Kiinnistava aloitus tilastojen merkityksestä yhteiskunnassa esim. korona.

Tässä luvussa tutkitaan Suomessa asuvia lapsiperheitä, joissa on alle 18-vuotiaita lapsia. Lapsiperheitä koskevat tiedot on poimittu Tilastokeskuksen sivulta. Tämä lähestyminen seuraa kevään 2020 lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää 6.

Tutkimista varten määritellään muutamia tilastotieteen keskeisiä käsitteitä.

Tässä tutkittava joukko on Suomessa asuvat lapsiperheet, joissa on alle 18-vuotiaita lapsia. Jokainen perhe on havaintoyksikkö ja perheen alle 18-vuotiaiden lasten lukumäärä on havaintoarvo.

Lisätieto: Tilastollinen muuttuja

Tässä moduulissa tutustutaan vain tilanteisiin, joissa havaintoarvoja on äärellinen määrä tai joissa havaintoarvot voidaan numeroida luonnollisilla luvuilla. Tällaisia tilanteita kutsutaan diskreeteiksi. Jos tutkittava ominaisuus voi saada mitä tahansa reaalilukuarvoja jollakin välillä, kuten koulun oppilaiden pituudet, ei kyse ole diskreetistä tilanteesta. Näitä tilanteita tutkitaan moduulissa MAA12.

Jos joukossa on vähän havaintoyksiköitä, niin havaintoarvot voi esittää luettelemalle ne peräkkäin. Jos havaintoyksiköitä on paljon, niin havaintoarvojen luetteleminen on epäkäytännöllistä ja epähavainnollista. Tällöin havaintoyksiköt pitää luokitella. Luokittelussa lasketaan, kuinka moni havaintoyksikkö vastaa kutakin havaintoarvoa. Jos havaintoarvoja on hyvin paljon, täytyy ne ensin luokitella sopiviin luokkiin ennen havaintoyksikköjen laskemista.

Lapsiperheiden luokittelussa lasketaan, kuinka monessa perheessä, eli havaintoyksikössä, on yksi lapsi (havaintoarvo 1), kuinka monessa on kaksi lasta (havaintoarvo 2), jne. Tiedot on koottu alla olevaan taulukoon:

Lasten lkm	$f$
1	241709
2	220116
3	75326
4	18409
5	5493
6	2289
7	1235
8	751
9	476
10	262
11	117
12	41
13	12
14	3
15	0
16	3
Yhteensä	566242

Yllä olevassa taulukossa ensimmäinen sarake "Lasten lkm" vastaa aineiston eri havaintoarvoja. Toinen sarake $f$ taas kertoo perheiden lukumäärän. Luku 15 ei ole havaintoarvo, koska missään perheessä ei ole 15 lasta. Se vaikuttaa mahdolliselta havainnolta, koska suurempiakin perheitä on olemassa. Sanotaan, että luku 15 on mahdollinen havaintoarvo, ja se otetaan tämän takia mukaan.

Lasten lukumääränä 17 myös on mahdollinen havaintoarvo; huomaa, että nolla ei ole mahdollinen havaintoarvo, koska tutkitaan perheitä, joissa on lapsia. Luokittelussa lapsiperheisiin liittyvät mahdolliset havaintoarvot rajataan ottamalla mukaan vain kaikki mahdollisuudet pienimmän havaintoarvon ja suurimman havaintoarvon väliltä.

Luku, joka kertoo, kuinka moni havaintoyksikkö liittyy havaintoarvoon, on frekvenssi.

Yllä olevasta taulukosta nähdään esimerkiksi, että havaintoarvon 10 frekvenssi on 262, eli kymmenlapsisia perheitä on Suomessa 262 kappaletta. Jos mahdollinen havaintoarvo ei ole havaintoarvo, niin siihen ei liity yhtään havaintoyksikköä, joten sen frekvenssi on nolla.

Esimerkiksi voidaan laskea, että kolmilapsisia perheitä on Suomessa $\frac{75326}{566242}=0{,}1330\ldots\approx 13{,}3$ %, joten havaintoarvon 3 suhteellinen frekvenssi on $13{,}3$ %.

Summafrekvenssi ja suhteellinen summafrekvenssi???

Aineistoja tutkittaessa mielenkiinnon kohteena on usein löytää aineiston "tyypillisin" tai "keskimmäisin" tapaus. Tätä kuvaamaan käytetään erilaisia keskilukuja. Niiden määrittämisen mielekkyys riippuu havaintoarvojen luonteesta, eli siitä mitä on mielekästä kutsua "tyypilliseksi" kyseisessä aineistossa.

Yksi keskiluku on aineiston yleisin havaintoarvo. Lapsiperheitä tutkiessa huomattiin, että yksilapsisia perheitä on havaintoyksiköistä kaikkein eniten. Tilastotieteessä yleisintä havaintoarvoa kutsutaan moodiksi.

