Kisallioppiminen.fi Logo

Kisallioppiminen.fi MAA2 - Polynomifunktiot ja -yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Kurssin etusivu

Kurssin tavoitteena on, että

  • harjaannut käsittelemään polynomifunktioita
  • osaat ratkaista toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkia ratkaisujen lukumäärää
  • osaat ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua
  • osaat ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polynomiyhtälöihin ja polynomiepäyhtälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa

Keskeiset sisällöt

  • polynomien tulo ja muotoa $(a + b)^n$, $n \leq 3$, $n \in \N$ olevat binomikaavat
  • 2. asteen yhtälö ja ratkaisukaava sekä juurten lukumäärän tutkiminen
  • 2. asteen polynomin jakaminen tekijöihin
  • polynomifunktio
  • polynomiyhtälöitä
  • polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

Kurssimateriaali on jaettu neljään lukuun: Ensimmäisen asteen polynomifunktio, Toisen asteen potenssifunktio ja neliöjuuri, Toisen asteen polynomifunktio sekä Korkeamman asteen potenssi- ja polynomifunktiot.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että saat vankan käsityksen ensimmäisen asteen polynomifunktioista ja ratkaiset sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Osaat

  • hahmotella vakiofunktion ja ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
  • tutkia vakiofunktioiden ja ensimmäisen asteen polynomifunktioiden ominaisuuksia sekä lausekkeiden että kuvaajien avulla
  • laskea polynomien summan, erotuksen ja tulon sekä erottaa yhteisen tekijän
  • ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ja epäyhtälön.

Tässä kappaleessa tutkitaan vakiofunktioita sekä ensimmäisen asteen polynomifunktioita, joihin tutustuttiin jo MAY1-kurssilla. Palautetaan aluksi mieleen MAY1-kurssilta tuttu funktion nollakohdan määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Alla on näkyvissä funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat. Päättele niiden avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f$ arvo kohdassa $x = 3$? Toisin sanottuna, mitä on $f(3)$?
  2. Mikä on funktion $g$ arvo kohdassa $x = 3$?
  3. Saako funktio $f$ jossain kohdassa arvon $3$? Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen $x$, että $f(x) = 3$?
  4. Saako funktio $g$ jossain kohdassa arvon $3$?
  5. Saavatko funktiot $f$ ja $g$ jossain kohdassa saman arvon? Minkä? Missä kohdassa?
  6. Onko funktiolla $f$ nollakohtia? Entä onko funktiolla $g$ nollakohtia? Jos on, mitä ne ovat?
  7. Onko jompikumpi funktioista $f$ ja $g$ niin sanottu vakiofunktio eli saako se joka kohdassa saman arvon?

Funktiota, joka saa joka kohdassa saman arvon, sanotaan vakiofunktioksi:

MÄÄRITELMÄ: VAKIOFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = a$, missä $a$ on reaaliluku, sanotaan vakiofunktioksi.

Mitkä alla olevista kuvaajista ovat jonkin vakiofunktion kuvaajia? Jos kysymyksessä on vakiofunktion $f(x) = a$ kuvaaja, päättele, mikä on vakion $a$ arvo.

Palautetaan seuraavaksi mieleen MAY1-kurssista tuttu ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmä:

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax+b$, missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $
$\ g(x) = -2x-1 \ $
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $
$\ k(x) = -x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Funktion $f$ kuvaaja muodostuu pisteistä, joiden $y$-koordinaatti on funktion arvo eli $y = f(x)$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$$ kuvaaja. Sen kuvaajan pisteet ovat muotoa $$\left(x, -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right).$$

Ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = ax + b$ kuvaaja muodostuu siis pisteistä, joiden $y$-koordinaatti on funktion arvo eli $y = ax + b$. Tällaiset pisteet muodostavat aina suoran. Muuttujan $x$ kerrointa sanotaan suoran kulmakertoimeksi:

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on kyseisen suoran kulmakerroin.

Laske funktion arvo esimerkiksi kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$ ja päättele, kuinka monta yksikköä kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden yksikön verran oikealle. Selitä omin sanoin, miten suoran kulmakerroin liittyy asiaan.

  1. $f(x) = 2x + 3$
  2. $g(x) = -\dfrac{1}{4}x + 1$
  3. $h(x) = -5x + 10$

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen, ja laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen. Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora, voi kuvaajan piirtää monella tavalla.

  1. Piirrä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x-1$ kuvaaja määrittämällä jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee, ja piirtämällä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä funktion $g(x) = -2x+3$ kuvaaja päättelemällä funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin.
  3. Tarkista edellisten kohtien piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimellasi.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten niin sanotuilla polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on niin sanottu kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein? Perustele vastauksesi omin sanoin ja korjaa samalla väärät väitteet oikeiksi. Kertaa tarvittaessa polynomeihin liittyviä käsitteitä Opetus.tv:n sivuilta.

  1. Polynomissa $-4x^2+8x-3$ on viisi termiä.
  2. Polynomin $7x^4-6x^3+4x$ toisen asteen termin kerroin on nolla.
  3. Polynomin $x^7-x+6$ aste on kolme.
  4. Polynomin $x^3-9x^2+4$ vakiotermi on $4$.
  5. Polynomi $3x^5-x^2$ on monomi.
  6. Lauseke $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{2}$ on binomi.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Matkan viimeisenä päivänä reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa, 25 puntaa ja 150 Japanin jeniä. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa, 7 puntaa ja 95 jeniä. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£ + 150 \,¥) + (15 \,€ + 7 \,£ + 95 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥. \end{align*} Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa, 27 puntaa ja 195 jeniä. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£ + 195 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£ \textcolor{red}{-} 195 \,¥ \\ &= 10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu samaan tapaan kuin edellisessä laskussa.

Muodosta ja laske polynomien $x^2+3x-6$ ja $-4x^2+x-2$

  1. summa
  2. erotus.

Muodosta ja laske polynomien $4x^3-2x^2+3x+1$ ja $-3x^2-3x+2$

  1. summa
  2. erotus.

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{3} \end{align*} voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-2}{3} &= \frac{1}{3}\left(x-2\right) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \end{align*} Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia laskettaessa lausekkeet on lavennettava samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{x^2+5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-2}{3} &= \frac{3(x^2+5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-2)}{6} \\ &= \frac{3x^2+15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}4}{6} \\ &= \frac{3x^2+13x-17}{6} \end{align*}

Muodosta ja laske lausekkeiden $\dfrac{3x+1}{2}$ ja $\dfrac{x-4}{5}$

  1. summa
  2. erotus.

Kun polynomia kerrotaan monomilla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥) &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£ + \frac{50}{5} \,¥ \\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ + 10 \,¥ \end{align*} Huomaa, että jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $-3x^4 \cdot 5x^2$
  2. $4x(x-5)$
  3. $-3x^2(-4x^2+x-2)$

Edellisessä tehtävässä laskettiin monomin ja polynomin tuloja kertomalla sulut auki. Joissakin tilanteissa on tarpeen tehdä sama asia päinvastaiseen suuntaan ja kirjoittaa polynomi tulomuodossa. Tämä onnistuu, jos polynomin jokaisessa termissä on sama tulon tekijä. Esimerkiksi polynomin $$12x^4-16x^2 + 8x$$ kaikki kertoimet ovat luvun 4 monikertoja ja kaikissa kirjainosissa on mukana $x$. Tämä polynomi voidaankin kirjoittaa muodossa $$\textcolor{red}{4x} \cdot 3x^3 - \textcolor{red}{4x} \cdot 4x + \textcolor{red}{4x} \cdot 2,$$ josta nähdään, että yhteiseksi tekijäksi voidaan erottaa $\textcolor{red}{4x}$. Siis $$12x^4-16x^2 + 8x = \textcolor{red}{4x}(3x^3-4x+2).$$

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä:

  1. $2x^3+6x$
  2. $2x^3+7x^2$
  3. $x^2+x$
Miten voit itse tarkistaa, että tuloksesi ovat järkeviä? Selitä omin sanoin ja tee tarkistus.

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain niin, että ensimmäisen tulon tekijän jokaisella termillä kerrotaan jälkimmäinen tulon tekijä samaan tapaan kuin monimin ja polynomin tuloa laskettaessa. Esimerkiksi tulon $$(2x-3)(-4x^2+x-5)$$ tapauksessa kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-3$: \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-3})(-4x^2+x-5) \\ &= \textcolor{blue}{-8x^3+2x^2-10x}\textcolor{red}{+12x^2-3x+15} \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $(x^2-3)(x+2)$
  2. $(x+2)(x^2-2x+4)$
  3. $(4x+3)(4x-3)$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ saa arvon $2$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 2$$ eli yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat eli funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-\dfrac{4}{3}x + 7 = 1$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä samaan koordinaatistoon ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = -\frac{4}{3}x+7$ ja vakiofunktion $g(x) = 1$ kuvaajat.
  2. Päättele yhtälön ratkaisu piirroksen avulla.
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $1$?

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$\frac{2}{x+1} = \frac{2x+3}{3}$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemmalla puolella olevan lausekkeen arvo ja oikealla puolella olevan lausekkeen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $-3$
  2. $3$
  3. $\dfrac{1}{2}$

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Ensimmäisen asteen yhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan esittää muodossa $$ax + b = 0,$$ missä $a \neq 0$.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

Tämän kappaleen alussa tarkasteltiin yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Kun se ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, lisätään aluksi yhtälön molemmille puolille luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$\dfrac{2}{3}x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan esimerkiksi kertoa kertoimen $\frac{2}{3}$ käänteisluvulla $\frac{3}{2}$. Näin päädytään yhtälöön $$x = \frac{3}{2} \cdot 3$$ eli yhtälöön $$x = \frac{9}{2}.$$ Näitä yhtälöitä on havainnollistettu alla olevissa kuvissa. Niistä nähdään, että kaikilla kolmella yhtälöllä on sama ratkaisu, kuten pitääkin olla.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3-(8x+1)$
  3. $\dfrac{x}{4} = x + 1$

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Tutkitaan vielä yhtälöä $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

  1. Onko edellisessä esimerkissä tarkasteltu yhtälö $2(x+1) = -3x+1-(2-5x)$ ensimmäisen asteen yhtälö? Selitä omin sanoin.
  2. Ratkaise yhtälö $$3x - \frac{1-2x}{2} = 4x.$$ Vinkki: Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla $2$, jotta pääset eroon murtolausekkeesta.
  3. Ratkaise yhtälö $$\frac{2x-1}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x-2}{6}.$$ Vinkki: Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla $6$, jotta pääset eroon murtolausekkeista.

Kun tutkitaan ensimmäisen asteen polynomifunktion arvoja, voidaan päätyä myös niin sanottuun ensimmäisen asteen epäyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, joudutaan tutkimaan epäyhtälöä $$f(x) < 2$$ eli epäyhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 < 2.$$ Tätä epäyhtälöä voidaan havainnollistaa samaan tapaan kuin vastaavaa yhtälöä eli piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että funktion $f$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, jos ja vain jos $x < 4{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen epäyhtälö $$-\dfrac{4}{3}x + 7 < 3$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä samaan koordinaatistoon ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = -\frac{4}{3}x+7$ ja vakiofunktion $g(x) = 3$ kuvaajat.
  2. Päättele epäyhtälön ratkaisu piirroksen avulla.

Epäyhtälön ratkaisuna saadaan yleensä yksittäisen luvun sijaan suuri määrä lukuja. Esimerkiksi luvun alussa tarkastellun epäyhtälön toteuttivat kaikki lukua $4{,}5$ pienemmät reaaliluvut. Nämä luvut muodostavat tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon.

  1. Päättele alla olevan kuva avulla, mitkä luvut toteuttavat epäyhtälön $$\frac{1}{2}x > -1.$$

  2. Ratkaise epäyhtälö kertomalla sen molemmat puolet luvulla $2$. Vertaa tulosta edellisen kohdan tulokseen. Ovatko tulokset samat?

  1. Päättele alla olevan kuva avulla, mitkä luvut toteuttavat epäyhtälön $$-\frac{1}{2}x > -1.$$

  2. Ratkaise epäyhtälö kertomalla sen molemmat puolet luvulla $-2$. Vertaa tulosta edellisen kohdan tulokseen. Kumpi tuloksista on oikein?
  3. Jos epäyhtälön molemmat puolet kertoo jollakin negatiivisella luvulla, on vaarana, että saa vääriä tuloksia. Selitä omin sanoin, mitä epäyhtälölle pitää tehdä, jotta tulokset ovat oikein myös negatiivisella luvulla kerrottaessa.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöä voidaan muokata samaan tapaan kuin ensimmäisen asteen yhtälöä. Erona on, että negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa täytyy epäyhtälömerkin suunta vaihtaa, jotta saadaan oikeita tuloksia. Sallitut operaatiot ovat siis seuraavat:

  1. Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Epäyhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla.
  4. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, jos samalla vaihdetaan epäyhtälömerkin suunta.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x+5 < 6-x$
  2. $7x+5 > 3x+1$
  3. $4x+7 \geq 5x-1$

Edellisessä luvussa kohdattiin tilanteita, joissa tarkastellulla yhtälölllä ei ollut yhtään ratkaisua. Näin voi käydä myös epäyhtälön tapauksessa. Esimerkiksi epäyhtälö $$x-3(x+1) > 2(1-x)$$ saadaan sieventämällä muotoon $$x-3x-3 > 2-2x$$ ja edelleen muotoon $$-2x-3 > 2 -2x.$$ Kun tämän epäyhtälön molemmille puolille lisätään $2x$, päädytään epäyhtälöön $$-3 > 2.$$ Se on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten tarkastellulla epäyhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja.

Havainnollista seuraavia epäyhtälöitä piirtämällä koordinaatistoon niiden vasenta ja oikeaa puolta vastaavien polynomifunktioiden kuvaajat esimerkiksi laskimella. Päättele epäyhtälön ratkaisu piirroksesta ja tarkista ratkaisemalla epäyhtälö käsin.

  1. $2 + x < 3\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}x\right)$
  2. $5 - 3(x+1) > 2x+3$

Joidenkin epäyhtälöiden ratkaisujoukko muodostuu kaikista reaaliluvuista. Esimerkiksi kun epäyhtälön $$-\frac{x}{2} + 3 \geq 1 - \frac{1}{2}x$$ molemmat puolet kerrotaan positiivisella luvulla $2$, päädytään epäyhtälöön $$-x+6 \geq 1-x.$$ Kun tämän molemmille puolille lisätään $x$, saadaan epäyhtälö $$6 \geq 1.$$ Tämä epäyhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta, joten tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon muodostavat kaikki reaaliluvut.

Havainnollista seuraavia epäyhtälöitä piirtämällä koordinaatistoon niiden vasenta ja oikeaa puolta vastaavien polynomifunktioiden kuvaajat esimerkiksi laskimella. Päättele epäyhtälön ratkaisu piirroksesta ja tarkista ratkaisemalla epäyhtälö käsin.

  1. $2(3-x) \geq x-6$
  2. $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{5} \leq \dfrac{3x+2}{10}$
    Vihje: kerro epäyhtälön molemmat puolet luvulla $10$, jotta pääset eroon nimittäjistä.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Mitkä seuraavista pisteistä ovat funktion $f(x) = -3x+2$ kuvaajan pisteitä? Perustele vastauksesi sopivilla laskuilla ja tarkista tuloksesi piirtämällä funktion kuvaaja.

