Kisallioppiminen.fi Logo

kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \require{mediawiki-texvc} $

MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

Kurssin tavoitteena on, että

  • harjaannut käyttämään matematiikkaa jokapäiväisen elämän ongelmien ratkaisemisessa ja opit luottamaan omiin matemaattisiin kykyihisi
  • ymmärrät lineaarisen riippuvuuden, verrannollisuuden ja toisen asteen polynomifunktion käsitteet
  • vahvistat yhtälöiden ratkaisemisen taitojasi ja opit ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä
  • osaat käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polynomiyhtälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

  • suureiden välinen lineaarinen riippuvuus ja verrannollisuus
  • ongelmien muotoileminen yhtälöiksi
  • yhtälöiden ja yhtälöparien graafinen ja algebrallinen ratkaiseminen
  • ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen
  • toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen.

Kurssimateriaali on jaettu neljään lukuun: Ensimmäisen asteen yhtälö, Yhtälöpari, Verrannollisuus ja Toisen asteen yhtälö.

Pääajatus kurssimateriaalissa on, että matematiikkaa oppii parhaiten tekemällä matematiikkaa. Materiaali on tämän vuoksi kirjoitettu niin, että teet tehtäviä käytännössä koko ajan. Jokainen luku sisältää kolme eri tehtäväsarjaa. Ensimmäisen tehtäväsarjan tehtävät ovat teorian seassa. Tarkoitus on, että etenet materiaalissa tekemällä jokaisen näistä tehtävistä. Voit hyvin tehdä tehtäviä yhdessä kaverin kanssa ja voit kysyä opettajalta heti, jos et ymmärrä jotain asiaa. Asia voi olla jokin tietty tehtävä, teoriassa oleva virke tai esimerkiksi vieras matemaattinen symboli. Pääasia on, että sinä itse teet tehtävät ja ymmärrät, mitä teet. Tämän tehtäväsarjan jälkeen kyseisen luvun teoria on käsitelty ja on aika harjoitella ja syventää juuri opittua. Ennen tätä opettaja pitää ehkä yhteisen opetustuokion tai -keskustelun, jossa pohditaan yhdessä luvun keskeisiä asioita tai työskentelyssä esiin tulleita haastavia kohtia. Mahdollisen opetustuokion jälkeen jatka harjoittelua luvun lopussa olevien kahden tehtäväsarjan tehtävien avulla. Luonnollisesti mitä enemmän harjoittelet, sitä paremmaksi tulet. Kun olet valmis, tee luvun lopussa oleva(t) itsearviointitesti(t). Niiden tarkoitus on kertoa sinulle, oletko ymmärtänyt luvun olennaiset asiat ja kehittää samalla oman oppimisesi arviointia, joka on tärkeä tulevaisuuden taito. Testeissä pärjääminen ei vielä tarkoita, että osaat luvun asiat esimerkiksi kiitettävällä tasolla, vaan testit keskittyvät vahvan perusosaamisen tutkimiseen. Ennen siirtymistä seuraavaan lukuun opettaja haluaa ehkä vielä koota luvussa opittuja asioita sekä antaa palautetta oppimisesta ja sen etenemisestä yhteisessä opetuskeskustelussa.

Ensimmäisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja nouseva vai laskeva suora ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • laskea polynomien summan ja erotuksen sekä monomien tulon
  • tunnistaa lineaarisesti toisistaan riippuvat suureet ja selvittää niiden arvoja sekä graafisesti että laskennallisesti
  • tutkia sijoittamalla, onko annettu luku yhtälön ratkaisu
  • ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön
  • tulkita vastauksen myös tapauksissa, joissa yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja tai kaikki luvut ovat sen ratkaisuja
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Tämän kurssin aiheina ovat lausekkeet ja yhtälöt. Ensimmäinen päämäärä on oppia ratkaisemaan sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Tätä varten perehdymme tässä kappaleessa ensimmäisen asteen polynomifunktioihin. Niitä voidaan käyttää apuna, kun tutkitaan ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisuja.

Aloitetaan palauttamalla mieleen, miten koordinaatiston pisteitä merkitään.

Koordinaattiakselien leikkauspistettä eli origoa on yllä olevassa kuvassa merkitty kirjaimella $O$.

  1. Tavoitteena on päästä origosta $O$ pisteeseen $A$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta ylöspäin? Mitkä ovat pisteen $A$ koordinaatit?
  2. Tavoitteena on päästä origosta pisteeseen $B$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta alaspäin? Mitkä ovat pisteen $B$ koordinaatit? Miten ilmaistaan se, että pisteeseen $B$ päästäkseen pitää liikkua pystysuunnassa alaspäin eikä ylöspäin?
  3. Mitkä ovat pisteen $C$ koordinaatit?
  4. Mitkä ovat pisteen $D$ koordinaatit?

  1. Pitää kulkea 2 askelta oikealle ja 3 askelta ylöspäin. Pisteen $A$ koordinaatit ovat siten $(2,3)$.
  2. Pitää kulkea 3 askelta oikealle ja 1 askel alaspäin. Pisteen $B$ koordinaatit ovat siten $(3,-1)$. Miinusmerkillä ilmaistaan, että pystysuunnassa liikutaan alaspäin eikä ylöspäin.
  3. $C = (4,2)$
  4. $D = (-3,1)$

Koordinaatiston piste voidaan siis ilmaista lukuparina $(x,y)$. Ensimmäinen luku $x$ kertoo, missä piste sijaitsee $x$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Toinen luku $y$ kertoo vastaavasti, missä piste sijaitsee $y$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Näitä lukuja kutsutaan pisteen koordinaateiksi.

Kun funktion kuvaaja piirretään koordinaatistoon, muuttujan arvot ovat $x$-akselilla ja funktion arvot ovat $y$-akselilla. Kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on aina sama kuin funktion arvo.

Yllä on näkyvissä funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $g$ arvo kohdassa $x = 1$? Toisin sanottuna, mitä on $g(1)$?
  2. Määritä $g(0)$.
  3. Saako funktio $g$ jossain kohdassa arvon $4$? Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 4$?
  4. Onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 0$?

  1. Kuvaajan mukaan $g(1) = 2$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(1,2)$ kautta.
  2. Kuvaajan mukaan $g(0) = 1$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(0,1)$ kautta.
  3. Kohdassa $x = 3$ funktion arvo on $g(3) = 4$. Kuvaaja kulkee pisteen $(3,4)$ kautta.
  4. Kohdassa $x = -1$ funktion arvo on $g(-1) = 0$. Kuvaaja kulkee pisteen $(-1,0)$ kautta eli leikkaa $x$-akselin kohdassa $x = -1$.

Edellisen tehtävän funktio on yksi esimerkki ensimmäisen asteen polynomifunktiosta. MAY1-kurssilta tuttu määritelmä kertoo tarkemmin, millaisia funktioita kutsutaan ensimmäisen asteen polynomifunktioiksi:

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax+b,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 1{,}5x - 2$.

  1. Vertaa funktion $f$ lauseketta ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä mikä on vakio $b$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 2$ eli laske, mitä on $f(2)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = 1{,}5$ ja $b = -2$, huomaa miinusmerkki.
  2. $f(2) = 1$
  3. $f(0) = -2$
  4. Pisteet ovat $(2,1)$ ja $(0,-2)$.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $
$\ g(x) = -2x-1 \ $
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $
$\ k(x) = -x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $   C
$\ g(x) = -2x-1 \ $   D
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $   A
$\ k(x) = -x+2 \ $   B

Funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voidaan päätellä seuraavaa:

  1. Jos kerroin $a$ on positiivinen, kuvaaja on nouseva suora. Jos kerroin $a$ on negatiivinen, kuvaaja on laskeva suora.
  2. Vakiotermi $b$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
  3. Kerroin $a$ ilmaisee, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax + b,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $$y = ax + b.$$ Vakio $b$ ilmaisee, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b$ on mikä tahansa reaaliluku. Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on suoran kulmakerroin.

Laske funktion arvo kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$ ja päättele, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään koordinaatistossa yhden ruudun verran oikealle. Selitä omin sanoin, miten suoran kulmakerroin kuvaa sitä, miten jyrkästi suora nousee tai laskee.

  1. $f(x) = 7x - 3$
  2. $g(x) = -5x + 8$

  1. Kuvaaja nousee 7 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = 7x - 3$, jonka kulmakerroin on 7.
  2. Kuvaaja laskee 5 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = -5x + 8$, jonka kulmakerroin on $-5$.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on

  • nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen
  • laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen.

Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora, voi kuvaajan piirtää monella tavalla.

  1. Piirrä funktion $f(x) = 2x-3$ kuvaaja seuraavasti: Määritä jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee. Piirrä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä funktion $g(x) = -x+4$ kuvaaja seuraavasti: Päättele funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin. Piirrä suora näiden tietojen avulla.
  3. Tarkista piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Kuvaaja kulkee esimerkiksi pisteiden $(0,-3)$ ja $(1,-1)$ kautta.
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella 4 eli pisteessä $(0,4)$. Kuvaajan kulmakerroin on $-1$. Kuvaaja siis laskee aina yhden ruudun, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Niissä kohdissa, joissa funktion kuvaaja leikkaa vaakasuoran $x$-akselin, funktion arvo on nolla. Näitä kohtia kutsutaan funktion nollakohdiksi:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Esimerkiksi alla olevan kuvan funktiolla $f$ on yksi nollakohta $x = 3$.

Toisin sanottuna $f(x) = 0$, jos ja vain jos $x = 3$. Siis funktio saa arvon nolla, jos ja vain jos muuttujan arvo on 3.

Päättele, mitä ovat funktioiden nollakohdat kuvissa A-D.

  1. Nollakohta $x = -2$.
  2. Nollakohta $x = 2$.
  3. Nollakohta $x = 0$.
  4. Nollakohta $x = -0{,}5$. Huomaa, että symmetrian avulla voi päätellä, että nollakohta on tasan $-0{,}5$.

Ensimmäisen asteen polynomifunktioita voidaan käyttää monien arkisten ilmiöiden kuvaamiseen ja tutkimiseen. Seuraavassa tehtävässä on yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Puhelinliittymän kuukausimaksu on 6 euroa ja puhelut maksavat 0,055 euroa/minuutti.

  1. Kuinka paljon liittymä maksaa, jos kuukauden puheaika on 150 minuuttia?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee liittymän kokonaiskustannukset kuukaudessa, jos puheaika on $x$ minuuttia.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.
  4. Muuta $x$- ja $y$-akselien asteikkojen suhde sopivaksi (esim. 10:1), jotta voit tutkia graafisesti, kuinka paljon puheaikaa saa 20,00 eurolla. Anna vastaus minuutin tarkkuudella.

  1. $6 + 0{,}055 \cdot 150 = 14{,}25$ eli liittymä maksaa kuukaudessa 14,25 euroa, jos puheaika on 150 minuuttia.
  2. $f(x) = 6 + 0{,}055x$
  3. Kuvaaja:
  4. Kuva, jossa $x$- ja $y$-akselien suhde on 10:1, ja kuvaa on zoomattu:

    Kuvaajasta voidaan lukea, että 20,00 eurolla saa puheaikaa 254 minuuttia. Seuraava minuutti korottaa hinnan jo yli 20 euron.

Edellisessä tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja puheaikaa. Suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: puheaika on 150 min.

Tehtävässä havaittiin, että puheajan ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan sillä, että suureet riippuvat toisistaan lineaarisesti.

MÄÄRITELMÄ: LINEAARINEN RIIPPUVUUS

Suureet $x$ ja $y$ riipuvat toisistaan lineaarisesti, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = ax + b,$$ missä $a \neq 0$.

Lineaarista riippuvuutta kuvaa siis koordinaatistossa suora, jonka kulmakerroin on nollasta poikkeava. Lineaarista riippuvuutta voidaan mallintaa myös ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ avulla, sillä sen kuvaaja on aina tällainen suora.

Päättele kuvaajista, riipuvatko suureet $x$ ja $y$ toisistaan lineaarisesti. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ riippuvat toisistaan lineaarisesti. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora, joka on muotoa $y = ax$. Kulmakerroin $a = 0{,}5$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ eivät riipu toisistaan lineaarisesti, koska kuvaaja ei ole suora.
  3. Suureet $x$ ja $y$ riippuvat toisistaan lineaarisesti, sillä niiden välistä riippuvuutta kuvaa suora. Kulmakerroin $a = -2/3$.

Taksimatkan hintaa (euroina) Helsingissä lauantai-iltana klo 19 kuvaa funktio $$ f(x) = 9{,}0 + 1{,}6x, $$ missä $x$ on matkan pituus kilometreinä.

  1. Laske $f(15)$ ja selitä omin sanoin, mitä tulos tarkoittaa.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja koordinaatistoon ja selvitä sen avulla, kuinka pitkän matkan taksilla voi ajaa 49 eurolla.
  3. Mikä on taksimatkan perusmaksu, jonka asiakas joutuu maksamaan matkan pituudesta riippumatta? Miten se näkyy funktion $f$ lausekkeessa? Entä kuvaajassa?

  1. $f(15) = 9 + 1{,}6 \cdot 15 = 33$, joten 15 kilometrin taksimatka maksaa 33 euroa.
  2. Jos käytettävissä on 49 euroa, taksilla voi ajaa 25 km:
  3. Perusmaksu on 9,00 euroa. Se näkyy funktion lausekkeessa vakiona. Kuvaajassa perusmaksu on se korkeus, jolla kuvaaja leikkaa $y$-akselin:

Käytännössä suureiden lineaarinen riippuvuus voidaan tunnistaa muodostamalla funktio, joka ilmaisee, miten toinen suure saadaan laskettua, jos toinen tunnetaan. Jos näin syntynyt funktio on ensimmäisen asteen polynomifunktio, riippuvat suureet toisistaan lineaarisesti.

Perusterveen lapsen laskimonsisäisen nesteytyksen tarve arvoidaan perinteisesti käytetyn mallin mukaan seuraavasti: Jos lapsen paino on 10-20 kg, tarvitaan nestettä tunnissa 40 ml ja lisäksi 2 ml/kg jokaista 10 kg ylittävää kilogrammaa kohti.

  1. Kuinka paljon nestettä tarvitsee tunnin aikana lapsi, joka painaa 13 kg?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee tunnissa tarvittavan nestemäärän, kun lapsen paino on $10 + x$ kilogrammaa.
  3. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Minkä painoisen lapsen nesteytyksen tarve on 50 ml tunnissa?
  4. Kuvaajasta näkyy, miten tippapussin nestemäärä (ml) riippuu ajasta (h). Kysymyksessä on 15 kg painava lapsi. Milloin tippapussi on tyhjä? Kuinka paljon nestettä tippapussissa oli alunperin?

  1. Lapsi tarvii nestettä $40 + 3 \cdot 2 = 46$ millilitraa.
  2. $f(x) = 40 + 2x$
  3. Kuvaajasta nähdään, että 50 ml nestettä tunnissa tarvitsee lapsi, joka paino on $10 + 5 = 15$ kg.
  4. Tippapussi on tyhjä 10 tunnin kuluttua. Nestettä oli alunperin 500 ml.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein? Perustele vastauksesi omin sanoin ja korjaa samalla väärät väitteet oikeiksi. Kertaa tarvittaessa polynomeihin liittyviä käsitteitä Opetus.tv:n sivuilta.

  1. Polynomissa $-4x^2+8x-3$ on viisi termiä.
  2. Polynomin $7x^4-6x^3+4x$ toisen asteen termin kerroin on nolla.
  3. Polynomin $x^7-x+6$ aste on kolme.
  4. Polynomin $x^3-9x^2+4$ vakiotermi on $4$.
  5. Polynomi $3x^5-x^2$ on monomi.
  6. Lauseke $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{2}$ on binomi.

  1. Väärin, polynomissa on kolme termiä.
  2. Oikein, sillä sama polynomi voidaan kirjoittaa $7x^4-6x^3 + 0x^2 +4x$.
  3. Väärin, polynomin aste on 7.
  4. Oikein.
  5. Väärin, tämä polynomi on binomi. Monomiksi sanotaan polynomia, jossa on vain yksi termi.
  6. Oikein, sillä tämä lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x$.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa ja 25 puntaa. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa ja 7 puntaa. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£) + (15 \,€ + 7 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£. \end{align*} Tässä laskettiin eurot yhteen keskenään ja punnat yhteen keskenään. Yhdistettiin siis ne luvut, joilla kirjainosa oli sama.

Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa ja 27 puntaa. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£\\ &= 10 \,€ + 5 \,£. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu.

Muodosta ja laske polynomien $x^2+3x-6$ ja $-4x^2+x-2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $-3x^2+4x-8$
  2. $5x^2+2x-4$

Muodosta ja laske polynomien $4x^3-2x^2+3x+1$ ja $-3x^2-3x+2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $4x^3-5x^2+3$
  2. $4x^3+x^2+6x-1$

Kun polynomia kerrotaan luvulla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£) &= \frac{1}{5} \cdot 10 \,€ + \frac{1}{5} \cdot 5 \,£\\[1mm] &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£\\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ \end{align*} Jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $-3x^4 \cdot 5x^2$
  2. $4x(x-5)$
  3. $-3x^2(-4x^2+x-2)$

  1. $-15x^6$
  2. $4x^2-20x$
  3. $12x^4 - 3x^3 + 6x^2$

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{5} \end{align*} voidaan muokata tekemällä jakolasku termeittäin seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-5}{4} &= \dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{4} = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4} \end{align*} Huomaa, että neljällä jakaminen vastaa yhdellä neljäsosalla kertomista. Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x - 3}{5}$
  2. $\dfrac{4x + 6}{12}$

  1. Tehdään jakolasku termeittäin: \begin{align*} \dfrac{15x - 3}{5} &= \dfrac{15x}{5} - \dfrac{3}{5} \\[1mm] &= 3x - \dfrac{3}{5} \end{align*}
  2. Tehdään jakolasku termeittäin ja supistetaan: \begin{align*} \dfrac{4x + 6}{12} &= \dfrac{4x}{12} + \dfrac{6}{12} \\[1mm] &= \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} \\[1mm] &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2} \end{align*}

Kun lasketaan murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia, pitää lausekkeet laventaa samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-4}{3} &= \frac{\textcolor{blue}{3}(5x-7)}{\textcolor{blue}{3} \cdot 2}\textcolor{red}{-}\frac{\textcolor{blue}{2}(x-4)}{\textcolor{blue}{2} \cdot 3} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)\textcolor{red}{-}2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}8}{6} \\[1mm] &= \frac{13x-13}{6} \\[1mm] &= \frac{13}{6}x - \frac{13}{6} \end{align*}

Sievennä seuraavat lausekkeet. Huomaa, että murtolausekkeet ovat jo valmiiksi samannimisiä.

  1. $\dfrac{8x-11}{3} + \dfrac{4x - 7}{3}$
  2. $\dfrac{7-5x}{8} - \dfrac{3x - 5}{8}$

  1. \begin{align*} \dfrac{8x-11 + 4x - 7}{3} &= \dfrac{12x - 18}{3} \\[1mm] &= 4x - 6 \end{align*}
  2. \begin{align*} \dfrac{7-5x-(3x-5)}{8} &= \dfrac{7-5x-3x+5}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12-8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12}{8} - \dfrac{8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{3}{2} - x \end{align*}

Laske

  1. $\dfrac{3x+1}{2} + \dfrac{x-4}{5}$
  2. $\dfrac{3x+1}{2} - \dfrac{x-4}{5}$

  1. $\dfrac{17x-3}{10} = \dfrac{17}{10}x - \dfrac{3}{10}$
  2. $\dfrac{13x+13}{10} = \dfrac{13}{10}x + \dfrac{13}{10}$

Kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 2x + 1$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$2x + 1 = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 2x + 1$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 kohdassa $x = 1{,}5$. Yhtälön ratkaisu on siis $x = 1{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-3x - 1 = 5$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä koordinaatistoon funktion $f(x) = -3x-1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan piste on korkeudella 5.
  2. Mikä on yhtälön ratkaisu?
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $5$?

  1. Yhtälön ratkaisu on $x = -2$.
  2. Kyllä, sillä $-3 \cdot (-2) -1 = 6 - 1 = 5$.

Ensimmäisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ ax + b = 0, $$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ nollakohdat.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} $$ kuvaaja.

  1. Päättele kuvaajan avulla, mikä on yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu.
  2. Tarkista ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle.

  1. Yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu on funktion $f$ nollakohta $x = 4$.
  2. Jos $x = 4$, yhtälön vasen puoli on $$ -\dfrac{2}{3} \cdot 4 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = 0. $$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat siis yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että $x = 4$ on todellakin yhtälön ratkaisu.

Seuraavan määritelmän avulla voi aina tarkistaa, onko jokin luku yhtälön ratkaisu. Tarkistus on tehty näin myös edellisissä tehtävissä.

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$x^2 + 6x = 8x+3$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemman puolen arvo ja oikean puolen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $3$
  2. $1$
  3. $-1$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $27$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $7$ ja oikea arvon $11$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-5$. Huomaa, että yhtälön vasen puoli on $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) = 1 - 6 = -5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Lauseke $x + 2$ on summa ja lauseke $2x$ on tulo.
  2. $x = 8$. Ainakin operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku 2).
  3. $x = 5$. Ainakin operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla 2).

