Lukusuoraan tutustuttiin jo kurssilla MAY1. Jokaista lukusuoran pistettä vastaa reaaliluku, ja jokaista reaalilukua vastaa lukusuoran piste.

Lukusuoran pisteiden välisten etäisyyksien ilmoittamiseen voidaan käyttää itseisarvoa, joka määritellään seuraavasti:

Edellisen tehtävän havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

Kahdella eri luvulla voi olla sama itseisarvo. Tätä ilmiötä tutkitaan seuraavassa tehtävässä.

Seuraavan teoreeman mukaan lukujen itseisarvot ovat yhtä suuret, jos ja vain jos luvut ovat samat tai toistensa vastaluvut:

Luvun itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tutkitaan seuraavaksi, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista kahden nollasta poikkeavan luvun välinen etäisyys.

Edellisen tehtävän havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

Tutkitaan lopuksi vielä hiukan itseisarvojen ominaisuuksia. Joissakin tilanteissa joudutaan tarkastelemaan tulojen tai osamäärien itseisarvoja. Esimerkiksi lukujen $5k-n$ ja $8k-4n$ väliseksi etäisyydeksi saadaan \begin{align*} \left|(5k-n) - (8k-4n)\right| &= \left|5k-8k - n + 4n\right| \\ &= \left|-3k + 3n\right| \\ &= \left|-3(k-n)\right| \end{align*} Miten suuri tämä etäisyys on verrattuna lukujen $k$ ja $n$ väliseen etäisyyteen $\left|k-n\right|$? Tähän kysymykseen vastaamisessa auttaa seuraava teoreema:

Tason pisteiden välinen etäisyys voidaan usein laskea MAA3-kurssista tutun Pythagoraan lauseen avulla.

Seuraavassa teoreemassa johdetaan lauseke tason pisteiden väliselle etäisyydelle MAA4-kurssista tutun vektorin pituuden avulla.

Vektoreiden avulla voidaan johtaa myös lausekkeet janan keskipisteen koordinaateille:

Kurssissa MAA4 opittiin muodostamaan suoralle niin sanottu vektorimuotoinen parametriesitys.

Esimerkiksi yllä näkyvän suoran yksi vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi + 3\vj + t(\vi - 2\vj)$.

MAA4-kurssissa opittiin lisäksi, että jos $xy$-tason suoran jokin normaalivektori tunnetaan, voidaan suoralle muodostaa niin sanottu normaalimuotoinen yhtälö:

Vektoria sanotaan suoran normaalivektoriksi, jos se on suoraa vastaan kohtisuorassa. Esimerkiksi edellä tarkastellun suoran yksi normaalivektori on $\vn = 2\vi + \vj$:

Tämän suoran normaalimuotoiseksi yhtälöksi saadaan $$2x + y + c = 0,$$ missä vakion $c$ arvo määräytyy tiedosta, että suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta. Siten $$2\cdot 1 + 3 + c = 0$$ eli $c = -5$. Normaalimuotoisesta yhtälöstä $2x + y - 5 = 0$ voidaan ratkaista $y$: $$y = - 2x + 5.$$ Tällaista yhtälöä sanotaan suoran yhtälön ratkaistuksi muodoksi.

Jos $xy$-tason suora ei ole $y$-akselin suuntainen, sen yhtälö on aina mahdollista ilmaista ratkaistussa muodossa $y = kx + h$. Jos suora on $y$-akselin suuntainen, tämä ei onnistu. Tutkitaan seuraavaksi esimerkin avulla, miksi $y$-akselin suuntaisten suorien yhtälöitä ei voi esittää ratkaistussa muodossa.

Alla näkyvän $y$-akselin suuntaisen suoran yksi suuntavektori on $\vj$ ja yksi normaalivektori on $\vi$.

Suoran normaalimuotoinen yhtälö on siten muotoa $1\cdot x + 0\cdot y + c = 0$. Vakion $c$ arvo määräytyy esimerkiksi tiedosta, että suora kulkee pisteen $(4,1)$ kautta. Siten $$4 + c = 0$$ eli $c = -4$. Normaalimuotoinen yhtälö on siis $$x - 4 = 0.$$ Havaitaan, että tätä yhtälöä ei voi muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, sillä muuttuja $y$ ei esiinny yhtälössä lainkaan. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että muuttujan $y$ kerroin on nolla.

Koska $y$-akselin suuntaisen suoran $x - 4 = 0$ yhtälöä ei voida muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, ei suoralla ole kulmakerrointa.

Tutkitaan seuraavaksi suoraa $L$, jonka yhtälön ratkaistu muoto on $y = -x + 3$. Tämä yhtälö kertoo, miten suoran pisteiden $y$-koordinaatit riippuvat $x$-koordinaateista, ja sen avulla voidaan selvittää suoran pisteitä.

Esimerkiksi jos suoran $L$ pisteen $x$-koordinaatti on $x = 1$, niin sen $y$-koordinaatti on $$y = -x+3 = -1 + 3 = 2.$$ Näin saadaan tieto, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,2)$ kautta. Toinen piste löydetään, kun $x$-koordinaatiksi valitaan jokin muu luku: esimerkiksi jos $x = 4$, niin $$y = -x+3 = -4 + 3 = -1.$$ Suora $L$ kulkee siis myös pisteen $(4,-1)$ kautta. Nyt suorasta $L$ voidaan piirtää kuva:

Suoran $L$ yhtälöstä voidaan päätellä yleisemmin, että jos suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = t$, niin $y$-koordinaatti on $y = -t+3$. Näin saadaan MAA4-kurssista tuttu suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys $$ \left\{\begin{aligned} x &= t \\ y &= -t+3 \end{aligned}\right. $$ Suoran $L$ pisteet ovat siis muotoa $(t, -t+3)$.