  1. $(0,2)$
  2. $(2,-3)$
  3. $(1,-1)$

  1. On.
  2. Ei ole.
  3. On.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Olkoon $f(x) = -2x+5$. Määritä

  1. funktion $f$ arvo kohdassa nolla
  2. funktion $f$ nollakohta
  3. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $x$-akselin
  4. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
Vertaa kohtien (a)-(d) vastauksia toisiinsa. Selitä havaintosi omin sanoin.

  1. $f(0) = 5$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$
  3. $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$
  4. $(0,5)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Päättele, mistä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta $f(x) = ax + b$ on kysymys. Toisin sanottuna päättele, mitkä ovat kertoimen $a$ ja vakion $b$ arvot. Kuvaajan hahmotteleminen voi auttaa päättelyssä.

  1. Tiedetään, että $f(3) = 3$ ja funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $-3$.
  2. Tiedetään, että $f(1) = 2$ ja $f(2) = -1$.
  3. Tiedetään, että $f(0) = 2$ ja funktiolla $f$ on nollakohta $x = 4$.

  1. $f(x) = 2x-3$
  2. $f(x) = -3x+5$
  3. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Keksi kaksi esimerkkiä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta,

  1. jonka kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,4)$
  2. jolla on nollakohta $x = -1$
  3. jonka kuvaajan kulmakerroin on $2$.
Piirrä keksimiesi funktioiden kuvaajat.

Esimerkiksi

  1. $f(x) = x + 4$
  2. $f(x) = 3x + 3$
  3. $f(x) = 2x$

1. ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO JA VAKIOFUNKTIO

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x) = (12-3a)x + 7a$ kuvaaja on

  1. nouseva suora
  2. laskeva suora
  3. $x$-akselin suuntainen suora?
  4. Missä pisteessä c-kohdan suora leikkaa $y$-akselin?

  1. $a < 4$
  2. $a > 4$
  3. $a = 4$
  4. $(0,28)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $f(x) = ax + 3$.

  1. Määritä se vakion $a$ arvo, jolla funktion $f$ nollakohta on $x = 4{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee aina vakion $a$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $a = -\dfrac{2}{3}$
  2. $(0,3)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $g(x) = 3x + b$.

  1. Määritä se vakion $b$ arvo, jolla funktion $g$ nollakohta on $x = 0{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $g$ kuvaaja kulkee aina vakion $b$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $b = -\dfrac{3}{2}$
  2. Tällaista pistettä ei ole olemassa. Vakion $b$ arvosta riippumatta kaikki kuvaajat ovat keskenään yhdensuuntaisia suoria (kulmakerroin $3$). Vakion $b$ arvo määrää sen, millä korkeudella kukin kuvaaja leikkaa $y$-akselin. Eri $b$:n arvoja vastaavat suorat eivät siten leikkaa toisiaan.

Polynomien summa, erotus ja tulo

Laske

  1. $(2x^2-3x+1) + (3x^2+3x+2)$
  2. $(2x^3-3x^2+4x) - (-3x^2+4x-1)$

  1. $5x^2+3$
  2. $2x^3+1$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Laske

  1. $4x(2x^2-3x)$
  2. $(5x-2)(2x-5)$

  1. $8x^3-12x^2$
  2. $10x^2-29x + 10$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Laske

  1. $x(x-6)-(x-2)(x-4)$
  2. $x^2(x+3)-(x+3)(x^2-1)$

  1. $-8$
  2. $x+3$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Kirjoita tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä:

  1. $3x^2-6x$
  2. $4x^4+7x^2$
  3. $10x^3-5x$

  1. $3x(x-2)$
  2. $x^2(4x^2+7)$
  3. $5x(2x^2-1)$

Polynomien summa, erotus ja tulo

Kolme arkkitehtiopiskelijaa suunnitteli taloa, jonka pohjapiirroksen karkea luonnos on näkyvissä alla. Opiskelija A laski talon pinta-alan olevan $9\cdot 10 - 6x$ neliömetriä, mutta opiskelija B oli eri mieltä, sillä hänen laskujensa mukaan pinta-ala oli $3\cdot 10 + 6 \cdot (10-x)$ neliömetriä. Opiskelijan C mielestä sekä A että B olivat väärässä, sillä hän oli saanut tulokseksi $9 \cdot (10-x) + 3x$ neliömetriä.

  1. Miten opiskelijat A, B ja C olivat laskeneet pinta-alan? Havainnollista kunkin opiskelijan ajattelutapaa piirroksella.
  2. Saiko joku opiskelijoista väärän tuloksen? Perustele vastauksesi sieventämällä pinta-alojen lausekkeet.
  3. Määritä se muuttujan $x$ arvo, jolla talon pinta-alaksi tulee $60 \text{ m}^2$.

  1. Kaikki saivat oikean tuloksen.
  2. $x = 5$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x-5(2x-6) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-1}{2} = 4$

  1. $x = \dfrac{30}{7}$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = \dfrac{7}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Anna, Benjamin ja Elisa jakavat 1700 euroa niin, että Anna saa 12 % enemmän kuin Benjamin mutta 12,5 % vähemmän kuin Elisa. Kuinka paljon rahaa kukin saa?

Anna 560 €, Benjamin 500 € ja Elisa 640 €.

Ensimmäisen asteen yhtälö

Suorakulmion muotoinen kenttä on aidattu 124 metriä pitkällä aidalla. Laske kentän pinta-ala, kun sen pituus on 8 m suurempi kuin leveys.

$945 \text{ m}^2$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Kaksi työntekijää otti urakakseen huolehtia rästiin jääneiden tilausten toimittamisen asiakkaille. Urakkapalkkioksi sovittiin 1800 euroa. Lisäksi sovittiin, että palkkio jaetaan työntekijöille heidän tekemiensä työtuntien suhteessa ja viikonlopulle osuneista työtunneista saa kaksinkertaisen korvauksen. Työntekijälle A kertyi 45 työtuntia ja työntekijälle B 40 tuntia, joista 12 tuntia hän oli tehnyt viikonloppuisin. Miten urakkapalkkio piti jakaa työntekijöiden kesken?

Työntekijälle A 835,05 euroa ja työntekijälle B 964,95 euroa.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $4(2-x) \geq 2x-1$
  2. $5-3(x+1) < 2x + 3$

  1. $x \leq \dfrac{3}{2}$
  2. $x > -\dfrac{1}{5}$

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $2(3x-4) \leq 3(4x-3) + 1$
  2. $2-(x-1) \leq 1-2(x+1)$

  1. $x \geq 0$
  2. $x \leq -4$

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Kauppaan palautetaan 20 pulloa. Pienten muovipullojen pantti on 0,20 euroa ja isojen 0,40 euroa. Kuinka monen pulloista täytyy olla isoja, jotta rahaa saataisiin vähintään 7 euroa?

Isoja pulloja pitää olla vähintään 15 kpl.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Tasakylkisen kolmion kanta on 6 metriä pitempi kuin kylki. Kuinka pitkä kolmion yksi kylki voi olla, jos kolmion piiri on enintään 30 metriä?

Kyljen pituuden $x$ pitää olla suurempi kuin 6 ja pienempi tai yhtä suuri kuin 8 eli $6 < x \leq 8$.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Lauralla on säästössä 650 euroa ja Saaralla 890 euroa. Laura päättää säästää jatkossa 80 euroa kuukaudessa ja Saara 60 euroa kuukaudessa.

  1. Kuinka pitkän ajan kuluttua Lauralla on säästössä vähintään 2000 euroa?
  2. Kuinka pitkän ajan kuluttua Lauralla on säästössä suurempi summa kuin Saaralla? Kuinka suuri summa Lauralla on tällöin säästössä?
Anna vastaukset kuukauden tarkkuudella.

  1. 17 kuukauden kuluttua eli vuoden ja viiden kuukauden kuluttua.
  2. 13 kuukauden kuluttua, 1690 euroa.

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f(x) = \frac{1}{3}x + 2$ kuvaaja on funktion $f(x) = \frac{2}{5}x - 4$ kuvaajan alapuolella?

$x > 90$

  1. Ratkaise yhtälö $2(x+4)-3(x-3) = 0$.
    [Lyhyt K2013/1a]
  2. Millä muttujan $x$ arvoilla $4x+17$ on suurempi kuin $2-x$?
    [Lyhyt K2013/2a]

  1. $x = 17$
  2. $x > -3$

  1. Sievennä lauseke $x − \left(2x^2 − (3x − 4x^2)\right)$.
    [Pitkä K2016/2a]
  2. Määritä sellainen vakio $a$, että luku 2015 on yhtälön $ax = 2015 + a$ juuri.
    [Pitkä S2015/1a]
  3. Ratkaise epäyhtälö $$\frac{3}{5}x - \frac{7}{10} < -\frac{2}{15}x$$
    [Pitkä K2013/1b]

  1. $-6x^2+4x$
  2. $a = \dfrac{2015}{2014}$
  3. $x < \dfrac{21}{22}$

Millä vakion $t$ arvolla yhtälöllä $$t(x-2) = 2(x+t)$$

  1. on ratkaisu $x = -2$
  2. ei ole ratkaisua?

  1. $t = \dfrac{2}{3}$
  2. $t = 2$

Ratkaise $x$ yhtälöstä $a(x-1) = x + a$. Onko olemassa jokin sellainen vakion $a$ arvo, jolla yhtälö toteutuu muuttujan $x$ arvosta riippumatta? Entä onko olemassa jokin sellainen vakion $a$ arvo, jolla yhtälö ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla?

$$\begin{cases} x = \dfrac{2a}{a-1} &\text{ jos $a \neq 1$} \\[1mm] \text{Ei ratkaisua} &\text{ jos $a = 1$} \end{cases}$$

Määritä vakio $a$ niin, että epäyhtälö $$\dfrac{x + 2a}{3} \geq x-2$$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq 9$.

$a = 6$

Ratkaise muuttujan $x$ suhteen epäyhtälö

  1. $x > 3 - ax$
  2. $k^2x > 10 - x$

  1. $$\begin{cases} x > \dfrac{3}{a+1} &\text{ jos $a > -1$} \\[1mm] \text{Ei ratkaisua} &\text{ jos $a = -1$} \\[1mm] x < \dfrac{3}{a+1} &\text{ jos $a < -1$} \end{cases}$$
  2. $x > \dfrac{10}{k^2 + 1}$

Määritä vakio $a$ siten, että funktio $f(x) = \frac{2}{3}x + a$ saa positiivisia arvoja, jos ja vain jos $x > -\frac{1}{2}$.

$a = \dfrac{1}{3}$

Kaksinumeroisen luonnollisen luvun kymmeniä ilmoittava numero saadaan ykkösiä ilmoittavasta numerosta lisäämällä siihen kolme (kuten esimerkiksi luvun 41 tapauksessa). Lisäksi tiedetään, että kyseisen luvun ja numeroiden paikat vaihtamalla saadun luvun summa on 143 (tämä ehto ei toteudu luvun 41 tapauksessa, sillä $41 + 14 = 55$). Mikä on tämä tuntematon luku?

$85$

Iiris ja Henrik viipyivät 200 km matkalla 3 tuntia. Alkumatkan he kulkivat keskinopeudella 50 km/h ja loppumatkan keskinopeudella 80 km/h. Kuinka pitkän matkan he kulkivat pienemmällä keskinopeudella?

Noin 67 km.

Onko olemassa neljä peräkkäistä kokonaislukua, joiden summa on

  1. $322$
  2. $644$?

  1. On.
  2. Ei ole.

Uutta siltaa varten suunnitellaan palkkeja. Oheinen kuvio esittää yhden palkin poikkileikkausta. Ilmaise poikkileikkauksen pinta-ala kirjainten $a$ ja $b$ avulla.

$6ab-5b^2$

Ratkaise seuraavat niin sanotut kaksoisepäyhtälöt:

  1. $1 < 4x - 3 \leq 5$
  2. $0 \leq \dfrac{2x}{3} - 1 < \dfrac{1}{2}$
  3. $-4 \leq 3 -2x < 5$

  1. $1 < x \leq 2$
  2. $\dfrac{3}{2} \leq x < \dfrac{9}{4}$
  3. $-1 < x \leq \dfrac{7}{2}$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Toisen asteen potenssifunktio ja neliöjuuri

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet toisen asteen potenssifunktion ja tiedät, mitä luvun neliöjuurella tarkoitetaan. Osaat

  • määrittää neliöjuurten tarkkoja arvoja neliöjuuren määritelmän perusteella tapauksissa, joissa tuloksena on luonnollinen luku tai rationaaliluku
  • ratkaista muotoa $x^2 = a$ olevat neliöyhtälöt neliöjuurten avulla
  • sieventää neliöjuurilausekkeita neliöjuurten laskusääntöjen avulla

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun toisen asteen potenssifunktioon ja palautetaan mieleen, mitä luvun neliöjuuri tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POTENSSIFUNKTIO

Funktiota $f(x) = x^2$ sanotaan toisen asteen potenssifunktioiksi.

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on piirretty alla olevaan kuvaan. Se on muodoltaan paraabeli.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 6$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan neliöjuuren määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvulle $\frac{1}{2}$ pätee $\frac{1}{2} \geq 0$ ja $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, joten se on luvun $\frac{1}{4}$ neliöjuuri. Voidaan siis merkitä $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2.}$$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä.

  1. $\sqrt{36}$
  2. $\sqrt{100}$
  3. $\sqrt{49}$
  4. $\sqrt{144}$

Merkinnässä $\sqrt{a}$ neliöjuuren alla olevaa lukua $a$ sanotaan juurrettavaksi. Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä. Kannattaa aloittaa sieventämällä juurrettava.

  1. $\sqrt{5^2}$
  2. $\sqrt{(-9)^2}$
  3. $\sqrt{11^2}$
  4. $\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}$

Tarkastele edellisen tehtävän vastauksiasi ja päättele niiden avulla, mikä ehto luvun $a$ pitää toteuttaa, jotta

  1. $\sqrt{a^2} = a$
  2. $\sqrt{a^2} = -a$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat?

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $x^2 = a$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

Edellisessä kappaleessa ratkaistiin yhtälö $4x^2 - 3 = 0$. Ratkaisuiksi saatiin $$x_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ ja } \quad x_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Tässä kappaleessa harjoitellaan neliöjuurilla laskemista ja opitaan muun muassa sieventämään nämä ratkaisut toiseen muotoon.

  1. Laske laskimella, mitä on $\sqrt{2}\sqrt{8}$. Onko saamasi tulos jonkin kokonaisluvun neliöjuuri? Miten samaan tulokseen voisi päätyä käyttämällä neliöjuurta vain kerran?
  2. Laske laskimella, mitä on $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$. Onko saamasi tulos jonkin kokonaisluvun neliöjuuri? Miten samaan tulokseen voisi päätyä käyttämällä neliöjuurta vain kerran?

Neliöjuuren määritelmän mukaan luku $x$ on luvun $y \geq 0$ neliöjuuri, jos se toteuttaa kaksi ehtoa:

  1. luvun $x$ pitää olla epänegatiivinen eli $x \geq 0$
  2. luvun $x$ toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin $y$ eli $x^2 = y$.

Seuraavan teoreeman perustelussakin tarkistetaan nämä kaksi ehtoa, kun osoitetaan, että neliöjuurten tulo on yhtä suuri kuin tulon neliöjuuri.

TEOREEMA

Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b \geq 0$. Lukujen $a$ ja $b$ neliöjuurten tulo on luvun $ab$ neliöjuuri eli $$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

Perustelu: Näytetään, että tulo $\sqrt{a}\sqrt{b}$ toteuttaa luvun $ab$ neliöjuurelta vaaditut ehdot.