Havaintoarvot noudattavat järjestysasteikkoa, jos arvot voidaan asettaa suuruusjärjestykseen. Tälläisiä ovat esimerkiksi sotilasarvo tai ylioppilastutkinnon arvosanat (I, A, ..., E, L). Peruslaskutoimitukset eivät ole sallittuja (numeerisella) järjestysasteikolla, koska luokkien väliset etäisyydet voivat olla erisuuria.

Järjestysasteikolla havaintoarvoille voidaan määrittää moodin lisäksi mediaani.

Kirjoittamalla lapsiperhe-esimerkissä kaikki havaintoarvot eli kaikkien perheiden lasten lukumäärät peräkkäin suuruusjärjestykseen saamme: $${\tiny \underbrace{1, \ldots, 1}_{241\,709\text{kpl}}, \underbrace{2, \ldots, 2}_{220\,116\text{kpl}}, \underbrace{3, \ldots, 3}_{75\,326\text{kpl}}, \underbrace{4, \ldots, 4}_{18\,409\text{kpl}}, \underbrace{5, \ldots, 5}_{5\,493\text{kpl}}, \underbrace{6, \ldots, 6}_{2\,289\text{kpl}}, \underbrace{7, \ldots, 7}_{1\,235\text{kpl}}, \underbrace{8, \ldots, 8}_{751\text{kpl}}, \underbrace{9, \ldots, 9}_{476\text{kpl}}, \underbrace{10, \ldots, 10}_{262\text{kpl}}, \underbrace{11, \ldots, 11}_{117\text{kpl}}, \underbrace{12, \ldots, 12}_{41\text{kpl}}, \underbrace{13, \ldots, 13}_{12\text{kpl}}, 14, 14, 14, 16, 16, 16. }$$

Tässä on yhteensä 566242 lukua, joka on parillinen määrä. Näin ollen keskimmäistä lukua ei ole. Ensimmäisen puolikkaan viimeinen luku on 2, kuten myös toisen puolikkaan ensimmäinen luku. Mediaani on siis 2.

Eri havaintoarvojen joukoilla voi olla sama keskiarvo, esimerkiksi silloin, kun joukot ovat 5, 7, 9 ja 7, 7, 7. Keskiarvo ei siis kerro, miten havaintoarvot ovat jakautuneet. Tutustumme tässä luvussa keskihajontaan., joka kuvaa havaintoarvojen jakautumista keskiarvon ympärille. Tässä luvussa ajattelemme, että meillä on käytössä välimatka-asteikko, jolloin voimme laskea havaintoarvojen erotuksia.

Alla olevassa taulukossa on Tuulian ja Lukan koearvosanoja. Molemmilla on sama keskiarvo 8, sama vaihteluväli $[6, 10]$ ja sama vaihteluvälin pituus $10-6=4$, mutta siitä huolimatta näyttää siltä, että Tuulian arvosanoissa on enemmän vaihtelua.

Arvosana	4	5	6	7	8	9	10
Tuulia (lkm %)	0	0	3	0	1	0	3
Luka (lkm %)	0	0	1	1	3	1	1

Jatketaan Tuulian ja Lukan koearvosanojoen analysointia ja lasketaan Tuulian ja Lukan koearvosanojen keskihajonta, yllä olevan taulukon tiedoilla. Molempien koearvosanojen keskiarvo on 8. Tuulian koearvosanojen keskihajonta on $$ \begin{split} &\sqrt{\frac{1}{7}\left( (6-8)^2+ (6-8)^2 +(6-8)^2 + (8-8)^2 + (10-8)^2+ (10-8)^2+ (10-8)^2\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1}{7}\left(4+4+4+0+4+4+4\right)} \approx 1{,}9 \end{split} $$ ja Lukan koearvosanojen keskihajonta on $$ \begin{split} &\sqrt{\frac{1}{7}\left((6-8)^2+ (7-8)^2 +(8-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2+ (9-8)^2+ (10-8)^2\right)}\\ &= \sqrt{\frac{1}{7}\left(4+1+0+0+0+1+4\right)} \approx 1{,}2. \end{split} $$ Kuten aiemmin jo huomattiin, Tuulian koearvosanoissa on enemmän vaihtelua kuin Lukan.

Diagrammeilla voidaan havainnollistaa ja konkretisoida havaintoaineistoja. Pylväsdiagrammi sopii esimerkiksi absoluuttisten määrien esittämiseen, kun taas ympyrädiagrammi havainnollistaa hyvin suhteita. Diagrammin tyyppiä valitessa tulee kiinnittää erityistä huomiota siihen, että diagrammi havainnollistaa haluttua asiaa.