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

  1. Lauseke $4(x+8)$ on lausekkeiden $4$ ja $x+8$ tulo.
    Lauseke $4x + 8$ on lausekkeiden $4x$ ja $8$ summa.
  2. $x = 20$. Operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku $8$).
  3. $x = 14$. Operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla $4$).

Tämän kappaleen alussa ratkaistiin graafisesti funktion kuvaajan avulla yhtälö $$2x+1 = 4.$$ Jos sama yhtälö ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, vähennetään aluksi yhtälön molemmilta puolilta luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$2x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla 2. Näin päädytään yhtälöön $$x = \dfrac{3}{2}.$$ Koska käytettiin vain sallittuja operaatioita, löydettiin yhtälön ratkaisu. Ratkaisun voi lisäksi aina tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$ 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4. $$ Yhtälön vasemmasta puolesta saatiin yhtä suuri kuin yhtälön oikeasta puolesta, joten $$ x = \dfrac{3}{2} $$ on yhtälön ratkaisu.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3-(8x+1)$.

Ohje: b-kohdassa aloita poistamalla sulut yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta.

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.

Jos yhtälössä esiintyy murtolausekkeita, kannattaa niistä yrittää hankkiutua eroon mahdollisimman nopeasti. Yleispätevä tapa on kertoa yhtälön molemmat puolet kaikkien nimittäjien tulolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$ \dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4} = \dfrac{x-3}{2} + 2x. $$ Yhtälössä on kolme erilaista nimittäjää: luvut 3, 4 ja 2. $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{3} } - \dfrac{2-x}{\textcolor{blue}{4} } = \dfrac{x-3}{\textcolor{blue}{2} } + 2x. $$ Muodostetaan nimittäjien tulo $\textcolor{blue}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \textcolor{red}{24}$ ja kerrotaan yhtälön molemmat puolet sillä: $$ \dfrac{\textcolor{red}{24}x}{3} - \dfrac{\textcolor{red}{24}(2-x)}{4} = \dfrac{\textcolor{red}{24}(x-3)}{2} + \textcolor{red}{24} \cdot 2x. $$ Jokainen yhteenlaskettava siis kerrotaan nimittäjien tulolla, tarvittaessa käytetään sulkuja. Sen jälkeen voidaan laskea jakolaskut, jolloin päästään nimittäjistä eroon: $$ 8x - 6(2-x) = 12(x-3) + 48x. $$ Tästä eteenpäin yhtälön ratkaisu etenee normaalisti. Ensin sievennetään yhtälön vasen ja oikea puoli: \begin{align*} 8x - 12 + 6x &= 12x - 36 + 48x \\[1mm] 14x - 12 &= 60x - 36 \quad \textcolor{blue}{\mid + 12} \\[1mm] 14x &= 60x - 24 \quad \textcolor{blue}{\mid -60x} \\[1mm] -46x &= -24 \phantom{ {} -2} \quad \, \textcolor{blue}{\mid \, : -46} \\[1mm] x &= \dfrac{-24}{-46} = \dfrac{12}{23}. \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{x}{4} = x + 1$
  2. $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x}{2} = 5x-1$

  1. $x = -\dfrac{4}{3}$
  2. $x = \dfrac{4}{29}$.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Toinen esimerkki on yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

  1. Onko edellä tarkasteltu yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x)$$ ensimmäisen asteen yhtälö? Selitä omin sanoin.
  2. Ratkaise yhtälö $$3x - \frac{1-2x}{2} = 4x.$$
  3. Ratkaise yhtälö $$\frac{2x-1}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x-2}{6}.$$

  1. Tämä yhtälö ei ole ensimmäisen asteen yhtälö, sillä esimerkissä nähtiin, että sitä ei voida esittää muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, sillä se on yhtäpitävä yhtälön $-1 = 0$ kanssa. Tämä yhtälö on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.
  3. Kaikki luvut ovat tämän yhtälön ratkaisuja, sillä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön $0 = 0$ kanssa. Tämä on tosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Monet käytännön ongelmat voidaan selvittää muodostamalla ja ratkaisemalla sopiva yhtälö. Aluksi kannattaa koota ja jäsentää kaikki ongelmaan liittyvät tiedot esimerkiksi taulukon muotoon. Sen jälkeen kannattaa miettiä, mitä halutaan saada selville. Jos tuntemattomia on vain yksi, merkitään sitä jollakin kirjaimella. Usein käytetään kirjainta $x$, mutta muitakin kirjaimia voi käyttää.

Puhelinliittymien A ja B hintatiedot on koottu alla olevaan taulukkoon. Tehtävänä on selvittää, mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla, jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen. Ajatellaan, että liittymää käytetään yhden vuoden ajan.

Liittymä Avaus (€) Kk-maksu (€/kk) Puhelun hinta (€/min)
A 5,00 6,00 0,055
B 3,90 4,90 0,07
  1. Mitkä ovat liittymän A kustannukset ensimmäisen kuukauden aikana, jos puheaika on 180 minuuttia? Entä mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on 180 minuuttia joka kuukausi?
  2. Mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  3. Mitkä ovat liittymän B kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  4. Muodosta b- ja c-kohtien avulla yhtälö, josta saat ratkaistua mikä on puheaika silloin, kun kummankin liittymän kustannukset ovat samat.
  5. Ratkaise d-kohdan yhtälö. Mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla (minuutin tarkkuudella), jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen?

  1. Ensimmäisessä kuussa liittymän A kustannukset ovat 20,90 euroa, jos puheaika on 180 minuuttia. Vuodessa kustannuksia kertyy 195,80 euroa.
  2. Liittymän A kustannukset vuodessa ovat $77 + 0{,}66x$.
  3. Liittymän B kustannukset vuodessa ovat $62{,}7 + 0{,}84x$.
  4. Yhtälö on $$ 62{,}7 + 0{,}84x = 77 + 0{,}66x. $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{14{,}3}{0{,}18} \approx 79{,}4. $$ Kuukausittaisen puheajan pitää olla vähintään 80 minuuttia, jotta liittymän A hankkiminen on taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen.

Jos tuntemattomia on useita, pitää niistä valita yksi, jota merkitään kirjaimella. Valinta kannattaa tehdä niin, että muut tuntemattomat voidaan ilmaista saman kirjaimen avulla. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

Kiia, Ida ja Elias ostivat yhdessä kuuden euron arvan. Kiia osallistui arvan ostoon yhdellä eurolla, Ida kahdella ja Elias kolmella eurolla. He päättivät, että jakavat mahdollisen voiton sijoitusten suhteessa 1 : 2 : 3. Siis Ida saa kaksi kertaa sen mitä Kiia ja Elias saa kolme kertaa sen mitä Kiia.

Kaikkien yllätykseksi he voittivat arvalla 9000 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta euroa kukin saa.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Henkilö Osuus
    Kiia
    Ida
    Elias
    Yht.
  2. Merkitse Kiian osuutta kirjaimella $x$. Mikä on Idan osuus kirjaimen $x$ avulla ilmaistuna? Entä Eliaksen osuus? Täydennä ne taulukkoon. Ilmaise osuuksien yhteismäärä kirjaimen $x$ avulla.
  3. Mikä on osuuksien yhteismäärä taulukon mukaan? Mikä on osuuksien yhteismäärä euroina? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälö. Kuinka monta euroa kukin saa?
  5. Miten voit tarkistaa, että saamasi tulos on järkevä? Keksi ainakin yksi tapa ja selitä omin sanoin.

  1. Taulukko:
    Henkilö Osuus
    Kiia $x$
    Ida $2x$
    Elias $3x$
    Yht. $6x$
  2. Osuuksien yhteismäärästä saadaan yhtälö $$ 6x = 9000. $$
  3. Yhtälön ratkaisu on $x = 1500$. Voitto pitää siis jakaa seuraavasti: Kiian osuus $x = 1500$ euroa, Idan osuus $2x = 3000$ euroa ja Eliaksen osuus $3x = 4500$ euroa.
  4. Voi tarkistaa, että osuuksien summa on 9000 euroa. Lisäksi voi tarkistaa, että Idan osuus on kaksi kertaa Kiian osuus ja että Eliaksen osuus on kolme kertaa Kiian osuus.

Vili lastaa veneen peräkärryyn ja lähtee kuljettamaan sitä Haminasta Turkuun nopeudella 80 km/h. Emma lähtee hänen peräänsä puoli tuntia myöhemmin henkilöautolla. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan Emman on ajettava nopeudella 100 km/h ennen kuin hän saa Vilin kiinni. Kuinka kaukana Haminasta he silloin ovat?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Täydennä taulukkoon kummankin nopeus.
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h)
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$ $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$
  2. Kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma on ollut matkalla $x$ tuntia? Hyödynnä tietoa Vilin tuntinopeudesta.
  3. Mikä on Emman etäisyys Haminasta, kun hän lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Emma on ehtinyt, kun hän on ollut matkalla $x$ tuntia?
  4. Emma saavuttaa Vilin, kun heidän etäisyytensä Haminasta on yhtä suuri. Muodosta taulukon avulla sopiva yhtälö ja ratkaise se. Kuinka kauan kestää, että Emma saa Vilin kiinni?
  5. Kuinka kaukana Haminasta he ovat silloin?

  1. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia:
  2. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$
  3. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$ $0$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$ $100x$
  4. Yhtälö on $$ 100x = 40 + 80x. $$ Ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Emma saa siis Vilin kiinni kahden tunnin kuluttua.
  5. Kun Emma on ollut matkalla 2 tuntia, hänen etäisyytensä Haminasta on $2 \cdot 100 = 200$ km.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Mitkä seuraavista pisteistä ovat funktion $f(x) = -3x+2$ kuvaajan pisteitä? Perustele vastauksesi sopivilla laskuilla ja tarkista tuloksesi piirtämällä funktion kuvaaja.

  1. $(0,2)$
  2. $(2,-3)$
  3. $(1,-1)$

  1. On.
  2. Ei ole.
  3. On.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Olkoon $f(x) = -2x+5$. Määritä

  1. funktion $f$ arvo kohdassa nolla
  2. funktion $f$ nollakohta
  3. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $x$-akselin
  4. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Vertaa kohtien (a)-(d) vastauksia toisiinsa. Selitä havaintosi omin sanoin.

  1. $f(0) = 5$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$
  3. $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$
  4. $(0,5)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Päättele, mistä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta $f(x) = ax + b$ on kysymys. Toisin sanottuna päättele, mitkä ovat kertoimen $a$ ja vakion $b$ arvot. Kuvaajan hahmotteleminen voi auttaa päättelyssä.

  1. Tiedetään, että $f(3) = 3$ ja funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $-3$.
  2. Tiedetään, että $f(1) = 2$ ja $f(2) = -1$.
  3. Tiedetään, että $f(0) = 2$ ja funktiolla $f$ on nollakohta $x = 4$.

  1. $f(x) = 2x-3$
  2. $f(x) = -3x+5$
  3. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $f(x) = ax + 3$.

  1. Määritä se vakion $a$ arvo, jolla funktion $f$ nollakohta on $x = 4{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee aina vakion $a$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $a = -\dfrac{2}{3}$
  2. $(0,3)$

Lineaarinen riippuvuus

Erään sähköyhtiön hinnasto on seuraava: sähkön myynnin perusmaksu on 3,84 €/kk ja sähköenergian hinta on 6,55 c/kWh.

  1. Kuinka suuri on kuukauden sähkölasku, jos sähkönkulutus on 230 kilowattituntia kuukaudessa?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee sähkölaskun suuruuden, jos sähkönkulutus on $x$ kWh kuukaudessa.
  3. Kilpailevan sähköyhtiön perusmaksu on 5,99 €/kk ja sähköenergian hinta on 4,69 c/kWh. Millä sähkönkulutuksella kummankin yhtiön lähettämä sähkölasku olisi yhtä suuri? Anna vastaus kilowattitunnin tarkkuudella.

  1. Sähkölasku on 18,91 euroa.
  2. $f(x) = 0{,}0655x + 3{,}84$
  3. Kulutuksen pitäisi olla noin 116 kWh kuukaudessa.

Lineaarinen riippuvuus

Kun seurattiin paistilämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että viidessä minuutissa lämpötila kohosi $2 {}^\circ\text{C}$. Kello 15 lämpömittarin lukema oli $30 {}^\circ\text{C}$.

  1. Mikä on paistin lämpötila puolen tunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee paistin lämpötilan, kun kello kolmesta on kulunut $x$ minuuttia.
  3. Mihin aikaan paisti on kypsä? Ohjeen mukaan se on kypsä, kun sisälämpötila on $62 {}^\circ\text{C}$.

  1. Lämpötila on $42 {}^\circ\text{C}$.
  2. $f(x) = 30 + \dfrac{2}{5}x$ eli $f(x) = 30 + 0{,}4x$
  3. Paisti on kypsä klo 16.20 eli 80 minuutin kuluttua.

Lineaarinen riippuvuus

Yhdysvalloissa käytetään lämpötila-asteikkona yleisesti Fahrenheit-asteikkoa. Fahrenheitasteet saadaan muunnettua celsiusasteiksi yhtälön $$ y = \dfrac{5}{9}(x - 32) $$ avulla. Tässä $x$ on lämpötila fahrenheitasteina ja $y$ on sama lämpötila celsiusasteina ilmaistuna.

  1. Säätiedotus lupaa San Franciscoon enimmäkseen aurinkoista säätä ja lämpötilaksi $68 {}^\circ\text{F}$. Ilmaise lämpötila celsiusasteina.
  2. Kuinka kylmä Alaskassa on, jos lämpötila painuu alle nollan Fahrenheit-asteikolla?
  3. Missä lämpötilassa Celsius- ja Fahrenheit-asteikot näyttävät samaa lukemaa?

  1. Lämpötila on $20 {}^\circ\text{C}$.
  2. Noin $-17{,}8 {}^\circ\text{C}$.
  3. Lämpötilassa $-40 {}^\circ\text{C}$.
    Yhtälö on $$ x = \dfrac{5}{9}(x - 32) $$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(2x + 4) + (3x-8)$
  2. $(x - 7) - (2x - 2)$
  3. $x + 5x^2 - 3x^2 + 3x - x^2$

  1. $5x - 4$
  2. $-x-5$
  3. $4x + x^2$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $7 - 3(4x-2)$
  2. $2(5y + 4) + 2(y + 9)$
  3. $3(x - 2x^2)-(x + x^2) + 2(x + 3x^2)$

  1. $-12x + 13$
  2. $12y + 26$
  3. $4x - x^2$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $5x(x-3)$
  2. $-4x^2(8x-7x^3)$
  3. $6a(1-9b)$

  1. $5x^2 - 15x$
  2. $-32x^3 + 28x^5$
  3. $6a - 54ab$

Polynomien laskutoimituksia

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x + 10}{5}$
  2. $\dfrac{20x^2 + 8x}{2x}$
  3. $\dfrac{14x^4 + 7x^2}{7x^2}$

  1. $3x + 2$
  2. $10x + 4$
  3. $2x^2 + 1$

Polynomien laskutoimituksia

Laske:

  1. $\dfrac{3x + 3}{4} - \dfrac{5x-1}{12}$
  2. $\dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4}$
  3. $x - \dfrac{2(x-1)}{5}$

  1. $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{6}$
  2. $\dfrac{7}{12}x - \dfrac{1}{2}$
  3. $\dfrac{3}{5}x + \dfrac{2}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt:

  1. $4x - 3 = 9$
  2. $6x - 15 = 3x + 12$
  3. $6 - 7x = 14 - 5x$

  1. $x = 3$
  2. $x = 9$
  3. $x = -4$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt:

  1. $3x-5(2x-6) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-1}{2} = 4$

  1. $x = \dfrac{30}{7}$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = \dfrac{7}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt

  1. $\dfrac{x + 2}{5} = \dfrac{x-3}{6}$
  2. $\dfrac{2}{3}x - 1 = \dfrac{2}{3}$

[Lyhyt S2014/1a & S2012/1b]

  1. $x = -27$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt

  1. $3(2x-1) = 3x - 3$
  2. $4(3x+1) = 12x + 4$
  3. $2(5-x) = 5 - 2x$

  1. $x = 0$
  2. Kaikki luvut toteuttavat yhtälön.
  3. Mikään luku ei toteuta yhtälöä eli yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Yhtälön sovelluksia

Anna, Benjamin ja Elisa jakavat 1800 euroa niin, että Anna saa 25 % enemmän kuin Benjamin ja Elisa saa 20 % enemmän kuin Anna. Kuinka paljon rahaa kukin saa?

Anna 600 €, Benjamin 480 € ja Elisa 720 €.
Jos Benjaminin saamaan rahasummaa merkitään kirjaimella $x$, yhtälö on $$ x + 1{,}25x + 1{,}20 \cdot 1{,}25x = 1800 $$

Yhtälön sovelluksia

Suorakulmion muotoinen kenttä on aidattu 124 metriä pitkällä aidalla. Laske kentän pinta-ala, kun sen pituus on 8 m suurempi kuin leveys.

$945 \text{ m}^2$
Jos suorakulmion leveyttä merkitään kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 2x + 2(x + 8) = 124. $$ Sen ratkaisuna saadaan suorakulmion leveys $x = 27$ metriä. Pituus on $x + 8 = 35$ metriä. Suorakulmion pinta-ala on sen leveyden ja pituuden tulo.

Yhtälön sovelluksia

Kaksi työntekijää otti urakakseen huolehtia rästiin jääneiden tilausten toimittamisen asiakkaille. Urakkapalkkioksi sovittiin 1800 euroa. Lisäksi sovittiin, että palkkio jaetaan työntekijöille heidän tekemiensä työtuntien mukaan ja viikonlopulle osuneista työtunneista saa kaksinkertaisen korvauksen. Työntekijälle A kertyi 45 työtuntia ja työntekijälle B 40 tuntia, joista 12 tuntia hän oli tehnyt viikonloppuisin. Miten urakkapalkkio piti jakaa työntekijöiden kesken?

Työntekijän A palkkio 835,05 euroa ja työntekijän B palkkio 964,95 euroa.
Jos merkitään yhden tunnin palkkiota kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 45x + 28x + 12 \cdot 2x = 1800. $$ Tästä saadaan välivaiheiden jälkeen ratkaistua yhden tunnin palkkio $$ x = \dfrac{1800}{97} \approx 18{,}5567 \text{euroa}. $$

Yhtälön sovelluksia

Kauppias maksoi tuotteesta 50 euroa. Kuinka suureksi hänen pitäisi asettaa myyntihinta, jotta hän voisi myydä tuotteen tarvittaessa 15 % alennuksella ja saada silti voittoa 10 % itse maksamastaan hinnasta?

Myyntihinnan pitää olla vähintään 64,71 euroa.
Voiton määrä on $0{,}1 \cdot 50 = 5$ euroa. Alennetun hinnan pitää siten olla 55 euroa. Jos merkitään myyntihintaa kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 0{,}85x = 55. $$ Tästä saadaan $$ x = \dfrac{55}{0{,}85} \approx 64{,}71. $$

Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.

  1. Kuinka monta prosenttia hiilidioksidin määrä ilmakehässä on lisääntynyt edellä mainittujen mittauskertojen välillä?
  2. Tutkija mallintaa hiilidioksidipitoisuuden kasvua suoralla $y = kt + 316$. Tässä $y$ kuvaa hiilidioksidipitoisuutta (yksikkönä ppm) ja $t$ kulunutta aikaa vuoden 1958 maaliskuusta alkaen (yksikkönä vuosi). Määritä se suoran kulmakerroin $k$, jolla malli antaa mitatun tuloksen maaliskuussa 2016.
  3. Minkä arvon b-kohdan mallisi antaa maaliskuun 2020 hiilidioksidipitoisuudelle?

[Lyhyt K2018/5]

  1. Noin 28 %.
  2. Kulmakerroin $k = 1{,}53448\ldots \approx 1{,}53$.
  3. Noin 411 ppm.

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99
  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2000 kWh vuodessa?

[Lyhyt S2015/6]

  1. Lausekkeet: \begin{align*} a(x) &= 0{,}0662x + 4{,}02 \\ b(x) &= 0{,}0799x + 3{,}75 \end{align*}
  2. Kuukausikulutuksen tulisi olla noin 19,7 kWh.
  3. Vuoden aikana yhtiö B veloittaa 24,16 euroa enemmän.

Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa $y = kx + b$. Perusteluita ei tarvita.

[Lyhyt K2015/1]

  • Suoran 1 yhtälön on $y = 2x$.
  • Suoran 2 yhtälö on $y = -x + 1$.
  • Suoran 3 yhtälö on $y = -\frac{1}{2}$.

Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden $h$ suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla $h = 0$ keskilämpötila on $+15$ celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella $-56$ celsiusastetta.

  1. Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?
  2. Määritä ilman lämpötilan lauseke $T = T(h)$ korkeuden $h$ avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja $(h,T)$-koordinaatistoon, kun $0 \leq h \leq 11 \text{ km}$.