  1. Neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\sqrt{b} \geq 0$. Kahden epänegatiivisen luvun tulo on epänegatiivinen, joten $\sqrt{a}\sqrt{b} \geq 0$.
  2. Lasketaan tulon $\sqrt{a}\sqrt{b}$ toinen potenssi potenssin laskusääntöjen avulla: $$\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2 = ab$$

Tulo $\sqrt{a}\sqrt{b}$ on siis epänegatiivinen ja sen toinen potenssi on yhtä suuri kuin $ab$. Siis $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

Edellisessä teoreemassa osoitettiin, että $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Nyt tehtävänä on perustella vastaava neliöjuurten osamäärää koskeva tulos.

  1. Lue edellinen teoreema ja sen perustelu huolellisesti. Mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.
  2. Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b > 0$. Selitä omin sanoin, miksi osamäärä $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ on määritelty. Mikä on pienin arvo, jonka se voi saada? Voiko kyseinen osamäärä olla negatiivinen?
  3. Sievennä lauseke $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2$ mahdollisimman pitkälle potenssin laskusääntöjen tai potenssin määritelmän avulla. Muista myös neliöjuuren määritelmä.
  4. Selitä omin sanoin, miten edelliset kohdat osoittavat, että $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

Seuraava teoreema perusteltiin äskeisessä tehtävässä:

TEOREEMA

Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b > 0$. Lukujen $a$ ja $b$ neliöjuurten osamäärä on luvun $\dfrac{a}{b}$ neliöjuuri eli $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

Sievennä seuraavat lausekkeet mahdollisimman pitkälle teoreemojen 1 ja 2 avulla:

  1. $\sqrt{3}\sqrt{27}$
  2. $\sqrt{8}\sqrt{18}$
  3. $\dfrac{\sqrt{500}}{\sqrt{5}}$
  4. $\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Kokonaislukujen neliöjuuret sievennetään yleensä muotoon, jossa juurrettavana on mahdollisimman pieni kokonaisluku. Sieventäminen onnistuu teoreeman 1 avulla, jos juurrettavalla on tekijänä jonkin kokonaisluvun neliö. Esimerkiksi \begin{align*} \sqrt{72} &= \sqrt{2 \cdot 36} \\ &= \sqrt{2}\cdot \sqrt{36} \\ &= \sqrt{2}\cdot 6 \\ &= 6\sqrt{2} \end{align*}

Sievennä seuraavat neliöjuuret teoreemaa 1 hyödyntäen samaan tapaan kuin edellä. Aloita kirjoittamalla juurrettava sopivana tulona.

  1. $\sqrt{8}$
  2. $\sqrt{12}$
  3. $\sqrt{90}$
  4. $\sqrt{75}$

Neliöjuurten sieventäminen helpottaa niiden yhteen- ja vähennyslaskua. Esimerkiksi lauseke $\sqrt{12} - \sqrt{27}$ saadaan sieventämällä huomattavasti yksinkertaisempaan muotoon: \begin{align*} \sqrt{12} - \sqrt{27} &= \sqrt{4\cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} \\ &= \sqrt{4}\sqrt{3} - \sqrt{9}\sqrt{3} \\ &= 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\ &= (2-3)\sqrt{3}\\ &= - \sqrt{3} \end{align*}

  1. Laske laskimella, mitä on $\sqrt{20} + \sqrt{45}$. Onko saamasi tulos jonkin kokonaisluvun neliöjuuri? Onko neliöjuurten summalla samanlainen ominaisuus kuin teoreemassa 1 todistettiin neliöjuurten tulolle?
  2. Sievennä neliöjuuret $\sqrt{20}$ ja $\sqrt{45}$ mahdollisimman pitkälle teoreeman 1 tulosta käyttäen samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä.
  3. Laske summa $\sqrt{20} + \sqrt{45}$.

Neliöjuuri

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo käyttämättä laskimen neliöjuurinappulaa.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt{121}$
  3. $\sqrt{64}$
  4. $\sqrt{144}$

Neliöjuuri

Palauta mieleesi neliöjuuren määritelmä ja päättele seuraavien neliöjuurien tarkat arvot:

  1. $\sqrt{7^2}$
  2. $\sqrt{(-5)^2}$
  3. $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$
  4. $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$

Vihje c- ja d-kohtiin: päättele ensin, onko juurrettavassa ensiintyvän potenssin kantaluku positiivinen vai negatiivinen.

  1. $7$
  2. $5$
  3. $\sqrt{3}-1$
  4. $2-\sqrt{3}$ eli $-(\sqrt{3}-2)$

Yhtälön ratkaiseminen

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Jos yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, selitä omin sanoin, miksi näin on.

  1. $2x^2-2 = 0$
  2. $x^2+5 = 0$
  3. $8-x^2 = 0$
  4. $-4x^2 = 0$

  1. $x = 1\ $ tai $\ x = -1$
  2. $x = \sqrt{5}\ $ tai $\ x = -\sqrt{5}$
  3. $x = \sqrt{8}\ $ tai $\ x = -\sqrt{8}$
  4. $x = 0$

Neliöjuurilla laskeminen

Sievennä seuraavat neliöjuurilausekkeet neliöjuurten laskusääntöjen eli teoreemojen 1 ja 2 avulla:

  1. $\sqrt{3}\sqrt{12}$
  2. $\sqrt{1600}$
  3. $\dfrac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}}$
  4. $\sqrt{\dfrac{16}{81}}$

  1. $6$
  2. $40$
  3. $2$
  4. $\dfrac{4}{9}$

Neliöjuurilla laskeminen

Muuta juurrettavat sekaluvut murtolukumuotoon ja sievennä neliöjuurten laskusääntöjen avulla:

  1. $\sqrt{2\frac{1}{4}}$
  2. $\sqrt{1\frac{9}{16}}$
  3. $\sqrt{5\frac{4}{9}}$

  1. $\dfrac{3}{2}$
  2. $\dfrac{5}{4}$
  3. $\dfrac{7}{3}$

Yhtälön ratkaiseminen

  1. Selvitä itsellesi, miten neliön pinta-ala lasketaan, jos neliön sivun pituus on $a$. Voit kysyä vaikka kaverilta tai katsoa netistä.
  2. Neliön pinta-ala on $169 \text{ cm}^2$. Mikä on sen sivun pituus?

  1. Sivun pituus on 13 cm.

Yhtälön ratkaiseminen

Neliön muotoisen huoneen lattia päällystettiin 15 cm leveällä laudalla, jota kului 153,6 m. Mitkä olivat lattian mitat? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Huoneen jokainen seinä oli noin 4,8 metriä leveä.

Yhtälön ratkaiseminen

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisen kolmion pisimmän sivun eli hypotenuusan neliö on lyhyempien sivujen eli kateettien neliöiden summa. Alla olevan kuvan merkinnöillä $$c^2 = a^2 + b^2.$$

Laske suorakulmaisen kolmion kolmas sivu, jos

  1. kateettien pituudet ovat 12 ja 5
  2. hypotenuusan pituus on 16 ja toisen kateetin pituus on 15.

  1. $13$
  2. $\sqrt{31}$

Neliöjuurten sieventäminen

Sievennä seuraavat neliöjuurilausekkeet teoreeman 1 avulla:

  1. $\sqrt{18}$
  2. $\sqrt{\dfrac{3}{16}}$
  3. $\sqrt{5}\sqrt{15}$

  1. $3\sqrt{2}$
  2. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
  3. $5\sqrt{3}$

Neliöjuurten sieventäminen

Sievennä seuraavat neliöjuurilausekkeet samaan tapaan kuin tehtävässä 2.12:

  1. $\sqrt{2} + \sqrt{8}$
  2. $\sqrt{8} - \sqrt{16} + \sqrt{18} + \sqrt{36}- \sqrt{98}$
  3. $\dfrac{2 + \sqrt{12}}{2}$

  1. $3\sqrt{2}$
  2. $2-2\sqrt{2}$
  3. $1 + \sqrt{3}$

Neliöjuurten sieventäminen

Lavenna lausekkeet nimittäjässä esiintyvällä neliöjuurella ja supista sen jälkeen, jos mahdollista:

  1. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
  2. $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$
  3. $\dfrac{15}{\sqrt{5}}$
  4. $\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$

  1. $\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$
  2. $\sqrt{2}$
  3. $3\sqrt{5}$
  4. $\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

Pankkiin talletettiin vuoden alussa $10\,000$ euroa kahdeksi vuodeksi. Vuotuinen korkoprosentti oli koko ajan sama ja kertynyt korko liitettiin pääomaan aina vuoden lopussa.

  1. Kuinka suureksi pääoma kasvoi kahden vuoden aikana, jos vuotuinen korkoprosentti oli 2,1? Mikä oli vuosittaista kasvua vastaava kerroin $q$?
  2. Mikä oli vuotuinen korkokanta, jos pääoma kasvoi kahden vuoden aikana $10\,920{,}25$ euroksi?

  1. 10 424,41 €, $q = 1{,}021$
  2. $4{,}5 \ \%$

Kuinka monta prosenttia neliön sivua on pidennettävä, jotta neliön pinta-ala kasvaisi 50 prosenttia?
Vihje: merkitse alkuperäisen neliön sivun pituutta jollakin kirjaimella.

Noin $22{,}5 \ \%$.

  1. Palauta mieleesi tai tarkista esimerkiksi netistä, miten ympyrän pinta-ala lasketaan, jos sen säde tunnetaan.
  2. Neliöllä ja ympyrällä on sama pinta-ala. Kuinka monta prosenttia ympyrän säde on neliön sivusta?

  1. Noin 56,4 %.

Jos heilurin heilahduskulma on pieni, yhden edestakaisen heilahduksen heilauhdusajalle $T$ on voimassa likiarvokaava $$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}},$$ missä $L$ on heilurin varren pituus ja $g$ on painovoiman aiheuttama putoamiskiihtyvyys.

Sadan (edestakaisen) heilahduksen kokonaisajaksi mitattiin 160 s ja heilurin varren pituudeksi $0{,}637$ m. Kuinka suuri putoamiskiihtyvyys $g$ mittauspaikalla mittausten perusteella on?

Noin $9{,}82 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Osoita, että lukujen $\sqrt{3}$ ja $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ summa ja tulo ovat yhtä suuret.

Sekä summaksi että tuloksi saadaan $\dfrac{3}{\sqrt{3}-1}$.

Ratkaise yhtälö $\sqrt{6}(x-\sqrt{2}) = \sqrt{3}$. Ilmoita vastaus muodossa, jossa nimittäjässä ei ole juuria.

$x = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Millä muuttujan $x$ arvoilla seuraavat lausekkeet on määritelty?

  1. $\sqrt{5x+1}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}$
  3. $\sqrt{2x-1} + \sqrt{3-x}$

  1. $x \geq -\frac{1}{5}$
  2. $x > 4$
  3. $\frac{1}{2} \leq x \leq 3$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Toisen asteen polynomifunktio

Tämän luvun tavoitteena on, että saat vankan käsityksen toisen asteen polynomifunktioista ja ratkaiset sujuvasti toisen asteen yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Osaat

  • hahmotella toisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
  • tutkia toisen asteen polynomifunktioiden ominaisuuksia sekä lausekkeiden että kuvaajien avulla
  • käyttää sujuvasti summan neliön, erotuksen neliön sekä summan ja erotuksen tulon muistikaavoja
  • soveltaa tulon nollasääntöä yhtälöiden ratkaisemiseen
  • ratkaista toisen asteen yhtälön ja epäyhtälön
  • tutkia toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää diskriminantin avulla
  • jakaa toisen asteen polynomin tekijöihin.

Edellisessä luvussa tutustuimme toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$. Se on yksi esimerkki niin sanotuista toisen asteen polynomifunktioista, joihin liittyviä asioita tässä luvussa opiskellaan.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $f(x) = ax^2+bx+c$, missä $a\neq 0$, sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten toisen asteen polynomifunktion lausekkeessa esiintyvät kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = x^2+1 \ $
$\ g(x) = -x^2 \ $
$\ h(x) = -x^2+2 \ $
$\ k(x) = x^2-1 \ $

Kaikki yllä olevat toisen asteen funktiot ovat muotoa $f(x) = ax^2 + c$ eli niiden ensimmäisen asteen termin kerroin $b = 0$. Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = -x^2+4x-2 \ $
$\ g(x) = x^2+2x-1 \ $
$\ h(x) = x^2-3x-1 \ $
$\ k(x) = -x^2-x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli vai alaspäin aukeava paraabeli?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. Selitä omin sanoin, miten ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa kuvaajaan.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}25x^2-2 \ $
$\ g(x) = 0{,}5x^2+1 \ $
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $

Selitä omin sanoin, miten toisen asteen funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$

  1. toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa kuvaajaan.
  2. vakiotermi $c$ vaikuttaa kuvaajaan.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli kuten edellisissä tehtävissä. Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylinta pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$-koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \ $

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$.

  1. Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion $f$ arvoja:
    $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $
  2. Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$-koordinaatti.
  3. Määritä huipun $y$-koordinaatti laskemalla.
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

Ensimmäisessä luvussa palautettiin mieleen, miten lasketaan kahden polynomin tulo. Sama menetelmä toimii myös useamman muuttujan polynomien tapauksessa. Esimerkiksi kahden muuttujan polynomien $2a+b$ ja $3a-4b$ tuloksi saadaan \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2a}\textcolor{red}{+b})(3a-4b) \\ &= \textcolor{blue}{6a^2-8ab}\textcolor{red}{+3ab-4b^2} \\ &= 6a^2-5ab - 4b^2 \end{align*}

  1. Laske samaan tapaan kuin edellä summan ja erotuksen tulo $(a+b)(a-b)$ ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
  2. Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x+10)(x-10)$.
  3. Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla binomi $x^2-4$ tulomuodossa.

  1. Kirjoita lauseke $(a+b)^2$ potenssin määritelmän avulla tulomuodossa. Kerro sen jälkeen sulut auki samaan tapaan kuin edellä ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
  2. Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x+5)^2$.
  3. Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla polynomi $x^2 + 6x + 9$ potenssimerkintää käyttäen.

  1. Kirjoita lauseke $(a-b)^2$ potenssin määritelmän avulla tulomuodossa. Kerro sen jälkeen sulut auki samaan tapaan kuin edellä ja sievennä tulos mahdollisimman pitkälle.
  2. Päättele a-kohdan tuloksen avulla, mitä on $(x-7)^2$.
  3. Kirjoita a-kohdan tuloksen avulla polynomi $x^2 - 8x + 16$ potenssimerkintää käyttäen.