Alla olevissa diagrammeissa on esitetty lapsiperheiden kokonaismäärä ja suhteellinen osuus:

Määrittelemme käsitteet joukko ja jono sekä tutustumme niihin liittyviin merkintöihin. Joukko tarkoittaa kokoelmaa alkioita. Lisäksi oletamme, että jokaisen alkion osalta on yksikäsitteisesti pääteltävissä, kuuluuko se joukkoon vai ei. Joukkoja merkitään yleensä isoilla kirjaimilla. Jos joukko $A$ sisältää täsmälleen alkiot $1$, $2$ ja $3$, niin kirjoitamme $A=\{1, 2, 3\}$. Joukon merkinnässä alkiot voivat olla missä järjestyksessä tahansa. Merkitsemme sumboolilla $\in$ että alkio kuuluu joukkoon, esim.\ $2 \in A$. Joukot ovat samoja, jos niissä on samat alkiot, merkitsemme tämän yhtäsuuruudella. Joukon merkinnässä sama alkio voi esiintyä useamman kerran, näin esimerkiksi $\{1, 2, 3\}= \{1, 3, 2, 3, 1\}$. Jos joukon määrittelee jokin ehto $P$, niin joukko voidaan kirjoittaa muodossa $\{x \colon x \text{ toteutaa ehdon } P\}$. Esimerkiksi parilliset luonnolliset luvut voidaan kirjoittaa muodossa $\{ n \in \N \colon \frac{n}2 \in \N\}$, eli otamme joukkoon kaikki ne luonnolliset luvut, joilla on se ominaisuus, että luku jaettuna kahdella on luonnollinen luku. Jos joukon alkiot määrää jokin lauseke, niin joukko voidaan ilmoittaa tämän lausekkeen avulla, esimerkiksi $\{2n\colon n=1, 2, 3\} =\{2, 4, 6\}$. Sanomme, että joukko $A$ on joukon $B$ osajoukko, jos jokainen joukon $A$ alkio kuuluu joukkoon $B$. Merkitsemme tällöin $A \subset B$. Esimerkiksi $\{2, 4\} \subset \{ n \in \N \colon \frac{n}2 \in \N\}$. Huomaa, että jokainen joukko on itsensä osajoukko. Tyhjää joukkoa, jossa ei ole lainkaan alkioita, merkitään $\emptyset$.

Jonolla tarkoitetaan äärellistä tai ääretöntä määrää alkioita, joille on annettu järjestys. Jonossa sama alkio voi esiintyä useamman kerran eri paikassa. Jonoa merkitään kaarisuluilla, jonka sisään alkiot merkitään järjestyksessä, esim. $(1, 3, 2, 1)$ on 4-alkioinen jono. Joukko ja jono ovat eri käsitteitä. Ajatellaan lukuja 1, 2 ja 3. Niistä voidaan kaikki luvut mukaan ottamalla muodostaa vain yksi joukko $\{1, 2, 3\}$, mutta kuusi erilaista kolmen mittaista jonoa: $(1, 2, 3)$, $(1, 3, 2))$, $(3, 1, 2)$, $(3, 2, 1)$, $(2, 1, 3)$ ja $(2, 3, 1)$. Jonossa jokaisella alkiolla on paikka toisin kuin joukossa.

Klassinen todennäköisyys perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin. Tarkoitamme tällä, että lähtötilanteesta voi sattuman takia päätyä useampaan tulokseen, joista mihin tahansa päätyminen on yhtä todennäköistä. Kaikkien mahdollisten tulosten joukkoa kutsutaan perusjoukoksi. Heitetään noppaa yhden kerran. Ennen heittoa emme tiedä nopanheiton tulosta. Tiedämme kuitenkin, että tuloksena on jokin luku perusjoukosta $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Tässä jokainen silmäluku on alkeistapaus ja ne ovat yhtä todennäköisiä.

Tapahtumat ovat perusjoukon osajoukkoja. Seuraavassa tehtävässä on nopanheiton perusjoukko $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ja sen osajoukko $\{5, 6\}$, joka vastaa tapahtumaa "tuloksena on viisi tai kuusi".

Tapahtumien todennäköisyydet on tapana ilmoittaa murtolukuina (tarkkoina arvoina), desimaalilukuina esim. kahden merkitsevän numeron tarkkuudella tai prosentteina. Edellisen esimerkin vastauksen voi siis esittää $\frac{1}{3}$, $0{,}33$ tai $33\ \%$.