[Lyhyt K2015/5]

  1. Kun noustaan 11 km, ilma jäätyy 71 astetta. Kilometrin nousua kohti ilma jäähtyy $$ \frac{71}{11} \approx 6{,}5 $$ astetta.
  2. Ilman lämpötila korkeuden funktiona on $$ T(h) = -\dfrac{71}{11}h + 15, $$ missä $0 \leq h \leq 11 \text{ km}$. Kuva:

  1. Ratkaise yhtälö $$ 2(x+4) - 3(x-3) = 0. $$
  2. Sievennä lauseke $$ \dfrac{3a - 6a^2}{3a} $$

[Lyhyt K2013/1a & 1c]

  1. $x = 17$
  2. $\dfrac{3a - 6a^2}{3a} = 1 - 2a$

Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat 12,30 € kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat 98 000 euroa. Koteloita myydään aluksi 17,99 eurolla, mutta viimeiset 25 % myydään varaston tyhjentämiseksi 14,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta.

  1. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän $x$ avulla lausuttuna.
  2. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän $x$ avulla lausuttuna.
  3. Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla?

[Lyhyt K2013/14]

  1. $98\,000 + 12{,}30x$
  2. $4{,}6925x - 98000$
  3. Koteloita täytyy valmistaa vähintään 20 885 kappaletta.

Aikuisen ihmisen sääriluun pituus $y$ riippuu henkilön pituudesta $x$ kaavojen \begin{align*} y &= 0{,}43x - 27 \qquad \text{(nainen)} \\ y &= 0{,}45x - 31 \qquad \text{(mies)} \end{align*} mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri.

  1. Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli?
  2. Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu?

[Lyhyt S2012/11]

  1. Nainen oli n. 158 cm pitkä.
  2. Mallin mukaan miehen sääriluun pituus olisi n. 48 cm, joten kyseessä ei ole saman henkilön sääriluu.

  1. Funktion $$ f(x) = \dfrac{3}{2}x + b $$ nollakohta on $2$. Määritä vakion $b$ arvo.
  2. Missä pisteessä a-kohdan funktion kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

[Lyhyt K2012/4a & 4b]

  1. $b = -3$
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-3)$.

Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?
[Lyhyt S2011/4]

Beethoven eli 56-vuotiaaksi, Mozart 35-vuotiaaksi ja Bach 65-vuotiaaksi.

  1. Määritä lausekkeen $$ x(4x - 2) - 3x(x-1) - x $$ arvo, kun $x = -1$.
  2. Muuttujan arvo $x = 2$ toteuttaa yhtälön $$ x(x-5) + ax = 2. $$ Määritä kerroin $a$.

[Lyhyt K2015/2a & 2c]

  1. Kysytty arvo on $1$.
  2. $a = 4$

  1. Suoran kulmakerroin on $-\frac{1}{3}$, ja suora kulkee pisteen $(-1,2)$ kautta. Esitä suoran yhtälö muodossa $$ y = kx + b. $$
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla lausekkeet $2x + 3$ ja $-(x+3)$ saavat saman arvon?

[Lyhyt K2009/3a & S2013/1b]

  1. $-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$
  2. Lausekkeet saavat saman arvon, jos ja vain jos $x = -2$.

Kaupunkeja A ja B yhdistää 170 kilometriä pitkä maantie. Alpo lähtee A:sta klo 8.20 ajamaan kohti B:tä keskinopeudella 120 km/h. Berit lähtee B:stä klo 8.35 ajamaan kohti A:ta keskinopeudella 105 km/h. Kuinka kaukana A:sta ja mihin aikaan Alpo ja Berit kohtaavat? Muodosta sopiva yhtälö ja ratkaise se.
[Lyhyt K2009/5]

Alpo ja Berit kohtaavat klo 9.12, kun he ovat 104,7 km etäisyydellä kaupungista A.

Millä vakion $a$ arvoilla suorat $y = −3x + 2$ ja $y = ax + 6$ erottavat $x$-akselista janan, jonka pituus on $3$?
[Lyhyt S2008/8]

Arvolla $a = −\frac{18}{11}$ ja arvolla $a = \frac{18}{7}$.

Henkilö osti 150 gramman erän maustettua teetä 3,30 eurolla ja halvempaa mustaa teetä, jonka hinta oli 5,50 e/kg. Kuinka monta grammaa mustaa teetä tulisi maustetee-erään lisätä, jotta sekoituksen kilohinta olisi puolet maustetun teen kilohinnasta?
[Lyhyt S2007/5]

Mustaa teetä tulisi lisätä 300 g.

Täyttäessään 20 vuotta Laura oli 25 prosenttia vanhempi kuin sisarensa Veera. Kuinka monta prosenttia sisartaan vanhempi Laura on täyttäessään 30 vuotta?
[Lyhyt K2007/9]

Laura on noin 15,4 % vanhempi kuin sisarensa.

Autoilija ajoi 28 kilometriä pitkän tieosuuden nopeudella 80 km/h. Lopun matkasta hän ajoi moottoritietä pitkin. Millä keskinopeudella hän ajoi moottoritieosuuden, kun hän perille tultuaan totesi keskinopeuden koko 75 kilometrin ajomatkansa osalta olleen 100 km/h?
[Lyhyt K2006/6]

Keskinopeudella 117,5 km/h.

Metsänomistaja teetti metsätöitä urakoitsijalla ja sopi alustavasti työn hinnaksi kuitupuun osalta 14 €/m3 ja tukkipuun osalta 9,2 €/m3. Kuitupuuta kertyi 156 m3 ja tukkipuuta 89,4 m3. Alustaviin hintoihin ei sisältynyt kuitenkaan arvonlisäveroa, vaikka metsänomistaja oli näin ymmärtänyt. Keskustelujen jälkeen osapuolet päätyivät sopimukseen, jonka mukaan urakoitsija alentaa ilmoittamiaan verottomia hintoja siten, että koko urakan osalta metsänomistajalle koituva lisämaksu tulee yhtä suureksi kuin urakoitsijan antama alennus. Kuinka paljon metsänomistaja maksoi teettämästään työstä arvonlisäveroineen? Arvonlisäveron suuruus on 22 % työn verottomasta hinnasta.
[Lyhyt S2004/7]

Metsänomistaja maksoi 3304,42 euroa.

Koulutuslinjalle hyväksytyistä 207 opiskelijasta oli naisopiskelijoita 25 % enemmän kuin miesopiskelijoita. Määritä nais- ja miesopiskelijoiden määrät muodostamalla sopiva yhtälö ja ratkaisemalla tämä.
[Lyhyt K2004/3]

Naisopiskelijoita oli 115 ja miesopiskelijoita 92.

Ratkaise yhtälö $$ 5(3x+1) - 4(3-2x) = 2x. $$ Tutki, toteuttaako tämä ratkaisu myös yhtälön $$ 27x^3 - 54x + 17 = 0. $$ [Lyhyt S2003/2]

Ratkaisu on $x = \frac{1}{3}$. Sijoittamalla huomataan, että se toteuttaa myös yhtälön $$ 27x^3 - 54x + 17 = 0. $$

Henkilöauto, jonka nopeus on 100 km/h, ryhtyy ohittamaan edessään olevaa nopeudella 80 km/h ajavaa henkilöautoa. Ohittaja siirtyy vasemmalle kaistalle ollessaan 40 metrin päässä ohitettavasta ja palaa oikealle kaistalle 60 metrin päähän ohitettavan eteen. Kuinka pitkän matkan ohittaja ajoi vasemmalla kaistalla, ja kuinka kauan tämä ohitus kesti? Autojen pituuksia ei oteta huomioon.
[Lyhyt S2003/11]

Ohittaja ajoi vasemmalla kaistalla 500 m. Ohitus kesti 18 s.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Yhtälöpari

Tämän luvun tavoitteena on, että hallitset yhtälöparin ratkaisemisen sekä kuvan avulla että käsin laskemalla. Osaat

  • ratkaista yhtälöparin graafisesti piirtämällä sopivan kuvan
  • tarkistaa sijoittamalla, että löydetty ratkaisu on oikea
  • päätellä kuvan avulla, onko yhtälöparilla ratkaisuja ja kuinka monta niitä on
  • ratkaista yhtälöparin käsin laskemalla
  • ratkaista yhtälöparin tietokoneella tai laskimella
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia yhtälöparin avulla.

Edellisessä luvussa tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita. Kun tutkittiin, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädyttiin ensimmäisen asteen yhtälöön. Kun tutkitaan, missä kohdassa kaksi ensimmäisen asteen polynomifunktiota saavat saman arvon, päädytään lineaariseen yhtälöpariin.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden $f(x) = x-1$ ja $g(x) = -2x + 11$ kuvaajat.

  1. Päättele kuvan avulla, missä kohdassa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon. Toisin sanottuna etsi sellainen muuttujan $x$ arvo, jolla $f(x) = g(x)$.
  2. Mikä on se arvo, jonka funktiot saavat samassa kohdassa?

  1. Funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4$.
  2. Funktiot saavat kohdassa $x = 4$ arvon $3$. Toisin sanottuna $f(4) = 3$ ja $g(4) = 3$.

Edellisessä tehtävässä ratkaistiin graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-1 \\ y & = -2x + 11 \end{aligned}\right. $$ Sen ratkaisu on lukupari $x = 4$ ja $y = 3$, sillä suorien leikkauspiste $(4,3)$ toteuttaa kummankin suoran yhtälön.

Graafisen ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla kuten seuraavassa tehtävässä tehdään.

Tarkista sijoittamalla, että lukupari $x = 4$ ja $y = 3$ toteuttaa yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-1 \\ y & = -2x + 11 \end{aligned}\right. $$ molemmat yhtälöt.

Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3$.
Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $4-1 = 3$.
Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria, joten yhtälö toteutuu.

Toisen yhtälön vasen puoli: $3$.
Toisen yhtälön oikea puoli: $-2 \cdot 4 + 11 = -8 + 11 = 3$.
Vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria, joten yhtälö toteutuu.

Opiskelija sai tehtäväkseen ratkaista yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y & = 5 \\ 2x - 3y & = 3. \end{aligned}\right. $$ Hän piirsi Geogebralla kuvan, joka on näkyvissä alla. Päättele, mikä on yhtälöparin ratkaisu. Tarkista vastaus sijoittamalla.

Yhtälöparin ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$.

Tarkistus:
Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$.
Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $5$.
Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
Toisen yhtälön vasen puoli: $2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3$.
Toisen yhtälön oikea puoli: $3$.
Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Jos yhtälöparissa on suoran yhtälöitä muodossa $$ y = ax + b $$ voidaan piirtämisessä hyödyntää suoran jyrkkyyttä kuvaavaa kulmakerrointa $a$ ja vakiota $b$, joka ilmaisee suoran ja $y$-akselin leikkauspisteen korkeuden.

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = 2x - 3 \\ y & = 6 - x. \end{aligned}\right. $$

  1. Päättele suoran $y = 2x - 3$ yhtälöstä, mikä on suoran kulmakerroin ja millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin.
  2. Piirrä a-kohdan suora koordinaatistoon. Muista, että kulmakerroin ilmaisee, kuinka monta askelta suora nousee tai laskee, kun siirrytään yksi askel oikealle.
  3. Toinen tapa suoran piirtämiseen on seuraava: Keksi muuttujalle $x$ jokin arvo. Laske suoran $y = 6-x$ yhtälön avulla sitä vastaava $y$-koordinaatin arvo. Merkitse näin saamasi piste koordinaatistoon. Keksi sen jälkeen muuttujalle $x$ jotenkin toinen arvo ja laske jälleen vastaava $y$-koordinaatin arvo. Merkitse näin saamasi toinen piste koordinaatistoon. Piirrä näiden kahden pisteen kautta kulkeva suora.
  4. Päättele piirroksesi avulla, mikä on yhtälöparin ratkaisu. Tarkista sijoittamalla.

  1. Kulmakerroin on $2$. Vakio on $-3$ eli suora leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-3)$.
  2. Kulmakertoimesta nähdään, että suora nousee kaksi askelta aina, kun siirrytään koordinaatistossa yksi askel oikealle. Suora kulkee siis mm. pisteiden $(0,-3)$ ja $(1,-1)$ kautta.
  3. Valitaan vaikka $x = 0$, jolloin $$y = 6 - 0 = 6.$$ Suoran piste on $(0,6)$.
    Valitaan vaikka $x = 2$, jolloin $$y = 6 - 2 = 4.$$ Suoran piste on $(2,4)$.
  4. Yhtälöparin ratkaisu on lukupari $x = 3$ ja $y = 3$. Tarkistus:
    Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: $3$.
    Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$.
    Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Toisen yhtälön vasen puoli: $3$.
    Toisen yhtälön oikea puoli: $6 - 3 = 3$.
    Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Ensimmäisen asteen yhtälöparilla ei välttämättä ole lainkaan ratkaisuja. Seuraava tehtävä havainnollistaa asiaa.

  1. Opiskelija A ratkaisi graafisesti yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} y & = 2x - 3 \\ 10x & = 5y + 5 \end{aligned}\right. $$ ja päätteli alla näkyvästä piirroksesta, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Onko opiskelijan päättely oikein? Jos opiskelijan päättely ei ole oikein, anna hänelle ohje, mitä hänen kannattaa tehdä oikeaan johtopäätökseen pääsemiseksi.
  2. Opiskelija B ratkaisi graafisesti yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} 6x + 5y & = 3 \\ 4x & = 10 - 5y \end{aligned}\right. $$ ja päätteli alla näkyvästä piirroksesta, että yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Onko opiskelijan päättely oikein? Jos opiskelijan päättely ei ole oikein, anna hänelle ohje, mitä hänen kannattaa tehdä oikeaan johtopäätökseen pääsemiseksi.

  1. Opiskelijan johtopäätös on oikein. Kuvasta voi nimittäin nähdä, että suorat ovat yhdensuuntaiset. Sen vuoksi ne eivät leikkaa myöskään kuvan ulkopuolella. Yhtälöparilla ei siis ole ratkaisua.
  2. Opiskelijan johtopäätös on väärin. Kuvasta voi nimittäin päätellä, että suorat leikkaavat toisensa jossain pisteessä kuvan ulkopuolella. Yhtälöparilla siis on ratkaisu, mutta sen löytämiseksi pitäisi piirtää isompi koordinaatisto.

Edellisistä tehtävistä havaitaan, että lineaarisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Kolmas mahdollinen tilanne on, että lineaarisella yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua. Tällainen tilanne syntyy, jos yhtälöparin molemmat yhtälöt kuvaavat samaa suoraa. Silloin yhtälöparin ratkaisuja ovat kaikki suoran pisteet. Yhteenveto:

  • Jos suorat leikkaavat toisensa, ratkaisuja on täsmälleen yksi (suorien leikkauspiste):
  • Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ratkaisuja ei ole:
  • Jos yhtälöt kuvaavat samaa suoraa, ratkaisuja ovat kaikki suoran pisteet:

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = 2x - 10 \\ 6x - 3y & = 30. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä sopiva kuva esimerkiksi Geogebralla ja päättele yhtälöparin ratkaisu sen avulla.
  2. Onko lukupari $x = 5$ ja $y= 2$ yhtälöparin ratkaisu? Perustele omin sanoin tai laskemalla.
  3. Onko mahdollista valita muuttujalle $y$ sellainen arvo $y = b$, että lukupari $x = 5$ ja $y = b$ on yhtälöparin ratkaisu? Jos tämä on mahdollista, mikä on sopiva $b$?
  4. Keksi muuttujalle $x$ jokin arvo ja määritä sellainen muuttujan $y$ arvo, että lukupari $(x,y)$ on yhtälöparin ratkaisu. Mitä yhtälöä käytit?

  1. Yhtälöparin ratkaisuja ovat kaikki suoran $y = 2x - 10$ pisteet, koska kuvasta nähdään, että kumpikin yhtälö kuvaa samaa suoraa:
  2. Lukupari $x = 5$ ja $y = 2$ ei ole yhtälöparin ratkaisu, koska piste $(5,2)$ ei ole suoralla. Samaan johtopäätökseen voi päätyä myös sijoittamalla: Ensimmäisen yhtälön vasen puoli on $y = 2$ mutta oikea puoli on \begin{align*} 2x - 10 &= 2 \cdot 5 - 10 \\ &= 10 - 10 = 0. \end{align*} Yhtälö ei toteudu, koska sen vasen ja oikea puoli eivät ole yhtä suuret.
  3. Suora kulkee pisteen $(5,0)$ kautta, joten lukupari $x = 5$ ja $y = 0$ on yhtälöparin ratkaisu. Sopivan muuttujan $y$ arvon voi selvittää myös laskemalla: \begin{align*} y &= 2x - 10 \\ &= 2 \cdot 5 - 10 \\ &= 10 - 10 = 0. \end{align*}
  4. Muuttujan $x$ arvoksi voi keksiä mitä vain. Muuttujan $y$ arvon saa sen jälkeen selville yhtälön $y = 2x - 10$ avulla.

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} x - 3y & = 9 \\ 2x + 4y & = 5. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä sopiva kuva esimerkiksi Geogebralla ja päättele yhtälöparin ratkaisu sen avulla.
  2. Tarkista sijoittamalla, onko löytämäsi ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. Yhtälöparin ratkaisu näyttää pelkän kuvan perusteella olevan likimain $x \approx 5{,}1$ ja $y \approx - 1{,}3$.
  2. Tarkistus:
    Ensimmäisen yhtälön vasen puoli: \begin{align*} 5{,}1 - 3 \cdot (-1{,}3) &= 5{,}1 + 3{,}9 \\ &= 9. \end{align*} Ensimmäisen yhtälön oikea puoli: $9$. Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Toisen yhtälön vasen puoli: \begin{align*} 2 \cdot 5{,}1 + 4\cdot (-1{,}3) &= 10{,}2 - 5{,}2 \\ &= 5$ \end{align*} Toisen yhtälön oikea puoli: $5$.
    Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
    Kuvan avulla onnistuttiin löytämään tarkka ratkaisu.

Joissain tilanteissa yhtälöparin tarkan ratkaisun löytäminen piirroksen avulla ei ole mahdollista. Silloin tarvitaan muita ratkaisumenetelmiä. Seuraavassa kappaleessa opitaan ratkaisemaan yhtälöpari laskemalla eli algebrallisesti.

Tässä kappaleessa opetellaan ratkaisemaan yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. Tämän menetelmän avulla yhtälöparin tarkka ratkaisu löydetään silloinkin, kun se ei pelkän kuvan avulla onnistu. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspisteen koordinaateille saadaan vain likimääräiset arvot $x \approx 1{,}7$ ja $y \approx -0{,}3$.

Suorien leikkauspisteen tarkat koordinaatit saadaan ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = x-2 \\ y & = -2x+3. \end{aligned}\right. $$ Ylemmässä yhtälössä $y$ on yksinään vasemmalla puolella. Yhtälö siis kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoitetaan tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Näin saadaan uusi yhtälö, jossa on ainoana tuntemattomana $x$: $$ x - 2 = -2x + 3. $$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista normaaliin tapaan: \begin{align*} x - 2 &= -2x + 3 \quad \mid {} + 2 \\[1mm] x &= -2x + 5 \quad \mid {} + 2x \\[1mm] 3x &= 5 \quad \mid \, : 3 \\[1mm] x &= \dfrac{5}{3} \end{align*} Kun $x$ on ratkaistu, otetaan ylempi yhtälö uudestaan käyttöön. Sen avulla saadaan laskettua muuttujan $y$ arvo: \begin{align*} y &= x-2 = \dfrac{5}{3} - 2 = \dfrac{5}{3} - \dfrac{3 \cdot 2}{3} \\[1mm] &= \dfrac{5-6}{3} = \dfrac{-1}{3} \end{align*} Yhtälöparin ratkaisu on siis $$ x = \dfrac{5}{3} \ \text{ ja } \ y = -\dfrac{1}{3}. $$ Nämä ovat suorien leikkauspisteen koordinaatit.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y & = 6x-5 \\ y & = -3x + 25. \end{aligned}\right. $$

  1. Ylempi yhtälö kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoita tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Millaisen yhtälön saat?
  2. Ratkaise a-kohdan yhtälöstä $x$.
  3. Ota ylempi yhtälö uudelleen käyttöön ja laske sen avulla muuttujan $y$ arvo. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  4. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Yhtälö on $6x - 5 = -3x+25$.
  2. $x = \dfrac{10}{3}$
  3. $y = 6x - 5 = 6 \cdot \dfrac{10}{3} - 5 = 20 - 5 = 15$. Yhtälöparin ratkaisu on $$ x = \dfrac{10}{3} \ \text{ ja } \ y = 15. $$
  4. Huomaa, että alla olevaan kuvaan on sovitettu näkyviin juuri suorien leikkauspiste eivätkä koordinaattiakselit näy kokonaan:

Yhtälöparin yhtälöt eivät välttämättä ole valmiiksi sopivassa muodossa sijoittamista varten. Siinä tapauksessa pitää ensin valita toinen yhtälöistä ja muokata sitä niin, että toinen muuttuja on yksin yhtälön vasemmalla puolella. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y + 2x & = 5 \\ 3y - 4x & = 7. \end{aligned}\right. $$

  1. Muokkaa ylempää yhtälöä niin, että sen vasemmalla puolella on pelkkä $y$. Millaisen yhtälön saat?
  2. Saamasi yhtälö kertoo, miten $y$ voidaan ilmaista muuttujan $x$ avulla. Sijoita tämä lauseke alempaan yhtälöön muuttujan $y$ paikalle. Millaisen yhtälön saat?
  3. Ratkaise b-kohdan yhtälöstä $x$.
  4. Ota a-kohdan yhtälö uudelleen käyttöön ja laske sen avulla muuttujan $y$ arvo. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  5. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Yhtälö on $y = 5-2x$.
  2. Yhtälö on $3(5-2x) - 4x = 7$.
  3. $x = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.$
  4. Sijoitetaan: \begin{align*} y &= 5 - 2x = 5 - 2 \cdot 0{,}8 \\ &= 5 - 1{,}6 = 3{,}4. \end{align*} Yhtälöparin ratkaisu on $$ x = 0{,}8 \ \text{ ja } \ y = 3{,}4. $$
  5. Kuva:

Kannattaa aina ensimmäiseksi katsoa, kumpi yhtälö on helpompi muokata muotoon, jossa toinen muuttuja on yksinään vasemmalla puolella. Joskus on helpompi muokata yhtälöä niin, että vasemmalle puolelle jää pelkkä $x$.