Tutkitaan seuraavaksi, miten suoran yhtälössä $y = kx + h$ esiintyvät kulmakerroin $k$ ja vakio $h$ vaikuttavat suoran suuntaan ja sijaintiin koordinaatistossa.

Havaitaan, että suoran kulmakerroin kuvaa sen jyrkkyyttä. Tarkemmin sanottuna suoran kulmakerroin on suoran pisteiden $y$-koordinaattien erotuksen suhde $x$-koordinaattien erotukseen. Tämä osoitetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Seuraava teoreema osoittaa, että suoran yhtälön ratkaistusta muodosta voidaan suoraan lukea, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Tutkitaan suoraa $L$, joka kulkee pisteiden $(1,-1)$ ja $(5,4)$ kautta. Voimme määrittää sille suuntavektorin ja normaalivektorin. Normaalivektorin avulla saamme muodostettua suoralle $L$ normaalimuotoisen yhtälön. Sen jälkeen voimme muokata tämän yhtälön ratkaistuun muotoon samaan tapaan kuin aikaisemmin.

Yritetään kuitenkin muodostaa suoran $L$ yhtälön ratkaistu muoto $y = kx + h$ toisella tavalla. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin: $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} = \frac{\textcolor{red}{4}-(\textcolor{blue}{-1})}{\textcolor{red}{5}-\textcolor{blue}{1}} = \frac{5}{4} = 1{,}25.$$ Suoran $L$ yhtälö on siis muotoa $$y = \frac{5}{4}x + h.$$ Vakion $h$ arvo saadaan selville esimerkiksi tiedosta, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,-1)$ kautta. Siis $$-1 = \frac{5}{4}\cdot 1 + h,$$ joten $$h = -\frac{9}{4} = -2{,}25.$$ Etsitty suoran $L$ yhtälö on siis $$y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}.$$ Seuraava teoreema antaa vielä hieman erilaisen tavan suoran yhtälön muodostamiseen tilanteessa, jossa suoran kulmakerroin ja suoran yksi piste tunnetaan. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Olemme tutkineet $xy$-tason suorien leikkauspisteitä erilaisista näkökulmista lähes kaikissa aiemmissa kursseissa. Seuraavien tehtävien avulla palautetaan mieleen, millaisia suorien leikkauspisteisiin liittyviä tehtäviä aikaisemmin on jo ratkottu.

Kursseissa MAY1 ja MAA2 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita ja ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Kurssissa MAA4 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun selvitettiin suorien leikkauspisteitä vektorilaskennan keinoin ja kun ratkaistiin ensimmäisen asteen yhtälöpareja.

MAA4-kurssissa tarkasteltiin niin sanottuja ensimmäisen asteen yhtälöpareja, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Havaittiin, että tällaisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi huomattiin vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Kurssissa MAA4 yhtälöpareja ratkaistiin niin sanotulla sijoitusmenetelmällä. Tällä kurssilla tutustutaan toiseen ratkaisumenetelmään, jota kutsutaan yhteenlaskumenetelmäksi. Sitä havainnollistetaan alla olevalla esimerkillä.

Messinki on metalliseos, jossa on kuparia ja sinkkiä sekä joskus myös pieniä määriä tinaa tai lyijyä. Eräässä messinkilaadussa on 75 % kuparia ja 25 % sinkkiä. Niin sanotusta Muntz-messingistä 60 % on kuparia ja loput sinkkiä. Näistä kahdesta messinkilaadusta halutaan valmistaa seos, jossa on 3 kg kuparia ja 1,5 kg sinkkiä (tällä sekoitussuhteella valmistettua messinkiä sanotaan keltaiseksi messingiksi). Kuinka paljon kumpaakin seosta tarvitaan?

Merkitään ensimmäisen messinkilaadun määrää kirjaimella $x$ ja Muntz-messingin määrää kirjaimella $y$. Kuparin määräksi näiden messinkilaatujen seoksessa saadaan $0{,}75x + 0{,}60y$. Koska halutaan, että kuparin määrä seoksessa on 3 kg, saadaan yhtälö $$0{,}75x + 0{,}60y = 3.$$ Vastaavalla tavalla sinkin määräksi seoksessa saadaan $0{,}25x + 0{,}40y$. Koska sinkkiä pitää seoksessa 1,5 kg, saadaan yhtälö $$0{,}25x + 0{,}40y = 1{,}5.$$ Havaitaan, että kumpikin yhtälö esittää suoraa. Tämä näkyy siitä, että yhtälöt ovat lähes suoran yhtälön normaalimuodossa $ax + by + c = 0$, vain vakiotermi $c$ on yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.

Eri messinkilaatujen määrät $x$ ja $y$ toteuttavat kummankin yhtälön, joten piste $(x,y)$ on näiden suorien leikkauspiste. Se löydetään ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 0{,}75x + 0{,}60y &= 3 \\ 0{,}25x + 0{,}40y &= 1{,}5. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan tämä yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä:

1. Valitaan jompi kumpi tuntemattomista. Kerrotaan yhtälöt sellaisilla luvuilla, että valitun tuntemattoman kertoimiksi tulevat vastaluvut. Esimerkiksi tässä tapauksessa voidaan valita tuntematon $x$, jolloin alempi yhtälö kannattaa kertoa luvulla $-3$: $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,1} \\ \textcolor{red}{0{,}25x} + 0{,}40y &= 1{,}5 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,(-3)} \end{aligned}\right. $$ Yhtälöpari saa näin muodon $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 \\ \textcolor{red}{-0{,}75x} \textcolor{blue}{- 1{,}20y} &= \textcolor{blue}{-4{,}5}. \end{aligned}\right. $$
2. Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö, jossa on yksi tuntematon. Nyt tuloksena on yhtälö $$-0{,}6y = -1{,}5.$$
3. Ratkaistaan saatu yhtälö. $$y = \frac{-1{,}5}{-0{,}6} = 2{,}5.$$
4. Valitaan jompi kumpi alkuperäisistä yhtälöistä ja sijoitetaan edellisen kohdan tulos siihen. Esimerkiksi jos nyt valitaan ensimmäinen yhtälö, saadaan $$0{,}75x + 0{,}60 \cdot 2{,}5 = 3.$$ Tästä voidaan ratkaista jäljellä oleva tuntematon: \begin{align*} 0{,}75x + 1{,}5 &= 3 \\ 0{,}75x &= 1{,}5 \\ x &= \frac{1{,}5}{0{,}75} = 2 \end{align*} Ratkaisu on siis $x = 2$ ja $y = 2{,}5$. Tämä näkyy myös alla olevasta kuvasta. Vastauksena kysymykseen voidaan siis sanoa, että Muntz-messinkiä tarvitaan 2,5 kg ja toista messinkilaatua 2 kg.