Tulkitsemme nyt joukko-opin merkintöjä todennäköisyyden kannalta. Tapahtuma $A = \emptyset$ (tyhjä joukko), jos tapahtuma $A$ on mahdoton eli se ei sisällä alkioita. Tapahtumien $A$ ja $B$ yhdiste on $$ A \cup B = \{ A\text{ tapahtuu tai } B \text{ tapahtuu}\}. $$ Tässä "tai" sisältää mahdollisuuden, että molemmat $A$ ja $B$ tapahtuvat. Tapahtumien $A$ ja $B$ leikkaus on $$ A \cap B = \{ A\text{ tapahtuu ja } B \text{ tapahtuu}\}, $$ joka tarkoittaa, että molemmat tapahtumat $A$ ja $B$ tapahtuvat. Tapahtumien $A$ ja $B$ erotus on $$ A \setminus B = \{ A\text{ tapahtuu ja } B \text{ ei tapahdu}\}. $$ Joukon $A$ komplementtia perusjoukon $E$ suhteen merkitään $\overline{A}=E\setminus A$. Tällöin $P(\overline{A})$ merkitsee todennäköisyyttä, että "$A$ ei tapahdu".

Huomaa, että erillisyys riippuu vain joukoista $A$ ja $B$, ei lainkaan niiden todennäköisyyksistä.

Seuraavat klassisen todennäköisyyden laskusäännöt ja muut perusominaisuudet voidaan johtaa määritelmän perusteella tarkastelemalla joukkojen alkioiden lukumäärien osamääriä.

Nostetaan korttipakasta kaksi korttia peräjälkeen ilman takaisinpanoa. Huomaamme että jälkimmäisellä kerralla pakassa on vain 51 korttia, joten ensin nostettu kortti vaikuttaa tilanteeseen.

Tapahtuman $A$ todennäköisyys ehdolla $B$ merkitsee sitä, että ehdosta $B$ tehdään satunnaiskokeen uusi perusjoukko ja lasketaan tapahtuman $A$ todennäköisyys tällöin. Ehdollisen todennäköisyyden idea on kuvailla tapahtuman $A$ sattumista olettaen, että tiedämme ehdon $B$ tapahtuneen.

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa suoraan kertolaskukaava:

Tutkitaan seuraavaksi tapahtumia, jotka eivät vaikuta toisiinsa.

Ehdollinen todennäköisyys ja tapahtumien riippumattomuus liittyvät toisiinsa läheisesti. Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia, niin tapahtuman $A$ ehdollistaminen tapahtumalla $B$ ei vaikuta $A$:n todennäköisyyteen.

Tapahtumien $A$ ja $B$ riippumattomuus merkitsee sitä, että tapahtuma $A$ ei vaikuta tapahtuman $B$ todennäköisyyteen ja tapahtuma $B$ ei vaikuta tapahtuman $A$ todennäköisyyteen. Tapahtumien $A$ ja $B$ riippumattomuuudelle on olennaista niiden todennäköisyydet, sen sijaan tapahtumien erillisyys riippuu vain joukoista $A$ ja $B$, ei lainkaan niiden todennäköisyyksistä. Jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat erilliset, niin $P(A\cap B)=P(\emptyset)=0$, jos taas tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomat, niin $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Näin ollen tapahtumien $A$ ja $B$ erillisyys ja riippumattomuus voivat toteutua yhtä aikaa vain, jos $P(A)=0$ tai $P(B)=0$. Erityisen tarkka on oltava kaavojen $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ja $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ käytössä. Ensimmäinen on voimassa, kun $A$ ja $B$ ovat erilliset, ja jälkimmäinen on voimassa, kun $A$ ja $B$ ovat riippumattomat.

Lisätietoa: Jos tapahtumat $A$ ja $B$ eivät ole riippumattomia, niin niillä on jotakin stokastista vuorovaikutusta toisiinsa. On kuitenkin varottava vetämästä liian suuria johtopäätöksiä tästä vuorovaikutuksesta, jolla ei yleensä ole kausaalista luonnetta (syy--seuraussuhdetta).

Erilaiset tavat tehdä valintoja joukkojen alkioista liittyvät keskeisesti todennäköisyyslaskennan klassiseen malliin. Kombinatoriikka on matematiikan osa-alue, joka tutkii eri vaihtoehtojen määrittämistä. Aloitetaan yksinkertaisella esimerkillä.

Nukella on kaksi hattua, kolme paitaa, yhdet housut ja kahdet kengät. Kuinka monella eri tavalla nuken voi pukea? Havaitaan ensin että että hatun valitseminen ei vaikuta paidan valitsemiseen, tai yleisemmin eri vaatekappaleiden valinnat ovat toisistaan riippumattomia. Lisäksi jokaisen vaatekappaleen kohdalla sen voi jättää pukematta. Näin ollen eri vaihtoehtoja on $(2+1)\cdot (3+1)\cdot (1+1) \cdot (2+1) = 72$. Tämä luku sisältää myös vaihtoehdon että nukelle ei pueta mitään päälle.