Tehtävänä on ratkaista yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 3y + 2x & = 2 \\ 2y + x & = -1. \end{aligned}\right. $$

  1. Onko yhtälöparissa yhtälö, jossa toinen muuttujista esiintyy ilman kerrointa (eli kertoimella 1)? Valitse tämä yhtälö ja muokkaa sitä niin, että vasemmalle puolelle jää toinen muuttujista yksinään. Millaisen yhtälön saat?
  2. Jatka yhtälöparin ratkaisua normaaliin tapaan sijoittamalla. Mikä on yhtälöparin ratkaisu?
  3. Tarkista ratkaisusi järkevyys piirtämällä kuva suorista Geogebralla.

  1. Alemmassa yhtälössä esiintyy pelkkä $x$. Yhtälö voidaan muokata muotoon $x = -1 - 2y$.
  2. Ylempi yhtälö saadaan sijoittamalla muotoon $$3y + 2(-1-2y) = 2.$$ Siitä saadaan ratkaistua välivaiheiden jälkeen $y = -4$. Muuttujan $x$ arvoksi saadaan \begin{align*} x &= -1 - 2y \\ &= -1 - 2 \cdot (-4) \\ &= -1 + 8 = 7. \end{align*}
  3. Kuva:

Jotkin käytännön ongelmat voidaan mallintaa ja ratkaista yhtälöparin avulla. Mallintamisen voi aloittaa kokoamalla kaikki tiedot esimerkiksi taulukkoon. Sen jälkeen pitää miettiä, mitä tietoja puuttuu. Tuntemattomia mutta tarpeellisia tietoja kannattaa merkitä muuttujakirjaimilla.

Kahvila valmistaa omaa kahvisekoitustaan, johon käytetään kahvipapuja Etelä-Amerikasta ja Afrikasta. Etelä-Amerikassa tuotettu papulaatu EA maksaa 26,80 €/kg ja Afrikassa tuotettu papulaatu A maksaa 50,80 €/kg. Kahvila haluaa valmistaa yhden kilogramman sekoitusta, jonka hinnaksi tulee 34,00 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon kumpaakin papulaatua pitää sekoitukseen käyttää.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA
    A
    Sekoitus
  2. Täydennä taulukkoon eri papulaatujen kilohinnat. Merkitse papulaadun EA määrää kirjaimella $x$ ja papulaadun A määrää kirjaimella $y$. Ilmaise sekoituksen määrä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
  3. Laske taulukkoon papulaatujen EA ja A hinnat. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat hinnan, kun tunnet määrän ja kilohinnan. Ilmaise sekoituksen hinta papulaatujen EA ja A hintojen avulla.
  4. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla sekoituksen määrää ja hintaa:
    • Mikä on sekoituksen määrä taulukon mukaan? Miten paljon sekoitusta pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on sekoituksen hinta taulukon mukaan? Mikä sekoituksen hinnan pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri papulaatuja tarvitaan?

  1. Taulukko:
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA $x$ $26{,}80$
    A $y$ $50{,}80$
    Sekoitus $x + y$ $34{,}00$
  2. Taulukko:
    Laatu Määrä (kg) Kilohinta (€/kg) Hinta (€)
    EA $x$ $26{,}80$ $x \cdot 26{,}80$
    A $y$ $50{,}80$ $y \cdot 50{,}80$
    Sek. $x + y$ $34{,}00$ $x \cdot 26{,}80 + y \cdot 50{,}80$
  3. Sekoituksen määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 1. $$ Sekoituksen hinnasta saadaan yhtälö $$ 26{,}8x + 50{,}8y = 34. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 1 \\ 26{,}8x + 50{,}8y & = 34. \end{aligned}\right. $$
  4. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 \ \text{ ja } \ y = \dfrac{3}{10} = 0{,}3. $$ Papulaatua EA tarvitaan siis 0,7 kg ja papulaatua A tarvitaan 0,3 kg.

Iiris valmistaa puutarhansa omenista hilloa lahjaksi ystävilleen. Hän säilöö hillon 3 dl ja 5 dl purkkeihin. Hän valmistaa hilloa 14 litraa ja jakaa sen yhteensä 30 purkkiin. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta pientä ja kuinka monta isoa purkkia hänen pitää käyttää. Jääkö jokin purkki vajaaksi?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Merkitse pienten purkkien määrää kirjaimella $x$ ja isompien purkkien määrää kirjaimella $y$. Ilmaise purkkien kokonaismäärä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl
    5 dl
    Yht.
  2. Laske taulukkoon purkeissa olevan hillon kokonaismäärät. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat hillon määrän, kun tunnet yhden purkin tilavuuden ja purkkien määrän. Ilmaise hillon kokonaismäärä eri kokoisten purkkien hillomäärien avulla.
  3. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla purkkien määrää ja hillon määrää:
    • Mikä on purkkien määrä taulukon mukaan? Miten monta purkkia Iiris haluaa tehdä? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on hillon määrä taulukon mukaan? Miten paljon hilloa Iiris valmisti? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri kokoisia purkkeja tarvitaan?

  1. Taulukko:
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl $x$
    5 dl $y$
    Yht. $x+y$
  2. Taulukko:
    Purkki Lukumäärä Hillon määrä (l)
    3 dl $x$ $x \cdot 0{,}3$
    5 dl $y$ $y \cdot 0{,}5$
    Yht. $x+y$ $x \cdot 0{,}3 + y \cdot 0{,}5$
  3. Purkkien määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 30. $$ Hillon määrästä saadaan yhtälö $$ 0{,}3x + 0{,}5y = 14. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 30 \\ 0{,}3x + 0{,}5y & = 14. \end{aligned}\right. $$
  4. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = 5 \ \text{ ja } \ y = 25. $$ Pieniä 3 dl purkkeja tarvitaan siis 5 kpl ja isompia 5 dl purkkeja tarvitaan 25 kpl. Mikään purkki ei jää vajaaksi.

Suolahappoa käytetään mm. uima-allasveden pH:n säätämiseen ja rakennustyömailla betoniroiskeiden ja tiilien tai kivien puhdistukseen. Saatavilla on väkevää liuosta, jossa suolahappoa on 33 %, ja laimeaa liuosta, jossa suolahappoa on 1 %. Näistä halutaan valmistaa 10 litraa liuosta, jonka suolahappopitoisuus on 5 %. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon kumpaakin liuosta tarvitaan.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Liuos Pitoisuus (%) Määrä (l) Suolan määrä (l)
    Väkevä
    Laimea
    Sekoitus
  2. Täydennä taulukkoon eri liuosten suolahappopitoisuudet. Merkitse väkevän liuoksen määrää kirjaimella $x$ ja laimean liuoksen määrää kirjaimella $y$. Ilmaise sekoituksen määrä kirjainten $x$ ja $y$ avulla.
  3. Laske taulukkoon liuosten suolahapon määrät. Vinkki: mieti, millä laskutoimituksella saat suolahapon määrän, kun tunnet liuoksen kokonaismäärän ja suolahappopitoisuuden. Ilmaise sekoituksen suolahapon määrä väkevän ja laimean liuoksen suolahappomäärien avulla.
  4. Muodosta yhtälöpari tarkastelemalla sekoituksen määrää ja sen sisältämän suolahapon määrää:
    • Mikä on sekoituksen määrä taulukon mukaan? Miten paljon sekoitusta pitää olla? Millaisen yhtälön saat?
    • Mikä on sekoituksen sisältämän suolahapon määrä taulukon mukaan? Mikä määrän pitää olla, jotta pitoisuus on oikea? Millaisen yhtälön saat?
  5. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kertaa tarvittaessa yhtälöparin ratkaiseminen tehtävästä 2.9. Kuinka paljon eri liuoksia tarvitaan?

  1. Taulukko:
    Liuos Pitoisuus (%) Määrä (l) Suolan määrä (l)
    Väkevä 33 % $x$
    Laimea 1 % $y$
    Sekoitus 5 % $x+y$
  2. Taulukko:
    Liuos Pitoisuus (%) Määrä (l) Suolan määrä (l)
    Väkevä 33 % $x$ $0{,}33x$
    Laimea 1 % $y$ $0{,}01y$
    Sekoitus 5 % $x+y$ $0{,}33x + 0{,}01y$
  3. Sekoituksen määrästä saadaan yhtälö $$ x + y = 10. $$ Sekoituksen sisältämän suolahapon määrästä saadaan yhtälö (huom. 10 litrassa sekoitusta pitää olla 5 % suolahappoa) $$ 0{,}33x + 0{,}01y = 0{,}05 \cdot 10. $$ Yhtälöpari on siis $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 10 \\ 0{,}33x + 0{,}01y & = 0{,}5. \end{aligned}\right. $$
  4. Yhtälöparin ratkaisuksi saadaan $$ x = 1{,}25 \ \text{ ja } \ y = 8{,}75. $$ Väkevää liuosta tarvitaan siis 1,25 litraa ja laimeaa liuosta 8,75 litraa.

Yhtälöpari

Tehtävänä on ratkaista graafisesti yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 2x + y & = 12 \\ y & = x - 3. \end{aligned}\right. $$

  1. Piirrä yhtälöitä vastaavat suorat Geogebralla ja päättele yhtälön ratkaisu kuvan avulla.
  2. Tarkista sijoittamalla, onko ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. Ratkaisu on $x = 5$ ja $y = 2$.
  2. Sijoitetaan ensimmäisen yhtälön vasemmalle puolelle ja lasketaan: $$ 2x + y = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 2 = 12. $$ Tuloksena yhtälön oikea puoli, joten yhtälö toteutuu.
    Sijoitetaan toisen yhtälön oikealle puolelle ja lasketaan: $$ x - 3 = 5 - 3 = 2. $$ Tuloksena yhtälön oikea puoli, joten yhtälö toteutuu. Luvut $x = 5$ ja $y = 2$ toteuttavat molemmat yhtälöt, joten ratkaisu on tarkka.

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari graafisesti ja tarkista sijoittamalla, onko ratkaisu tarkka vai likimääräinen.

  1. $$ \left\{\begin{aligned} 11x + 39y & = 152 \\ -20x + 11y & = 135 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 4x + 3y & = -2 \\ 5x + 2y & = 1 \end{aligned}\right. $$

  1. Ratkaisu on $x = -4$ ja $y = 5$ kuvasta luettuna.

    Sijoittamalla huomataan, että ratkaisu on likimääräinen: $$ \left\{\begin{aligned} 11 \cdot (-4) + 39 \cdot 5 & = 151 \approx 152 \\ -20 \cdot (-4) + 11 \cdot 5 & = 135 \end{aligned}\right. $$ Siis yhtälöparin ratkaisu on $x \approx -4$ ja $y \approx 5$.
  2. Ratkaisu on $x = 1$ ja $y = -2$ kuvasta luettuna.

    Sijoittamalla huomataan, että ratkaisu on tarkka.

Yhtälöpari

Taina ja Riina osallistuvat pyöräilyhaasteeseen, jossa parin pitää pyöräillä yhteensä 250 km. Riina lupaa pyöräillä 70 km enemmän kuin Taina. Kuinka pitkä matka kummankin pitää pyöräillä, jotta vaadittu matka täyttyy mutta ei ylity?

  1. Merkitse Tainan pyöräilymatkaa kirjaimella $x$ ja Riinan pyöräilymatkaa kirjaimella $y$. Millaisen yhtälön saat matkojen kokonaismäärästä?
  2. Millaisen yhtälön saat Riinan lupauksesta?
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka pitkät matkat Taina ja Riina pyöräilevät?

  1. $x + y = 250$
  2. $y = x + 70$
  3. Yhtälöparin ratkaisu on $x = 90$ ja $y = 160$. Siis Taina pyöräilee 90 km ja Riina 160 km.

Yhtälöpari

Iltarastien tulosluettelosta nähtiin, että osallistujia oli ollut yhteensä 162. Järjestäjät laskivat, että karttojen myynti oli tuottanut rahaa 944 euroa. Aikuisten karttamaksu oli 7 € ja lasten 2 €. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta lasta iltarasteille osallistui.

  1. Merkitse lasten määrää kirjaimella $x$ ja aikuisten määrää kirjaimella $y$. Millaisen yhtälön saat osallistujien kokonaismäärästä?
  2. Millaisen yhtälön saat tapahtuman kokonaistuotosta?
  3. Ratkaise muodostamasi yhtälöpari. Kuinka monta lasta iltarasteille osallistui?

  1. $x + y = 162$
  2. $2x + 7y = 944$
  3. Yhtälöparin ratkaisu on $x = 38$ ja $y = 124$. Iltarasteille osallistui siis 38 lasta.

Yhtälöpari

Salibandyseura on tilaamassa mailoja. Käytettävissä on 500 euroa. Halvempi maila maksaa 26 € ja kalliimpi 30 €. Tarkoituksena on hankkia 18 mailaa. Kuinka monta kappaletta halvempaa ja kuinka monta kappaletta kalliimpaa mallia pitää tilata?

Halvempia mailoja 10 kpl ja kalliimpia 8 kpl.
Yhtälöpari on $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 18 \\ 26x + 30y & = 500. \end{aligned}\right. $$

Yhtälöpari

Radiojuontaja kertoo, että hänen isoisänsä on neljä kertaa niin vanha kuin hänen serkkunsa. Lisäksi juontaja paljastaa, että serkun ja isoisän yhteenlaskettu ikä on 80 vuotta. Kysymys on, minkä ikäinen serkku on. Nopeimmin oikean vastauksen keksinyt voittaa liput festareille. Vastata saa vain kerran. Mitä vastaisit?

Serkku on 16-vuotias.
Yhtälöpari on $$ \left\{\begin{aligned} x + y & = 80 \\ y & = 4x. \end{aligned}\right. $$

Yhtälöpari

Leikkaavatko seuraavien funktioiden kuvaajat toisensa? Jos leikkaavat, mitkä ovat leikkauspisteen koordinaatit? \begin{align*} f(x) &= 2x-7 \\[1mm] g(x) &= 5x - 58 \end{align*}

Kuvaajat leikkaavat pisteessä $(17,27)$.

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari

  1. $$ \left\{\begin{aligned} x + 2y & = -4 \\ 2x - y & = -3 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 2x + y & = 4 \\ -x + 2y & = 1. \end{aligned}\right. $$

[Lyhyt S2012/1c & S2013/2b]

  1. $x = -2$ ja $y = -1$
  2. $x = \dfrac{7}{5} \ \text{ ja } \ y = \dfrac{6}{5}$

Yhtälöpari

Ratkaise yhtälöpari

  1. $$ \left\{\begin{aligned} x - 2y & = 0 \\ x - 3y & = 1 \end{aligned}\right. $$
  2. $$ \left\{\begin{aligned} 2x - y & = 1 \\ x + y & = 8. \end{aligned}\right. $$

[Lyhyt K2011/1c & K2012/1c]

  1. $x = -2$ ja $y = -1$
  2. $x = 3$ ja $y = 5$

Yhtälöpari

  1. Ratkaise yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} y - x + 1 & = 0, \\ 4y & = 12 - x. \end{aligned}\right. $$
  2. Missä pisteessä suorat $x + 5y = 1$ ja $x - 5y = 5$ leikkaavat toisensa?

[Lyhyt S2017/1b & S2014/1]

  1. Ratkaisu on $x = \dfrac{16}{5} \ \text{ ja } \ y = \dfrac{11}{5}$.
  2. Leikkauspisteen koordinaatit ovat $x = 3$ ja $y = -\dfrac{2}{5}$.

Kiinalainen arvoitus 5 000 vuoden takaa: Häkissä on fasaaneja ja kaniineja. Niillä on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta fasaania ja kuinka monta kaniinia häkissä on?
[Lyhyt K2014/6]

Kaniineja on 12 ja fasaaneja 23.

Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta 2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä 2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja 629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.

  1. Ennusteen mukaan asukasluku $y$ toteuttaa yhtälön $$ y = a(x-2014) + b, $$ kun $x$ on vuosiluku. Määritä vakioiden $a$ ja $b$ tarkat arvot käyttämällä yllä mainittuja tietoja.
  2. Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014-2030? Anna vastaus 1000 asukkaan tarkkuudella.
  3. Piirrä asukasluvun $y$ kuvaaja välillä $2014 \leq x \leq 2030$.

[Lyhyt K2014/14]

  1. $a = 5619{,}25$ ja $b = 607417$.
  2. Asukasluku kasvaa noin 90 000 ihmisellä.
  3. Kuva:

Millä vakion $a$ arvolla yhtälöparilla $$ \left\{\begin{aligned} 2x + (a+1)y & = 5 \\ 3x + (a-2)y & = a \end{aligned}\right. $$ ei ole ratkaisua?
[Lyhyt S2010/13]

$a = -7$

Kupari-nikkeliseoksessa on 75 % kuparia ja 25 % nikkeliä. Toisessa kupari-nikkeliseoksessa on kuparia 80 % ja nikkeliä 20 %. Näistä valmistetaan sulattamalla 300 g kupari-nikkeliseosta, jonka nikkelipitoisuus on 22 %. Kuinka paljon kumpaakin seosta tähän tarvitaan?
[Lyhyt S2008/6]

Ensimmäistä seosta tarvitaan 120 g ja toista seosta tarvitaan 180 g.

Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 110 g sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 120 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä käytettiin 3,2 kg ja sinistä 3,5 kg?
[Lyhyt S2007/8]

Maalia A valmistettiin 22 litraa ja maalia B valmistettiin 12 litraa.

Lauralta kului koulumatkaan 15 minuuttia. Tavallisesti hän saapui kouluun kellon soidessa. Eräänä aamuna hän lähti kotoa 6 minuuttia tavallista myöhempään, ja vaikka hän kulki nopeammin, hän myöhästyi. Koulun kellon soidessa hänellä oli vielä 5 % matkasta jäljellä. Kuinka monta prosenttia tavallista nopeammin hän oli tällöin kulkenut?
[Lyhyt S2006/7]

Laura oli kulkenut noin 58 % tavallista nopeammin.

Lämpömittaria tutkittiin tarkkuusmittarin avulla. Kun lämpömittari näytti $−9{,}9 {}^\circ\text{C}$, oikea lämpötila oli $−9{,}2 {}^\circ\text{C}$. Kun lämpömittari näytti $18{,}5 {}^\circ\text{C}$, oikea lämpötila oli $18{,}1 {}^\circ\text{C}$. Oletetaan, että oikean lämpötilan ja lämpömittarin lukeman välinen riippuvuus on lineaarinen.

  1. Johda lauseke, jolla oikea lämpötila $y$ voidaan laskea, kun lämpömittarin lukema $x$ tunnetaan. Ilmoita esiintyvät kertoimet neljän desimaalin tarkkuudella.
  2. Missä lämpötilassa lämpömittari näyttää aivan oikein?

[Lyhyt K2005/12]

  1. $y = 0{,}9613x + 0{,}3165$
  2. Noin lämpötilassa $8{,}2 {}^\circ\text{C}$.

Lukion juhlasalissa, johon mahtuu 260 henkilöä, järjestetään esitelmätilaisuus. Rehtori kutsuu tilaisuuteen asiasta kiinnostuneita oppilaiden vanhempia sekä muita henkilöitä. Kokemuksesta hän tietää, että vanhemmista saapuu paikalle 65 % ja muista henkilöistä 45 %. Rehtori haluaa, että tulijoita olisi juuri salin kapasiteetin verran ja että kolme neljäsosaa läsnäolijoista olisi oppilaiden vanhempia. Kuinka monelle vanhemmalle ja kuinka monelle muulle henkilölle kutsu on lähetettävä?
[Lyhyt S2004/4]

Vanhempia on kutsuttava 300 ja muita henkilöitä 144.

Potilas ostaa apteekista kahta lääkettä, joista toinen kuuluu peruskorvattaviin ja toinen erityiskorvattaviin lääkkeisiin. KELA maksaa peruskorvattavista lääkekuluista puolet 8,41 € ylittävästä osasta ja erityiskorvattavista lääkekuluista 75 % osasta, joka ylittää 4,20 €. Mitkä olivat lääkkeiden hinnat, kun ne yhteensä maksoivat 51,01 € ja potilaan maksettavaksi jäi yhteensä 23,16 €?
[Lyhyt K2003/4]

Peruskorvattavan lääkkeen hinta oli 12,21 euroa ja erityiskorvattavan 38,80 euroa.