Ennen sovellustehtäviin syventymistä harjoitellaan vielä suorien leikkauspisteiden etsimistä seuraavien tehtävien avulla.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan sovellustehtävissä tarvittavaa yhtälöiden muodostamista taulukoinnin avulla.

Edellisessä kappaleessa etsittiin kahden suoran leikkauspistettä. Jos suorat eivät ole yhdensuuntaiset, niillä on aina tasan yksi leikkauspiste. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspiste ei ole näkyvissä, mutta on helppo kuvitella mielessään, missäpäin koordinaatistoa nämä suorat leikkaavat toisensa.

Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ne eivät leikkaa toisiaan. Tätä tilannetta on havainnollistettu alla.

Seuraava teoreema osoittaa, että kulmakertoimien avulla voidaan päätellä, ovatko suorat yhdensuuntaisia. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Suorien yhdensuuntaisuuden tietynlainen vastakohta on suorien kohtisuoruus. Sitä voidaan tutkia suuntavektoreiden pistetulon avulla.

Seuraavassa teoreemassa saadaan pistetulon avulla johdettua kulmakertoimille ehto, jonka avulla voidaan tutkia, ovatko suorat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

MAA4-kurssissa otettiin käyttöön suoran normaalivektorin käsite. Normaalivektori tarkoittaa vektoria, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan. Vastaavasti pelkkä normaali tarkoittaa suoraa, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan:

Edellä on tarkasteltu suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, niiden välinen kulma on $0^\circ$. Jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, niiden välinen kulma on $90^\circ$. Yleisesti kahden suoran välinen kulma määritellään kuten MAA3-kurssissa tehtiin:

Kahden suoran välisen kulman $\alpha$ suuruus on siis aina välillä $[0^\circ, 90^\circ]$. Suorien välisen kulman avulla voidaan $xy$-tason suorille määritellä niin sanottu suuntakulma:

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suoran $L_1$ suuntakulma on $0^\circ$, suoran $L_2$ suuntakulma on $90^\circ$ ja laskevan suoran $L_3$ suuntakulma on $-\alpha = -45^\circ$. Huomaa, että $y$-akselin suuntaiset suorat ajatellaan nouseviksi suoriksi eli niiden suuntakulma on $90^\circ$.

MAA4-kurssilla opittiin laskemaan pisteen etäisyys suorasta vektoreiden avulla. Seuraavan esimerkin avulla palautetaan mieleen, miten se onnistuu.

Tarkastellaan alla näkyvää suoraa $L$, jonka yksi suuntavektori on $\vv = 2\vi - 3\vj$ ja pistettä $Q = (3,4)$. Tehtävänä on määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$.

Valitaan suoralta $L$ jokin piste, esimerkiksi $(2,1)$, ja muodostetaan sen avulla vektori pisteestä $Q$ siihen suoran pisteeseen, joka on lähimpänä pistettä $Q$:

Punaisella piirretty vektori $\vw$ saadaan sinisten vektoreiden summana: $$\vw = -\vi - 3\vj + t(2\vi - 3\vj)$$ Lisäksi vaaditaan, että punaisella piirretty vektori $\vw$ on kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\vv = 2\vi - 3\vj$ vastaan. Tämän ehdon avulla saadaan ratkaistua parametrin $t$ arvo. Kysytty etäisyys saadaan selville laskemalla vektorin $\vw$ pituus.

Analyyttinen geometria antaa mahdollisuuden laskea pisteen $Q$ etäisyyden suorasta $L$ myös toisella tavalla. Ideana on muodostaa yhtälö suoran $L$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $Q$ kautta:

Suoran ja sen normaalin leikkauspiste löydetään ratkaisemalla näiden muodostama yhtälöpari. Leikkauspisteen ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$:

Edellisen tehtävän menetelmällä on mahdollista johtaa yleinen lauseke pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyydelle suorasta $ax + by + c = 0$. Tämä tehdään seuraavassa teoreemassa. Teoreeman perustelu on sen verran työläs, ettei kaikkia yksityiskohtia ole kirjoitettu näkyviin. Lue perustelu ja keskity miettimään, miten sen vaiheet liittyvät äsken ratkaisemasi tehtävän 2.31 vaiheisiin. Sievennysten yksityiskohtiin ei tarvitse kiinnittää huomiota.