Voimme yleisesti soveltaa yllä olevaa ajatusta seuraavasti. Ajatellaan että meillä on tilanne jossa suoritetaan valinta $k$:ssa eri askeleessa. Oletetaan että eri askeleiden valinnat ovat toisistaan riippumattomia. Merkitään että askeleessa $i$ meillä on mahdollista tehdä valinta $n_i$ eri vaihtoehdosta. Tällöin vaihtoehtoja on yhteensä $$ n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_{k-1} \cdot n_k $$ kappaletta. Tätä päättelyä kutsutaan tuloperiaateeksi.

Määritellään seuraavaksi kombinatoriikan peruskäsitteet.

Huomaa, että jonossa alkioilla on järjestys, mutta joukossa alkioilla ei ole järjestystä.

Esimerkiksi joukon $A=\{a, b, c\}$ 2-kombinaatiot ovat joukot $\{a, b\}$, $\{a, c\}$ ja $\{b, c\}$. Havaitaan, että kolmialkioisella joukolla on 3 erilaista 2-kombinaatiota.

Huomaa, että permutaatiot ovat jonoja ja kombinaatiot ovat joukkoja.

Lukua $n!$ kutsutaan luvun $n$ kertomaksi ja se luetaan "$n$:n kertoma". Lukua $\displaystyle\binom{n}{k}$ kutsutaan binomikertoimeksi ja se luetaan "$n$ yli $k$" tai "$n$ alle $k$". Binomikerrointa voidaan myös merkitä $\text{nCr}(n, k)$. Useimmat laskimet ja laskinohjelmistot käyttävät tällaista merkintää. Esimerkiksi $$ \binom{9}{4}=\text{nCr}(9, 4) =126. $$

Joukon, jossa on $n$ alkiota, $k$-permutaatioiden lukumäärää voidaan merkitä $\text{nPr}(n, k)$. Useimmat laskimet ja laskinohjelmistot käyttävät tällaista merkintää, esimerkiksi $$ \text{nPr}(9, 4) = 9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6=3024. $$

Klassisessa todennäköisyydessä kaikki alkeistapahtumat ovat yhtä todennäköisiä. Tutustumme esimerkkitehtävin tapahtumiin, joissa alkeistatapahtumien todennäköisyydet ovat eri suuria, mutta tilanteiden analysoinnissa voi silti käyttää klassisesta todennäköisyydestä tuttuja menetelmiä.

Joissain tilanteissa tapausten todennäköisyydet saadaan pinta-aloista. Tarkastellaan tavallista tikkataulua ja tilannetta, jossa tikka osuus satunnaisesti tauluun. Tällöin kunkin numeron todennäköisyys on sitä vastaava pinta-ala jaettuna koko tikkataulun pinta-alalla.

Määritellään ensin käsite satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja liittää tapahtumiin reaalilukuarvon.

Satunnaismuuttuja voi esimerkiksi kuvata nopan jokaiseen silmäluvun sitä vastaavalle reaalilukuarvolle

tai se voi kuvata jokaisen lapsiperheen kyseessä olevan perheen lasten lukumääräksi.

Huomaa, että satunnaismuuttuja voi ilmetä teoreettisessa tarkastelussa tai tilastossa. Jälkimmäisessä tapauksessa oletamme, että havaintoarvoilla on välimatka-asteikko. Jos tilastossa on mukana mahdollisia havaintoarvoja, jotka eivät ole havaintoarvoja, niin niihin ei kuvaudu mikään havaintoyksikkö. Satunnaismuuttuja on siinä mielessä harhaanjohtava termi, että satunnaismuuttujassa ei ole mitään satunnaista. Koska satunnaismuuttuja on funktio, niin sen arvo on yksikäsitteisesti määrätty jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä. Satunnaismuuttujan avulla saamme todennäköisyysjakauman. Se kuvaa, kuinka yleisiä satunnaismuuttujan eri arvot ovat.

Todennäköisyydet saadaan joko teoreettisesta tarkastelusta tai vaihtoehtoisesti ne ovat havaintoarvojen suhteelliset frekvenssit. Tarvittaessa todennäköisyysjakaumaa voi täydentää arvoilla, joita vastaavat todennäköisyydet ovat nollia. Näin saamme mahdolliset havaintoarvot mukaan todennäköisyysjakaumaan. Jos todennäköisyysjakauma tulee tilastosta, niin se on sama asia kuin Luvussa frekvenssi määritelty jakauma.

Huomaa, että todennäköisyyksien summa on 1 eli $100 \%$.

Kisätieto: Jos halutaan korostaa, että kyseessä on diskreetin todennäköisyysjakauman yhden tapahtuman todennäköisyys, niin voidaan käyttää termiä pistetodennäköisyys.

Yksinkertaisin jakauma on tasainen jakauma, jossa jokaisen arvon suhteellinen frekvenssi on sama. Esimerkiksi kuusisivuisen nopan jokaisen silmäluvun todennäköisyys on $1/6 \approx 16{,}7 \%$.