Lentokone lähtee aikataulun mukaan paikasta A klo 14.10 ja saapuu paikkaan B klo 17.00. Paluumatkalle lentokone lähtee B:stä klo 18.55, ja se on perillä A:ssa seuraavana päivänä klo 8.45. Paluumatka kestää tunnin enemmän kuin menomatka. Paljonko kello on paikassa B lentokoneen saapuessa A:han? Kaikki ilmoitetut ajat ovat paikallisia aikoja.
[Lyhyt S2002/9]

Kun lentokone saapuu paikkaan A, kello on 3.45 paikassa B.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Verrannollisuus

Tämän luvun tavoitteena on, että pystyt soveltamaan suoraan ja kääntäen verrannollisuutta arkielämän ongelmien ratkaisemiseen. Osaat

  • tunnistaa, ovatko suureet suoraan tai kääntäen verrannollisia
  • jäsentää ongelman tiedot taulukon muotoon
  • muodostaa ja ratkaista verrannon tai muun sopivan yhtälön
  • tutkia suoraan ja kääntäen verrannollisia suureita myös graafisesti.

Tässä luvussa tutustutaan matematiikkaan, jota suuri osa ihmisistä käyttää arkipäiväisessä elämässään kiinnittämättä asiaan kovin paljon huomioita. Seuraavassa tehtävässä on yksi tällainen tilanne. Voit ratkaista tehtävän esimerkiksi arkijärjellä päättelemällä tai jollakin muulla sinulle luontevalla tavalla.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon maksaa 285 g kuivattuja päärynöitä?

4,25 €.

Tutkitaan seuraavaksi, millaista matematiikkaa edelliseen tehtävään liittyy. Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja massaa. Luvussa 1 opittiin, että suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: päärynöiden massa on 285 g.

Jos suureilla on sama yksikkö, niitä voidaan verrata muodostamalla niiden suhde eli osamäärä. Esimerkiksi voidaan verrata päärynöiden massoja: $$ \dfrac{285 \text{ g}}{100 \text{ g}} = 2{,}85. $$ Päärynöiden hinta on ilmaistu sanomalla, että 100 grammaa maksaa 1,49 €. Yllä olevan suhteen mukaan massa 285 g on siihen verrattuna 2,85-kertainen, joten hintakin on 2,85-kertainen. Siis 285 g päärynöitä maksaa $$ 2{,}85 \cdot 1{,}49 \ \euro = 4{,}2465 \ \euro \approx 4{,}25 \ \euro. $$

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi tehtävässä 3.1. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Kuivattujen päärynöiden hinta on 1,49 € / 100 g. Kuinka paljon kuivattuja päärynöitä saa viidellä eurolla?

Noin 335 grammaa.

Usein tehtävän ratkaisu helpottuu, jos kokoaa kaikki tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon. Kysyttä asiaa voi merkitä kirjaimella $x$. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Määrä (g) Hinta (€)
Asiakkaalla $x$ 5,00
Hintalapussa 100 1,49

Taulukosta saadaan muodostettua kaksi suhdetta: päärynöiden määrän suhde ja päärynöiden hinnan suhde. Jos päärynöiden määrä esimerkiksi kaksinkertaistuu, myös hinta kaksinkertaistuu. Vaikka suureet muuttuvat, niiden suhteet pysyvät samana. Saadaan yhtälö $$ \dfrac{x}{100} = \dfrac{5{,}00}{1{,}49}. $$ Tällainen yhtälö, jossa kaksi suhdetta on merkitty yhtä suuriksi, on nimeltään verranto. Kysytty päärynöiden määrä saadaan selville, kun verrannon molemmat puolet kerrotaan sadalla: \begin{align*} \dfrac{x}{100} &= \dfrac{5{,}00}{1{,}49} \quad \mid \ \cdot 100\\[1mm] x &= \dfrac{100 \cdot 5{,}00}{1{,}49} \approx 335{,}57 \end{align*} Viidellä eurolla saadaan siis noin 336 grammaa kuivattuja päärynöitä. Tarkasti ottaen tässä pyöristyksen voi tehdä alaspäin: jos käytettävissä on enintään 5,00 euroa, riittää se 335 grammaan päärynöitä, mutta 336 grammaa maksaa jo hiukan liikaa.

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi tehtävässä 3.2. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata ja tutkia myös graafisesti. Tähän perehdytään seuraavassa tehtävässä.

Tässä tehtävässä tutkitaan päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta graafisesti eli kuvan avulla.

  1. Tiedetään, että 100 g kuivattuja päärynöitä maksaa 1,49 €. Täytä tämän tiedon avulla seuraava taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0
    100 1,49
    200
    300
    400
    500
    600
    700
    800
  2. Jokainen taulukon rivi vastaa koordinaatiston pistettä. Esimerkiksi yksi piste on $(100; 1{,}49)$. Piirrä samanlainen koordinaatisto kuin alla ja merkitse kaikki muutkin pisteet siihen. Millainen kuvio pisteistä muodostuu?
  3. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon maksaa 650 g kuivattuja päärynöitä? Selitä omin sanoin ja piirroksin.
  4. Miten saisit b-kohdan kuvan avulla selvitettyä, kuinka paljon kuvattuja päärynöitä saa 7 eurolla? Selitä omin sanoin ja piirroksin.

  1. Taulukko:
    Määrä (g) Hinta (€)
    0 0
    100 1,49
    200 2,98
    300 4,47
    400 5,96
    500 7,45
    600 8,94
    700 10,43
    800 11,92
  2. Pisteet asettuvat suoralle:
  3. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, mikä suoran pisteen $y$-koordinaatti on kohdassa $x = 650$. Havaitaan, että 650 g päärynöitä maksaa noin 9,7 euroa:
  4. Piirretään suora näkyviin ja katsotaan, missä kohdassa suoran pisteen $y$-koordinaatti on $y = 7$. Havaitaan, 7 eurolla saa noin 470 grammaa päärynöitä:

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että päärynöiden määrän ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata origon kautta kulkevalla suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan suoraan verrannollisilla suureilla.

MÄÄRITELMÄ: SUORAAN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = kx.$$ Vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin suoraan verrannollisuutta kuvaa nouseva suora:

Kuvasta nähdään, että suoraan verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat samaan suuntaan: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), myös suureen $y$ arvo kasvaa (eli liikutaan $y$-akselia ylöspäin). Suureiden välinen suhde on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = kx$$ seuraa, että $$ \dfrac{y}{x} = k. $$ Suoraan verrannolliset suureet muuttuvat siis samassa suhteessa: Jos toinen vaikkapa kolminkertaistuu, myös toinen kolminkertaistuu. Suureiden suhde pysyy samana.

Päättele kuvaajista, ovatko suureet $x$ ja $y$ suoraan verrannolliset. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset. Koska suora kulkee pisteen $(0,1)$ kautta, sen yhtälö on muotoa $y = kx + 1$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora $y = kx$.
  3. Suureet $x$ ja $y$ eivät ole suoraan verrannolliset, sillä niiden välistä riippuvuutta ei kuvaa minkäänlainen suora.

Jos suureet ovat suoraan verrannolliset, voidaan tuntemattomia arvoja selvittää verrannon avulla kuten jo aiemmin tehtiin. Käytännössä suoraan verrannolliset suureet tunnistetaan, kun mietitään arkijärjellä, kasvavatko suureet samassa suhteessa. Tämän voi tehdä esimerkiksi miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa myös toinen suure kaksinkertaistuu, ovat suureet suoraan verrannolliset.

Leirille osallistuu 26 henkeä. Aamupalalla tarjoillaan kaurapuuroa. Kaurahiutalepaketin ohjeen mukaan neljän hengen annokseen laitetaan 5 dl kaurahiutaleita ja 1,25 litraa vettä. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta 500 g kaurahiutalepakettia leiriä varten pitää ostaa, kun leiri kestää kolme vuorokautta. Kaurahiutalepaketin kyljestä nähdään, että 1 dl kaurahiutaleita painaa n. 35 grammaa.

  1. Tunnista tehtävästä kaksi suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia. Keksitkö vielä kaksi muuta suuretta, jotka ovat suoraan verrannollisia? Selitä omin sanoin, miten päättelit niiden olevan suoraan verrannollisia.
  2. Selvitä, kuinka paljon kaurahiutaleita tarvitaan, kun puuroa keitetään 26 hengelle. Muodosta sopiva verranto ja ratkaise se. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa.
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä
    Paketin reseptissä
  3. Ilmaise b-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella
    Paketin kyljessä
  4. Kuinka paljon kaurahiutaleita kuluu koko leirin aikana? Kuinka monta 500 gramman pakettia kannattaa ostaa?

  1. Suoraan verrannollisia ovat esimerkiksi ihmisten lukumäärä ja tarvittavien kaurahiutaleiden määrä. Nimittäin jos ihmisten määrä kaksinkertaistuu, tarvitaan myös kaurahiutaleita kaksinkertainen määrä.

    Suoraan verrannollisia ovat myös esimerkiksi puuroon käytettävä kaurahiutaleiden määrä ja veden määrä. Jos toinen kaksinkertaistetaan, pitää toinenkin kaksinkertaistaa, jotta puuro onnistuu.

  2. Taulukko:
    Hiutaleita (dl) Ihmisiä
    Leirillä $x$ 26
    Paketin reseptissä 5 4
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{26}{4}. $$ Ratkaisu on $x = 32{,}5$ dl.
  3. Ilmaise a-kohdan hiutalemäärä grammoina. Voit käyttää apuna alla olevaa taulukkoa ja sopivaa verrantoa.
    Hiutaleita (dl) Hiutaleita (g)
    Aamiaisella 32,5 $y$
    Paketin kyljessä 1 35
    Saadaan verranto $$ \dfrac{y}{35} = \dfrac{32{,}5}{1}. $$ Ratkaisu on $y = 1137{,}5$ g. Kun otetaan huomioon, että lähtötiedoissa on 2-3 merkitsevää numeroa, on tulos järkevää pyöristää samaan tarkkuuteen: yhtenä aamuna kuluu noin 1140 grammaa kaurahiutaleita.
  4. Edellisen kohdan avulla voidaan arvioida, että koko leirin aikana kuluu noin $3 \cdot 1140 \text{ g} = 3420 \text{ g}$ kaurahiutaleita. Koska $$ \dfrac{3420 \text{ g}}{500 \text{ g}} = 6{,}84, $$ tarvitaan seitsemän 500 gramman pakettia. Tarkistus: $7 \cdot 500 \text{ g} = 3500 \text{ g}$ eli riittävästi.

Edellisessä tehtävässä selvitettiin kaurahiutaleiden määrä verrannon avulla, kun tiedetiin, että kaurahiutaleiden määrä ja ihmisten määrä ovat suoraan verrannollisia. Oikeanlaisen verrannon muodostamisessa kannattaa käyttää apuna taulukkoa:

Suure A Suure B
Tilanne 1
Tilanne 2

Taulukossa oleellista on, että kumpikin suure on omassa sarakkeessaan ja niiden arvot eri tilanteissa ovat johdonmukaisesti omilla riveillään. Tällöin taulukosta saadaan suoraan muodostettua sopiva verranto. Verrannon ratkaiseminen on helpointa, jos taulukon laatii niin, että kysytty asia on taulukon ylimmällä rivillä.

Laura pyöräilee 5,9 kilometrin matkan kirjastoon 22 minuutissa.

  1. Uimahalli on 8,2 km päässä. Kuinka kauan Lauran pyörämatka uimahallille kestää? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  2. Viikonloppuna Laura päättää pyöräillä kaverinsa luo. Matkan pituus on reittioppaan mukaan 13,3 km. Kuinka paljon aikaa Lauran kannattaa varata matkaan? Muodosta sopiva verranto taulukon avulla ja ratkaise se.
  3. Kumpi a- ja b-kohdan tuloksista mielestäsi paremmin ennustaa pyörämatkan todellista kestoa? Selitä omin sanoin, miten ja miksi matkan todellinen kesto voi poiketa lasketusta.

  1. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Uimahalli $x$ 8,2
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{8{,}2}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{8{,}2}{5{,}9} \approx 31$$ eli noin 31 minuuttia.
  2. Taulukko:
    Aika (min) Matka (km)
    Kaveri $x$ 13,3
    Kirjasto 22 5,9
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{22} = \dfrac{13{,}3}{5{,}9}. $$ Ratkaisu on $$x = 22 \cdot \dfrac{13{,}3}{5{,}9} \approx 50$$ eli noin 50 minuuttia.
  3. Voi ajatella, että a-kohdan tulos saattaa olla luotettavampi, koska lyhyemmällä matkalla jaksaa paremmin pitää saman nopeuden kuin kirjastoon ajaessa. Sääolosuhteet ja esimerkiksi liikennevalot voivat vaikuttaa molempien matkojen kestoon.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen auton nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin. Märällä tiellä mitattiin auton jarrutusmatkaksi 10 metriä, kun jarrutus aloitettiin 40 km/h nopeudesta.

  1. Selvitä, mikä olisi jarrutusmatka vastaavissa olosuhteissa, jos nopeus jarrutuksen alkaessa olisi 60 km/h. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio
    Mittaus
  2. Tutki, miten jarrutusmatka pitenee, jos nopeus kaksinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan nopeuden ja selvittää sitä vastaavan jarrutusmatkan samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $60^2 = 3600$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{3600}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{36}{16} = 22{,}5$$ eli noin 23 metriä.
  2. Voidaan käyttää nopeutta $$2 \cdot 40 \text{ km/h} = 80 \text{ km/h}.$$ Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Arvio $x$ $80^2 = 6400$
    Mittaus $10$ $40^2 = 1600$
    Saadaan verranto $$ \dfrac{x}{10} = \dfrac{6400}{1600}. $$ Ratkaisu on $$x = 10 \cdot \dfrac{64}{16} = 40.$$ Nopeuden kaksinkertaistuessa jarrutusmatka muuttuu 10 metristä 40 metriin eli nelinkertaistuu.

Tässä kappaleessa tutustutaan toiseen yleiseen verrannollisuuden lajiin: kääntäen verrannollisuuteen. Sekin esiintyy useissa arkisissa tilanteissa, joista yksi esimerkki on seuraavassa tehtävässä. Voit ratkaista tehtävän jollakin sinulle sopivalla tavalla päättelemällä.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Kuinka paljon vettä jokaiselle juoksijalle riitti, jos osallistujia oli lopulta vain 239?

Noin 4,0 dl.

Tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: juoksijoiden määrää ja juomaveden määrää. Ratkaisun kannalta oleellinen tieto on näiden tulo eli juomaveden kokonaismäärä: $$ 274 \cdot 3{,}5 \text{ dl} = 959 \text{ dl.} $$ Juomaveden kokonaismäärä ei muutu, vaikka osallistujia tulisi odotettua vähemmän. Osallistujaa kohti käytettävissä olevan veden määrä saadaan jakolaskulla: $$ \dfrac{959 \text{ dl}}{239} \approx 4{,}0 \text{ dl.} $$

Vertaa yllä esitettyä ratkaisutapaa ja omaa päättelyäsi tehtävässä 3.10. Mitä yhteistä niissä on? Entä mitä eroja niissä on? Selitä omin sanoin.

Tehtävässä 3.10 tarkasteltujen suureiden tulo (juomaveden kokonaismäärä) pysyi vakiona tilanteesta toiseen. Tätä voidaan kuvata yhtälöllä $$yx = k,$$ missä $k$ on vakio. Jos $x \neq 0$, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon $$ y = \dfrac{k}{x}. $$ Tätä muotoa käytetään, kun sovitaan, mitä kääntäen verrannollisuus tarkoittaa.

MÄÄRITELMÄ: KÄÄNTÄEN VERRANNOLLISUUS

Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = \dfrac{k}{x}.$$ Tässä vakio $k$ on verrannollisuuskerroin.

Yleensä verrannollisuuskerroin $k$ on positiivinen, jolloin kääntäen verrannollisuutta kuvaa koordinaatiston I ja III neljänneksiin sijoittuva hyperbeli:

Kuvasta nähdään, että kääntäen verrannolliset positiiviset suureet muuttuvat päinvastaisiin suuntiin: jos suureen $x$ arvo kasvaa (eli liikutaan $x$-akselia oikealle), niin suureen $y$ arvo pienenee (eli liikutaan $y$-akselia alaspäin). Suureiden tulo on kuitenkin koko ajan vakio: yhtälöstä $$y = \dfrac{k}{x}$$ seuraa, että $$ yx = k. $$

Kaisa arvioi, että mökille rakennettavan uuden aidan maalaamiseen kuluu kahdelta henkilöltä 28 tuntia.

  1. Kuinka kauan urakka kestää, jos maalareita on vain yksi?
  2. Kuinka nopeasti aita saadaan maalattua, jos talkoisiin osallistuu yhteensä neljä yhtä tehokasta ihmistä?
  3. Kuinka monta henkilötyötuntia aidan maalaamiseen kuluu? Vaihteleeko se tilanteesta toiseen?
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, mitä tapahtuu maalaamiseen kuluvalle ajalle?

  1. Urakka kestää 56 tuntia.
  2. Aita saadaan maalattua 14 tunnissa.
  3. Aidan maalaamiseen kuluu 56 henkilötyötuntia. Se pysyy vakiona, mutta maalaamiseen kuluva todellinen aika vaihtelee sen mukaan, kuinka monta maalaria on maalaamassa aitaa samaan aikaan.
  4. Jos maalarien määrä kaksinkertaistuu, maalaamiseen kuluva aika pienenee puoleen.

Edellisessä tehtävässä havaittiin, että kääntäen verrannolliset suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa: jos maalarien määrä esimerkiksi kymmenkertaistuu, pienenee maalaamiseen kuluva aika yhteen kymmenesosaan. Ilmiö on selitys nimitykselle kääntäen verannollisuus.

Urheilutapahtumaan ilmoittautui etukäteen 274 juoksijaa. Järjestäjät varasivat juomavettä 3,5 dl jokaista ilmoittautunutta kohti. Tehtävänä on selvittää, kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna, jos halutaan varmistaa, että juomavettä on vähintään 3,0 dl jokaista osallistujaa kohti.

  1. Mieti arkijärjellä, onko osallistujien maksimimäärä suurempi vai pienempi kuin etukäteen ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Selvitä osallistujien maksimimäärä. Voit käyttää apuna esimerkiksi juomaveden kokonaismäärää.
  3. Kuinka paljon jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa tapahtumaan mukaan vielä tapahtumapäivän aamuna?

  1. Osallistujamäärä kasvaa, koska veden määrä osallistujaa kohti pienenee. Osallistujamäärä on suurempi kuin ennakkoon ilmoittautuneiden määrä 274.
  2. Osallistujien maksimimäärä on 319.
  3. Jälki-ilmoittautuneita voidaan ottaa $319 - 274 = 45$.

Myös kääntäen verrannollisten suureiden tutkimisessa voi käyttää apuna taulukkoa. Esimerkiksi yllä olevan tehtävän tilanteessa taulukko voisi näyttää tältä:

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Taulukon kummaltakin riviltä saadaan lauseke juomaveden kokonaismäärälle, joka ei muutu. Saadaan siis yhtälö $$ x \cdot 3{,}0 = 274 \cdot 3{,}5. $$ Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista tapahtuman osallistujien määrä: $$ x = \dfrac{274 \cdot 3{,}5}{3{,}0}. $$ Jos tämän yhtälön molemmat puolet jaetaan luvulla 274, saadaan verranto: $$ \dfrac{x}{274} = \dfrac{3{,}5}{3{,}0}. $$ Verrannossa esiintyvät osallistujamäärien suhde ja vastaava juomavesimäärien suhde käänteisenä, kuten alta näkyy: $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{274} } = \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}5} }{3{,}0}. $$

Osallistujia Vettä per henkilö (dl)
Paikalla yht. $x$ 3,0
Ennakkoon ilm. 274 3,5

Kääntäen verrannollisten suureiden suhteet ovat siis toistensa käänteislukuja. Jos toinen suure vaikkapa kolminkertaistuu, pienenee toinen suure yhteen kolmasosaan. Kääntäen verrannolliset suureet voikin tunnistaa miettimällä, mitä toiselle suureelle tapahtuu, jos toinen suure esimerkiksi kaksinkertaistuu. Jos toisen suureen kaksinkertaistuessa toinen suure pienenee puoleen, ovat suureet kääntäen verrannolliset.

Ovatko seuraavat suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin.

  1. Datayhteyden nopeus ja tiedoston lataamiseen kuluva aika.
  2. Polttoaineen litrahinta ja automaatista 20 euron setelillä saatavan polttoaineen määrä.
  3. Jauhojen ja kananmunien määrät kakkureseptissä.
  4. Kiireapulaisen työtuntien määrä ja bruttopalkka.

  1. Kääntäen verrannollisia, sillä jos datayhteyden nopeus kaksinkertaistuu, pienenee tiedoston lataamiseen kuluva aika puoleen.
  2. Kääntäen verrannollisia, sillä jos litrahinta kaksinkertaistuu, pienenee automaatista 20 euron setelillä saatava polttoaineen määrä puoleen.
  3. Suoraan verrannollisia, sillä jos jauhojen määrä kaksinkertaistuu, pitää kaksinkertaistaa myös kananmunien määrä.
  4. Suoraan verrannollisia, sillä jos työtuntien määrä kaksinkertaistuu, kaksinkertaistuu myös bruttopalkka.