Ympyrän geometriaa olemme opiskelleet jo kurssissa MAA3. Tässä analyyttisen geometrian kurssissa tutkimme ympyröitä koordinaatiston avulla. Aloitetaan palauttamalla mieleen ympyrän määritelmä:

Seuraavassa teoreemassa johdetaan ympyrän yhtälö käyttämällä samoja ideoita kuin äskeisessä tehtävässä. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Ympyrän piirtäminen tarkasti harpin avulla onnistuu joissakin tapauksissa silloinkin, kun ympyrän säde on irrationaaliluku. Ideana on soveltaa Pythagoraan lausetta. Esimerkiksi ympyrä, jonka keskipiste on $(3,2)$ ja säde $\sqrt{17}$, voidaan piirtää etsimällä pisteet, joihin päästään keskipisteestä siirtymällä neljä askelta vaakasuunnassa ja yksi askel pystysuunnassa, ja pisteet, joihin päästään keskipisteestä siirtymällä yksi askel vaakasuunnassa ja neljä askelta pystysuunnassa:

Ympyrän yhtälö voidaan aina muokata muotoon $$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0.$$ Esimerkiksi ympyrän, jonka keskipiste on $(7,-9)$ ja säde on $4$, yhtälö on $$(x-7)^2 + (y+9)^2 = 16.$$ Kun yhtälön vasemmalla puolella tehdään potenssiin korotukset, yhtälö saa muodon $$x^2 - 14x + 49 + y^2 + 18y + 81 = 16$$ eli $$x^2 + y^2 - 14x + 18y + 114 = 0.$$ Huomaa, että potenssiin korotukset voi tehdä joko kertomalla sulut auki tai käyttämällä MAA2-kurssilta tuttuja summan neliön ja erotuksen neliön muistikaavoja:

Tutkitaan seuraavaksi, esittääkö muotoa $$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$ oleva yhtälö aina ympyrää. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$x^2 + y^2 - 4x + 2y + c = 0.$$ Tunnistetaan ja ryhmitellään ensin yhteenlaskettavat summan neliön ja erotuksen neliön muistikaavojen mukaisesti: \begin{align*} \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{y^2} \textcolor{blue}{- 4x} \textcolor{red}{+ 2y} + c &= 0 \\ \textcolor{blue}{x^2- 4x} + \textcolor{red}{y^2 + 2y} + c &= 0 \end{align*} Lisätään sen jälkeen yhtälön molemmille puolille termejä niin, että vasemmalle saadaan muistikaavojen mukaiset lausekkeet: \begin{align*} \textcolor{blue}{x^2- 4x + 2^2} + \textcolor{red}{y^2 + 2y + 1^2} + c &= \textcolor{blue}{2^2}\textcolor{red}{+1^2} \end{align*} Nyt muistikaavojen avulla vasemmalle puolelle saadaan neliöt: \begin{align*} \textcolor{blue}{(x-2)^2} + \textcolor{red}{(y+1)^2} + c &= 5. \end{align*} Lopuksi yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa, josta ympyrän keskipiste ja säde on helppo tunnistaa: \begin{align*} (x-2)^2 + (y+1)^2 &= 5-c. \end{align*} Havaitaan, että tämän yhtälön vasen puoli on aina epänegatiivinen, koska se on kahden neliölausekkeen summa. Se, mitä käyrää yhtälö esittää, riippuu nyt yhtälön oikeasta puolesta.

• Jos $5-c > 0$, kysymyksessä on ympyrä, jonka keskipiste on $(2,-1)$ ja säde $\sqrt{5-c}$.
• Jos $5-c = 0$, yhtälön toteuttaa ainoastaan piste $(2,-1)$.
• Jos $5-c < 0$, mikään tason piste ei toteuta yhtälöä.

Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa yleisesti, että yhtälön $$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$ ratkaisujoukko on joko ympyrä tai yksittäinen piste, tai ratkaisuja ei ole lainkaan.

Tässä kappaleessa tutkitaan kahden ympyrän sekä suoran ja ympyrän leikkauspisteitä. Aloitetaan tarkastelemalla kahden ympyrän leikkauspisteitä.

Kahden ympyrän leikkauspisteet löydetään ratkaisemalla ympyröiden yhtälöistä muodostuva yhtälöpari. Tällaiseen yhtälöpariin kannattaa soveltaa luvussa Suora opiskeltua yhteenlaskumenetelmää. Seuraava esimerkki havainnollistaa asiaa.

Tarkastellaan edellisen tehtävän yhtälöparia $$ \left\{\begin{aligned} (x+3)^2 + (y-1)^2 &= 20 \\ (x-2)^2 + (y-6)^2 &= 10 \end{aligned}\right. $$ Tehdään yhtälöiden vasemmalla puolella toiseen potenssiin korotukset, jolloin yhtälöpari saadaan sievennysten jälkeen muotoon $$ \left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 + 6x - 2y &= 10 \\ x^2 + y^2 - 4x - 12y &= -30. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan tämä yhtälöpari soveltamalla yhteenlaskumenetelmää. Kerrotaan toinen yhtälö luvulla $-1$: $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{x^2 + y^2} + 6x - 2y &= 10 \\ \textcolor{red}{x^2 + y^2} - 4x - 12y &= -30 \mid \, \textcolor{red}{\cdot \, (-1)} \end{aligned}\right. $$ Yhtälöpari saa näin muodon $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{x^2 + y^2} + 6x - 2y &= 10 \\ \textcolor{red}{-x^2 - y^2} \textcolor{blue}{+ 4x + 12y} &= \textcolor{blue}{30}. \end{aligned}\right. $$ Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö. Nyt tuloksena on yhtälö $$10x + 10y = 40.$$ Ratkaistaan tästä toinen tuntematon, esimerkiksi $$y = 4-x.$$ Ympyröiden leikkauspisteet sijaitsevat tätä yhtälöä vastaavalla suoralla:

Sijoitetaan saatu lauseke jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä, esimerkiksi ensimmäiseen ja sievennetään: \begin{align*} x^2 + (4-x)^2 + 6x - 2(4-x) &= 10 \\ &\ \vdots \\ 2x^2 &= 2 \ \mid \, : 2\\ x^2 &= 1 \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 1$ tai $x = -1$. Leikkauspisteiden $y$-koordinaatit voidaan ratkaista esimerkiksi kohdassa 2 johdetusta yhtälöstä $y = 4-x$:

• Jos $x = 1$, niin $y = 4-1 = 3$.
• Jos $x = -1$, niin $y = 4-(-1) = 5$.

Leikkauspisteet ovat siis $(1,3)$ ja $(-1,5)$.

Siirrytään seuraavaksi tutkimaan suoran ja ympyrän leikkauspisteitä.