Usein jakauma ei kuitenkaan ole tasainen. Tarkastellaan lapsiperheiden lukumäärää, joka on esitetty alla olevassa kuvassa:

Todennäköisyysjakaumia kuvataan usein niiden ulkomuodon perusteella. Esimerkiksi yllä olevan kuvan jakaumaa voisi luonnehtia vasemmalle vinoksi. Muita tyypillisiä kuvauksia ovat huippujen lukumäärä, symmetrisyys ja häntien paksuus, kuten alla.

Todennäköisyysjakaumasta voidaan määritellä yksittäisten todennäköisyyksien lisäksi todennäköisyyksia, jotka koostuvat eri havaintoarvoista. Esimerkiksi lapsiperheiden tapauksessa voitaisiin kysyä, millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitulla lapsiperheellä on enintään 3 lasta? Tai 3--5 lasta?

Toistokoe on tilanne, jossa sama koe suoritetaan useampaan kertaan ja tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia, vertaa Määritelmä~\ref{maar:riippumattomuus}. Lisäksi toistokokeessa on vain kaksi tulosvaihtoehtoa: onnistuminen ja epäonnistuminen. Toistokokeeseen liittyvää todennäköisyyttä kutsutaan binomitodennäköisyydeksi.

Tarkastellaan tilannetta, jossa kokeen onnistumisen todennäköisyys $p$ on $0{,}3$. Jos sama koe toistetaan 5 kertaa, niin mahdollisia kokeiden tuloksien vaihtoehtoja on $2^5=32$. Erilaisia toistokokeen lopputuloksia on kuusi: 0 onnistumista, 1 onnistuminen,... , 5 onnistumista. Katso alla oleva taulukko:

Huomataan aluksi, että jokaisessa lopputuloksessa olevien sarakkeiden lukumäärä taulukossa saadaan binomikertoimella. Merkitään, että numero 1 tarkoittaa kokeen onnistumista ja numero 0 epäonnistumista. Olkoon $A=\{1, 2, \ldots, 5\}$. Valitaan joukosta $A$ $k$ kappaletta alkioita, $k\in[0,5]$. Ajatellaan, että valitut $k$ alkiota kertovat, mihin jonon paikkoihin luku $1$ asetetaan. Loppuihin $5-k$ paikkaan asetetaan luku 0. Tällöin jokainen joukon $A$ $k$-alkioinen osajoukko vastaa yhtä jonoa, jossa on täsmälleen $k$ kappaletta lukuja $1$, ja toisinpäin. Näin ollen jonoja on yhtä paljon kuin $k$-alkioisia osajoukkoja eli $\displaystyle \binom{5}{k}$.

Onnistumisia kpl	Sarakkeiden lukumäärä
0	$\displaystyle \binom{5}{0}=1$
1	$\displaystyle \binom{5}{1}=5$
2	$\displaystyle \binom{5}{2}=10$
3	$\displaystyle \binom{5}{3}=10$
4	$\displaystyle\binom{5}{4}=5$
5	$\displaystyle\binom{5}{5}=1$

Seuraavaksi huomataan, että jos yhden kokeen onnistumisen todennäköisyys on $0{,}3$, niin epäonnistumisen todennäköisyys on $1-0{,}3 = 0{,}7$.

Seuraavaksi selvitämme kunkin mahdollisen lopputuloksen todennäköisyydet. Aloitetaan lopputuloksesta, jossa kaikki kokeet epäonnistuivat. Tämä saadaan ainoastaan, kun jokainen koe epäonnistuu eli todennäköisyys on siis $$ 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}7^5 = 0{,}16807 \approx 16{,}8\ \% . $$ Tarkastellaan seuraavaksi lopputulosta, jossa 1 koe onnistuu ja 4 epäonnistuu. Nyt onnistunut koe voi olla mikä tahansa 5 kokeesta, joten lopputulos voidaan saada 5 eri tavalla. Jos ensimmäinen koe onnistuu ja muut 4 eivät, niin todennäköisyys on $$ 0.3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}07203 \approx 7{,}2\ \% . $$ Jos toinen koe onnistuu, niin $$ 0.7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}07203 \approx 7{,}2\ \% . $$ Vastaavasti 3, 4 ja 5 kokeen onnistumisille saadaan todennäköisyys $0{,}07203 \approx 7{,}2 \%$. Koska kaikkien viiden tapahtuman todennäköisyys on sama, niin lopputuloksen todennäköisyydeksi saadaan $$ 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^4 =0{,}36015 \approx 36{,}0\ \% . $$ Kolmantena lopputuloksena on 2 onnistunutta koetta ja 3 epäonnistunutta. Erilaisten kombinaatioiden lukumäärä saadaan binomikertoimen avulla $\displaystyle\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! 3!} = 10$, joten erilaisia vaihtoehtoja on 10 kappaletta. Jokaisen näiden todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3=0{,}03087 \approx 3{,}1\ \% . $$ Lopputulukosen todennäköisyys on $$ 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 10 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3 = 0{,}3087 \approx 30{,}9\ \% . $$ Seuraava lopputulos on 3 onnistunutta koetta ja 2 epäonnistunutta. Binomikertoimen avulla saamme, että eri kombinaatioita on $\displaystyle\binom{5}{3} = 10$. Jokaisen näiden todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^2= 0{,}01323 \approx 1{,}3\ \% $$ joten lopputuloksen todennäköisyys on $$ 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 10 \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^2 =0{,}1323 \approx 13{,}2\ \% . $$ Lopputuloksen 4 onnistunutta ja 1 epäonnistunut erilaisia vaihtoehtoja on 5, joista jokaisen todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}3^4 \cdot 0{,}7=0{,}00567 \approx 0{,}6\ \% . $$ Lopputuloksen todennäköisyys on $$ 5 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 5 \cdot 0{,}3^4 \cdot 0{,}7=0{,}02835 \approx 2{,}8\ \% . $$ Lopputulos 5 onnistunutta voidaan saada vain yhdellä tavalla ja sen todennäköisyys on $$ 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 =0{,}3^5 \approx 0{,}00243\ \% . $$ Voimme seuraavaksi muotoilla yleisen lausekkeen toistokokeen onnistumistodennäköisyydelle.