Kääntäen verrannollisuudenkin tapauksessa verrantoyhtälön voi muodostaa suoraan taulukosta. Täytyy vain muistaa, että suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Esimerkiksi taulukosta

Aallonpituus (cm) Taajuus (Hz)
Sävel c3 $x$ $1047$
Sävel a1 $\textcolor{blue}{128}$ $\textcolor{blue}{440}$

saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{128} } = \dfrac{\textcolor{blue}{440} }{1047}. $$ Yhtälön ratkaisu helpottuu, jos taulukon ja verrantoyhtälön laatii niin, että tuntematon suure on osoittajassa kuten tässä.

Airbus A321 -lentokoneen matkalentonopeus on 840 km/h. Matka Lontoon Heathrown kentältä Helsinki-Vantaalle kestää keskimäärin 2 tuntia 28 minuuttia. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan matka kestäisi Airbus A350 -koneella, jonka matkalentonopeus on 900 km/h.

  1. Ovatko tehtävässä esiintyvät suureet suoraan vai kääntäen verrannollisia? Selitä omin sanoin. Voit miettiä, mitä toiselle tapahtuu, jos toinen kaksinkertaistuu.
  2. Täydennä tehtävässä annetut tiedot alla olevaan taulukkoon. Huomaa, että aika kannattaa ilmoittaa minuutteina.
    Nopeus (km/h) Aika (min)
    A350
    A321
  3. Muodosta taulukon avulla verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä on A350-koneelta matkaan kuluva aika minuutteina? Entä tunteina ja minuutteina?

  1. Nopeus ja matkaan kuluva aika ovat kääntäen verrannollisia. Jos nopeus kaksinkertaistuu, matkaan kuluva aika pienenee puoleen.
  2. Taulukko:
    Nopeus (km/h) Aika (h)
    A350 900 $x$
    A321 840 148
  3. Suureiden suhteet ovat toistensa käänteislukuja. Taulukon sarakkeista saadaan verrantoyhtälö $$ \dfrac{x}{148} = \dfrac{840}{900}. $$ Ratkaisuna saadaan $x \approx 138$. A350-koneelta matkaan kuluu siis noin 138 minuuttia eli 2 tuntia ja 18 minuuttia.
    Huom. yhtälön voi muodostaa myös toisella tavalla: Nopeuden ja ajan tulo ilmaisee matkan pituuden, joka on vakio. Taulukon riveiltä saadaan yhtälö $$ 900x = 840 \cdot 148. $$

Valaistusvoimakkuus on kääntäen verrannollinen valaisimesta mitatun etäisyyden neliöön. Keittiön ruokapöydän yläpuolelle asennetaan pallomainen valaisin, jonka valmistaja lupaa 1,0 metrin etäisyydelle valaistusvoimakkuuden 500 luksia (lx).

  1. Selvitä, mikä on valaistusvoimakkuus keittiön pöydän pinnalla 1,3 metrin päässä valaisimesta. Käytä apuna alla olevaa taulukkoa.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla
    Valmistajan tiedoissa
    Onko valaistusvoimakkuus riittävä, kun suositus keittiön työtasoille on vähintään 300 luksia?
  2. Tutki, miten valaistusvoimakkuus muuttuu, jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu. Voit esimerkiksi valita sopivan etäisyyden ja selvittää sitä vastaavan valaistusvoimakkuuden samaan tapaan kuin a-kohdassa.

  1. Valaistusvoimakkuus on noin 296 luksia. Se on keittiön työtasojen suosituksen alarajalla, joten valaisimen valintaa kannattaa vielä harkita uudelleen.
    Valaistusvoim. (lx) Etäisyys2 (m2)
    Pöydän pinnalla $x$ 1,69
    Valmistajan tiedoissa 500 1,00
  2. Jos etäisyys valaisimesta nelinkertaistuu, niin valaistusvoimakkuus pienenee yhteen kuudestoistaosaan. Etäisyyden kerrointa 4 vastaa siis valaistusvoimakkuuden kerroin $$ \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}. $$

Paine $p$ on kääntäen verrannollinen pinta-alaan $A$, johon voima kohdistuu. Alla on näkyvissä paineen riippuvuus pinta-alasta noin 60 kg painavan henkilön tapauksessa. Paineen yksikkönä on kilopascal (kPa) ja pinta-alan yksikkönä neliödesimetri (dm2).

  1. Kun henkilö seisoo kahdella jalalla, hänen painonsa kohdistuu noin 3 dm2 pinta-alalle. Määritä kuvaajasta, kuinka suuri paine lattiaan tällöin kohdistuu.
  2. Lumikenkiä käytettäessä paino jakautuu laajemmalle alueelle, jolloin hankeen ei uppoa niin syvälle. Mikä pitäisi lumikengän pinta-alan olla, jotta henkilön hankeen kohdistama paine olisi enintään 5 kPa yhdellä jalalla seistessä?
  3. Keksi esimerkki suorakulmiosta, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin b-kohdan vastaus. Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet? Anna vastaus myös senttimetreinä ja havainnollista asiaa viivottimen tai mittanauhan avulla. Olisiko tämän kokoinen lumikenkä oikeasti mahdollinen?

  1. Paine on n. 20 kPa.
  2. Lumikengän pinta-alan pitäisi olla n. 12 dm2.
  3. Yksi esimerkki on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 60 cm ja 20 cm. Sen pinta-ala on 1200 cm2 eli 12 dm2. Mitat ovat ainakin periaatteessa lumikengälle sopivat.

Suoraan verrannollisuus

Aleksi, Milla ja Venla jakoivat yrityksensä tuotot sijoitustensa suhteessa. Aleksin ja Millan sijoitusten suhde oli $5:6$. Millan ja Venlan sijoitusten suhde oli $4:5$. Kuinka paljon yrityksen koko tuotto oli, jos Venlan osuus oli 6450 euroa?

Koko tuotto oli 15 910 euroa. Millan osuus 5160 euroa ja Aleksin 4300 euroa.

Suoraan verrannollisuus

Mökin piirustukset on tehty mittakaavassa $1:50$. Tämä tarkoittaa, että 1 cm piirustuksessa on 50 cm luonnossa.

  1. Kuinka pitkä on mökki, jonka pituus rakennuspiirustuksissa on 16 cm?
  2. Mökille rakennetaan terassi, jonka mitat ovat $4 \text{ m} \times 2 \text{ m}$. Mitkä ovat terassin mitat rakennuspiirustuksessa?

  1. Mökin pituus on 8 metriä (eli 800 cm).
  2. Terassin mitat ovat $8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$.

Suoraan verrannollisuus

  1. Lapsella on korvatulehdus, johon lääkäri määrää antibioottikuurin. Lääkepullon etiketissä vaikuttavan aineen pitoisuudeksi on merkitty 40 mg/ml. Kuinka monta millilitraa kyseistä lääkemikstuuraa pitää antaa lapselle, jos määrätty lääkeannos on 280 mg?
  2. Siiderissä on energiaa noin 50 kcal/dl. Yhdessä sokeripalassa energiaa on puolestaan noin 10 kcal. Kuinka suurta sokerimäärää vastaa kolmen 0,33 litran siiderin nauttiminen? Yksi sokeripala painaa n. 3,5 grammaa.

  1. Lääkettä pitää antaa 7 ml.
  2. Noin 49,5 sokeripalaa eli noin 173 grammaa sokeria.

Suoraan verrannollisuus

Olouoneen lattian maalaamiseen on tarvittiin 1 kg maalia. Keittiön pituus on $\frac{5}{6}$ olohuoneen pituudesta ja leveys on $\frac{4}{5}$ olohuoneen leveydestä. Riittääkö 700 g maalia keittiön lattian maalaamiseen?

Kyllä, 700 g maalia riittää.

Merkitään olohuoneen pituutta kirjaimella $x$ ja leveyttä kirjaimella $y$. Olohuoneen pinta-ala on $xy$. Keittiön pinta-ala on $$ \frac{5}{6}x \cdot \frac{4}{5}y = \frac{4}{6}xy = \frac{2}{3}xy $$ eli kaksi kolmasosaa olohuoneen pinta-alasta. Siten maalia tarvitaan $$ \dfrac{2}{3} \cdot 1 \text{ kg } \approx 0{,}667 \text{ kg}. $$

Suoraan verrannollisuus

Brittiläisessä yksikköjärjestelmässä pituus voidaan ilmaista esimerkiksi yksiköiden tuuma, jalka, jaardi ja maili avulla. Tiedetään, että yksi jalka on 12 tuumaa, kolme jalkaa on yksi jaardi ja yksi tuuma on 2,54 cm. Mikä on mailin pituus metreinä, kun yksi maili on 1760 jaardia?

Yksi maili on 1609,344 metriä.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Mökin makuuhuoneen seinän panelointiin laskettiin tarvittavan 36 kappaletta 120 mm leveitä lautoja, joiden peittävä leveys on 110 mm. Puutavaraliike ei voinut toimittaa kyseisä lautoja, vaan laudat olivat 95 mm leveitä ja niiden peittävä leveys oli 85 mm. Kuinka monta kapeampaa lautaa tarvittiin?
  2. Kun 100 W työmaavalo (vanhempi halogeenilamppu) palaa 150 tuntia, kuluu sähköä noin yhden euron verran. Kuinka kauan valoteholtaan vastaava 21 W työmaavalo palaa samalla hinnalla?

  1. Lautoja tarvittiin 47 kpl.
  2. Pyöristettynä noin 710 tuntia.

Kääntäen verrannollisuus

  1. Pienelle rahtialukselle palkataan seitsemän merimiestä urakkapalkalla. Jokainen saa palkkaa 1750 euroa. Kuinka paljon jokainen saisi palkkaa, jos työntekijöitä olisikin 10?
  2. Laiva, jossa on 18 henkeä ja ruokaa 30 päiväksi, pelastaa haaksirikkoutuneesta aluksesta 10 henkeä. Kuinka pitkän aikaa ruokatavarat tällöin riittävät?

  1. Jos työntekijöitä olisi 10, jokaisen palkka olisi 1225 euroa.
  2. Ruokatavarat riittävät noin 19 päivää.

Kääntäen verrannollisuus

Rakennusfirma jätti remontista seuraavanlaisen urakkatarjouksen:

  • Hinta on 65 000 euroa, jos työ on valmis 60 päivässä.
  • Jos työ valmistuu nopeammin tai myöhästyy, on remontin hinta kääntäen verrannollinen kuluneeseen aikaan.

Mikä olisi remontin hinta, jos remontin valmistumiseen kuluisi

  1. 46 päivää
  2. 74 päivää?

  1. Hinta olisi 84 782,61 euroa.
  2. Hinta olisi 52 702,70 euroa.

Kääntäen verrannollisuus

Patikkaretkeä suunnitellessaan lomalaiset laskivat, että kulkevat päivässä 15 km. Huonon sään takia he kulkivatkin päivässä 3 km suunniteltua vähemmän. Kuinka moninkertainen aika retkeen kului suunniteltuun aikaan verrattuna?

Retkeen kului 1,25-kertainen aika eli aikaa kului 25 % enemmän kuin alkuperäisen suunnitelman mukaan.

Kääntäen verrannollisuus

Talkoisiin osallistuu viisi henkeä ja urakkaan arvioidaan kuluvan neljä tuntia.

  1. Jos yksi talkoolaisista sairastuu, kuinka paljon urakkaan kuluva aika pitenee?
  2. Missä ajassa urakka olisi saatu valmiiksi, jos mukana olisikin ollut kahdeksan yhtä tehokasta ihmistä?

  1. Urakka vie neljältä ihmiseltä viisi tuntia, joten urakkaan kuluva aika pitenee tunnilla.
  2. Urakka olisi saatu valmiiksi 2,5 tunnissa.

  1. Suureet $x$ ja $y$ ovat suoraan verrannolliset. Kun $x = 2$, on $y = 5$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 7$?
  2. Suureet $x$ ja $y$ ovat kääntäen verrannolliset. Jos $x = 2$, niin $y = 3$. Mikä on suureen $y$ arvo, kun $x = 5$?

[Lyhyt K2009/2a & S2008/3b]

  1. $y = \dfrac{35}{2}$
  2. $y = \dfrac{6}{5}$

Alla on viisi väittämää sekä kuusi kuviota. Yhdistä jokaiseen kuvioon se väittämä, joka pätee kyseisen kuvion tapauksessa. Yksi väittämä liittyy kahteen eri kuvioon. Vastauksia ei tarvitse perustella.

  1. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujaan $x$.
  2. $y$ on kääntäen verrannollinen muuttujaan $x$.
  3. $y$ kaksinkertaistuu aina, kun muuttuja $x$ kasvaa yhdellä.
  4. $y$ puolittuu aina, kun $x$ kasvaa yhdellä.
  5. $y$ on suoraan verrannollinen muuttujan $x$ neliöön.

[Lyhyt K2017/3]

  1. D
  2. A
  3. B
  4. D
  5. C
  6. E

Eräällä tieosuudella käytetään kesällä ja talvella erilaisia nopeusrajoituksia. Talvinopeudella matkaan kuluu 15 minuuttia ja kesänopeudella 3 minuuttia vähemmän, kun ajetaan maksiminopeuksilla. Mikä talvinopeusrajoitus on silloin, kun kesänopeus on 20 km/h korkeampi kuin talvinopeus?
[Lyhyt K2015/7]

Talvinopeusrajoitus on 80 km/h.

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Mittauksissa havaittiin, että jarrutusmatka nopeudesta 40 km/h on 11,0 metriä.

  1. Mikä on auton jarrutusmatka nopeudesta 80 km/h?
  2. Auton jarrutusmatkaksi mitattiin 21,3 metriä. Mikä oli auton nopeus jarrutuksen alkaessa? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

[Lyhyt S2013/7]

  1. Jarrutusmatka on 44,0 m.
  2. Nopeus oli noin 56 km/h.

Äänilähteen tuottaman äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Festareilla Miisa istui aluksi 50 metrin päässä orkesterista, mutta siirtyi sitten 15 metrin päähän orkesterista. Kuinka monta prosenttia kasvoi äänen intensiteetti?
[Lyhyt K2008/6]

Intensiteetti noin 11,11-kertaistui eli kasvoi noin 1011 prosenttia.
Huom. jos intensiteetti kaksinkertaistuu, tarkoittaa se 100 prosentin kasvua. Vastaavasti 3-kertaistuminen tarkoittaa 200 prosentin kasvua.

Talon lämmityskustannukset pakkasella ovat suoraan verrannolliset sisä- ja ulkolämpötilojen väliseen erotukseen. Ulkolämpötilan ollessa $−2{,}0 {}^\circ\text{C}$ ja sisälämpötilan $22{,}0 {}^\circ\text{C}$ sisälämpötila pudotetaan $21{,}0 {}^\circ\text{C}$:seen. Kuinka monella prosentilla talon lämmityskustannukset tällöin pienenevät?
[Lyhyt S2006/6]

Lämmityskustannukset pienenevät noin 4,2 %.

Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokone painaa maan pinnalla 56,0 tonnia. Kuinka paljon se painaa kymmenen kilometrin korkeudessa? Maan pinnan etäisyys keskipisteestä on 6370 kilometriä.
[Lyhyt K2006/4]

Lentokone painaa noin 55,8 tonnia.

Autoilija havaitsi keskelle tietä pysähtyneen toisen auton 100 metrin etäisyydellä. Autoilijan reaktioaika (havainnon teosta jarrutuksen aloittamiseen kulunut aika) oli 1,0 s ja auton nopeus oli 100 km/h. Jarrutusmatka olisi ollut 50 m, jos nopeus olisi ollut 80 km/h. Jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Pysähtyikö auto ennen yhteentörmäystä?
[Lyhyt K1985/10]

Reaktioajan ja jarrutuksen aikana auto kulkee yhteensä matkan $27{,}8 \text{ m } + 78{,}1 \text{ m } = 105{,}9 \text{ m}$, joten auto ei pysähtynyt ennen yhteentörmäystä.

Erään tuotteen tarjonta kasvoi 25 %. Kuinka monta prosenttia hinta tällöin laski, jos tuotteen hinta on kääntäen verrannollinen tarjontaan?
[Lyhyt K1992/3a]

Hinta laski 20 %.

Laivan polttoainekulut tunnissa ovat suoraan verrannolliset nopeuden kuutioon eli kolmanteen potenssiin. Nopeudella 40 km/h polttoainekulut ovat noin 480 euroa tunnissa.

  1. Minkä suuruiset polttoainekulut ovat, jos laivan nopeus on vain 30 km/h?
  2. Kuinka monta prosenttia matka-aika muuttuu, jos nopeutta pienennetään nopeudesta 40 km/h nopeuteen 30 km/h?

  1. Polttoainekulut ovat noin 200 euroa tunnissa (202,5 euroa tunnissa).
  2. Matka-aika pitenee noin 33 %.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.

Toisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti toisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää toisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä toisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • tutkia toisen asteen yhtälön ratkaisuja graafisesti ja määrittää luvun neliöjuuren
  • ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla
  • laskea polynomien tulon
  • ratkaista vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä myös neliöjuuren ja tulon nollasäännön avulla
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Kurssin alkupuolella perehdyttiin ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, joiden kuvaaja on aina suora. Tässä kappaleessa tutustutaan toisen asteen polynomifunktioihin.

Yksinkertaisin toisen asteen polynomifunktio on funktio $f(x) = x^2$. Sen kuvaaja on alla:
Päättele kuvaajan avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ arvo kohdassa $x = -1$?
  2. Missä kohdissa funktio $f(x) = x^2$ saa arvon $4$?
  3. Mikä on funktion $f(x) = x^2$ pienin arvo?
  4. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = 2$?
  5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $x^2 = -1$?

  1. $f(-1) = 1$
  2. Kohdassa $x = -2$ ja kohdassa $x = 2$.
  3. Pienin arvo on $0$.
  4. Kaksi ratkaisua, sillä kuvaaja käy korkeudella $2$ kahdessa eri kohdassa.
  5. Ei yhtään ratkaisua, sillä kuvaaja ei missään vaiheessa käy korkeudella $-1$.

Seuraavassa määritelmässä sovitaan, millaisia funktioita kutsutaan toisen asteen polynomifunktioiksi.

MÄÄRITELMÄ: TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax^2+bx+c,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan toisen asteen polynomifunktioksi.

Huomaa, että kerroin $b$ ja vakio $c$ saattavat olla myös nollia. Esimerkiksi funktiot $$g(x) = 5x^2-7 \quad \text{ja} \quad h(x) = x^2-4x$$ ovat toisen asteen polynomifunktioita. Funktion $g$ tapauksessa kerroin $b = 0$ ja funktion $h$ tapauksessa vakio $c = 0$.

Tutkitaan funktiota $f(x) = -0{,}25x^2 + x + 2$

  1. Vertaa funktion lauseketta toisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä $b$? Entä mikä on vakio $c$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 6$ eli laske, mitä on $f(6)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = -0{,}25$ ja $b = 1$ ja $c = 2$.
  2. $f(6) = -1$
  3. $f(0) = 2$
  4. Pisteet ovat $(6,-1)$ ja $(0,2)$.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina muodoltaan paraabeli. Seuraavassa tehtävässä tutkitaan, miten kerroin $a$ ja vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajaan.

Yllä on näkyvissä toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $

Miten funktion $f(x) = ax^2 + c$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa A ja C) vai alaspäin aukeava paraabeli (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 0{,}5x^2-2 \ $ A
$\ g(x) = 0{,}25x^2+1 \ $ C
$\ h(x) = -2x^2+2 \ $ D
$\ k(x) = -3x^2+4 \ $ B
  1. Jos $a > 0$, kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos $a < 0$, kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
  2. Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax^2 + bx + c,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on paraabeli, jonka yhtälö on $$y = ax^2 + bx + c.$$ Vakio $c$ ilmaisee, millä korkeudella paraabeli leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan määrää sen, onko paraabeli ylös- vai alaspäin aukeava. Paraabeli $y = ax^2 + bx + c$ on

  • ylöspäin aukeava, jos $a > 0$
  • alaspäin aukeava, jos $a < 0$.

Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylintä pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Toisen asteen polynomifunktiosta tiedetään, että se saa alla olevan taulukon mukaisia arvoja. Täydennä taulukkoon puuttuvat funktion arvot kuvaajan symmetrisyyttä hyödyntäen. Mikä on kuvaajan huipun $x$-koordinaatti?

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \ $

Vinkki: kuvaajan hahmotteleminen ruutupaperille voi auttaa päättelyssä.

$\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) \ $
$\, -4 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $
$\, -3 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\, -2 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}0 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}2 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}6 \ $ $\, -6 \ $
$\ \phantom{-}8 \ $ $\, -3 \ $
$\ \phantom{-}10 \ $ $\ \phantom{-}2 \ $
$\ \phantom{-}11 \ $ $\ \phantom{-}5{,}25 \ $
$\ \phantom{-}12 \ $ $\ \phantom{-}9 \ $

Huipun $x$-koordinaatti on $x = 4$.