Suoran ja ympyrän yhtälöistä muodostuva yhtälöpari on kätevintä ratkaista sijoitusmenetelmällä, jota käytettiin jo kurssissa MAA4. Havainnollistetaan menetelmää seuraavan esimerkin avulla.

Etsitään suoran $x + 2y - 11 = 0$ ja ympyrän $x^2+y^2 + 4x - 8y + 10 = 0$ leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y - 11 &= 0 \\ x^2+y^2 + 4x - 8y + 10 &= 0. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan suoran yhtälöstä jompi kumpi tuntemattomista. Esimerkiksi $$x = 11-2y.$$ Sijoitetaan saatu lauseke ympyrän yhtälöön ja sievennetään: \begin{align*} ({\scriptstyle 11-2y})^2 + y^2 + 4({\scriptstyle 11-2y}) - 8y + 10 &= 0 \\ &\vdots \\ 5y^2 - 60y + 175 &= 0 \ \mid \, : 5\\ y^2 - 12y + 35 &= 0 \end{align*} Saatu toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla (MAA2, teoreema 5). $$ y = \frac{12\pm \sqrt{12^2 - 4\cdot 35}}{2\cdot 1} = 6 \pm 1. $$ Siis $y = 7$ tai $y = 5$. Toinen tuntematon saadaan nyt selville sijoittamalla äsken saatu ratkaisu suoran yhtälöön: $$x = 11 - 2\cdot 7 = -3$$ tai $$x = 11 - 2\cdot 5 = 1.$$ Etsityt leikkauspisteet ovat siis $(-3,7)$ ja $(1,5)$.

Edellisessä luvussa tutkittiin suoran ja ympyrän leikkauspisteitä. Jos suoralla ja ympyrällä on tasan yksi yhteinen piste, sanotaan suoraa ympyrän tangentiksi.

Ympyrän tangenttiin tutustuttiin jo kurssilla MAA3. Siellä osoitettiin muun muassa, että ympyrän tangetti on aina kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan (teoreema 15). Tämän tiedon avulla voidaan määrittää ympyrän tietyn pisteen kautta kulkevan tangentin yhtälö.

Tutkitaan seuraavaksi, miten löydetään yhtälö tietyn pisteen kautta kulkevalle tangentille tapauksessa, jossa piste ei ole ympyrällä. Tässä tilanteessa oleellista on, että ympyrän keskipisteen etäisyys tangenttisuorasta on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Näin voidaan hyödyntää edellisen luvun Pisteen etäisyys suorasta -teoreemaa.

Edellisessä tehtävässä päädyttiin ratkaisemaan yhtälö $$\frac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{20}.$$ Tällaiset yhtälöt voidaan ratkaista toiseen potenssiin korottamalla seuraavasti:

Jos yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, myös niiden toiset potenssit ovat yhtä suuret: $$\left(\frac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}}\right)^2 = \left(\sqrt{20}\right)^2.$$ Potenssin laskusääntöjen (MAY1) mukaan osamäärän potenssi on sama kuin potenssien osamäärä, joten yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$\frac{\left(6-2k\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+1}\right)^2} = \left(\sqrt{20}\right)^2.$$ Huomaa, että itseisarvomerkkejä ei enää tarvita osoittajassa, koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia.

Neliöjuuren määritelmän (MAA2) mukaan $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ eli neliöjuuri on luku, jonka toinen potenssi on yhtä suuri kuin juurrettava. Tämän nojalla yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$\frac{\left(6-2k\right)^2}{k^2+1} = 20.$$ Kerrotaan kumpikin puoli nimittäjällä $k^2+1$, jolloin se supistuu vasemmalta puolelta pois: $$(6-2k)^2 = 20(k^2 + 1).$$ Nyt vasemmalla voidaan tehdä toiseen potenssiin korotukset ja muokata yhtälöä: \begin{align*} 36-24k + 4k^2 &= 20k^2 + 20 \\ -16k^2-24k + 16 &= 0 \ \mid \, : (-8)\\ 2k^2 + 3k - 2 &= 0 \end{align*} Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} k &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot 2\cdot (-2)}}{2\cdot 2} \\ &= \frac{-3 \pm 5}{4}. \end{align*} Ratkaisuiksi saadaan näin $k_1 = \frac{1}{2}$ ja $k_2 = -2$. Ovatko nämä myös alkuperäisen yhtälön $$\frac{\left|6-2k\right|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{20}$$ ratkaisuja?

Koska yhtälön ratkaiseminen aloitettiin toiseen potenssiin korottamisella, on varminta ja yksinkertaisinta tarkistaa saadut ratkaisut sijoittamalla ne alkuperäiseen yhtälöön. Joissain tilanteissa toiseen potenssiin korotus tuottaa "ratkaisuja", jotka eivät toteuta alkuperäistä yhtälöä. Tätä ilmiötä tarkastellaan enemmän seuraavan luvun kappaleessa Itseisarvo koordinaatistossa.

Tällä kertaa kumpikin ratkaisuehdokas on alkuperäisen yhtälön ratkaisu, sillä \begin{align*} \frac{\left|6-2 \cdot \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}} &= \frac{5}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}} \\[1mm] &= 5 \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} \\[1mm] &= \sqrt{5}\cdot \sqrt{4} = \sqrt{20} \end{align*} ja \begin{align*} \frac{\left|6-2\cdot (-2)\right|}{\sqrt{(-2)^2+1}} &= \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}} \\[1mm] &= \sqrt{\frac{100}{5}} \\[1mm] &= \sqrt{20}. \end{align*} Tässä käytettiin MAA2-kurssissa opiskeltuja neliöjuuren laskusääntöjä.