Kootaan vielä edellisissä tehtävissä perustellut tulokset teoreemaksi:

TEOREEMA

  1. $\quad (a+b)(a-b) = a^2-b^2$
  2. $\quad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  3. $\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Teoreeman 3 avulla voidaan laskea summan ja erotuksen tuloja sekä binomien neliöitä samaan tapaan kuin edellisten tehtävien b-kohdissa. Tällaiset tulot voidaan kuitenkin aina laskea tavalliseen tapaan polynomien kertolaskuina eikä teoreeman 3 muistikaavojen käyttö ole välttämätöntä. Jos taas jokin polynomi halutaan kirjoittaa tulomuodossa tai potenssina, on teoreeman 3 muistikaavojen hallitsemisesta huomattava etu. Esimerkiksi polynomista $$9x^2 - 24x + 16$$ huomataan, että sen toisen asteen termi ja vakiotermi voidaan kirjoittaa neliöinä: $$(\textcolor{red}{3x})^2 - 24x + \textcolor{blue}{4}^2.$$ Vertaamalla tätä teoreeman 3 muistikaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2ab + \textcolor{blue}{b}^2 = (a-b)^2$$ huomataan, että tarkasteltavassa tilanteessa $\textcolor{red}{a = 3x}$ ja $\textcolor{blue}{b = 4}$. Lisäksi näiden kaksinkertainen tulo täsmää tarkasteltavaan tilanteeseen, sillä $-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} = -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} = -24x$. Siis \begin{align*} 9x^2 - 24x + 16 &= (\textcolor{red}{3x})^2 -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2\\ &= (\textcolor{red}{3x}-\textcolor{blue}{4})^2. \end{align*}

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa tai potenssina edellisen teoreeman muistikaavojen avulla:

  1. $x^2 - 25$
  2. $x^2 - 2x + 1$.
  3. $4x^2 + 24x + 36$

Polynomien tulo lasketaan samalla periaatteella siinäkin tapauksessa, että tulon tekijöissä on enemmän kuin kaksi yhteenlaskettavaa. Esimerkiksi \begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{+5})(x^2-2x-3) \\ &= \textcolor{blue}{x^3-2x^2-3x}\textcolor{red}{+5x^2-10x-15} \\ &= x^3 + 3x^2 - 13x - 15 \end{align*}

Tehtävänä on johtaa muistikaava summan kuutiolle $(a+b)^3$.

  1. Avaa sulut lausekkeesta $(a+b)^2$ joko laskemalla tai käyttämällä muistikaavaa.
  2. Kerro a-kohdan tulos binomilla $(a+b)$.
  3. Kirjoita näkyviin edellisissä kohdissa perustelemasi muistikaava summan kuutiolle $(a+b)^3$.
  4. Laske summan kuution muistikaavan avulla $(2x+1)^3$.
  5. Kirjoita polynomi $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$ summan kuutiona muistikaavan avulla.

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun tulon nollasääntöön, jota voidaan käyttää monien polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

  1. $2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
  2. $8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
  3. $661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin. Jotkin väitteistä voit osoittaa todeksi tai epätodeksi keksimällä sopivan esimerkin.

  1. On mahdollista, että kumpikaan luvuista $a$ ja $b$ ei ole nolla eli $a \neq 0$ ja $b \neq 0$.
  2. Voidaan olla varmoja, että kumpikin luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ ja $b = 0$.
  3. Voidaan olla varmoja, että ainakin toinen luvuista $a$ ja $b$ on nolla eli $a = 0$ tai $b = 0$.
  4. Voidaan olla varmoja, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$.
  5. On mahdollista, että toinen luvuista $a$ ja $b$ on nollasta poikkeava eli $a \neq 0$ tai $b \neq 0$.

Seuraavan teoreeman eli tulon nollasäännön mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

$xy = 0$, jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

  • Oletetaan aluksi, että $xy = 0$. On kaksi mahdollisuutta: joko $x = 0$ tai $x \neq 0$. Tutkitaan molemmat:
    • Jos $x = 0$, niin väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    • Jos $x \neq 0$, niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$. Näin päädytään yhtälöön $y = 0$. Siis väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    Näin on näytetty, että jos $xy = 0$, niin $x = 0$ tai $y = 0$.
  • Oletetaan, että $x = 0$ tai $y = 0$. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
    • Jos $x = 0$, niin $xy = 0\cdot y = 0$. Siis $xy = 0$.
    • Jos $y = 0$, niin $xy = x \cdot 0 = 0$. Siis $xy = 0$.
    Näin on näytetty, että jos $x = 0$ tai $y = 0$, niin $xy = 0$.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla eli $$x-2 = 0 \quad \text{ tai } \quad 3x-4 = 0.$$ Näistä yhtälöistä saadaan ratkaistua $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad 3x = 4$$ eli $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad x = \frac{4}{3}.$$

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x-1)(x+5) = 0$
  2. $(x+7)(4x-32) = 0$
  3. $(6-2x)(2x-1) = 0$.

Kurssin alkupuolella opeteltiin ratkaisemaan ensimmäisen asteen yhtälöitä eli yhtälöitä, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$. Tällaiseen yhtälöön päädytään esimerkiksi silloin, kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa jonkin tietyn arvon. Vastaavasti toisen asteen polynomifunktiota tutkittaessa päädytään niin sanottuun toiseen asteen yhtälöön. Sellaiset opitaan ratkaisemaan tässä kappaleessa.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2-x-1$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien toisen asteen yhtälöiden ratkaisut tai ratkaisujen likiarvot:

  1. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 7$
  2. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 4$
  3. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 2$
  4. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = 0$
  5. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -1$
  6. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -2$
  7. $\frac{1}{4}x^2-x-1 = -3$

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Toisen asteen yhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan esittää muodossa $$ax^2 + bx + c = 0,$$ missä $a \neq 0$.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen yhtälöön. Päättele lisäksi yhtälöiden ratkaisut kuvaajien avulla.

Yhtälö Funktion kuvaaja Yhtälön ratkaisut
$\, \phantom{-}x^2-2x = 0$
$-x^2-x = 0$
$\, \frac{1}{2}x^2- \frac{9}{2} = 0$
$-x^2 + \frac{9}{4} = 0$

Selitä omin sanoin, mitä voisi tämän tehtävän perusteella päätellä

  1. muotoa $ax^2 + c = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$-akselilla
  2. muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen sijainnista $x$-akselilla.

Muotoa $ax^2 + c = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt saadaan muokattua toisen asteen potenssiyhtälöiksi. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*} Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt:

  1. $2x^2 = 50$
  2. $7x^2 - 14 = 0$
  3. $3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

Edellisessä kappaleessa tutustuttiin tulon nollasääntöön, jonka mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Sen avulla saadaan ratkaistua muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt. Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona.

Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

Jotkin toisen asteen yhtälöt saadaan kirjoitettua toiseen muotoon aiemmin opiskeltuja summan ja erotuksen neliön kaavoja käyttäen. Esimerkiksi käyttämällä summan neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 + 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2$$ yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{1} = 0$$ eli yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1}^2 = 0$$ saadaan kirjoitettua muodossa $$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{1})^2 = 0.$$ Tämä yhtälö voidaan nyt ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö. Luvun $x+1$ toinen potenssi on nolla, jos ja vain jos kantaluku $x+1$ on nolla, eli $$x + 1 = 0.$$ Kun tämän yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $1$, saadaan ratkaisu $$x = -1.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt hyödyntämällä summan tai erotuksen neliötä samaan tapaan kuin edellä:

  1. $x^2 + 10x + 25 = 0$
  2. $x^2 - 6x + 9 = 0$
  3. $4x^2 + 4x + 1 = 0$

Edellisen tehtävän ideaa voidaan soveltaa myös tilanteissa, joissa yhtälön oikealla puolella ei olekaan nolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$25x^2 - 40x + 16 = 100.$$ Käyttämällä erotuksen neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2$$ voidaan tarkasteltu yhtälö $$(\textcolor{red}{5x})^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{5x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 = 100$$ kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{5x}-\textcolor{blue}{4})^2 = 100.$$ Tämä yhtälö voidaan jälleen ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö: \begin{align*} (5x-4)^2 &= 100 \\[1mm] 5x - 4 = 10 \quad &\text{ tai } \quad 5x - 4 = -10 \\[1mm] 5x = 14 \quad &\text{ tai } \quad \quad \ \ 5x = -6 \\[1mm] \ \ x = \frac{14}{5} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{6}{5} \end{align*}

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Hyödynnä tarvittaessa summan tai erotuksen neliöiden kaavoja.

  1. $(x-2)^2 = 16$
  2. $9x^2 + 6x + 1 = 4$
  3. $4x^2 - 12x + 9 = 49$

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa toisen asteen polynomiyhtälö voidaan muuttaa sellaiseen muotoon, että se voidaan ratkaista edellisten tehtävien ideoita hyödyntäen. Tätä menetelmää sanotaan neliöksi täydentämiseksi.

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$x^2-x-6 = 0.$$ Se voidaan kirjoittaa myös muodossa $$x^2 - 2\cdot \frac{1}{2}x = 6,$$ sillä $2\cdot \frac{1}{2} = 1$. Kun tämän yhtälön vasenta puolta verrataan erotuksen neliön kaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2,$$ huomataan, että $a = x$ ja $b = \frac{1}{2}$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} = 6.$$ Yhtälön vasemmalta puolelta kuitenkin puuttuu termiä $\textcolor{blue}{b}^2$ vastaava termi. Tämä ongelma ratkeaa, kun yhtälön molemmille puolille lisätään $\left(\frac{1}{2}\right)^2$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$ Nyt yhtälö voidaan erotuksen neliön kaavan avulla kirjoittaa muodossa $$\left(\textcolor{red}{x}-\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \frac{1}{4}$$ eli $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{25}{4}} \\[1mm] x-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \\[1mm] \ \ x = \frac{6}{2} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{4}{2} \\[1mm] \ \ x = 3 \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -2 \end{align*}

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt. Täydennä yhtälön vasen puoli ensin summan tai erotuksen neliöksi samaan tapaan kuin edellä.

  1. $x^2 - 4x + 3 = 0$
  2. $x^2 + 10x - 24 = 0$

Myös seuraavan teoreeman menetelmä toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisemiseen perustustuu neliöksi täydentämiseen. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Perustelu: Ideana on täydentää yhtälön vasen puoli summan neliöksi. Jotta se onnistuisi helpommin, kerrotaan aluksi yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ molemmat puolet luvulla $4a$ (huomaa, että $a \neq 0$, joten myös $4a \neq 0$). Näin päädytään yhtälöön $$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0.$$ Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta $4ac$, jolloin saadaan yhtälö $$(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} = -4ac.$$ Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille neliöksi täydentämiseen tarvittava termi $b^2$, jolloin saadaan yhtälö $$(\textcolor{red}{2ax})^2 + 2\cdot \textcolor{red}{2ax}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2= -4ac + b^2.$$ Summan neliön kaavan nojalla yhtälö voidaan nyt kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{2ax} + \textcolor{blue}{b})^2 = b^2-4ac.$$ Jos yhtälön oikea puoli on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja, sillä yhtälön vasen puoli on toisena potenssina aina epänegatiivinen.

Jos yhtälön oikea puoli on epänegatiivinen eli $b^2-4ac \geq 0$, yhtälö toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} 2ax+b &= \pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] 2ax &= -b\pm\sqrt{b^2-4ac} \\[1mm] x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

Teoreeman 5 mukaan toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ voi olla kaksi ratkaisua, yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on positiivinen eli $b^2-4ac > 0$, saadaan ratkaisuja kaksi: $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esimerkiksi yhtälön $x(2x-3)-3x(1-x) = -1$ ratkaisut saadaan selville, kun yhtälö ensin sievennetään perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: \begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*} Tästä nähdään, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} \\ &= \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*} eli $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{5}$.

Ratkaise seuraavat toisen asteen polynomiyhtälöt teoreemassa 5 esitetyn ratkaisukaavan avulla. Muuta yhtälö ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$, $b$ ja $c$. Huomioi myös etumerkit.

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
  3. $x^2 = 3x$
  4. $(-3x-1)(x-2) = 4$

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan tunnistamaan erilaisille toisen asteen yhtälöille sopivat ratkaisutavat.

Edellisissä tehtävissä on harjoiteltu seuraavia ratkaisutapoja

  1. ratkaisu potenssiyhtälönä ($x^2 = d$)
  2. ratkaisu tulon nollasäännön avulla
  3. ratkaisu summan tai neliön erotuksen kaavan avulla
  4. ratkaisu ratkaisukaavan avulla
Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä siihen, mikä ratkaisutapa sopii parhaiten kyseiselle yhtälölle. Ratkaise yhtälöt sen jälkeen.

Yhtälö Ratkaisutapa Yhtälön ratkaisut
$(x-5)(1-3x) = 0$
$2x^2+x = 3$
$4x^2-4x+1 = 0$
$(3x-1)(x+2) = 6$
$3x^2-12 = 0$
$5x^2-2x = 0$

Ratkaise seuraavat yhtälöt niin monella erilaisella tavalla kuin mahdollista. Ainakin kaksi ratkaisutapaa on mahdollista keksiä.

  1. $(5x+4)(2x-1) = 0$
  2. $(2x-3)^2 - 9 = 0$

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää voidaan tutkia niin sanotun diskriminantin avulla:

MÄÄRITELMÄ: DISKRIMINANTTI

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantti $D$ tarkoittaa ratkaisukaavassa neliöjuurimerkin alle tulevaa lukua $b^2-4ac$: $$D = b^2-4ac.$$

Piirrä laskimellasi seuraavien polynomifunktioiden $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaajat. Päättele kuvaajan avulla, mitkä ovat funktion $f$ nollakohdat eli vastaavan toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Laske myös tämän yhtälön diskriminantti. Miten voisit suoraan diskriminantin avulla päätellä ratkaisujen lukumäärän?

  1. $f(x) = x^2-6x+9$
  2. $f(x) = -x^2-2x$
  3. $f(x) = 2x^2+x-1$
  4. $f(x) = x^2-2x+2$

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden $f(x) = ax^2 + bx + c$ kuvaajia. Päättele kuvaajan avulla funktion nollakohtien lukumäärä eli yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisujen lukumäärä. Päättele myös, onko yhtälön diskriminantti positiivinen, negatiivinen vai nolla, ja täydennä nämä tiedot taulukkoon.

Kuvaaja Nollakohtien määrä Diskriminantti
A
B
C
D

Edellisten tehtävien havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisujen lukumäärä voidaan päätellä diskriminantin $D = b^2-4ac$ avulla seuraavasti:

  • jos $D > 0$, yhtälöllä on kaksi ratkaisua
  • jos $D = 0$, yhtälöllä on yksi ratkaisu
  • jos $D < 0$, yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

Perustelu: Jos yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ diskriminantti on negatiivinen eli $D < 0$, niin teoreeman 5 mukaan yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Jos diskriminantti on epänegatiivinen eli $D \geq 0$, ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ eli $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$ Jos $D > 0$, on myös $\sqrt{D} > 0$, ja ratkaisuja saadaan kaksi. Jos $D = 0$, ratkaisuja on yksi: $$x = \frac{-b}{2a}.$$

Jos toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on kaksi ratkaisua eli juurta, ne ovat teoreeman 5 mukaan $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Merkitään $D = b^2-4ac$. Tällöin ratkaisut voidaan kirjoittaa $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}.$$

  1. Sievennä juurten summa $x_1 + x_2$ mahdollisimman pitkälle.
  2. Sievennä juurten tulo $x_1x_2$ mahdollisimman pitkälle.
    Muista, että $D = b^2-4ac$.

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

TEOREEMA

Jos luvut $x_1$ ja $x_2$ ovat toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut eli juuret, niiden summa on $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ ja tulo on $$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$$ Tämä pätee siinäkin tapauksessa, että $x_1 = x_2$, eli yhtälöllä on vain yksi ratkaisu.