Tässä tehtävässä tutkitaan funktiota $f(x) = 2x^2 - 6x - 3$.

  1. Täydennä alla oleva taulukko laskemalla funktion $f$ arvoja:
    $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $
  2. Hahmottele funktion $f$ kuvaaja ruutupaperille ja päättele symmetrian avulla, mikä on funktion $f$ kuvaajan huipun $x$-koordinaatti.
  3. Määritä huipun $y$-koordinaatti laskemalla.
  4. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella ja tarkista, että edellisten kohtien tuloksesi ovat järkeviä.

  1. $\ \phantom{-}x \ $ $\ \phantom{-}f(x) = 2x^2 - 6x - 3 \ $
    $\, -1 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
    $\ \phantom{-}0 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}1 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}2 \ $ $\ -7 \ $
    $\ \phantom{-}3 \ $ $\ -3 \ $
    $\ \phantom{-}4 \ $ $\ \phantom{-}5 \ $
  2. Huipun $x$-koordinaatti on $x = 1{,}5$.
  3. Huipun $y$-koordinaatti on $y = f(1{,}5) = -7{,}5$.

Toisen asteen polynomifunktioiden avulla voidaan tutkia toisen asteen yhtälöiden ratkaisuja. Esimerkiksi toisen asteen polynomifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen luku $b \geq 0$, jonka toinen potenssi on seitsemän eli $b^2 = 7$.

Muiden positiivisten lukujen neliöjuuret sekä nollan neliöjuuri määritellään vastaavalla tavalla kuin luvun 7 neliöjuuri. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

MÄÄRITELMÄ: NELIÖJUURI

Luvun $a \geq 0$ neliöjuuri tarkoittaa lukua $b \geq 0$, jolle pätee $$b^2 = a.$$ Luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}.$

Luvun $a$ neliöjuurelle pätee siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $$\sqrt{a} \geq 0 \quad \text{ ja } \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a.$$ Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo. Voit käyttää apuna yllä olevaa kuvaajaa.

  1. $\sqrt{4}$
  2. $\sqrt{1}$
  3. $\sqrt{0}$
  4. $\sqrt{9}$

  1. $\sqrt{4} = 2$
  2. $\sqrt{1} = 1$
  3. $\sqrt{0} = 0$
  4. $\sqrt{9} = 3$

Päättele yllä olevan kuvaajan avulla, kuinka monta ratkaisua seuraavilla yhtälöillä on. Jos yhtälöllä on ratkaisu tai ratkaisuja, mitä ne ovat? Ilmaise vastaukset tarvittaessa neliöjuuren avulla.

  1. $x^2 = 0$
  2. $x^2 = 2$
  3. $x^2 = 5$
  4. $x^2 = -3$

  1. Yksi ratkaisu: yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$
  2. Kaksi ratkaisua: yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{2}$ tai $x = -\sqrt{2}$
  3. Kaksi ratkaisua: yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{5}$
  4. Ei ratkaisua.

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$ sillä $$\frac{1}{2} \geq 0 \ \text{ ja } \ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä.

  1. $\sqrt{36}$
  2. $\sqrt{100}$
  3. $\sqrt{49}$
  4. $\sqrt{144}$

  1. $\sqrt{36} = 6$, sillä $6 \geq 0$ ja $6^2 = 36$
  2. $\sqrt{100} = 10$, sillä $10 \geq 0$ ja $10^2 = 100$
  3. $\sqrt{49} = 7$, sillä $7 \geq 0$ ja $7^2 = 49$
  4. $\sqrt{144} = 12$, sillä $12 \geq 0$ ja $12^2 = 144$

Merkinnässä $\sqrt{a}$ neliöjuuren alla olevaa lukua $a$ sanotaan juurrettavaksi. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, mikä on neliöjuuren arvo siinä tapauksessa, että juurrettava on jonkin luvun toinen potenssi. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan siis neliöjuuria, jotka ovat muotoa $$ \sqrt{c^2} $$

Määritä seuraavien neliöjuurten arvo kokeilemalla ja perustelemalla tulos sen jälkeen samaan tapaan kuin edellä. Kannattaa aloittaa sieventämällä juurrettava.

  1. $\sqrt{5^2}$
  2. $\sqrt{(-9)^2}$

  1. $\sqrt{5^2} = 5$
  2. $\sqrt{(-9)^2} = 9$

Tarkastele edellisen tehtävän vastauksiasi ja päättele niiden avulla, mikä ehto luvun $c$ pitää toteuttaa, jotta

  1. $\sqrt{c^2} = c$
  2. $\sqrt{c^2} = -c$

  1. $c \geq 0$
  2. $c < 0$

Kun tutkitaan, missä kohdassa toisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään toisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = x^2 - 4x + 3$ saa arvon $3$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$ f(x) = 3 $$ eli yhtälöä $$ x^2 - 4x + 3 = 3. $$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mitkä kuvaajan pisteet ovat korkeudella 3:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 3 kohdissa $x = 0$ ja $x = 4$. Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 4$.

Tehtävänä on ratkaista toisen asteen yhtälö $$ -x^2 + 4x + 1 = 5 $$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä koordinaatistoon funktion $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan pisteet ovat korkeudella 5.
  2. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on? Luettele kaikki ratkaisut.
  3. Tarkista jokainen ratkaisu sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun 5?

  1. Kuva:
  2. Yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu $x = 2$.
  3. Yhtälön vasen puoli: \begin{align*} -2^2 + 4 \cdot 2 + 1 &= -4 + 8 + 1 \\ &= 5. \end{align*} Tulos on sama kuin yhtälön oikea puoli, joten $x = 2$ on todella yhtälön ratkaisu.

Toisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ax^2 + bx + c = 0,$$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin toisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ nollakohdat.

Keksi esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta, joka on muotoa $$ f(x) = ax^2 + c $$ ja jolla

  1. on kaksi nollakohtaa
  2. on tasan yksi nollakohta
  3. ei ole yhtään nollakohtaa.

Piirrä myös funktioiden kuvaajat.

  1. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2 - 1$$
  2. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2$$
  3. Esimerkiksi funktio $$f(x) = x^2 + 1$$

Toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen on onnistuttu kehittämään laskumenetelmä, jolla löydetään minkä tahansa toisen asteen yhtälön kaikkien ratkaisujen tarkat arvot. Selitys sille, miksi menetelmä toimii, löytyy MAA2-kurssin kappaleesta Toisen asteen yhtälö. Menetelmä itsessään on seuraava:

TEOREEMA

Toisen asteen yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ ratkaisut saadaan kaavalla $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$ Jos juurrettava on negatiivinen eli $b^2-4ac < 0$, ei yhtälöllä ole ratkaisuja.

Havainnollistetaan ratkaisukaavan käyttöä yhtälön $$ 3x + 10 = x^2 - 8 $$ avulla. Kaavan käytössä on seuraavat vaiheet:

  • Muokataan yhtälö perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: \begin{align*} 3x + 10 &= x^2 - 8 \qquad | {}+ 8 - x^2\\[1mm] 3x + 18 - x^2 &= 0 \\[1mm] -x^2 + 3x + 18 &= 0 \end{align*}
  • Tunnistetaan kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakio $c$: \begin{align*} \textcolor{red}{-}x^2 + \textcolor{blue}{3}x + \textcolor{magenta}{18} &= 0 \\ \textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{blue}{b}x + \textcolor{magenta}{c} &= 0 \end{align*} Tässä $a = -1$, $b = 3$ ja $c = 18$.
  • Sijoitetaan luvut omille paikoilleen ratkaisukaavaan ja sievennetään: \begin{align*} x &= \frac{-\textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a}\textcolor{magenta}{c} }}{2\textcolor{red}{a} } \\[2mm] &= \frac{-\textcolor{blue}{3} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2-4 \cdot (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{magenta}{18} }}{2 \cdot (\textcolor{red}{-1}) }\\[2mm] &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{-2} \\[2mm] &= \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{-2} \\[2mm] &= \frac{-3 \pm 9}{-2} \end{align*}
  • Tulkitaan tuloksesta ratkaisujen lukumäärä ja ilmoitetaan ratkaisut. Nyt ratkaisuja on kaksi kappaletta. Ratkaisut ovat \begin{align*} x_1 &= \frac{-3+9}{-2} = \dfrac{6}{-2} = -3 \\[2mm] x_2 &= \frac{-3-9}{-2} = \dfrac{-12}{-2} = 6 \end{align*} Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $x = -3$ tai $x = 6$.

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt ratkaisukaavan avulla:

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 - x - 2 = 0$
  3. $4x^2 + 1 = 4x$
  4. $4x^2 - 4x + 6 = x^2 - 3x + 5$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = \dfrac{1}{2}$
  4. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska neliöjuurimerkin alle juurrettavaksi tulee negatiivinen luku $-11$.

Toisen asteen yhtälön $$ax^2 + bx + c = 0$$ ratkaisujen lukumäärä riippuu siitä, minkä merkkinen juurrettava ratkaisukaavaan tulee. Jos

  • juurrettava on positiivinen, ratkaisuja on kaksi
  • juurrettava on nolla, ratkaisuja on yksi
  • juurrettava on negatiivinen, ratkaisuja ei ole.

Koska toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli, graafisestikin voidaan päätellä, että muita vaihtoehtoja ei ole:

Tässä tehtävässä tutkitaan kolmella erilaisella tavalla, kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä $$ 4x^2 - 28x + 49 = 0. $$ Selvitä ratkaisujen lukumäärä

  1. tutkimalla, onko ratkaisukaavassa juurrettava positiivinen, nolla vai negatiivinen
  2. käyttämällä ratkaisukaavaa ja määrittämällä ratkaisut sen avulla
  3. graafisesti piirtämällä sopivan polynomifunktion kuvaaja.

  1. Juurrettava on nolla, joten ratkaisuja on yksi: $$ b^2 - 4ac = (-28^2) - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 0. $$
  2. Ratkaisukaavan avulla saadaan: \begin{align*} x &= \dfrac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49} }{2 \cdot 4} \\[2mm] &= \dfrac{28 \pm \sqrt{0} }{8} \\[2mm] &= \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2} \end{align*} eli ratkaisuja on yksi.
  3. Polynomifunktiolla $f(x) = 4x^2 - 28x + 49$ on tasan yksi nollakohta, joten yhtälöllä $4x^2 - 28x + 49 = 0$ on tasan yksi ratkaisu:

Jotta toisen asteen yhtälö saadaan muokattua perusmuotoon, täytyy joissakin tapauksissa laskea polynomien tulo. Palautetaan seuraavaksi mieleen, miten polynomeja kerrotaan keskenään.

Kun polynomi kerrotaan luvulla, kerrotaan jokainen termi erikseen: $$ \textcolor{blue}{2}(3x-4) = \textcolor{blue}{2} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2}\cdot 4 = 6x - 8. $$ Samalla tavalla toimiaan myös silloin, kun polynomi kerrotaan monomilla: $$ \textcolor{blue}{2x}(3x-4) = \textcolor{blue}{2x} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2x}\cdot 4 = 6x^2 - 8x. $$

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain: otetaan ensimmäisen tulon tekijän

  • ensimmäinen termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen
  • toinen termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen
  • kolmas termi ja kerrotaan sillä toisen tulon tekijän jokainen termi erikseen.

Näin jatketaan, kunnes ensimmäisen tulon tekijän kaikki termit on käytetty. Esimerkiksi tulossa $$(2x-5)(3x-4)$$ kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-5$: \begin{align*} (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-5})(3x-4) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot 3x - \textcolor{blue}{2x} \cdot 4 + (\textcolor{red}{-5}) \cdot 3x + (\textcolor{red}{-5}) \cdot (-4) \\ &= \textcolor{blue}{6x^2 - 8x}\textcolor{red}{-15x + 20} \\ &= 6x^2 - 23x + 20 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $x(7-5x)$
  2. $(x+2)(8x-1)$
  3. $(4x+3)(4x-3)$

  1. $x(7-5x) = 7x-5x^2$
  2. $(x+2)(8x-1) = 8x^2 + 15x - 2$
  3. $(4x+3)(4x-3) = 16x^2 - 9$

Polynomien potenssit voidaan laskea muuttamalla ne ensin tulomuotoon. Esimerkiksi \begin{align*} (x-5)^2 &= (x-5)(x-5) \\[1mm] &= x^2 - 5x - 5x + 25 \\[1mm] &= x^2 - 10x + 25. \end{align*}

Laske seuraavat potenssit. Aloita kirjoittamalla lauseke tulomuodossa.

  1. $(x+3)^2$
  2. $(2x-1)^2$
  3. $(7-x)^2$

  1. $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
  2. $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
  3. $(7-x)^2 = 49 - 14x + x^2$

Kaikki toisen asteen yhtälöt saa ratkaistua ratkaisukaavan avulla, kunhan ne aluksi muokkaa perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$. Esimerkiksi yhtälön $$x(2x-3)-3x(1-x) = -1$$ tapauksessa ensin on laskettava kertolaskut: \begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*} Perusmuodosta voidaan tunnistaa, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos \begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\[2mm] &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*} Yhtälöllä on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{10}{10} = 1 \quad \text{ ja } \quad x_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.$$

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt. Muuta yhtälöt ensin perusmuotoon $ax^2+bx+c = 0$ ja tunnista, mitkä luvut vastaavat kirjaimia $a$, $b$ ja $c$. Huomioi myös etumerkit.

  1. $7(x^2 + 1) = 50x$
  2. $(-3x-1)(x-2) = 4$
  3. $(3x-1)(x+2) = 6x - 2$

  1. $x = \dfrac{1}{7} \ $ tai $\ x = 7$
  2. $x = \dfrac{2}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{3}$

Toisen asteen yhtälö, jonka perusmuodossa kerroin $b = 0$ tai vakio $c = 0$, on nimeltään vaillinainen toisen asteen yhtälö. Tällaiset yhtälöt saadaan ratkaistua myös ilman ratkaisukaavaa. Jos $b = 0$ eli yhtälö on perusmuodossa $$ax^2 + c = 0,$$ saadaan yhtälö muokattua muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja ratkaistua neliöjuuren avulla. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*} Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Yhtälön ratkaisu näyttää siis välivaiheineen tältä: \begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 \quad &\mid + 21 \\[1mm] 3x^2 &= 21 \quad &\mid \ : 3 \\[1mm] x^2 &= 7 \\[1mm] x = \sqrt{7} \ \ &\text{tai } \ x = -\sqrt{7} \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $2x^2 = 50$
  2. $7x^2 - 14 = 0$
  3. $3x^2 - 16 = 2x^2 + 20$

  1. $x = -5 \ $ tai $\ x = 5$
  2. $x = \sqrt{2} \ $ tai $\ x = -\sqrt{2}$
  3. $x = 6 \ $ tai $\ x = -6$

Tässä kappaleessa tutustutaan tulon nollasääntöön. Sen avulla voidaan ratkaista sellaisia polynomiyhtälöitä, joissa yhtälön toisella puolella on polynomien tulo ja yhtälön toisella puolella $0$. Yksi tällainen yhtälö on esimerkiksi $$ (x-2)(3x-4) = 0. $$ Aloitetaan tutkimalla tilannetta, jossa tulon tekijänä on nolla.

Laske tai päättele seuraavien tulojen arvo:

  1. $2\cdot 5 \cdot 7 \cdot 0$
  2. $8 \cdot 13 \cdot 53 \cdot 0 \cdot 71$
  3. $661 \cdot 433 \cdot 811 \cdot 0 \cdot 79 \cdot 227$

Selitä omin sanoin, miksi tämän tehtävän voi ratkaista ilman laskuja.

Kaikkien tulojen arvo on nolla.

Tiedetään, että lukujen $a$ ja $b$ tulo on nolla eli $ab = 0$. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? Mitkä ovat epätosia? Perustele omin sanoin.

  1. On mahdollista, että $a \neq 0$ ja $b \neq 0$.
  2. Voidaan olla varmoja, että $a = 0$ ja $b = 0$.
  3. Voidaan olla varmoja, että $a = 0$ tai $b = 0$.

  1. Väite on epätosi.
  2. Väite on epätosi. Esimerkiksi jos $a = 0$ ja $b = 1$, niin $ab = 0$.
  3. Väite on tosi.

Edellisen tehtävän pohdinnat johtavat seuraavaan teoreemaan eli tulon nollasääntöön. Sen mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla.

TEOREEMA

$xy = 0$, jos ja vain jos $x = 0$ tai $y = 0$.

Perustelu: Koska teoreeman tulos on kaksisuuntainen (jos ja vain jos), perustellaan se kahdessa osassa.

  • Oletetaan aluksi, että $xy = 0$. On kaksi mahdollisuutta: joko $x = 0$ tai $x \neq 0$. Tutkitaan molemmat:
    • Jos $x = 0$, niin väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    • Jos $x \neq 0$, niin yhtälön $xy = 0$ molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $x$. Näin päädytään yhtälöön $y = 0$. Siis väite "$x = 0$ tai $y = 0$" on totta.
    Näin on näytetty, että jos $xy = 0$, niin $x = 0$ tai $y = 0$.
  • Oletetaan, että $x = 0$ tai $y = 0$. Tutkitaan molemmat mahdollisuudet:
    • Jos $x = 0$, niin $xy = 0\cdot y = 0$. Siis $xy = 0$.
    • Jos $y = 0$, niin $xy = x \cdot 0 = 0$. Siis $xy = 0$.
    Näin on näytetty, että jos $x = 0$ tai $y = 0$, niin $xy = 0$.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla: \begin{align*} x-2 = 0 \quad &\text{ tai } \quad 3x-4 = 0 \\[1mm] x = 2 \quad &\text{ tai } \quad 3x = 4 \\[1mm] x = 2 \quad &\text{ tai } \quad x = \frac{4}{3} \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt tulon nollasäännön avulla:

  1. $(x-1)(x+5) = 0$
  2. $(x+7)(4x-32) = 0$
  3. $(6-2x)(2x-1) = 0$.

  1. $x = 1 \ $ tai $\ x = -5$
  2. $x = -7 \ $ tai $\ x = 8$
  3. $x = 3 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Tulon nollasäännön avulla saadaan ratkaistua kaikki vaillinaiset toisen asteen yhtälöt, jotka ovat muotoa $$ax^2 + bx = 0.$$ Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona. Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Erota yhteinen tekijä $x$ ja ratkaise sen jälkeen tulon nollasäännön avulla:

  1. $x^2-4x = 0$
  2. $3x^2+15x = 0$
  3. $2x^2 - x = 0$

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = 4$
  2. $x = 0 \ $ tai $\ x = -5$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{2}$

Materiaalin edellisissä luvuissa on ratkaistu joitakin käytännön ongelmia ensimmäisen asteen yhtälön, yhtälöparin ja verrantoyhtälön avulla. Joskus ongelman mallintaminen matemaattisesti johtaa toisen asteen yhtälöön. Seuraavassa tehtävässä on yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Rivitalon pihalle rakennetaan suorakulmion muotoinen uima-allas, jonka pituus on 3,0 m ja leveys 2,5 m. Allas reunustetaan laatoituksella alla olevan kuvan mukaisesti. Laattoja saatiin tarjouksesta 20 neliömetrin verran. Tehtävänä on selvittää, kuinka leveä laatoituksesta voidaan tehdä. Kuvassa laatoituksen leveyttä on merkitty kirjaimella $x$.

  1. Mikä on altaan ja laatoituksen yhteenlaskettu pituus? Entä leveys? Muodosta kummallekin sopiva lauseke.
  2. Mikä on altaan ja laatoituksen kokonaispinta-ala? Muodosta lauseke a-kohdan avulla.
  3. Laske altaan pinta-ala.
  4. Muodosta lauseke laatoituksen pinta-alalle edellisten kohtien avulla.
  5. Muodosta yhtälö, josta voit ratkaista laatoituksen leveyden. Kuinka leveä laatoituksesta voidaan tehdä?

  1. Pituus on $3 + 2x$ ja leveys on $2{,}5 + 2x$.
  2. Altaan ja laatoituksen kokonaispinta-ala on pituuden ja leveyden tulo $$ 7{,}5 + 11x + 4x^2 $$
  3. Altaan pinta-ala on $$3\cdot 2{,}5 = 7{,}5$$ neliömetriä.
  4. Laatoituksen pinta-ala saadaan b- ja c-kohtien erotuksena: $$ 11x + 4x^2 $$
  5. Yhtälö on $$ 11x + 4x^2 = 20. $$ Kun se muutetaan perusmuotoon ja ratkaistaan, saadaan ratkaisut $x_1 = -4$ ja $x_2 = 1{,}25$. Laatoituksen leveys ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisu $x_1$ ei kelpaa. Siis laatoituksen leveys on 1,25 metriä.

Yhtälön muodostaminen ei aina ole välttämätöntä tai luontevaa. Seuraavassa tehtävässä muodostetaan sen sijaan ilmiötä kuvaava funktio ja tutkitaan sen ominaisuuksia graafisesti.

Kesätapahtumaan suunnitellaan kahvin ja virvokkeiden myyntiä. Edellisten vuosien perusteella tiedetään, että jos kahvikupillisen hinta on 1,5 euroa, kupillisia menee kaupaksi noin 200 kappaletta. Arvoidaan, että jokainen 10 sentin hinnan korotus vähentää menekkiä aina viidellä kupillisella. Tehtävänä on selvittää, mikä kannattaa kahvikupillisen hinnaksi asettaa, jotta myyntitulo on mahdollisimman hyvä.