Pisteen etäisyys suorasta -teoreemaan perustuvalla menetelmällä voidaan määrittää myös ympyrän tietyn suuntaisen tangentin yhtälö. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Kurssissa MAA2 tutustuttiin toisen asteen polynomifunktioihin. Niiden kuvaajat ovat aina ylöspäin tai alaspäin aukeavia paraabeleja. Alla on esimerkiksi näkyvissä funktion $\,f(x) = x^2 - 2x - 3 \,$ kuvaaja.

Ylöspäin ja alaspäin aukeavien paraabelien lisäksi on olemassa muihin suuntiin aukeavia paraabeleja. Yleisesti paraabeli määritellään etäisyyden avulla seuraavasti:

Alla on näkyvissä funktion $g(x) = -0{,}25x^2 + 2$ kuvaaja. Se on paraabeli, jonka johtosuora on $y = 3$ ja polttopiste $(0,1)$. Siniset janat havainnollistavat etäisyyksiä paraabelin pisteistä polttopisteeseen ja johtosuoraan:

Piste $(0,2)$ on tämän paraabelin huippu ja $y$-akseli on tässä tapauksessa paraabelin akseli. Nämä MAA2-kurssista tutut käsitteet voidaan määritellä paraabelin polttopisteen ja johtosuoran avulla seuraavasti:

Paraabelille voidaan johtaa yhtälö, jos polttopiste ja johtosuora tunnetaan. Tarkastellaan esimerkiksi paraabelia, jonka polttopiste on $(4,0)$ ja johtosuora on $x = -2$. Pisteen $(x,y)$ etäisyys polttopisteestä on $$\sqrt{(x-4)^2 + y^2}$$ ja etäisyys johtosuorasta on $$\left| x-(-2)\right| = \left| x+2\right|.$$ Piste $(x,y)$ on paraabelin piste, jos ja vain jos sen etäisyydet polttopisteeseen ja johtosuoraan ovat yhtä suuret eli yhtälö $$ \sqrt{(x-4)^2 + y^2} = \left| x+2\right| \tag{A} $$ toteutuu.

Yhtälön (A) vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, ja yhtäsuuruus säilyy toiseen potenssiin korotuksessa. Näin saadaan yhtälö $$ (x-4)^2 + y^2 = (x + 2)^2. \tag{B} $$ Yhtälöstä (B) päästään takaisin yhtälöön (A) ottamalla molemmilta puolilta neliöjuuri. Se on sallittua, koska yhtälön (B) kumpikin puoli on epänegatiivinen. Lisäksi käytetään tietoa, että $$\sqrt{(x+2)^2} = \left| x+2\right|.$$ Yhtälöt (A) ja (B) ovat siis yhtäpitäviä, eli ne toteutuvat täsmälleen samoilla muuttujien $x$ ja $y$ arvoilla.

Yhtälöstä (B) voidaan ratkaista $x$: \begin{align*} (x-4)^2 + y^2 &= (x + 2)^2 \\ x^2 - 8x + 16 + y^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ y^2 &= 12x - 12 \\ 12x - 12 &= y^2 \\ 12x &= y^2 + 12 \\ x &= \frac{1}{12}y^2 + 1. \end{align*}

Mille tahansa paraabelille, jonka johtosuora on $x$- tai $y$-akselin suuntainen, voidaan johtaa yhtälö samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Tällä tavalla voitaisiin todistaa oikeaksi myös seuraava teoreema:

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan paraabelin yhtälön muodostamista. Tavoitteena on muodostaa yhtälö ja saattaa se teoreeman 16 mukaiseen muotoon.

Paraabelin yhtälö voidaan muodostaa myös tilanteessa, jossa tunnetaan paraabelin kolme pistettä. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että paraabeli kulkee pisteiden $(-1,2)$, $(3,1)$ ja $(4,4)$ kautta.

Ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa $y = ax^2 + bx + c$. Edellä mainitut kolme pistettä toteuttavat tämä yhtälön, joten saadaan yhtälöryhmä $$ \left\{\begin{aligned} 2 &= a\cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\ 1 &= a\cdot 3^2 + b \cdot 3 + c \\ 4 &= a\cdot 4^2 + b \cdot 4 + c. \end{aligned}\right. $$ Tämä yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left\{\begin{aligned} a - \phantom{4}b + c &= 2 \\ 9a + 3b + c &= 1 \\ 16a + 4b + c &= 4. \end{aligned}\right. $$ Kun se ratkaistaan käsin tai koneella kuten kurssilla MAA4, saadaan ratkaisuksi $$ \left\{\begin{aligned} a &= 0{,}65 \\ b &= -1{,}55 \\ c &= -0{,}2. \end{aligned}\right. $$ Paraabelin yhtälö on siis $y = 0{,}65x^2 - 1{,}55x - 0{,}2$.

Suoran yhtälö, ympyrän yhtälö ja paraabelin yhtälö ovat kaikki esimerkkejä pistejoukon yhtälöstä. Esimerkiksi ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $y = 1{,}5x - 2$, muodostavat koordinaatistoon suoran.

Ylla olevaan kuvaan on merkitty myös ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 3$, sekä ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön $x = -y^2 + 6$.

Yleisesti tason pistejoukon yhtälö määritellään seuraavasti:

Tietokoneen avulla voidaan piirtää esimerkiksi niiden pisteiden joukko, jotka toteuttavat yhtälön $$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^3 + 3xy^2 = 0.$$

Kuva: Krishnavedala (Oma teos) [CC BY-SA 3.0], lähde: Wikimedia Commons.

Tämä pistejoukko on nimeltään kolmen lehden ruusu (englanniksi myös kolmilehtinen apila: three-leaved clover).

Joskus halutaan tutkia, kuuluuko yksittäinen piste johonkin pistejoukkoon. Tämä voidaan tehdä sijoittamalla pisteen koordinaatit yhtälön eri puolille ja katsomalla, toteutuuko yhtälö.

Tarkastellaan esimerkiksi pistejoukkoa, jonka yhtälö on $$x^3 + y^3 = 3xy.$$ Tämän pistejoukon nimi on Cartesiuksen lehti. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon René Descartesin mukaan.