Aiemmin tässä kappaleessa olet ratkaissut toisen asteen yhtälöitä tulon nollasäännön avulla. Tällöin toisen asteen polynomi jaetaan tekijöihin erottamalla yhteinen tekijä: esimerkiksi yhtälö $2x^2 - 5x = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $$x(2x-5) = 0.$$ Joitakin toisen asteen yhtälöitä olet ratkaissut summan ja erotuksen neliöiden kaavoja käyttäen. Tällöinkin polynomi tullaan jakaneeksi tekijöihin: esimerkiksi yhtälö $4x^2+20x + 25 = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $$(2x+5)^2 = 0.$$ Seuraavaksi tutkitaan käänteistä tilannetta: Miten toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin, jos vastaavan toisen asteen yhtälön ratkaisut tunnetaan?

Yhtälön $12x^2-x-6 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = \dfrac{3}{4}$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$.

  1. Tarkista, että luvut $x_1$ ja $x_2$ todella ovat yhtälön $12x^2-x-6 = 0$ ratkaisut. Keksitkö kaksi erilaista tapaa tarkistuksen tekemiseen?
  2. Tarkista, ovatko juurten $x_1$ ja $x_2$ summa ja tulo teoreeman 6 mukaiset.
  3. Sijoita luvut $x_1$ ja $x_2$ lausekkeeseen $12(x-x_1)(x-x_2)$ ja sievennä se mahdollisimman pitkälle. Vertaa tulosta alkuperäiseen yhtälöön. Mitä huomaat?

Tutkitaan tilannetta, jossa toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on kaksi ratkaisua tai yksi ratkaisu. Merkitään ratkaisuja $x_1$ ja $x_2$. Jos ratkaisuja on vain yksi, merkitään sitä sekä symbolilla $x_1$ että $x_2$. Tehtävänä on osoittaa, että $a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2 + bx + c$.

  1. Kerro sulut auki lausekkeesta $a(x-x_1)(x-x_2)$ ja sievennä mahdollisimman pitkälle.
  2. Jatka sieventämistä hyödyntämällä teoreemaa 7, jonka mukaan juurten summa on $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ ja tulo on $$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$$

Edellisessä tehtävässä toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ saatiin kirjoitettua tulomuodossa $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$$ eli jaettua ensimmäisen asteen tekijöihin $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$, missä $x_1$ ja $x_2$ ovat yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Tämä tulos on osa seuraavaa teoreemaa:

TEOREEMA

Toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ voidaan jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin seuraavasti: jos yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$

  • on kaksi ratkaisua $x_1$ ja $x_2$, niin $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$$
  • on yksi ratkaisu $x_1$, niin $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)^2$$
  • ei ole yhtään ratkaisua, niin polynomilla $ax^2 + bx + c$ ei ole yhtään ensimmäisen asteen tekijää.

Perustelu: Kaksi ensimmäistä tapausta on käsitelty edellisessä tehtävässä. Tutkitaan vielä tapaus, jossa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Jos tässä tilanteessa polynomilla $ax^2 + bx + c$ olisi jokin ensimmäisen asteen tekijä $sx+t$, polynomi $ax^2 + bx + c$ voitaisiin kirjoittaa tulona: $$ax^2 + bx + c = (sx+t)(\ldots)$$ Tällöin tulon nollasäännön nojalla yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ eli yhtälön $$(sx+t)(\ldots) = 0$$ yksi ratkaisu saataisiin yhtälöstä $sx + t = 0$. Yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ olisi siis ratkaisu $$x = -\dfrac{t}{s}.$$ Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska tarkasteltiin tapausta, jossa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ ei ole yhtään ratkaisua. Siis polynomilla $ax^2 + bx + c$ ei ole yhtään ensimmäisen asteen tekijää.

Teoreeman 8 avulla toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin etsimällä ensin polynomin nollakohdat. Esimerkiksi jos polynomi $10x^2 + x - 3$ halutaan jakaa tekijöihin, ratkaistaan ensin yhtälö $10x^2 + x - 3 = 0$: \begin{align*} x &= \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 10} \\[1mm] &= \frac{-1\pm \sqrt{121}}{20} \\[1mm] &= \frac{-1\pm 11}{20}. \end{align*} Ratkaisuiksi saadaan siis $x_1 = \dfrac{1}{2}$ ja $x_2 = -\dfrac{3}{5}$. Teoreeman 7 nojalla \begin{align*} 10x^2 + x - 3 &= 10\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= 2\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot 5\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= (2x-1)(5x+3). \end{align*}

Jaa seuraavat toisen asteen polynomit ensimmäisen asteen tekijöihin teoreeman 8 avulla. Aloita ratkaisemalla polynomin nollakohdat.

  1. $x^2+2x-8$
  2. $9x^2-3x-2$
  3. $20x^2-2x-6$

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisessa hyödynnetään tietoja toisen asteen polynomifunktion käyttäytymisestä.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = -x^2-x+2$ kuvaaja. Päättele sen avulla seuraavien epäyhtälöiden ratkaisut:

  1. $-x^2-x+2 > 0$
  2. $-x^2-x+2 < 0$
  3. $-x^2-x+2 \geq 0$

Joidenkin epäyhtälöiden tapauksessa tarkan ratkaisun päätteleminen pelkän kuvan avulla on mahdotonta. Tällöin täytyy ensin selvittää funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ratkaisemalla yhtälö $ax^2 + bx + c = 0$.

Alla on näkyvissä funktion $f(x) = x^2-3x-1$ kuvaaja. Määritä tämän funktion nollakohdat ja ratkaise niiden avulla seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x^2-3x-1 \leq 0$
  2. $x^2-3x-1 < 0$
  3. $x^2-3x-1 > 0$

Toisen asteen epäyhtälöt kannattaa aina muuttaa muotoon, jossa epäyhtälön oikealla puolella on vain luku $0$. Tällöin epäyhtälö voidaan ratkaista tarkastelemalla vastaavan toisen asteen polynomifunktion nollakohtia ja kuvaajaa samaan tapaan kuin edellisissä tehtävissä. Esimerkiksi epäyhtälö $$(2x-1)^2-9 \geq (x-2)(x+2)$$ voidaan sieventää: \begin{align*} (2x-1)^2-9 &\geq (x-2)(x+2) \\ 4x^2-4x+1-9 &\geq x^2-4 \\ 3x^2-4x-4 &\geq 0 \end{align*} Funktion $f(x) = 3x^2-4x-4$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin $3$ on positiivinen. Funktion nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $3x^2-4x-4 = 0$: \begin{align*} x &= \frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot 3 \cdot (-4)}}{2\cdot 3} \\[1mm] &= \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} \\[1mm] &= \frac{4\pm 8}{6} \\[1mm] &= \frac{2\pm 4}{3} \end{align*} Nollakohdat ovat siis $x_1 = 2$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$. Tilanteesta voidaan nyt hahmotella mallikuva:

Epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä ja piirrä jokaisesta mallikuva:

  1. $3x^2+2x+2 < 2x^2+x+4$
  2. $(x-2)^2 < (2x+1)^2$
  3. $x(x-2) \leq -(3x-2)^2$

Epäyhtälöiden ratkaisujoukkoja voidaan ilmaista myös hakasulkuja käyttäen. Esimerkiksi ennen tehtävää 3.32 pääteltiin, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$. Sama asia voidaan ilmaista hakasulkujen avulla sanomalla, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x$ on välillä $\ \pa -\infty, -\frac{2}{3}]\ $ tai $\ [2, \infty\pe$. Tässä negatiivisen äärettömän symboli $-\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu lukusuoralla loputtomiin vasemmalle, ja äärettömän symboli $\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu loputtomiin oikealle:

Hakasulkujen suunta ratkaisee, kuuluuko välin päätepiste joukkoon vai ei:

Ilmaise seuraavia epäyhtälöitä vastaavat lukusuoran välit hakasulkujen avulla:

  1. $-4 \leq x \leq 8$
  2. $x > 9$
  3. $x \leq -33$
  4. $6 < x \leq 20$
  5. $0 < x < 7$
  6. $2 \leq x < 5$

Toisen asteen polynomifunktio

Moottoritielle suunnitellaan kaksikaistaista tunnelia, jonka poikkileikkaus vastaa funktion $f(x) = 6-0{,}25x^2$ kuvaajan ja $x$-akselin rajaamaa aluetta (pituuden yksikkönä metri).

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.
  2. Suomessa kuorma-auton suurin sallittu korkeus on 4,4 m ja leveys 2,6 m. Mahtuisiko kaksi tällaista kuorma-autoa ajamaan vierekkäin suunnitellun tunnelin läpi?
  3. Millaisen rajoituksen asettaisit tunnelin kautta kulkevien ajoneuvojen korkeudelle, jos suurin sallittu leveys on 2,6 metriä?

  1. Ei
  2. Esimerkiksi enintään 4,0 m.

Toisen asteen polynomifunktio

Hedelmiä, joiden hinta on 2 €/kg, myydään päivittäin 80 kg. Kauppias arvelee, että kilohinnan nostaminen 50 sentillä johtaa aina menekin pienenemiseen 5 kilogrammalla.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun hedelmien hinta on 2 €/kg?
  2. Jos kilohintaa nostetaan $0{,}5x$ euroa, kuinka paljon hedelmiä myydään?
  3. Muodosta lauseke toisen asteen polynomifunktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa kilohintaa on nostettu $0{,}5x$ euroa.
  4. Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele niiden avulla, mikä on funktion $f$ huipun $x$-koordinaatti.
  5. Mikä kilohinnan pitää olla, jotta myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 160 €
  2. $80-5x$ kilogrammaa
  3. $f(x) = (2+0{,}5x)(80-5x)$
  4. Nollakohdat $x_1 = -4$ ja $x_2 = 16$, huippu niiden puolivälissä eli $x = 6$
  5. $2 + 0{,}5\cdot 6 = 5$ €/kg, myynnin kokonaisarvo $f(6) = 250$ euroa

Polynomien tulon erityistapauksia

Sievennä seuraavat lausekkeet teoreemaan 3 koottujen muistikaavojen avulla:

  1. $(3x+1)(3x-1)$
  2. $(4a+5)^2$
  3. $(6n-2)^2$

  1. $9x^2-1$
  2. $16a^2+40a+25$
  3. $36n^2-24n+4$

Polynomien tulon erityistapauksia

Alla olevassa kuvassa näkyy kaksi neliötä, joista ulomman neliön sivun pituus on $a+b$. Sininen alue muodostuu neljästä keskenään samanlaisesta suorakulmaisesta kolmiosta. Laske valkoisen neliön pinta-ala.

$a^2+b^2$

Polynomien tulon erityistapauksia

Supista polynomien osamäärä teoreeman 3 muistikaavojen avulla:

  1. $\dfrac{x^2-6x+9}{x-3}$
  2. $\dfrac{x^2+8x+16}{2x^2+8x}$
  3. $\dfrac{25x^2-1}{5x-1}$

  1. $x-3$
  2. $\dfrac{x+4}{2x}$
  3. $5x+1$

Osoita, että luvut ovat toistensa käänteislukuja:

  1. $\sqrt{5} + 2$ ja $\sqrt{5} - 2$
  2. $3 - 2\sqrt{2}$ ja $3 + 2\sqrt{2}$

Laske lukujen tulo esimerkiksi muistikaavojen avulla.

Tulon nollasääntö

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x+1)(4x-12) = 0$
  2. $x^2-3x = 0$
  3. $2x^2 = x\sqrt{2}$

  1. $x = -1$ tai $x = 3$
  2. $x = 0$ tai $x = 3$
  3. $x = 0$ tai $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ratkaisu toisen asteen potenssiyhtälönä

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt muokkaamalla ne aluksi muotoon $(x-a)^2 = b$ ja päättelemällä tästä lausekkeen $x-a$ mahdolliset arvot samaan tapaan kuin tehtävässä 3.19.

  1. $(x-2)^2 = 16$
  2. $(x-1)^2 - 36 = 0$
  3. $(x + 3)^2 - 4 = 0$

  1. $x = 6$ tai $x = -2$
  2. $x = 7$ tai $x = -5$
  3. $x = -1$ tai $x = -5$

Ratkaisu ratkaisukaavan avulla

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt teoreemassa 5 esitetyn ratkaisukaavan avulla:

  1. $3 + 2x - x^2 = 0$
  2. $x^2 = x + \dfrac{1}{4}$
  3. $7(x^2 + 1) = 50x$

  1. $x = 3$ tai $x = -1$
  2. $x = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}$ tai $x = \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$
  3. $x = 7$ tai $x = \dfrac{1}{7}$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt:

  1. $4x^2 + 1 = 4x$
  2. $3x^2 = x - 1$

  1. $x = \dfrac{1}{2}$
  2. Ei ratkaisua reaalilukujen joukossa.

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt. Aloita kertomalla yhtälön molemmat puolet jollain sopivalla luvulla, jotta pääset eroon nimittäjistä.

  1. $\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{13}{15}x - \dfrac{1}{5} = 0$
  2. $\dfrac{x^2-1}{2} = \dfrac{x}{3}$

  1. $x = \dfrac{3}{2}$ tai $x = -\dfrac{1}{5}$
  2. $x = \dfrac{1 + \sqrt{10}}{3}$ tai $x = \dfrac{1 - \sqrt{10}}{3}$

Toisen asteen yhtälö

Uudelle asuinalueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joiden pinta-ala on $2600 \text{ m}^2$. Mikä pitää valita tontin leveydeksi, jos halutaan, että tontin pituus on 25 m suurempi kuin sen leveys?

40 m

Toisen asteen yhtälö

Onko mahdollista jakaa luku 20 kahden kokonaisluvun summaksi niin, että

  1. yhteenlaskettavien tulo on 96
  2. yhteenlaskettavien tulo on 86

Anna esimerkki tällaisista kokonaisluvuista tai perustele, ettei sellaisia ole olemassa.

  1. 8 ja 12
  2. Ei ole mahdollista.

Toisen asteen yhtälö

Rinnan kytkettyjen sähkövastusten resistanssien $R_1$ ja $R_2$ sekä vastusten muodostaman järjestelmän kokonaisresistanssin $R$ välillä on yhteys $$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}.$$ Järjestelmän resistanssin pitää olla $R = 4 \ \Omega$ ja kytkennässä täytyy käyttää vastuksia, joista toisen resistanssi on $1{,}5 \ \Omega$ suurempi kuin toisen. Selvitä pienemmän vastuksen resistanssi. Anna vastaukset kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Pienempi vastus noin $7{,}3 \ \Omega$ (ja suurempi $8{,}8 \ \Omega$).

Toisen asteen yhtälö

Neliö muutetaan suorakulmioksi, jonka toinen sivu on yhtä monta prosenttia alkuperäistä neliön sivua pitempi kuin toinen on lyhyempi. Kuinka monta prosenttia sivujen pituuksia muutetaan, jos suorakulmion pinta-ala on 30 % neliön pinta-alaa pienempi?

Vihje: merkitse pitemmän sivun prosenttikerrointa $1 + \dfrac{x}{100}$.

Noin 54,8 %.

Diskriminantti

Tutki diskriminantin avulla, millä vakion $a$ arvolla yhtälöllä $x^2+x+a = 0$

  1. on kaksi ratkaisua
  2. on yksi ratkaisu
  3. ei ole yhtään ratkaisua.

  1. $a < \frac{1}{4}$
  2. $a = \frac{1}{4}$
  3. $a > \frac{1}{4}$

Diskriminantti

Millä vakion $a$ arvolla

  1. yhtälöllä $x^2 + ax + 3 = 0$ on tasan yksi ratkaisu?
  2. yhtälöllä $ax^2+2x+3 = 0$ on ainakin yksi ratkaisu?