Varmista ennen kuin käytät yllä olevaa teoreemaa, että toistettavat kokeet ovat riippumattomia ja selvitä muuttujien $n$ (toistojen lukumäärä), $k$ (onnistumisten lukumäärä) ja $p$ (yhden kokeen onnistumistodennäköisyys) arvot.

Yleisin toistokokeen todennäköisyyksiin liittyvä laskuvirhe on binomikertoimen unohtaminen.

Odotusarvo kuvaa satunnaisilmiön odotettavissa olevaa arvoa. Tarkastellaan tavallista noppaa, jonka jokaisen silmäluvun todennäköisyys on $1/6$. Nopan odotusarvo tarkoittaa sellaista arvoa, joka keskimäärin on nopanheiton tulos. Odotusarvo lasketaan todennäköisyyksien ja mahdollisten arvojen avulla seuraavasti: $$ 1 \cdot \frac16 + 2 \cdot \frac16 + 3 \cdot \frac16 + 4 \cdot \frac16 + 5 \cdot \frac16 + 6 \cdot \frac16 = 3{,}5. $$ Huomaa, että odotusarvo 3,5 se ei ole mahdollinen nopanheiton tulos.

Tähän asti olemme tarkastelleet esimerkkejä, joissa havaintoyksikköön liitty yksi havaintoarvo. Usein kuitenkin havaintoyksikköön liitty useita havaintoarvoja. Esimerkiksi lapsiperhe-esimerkissä jokaiselta lapsiperheeltä voisi lasten lukumäärän lisäksi olla tiedot vaikkapa asuinpaikkakunnasta ja perheen tulotasosta. Kaikki edellä esitetyt tarkastelut toimivat yksittäisille havaintoarvoille. Seuraavaksi tarkastelemme, miten kahta eri havaintoarvoa voi vertailla keskenään.

Kun halutaan vertailla kahta eri havaintoarvoa, niin usein on hyödyllistä piirtää tilanteesta kuva. Kutakin havaintoyksikköä kohden saamme yhden parin havaintoarvoja. Tässä parissa ensimmäinen havaintoarvo tulkitaan $x$-akselin arvoksi ja toinen $y$-akselin arvoksi. Kuvassa~\ref{fig:erilaisia_korrelaatioita} on havainnollistettu kolmea erilaista tapausta. Kuvasta huomataan, että vasemmanpuoleisten pisteiden kautta voidaan lähes piirtää suora. Vastaavasti keskimmäisessä kuvassa pisteiden kautta voidaan lähes piirtää eksponentiaalinen käyrä ja oikealla paraabeli. Jos kahden havaintoarvon muodostamat pisteet noudattavat jotain käyrää, niin puhutaan havaintoarvojen korrelaatiosta. Tällä kurssilla tarkastelemme ainoastaan lineaarista korrelaatiota (eli Pearsonin korrelaatiota).