Tutkitaan, kuuluuko piste $(-2,1)$ tähän pistejoukkoon. Sijoitetaan pisteen koordinaatit Cartesiuksen lehden yhtälön vasemmalle puolelle: $$x^3 + y^3 = (-2)^3 + 1^3 = -8 + 1 = -7.$$ Sijoitetaan pisteen koordinaatit yhtälön oikealle puolelle: $$3xy = 3\cdot (-2) \cdot 1 = -6.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat eri suuret, joten piste $(-2,1)$ ei toteuta Cartesiuksen lehden yhtälöä.

Kurssin ensimmäisessä luvussa Etäisyys opittiin, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista etäisyyksiä lukusuoralla. Itseisarvoa tarvittiin myös, kun määritettiin tason pisteen etäisyys suorasta (teoreema 13). Kun määritettiin yhtälö ympyrän tangetille tai paraabelille, ratkaistiin yhtälö, jossa esiintyi itseisarvo. Tässä kappaleessa syvennytään tarkemmin itseisarvoyhtälöiden ratkaisemiseen.

Aloitetaan palauttamalla mieleen itseisarvon määritelmä:

Luvussa Etäisyys johdettiin seuraava teoreema, jonka mukaan erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla:

Yksinkertaisimmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista tämän teoreeman avulla päättelemällä. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Useilla itseisarvoyhtälöillä on kaksi ratkaisua. Esimerkiksi yhtälön $\left|x - 7 \right| = 2$ toteuttavat ne luvut, joiden etäisyys luvusta $7$ on kaksi:

Yhtälöllä $\left|x - 7 \right| = 2$ on siis kaksi ratkaisua: $x_1 = 5$ ja $x_2 = 9$.

Joillakin itseisarvoyhtälöillä ei ole lainkaan ratkaisua. Esimerkiksi yhtälö $$\left|x - 10 \right| = -3$$ on aina epätosi, sillä sen oikea puoli on negatiivinen mutta vasen puoli on itseisarvon määritelmän perusteella aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Ennen itseisarvoyhtälön ratkaisemista kannattaakin ensin miettiä, voiko yhtälöllä ylipäätään olla ratkaisuja.

Monimutkaisemmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x + 3$ arvo on $4$ tai $-4$. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

1. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $4$): \begin{align*} 2x-3 &= 4 \\ 2x &= 7 \\ x &= \frac{7}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \frac{7}{2} - 3 \right| = \left|4 \right| =4.$$
2. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $-4$): \begin{align*} 2x-3 &= -4 \\ 2x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 \right| = \left|-4 \right| = 4.$$

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = 4$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{7}{2} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{2}.$$

Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöitä, joissa esiintyy kaksi itseisarvoa. Niiden ratkaisemiseen voidaan käyttää samoja menetelmiä kuin edellä. Yksinkertaisimmat yhtälöt voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee lukujen etäisyyden lukusuoralla.

Monimutkaisemmat tapaukset on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Menetelmä perustuu Etäisyys-luvussa perusteltuun teoreemaan 2. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat samat tai toistensa vastalausekkeet. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

1. vaihtoehto (lausekkeet ovat samat): \begin{align*} 2x-3 &= 5x + 4 \\ -3x &= 7 \\ x &= -\frac{7}{3} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 4 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
2. vaihtoehto (lausekkeet ovat toistensa vastalausekkeet): \begin{align*} 2x - 3 &= -(5x + 4) \\ 2x - 3 &= -5x - 4 \\ 7x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{7} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + 4 \right| = \left|\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = -\frac{7}{3} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{7}.$$

Tässä kappaleessa harjoitellaan itseisarvoepäyhtälöiden ratkaisemista. Osa niistä voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla.

Edellisistä tehtävistä voi havaita, että itseisarvoepäyhtälön vastaus riippuu huomattavasti siitä, esiintyykö epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Esimerkiksi epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| < 6$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on pienempi kuin $6$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$-4 < x \quad \textbf{ ja } \quad x < 8.$$ Tämä voidaan ilmaista myös kaksoisepäyhtälönä $-4 < x < 8$.

Epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| > 4$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on suurempi kuin $4$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$x < -2 \quad \textbf{ tai } \quad x > 6.$$

Monimutkaisemmat itseisarvoepäyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista epäyhtälöä samalla periaatteella kuin edellä. Tarkastellaan esimerkiksi epäyhtälöä $$\left|2x - 3 \right| < 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x - 3$ arvo on lukujen $-4$ ja $4$ välissä eli $$-4 < 2x - 3 < 4.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

1. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &> -4 \\ 2x &> -1 \\ x &> -\frac{1}{2} \end{align*}
2. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &< 4 \\ 2x &< 7 \\ x &< \frac{7}{2} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|2x - 3 \right| < 4$ toteutuu, jos ja vain jos kumpikin näistä epäyhtälöistä toteutuu eli $$-\frac{1}{2} < x \quad \textbf{ ja } \quad x < \frac{7}{2}.$$ Epäyhtälön $\left|2x - 3 \right| < 4$ ratkaisujoukko on siis lukusuoran väli $$\left] -\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että välin päätepisteet eivät kuulu ratkaisujoukkoon.

Kun ratkaistaan itseisarvoepäyhtälöä, täytyy heti alussa ottaa huomioon, onko epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Edellisessä esimerkissä ja tehtävässä tarkasteltiin itseisarvoepäyhtälöitä, joissa esiintyi pienempi kuin -merkki. Siirrytään nyt tutkimaan tapausta, jossa epäyhtälössä esiintyy suurempi kuin -merkki.

Tarkalleen ottaen seuraavassa epäyhtälössä esiintyy suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki, mutta tämä ei haittaa, sillä päättelyaskeleet ovat samat riippumatta siitä, esiintyykö epäyhtälössä merkki $>$ vai merkki $\geq$.