  1. $a = 2\sqrt{3}$ tai $a = -2\sqrt{3}$
  2. $a \leq \frac{1}{3}$

Tekijöihin jakaminen

Kirjoita seuraavat polynomit tulomuodossa tai potensseina eli jaa ne tekijöihin. Käytä apuna teoreeman 3 muistikaavoja.

  1. $9x^2-6x+1$
  2. $4x^2-12x+9$
  3. $2x^2-50$
Vihje c-kohtaan: aloita erottamalla yhteinen tekijä $2$.

  1. $(3x-1)^2$
  2. $(2x-3)^2$
  3. $2(x-5)(x+5)$

Tekijöihin jakaminen

Jaa seuraavat polynomit tekijöihin. Hyödynnä teoreeman 8 tulosta.

  1. $12x^2+5x-2$
  2. $3+2x-5x^2$
  3. $10-7x-3x^2$

  1. $(3x+2)(4x-1)$
  2. $(x-1)(-5x-3)$
  3. $(x-1)(-3x-10)$

Toisen asteen polynomifunktio

Muodosta teoreeman 8 avulla toisen asteen polynomifunktio,

  1. jolla on nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$
  2. jolla on nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$ ja jonka kuvaaja kulkee pisteen $(1,-4)$ kautta
  3. jolla on tasan yksi nollakohta $x = 3$ ja joka ei saa lainkaan positiivisia arvoja.

  1. Esimerkiksi $f(x) = (x+1)(x-2)$
  2. $g(x) = 2(x+1)(x-2)$
  3. $h(x) = -(x-3)^2$

Toisen asteen polynomifunktio

Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-x-2$
  2. $f(x) = x^2-8x+16$
  3. $f(x) = (x+2)(3-x)$
Havainnollista vastaustasi hahmottelemalla funktion $f$ kuvaaja.

  1. Nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. Nollakohta $x = 4$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x \neq 4$.
  3. Nollakohdat $x_1 = -2$ ja $x_2 = 3$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $-2 < x < 3$.

Toisen asteen polynomifunktio

Millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat negatiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-4$
  2. $f(x) = x^2+4$
  3. $f(x) = 4+3x-x^2$?
Havainnollista vastaustasi hahmottelemalla funktion $f$ kuvaaja.

  1. $-2 < x < 2$
  2. Ei millään.
  3. $x < -1$ tai $x > 4$

Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $8-2x-x^2 \leq 0$
  2. $-4x^2 + x > 2x^2-2$
  3. $2x^2 + 3 > -4x$

  1. $x \leq -4$ tai $x \geq 2$
  2. $-\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$
  3. Epäyhtälö toteutuu kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Toisen asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x^2 \leq 2x + 1$
  2. $x^2 + 1 \leq x$
  3. $3x^2 + 4 > 2x(x+2)$

  1. $1-\sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$
  2. Epäyhtälö ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.
  3. $x \neq 2$

Toisen asteen epäyhtälö

Joen rannalta halutaan aidata hevosille laidun. Aitamateriaalia on käytettävissä on 200 metriä.

  1. Mitä arvoja voi saada rannan suuntaisen laitumen sivun pituus, jos laitumen pinta-alan pitää olla vähintään $4800 \text{ m}^2$?
  2. Mikä on rannan suuntaisen sivun pituus tilanteessa, jossa laitumen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä tämä pinta-ala on?

  1. Rannan suuntaisen sivun pituus voi olla välillä $[80 \text{ m},120 \text{ m}]$.
  2. Rannan suuntainen sivu on $100 \text{ m}$ ja pinta-ala $5000 \text{ m}^2$.

Toisen asteen epäyhtälö

Rakennuspiirustuksessa huoneen leveydeksi on merkitty $3{,}00 \text{ m}$ ja pituudeksi $5{,}00 \text{ m}$. Huonetta halutaan kuitenkin suurentaa niin, että sen pituus ja leveys kasvavat yhtä monta senttimetriä. Kuinka leveäksi huone voidaan tehdä, jos sen pinta-ala saa olla enintään $20 \text{ m}^2$? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.

Enintään $3{,}58$ metriä leveäksi.

Toisen asteen epäyhtälö

Tontin rakennusoikeus on 200 neliömetriä. Tontille suunnitellun talon pohjapiirroksen luonnos on alla.

  1. Millä muuttujan $x$ arvoilla rakennusoikeus ei ylity?
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla rakennusoikeus tulee käytettyä kokonaan?

  1. $0 \text{ m } \leq x \leq 5 \text{ m}$
  2. $x = 5 \text{ m}$

Toisen asteen epäyhtälö

Sata metriä pitkällä köydellä pitää rajata oheisen kuvion mukaisesti kaksi yhtenevää suorakulmion muotoista aluetta. Millä välillä kuvaan merkityn sivun pituuden $a$ tulee olla, jotta alueiden yhteenlaskettu pinta-ala olisi vähintään $400 \text{ m}^2$?

$13\frac{1}{3} \text{ m} \leq a \leq 20 \text{ m}$

Osoita, että funktio $f(x) = -3x^2+5x-4$ saa vain negatiivisia arvoja.

Selvitä onko funktiolla nollakohtia ja perustele tämän jälkeen, minkä merkkisiä funktion arvot ovat.

  1. Ratkaise yhtälö $(x-2)(x-3) = 6$.
  2. Missä pisteessä paraabelit $y = x^2+x+1$ ja $y = x^2 + 2x + 3$ leikkaavat?
  3. Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat seuraavan ehdon: Luvun ja sen käänteisluvun keskiarvo on 4.
[Pitkä S2014/1]

  1. $x = 0$ tai $x = 5$
  2. $(-2,3)$
  3. $4 + \sqrt{15}$ ja $4 - \sqrt{15}$

Ratkaise $x$ yhtälöstä

  1. $x^2 - 2ax - 3a^2 = 0$
  2. $x^2 + 2a = ax + 2x$

  1. $x = -a$ tai $x = 3a$
  2. $x = a$ tai $x = 2$

Tarkastellaan paraabelia $y = x^2-12x+35$.

  1. Missä pisteissä paraabeli leikkaa $x$-akselin?
  2. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.
[Lyhyt S2012/4]

  1. Pisteissä $(5,0)$ ja $(7,0)$.
  2. $(6,-1)$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=(1-a^2)x^2 - 3ax + 8$ kuvaaja on

  1. alaspäin aukeava paraabeli
  2. ylöspäin aukeava paraabeli
  3. nouseva suora
  4. laskeva suora?

  1. $a < -1$ tai $a > 1$
  2. $-1 < a < 1$
  3. $a = -1$
  4. $a = 1$

Olkoon $f(x) = x^2-x+a$. Ratkaise yhtälö $f(2x) = f(x-1)$.

$x = -1$ tai $x = \dfrac{2}{3}$

  1. Ratkaise yhtälö $7(x-3)+1 = x^2-1-(x^2-1)$.
  2. Millä muuttujan $x$ arvoilla lauseke $x(5-8x)$ saa positiivisia arvoja?
  3. Sievennä lauseke $$\frac{a^2-b^2}{a-b} + \frac{a^2-b^2}{a+b},$$ kun $a \neq b$ ja $a \neq -b$.
[Pitkä K2014/1]

  1. $x = \frac{20}{7}$
  2. $0 < x < \frac{5}{8}$
  3. $2a$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=x(6a+x)-a$ kaikki arvot ovat positiivisia?

$-\dfrac{1}{9} < a < 0$

  1. Ratkaise yhtälö $x^2+6x = 2x^2+9$.
    [Pitkä S2013/1a]
  2. Ratkaise yhtälö $(x-4)^2 = (x-4)(x+4)$.
    [Pitkä K2013/1a]
  3. Esitä polynomi $x^2-9x+14$ ensimmäisen asteen polynomien tulona.
    [Pitkä S2013/1c]

  1. $x = 3$
  2. $x = 4$
  3. $(x-2)(x-7)$

  1. Mikä on yhtälön $x^2-3x+1 = 0$ juurten summa?
    [~Pitkä K2016/1e]
  2. Millä vakion $a$ arvoilla yhtälöllä $ax^2-5x+2 = 0$ on täsmälleen yksi juuri?
    [Pitkä K2014/4]

  1. $3$
  2. $a = 0$ tai $a = \frac{25}{8}$

Tarkastellaan yhtälöä $t^4x^2 + (t^2+1)x + 1 = 0$ parametrin $t \neq 0$ eri arvoilla.

  1. Ratkaise yhtälö, kun $t = 1$.
  2. Määritä kaikki ne parametrin $t \neq 0$ arvot, joilla yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu $x \in \R$.
[Pitkä K2015/4]

  1. $x = -1$
  2. $t \neq 0$ ja $-1 \leq t \leq 1$

  1. Millä vakion $a$ arvolla funktion $f(x) = ax^2-4x+8$ pienin arvo on $0$?
    Vihje: neliöksi täydentäminen.
  2. Millä vakion $b$ arvolla funktio $g(x) = bx^2-4x+8$ saa positiivisia arvoja täsmälleen silloin, kun $-2 < x < 1$?
    Vihje: teoreema 8.
[Lyhyt K2014/10]

  1. $a = \frac{1}{2}$
  2. $b = -4$

Oheinen kuvaaja esittää paraabelia $y = ax^2+bx+c$. Määritä vakiot $a$, $b$ ja $c$ käyttämällä kuvioon ympyröillä merkittyjä pisteitä.
Vihje: teoreema 8.
[Lyhyt S2013/5]

$a = \frac{1}{2}$, $b = -1$, $c = -\frac{3}{2}$

Määritä vakio $a$ niin, että lauseke voidaan supistaa. Ilmoita myös supistettu muoto.

  1. $\dfrac{3x^2-x-2a}{x-a}$
  2. $\dfrac{2x^2+x+a}{x^2+x-2}$

  1. $a = 0$, $3x-1$ tai $a = 1$, $3x+2$
  2. $a = -3$, $\dfrac{2x+3}{x+2}$ tai $a = -6$, $\dfrac{2x-3}{x-1}$

Suorakulmion sivujen suhde on $5 : 8$. Sen nurkista leikataan pois neliöt, joiden sivun pituus on 3 cm. Jäljellä oleva osa taitetaan suorakulmaisen särmiön muotoiseksi kannettomaksi laatikoksi.

  1. Piirrä kuva, joka havainnollistaa tilannetta ennen taittelua.
  2. Mitkä ovat laatikon pohjasärmien pituudet, jos laatikon tilavuuden pitää olla $120 \text{ cm}^2$?

  1. 4 cm ja 10 cm

Ratkaise $x$ seuraavista yhtälöistä. Mieti myös, onko olemassa jokin sellainen vakioiden $a$, $b$ tai $k$ arvo, jolla yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan $x$ arvoilla tai jolla yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua.

  1. $ax+b^2 = bx+a^2$
  2. $k(k - x - 2) = -x - 1$
Vihje: muistikaavat (teoreema 3) auttavat vastausten sieventämisessä.

  1. $$\begin{cases} x = a+b &\text{ jos $a \neq b$} \\[1mm] \text{Aina tosi} &\text{ jos $a = b$} \end{cases}$$
  2. $$\begin{cases} x = k-1 &\text{ jos $k \neq 1$} \\[1mm] \text{Aina tosi} &\text{ jos $k = 1$} \end{cases}$$

Kokonaisluku vähennetään kuutiostaan. Osoita, että saatu luku on aina

  1. kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo
  2. jaollinen luvuilla 2 ja 3.

Merkitse keskimmäistä tulon tekijää kirjaimella $n$. Mitä tällöin ovat muut tulon tekijät? Laske tulo.

Binomin neliön $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ kertoimet 1, 2, 1 ja tehtävässä 3.10 lasketun binomin kuution $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ kertoimet 1, 3, 3, 1 esiintyvät vaakariveinä niin sanotussa Pascalin kolmiossa. Vaakarivit muodostetaan niin, että rivin ensimmäiseksi ja viimeiseksi luvuksi laitetaan 1 ja rivin jokainen muu luku on kahden yläpuolella olevan luvun summa.

  1. Piirrä vihkoosi yllä oleva Pascalin kolmio ja lisää siihen kolme seuraavaa riviä.
  2. Millä kaavalla voidaan laskea binomin viides potenssi $(a+b)^5$?
  3. Laske $(x+2)^6$

  1. $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
  2. $(x-2)^6 = x^6-12x^5 + 60x^4-160x^3 + 240x^2-192x + 64$

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja ilmoita vastaus muodossa, jossa nimittäjässä ei ole neliöjuuria. Saat poistettua neliöjuuret nimittäjästä laventamalla sopivalla summalla tai erotuksella. Muista, että $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

  1. $x\sqrt{3}-1 = x + 1$
  2. $x(\sqrt{2}-1) = 1-2x$

  1. $x = \sqrt{3}+1$
  2. $x = \sqrt{2}-1$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Korkeamman asteen potenssi- ja polynomifunktiot

Tämän luvun tavoitteena on, että tunnet korkeamman asteen potenssifunktiot ja korkeammat juuret. Lisäksi vahvistat edellisissä luvuissa oppimiasi taitoja ja sovellat niitä korkeamman asteen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Osaat

  • hahmotella potenssifunktioiden kuvaajat ja tiedät, miten funktion lauseke vaikuttaa kuvaajan muotoon
  • määrittää korkeampien juurten tarkkoja arvoja määritelmän perusteella tapauksissa, joissa tuloksena on luonnollinen luku tai rationaaliluku
  • ratkaista muotoa $x^n = a$ olevat potenssiyhtälöt juurten avulla
  • käyttää murtopotensseja juurilausekkeiden sieventämiseen
  • ratkaista korkeamman asteen yhtälön ja epäyhtälön ilman teknisiä apuvälineitä silloin, kun se onnistuu ryhmittelyn ja tulon nollasäännön avulla
  • ratkaista korkeamman asteen yhtälön ja epäyhtälön laskimen tai tietokoneen avulla.

Kurssin alkupuolella tutustuttiin toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$, jonka kuvaaja on $y$-akselin suhteen symmetrinen paraabeli:

Tässä kappaleessa tutkitaan muita potenssifunktioita ja sekä niin sanottuja korkeampia juuria.

MÄÄRITELMÄ: POTENSSIFUNKTIO

Oletetaan, että $n$ on positiivinen kokonaisluku. Funktioita, jotka ovat muotoa $f(x) = x^n$, sanotaan potenssifunktioiksi.

Alla on näkyvissä potenssifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko yhdistämällä jokainen kuvaaja oikeaan funktioon.

Funktio Kuvaaja
$f(x) = x^3$
$g(x) = x^4$
$h(x) = x^5$
$k(x) = x^6$

Alla olevassa kuvassa on näkyvissä esimerkki funktiosta $g$, jonka kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen. (Funktio $g$ ei ole potenssifunktio.)

  1. Tarkastele yllä olevaa funktion $g$ kuvaajaa. Vertaa arvoja $g(-3)$ ja $g(3)$ sekä arvoja $g(-2)$ ja $g(2)$. Mitä havaitset?
  2. Miten $h(-x)$ ja $h(x)$ liittyvät toisiinsa, jos funktion $h$ kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen?
  3. Tutki edellisen tehtävän kuvaajia ja päättele, mikä ehto luvun $n$ pitää toteuttaa, jotta potenssifunktion $f(x) = x^n$ kuvaaja on symmetrinen $y$-akselin suhteen.

Alla olevassa kuvassa on näkyvissä esimerkki funktiosta $g$, jonka kuvaaja on symmetrinen origon eli pisteen $(0,0)$ suhteen. (Funktio $g$ ei ole potenssifunktio.)