Alla olevassa taulukossa on esitetty syntyneiden lasten lukumäärä ja kuluttajahintaindeksi (KHI) Suomessa vuosina 2010--2019. Tiedot ovat Tilastokeskuksen sivuilta 1ja 2 (luettu 4.1.2020). Vuosi on havaintoyksikkö ja siihen liittyy kaksi havaintoarvoa. Kuluttajahintaindeksi on valittu $x$-akselille ja skaalattu jakamalla luku 10:llä, syntyneiden lasten lukumäärä on $y$-akselilla ja se on skaalattu jakamalla lukumäärä 10000:lla. Huomaa, että havaintoarvot olisi voitu valita akseleille myös toisin päin. Saamme pisteet (10,0; 6,0980), (10,34; 5,9961), ..., (11,12; 4,7577), (11,23; 4,5613), jotka on piirretty kuvaan:

Vuosi	Syntyneet	KHI
2010	60980	100,0
2011	59961	103,4
2012	59493	106,3
2013	58134	107,9
2014	57232	109,0
2015	55472	108,8
2016	52814	109,2
2017	50321	110,0
2018	47577	111,2
2019	45613	& 112,3

Seuraavaksi yritämme sovittaa havaintopareihin suoran, joka parhaalla mahdollisella tavalla kuvaa muuttujien $x$ ja $y$ välistä yhteyttä. Olkoon suoran yhtälö $y= bx +a$. Pyrimme määrittämään vakiot $a$ ja $b$ siten, että havaintopisteiden $y$-suunnassa laskettujen pystysuorien poikkeamien summa on mahdollisimman pieni. Pisteessä $(x_i, y_i)$ $y$-suuntaan laskettu pystysuora poikkeama suorasta $y= bx +a$ on $|y_i- bx_i -a|$ ja tämän neliö on $(y_i - bx_i -a)^2$. Laskemme nämä kaikki pystysuorien poikkemien neliöt yhteen ja saamme $$ \sum_{i=1}^n (y_i - bx_i -a)^2. $$ Haluamme löytää sellaiset kertoimet $a$ ja $b$, että tämä summa on mahdollisimman pieni.

Voidaan todistaa, että $y$-suuntaisten etäisyyksien summa saa pienimmän arvonsa, kun valitaan $$ \begin{equation} b=\frac{n\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i -\sum\limits_{i=1}^n x_i \sum\limits_{i=1}^n y_i}{n\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 -\bigg(\sum\limits_{i=1}^n x_i\bigg)^2}\quad \text{ja}\quad a=\frac{\sum\limits_{i=1}^n y_i-b\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}. \end{equation} $$ Ohitamme tämän todistuksen. Kyseistä metodia kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi.

Regressiosuoran kerroin $b$ voi olla nolla, positiivinen tai negatiivinen. Jos $b$ on positiivinen, niin silloin suora on kasvava. Tällöin muuttujan $x$ kasvaessa myös muuttuja $y$ kasvaa, ja toisinpäin. Sanomme tällöin, että muuttujilla on positiivinen korrelaatio. Jos $b$ on negatiivinen, niin silloin suora on vähenevä. Tällöin muuttujan $x$ kasvaessa muuttuja $y$ vähenee ja muuttujan $y$ kasvaessa muuuttuja $x$ vähenee. Sanomme tällöin, että muuttujilla on negatiivinen korrelaatio.

Korrelaation voimakkuutta mitataan korrelaatiokertoimella.

Korrelaatiokerroin on määritelty, jos jokin havaintoarvoista $x_i$ eroaa keskiarvosta $\bar x$ ja jokin havaintoarvoista $y_i$ eroaa keskiarvosta $\bar y$. Huomaa, että $\bar x = \frac1n \sum_{i=1}^n x_i$ ja $\bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i$. Käytännössä regressiosuora ja korrelaatiokerroin lasketaan aina ohjelmistolla. Korrelaatiokertoimelle saadaan seuraavat rajat: $$ -1\leqslant r \leqslant 1. $$ Tulos ei ole todistettavissa lukiotiedoin.

Lisätieto: Korrelaatiokerroin voidaan esittää myös muodossa $$ r=\frac{n\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i -\sum\limits_{i=1}^n x_i \sum\limits_{i=1}^n y_i}{\sqrt{\left(n\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 -\bigg(\sum\limits_{i=1}^n x_i\bigg)^2\right) \left(n\sum\limits_{i=1}^n y_i^2 -\bigg(\sum\limits_{i=1}^n y_i\bigg)^2\right)}}. $$ Korrelaatiokertoimen neliötä $r^2$ sanotaan selitysasteeksi.

Korrelaatiokertoimen $r$ merkki on sama kuin regressiosuoran $y= bx +a$ kulmakertoimen $b$ merkki. Näin ollen korrelaatiokertoimen merkki kertoo, onko kyseessä positiivinen vai negatiivinen korrelaatio.

Korrelaatiokerroin $r$ kuvaa muuttujien $x$ ja $y$ lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta. On syytä huomata, että tämä riippuvuus on tilastollista riippuvuutta. Mitään syy-yhteyttä muuttujien välillä ei välttämättä ole. Mitä lähempänä korrelaatiokertoimen itseisarvo $|r|$ on lukua $1$, sitä voimakkaampaa muuttujien $x$ ja $y$ riippuvuus on.

Lisätieto: Jos $|r|=1$, niin kaikki havaintoarvopisteet ovat samalla suoralla.