Tarkastellaan epäyhtälöä $$\left|6x + 7 \right| \geq 5.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $6x + 7$ arvo on enintään $-5$ tai vähintään $5$: $$6x + 7 \leq -5 \quad \textbf{ tai } \quad 6x + 7 \geq 5.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

1. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\leq -5 \\ 6x &\leq -12 \\ x &\leq -2 \end{align*}
2. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\geq 5 \\ 6x &\geq -2 \\ x &\geq -\frac{1}{3} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|6x + 7 \right| \geq 5$ siis toteutuu, jos ja vain jos $$x \leq -2 \quad \textbf{ tai } \quad x \geq -\frac{1}{3}.$$ Kaksiosainen ratkaisujoukko voidaan merkitä yhdisteen merkin $\displaystyle \cup$ avulla seuraavasti: $$\left] -\infty, -2\right] \cup \left[-\frac{1}{3}, \infty\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että päätepisteet $-2$ ja $-\frac{1}{3}$ kuuluvat ratkaisujoukkoon.

Tässä kappaleessa tutkitaan itseisarvon avulla määriteltyjä koordinaatiston pistejoukkoja ja opetellaan ratkaisemaan itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä graafisesti.

Aloitetaan tarkastelemalla yhtälöä $y = x$. Tämä yhtälö määrittelee pistejoukon, joka on origon kautta kulkeva suora:

Luvun itseisarvo on aina epänegatiivinen ja ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tästä tiedosta voidaan päätellä, että yhtälö $y = \left|x\right|$ määrittelee koordinaatistossa seuraavan pistejoukon:

Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorasta $y = x$ peilaamalla $x$-akselin alapuolelle jäävä osa $x$-akselin suhteen. Kuvasta näkyy myös havainnollisesti teoreeman 1 tulos: $$ \left|x\right| = \left\{\begin{aligned} &x, \quad \text{ jos $x \geq 0$} \\ -&x, \quad \text{ jos $x < 0$.} \end{aligned}\right. $$ Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorista $y = x$ ja $y = -x$ jättämällä pois $x$-akselin alapuoliset osat.

Koordinaatistoa ja graafista esitystä voidaan käyttää apuna myös tilanteessa, jossa halutaan ilmaista itseisarvolauseke ilman itseisarvomerkkejä. Esimerkiksi alla on näkyvissä pistejoukko, jonka yhtälö on $y = \left|3-2x\right|$.

Kuvasta voidaan päätellä, että $$ \left|3-2x\right| = \left\{\begin{aligned} &\textcolor{blue}{3-2x}, \ \text{ jos $x \leq \tfrac{3}{2}$} \\ &\textcolor{red}{2x-3}, \ \text{ jos $x > \tfrac{3}{2}$.} \end{aligned}\right. $$

Itseisarvoyhtälöitä voidaan ratkaista graafisesti samaan tapaan kuin MAA2-kurssissa ratkaistiin ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä. Esimerkiksi yhtälö $$\left|2x + 2\right| = 3$$ voidaan ratkaista piirtämällä koordinaatistoon pistejoukot $y = \left|2x + 2\right|$ ja $y = 3$:

Kuvasta havaitaan, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = 3$$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = -0{,}5$ ja $x_2 = 2{,}5$.

Monimutkaisempiakin itseisarvoyhtälöitä voidaan tutkia graafisesti. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = \left|1-2x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Graafisesti voidaan tutkia sellaisiakin yhtälöitä, joissa tuntematon esiintyy sekä itseisarvomerkkien sisällä että ulkopuolella. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$2x + 1 = \left|x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Ratkaisun tarkan arvon selvittämiseen on useita tapoja. Voidaan esimerkiksi korottaa yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin, jolloin saadaan yhtälö $$(2x + 1)^2 = \left|x\right|^2. \tag{1}$$ Tätä yhtälöä voidaan sieventää edelleen: \begin{align*} 4x^2 + 4x + 1 &= x^2 \\ 3x^2 + 4x + 1 &= 0 \end{align*} Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \begin{align*} x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2\cdot 3} \\ &= \frac{-4 \pm 2}{6} \\ &= \frac{-2 \pm 1}{3} \end{align*} Siis $x = -\frac{1}{3}$ tai $x = -1$. Kuvasta kuitenkin nähtiin jo aikaisemmin, että ratkaisuja on tasan yksi eikä kaksi. Mistä on kysymys?

Ilmiö johtuu toiseen potenssiin korotuksesta. Sen avulla saatu yhtälö (1) kyllä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä, mutta yhtälöstä (1) ei päästä takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Jos yritetään ottaa yhtälöstä (1) neliöjuuri, tuloksena on yhtälö \begin{align*} \sqrt{(2x + 1)^2} &= \sqrt{\left|x\right|^2}. \end{align*} Se sievenee vain muotoon $$ \left|2x + 1\right| = \left|x\right|. $$ Itseisarvoja ei voida poistaa vasemmalta, koska lauseke $2x+1$ saa myös negatiivisia arvoja, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina epänegatiivinen.

Toiseen potenssiin korotusta voi tästä ilmiöstä huolimatta käyttää yhtälöiden ratkaisemisessa, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko kaikki löydetyt ratkaisuehdokkaat todella ratkaisuja.

Edellä löydettiin ratkaisuehdokkaat $x_1 = -\frac{1}{3}$ ja $x_2 = -1$. Tutkitaan, toteuttaako $x_1 = -\frac{1}{3}$ alkuperäisen yhtälön:

• Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{3}$.
• Yhtälön oikea puoli: $\left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten $x_1 = -\frac{1}{3}$ on yhtälön ratkaisu.

Tutkitaan vielä, toteuttaako $x_2 = -1$ alkuperäisen yhtälön:

• Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-1\right) + 1 = -1$.
• Yhtälön oikea puoli: $\left|-1\right| = 1$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät ole yhtä suuret, joten $x_2 = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.