2\pi$ . Määritä tämän pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala kaavalla $A = 2\pi \int_0^1\left|f(x)\right|\sqrt{1 + f'(x)^2}\mathrm{d}x.$ [Pitkä K2015/10]

Vastaus

Kysytty vaipan ala on $\dfrac{8\pi}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right) \approx 15{,}3.$ Vakiolle saadaan arvo $a = 2$ eli $f(x) = 2\sqrt{x}$ .

Tehtävä 3.8:

Käyrä $y = \sin x$ , missä $-\pi \leq x \leq \pi$ , pyörähtää $x$ -akselin ympäri. Laske näin syntyvän tiimalasia muistuttavan kappaleen tilavuuden tarkka arvo.

[Pitkä S2014/5]

Vastaus

Kysytty tilavuus on $2\pi \int_0^\pi \sin^2 x\, \mathrm{d}x = \pi^2 \approx 9{,}87.$

Tehtävä 3.9:

Käyrät $y = 6x^2 + 3x^4 + \dfrac{1}{x}$ ja $y = 3x^4$ sekä suorat $x = 1$ ja $x = 2$ rajaavat tasoalueen. Laske sen pinta-alan likiarvon kahden desimaalin tarkkuudella.

[Pitkä K2014/3a & ]

Vastaus

Tehtävä 3.10:

Juustoa myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa. Lieriön korkeus on $h$ ja sen pohjan säde on $r$ . Juusto leikataan ensin pystysuorassa suunnassa kahteen yhtä suureen osaan. Toisesta puolikkaasta leikataan vinosti kuvion osoittama pienempi pala, jonka korkeus on $h$ . Laske tämän juustopalan tilavuus integroimalla.

[Pitkä K2014/10]

Vastaus

Itsearviointitehtävät

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.