  1. Muodosta lausekkeet kahvikupin hinnalle ja menekille täydentämällä seuraava päättely:
    • Jos hintaa korotetaan yhdellä kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan kahdella kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan kolmella kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
    • Jos hintaa korotetaan $x$ kymmensenttisellä, uusi hinta on $\ldots$ ja menekki on $\ldots$
  2. Muodosta lauseke funktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnistä saatavan rahamäärän, kun hintaa on korotettu $x$ kymmensenttisellä.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja esimerkiksi Geogebralla ja tutki graafisesti, mikä kannattaa kahvikupillisen hinnaksi asettaa, jotta myyntitulo olisi mahdollisimman hyvä. Perustele vastauksesi omin sanoin ja kuvan avulla.

    • Jos hintaa korotetaan yhdellä kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan kahdella kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{2} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{2}\cdot 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan kolmella kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{3} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{3}\cdot 5$ kupillista.
    • Jos hintaa korotetaan $x$ kymmensenttisellä, uusi hinta on $1{,}5 + \textcolor{blue}{x} \cdot 0{,}1$ euroa ja menekki on $200 - \textcolor{blue}{x}\cdot 5$ kupillista.
  1. Myyntitulon ilmaisee funktio \begin{align*} f(x) &= (1{,}5 + 0{,}1x)(200 - 5x) \\[1mm] &= 300 + 12{,}5x - 0{,}5x^2 \end{align*}
  2. Funktion $f(x)$ kuvaaja:

    Kuvaajasta nähdään, että myyntitulo on suurimmillaan, kun korotus on noin $12{,}5 \cdot 0{,}1 = 1{,}25$ euroa. Kahvikupillisen hinta on tällöin n. $1{,}5 + 1{,}25 = 2{,}75$ euroa. Tämä on käytännön myyntiä ajatellen melko epäkäytännöllinen hinta (vaihtorahojen kannalta), joten korotukseksi voi harkita myös $10 \cdot 0{,}1 = 1$ euroa. Tällöin kahvikupillisen hinta on $1{,}5 + 1{,}0 = 2{,}5$ euroa, mutta myyntitulo on vain noin kolme euroa pienempi.

Seuraavassa tehtävässä yhdistyvät verrannollisuus ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen.

Poliisin tekninen tutkinta mittasi onnettomuuspaikalta 42 metrin pituiset jarrutusjäljet. Testissä vastaava auto pysähtyi 40 km/h nopeudesta 7 metrin matkalla. Tehtävänä on selvittää, millä nopeudella onnettomuusauto liikkui ennen jarrutuksen alkamista. Tiedetään, että jarrutusmatkan pituus on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön eli toiseen potenssiin.

  1. Kokoa tehtävässä annetut tiedot sopivaan taulukkoon.
    Vinkki: kertaa tarvittaessa tehtävä 3.9.
  2. Muodosta taulukon avulla sopiva verrantoyhtälö ja ratkaise se. Mikä oli auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista?

  1. Taulukko:
    Jarrutusmatka (m) Nopeus2 (km2/h2)
    Onnettomuus $42$ $x^2$
    Testi $7$ $40^2 = 1600$
  2. Verrantoyhtälö on $$ \dfrac{x^2}{1600} = \dfrac{42}{7} $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x^2 = 9600 $$ eli $x = \sqrt{9600} \approx 98$ tai $x = -\sqrt{9600} \approx -98$. Negatiivinen vastaus voidaan rajata pois, koska kysymyksessä on nopeus. Siis auton nopeus ennen jarrutuksen alkamista oli noin 98 km/h.

Toisen asteen polynomifunktio

Moottoritielle suunnitellaan kaksikaistaista tunnelia, jonka poikkileikkaus vastaa funktion $f(x) = 6-0{,}25x^2$ kuvaajan ja $x$-akselin rajaamaa aluetta (pituuden yksikkönä metri).

  1. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella.
  2. Suomessa kuorma-auton suurin sallittu korkeus on 4,4 m ja leveys 2,6 m. Mahtuisiko kaksi tällaista kuorma-autoa ajamaan vierekkäin suunnitellun tunnelin läpi?
  3. Millaisen rajoituksen asettaisit tunnelin kautta kulkevien ajoneuvojen korkeudelle, jos suurin sallittu leveys on 2,6 metriä?

  1. Kuva:

  2. Ei, sillä $f(2{,}6) = 4{,}31 < 4,{4}$. Tunnelin katto on seinän vieressä liian matalalla.
  3. Esimerkiksi enintään 4,0 m.

Toisen asteen polynomifunktio

Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f$ arvot ovat positiivisia, jos

  1. $f(x) = x^2-x-2$
  2. $f(x) = x^2-8x+16$
  3. $f(x) = (x+2)(3-x)$

Tarkista vastauksesi piirtämällä funktion $f$ kuvaaja.

  1. Nollakohdat $x_1 = -1$ ja $x_2 = 2$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x < -1$ tai $x > 2$.
  2. Nollakohta $x = 4$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $x \neq 4$.
  3. Nollakohdat $x_1 = -2$ ja $x_2 = 3$. Arvot positiivisia, jos ja vain jos $-2 < x < 3$.

Neliöjuuri

Päättele seuraavien neliöjuurten arvo käyttämättä laskimen neliöjuurinappulaa.

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt{16}$
  3. $\sqrt{64}$
  4. $\sqrt{25}$

Voit tarkistaa tulokset laskimella.

  1. $\sqrt{81} = 9$, sillä $9 \geq 0$ ja $9^2 = 81$.
  2. $\sqrt{16} = 4$, sillä $4 \geq 0$ ja $4^2 = 16$.
  3. $\sqrt{64} = 8$, sillä $8 \geq 0$ ja $8^2 = 64$.
  4. $\sqrt{25} = 5$, sillä $5 \geq 0$ ja $5^2 = 25$.

Neliöjuuri yhtälön ratkaisuna

Ratkaise seuraavat yhtälöt muuttamalla ne ensin muotoon $$x^2 = \text{ vakio}$$ ja päättelemällä ratkaisut sen jälkeen.

  1. $5x^2 - 100 = 0$
  2. $9x^2 - 4 = 0$
  3. $21 - 7x^2 = 0$
  4. $27 + 3x^2 = 0$

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ tai $x = -\sqrt{20} = -2\sqrt{5}$
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \dfrac{2}{3}$ tai $x = -\dfrac{2}{3}$
  3. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{3}$ tai $x = -\sqrt{3}$
  4. Ei ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli aina suurempi tai yhtä suuri kuin 27, sillä termi 3x^2 ei koskaan ole negatiivinen. Yhtälön vasen puoli ei siis koskaan saa arvoa nolla.

Neliöjuuri yhtälön ratkaisuna

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Jos yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, selitä omin sanoin, miksi näin on.

  1. $2x^2-2 = 0$
  2. $x^2+5 = 0$
  3. $8-x^2 = 0$
  4. $-4x^2 = 0$

  1. $x = 1\ $ tai $\ x = -1$
  2. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä toinen potenssi ei koskaan ole negatiivinen. Mikään luku ei siis toteuta yhtälöä $x^2 = -5$.
  3. $x = \sqrt{8}\ $ tai $\ x = -\sqrt{8}$
  4. $x = 0$

Polynomien tulo

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(3x+1)(3x-1)$
  2. $(4x+5)^2$
  3. $(6x-2)^2$

  1. $9x^2-1$
  2. $16x^2+40x+25$
  3. $36x^2-24x+4$

Polynomien tulo

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(x+2)(x^2-5x+4)$
  2. $3x(x-6) - (x-2)(x-4)$
  3. $\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)\left(8x + \dfrac{1}{4}\right)$

  1. $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$
  2. $2x^2-12x-8$
  3. $4x^2+ \dfrac{65}{8}x+\dfrac{1}{4}$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt:

  1. $3x^2 - 7x + 4 = 0$
  2. $x^2 + 2x - 9 = 3x - 7$
  3. $x^2 = 3x$

  1. $x = \dfrac{4}{3} \ $ tai $\ x = 1$
  2. $x = -1 \ $ tai $\ x = 2$
  3. $x = 0 \ $ tai $\ x = 3$

Toisen asteen yhtälö

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{1}{2}x = 0$
  2. $\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{5}{2}x = -\dfrac{7}{12}$
  3. $x + 3 = \dfrac{10}{x}$

Vinkki: Jos kertoimet ovat murtolukuja, yksi strategia on kertoa yhtälön molemmat puolet sellaisella luvulla, jotka supistavat nimittäjät pois.

  1. $x = 0 \ $ tai $\ x = -\dfrac{3}{2}$
  2. $x = \dfrac{7}{2} \ $ tai $\ x = \dfrac{1}{4}$
  3. $x = 2 \ $ tai $\ x = -5$

Toisen asteen yhtälö

Millä vakion $a$ arvolla

  1. yhtälöllä $x^2 + ax + 3 = 0$ on tasan yksi ratkaisu?
  2. yhtälöllä $ax^2+2x+3 = 0$ on ainakin yksi ratkaisu?

  1. $a = 2\sqrt{3}$ tai $a = -2\sqrt{3}$
  2. $a \leq \frac{1}{3}$

Sovelluksia

Hedelmiä, joiden hinta on 2 €/kg, myydään päivittäin 80 kg. Kauppias arvelee, että kilohinnan nostaminen 50 sentillä johtaa aina menekin pienenemiseen 5 kilogrammalla.

  1. Mikä on päivittäisen myynnin kokonaisarvo, kun hedelmien hinta on 2 €/kg?
  2. Jos kilohintaa nostetaan $0{,}5x$ euroa, kuinka paljon hedelmiä myydään?
  3. Muodosta lauseke toisen asteen polynomifunktiolle $f(x)$, joka ilmaisee myynnin kokonaisarvon tilanteessa, jossa kilohintaa on nostettu $0{,}5x$ euroa.
  4. Määritä funktion $f$ nollakohdat ja päättele niiden avulla, mikä on funktion $f$ huipun $x$-koordinaatti.
  5. Mikä kilohinnan pitää olla, jotta myynnin kokonaisarvo on mahdollisimman suuri? Mikä tämä kokonaisarvo on?

  1. 160 €
  2. $80-5x$ kilogrammaa
  3. $f(x) = (2+0{,}5x)(80-5x)$
  4. Nollakohdat $x_1 = -4$ ja $x_2 = 16$, huippu niiden puolivälissä eli $x = 6$
  5. $2 + 0{,}5\cdot 6 = 5$ €/kg, myynnin kokonaisarvo $f(6) = 250$ euroa

Sovelluksia

Uudelle asuinalueelle halutaan kaavoittaa tontteja, joiden pinta-ala on $2600 \text{ m}^2$. Mikä pitää valita tontin leveydeksi, jos halutaan, että tontin pituus on 25 m suurempi kuin sen leveys?

Leveydeksi pitää valita 40 m. Yhtälö on $x(x + 25) = 2600$.

Sovelluksia

Onko mahdollista jakaa luku 20 kahden kokonaisluvun summaksi niin, että

  1. yhteenlaskettavien tulo on 96
  2. yhteenlaskettavien tulo on 86

Keksi esimerkki tällaisista kokonaisluvuista tai perustele, ettei sellaisia ole olemassa.

  1. 8 ja 12
  2. Ei ole mahdollista, sillä yhtälön $x(20-x) = 86$ ratkaisut eivät ole kokonaislukuja.

Sovelluksia

Rakennuspiirustuksessa huoneen leveydeksi on merkitty $3{,}00 \text{ m}$ ja pituudeksi $5{,}00 \text{ m}$. Huonetta halutaan kuitenkin suurentaa niin, että sen pituus ja leveys kasvavat yhtä monta senttimetriä. Kuinka leveäksi huone voidaan tehdä, jos sen pinta-ala saa olla enintään $20 \text{ m}^2$? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella.

Enintään $3{,}58$ metriä leveäksi. Yhtälö on $(3 + x)(5 + x) = 20$, missä $x$ on pituuden ja leveyden lisäys metreinä.

Sovelluksia

Joen rannalta halutaan aidata hevosille laidun. Aitamateriaalia on käytettävissä on 200 metriä.

  1. Muodosta funktio, joka ilmaisee laitumen pinta-alan, jos kummankin rantaan rajoittuvan sivun pituus on $x$.
  2. Millaiset laitumen mittojen pitäisi olla, jotta laitumen pinta-ala olisi $4200 \text{ m}^2$?
  3. Millaiset laitumen mitat ovat tilanteessa, jossa laitumen pinta-ala on mahdollisimman suuri? Mikä tämä pinta-ala on?
    Vinkki: määritä a-kohdan funktion nollakohdat ja etsi niiden avulla symmetriaa hyödyntäen kohta, jossa funktio saa suurimman arvonsa.

  1. $f(x) = 200x - 2x^2$
  2. Kaksi vaihtoehtoa:
    • rantaan rajoittuvien sivujen pituus 70 m ja rannan suuntainen sivu 60 m
    • rantaan rajoittuvien sivujen pituus 30 m ja rannan suuntainen sivu 140 m.
  3. Rantaan rajoittuvat sivut ovat 50 m ja rannan suuntainen sivu on 100 m. Pinta-ala $5000 \text{ m}^2$.

  1. Hannele on ratkaissut yhtälön $$ 2(x^2 + x + 3) = 8(x + 1) + 2x^2, $$ mutta välivaiheet ovat menneet sekaisin. Järjestä välivaiheet (B)–(F) niin, että ne muodostavat yhtälön loogisesti etenevän ratkaisun. Vastausta ei tarvitse perustella.
  2. Myös Pauliinan laskun välivaiheet ovat menneet sekaisin, ja lisäksi mukaan on tullut yksi johonkin muuhun laskuun kuuluva välivaihe. Tehtävänä on valita alla olevista kohdista (B)–(F) neljä ja järjestää ne niin, että niistä muodostuu yhtälön $$ 20 + 4x = x^2 + 8 $$ ratkaisu. Vastausta ei tarvitse perustella.

[Lyhyt S2017/3]

  1. A F C E D B G
  2. A B E F D G

  1. Ratkaise yhtälö $$ t^2 - \frac{5}{2}t + 1 = 0. $$
  2. Ratkaise yhtälö $$ [f(x)]^2 - \frac{5}{2}f(x) + 1 = 0, $$ missä $f(x)$ on kuvion funktio.

    Vinkki: Vertaa a- ja b-kohdan yhtälöitä. Pystytkö päättelemään funktion arvon $f(x)$, jolla b-kohdan yhtälö toteutuu? Funktion kuvaaja auttaa selvittämään, mikä on vastaava muuttujan $x$ arvo. (Muitakin ratkaisutapoja voi keksiä, tämä ei ole ainoa tapa.)

[Lyhyt S2016/4]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $t = \dfrac{1}{2}$ tai $t = 2$.
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = -1$ tai $x = 2$.

  1. Ratkaise yhtälö $$ x^2 - 2x = 0. $$
  2. Anna esimerkki toisen asteen yhtälöstä, jonka yksi juuri on $x = 1$.

[Lyhyt S2012/1a & K2015/2b ]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 2$.
  2. Esimerkiksi $x^2 = 1$.

  1. Millä vakion $a$ arvolla funktion $$f(x) = ax^2-4x+8$$ pienin arvo on $0$?
  2. Millä vakion $b$ arvolla funktio $$g(x) = bx^2-4x+8$$ saa positiivisia arvoja täsmälleen silloin, kun $-2 < x < 1$?

[Lyhyt K2014/10]

  1. $a = \frac{1}{2}$
  2. $b = -4$

  1. Ratkaise yhtälö $$(x-2)^2 = 4.$$
  2. Laske lausekkeen $$ a(b-2) + (a-b)^2 - b(1-a) $$ arvo, kun $a = 2$ ja $b = -2$.

[Lyhyt S2013/1a & 1c]

  1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 4$.
  2. Kysytty arvo on 6.

Tarkastellaan paraabelia $$y = x^2 - 12x + 35.$$

  1. Missä pisteissä paraabeli leikkaa $x$-akselin?
  2. Määritä paraabelin huipun koordinaatit.

[Lyhyt S2012/4]

  1. Pisteissä $(5,0)$ ja $(7,0)$.
  2. Paraabelin huippu on pisteessä $(6,-1)$.

  1. Määritä sellainen vakio $a$, että $x = 2$ toteuttaa yhtälön $$x^2 - 4ax + 4a^2 = 0.$$
  2. Ratkaise yhtälö $$x^2 - 3(x+3) = 3x - 18.$$

[Lyhyt K2011/3a & S2011/1c]

  1. $a = 1$
  2. $x = 3$

  1. Tutki, millä muuttujan $x$ arvoilla polynomi $$ 2x^2 + 5x - 3 $$ saa negatiivisia arvoja.
  2. Ratkaise yhtälö $$ 7x(3+7x) - 4 = 0. $$

[Lyhyt K2009/3b & K2007/1b]

  1. Kyseinen polynomi saa negatiivisia arvoja, jos ja vain jos $-3 < x < \frac{1}{2}$.
  2. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{1}{7}$ tai $x = -\frac{4}{7}$.

  1. Kaava $$ (x+y)^2 = x^2 + y^2 $$ on yleensä väärä. Osoita, että jos kaava pätee, niin joko $x = 0$ tai $y = 0$ (tai molemmat).
  2. Myös kaava $$ (x-y)^2 = x^2 - y^2 $$ on yleensä väärä. Anna esimerkki luvuista, joille tämä kaava pätee, mutta edellinen kaava ei päde.

[Lyhyt K2006/12]

  1. Jos kaava pätee, saadaan pääteltyä seuraavasti: \begin{align*} (x+y)^2 &= x^2 + y^2 \\ (x+y)(x+y) = x^2 + y^2 \\ x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 \\ 2xy &= 0 \\ x = 0 \quad &\text{tai} \quad y = 0 \end{align*} Viimeisessä vaiheessa käytettiin tulon nollasääntöä.
  2. Esim. $x = 1$ ja $y = 1$. Tällöin $(x-y)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0$ ja $x^2 - y^2 = 1^2 - 1^2 = 1-1 = 0$. Siis b-kohdan kaava pätee. Kuitenkin $(x+y)^2 = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ mutta $x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 1+1 = 2$. Näin a-kohdan kaava ei päde.

Olkoon $$ f(x) = x^2 - 3{,}1x - 1{,}4 $$ Laske funktion f nollakohdat ja tutki, millä välillä se saa negatiivisia arvoja.
[Lyhyt S2004/1]

Nollakohdat ovat $x_1 = -0{,}4$ ja $x_2 = 3{,}5$. Koska funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, funktio saa negatiivisia arvoja välillä $\left]-0{,}4; 3{,}5\right[$.

Määrittele, mitä tarkoitetaan neliöjuurella. Osoita tämän perusteella: $$ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}. $$
[Lyhyt K2004/10]

Luvun $b \geq$ neliöjuuri $a$ tarkoittaa lukua $a$, jolle pätee kaksi asiaa:

  • $a \geq 0$
  • $a^2 = b$.
Koska $3 - \sqrt{5} > 0$ ja \begin{align*} (3 - \sqrt{5})^2 &= (3 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) \\ &= 9 - 6\sqrt{5} + 5 \\ &= 14 - 6\sqrt{5} \end{align*} niin luvun $14 - 6\sqrt{5}$ neliöjuuri on $3 - \sqrt{5}$.

Tutki, onko yhtälöillä $$ \frac{3}{5}x + 2 = 1 $$ ja $$ 3x^2 - 7x - 20 = 0 $$ samoja ratkaisuja.
[Lyhyt S2000/1]

Yhtälöillä on yksi yhteinen ratkaisu $x = -\dfrac{5}{3}$.

Ratkaise yhtälö $$ \frac{2x}{2x+3} = \frac{2x+1}{8} $$
[Lyhyt K2000/2]

Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = \frac{1}{2}$ tai $x = \frac{3}{2}$.

  1. Ratkaise yhtälö $x^2+6x = 2x^2+9$.
  2. Ratkaise yhtälö $(x-4)^2 = (x-4)(x+4)$.

[Pitkä S2013/1a & K2013/1a]

  1. $x = 3$
  2. $x = 4$

Millä vakion $a$ arvoilla funktion $f(x)=(1-a^2)x^2 - 3ax + 8$ kuvaaja on

  1. alaspäin aukeava paraabeli
  2. ylöspäin aukeava paraabeli
  3. nouseva suora
  4. laskeva suora?

  1. $a < -1$ tai $a > 1$
  2. $-1 < a < 1$
  3. $a = -1$
  4. $a = 1$

  1. Ratkaise yhtälö $(x-2)(x-3) = 6$.
  2. Missä pisteessä paraabelit $y = x^2+x+1$ ja $y = x^2 + 2x + 3$ leikkaavat?
  3. Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat seuraavan ehdon: Luvun ja sen käänteisluvun keskiarvo on 4.

[Pitkä S2014/1]

  1. $x = 0$ tai $x = 5$
  2. $(-2,3)$
  3. $4 + \sqrt{15}$ ja $4 - \sqrt{15}$

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.