  1. Tarkastele yllä olevaa funktion $g$ kuvaajaa. Vertaa arvoja $g(-3)$ ja $g(3)$ sekä arvoja $g(-1)$ ja $g(1)$. Mitä havaitset?
  2. Miten $h(-x)$ ja $h(x)$ liittyvät toisiinsa, jos funktion $h$ kuvaaja on symmetrinen origon suhteen?
  3. Tutki tehtävän 4.1 kuvaajia ja päättele, mikä ehto luvun $n$ pitää toteuttaa, jotta potenssifunktion $f(x) = x^n$ kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ kuvaajasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 = a$ on yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on merkitty yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua kirjaimella $b$:

Yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua sanotaan luvun $-2$ kuutiojuureksi. Luvun $-2$ kuutiojuuri on siis se luku, jonka kolmas potenssi on $-2$. Vastaavasti määritellään muidenkin lukujen kuutiojuuret.

MÄÄRITELMÄ: KUUTIOJUURI

Luvun $a$ kuutiojuuri tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^3 = a.$$ Luvun $a$ kuutiojuurelle käytetään merkintää $\sqrt[3]{a}.$

Luvun $a$ kuutiojuurelle pätee siis määritelmän mukaan $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$. Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on toiselta nimeltään luvun $a$ kolmas juuri.

Kuutiojuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien kuutiojuurten arvo ja tarkista tulos korottamalla se kolmanteen potenssiin.

  1. $\sqrt[3]{8}$
  2. $\sqrt[3]{-1}$
  3. $\sqrt[3]{27}$
  4. $\sqrt[3]{-125}$

Määritellään seuraavaksi muut niin sanotut korkeammat juuret. Niitä tarvitaan, kun tutkitaan potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisuja tapauksissa, joissa kokonaisluku $n \geq 4$. Seuraava määritelmä sisältää myös neliöjuuren ja kuutiojuuren määritelmät.

MÄÄRITELMÄ: N:S JUURI

  • Jos $n \geq 2$ on parillinen kokonaisluku ja $a \geq 0$, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^n = a.$$
  • Jos $n \geq 3$ on pariton kokonaisluku, luvun $a$ $n$:s juuri $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa lukua $b$, jolle pätee $$b^n = a.$$

Huomaa, että parillisten juurten tapauksessa juuri $\sqrt[n]{a}$ on määritelty vain siinä tapauksessa, että juurrettava $a$ on epänegatiivinen eli $a \geq 0$. Tällöin $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $x^n = a$ epänegatiivista ratkaisua. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun $3$ neljättä juurta $\sqrt[4]{3}$:

On mahdollista osoittaa, että korkeammat juuret noudattavat samoja laskusääntöjä kuin neliöjuuri. Teoreemojen 1 ja 2 tulokset pätevät siis myös korkeampien juurten tapauksessa.

Päättele seuraavien juurten arvo ja tarkista tulos korottamalla se sopivaan potenssiin.

  1. $\sqrt[5]{-1}$
  2. $\sqrt[4]{16}$
  3. $\sqrt[6]{1\,000\,000}$
  4. $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$

Potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisut saadaan ilmaistua juurten avulla. Ratkaisujen lukumäärä täytyy päätellä siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton. Esimerkiksi yhtälöllä $x^4 = 3$ on kaksi ratkaisua mutta yhtälöllä $x^3 = 3$ vain yksi ratkaisu:

Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Anna ratkaisujen tarkat arvot juurimerkintää käyttäen ja määritä laskimen avulla likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $x^3 = -10$
  2. $4x^4 = 2100$
  3. $3x^5-1980 = 0$
  4. $10x^6+14 = 15$

Kurssissa MAY1 määriteltiin, mitä tarkoitetaan potenssilla, jossa eksponenttina on kokonaisluku. Sovittiin, että jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}.$$ Lisäksi sovittiin, että jos $a \neq 0$, niin $a^0 = 1$ ja $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$ Potenssin määritelmää voidaan laajentaa kattamaan myös tilanteet, joissa kantaluku on positiivinen ja eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku:

MÄÄRITELMÄ: POTENSSI

Oletetaan, että $a > 0$. Oletetaan lisäksi, että $m$ ja $n$ ovat positiivisia kokonaislukuja. Potenssit $a^\frac{m}{n}$ ja $a^{-\frac{m}{n}}$ määritellään seuraavasti: \begin{align*} a^\frac{m}{n} &= \sqrt[n]{a^m} \\[1mm] a^{-\frac{m}{n}} &= \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \end{align*}

Potenssi $a^\frac{m}{n}$ on siis $n$:s juuri luvusta $a^m$. Erityisesti pontenssi $a^\frac{1}{n}$ on $n$:s juuri luvusta $a$. Esimerkiksi $$64^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{64} = 4.$$ Potenssi $a^{-\frac{m}{n}}$ on puolestaan potenssin $a^\frac{m}{n}$ käänteisluku samaan tapaan kuin kokonaislukueksponenttien tapauksessa.

Kun murtopotenssit määritellään kuten edellä, voidaan osoittaa, että vanhat tutut potenssien laskusäännöt ovat edelleen voimassa. Kurssin MAY1 teoreeman 1 tulokset pätevät siis myös tilanteessa, jossa eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku, kunhan kantaluvut ovat positiivisia.

Ilmaise seuraavat luvut juurimerkinnän avulla murtopotenssin määritelmää käyttäen:

  1. $5^\frac{1}{2}$
  2. $7^\frac{1}{3}$
  3. $3^\frac{2}{5}$
  4. $2^{-\frac{3}{4}}$

Ilmaise seuraavat luvut luvun $2$ potensseina:

  1. $\sqrt{2}$
  2. $\dfrac{1}{2}$
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
  4. $\dfrac{1}{4}$
  5. $2\sqrt{2}$
  6. $\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$

Murtopotensseja voidaan käyttää juurilausekkeiden sieventämisessä. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Ilmaise juuret potenssimerkintää käyttäen ja sievennä potenssien laskusääntöjen avulla. Ilmaise lopputulos juurimerkintää käyttäen.

  1. $\dfrac{3}{\sqrt{3}}$
  2. $\left(\sqrt[6]{7}\right)^2$
  3. $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[6]{2}$

Aikaisemmin tällä kurssilla on tutustuttu ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax + b$, ja toisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax^2 + bx + c$. Samalla idealla voidaan määritellä muut polynomifunktiot:

MÄÄRITELMÄ: POLYNOMIFUNKTIO

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$ missä $a_n\neq 0$, sanotaan $n$:nnen asteen polynomifunktioksi.

Esimerkiksi funktio $g(x) = x^4+15x^3-2$ on neljännen asteen polynomifunktio ja funktio $h(x) = 0{,}2x^9-6x^5+x$ on yhdeksännen asteen polynomifunktio. Potenssifunktiot $f(x) = x^n$ ovat nekin esimerkkejä polynomifunktioista. Niillä $a_n = 1$ ja muut kertoimet ovat nollia: $a_{n-1} = 0$, $\ldots$, $a_0 = 0$.

Alla on näkyvissä polynomifunktioiden kuvaajia. Täydennä alla oleva taulukko kirjaamalla näkyviin funktioiden asteluvut ja yhdistämällä jokainen kuvaaja oikeaan funktioon.

Funktio Aste Kuvaaja
$f(x) = -\frac{1}{10}x^5+x^3+1$
$g(x) = -\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2-4x+2$
$h(x) = x^4+x^3-3x^2-3x$
$k(x) = \frac{1}{5}x^3-2x-1$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin korkeamman asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään korkeamman asteen yhtälöön. Tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen voi olla joskus hyvin monimutkaista, mutta joissakin tapauksissa ratkaisu onnistuu tulon nollasäännön avulla.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $x^3-3x^2-4x = 0$.

  1. Erota tutkittavan yhtälön vasemmalta puolelta yhteinen tekijä $x$.
  2. Ratkaise yhtälö tulon nollasäännön avulla.

Ratkaise seuraavat polynomiyhtälöt tulon nollasäännön avulla samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä:

  1. $x^3-2x^2-8x = 0$
  2. $x^3 = x^2+2x$
  3. $x^4-x^3-x^2 = 0$

Joissakin tapauksissa yhteinen tekijä voi olla monimutkaisempi kuin pelkkä $x$ tai $x^2$. Esimerkiksi yhtälössä $$x^3-3x^2-4x+12 = 0$$ termit voidaan ryhmitellä niin, että yhteinen tekijä paljastuu: \begin{align*} x^2(\textcolor{red}{x-3})-4(\textcolor{red}{x-3}) &= 0 \\ (\textcolor{red}{x-3})(x^2-4) = 0 \end{align*} Tämän jälkeen yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. Ratkaisuja saadaan kolme: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$ ja $x_3 = -2$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälö $x^3-2x^2-7x + 14 = 0$.

  1. Ryhmittele yhtälön vasemman puolen termit niin, että saat näkyviin yhteisen tekijän $x-2$.
  2. Kirjoita yhtälön vasen puoli tulomuodossa ja ratkaise yhtälö tulon nollasäännön avulla.

Ratkaise seuraavat polynomiyhtälöt ryhmittelyn ja tulon nollasäännön avulla samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä:

  1. $2x^3 - 8x^2-4x+16 = 0$
  2. $x^3+5x^2 = x+5$
  3. $(x+2)^3-4x-8 = 0$

Sellaiset neljännen asteen yhtälöt, joissa esiintyy neljännen asteen termin lisäksi vain toisen asteen termi ja vakiotermi, voidaan ratkaista soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Esimerkki tällaisesta niin sanotusta bikvadraattisesta yhtälöstä on $$4x^4 + 11x^2 - 3 = 0.$$ Kun merkitään $t = x^2$, voidaan yhtälö kirjoittaa muodossa $$4t^2 + 11t - 3 = 0.$$ Tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisuiksi saadaan \begin{align*} t &= \frac{-11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot 4\cdot (-3)}}{2\cdot 4} \\[1mm] &= \frac{-11 \pm 13}{8} \end{align*} eli $t_1 = \frac{1}{4}$ ja $t_2 = -3$. Ratkaisusta $t_1 = \frac{1}{4}$ saadaan alkuperäiselle yhtälölle kaksi ratkaisua: \begin{align*} x^2 &= \frac{1}{4} \\[1mm] x = \frac{1}{2} \quad &\text{ tai } \quad x = -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisu $t_2 = -3$ ei tuota alkuperäiselle yhtälölle yhtään ratkaisua, sillä yhtälö $x^2 = -3$ ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.

Ratkaise seuraavat bikvadraattiset yhtälöt samaan tapaan kuin edellä:

  1. $4x^4 - 25x^2 + 36 = 0$
  2. $x^4 = 13x^2 - 42$
  3. $2x^4+4x^2 = 5-5x^2$

Joissakin tilanteissa mikään edellä harjoitelluista menetelmistä ei sovi korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen. Tällöin yhtälön ratkaisut tai niiden likiarvot on mahdollista selvittää laskimella tai tietokoneella.

Määritä seuraavien polynomiyhtälöiden ratkaisujen likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella:

  1. $x^3 + 4x^2 - 5x + 1 = 0$
  2. $x^4 + x^3 = 2$
  3. $x^5 + x^2 + 1 = x^4 + x^3$

Aiemmin on osoitettu, että toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin polynomin nollakohtien avulla. Jos esimerkiksi tiedetään, että yhtälön $2x^2+5x-3 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = -3$ ja $x_2 = \frac{1}{2}$, voidaan polynomi $2x^2+5x-3$ kirjoittaa tulomuodossa: $$2x^2+5x-3 = 2\left(x+3\right)\left(x-\tfrac{1}{2}\right).$$ Polynomilla $2x^2 +5x -3$ on siis tekijät $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$. Seuraavan teoreeman mukaan vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomien tapauksessa.

TEOREEMA

Lauseke $x-a$ on polynomin $P(x)$ tekijä, jos ja vain jos polynomiyhtälöllä $P(x) = 0$ on ratkaisu $x = a$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), on myös perustelussa kaksi osaa:

  • Oletetaan aluksi, että $x-a$ on polynomin $P(x)$ tekijä. Tämä tarkoittaa, että polynomi $P(x)$ voidaan kirjoittaa tulomuodossa $$P(x) = (x-a)Q(x),$$ missä $Q(x)$ on jokin polynomi. Silloin myös yhtälö $$P(x) = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$(x-a)Q(x) = 0.$$ Tulon nollasäännön nojalla tämän yhtälön yksi ratkaisu on $x = a$.
  • Oletetaan, että polynomiyhtälöllä $P(x) = 0$ on ratkaisu $x = a$. Nyt pitäisi jollakin tavalla perustella, että tällöin lauseke $x-a$ on polynomin $P(x)$ tekijä. Toisen asteen polynomien tapauksessa tämä on tehty aiemmin teoreemassa 8. Korkeamman asteen polynomien tapauksessa perustelu on liian hankala tässä esitettäväksi.

Yhtälö $3x^3+x^2-8x+4 = 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x = -2$ tai $x = 1$ tai $x = \frac{2}{3}$.

  1. Mitkä ensimmäisen asteen polynomit ovat teoreeman 9 mukaan polynomin $3x^3+x^2-8x+4$ tekijöitä?
  2. Laske a-kohdan ensimmäisen asteen polynomien tulo. Millä luvulla tämä tulo pitää kertoa, jolla se on sama kuin polynomi $3x^3+x^2-8x+4$?
  3. Kirjoita polynomi $3x^3+x^2-8x+4$ ensimmäisen asteen kokonaislukukertoimisten polynomien tulona.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta nähdään, että toisen asteen polynomiyhtälöllä on aina enintään kaksi ratkaisua. Teoreeman 9 avulla on mahdollista osoittaa, että vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomiyhtälöille: kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme ratkaisua, neljännen asteen yhtälöllä enintään neljä ratkaisua ja niin edelleen.

TEOREEMA

Astetta $n$ olevalla polynomiyhtälöllä on enintään $n$ ratkaisua.

Perustelu: Oletetaan, että $P(x)$ on $n$:nnen asteen polynomi. Oletetaan lisäksi, että $x_1$, $x_2$ $\ldots$, $x_k$ ovat polynomiyhtälön $P(x) = 0$ ratkaisut. Tällöin lausekkeet $(x-x_1)$, $(x-x_2)$ $\ldots$, $(x-x_k)$ ovat teoreeman 9 mukaan polynomin $P(x)$ tekijöitä. Siis polynomi $P(x)$ voidaan kirjoittaa tulomuodossa $$P(x) = (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_k)Q(x),$$ missä $Q(x)$ on jokin polynomi (mahdollisesti pelkkä vakiopolynomi, esimerkiksi $1$). Laskemalla tulo $$(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_k)$$ huomataan, että sen aste on $k$. Koska polynomin $P(x)$ aste on $n$, voidaan päätellä, että $k \leq n$. Siis ratkaisujen lukumäärä $k$ on enintään $n$.

Edellisessä luvussa opeteltiin ratkaisemaan toisen asteen epäyhtälöitä. Ratkaisun ideana oli muuttaa epäyhtälö perusmuotoon, jossa vasemmalla puolella on toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ ja oikealla puolella nolla, esimerkiksi $$ax^2 + bx + c > 0.$$ Tämä epäyhtälö saatiin ratkaistua selvittämällä polynomifunktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ja päättelemällä, onko funktion $f$ kuvaaja alas- vai ylöspäin aukeava paraabeli.

Korkeamman asteen epäyhtälöt ratkaistaan samaan tapaan. Esimerkiksi epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ kirjoitetaan ensin perusmuodossa $$x^3-4x^2+4x \leq 0.$$ Vastaavan polynomifunktion nollakohdat löydetään erottamalla yhteinen tekijä ja käyttämällä tulon nollasääntöä: \begin{align*} x(x^2-4x+4) &= 0 & & \\ x = 0 \quad &\text{ tai } &\quad x^2-4x + 4 &= 0 \\ & & (x-2)^2 &= 0 \\ & & x &= 2 \end{align*} Funktion merkki näiden nollakohtien eri puolilla saadaan selville laskemalla funktion arvo esimerkiksi kohdissa $x = -1$, $x = 1$ ja $x = 3$: \begin{align*} f(-1) &= (-1)^3-4\cdot (-1)^2+4\cdot (-1) = -9\\ f(1) &= 1^3-4\cdot 1^2+4\cdot 1 = 1 \\ f(3) &= 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3 = 3 \end{align*} Koska polynomifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa, riittää laskea funktion arvo yhdessä testikohdassa jokaisella nollakohtien määräämällä välillä $\pa -\infty, 0\pe$, $\ \pa 0, 2\pe \ $ ja $\ \pa 2, \infty \pe$. Näiden tietojen avulla voidaan piirtää merkkikaavio:

Tästä voidaan päätellä, että epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq 0$ tai $x = 2$.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellä:

  1. $x^3-4x^2 + 3x < 0$
  2. $2x^3+x^2 > 3x$

Jos epäyhtälön toinen puoli on valmiiksi tulomuodossa, merkkikaavioon kannattaa merkitä jokaisen tulon tekijän merkki erikseen. Esimerkiksi epäyhtälön $$(x+1)(x-3)(5-2x) < 0$$ tapauksessa vastaavan polynomifunktion $f(x) = (x+1)(x-3)(5-2x)$ nollakohdiksi saadaan tulon nollasäännön perusteella $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{5}{2}$ ja $x_3 = 3$. Tulon tekijöiden merkit nollakohtien eri puolilla voidaan päätellä hahmottelemalla kuvaajat:

Kuvaajien ei tarvitse olla kovin tarkkoja. Ensimmäisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä nouseva vai laskeva suora. Toisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli. Molemmissa tapauksissa riittää siis katsoa, onko korkeimman asteen termin kerroin positiivinen vai negatiivinen.

Kuvaajien avulla voi laatia merkkikaavion:

Tulon merkin voi päätellä tulon tekijöiden merkkien avulla. Pitää vain muistaa, että kahden negatiivisen luvun tulo on aina positiivinen. Tarkasteltu epäyhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < \dfrac{5}{2}$ tai $x > 3$.

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt samaan tapaan kuin edellä:

  1. $(x+5)(2x-1)(3-x) \geq 0$
  2. $(4-3x)(x^2+2x+3) < 0$
Tarkista vastauksesi piirtämällä funktioiden $f(x) = (x+5)(2x-1)(3-x)$ ja $g(x) = (4-3x)(x^2+2x+3)$ kuvaajat laskimella tai tietokoneella.

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna ratkaisujen tarkkojen arvojen lisäksi niiden likiarvot kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

  1. $x^4 = 4096$
  2. $3x^5 = 630$
  3. $30x^7 = -6$
  4. $9x^6 = 10000$

  1. $x = 8$ tai $x = -8$
  2. $x = \sqrt[5]{210} \approx 2{,}91$
  3. $x = \sqrt[7]{-\dfrac{1}{5}} \approx -0{,}795$
  4. $x = \sqrt[6]{\dfrac{10000}{9}} \approx 3{,}22$ tai $x = -\sqrt[6]{\dfrac{10000}{9}} \approx -3{,}22$

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Peppi teki 4500 euron talletuksen kahdeksaksi vuodeksi. Vuotuinen korkoprosentti pysyi koko ajan samana, eli pääoma kasvoi joka vuosi samalla kertoimella $q$.

  1. Jos korko olisi ollut 5 %, kuinka suureksi summaksi 4500 olisi kasvanut kahdeksan vuoden aikana? Mikä tässä tapauksessa olisi ollut kertoimen $q$ arvo?
  2. Todellisuudessa pääoma kasvoi kahdeksan vuoden aikana 4500 eurosta 5398 euroon. Mikä oli vuosittaista kasvua vastaava kerroin $q$? Mikä oli talletuksen vuosittainen korkoprosentti?

  1. 6648,55 euroksi, $q = 1{,}05$
  2. $q \approx 1{,}023$ ja vuosikorko 2,3 %

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Jatkoa edelliseen tehtävään.

  1. Kuinka suuri vuotuisen koron pitäisi olla, jotta Pepin 4500 euron talletus kolminkertaistuisi kymmenessä vuodessa?
  2. Osoita, että edellisen kohdan tulos ei riipu talletussummasta vaan samaan tulokseen päädytään, jos talletussumma on $a$ euroa.

  1. Suurempi kuin 11,6 %.

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Liikenneonnettomuuksien lukumäärää halutaan vähentää viidessä vuodessa 22 %.

  1. Jos liikenneonnettomuuksia onnistutaan vähentämään vuosittain 3 %, kuinka monta prosenttia ne vähenevät viiden vuoden aikana? Mikä tässä tapauksessa on vuosittaista vähentymistä vastaava kerroin $q$?
  2. Mikä pitäisi asettaa vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi, jotta liikenneonnettomuudet vähenisivät viidessä vuodessa 22 %?

  1. Noin 14 %, $q = 0{,}97$
  2. Noin 4,8 %

Juuret ja potenssiyhtälön ratkaiseminen

Viitenä peräkkäisenä vuotena hinnat nousivat 5,1 %, 6,6 %, 2,4 %, 1,7 % ja 0,25 % vuodessa. Kuinka suuri oli ajanjakson keskimääräinen vuotuinen inflaatioprosentti? Toisin sanottuna jos hinnat olisivat nousseet joka vuosi yhtä paljon, mikä nousuprosentti olisi johtanut samaan lopputulokseen? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Keskimääräinen vuotuinen inflaatioprosentti oli noin 3,2 %.

Juuret ja murtopotenssit

Ilmaise seuraavat luvut juurimerkinnän avulla:

  1. $3^\frac{4}{5}$
  2. $9^{-\frac{1}{3}}$
  3. $10^{-\frac{5}{2}}$
  4. $7^{2{,}5}$

  1. $\sqrt[5]{3^4} = \sqrt[5]{81}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}}$
  3. $\dfrac{1}{\sqrt{10^5}} = \dfrac{1}{100\sqrt{10}}$
  4. $49\sqrt{7}$

Juuret ja murtopotenssit

Ilmaise luvun 3 potenssina:

  1. $\sqrt{27}$
  2. $3\sqrt{3}$
  3. $1$
  4. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
  5. $\dfrac{1}{3}$
  6. $\dfrac{1}{9}$
  7. $\dfrac{1}{9\sqrt{3}}$

  1. $3^\frac{3}{2}$
  2. $3^\frac{3}{2}$
  3. $3^0$
  4. $3^{-\frac{1}{2}}$
  5. $3^{-1}$
  6. $3^{-2}$
  7. $3^{-\frac{5}{2}}$

Juuret ja murtopotenssit

Oletetaan, että $a$ on positiivinen reaaliluku. Ilmaise luvun $a$ potenssina:

  1. $\dfrac{1}{a}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{a}}$
  3. $\dfrac{1}{a\sqrt{a}}$
  4. $\dfrac{1}{a^3}$
  5. $a^3\sqrt{a}$

  1. $a^{-1}$
  2. $a^{-\frac{1}{2}}$
  3. $a^{-\frac{3}{2}}$
  4. $a^{-3}$
  5. $a^\frac{7}{2}$

Korkeamman asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $(x+5)(2x^2+5x-3) = 0$
  2. $5x^4+8x^3-4x^2 = 0$
  3. $x^3 - 2x^2 - 2x + 4 = 0$
Vihje c-kohtaan: käytä ryhmittelyä samaan tapaan kuin tehtävässä 4.14.

  1. $x = -5$ tai $x = -3$ tai $x = \dfrac{1}{2}$
  2. $x = 0$ tai $x = \dfrac{2}{5}$ tai $x = -2$
  3. $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$ tai $x = 2$

Korkeamman asteen yhtälö

Määritä ne vakion $a$ arvot, joilla yhtälöllä $x^3 + x^2 + ax = 0$ on kolme ratkaisua eli juurta.

$a < 0$ tai $0 < a < \dfrac{1}{4}$

Korkeamman asteen yhtälö

Tutki, kuinka monta ratkaisua yhtälöllä $x^3+ax^2+2ax-4x = 0$ on vakion $a$ eri arvoilla.

  1. Mistä nähdään, että ratkaisuja on aina ainakin yksi? Mikä tämä ratkaisu on?
  2. Onko olemassa sellainen vakion $a$ arvo, että ratkaisuja on vain yksi?
  3. Millä vakion $a$ arvoilla ratkaisuja on kaksi? Entä millä vakion $a$ arvoilla ratkaisuja on kolme?

  1. Koska yhtälön vakiotermi on nolla, toteutuu yhtälö ainakin siinä tapauksessa, että $x = 0$.
  2. Ei ole.
  3. Jos $a = 4$, ratkaisuja on kaksi. Jos $a \neq 4$, ratkaisuja on kolme.

Korkeamman asteen yhtälö

Ratkaise yhtälö

  1. $x^4-3x^2-4 = 0$
  2. $4x^3-5x^2 = 2x-3x^2$
[Pitkä S2010/2c & S2008/3b]

  1. $x = 2$ tai $x = -2$
  2. $x = -\dfrac{2}{7}$ tai $x = 0$ tai $x = 1$

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys

Tutki teoreeman 9 avulla, ovatko seuraavat binomit polynomin $x^3-x^2-2x+2$ tekijöitä:

  1. $x+1$
  2. $x-\sqrt{2}$
  3. $x+2$

  1. Ei ole.
  2. On.
  3. Ei ole.

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys

Määritä sellainen vakio $a$, että binomi $x-3$ on polynomin $2x^3-x^2-13x+a$ tekijä.

$a = -6$

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys

Muodosta neljännen asteen polynomi $P(x)$, jolla on tekijä $x^2+1$, nollakohdat $x_1 = 1$ ja $x_2 = -2$, ja jolle $P(0) = 4$.

$P(x) = -2x^4-2x^3+2x^2-2x+4$

Korkeamman asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $(x-2)(x+3)(x-4) < 0$
  2. $x(x+4)^2 < 0$

  1. $x < -3$ tai $2 < x < 4$
  2. $x < 0$ ja $x \neq -4$

Korkeamman asteen epäyhtälö

Ratkaise seuraavat epäyhtälöt:

  1. $x^2(x-1)^2 \leq 0$
  2. $4x^3-9x \leq 0$

  1. $x = 0$ tai $x = 1$
  2. $x \leq -\dfrac{3}{2}$ ja $0 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$

  1. Laske lausekkeen $\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2$ tarkka arvo, kun positiiviset luvut $a$ ja $b$ ovat toistensa käänteislukuja ja lukujen $a$ ja $b$ keskiarvo on $2$.
  2. Sievennä lauseke $$\left(x^\frac{1}{3} + y^\frac{1}{3}\right) \cdot \left(x^\frac{2}{3}-x^\frac{1}{3}y^\frac{1}{3} + y^\frac{2}{3}\right)$$
[Pitkä K2013/3]

  1. 6
  2. $x + y$

Saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler (1571−1630) keksi planeetan etäisyyden ja kiertoajan välisen yhteyden. Planeetan kiertoaikaa Auringon ympäri merkitään symbolilla $x$ ja sen etäisyyttä Auringosta symbolilla $y$. Alla olevassa taulukossa on viiden Aurinkoa lähinnä olevan planeetan kiertoaika vuosina ja etäisyys astronomisen yksikön avulla lausuttuna.

  1. Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja täydennä puuttuvat kohdat kolmen desimaalin tarkkuudella.
  2. Päättele, mikä on Keplerin kaava etäisyydelle $y$ kiertoajan $x$ avulla lausuttuna.
  3. Saturnuksen kiertoaika on $29{,}457$ vuotta. Mikä on sen etäisyys Auringosta?
[Lyhyt S2012/7]

  1. $y = x^\frac{2}{3}$
  2. $29{,}457^\frac{2}{3} \approx 9{,}538$ astronomista yksikköä.

Polynomi $P(x) = 2x^3 + ax^2 -4x + b$ on jaollinen binomeilla $x-1$ ja $x + 3$. Ratkaise yhtälö $P(x) = 0$.
[Pitkä S2015/12]

Ratkaisut ovat $x_1 = 1$ ja $x_2 = -3$ ja $x_3 = -\dfrac{1}{2}$.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $(3x^2-4x+1)^2 = 0$
  2. $4x^4-5x^2+1 = 0$
  3. $(2x^2-6x+7)^2 = 1$
Vihje c-kohtaan: ajattele yhtälöä aluksi toisen asteen potenssiyhtälönä.

  1. $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{3}$
  2. $x = \pm 1$ tai $x = \pm\dfrac{1}{2}$
  3. $x = 4$ tai $x = -1$ tai $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Yhtälöillä $x^3+ax^2+bx+c = 0$ ja $x^2+x-6 = 0$ on täsmälleen samat ratkaisut. Määritä summa $a + b + c$.

$a + b + c = 3$ tai $a + b + c = -17$

Olkoon $f(x) = x^3 + ax^2 + (a^2+1)x$. Osoita, että olipa vakion $a$ arvo mikä tahansa, niin funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos $x > 0$, ja negatiivisia, jos $x < 0$.

Funktion lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $$f(x) = x(x^2+ax+a^2+1).$$ Diskriminanttia tutkimalla havaitaan, että yhtälöllä $x^2 + ax + a^2+1 = 0$ ei ole ratkaisuja. Voidaan päätellä, että $x^2 + ax + a^2+1 > 0$ kaikilla muuttujan $x$ arvoilla. Funktion $f$ arvojen merkki määräytyy siis sen mukaan, onko toinen tulon tekijä $x$ positiivinen vai negatiivinen.

Jaa polynomi $2x^4-x^3 + x^2-x-1$ mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin.
[Pitkä K2011/13]

$(x-1)(2x+1)(x^2+1)$

Ratkaise epäyhtälö $$\dfrac{-x^2+x+2}{x^3+2x^2-3x}> 0.$$
Vihje: tutki osoittajan ja nimittäjän merkkiä erikseen.
[Pitkä K2009/8]

$x < -3$ tai $-1 < x < 0$ tai $1 < x < 2$

Yhdistyneet kansakunnat asetti vuosituhannen vaihteessa yhdeksi tavoitteekseen, että maailman hiilidioksidipäästöt olisivat vuonna 2015 merkittävästi pienemmät kuin vuonna 1990. Tavoite ei näytä toteutuvan, sillä vuosina 1990−2008 päästöjen määrä kasvoi 39 %. Oletetaan, että päästöjen vuotuinen kasvuprosentti on ollut aikavälillä 1990−2008 vakio. Kuinka monta prosenttia päästöt kasvavat yhteensä vuosina 1990−2015, jos niiden vuotuinen kasvuprosentti pysyy edelleen samana? Anna vastaus prosenttiyksikön tarkkuudella.
[Lyhyt S2014/12]

Noin 58 %.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.